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3. MESO E INFRAESTRUTURAS DE PONTES 3.1. Considerações iniciais A meso e infraestruturas das pontes são as responsáveis pelo suporte da superestrutura e pela sua fixação ao terreno, transmitindo a ele os esforços correspondentes a essa fixação. Pode-se dizer que enquanto a super é essencialmente responsável pelo transporte horizontal das cargas, está a cargo da meso o transporte vertical das mesmas e da infra, sua transmissão ao terreno. 3.2. Nomenclatura O esquema abaixo fixa a nomenclatura usualmente adotada para descrever cada um desses elementos. APARELHO DE APOIO FUNDAÇÃO RASA (SAPATA) FUNDAÇÃO PROFUNDA (BLOCO C/ ESTACAS) SUPER MESO INFRA Pilares Encontros Ap. Apoio Fundações Tabuleiro PILAR ENCONTRO Vigas Fig.1 Nomenclatura dos elementos das pontes 3.3. Tipos estruturais 3.3.1. Tipos de aparelhos de apoio – vinculação super x meso Nó de pórtico MONOLÍTICA FIXA MÓVEL Unidirecional Multidirecional Teflon sobre inox LIGAÇÃO ARTICULAÇÃO ARTICULAÇÃO Fig.2 Tipos de aparelhos de apoio

3. MESO E INFRAESTRUTURAS DE PONTES - … meso e infra.pdfFoi preciso encontrar uma borracha que ... há aumento de rigidez e resistência. ... Verificação das espessuras de aço

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3. MESO E INFRAESTRUTURAS DE PONTES

3.1. Considerações iniciais

A meso e infraestruturas das pontes são as responsáveis pelo suporte da superestrutura

e pela sua fixação ao terreno, transmitindo a ele os esforços correspondentes a essa fixação.

Pode-se dizer que enquanto a super é essencialmente responsável pelo transporte horizontal

das cargas, está a cargo da meso o transporte vertical das mesmas e da infra, sua transmissão

ao terreno.

3.2. Nomenclatura

O esquema abaixo fixa a nomenclatura usualmente adotada para descrever cada um

desses elementos.

APARELHODE APOIO

FUNDAÇÃO RASA

(SAPATA)FUNDAÇÃO PROFUNDA

(BLOCO C/ ESTACAS)

SUPER

MESO

INFRA

PilaresEncontros

Ap. Apoio

Fundações

Tabuleiro

PILARENCONTRO

Vigas

Fig.1 Nomenclatura dos elementos das pontes

3.3. Tipos estruturais

3.3.1. Tipos de aparelhos de apoio – vinculação super x meso

Nó de pórtico

MONOLÍTICA FIXA MÓVEL

Unidirecional Multidirecional

Teflon sobre inox

LIGAÇÃO ARTICULAÇÃOARTICULAÇÃO

Fig.2 Tipos de aparelhos de apoio

Essas articulações podem ser metálicas, de concreto e até mesmo de borracha, como

veremos mais adiante.

Rótulas podem ser obtidas com superfícies esféricas no lugar das cilíndricas.

3.3.2. Pilares

Pilar

PilarPilar

PilarAp. apoio Ap. apoio

Ap. apoioAp. apoio

Transversina

TransversinaTravessa

Travessa

Grelha Caixão

Caixão

V

Mt

V

Mt

V

Mt

V

TransversinaUsual

TransversinaObrigatória

Fig.3

Seções: Maciças

Paredes finas

Constantes ou variáveis

TransversalLongitudinal

Fig.4

3.3.3. Encontros

Fig.5 Encontros

Fig.6 Encontro aliviado (bastante comum)

Fig.7 Encontro na super

Fig.8 Encontro na super

3.3.4. Fundações

Os tipos estruturais das fundações não fazem parte do objetivo desta disciplina. Para

tanto, ver cursos específicos.

3.4. Métodos construtivos

3.4.1. Fundações

Quando as fundações estão localizadas no seco, como nos viadutos por exemplo, os

métodos construtivos a aplicar na sua execução são os convencionais. Quando, no entanto, as

fundações estão dentro d’água, tais métodos devem ser revisados.

As novas soluções podem ser divididas em 2 grupos:

� Caso 1 – Lâmina d’água pequena.

Nesse caso as fundações diretas ainda são possíveis, devendo ser executadas em

ensecadeiras. Essas ensecadeiras podem ser construídas com estacas prancha ou barragens de

terra. Em ambos os casos, elas se assemelham a valas a céu aberto onde a estrutura de

contenção suporta empuxos de água em lugar de empuxos de terra.

VALA ESCORADA

ENSECADEIRA DEESTACAS PRANCHA

Estronca

Estronca

Estaca prancha

ENSECADEIRA DE TERRA

VALA ATALUDADA

Estaca prancha Barragem de terra

Barragem de terra

Fig.9 Ensecadeiras

Quando a lâmina d’água é pequena e as fundações a executar profundas, é em geral

possível construir uma plataforma estaqueada provisória, onde se executam as fundações

definitivas, sejam estacas (pré-moldadas, Franki ou escavadas), sejam tubulões (a ar

comprimido, escavados mecanicamente ou mistos), sejam caixões (a céu aberto ou a ar

comprimido).

Os tubulões escavados mecanicamente (tipo Wirth), os mistos e os caixões, serão

descritos a seguir, por não serem usuais, senão nas fundações das pontes.

� Caso 2 – Lâmina d’água grande.

Nesse caso nenhuma das duas soluções anteriores são utilizadas, ambas ficam muito

dificultadas pela altura da lâmina d’água. A solução usual corresponde a execultar fundações

profundas a partir de barcaças ou flutuantes.

Essas barcaças, muitas vezes feitas de concreto, são suficientemente grandes para

suportar, além de equipamentos de perfuração, guindastes, betoneiras e depósito de materiais

(brita, areia, cimento, aço, etc.). Elas são fixadas às margens através de cabos de forma a

garantir uma maior precisão nas locações em planta. Em rios mais largos, elas podem ser

ancoradas no fundo e, quando a velocidade da água for baixa (caso do mar), podem ter pernas

retráteis.

3.4.2. Fundações especiais

� Tubulões mistos

Solução a usar no lugar de tubulões a ar comprimido, quando a pressão superar 3 atms

ou 30 mca.

Fig.10 Seqüência construtiva de tubulões com estacas metálicas (Pfeil, 1983).

1. Escavação e descida da camisa a ar comprimido (camisa de concreto);

2. Desativada a compressão, cravação das estacas por dentro da camisa, com

suplemento;

3. Concretagem submersa.

� Tubulões Mecanizados tipo Bade Wirth

Solução alternativa pode ser usada com Camisa Perdida

Fig.11

NOTA –

1. Conforme Pfeil 1983

2. É possível substituir o tubo Bade e a camisa permanente (pequena espessura) por uma

única camisa perdida (de espessura maior).

� Caixões a Céu Aberto ou Ar Comprimido

Fig.12 Notas: 1. Conforme Pfeil 1983 2. Escavação mecânica, “a céu aberto”, mas em presença de água. Para solos

suficientemente impermeáveis e escavações suficientemente profundas essa água pode ser esgotada e a escavação executada de fato a céu aberto.

Fig.13 Caixões – Formas – conforme Pfeil 1983

3.4.3. Pilares

Além das formas convencionais é preciso, no caso de pilares de pontes, relembrar as

fôrmas saltantes e as fôrmas deslizantes abaixo esquematizadas.

Fig.14 Formas

Atualmente se usam formas saltantes (isto é, que andam aos saltos) com sistema de

sustentação por barras internas ao concreto como nas formas deslizantes.

3.5. Concepção dos apoios da ponte (da vinculação super x mesoestrutura)

3.5.1. Tipos de aparelho de apoio

A. Aparelhos de vinculação rígida

Nestes casos, a super é rigidamente vinculada à mesoestrutura relativamente a alguns

movimentos e a outros são praticamente livres.

Numa articulação fixa, por exemplo, são impedidas translações e rotações, a menos

daquela liberada pela articulação. Numa móvel, uma translação também foi liberada.

� Aparelhos metálicos

As articulações mais antigas se baseavam num cilindro metálico para liberar rotações

(articulação fixa) e deslocamentos unidirecionais (articulação móvel). Ver figura 15.

As articulações mais modernas usam apenas uma parte do cilindro para liberar

rotações e contato, teflon x inox, para liberar deslocamento unidirecional ou multidirecional.

Em lugar do rolamento do cilindro, liberam-se os deslocamentos por escorregamento teflon x

inox.

Fig.15 Detalhe de articulação

Rótulas podem ser obtidas de forma análoga substituindo-se as superfícies cilíndricas

por superfícies esféricas.

Esses movimentos não são completamente livres devido ao atrito teflon x inox. O

coeficiente de atrito correspondente é da ordem de 5%.

Exemplos:

Articulação fixa

Fig.16 Articulação móvel unidirecional

Fig.17 Articulação móvel multidirecional

Fig.18 Articulação móvel multidirecional

Antigamente era difícil obter uma articulação deste tipo.

� Aparelhos de elastômero

Esses aparelhos são constituídos por uma “panela” de aço espessa, cheia de elastômero

e tampada.

Fig.19 Nota – Conforme Leonhardt – 1979

O princípio de funcionamento do aparelho de apoio de borracha em panela: a capacidade de rotação em todas as direções é proporcionada pela deformação por cisalhamento da massa de

borracha incompressível dentro da panela.

As translações são liberadas de forma análoga aos aparelhos metálicos.

Fig.20

� Articulação Freyssinet ou fixa de concreto

Freyssinet criou uma articulação de concreto liberando as rotações através de um

estrangulamento da seção onde as altas tensões, em estado múltiplo de compressão,

plastificam o concreto, permitindo rotações significativas. A área da seção estrangulada deve

satisfazer 2 limites:

( )( )α,,

,,

2

1

mínckmáx

máxckmín

VffA

daVffA

=

=, Rotação≡α

Fig.21 Articulação Freyssinet

Para maiores detalhes ver construções de concreto de F. Leonhardt, vol. 2.

Esse aparelho só se aplica para esforços horizontais baixos ( 8VH ≤ ). Se 8VH > é

preciso armar conforme sugere Mesnager (figura 22).

Fig.22 Articulação Mesnager

B. Aparelhos de vinculação flexível

Nestes casos a superestrutura é vinculada elasticamente à mesoestrutura, em todas as

direções, até na vertical. Essa flexibilidade de corre do fato desses aparelhos serem feitos de

borracha.

A utilização da borracha cria, conforme dito, uma ligação flexível, por outro lado, gera

também um problema delicado, o da durabilidade. Foi preciso encontrar uma borracha que

apresentasse durabilidade compatível com as obras civis, algo em torno de 50 anos.

Como é difícil garantir essa durabilidade, bastante variável com a agressividade do

meio, a qualidade da fabricação e, sobretudo hoje em dia, a qualidade da montagem, é preciso

prever a troca desses aparelhos. Com isso, devem ser previstos nichos entre meso e super,

onde possam ser colocados macacos capazes de aliviar os aparelhos existentes, permitindo a

sua substituição.

A borracha especial utilizada na fabricação desses aparelhos é um elastômero, mais

precisamente o policloroprene, um polímero sintético. O nome neoprene normalmente usado

no lugar de elastômero é o nome dado pela DuPont ao policloroprene que ela fabrica.

Esse material tem basicamente as seguintes propriedades:

2

2

2

m120

m 10

5,0

m 30

kgffc

kgfG

kgfE

ν

O elastômero é bastante flexível, apresentando grandes deformações e deslocamentos

mesmo para as cargas de serviço. Não valem, portanto a Teoria da Elasticidade e a

Resistência dos Materiais para esse material!

A fretagem foi criada para melhorar a resistência e rigidez desses aparelhos. De fato:

numa placa de elastômero não fretada as deformações transversais provocadas por efeito de

Poisson são quase livres, permitindo grandes abatimentos ∆t. Mesmo reduzindo o atrito com

os pratos da prensa, há um aumento pequeno na rigidez e na resistência em relação às placas

não fretadas (figura 23, item a).

Fig.23 Detalhe dos aparelhos com e sem Fretagem

As chapas de fretagem inibem muito as deformações transversais, reduzindo bastante

∆h, isto é, aumentam muito a rigidez e a resistência dos aparelhos fretados (figura 23, item b).

Para isso, é preciso dispor de uma boa ligação aço x elastômero decorrente de atrito mais

adesão (obtida na fabricação, por ocasião da vulcanização).

Esses aparelhos fretados apresentam rigidez e resistência bastante variáveis com a

geometria do aparelho e com as chapas de fretagem, da ordem de:

Módulo de elasticidade: 2m 5000 2000 kgfaE f ≅

Resistência à compressão fretada: 2m 008 600 kgfaf cf ≅

A tensão admissível nesses aparelhos é da ordem de 150 kgf/m².

Num ensaio desses aparelhos em laboratório é obtida a seguinte curva tensão x

deformação.

Fig.24 Curva tensão deformação

O valor ε0 é da ordem de 0,03.

hn é a altura total de elastômero.

A é a área da seção transversal à direção do carregamento.

Como se pode observar, a fretagem só começa a trabalhar a partir de uma deformação

considerável. De forma simples, o aparelho pode ser admitido infinitamente flexível para

00 εε ≤≤ e fretado a partir desse valor.

� Comportamento dos aparelhos de elastômero fretado

(Observado experimentalmente, já que não vale a Teoria da Elasticidade)

a) Sob carga vertical

Fig.25 Comportamento dos aparelhos de elastomêro fretado

Devido à placa de elastômero estar submetida à compressão tridimensional (figura

25), há aumento de rigidez e resistência.

Os diagramas de s e t da placa de elastômero na região de contato com a placa de aço

está indicada na figura 25.

b) Sob momento

c) Sob carga horizontal

O projeto desses aparelhos exige uma série de verificações que são:

i. Verificação da ligação aço x elastômero (limita V, H, M);

ii. Verificação do escorregamento (limita H);

iii. Verificação do bordo menos comprimido (limita relação M/V);

iv. Verificação da estabilidade (limita altura/largura);

v. Verificação das espessuras de aço (define a espessura da chapa).

Ver publicação do IPT sobre o projeto dos aparelhos de elastômero fretado.

A execução de obras com aparelhos desse tipo requer alguns cuidados especiais:

i. Ensaio para verificação da qualidade de fabricação;

ii. Cuidado na instalação de forma a não impor ao aparelho deformações imprevistas.

Superfícies não planas ou não paralelas podem romper o aparelho mesmo que só

sob carga permanente;

iii. Prever a troca dos aparelhos.

3.5.2. Concepção da vinculação

A. Aparelhos de vinculação rígida

Exatamente por causa da rigidez da vinculação promovida por esses aparelhos é

preciso ter cuidado para não impedir deformações inevitáveis como as decorrentes de

temperatura, retração e deformações imediatas e progressivas devido à protensão.

Assim, para uma obra contínua com 4 apoios teríamos:

BA

Articulação fixa

Articulação multidirecional

Articulação móvel unidirecional

Fig.26 Vinculação

Note-se que tanto no sentido do comprimento quanto da largura não se deve fixar mais

que um ponto numa dada direção. Note-se também que quase todo o esforço longitudinal

aplicado à obra vai para o apoio A (não é todo o esforço por causa do atrito mobilizado nos

outros apoios).

� Modelo de cálculo para esforços horizontais

B. Aparelhos de vinculação flexível

Neste caso, como podemos dosar a rigidez dos aparelhos através das suas geometrias,

podemos direcionar os esforços aos apoios e na proporção que se deseja.

A liberdade de concepção ao utilizar aparelhos de apoio flexíveis é muito maior!

Considere a obra contínua sobre 4 apoios da figura 27.

Fig.27 Obra sobre 4 apoios

Como os pilares dessa obra são altos em B e C, é conveniente reduzir ao máximo os

esforços horizontais nesses apoios. Isso é possível prevendo para B e C aparelhos

suficientemente flexíveis em relação a A e D.

A escolha dos aparelhos A e D deve ainda levar em conta outro aspecto. Esses

aparelhos devem ser suficientemente flexíveis para que as deformações decorrentes de

temperatura, retração e protensão não gerem esforços exagerados nos encontros A e D.

É após definir esses aparelhos de apoio A e D que se devem definir aqueles para B e

C, tal que tais apoios resultem mais flexíveis que A e D.

3.5.3. Comentários

i. Os aparelhos de apoio mais econômicos e, portanto, os mais usados são os de

elastômero fretado e as articulações Freyssinet;

ii. Os aparelhos mais caros e sofisticados como os metálicos e os de panela são

normalmente usados para cargas importantes;

iii. A troca de aparelhos de apoio deve ser prevista para todos casos com exceção do

Freyssinet. Elas são especialmente necessárias no caso dos elastômeros fretados

que são os menos duráveis;

iv. Qualquer que seja o tipo de aparelho de apoio, as cargas são por eles suportadas

são transmitidas aos pilares ou encontros em regiões reduzidas, o que exige a

verificação do efeito de bloco parcialmente carregado e a previsão de uma

armadura de fretagem.

3.6. Cálculo da meso e infraestrutura

No caso das pontes em arco ou pórtico, ou mesmo daquelas suportadas por cabos, o

cálculo não pode em geral, ser dividido em dois: super de um lado, meso e infra de outro.

Nesse caso a estrutura deve ser calculada como um todo.

Nas pontes em viga, que constituem a grande maioria das obras executadas, isso é

usualmente feito, o que simplifica bastante o projeto.

A super é assimilada a uma continua articulada nos apoios através dos aparelhos de

apoio. Essas articulações são admitidas móveis com exceção de uma, ou seja, é assumida uma

vinculação isostática (na direção horizontal).

Esse modelo é usado para os efeitos das cargas verticais (permanentes – g1 e g2 e

variáveis – q e Q) na super e as reações de apoio delas decorrentes.

Para o efeito das cargas horizontais esse modelo não serve, devendo ser substituído.

Admite-se usualmente, para esse caso, que a super seja representada por um bloco rígido

sobre apoios elásticos correspondentes a cada um dos conjuntos de apoio (fundação, pilar e

aparelho de apoio).

Fig.28

1. Modelo de viga contínua para o cálculo dos esforços devido às cargas verticais na super

(esforços solicitantes e reações de apoio).

2. Modelo de bloco rígido sem apoios elásticos para o cálculo dos efeitos das cargas

horizontais.

3. Modelo de conjunto de apoio isolado (aparelho de apoio, pilar e fundação) sob cargas

provenientes da super.

Fig.29 Modelo conjunto de apoio pilar isolado

� Cargas verticais

V, Mt (= V.e)

Mt é o momento decorrente da excentricidade transversal de V

� Cargas verticais

Hl - Longitudinal

Ht - Transversal

No dimensionamento da meso e infra, as seguintes combinações de esforços devem

ser consideradas:

( )( )( )tesconcomitan , , ,

tesconcomitan , , ,

tesconcomitan , , ,

, tlmáxt

tltmín

tltmáx

HHVM

HHMV

HHMV

Notas:

i. As deformações impostas no cálculo longitudinal são as que decorrem de

temperatura, retração e protensão (deformação imediata e lenta);

ii. kap é a rigidez do aparelho de apoio, kenc é a rigidez do encontro e k1l é a rigidez

longitudinal do apoio 1;

iii. Observe que para as cargas verticais que solicitam especialmente a super à flexão,

esta deve ser considerada deformável para se obter uma solução aceitável (modelo

de viga contínua). Ao contrário, para as cargas horizontais que solicitam

especialmente meso e infra à flexão, a super pode ser considerada como rígida →

modelo de bloco rígido. Para efeito das cargas transversais em obras longas é

preciso cuidado. A deformabilidade do tabuleiro à flexão horizontal pode não ser

desprezível;

iv. O modelo de bloco rígido sobre apoios elásticos já aparecem algumas vezes: bloco

de fundações sobre estacas e modelo Courbon/Engesser para solução de grelhas.

3.6.1. Rigidez do conjunto meso-infra

Para calcular esses modelos de bloco rígido sobre apoios elásticos é preciso calcular as

rigidezes desses apoios.

Fig.30

Por definição rigidez é o esforço que provoca deslocamento unitário. Assim, como a

força F provoca o deslocamento δ, a rigidez k do apoio é dada por F/δ.

� Rigidez do neoprene

Fig.31 Neoprene

nnkF δ⋅=

kn é a rigidez do neoprene

Neoprene:

nn

n

n

n

h

GAFk

hGA

F

Gtg

⋅==∴≅

⋅==

δ

δτγ

Neoprene + Teflon (despreza-se o atrito no teflon):

000 =∴=∴≠ kFδ

Fixo (articulação fixa qualquer):

∞→∴≠∴= kF 00δ

� Rigidez do pilar

3

3 3

3 h

IEFk

IE

hF

p

pp

⋅⋅==⇒

⋅⋅

⋅=

δδ (seção constante)

� Rigidez da fundação

Fundação direta:

Hipóteses:

� A sapata é rígida e indeslocável;

� O solo tem resposta linear que satisfaz à hipótese de Winckler, isto é:

( )

( )

=

=

=

⋅=3

2

/ solo do reação de ecoeficientk

todeslocameny

/

mtf

mtfpressãop

ykp

Fig.32

xθkykp ⋅⋅=⋅=

sap

a

a

a

a

a

a

IkdxxbkdxxbkdxxbphFM ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= ∫∫∫−−−

θθθ 22

sapIkM

k ⋅==θ

θ (rigidez a rotação da sapata)

f

f

Fk

δ= (rigidez da sapata em relação ao deslocamento do topo do pilar)

22

h

Ik

h

Ikk

h

IkF

hsapsap

fsap

f ⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅≅

θ

θθ

θδ

Fundação profunda:

Aqui, não é mais possível admitir a fundação indeslocável, é preciso compor os efeitos

de δ e θ ao nível da fundação para se obter o δf no topo do pilar.

Adote-se como exemplo um pilar sobre 2 tubulões. Os modelos de cálculo transversal

e longitudinal seriam:

Fig.33 Modelo de cálculo dos tubulões

Considerando o pórtico longitudinal tem-se:

Fig.34

( ) hFMFMf ⋅+++= θθδδδ

f

f

Fk

δ=

Note-se que aqui M e F estão acoplados, isto é, provocam ambos θ e δ. Assim:

FF

MM

F

M

θδ

θδ

∴→

∴→

Matricialmente teríamos:

=

δ

θ

δθδ

δθθ

kk

kk

F

M

Logo, não é possível substituir 1 tubulão ou uma estaca por 2 “molas” kθ e kδ (kθδ =

kδθ ≠ 0).

As estacas devem ser estudadas como vigas sobre apoio elástico para determinar os 3

coeficientes kq, kd e kdq = kqd (simetria!).

Viga sobre apoio elástico:

EI

p

dx

yd

EI

M

dx

yd=⇒−=

4

4

2

2

, (EI constante)

yk

σ=

≡ 3

2

mtf

m

mtf

k depende: do solo

iaconsistênc

e oucompacidad

tipo

das dimensões b, l

da direção { horizvert kk ≠

0 , =⋅⋅−=⋅⋅−= ppara bykbykpp

04

4

=+ kybdx

ydEI

0=p , porque as estacas só recebem cargas externas no topo.

Equação diferencial linear homogênea de 4ª ordem

Solução geral:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]xsenDxCexsenBxAey xx ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⋅−⋅ ββββ ββ coscos

4

4 IE

bk

⋅⋅

⋅=β , 1/b é medido em m, representando o comprimento elástico. l ≥ 1,5/β

equivale a l = 1,5/β, isto é, o comprimento além é inútil, não afetando o que ocorre no topo.

Com 4 condições de contorno é possível definir y, exemplo:

Fig.35

EI

V

dx

yde

EI

M

dx

ydlx

yeyx

−=−=⇒=

==⇒=

3

3

2

2

0' 00

A solução dessa equação para várias condições de extremidade encontra-se tabelada.

Ver dissertação R. Teramoto (outros – Shenf, Whiften, Heteny,...).

� Rigidez da fundação

Fig.36 Rigidez do conjunto

hpf

conclusão

hpf

hpf

kkkkk

F

k

F

k

F

k

F

kF

1111++=→++=⇒

⋅=

++=

δ

δδδδ

3.6.2. Distribuição longitudinal de esforços

� Caso de força longitudinal

Como a estrutura tem apenas 1 grau de liberdade δ tem-se que:

∑∑∑∑ =∴=⋅== n

j

n

j

n

jj

n

j

k

FkFkFF

1

111

δδ

onde n é o numero de apoios.

ik

kFkkF i

j

i

iiii ∀=∴=⋅=⋅=∑

,δδδδ

Fig.37

Como não poderia deixar de ser, cada apoio i suporta uma parcela de F dada pela

relação entre sua rigidez e a rigidez total (princípio da rigidez).

� Caso de deformações impostas

Consideremos os efeitos de temperatura, retração e protensão reunidos numa única

variação de temperatura equivalente:

ϕ=∆ eqt (temperatura, retração e protensão)

A solução desse problema se obtém facilmente superpondo 2 soluções: uma em que se

aplica ∆teq à super com extremidade fixa e outra em que se desenvolve à estrutura o esforço

para fixar essa extremidade.

De fato:

a. Efeito ∆teq com δ01 = 0

Fig.38 Efeito da variação de temperatura

Do equilíbrio: ∑=n

iFF1

00

b. Efeito da devolução de F0 à estrutura

Fig.39 Efeito da devolução do F0 à estrutura

∑=∆

j

i

ik

kFF 0

c. Superposição

−∆⋅⋅=∆−=∑ j

eqiiiiik

FtCkFFF 0

0 α

Essa expressão vale inclusive para i = i, pois C1 = 0.

� Caso de empuxo de terra

Se o empuxo de terra se aplicar diretamente à super, vale a mesma solução de força

longitudinal. Se se aplica ao encontro é preciso rever aquela solução:

Fig.40 Caso do empuxo de terra

∑+

=n

i

ap

eq

kk

k

2

111

eqenc

enc

tenckk

kEF

+=

encter FEF −=sup

A força Fsuper vai para a super, mas deve ser distribuída apenas entre os apoios 2 a n.

� Distribuição de esforços transversais

Quando for possível admitir a super rígida o problema é idêntico ao de Coubon-

Engesser.

Quando isso não for possível é necessário calcular uma viga contínua sobre apoios

elásticos. Nesse caso super e meso-infra seriam deformáveis.

Quando a super é muito flexível, é possível calcular os esforços transversais nos

apoios por área de influência.