3 Polinômios Ortogonais e Quadratura .3 Polinômios Ortogonais e Quadratura Gaussiana A ideia principal

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    Polinmios Ortogonais e Quadratura Gaussiana

    A ideia principal da Expanso do Caos Polinomial (ECP) reside na

    aproximao de uma funo quadraticamente integrvel (que representa a sada

    de um modelo fsico) por meio de uma soma nita de funcionais ortogonais.

    Isto quer dizer que uma funoM(x) pode ser representada como uma somade um conjunto nico de coecientes, ai, junto com uma base de polinmios

    ortogonais apropriada, {i}i=0, tal que

    M(x) =i=0

    aii(x).

    A representao acima, assume que a base de polinmios ortogonal no

    intervalo [a, b], com respeito a uma funo peso w(x), tal que

    n; m = ba

    n(x)m(x)w(x)dx = nm, (3-1)

    onde

    nm =

    {0 se n 6= m,1 se i = j.

    representa a delta de Kronecker.

    Logo, podemos relacionar os polinmios ortogonais com o conceito de

    quadratura Gaussiana. De fato, as integrais da eq. (3-1) podem ser calculadas

    atravs de uma quadratura Gaussiana associada ao ECP. Note que o clculo

    dessas integrais ocorre por meio de uma seleo reduzida de pontos em que

    a funoM ser avaliada. Alm da preocupao com o custo computacional,os resultados obtidos usando quadratura de Gauss so mais exatos em relao

    s tcnicas de integrao numrica tradicionais, como por exemplo, Regra de

    Simpson ou a regra trapezoidal.

    Portanto, neste captulo, vamos introduzir o conceito de sequncia de

    polinmios ortogonais, logo destacaremos os polinmios ortogonais clssicos, e

    em seguida abordaremos as quadraturas de Gauss associadas a estes polin-

    mios: Gauss-Legendre, Gauss-Laguerre, e Gauss-Hermite. Nosso foco o caso

    de uma dimenso, isto quer dizer, polinmios em R.

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    3.1

    Polinmios Ortogonais

    Os polinmios ortogonais tm origem de um certo tipo de fraes con-

    tnuas, que carrega o nome de Stieltjes. Apesar da proximidade dos conceitos

    de fraes contnuas e o problema de momentos, fraes contnuas tm sido

    gradualmente abandonadas. Em seu lugar, a propriedade de ortogonalidade

    em si mesma tem sido tomada como bsica (Szego, 1939).

    Nesta seo denimos os polinmios ortogonais e algumas de suas pro-

    priedades. Especicamente, sero expostos os principais resultados dos polin-

    mios ortogonais com relao quadratura de Gauss. Comecemos por denir o

    conceito de momentos de uma distribuio e, em seguida, o conceito de orto-

    gonalidade.

    Denio 3.1 Seja a b (um intervalo [a, b]). Considere (x)uma funo (x) : [a, b] R real limitada, tal que no constante nointervalo aberto (a, b). Os momentos de uma distribuio so denidos da

    seguinte maneira:

    k =

    ba

    xkd(x), k = 0, 1, 2, .

    Se os momentos k so nitos, ento d(x) chamada de distribuio (medida

    positiva) no intervalo aberto (a, b).

    Seja w : (a, b) R uma funo peso, se w for contnua, ento d(x) =w(x)dx, x (a, b). Portanto, w(x)dx 0 em (a, b). Ao longo desta dissertaow sempre ser uma funo contnua.

    Seja Pn o espao linear de todas as combinaes lineares de polinmiosde grau no mximo n, dizer,

    Pn = span{xk : k = 0, 1, , n}.

    Os elementos de Pn tambm chamados de polinmios de grau n, denotadospor Pn(x), podem ser escritos como

    Pn(x) = a0 + a1x+ ...+ anxn =

    nk=0

    akxk, an 6= 0.

    Denio 3.2 (Sequncia de Polinmios Ortogonais- SPO) Seja

    Pn(x) um elemento de Pn, dizemos que a sequncia de polinmios, {Pn(x)}n=0, ortogonal com relao funo peso w(x) no intervalo aberto (a, b) se:

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    Pn ;Pm = ba

    Pn(x)Pm(x)w(x)dx = 0, quando n 6= m. (3-2)

    Na Denio 3-2 os polinmios so avaliados em uma varivel x contnua. Por

    outro lado, esta pode ser reescrita para o caso discreto. Da, que a eq. (3-2)

    pode ser redenida como

    Pn(x) ;Pm(x) =Mi=1

    Pn(xi)Pm(xi)(xi). (3-3)

    Observe que em quaisquer das duas representaes, eq. (3-2) e eq. (3-3), (x)

    uma funo peso positiva. Alm disso, os limites de integrao a e b na eq.

    (3-2), e o limite M na eq. (3-3), podem ser nitos ou innitos.

    Por outro lado, uma das maneiras de construir uma sequncia de polin-

    mios ortogonais, P0(x), P1(x), , Pj(x), com relao ao produto interno 3-2 atravs do Processo de Ortogonalizao de Gram- Schmidt (Homan & Kunze,

    1961) como visto no na Seo 9.3 do Apndice. De fato, considere o conjunto

    de potncias n no negativas de x

    {1, x, x2, x3, x4, ..., xn},

    linearmente independente (l.i.). Em seguida, calculamos os polinmios

    P0(x), P1(x), P2(x), ..., Pn(x), da seguinte forma:

    P0(x) = 1,

    e para n = 1, 2, 3, ,

    Pn(x) = xn + 0P0(x) + 1P1(x) + + n1Pn1(x),

    onde os i so os coecientes escalares da expanso por polinmios dados por

    k = xk ;Pk

    Pk ;Pk

    , k = 0, 1, 2, , n 1.

    Denio 3.3 (Sequncia de polinmios ortonormais) Considere o ce-

    nrio da Denio 3.2. Uma sequncia {Pn(x)}n=0 uma sequncia de polin-mios ortonormais se:

    Pn ;Pm =

    {0 se n 6= m,1 se n = m.

    A sequncia de polinmios ortonormais ser denotada por {P n(x)}n=1.

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    A continuao so apresentadas algumas propriedades interessantes dos

    polinmios ortogonais.

    Teorema 3.1 Os polinmios P0(x), P1(x), , Pn(x), pertencentes a umasequncia de polinmios ortogonais {Pk(x)}nk=0 em Pn so l.i. no Pn.

    Demonstrao: Ver, e.g., Kubrusly, 2011, p. 63 e p.349.

    O fato que o espao Pn seja gerado pelas potncias xk com k = 1, , n,junto com o Teorema 3.1, nos diz que os polinmios ortogonais Pk(x), onde k =

    0, 1, 2, , n, com Pk(x) Pn formam uma base para o espao linear Pn. Poroutro lado, o Teorema 3.2 mostra que os polinmios de duas sequncias de

    polinmios ortogonais, que tenham o mesmo grau, denidas com a mesma

    funo peso w(x) no intervalo [a, b] so iguais, exceto por um fator constante.

    Teorema 3.2 Sejam {Pn(x)}n=0 e {Qn(x)}n=0 duas sequncias de polinmios

    ortogonais com relao a funo peso w(x) no intervalo [a, b]. Ento,

    Pn(x) = cnQn(x),

    com cn R, n N.

    Demonstrao: Ver, e.g., Chihara, 1978, p. 9.

    A sua vez, a norma de um polinmio Pn(x) em {Pn(x)}n=0, pode serdenida como

    Pn(x) =Pn(x) ;Pn(x).

    Logo, para encontrar a sequncia de polinmios ortonormais {P n(x)}n=1, basta

    dividir cada polinmio por sua norma:

    P n(x) =Pn(x)

    Pn(x).

    Por outro lado, existe uma maneira de construir qualquer polinmio or-

    togonal (que pode representar uma forma eciente do ponto de vista compu-

    tacional) por meio de uma relao de recorrncia, na qual s precisamos dos

    primeiros trs polinmios para ter denida qualquer SPO. Isto, formalmente

    denido no seguinte teorema.

    Teorema 3.3 (Relao de Recorrncia de 3 Termos) Se {Pn(x)}n=0 uma sequncia de polinmios ortogonais no intervalo aberto (a, b) relativa

    funo peso w(x), ento:

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    Pn+1(x) = (nx n)Pn(x) nPn1(x), n 0, (3-4)com

    P1(x) = 0, P0(x) = a0.

    Alm disso, os termos n, n e n so constantes, para n 0, denidos por:

    n =anan1

    6= 0; n = nxPn ;Pn Pn ;Pn

    ,

    e n =nn1

    Pn ;Pn Pn1 ;Pn1

    6= 0.

    Demonstrao: Ver, e.g., Gautschi, 2004, p. 8.

    Para construirmos a sequncia de polinmios ortogonais mnicos, repre-

    sentados por{Pn(x)

    }n=0

    , a partir dos polinmios ortogonais {Pn(x)}n=0 comrelao a funo peso w(x), basta dividirmos cada Pn pelo correspondente

    coeciente principal, ou seja,

    Pn(x) =Pn(x)

    an, n 1.

    De maneira similar, podemos apresentar um resultado equivalente ao

    Teorema 3.3 s que para polinmios mnicos {Pn(x)}.Teorema 3.4 Se {Pn(x)}n=0 uma sequncia de polinmios ortogonais nointervalo aberto (a, b) com respeito funo peso w(x), ento:

    Pn(x) = (x n)Pn(x) nPn1(x), (3-5)

    com P1(x) = 0, P0(x) = 1, e onde n, n so constantes para n 1, tal que

    n =

    xPn ; Pn

    Pn ; Pn

    ,e

    n =

    Pn ; Pn

    Pn1 ; Pn1

    6= 0.Demonstrao: A prova deste teorema imediata da denio dos polin-

    mios ortogonais mnicos e do Teorema 3.3.

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    Os zeros dos polinmios ortogonais tm um papel fundamental no clculo

    das integrais de interesse. Com efeito, os produtos internos, vistos no captulo

    anterior, so denidos por meio de integrais, as quais podem ser calculadas

    numericamente por meio de quadraturas Gaussianas (que sero vistas ao nal

    deste captulo). Alm disso, estas quadraturas utilizam os zeros dos polinmios

    ortogonais como os pontos da aproximao desta integral. Dito isso, vamos

    estabelecer ento algumas propriedades dos zeros dos polinmios ortogonais.

    Em seguida, vamos enunciar o Teorema de Separao.

    Teorema 3.5 Se Pn(x) Pn(x) uma SPO no intervalo aberto (a, b) comrelao a funo peso w(x), ento os zeros de Pn(x) so reais, distintos e

    pertencem ao intervalo (a, b).

    Demonstrao: Ver, e.g., Chihara, 1978, p. 27.

    Teorema 3.6 (Teorema de Separao) Se x0 = a, xn+1 = b e x1 < x2 n+1W = diag(1, 2, , n+1), onde W> representa a matriz transpostade W , e W>W = I a matriz identidade n + 1 n + 1, ento os zeros dospolinmios so xj = j.

    3.2

    Polinmios Ortogonais Clssicos

    Com a teoria de polinmios ortogonais, o prximo passo ser estabelecer

    a classe de polinmios ortogonais que ser utilizada neste trabalho. Especi-

    almente, vamos destacar os polinmios contnuos de Legendre, Laguerre, e

    Hermite denidos num intervalo a x b especco. Tais polinmios foramconsiderados por Szego (1939) como polinmios ortogonais clssicos.

    Os polinmios de Legendre, denotados por