3. Exemplos - UFMGcpdee.ufmg.br/~palhares/aula3_tsl.pdf · Descri¸cão Matemática de Sistemas Sistema u(t) y(t) B Para a representação do sistema tendo entradas e sa´ıdas

Modelagem Matematica de Sistemas

1. Descricao Matematica de Sistemas

2. Descricao Entrada-Saıda

3. Exemplos

c©Reinaldo M. Palharespag.1 Teoria de Sistemas Lineares – Aula 3

Descricao Matematica de Sistemas

Sistemau(t) y(t)

B Para a representacao do sistema tendo entradas e saıdas como acima;

assume-se que para uma certa excitacao u(t) (entrada) obtem-se uma unica

resposta y(t) (saıda)

I Ja sabemos: 1 entrada/1 saıda: monovariavel ou SISO (Single input - single

output)

I +1 entrada/+1 saıda: multivariavel ou MIMO (Multiple input - multiple

output)



· · ·· · ·

u1u2

up

y1

y2

yq

u′ =[

u1 u2 · · · up

]

; y′ =[

y1 y2 · · · yq

]

I Sistemas Contınuos no Tempo

u = u(t) ; y = y(t) : funcoes do tempo t ∈ (−∞, ∞)

I Sistemas Discretos no Tempo

u = u(k) ; y = y(k) : sequencias k ∈ Z


Relembrando...

Ã Sistemas com parametros concentrados: numero finito de variaveis de estado

Ã Sistemas com parametros distribuıdos. Eg, sistema com atraso unitario:

y(t) = u(t−1)

u(t)

y(t)

0 t01 t

Estado: u(t), t0−1 ≤ t < t0 (infinitos pontos)


Relembrando...

Ã Se u(t) ≡ 0, t ≥ t0: resposta a entrada nula

Ã Se x(t0) = 0: resposta ao estado nulo

x(t0)

u(t) ≡ 0, t ≥ t0

−→ yent. nula(t), t ≥ t0

x(t0) = 0

u(t), t ≥ t0

−→ yest. nulo(t), t ≥ t0


Relembrando... Descricao Entrada-Saıda

Sistemas SISO — Funcao Pulso

t1 t1 + ∆

∆

t

1/∆ δ∆(t−t1) =

0 , t < t1

1/∆ , t1 ≤ t < t1 + ∆

0 , t ≥ t1 + ∆

δ(t − t1) , lim∆→0

δ∆(t − t1) : funcao pulso ou Delta de Dirac

I PropriedadesZ +∞

−∞

δ(t − t1)dt =

Z t1+ε

t1−ε

δ(t − t1)dt = 1 , ∀ ε > 0

Z +∞

−∞

f(t)δ(t − t1)dt = f(t1) , ∀ f(t) contınua em t1


Relembrando... Descricao Entrada-Saıda

ti

u(ti)

u(ti)δ∆(t − ti)∆

t

u(t)

Entrada: u(t) ∼=∑

i u(ti)δ∆(t − ti)∆


Descricao Entrada-Saıda

I Considere g∆(t, ti) a saıda no instante t do sistema excitado pelo pulso

u(t) = δ∆(t − ti) aplicado no instante ti. Entao

δ∆(t − ti)gera−→ g∆(t, ti)

δ∆(t − ti)u(ti)∆gera−→ g∆(t, ti)u(ti)∆ (homogeneidade)

∑

i

δ∆(t − ti)u(ti)∆gera−→

∑

i

g∆(t, ti)u(ti)∆

︸︷︷︸

≈ Saıda: y(t)

(aditividade)

I Quando ∆ → 0 o pulso δ∆(t − ti) tende ao impulso aplicado em ti,

denotado δ(t − ti), e a saıda correspondente e dada por g(t, ti)



Resposta ao Impulso

y(t) =

∫ +∞

−∞

g(t, τ )u(τ )dτ

I Sistema Causal ⇐⇒ g(t, τ ) = 0 para t < τ

I Sistema Relaxado em t0 ⇐⇒ x(t0) = 0

Ã Sistemas causais e relaxados em t0

y(t) =

∫ t

t0

g(t, τ )u(τ )dτ



B Se o sistema linear e invariante no tempo e relaxado em t = 0, entao:

g(t, τ ) = g(t + T, τ + T )︸︷︷︸

deslocado...

= g(t − τ, 0)︸︷︷︸

instante inicial nulo

= g(t − τ )

Integral de Convolucao

y(t) =

∫ t

0

g(t − τ )u(τ )dτ =

∫ t

0

g(τ )u(t − τ )dτ

Ã g(t): resposta ao impulso aplicado em t = 0

Ã Sistema causal invariante no tempo: g(t) = 0 para t < 0



Sistema MIMO

y(t) =

∫ t

t0

G(t, τ )u(τ )dτ

Gq×p(t, τ ) =

g11(t, τ ) g12(t, τ ) · · · g1p(t, τ )

g21(t, τ ) g22(t, τ ) · · · g2p(t, τ )...

......

gq1(t, τ ) gq2(t, τ ) · · · gqp(t, τ )

Sistema com p entradas e q saıdas

gij(t, τ ) : resposta no instante t na i-esima saıda devida ao im-

pulso aplicado no instante τ na j-esima entrada

G(·, τ ) : matriz de resposta ao impulso



Matriz Funcao de Transferencia

As integrais de convolucao sao substituıdas por equacoes algebricas via Laplace...

Y (s) =

∫∞

0

(∫∞

0

G(t − τ )u(τ )dτ

)

e−stdt

=

∫∞

0

(∫∞

0

G(t − τ )e−s(t −τ)dt

)

u(τ )e−sτ dτ

=

∫∞

0

G(v)e−svdv

∫∞

0

u(τ )e−sτ dτ

, G(s)U(s)

G(s): Transformada de Laplace da matriz resposta ao impulso G(t)

I Se p = q = 1 (SISO) → Funcao de Transferencia

I Exige que o sistema esteja relaxado em t = 0



Exemplo Circuito RLC serie com R = 3Ω, L = 1H, C = 0.5F

u(t)

R

i

L

C++

−

−

y(t)

8

>

>

<

>

>

:

u(t) = Ri(t) + L di(t)dt

+ y(t)

C dy(t)dt

= i(t)

Relaxado: ie, condicoes iniciais nulas (y(0) = y(0) = 0):

LCs2Y (s) + RCsY (s) + Y (s) = U(s) ⇒Y (s)

U(s)=

1

LCs2 + RCs + 1

Y (s)

U(s)=

2

(s + 1)(s + 2)=

2

s + 1−

2

(s + 2)= G(s)



I Resposta ao Impulso:

g(t) = 2e−t − 2e−2t , t ≥ 0

I Para uma entrada qualquer tem-se

y(t) =

∫ t0

−∞

g(t − τ )u(τ )dτ +

∫ t

t0

g(t − τ )u(τ )dτ , t ≥ t0

e

Z t0

−∞

g(t − τ)u(τ)dτ = 2e−t

Z t0

−∞

eτ u(τ)dτ − 2e−2t

Z t0

−∞

e2τ u(τ)dτ

= 2e−t c1 − 2e−2t c2 , t ≥ t0

Determinacao de c1 e c2?



Determinacao de c1 e c2

y(t0) = 2e−t0c1 − 2e−2t0c2

y(t0) = −2e−t0c1 + 4e−2t0c2

I Se y(t0) (tensao no capacitor) e Cy(t0) (corrente no indutor) forem

conhecidas, entao a saıda pode ser unicamente determinada para t ≥ t0 mesmo

que o sistema nao esteja relaxado em t0

y(t0), y(t0) , c1, c2 → Estado do Circuito em t0

I Note que a informacao (estado) necessaria para determinar unicamente a

resposta do sistema nao e unica, e que pode haver redundancia....


Funcoes Racionais em s

Para G(s) = N (s)D(s)

Ã G(s) e estritamente propria ⇔ grau de D(s) > grau de N(s) ⇔ G(∞) = 0

Ã G(s) e propria ⇔ grau de D(s) = grau de N(s) ⇔ G(∞) = constante 6= 0

Ã G(s) e impropria ⇔ grau de D(s) < grau de N(s) ⇔ | G(∞) | = ∞

Ã p ∈ C e um polo de G(s) =N(s)

D(s)se | G(p) | = ∞

Ã z ∈ C e um zero de G(s) =N(s)

D(s)se | G(z) | = 0


Funcoes Racionais em s

Ã Se D(s) e N(s) sao coprimos (isto e, nao possuem fatores comuns de grau

1 ou maior), todas as raızes de N(s) sao zeros de G(s) e todas as raızes de

D(s) sao polos de G(s):

G(s) = k(s − z1)(s − z2) · · · (s − zm)

(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)

Ã Propria se G(s) = constante, Estritamente Propria se G(s) = 0, Bipropria

se G(s) quadrada com G(s) e G(s)−1 proprias


Linearizacao

Ã via Jacobiano

Ã A linearizacao nem sempre se aplica: para alguns sistemas nao lineares, uma

diferenca infinitesimal nas condicoes iniciais pode gerar solucoes completamente

diferentes (hipersensibilidade as condicoes iniciais, caos)...

Exemplo MolaForca

rompimentoy

y

y = 0

y1

y2

Comportamento linear para deslocamentos no intervalo [y1, y2]



Sistema Massa-Mola

u1 u2

y1y2

k1 k2k3

m1 m2

Assumindo que nao ha atrito:

m1y1 = u1 − k1y1 − k2(y1 − y2)

m2y2 = u2 − k3y2 − k2(y2 − y1)



Combinando:

m1 0

0 m2

y1

y2

+

k1 + k2 −k2

−k2 k2 + k3

y1

y2

=

u1

u2

Espaco de Estado – definem-se x1 , y1, x2 , y1, x3 , y2, x4 , y2:

x ,[

x1 x2 x3 x4

]′



x =

2

6

6

6

6

6

4

0 1 0 0

−(k1 + k2)/m1 0 k2/m1 0

0 0 0 1

k2/m2 0 −(k3 + k2)/m2 0

3

7

7

7

7

7

5

x +

2

6

6

6

6

6

4

0 0

1/m1 0

0 0

0 1/m2

3

7

7

7

7

7

5

2

4

u1

u2

3

5

y ,

2

4

y1

y2

3

5 =

2

4

1 0 0 0

0 0 1 0

3

5 x

B Duas entradas, duas saıdas...



Descricao Entrada Saıda – Aplicando a Transformada de Laplace (condicoes

iniciais nulas):

m1s2Y1(s) + k1Y1(s) + k2 (Y1(s) − Y2(s)) = U1(s)

m2s2Y2(s) + k3Y2(s) + k2 (Y2(s) − Y1(s)) = U2(s)

Matriz de Transferencia:

2

6

4

Y1(s)

Y2(s)

3

7

5=

2

6

6

4

m2s2 + k3 + k2

d(s)

k2

d(s)

k2

d(s)

m1s2 + k1 + k2

d(s)

3

7

7

5

2

6

4

U1(s)

U2(s)

3

7

5

com

d(s) , (m1s2 + k1 + k2)(m2s2 + k3 + k2) − k22



B Se k2 = 0 ⇒ dois sistemas desacoplados com matriz de transferencia

bloco-diagonal:

Y1(s) =1

m1s2 + k1

U1(s) ; Y2(s) =1

m2s2 + k2

U2(s)

B A matriz de transferencia pode ser obtida elemento a elemento, fazendo-se

inicialmente U1(s) = 0 e depois U2(s) = 0 ⇒ para sistemas lineares basta

considerar o princıpio da superposicao...



Exemplo Carrinho com Pendulo Invertido

H

V

θ

u

y

l

M

m

mg

Assume-se que o movimento se da no plano e desprezam-se o atrito e a massa da haste.

O objetivo e manter o pendulo na posicao vertical (modelo simplificado do lancamento

de um foguete espacial)



I H, V : forcas horizontal e vertical exercidas pelo carro no pendulo

I Em relacao a M : Md2y

dt2+ H = u ⇒ M

d2y

dt2= u − H

I Em relacao a m:

8

>

<

>

:

md2

dt2(y + l sin(θ)) = H : Horizontal

mg = md2

dt2(l cos(θ)) + V : Vertical

⇒ H = my + mlθcos θ − mlθ2sin θ

⇒ mg − V = −mlθsin θ − mlθ2cos θ

I Movimento rotacional da massa m:

ml2θ = mglsin θ + V lsin θ − Hlcos θ



B Note que as equacoes sao nao-lineares. Porem para pequenas variacoes de

angulo, pode-se assumir que θ e θ sao pequenos (pendulo na posicao vertical):

sin θ ∼= θ ; cos θ ∼= 1 ; θ2, θ2, θθ, θθ → 0

∴ V = mg ; H = my + mlθ

My = u − my − mlθ

ml2θ = mglθ + mglθ −(

my + mlθ)

l

Re-escrevendo (e cancelando m e l na 2a. eq.):

(M + m) y + mlθ = u

2lθ − 2gθ + y = 0



B Transformada de Laplace (condicoes iniciais nulas):

(M + m) s2Y (s) + mls2Θ(s) = U(s)(2ls2 − 2g

)Θ(s) + s2Y (s) = 0

Gyu(s) =Y (s)

U(s)=

2ls2 − 2g

s2[

(2M + m)ls2 − 2g(M + m)]

Gθu(s) =Θ(s)

U(s)=

−1

(2M + m)ls2 − 2g(M + m)



B Definindo x1 = y, x2 = y, x3 = θ, x4 = θ

x ,[

x1 x2 x3 x4

]′

Resolvendo as equacoes para y e θ:

y = −2gm

2M + mθ +

2

2M + mu

θ =2g(M + m)

(2M + m)lθ −

1

(2M + m)lu



Equacoes de Estado

x =

0 1 0 0

0 0−2mg

2M + m0

0 0 0 1

0 02g(M + m)

(2M + m)l0

x +

0

2

2M + m

0

−1

(2M + m)l

u

y =[

1 0 0 0]

x



Conexao em paralelo:

+u

u1

u2

S1

S2

y1

y2

y = y1 + y2



Conexao em cascata:

S1 S2

u1 y2

y1 = u2

Conexao com realimentacao:

S1

S2

u1 y1

y2

y+

−

u

u2


Representacao em Espaco de Estados

S1

x1 = A1x1 + B1u1

y1 = C1x1 + E1u1

S2

x2 = A2x2 + B2u2

y2 = C2x2 + E2u2

Conexao em paralelo:

x1

x2

=

A1 0

0 A2

x1

x2

+

B1

B2

u

y =[

C1 C2

]

x1

x2

+ (E1 + E2)u



Conexao em cascata:

x1

x2

=

A1 0

B2C1 A2

x1

x2

+

B1

B2E1

u

y =[

E2C1 C2

]

x1

x2

+ E2E1u




Escreva as relacoes entrada-saıda... Veja:

u1 = u−y2

= u−C2x2 − E2u2

= u − C2x2 − E2y1

= u − C2x2 − E2[C1x1 + E1u1]

= u − C2x2 − E2C1x1 − E2E1u1

ou

(I + E2E1) u1 = u − C2x2 − E2C1x1, define-se: L1 , (I + E2E1)−1

u1 = L1u − L1C2x2 − L1E2C1x1



Entao substituindo u1:

x1 = A1x1 + B1L1u − B1L1C2x2 − B1L1E2C1x1

= (A1 − B1L1E2C1) x1 − B1L1C2x2 + B1L1u



Repetindo os mesmos passos para u2:

u2 = y1

= C1x1 + E1u1

= C1x1 + E1(u − y2)

= C1x1 + E1(u − C2x2 − E2u2)

= C1x1 + E1u − E1C2x2 − E1E2u2

ou

(I + E1E2) u2 = C1x1 + E1u − E1C2x2, define-se: L2 , (I + E1E2)−1

u2 = L2C1x1 + L2E1u − L2E1C2x2



Entao substituindo u2:

x2 = A2x2 + B2L2C1x1 + B2L2E1u − B2L2E1C2x2

= (A2 − B2L2E1C2) x2 + B2L2C1x1 + B2L2E1u

em relacao a y:

y = y1

= C1x1 + E1 (u − y2)

= C1x1 + E1u − E1C2x2 − E1E2y

(I + E1E2) y = C1x1 + E1u − E1C2x2

y = L2C1x1 + L2E1u − L2E1C2x2




8

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

:

2

4

x1

x2

3

5 =

2

4

A1 − B1L1E2C1 −B1L1C2

B2L2C1 A2 − B2L2E1C2

3

5

2

4

x1

x2

3

5 +

2

4

B1L1

B2L2E1

3

5 u

y =h

L2C1 −L2E1C2

i

2

4

x1

x2

3

5 + L2E1u

L1 , (I + E2E1)−1 ; L2 , (I + E1E2)

−1 , L1 e L2 devem existir


Representacao na Frequencia

Faca: G1(s) ↔ S1 e G2(s) ↔ S2

Conexao em paralelo: G1(s) + G2(s)

Conexao em cascata: G2(s)G1(s)

Conexao com realimentacao: Sejam G1(s) e G2(s) matrizes racionais proprias

de S1 e de S2. Entao, se det(Iq + G1G2) 6= 0 (condicao necessaria para a

conexao)

G(s) = G1(s)(Ip + G2(s)G1(s))−1 = (Iq + G1(s)G2(s))

−1G1(s)


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