2006 - 2007

MATEMÁTICA IBILCE - UNESP

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Elaboração Rita de Cássia Pavani Lamas

Professores Autores Antonio Aparecido Andrade

Aparecida Francisco da Silva

Flávia Souza M. Silva

Géssica Priscila Ramos

Hermes Antônio Pedroso

João Carlos Ferreira Costa

Luciana de Fátima Martins

Marta Luiza Suleiman Pignatari

Rita de Cássia Pavani Lamas

Tiago de Carvalho

Apoio Técnico

João Evangelista Brito da Silva

Ano de publicação - 2008

O texto relativo a cada disciplina é de responsabilidade do autor.

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Í N D I C E

Introdução ........................................................................................................... 03

CAPÍTULO 1

1.1. Prática de Aritmética e Álgebra Elementares (Noturno) - João Carlos

Ferreira Costa ..................................................................................................... 06

1.2. Prática de Aritmética e Álgebra Elementares (Diurno) - Hermes Antônio

Pedroso e Marta Luiza Suleiman Pignatari ........................................................ 07

CAPÍTULO 2

2.1. Prática de Geometria Analítica e Vetores (Diurno e Noturno) - Antonio

Aparecido Andrade e Tiago de Carvalho .......................................................... 09

CAPÍTULO 3

3.1. INTRODUÇÃO .......................................................................................... 10

3.2. Geometria Euclidiana Plana e Desenho Geométrico – Rita de Cássia

Pavani Lamas e Flávia Souza M. Silva.............................................................. 10

3.3. Geometria Euclidiana Plana e Desenho Geométrico –Luciana de Fátima

Martins ............................................................................................................... 22

3.4. Prática de Geometria Espacial e Descritiva - Aparecida Francisco da

Silva e Rita de Cássia Pavani Lamas ................................................................. 22

CAPÍTULO 4

Prática de Política Educacional Brasileira - Géssica Priscila Ramos ................. 30

CAPÍTULO 5

Prática de Estrutura e Funcionamento do Ensino Fundamental e Médio -

Géssica Priscila Ramos ...................................................................................... 32

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INTRODUÇÃO

De acordo com a Resolução CNE/CP 2, de 18 de fevereiro de 2002, para a

integralização da carga horária do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto de

Biociências e Ciências Exatas de São José do Rio Preto, foi proposto no projeto

pedagógico em vigor a partir 2006, que a carga horária de 400 horas de Prática como

Componente Curricular (PCC) fosse distribuída por determinadas disciplinas do curso,

por entender que a PCC se caracteriza, sobretudo por momentos de preparação e reflexão

sobre a atividade docente do sujeito em formação; em oportunidade de discutir com

especialistas de diferentes áreas do ensino e de matemática sobre como se processa o

ensino-aprendizagem, quais conteúdos são mais importantes e em que contexto eles se

desenvolvem.

Para garantir a execução e envolvimento dos docentes responsáveis por cada uma

das PCC foi apresentado nos programas de ensino das disciplinas qual é a parcela de sua

carga horária que cabe a PCC, e as atividades que lhes correspondem foram destacadas na

metodologia de ensino.

De modo geral, no tocante ao Curso de Matemática, são as seguintes atividades que

compõem a PCC nas disciplinas:

- Apresentação de Seminários sobre tópicos da disciplina, em especial daqueles

diretamente relacionados com conteúdos que são abordados no ensino fundamental e

médio;

- Desenvolvimento de projetos de aplicação dos conteúdos abordados nas disciplinas;

- Utilização da informática no tratamento de conteúdos e elaboração de modelagem de

problemas;

- Elaboração de projetos de ensino, voltados para a escola básica, envolvendo o estudo do

conteúdo específico, aspectos históricos e uso de recursos tecnológicos;

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- Levantamento e análise de livros didáticos sob uma perspectiva crítica;

- Visitas a órgãos públicos, por exemplo, Diretoria de Ensino, Oficina Pedagógica, NRTE

Núcleo Regional de Tecnologia Educacional, FDE – Fundação para o Desenvolvimento da

Educação e Projetos Especiais desenvolvidos por Universidades e outras Instituições;

- Familiarização com o futuro ambiente de trabalho por meio de visitas a escolas,

conversas com professores, observações em sala de aula, análise do planejamento das

atividades didáticas;

- Construção de material didático;

- Exploração de tecnologia de informática em particular, com conhecimento de softwares e

de propostas governamentais para a área de Informática Educativa;

- Análise de vídeos e sua utilização em sala de aula;

- Conhecimento de projetos desenvolvidos pela Secretaria Estadual de Educação, MEC e

outras instituições.

Pretende-se que as atividades de PCC se constituam em subsídios para as

atividades a serem desenvolvidas nos Estágios Supervisionados I e II. Assim, no interior

das disciplinas de formação geral e especializada, além, é claro, das de formação

metodológica e prática, dar-se-á a reflexão do aluno sobre sua futura prática docente. Em

outras palavras, a introdução de PCC garantirá espaço para a discussão de experiências e

dificuldades, que serão compartilhadas não apenas com os professores dos estágios

supervisionados, mas também com todos os alunos e professores das diferentes disciplinas

nas quais estão previstas PCC.

Diante disto, o Conselho de Curso de Graduação em Matemática, propôs a

elaboração desta apostila, para registrar as PCCs desenvolvidas nas disciplinas pelo

docente responsável, nos anos de 2006 e 2007, com o objetivo que os demais docentes

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possam conhecer as práticas desenvolvidas para poder utilizá-las quando necessário, e

ainda, para obtenção de novas propostas de PCC.

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CAPÍTULO 1 Prática de Aritmética e Álgebra Elementares 1.1. Prática de Aritmética e Álgebra Elementares - Noturno João Carlos Ferreira Costa No decorrer do ano de 2007, na disciplina de Aritmética e Álgebra Elementares, do curso de licenciatura em Matemática noturno, desenvolvi os seguintes tópicos como atividades de Prática de Componente Curricular:

1. Encontrar uma estratégia para medir a altura da caixa d’água do IBILCE. 2. Resolver o problema de medir o raio da Terra. 3. Resolver problemas de medir distâncias inacessíveis 4. Resolver problemas práticos envolvendo volume, exponencial e logaritmos e

princípio de indução finita. 5. Jogo a torre de Hanói 6. Interpretação geométrica das raízes complexa da unidade. 7. Método de Newton e Método de Lagrange

Estas atividades foram realizadas em grupos, pelos alunos do curso, com exposição dos trabalhos em sala e com a elaboração de um relatório, entregue aos demais alunos da turma. Dentre as atividades realizadas algumas delas merecem destaque e comentários. Por exemplo, para medir a altura da caixa d’água o grupo responsável confeccionou um teodolito. Muitos alunos da turma não conheciam o teodolito. Eles se basearam em um modelo do Laboratório de Matemática. Na atividade 2, o grupo explorou um pouco de história da Matemática. Eles relataram como Eratóstenes por volta de 240 a.C. mediu o raio da Terra e comparou como isso poderia ser feito hoje, por eles, utilizando as técnicas de trigonometria que estávamos estudando. Quanto às distâncias inacessíveis, os grupos resolveram dois tipos de problemas: um quando queremos medir a distância de um ponto A a um ponto B, sendo apenas o ponto B inacessível; e outro medindo a distância entre dois pontos nos quais ambos estão inacessíveis. Ambos os problemas são resolvidos com trigonometria básica. No que se refere à atividade 4, os grupos trabalharam problemas do cotidiano, modelando-os e apresentando uma solução com base no conteúdo que estávamos abordando na sala de aula. Entre os problemas descritos e resolvidos estão: crescimento populacional, crescimento de bactérias, decaimento radioativo, lei de resfriamento de um corpo, etc. Os alunos pesquisaram sobre estes temas e cruzaram as informações encontradas com a experiência de outros profissionais tais como biólogos, químicos e legistas. Sobre a torre de Hanói, o grupo confeccionou modelos do jogo em madeira e isopor, mostrando como trabalhar esta atividade com alunos do ensino fundamental e médio. Muitos alunos da turma não conheciam o jogo. Para explorar o que estávamos trabalhando em sala, o grupo mostrou por indução finita a fórmula que determina o número mínimo de movimentos necessários para deslocar as peças de uma das torres para outra. A atividade 6 envolvia números complexos. O grupo recordou a 2ª fórmula de Moivre para determinar as raízes n-ésimas de um número complexo e mostrou como as raízes se comportam no plano complexo, com destaque para a geometria das raízes n-ésimas da unidade. Finalmente, na atividade 7, um grupo apresentou o método de Newton para encontrar raízes de um polinômio, uma vez que polinômios era o conteúdo do momento. Esta atividade serviu para introduzi-los aos pré-requisitos do Cálculo

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Numérico. O grupo responsável em descrever e aplicar o Método de Lagrange não fez a atividade. As atividades foram realizadas à medida que os assuntos do curso foram abordados. A bibliografia básica utilizada pelos alunos foi a bibliografia utilizada no curso, com destaque para os livros • Temas e Problemas (Coleção do Professor de Matemática) - SBM E.L. Lima, P.C.P. Carvalho, E. Wagner, A.C. Morgado • A Matemática do ensino Médio Vol. 1, 2 e 3 - SBM E.L. Lima, P.C.P. Carvalho, E. Wagner, A.C. Morgado

Foram utilizados também materiais retirados de sites da Internet (por exemplo, wikipédia). As atividades foram realizadas com muito empenho pelos grupos. Apenas três alunos da turma não participaram das atividades, sendo que dois deles já estão reprovados. A apresentação oral e escrita foi uma boa forma dos alunos interagirem com a turma. Acredito que as atividades contribuíram para acrescentar na aprendizagem dos alunos e no aperfeiçoamento do curso.

1.2. Prática de Aritmética e Álgebra Elementares - Diurno Hermes Antônio Pedroso e Marta Luiza Suleiman Pignatari Projeto: “Cálculo da Altura da Caixa D’ Água do Ibilce”

1. Fazer uma breve pesquisa sobre o cálculo de distâncias inacessíveis na História da Matemática.

2. Calcular a altura da caixa d’ água do Ibilce, descrevendo o material utilizado e quais foram as atividades realizadas para se chegar ao resultado. Apresentar todos os cálculos e métodos, discutindo possíveis aproximações.

3. Apresentar outros problemas correlatos. 4. Bibliografia.

Obs: Este projeto foi desenvolvido por grupos de no máximo cinco alunos. Analise resumida dos trabalhos apresentados:

1. Entendemos que a pesquisa histórica foi bem elaborada, utilizando os textos sugeridos e sites da internet.

2. Em geral, observamos que para se chegar à medida da altura da caixa d’água, foi usado o conceito de semelhança de triângulos. Essa medida também foi obtida pelos alunos, com o auxílio de software de edição de imagens e ralações trigonométricas no triângulo retângulo. O material por eles utilizados foram compassos, canudos, trenas, esquadros, teodolitos, estacas, máquinas fotográficas e os próprios alunos para servirem de referência (modelos) para os cálculos. Os resultados obtidos variaram entre 17 e 22 metros.

3. Alguns dos problemas correlatos apresentados foram relativos ao cálculo de: - Largura do rio. - Raio da Terra.

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- Altura da pirâmide. - Túnel de Samos. - Altura da Torre de Pisa.

4. Além de sites da internet, a bibliografia por eles utilizada constituiu-se de textos de História da Matemática, principalmente os encontrados na Revista do Professor de Matemática.

5. As dificuldades apontadas pelos grupos foram com relação a sombras que as árvores faziam ao redor da caixa d’água que coincidiam com a sombra da caixa, a irregularidade do terreno fazendo o teodolito balançar, a trena de 10 metros não tinha tamanho suficiente para colher as medidas necessárias, etc.

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CAPÍTULO 2 Prática de Geometria Analítica e Vetores 2.1. Prática de Geometria Analítica e Vetores – Diurno e Noturno Antonio Aparecido Andrade e Tiago de Carvalho As Práticas como Componentes Curriculares da disciplina Geometria Analítica e Vetores, no ano de 2007, foram desenvolvidas no LIM e também no Laboratório de Matemática. Entre as atividades desenvolvidas destacamos:

1. Introdução ao Cabri-géomètre – Foram dadas noções básicas de utilização deste software, tais como: construção de pontos, retas, retas perpendiculares, segmentos de reta, segmentos perpendiculares, circunferências com centro e/ou raio dados, construção de cônicas, entre outros.

2. Introdução ao MAPLE – Foram dadas noções básicas de utilização deste software,

tais como: construção de gráficos no plano, construção de superfícies no espaço, construção de dois ou mais gráficos no plano, construção de duas ou mais superfícies no espaço, mudança de cores, intervalo de definição, intersecção de superfícies e gráficos, entre outros.

3. Introdução ao CorelDraw – Foram dadas noções básicas de utilização deste

software, tais como: construção de retas, segmentos, pontos, circunferências, esferas, elipses, entre outros .

4. Análise e estudos das figuras geométricas existentes no Laboratório de

Matemática, comparando com a teoria exposto em sala de aula. Os softwares Cabri-géomètre e MAPLE ajudaram os alunos a ter uma visão geométrica mais clara das cônicas e superfícies apresentadas a eles durante as aulas (tais como: elipses, hipérboles, parabolóide elíptico, hiperbolóide, parabolóide hiperbólico) . Já o software CorelDraw é uma valiosa ferramenta para a construção de figuras e pode ser usado pelos alunos para ilustrar relatórios e textos que eles venham a escrever.

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CAPÍTULO 3 Prática de Geometria Euclidiana Plana e Desenho Geométrico Geometria Espacial e Descritiva 3.1. INTRODUÇÃO

As práticas como componente curricular nas disciplinas Geometria Euclidiana Espacial e

Descritiva, e Geometria Euclidiana Plana e Desenho Geométrico, desenvolvidas em 2006 e 2007

foram baseadas em:

1. Atividades experimentais, especialmente para a “descoberta” dos resultados

matemáticos, motivando os alunos para a demonstração desses resultados, bem como a

discussão de como apresentá-los nos níveis de ensino fundamental e médio.

Observamos que as atividades são realizadas em sala de aula com os alunos de maneira

análoga como eles poderão desenvolver tais atividades no Ensino Fundamental e

Médio, apresentando desta forma, uma metodologia alternativa de ensino. Para o

desenvolvimento das atividades experimentais foram necessários materiais como

EVA, papel cartão, folha sulfite, canudo de refrigerante e vitamina, linha de pipa e

massa de modelar;

2. Construção de materiais didáticos para abordar conteúdos programáticos no Ensino

Fundamental e Médio como resultado das atividades experimentais, com apresentação

dos resultados obtidos em forma de seminários;

3. Apresentação do Software Cabri-géomètre para desenvolver os conteúdos de

geometria plana;

4. Exercícios que possibilitam ao aluno aplicar os conceitos adquiridos no seu cotidiano,

permitindo que este aluno melhore o seu nível de numeramento. Esses exercícios

foram apresentados em forma de seminários.

Descreveremos as principais atividades a seguir. Observamos que os comentários são

informações direcionadas aos professores.

3.2. Geometria Euclidiana Plana e Desenho Geométrico Rita de Cássia Pavani Lamas e Flávia Souza M. Silva Descreveremos as atividades experimentais desenvolvidas em 2006 e 2007. Algumas atividades envolvem modelos já construídos para obtenção dos resultados matemáticos e em outras os alunos constroem os modelos. Os comentários são direcionados para outros docentes que pretendem desenvolver as atividades aqui apresentadas.

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ATIVIDADE 1 : Construção do transferidor para que o aluno possa visualizar o que é 1º.

Material utilizado: régua, compasso, lápis, papel colorido, papel branco, cola e tesoura.

1. Com o compasso faça uma circunferência de raio 5 cm (ou qualquer outra medida). 2. Com a régua marque um diâmetro. 3. Com uma tesoura recorte de modo a obter um semicírculo. 4. Registre sobre o semicírculo as medidas de ângulo 0º e 180º. 5. Dobre o semicírculo em três partes iguais. 6. Com a régua marque as divisões obtidas no passo anterior e depois registre as

medidas de ângulos obtidas. 7. Dobrar ao meio cada uma das partes marcadas no passo anterior. 8. Com a régua marque as divisões obtidas no passo anterior e depois registre as

medidas de ângulos obtidas. 9. Como definir 1º ?

Comentário: A atividade foi desenvolvida em grupo de dois alunos. Os alunos foram anotando os passos descritos acima no papel branco e ao mesmo tempo construindo o transferidor no papel colorido. Depois colaram o transferidor no papel branco e responderam à pergunta.

ATIVIDADE 2 : Utilização do modelo descrito a seguir para obtenção dos três casos de congruência de triângulos.

Modelo - Casos de Congruência de Triângulos: Esse modelo foi construído

utilizando papel cartão como base e sobrepondo EVA, de forma a obter três grupos de triângulos, com as medidas dos lados indicadas, e utilizada a mesma cor para representar ângulos congruentes (modelo (a)). Observamos que para a utilização do modelo é necessário entender anteriormente o conceito de congruência de triângulos associando congruência com sobreposição.

Modelo: Casos de Congruência de Triângulos.

(a) (b)

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Modo de utilizar: Manusear o grupo de triângulos (1, 4 e 8) (modelo (b)) e verificar quais triângulos são congruentes. Analisando as medidas dadas nos triângulos deste grupo é possível obter uma propriedade matemática que facilita para verificar se dois triângulos são congruentes? Repita o procedimento para os grupos (3, 6 e 9) e (2, 5 e 7). Comentário: Observa-se que é importante que o mesmo aluno trabalhe com mais de um modelo, análogos ao aqui apresentado, com as medidas nos triângulos distintas. Isso leva o aluno a perceber que a mesma propriedade é obtida em cada grupo, podendo assim formalizar a propriedade. Após a formalização da propriedade há a necessidade de demonstrá-la. No entanto, foi dada a possibilidade ao aluno de visualizar antes a propriedade, o que aumenta o seu interesse em verificar a sua validade. É importante observar que em cada grupo de triângulos há uma situação problema que aparece quando um aluno utiliza os casos de congruência de triângulos. É comum em exercícios os alunos citarem que dois triângulos tendo dois lados com a mesma medida e um ângulo com a mesma medida são congruentes, sem entender que os ângulos com a mesma medida devem ter como lados deles os lados correspondentes com a mesma medida. ATIVIDADE 3 : Verificar a rigidez no triângulo e mostrar a aplicação de congruência de triângulos na vida cotidiana.

Material utilizado: canudos com medidas diferentes, linha de pipa e tesoura.

1. Utilizando quatro canudos de medidas distintas e a linha de pipa faça um quadrilátero.

2. Tente mudar a forma desse quadrilátero. O que você observou? 3. Utilizando três canudos de medidas distintas e a linha de pipa faça um

triângulo. 4. Tente mudar a forma desse triângulo. Você conseguiu alterar a forma do

triângulo? 5. Qual a explicação para o que aconteceu no item 4? 6. Dê aplicações desta rigidez na vida cotidiana.

ATIVIDADE 4 : Obter a condição de existência de triângulo.

Material utilizado: canudos, linha de pipa e tesoura.

1. Corte canudos com medidas a, b e c como na tabela a seguir. a b c a + b compare c com (a + b)

6 cm 8 cm 16 cm 6 cm 8 cm 12 cm 6 cm 8 cm 14 cm 5 cm 7 cm 12 cm 5 cm 7 cm 10 cm 5 cm 7 cm 13 cm

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2. Tente fazer triângulos com essas medidas inserindo linha de pipa nos canudos para cada caso das medidas a, b e c da tabela. O que você observou?

3. Calcule a+b para os valores de a e b dados na tabela acima e registre na coluna correspondente. Na última coluna da tabela registre a relação entre a+b e c.

4. Qual a relação envolvendo a, b e c garante a existência do triângulo cujos lados medem a, b e c?

ATIVIDADE 5 : Determinar uma fórmula matemática para obtenção do número de diagonais em polígonos convexos (ou regiões poligonais convexas).

Material utilizado: papel cartão, barbante (ou lã), tesoura, régua e percevejo. 1. Recortar em papel cartão polígonos regulares, como por exemplo, triângulo,

quadrado, pentágono, hexágono, heptágono, etc. 2. Para cada polígono utilize um pedaço de barbante (ou lã) para representar todas

as diagonais que partem de um só vértice. 3. Em cada polígono qual a relação entre o número de lados e o número de

diagonais que partem de um vértice? E num polígono de n lados? 4. Em cada polígono qual a relação entre o número de lados e o número de

diagonais? E num polígono de n lados? Comentário: Essa atividade resulta no modelo como apresentado a seguir. Este modelo também pode ser utilizado (no momento adequado) para determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Para isso, foi observado o número de triângulos formados ao se traçar as diagonais a partir de um vértice, conhecendo que soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o.

Diagonais dos Polígonos a partir de um vértice

ATIVIDADE 6 : Entender a origem de π e obter o comprimento da circunferência.

Material utilizado: papel cartão, compasso e tesoura .

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1. Faça no papel cartão quatro círculos distintos de raio R1, R2, R3 e R4,

respectivamente, e registre o valor do diâmetro de cada circunferência na tabela a seguir:

Diâmetro Comprimento Calcule 2R1 = C1=

1

1

2R

C=

2R2 = C2= 2

2

2R

C=

2R3 = C3= 3

3

2R

C=

2R4 = C4= 4

4

2R

C=

2. Inicialmente recorte externamente os círculos, bem próximo a cada circunferência,

e depois internamente. 3. O que você obteve são os comprimentos C1, C2, C3 e C4 das quatro circunferências.

Registre na tabela os comprimentos e o valor da razão de cada comprimento pelo correspondente diâmetro. Compare as razões. O que se pode concluir?

Comentário: Esta atividade também pode ser feita medindo o comprimento da circunferência de cada círculo, com um barbante, considerando o modelo constituído de seis círculos distintos feitos em E.V.A como na figura, ao invés de fazer os círculos de papel cartão.

Nessas atividades podem ser trabalhadas questões de aproximações.

Círculos em EVA e barbante

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ATIVIDADE 7 : Obter as áreas do quadrado e do retângulo.

Considerando como unidade de área um quadrado cujo lado mede uma unidade de comprimento (1 cm), chamado de quadrado unitário, com área, por definição, igual a 1cm2, entender o conceito de área de uma região plana, encontrando a área de um quadrado de lado L, como segue:

1. Faça três quadrados (três regiões quadrangulares) que tenham como medida do

lado os números inteiros 2 cm, 3 cm e 4 cm, respectivamente. Chame-os de Q1, Q2

e Q3. 2. Verifique quantas unidades de área (o quadrado de lado 1cm2) foram necessários

para preencher Q1. Este número é a área de Q1 (1QA ). Escreva (

1QA ) como

potência. Repita para Q2 e Q3 o que foi feito para Q1. 3. Qual é a área de um quadrado cujo lado é um número L = n, n inteiro?

Comentário: O resultado obtido foi formalizado através do axioma:

Axioma: Se ABCD é um quadrado de lado medindo a então sua área é dada por a2.

Pode ser encontrada a área de um quadrado de lado 1/n cm, n inteiro, utilizando ainda o quadrado de lado 1 cm como unidade de área. Tente comparar o quadrado de lado ½cm

e 1/3cm com o de lado 1cm. Escreva a área em forma de potência. Se o lado de um quadrado Q tem por medida o número racional m/n, então podemos

decompor cada lado de Q em m segmentos, cada um dos quais tem comprimento 1/n. Traçando paralelas aos lados de Q a partir dos pontos de divisão, obtemos uma

decomposição de Q em m2 quadrados, cada um dos quais tem lado 1/n. Portanto a área de cada um desses quadrados menores é 1/n2. Segue – se que a área de Q deve ser

m2(1/n2) = (m/n)2.

Pode ser trabalhada a área do retângulo da mesma forma como foi trabalhada a área do quadrado. No entanto, considerando o axioma anterior, foi demonstrado que, se ABCD é

um retângulo então sua área é dada pelo produto: .AB BC = b.h.

Considerando o Axioma a seguir foram propostas as atividades 8 a 11 para a obtenção das áreas de outras figuras planas, como a área do paralelogramo, do losango e do trapézio. Axioma: Triângulos congruentes têm áreas iguais.

C

B A

D

b h

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ATIVIDADE 8 : Obter a área do paralelogramo.

Faça um paralelogramo ABCD, chamando de b = ABe h a altura relativa a AB. Utilize sulfite ou papel cartão para fazer um modelo para mostrar que a área do paralelogramo é o produto do comprimento do lado AB pelo comprimento da altura relativa a este lado, ou seja, a Área (ABCD) = bh. Comentário: Considerando o paralelogramo

alguns alunos formaram o retângulo e calcularam a área do paralelogramo calculando a área desse retângulo. ATIVIDADE 9 : Obter a área do triângulo.

Utilize sulfite ou papel cartão para fazer um modelo para mostrar que a área de um triângulo é a metade do produto do comprimento de qualquer de seus lados pela altura relativa a este lado. Comentário: Usando dois triângulos congruentes chegaram que a área de um triângulo retângulo era metade da área de um retângulo e para triângulos não retângulos, metade da área do paralelogramo. OBSERVAÇÃO: Podemos obter a área de um paralelogramo como a soma das áreas de dois triângulos congruentes. Mas para isto devemos obter antes a área do triângulo. A área de um triângulo retângulo é a metade da área de um retângulo e a área de um triângulo que não é retângulo é obtida como a soma das áreas de dois triângulos retângulos. ATIVIDADE 10 : Obter a área do trapézio.

Faça um modelo para encontrar a área de um trapézio qualquer.

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Comentário: Foram utilizados dois trapézios congruentes para obter que a área do trapézio era a metade da área do paralelogramo obtido com os trapézios (ver figura). ATIVIDADE 11 : Obter a área do losango.

Faça um modelo para encontrar a área de um losango qualquer, em função das diagonais. Comentário: Alguns alunos simplesmente encontraram a área do losango

como a soma das áreas de dois triângulos congruentes, como mostra a figura a seguir e outros alunos construíram o paralelogramo e obtiveram a área do losango como a área do paralelogramo.

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ATIVIDADE 12 : Obter experimentalmente a área de um círculo. Material utilizado: papel sulfite de duas cores (ou E.V.A. de duas cores) e tesoura.

1. Faça um círculo e recorte-o em um número par de setores circulares como na figura.

2. Utilize os setores para fazer uma figura que você sabe calcular a área (ou bem

próxima). É possível concluir qual a área do círculo? Comentário: É importante incentivar os alunos para que façam círculos de raios distintos e com números distintos de setores. Isso possibilita uma amostra razoável de modelos para obter a mesma propriedade matemática, o que incentiva a demonstração do resultado. Os alunos montaram uma figura análoga à figura calculando a área do círculo como a área do retângulo ou paralelogramo. ATIVIDADE 13 : A partir de um triângulo construir triângulos semelhantes para visualizar a relação entre as áreas de triângulos semelhantes. Material utilizado: papel sulfite e tesoura.

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1. Faça um triângulo, e chame-o de T1. 2. Construa um triângulo T2 semelhante ao T1, de modo que as medidas dos lados

correspondentes meçam o dobro. 3. Compare a área de T2 com a área de T1. Registre a relação entre as áreas. 4. Construa um triângulo T3 semelhante ao T1, de modo que as medidas dos lados

correspondentes meçam o triplo. 5. Compare a área de T3 com a área de T1. Registre a relação entre as áreas. 6. Se construirmos um triângulo TN semelhante ao T1, multiplicando a medida dos

lados de T1 n vezes, qual a relação entre a área de TN e T1? ATIVIDADE 13 : Utilizar modelos para mostrar experimentalmente o Teorema de Pitágoras: a2 = b2+c2, onde a é a hipotenusa no triângulo retângulo e b e c são os catetos,

Modelo 1: Construído em E.V.A é constituído de uma base quadrangular, quatro triângulos retângulos congruentes, e três quadrados de lados a, b e c, respectivamente (ver figura).

Modelo de Pitágoras Modelo 2: Fazer os seguintes passos:

1. Construir dois triângulos retângulos congruentes de hipotenusa a, e catetos b e c. Verifique por superposição que os triângulos são congruentes.

2. Construir dois quadrados de lados b e dois quadrados de lado c. 3. Colocar um quadrado de lado b e um de lado c, lado a lado, e os dois triângulos

congruentes construídos no 1o passo, como mostra a figura a seguir.

4. Recortar os quadrados, segundo a hipotenusa desses triângulos. 5. Utilizar as cinco peças dos quadrados de lados b e c obtidas no passo 4, para

construir um quadrado de lado a. 6. Registre a conclusão que você chegou.

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Comentário: No modelo 1 deve ser sugerido ao aluno que ele substitua o quadrado de lado a pelos quadrados de lados b e c, posicionando os triângulos congruentes e os quadrados, sem sobreposição, na mesma base do modelo. Observe que o modelo resultante dessa atividade pode ser utilizado para visualizar a relação: (b+c)2 = b2 + 2bc+c2.

O modelo 2 foi construído em aula pelos alunos enquanto que o modelo 1 eles apenas manipularam o modelo pronto.

ATIVIDADE 14 : Mostre experimentalmente a relação métrica ah = bc no triângulo retângulo, onde h é a altura relativa à hipotenusa a e b e c são os catetos. Material utilizado: papel sulfite (ou papel cartão) e tesoura.

1. Construir, em papel sulfite ou cartão, quatro triângulos congruentes T1, T2, T3 e T4. Nomeie os lados e altura dos triângulos relativa á hipotenusa.

2. Montar um retângulo com os triângulos T1 e T2, e outro com T3 e T4. Registre a área dos retângulos obtidos.

3. Recortar a altura relativa à hipotenusa de T1 e com as peças obtidas juntamente com o triângulo T2 montar um retângulo. Registre a área do retângulo obtido.

4. Comparar as áreas no passo 2 e no passo 3. Registre o que você concluiu.

Exercícios de aplicação

Exercício 1: Ler e discutir as páginas 11 e 12 de Imenes (1992). Exercício 2: (Andando de bicicleta) O topo de um suporte de bicicleta colocado no pára-choque traseiro de um carro joga de um lado para o outro obliquamente.Observe a ilustração ou construa um modelo para ver como isso poderia acontecer. a) Para acabar com o movimento, onde você deveria fixar uma barra de reforço metálica? b) Por que isso dá certo?

Exercício 3: O preço para se pintar um quadro negro da escola é 30 reais. Quanto custaria a pintura de um quadro negro que tem a metade da altura e a metade do comprimento do nosso?

Exercício 4: (Carpintaria) Quando um carpinteiro quer que duas vigas convergentes encontrem a parede BC formando ângulos iguais, ele utiliza dois esquadros de carpinteiro da maneira mostrada na ilustração, com BE= EC. A seguir ele marca as vigas, como se vê na ilustração, nos pontos B e C. Por que esses ângulos de forças ABC e DCB terão medidas iguais? Exercício 5: (Caminhadas) (a) Que distância uma pessoa economizará atravessando diagonalmente um parque retangular que tem 3 e 4 km de lado?

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(b) Quanto tempo a pessoa economizará, supondo-se que percorra um quilômetro em 12 minutos? Exercício 6: (costura) Suponha que você queira fazer um acolchoado de 4 cores, conforme mostrado na ilustração. De quanto material você precisará para cada quadrado de 40cm de lado? Exercício 7: (culinária) Uma frigideira elétrica quadrada de 25 cm de lado oferece quanto de área a mais em relação a uma frigideira elétrica circular de 25 cm de diâmetro? Exercício 8: (carpintaria) Qual o diâmetro mínimo de um tronco de árvore para que dele se possam fazer postes quadrados cujas arestas das bases meçam 10 cm? Referências Bibliográficas [1] BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. [2] BIGODE, A. J. L. Matemática Hoje é Feita Assim. FTD, 2002. [3] GIOVANNI, J. R., CASTRUCCI, B. & GIOVANNI JR, J.R. A Conquista da Matemática. FTD, 1996. [4] IMENES, JAKUBO, LELLIS. Coleção: Para que serve Matemática? Semelhança. Atual, 1992. [5] Lamas, R.C.P., Mauri, J, Cáceres, A.R., Chire, V.A.Q. e Galão, P.H.. Atividades Experimentais de Geometria no Ensino Fundamental. Núcleo de Ensino da Unesp- Edição 2006. [6] Lamas, R.C.P., Mauri, J. O Teorema de Pitágoras e as Relações Métricas no Triângulo retângulo. Núcleo de Ensino da Unesp- Edição 2006. [7] Lamas, R.C.P., Mauri, J, Cáceres, A.R., Costa, F.M., Pereira, I.MCP. Ensinando Área no Ensino fundamental. Núcleo de Ensino da Unesp- Edição 2007. [8] LINDQUIST, M. M. & SHULTE, A. P. Aprendendo e Ensinando a Geometria. Atual, 1998. [9] Ramos, L.F. Coleção: A Descoberta da Matemática. Ática, 1999. [10] Secretaria de Estado da Educação - São Paulo. Experiências Matemáticas – 7ª Série e 8ª Série. São Paulo: SE/CENP, 1998. [11] Secretaria de Estado da Educação - São Paulo. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta Curricular para o Ensino de Matemática. São Paulo: SE/CENP, 1988.

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3.3. Geometria Euclidiana Plana e Desenho Geométrico Luciana de Fátima Martins

Foi trabalhado no LIM o programa Cabri-géomètre II. Foi ensinado as ferramentas do Cabri relativas a Geometria Euclidiana e Desenho,

enfatizando principalmente as construções com régua e compasso. O livro utilizado como referência para as atividades foi:

Atividades com Cabri-géomètre II - Yuriko Yamamoto Baldin e Guillermo Antonio Lobos Villagra EdUFSCar, 2002.

Os exercícios foram desenvolvidos no horário da aula e foi feita uma prova no

LIM no final do ano para avaliar o que aprenderam.

3.4. Prática de Geometria Espacial e Descritiva Aparecida Francisco da Silva e Rita de Cássia Pavani Lamas ATIVIDADE 1: 1. Baseado em [ 2 ], páginas 48 a 52, construir : Prisma Reto, pirâmide regular e irregular, octaedro regular . 2. Descrever e explicar as propriedades em cada caso. 3. Construir figuras espaciais as quais não são poliedros. Comentário: Na construção os alunos utilizaram canudo, palito e cartolina.Ver as fotos a seguir.

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ATIVIDADE 2: Fazer as seções no paralelepípedo reto, conforme [2], páginas 30 a 34. Comentário: As seções foram representadas com barbante. Ver as fotos a seguir. As atividades 1 e 2 foram recomendadas para serem desenvolvidas principalmente no Ensino Médio. Para o Ensino Fundamental foram sugeridas as construções como descritas nas atividades 3 a 7. ATIVIDADE 3: Utilize canudo para representar as arestas e linha para uni-las, indicados na figura a seguir, para construir o tetraedro (figura poliédrica). Na figura está indicado com → o sentido em que a linha deve ser inserida num canudo vazio e com ⇒ o sentido em que ela deve ser inserida num canudo já ocupado por algum pedaço de linha. Utilize a seqüência dos números em ordem crescente. Registre o número de vértices, arestas e faces no tetraedro.

Comentário: Observe que ao obter o primeiro triângulo pode ser retomada a questão da rigidez do triângulo da geometria plana. Questionando: Por que o triângulo é rígido? Você conhece aplicação na vida cotidiana que utiliza a rigidez do triângulo? Registre. ATIVIDADE 4: Utilize canudo para unir os pontos médios das arestas laterais do seu tetraedro. Que figura você obteve? Qual a relação entre essa figura e a base do tetraedro considerada? Justifique a sua resposta.

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ATIVIDADE 5: Construir o cubo (figura poliédrica) utilizando canudos para representar as arestas e linha para uni-los. 1. Corte doze pedaços de canudo congruentes de mesma cor. 2. Passar a linha através de 4 canudos. Verificar se o quadrado é uma figura rígida como o triângulo. 3. Para completar a construção do cubo, siga a figura a seguir, adotando os mesmos símbolos da atividade 3..

4. Observe que esta estrutura assim construída não tem rigidez. Torne-a rígida. 5. Registre o número de arestas, vértices e faces do cubo. ATIVIDADE 6: 1. Utilize o cubo que você construiu, para visualizar como encontrar a distância do ponto médio da diagonal da base superior ao vértice mais distante de um cubo de aresta a, como indicado na figura.

2. Represente a diagonal do cubo por um canudo para visualizar como encontrar a sua medida. Dê a medida da diagonal de um cubo de aresta a. 3. Encontre a diagonal de um paralelepípedo retângulo como na figura a seguir.

a

b

d c

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Para uma melhor diferenciação entre figuras poliédricas e superfícies poliédricas foi proposto a construção de poliedros através de dobradura de papel (atividade 7) e através das planificações encontradas, em geral, nos livros didáticos do ensino fundamental e médio.

Na construção através de dobradura, o tetraedro regular, octaedro regular e icosaedro regular são construídos com dobraduras feitas de papel no formato de triângulo eqüilátero e peças de conexão, também feitas de dobradura de papel. Mostraremos, em particular, como construir o tetraedro. Observamos que não houve tempo suficiente para essa construção em sala de aula. Isso foi desenvolvido em uma oficina extra classe. Em sala de aula os alunos utilizaram as planificações como na atividade 8 a seguir. ATIVIDADE 7: Construir o tetraedro utilizando dobradura de papel. 1. A face triangular é elaborada a partir deste papel seguindo as figuras de 1 a 9. Você deve construir o número de triângulos congruentes igual ao número de faces que você observou na atividade 3.

2. Com um outro papel quadrado com a sua área correspondendo a ¼ da área do papel utilizado para construir as faces triangulares. Siga as figuras a seguir para fazer as peças de conexão (arestas do tetraedro).

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Observamos que para a construção do octaedro regular e icosaedro regular a atividade 7 deve ser repetida, sendo adaptado o número de faces e peças de conexão, como mostra a tabela. Sólido Nº de faces triangulares Nº de peças de conexão Octaedro regular 8 12 Icosaedro regular 20 30 ATIVIDADE 8: 1. Utilizar planificações para construir os poliedros da tabela a seguir. 2.Completar a tabela:

POLIEDROS Nº FACES

(F) Nº VÉRTICES

(V) Nº ARESTAS

(A) FORMAS

DAS FACES V+F A+2

Pirâmide de base retangular

Prisma de base triangular

Pirâmide de base pentagonal

Pirâmide de base triangular

Prisma de base pentagonal

Prisma de base retangular

Cubo Tetraedro

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3. Os poliedros da tabela são convexos? Qual a relação entre V+F e A+2 em cada linha da tabela? 4. Dar F, V, A e as formas das faces para as figuras espaciais a seguir. São Poliedros convexos? Por quê? A relação em 3. é válida para essas figuras? Verifique.

5. Descreva a conclusão que você chegou. Comentário: Essa atividade foi utilizada para introduzir a Relação de Euler para poliedros convexos antes de demonstrá-la. Consideremos como unidade de volume o cubo de aresta 1cm. O volume deste cubo (base de lados 1cm e altura 1cm) é denotado por V(1,1,1) = 1cm3. ATIVIDADE 10: Obter o volume de paralelepípedos retos (retângulos) específicos, V(x, y, z), com x, y e z representando as medidas dos lados da base e z a altura. 1. Utilizar os cubos do material dourado de volume 1cm3 para fazer um paralelepípedo reto (bloco retangular), com medidas dos lados da base 4cm e 3cm, e altura 2cm. Qual o seu volume V( 4,3,2) ? 2. Relacione o volume obtido em V(4,3,2) com as medidas dos lados da base e altura do paralelepípedo. 3. Repita os passos 1 e 2, considerando outras medidas para o paralelepípedo reto. ATIVIDADE 11: Considerando o paralelepípedo reto com medidas dos lados da base a e b, e a sua altura c. Através da atividade anterior é possível expressar uma fórmula para o volume V(a,b,c)? Comentário: O volume V(a,b,c) também foi obtido pelos alunos utilizando a propriedade de proporcionalidade do volume de um paralelepípedo em relação a cada uma de suas dimensões. Com duas caixas de fósforo observaram que

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V(2.a,b,c) = 2V(a,b,c), V(a,2.b,c) = 2V(a,b,c), V(a,b,2.c) = 2V(a,b,c). Utilizando essa propriedade concluíram que, V(a,b,c) = aV(1,b,c) = abV(1,1,c) = abcV(1,1,1). ATIVIDADE 12: Obter relação entre os volumes de figuras espaciais distintas conhecendo o volume do paralelepípedo. 1. Construa um prisma, com a base triangular, possuindo a mesma área A da base de uma caixa na forma de um paralelepípedo ou de um paralelepípedo construído por você. A altura de ambos, do prisma e do paralelepípedo, deve ser h. 2. Considere um plano paralelo à base e observe a secção que você obtém no prisma e no paralelepípedo, estando à base de ambos em um mesmo plano. As secções nos dois sólidos são figuras de mesma área? 3. Coloque arroz na caixa (ou paralelepípedo) e depois utilize o mesmo arroz e coloque no prisma. O que aconteceu com o volume de ambos? Por quê? Comentário:É interessante que cada aluno ou grupo trabalhe com prismas e paralelepípedos de medidas distintas possibilitando a obtenção de uma amostra razoável de materiais levando à mesma propriedade. O resultado em 3. pode ser explicado pelo Axioma a seguir. Axioma (Princípio de Cavalieri): São dados dois sólidos com mesma altura relativa a um plano dado. Se todo plano paralelo ao plano dado secciona os dois sólidos segundo figuras de mesma área, então esses sólidos têm o mesmo volume. ATIVIDADE 13: Utilize o Princípio de Cavalieri para obter o volume do prisma de base A e altura h. ATIVIDADE 14: Leia o artigo [ 7 ] e construa um modelo para visualização do volume de uma pirâmide. ATIVIDADE 15: Leia o artigo [ 8 ] e faça um projeto de aplicação. Comentário: Como exemplos citamos os projetos: 1. Considerando um paralelepípedo reto com medidas (48cm, 26cm e 24 cm), verificar quantas embalagens de extrato de tomate “Quero” , da forma cilíndrica, cabem no paralelepípedo. Repetir a atividade para a embalagem do extrato na forma de paralelepípedo. Devem ser considerados que ambas as embalagens permitem o mesmo volume.

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2. Comparar o volume e o preço do creme de leite com embalagem em forma de paralelepípedo e cilíndrica para verificar qual é melhor comprar. 3. Através do cálculo do volume de uma paçoca em forma de paralelepípedo e cilíndrica (rolha) e preço de cada uma verificar qual é conveniente ao consumidor. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] Barbosa, J. L. M.. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática, 2004. [2] Carvalho, P.C.P. Introdução à Geometria Espacial. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática, 1999. [3] Lima L.L. A Matemática no Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática, V2, 1999. [4] LINDQUIST, M.M. Aprendendo e ensinando Geometria, Atual, 1998. [5] Rezende, E.Q.F. e Queiroz, M. L.B.(2000). Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. Editora da UNICAMP. [6]Revista do Professor de Matemática, 28, 1995. [7] Ribeiro , R.- Matemática gostosa é a do dia-a-dia- Escola, 36, 2004. [8] Wandderlinde, M.J.- Material concreto relacionando volumes de prisma e pirâmide. Revista do Professor de Matemática, 13.

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CAPÍTULO 4 Prática de Política Educacional Brasileira Géssica Priscila Ramos ATIVIDADES GERAIS: 1) Dinâmica de grupo “Tribunal” (versão adaptada): proposta de reflexão sobre o tema neoliberalismo e educação:

• Após a apresentação do tema central (neoliberalismo e educação) pela professora, a atividade começa pela separação da classe em dois grupos grandes, com o mesmo número de participantes cada e posicionados um de frente para o outro;

• Por meio de sorteio, uma equipe fica definida como a "equipe de acusação" e a outra como a “equipe de defesa";

• O tema a ser defendido/acusado é “A escola pública brasileira”; • A "equipe de acusação" deve acusar “A escola pública brasileira” a partir dos argumentos

do neoliberalismo. A outra equipe deve defender “A escola Pública brasileira” pela lógica da argumentação contrária;

• Ao final, os dois grupos e a professora avaliam conjuntamente as diferentes lógicas argumentativas utilizadas pela classe, bem como suas lacunas, conquistas e contradições.

2) Após a apresentação, pela professora, do tema “Brasil: Educação e Reforma do Estado nos anos 90”, leitura, análise e apresentação, em grupo, das idéias político-educacionais presentes nos discursos do ex-presidente Fernando Henrique Cardoso. Posterior, discussão coletiva. 3) Seminário, em grupos, para análise e apresentação do documento PCNs/Matemática (ensino fundamental: 1˚ e 2˚ ciclos, 3˚ e 4˚ ciclos; ensino médio). Posterior debate sobre o tema. 4) Verificação (a partir de observação e ou entrevista) dos reflexos pedagógicos e organizacionais provenientes da implementação da LDB 9.304/96, da reforma educacional paulista das gestões Rose Neubauer e Chalita e da difusão dos PCNs (ensino fundamental e ensino médio) nas escolas e nos livros didáticos de matemática. Obs. Embora essa disciplina seja anual, essas atividades foram realizadas apenas no segundo semestre 2007 (com carga horária de 30 h/a), período em que ficou sob a responsabilidade da professora Géssica Priscila Ramos. Bibliografia básica Arretche, M. Mitos da descentralização: mais democracia e eficiência nas políticas públicas? SBCS, n. 31, ano 11, junho/1996. p.44-49, 51-54, 57-59, 62.

Brasil. Constituição da República Federativa do Brasil- 1988. Capítulo III- Seção I. (versão atualizada até 2006).

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Brasil. Presidente. Palavra do presidente- Fernando Henrique Cardoso. Brasília: Presidência da República, 2002, v.01-16 (A] discursos sobre EDUCAÇÃO: 7 de fevereiro de 1995; 9 de fevereiro de 1995/Diamantina; 17 de março de 1995; 15 de outubro de 1995; B] discursos sobre REFORMA DO ESTADO: 1 de janeiro de 1995; 5 de setembro de 1995; 1 de abril de 1997).

Brasil. Lei nº 9.394 de 20 de dezembro de 1996. [Estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional]. (versão atualizada).

Brasil. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental-5-8 série (Matemática).

Brasil. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (Matemática).

Gentili, P. Neoliberalismo e educação: manual do usuário. In. Silva, Tomas T. da; Gentili, Pablo. Escola S. A: quem ganha e quem perde no mercado educacional do neoliberalismo. Brasília: CNTE, 1996. p. 9-49.

Neubauer, R. A gestão educacional no Estado de São Paulo. In: Seminário Internacional - Reformas de la gestion de los sistemas educativos en la decada de los noventa, 1997, Santiago, Chile.

Neubauer, R.. Descentralização da educação no Estado de São Paulo. In. COSTA, Vera Lúcia C. (Org). Descentralização da educação: novas formas de coordenação e financiamento. São Paulo: Fundap, Cortez, 1999.

Rossi, V L S de. Desafio à escola pública: tomar em suas mãos seu próprio destino. Cadernos Cedes. Ano XXI, n.55, novembro/2001. p.92-107.

Saviani, D. Versão completa da entrevista feita pela Folha do Estado de São Paulo.

Saviani, D. O legado educacional do “longo século XX” brasileiro. In. O legado educacional do século XX no Brasil. Campinas, SP: Autores Associados, 2004. p.09-57.

Shiroma, E. O. et al. Política Educacional. 3ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2004. Sousa, Aparecida N. . A racionalidade econômica na política educacional em São Paulo. Pro-posições, Campinas (SP), v. 13, n. 1, p. 105-130, 2002.

Souza, A. N. A racionalidade econômica na política educacional em São Paulo. Pro-posições, Campinas (SP), v. 13, n. 1, p. 105-130, 2002.

Souza, D. B.; Faria, L. C. M. de. Reforma do estado, descentralização e municipalização do ensino no Brasil: a gestão política dos sistemas públicos de ensino pós-LDB 9.394/96. Ensaio: Avaliação e Políticas Públicas em Educação, Dez 2004, vol.12, no.45, p.925-944.

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CAPÍTULO 5 Prática de Estrutura e Funcionamento do Ensino Fundamental e Médio Géssica Priscila Ramos ATIVIDADES GERAS: 1) Atividade em grupo de análise do reflexo das políticas educacionais no padrão editorial dos livros didáticos de matemática por meio de comparação de livros de diferentes períodos históricos. Tópicos de análise: conteúdos trabalhados; tipo de abordagem dos conteúdos; perfil dos exercícios propostos; uso, tipo, presença ou ausência de ilustrações; outros recursos utilizados; ano de publicação e relação com o contexto de sua publicação. 2) Dinâmica de grupo “Tribunal” (versão adaptada): proposta de reflexão sobre o tema neoliberalismo e educação:

• Após a apresentação do tema central (neoliberalismo e educação) pela professora, a atividade começa pela separação da classe em dois grupos grandes, com o mesmo número de participantes cada e posicionados um de frente para o outro;

• Por meio de sorteio, uma equipe fica definida como a "equipe de acusação" e a outra como a “equipe de defesa";

• O tema a ser defendido/acusado é “A escola pública brasileira”; • A "equipe de acusação" deve acusar “A escola pública brasileira” a partir dos argumentos

do neoliberalismo. A outra equipe deve defender “A escola Pública brasileira” pela lógica da argumentação contrária;

• Ao final, os dois grupos e a professora avaliam conjuntamente as diferentes lógicas argumentativas utilizadas pela classe, bem como suas lacunas, conquistas e contradições.

3) Após a apresentação, pela professora, do tema “Brasil: Educação e Reforma do Estado nos anos 90”, leitura, análise e apresentação, em grupo, das idéias político-educacionais presentes nos discursos do ex-presidente Fernando Henrique Cardoso. Posterior, discussão coletiva. 4) Seminário, em grupos, para análise e apresentação do documento PCNs/Matemática (ensino fundamental: 1˚ e 2˚ ciclos, 3˚ e 4˚ ciclos; ensino médio). Posterior debate sobre o tema. 5) Verificação (a partir de observação e ou entrevista) dos reflexos pedagógicos e organizacionais provenientes da implementação da LDB 9.304/96, da reforma educacional paulista das gestões Rose Neubauer e Chalita e da difusão dos PCNs (ensino fundamental e ensino médio) nas escolas e nos livros didáticos de matemática. 6) Apresentação, em sala de aula, da comunicação "O professor de matemática na atualidade: reflexões sobre a estrutura e o funcionamento da educação a partir da prática" por uma professora convidada da rede pública e particular de ensino de São José do Rio Preto. Exposição de dúvidas pelos alunos. Tal atividade conta ainda com uma discussão posterior entre os alunos e a professora responsável pela disciplina, sobre os assuntos abordados na referida comunicação.

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Obs. Essas atividades foram realizadas dentro da carga horária de 60 h/a no segundo semestre do ano de 2007, tendo em vista que essa disciplina ficou integralmente sob a responsabilidade da professora Géssica Priscila Ramos. Bibliografia básica Arretche, M. Mitos da descentralização: mais democracia e eficiência nas políticas públicas? SBCS, n. 31, ano 11, junho/1996. p.44-49, 51-54, 57-59, 62.

Brasil. Constituição da República Federativa do Brasil- 1988. Capítulo III- Seção I. (versão atualizada até 2006).

Brasil. Presidente. Palavra do presidente- Fernando Henrique Cardoso. Brasília: Presidência da República, 2002, v.01-16 (A] discursos sobre EDUCAÇÃO: 7 de fevereiro de 1995; 9 de fevereiro de 1995/Diamantina; 17 de março de 1995; 15 de outubro de 1995; B] discursos sobre REFORMA DO ESTADO: 1 de janeiro de 1995; 5 de setembro de 1995; 1 de abril de 1997).

Brasil. Lei nº 9.394 de 20 de dezembro de 1996. [Estabelece as Diretrizes e Bases da Educação Nacional]. (versão atualizada).

Brasil. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental-5-8 série (Matemática).

Brasil. Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (Matemática).

Chaui, M. O que é ideologia. (14 ed.). Editora Brasiliense, 1984, p.101-125. (Coleção primeiros passos). Gentili, P. Neoliberalismo e educação: manual do usuário. In. Silva, Tomas T. da; Gentili, Pablo. Escola S. A: quem ganha e quem perde no mercado educacional do neoliberalismo. Brasília: CNTE, 1996. p. 9-49.

Monlevade, J. Educação pública no Brasil: contos e descontos. Ceilândia, DF: Idéia Editora, 1997, p. 13-50. Neubauer, R. A gestão educacional no Estado de São Paulo. In: Seminário Internacional - Reformas de la gestion de los sistemas educativos en la decada de los noventa, 1997, Santiago, Chile.

Neubauer, R.. Descentralização da educação no Estado de São Paulo. In. COSTA, Vera Lúcia C. (Org). Descentralização da educação: novas formas de coordenação e financiamento. São Paulo: Fundap, Cortez, 1999.

Rossi, V L S de. Desafio à escola pública: tomar em suas mãos seu próprio destino. Cadernos Cedes. Ano XXI, n.55, novembro/2001. p.92-107.

Saviani, D. Versão completa da entrevista feita pela Folha do Estado de São Paulo.

Saviani, D. O legado educacional do “longo século XX” brasileiro. In. O legado educacional do século XX no Brasil. Campinas, SP: Autores Associados, 2004. p.09-57.

Shiroma, E. O. et al. Política Educacional. 3ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2004. Sousa, Aparecida N. . A racionalidade econômica na política educacional em São Paulo. Pro-posições, Campinas (SP), v. 13, n. 1, p. 105-130, 2002.

Souza, A. N. A racionalidade econômica na política educacional em São Paulo. Pro-posições, Campinas (SP), v. 13, n. 1, p. 105-130, 2002.

Souza, D. B.; Faria, L. C. M. de. Reforma do estado, descentralização e municipalização do ensino no Brasil: a gestão política dos sistemas públicos de ensino pós-LDB 9.394/96. Ensaio: Avaliação e Políticas Públicas em Educação, Dez 2004, vol.12, no.45, p.925-944.