43

3. Condução de Calor Unidimensional em Regime Permanente A equação da condução de calor nos casos mais genéricos foi deduzida no capítulo 2. No caso

unidimensional em regime permanente, há fluxo de calor predominante em uma dada direção,

independente do tempo.

3.1 Paredes Planas

Considere o caso de uma parede plana de espessura L ao longo do eixo x, e infinita em

y e z, com temperaturas especificadas, 0T em x = 0 e LT em x = L, Figura 3.1. Suponha que o

material da parede seja isotrópico e homogêneo e que não há geração interna de energia na

parede. Com as hipóteses consideradas, este problema é governado pelo conjunto de

equações: 2

2 0d Tdx

= (3.1)

0T T= em 0x = (3.2)

LT T= em x L= (3.3)

Figura 3.1 Condução através de uma parede plana. Resistência térmica.

A solução da Eq. (3.1) é obtida integrando-se duas vezes a Eq. (3.1), obtendo-se o

resultado: 1 2T c x c= + . As constantes de integração podem ser obtidas usando as Eqs. (2.2) e

(2.3), cujo resultado final é uma variação linear da temperatura com x na forma:

( )0 0LxT T T TL

= + − (3.4)

44

A partir da Eq. (3.4) obtém-se que o gradiente de temperatura ao longo da parede é

independente de x , devido à variação linear da temperatura, ( )0LdT / dx T T / L= − , e,

portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser calculado como

( )0 LdT kq k T Tdx L

′′ = − = − (3.5)

A taxa de calor atravessando a fronteira é obtida multiplicando o fluxo de calor pela

área da superfície A , assim,

( )o LkAq q A T TL

′′= = − (3.6)

3.1.1 Resistência Térmica

O inverso de kA / L é denominado de resistência térmica da camada e, portanto,

define-se:

tLRkA

= (3.7)

Combinado as Eqs. (3.7) e (3.6) resulta

o L

t

T TqR−

= (3.8)

Observe que a taxa de calor como calculada pela Eq. (3.8) é completamente análoga à

corrente elétrica que atravessa um circuito com uma única resistência em que há uma

diferença de potencial elétrico. A resistência térmica é ilustrada na Figura 3.1

3.1.2 Paredes Compostas

Se a parede for constituída de várias camadas de espessura iL e condutividade térmica

ik , a resistência térmica de cada camada será

it ,i

i

LRk A

= (3.9)

A resistência térmica total será a associação em série das resistências individuais, ou seja,

it

i i

LRk A

= ∑ (3.10)

45

Como exemplo, considere o caso de uma parede composta de três camadas de

materiais isotrópicos homogêneos, como ilustrado na Figura 3.2. Neste caso, a taxa de calor

pode ser calculada como

1 1 2 2 3 3

o LT TqL / k A L / k A L / k A

−=

+ + (3.11)

Figura 3.2 Parede composta e sua resistência térmica.

3.1.3 Coeficiente Global de Transferência de Calor

No caso de trocadores de calor, por exemplo, geralmente, a parede separa dois campos

de escoamento, com um fluido “quente” em uma das faces da parede e outro fluido “frio” na

outra face; Figura 3.3. A transferência de calor do fluido quente para a parede e da parede

para o fluido frio pode ser estimada através do coeficiente de transferência convectiva

definido no capítulo 1. Suponha que do lado do fluido quente a temperatura seja hT com um

coeficiente hh caracterizando a troca de calor do fluido para a parede, e do lado frio a

temperatura seja cT com um coeficiente ch caracterizando a troca de calor da parede para o

fluido. Neste caso, têm-se as seguintes equações:

0hh

qT Th′′

− = (3.12)

0 LLT T qk

′′− = (3.13)

L cc

qT Th′′

− = (3.14)

46

Figura 3.3 parede banhada por fluidos em suas faces. Coeficiente global de troca de calor.

Somando as Eqs. (3.12) – (3.14) obtém-se

1 1h c

h c

LT T qh k h

⎛ ⎞′′− = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.15)

Numa forma mais compacta a Eq. (3.15) pode ser reescrita como

h cqT TU′′

− = (3.16a)

Ou na forma

( )h cq U T T′′ = − (3.16b)

Na qual o coeficiente global de transferência de calor é definido por

1 1 1

h c

LU h k h

= + + (3.17)

Exercício 3.1: A parede de um incubador de ovos é composta por uma camada de fibra de

vidro de 8 cm entre duas camadas de fórmica de 1 cm cada uma. Do lado de fora a

temperatura é 10ocT C= e o coeficiente de troca de calor do lado externo do incubador é

25ch W / m K= . Do lado interno, a temperatura é 40ohT C= e devido um ventilador forçar o

ar internamente sobre os ovos, o coeficiente de troca convectiva é 220hh W / m K= . Calcule o

fluxo de calor através da parede do incubador.

47

3.2 Cascas Cilíndricas

Muitos trocadores de calor são constituídos por cascas cilíndricas, como no caso do

trocador de calor conhecido como casco-tubo. Nestes casos, o fluxo de calor não se conserva

como ocorre na parede plana, visto que o gradiente de temperatura depende da posição radial.

Entretanto, a taxa de calor que atravessa a casca deve se conservar pela primeira lei da

termodinâmica. Considere uma casca cilíndrica de comprimento l ; de raio interno ir e cuja

superfície interna esteja a iT . O raio externo é or e a temperatura da superfície externa é oT . O

fluxo de calor do lado interno é iq′′ e do lado externo será oq′′ ; Figura 3.4.

Figura 3.4 Condução radial numa casca cilíndrica.

A taxa de calor pode ser calculada se for determinado o fluxo de calor do lado interno,

por exemplo. Esta taxa pode ser estimada como

( )2 i iq rl qπ ′′= (3.18)

O fluxo de calor na direção radial pode ser obtido na forma:

i

ir r

dTq kdr =

⎛ ⎞′′= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.19)

48

O que obriga a determinação do campo de temperatura através da casca. A equação

governante para este problema em regime permanente, sem geração interna na parede e

simetria da temperatura é

1 0d dTrr dr dr

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.20)

sujeita às condições de contorno

iT T= em ir r= (3.21)

e

oT T= em or r= (3.22)

A seqüência de solução é obtida integrando duas vezes a eq. (3.20):

0d dTrdr dr

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.23)

1dTr Cdr

= (3.24)

1dT Cdr r

= (3.25)

( )1 2T C ln r C= + (3.26)

A Eq. (3.26) deve satisfazer as duas condições de contorno (3.21) e (3.22), o que leva

aos resultados:

( )1 2i iT C ln r C= + (3.27)

( )1 2o oT C ln r C= + (3.28)

Após a eliminação de 2C das Eqs. (3.27) e (3.28) obtém-se

( )1i o

i o

T TCln r / r

−= (3.29)

Finalmente, subtraindo (3.27) de (3.26) resulta

1ii

rT T C lnr

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.30)

e pelo uso de (3.29) obtém-se

( ) ( )( )

ii i o

o i

ln r / rT T T T

ln r / r= − − (3.31)

49

O gradiente de temperatura pode ser obtido como ( )

1 i o

i o

T TdTdr r ln r / r

−= . Combinando as

equações (3.18) e (3.19) obtém-se a taxa de calor na forma

( ) ( )02

io i

klq T Tln r / r

π= − (3.32)

Pode-se concluir que a resistência térmica da casca cilíndrica é

( )2

o it

ln r / rR

klπ= (3.33)

Pela conservação da taxa de calor pode-se mostrar que

( ) ( )2 2i iq rl q rl qπ π′′ ′′= = (3.34)

E, portanto, o fluxo de calor em qualquer raio será

ii

rq qr

′′ ′′= (3.35)

No caso de uma casca composta, por exemplo, de três camadas; Figura 3.5, cujos raios

das interfaces sejam 1r e 2r respectivamente com 0 2 1 ir r r r> > > , e as temperaturas do fluido

interno seja hT com ih e do lado seja cT com oh ; a taxa de calor pode ser calculada como

( ) ( ) h ci i h c o o h c

t

T Tq U A T T U A T TR−

= − = − = (3.36)

Na qual a resistência térmica pode ser calculada como

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 3

1 12 2 2

i ot

i i o o

ln r / r ln r / r ln r / rR

h A k l k l k l h Aπ π π= + + + + (3.37a)

Figura 3.5 Casca cilíndrica composta com transferência convectiva em ambos os lados.

50

Pela combinação das Eqs. (3.36) e (3.37) pode-se demonstrar que

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 3

1 1 1i i i i o i

i i o o

r ln r / r r ln r / r r ln r / r rU h k k k h r

= + + + + (3.37b)

( ) ( ) ( )1 2 1 2

1 2 3

1 1 1o i o o oo

o i i o

r ln r / r r ln r / r r ln r / rrU h r k k k h

= + + + + (3.37c)

As áreas das superfícies interna e externa da casca são definidas por

2i iA rlπ= ; 2o oA r lπ= (3.38)

3.3 Cascas Esféricas

A geometria esférica, Figura 3.6, pode ser analisada de maneira similar, por notar que

quando a temperatura das superfícies interna e externa são isotérmicas ( )i oT ,T , a temperatura

dentro da casca pode variar apenas radialmente. Neste caso a equação que rege o problema,

com todas as hipóteses simplificadoras consideradas, como no caso do cilindro, fica na forma:

22

1 0d dTrr dr dr

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.39)

sujeita às condições de contorno

iT T= em ir r= (3.40)

e

oT T= em or r= (3.41)

Figura 3.6 Condução radial através de uma casca esférica.

51

Multiplicando a Eq. (3.39) por 2r dr e integrando uma vez resulta

21

dTr Cdr

= ou 12

dT Cdr r

= (3.42)

Agora, multiplicando a Eq. (3.42) por dr e integrando mais uma vez obtém-se

12

CT Cr

= − + (3.43)

A restrição das condições de contorno levam ao sistema

12i

i

CT Cr

= − + (3.44)

12o

o

CT Cr

= − + (3.45)

A eliminação de 2C das Eqs. (3.44) de (3.45) leva ao valor de 1C na forma

( )1

i o i o

i o

r r T TC

r r−

=−

(3.46)

Subtraindo a eq. (3.44)de (3.43) e pelo uso de (3.46) obtém-se

( ) o ii i o

i o

r r rT T T Tr r r⎛ ⎞−

− = − ⎜ ⎟−⎝ ⎠ (3.47)

da qual se se obtém o gradiente de temperatura e o fluxo de calor iq′′ definidos

respectivamente por

( )2

i oi o

i o

T TrrdTdr r r r

−=

− (3.48)

i

o i oi

r r i o i

r T TdTq k kdr r r r=

−⎛ ⎞′′ = − =⎜ ⎟ −⎝ ⎠ (3.49)

A taxa de calor pode ser obtida multiplicando o fluxo pela área de troca, no caso de

uma esfera, 24i iA rπ= , resultando

4 i oo i

o i

T Tq kr rr r

π −=

− (3.50)

Pela observação da Eq. (3.50) pode-se concluir que a resistência térmica da casca esférica é

1 1 14t

i o

Rk r rπ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.51)

No caso de uma casca esférica composta de duas camadas, por exemplo, com

convecção interna e externa, a resistência térmica total será

52

1 1 2 1

1 1 1 1 1 1 1 14 4t

i i i o o o

Rh A k r r k r r h Aπ π

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.52)

3.4 Raio Crítico de Isolação

Uma aplicação do conceito de resistência térmica é determinação de espessura anular

que deve ser aplicada sobre a superfície externa de uma parede cilíndrica de temperatura

conhecida iT . A função da camada isolante colocada entre o raio ir e or é reduzir a taxa total

de transferência de calor entre o corpo interno e o fluido ambiente a T∞ e coeficiente h de

troca convectiva. A Figura 3.7, no alto à direita, ilustra a camada de isolante térmico.

A taxa total de transferência de calor varia inversamente com a resistência térmica,

porque ( )i tq T T / R∞= − . A resistência térmica neste caso pode ser calculada como

( )( )

12 2

o it

o

ln r / rR

kl h r lπ π= + (3.53)

Para h e k constantes, tR será uma função do raio externo or . E quando a resistência térmica

alcançar um mínimo a taxa de calor atingirá um máximo. Derivando tR da Eq. (3.53) em

relação a or resulta 21 2 1 2t o o oR / r / klr / lhrπ π∂ ∂ = − . Para se obter o ponto de mínimo ou

máximo faz-se 0t oR / r∂ ∂ = o que leva ao resultado do raio crítico de isolamento

o,ckrh

= (3.54)

A resistência mínima será, portanto,

( ) 12

it ,min

ln k / hrR

klπ+

= (3.55)

Algumas conclusões que se pode tirar do conceito de raio critico de isolação é que,

quando, o cilindro for espesso, de tal forma que

i o ,cr r> ou 1i

khr

< ; (3.56)

a adição de uma camada de material isolante sempre se traduz em aumento de tR e, portanto

redução de q como desejado. No caso oposto, quando,

i o ,cr r< ou 1i

khr

> ; (3.57)

53

o enrolamento de uma primeira camada isolante reduzirá a resistência térmica. O efeito inicial

será um aumento da transferência de calor. Apenas quando material suficiente tenha sido

adicionado de modo que or exceda o,cr , a espessura de isolamento aumentará o valor de tR e

redução de q .

No caso de isolação de um objeto esférico de raio ir , o raio critico de isolação será

estimado pela relação:

2o,ckrh

= (3.58)

Figura 3.7 Efeito do raio externo sobre a resistência térmica global de uma camada cilíndrica

isolante.

Exercício 3.2: Um fio isolado suspenso no ar gera aquecimento pelo efeito Joule à taxa de

1q W / m′ = . O fio cilíndrico de raio 0 5ir , mm= está 30 oC acima da temperatura ambiente. É

proposto encapar fio com plástico de isolamento elétrico, cujo raio externo será 1or mm= . A

condutividade térmica do material plástico 0 35k , W / mK= . O plástico isolante aumentará o

contato térmico entre fio e ambiente, ou promoverá efeito de isolamento térmico? Para

verificar a resposta calcule a diferença de temperatura entre o fio e ambiente quando o fio

estiver encapado pelo plástico.

54

3.5 Geração Interna de Calor

Há casos que ocorre geração interna de energia dentro do objeto, como por exemplo,

por efeito Joule em fio condutores de eletricidade, ou por efeito de aquecimento devido ao

campo de radiação. Estes casos, Figura 3.8, serão considerados neste item.

3.5.1 Aquecimento Uniforme à Taxa q′′′

A incógnita aqui não a taxa total de transferência de calor, pois ela pode ser

determinada multiplicando a taxa de geração pelo volume do corpo. Note que em regime

permanente todo o calor gerado dentro da parede deve ser removido para o reservatório

fluido. A questão é quão aquecido deve se tornar o interior para transferir esta taxa de calor

para os lados. Desde que a incógnita é o campo de temperatura ( )T x , ela pode ser obtida da

equação: 2

2 0d T qdx k

′′′+ = (3.59)

As condições de contorno, para a parede imersa num reservatório fluido à temperatura T∞ e

coeficiente h , serão do tipo

( )q h T T∞′′− = − em 2x L /= − (3.60)

( )q h T T∞′′ = − em 2x L /= (3.61)

O sinal negativo é necessário no lado esquerdo da Eq. (3.60) por que (a) q′′é considerado

positivo quando apontando na direção do eixo x , e (b) na definição de h q′′ é assumido

positivo quando apontando para dentro do fluido. Usando a Lei de Fourier para os fluxos de

calor em ambas as Eqs. (3.60) e (3.61), as condições de contorno de tornam

( )dTk h T Tdx ∞= − em 2x L /= − (3.62)

( )dTk h T Tdx ∞− = − em 2x L /= (3.63)

A solução da Eq. (3.59) tem a forma geral ( )( )222 iT q / k x / C x C′′′= + + . Diferente do

caso sem geração que leva a uma variação linear da temperatura, neste caso o perfil resultante

é parabólico. As constantes de integração podem ser determinadas pelas condições de

contorno (3.62) e (3.63). O resultado da distribuição de temperatura é da forma:

55

( )22

18 2 2

q L x q LT x Tk L / h∞

⎡ ⎤′′′ ′′′⎛ ⎞= + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.64)

A temperatura máxima ocorrerá no centro da parede, ou seja, em 0x = , e será da

forma 2 41

8maxq LT T

k Bi∞

′′′ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.65)

na qual a quantidade adimensional Bi é denominada de número de Biot e é definida como

hLBik

= (3.66)

As temperaturas das faces da parede serão calculadas por

( )2

22 2

q L q L / kT L / T Th Bi∞ ∞

′′′ ′′′± = + = + (3.67)

Pode se ver que quando 1Bi , a temperatura das faces se aproxima da temperatura do

fluido, neste caso, diz que o contato térmico entre a parede sólida e o fluido é bom. No caso

em que 1Bi , o contato entre parede e fluido é pobre e a temperatura das faces se aproxima

da temperatura do plano médio, ou seja, o perfil de temperatura na parede se torna achatado.

Figura 3.8 Distribuição de temperatura em regime permanente devido à geração interna

uniforme em uma placa (a) em um cilindro ou esfera (b).

56

No caso de um corpo cilíndrico sólido; lado direito da Figura 3.8, a distribuição de

temperatura pode ser obtida da equação:

1 0d dT qrr dr dr k

′′′⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.68)

sujeita às seguintes condições de contorno

0dTdr

= em 0r = (3.69)

( )dTk h T Tdr ∞− = − em or r= (3.70)

A solução de (3.68) com as restrições (3.69) e (3.70) é do tipo (demonstre)

( )22

14 2

o o

o

q r q rrT r Tk r h∞

⎡ ⎤⎛ ⎞′′′ ′′′⎢ ⎥= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.71)

No caso de um corpo esférico sólido, a distribuição de temperatura pode ser obtida da

equação:

22

1 0d dT qrr dr dr k

′′′⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.72)

sujeita às seguintes condições de contorno

0dTdr

= em 0r = (3.73)

( )dTk h T Tdr ∞− = − em or r= (3.74)

A solução de (3.72) com as restrições (3.73) e (3.74) é do tipo (demonstre)

( )22

16 3

o o

o

q r q rrT r Tk r h∞

⎡ ⎤⎛ ⎞′′′ ′′′⎢ ⎥= + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.75)

3.5.1 Aquecimento Não Uniforme Dependente da Temperatura

Suponha o caso em que o aquecimento ou taxa de geração não seja uniforme e

dependa da temperatura local. No caso de um condutor elétrico a taxa de geração pode ser

expressa como 2

eq Jρ′′′ = (3.76)

na qual J é densidade de corrente elétrica em (amperes/m2) e eρ é a resistividade do material

que pode ser expressa em função da temperatura na forma

57

( )1e e,o oT Tρ ρ α⎡ ⎤≅ + −⎣ ⎦ (3.77)

Em (3.77) e,oρ é a resistividade na temperatura oT e 1

o

e

T Te,o

ddTρα

ρ =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

é o coeficiente de

temperatura da resistividade.

Considere o caso de um condutor cilíndrico com condutividade térmica constante e

perfeito contato com o ambiente a temperatura oT de modo que a temperatura da superfície

seja a própria temperatura ambiente. Neste caso tem-se as equações:

1 0d dT qrr dr dr k

′′′⎛ ⎞ + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.78)

sujeita às seguintes condições de contorno

0dTdr

= em 0r = (3.79)

oT T= em or r= (3.80)

Em vista das equações (3.76) e (3.77) a Eq. (3.78) pode ser reescrita como

1 21 0d dTr C C Tr dr dr

⎛ ⎞ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.81)

na qual 1C e 2C são duas constantes empíricas do condutor

2

1o

ee,o o

T T

dJC Tk dT

ρρ=

⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2

2o

e

T T

dJCk dT

ρ

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.82)

O interesse neste tipo de problema é determinar a temperatura máxima de tal forma

que o condutor não se torne instável termicamente. Desta forma, uma solução aproximada da

Eq. (3.81) pode ser suficiente para determinação da temperatura máxima. Um perfil de

temperatura da forma

( )2

1o max oo

rT T T Tr

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + − − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(3.83)

Satisfaz as duas condições de contorno (3.79) e (3.80).

Aplicando o operador ( )2

0 0or rdrπ

∫ ∫ à Eq. (3.81) resulta

0

2

1 2 00

2oro

r r

rdTr C C Trdrdr =

⎛ ⎞ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (3.84)

O primeiro termo da equação (3.84) por (3.83) será ( ) ( )2o

max or rrdT / dr T T

=− − . A integral

pode ser também avaliada substituindo (3.83) no terceiro termo de (3.84) e o resultado será

58

( )20

2 2oro o max oTrdr r / T T T /⎡ ⎤= + −⎣ ⎦∫ . Substituindo estes resultados em (3.84) e resolvendo

para max oT T− , obtém-se

( )( )

1 22

2

28

omax o

o

C C TT T

/ r C+

− =−

(3.85)

Analisando o denominador de (3.85), pode-se ver que maxT permanecerá finita apenas

se 22 8 oC / r< . Esta desigualdade deve ser satisfeita se uma distribuição de temperatura em

regime permanente deve existir. Assim uma condição de instabilidade térmica será evitada se 1 23 22

//

o e

kJr ρ

⎛ ⎞< ⎜ ⎟′⎝ ⎠

(3.86)

Se for obtida uma solução exata da Eq. (3.81) a solução será em termos de funções de

Bessel. Neste caso, o fator 3 22 / será substituído por 2,405, valor cerca de 15% menor.

3.6 Superfícies Estendidas (Aletas - Fins)

No projeto de trocadores de calor, muitas vezes se torna necessário melhorar a

eficiência do processo de troca, bem como aumentar a troca de calor. Uma das maneiras de

conseguir tal objetivo é aumentar a área superficial do trocador. Devido a limitações de

tamanho, por exemplo, uma maneira de aumentar a superfície de troca é pelo uso de aletas

que são superfícies estendidas a partir de uma área base. As aletas tem as mais variadas

formas e serão analisadas neste item. Aletas retangulares são ilustradas na Figura 3.9.

Figura 3.9 Aumento da troca de calor na área coberta por aletas.

59

3.6.1 Melhoria da Transferência de Calor

A proposta de melhoria ou aumento de transferência de calor entre uma superfície

sólida e o fluido que a banha é comum em proposições de projetos de térmicos. Para entender

como uma aleta funciona, considera-se, inicialmente, uma superfície plana d(sem aletas) de

área 0A banhada por um fluido com coeficiente de troca h. A temperatura da superfície é bT e

temperatura do fluido é T∞ . Assim a taxa de calor através da superfície pode ser calculada por

( )0 0 bq hA T T∞= − (3.87)

O fluxo de calor na superfície sem aletas (unfinned – u) suposto uniforme em toda

área é definido como 0 0q / A . A taxa de calor na superfície aletada (finned) é definida por q .

O objetivo é ter uma superfície aletada de forma que 0q q> . Isto poder alcançado com aletas

que tenham boa condutividade térmica, de tal forma que a temperatura da superfície da aleta

seja comparável à temperatura da base bT . Uma maneira de medir a melhoria da troca de

calor é através da definição de efetividade global da área projetada da aleta como

( )00 0 b

q qq hA T T

ε∞

= =−

(3.88)

No caso da superfície aletada a área 0A será a soma das áreas sem aletas mais a

projeção das áreas da aletas na base. Designando a área sem aletas por 0 ,uA e a área projetada

da aleta por 0 , fA ; então, tem-se

0 0 0, f ,uA A A= + (3.89)

A taxa de calor para a superfície aletada será estimada como

( )0 0b , f ,u bq q A hA T T∞′′= + − (3.90)

na qual bq′′ é o fluxo de calor médio através da base de um aleta e será o foco de cálculo.

3.6.2 Aletas de Seção Transversal Constante

O caso mais simples de aletas é de aletas de seção transversal constante; Figura 3.10.

Num modelo de condução longitudinal o fluxo de calor na base da aleta pode ser calculado

como

0b

x

dTq kdx =

⎛ ⎞′′ = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.91)

60

Portanto, o cálculo do fluxo de calor requer a determinação da distribuição de temperatura

( )T x na aleta. Considere um elemento de volume de aleta de área superficial p xΔ . Um

balanço de energia neste volume leva a equação

( ) ( ) 0x c x x cq A q A p x h T T+Δ ∞′′ ′′− − Δ − = (3.92)

Figura 3.10 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal constante.

O fluxo de calor em x x+ Δ pode ser expresso como xx x x

dqq q xdx+Δ

′′′′ ′′= + Δ + que

substituído em (3.92) leva à equação

( ) ( ) 0xc

dq xA p x h T Tdx ∞

′′− Δ − Δ − = (3.93)

Usando a Lei de Fourier para expressar xq′′ em função da temperatura resulta

( )2

2 0cd TkA hp T Tdx ∞− − = (3.94)

A Eq. (3.94) expressa o balanço entre o calor que é conduzido e chega à posição x e o que sai

por convecção através da superfície da aleta. A Eq. (3.94) é uma EDO de segunda ordem e

requer portanto duas condições de contorno para sua solução.

61

Aletas Longas. Considere, primeiro, o caso de aleta longa de forma que na sua ponta tem –se

a seguinte condição de contorno:

T T∞→ quando x →∞ (3.95)

A outra condição de contorno é obtida da hipótese de que sua raiz está na mesma temperatura

da parede base, ou seja,

bT T= em 0x = (3.96)

Definido o excesso de temperatura como

( ) ( )x T x Tθ ∞= − (3.97)

a Eq. (3.94) pode ser reescrita como 2

22 0d m

dxθ θ− = (3.98)

sujeita às condições de contorno

bθ θ= em 0x = ( b bT Tθ ∞= − ) (3.99)

0θ → quando x →∞ (3.100)

m é um parâmetro crucial do arranjo aleta-fluido, definido como 1 2/

c

hpmkA

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.101)

A solução Eq. (3.98) é do tipo

( ) ( ) ( )1 2x c exp mx c exp mxθ = − + (3.102)

O uso das condições de contorno leva aos valores das constantes 1c e 2c :

2 10 bc c θ= = (3.103)

A distribuição de temperatura ao longo da aleta será, portanto, expressa como

( ) ( )bx exp mxθ θ= − (3.104)

A temperatura decai exponencialmente da base para a ponta. Da mesma forma o fluxo

convectivo ( )h T T hθ∞− = decai exponencialmente. Uma aleta é considera longa quando a

seguinte restrição é satisfeita

1mL (3.105)

A taxa de calor na base da aleta pode ser calculada como

( )1 2/b b c b cq q A kA hpθ′′= = (3.106)

que mostra como os parâmetros físicos afetam a troca de calor.

62

Aleta de Comprimento Finito com a Ponta Isolada. Muitos projetos não satisfazem o

critério de aleta longa; portanto, a aleta deve ser considerada de comprimento finito. Neste

caso, como a temperatura da ponta da aleta é diferente da temperatura ambiente, a taxa de

calor na ponta da aleta será

( )tip cq hA T L T∞⎡ ⎤= −⎣ ⎦ (3.107)

Um passo intermediário antes deste caso mais geral é considerar a aleta com a ponta

isolada, caso em que se tem

0dTdx

= ou 0ddxθ= em x L= (3.108)

Este caso limite é uma boa aproximação para o caso

b tipq q> (3.109)

A solução geral para este caso tem a forma:

( ) ( ) ( )1 2* *x c senh mx c cosh mxθ = + (3.110)

As condições de contorno (3.99) e (3.108) levam aos valores das constantes

2*

bc θ= e ( )1*

bc tanh mLθ= − (3.111)

Este caso é ilustrado na Figura 3.11. A forma final da solução, após algumas

manipulações, é:

( )( )b

cosh m L xcosh mL

θ θ⎡ ⎤−⎣ ⎦= (3.112)

Figura 3.11 Aleta com a ponta isolada (lado esquerdo) versus aleta com transferência de calor

na ponta ((lado direito)

63

A temperatura na ponta das aleta será

( ) ( )bL

cosh mLθθ = (3.113)

A taxa de calor através da base da aleta será

( ) ( )0

1 2

b cx

/b c

dTq A kdx

kA hp tanh mLθ=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

(3.114)

Pode-se demonstrar que o caso de aleta com a ponta isolada é satisfeito quando

( )

1 21 1

/tip c

b

q hAq senh mL kp

⎛ ⎞= <<⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.115)

Efeito de Transferência de Calor na Ponta. Neste caso, ilustrado, do lado direito da Figura

3.11, a condição de contorno é da forma

c cdkA hAdxθ θ− = em x L= (3.116)

A solução da Eq. (3.98) com as condições de contorno (3.99) e (3.116) é da forma

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )b

cosh m L x h / mk s en h m L xcosh mL h / mk s en h mL

θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

+ (3.117)

A taxa de calor na base, neste caso, pode ser estimada da mesma forma que aleta da

ponta isolada, porém, corrigindo o comprimento, de tal forma que

( ) ( )0

1 2

b cx

/b c c

dTq A kdx

kA hp tanh mLθ=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

=

(3.118)

na qual, o comprimento corrigido, Figura 3.12, é expresso como

cc

AL Lp

= + (3.119)

Por exemplo, para uma aleta plana de espessura t e largura W , cA tW= e

( )2 2p W t W= + ≅ . Neste caso, pode-se mostrar que

2ctL L= + (aleta plana) (3.119)

Para uma aleta de seção cilíndrica de diâmetro D constante tem-se

4cDL L= + (pino ou aleta cilíndrica) (3.119)

64

Figura 3.12 Conceito de comprimento corrigido.

A partir da Eq. (3.117) pode-se obter a derivada da temperatura na forma

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )b

m s en h m L x h / k cosh m L xddx cosh mL h / mk s en h mLθ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −+

(3.120)

A taxa de calor calculada pela expressão exata do gradiente em 0x = seria da forma

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

0

1 2

b cx

/b c

dTq A kdx

senh mL h / mk cosh mLkA hp

cosh mL h / mk sen h mLθ

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

+=

+

(3.121)

Eficiência da aleta versus efetividade da aleta. O parâmetro adimensional que descreve

quão bem são as funções da aleta como uma extensão da superfície da base é a eficiência da

aleta η ( )0 1η< < :

b

c b

qtaxa real de transferencia de calormaxima taxa de transferencia de calor hpLquando toda aleta esta na temperatura

da base

ηθ

= = (3.122)

Usando a Eq. (3.118) obtém-se a eficiência da aleta na forma

( )c

c

tanh mLmL

η = (3.123)

Algumas vezes se usa como abscissa, no lugar de cmL , o parâmetro:

65

1 22 /

chL

kt⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.124)

Alternativamente, se usa a efetividade da aleta como uma medida de sua performance.

A efetividade fε é definida como

bf

c b

qtaxa total de transferencia de calortaxa de transferencia de calor que deveria hA

ocorrer atraves da area da basena ausencia da aleta

εθ

= = (3.125)

Figura 3.13 Eficiência de aletas bidimensionais com perfis retangular, triangular e parabólico.

Se for para a aleta desempenhar sua função de aumento de transferência de calor

apropriadamente, então, fε deve ser maior do que 1. Uma boa aleta tem, portanto, efetividade

maior do sua eficiência. A relação entre elas será

f c

c

pL area total de contato com o fluidoA area da seçao transversal

εη

= = (3.126)

66

A efetividade da aleta é também maior do que a efetividade global baseada na área superficial

projetada. A relação entre 0ε e fε é obtida pela combinação de (3.88), (3.90) e (3.125):

0 00

0 0

, f ,uf

A AA A

ε ε= + (3.127)

3.6.3 Aletas de Seção Transversal Variável

No caso da aleta plana de seção transversal constante, ela é denominada de aleta

retangular, pois olhando lateralmente vê-se um retângulo. Há casos em que a seção transversal

da aleta diminui da base para sua ponta;Figura 3.14. O balanço de energia neste caso leva à

equação:

( ) ( ) 0x x xq q p x h T T+Δ ∞− − Δ − = (3.128)

Após simplificações resultará

( ) 0xdq hp T Tdx ∞− − − = (3.129)

Pelo uso da Lei de Fourier, ( )x cq kA x dT / dx= − chega-se a

( ) 0cd dTkA hp T Tdx dx ∞

⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.130)

Figura 3.14 Condução longitudinal através de uma aleta de seção transversal variável.

67

Para dadas variações de ( )cA x e ( )p x , o objetivo é determinar a taxa de transferência

de calor que passa através da base da aleta:

0b c

x

dTq kA ( x )dx =

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.131)

O resultado final também pode ser quantificado em função eficiência da aleta na forma:

( )b

exp b

qhA T T

η∞

=−

(3.132)

na qual expA é área exposta da superfície da aleta, isto é, a área banhada pelo fluido. No caso

de aletas triangulares e parabólicas, apenas a área da seção transversal varia, mas não o

perímetro. No caso de uma aleta na foram de disco, Figura 3.15, ambos cA e p variam.

Figura 3.15 Eficiência de uma aleta anelar de espessura constante.

68

3.7 Superfícies Estendidas com Movimento Relativo e Geração Interna de Calor

3.7.1 Equação Geral de Condução

O modelo de condução unidimensional da aleta clássica também encontra aplicação no

caso de corpos longos. Considere o caso de um corpo cilíndrico de seção variável que tenha

movimento relativo na direção x com velocidade U e está exposto a convecção num

reservatório fluido; Figura 3.16. Suponha que exista geração interna no corpo. O balanço de

energia neste caso leva à equação:

( ) ( ) 0x x x x x x cq q p x h T T mi mi q A x+Δ ∞ +Δ ′′′− − Δ − + − + Δ = (3.133)

na qual xi é a entalpia especifica do sólido na posição x . Tratando o sólido como

incompressível, tem-se

1xdi cdT dP

ρ= + (3.134)

Para pressão constante, xdi cdT= e, portanto,

( ) xx x x

di dTm i i m x mc xdx dx+Δ− = − Δ = − Δ

Está implícita nesta derivação que a vazão mássica é conservada de uma seção

transversal para outra:

cm A Uρ= (3.135)

Figura 3.16 Conservação da energia num corpo longo com movimento sólido e geração

interna

69

A equação final de balanço de energia fica na forma:

( ) 0c c cd dT dTkA hp T T cA U q Adx dx dx

ρ∞⎛ ⎞ ′′′− − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.136)

3.7.2 Extrusão de Plásticos e Trefilação

Nestes processos de fabricação, após passar pelas matrizes, os corpos se comportam

como superfícies estendidas em movimento relativo, Figura 3.17. Nestes processos pode-se

desprezar a geração interna, e supondo cA e U constantes, resulta para o excesso de

temperatura, a equação: 2

22 0d U d m

dx dxθ θ θ

α− − = (3.137)

As condições de contorno para este caso são:

bθ θ= em 0x = (3.138)

0θ → quando x →∞ (3.139)

Figura 3.17 Distribuição de temperatura ao longo de uma fibra plástica em processo de

extrusão;.

A solução para este problema é imediata e da forma:

( ) bxx expl

θ θ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.140)

70

na qual l é um comprimento característico em que a temperatura do sólido se aproxima da

temperatura do fluido circundante: 12

2

2 2U Ul mα α

−⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.141)

Dois casos limites são de interesse. No limite de altas velocidades, 2U / mα >> , o

comprimento de resfriamento é proporcional à velocidade da fibra plástica:

2

UUmα

≅ 12U

mα⎛ ⎞>>⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.142)

No caso oposto, 2U / mα << , o comprimento de resfriamento aproxima-se de uma constante:

1lm

≅ 12U

mα⎛ ⎞<<⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.143)

Neste último caso, a fibra se comportas como uma aleta longa de seção constante.

3.7.2 Cabos Elétricos

Nestes casos pode desprezar efeitos variação de entalpia e considerar o efeito Joule

como geração interna, que é amortecido via condução no suporte, Figura 3.18. A equação a

ser resolvida neste caso é da forma: 2

22 0d qm

dx kθ θ

′′′− + = (3.144)

sujeita às restrições:

bθ θ= em 0x = (3.145)

valor finitoθ → quando x →∞ (3.146)

A solução para este problema é da forma

( ) ( ) ( )2 1bqx exp mx exp mx

m kθ θ

′′′⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ (3.147)

A interação por condução longitudinal com o suporte 0x = é sempre sentida no comprimento

de fator de escala 1 / m . Além deste comprimento, a temperatura do cabo se torna

independente de x , isto é, ( )2q / m kθ ′′′≅ . Isto mostra que a seção do cabo se torna cada vez

mais quente quando q′′′ cresce. Se o suporte será aquecido ou resfriado pelo cabo depende de

como significativo é o efeito de q′′′ . Pelo cálculo da taxa de transferência de calor através da

71

raiz do cabo (saindo do suporte) pode-se mostrar que o suporte será aquecido pelo cabo

( )0bq < se

1c

b

q Ahpθ′′′

> (3.148)

Quando o valor do grupo grandeza da Eq. (3.148) for unitário, o cabo inteiro estará

isotérmico.

Figura 3.18 Distribuição de temperatura num cabo elétrico com aquecimento volumétrico.

3.8 Determinação experimental do perfil de temperatura em aletas: (Prática 3)

Nesta parte do curso será realizada a segunda prática de laboratório, que trata da

determinação de perfis de temperaturas em aletas (pinos) cilíndricas e cônicas, utilizando

medidores de temperatura do tipo termopares confeccionados na Prática 1. A equação

genérica da distribuição de temperatura em uma aleta pode ser escrita na forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dT x h x dS xd A x T x T

dx dx k dx ∞

⎡ ⎤⎡ ⎤− − =⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦; b tx x x≤ ≤ (3.149)

na qual ( ) ( ) ( )( )1

A xT x T x dA

A x= ∫ ; ( )A x é a área da seção transversal da aleta; ( )dS x é um

elemento de área superficial da aleta. Definindo as variáveis adimensionais seguintes:

0

xXl

= ; ( ) ( )b

T x Tx

T Tθ ∞

∞

−=

−; ( ) ( )

0

A xK X

A= ; ( ) ( ) ( )

0

h x dS xW X

p h dx= ; 0

* lλ λ= (3.150)

72

com

0A = uma área de referência,

h = coeficiente médio de transferência de calor convectiva,

0l = comprimento de referência,

2 0

0

hpkA

λ =

0p = perímetro de referência;

E sabendo que ( )dS x / dx p( x )= , obtém-se

( ) ( ) ( ) ( )2 0*d Xd K X W X XdX dX

θλ θ

⎡ ⎤− =⎢ ⎥

⎣ ⎦ (3.151)

As condições de contorno consideradas são:

( ) 1Xθ = em bX X= (3.152a)

( ) 0d X

dXθ

= em tX X= (3.152b)

Existem várias técnicas para se obter a solução das Eqs. (3.151)-(3.152). Por exemplo,

uma técnica de solução analítica conhecida como Técnica de Transformada Integral pode ser

usada para solução. Se for admitida uma razão de áreas na forma:

( ) ( ) 1 2

0

mA xK X X

A−= =

e

( ) ( )2 2 2 2cW X c n X K X−=

resultará a equação genérica

( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 22

1 2 0* cd X d Xm n c X XdX X dXθ θ

λ θ−−+ − = (3.153)

A Eq. (3.153) é um caso especial da equação conhecida como equação generalizada de

Bessel. No caso de pinos, ilustrado na Figura 3.19, a área da seção transversal e o perímetro

serão:

73

( ) ( ) 2 20 bA x r x ; A rπ π⎡ ⎤= =⎣ ⎦ (3.154a)

( ) ( ) 02 2 bp x r x ; p rπ π= = (3.154b)

Figura 3.19 Pino de seção arbitrária.

Neste caso definindo o raio adimensional e tomando 0l b= resultara

( ) ( )b

r x xR X , Xr b

= = (3.155a)

Consequentemente, para origem na ponta do pino (spine)

0 1t bX , X= = (3.155b)

e

1 22

/*

b

h bkr

λ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.156a)

( ) ( ) ( ) ( )2K X R X , W X R X⎡ ⎤= =⎣ ⎦ (3.156b, c)

A taxa de calor na base do pino será

( )2 1bb b

dT Tq k rb dX

θπ ∞−

= (3.157a)

E a máxima taxa de calor ocorreria se toda a superfície da aleta estivesse na temperatura da

base

74

( ) ( )1

02max b bq r b R X h T T dXπ ∞= −∫ (3.157b)

A eficiência da aleta pode ser estimada como

( )( )

120

11b*

max

dqq dXR x dX

θη

λ= =

∫ (3.158)

3.8.1 Pino cilíndrico

No caso do pino cilíndrico, Figura 3.20, a seção transversal será constante e, portanto,

pode-se mostrar que

( ) br x r= ou ( ) 1R X = , (3.159a, b)

( ) 1K X = , ( ) 1W X = (3.159c, d)

Figura 3.20 Aleta ou barra ou pino cilíndrico.

Em tal caso a Eq. (3.151) ficará idêntica à equação da aleta retangular de seção constante, cuja

solução com as condições de contorno (3.152) já foi obtida e é da forma

( ) ( )( )

*

*

cosh XX

cosh

λθ

λ= (3.160)

A eficiência da aleta será

75

( )*

*

tanh λη

λ= (3.161)

com

1 22

/*

b

h bkr

λ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.156a)

3.8.2 Pino cônico

No caso do “espinho” (spine) cônico, Figura 3.21, o raio da seção transversal será da

forma

( ) bxr x rb

= ou ( ) ( )b

r xR X X

r= = (3.162a)

Consequentemente,

( ) 2K X X= , ( )W X X= (3.162b, c)

Figura 3.21 Pino (spine) cônico

A Eq. (3.151) em tal caso ficará na forma

( ) ( ) ( )2 2

2

2 0*d X d X

XdX X dX Xθ θ λ θ+ − = (3.163)

76

que quando comparada com a Eq. (3.153) podemos concluir que

12

m = − , 12

c = , 2n = , 1mc= − (3.164)

Em tal caso a solução da equação de Bessel (3.163) será da forma:

( )( )( )

1

1

212

*

*

I XX

X I

λθ

λ= (3.165)

Na qual 1I é a função de Bessel modificada de primeiro tipo e ordem 1.

No caso quando 0X = , ponta do pino, aparece uma indeterminação do tipo 00

. Pela

regra de L´Hôpital pode mostrar então que

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

1

0 1

0 21

212

2 22

*

*X

** *

*

dI X / d X

I d X / d X

I X I XI

limλ

λ

λ λ λλ

θ→

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

= (3.166a)

Na qual 0I e 2I são funções de Bessel modificadas de primeiro tipo de ordem 0 e 2

respectivamente. ( )0 0 1I = e ( )2 0 0I = . Portanto,

( ) ( )1

02

*

*Iλθλ

= (3.166b)

A eficiência do pino cônico pode ser calculada na forma

( )( )

2

1

222

*

* *

I

I

λη

λ λ= (3.167)

3.8.3 Aparato experimental para medida de temperaturas em superfícies estendidas

O aparato experimental no laboratório de Transferência de Calor é constituído por

quatro barras de secção circular, três de alumínio de comprimentos e diâmetros diferentes e

uma de aço inox, além de um pino cônico de alumínio. Estes dados são mostrados na Tabela

3.1. Os pontos de leitura de temperaturas são indicados na Tabela 3.2.

77

Tabela 3.1 - Características das aletas do Lab. TCM, DEM, UNESP – Ilha Solteira.

Barra Material Dimensões Condutividade

Térmica

k[W/mk]

L [mm] D[in]

1 Alumínio 500 5/8 237

2 Alumínio 1000 5/8 237

3 Alumínio 1000 1 237

4 Aço Inox 1000 1 15,1

Tabela 3.2 – Posições ao longo da barra em que as temperaturas são medidas

Barra Distância [mm]

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

1 0 35 85 135 210 385 489 - - -

2 0 35 85 135 210 410 545 695 845 989

3 0 35 85 135 210 410 545 695 845 989

4 0 35 85 135 210 410 545 695 845 989

Para se calcular a transferência de calor por convecção da barra par o ar ambiente

pode-se se usar correlações para estimativa de h. No caso de convecção natural, pode-se usar

a correlação de Churchill & Chu (1975), que é da forma:

( )

2

1 6

8 279 16

0 3870 61 0 559

/D

//

hD , Ra,k , / Pr

⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎨ ⎬

⎡ ⎤⎪ ⎪+⎣ ⎦⎩ ⎭

(3.168)

78

na qual o número de Rayleigh é definido como ( ) 3D s

gRa T T Dβαν ∞= − ; com as propriedades

do ar: Pr, k, α, β, ν avaliadas na temperatura de filme ( ) 2f sT T T /∞= + . A taxa de calor por

convecção pode ser estimada como

( )( )0

Lq h( x ) T x T Ddxπ∞= −∫ (3.169)

Para facilitar os cálculos pode-se organizar os dados, para cada posição x, como na

Tabela 3.3 a seguir.

Tabela 3.3 – Organização dos dados para cálculo de h

Barra Posição - x

Tf(x) k ν α β Pr gβ/αν RaD ( )h x q

1

2

3

4