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RACIOCÍNIO LÓGICO E QUANTITATIVO

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  • RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

  • Didatismo e Conhecimento 1

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    1. ESTRUTURAS LGICAS.

    Na lgica, uma estrutura (ou estrutura de interpretao) um objeto que d significado semntico ou interpretao aos smbolos definidos pela assinatura de uma linguagem. Uma estrutura possui diferentes configuraes, seja em lgicas de primeira ordem, seja em linguagens lgicas poli-sortidas ou de ordem superior. As questes de Raciocnio Lgico sempre vo ser compostas por proposies que provam, do suporte, do razo a algo, ou seja, so afirmaes que expressam um pensamento de sentindo completo. Essas proposies podem ter um sentindo positivo ou negativo.

    Exemplo 1: Joo anda de bicicleta. Exemplo 2: Maria no gosta de banana. Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirmao/

    proposio.

    A base das Estruturas Lgicas saber o que Verdade ou Mentira (verdadeiro/falso). Os resultados das proposies sempre tem que dar verdadeiro. H alguns princpios bsicos:

    Contradio: Nenhuma proposio pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

    Terceiro Excludo: Dadas duas proposies lgicas contraditrias somente uma delas verdadeira. Uma proposio ou verdadeira ou falsa, no h um terceiro valor lgico (mais ou menos, meio verdade ou meio mentira). Ex. Estudar fcil. (o contrrio seria: Estudar difcil. No existe meio termo, ou estudar fcil ou estudar difcil).

    Para facilitar a resoluo das questes de lgica usam-se os conectivos lgicos, que so smbolos que comprovam a veracidade das informaes e unem as proposies uma a outra ou as transformam numa terceira proposio. Veja:

    (~) no: negao() e: conjuno(V) ou: disjuno() se...ento: condicional() se e somente se: bicondicional

    Temos as seguintes proposies:

    O Po barato. O Queijo no bom.A letra p representa a primeira proposio e a letra q, a

    segunda. Assim, temos:p: O Po barato. q: O Queijo no bom.

    Negao (smbolo ~): Quando usamos a negao de uma proposio invertemos a afirmao que est sendo dada. Veja os exemplos:

    ~p (no p): O Po no barato. ( a negao lgica de p)~q (no q): O Queijo bom. ( a negao lgica de q)Se uma proposio verdadeira, quando usamos a negao

    vira falsa.Se uma proposio falsa, quando usamos a negao vira

    verdadeira.

    Regrinha para o conectivo de negao (~):

    P ~PV FF V

    Conjuno (smbolo ): Este conectivo utilizado para unir duas proposies formando uma terceira. O resultado dessa unio somente ser verdadeiro se as duas proposies (p e q) forem verdadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado ser falso. Ex.: p q. (O Po barato e o Queijo no bom). = e. Regrinha para o conectivo de conjuno ():

    P Q PQV V V

    V F FF V FF F F

    Disjuno (smbolo V): Este conectivo tambm serve para unir duas proposies. O resultado ser verdadeiro se pelo menos uma das proposies for verdadeira. Ex: p v q. (Ou o Po barato ou o Queijo no bom.) V = ou. Regrinha para o conectivo de disjuno (V):

    P Q PVQV V V

    V F VF V VF F F

    Condicional (smbolo ): Este conectivo d a ideia de condio para que a outra proposio exista. P ser condio suficiente para Q e Q condio necessria para P. Ex: P Q. (Se o Po barato ento o Queijo no bom.) = se...ento. Regrinha para o conectivo condicional ():

    P Q PQV V V

    V F FF V VF F V

    Bicondicional (smbolo ): O resultado dessas proposies ser verdadeiro se e somente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as duas falsas). P ser condio suficiente e necessria para Q. Exemplo: P Q. (O Po barato se e somente se o Queijo no bom.) = se e somente se. Regrinha para o conectivo bicondicional ():

    P Q PQV V V

    V F FF V FF F V

  • Didatismo e Conhecimento 2

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    QUESTES

    01. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) A afirmao A menina tem olhos azuis ou o menino loiro tem como sentena logicamente equivalente:

    (A) se o menino loiro, ento a menina tem olhos azuis.(B) se a menina tem olhos azuis, ento o menino loiro.(C) se a menina no tem olhos azuis, ento o menino loiro.(D) no verdade que se a menina tem olhos azuis, ento o

    menino loiro.(E) no verdade que se o menino loiro, ento a menina tem

    olhos azuis.Parte inferior do formulrio

    02. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Anamara mdica, ento Anglica mdica. Se Anamara arquiteta, ento Anglica ou Andrea so mdicas. Se Andrea arquiteta, ento Anglica arquiteta. Se Andrea mdica, ento Anamara mdica. Considerando que as afirmaes so verdadeiras, segue- se, portanto, que:

    (A) Anamara, Anglica e Andrea so arquitetas.(B) Anamara mdica, mas Anglica e Andrea so arquitetas.(C) Anamara, Anglica e Andrea so mdicas.(D) Anamara e Anglica so arquitetas, mas Andrea mdica.(E) Anamara e Andrea so mdicas, mas Anglica arquiteta.

    03. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Ana pianista, ento Beatriz violinista. Se Ana violinista, ento Beatriz pianista. Se Ana pianista, Denise violinista. Se Ana violinista, ento Denise pianista. Se Beatriz violinista, ento Denise pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais de um instrumento, ento Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente:

    (A) piano, piano, piano.(B) violino, piano, piano.(C) violino, piano, violino.(D) violino, violino, piano.(E) piano, piano, violino.

    (CESPE TRE-RJ Tcnico Judicirio)

    Texto para as questes de 04 a 07.

    O cenrio poltico de uma pequena cidade tem sido movimentado por denncias a respeito da existncia de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dvida quanto a esse esquema persiste em trs pontos, correspondentes s proposies P, Q e R:

    P: O vereador Vitor no participou do esquema;Q: O Prefeito Prsio sabia do esquema;R: O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.

    Os trabalhos de investigao de uma CPI da Cmara Municipal conduziram s premissas P

    1, P

    2 e P3 seguintes:

    P1: Se o vereador Vitor no participou do esquema, ento o

    Prefeito Prsio no sabia do esquema.P

    2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o

    Prefeito Prsio sabia do esquema, mas no ambos.P3: Se o vereador Vitor no participou do esquema, ento o

    chefe de gabinete no foi o mentor do esquema.

    Considerando essa situao hipottica, julgue os itens seguintes, acerca de proposies lgicas.

    04. Das premissas P1, P

    2 e P3, correto afirmar que O chefe de

    gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema.

    ( ) Certo ( ) Errado

    05. Parte superior do formulrioConsiderando essa situao hipottica, julgue os itens

    seguintes, acerca de proposies lgicas. A premissa P2 pode ser

    corretamente representada por R Q.

    ( ) Certo ( ) Errado

    06. Considerando essa situao hipottica, julgue os itens seguintes, acerca de proposies lgicas. A premissa P3 logicamente equivalente proposio O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete no foi o mentor do esquema.

    ( ) Certo ( ) Errado

    07. Considerando essa situao hipottica, julgue os itens seguintes, acerca de proposies lgicas. A partir das premissas P

    1, P

    2 e P3, correto inferir que o prefeito Prsio no sabia do

    esquema.

    ( ) Certo ( ) Errado

    08. (CESPE - TRE-ES - Tcnico) Entende-se por proposio todo conjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto , que afirmam fatos ou exprimam juzos a respeito de determinados entes. Na lgica bivalente, esse juzo, que conhecido como valor lgico da proposio, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lgica apenas as proposies que atendam ao princpio da no contradio, em que uma proposio no pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princpio do terceiro excludo, em que os nicos valores lgicos possveis para uma proposio so verdadeiro e falso. Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir. Segundo os princpios da no contradio e do terceiro excludo, a uma proposio pode ser atribudo um e somente um valor lgico.

    ( ) Certo ( ) Errado

    (CESPE - TRT-ES Tcnico Judicirio) Proposio

    Texto para as questes 09 e 10.

    Proposies so frases que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas no como V e F simultaneamente. As proposies simples so aquelas que no contm nenhuma outra proposio como parte delas. As proposies compostas so construdas a partir de outras proposies, usando-se smbolos lgicos, parnteses e colchetes para que se evitem ambiguidades. As proposies so usualmente simbolizadas por letras maisculas do alfabeto: A, B, C, etc. Uma proposio composta da forma A

  • Didatismo e Conhecimento 3

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    B, chamada disjuno, deve ser lida como A ou B e tem o valor lgico F, se A e B so F, e V, nos demais casos. Uma proposio composta da forma A

    B, chamada conjuno, deve ser lida como A e B e tem valor lgico V, se A e B so V, e F, nos demais casos. Alm disso, A, que simboliza a negao da proposio A, V, se A for F, e F, se A for V. Considere que cada uma das proposies seguintes tenha valor lgico V.

    I- Tnia estava no escritrio ou Jorge foi ao centro da cidadeII- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla

    no pagou o condomnio.III- Jorge no foi ao centro da cidade.

    09. A partir dessas proposies, correto afirmar que a proposio Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade tem valor lgico V.

    ( ) Certo ( ) Errado

    10. A partir dessas proposies, correto afirmar que a proposio. Carla pagou o condomnio tem valor lgico F.

    ( ) Certo ( ) Errado

    Respostas

    01. Resposta C.

    Proposio EquivalenteP Q ~Q ~P

    P Q ~P QP Q P suficiente para Q

    P Q Q necessrio para P

    A menina tem olhos azuis ou o menino loiro. (~P) ( ) (Q)

    Se a menina no tem olhos azuis, ento o menino loiro. (~P) () (Q)

    Sintetizando: Basta negar a primeira, manter a segunda e trocar o ou pelo se ento. A menina tem olhos azuis (M) ou o menino loiro (L).

    Est assim: M v LFica assim: ~M L

    Se a menina no tem olhos azuis, ento o menino loiro.

    02. Parte inferior do formulrioResposta C.

    Anamara mdica Anglica mdica. (verdadeira verdadeira)

    Anamara arquiteta Anglica mdica Andrea mdica. (falsa verdadeira verdadeira)

    Andrea arquiteta Anglica arquiteta. (falsa falsa)Andrea mdica Anamara mdica. (verdadeira

    verdadeira)

    Como na questo no existe uma proposio simples, temos que escolher entre as existentes, uma proposio composta e supor se verdadeira ou falsa. Nesta questo analise as proposies medida que aparecem na questo, da a primeira proposio sobre a pessoa assume o valor de verdade, as seguintes sero, em regra, falsas. Embora nada impea que uma pessoa tenha mais de uma profisso, o que no deve ser levado em considerao. Importante lembrar que todas as proposies devem ter valor lgico verdadeiro. Para encontrar a resposta temos que testar algumas hipteses at encontrar a que preencha todos os requisitos da regra.

    - Se Anamara mdica, ento Anglica mdica. (verdadeiro) 1. V V2. F F3. F V

    - Se Anamara arquiteta, ento Anglica ou Andrea so mdicas. (verdadeiro)

    1. F V V - Para ser falso Todos devem ser falsos.2. V F V - A segunda sentena deu falso e a VF apareceu,

    ento descarta essa hiptese.3. V V F - Aqui tambm ocorreu o mesmo problema da 2

    hiptese, tambm devemos descart-la.

    - Se Andrea arquiteta, ento Anglica arquiteta. (verdadeiro)1. F F2.3.

    - Se Andrea mdica, ento Anamara mdica. (verdadeiro)1. V V2. 3.

    03. Resposta B.

    Ana pianista Beatriz violinista. (F F)Ana violinista Beatriz pianista. (V V)Ana pianista Denise violinista. (F F)Ana violinista Denise pianista. (V V)Beatriz violinista Denise pianista. (F V)

    Proposies Simples quando aparecem na questo, suponhamos que sejam verdadeiras (V). Como na questo no h proposies simples, escolhemos outra proposio composta e supomos que seja verdadeira ou falsa.

    1 Passo: qual regra eu tenho que saber? Condicional (Se... ento).

    2 Passo: Fazer o teste com as hipteses possveis at encontrar a resposta.

    Hiptese 1

    - Se Ana pianista, ento Beatriz violinista. (verdade)V V - Como j sabemos, se a (verdade) aparecer primeiro, a

    (falso) no poder.

  • Didatismo e Conhecimento 4

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    - Se Ana violinista, ento Beatriz pianista. (verdade)F F - J sabemos que Ana pianista e Bia violinista, ento

    falso nelas.

    - Se Ana pianista, Denise violinista. (verdade)V V

    - Se Ana violinista, ento Denise pianista. (verdade)F F

    - Se Beatriz violinista, ento Denise pianista. (verdade)V F - Apareceu a temida V F, logo a nossa proposio ser

    falsa. Ento descarte essa hiptese.

    Hiptese 2

    - Se Ana pianista, ento Beatriz violinista. (verdade)F V

    - Se Ana violinista, ento Beatriz pianista. (verdade)V F - A VF apareceu, ento j podemos descart-la, pois a

    nossa proposio ser falsa.

    04. Resposta Certo.

    s aplicar a tabela verdade do ou (v). V v F ser verdadeiro, sendo falso apenas quando as duas

    forem falsas.

    A tabela verdade do ou. Vejam:

    p q p qV V F V F VF V VF F F

    No 2 caso, os dois no podem ser verdade ao mesmo tempo.

    Disjuno exclusiva (Ou... ou)Representado pelo v, ou ainda ou.Pode aparecer assim tambm: p v q, mas no ambos.

    Regra: S ser verdadeira se houver uma das sentenas verdadeira e outra falsa.

    Hiptese 1:

    P1: F V = V (No poder aparecer VF).P2: V F = V (Apenas um tem que ser verdadeiro).P3: F F = V

    Concluses:Vereador participou do esquema.Prefeito no sabia.Chefe do gabinete foi o mentor.

    Ento:O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador

    Vitor participou do esquema.V V = verdade, pois sabemos que para ser falso, todos devem

    ser falsos.

    Hiptese 2:P1: F F = VP2: F V = VP3: F V = V

    Concluses:Vereador participou do esquema.Prefeito sabia.Chefe de gabinete no era o mentor.

    Ento:O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador

    Vitor participou do esquema.F V = verdade.

    05. Resposta Errado.No se trata de uma Disjuno, trata-se de uma Disjuno

    Exclusiva, cujo smbolo . Tambm chamado de Ou Exclusivo. o famoso um ou outro mas no ambos. S vai assumir valor verdade, quando somente uma das proposies forem verdadeiras, pois quando as duas forem verdadeiras a proposio ser falsa. Da mesma forma se as duas forem falsas, a proposio toda ser falsa.

    Tabela verdade do Ou Exclusivo.

    p q p qV V F V F VF V VF F F

    Com a frase em P2 mas no ambos deixa claro que as duas

    premissas no podem ser verdadeiras, logo no uma Disjuno, mas sim uma Disjuno Exclusiva, onde apenas uma das premissas pode ser verdadeira para que P

    2 seja verdadeira.

    06. Resposta Certo.Duas premissas so logicamente equivalentes quando elas

    possuem a mesma tabela verdade:

    P R P R P R R P P RV V F F V V VV F F V F F FF V V F V V VF F V V V V VPossuem a mesma tabela verdade, logo so equivalentes.

    Representando simbolicamente as equivalncias, temos o seguinte:

    (P R) = (P R) = (R P)

  • Didatismo e Conhecimento 5

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    As proposies dadas na questo:P = O vereador Vitor no participou do esquema.R = O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.

    Premissa dada na questo: P3 = Se o vereador Vitor no participou do esquema, ento o chefe do gabinete no foi o mentor do esquema. Em linguagem simblica, a premissa P3 fica assim: (P R).

    A questo quer saber se (P R) logicamente equivalente a proposio: O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete no foi o mentor do esquema, que pode ser representada da seguinte forma: (P R). Vemos que P3 tem a seguinte equivalente lgica: (P R) = (P R). Negamos a primeira sentena, mudamos o conectivo para , e depois mantemos a segunda sentena do mesmo jeito. Assim sendo, a questo est correta. As duas sentenas so logicamente equivalentes.

    07. Resposta Errado.A questo quer saber se o argumento o Prefeito Prsio no

    sabia do esquema um argumento vlido. Quando o argumento vlido? Quando as premissas forem verdadeiras e a concluso obrigatoriamente verdadeira ou quando as premissas forem falsas e a concluso falsa. Quando o argumento no vlido? Quando as premissas forem verdadeiras e a concluso for falsa. Pra resolver essas questes de validade de argumento melhor comear de forma contrria ao comando da questo. Como a questo quer saber se o argumento vlido, vamos partir do princpio (hiptese) que invlido. Fica assim:

    P1: P ~Q verdade

    P2: R (ou exclusivo) Q verdade

    P3: P ~R verdadeConcluso: O prefeito Prsio no sabia do esquema. falso

    Se falso que o Prefeito Prsio no sabia, significa dizer que ele sabia do esquema. Ento, pode-se deduzir que as proposies ~Q e Q so, respectivamente, falsa e verdadeira. Na segunda premissa: Se Q verdadeira, R ser obrigatoriamente falsa, pois na disjuno exclusiva s vai ser verdade quando apenas um dos argumentos for verdadeiro. E se R falso, significa dizer que ~R verdadeiro. Fazendo as substituies:

    P1: P ~Q Verdade

    F F V

    Por que P falso? Na condicional s vai ser falso se a primeira for verdadeira e a segunda for falsa. Como sabemos que a premissa toda verdadeira e que ~Q falso, P s pode assumir valor F.

    P2: R (ou exclusivo) Q Verdade

    F (ou exclusivo) V V

    Lembrando que na disjuno exclusiva, s vai ser verdade quando uma das proposies forem verdadeiras. Como sei que Q verdadeiro, R s pode ser falso.

    P3: P ~R VerdadeF V V

    Se deduz que R falso, logo ~R verdadeiro. Consideramos inicialmente o argumento sendo no vlido (premissas verdadeiras e concluso falsa). Significa dizer que a questo est errada. No correto inferir que o Prefeito Prsio no sabia do esquema. Foi comprovado que ele sabia do esquema.

    08. Resposta Certo.

    Princpio da No Contradio = Uma preposio ser V ou F no podendo assumir os 2 valores simultaneamente. Representao: (P

    P). Exemplo: No (a terra redonda e a terra no redonda).

    Princpio do Terceiro Excludo = Uma preposio ser V ou F, no podendo assumir um 3o valor lgico. Representao: P P. Exemplo: Ou este homem Jos ou no Jos.

    Uma proposio s poder ser julgada verdadeira ou falsa, nunca poder ser as duas coisas ao mesmo tempo.

    09. Resposta Errado.Da proposio III Jorge no foi ao centro da cidade que

    verdadeira e a questo diz Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade a segunda parte falsa como o conectivo e as duas teriam que ser verdadeiras (o que no acontece). Vamos analisar cada proposio de cada premissa, tendo em mente que as premissas tem valor lgico (V), da tiramos um importante dado, sabemos que a premissa III (V), portanto vamos atribuir o valor lgico (V) a proposio e e o valor lgico (F) a proposio B, agora vamos separar:

    A: Tnia estava no escritrio (V)B: Jorge foi ao centro da cidade (F)

    Diante das anlises iniciais temos que a premissa A v B, tem valor lgico (V), mas que a proposio B tem valor lgico (F), ou seja, A v (valor lgico F), para que essa premissa tenha o valor lgico (V), A tem que ter um valor lgico (V).

    C: Manuel declarou o imposto de renda na data correta (V)D: Carla no pagou o condomnio (V)

    O enunciado fala para considerar todas as premissas com valor lgico (V), logo, a premissa C

    D para ter valor lgico (V), ambas proposies devem ter valor lgico (V).

    E: Jorge no foi ao centro da cidade (V)

    Diante das explicaes, C

    B = (V)

    (F) = (F).

    10. Resposta Certo.Considere que cada uma das proposies seguintes tenha

    valor lgico V. Logo o que contraria essa verdade falso.I- V + F = VII- V + V = VIII- V

    Portanto se no item II diz que Carla no pagou o condomnio verdadeiro, ento o fato dela ter pago o condomnio falso, pois est contradizendo o dito no item II. Os valores lgicos da segunda proposio no so deduzveis, mas sim informados no enunciado.

    II- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla no pagou o condomnio V e V. Portanto, se Carla no pagou o condomnio Verdadeiro. Carla pagou o condomnio Falso. Enunciado correto.

  • Didatismo e Conhecimento 6

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    2. LGICA DA ARGUMENTAO.

    Um argumento uma srie concatenada de afirmaes com o fim de estabelecer uma proposio definida. um conjunto de proposies com uma estrutura lgica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequncia outra proposio. Isto , o conjunto de proposies p

    1,...,pn que tem como consequncia

    outra proposio q. Chamaremos as proposies p1,p

    2,p3,...,pn

    de premissas do argumento, e a proposio q de concluso do argumento. Podemos representar por:

    p1

    p2

    p3...pn q

    Exemplos:

    01. Se eu passar no concurso, ento irei trabalhar.Passei no concurso________________________ Irei trabalhar

    02. Se ele me ama ento casa comigo.Ele me ama.__________________________ Ele casa comigo.

    03. Todos os brasileiros so humanos.Todos os paulistas so brasileiros.__________________________ Todos os paulistas so humanos.

    04. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores recebero

    o bicho.Se o Palmeiras no ganhar o jogo, todos os jogadores

    recebero o bicho.__________________________ Todos os jogadores recebero o bicho.

    Observao: No caso geral representamos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da concluso com trs pontos antes. Veja exemplo:

    Premissa: Todos os sais de sdio so substncias solveis em gua.

    Todos os sabes so sais de sdio. ____________________________________Concluso: Todos os sabes so substncias solveis

    em gua.

    Os argumentos, em lgica, possuem dois componentes bsicos: suas premissas e sua concluso. Por exemplo, em: Todos os times brasileiros so bons e esto entre os melhores times do mundo. O Brasiliense um time brasileiro. Logo, o Brasiliense est entre os melhores times do mundo, temos um argumento com duas premissas e a concluso.

    Evidentemente, pode-se construir um argumento vlido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma concluso tambm verdadeira. Mas tambm possvel construir argumentos vlidos a partir de premissas falsas, chegando a concluses falsas. O detalhe que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferncia vlida e chegar a uma concluso verdadeira. Por exemplo:

    Premissa: Todos os peixes vivem no oceano.Premissa: Lontras so peixes.Concluso: Logo, focas vivem no oceano.

    H, no entanto, uma coisa que no pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de modo correto e chegar a uma concluso falsa. Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicao. O smbolo A denota implicao; A a premissa, B a concluso.

    Regras de Implicao

    Premissas Concluso InfernciaA B A B

    Falsas Falsa VerdadeiraFalsas Verdadeira Verdadeira

    Verdadeiras Falsa FalsaVerdadeiras Verdadeira Verdadeira

    - Se as premissas so falsas e a inferncia vlida, a concluso

    pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2).- Se as premissas so verdadeiras e a concluso falsa, a

    inferncia invlida (linha 3).- Se as premissas e a inferncia so vlidas, a concluso

    verdadeira (linha 4).

    Desse modo, o fato de um argumento ser vlido no significa necessariamente que sua concluso seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. Um argumento vlido que foi derivado de premissas verdadeiras chamado de argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a concluses verdadeiras.

    Premissas: Argumentos dedutveis sempre requerem certo nmero de assunes-base. So as chamadas premissas. a partir delas que os argumentos so construdos ou, dizendo de outro modo, as razes para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a concluso de outro, por exemplo. As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omisso das premissas comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzir as chances de aceitao do argumento.

    A apresentao das premissas de um argumento geralmente precedida pelas palavras admitindo que..., j que..., obviamente se... e porque.... imprescindvel que seu oponente

  • Didatismo e Conhecimento 7

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    concorde com suas premissas antes de proceder argumentao. Usar a palavra obviamente pode gerar desconfiana. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmaes falsas em vez de admitir que no entenda por que algo bvio. No se deve hesitar em questionar afirmaes supostamente bvias.

    Inferncia: Uma vez que haja concordncia sobre as premissas, o argumento procede passo a passo por meio do processo chamado inferncia. Na inferncia, parte-se de uma ou mais proposies aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferncia for vlida, a nova proposio tambm dever ser aceita. Posteriormente, essa proposio poder ser empregada em novas inferncias. Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentao, entretanto, o nmero de afirmaes que podem ser utilizadas aumenta. H vrios tipos de inferncia vlidos, mas tambm alguns invlidos. O processo de inferncia comumente identificado pelas frases Consequentemente... ou isso implica que....

    Concluso: Finalmente se chegar a uma proposio que consiste na concluso, ou seja, no que se est tentando provar. Ela o resultado final do processo de inferncia e s pode ser classificada como concluso no contexto de um argumento em particular. A concluso respalda-se nas premissas e inferida a partir delas.

    A seguir est exemplificado um argumento vlido, mas que pode ou no ser consistente.

    1. Premissa: Todo evento tem uma causa.2. Premissa: O universo teve um comeo.3. Premissa: Comear envolve um evento.4. Inferncia: Isso implica que o comeo do universo envolveu

    um evento.5. Inferncia: Logo, o comeo do universo teve uma causa.6. Concluso: O universo teve uma causa.

    A proposio do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, ento, usado em conjunto com proposio 4 para inferir uma nova proposio (item 5). O resultado dessa inferncia reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a concluso.

    Validade de um Argumento

    Conforme citamos anteriormente, uma proposio verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele vlido ou no vlido. A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lgica das suas proposies (premissas e concluses) e no do contedo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinaes para os argumentos vlidos dedutivos:

    a) Premissas verdadeiras e concluso verdadeira. Exemplo:

    Todos os apartamentos so pequenos. (V)Todos os apartamentos so residncias. (V)__________________________________ Algumas residncias so pequenas. (V)

    b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma concluso verdadeira. Exemplo:

    Todos os peixes tm asas. (F)Todos os pssaros so peixes. (F)__________________________________ Todos os pssaros tm asas. (V)

    c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma concluso falsa. Exemplo:

    Todos os peixes tm asas. (F)Todos os ces so peixes. (F)__________________________________ Todos os ces tm asas. (F)

    Todos os argumentos acima so vlidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras ento as concluses tambm as seriam. Podemos dizer que um argumento vlido quando todas as suas premissas so verdadeiras, acarreta que sua concluso tambm verdadeira. Portanto, um argumento ser no vlido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua concluso falsa. Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Exemplo:

    Todas as mulheres so bonitas.Todas as princesas so mulheres.__________________________ Todas as princesas so bonitas.

    Observe que no precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento vlido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos:

    Todos os A so B.Todos os C so A.________________ Todos os C so B.

    Logo, o que importante a forma do argumento e no o conhecimento de A, B e C, isto , este argumento vlido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade consequncia da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

    Argumentos Dedutivos e Indutivos

    O argumento ser dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da concluso, isto , o argumento dedutivo quando a concluso completamente derivada das premissas. Exemplo:

    Todo ser humano tem me.Todos os homens so humanos.__________________________ Todos os homens tm me.

  • Didatismo e Conhecimento 8

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    O argumento ser indutivo quando suas premissas no fornecerem o apoio completo para retificar as concluses. Exemplo:

    O Flamengo um bom time de futebol.O Palmeiras um bom time de futebol.O Vasco um bom time de futebol.O Cruzeiro um bom time de futebol.______________________________ Todos os times brasileiros de futebol so bons.

    Portanto, nos argumentos indutivos a concluso possui informaes que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, no se aplica, ento, a definio de argumentos vlidos ou no vlidos para argumentos indutivos.

    Argumentos Dedutivos Vlidos

    Vimos ento que a noo de argumentos vlidos ou no vlidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e tambm que a validade depende apenas da forma do argumento e no dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos tambm que no podemos ter um argumento vlido com premissas verdadeiras e concluso falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos vlidos importantes.

    Afirmao do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo vlido que discutiremos chama-se afirmao do antecedente, tambm conhecido como modus ponens. Exemplo:

    Se Jos for reprovado no concurso, ento ser demitido do servio.

    Jos foi aprovado no concurso.___________________________ Jos ser demitido do servio.

    Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

    Se p, ento q,

    .

    .

    qp

    ou p q

    qp

    Outro argumento dedutivo vlido a negao do consequente (tambm conhecido como modus tollens). Obs.: ( )qp equivalente a ( )pq . Esta equivalncia chamada de contra positiva. Exemplo:

    Se ele me ama, ento casa comigo equivalente a Se ele no casa comigo, ento ele no me ama;

    Ento vejamos o exemplo do modus tollens. Exemplo:

    Se aumentarmos os meios de pagamentos, ento haver inflao.

    No h inflao.______________________________ No aumentamos os meios de pagamentos.

    Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

    Se p, ento q,

    .

    .

    pNoqNo

    ou

    p q

    pq

    Existe tambm um tipo de argumento vlido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente este argumento ocorre quando algum forado a escolher entre duas alternativas indesejveis. Exemplo:

    Joo se inscreve no concurso de MS, porm no gostaria de sair de So Paulo, e seus colegas de trabalho esto torcendo por ele.Eis o dilema de Joo:

    Ou Joo passa ou no passa no concurso.Se Joo passar no concurso vai ter que ir embora de So Paulo.Se Joo no passar no concurso ficar com vergonha diante

    dos colegas de trabalho._________________________ Ou Joo vai embora de So Paulo ou Joo ficar com

    vergonha dos colegas de trabalho.

    Este argumento evidentemente vlido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

    p ou q.

    Se p ento r

    soursentopSe

    .

    ou

    p q

    p r

    srsq

    Argumentos Dedutivos No Vlidos

    Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quando se est construindo um argumento dedutivo. Elas so conhecidas como falcias. Na linguagem do dia a dia, ns denominamos muitas crenas equivocadas como falcias, mas, na lgica, o termo possui significado mais especfico: falcia uma falha tcnica que torna o argumento inconsistente ou invlido (alm da consistncia do argumento, tambm se podem criticar as intenes por detrs da argumentao).

    Argumentos contentores de falcias so denominados falaciosos. Frequentemente, parecem vlidos e convincentes, s vezes, apenas uma anlise pormenorizada capaz de revelar a falha lgica. Com as premissas verdadeiras e a concluso falsa nunca teremos um argumento vlido, ento este argumento no vlido, chamaremos os argumentos no vlidos de falcias. A seguir, examinaremos algumas falcias conhecidas que ocorrem com muita frequncia. O primeiro caso de argumento dedutivo no vlido que veremos o que chamamos de falcia da afirmao do consequente. Exemplo:

  • Didatismo e Conhecimento 9

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    Se ele me ama ento ele casa comigo.Ele casa comigo._______________________ Ele me ama.

    Podemos escrever esse argumento como:

    Se p, ento q,

    pq

    ou

    p q

    pq

    Este argumento uma falcia, podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa.

    Outra falcia que corre com frequncia a conhecida por falcia da negao do antecedente. Exemplo:

    Se Joo parar de fumar ele engordar.Joo no parou de fumar.________________________ Joo no engordar.

    Observe que temos a forma:

    Se p, ento q,

    .

    .

    qNopNo

    ou

    p q

    qp

    Este argumento uma falcia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa.

    Os argumentos dedutivos no vlidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da concluso. Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos no vlidos com premissas e concluses verdadeiras, porm, as premissas no sustentam a concluso. Exemplo:

    Todos os mamferos so mortais. (V)Todos os gatos so mortais. (V)___________________________ Todos os gatos so mamferos. (V)

    Este argumento tem a forma:

    Todos os A so B.Todos os C so B._____________________ Todos os C so A.

    Podemos facilmente mostrar que esse argumento no vlido, pois as premissas no sustentam a concluso, e veremos ento que podemos ter as premissas verdadeiras e a concluso falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamfero, B por mortais e C por cobra.

    Todos os mamferos so mortais. (V)Todas as cobras so mortais. (V)__________________________ Todas as cobras so mamferas. (F)

    Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lgicas, para demonstrarmos se um argumento vlido ou falso. Outra maneira de verificar se um dado argumento P

    1, P

    2, P3,

    ...Pn vlido ou no, por meio das tabelas-verdade, construir a condicional associada: (P

    1 P

    2 P3 ...Pn) e reconhecer se

    essa condicional ou no uma tautologia. Se essa condicional associada tautologia, o argumento vlido. No sendo tautologia, o argumento dado um sofisma (ou uma falcia).

    Tautologia: Quando uma proposio composta sempre verdadeira, ento teremos uma tautologia. Ex: P (p,q) = ( p q) (p V q) . Numa tautologia, o valor lgico da proposio composta P (p,q,s) =

    {(p q) V (p V s) V [p (q s)]} p ser sempre verdadeiro.

    H argumentos vlidos com concluses falsas, da mesma forma que h argumentos no vlidos com concluses verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua concluso no determinam a validade ou no validade de um argumento. O reconhecimento de argumentos mais difcil que o das premissas ou da concluso. Muitas pessoas abarrotam textos de asseres sem sequer produzirem algo que possa ser chamado de argumento. s vezes, os argumentos no seguem os padres descritos acima. Por exemplo, algum pode dizer quais so suas concluses e depois justific-las. Isso vlido, mas pode ser um pouco confuso.

    Para complicar, algumas afirmaes parecem argumentos, mas no so. Por exemplo: Se a Bblia verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus. Isso no um argumento, uma afirmao condicional. No explicita as premissas necessrias para embasar as concluses, sem mencionar que possui outras falhas.

    Um argumento no equivale a uma explicao. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, algum dissesse: Einstein afirmou que Deus no joga dados porque acreditava em Deus. Isso pode parecer um argumento relevante, mas no . Trata-se de uma explicao da afirmao de Einstein. Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmao da forma X porque Y pode ser reescrita na forma Y logo X. O que resultaria em: Einstein acreditava em Deus, por isso afirmou que Deus no joga dados. Agora fica claro que a afirmao, que parecia um argumento, est admitindo a concluso que deveria estar provando. Ademais, Einstein no cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.

    QUESTES

    01. Se Iara no fala italiano, ento Ana fala alemo. Se Iara fala italiano, ento ou Ching fala chins ou Dbora fala dinamarqus. Se Dbora fala dinamarqus, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se no for verdade que Francisco no fala francs. Ora, Francisco no fala francs e Ching no fala chins. Logo,

    a) Iara no fala italiano e Dbora no fala dinamarqus.b) Ching no fala chins e Dbora fala dinamarqus. c) Francisco no fala francs e Elton fala espanhol.d) Ana no fala alemo ou Iara fala italiano.e) Ana fala alemo e Dbora fala dinamarqus.

  • Didatismo e Conhecimento 10

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    02. Sabe-se que todo o nmero inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo.Se n primo, ento tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n uma potncia de um primo p, ou seja, da forma ps, ento 1, p, p2, ..., ps so os divisores positivos de n. Segue-se da que a soma dos nmeros inteiros positivos menores do que 100, que tm exatamente trs divisores positivos, igual a:

    a) 25b) 87c) 112d) 121e) 169

    03. Ou Lgica fcil, ou Artur no gosta de Lgica. Por outro lado, se Geografia no difcil, ento Lgica difcil. Da segue-se que, se Artur gosta de Lgica, ento:

    a) Se Geografia difcil, ento Lgica difcil.b) Lgica fcil e Geografia difcil.c) Lgica fcil e Geografia fcil.d) Lgica difcil e Geografia difcil. e) Lgica difcil ou Geografia fcil.

    04. Trs suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados presena de um velho e sbio professor de Lgica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos culpado e que o culpado s vezes fala a verdade e s vezes mente. Sabe-se, tambm, que dos outros dois (isto , dos suspeitos que so inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sbio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: Eu sou o culpado. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: Sim, ele o culpado. Disse, por fim, o de camisa preta: Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu. O velho e sbio professor de Lgica, ento, sorriu e concluiu corretamente que:

    a) O culpado o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente.

    b) O culpado o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente.

    c) O culpado o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente.

    d) O culpado o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade.

    e) O culpado o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

    05. O rei ir caa condio necessria para o duque sair do castelo, e condio suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa condio necessria e suficiente para o baro sorrir e condio necessria para a duquesa ir ao jardim. O baro no sorriu. Logo:

    a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.b) Se o duque no saiu do castelo, ento o conde encontrou a

    princesa.c) O rei no foi caa e o conde no encontrou a princesa.d) O rei foi caa e a duquesa no foi ao jardim.e) O duque saiu do castelo e o rei no foi caa.

    06. (FUNIVERSA - 2012 - PC-DF - Perito Criminal) Parte superior do formulrio

    Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 200,00, j com a gorjeta includa. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo lcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribudo com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, ento, as seguintes declaraes, todas verdadeiras:

    Antnio: Baslio pagou. Eu vi quando ele pagou.Danton: Carlos tambm pagou, mas do Baslio no sei

    dizer. Eduardo: S sei que algum pagou com quatro notas de

    R$ 10,00.Baslio: Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antnio quem

    colocou, eu vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota

    de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na mesa.

    Imediatamente aps essas falas, o garom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo, dirigiu-se exatamente quele que ainda no havia contribudo para a despesa e disse: O senhor pretende usar seu carto e ficar com o troco em espcie? Com base nas informaes do texto, o garom fez a pergunta a

    (A) Antnio. (B) Baslio. (C) Carlos. (D) Danton. (E) Eduardo.

    07. (ESAF - 2012 - Auditor Fiscal da Receita Federal) Parte superior do formulrio

    Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou no caso. Vou morar em Passrgada ou no compro uma bicicleta. Ora, no vou morar em Passrgada. Assim,

    (A) no viajo e caso.(B) viajo e caso.(C) no vou morar em Passrgada e no viajo.(D) compro uma bicicleta e no viajo.(E) compro uma bicicleta e viajo.

    08. (FCC - 2012 - TST - Tcnico Judicirio) Parte superior do formulrio

    A declarao abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade: Todo funcionrio de nossa empresa possui plano de sade e ganha mais de R$ 3.000,00 por ms. Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declarao. Dessa forma, conclui-se que, necessariamente,

    (A) dentre todos os funcionrios da empresa X, h um grupo que no possui plano de sade.

    (B) o funcionrio com o maior salrio da empresa X ganha, no mximo, R$ 3.000,00 por ms.

    (C) um funcionrio da empresa X no tem plano de sade ou ganha at R$ 3.000,00 por ms.

    (D) nenhum funcionrio da empresa X tem plano de sade ou todos ganham at R$ 3.000,00 por ms.

    (E) alguns funcionrios da empresa X no tm plano de sade e ganham, no mximo, R$ 3.000,00 por ms.

  • Didatismo e Conhecimento 11

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    09. (CESGRANRIO - 2012 - Chesf - Analista de Sistemas) Parte superior do formulrio

    Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira, Pedro ter aula de futebol ou natao. Quando Pedro tem aula de futebol ou natao, Jane o leva at a escolinha esportiva. Ao levar Pedro at a escolinha, Jane deixa de fazer o almoo e, se Jane no faz o almoo, Carlos no almoa em casa. Considerando-se a sequncia de implicaes lgicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoou em casa hoje, ento hoje

    (A) tera, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane no fez o almoo.(B) Pedro no teve aula de natao e no segunda-feira.(C) Carlos levou Pedro at a escolinha para Jane fazer o

    almoo. (D) no segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas

    uma das modalidades esportivas.(E) no segunda, Pedro no teve aulas, e Jane no fez o

    almoo.

    10. (VUNESP - 2011 - TJM-SP) Parte superior do formulrioSe afino as cordas, ento o instrumento soa bem. Se o

    instrumento soa bem, ento toco muito bem. Ou no toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: no sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que

    (A) sonho dormindo. (B) o instrumento afinado no soa bem. (C) as cordas no foram afinadas. (D) mesmo afinado o instrumento no soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo.

    Respostas

    01.(P1) Se Iara no fala italiano, ento Ana fala alemo.(P2) Se Iara fala italiano, ento ou Ching fala chins ou

    Dbora fala dinamarqus. (P3) Se Dbora fala dinamarqus, Elton fala espanhol.(P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se no for verdade

    que Francisco no fala francs. (P5) Ora, Francisco no fala francs e Ching no fala chins.

    Ao todo so cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se ento, Ou, Se e somente se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lgico que ele s ser vlido quando todas as premissas forem verdadeiras, a concluso tambm for verdadeira. Uma boa dica sempre comear pela premissa formada com o conectivo e.

    Na premissa 5 tem-se: Francisco no fala francs e Ching no fala chins. Logo para esta proposio composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compe devero ser verdadeiras, ou seja, sabemos que:

    Francisco no fala francsChing no fala chins

    Na premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se no for verdade que Francisco no fala francs. Temos uma proposio composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa

    ser verdadeira se as proposies que a formarem forem de mesmo valor lgico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que no seja verdade que Francisco no fala francs e ele fala, isto j falso e o antecedente do se e somente se tambm ter que ser falso, ou seja: Elton no fala espanhol.

    Da premissa 3 tem-se: Se Dbora fala dinamarqus, Elton fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo se ento (veja que a vrgula subentende que existe o ento), pois , a regra do se ento que ele s vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton no fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira s poderemos aceitar um valor lgico possvel para o antecedente, ou seja, ele dever ser falso, pois F F = V, logo: Dbora no fala dinamarqus.

    Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, ento ou Ching fala chins ou Dbora fala dinamarqus. Vamos analisar o consequente do se ento, observe: ou Ching fala chins ou Dbora fala dinamarqus. (temos um ou exclusivo, cuja regra , o ou exclusivo, s vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching no fala chins e Dbora no fala dinamarqus, temos: F ou exclusivo F = F. Se o consequente deu falso, ento o antecedente tambm dever ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Iara no fala italiano.

    Da premissa 1 tem-se: Se Iara no fala italiano, ento Ana fala alemo. Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no consequente... S ser verdadeiro quando V V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo no teremos o Falso na premissa que indesejado, desse modo: Ana fala alemo.

    Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmaes:

    Francisco no fala francs Ching no fala chins Elton no fala espanholDbora no fala dinamarqusIara no fala italianoAna fala alemo.

    A nica concluso verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras a da alternativa (A), resposta do problema.

    02. Resposta B.O nmero que no primo denominado nmero composto.

    O nmero 4 um nmero composto. Todo nmero composto pode ser escrito como uma combinao de nmeros primos, veja: 70 um nmero composto formado pela combinao: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 so nmeros primos. O problema informou que um nmero primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p2, onde p um nmero primo.

    Observe os seguintes nmeros:1 2 22 (4)1 3 3 (9)1 5 5 (25)1 7 7 (49)1 11 11 (121)

  • Didatismo e Conhecimento 12

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    Veja que 4 tm apenas trs divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais nmeros 9, 25, 49 e 121 (mas este ltimo j maior que 100) portanto a soma dos nmeros inteiros positivos menores do que 100, que tm exatamente trs divisores positivos dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.

    03. Resposta B.O Argumento uma sequncia finita de proposies lgicas

    iniciais (Premissas) e uma proposio final (concluso). A validade de um argumento independe se a premissa verdadeira ou falsa, observe a seguir:

    Todo cavalo tem 4 patas (P1)Todo animal de 4 patas tem asas (P2)Logo: Todo cavalo tem asas (C)

    Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma concluso C. Veja que este argumento vlido, pois se as premissas se verificarem a concluso tambm se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se cavalo ento tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.

    (P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 patas ento o animal tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

    (C) Todo cavalo tem asas. Indica que se cavalo ento tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto de cavalos um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

    Observe que ao unir as premissas, a concluso sempre se verifica. Toda vez que fizermos as premissas serem verdadeiras, a concluso tambm for verdadeira, estaremos diante de um argumento vlido. Observe:

    Desse modo, o conjunto de cavalos subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua vez subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a concluso se verifica, ou seja, todo cavalo tem asas. Agora na questo temos duas premissas e a concluso uma das alternativas, logo temos um argumento.

    O que se pergunta qual das concluses possveis sempre ser verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a concluso que torna o argumento vlido. Vejamos:

    Ou Lgica fcil, ou Artur no gosta de Lgica (P1)Se Geografia no difcil, ento Lgica difcil. (P2)Artur gosta de Lgica (P3)

    Observe que deveremos fazer as trs premissas serem verdadeiras, inicie sua anlise pela premissa mais fcil, ou seja, aquela que j vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa trs, veja que para ela ser verdadeira, Artur gosta de Lgica. Com esta informao vamos at a premissa um, onde temos a presena do ou exclusivo um ou especial que no aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou falsas. Observe a tabela verdade do ou exclusivo abaixo:

    p q p V qV V FV F VF V VF F F

    Sendo as proposies:p: Lgica fcilq: Artur no gosta de Lgicap v q = Ou Lgica fcil, ou Artur no gosta de Lgica (P1)

    Observe que s nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as linhas 2 e 3 da tabela verdade. Mas j sabemos que Artur gosta de Lgica, ou seja, a premissa q falsa, s nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p tambm ser verdadeira, ou seja, Lgica fcil. Sabendo que Lgica fcil, vamos para a P2, temos um se ento.

    Se Geografia no difcil, ento Lgica difcil. Do se ento j sabemos que:

    Geografia no difcil - o antecedente do se ento. Lgica difcil - o consequente do se ento.

    Chamando:r: Geografia difcil~r: Geografia no difcil (ou Geografia fcil)p: Lgica fcil(no p) ~p: Lgica difcil

    ~r ~p (l-se se no r ento no p) sempre que se verificar o se ento tem-se tambm que a negao do consequente gera a negao do antecedente, ou seja: ~(~p) ~(~r), ou seja, p r ou Se Lgica fcil ento Geografia difcil.

    De todo o encadeamento lgico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que:

    Artur gosta de LgicaLgica fcilGeografia difcil

  • Didatismo e Conhecimento 13

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    Vamos agora analisar as alternativas, em qual delas a concluso verdadeira:

    a) Se Geografia difcil, ento Lgica difcil. (V F = F) a regra do se ento s ser falso se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele ser sempre verdadeiro.

    b) Lgica fcil e Geografia difcil. (V ^ V = V) a regra do e que s ser verdadeiro se as proposies que o formarem forem verdadeiras.

    c) Lgica fcil e Geografia fcil. (V ^ F = F)d) Lgica difcil e Geografia difcil. (F ^ V = F)e) Lgica difcil ou Geografia fcil. (F v F = F) a regra

    do ou que s falso quando as proposies que o formarem forem falsas.

    04. Alternativa A.Com os dados fazemos a tabela:

    Camisa azul Camisa Branca Camisa Preta

    eu sou culpa-do

    sim, ele (de camiza azul) o culpado

    Eu roubei o colar da rainha; o culpado

    sou eu

    Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos culpado e que o culpado s vezes fala a verdade e s vezes mente. Sabe-se, tambm, que dos outros dois (isto , dos suspeitos que so inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente.

    I) Primeira hiptese: Se o inocente que fala verdade o de camisa azul, no teramos resposta, pois o de azul fala que culpado e ento estaria mentindo.

    II) Segunda hiptese: Se o inocente que fala a verdade o de camisa preta, tambm no teramos resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele o culpado e no inocente.

    III) Terceira hiptese: Se o inocente que fala a verdade o de camisa branca achamos a resposta, observem: Ele inocente e afirma que o de camisa branca culpado, ele o inocente que sempre fala a verdade. O de camisa branca o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele est dizendo a verdade). O de camisa preta inocente e afirma que roubou, logo ele o inocente que est sempre mentindo.

    O resultado obtido pelo sbio aluno dever ser: O culpado o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente (Alternativa A).

    05. Resposta C.Uma questo de lgica argumentativa, que trata do uso do

    conectivo se ento tambm representado por . Vamos a um exemplo:

    Se o duque sair do castelo ento o rei foi caa. Aqui estamos tratando de uma proposio composta (Se o duque sair do castelo ento o rei foi caa) formada por duas proposies simples (duque sair do castelo) (rei ir caa), ligadas pela presena do conectivo () se ento. O conectivo se ento liga duas proposies simples da seguinte forma: Se p ento q, ou seja:

    p ser uma proposio simples que por estar antes do ento tambm conhecida como antecedente.

    q ser uma proposio simples que por estar depois do ento tambm conhecida como consequente.

    Se p ento q tambm pode ser lido como p implica em q. p conhecida como condio suficiente para que q ocorra,

    ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer. q conhecida como condio necessria para que p ocorra,

    ou seja, se q no ocorrer ento p tambm no ir ocorrer.

    Vamos s informaes do problema:1) O rei ir caa condio necessria para o duque sair do

    castelo. Chamando A (proposio rei ir caa) e B (proposio duque sair do castelo) podemos escrever que se B ento A ou B A. Lembre-se de que ser condio necessria ser consequente no se ento.

    2) O rei ir caa condio suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposio rei ir caa) e C (proposio duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se A ento C ou A C. Lembre-se de que ser condio suficiente ser antecedente no se ento.

    3) O conde encontrar a princesa condio necessria e suficiente para o baro sorrir. Chamando D (proposio conde encontrar a princesa) e E (proposio baro sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto o antecedente quanto o consequente so condio necessria e suficiente ao mesmo tempo), onde poderamos tambm escrever E se e somente se D ou E D.

    4) O conde encontrar a princesa condio necessria para a duquesa ir ao jardim. Chamando D (proposio conde encontrar a princesa) e C (proposio duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C ento D ou C D. Lembre-se de que ser condio necessria ser consequente no se ento.

    A nica informao claramente dada que o baro no sorriu, ora chamamos de E (proposio baro sorriu). Logo baro no sorriu = ~E (l-se no E).

    Dado que ~E se verifica e D E, ao negar a condio necessria nego a condio suficiente: esse modo ~E ~D (ento o conde no encontrou a princesa).

    Se ~D se verifica e C D, ao negar a condio necessria nego a condio suficiente: ~D ~C (a duquesa no foi ao jardim).

    Se ~C se verifica e A C, ao negar a condio necessria nego a condio suficiente: ~C ~A (ento o rei no foi caa).

    Se ~A se verifica e B A, ao negar a condio necessria nego a condio suficiente: ~A ~B (ento o duque no saiu do castelo).

    Observe entre as alternativas, que a nica que afirma uma proposio logicamente correta a alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei no foi caa e o conde no encontrou a princesa.

    06. Resposta D. Como todas as informaes dadas so verdadeiras, ento

    podemos concluir que:1 - Baslio pagou;2 - Carlos pagou;3 - Antnio pagou, justamente, com os R$ 100,00 e pegou

    os R$ 60,00 de troco que, segundo Carlos, estavam os R$ 50,00 pagos por Eduardo, ento...

    4 - Eduardo pagou com a nota de R$ 50,00.

    O nico que escapa das afirmaes o Danton.

  • Didatismo e Conhecimento 14

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    Outra forma: 5 amigos: A,B,C,D, e E.

    Antnio: - Baslio pagou. Restam A, D, C e E.Danton: - Carlos tambm pagou. Restam A, D, e E.Eduardo: - S sei que algum pagou com quatro notas de R$

    10,00. Restam A, D, e E.Baslio: - Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antnio. Restam

    D, e E.Carlos: - Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota

    de R$ 50,00 que o Eduardo colocou. Resta somente D (Dalton) a pagar.

    07. Resposta B.

    Parte inferior do formulrio1: separar a informao que a questo forneceu: no vou

    morar em passrgada.2: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro

    tem de haver pelo menos uma proposio verdadeira.3: destacando-se as informaes seguintes:- caso ou compro uma bicicleta.- viajo ou no caso.- vou morar em passrgada ou no compro uma bicicleta.

    Logo:- vou morar em pasrgada (F)- no compro uma bicicleta (V)- caso (V)- compro uma bicicleta (F)- viajo (V)- no caso (F)

    Concluso: viajo, caso, no compro uma bicicleta.

    Outra forma:

    c = casarb = comprar bicicletav = viajarp = morar em Passrgada

    Temos as verdades:c ou bv ou ~cp ou ~b

    Transformando em implicaes:~c b = ~b c~v ~c = c v~p ~b

    Assim:~p ~b~b cc v

    Por transitividade:~p c~p v

    No morar em passrgada implica casar. No morar em passrgada implica viajar.

    08. Resposta C.

    A declarao dizia:Todo funcionrio de nossa empresa possui plano de sade e

    ganha mais de R$ 3.000,00 por ms. Porm, o diretor percebeu que havia se enganado, portanto, basta que um funcionrio no tenha plano de sade ou ganhe at R$ 3.000,00 para invalidar, negar a declarao, tornando-a desse modo FALSA. Logo, necessariamente, um funcionrio da empresa X no tem plano de sade ou ganha at R$ 3.000,00 por ms.

    Proposio composta no conectivo e - Todo funcionrio de nossa empresa possui plano de sade e ganha mais de R$ 3.000,00 por ms. Logo: basta que uma das proposies seja falsa para a declarao ser falsa.

    1 Proposio: Todo funcionrio de nossa empresa possui plano de sade.

    2 Proposio: ganha mais de R$ 3.000,00 por ms.

    Lembre-se que no enunciado no fala onde foi o erro da declarao do gerente, ou seja, pode ser na primeira proposio e no na segunda ou na segunda e no na primeira ou nas duas que o resultado ser falso.

    Na alternativa C a banca fez a negao da primeira proposio e fez a da segunda e as ligaram no conectivo ou, pois no conectivo ou tanto faz a primeira ser verdadeira ou a segunda ser verdadeira, desde que haja uma verdadeira para o resultado ser verdadeiro.

    Ateno: A alternativa E est igualzinha, s muda o conectivo que o e, que obrigaria que o erro da declarao fosse nas duas.

    A questo pede a negao da afirmao: Todo funcionrio de nossa empresa possui plano de sade e ganha mais de R$ 3.000,00 por ms.

    Essa fica assim ~(p ^ q). A negao dela ~pv~q

    ~(p^q) ~pv~q (negao todas e vira ou)

    A 1 proposio tem um Todo que quantificador universal, para neg-lo utilizamos um quantificador existencial. Pode ser: um, existe um, pelo menos, existem...

    No caso da questo ficou assim: Um funcionrio da empresa no possui plano de sade ou ganha at R$ 3.000,00 por ms. A negao de ganha mais de 3.000,00 por ms, ganha at 3.000,00.

    09. Resposta B.

    Sendo: Segunda = S e Quarta = Q, Pedro tem aula de Natao = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF.

    V = conectivo ou e = conectivo Se, ... ento, temos:S V Q PF V PN

  • Didatismo e Conhecimento 15

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    Sendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negao, ou seja Jane no leva Pedro a escolinha. Ainda temos que ~Ja = Jane deixa de fazer o almoo e C = Carlos almoa em Casa e ~C = Carlos no almoa em casa, temos:

    PF V PN JeJe ~Ja~Ja ~C

    Em questes de raciocnio lgico devemos admitir que todas as proposies compostas so verdadeiras. Ora, o enunciado diz que Carlos almoou em casa, logo a proposio ~C Falsa.

    ~Ja ~C

    Para a proposio composta ~Ja ~C ser verdadeira, ento ~Ja tambm falsa.

    ~Ja ~C

    Na proposio acima desta temos que Je ~Ja, contudo j sabemos que ~Ja falsa. Pela mesma regra do conectivo Se, ... ento, temos que admitir que Je tambm falsa para que a proposio composta seja verdadeira.

    Na proposio acima temos que PF V PN Je, tratando PF V PN como uma proposio individual e sabendo que Je falsa, para esta proposio composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa.

    Ora, na primeira proposio composta da questo, temos que S V Q PF V PN e pela mesma regra j citada, para esta ser verdadeira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individualmente S V Q como falsa, esta s pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas. E da mesma maneira tratamos PF V PN.

    Representao lgica de todas as proposies:

    S V Q PF V PN(f) (f) (f) (f) F F

    PF V PN Je F F

    Je ~Ja F F

    ~Ja ~C F F

    Concluso: Carlos almoou em casa hoje, Jane fez o almoo e no levou Pedro escolinha esportiva, Pedro no teve aula de futebol nem de natao e tambm no segunda nem quarta. Agora s marcar a questo cuja alternativa se encaixa nesse esquema.

    10. Resposta C.

    D nome:A = AFINO as cordas;I = INSTRUMENTO soa bem;T = TOCO bem;S = SONHO acordado.

    Montando as proposies:1 - A I2 - I T3 - ~T V S (ou exclusivo)

    Como S = FALSO; ~T = VERDADEIRO, pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso ou isso ou aquilo, escolha UM).

    ~T = VT = FI T(F)

    Em muitos casos, um macete que funciona nos exerccios lotados de condicionais, sendo assim o F passa para trs.

    Assim: I = FNovamente: A I(F)

    O FALSO passa para trs. Com isso, A = FALSO. ~A = Verdadeiro = As cordas no foram afinadas.

    Outra forma: partimos da premissa afirmativa ou de concluso; ltima frase:

    No sonho acordado ser VERDADEAdmita todas as frases como VERDADEFicando assim de baixo para cima

    Ou no toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = VSe o instrumento soa bem (F) ento toco muito bem (F) = VSe afino as cordas (F), ento o instrumento soa bem (F) = V

    A dica trabalhar com as excees: na condicional s d falso quando a primeira V e a segunda F. Na disjuno exclusiva (ou... ou) as divergentes se atraem o que d verdade. Extraindo as concluses temos que:

    No toco muito bem, no sonho acordado como verdade.Se afino as corda deu falso, ento no afino as cordas.Se o instrumento soa bem deu falso, ento o instrumento no

    soa bem.

    Joga nas alternativas:(A) sonho dormindo (voc no tem garantia de que sonha

    dormindo, s temos como verdade que no sonho acordado, pode ser que voc nem sonhe).

    (B) o instrumento afinado no soa bem deu que: No afino as cordas.

    (C) Verdadeira: as cordas no foram afinadas.(D) mesmo afinado (Falso deu que no afino as cordas) o

    instrumento no soa bem.(E) toco bem acordado e dormindo, absurdo. Deu no toco

    muito bem e no sonho acordado.

  • Didatismo e Conhecimento 16

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    3. RACIOCNIO SEQUENCIAL

    O Raciocnio uma operao lgica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais proposies, para concluir atravs de mecanismos de comparaes e abstraes, quais so os dados que levam s respostas verdadeiras, falsas ou provveis. Foi pelo processo do raciocnio que ocorreu o desenvolvimento do mtodo matemtico, este considerado instrumento puramente terico e dedutivo, que prescinde de dados empricos. Logo, resumidamente o raciocnio pode ser considerado tambm um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formao de conceitos e da soluo de problemas, sendo parte do pensamento.

    Sequncias Lgicas

    As sequncias podem ser formadas por nmeros, letras, pessoas, figuras, etc. Existem vrias formas de se estabelecer uma sequncia, o importante que existam pelo menos trs elementos que caracterize a lgica de sua formao, entretanto algumas sries necessitam de mais elementos para definir sua lgica. Algumas sequncias so bastante conhecidas e todo aluno que estuda lgica deve conhec-las, tais como as progresses aritmticas e geomtricas, a srie de Fibonacci, os nmeros primos e os quadrados perfeitos.

    Sequncia de Nmeros

    Progresso Aritmtica: Soma-se constantemente um mesmo nmero.

    Progresso Geomtrica: Multiplica-se constantemente um mesmo nmero.

    Incremento em Progresso: O valor somado que est em progresso.

    Srie de Fibonacci: Cada termo igual a soma dos dois anteriores.

    1 1 2 3 5 8 13

    Nmeros Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais.

    2 3 5 7 11 13 17

    Quadrados Perfeitos: Nmeros naturais cujas razes so naturais.

    1 4 9 16 25 36 49

    Sequncia de Letras

    As sequncias de letras podem estar associadas a uma srie de nmeros ou no. Em geral, devemos escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou no, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lgica proposta.

    A C F J O U

    Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses nmeros esto em progresso.

    A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U

    B1 2F H4 8L N16 32R T64

    Nesse caso, associou-se letras e nmeros (potncias de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 1, 3, 1, 3 e 1 posies.

    A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

    Sequncia de Pessoas

    Na srie a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que esto em uma posio mltipla de trs (3, 6, 9, 12,...) sero mulheres e a posio dos braos sempre alterna, ficando para cima em uma posio mltipla de dois (2, 4, 6, 8,...). Sendo assim, a sequncia se repete a cada seis termos, tornando possvel determinar quem estar em qualquer posio.

    Sequncia de Figuras

    Esse tipo de sequncia pode seguir o mesmo padro visto na sequncia de pessoas ou simplesmente sofrer rotaes, como nos exemplos a seguir.

    Sequncia de Fibonacci

    O matemtico Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, props no sculo XIII, a sequncia numrica: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ). Essa sequncia tem uma lei de formao simples: cada elemento, a partir do terceiro, obtido somando-

  • Didatismo e Conhecimento 17

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim por diante. Desde o sculo XIII, muitos matemticos, alm do prprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da sequncia que foi proposta, e foram encontradas inmeras aplicaes para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenmenos naturais.

    Veja alguns exemplos das aplicaes da sequncia de Fibonacci e entenda porque ela conhecida como uma das maravilhas da Matemtica. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retngulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retngulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retngulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retngulo 5 x 3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retngulos formam a sequncia de Fibonacci.

    Se utilizarmos um compasso e traarmos o quarto de circunferncia inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordncia de arcos cujos raios so os elementos da sequncia de Fibonacci.

    O Partenon que foi construdo em Atenas pelo clebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do edifcio, hoje em runas, era um retngulo que continha um quadrado de lado igual altura. Essa forma sempre foi considerada satisfatria do ponto de vista esttico por suas propores sendo chamada retngulo ureo ou retngulo de ouro.

    Como os dois retngulos indicados na figura so semelhantes temos: (1).

    Como: b = y a (2). Substituindo (2) em (1) temos: y2 ay a2 = 0. Resolvendo a equao:

    em que no convm.

    Logo:

    Esse nmero conhecido como nmero de ouro e pode ser representado por:

    Todo retngulo e que a razo entre o maior e o menor lado for igual a chamado retngulo ureo como o caso da fachada do Partenon.

    As figuras a seguir possuem nmeros que representam uma sequncia lgica. Veja os exemplos:

    Exemplo 1

    A sequncia numrica proposta envolve multiplicaes por 4.6 x 4 = 2424 x 4 = 9696 x 4 = 384384 x 4 = 1536

    Exemplo 2

    A diferena entre os nmeros vai aumentando 1 unidade.13 10 = 317 13 = 422 17 = 528 22 = 635 28 = 7

  • Didatismo e Conhecimento 18

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    Exemplo 3

    Multiplicar os nmeros sempre por 3.1 x 3 = 33 x 3 = 99 x 3 = 2727 x 3 = 8181 x 3 = 243243 x 3 = 729729 x 3 = 2187

    Exemplo 4

    A diferena entre os nmeros vai aumentando 2 unidades.24 22 = 228 24 = 434 28 = 642 34 = 852 42 = 1064 52 = 1278 64 = 14

    QUESTES

    01. Observe atentamente a disposio das cartas em cada linha do esquema seguinte:

    A carta que est oculta :

    (A) (B) (C)

    (D) (E)

    02. Considere que a sequncia de figuras foi construda segundo um certo critrio.

    Se tal critrio for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de nmero 15 dever ser:

    (A) 69 (B) 67 (C) 65 (D) 63 (E) 61

    03. O prximo nmero dessa sequncia lgica : 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ...

    (A) 800 (B) 790 (C) 780 (D) 770

    04. Na sequncia lgica de nmeros representados nos hexgonos, da figura abaixo, observa-se a ausncia de um deles que pode ser:

    (A) 76(B) 10 (C) 20 (D) 78

  • Didatismo e Conhecimento 19

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    05. Uma criana brincando com uma caixa de palitos de fsforo constri uma sequncia de quadrados conforme indicado abaixo:

    1 2 3

    .............

    Quantos palitos ele utilizou para construir a 7 figura? (A) 20 palitos (B) 25 palitos (C) 28 palitos (D) 22 palitos

    06. Ana fez diversas planificaes de um cubo e escreveu em cada um, nmeros de 1 a 6. Ao montar o cubo, ela deseja que a soma dos nmeros marcados nas faces opostas seja 7. A nica alternativa cuja figura representa a planificao desse cubo tal como deseja Ana :

    (A)

    1 3 62 4 5

    (B)4

    5 1 2 36

    (C)5

    6 4 1 23

    (D)2

    3 6 14 5

    (E)3

    2 1 6 54

    07. As figuras da sequncia dada so formadas por partes iguais de um crculo.

    Continuando essa sequncia, obtm-se exatamente 16 crculos completos na:

    (A) 36 figura(B) 48 figura(C) 72 figura(D) 80 figura(E) 96 figura

    08. Analise a sequncia a seguir:

    Admitindo-se que a regra de formao das figuras seguintes permanea a mesma, pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 277 posio dessa sequncia :

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    (E)

    09. Observe a sequncia: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, ... Qual o prximo nmero?

    (A) 20 (B) 21 (C) 100 (D) 200

    10. Observe a sequncia: 3,13, 30, ... Qual o prximo nmero?

    (A) 4 (B) 20 (C) 31 (D) 21

  • Didatismo e Conhecimento 20

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critrio.

    LACRAO calAMOSTRA somaLAVRAR ?

    Segundo o mesmo critrio, a palavra que dever ocupar o lugar do ponto de interrogao :

    (A) alar(B) rala(C) ralar(D) larva(E) arval

    12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padro.

    Segundo o padro estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogao :

    (A) (B) (C)

    (D) (E)

    13. Observe que na sucesso seguinte os nmeros foram colocados obedecendo a uma lei de formao.

    Os nmeros X e Y, obtidos segundo essa lei, so tais que X + Y igual a:

    (A) 40(B) 42(C) 44(D) 46(E) 48

    14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de tringulo, segundo determinado critrio.

    Considerando que na ordem alfabtica usada so excludas as letra K, W e Y, a letra que substitui corretamente o ponto de interrogao :

    (A) P(B) O(C) N(D) M(E) L

    15. Considere que a sequncia seguinte formada pela sucesso natural dos nmeros inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados.

    1234567891011121314151617181920...

    O algarismo que deve aparecer na 276 posio dessa sequncia :

    (A) 9(B) 8(C) 6(D) 3(E) 1

    16. Em cada linha abaixo, as trs figuras foram desenhadas de acordo com determinado padro.

    Segundo esse mesmo padro, a figura que deve substituir o ponto de interrogao :

    (A) (B)

    (C) (D)

    (E)

  • Didatismo e Conhecimento 21

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    17. Observe que, na sucesso de figuras abaixo, os nmeros que foram colocados nos dois primeiros tringulos obedecem a um mesmo critrio.

    Para que o mesmo critrio seja mantido no tringulo da direita, o nmero que dever substituir o ponto de interrogao :

    (A) 32(B) 36(C) 38(D) 42(E) 46

    18. Considere a seguinte sequncia infinita de nmeros: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O nmero que preenche adequadamente a quarta posio dessa sequncia :

    (A) 36,(B) 40,(C) 42,(D) 44,(E) 48

    19. Observando a sequncia (1, , , , , ...) o prximo numero ser:

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    20. Considere a sequncia abaixo: BBB BXB XXBXBX XBX XBXBBB BXB BXX

    O padro que completa a sequncia :

    (A) (B) (C)XXX XXB XXXXXX XBX XXXXXX BXX XXB

    (D) (E) XXX XXXXBX XBXXXX BXX

    21. Na srie de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro igual soma de seus dois termos precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definio, so 0 e 1, o sexto termo da srie :

    (A) 2(B) 3(C) 4(D) 5(E) 6

    22. Nosso cdigo secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z. Do seguinte modo: cada letra substituda pela letra que ocupa a quarta posio depois dela. Ento, o A vira E, o B vira F, o C vira G e assim por diante. O cdigo circular, de modo que o U vira A e assim por diante. Recebi uma mensagem em cdigo que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o cdigo e li:

    (A) FAZ AS DUAS;(B) DIA DO LOBO;(C) RIO ME QUER;(D) VIM DA LOJA;(E) VOU DE AZUL.

    23. A sentena Social est para laicos assim como 231678 est para... melhor completada por:

    (A) 326187;(B) 876132;(C) 286731;(D) 827361;(E) 218763.

    24. A sentena Salta est para Atlas assim como 25435 est para... melhor completada pelo seguinte nmero:

    (A) 53452;(B) 23455;(C) 34552;(D) 43525;(E) 53542.

    25. Repare que com um nmero de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 nmeros de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um nmero de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetio. Veja abaixo alguns nmeros desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de nmeros de dois algarismos que esse nmero tem em comum com o nmero procurado.

    Nmero dado

    Quantidade de nmeros de 2 algarismos em comum

    48.765 1

    86.547 087.465 2

    48.675 1O nmero procurado :(A) 87456(B) 68745(C) 56874(D) 58746(E) 46875

  • Didatismo e Conhecimento 22

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    26. Considere que os smbolos e que aparecem no quadro seguinte, substituem as operaes que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita

    36 4 5 = 1448 6 9 = 1754 9 7 = ?

    Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogao dever ser substitudo pelo nmero:

    (A) 16(B) 15(C) 14(D) 13(E) 12

    27. Segundo determinado critrio, foi construda a sucesso seguinte, em que cada termo composto de um nmero seguido de uma letra: A1 E2 B3 F4 C5 G6 .... Considerando que no alfabeto usado so excludas as letras K, Y e W, ento, de acordo com o critrio estabelecido, a letra que dever anteceder o nmero 12 :

    (A) J(B) L(C) M(D) N(E) O

    28. Os nomes de quatro animais MAR, PERU, TATU e URSO devem ser escritos nas linhas da tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal.

    Excludas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente aos nmeros inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos nmeros que correspondem s letras que compem o nome do animal :

    (A) 37(B) 39(C) 45(D) 49(E) 51

    Nas questes 29 e 30, observe que h uma relao entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A mesma relao dever existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogao. Considere que a ordem alfabtica adotada a oficial e exclui as letras K, W e Y.

    29. CASA: LATA: LOBO: ?(A) SOCO(B) TOCO(C) TOMO(D) VOLO(E) VOTO

    30. ABCA: DEFD: HIJH: ?(A) IJLI(B) JLMJ(C) LMNL(D) FGHF(E) EFGE

    31. Os termos da sucesso seguinte foram obtidos considerando uma lei de formao (0, 1, 3, 4, 12, 123,...). Segundo essa lei, o dcimo terceiro termo dessa sequncia um nmero:

    (A) Menor que 200.(B) Compreendido entre 200 e 400.(C) Compreendido entre 500 e 700.(D) Compreendido entre 700 e 1.000.(E) Maior que 1.000.

    Para responder s questes de nmeros 32 e 33, voc deve observar que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo determinado critrio. Voc deve descobrir esse critrio e us-lo para encontrar a palavra que deve ser colocada no lugar do ponto de interrogao.

    32. Ardoroso rodo Dinamizar mina Maratona ?(A) mana(B) toma(C) tona(D) tora(E) rato

    33. Arborizado azarAsteride diasArticular ?(A) luar(B) arar(C) lira(D) luta(E) rara

    34. Preste ateno nesta sequncia lgica e identifique quais os nmeros que esto faltando: 1, 1, 2, __, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __...

    35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poo seco de 10 metros de profundidade e quer sair de l. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas noite, enquanto dorme, escorrega 1 metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar sada do poo?

  • Didatismo e Conhecimento 23

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    36. Quantas vezes voc usa o algarismo 9 para numerar as pginas de um livro de 100 pginas?

    37. Quantos quadrados existem na figura abaixo?

    38. Retire trs palitos e obtenha apenas trs quadrados.

    39. Qual ser o prximo smbolo da sequncia abaixo?

    40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais.

    41. Observe as multiplicaes a seguir:12.345.679 18 = 222.222.22212.345.679 27 = 333.333.333... ...12.345.679 54 = 666.666.666

    Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto?

    42. Esta casinha est de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faa com que fique de frente para a estrada asfaltada.

    43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados.

    44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relao lgica. Qual a carta que est faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1?

    45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito.

    46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequncia abaixo?

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    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    47. Mova trs palitos nesta figura para obter cinco tringulos.

    48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas.

    49. Reposicione trs palitos e obtenha cinco quadrados.

    50. Mude a posio de quatro palitos e obtenha cinco tringulos.

    Respostas

    01. Resposta: A. A diferena entre os nmeros estampados nas cartas 1 e 2, em

    cada linha, tem como resultado o valor da 3 carta e, alm disso, o naipe no se repete. Assim, a 3 carta, dentro das opes dadas s pode ser a da opo (A).

    02. Resposta D.Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria,

    tem-se: Na figura 1: 01 ponto de cada lado 02 pontos no total. Na figura 2: 02 pontos de cada lado 04 pontos no total. Na figura 3: 03 pontos de cada lado 06 pontos no total. Na figura 4: 04 pontos de cada lado 08 pontos no total. Na figura n: n pontos de cada lado 2.n pontos no total.

    Em particular: Na figura 15: 15 pontos de cada lado 30 pontos no total.

    Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se:

    Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo 04 pontos no total. Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo 06 pontos no total.

    Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo 08 pontos no total. Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo 10 pontos no total.Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo 2.(n+1) pontos

    no total.

    Em particular: Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo 32 pontos no total.

    Incluindo o ponto central, que ainda no foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos.

    03. Resposta B.Nessa sequncia, observamos que a diferena: entre 1000 e

    990 10, entre 990 e 970 20, entre o 970 e 940 30, entre 940 e 900 40, entre 900 e 850 50, portanto entre 850 e o prximo nmero 60, dessa forma conclumos que o prximo nmero 790, pois: 850 790 = 60.

    04. Resposta DNessa sequncia lgica, observamos que a diferena: entre 24

    e 22 2, entre 28 e 24 4, entre 34 e 28 6, entre 42 e 34 8, entre 52 e 42 10, entre 64 e 52 12, portanto entre o prximo nmero e 64 14, dessa forma conclumos que o prximo nmero 78, pois: 76 64 = 14.

    05. Resposta D. Observe a tabela:

    Figuras 1 2 3 4 5 6 7N de Palitos 4 7 10 13 16 19 22

    Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das trs primeiras figuras. Feito isto, basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fcil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade de palitos da 7 figura.

    06. Resposta A.Na figura apresentada na letra B, no possvel obter

    a planificao de um lado, pois o 4 estaria do lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra C, da mesma forma, o 5 estaria em face oposta ao 3, somando 8, no formando um lado. Na figura da letra D, o 2 estaria em face oposta ao 4, no determinando um lado. J na figura apresentada na letra E, o 1 no estaria em face oposta ao nmero 6, impossibilitando, portanto, a obteno de um lado. Logo, podemos concluir que a planificao apresentada na letra A a nica para representar um lado.

    07. Resposta B. Como na 3 figura completou-se um crculo, para completar

    16 crculos suficiente multiplicar 3 por 16 : 3 . 16 = 48. Portanto, na 48 figura existiro 16 crculos.

  • Didatismo e Conhecimento 25

    RACIOCNIO LGICO E QUANTITATIVO

    08. Resposta B.A sequncia das figuras completa-se na 5 figura. Assim,

    continua-se a sequncia de 5 em 5 elementos. A figura de nmero 277 ocupa, ento, a mesma posio das figuras que representam nmero 5n + 2, com n N. Ou seja, a 277 figura corresponde 2 figura, que representada pela letra B.

    09. Resposta D. A regularidade que obedece a sequncia acima no se d por

    padres numricos e sim pela letra que inicia cada nmero. Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o prximo s pode iniciar tambm com D: Duzentos.

    10. Resposta C.Esta sequncia regida pela inicial de cada nmero. Trs,

    Treze, Trinta,... O prximo s pode ser o nmero Trinta e um, pois ele inicia com a letra T.

    11. Resposta E.Na 1 linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da

    palavra LACRAO, mas na ordem invertida. Da mesma forma, na 2 linha, a palavra SOMA retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 primeira letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem invertida, obtm-se ARVAL.

    12. Resposta C. Em cada linha apresentada, as cabeas so formadas por

    quadrado, tringulo e crculo. Na 3 linha j h cabeas com crculo e com tringulo. Portanto, a cabea da figura que est faltando um quadrado. As mos das figuras esto levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as mos levantadas ( o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que est faltando na 3 linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabea quadrada, as mos levantadas e a perna erguida para a esquerda.

    13. Resposta A. Existem duas leis distintas para a formao: uma para a parte

    superior e outra para a parte inferior. Na parte superior, tem-se que: do 1 termo para o 2 termo, ocorreu uma multiplicao por 2; j do 2 termo para o 3, houve uma subtrao de 3 unidades. Com isso, X igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 10. Na parte inferior, tem-se: do 1 termo para o 2 termo ocorreu uma multiplicao por 3; j do 2 termo para o 3, houve uma subtrao de 2 unidades. Assim, Y igual a 10 multiplicado por 3, isto , Y = 30. Logo, X + Y = 10 + 30 = 40.

    14. Resposta A.

    A sequncia do alfabeto inicia-se na extremidade direita do tringulo, pela letra A; aumenta a direita para a esquerda; continua pela 3 e 5 linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa pela 4 linha at a 2 linha. Na 2 linha, ento, as letras so, da direita para a esquerda, M, N, O, e a letra que substitui corretamente o ponto de interrogao a letra P.

    15. Resposta B. A sequncia de nmeros apresentada representa a lista dos

    nmeros naturais. Mas essa lista contm todos os algarismos dos nmeros, sem ocorrer a separao. Por exemplo: 101112 representam os nmeros 10, 11 e 12. Com isso, do nmero 1 at o nmero 9 existem 9 algarismos. Do nmero 10 at o nmero 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do nmero 100 at o nmero 124 existem: 3 x 25 = 75 algarismos. E do nmero 124 at o nmero 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276 posio o nmero 8, que aparece no nmero 128.

    16. Resposta D.Na 1 linha, internamente, a 1 figura possui 2 orelhas, a 2

    figura possui 1 orelha no lado esquerdo e a 3 figura possui 1 orelha no lado direito. Esse fato acontece, tambm, na 2 linha, mas na parte de cima e na parte de baixo, internamente em relao s figuras. Assim, na 3 linha ocorrer essa regra, mas em ordem inversa: a 3 figura da 3 linha que ter 2 orelhas internas, uma em cima e outra em baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3 linha no possuem orelhas externas, a 3 figura tambm no ter orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogao a 4.

    17. Resposta B. No 1 tringulo, o nmero que est no interior do tringulo

    dividido pelo nmero que est abaixo igual diferena entre o nmero que est direita e o nmero que est esquerda do tringulo: 40 5 21 13 8.

    A mesma regra acontece no 2 tringulo: 42 7 = 23 - 17 = 6.Assim, a mesma regra deve existir no 3 tringulo:? 3 = 19 - 7? 3 = 12? = 12 x 3 = 36.

    18. Resposta E.Verifique os intervalos e