3.2.2. Graficos np

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    3.2.2 Grafico np.

    (Carot, 466)

    El objeto de éste gráfico es controlar la proporción de piezas defectuosas que

    genera el proceso con el fin de que ésta proporción disminuya y, sobretodo de evitar queaumente. Implícitamente el uso de este tipo de gráficos con la aceptación de que nuestro

     proceso genera piezas defectuosas. o ideal es conseguir el objetivo !cero defectos", pero

    la aceptación de la e#istencia de piezas defectuosas no debe ser considerada como unaactitud conformista sino realista y como un estímulo para lograr una mejora continuada

    de$a calidad.

    %i p& es la proporción de piezas defectuosas cuando el proceso funciona bien, el

    'ráfico de (ontrol np no es más que el test de )ipótesis*

    ( )&&

     p p H    =  vs ( )&+  p p H    ≠

    En el apartado .-.. del capítulo se estudia este test y en el ejemplo /.-0

    apartado c1 se puede seguir el procedimiento e#acto para el cálculo de los limites del testque allí se llaman c1 y c2 y que aquí llamaremos imites de (ontrol Inferior y %uperior,respectivamente.

    Este cálculo e#acto se basa en que si n es el tama2o de muestra y p es la proporción de

     piezas defectuosas del proceso, la variable 3 !n4mero de piezas defectuosas en la

    muestra" se distribuye seg4n una variable 5inomial de parámetros n  y  p, o sea,( ) pn B X    ,≡  y requiere un proceso de tanteo en las tablas de distribución de la variable

     binomial 67abla + del 8ne#o +1 que no es cómodo de realizar.

    9or ello, en la práctica usual de éste gráfico de control, se suele utilizar un

     procedimiento apro#imado, consistente en apro#imar la variable 5inomial a la

    correspondiente variable :ormal, es decir*

    (   npqnp N  X    ;≡

    con lo que debemos usar las formulas e#puestas en el apartado.-..0 del capitulo *

    &&0

    &+qnp z npc

    α −≤

    &&0

    &0qnp znpc

    α +≥

    con lo que la zona de aceptación de la

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    y el tama2o de muestra a tomar para que la curva característica pase por los puntos

    ( )α −+;& p  y ( )β ;+ p  es*

    +≥

    &+

    ++&&0

     p p

    q p z q p z 

    nβ α 

    En la que la proporción de piezas defectuosas cuando el proceso esta bajo control, con

    &&   +   pq   −= , α   es la probabilidad de error de primera especie,0

    α  z   es el valor de una

    variable normal tipificada que a su derec)a su función de densidad tiene un área igual 0α 

    , n es el tama2o de muestra y φ   es la función de distribución de una variable :ormal

    7ipificada.

    a aplicación de este procedimiento apro#imado puede seguirse en el ejemplo

    /.--, apartado c1.

    El 'ráfico np, al igual que el resto de 'ráficos de (ontrol, se usa para detectar la

    e#istencia de causas asignables, cuya presencia se traduce en la pérdida de estabilidad de

    la distribución de la variable que graficamos, en este caso  X   = !n4mero de piezas

    defectuosas en la muestra". 9uesto que la variable que estamos estudiando es  X=B(n,p)su distribución varía con un cambio de n y$o  p. %i lo que pretendemos es detectar la

    e#istencia de causas asignables que modifiquen el valor de p, lógicamente, deberemos

    mantener constante a lo largo del muestreo el tama2o de muestra n pues, de esta forma,cualquier modificación en la distribución de X  será debida, e#clusivamente, a un cambio

    en p.

    %i la proporción de piezas defectuosas que genera el proceso cuando éste está bajo

    control p& es conocida la línea central y los límites de control del 'ráfico np son*

    &np LC  =

    &&0

    &qnp z np LCI 

    α −=

    &&0

    &qnp z np LCS 

    α +=

    En general, en los gráficos de control iniciales no se conoce p &, por lo que )abrá

    que proceder a su estimación a partir de la información que suministran m muestras detama2o n cuando el proceso está bajo control.

    En el apartado -.0.. de capitulo se )a estudiado la estimación de la proporción de

     piezas defectuosas p a partir de de m muestras de tama2o n. 8llí se )an considerado dosestimadores*

    =

    ==m

    m

     x

    n

     x

     p

    +

    +>  y

    m

     p

     p

    m

     p

    ∑==   +>

    >

    >+

    +-

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    En general, en los gráficos de control iniciales no se conoce p &, por lo que )abrá

    que proceder a su estimación a partir de la información que suministran m m!"#tra# $"

    tama%o n cuando el proceso esta bajo control.

    En el mencionado apartado -.0. del capitulo y se pone de manifiesto que ambos

    estimadores son insesgados y que la varianza del estimador x

     p> es menor o igual que la

    de p

     p >>  pero que cuando n es constante 6como ocurre en este gráfico1 los dos estimadores

    son uno mismo. En consecuencia, en el gráfico !p" que será estudiado en el apartado

    siguiente, como la constancia de n no es e#igible, utilizaremos x

     p>  por ser el de menor 

    varianza. (on el simple fin de dar una 4nica regla para los dos gráficos utilizaremos el

    estimador x

     p> .

    En el 'ráfico np se suele utilizar el término 6np1i para designar a #i !n4mero de piezas defectuosas en la muestra numero " con lo que el estimador de p quedará*

    ( )

    n pn

    mn

    np

    n

     x

     p m

    m

     x ===

    =

    =?

    >

    +

    +

    +

    en la que   pn  es la media aritmética de las piezas defectuosas calculada en elconjunto de las m muestras.

    @e la ecuación anterior se desprende que el estimador  &(X)=np a utilizar 

    es   pn  pues*

    ( )  pnn

     pnn pnnp   ===   ?>?

    y el estimador de la variancia '2

    (X)=npq resulta*

    ( ) ( )      

       −=−==

    n

     pn pn p pnq pnnpq   +?>+?>?

    @e donde se desprende que la línea central y los límites de control son*

     pn LC  =

       

       −+=

    n

     pn pn z  pn LCS    +

    0α 

      

     

     

     

    −−= n pn

     pn z  pn LCI    +0α 

    En la practica usual del (ontrol de (alidad, al igual que en los gráficos por 

    variables, también en los gráficos por atributos se utiliza el llamado criterio -σ  ,

    consistente en que -0

    =α 

     z   lo que equivale, bajo el supuesto de normalidad de X, a que

    &&0A.&=α  . (on ello, las formulas a aplicar son* pn LC  =

    +-/

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       −+=

    n

     pn pn pn LCS    +?-

       

       −−=

    n

     pn pn pn LCI    +?-

    (omo en los 'ráficos de (ontrol por ariables, en el 'ráfico np, los ímites de(ontrol 9reliminares se calculan a partir de m muestras de tama2o n cuando se supone

    que el proceso está bajo control. 9recisamente, estos límites preliminares se utilizan para

    contrastar si realmente el proceso estaba bajo control cuando se tomaron las muestras quesirvieron de base para su propio cálculo.

    Bna vez calculados los límites preliminares, se representan estas primeras m

    muestras en un gráfico en el que en el eje de ordenadas se sit4an las piezas defectuosas de

    cada muestra y en el eje de ordenadas el n4mero ordinal de la muestra. %i en este 'ráfico9reliminar no e#iste ninguna se2al de falta de control se acepta que el proceso funcionaba

    correctamente y los límites de control calculados podrán ser usados en los gráficos

    siguientes. %i por el contrario, e#iste alguna se2al de falta de control en unos pocos puntos, se eliminan éstos y se recalculan unos nuevos límites de control preliminares. %í

    el n4mero de puntos restantes después de la eliminación fueran insuficientes, se reinicia

    el proceso volviéndose a tomar m nuevas muestras cuando se supone al proceso bajocontrol. %e repite el ciclo )asta encontrar un gráfico preliminar que sirva de referencia a

    los siguientes gráficos de control.

    Encontrados los ímites 9reliminares y puesto en funcionamiento el sistema de

    control del proceso mediante los gráficos np, se recomienda que periódica se recalculennuevos ímites de (ontrol basándose en la información suministrada por los gráficos más

    recientes en los que no e#iste ninguna se2al de falta de control pues, de esta forma, en los

    nuevos límites tendremos en cuenta las mejoras de calidad que progresivamente se van

     produciendo.

    Ejemplo 10.1.

    a empresa de plásticos 98%7I8 %8. produce para la industria farmacéutica

    C8D88 %8. obturadoresFdosificadores. Esta pieza, sirve de cierre y de dosificador 

    en envases también de plástico para gotas oftálmicas. as prescripciones para lasdiferentes características de calidad cualitativas 6rebabas, poros, grietas, etc.1 se pueden

    comprobar visualmente con facilidad y para las características cuantitativas, que solo son

    dimensiones, e#isten calibres pasaFno pasa. En consecuencia, la clasificación de cada

     pieza en correcta o defectuosa se realiza con rapidez y facilidad.

    9ara el cálculo del 'ráfico de (ontrol 9reliminar, cuando aparentemente el proceso

    estaba bajo control, se tomaron m = /& muestras de tama2o n = &, contabilizándose en

    cada muestra el n4mero de piezas defectuosas. En la tabla +&.+ se recogen los resultados

    obtenidos

    uestra num defectuosasuestranum defectuosas

     

    +-G

    ( ) np x   =  ( )

    np x   =

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    + + 0G

    0 - 0A +

    - 0H &

    0 0 0

    / & -&

    G 0 -+ +

    A / -0 &

    H - -- 0

    - -

    +& - -/ &

    ++ + -G +

    +0 0 -A +

    +- + -H +

    + 0 - +

    +/ + &

    +G + + +

    +A - 0 A

    +H + - +

    + - &

    0& / +

    0+ 0 G

    00 0 A -

    0- - H 0

    0 0 0

    0/ + /& -

    (alcularemos los límites preliminares mediante*

    +.0

    /&

    +&/ ===  pn LC 

    =   

       −+=

    n

     pn pn pn LCS    +-   --+A/.G

    &

    +.0++.0-+.0   = 

      

       −+= LCS 

       

       −−=

    n

     pn pn z  pn LCI    +

    0α 

    =   +-+A/.0&

    +.0++.0-+.0   −= 

      

       −−= LCI 

    a ínea (entral 6(1 nos indica que por término medio es de esperar queaparezcan 0.+ piezas defectuosas en una muestra de tama2o &. El límite de (ontrol

    %uperior 6(%1 establece que si en la muestra aparecen G piezas defectuosas o menos,

    aceptaremos que el proceso funciona correctamente y que si aparecen A o másdefectuosas rec)azaremos la anterior )ipótesis, es decir, aceptaremos que el proceso está

    fuera de control. El ímite de (ontrol Inferior 6(I1 es negativo, en consecuencia el

    valor a utilizar es &, con lo que no se rec)azará ning4n punto por ser inferior al (I.

    +-A

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    En la figura +&.+ se )a representado el 'ráfico de (ontrol np correspondiente a

    los datos anteriores. En él puede observarse que el punto representativo de la muestra

    n4mero 0 supera al (% y, por tanto, indica que no se puede aceptar que cuando se tomódic)a muestra el proceso estaba bajo control.

    +-H

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    Sample

       S  a  m  p   l  e   C  o  u  n   t

    5045403530252015105

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

     __ NP=2.1

    UCL=6.332

    LCL=0

    1

    Antologia Control Estadisticode la CalidadIng. Juan Jose Siliceo Roe!o

    "#e!c icio 10.1 Ca!o$% 471

    (El mismo ejemplo tratado con MINITAB)

    %iguiendo la norma, el punto 0 debe ser eliminado y los imites de (ontrol

    recalculados. (omo el n4mero de piezas defectuosas de la muestra 0 es A, al eliminar 

    esta muestra el n4mero total de piezas defectuosas en el conjunto de las muestrasrestantes es +&/ FA = H. En consecuencia los nuevos límites serán*

    0,I

    IH ===  pn LC 

    =   

       −+=

    n

     pn pn pn LCS    +-   +-/0+.G

    ,&

    0+0-0   = 

      

       −+= LCS 

       

       −−=

    n

     pn pn z  pn LCI    +

    0α  =   +-/0.0

    ,&

    0+0-0   −= 

      

       −−= LCI 

    En la figura +&.0 se )a representado el segundo 'ráfico 9reliminar np. En él puede observarse que ya no e#iste ninguna se2al de falta de control. 9or tanto, el

    siguiente gráfico de control se iniciará representando los límites de control a)ora

    calculados para, a continuación, tomar periódicamente las correspondientes muestras detama2o &, contabilizar las piezas defectuosas en la muestra y llevar este resultado al

    gráfico. @e esta forma controlaremos el proceso en el sentido de que si aparece una causa

    +-

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    especial que aumente la proporción de piezas defectuosas debe aparecer en el gráfico la

    correspondiente se2al de falta de control.

     :ótese que el ímite de (ontrol Inferior es nulo. %i se produjera una mejora en el proceso que se traduce en una disminución del porcentaje de piezas defectuosas y, por 

    tanto, una disminución del valor medio np, debería producirse en el gráfico de control la

    salida de un punto por debajo del límite inferior, cosa que es imposible pues es nulo. 9or otra parte, debemos recordar que el procedimiento de cálculo utilizado )a sido elapro#imado consistente en suponer que la variable 6np1 es una variable :ormal cuando

    realmente es una 5inomial. a asimetría de esta variable )ace que las rac)as a ambos

    lados de la línea central no sean muy fiables y, en consecuencia, una rac)a por debajo dela ( puede no ser índice de que la proporción  p )a disminuida. 7odo ello abunda en la

    necesidad de que periódicamente, aun cuando no aparezcan se2ales de falta de control, se

    recalculen los límites de 'ráfico np.

    +&

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    Sample

       S  a  m  p   l  e   C  o  u  n   t

    45403530252015105

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    0

     __ NP=2

    UCL=6.135

    LCL=0

    Antologia Control Estadisticode la CalidadIng. Juan Jose Siliceo Roe!o

    "#e!c icio 10.1 Ca!o$% 471. Lii$es !e&isa'os

    :

    (&an#, 2)

    Gráficas np para números no conformes.

    En la gráfica  p, la fracción de no conformidades de la ésima muestra se da

    mediante

    n *

     p  =

    donde *, es el n4mero de no conformidades encontradas y n es el tama2o de la muestra.

    8l multiplicar ambos lados de la ecuaciónn

     * p

     =

     por n, se obtiene

    np *   =

    es decir, el n4mero de no conformidades es igual al tama2o de la muestra por la

     proporción de no conformidades. En lugar de usar una gráfica para la fracción de noconformidades, resulta 4til una alternativa equivalente, una gráfica para el n4mero de

    artículos no conformes.

    Este tipo de gráfica de control se conoce como gráfica np

    ++

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    a gráfica np es una gráfica de control para el n4mero de artículos no conformes

    en una muestra. 9ara usar la gráfica np, el tama2o de cada muestra debe ser constante.

    %uponga que dos muestras de tama2os +& y +/ tienen cada una cuatro artículos noconformes. Es evidente que la fracción de no conformidades en cada muestra es

    diferente, lo que se reflejaría en una gráfica p. %in embargo, una gráfica np no indicaría

    alguna diferencia entre las muestras.9or tanto, son necesarias muestras de mismo tama2o a fin de tener una base com4n parala medición. 9ara las gráficas p no se requieren muestras del mismo tama2o, porque la

    fracción de no conformidades no varía de acuerdo con el tama2o de la muestra

    a gráfica np es una alternativa 4til para la gráfica p. porque a menudo es más fácil de

    entender para el personal de producción 6el n4mero de artículos no conformes es mássignificativo que una fracción1. 8simismo, sólo requiere de un conteo, por lo que los

    cálculos son más sencillos.

    ,os límites de control para la gráfica np, al igual que los de la gráfica p, se basan

    en la distribución de probabilidad binominal. a línea central es el n4mero promedio de

    no conformidades por muestra, como indica n  que se calcula al tomar +  muestras detama2o n, sumando el n4mero de no conformidades yi en cada muestra y dividiéndolo

    entre + , es decir,

     * * * pn + 

    +++=

      ....0+

    un estimado de la desviación estándar es

    ( ) p pn #  pn   −=   +

    donde ( )   .$ n pn p =   Btilizando limites σ  -   como antes, los limites de control seespecifican mediante

    ( ) p pn pn LCS   pn   −+=   +-

    ( ) p pn pn LCI   pn   −−=   +-

    los datos para el ejemplo de la oficina de correos que estudiamos antes se dan en la figura+.--. El n4mero promedio de errores que se encontró es*

    0.00/

    +&....+- =++++= pn

    9ara encontrar la desviación estándar, primero debemos calcular 

    &00.&+&&

    0.0

    == p

    Entonces ( )   GGH.+&00.&+0.0   =−= pn #

    +0

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      Cigura +.--

    os limites de control se calculan como

    ( )   G.GGGH.+-0.0   =+= pn LCS 

    ( )   0&.0GGH.+-0.0   −=−= pn LCI 

    (omo el limite de control inferior es menor que cero, se usa un valor de cero. a grafica

    de control para este ejemplo se ilustra en la figura +.- 6I:I7851

    +-

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      Cigura +.-

    +