June 04 Hédison K. Sato

GEO046Geofísica

Aula no 10MÉTODOS ELETROMAGNÉTICOSEquações de MaxwellEspectro e fontes de energia

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Ondas eletromagnéticas

A teoria eletromagnética representa a extensão e o entendimento de que os fenômenos elétricos e magnéticos são interligados.Além das fontes naturais, o campo EM é gerado, controlado e usado num intervalo largo em freqüência.Da mais alta para a mais baixa, são a radiação gama, raio X, luz ultravioleta, luz visível, infravermelho (calor irradiado), microonda, telefonia celular, comunicação em UHF, televisão/FM (VHF), rádio difusão de longo e curto alcance, VLF (“Very low frequency”).

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Ondas eletromagnéticas

As ondas EM podem ser irradiadas emdiversas direções que é o caso das TV, lâmpadas, etc.concentradas através de antenas parabólicasliteralmente entubadas como ocorre nas fibras óticas.

Espectro das ondas EM

10-11 10-9 10-7 10-5 10-3 10-1 101 103 105 107 109

Comprimento de onda (cm)

3×10

21 Freqüência(Hz)3×

1017

3×10

13

3×10

9

3×10

5

3×10

1

Raiogama

RaioX

Ultravioleta

Luzvisível

Infravermelho

Ondascurtas

OndaslongasFM

TV(2-6)

TV(7-13)Celular

VLF ELFMicroondas ULF

4

Equações de Maxwell

( )( )

( )( )

( ).,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,

tzyxtzyx

tzyxtzyx

tzyx

jd

bh

e

elétrica corrente de densidade vetor oe ,por elétrico todeslocamen vetor o

magnético fluxo do densidade vetor opor magnético campo o

por elétrico campo o

Alguns métodos geofísicos usam ondas EM: radiométricos (radiação gama), eletromagnéticos ⌧UHF e VHF no método GPR (“ground penetrating radar”).⌧VLF e ULF nos eletromagnéticos clássicos.

Denotando

5

Equações de Maxwell

As evidências experimentais demonstram que

t∂∂

−=×∇be

t∂∂b

t∂∂

+dj

t∂∂

+=×∇djh

6

Equações de Maxwell

Na forma integral, as equações de Maxwell ficam

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂∂

−=⋅ ∫∫SC

dt

d sble ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂∂

+⋅=⋅ ∫∫∫SSC

dt

dd sdsjlh

C curvaC curva

7

Equações de Maxwell

elétrica. carga de densidade a é onde, e

que demonstrar se-pode

elétrica, carga de oconservaçãda princípio o usando e anteriores equações Das

qq

tq

0=⋅∇=⋅∇

∂∂

−=⋅∇

bd

j

8

Relações constitutivas

Para meios lineares e isotrópicos, tem-se

( )

( )

elétrica. adecondutivid a sendo

e elétrica, vidadepermissi a sendo,

magnética, dadepermeabili a é onde

σσ

εεε

πµµµ

ej

ed

hb

=×=

=×=

=

−

−

mF1085,8

mH104

120

70

9

Equações de onda

Tomando as equações de Maxwell

( ) ( ) ( ) 0=∂

∂×∇−×∇−×∇×∇=

∂∂

×∇+×∇×∇

===

∂∂

+=×∇∂∂

−=×∇

tt

tt

eehhe

ejedhb

djhbe

εσµσεµ

e 0

, e ,:vasconstituti relações as supondo disso, Além

equação. da lados dois aos rotacional oaplicar vamos

e

10

Equações de onda

Invertendo a ordem das diferenciações, e supondo que o meio é homogêneo,

( ) ( )

.0

0

.00

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+×∇×∇

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+×∇×∇

∂∂

+=×∇∂∂

−=×∇

=×∇−×∇∂∂−×∇×∇=×∇

∂∂+×∇×∇

ttt

tt

tt

tt

bbh

dje

djhbe

eehhe

σε

µ

σεµ

e

, e

Maxwell de equações as oRelembrand

e

11

Equações de onda

Repetindo o uso das relações constitutivas,( )

( ) ( )

0

0

.0

0

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+×∇×∇

=∂∂

+∂∂

+×∇×∇

=∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+×∇×∇

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+×∇×∇

tt

tt

ttt

tt

hhh

eee

hhh

eee

µσµε

µσµε

µσµε

εσµ

e

çãodiferencia de ordens e termos os oRearrumand

e

12

Equações de onda

Utilizando a identidade vetorial, válido para coordenadas cartesianas:

.0

0

2

22

2

22

=∂∂

−∂∂

−∇

=∂∂

−∂∂

−∇

tt

tthhh

eee

µσµε

µσµε e

queescrever se-pode finitas, adescondutivid comhomogêneas regiões em anulam se e que fato o e he

aaa⋅∇⋅∇

∇−⋅∇∇=×∇×∇ 2

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Equações de onda

Em meios não condutores (no vácuo), as equações reduzem-se a:

.00 2

22

2

22 =

∂∂

−∇=∂∂

−∇tthhee µεµε e

que são equações de onda com velocidade de fase

.km/s299863mF1085,8

mH1041

120

70

=×=

×==

−

−

νε

πµµε

Assim,.

e vácuo,o mosconsiderar Se .v

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Equações de onda (exemplo)

Vamos tomar o caso 1-D com um componente

.02

2

2

2

=∂∂

−∂∂

te

xe ii µε

o.demonstrad fica , se Logo,

assim, ;

lado, outroPor assim, ;

:Vejamosequação? a satisfaz que Será

µε1

).()(

).()(

)(),(

22

2

2

2

=

−′′=∂∂

−′−=∂∂

−′′=∂∂

−′=∂∂

−=

v

vtxfvtevtxfv

te

vtxfxevtxf

xe

vtxftxe

ii

ii

i

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Equações de onda

Em meios condutores, naqueles em que

.00 22 =∂∂

−∇=∂∂

−∇

<<2

thh

tee

rrr

r µσµσ

µσωµεω

e

difusão de equações às se-reduzem onda de equações as

Na versão 1-D (dependência com z), a solução para o campo elétrico pode ser escrita como

( ) ( )

.

cosexp0

2==

−−= +

ωµσβα

αωβ

onde

ttzee rr

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Equações de onda

como β é positivo, e-βz diminui à medida que z aumenta e representa uma atenuação. A atenuação é de 1/e a cada intervalo

,00tizzitizzi eeehheeeee ωβαωβα −−+−−+ ==

rrrr e

).depth" skin(" σωµσ

δf15032

==

além disso, como

( ),sen)cos()sen()cos( titezize tizi ωωαα ωα +=−=− e

a onda varia senoidalmente com a profundidade z e com o tempo t.

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Skin depth

-1

-0,5

0

0,5

10 2 4profundidade em "skin depth"

ampl

itude

rela

tiva

ωΤ=0ωΤ=(1/3) πωΤ=(2/3) πωΤ=πωΤ=(4/3) πωΤ=(5/3) π

18

1E+0

1E+1

1E+2

1E+3

1E+4

1E+5

1E+6

0,01 0,1 1 10 100 1000 10000Freqüência (Hz)

"ski

n de

pth"

(m)

0.001 S/m

0,010 S/m

0,100 S/m

1,000 S/m

Skin depth

Condutividade

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Espectro EM

EHF (Extremely High Frequency: 30-300 GHz)SHF (Super High Frequency: 3-30 GHz)UHF (Ultra High Frequency : 0.3-3 GHz)VHF (Very High Frequency : 30-300 MHz)HF (High Frequency: 3-30 MHz)MF (Medium Frequency: 0.3-3 MHz)LF (Low Frequency: 30-300 kHz)VLF (Very Low Frequency : 3-30 kHz) ELF (Extra Low Frequency : 3-3000 Hz)ULF (Ultra Low Frequency : < 3 Hz)

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Espectro útil

A profundidade de exploração depende de alguns fatores e, entre eles, a freqüência é fundamental.Quanto menor a freqüência, maior a penetração da onda EM.Na geofísica, tem-se aplicado os intervalos:

UHF, VHF⌧Ground Penetrating Radar

VLF (15-25 KHz na prática), ELF, ULF.⌧Métodos geofísicos eletromagnéticos clássicos.

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Fontes de energia

Naturais:Para freqüências acima de 1 Hz, predominam as ondas irradiadas a partir dos relâmpagos que ocorrem durante as tempestades (concentradas na região equatorial), que se propagam a grandes distâncias.Para freqüências abaixo de 1 Hz, predominam as ondas irradiadas a partir do sistema de correntes elétricas que se desenvolvem na magnetosfera terrestre, subordinada à atividade solar.

Artificiais magnéticasPara baixas freqüências, bobinas para a geração de campos magnéticos primários, cujas áreas podem variar de alguns cm2 a milhares de m2 (retângulo com 100m x 400m), ou mais.

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Fontes de energia

Artificiais elétricasPara altas freqüências (VHF-UHF), dipolos elétricos de 1m.Para baixas freqüências (VLF)

Antena Jim CreekEstação NLKPróximo a Seattle

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Campos primário e secundário

Conceitos típicos da geofísica.Campo primário é o campo EM devido à fonte geradora.Na realidade não existem ondas planas mas, na prática, elas são consideradas quando a fonte encontra-se distante.O campo EM secundário é aquele gerado por um corpo condutor quando este está sob a ação de um campo primário.

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Campos primário e secundário

De certa forma, a luz refletida por um espelho é um campo secundário.

fonte

campoprimário campo

secundário

campoprimário

observador

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Campos primário e secundário

A imagem “fantasma” no receptor de TV é uma reflexão indesejada em obstáculos (edifícios)

antenade TV

campoprimário

camposecundário

campoprimário

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Campos primário e secundário

Corpo condutor em um ambiente resistivo

camposecundário

verticaleixo de bobina a devidoprimário, magnético, Campo

condutor corpo

elétricas correntes

superfície

superf

ície

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Referências:

McNeill, J. D. e Labson, V. F., 1991, Geological mapping using VLF radio fields. In: Nabighian, M. N., Electromagnetic methods in applied geophysics, V.2, Theory, p. 521-640. Telford, W. M., Geldart, L. P., Sheriff, R. E. e Keys, D. A., 1978, Applied geophysics. Cambridge University Press. Ward, S. H. e Hohmann, G. W., 1987, Electromagnetic theory for geophysical applications. In: Nabighian, M. N., Electromagnetic methods in applied geophysics, V.1, Theory, p. 131-311.