3-MEF_Int

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(2014/2015)

Análise Estrutural Avançada

MEF – Método dos elementos finitos

Análise estrutural avançada (2014/2015)

Introdução

Esquema genérico d um problema de engenharia

Problema de

engenharia

Modelo

matemático

Modelo

Experimental

Análise dos

resultados

Apresentção de

resultados

Projeto

Modificação do modelo

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Introdução

Na engenharia de estruturas os

problemas são essencialmente

de natureza contínua

• Solução em termos de um número finitos de parâmetros –

SISTEMAS DISCRÉTOS

• Solução analítica (em termos de equações diferenciais ou

proposições equivalentes) - SISTEMAS CONTÍNUOS

A utilização de computadores permitiu :

• Resolução de problemas discretos com um grande número de parâmetros

• Desenvolvimento de métodos de discretização do contínuo – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS


Breve história do MEF

A discretização de problemas contínuos tem sido realizada por matemáticos e engenheiros:

• Os matemáticos desenvolvendo técnicas aplicáveis às equações diferenciais que regem o

problema (diferenças finitas, métodos dos resíduos pesados, etc.)

• Os engenheiros criando analogias entre elementos discretos e parcelas dos domínios

contínuos.

A evolução:

• McHenry e Newmark (1940) – Substituíram pequenas parcelas do contínuo por sistemas de barra;

• Argyris (1955) e Turner (1956) – consideraram que pequenas porções do contínuo ou “elementos”

se comportavam de um modo simplificado;

• Clough (1960) – Introduziu a designação de elementos finitos.

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Breve história do MEF

• O MEF só tem utilidade prática se se dispuser de um computador digital.

• Grande quantidade de cálculos que é necessário realizar (resolução de grandes sistemas de

equações lineares).

• O rápido desenvolvimento do MEF coincidiu com a generalização da utilização de

computadores nos centros de investigação.

• No final da década de 80 e na década de 90, o MEF chega finalmente às mãos da generalidade

dos projectistas de estruturas.

Permitindo a banalização de análise de estruturas de geometria arbitrária,

constituídas por múltiplos materiais e sujeitas a qualquer tipo de carregamento


Campo de aplicação

Na Engenharia Mecânica é tradicional estudam-se estruturas limitadas:

- Vigas,

- Pórticos,

- Treliças,

- Grelhas.

Estruturas reticuladas - são constituídas por barras prismáticas cuja secção transversal apresenta

dimensões muito inferiores ao comprimento do seu eixo.

Estruturas

RETICULADAS

Com o MEF é possível estudar para além das estruturas reticuladas, as estruturas como meios contínuos:

- Paredes,

- Lajes,

- Cascas,

- Sólidos.

Estruturas

NÃO RETICULADAS

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A formulação do MEF pode ser baseada no método dos deslocamentos. Associado ao método dos

deslocamentos surgem muitos conceitos que se supõe que o leitor já domina no âmbito das estruturas

reticuladas, como por exemplo as noções de:

• Grau de liberdade,

• Deslocamento generalizado,

• Força generalizada,

• Matriz de rigidez,

• Vector solicitação,

• Assemblagem,

• Introdução de condições de apoio.

Nas estruturas reticuladas surgem já muitos conceitos que são comuns à generalidade das estruturas,

tais como:

• Equilíbrio,

• Compatibilidade,

• Tensão,

• Deformação,

• Relação entre tensão e deformação, etc..



• Vigas

• Elasticidade plana e tridimensiomal

• Lajes cascas

• Etc…

Estruturas

• Percolação

• Maciços rochosos

• Maciços terrosos

• Etc…

Geotecnia

• Propagação de calor

• Escoamento de fluídos

• Eletromegnetismo

• Etc…

Outras áreas

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Aspetos gerais do métodos (MEF)

• Domínio (características e propriedades);

• Condições fronteira

• Solicitação

• Campo dos deslocamentos

• Campo das tensões

Resolução

𝑑𝑉𝑣𝑖

i

Divisão do domínio contínuo:

D

𝑑𝑉𝑣= 𝑑𝑉

𝑣𝑖

𝑛

𝑖=1

Descrição do

domínio é

obtida à custa

• Caracterização de cada

elemento (geometria e

propriedades materiais)

• Ligações entre elementos

O nº e tipo de elementos depende da

aproximação pretendida • Aumentando o nº de elementos

• Utilizando elementos de ordem mais elevada

> Precisão


Formulação através dos deslocamentos

𝑢 = 𝑁𝑖 𝑢𝑖

A formulação através dos deslocamentos impõe a aproximação no campo dos

deslocamentos, sendo as incógnitas os deslocamentos, ou as suas derivadas, em

determinados pontos do elemento, os pontos nodais, ou nós.

Considere-se que a função u, que aproxima o campo dos deslocamentos numa direção,

são os deslocamentos ui, nessa direção, de n pontos do elemento, então:

Adotam-se para Ni funções do tipo

polinomial

u3

u2u1

u4

Pui

Campo de deslocamentos de um elemento de 4 nós

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u = 𝑁 𝑎

Fazendo ui =1 ressalta o significado de Ni, que representa ssim a deformação do elemento

quando se impõe um deslocamento unitário no nó i.

Por estas funções terem um significado particular de

dignam-se por FUNÇÕES DE FORMA

ui=1


{u } – Vetor deslocamento de um ponto genérico do elemento;

[N] – Matriz das funções de forma;

{a} –vetor dos deslocamentos nodais.


Elementos (MEF)

• O número de nós o elemento

depende do grau de aproximação

da função e também da geometria

que interessa modelar.

• A utilização de elementos de

ordem mais elevada permite uma

maior precisão

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Relações ao nível do elemento

• Relações entre deslocamentos e deformações (relações geométricas);

• Relações entre deformações e tensões (relações constitutivas);

• Equações que caracterizam as condições de equilíbrio (equações que regem o fenómeno).

Da mecânica estrutural tem-se:

Relações entre deslocamento e deformação

𝜀 = 𝐿 𝑢

{e} – Vetor das deformações do ponto genérico que tem o deslocamento {u} ;

[L] – Operador diferencial;



Relações entre deslocamento e deformação

𝜀𝑥𝜀𝑦𝜀𝑧𝛾𝑥𝑦𝛾𝑦𝑧𝛾𝑥𝑧

=

𝑑𝑑𝑥 0 0

0 𝑑𝑑𝑦 0

0 0 𝑑𝑑𝑧

𝑑𝑑𝑦 𝑑

𝑑𝑥 0

0 𝑑𝑑𝑧 𝑑

𝑑𝑦

𝑑𝑑𝑥 0 𝑑

𝑑𝑥

∙𝑢𝑣𝑤

[L]

Caso da Elasticidade a três

dimensões

(domínio das pequenas

deformações)

Resultando:

𝜀 = 𝐿 𝑢 = 𝐿 𝑁 𝑎 = 𝐵 𝑎

Matriz das deformações

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Relações entre deformações e tensões (relação constitutiva do material).

𝐷 =𝐸 1 − υ

1 + υ 1 − 2υ

1υ

1 − υ

υ

1 − υ1 − 2υ

2 1 − υ1

υ

1 − υ1 − 2υ

2 1 − υ1

1 − 2υ

2 1 − υ1 − 2υ

2 1 − υ

1 − 2υ

2 1 − υ

0 0

0

1 − 2υ

2 1 − υ0

1 − 2υ

2 1 − υ0

1 − 2υ

2 1 − υ

Caso de corpos linearmente

elásticos, isotrópicos e

tridimensionais.

E – Módulo de elasticidade

υ – Coeficiente de Poisson

1 υ

1 − υ υ

1 − υ 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 − 2υ

2 1 − υ 0 0

1 − 2υ

2 1 − υ 0

1 − 2υ

2 1 − υ

SIM.



Equações regentes do fenómeno em estudo

Equações que estabelecem o equilíbrio em qualquer ponto do domínio..

A sua consideração no MEF pode ser feita através da aplicação do princípio

dos trabalhos virtuais (PTV) em que os campos dos deslocamentos virtuais

são obtidos impondo um deslocamento unitário em cada uma das direções

nodais, conduzindo a:

𝐾 𝑎 = 𝑓 {f} – Vetor das forças nodais estaticamente equivalentes às forças de volume e de superfície

aplicadas ao elemento ;

[K] – Matriz de rigidez.

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Exemplo (MEF)

Consola curta: malha de elementos

finitos e acção exterior


Exemplo (MEF)

Consola curta: malha deformada

representada sobre a estrutura

indeformada

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Exemplo (MEF)

Consola curta: tensões principais e

respectivas direcções.


Exemplo (MEF)

Consola curta: campo de

deslocamentos verticais.

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Exemplo (MEF)

Consola curta: campo de tensões

normais segundo um eixo vertical.


Bibliografia

• Delgado, R. – Texto de apoio às aulas de Método dos Elementos Finitos. Faculdade de

engenharia da Universidade do Porto. 1990, Porto, Portugal.

• Azevedo, A. – Livro - Método dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da Universidade

do Porto. Abril 2003, Porto, Portugal.

• Azevedo, A. – Apresentação -Método dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da

Universidade do Porto. Abril 2003 Porto, Portugal.

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