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Bruno Vasques Maletta Modelos baseados em Simulação de Monte Carlo: Soluções para o cálculo do Value-at-Risk Dissertação de Mestrado Orientador: Eduardo Saliby, Ph. D. Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto COPPEAD de Administração Abril de 2005

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Bruno Vasques Maletta

Modelos baseados em Simulação de Monte

Carlo: Soluções para o cálculo do Value-at-Risk

Dissertação de Mestrado

Orientador: Eduardo Saliby, Ph. D.

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto COPPEAD de Administração

Abril de 2005

Figueiredo
http://www.coppead.ufrj.br/institucional/pesquisa/dissertacoes/pdf/Bruno_Maletta.pdf, acesso em 16 jun 2006
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Maletta, Bruno Vasques Modelos baseados em Simulação de Monte Carlo: soluções para o cálculo do Value-a t-Risk / Bruno Vasques Maletta. Rio de Janeiro, 2005. x, 63 f. Dissertação (Mestrado em Administração) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto COPPEAD de Administração, 2005. Orientador: Eduardo Saliby 1. Simulação de Monte Carlo. 2. Value-at-Risk. 3. Técnicas de Redução de Variância. 4. Finanças – Teses. I. Saliby, Eduardo. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto COPPEAD de Administração. III. Título.

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AGRADECIMENTOS

À minha família, pelo apoio e incentivo que sempre me deram. Em especial, à minha

mãe, Regina, e minha namorada, Karine, que tiveram a paciência necessária nesta

longa trajetória do mestrado.

Ao meu orientador, Eduardo Saliby, que foi mais que um professor e orientador, mas

se tornou um amigo.

A todos os amigos que fiz no COPPEAD.

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RESUMO MALETTA, Bruno Vasques Maletta. Modelos baseados em Simulação de Monte Carlo: soluções para o cálculo do Value-at-Risk. Orientador: Eduardo Saliby. Dissertação (Mestrado em Administração). Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2005.

O Value-at-Risk (VaR) é um dos conceitos mais aceitos no gerenciamento de risco. Sua popularidade se dá, principalmente, pela simplicidade do conceito, sendo capaz de resumir posições de risco em um único valor. Existem diversas metodologias para o cálculo do Var, porém as abordagens mais tradicionais possuem algumas falhas já conhecidas. A metodologia paramétrica necessita supor uma distribuição de probabilidade para o fator de risco. Em geral, a distribuição Normal é utilizada, apesar de vários estudos empíricos mostrarem que as séries financeiras possuem assimetria ou excesso de curtose. Na metodologia histórica, deve-se supor que o comportamento passado do fator de risco irá se repetir no futuro. Outra forma de cálculo, a simulação de Monte Carlo com a Amostragem Aleatória Simples, necessita de intenso uso de recursos computacionais. As conseqüências destes problemas são a subestimação ou superestimação do risco estimado ou lentidão e complexidade nos cálculos.

O objetivo deste trabalho é apresentar e avaliar novas formas de cálculo do VaR atra vés da simulação de Monte Carlo e do uso de técnicas de amostragem mais eficientes nos componentes aleatórios da simulação, de forma a eliminar ou minimizar os problemas apresentados nas metodologias mais tradicionais. Uma das metodologias apresentadas usa a mistura de três distribuições para modelar, de forma mais realista, as extremidades da distribuição dos fatores de risco. A outra metodologia apresentada incorpora as técnicas de Amostragem por Importância e Amostragem Descritiva à simulação de Monte Carlo.

Os testes foram realizados usando as ações da Petrobrás, Embratel e Telemar para o período de Janeiro de 2002 a Março de 2004, totalizando 557 dias de negociação. A qualidade das metodologias foi mensurada pelo teste de proporção de falhas, CVaR, desvio-padrão dos resultados e percentual de erros de sub -aditividade. Os resultados indicam que as novas formas de cálculo são menos perigosas no gerenciamento de risco que as metodologias tradicionais, principalmente para elevados níveis de confiança.

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ABSTRACT MALETTA, Bruno Vasques Maletta. Modelos baseados em Simulação de Monte Carlo: soluções para o cálculo do Value-at-Risk. Orientador: Eduardo Saliby. Dissertação (Mestrado em Administração). Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2005.

The Value-at-Risk (VaR) is the most popular concept about risk management.

However, the traditional methodologies to calculate it present some known problems

(the choose of the statistical distribution for the risk factors, the time series used,

intense use of computational resources and others). This work intend to present ways,

using Monte Carlo Simulation and variance reductions techniques, to solve or minimize

those problems.

One of the new methodologies intend to mix three statistical distributions to

model, in a realistic way, the extremities of the risk factors. The other new methodology

introduce the variance reduction techniques in the traditional Monte Carlo Simulation.

The tests was realized in the Brazilian Market, using Petrobrás, Embratel and

Telemar shares in the period if January/2002 and March/2004. The quality of the

models was measured by the Kupiec's test, CVaR, standard deviation and sub-aditivity

failure. The results show that the methodologies presented are better than the

traditional, principally on elevated confidence levels.

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LISTA DE SIGLAS E ABREVIAÇÕES SMC Simulação de Monte Carlo

AAS Amostra Aleatória Simples

AD Amostragem Descritiva

VaR Value-a t-Risk

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES TABELA 1 - ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO PETR4 NO

PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004……………………………..…40 TABELA 2 - ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO EBTP4 NO

PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004……………………………..…42 TABELA 3 - ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO TNLP4 NO

PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004……………………………..…44 TABELA 4 - INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A PORCENTAGEM DE FALHAS NO CÁLCULO DO

VaR PROPOSTO POR KUPIEC PARA UMA AMOSTRA DE 557 OBSERVAÇÕES……………....46 TABELA 5 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO DE

COMPRA DE AÇÕES PETR4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS DISCUTIDAS…….46

TABELA 6 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO DE

VENDA DE AÇÕES PETR4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLO GIAS DISCUTIDAS……...….46

TABELA 7 - DESVIO PADRÃO (X103) DAS SIMULAÇÕES PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO DAS

AÇÕES PETR4 NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA……………………………………………..……...……...….47

TABELA 8 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO DE

COMPRA DE AÇÕES EBTP4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS DISCUTIDAS…….48

TABELA 9 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO DE

VENDA DE AÇÕES EBTP4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS DISCUTIDAS……...….48

TABELA 10 - DESVIO PADRÃO (X103) DAS SIMULAÇÕES PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO

DAS AÇÕES EBTP4 NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA…………………………………………..………..….48

TABELA 11 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO

DE COMPRA DE AÇÕES TNLP4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS DISCUTIDAS………………………………………………………………………………………………..49

TABELA 12 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO

DE VENDA DE AÇÕES TNLP4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS DISCUTIDAS……...………………………………………………………………………………………...50

TABELA 13 - DESVIO PADRÃO (X103) DAS SIMULAÇÕES PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO

DAS AÇÕ ES TNLP4 NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA…………………………………………..………..….50

TABELA 14 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO

DE COMPRA DA CARTEIRA NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS DISCUTIDAS………………………………………………………………………………………………..52

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TABELA 15 - DESVIO PADRÃO DAS SIMULAÇÕES PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO DE COMPRA DA CARTEIRA NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA.....……………………………...52

TABELA 16 - PERCENTUAL DE ERROS DE SUB -ADITIVIDADE NO CÁLCULO DO VaR DIÁRIO

PARA A POSIÇÃO DE COMPRA DA CARTEIRA NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA.....……......……...53

TABELA 17 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO

DE VENDA DA CARTEIRA NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS DISCUTIDAS………………………………………………………………………………………………..54

TABELA 18 - DESVIO PADRÃO DAS SIMULAÇÕES PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A

POSIÇÃO DE VENDA DA CARTEIRA NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA.....……………………………...54

TABELA 19 - PERCENTUAL DE ERROS DE SUB -ADITIVIDADE NO CÁLCULO DO VaR DIÁRIO

PARA A POSIÇÃO DE VENDA DA CARTEIRA NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA.....……..............……...54

FIGURA 1 - COMPARAÇÃO DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES COM A AMOSTRAGEM

POR IMPORTÂNCIA NA GERAÇÃO DE VALORES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL............……...14 FIGURA 2 - ILUSTRAÇÃO DO CONCEITO DE VALUE-AT-RISK................…...............................…...16 FIGURA 3 - EFEITO DE RS NA DISTRIBUIÇÃO DO FATOR DE RISCO DO MODELO............……...28 FIGURA 4 - EVOLUÇÃO DOS PREÇOS DE FECHAMENTO DA AÇÃO PETR4 NO PERÍODO DE 02

DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............…...................................................…...39 FIGURA 5 - HISTOGRAMA DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO PETR4 NO PERÍODO DE 02 DE

JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............................................................40 FIGURA 6 - QQ-PLOT DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO PETR4 NO PERÍODO DE 02 DE

JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............................................................40 FIGURA 7 - EVOLUÇÃO DOS PREÇOS DE FECHAMENTO DA AÇÃO EBTP4 NO PERÍODO DE 02

DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............…...................................................…...41 FIGURA 8 - HISTOGRAMA DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO EBTP4 NO PERÍODO DE 02 DE

JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............ ................................................42 FIGURA 9 - QQ-PLOT DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO EBTP4 NO PERÍODO DE 02 DE

JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............................................................42 FIGURA 10 - EVOLUÇÃO DOS PREÇOS DE FECHAMENTO DA AÇÃO TNLP4 NO PERÍODO DE 02

DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............…...................................................…...43 FIGURA 11 - HISTOGRAMA DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO TNLP4 NO PERÍODO DE 02 DE

JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............................................................44 FIGURA 12 - QQ-PLOT DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO TNLP4 NO PERÍODO DE 02 DE

JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............................................................44

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ÍNDICE

Capítulo 1 - O Problema 2

1.1 Introdução 2 1.2 Questões a serem respondidas 5 1.3 Objetivo 5 1.4 Relevância do estudo 6 1.5 Delimitação 6

Capítulo 2 - Referencial Teórico 8

2.1 Simulação de Monte Carlo 8

2.1.1 Variáveis Antitéticas 10 2.1.2 Variável de Controle 10 2.1.3 Hipercubo Latino 11 2.1.4 Amostragem Descritiva 12 2.1.5 Amostragem por Importância 14

2.2 Administração de risco 15 2.3 Metodologias de cálculo do Value-a t-Risk (VaR) 17

2.3.1 VaR Histórico 17 2.3.2 VaR Paramétrico 19

2.3.3 VaR por Simulação de Monte Carlo com incorporação da Amostragem Descrita e Amostragem por Importância 22

2.3.4 Modelo de Mistura de Distribuições 26 2.4 Geração de variáveis aleatórias correlacionadas 29 2.5 Teste de proporção de falhas 31

Capítulo 3 - Metodologia 33

3.1 Tipo de pesquisa 33 3.2 Experimento realizado 34 3.3 Coleta de dados 34 3.4 Parâmetros estimados 35 3.5 Tratamento dos dados 37 3.6 Limita ções dos métodos 37

3.6.1 Limitações Metodológicas 37 3.6.2 Limitações de Hardware e Software 37

Capítulo 4 - Resultados 39

4.1 Análise exploratória dos dados 39 4.2 VaR individual 45 4.3 VaR para carteiras 51

Capítulo 5 - Conclusões 56

Capítulo 6 - Referências 59

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1. O Problema 1.1 Introdução

O risco de mercado tornou-se, ao longo dos últimos anos, uma das maiores

preocupações para os participantes do mercado financeiro. Agências reguladoras,

bancos comerciais e de investimentos, grandes corporações e investidores estão cada

vez mais voltando suas atenções ao nível de risco ao qual sua instituição ou carteira de

investimentos estão submetidos. Segundo Jorion (1997), o principal motivo para o

crescimento da administração de risco é a imprevisibilidade das variáveis financeiras.

Hoje, um dos conceitos mais aceitos para o gerenciamento de riscos é o Value-

a t-Risk , ou VaR. Jorion (1997) o define como "um método de mensuração de risco de

mercado que utiliza técnicas estatísticas, buscando medir a pior perda esperada de

carteira, fundo ou instituição ao longo de determinado intervalo de tempo, sob

condições normais de mercado e dentro de determinado nível de confiança". Sabe-se

que uma das grandes vantagens do VaR, e possível razão para sua popularidade, é a

simplicidade do conceito. A maneira intuitiva de resumir, em um único número,

posições de risco de carteiras complexas e difíceis de serem interpretadas também

contribui para sua aceitação.

Existem diversas metodologias para o cálculo do VaR e cada uma possui

vantagens e desvantagens em relação às demais. As principais delas são a paramétrica,

histórica e a simulação de Monte Carlo. Todas serão melhor discutidas na seção 2.3.

A metodologia paramétrica utiliza métodos estatísticos padronizados para calcular

as variações no valor do portfólio. Para isso, baseia -se fortemente em premissas sobre a

distribuição de probabilidade dos fatores de risco, em geral, a distribuição Normal.

Porém, vários estudos empíricos1 mostraram que séries de dados financeiros apresentam

assimetria e/ou excesso de curtose. Este fenômeno, conhecido como "caudas gordas",

1 Por exemplo: Li (1999) e Zangari (1996)

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deixa as extremidades da série com maior probabilidade que as extremidades da

distribuição Normal teórica, subestimando a exposição ao risco.

A metodologia histórica aplica variações observadas em um determinado período

histórico nas posições do portfólio atual, levando em consideração o horizonte de tempo

escolhido. Assim, deve-se supor que o comportamento passado dos ativos que

compõem o portfólio irá se repetir no futuro.

O método de Monte Carlo consiste na simulação do valor futuro dos ativos que

compõem a carteira através de um modelo. Esta metodologia é indicada quando as

abordagens histórica e paramétrica não são apropriadas, principalmente devido ao alto

custo computacional de implementação e processamento. Mesmo assim, vem sendo

cada vez mais utilizada, não somente no gerenciamento de risco, mas em diversas áreas

financeiras (destacam-se os estudos na precificação de derivativos). Sua crescente

popularidade se dá, principalmente, pela liberdade na modelagem do problema

(passando de "soluções exatas de problemas aproximados" para "soluções aproximadas

de problemas exatos"), avaliação de perguntas do tipo "e se?" (permitindo a avaliação

de mudanças de cenários ou conseqüências de decisões) e avaliação de problemas em

que o conhecimento das variáveis envolvidas é parcial.

Além da necessidade de recursos computacionais, por se tratar de estimação de

valores futuros, em alguns casos, a baixa precisão dos resultados e a falta de

generalidade (solução pontual) reforçou a idéia de que a simulação deva ser utilizada

apenas como um "último recurso". A imprecisão é conseqüência do processo de

amostragem na seleção dos valores aleatórios de entrada dos modelos, necessários para

a simulação de qualquer fenômeno. Em princípio, esta seleção era realizada de forma

totalmente aleatória (Amostragem Aleatória Simples).

Objetivando um maior controle do processo de amostragem, foram

desenvolvidas algumas técnicas denominadas de "técnicas de redução de variância":

Variáveis Antitéticas, Amostragem por Importância, Amostragem Estratificada,

Variável de Controle, Common Random Numb ers e outras. Ainda assim, nestas

técnicas, o controle amostral é parcial, uma vez que ainda persistem valores aleatórios

em seus algoritmos.

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Em 1979, McKay, Beckman e Conover sugeriram uma nova técnica de redução

de variância baseada no forte controle do processo de amostragem, o Hipercubo Latino.

A base da técnica é a estratificação da distribuição amostral em estratos de igual

probabilidade de ocorrência e o sorteio aleatório de um valor em cada um deles.

Contemporaneamente e independentemente dos estudos do Hipercubo Latino, uma

abordagem alternativa para a simulação de Monte Carlo foi desenvolvida por Saliby

(1980), a Amostragem Descritiva. Nesta abordagem, rompe-se completamente a seleção

aleatória da amostra, baseando-se em uma seleção determinística de valores (pontos

centrais dos mesmos estratos utilizados no Hipercubo Latino) e uma posterior

permutação destes.

Diferentemente das primeiras técnicas de redução de variância, o Hipercubo

Latino e a Amostragem Descritiva apresentam resultados signific ativamente superiores

à Amostragem Aleatória Simples em diversos estudos (MARINS, SANTOS e SALIBY,

2003; ARAÚJO, 2001). Apesar da proximidade das técnicas, Moreira (2001) e Saliby

(1997) mostraram que a Amostragem Descritiva é um melhoramento do Hipercubo

Latino tanto na eficiência estatística quanto na eficiência computacional.

Recentemente, muitos trabalhos foram apresentados tentando resolver, ou

minimizar, o efeito dos problemas no cálculo do VaR nas diversas metodologias. Li

(1999) propôs uma metodologia semiparamétrica baseada nas quatro primeiras

estatísticas de ordem, Dowd (2001) também usou as estatísticas de ordem em suas

estimativas, Zangari (1996) apresentou um modelo de mistura de duas variáveis

gaussianas com estimação via estatística Bayesia na e Glasserman et al (1999) introduziu

técnicas de redução de variância na simulação de Monte Carlo. Entretanto, a grande

complexidade destas metodologias vai de encontro à simplicidade do conceito de VaR

e, em geral, inviabilizam sua utilização.

Entre os poucos trabalhos que apresentaram novas formas de calcular o VaR

com simplicidade, destaca-se a metodologia de Gibson (2001) com a incorporação de

eventos raros (ou saltos) na trajetória dos ativos. Ele propõe uma modelagem da

distribuição dos retornos de ativos financeiros como a mistura de três distribuições de

Page 13: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

probabilidade. Apesar da aparente complexidade, a estimação dos parâmetros utiliza os

dados históricos e não cálculos estatísticos avançados.

Outro possível caminho com baixa complexidade é a incorporação da

Amostragem Descritiva na forma clássica de cálculo do VaR por simulação de Monte

Carlo. Esta técnica de amostragem foi muito pouco explorada até hoje e apresentou em

diversos estudos (não somente em finanças) um aumento na precisão dos resultados e

redução dos esforços computacionais. Também, esta ainda pode apresentar ganhos

adicionais quando combinada com outras técnicas de redução de variância, como a

Amostragem por Importância.

1.2 Questões a serem respondidas

O uso da metodologia proposta por Gibson (2001) e da Amostragem Descritiva

combinada com a Amostragem por Importância apresentam realmente melhorias no

cálculo do VaR? Caso positivo, será que os resultados apresentados são

significativamente superiores aos resultados das metodologias mais tradicionais, sendo

válido uma mudança nos procedimentos de cálculo nas instituições financeiras? Existem

alguns ativos que melhor se encaixam nas duas novas formas de cálculo? E qual delas é

a melhor?

1.3 Objetivo

O objetivo deste trabalho é apresentar o modelo sugerido por Gibson (2001),

adaptando-o para uma carteira de ações brasileiras e para o uso da simulação de Monte

Carlo. Também, será incorporado à metodologia básica de simulação de Monte Carlo a

combinação das técnicas de Amostragem Descritiva e Amostragem por Importância.

Os dois modelos apresentam simples implementação para o cálculo do VaR e visam

eliminar os problemas clássicos já apresentados utilizando o mercado brasileiro de

ações.

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Estas duas formas de cálculo serão comparadas com as formas tradicionais para

diferentes carteiras de ativos e diferentes níveis de confiança. A verificação dos

resultados será realizada através da proporção de falhas, do intervalo de confiança para

esta proporção (conforme sugerido por Kupiec em 1995) e da distância média entre as

falhas e o VaR calculado (também conhecida por CVaR). A variabilidade dos resultados

também será levada em consideração, assim como a quantidade de erros de sub-

aditividade.

1.4 Relevância do estudo

O VaR é uma medida de risco amplamente utilizada por instituições financeiras,

investidores institucionais, seguradoras (que assumem posições de risco em vários

mercados), órgãos reguladores (que definem a exigência de capital para garantir as

operações das empresas em função dos riscos assumidos) e empresas não financeiras

(conhecimento do risco para operações de hedge). Assim, formas de cálculo mais

precisas, rápidas e de fácil entendimento são importantes no gerenciamento das posições

de risco de cada empresa, possibilitando oportunidades de investimento ou operações de

proteção mais eficientes.

Do ponto de vista teórico, destaca-se a comparação de dois métodos que utilizam

a simulação de Monte Carlo com processos de amostragem diferentes. A seleção de

valores determinística utilizada na técnica de Amostragem Descritiva ainda é bastante

questionada por quebrar o paradigma de que o comportamento natural dos

acontecimentos deva ser reproduzido por valores aleatórios.

1.5 Delimitação

Como o cálculo do VaR não possui uma resposta correta, ou seja, uma fórmula

analítica fechada, a precisão dos métodos será avaliada pela variabilidade de suas

respostas e, principalmente, pela proporção de falhas. Estas duas medidas são

diretamente afetadas pelo tamanho da amostra de dias utilizados nos experimentos.

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Alguns autores (por exemplo: Blanco e Ihle em 1998) utilizam outros critérios de

avaliação, como a magnitude das falhas.

Os resultados apresentados para as carteiras utilizadas indicam, mas não provam,

superioridade de uma metodologia frente às demais. A utilização de outras carteiras ou

ativos de outra natureza pode apresentar resultados diferentes.

Os portfólios desenvolvidos para a comparação dos métodos serão criados

especificamente para o trabalho, não pertencendo a nenhuma carteira de instituição

financeira ou afim.

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2. Referencial Teórico

2.1 Simulação de Monte Carlo Segundo Saliby (1989), a simulação é uma técnica de pesquisa operacional, que

corresponde a realização de experimentos numéricos com modelos lógico-matemáticos.

Estes experimentos envolvem grandes volumes de cálculos repetitivos, fazendo uso

intensivo de recursos computacionais.

A origem do método de Simulação de Monte Carlo se deu durante a Segunda

Guerra Mundial, ao longo das pesquisas no Labora tório de Los Alamos, que resultaram

na construção da primeira bomba atômica. O método foi proposto por Von Neumann e

Ulam para solução de problemas matemáticos cujo tratamento analítico não se mostrava

viável. Primeiramente, voltava -se à avaliação de integrais múltiplas para o estudo da

difusão de nêutrons. Posteriormente, verificou-se que ele poderia ser aplicado em outros

problemas matemáticos mais complexos de natureza determinística. O nome Monte

Carlo, famoso cassino de Mônaco fundado em 1862, foi adotado por razões de sigilo

das pesquisas e pelo fato da presença da aleatoriedade lembrar os jogos de azar.

No final da década de 40, os computadores ainda começavam a se tornar

realidade e essa era a grande limitação do método. A restrição de recursos

computacionais acarretava baixa precisão nos resultados da simulação. Na década de

50, com o desenvolvimento de computadores, programas e linguagens de simulação, a

atenção dos pesquisadores voltou-se para a obtenção de resultados mais precisos, mas

com o cuidado de não aumentar o tempo de processamento necessário.

O esforço destes pesquisadores deu origem às primeiras técnicas de redução de

variância: Variáveis Antitéticas, Amostragem por Importância, Amostragem

Estratificada, Variável de Controle, Common Random Numbers e outras. O objetivo era

um controle parcial do processo de amostragem dos valores aleatórios. Até então, a

geração da amostra era totalmente aleatória, chamada de abordagem tradicional ou

Amostragem Aleatória Simples.

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Apesar dos baixos ganhos de precisão, o principal motivo pelo qual as técnicas

de redução de variância não foram muito utilizadas foi a concepção de que a

amostragem deveria imitar o comportamento aleatório da realidade. Ou seja, o controle

do processo de amostragem significava, nesta concepção, a introdução de um viés nos

resultados.

No final da década de 70 e início dos anos 80, McKay, Beckman e Conover

(1979) e Saliby (1980) desenvolveram o que pode ser caracterizado como uma segunda

geração das técnicas de redução de variância. As técnicas de Hipercubo Latino e

Amostragem Descritiva, diferentemente das primeiras, apresentaram em vários estudos

resultados muito superiores à Amostragem Aleatória Simples (MARINS, SANTOS e

SALIBY, 2003; ARAÚJO, 2001; OWEN, 1992). É importante mencionar, também, que

as barreiras impostas pela limitação de recursos computacionais aos poucos estavam

sendo ultrapassadas.

A idéia do Hipercubo Latino, apesar de impor um controle maior no processo de

amostragem que as primeiras técnicas de redução de variância, ainda manteve vivo o

paradigma de que a amostra deve possuir um componente aleatório em seus valores.

Nesta técnica de amostragem, é proposta a estratificação da distribuição acumulada de

probabilidade das variáveis de entrada do modelo de simulação em n partes de igual

probabilidade e, em seguida, a escolha aleatória de um elemento dentro de cada estrato e

a permutação destes valores. Assim, fica garantido que todos os estratos serão

representados na amostra (MCKAY, BECKMAN e CONOVER, 1979).

O paradigma da amostra aleatória só foi totalmente abandonado pela

Amostragem Descritiva proposta por Saliby (1980). Esta técnica utiliza os mesmos

estratos do Hipercubo Latino, mas seleciona-se o valor central de cada estrato. A

permutação na ordem dos valores centrais garante a aleatoriedade da amostra.

As seções seguintes detalham as principais técnicas de redução de variância,

dando maior ênfase à Amostragem Descritiva e Amostragem por Importância.

Page 18: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

2.1.1 Variáveis Antitéticas

Esta técnica propõe a redução de variância através da introdução de uma

correlação negativa entre as estimativas. Seja X1 e X2 variáveis aleatórias definidas

como função da variável u e -u , respectivamente. Ou seja, X1 = f(u) e X2 = f(-u).

Observa-se que X1 e X2 possuem a mesma distribuição, sendo porém negativamente

correlacionadas. Desta forma, pode-se definir a variância da média aritmética entre os

pares de X1 e X2 como:

Onde:

Var(X) = Var(X1) = Var(X2)

ρ : coeficiente de correlação entre X1 e X2

Observa-se que a variância da média aritmética entre as duas variáveis é menor

do que a variância das variáveis aleatórias originais devido à correlação negativa

introduzida.

2.1.2 Variável de Controle

A metodologia usual para o emprego desta técnica é a substituiçã o de um

problema que não dispõe de solução analítica por um problema similar mais

simplificado, que dispõe deste tipo de solução. A solução do problema simplificado é

usada para aumentar a precisão da simulação do problema mais complexo.

Utiliza-se o erro de simulação, diferença entre o valor analítico e o valor

estimado por simulação para o problema mais simples, como controle na simulação do

problema mais complexo. Pode ser mostrado que o coeficiente do erro de simulação que

minimiza a variância da var iável ajustada é o coeficiente angular da regressão entre o

valor estimado por simulação do problema sem solução analítica e o valor estimado por

simulação do problema com solução analítica (BRATLEY, FOX e SCHRAGE, 1987).

Var XVar X Var X Cov X X Var X

( )( ) ( ) ( , ) ( )

( )_

=+ +

= × +1 2 1 224 2

1 ρ (2.1)

Page 19: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

(2.3)

Onde:

X: valor estimado por simulação do problema sem solução analítica

Y: variável de controle (diferença entre o valor analítico e o valor estimado por

simulação do problema com solução analítica)

K: coeficiente angular da regressão entre o valor estimado por simulação do problema

sem solução analítica e o valor estimado por simulação do problema com solução

analítica

Um exemplo da aplicação desta técnica é a precificação de contratos de Opções

do tipo Asiáticas com média aritmética. Neste caso, apresentado por Marins, Santos e

Saliby (2003), utiliza -se a solução analítica das opções asiáticas com média geométrica

como controle.

PAVC = PA + β (C-PG)

Onde:

PAVC: prêmio aritmético estimado por Variável de Controle

PA: prêmio aritmético estimado por simulação

PG: prêmio geométrico estimado por simulação

C: prêmio obtido pelo modelo de Black e Scholes para o caso geométrico

β: coeficiente angular da regressão entre PA e PG

2.1.3 Hipercubo Latino

Consiste na estratificação da distribuição acumulada de probabilidade das

variáveis de entrada da simulação em n partes de igual probabilidade. Em seguida,

escolhe-se aleatoriamente um valor dentro de cada estrato. A amostra hipercúbica é

composta por estes valores permutados aleatoriamente. A fórmula usada para a geração

dos valores hipercúbicos, a serem depois permutados, é:

Var X kY Var x k Var Y Cov X Y( ) ( ) ( ) ( , )− = + −2 2 (2.2)

Page 20: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Onde:

i = 1, ..., n

xhi: valor que compõem a amostra hipercúbica

n: tamanho da amostra

F-1: inversa da função de distribuição acumulada

Randi: número aleatório entre 0 e 1

2.1.4 Amostragem Descritiva

Contemporaneamente e independentemente dos estudos que geraram o

Hipercubo Latino, Saliby (1980) questionou a idéia de que a simulação deva ser uma

simples imitação da realidade. Segundo o autor, a amostragem aleatória introduz uma

variabilidade desnecessária nos problemas de simulação.

A Amostragem Descritiva se baseia na idéia de uma seleção totalmente

determinística e intencional dos valores de entrada do modelo de simulação. Como no

Hipercubo Latino, a Amostragem Descritiva propõe a estratificação da distribuição

acumulada de probabilidade das variáveis de entrada do modelo de simulação em n

partes de igual probabilidade. Porém, no lugar de uma seleção aleatória, seleciona-se o

ponto médio dentro de cada estrato. A permutação aleatória dos pontos médios dos

estratos garante a aleatoriedade da amostra.

É importante ressaltar que os valores amostrais serão sempre os mesmos dado

um determinado número n de simulações. Ou seja, a amostra não varia mais entre

diferentes corridas. Este fato significa o fortalecimento do controle no processo de

amostragem, enfatizando ainda mais a ruptura com o paradigma vigente.

Tanto na amostragem tradicional (Amostra Aleatória Simples) quanto nas

demais técnicas de redução de variância (incluindo o Hipercubo Latino) existem duas

fontes de variabilidade: a variabilidade da seleção dos valores e a variabilidade da

xh Fi Rand

nii=

−1 (2.4)

Page 21: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

seqüência dos valores. Por possuir a seleção determinística, a Amostragem Descritiva só

possui a variabilidade da seqüência, devido a permutação aleatória dos pontos médios.

Segundo Moreira (2001), o ponto de maior dificuldade quando este método é

sugerido é convencer que, ao contrário da crença comum, não há necessidade de haver

seleção aleatória nas amostras de experimentos de simulação de Monte Carlo.

Saliby (1990) argumenta que nos experimentos de simulação as amostras são

obtidas, por hipótese, de distribuições de probabilidade já conhecidas. Neste caso, o

propósito da amostragem é simular certo comportamento aleatório (já realizado pela

permutação aleatória dos pontos médios na Amostragem Descritiva) e não realizar

inferências sobre a população analisada. Outro bom argumento é a facilidade de

implementação: pequeno incremento no tempo de programação e redução no tempo de

processamento. A única exigência antes da implementação é conhecer o tamanho da

amostra desejada (determinar o número n de estratos).

A fórmula proposta para a geração do conjunto único de valores descritivos, que

serão posteriormente permutados é:

Onde:

i = 1, ..., n

xdi: valor que compõem a amostra descritiva

n: tamanho da amostra

F-1: inversa da função de distribuição acumulada

F-1 (R), R ∈ (0,1)

xd Fi

ni =−

−1 0 5,(2.5)

Page 22: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

2.1.5 Amostragem por Importância

A Amostragem por Importância é uma das técnicas da primeira geração das

chamadas técnicas de redução de variância. Sua idéia principal é de concentrar a

distribuição de probabilidade na área de maior interesse em determinado problema, e

assim, aumentar a convergência do método. Pensando novamente no VaR, a área de

maior interesse são os extremos da distribuição, onde estão localizadas as possíveis

perdas. A Figura 1 mostra o deslocamento do centro de uma distribuição Normal em

duas unidades. Observa-se que no método de Monte Carlo básico (utilizando a

Amostragem Aleatória Simples) poucos valores foram gerados nas extremidades,

enquanto que na metodologia da Amostragem por Importância a maior parte dos

resultados encontra-se na área de interesse da distribuição.

Logicamente, o deslocamento da curva Normal introduz um viés na amostragem

que, felizmente, pode ser corrigido pela razão de Verossimilhança. Neste caso, pode-se

calcular a Verossimilhança pela razão das funções de probabilidade entre o valor

deslocado e o valor originalmente selecionado. Por exemplo, supondo um deslocamento

de 2 unidades para a esquerda na curva Normal padrão e aleatoriamente o valor 0,32 foi

Figura 1 – Comparação da Amostragem Aleatória Simples com a Amostragem por Importância na geração de valores da distribuição Normal

Monte Carlo Básico

Amostragem por Importância

Page 23: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

selecionado, a razão de Verossimilhança será F (-2,32) / F(0,32), onde F( ) representa a

função de densidade da Normal padrão.

Os cálculos usando a Amostragem por Importância devem ser ponderados pela

razão de Verossimilhança. No caso do VaR, por exemplo, para o nível de confiança de

(1-a)% seleciona -se a perda que possuir a razão de Verossimilhança acumulada mais

próxima da estatística a x N, onde N é o tamanho da amostra.

Existem diversas outras formas de se implementar a Amostragem por

Importância. Para isso, consultar Boyle (1997) e Charnes (2000).

2.2 Administração de Risco

Segundo Jorion (1997), risco pode ser definido como a volatilidade de resultados

inesperados, normalmente relacionada ao valor de ativos ou passivos. As empresas

podem estar expostas a três tipos de risco: operacional, estratégico e financeiro. O

primeiro deles está relacionado ao setor da economia em que a empresa opera,

inovações tecnológicas, desenho de produtos, marketing, etc. O risco estratégico resulta

de mudanças fundamentais no cenário econômico e político (por exemplo, a

expropriação ou nacionalização de territórios). O risco financeiro está ligado a possíveis

perdas nos mercados devido a oscilações de variáveis financeiras (por exemplo, a taxa

de juros ou câmbio). Este último pode ser classificado em:

- Riscos de mercado: surgem de mudanças nos preços de ativos ou passivos financeiros.

- Riscos de crédito: surgem do não cumprimento de obrigações contratuais

- Riscos de liquidez: surge quando uma transação não pode ser conduzida pelos preços

de mercado, devido a uma atividade insuficiente de mercado. Também, pode referir -se à

impossibilidade de cumprir obrigações relativas ao fluxo de caixa.

- Riscos operacionais: referem-se às perdas potenciais resultantes de sistemas

inadequados, má administração, controles defeituosos ou falha humana na execução das

operações da empresa.

Page 24: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

- Riscos legais: surge quando uma contraparte não possui autoridade legal ou regulatória

para se envolver em uma transação.

Este trabalho concentra-se no risco financeiro, mais especificadamente no risco

de mercado. O principal motivo para o surgimento da administração de risco é a

volatilidade das variáveis financeiras. A imprevisibilidade fez com que diversos

instrumentos fossem criados para a gestão de risco desde a década de 70, chamados de

derivativos. Entre eles estão o futuro de moedas (1972), opções de ações (1973), swaps

de moedas (1981), opções sobre swap (1985) e opções credit default (1994). Esses

derivativos proporcionam um mecanismo através do qual as instituições financeiras

podem hedgear-se com eficácia. Do outro lado dos hedges estão os especuladores,

buscando lucro em suas transações.

Uma medida de mensuração e controle dos riscos de mercado bastante utilizada

é o Value-a t-Risk (VaR), definida como o valor máximo que pode ser perdido, com um

certo nível de confiança, em um dado horizonte de tempo. A Figura 2 ilustra bem o

conceito de VaR.

Figura 2 - Ilustração do conceito de Value-at-Risk

Inicialmente, esta medida foi utilizada pelos principais bancos e instituições

financeiras do mundo, mas seu conceito foi difundido devido, principalmente, a sua

Valor do Portfolio

VaR VVt

α

Valor do Portfolio

VaR VVt

α

Page 25: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

simplicidade: um único valor resumindo a exposição de carteiras, muitas vezes

complexas, bem como a probabilidade de uma oscilação adversa. Além disso, ele mede

o risco na mesma unidade constante nos relatórios de resultados, facilitando o

entendimento de acionistas e administradores em geral. Dos diversos propósitos do

VaR, pode-se citar o fornecimento de informações gerenciais (informar sobre riscos

incorridos em transações e operações de investimentos ou os riscos financeiros de

empresas, contribuindo para estabilidade do sistema financeiro), alocação de recursos

(estabelecer de limites para traders e onde alocar recursos limitados de capital) e

avaliação de performance (ajustar o desempenho de traders ao risco incorrido).

Todavia, é importante perceber que o VaR é um procedimento necessário, mas

não suficiente para o controle de riscos. Esta medida representa uma estimativa técnica

para o risco de mercado, tendo o mesmo valor de outras estimativas em outras áreas

científicas. O VaR deve ser complementado por limites e controles, além de uma função

independente e centralizada de administração de risco.

2.3 Metodologias de cálculo do Value-at-Risk (VaR)

As três metodologias mais utilizadas para cálculo do VaR são: histórica,

paramétrica e por simulação de Monte Carlo. Cada uma delas têm suas vantagens e

desvantagens e seus usos são indicados em função dos ativos que compõem o portfólio

analisado. As duas primeiras metodologias serão apresentadas nas seções seguintes e o

cálculo usando a simulação de Monte Carlo será descrito na seção 2.3.3.

2.3.1 VaR Histórico

O VaR histórico aplica as variações dos fatores de risco (fatores que afetam o

valor de um determinado ativo do portfólio, por exemplo o preço de uma ação, a taxa de

juros, o câmbio, etc.) ocorridas no passado nas posições de risco atuais levando em

cons ideração o horizonte de tempo escolhido.

Page 26: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Define-se um período histórico e a unidade do holding period (diário, mensal,

etc.) da qual deseja -se medir o VaR e calcula -se, para cada unidade de tempo, o retorno

do portfólio atual, atualizando o valor de cada ativo. Dado um determinado nível de

confiança (1-α)%, o VaR será o percentil α% da amostra de retornos históricos. Por

exemplo, o VaR de uma posição "comprada" em um determinado portfólio, por esta

metodologia, com nível confiança de 95% será o percentil 5% da amostra de retornos.

Para uma posição de venda, o VaR será o percentil 95%.

As principais vantagens desta metodologia são a simplicidade e o não

embasamento em premissas (como a distribuição de probabilidade dos retornos dos

ativos), pois os dados são retirados diretamente do mercado financeiro. Além disso,

consegue capturar o efeito de uma possível assimetria dos dados. Do lado das

desvantagens, por se tratar de dados passados, é necessário acreditar que o futuro se

comportará da mesma maneira que o período histórico analisado. Além disso, esta

metodologia não permite a realização de análises de sensibilidade.

A metodologia do VaR histórico sofre de um grave problema: a sub-aditividade.

2.3.1.1 Propriedade da Sub-aditividade

Em 1999, Artzner et al. demonstraram que, em geral, as medidas de risco

deveriam satisfazer algumas condições para serem consideradas coerentes. Caso

contrário, seus resultados seriam paradoxais e não representariam corretamente o risco

incorrido. Uma das condição aprese ntada pelo autor é a propriedade de sub-aditividade:

sendo duas variáveis aleatórias X e Y e a função ?(), ?(X + Y) ≤ ?(x) + ?(Y).

No caso do VaR, isto significa que o risco de um portfólio deve ser menor que a

soma dos riscos individuais dos ativos que o compõe. Este conceito é bastante difundido

(a diversificação diminui os riscos) e utilizado em diversas teorias de investimento e

alocação de recursos, como o Capital Asset Pricing Model (CAPM). Porém, no artigo

de Artzner et al. (1999) e vários outros - Acerbi, Nordio e Sirtori (2001), por exemplo -

Page 27: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

foi demonstrado que o VaR histórico falha neste critério, ou seja, pode apresentar

portfólios com risco maior que a soma do risco de seus ativos.

As outras propriedades apresentadas por Artzner et al. (1999) para uma medida

de risco coerente são satisfeitas pelo VaR histórico: monotonicidade, homogeneidade e

invariância de translação. Devido a esta e outras críticas, diversas variações do VaR já

foram apresentadas na literatura, como o Expected Shortfall.

2.3.2 VaR Paramétrico

A metodologia do VaR paramétrico utiliza métodos estatísticos padronizados

para calcular as variações do portfólio atual. Para isso, baseia -se em fortes premissas: o

retorno dos ativos ou fatores de risco seguem uma distribuição estatística (geralmente

utiliza-se a distribuição Normal), a variação dos ativos é linearmente proporcional à

variação do portfólio, os retornos dos ativos são homocedásticos durante o horizonte de

tempo e não há autocorrelação nas séries de retornos.

Esta metodologia utiliza uma fórmula analítica para o cálculo do VaR:

Onde:

M: montante (em unidade monetárias) aplicado na posição

FS: Fator de segurança retirado da distribuição teórica assumida (em geral, a

distribuição Normal padrão) referente ao nível de confiança desejado

σ: volatilidade

HP: horizonte de tempo considerado (Holding Period)

A estimativa da volatilidade utilizada na expressão analítica é, geralmente,

retirada dos dados históricos. Uma forma simples é considerar a volatilidade como

sendo o desvio-padrão dos retornos do portfólio. Porém, desta forma, todas as

observações possuirão o mesmo peso, independentemente se ocorreram na véspera do

cálculo ou no início do período analisado. Uma forma de capturar a dinâmica da

VaR M FS HP= × × ×σ (2.6)

Page 28: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

volatilidade, dando ma ior peso para as observações mais recentes, é o alisamento

exponencial (conhecido por EWMA). A previsão para a volatilidade em um instante

qualquer é a média ponderada da previsão do instante anterior, usando um peso ?, e o

quadrado do último retorno, com peso 1- ?.

O fator ? é chamado de fator de decaimento e deve ser menor que 1. O modelo

EWMA é considerado como recursivo, pois baseia-se na previsão anterior. Por ter

apenas um único parâmetro, este modelo é bastante robusto quanto a erros de

estimativa. O ? pode ser determinado mediante maximização da função de

Verossimilhança, mas operacionalmente seria inviável calcular este fator todos os dias

para todos os ativos de um grande portfólio. Na prática, o RiskMetrics utiliza o fator

0,94 para todas as séries diárias. O modelo EWMA pode ser considerado um caso

especial do processo GARCH, que não será discutido neste trabalho, mas também pode

ser utilizado para estimar a volatilidade dos fatores de risco com pesos diferentes para as

observações2.

A principal vantagem do VaR paramétrico é a facilidade de implementação e a

rapidez do cálculo, visto que o VaR é uma simples multiplicação. Porém, as premissas

utilizadas nem sempre são constatadas na prática, principalmente a normalidade dos

retornos dos ativos (LI, 1999). Sabe-se que os retornos extremos acontecem com mais

freqüência do que os previstos pela distribuição normal. Isso faz com que as estimativas

de perda fiquem bastante imprecisas. Também, não é a metodologia indicada para

portfólios que contenham ativos não lineares, como os derivativos (a variação de preço

dos derivativos não é proporcional à variação do preço do ativo-objeto).

Nesta metodologia, o VaR para as posições "comprada" e vendida" são iguais

caso a distribuição assumida para a série de retornos seja simétrica, como é a

distribuição Normal. Para o VaR de um portfólio, utiliza-se:

2 Vide Jorion (1997).

σ λσ λt t tr= + −− −1 121( ) (2.7)

VaR X Y VaR X VaR Y VaR X VaR Y X Y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , )+ = + + × × ×2 2 2 ρ (2.8)

Page 29: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Onde:

?(X,Y): correlação entre o retorno dos ativos X e Y

2.3.2.1 Método Delta -Normal

O método Delta-Normal também pode ser considerado como uma forma de

mensuração do VaR por solução analítica, pois possui uma fórmula fechada. Sua virtude

é a simplicidade. Baseia -se na propriedade de que um portfólio de ativos normalmente

distribuídos também é normalmente distribuído e que o valor do portfólio é uma

combinação linear do valor dos ativos individuais. A perda potencial para o valor V do

portfólio é calculada como:

Onde:

β0: sensibilidade da carteira às mudanças de preço, avaliada a partir do preço atual, que

depende dos preços atuais de cada ativo (S0). A suposição de normalidade permite o

cálculo do β do portfólio como a média dos β individuais.

∆S: mudança potencial nos preços

Um benefício essencial deste método está no fato de requerer o cálculo do valor

do portfólio apenas uma vez, a partir da posição atual e dos preços atuais de cada ativo.

Logo, o método Delta-Normal adapta-se bem aos portfólios formados por muitos ativos

ou fatores de risco. Entretanto, se este possuir opções (ou outro ativo não linear) a

abordagem de delta pode apresentar vários problemas: o delta pode mudar muito

depressa ou ser diferente para movimentos ascendentes e descendentes e a pior perda

pode não corresponder às realizações extremas do preço dos ativos-objetos.

Uma aproximação para este método, tentando adicionar ao modelo riscos

diferentes do risco de delta, é a utilização da expansão de Taylor e das "gregas"3. Assim,

o VaR de um derivativo pode ser mensurado pela equação:

∆ ∆V S= ×β0 (2.9)

Page 30: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Onde:

∆ e Γ são as derivadas de primeira e segunda ordem do preço do derivativo em relação

ao preço do ativo-objeto oriundas da expansão de Taylor.

VaR a: VaR do ativo-objeto de origem do derivativo

Este método é indicado para derivativos de um único ativo-objeto, mas torna-se

ineficiente para a mensuração dos riscos de um portfólio em que os ativos são

correlacionados (devido a não linearidade dos derivativos, não se pode utilizar a matriz

de correlação tradicional).

2.3.3 VaR por Simulação de Monte Carlo com incorporação da Amostragem

Descritiva e Amostragem por Importância

O cálculo de VaR por simulação de Monte Carlo não se prende às premissas da

metodologia do VaR paramétrico nem à suposição de que o comportamento futuro irá

repetir o comportamento passado, principais desvantagens das outras metodologias.

Porém, por se tratar de um método que necessita intensivamente de recursos

computacionais e repetições de procedimentos, seus cálculos podem ser lentos e com

implementação difícil e cara. Outro ponto importante, é que os fatores de risco devem

ser modelados por modelos estocásticos, o que exige profissionais qualificados e a

escolha do modelo mais apropriado para cada situação.

"Apesar de tudo, os métodos por simulação de Monte Carlo são considerados os

mais robustos e os mais poderosos para o cálculo do Value-a t-Risk , pois contemplam

uma grande variedade de riscos financeiros. Todas as variáveis dos modelos podem ser

tratadas como probabilísticas caso isso venha a ser de interesse." (SALIBY e ARAÚJO,

2001)

3 Vide Hull (2003)

VaR VaR VaRd a a= × − × ×∆ Γ12

2 (2.10)

Page 31: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

O cálculo básico do VaR por simulação de Monte Carlo envolve os seguintes

passos:

1. Escolher um processo estocástico para simular os preços futuros de cada ativo ou

fator de risco do portfólio;

2. Estimar as volatilidade e correlações entre os ativos e/ou fatores de risco que

compõem os modelos estocásticos;

3. Gerar uma pseudo-seqüência Ε1, ..., ΕN, a partir da qual serão realizadas as

simulações;

4. Simular os preços futuros dos ativos ou fatores de risco do portfólio através do

processo estocástico já selecionado e com a pseudo-seqüência gerada, levando-se

em consideração as correlações dos ativos para o horizonte de tempo de interesse;

5. Caso o portfólio tenha derivativos, utilizar um modelo de precificação para avaliar

seus preços em função dos valores encontrados na simulação (passo anterior);

6. Repetir os passos 2 a 5 tantas vezes quanto necessário, até se obter uma amostra

suficientemente grande para que se possa gerar a distribuição de probabilidade do

valor do portfólio. Ao nível de confiança desejado (1-α)%, o VaR é o valor do

percentil α% (para posição "comprada") ou percentil (1-α )% (para posição

"vendida") da série de retornos do portfólio gerada pela simulação.

Diz-se que uma variável segue um processo estocástico quando seu valor é

incerto e variável dependendo de um parâmetro, em geral do tempo. O modelo

estocástico de maior utilização no mercado financeiro para representar o retorno de um

ativo-objeto é o movimento geométrico browniano - processo inicialmente utilizado na

física para descrever o movimento de uma partícula sujeita a choques de outras

moléculas. Este modelo pode ser representado pela equação diferencial estocástica a

seguir:

dSS

dt dzt

tt= +µ σ (2.11)

Page 32: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Onde:

St : preço do ativo-objeto no instante t;

dSt / St : taxa de retorno do ativo-objeto

µ : esperança da taxa de retorno do ativo-objeto

dt: intervalo de tempo

σ: volatilidade da taxa de retorno do ativo-objeto

dzt: variável aleatória com distribuição Normal (0;dt)

O movimento geométrico browniano é composto por dois termos: o primeiro

(µdt) é determinístico e representa a tendência seguida pelos retornos; o segundo (σdzt)

é aleatório com distribuição Normal (0; σ2dt) e representa a volatilidade em torno da

tendência. O termo dzt segue um Processo de Wiener, e pode ser substituído por:

Onde:

ε t: variável aleatória Normal padrão

dzt é independente para dois intervalos de tempo distintos

Para encontrar o valor se St em (2.7) é necessário resolver a equação através de

integrais. Contudo, a integração desta equação diferencial estocástica é muito complexa

e não segue as regras básicas de cálculo clássico. Uma alternativa é a aplicação da

Integral de Itô, que apresenta uma maneira de somar incrementos aleatórios durante o

tempo4. A solução encontrada adotando-se a hipótese de neutralidade de risco (retorno

do ativo sendo igual à taxa de juros livre de risco) é:

Onde:

Rf: taxa livre de risco

É importante mencionar que a equação (2.13) baseia -se na hipótese de eficiência

dos mercados, pois o preço atual reflete toda a informação passada. Além disso,

dz dtt t= ε

S S et tRf dt dt t= −

− +1

22( / )σ σ ε

(2.12)

(2.13)

Page 33: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

assume-se que os mercados respondem imediatamente ao surgimento de novas

informações.

No passo 2, a volatilidade pode ser calcula pelo desvio-padrão de retornos

anteriores ou utilizando-se o modelo EWMA ou GARCH, como discutido na seção

2.3.2. No passo 3, os valores aleatórios são chamados de "pseudo-aleatórios" porque são

gerados a partir de uma função pré-estabelecida e podem ser replicados. Os geradores

de valores aleatórios de qualquer software geram valores desta natureza, pois

necessitam de algoritmos determinísticos. Na prática, não existem números aleatórios

no ambiente computacional, uma vez que o computador é essencialmente

determinístico.

As técnicas de redução de variância são utilizadas no passo 3 (geração da

seqüência pseudo-aleatória) e no processo estocástico utilizado para melhorar a precisão

das estimativas resultantes da simulação. A incorporação da Amostragem Descritiva e

da Amostragem por Importância (já detalhados em seções anteriores) modificam a

expressão 2.13 para:

Onde:

ε 't: variável aleatória Normal padrão gerada pela Amostragem Descritiva

C: valor do deslocamento proposto na Amostragem por Importância

Com a incorporação destas técnicas o VaR não será mais um determinado

percentil como descrito no passo 6, mas sim a perda que tiver sua razão de

Verossimilhança acumulada mais aproxima da estatística a x N ou (1- a) x N para uma

posição de venda. Pode-se também usar a interpolação para determinar o VaR ao invés

da perda mais próxima.

O VaR de um portfólio é determinado pela equação (2.8), igualmente ao VaR

paramétrico.

4 Uma demonstração completa encontra-se em Hull (2003)

S S et tRf dt dt Ct= −

− + −1

22( / ) ( )'σ σ ε (2.14)

Page 34: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

(2.15)

(2.16)

(2.17)

2.3.4 Modelo de Mistura de Distribuições

Gibson (2001) apresenta o modelo de mistura de distribuições para a

incorporação de eventos raros ou inesperados no cálculo do VaR. Segundo o autor,

pouquíssimos modelos capturam o risco dos acontecimentos eventuais, que podem ser,

por exemplo, a notícia de um default ou um atentado terrorista. Na prática, o motivo

pelo qual se obtém um retorno excessivamente baixo ou alto não é relevante,

importando-se apenas suas propriedades estatísticas.

Inicialmente, pode-se considerar que um fator de risco deva ser dividido em dois

componentes. O primeiro, chamado de ordinário, segue a distribuição dos dados sem a

interferência de saltos para cima ou para baixo. O outro componente é a representação

dos choques causados pelos saltos. Então, um fator de risco pode ser modelado da

seguinte forma:

r = ro + rS

Onde:

ro: segue a distribuição ordinária dos dados

rS : componente influenciado pelos saltos, segue uma distribuição trinomial definida

como:

0, com probabilidade 1-p-q

rS = -D, com probabilidade p

U, com probabilidade q

Assim, a distribuição de r é equivalente à mistura de três distribuições:

r = (1-p-q) ro + p rD + q rU

Page 35: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

dueqduepdueqpUuDuu

xxx 2

2)(

2

2)(

2

2)(

222

21

21

21

)1(95,0 σσσ

µµµ

πσπσπσ

+−−−−−−−

∫∫∫ ∞−∞−∞−++−−=

(2.18)

(2.19)

Onde:

rD e rU possuem a mesma distribuição ordinária de ro com médias defasadas em -D e U,

respectivamente.

É importante mencionar que ro e rS devem ser independentes. Este modelo

captura a assimetria quando D é diferente de U ou p é diferente de q.

Assumindo que a distribuição ordinal é Fro(x;µ,?), onde µ é a média e ? os

demais parâmetros necessários (por exemplo, o desvio-padrão no caso da distribuição

Normal), pode -se escrever:

Fr(x) = (1-p-q) Fro(x;µ;?) + p Fro(x; µ-D;?) + q Fro(x; µ+U;?)

Na prática, para o calculo do VaR, é necessário a resolução desta equação

numericamente sendo Fr a distribuição que melhor se aproxime dos dados. Assumindo

normalidade, tem-se para um nível de 95% de confiança:

O valor de x (limite superior das integrais) é o novo fator de segurança para o

cálc ulo do VaR pela metodologia paramétrica. Uma alternativa para a resolução da

equação (2.19), utilizada neste trabalho, é o uso da simulação de Monte Carlo

diretamente aplicada à equação (2.15), tratando-se de um problema bidimensional: uma

variável aleatória é sorteada para o valor de ro segundo a distribuição ordinária e outra

variável aleatória para a distribuição trinomial de rS.

O efeito da incorporação de rS com distribuição trinomial no modelo é a melhor

representação das caudas da distribuição, fazendo com que a mistura das três

distribuições, vista na equação (2.16), fique mais próxima da distribuição real dos

retornos financeiros. Este efeito pode ser visualizado na Figura 3.

Page 36: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

A estimação dos parâmetros envolve a estimação de D, U, p e q da equação

(2.16) e dos demais parâmetros necessários para o uso da distribuição ordinária. Ao

contrário de outros modelos de mistura de distribuições que utilizam cálculos

estatísticos avançados, a estimação dos parâmetros neste modelo é bastante simples e

intuitiva, baseando-se nos dados históricos. Como a metodologia inicialmente foi

apresentada para a incorporação do efeito de eventos raros na distribuição de

probabilidade dos fatores de risco, é necessário uma grande quantidade de dados para a

estimação dos parâmetros. No Brasil, isso pode ser um problema, pois, apesar da

facilidade de se obter séries de dados financeiros, mudanças de regimes e cenários

econômicos podem tornar períodos de tempo incomparáveis. Uma sugestão é o

agrupamento de ativos com características semelhantes.

Primeiramente, deve-se dividir o conjunto de dados em três grupos: saltos para

cima, saltos para baixo e retornos sem saltos. Esta divisão pode seguir qualquer critério

coerente. Uma sugestão, seguida neste trabalho, é o corte a partir de um número

arbitrário de desvios-padrão. Considera-se como salto um valor acima ou abaixo do

valor determinado. Vale ressaltar que a qualidade do modelo dependerá muito desta

escolha.

As probabilidades p e q são estimadas como a porcentagem de retornos nos

grupos de saltos para baixo e para cima, respectivamente. Os valores de D e U são

estimados como a média dos retornos destes dois grupos.

Novamente, para o VaR de um portfólio utiliza -se a equação (2.8).

Distribuição dos dados ordinários Distribuição dos saltos para baixo Distribuição dos saltos para cima

Figura 3 - Efeito de rS na distribuição do fator de risco do modelo

Page 37: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

(2.20)

2.4 Geração de Variáveis Aleatórias Correlacionadas

Na prática, os portfólios são compostos por mais de uma fonte de risco ou ativo

financeiro. Quando se utiliza a simulação para descrever o comportamento destes

fatores de risco, deve -se levar em consideração a correlação entre eles. A fatoração de

Cholesky é o método mais conhecido para a incorporação da correlação na geração de

seqüências aleatórias.

Genericamente, para três variáveis, considere que a estrutura de correlação possa

ser representada pela multiplicação das matrizes TT', onde T é triangular inferior.

E assim tem-se:

Pela fatoração de Cholesky, os valores aleatórios modificados (com a

incorporação das correlações) são obtidos pela multiplicação entre a matriz T (com

valores encontrados acima) e os valores aleatórios originais.

É importante perceber que a fatoração de Cholesky modifica os valores

aleatórios sorteados para gerar a correlação esperada. Assim, as técnicas de amostragem

1

11

0 0

0 00 0

12 13

12 23

13 23

11

12 22

13 23 33

11 12 13

22 23

33

112

11 12 11 13

11 12 122

222

13 12 23 22

11 13 13 12 23 22 132

232

332

ρ ρ

ρ ρρ ρ

=

= ++ + +

a

a aa a a

x

a a a

a aa

a a a a a

a a a a a a a aa a a a a a a a a

a

a

a

a

11

12 12

13 13

22 122 1 2

1

1

=

=

=

= −

ρ

ρ

ρ( ) /

εε

ε

ρ ρ

ρρ ρ ρ

ρρ

ρ ρ ρρ

εε

ε

1

2

3

12 122 1 2

1323 12 13

122 1 2 13

2 23 12 13

122 1 2

2 1 2

1

2

3

1 0 01 0

11

1

'

'

'

/

/ /

/( )

( ) ( )

= −

−−

− −−

x

a

a

2323 12 13

122 1 2

33 132 23 12 13

122 1 2

2 1 2

1

11

=−

= − −−

ρ ρ ρρ

ρρ ρ ρ

ρ

( )

( )

/

/

/

Page 38: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

estratificadas (como é o caso da Amostragem Estratificada, do Hipercubo Latino e da

Amostragem Descritiva) têm suas características destruídas.

Iman e Conover (1982) propuseram um método para induzir a correlação ordinal

entre as variáveis aleatórias no qual estas são mantidas, permitindo o uso de qualquer

processo de estratificação e amostragem de variáveis aleatórias. Além disso, pode ser

aplicada a qualquer distribuição, enquanto que a fatoração de Cholesky deve ser

utilizada apenas em casos de Normalidade. Araújo (2001) descreve o método da

seguinte forma:

Supondo uma matriz U com dimensões n x k, onde as colunas representam

variáveis aleatórias distribuídas livremente, seguindo qualquer esquema de

estratificação. O objetivo é fazer com que a matriz de correlação de rank de U seja

próxima da matriz de correlação desejada (C). Define-se, também, a matriz R de

mesmas dimensões de U, onde os valores de cada coluna são uma permutação aleatória

de ? -1(i/(n+1)) para i=1,...,n e ? -1 representando a inversa da distribuição Normal

padrão acumulada. Observa -se que a matriz de correlação de R é próxima a matriz

identidade, uma vez que as colunas são independentes.

Em seguida, decompõem-se C em PP', como na fatoração de Cholesky (P é uma

matriz triangular inferior). Calcula -se R* = RP' com matriz de correlação ordinal

próxima a matriz de correlação C. Finalmente, ordena -se as colunas de U de forma que

o valor em cada coluna tenha a mesma ordem de R*. Assim, U apresentará a mesma

correlação ordinal que R*, que por sua vez é próxima a C.

Em resumo, o algoritmo apresentado ordena os valores estratificados (sem

alterá-los) de forma que sua matriz de correlação ordinal seja próxima da matriz de

correlação desejada.

Outros métodos de geração de variáveis aleatórias correlacionadas são o

Singular Value Decomposition (J.P.Morgan, 1996) e o algoritmo de Gram-Schmidt

(Owen, 1994).

Page 39: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

2.5 Teste de Proporção de Falhas

Proposto por Kupiec (1995), o intervalo para a proporção de falhas no cálculo do

VaR é baseado na distribuição Qui-Quadrado com 1 grau de liberdade. Define -se como

falha no cálculo do VaR o dia em que o retorno observado foi menor (maior) que o VaR

calculado para um posição comprada (vendida) no ativo-objeto em questão. Com um

nível de confiança de (1-a)%, espera -se a ocorrência de a % de falhas. O teste de

proporção de falhas permite a comparação entre as diversas metodologias de cálculo do

VaR, sendo a metodologia que mais se aproximar de a % de falhas a mais adequada

para os dados utilizados. Vale ressaltar que uma elevada porcentagem de falhas

representa a exposição a um nível de risco maior do que se espera, enquanto que uma

baixa porcentagem de falhas representa a sub-utilização dos recursos devido ao controle

excessivo aos traders.

Este teste para a proporção de falhas baseia -se somente na freqüência de erros,

ou seja, mede se a quantidade de erros é coerente com a quantidade esperada. Porém,

alguns autores (como Blanco e Ihle, 1998; Lopez, 1998) defendem que além da

freqüência deve ser medido a magnitude dos erros. Ou seja, a diferença entre a máxima

perda esperada (VaR) e o valor verdadeiramente observado. A média destas diferenças é

conhecida como CVaR.

Neste trabalho, a magnitude dos erros será observada quando houver empate na

proporção de falhas. Sendo assim, um critério de desempate para escolha da

metodologia de cálculo do VaR mais precisa.

As medidas acima referidas são válidas para a comparação das metodologias de

cálculo para um mesmo nível de confiança. Ou seja, dado um certo nível de confiança,

pode-se decidir qual delas é a melhor. Porém, neste trabalho, analisa-se o

comportamento das metodologias paras diversos níveis de confiança, sendo necessário a

construção de um índice de desempenho geral. Este índice é calculado como o

somatório das diferenças absolutas entre os percentuais de falha observado e esperado

normalizadas para os diversos níveis de confiança. Supondo que uma determinada

Page 40: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

metodologia obtenha os valores 5,20%, 2,75% e 0,80% como proporções de falha para

os níveis de confiança de 5%, 2,5% e 1%, tem-se que o índice de desempenho geral é:

Este índice permitirá a comparação geral (para todos os níveis de confiança) das

metodologias em análise. É fácil perceber que quanto menor o índice, melhor é o

resultado.

5 20 55

2 75 2 52 5

0 80 11

0 34, , ,

,,

,−

+−

+−

=

Page 41: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

3. Metodologia

Nesta seção, serão apresentadas as classificações deste trabalho em categorias

quanto aos fins e meios empregados, serão discutidos o universo e amostra de dados

utilizados para a formação dos portfólios de ativos financeiros e suas formas de coleta e

tratamento. Também, são apresentados as principais limitações dos métodos e

ferramentas utilizadas.

3.1 Tipo de Pesquisa

O estudo a ser realizado consistirá na implementação de dois modelos para o

cálculo do VaR: modelo de Mistura de Distribuições e o modelo de simulação de Monte

Carlo com a combinação das técnicas de Amostragem Descritiva e Amostragem por

Importância. Ambos possuem fácil entendimento e baixa complexidade na estimação de

seus parâmetros e forma de cálculo. A comparação entre eles e as formas tradicionais de

cálculo do VaR será realizada pelo teste de proporção de falhas, pela variabilidade dos

resultados medido pelo desvio-padrão e pela porcentagem de erros de sub-aditividade.

Este trabalho pode ser classificado em relação a dois aspectos: quanto aos fins e

quanto aos meios empregados. No primeiro aspecto, este trabalho trata -se de uma

pesquisa exploratória, visto que o experimento é relacionado à descobertas recentes e

será aplicada em uma situação ainda não apresentada na literatura.

Quanto aos meios empregados, pode-se classificar este trabalho em duas

categorias. É uma pesquisa de laboratório, pois será realizada através de uso intensivo

de computador e suas ferramentas (programas de simulação, planilhas de dados,

internet, etc.). Também é uma pesquisa experimental, uma vez que permitirá analisar o

fenômeno da superioridade de um método ao outro.

Page 42: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

3.2 Experimento Realizado

O experimento a ser realizado, neste trabalho, será o cálculo do VaR diário para

as posições de compra e de venda de uma carteira composta igualmente pelas três ações

de maior participação no IBOVESPA (quadrimestre de maio a agosto de 2004): TNLP4

(Telemar), PETR4 (Petrobrás) e EBPT4 (Embratel). Juntas, estas três ações,

representam aproximadamente 27% do índice. Também será realizado uma análise

descritiva das três ações separadamente.

O período selecionado foi de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004,

totalizando uma amostra de 557 dias de negociação. O período não foi maior, pois as

metodologias para o cálculo do VaR propostas, principalmente o Modelo de Mistura de

Distribuição, precisam de um período de dados anterior para estimação dos parâmetros

necessários no cálculo.

As metodologias utilizadas no cálculo do VaR serão as metodologias

apresentadas na seção do "Referencial Teórico": histórica, paramétrica, Modelo de

Mistura de Distribuições (utilizando Amostragem Aleatória Simples e Amostragem

Descritiva) e por Simulação de Monte Carlo (utilizando a Amostragem Aleatória

Simples, a Amostragem Descritiva e a combinação da Amostragem Descritiva com a

Amostragem por Importância). Serão utilizados diferentes níveis de confiança: 95%,

97,5%, 99% e 99,5%. Os resultados serão comparados pelo teste de proporção de falhas,

magnitude dos erros, variabilidade (para os modelos baseados em simulação),

quantidade de erros de sub-aditividade e índice de desempenho geral conforme definido

na seção 2.5.

3.3 Coleta de Dados Para o cálculo dos parâmetros de entrada dos modelos utilizados serão

necessários os dados históricos das três ações citadas, taxa livre de risco e de um

gerador de números aleatórios. Os dados históricos foram coletados no banco de dados

do site Yahoo Finance como valores de fechamento diários já ajustados para operações

Page 43: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

de split, merge, pagamento de dividendos e etc. O valor de taxa livre de risco foi

considerada constante em 16% ao ano durante todo o período de análise. Na geração

dos valores aleatórios será utilizado o gerador do software Matlab.

3.4 Parâmetros Estimados

Os modelos propostos e os modelos tradicionais de cálculo do VaR baseiam-se

na estimação de alguns parâmetros. Esta seção tem como objetivo esclarecer a forma de

estimação e os dados utilizados.

O modelo de Mistura de Distribuições utiliza dados históricos para a estimação

de seus parâmetros. Como foi criado para a incorporação de eventos raros, existe a

necessidade de utilizar grande quantidade de dados. Para um melhor ajuste do modelo

às mudanças no cenário econômico, as estimativas dos parâmetros p, q, D e U serão

calculadas anualmente. Por exemplo, para 2002 serão utilizados os dados de 01 de

junho de 1994 (ou 21 de setembro de 1998 para EBTP4 e TNLP4) até 31 de dezembro

de 2001 e estas estimativas serão válidas para todos os cálculos do VaR durante o ano

de 2002. Para 2003 e 2004, incorporam-se os anos de 2002 e 2003 sem retirar nenhum

dos dados iniciais.

Neste modelo, também, é necessário determinar o valor do corte que divide os

retornos em saltos para cima, baixo ou sem saltos. Como foi mencionado na seção 2.3.4,

uma boa medida de corte é determinar uma quantidade de desvios-padrão da média.

Evitando simplesmente uma determinação arbitrária e buscando um melhor ajuste do

modelo aos dados, será utilizado o corte que otimiza (em relação ao teste de proporção

de falhas) a amostra do ano anterior ao cálculo. Ou seja, calcula-se o VaR para todos os

dias de negócio de 2001, com as estimativas de p, q, D e U conforme mencionadas

acima, com valores de corte variando de 1,5 até 5 desvios-padrão (de 0,5 em 0,5

unidades). Nos cálculos do ano 2002 será utilizado o critério de corte que me lhor se

ajustou em 2001. Da mesma forma ocorrerá nos anos subseqüentes. Dessa forma,

utiliza-se os dados passados para calibrar o modelo anualmente, possibilitando um

ajuste à mudanças e maior precisão no modelo.

Page 44: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Exemplo para o ano 2002: utilizando os critérios de corte nos retornos de 1,5, 2,

2,5, ..., 5 desvios-padrão (ou seja, 8 critérios), calcula -se as estimativas de p, q, D e U

com os dados de 01 de junho de 1994 até 31 de dezembro de 2001. Usando o teste de

proporção de falhas para o VaR de todos os dias de negociação de 2001 (o ano anterior

ao ano que estamos interessados) escolhe-se o critério a ser utilizado em 2002. Os

parâmetros estimados escolhidos serão utilizados para todos os dias de 2002. Após este

período, calcula -se novamente as estimativas de p, q, D e U incorporando os dados reais

de 2002 ao período de teste e encontra-se o melhor critério de corte que deveria ter sido

usado em 2002. Este critério será utilizado em 2003.

Para o modelo de simulação com a técnica de Amostragem por Importância,

necessita -se estimar o valor do deslocamento da curva Normal para a esquerda (no caso

de posições de compra) ou para a direita (no caso de posições de venda). Da mesma

forma que o Modelo de Mistura de Distribuições, utiliza -se o ano anterior ao ano de

interesse como período de backtest. Ou seja, otimiza-se em relação ao teste de

proporção de falhas o modelo com os dados do ano anterior ao ano de interesse. Para o

valor do deslocamento, permite -se a variação na primeira casa decimal.

Quanto aos modelos tradicionais: para a metodologia histórica utiliza-se uma

janela móvel de 50 dias de negócio para o cálculo do percentil e para a metodologia

paramétrica faz-se uso da distribuição Normal. Para as metodologias que utilizam a

simulação de Monte Carlo (incluindo o Modelo de Mistura de Distribuições) realizam-

se 10 corridas de 1.000 simulações cada.Vale lembrar que quando utilizada a técnica de

Amostragem Descritiva, os valores de entrada do modelo de simulação são sempre os

mesmos. Assim, quando calcula-se o VaR apenas para um ativo, tem-se um problema

unidimensional e todas as corridas possuem o mesmo resultado. Porém, para um

portfólio, as corridas possuem diferentes resultados dado a permutação dos mesmos

valores de entrada entre os ativos que o compõe.

Em todos os casos, a volatilidade será estimada pelo desvio-padrão dos retornos

diários numa janela móvel de 50 dias de negociação. A geração dos valores aleatórios

nas simulações leva em consideração a correlação entre as três ações fazendo uso da

Page 45: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

fatoração de Cholesky e do algoritmo de Iman e Conover para o caso da Amostragem

Descritiva, conforme seção 2.4.

3.5 Tratamento dos Dados

As sub-rotinas para simulação das trajetórias dos ativos, geração dos valores

pseudo-aleatórios e o cálculo do VaR serão desenvolvidas em linguagem de

programação no software Matlab versão 6.5. Os algoritmos desenvolvidos nesta

ferramenta possuem processamento bastante rápido, são de fácil manipulação e

compreendem todas as funções estatísticas e matemáticas necessárias já pré-definidas.

3.6 Limitações dos Métodos

Este trabalho apresenta algumas limitações relativas às metodologias e

ferramentas computacionais utilizadas. A seção está dividida nestas duas partes.

3.6.1 Limitações Metodológicas

A metodologia exploratória apresenta a limitação da ausência de generalização

dos resultados obtidos. Normalmente, os experimentos são casos específicos ou que

despertam o interesse do pesquisador. As conclusões obtidas neste trabalho só podem

ser aplicadas, com segurança, nos dados aqui analisados.

3.6.2 Limitações de Hardware e Software

A simulação é uma técnica que necessita de intenso uso do ferramental

computacional, tanto hardware (importante no processamento) como software

(importante na programação das sub-rotinas).

Page 46: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

No início do uso das técnicas de simulação de Monte Carlo, década de 40, a

pequena disponibilidade de recursos computacionais era a principal limitação do

método. Porém, cada vez mais este fator deixa de ser um limitante para a utilização da

simulação.

A precisão de um processo de simulação é dependente da quantidade de

simulações executadas, ou seja, do número de repetições do experimento ou cálculo.

Assim, o hardware utilizado pode representar uma limitação, uma vez que quanto mais

repetições maior será o consumo deste recurso.

Quanto às limitações do software, pode-se citar a falta de conhecimento e acesso

de muitos estudantes e pesquisadores ao software Matlab, que impossibilita uma maior

penetração do trabalho (se comparado com o Excel, por exemplo). No entanto, o Matlab

não possui muitas das limitações dos demais programas, como limitações "físicas" de

dados, buggs de funções e outras.

Page 47: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

4. Resultados

4.1 Análise Exploratória dos Dados Antes de iniciar os cálculos do VaR, é importante fazer uma análise descritiva

das séries de dados utilizadas no experimento. Vale lembrar que o período de cálculo do

VaR é de janeiro de 2002 até o dia 31 de março de 2004. A Figura 4 apresenta a

evolução do preço da ação PETR4. Houve um aumento de 82,4% entre o primeiro e o

último dia da amostra.

Os valores de assimetria e curtose, mostrados na Tabela 1, indicam que a

amostra possui uma ponta assimétrica que se estende em direção dos valores mais

negativos e excesso de curtose comparado à distribuição Normal. Estas características

são facilmente visualizadas no histograma, Figura 5, e no QQ Plot, Figura 6.

Figura 4 - Evolução dos preços de fechamento da ação PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

90,00

Jan-

02-0

2

Jan-

23-0

2

Feb

-18-

02

Mar

-11-

02

Apr

-04-

02

Apr

-25-

02

May

-17-

02

Jun-

10-0

2

Jul-0

1-02

Jul-2

3-02

Aug

-13-

02

Sep

-03-

02

Sep

-24-

02

Oct

-15-

02

Nov

-05-

02

Nov

-27-

02

Dec

-18-

02

Jan-

14-0

3

Feb

-06-

03

Feb

-27-

03

Mar

-24-

03

Apr

-14-

03

May

-08-

03

May

-29-

03

Jun-

20-0

3

Jul-1

4-03

Aug

-04-

03

Aug

-25-

03

Sep

-15-

03

Oct

-06-

03

Oct

-27-

03

Nov

-17-

03

Dec

-08-

03

Jan-

02-0

4

Jan-

23-0

4

Feb

-13-

04

Mar

-09-

04

Mar

-30-

04

Jan/02 a Mar/04

R$

Page 48: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Tabela 1 - Estatísticas descritivas da série de retornos da ação PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

Observações Média Desvio Padrão Mínimo Máximo Assimetria Excesso de

Curtose PETR4 557 0,11% 2,16% -9,82% 8,43% -0,191 1,686

Figura 5 - Histograma da série de retornos da ação PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

PETR4

,075,063

,050,038

,025,013

,000-,012

-,025-,037

-,050-,062

-,075-,087

-,100

100

80

60

40

20

0

Normal Q-Q Plot of PETR4

Observed Value

,10,0-,1-,2

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

,08

,06

,04

,02

0,00

-,02

-,04

-,06

-,08

Figura 6 - QQ Plot dos retornos da ação PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

Page 49: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

As características observadas nos dados de retorno da ação PETR4 são

compatíveis com as características já mencionadas para o problema das "caudas

gordas". Observa-se, na Figura 5, que a curva da distribuição Normal subestima a

proporção de valores nas caudas, principalmente no lado esquerdo. Pela Figura 6,

observa-se que os pontos das extremidades são os mais distantes da reta que caracteriza

a distribuição Normal. Apesar destes desvios, a amostra pode ser considerada

Normalmente distribuída pelo teste de Kolmogorov-Smirnov com 95% de confiança

(p-valor de 34,2%).

Quanto à ação EBTP4, observa -se na Figura 7 dois períodos bastante distintos:

primeiramente uma forte queda no preço e depois a recuperação. A diferença entre o

primeiro e último dia da amostra é de -10,6%.

Observa-se na Tabela 2, que os retornos desta ação possuem uma amplitude

muito maior que os retornos da ação PETR4, estando dentro do intervalo de -29,3% e

20,9%. A assimetria e excesso de curtose também são mais acentuados.

Figura 7 - Evolução dos preços de fechamento da ação EBTP4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

Jan-

02-0

2

Jan-

23-0

2

Feb-

18-0

2

Mar

-11-

02

Apr

-04-

02

Apr

-25-

02

May

-17-

02

Jun-

10-0

2

Jul-0

1-02

Jul-2

3-02

Aug

-13-

02

Sep

-03-

02

Sep

-24-

02

Oct

-15-

02

Nov

-05-

02

Nov

-27-

02

Dec

-18-

02

Jan-

14-0

3

Feb-

06-0

3

Feb-

27-0

3

Mar

-24-

03

Apr

-14-

03

May

-08-

03

May

-29-

03

Jun-

20-0

3

Jul-1

4-03

Aug

-04-

03

Aug

-25-

03

Sep

-15-

03

Oct

-06-

03

Oct

-27-

03

Nov

-17-

03

Dec

-08-

03

Jan-

02-0

4

Jan-

23-0

4

Feb-

13-0

4

Mar

-09-

04

Mar

-30-

04

Jan/02 a Mar/04

R$

Page 50: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Tabela 2 - Estatísticas descritivas da série de retornos da ação EBTP4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

Observações Média Desvio Padrão Mínimo Máximo Assimetria Excesso de

Curtose Ebtp4 557 -0,02% 4,93% -29,26% 20,85% -0,665 4,751

Figura 8 - H istograma da série de retornos da ação EBTP4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

EBTP4

,200

,150

,100

,050

,000

-,050

-,100

-,150

-,200

-,250

-,300

140

120

100

80

60

40

20

0

Normal Q-Q Plot of EBTP4

Observed Value

,3,2,1-,0-,1-,2-,3

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

,2

,1

0,0

-,1

-,2

Figura 9 - QQ Plot dos retornos da ação EBTP4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

Page 51: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Através do Histograma, Figura 8, e do QQ Plot, Figura 9, percebe-se que

existem alguns retornos, principalmente negativos, bastante diferentes dos valores

esperados pela distribuição Normal. Diferentemente do teste realizado com a ação da

Petrobrás, não se pode considerar esta série Normalmente distribuída pelo teste de

Kolmogorov-Smirnov com 95% de confiança (p-valor de 01,4%).

A ação TNLP 4 apresentou um crescimento entre o primeiro e último dia da

amostra de 48,3%, conforme Figura 10. Este aumento não foi maior devido a uma

queda nos preços a partir do final de janeiro de 2004, quando a série atinge seu máximo

de R$ 50,19.

A Tabela 3 indica que esta é a série que possui valores de assimetria e excesso

de curtose mais próximos de zero, ou seja, dos valores teóricos da distribuição Normal.

Figura 10 - Evolução dos preços de fechamento da ação TNLP4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

10,00

15,00

20,00

25,00

30,00

35,00

40,00

45,00

50,00

55,00

Jan-

02-0

2

Jan-

22-0

2

Feb-

14-0

2

Mar

-06-

02

Mar

-28-

02

Apr

-18-

02

May

-09-

02

May

-29-

02

Jun-

19-0

2

Jul-1

0-02

Jul-3

0-02

Aug

-19-

02

Sep

-06-

02

Sep

-26-

02

Oct

-16-

02

Nov

-05-

02

Nov

-26-

02

Dec

-16-

02

Jan-

09-0

3

Jan-

30-0

3

Feb-

20-0

3

Mar

-14-

03

Apr

-03-

03

Apr

-25-

03

May

-16-

03

Jun-

05-0

3

Jun-

26-0

3

Jul-1

7-03

Aug

-06-

03

Aug

-26-

03

Sep

-15-

03

Oct

-03-

03

Oct

-23-

03

Nov

-12-

03

Dec

-02-

03

Dec

-22-

03

Jan-

15-0

4

Feb-

04-0

4

Feb-

26-0

4

Mar

-17-

04

Page 52: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Tabela 3 - Estatísticas descritivas da série de retornos da ação TNLP4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

Observações Média Desvio Padrão Mínimo Máximo Assimetria Excesso de

Curtose TNLP4 557 0,02% 2,45% -8,28% 8,90% -0,070 0,630

Figura 11 - H istograma da série de retornos da ação TNLP4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

TNLP4

,081,069

,056,044

,031,019

,006-,006

-,019-,031

-,044-,056

-,069-,081

70

60

50

40

30

20

10

0

Normal Q-Q Plot of TNLP4

Observed Value

,10,0-,1

Exp

ecte

d N

orm

al V

alue

,08

,06

,04

,02

0,00

-,02

-,04

-,06

-,08

Figura 12 - QQ Plot dos retornos da ação TNLP4 no período de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004

Page 53: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Observa-se que das três séries, a ação TNLP4 é a mais próxima da distribuição

Normal, apresentando os pontos do Histograma (Figura 11) e QQ Plot (Figura 12) mais

próximos dos valores teóricos esperados. No teste de Kolmogorov-Smirnov, seu p-valor

é o mais alto (59,8%), confirmando a análise gráfica.

Comparando-se as três séries de preços, tem-se que suas trajetórias seguem os

mesmos movimentos: uma queda (mais acentuada na EBTP4) seguida de crescimento

com maior volatilidade. As séries de retornos apresentaram médias próximas de zero,

sendo a maior delas da ação PETR4 com o valor de 0,11%. Quanto ao desvio-padrão,

pode-se afirmar que a ação EBTP4 apresentou o maior valor (4,93%), assim como na

amplitude. É importante perceber que as três séries de retornos apresentaram assimetria

negativa e excesso de curtose positivo, indicando, principalmente, a presença de valores

negativos extremos. Sua principal conseqüência seria a subestimação do risco incorrido

se calculado sob a suposição de Normalidade.

4.2 VaR Individual

Nesta seção, apresenta-se o resultado do cálculo do VaR para os 557 dias de

negócio já mencionados para os três ativos selecionados utilizando as diversas

metodologias apresentadas: histórica, paramétrica (supondo distribuição Normal),

modelo de Mistura de Distribuições e simulação de Monte Carlo com a utilização das

técnicas de redução de variância. Estes resultados serão analisados em conjunto com as

estatísticas descritivas apresentadas na seção anterior.

As próximas tabelas mostram a proporção de falhas para os níveis de confiança

de 95%, 97,5%, 99% e 99,5% e o desvio-padrão das simulações utilizando a

Amostragem Aleatória Simples e o modelo de Mistura de Distribuições (para o caso

unidimensional, o desvio-padrão das simulações utilizando a técnica de Amostragem

Descritiva é zero). Para os três ativos, foram calculados os valores do VaR para as

posições de compra e venda (lados esquerdo e direito da distribuição). Os valores

realçados representam os mais próximos do percentual de falhas esperado em cada nível

de confiança (os melhores). Quando ocorrer empate, será destacada a metodologia que

Page 54: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

apresentar menor CVaR. Os valores marcados com o asterisco estão fora do intervalo

proposto por Kupiec (os piores). A última linha de cada tabela, denominada "Índice",

mostra os valores do índice de desempenho geral conforme definido na seção 2.5.

Tabela 4 - Intervalo de confiança para a porcentagem de falhas no cálculo do VaR

proposto por K upiec para uma amostra de 557 observações

Tabela 5 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de compra de

ações PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os

diversos níveis de confiança e metodologias discutidas

Tabela 6 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de venda de

ações PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os

diversos níveis de confiança e metodologias discutidas

Inferior Superior95% 3,30% 6,91%

97,5% 1,32% 3,90%99% 0,30% 1,93%

99,5% 0,05% 1,19%

Nível de Confiança

Limite

HistóricaParamétrica

(Normal)Simulação

(AAS)Simulação

(AD)Simulação (AD+AI)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 5,206 4,488 4,668 4,488 4,488 4,488 4,488

97,5% 3,411 2,693 2,693 2,693 2,693 2,513 2,51399% 1,975 * 1,616 1,616 1,616 0,898 1,077 0,718

99,5% 1,975 * 1,616 * 1,616 * 1,616 * 0,718 0,359 0,180

Índice 4,331 3,027 2,991 3,027 0,718 0,467 1,031

HistóricaParamétrica

(Normal)Simulação

(AAS)Simulação

(AD)Simulação (AD+AI)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 5,566 6,643 6,463 6,463 6,104 5,386 5,386

97,5% 3,232 3,770 3,411 3,232 2,154 1,616 1,61699% 1,975 * 1,257 1,257 1,257 0,898 0,718 0,898

99,5% 1,975 * 0,898 0,898 0,898 0,180 0,359 0,359

Índice 4,331 1,889 1,709 1,637 1,102 0,995 0,815

Page 55: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Tabela 7 - Desvio-padrão (x 103) das simulações para o cálculo do VaR diário das ações

PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os diversos

níveis de confiança

Pode-se observar na Tabela 5 que o Modelo de Mistura de Distribuições usando

a Amostragem Aleatória Simples apresentou, para os três maiores níveis de confiança, a

proporção de falhas mais próxima do valor esperado e o menor CVaR quando

comparado à mesma metodologia com a Amostragem Descritiva. Para o nível de

confiança de 95%, a metodologia histórica obteve o melhor valor. Observa-se, também,

que esta mesma metodologia apresentou valores fora do intervalo proposto por Kupiec

para os dois níveis de confiança mais altos. No nível de 99,5% de confiança, todas as

metodologias, exceto as três propostas, ficaram fora do intervalo de Kupiec. Estas

mesmas três metodologias, também, apresentaram o índice de desempenho geral bem

abaixo das demais. Já na Tabela 6, os melhores resultados foram divididos entre o

Modelo de Mistura de Distribuições com os dois processos de amostragem e a

simulação de Monte Carlo com a combinação das técnicas de Amostragem Descritiva e

Amostragem por Importância. Novamente, a metodologia histórica obteve suas

proporções de falhas fora do intervalo de Kupiec para os dois níve is mais altos de

confiança.

Observando a Tabela 7, percebe-se que o desvio-padrão do Modelo de Mistura

de Distribuições é mais elevado que a medida da simulação de Monte Carlo básica,

chegando a ser mais de 10 vezes maior. Entre os dois modelos de Mistura de

Distribuições, observa-se que o uso da Amostragem Descritiva reduz o desvio-padrão

de forma significativa apenas nos níveis de confiança de 95% e 97,5%. Observa-se,

também, que o desvio-padrão aumenta conforme aumenta o nível de confiança. Fazendo

uma comparação entre as posições de compra e venda, observa -se que para a

metodologia clássica de simulação não existem diferenças significativas. Porém, para o

Posição de Compra

Nível de Confiança

Simulação (AAS)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 1,355 1,505 0,530

97,5% 1,725 2,692 1,77199% 2,392 16,151 15,893

99,5% 3,050 34,919 34,068

Posição de Venda

Nível de Confiança

Simulação (AAS)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 1,362 1,595 0,695

97,5% 1,705 3,454 2,71199% 2,360 9,595 9,212

99,5% 3,053 11,597 10,534

Page 56: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

outro modelo, existem grandes diferenças nos dois níveis mais elevados de confiança

(posição de compra apresenta valores muito superiores a posição de compra)..

Tabela 8 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de compra de

ações EBTP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os

diversos níveis de confiança e metodologias discutidas

Tabela 9 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de venda de

ações EBTP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os

diversos níveis de confiança e metodologias discutidas

Tabela 10 - Desvio -padrão (x 103) das simulações para o cálculo do VaR diário das

ações EBTP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os

diversos níveis de confiança

Posição de Compra

Nível de Confiança

Simulação (AAS)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 2,974 3,387 1,354

97,5% 3,788 6,070 4,43599% 5,262 9,381 8,059

99,5% 6,695 14,697 13,697

Posição de Venda

Nível de Confiança

Simulação (AAS)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 3,063 3,224 1,105

97,5% 3,854 4,812 2,32399% 5,316 7,062 4,006

99,5% 6,851 19,000 18,388

HistóricaParamétrica

(Normal)Simulação

(AAS)Simulação

(AD)Simulação (AD+AI)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 5,745 5,925 5,925 5,925 3,914 4,668 4,488

97,5% 3,052 3,770 3,770 3,770 2,873 2,693 2,69399% 1,795 1,975 * 1,975 * 1,975 * 1,436 1,616 1,616

99,5% 1,795 * 1,795 * 1,616 * 1,795 * 0,898 0,718 0,718

Índice 3,755 4,258 3,900 4,258 1,598 1,196 1,232

HistóricaParamétrica

(Normal)Simulação

(AAS)Simulação

(AD)Simulação (AD+AI)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 5,925 3,411 3,411 3,411 5,745 3,411 3,411

97,5% 3,052 2,513 2,513 2,513 2,873 1,975 1,97599% 1,616 1,077 1,077 1,077 1,077 0,898 0,898

99,5% 1,616 * 0,718 0,718 0,718 0,359 0,359 0,359

Índice 3,254 0,837 0,837 0,837 0,657 0,912 0,912

Page 57: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Na Tabela 8, observa -se novamente a superioridade do Modelo de Mistura de

Distribuições usando a Amostragem Aleatória Simples com o melhor resultado em três

das quatro situações. Apenas para o nível de 99%, este modelo foi superado pela

simulação de Monte Carlo com a combinação das duas técnicas de amostragem. Nos

dois níveis de confiança mais elevados, várias das metodologias apresentaram suas

proporções de falhas fora do intervalo de Kupiec. As três metodologias propostas

apresentaram valores para o índice de desempenho bem melhores que as metodologias

tradicionais. Para a posição de venda (Tabela 9) os resultados foram bastante

homogêneos entre as metodologias, fazendo com que as proporções de falhas mais

próximas do esperado ficassem espalhadas pela tabela (empate em 97,5% de confiança

entre 3 metodologias e empate entre 4 metodologias para 99% de confiança). Mesmo

com os empates, a metodologia de simulação com as técnicas AD+AI apresentou três

dos quatro melhores resultados (levando em consideração o critério de desempate:

CVaR) e o menor índice de desempenho. Apenas a metodologia histórica apresentou

um valor fora do intervalo de confiança.

O comportamento do desvio -padrão (Tabela 10) foi próximo ao observado na

Tabela 7 com os dados da ação PETR4, crescimento do menor para o maior nível de

confiança e redução pouco significativa nos níveis de confiança mais elevados pelo uso

do Amostragem Descritiva. Porém, em 99,5% de confiança, a posição de venda

apresenta valores de desvio-padrão mais elevados que a posição de compra.

Tabela 11 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de compra de

ações TNLP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os

diversos níveis de confiança e metodologias discutidas

HistóricaParamétrica

(Normal)Simulação

(AAS)Simulação

(AD)Simulação (AD+AI)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 6,284 4,668 4,668 4,847 4,488 5,565 5,386

97,5% 3,770 3,950 * 3,950 * 3,950 * 3,232 2,873 2,87399% 2,513 * 2,334 * 2,334 * 2,513 * 0,718 1,257 1,975 *

99,5% 2,513 * 0,898 0,898 0,898 0,359 0,359 0,359

Índice 6,304 2,776 2,776 2,919 0,959 0,801 1,483

Page 58: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Tabela 12 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de venda de

ações TNLP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os

diversos níveis de confiança e metodologias discutidas

Tabela 13 - Desvio -padrão (x 103) das simulações para o cálculo do VaR diário das

ações TNLP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os

diversos níveis de confiança

Através das Tabelas 11 e 12, confirma-se o que já havia sido constatado nos

resultados dos outros dois ativos. Na posição de compra, existe uma clara superioridade

do Modelo de Mistura de Distribuições utilizando a Amostragem Aleatória Simples. Na

posição contrária, existe a superioridade do modelo de simulação com as técnicas de

Amostragem Descritiva e Amostragem por Importância. Na Tabela 11, o modelo de

Mistura de Distribuições com Amostragem Descritiva apresentou um valor fora do

intervalo de Kupiec, mas índice de desempenho geral baixo. Novamente, vários valores

ficaram fora do intervalo de Kupiec no cálculo do VaR para a posição de compra para

as metodologias mais tradicionais e a metodologia histórica não obteve nenhum dos

melhores resultados. O desvio-padrão foi menor do que nos outros dois casos.

Trançando um paralelo entre as estatísticas descritivas e gráficos de histograma e

QQ-Plot com os resultados encontrados nas tabelas acima para o teste de proporção de

falhas, pode-se afirmar que para os dados que se encontraram mais afastados da

distribuição Normal, a melhor metodologia de cálculo foi o Modelo de Mistura de

Posição de Compra

Nível de Confiança

Simulação (AAS)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 1,595 1,701 0,470

97,5% 2,035 5,775 4,80399% 2,818 7,736 6,641

99,5% 3,604 5,706 5,491

Posição de Venda

Nível de Confiança

Simulação (AAS)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 1,642 1,719 0,571

97,5% 2,057 2,572 1,30799% 2,840 4,384 3,388

99,5% 3,666 5,808 5,211

HistóricaParamétrica

(Normal)Simulação

(AAS)Simulação

(AD)Simulação (AD+AI)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 5,745 6,104 5,925 5,925 6,104 5,206 5,206

97,5% 2,873 3,591 3,591 3,411 2,513 2,693 2,33499% 1,257 1,077 1,077 1,077 0,898 0,539 0,539

99,5% 1,257 * 0,718 0,718 0,718 0,359 0,180 0,180

Índice 2,069 1,171 1,135 1,063 0,610 1,221 1,210

Page 59: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Distribuições com a Amostragem Aleatória Simple s. Da seção 4.1, pode-se constatar

que os dados do lado esquerdo da distribuição das três séries de retornos, ou seja, lado

dos retornos negativos, são mais dispersos e menos se aderem à distribuição Normal do

que os retornos positivos. É fácil perceber isso pelos QQ-Plots (Figuras 6, 9 e 12), os

dados na parte inferior possuem maior distância da reta Normal teórica. As

conseqüências da não Normalidade são estimativas ruins do VaR pelas metodologias

paramétrica e por simulação de Monte Carlo (uma vez que utilizam o pressuposto de

Normalidade na simulação da trajetória do ativo), comprovadas nas diversas proporções

de falhas fora do intervalo de Kupiec.

Para o lado dos retornos positivos, que melhor se aderem à distribuição Normal,

a simulação de Monte Carlo com as técnicas AD+AI mostrou-se o melhor modelo para

o cálculo do VaR. Apesar de, também, pressupor Normalidade na trajetória dos ativos, a

simulação utilizando a Amostragem por Importância se comportou de forma diferente

das demais metodologias de simulação, com melhores resultados (nenhuma de suas

proporções de falha ficou fora do intervalo de Kupiec tanto na posição de compra como

de venda). Isso nos faz pensar que esta técnica de amostragem pode minimizar o

problema da não Normalidade dos dados quando concentra os valores selecionados na

parte de interesse da distribuição.

O uso da Amostragem Descritiva no modelo de Misturas de Distribuição, fez,

em geral, com que as proporções de falhas se afastassem dos valores esperados,

apresentando até um valor fora do intervalo de Kupiec (posição de compra de TNLP4

com 99% de confiança). A redução esperada no desvio -padrão foi pouco significativa,

não justificando o uso desta técnica nestas situações.

4.3 VaR para carteiras Nesta seção, utilizando os três ativos anteriormente analisados (PETR4, EBTP4

e TNLP4), apresenta-se o resultado do teste de proporção de falhas do VaR da carteira

formada igualmente por eles para o período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de

Page 60: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

2004. As metodologias utilizadas e os níveis de confiança são os mesmos da seção

anterior no cálculo do VaR individual de cada ativo.

Na análise do VaR de carteiras, pode-se observar, ainda, a existência do erro de

sub-aditividade. Quanto ao desvio-padrão, são apresentados os valores para as

metodologias de simulação básica e com Amostragem Descritiva, visto que o problema

não é mais unidimensional. A coluna de redução percentual representa a porcentagem

do desvio-padrão da AD em relação ao desvio-padrão da AAS. Os valores do desvio-

padrão do modelo de Mistura de Distribuições não são apresentados, pois o VaR passa a

ser determinado pela multiplicação dos valores já encontrados individualmente,

conforme a fórmula (2.8).

Vale lembrar, que nas tabelas abaixo os valores realçados representam os mais

próximos do percentual de falhas esperado em cada nível de confiança (os melhores).

Em caso de empate, utiliza-se o critério do menor CVaR. Os valores marcados com o

asterisco estão fora do intervalo proposto por Kupiec (os piores).

Tabela 14 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de compra da

carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os diversos

níveis de confiança e metodologias discutidas

Tabela 15 - Desvio-padrão das simulações para o cálculo do VaR diário da posição de

compra da carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para

os diversos níveis de confiança

Nível de Confiança

Simulação (AAS)

Simulação (AD)

Redução

95% 0,463 0,298 -35,6%97,5% 0,577 0,389 -32,6%

99% 0,789 0,556 -29,6%99,5% 1,002 0,749 -25,3%

HistóricaParamétrica

(Normal)Simulação

(AAS)Simulação

(AD)Simulação (AD+AI)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 7,002 * 6,104 6,822 6,643 5,386 5,925 5,745

97,5% 3,591 4,488 * 4,847 * 4,488 * 3,411 2,693 3,05299% 1,795 2,154 * 3,052 * 2,873 * 0,718 0,539 0,539

99,5% 1,795 * 1,436 * 1,975 * 2,154 * 0,359 0,180 0,180

Índice 4,222 4,042 6,305 6,305 1,005 1,364 1,472

Page 61: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Tabela 16 - Percentual de erros de sub-aditividade no cálculo do VaR diário da posição

de compra da carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004

para os diversos níveis de confiança

Observa-se, na Tabela 14, que os melhores resultados se encontram na

metodologia de simulação com AD+AI (para 95%, 99% e 99,5% de confiança) e no

Modelo de Mistura de Distribuições (para 97,5% de confiança). Nas demais

metodologias, vários valores se encontram fora do intervalo de Kupiec. Este resultado já

era esperado, devido aos resultados individuais apresentados na seção 4.2.

Quanto ao desvio -padrão (Tabela 15), percebe-se o efeito da redução de

variância da Amostragem Descritiva em relação à Amostragem Aleatória Simples. O

desvio-padrão do primeiro é inferior ao desvio -padrão do segundo nos quatro casos,

sendo maior a redução quanto menor é o nível de confiança (de 37,2% no nível de 95%

de confiança para 25,8% com confiança de 99,5%).

Apenas a metodologia histórica apresentou erros de sub-aditividade (Tabela 16),

chegando a aproximadamente 15,4% das 557 observações no nível de 95% de

confiança. A não existência deste tipo de problema nas demais metodologias ocorre

devido à incorporação dos efeitos da correlação nos cálculos: fatoração de Cholesky na

simulação com AAS, algoritmo de Iman e Conover na simulação com AD e com

AD+AI e aplicação da fórmula (2.4) no Modelo de Mistura de Distribuições e VaR

paramétrico.

Nível de Confiança

Histórica

95% 15,44097,5% 2,334

99% 0,00099,5% 0,000

Page 62: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Tabela 17 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de venda da

carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os diversos

níveis de confiança e metodologias discutidas

Tabela 18 - Desvio-padrão das simulações para o cálculo do VaR diário da posição de

venda da carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os

diversos níveis de confiança

Tabela 19 - Percentual de erros de sub-aditividade no cálculo do VaR diário da posição

de venda da carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para

os diversos níveis de confiança

Na posição de venda, observa-se na Tabela 17 o resultado inverso ao observado

na Tabela 14 para a posição de compra. As metodologias propostas não possuem os

melhores resultados em nenhum dos quatro níveis de confiança e possuem valores fora

dos limites propostos por Kupiec. Nesta situação, as melhores metodologias são a

histórica, paramétrica e simulação com Amostragem Descritiva analisando

Nível de Confiança

Simulação (AAS)

Simulação (AD)

Redução

95% 0,507 0,325 -35,8%97,5% 0,660 0,441 -33,2%

99% 0,920 0,647 -29,7%99,5% 1,207 0,872 -27,7%

Nível de Confiança

Histórica

95% 1,43697,5% 0,000

99% 0,00099,5% 0,000

HistóricaParamétrica

(Normal)Simulação

(AAS)Simulação

(AD)Simulação (AD+AI)

Mistura de Distribuições

(AAS)

Mistura de Distribuições

(AD)95% 4,668 5,027 4,488 4,668 5,745 3,950 3,950

97,5% 2,693 1,975 1,436 1,436 1,795 1,436 1,43699% 1,257 0,539 0,180 * 0,180 * 0,359 0,180 * 0,180 *

99,5% 1,257 0,180 0,180 0,180 0,180 0,000 * 0,000 *

Índice 1,914 1,318 1,989 1,953 1,713 2,456 2,456

Page 63: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

separadamente cada nível de confiança. Levando em consideração o índice de

desempenho, a melhor metodologia é a paramétrica seguida pela simulação com

combinação da Amostragem Descritiva com Amostragem por Importância.

Na Tabela 18, o efeito de redução da variância da AD sobre a AAS continua

presente do menor para o maior nível de confiança. O percentual de redução é bastante

semelhante ao apresentado na Tabela 15 para a posição de compra. Entretanto, o

percentual de erros de sub-aditividade na metodologia histórica (Tabela 19) é muito

inferior, apresentando este tipo de erros apenas no nível de 95% de confiança.

Observando a proporção de falhas do VaR desta carteira, tem-se que o problema

da subestimação do risco é ainda mais grave que no VaR individual. Espera-se que

quanto mais ativos na carteira, maior será a subestimação, uma vez que o erro das

estimativas é acumulado. As metodologias clássicas se mostraram bastante ineficientes

e perigosas no gerenciamento dos riscos. As metodologias propostas apesar de não

apresentarem os melhores valores em todas as situações, ficaram poucas vezes fora do

intervalo de Kupiec. A metodologia de Mistura de Distribuições (com as duas formas de

amostragem) apenas infringiu o limite inferior, se mostrando conservadora. A simulação

com as técnicas de Amostragem por Importância e Amostragem Descritiva não ficou

fora do intervalo nenhuma vez.

Page 64: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

5. Conclusões

Através dos resultados apresentados, pode -se concluir, primeiramente, que os

modelos propostos nesse trabalho, a simulação de Monte Carlo com a combinação das

técnicas de Amostragem Descritiva e Amostragem por Importância e o Modelo de

Mistura de Distribuições (com a Amostragem Aleatória Simples e Amostragem

Descritiva), são capazes de realizar os cálculos para o VaR de ativos individuais ou

portfólios. A estimação e implementação dos modelos foi bastante simples, não

representando limitação aos métodos.

Percebeu-se que os modelos apresenta ram os melhores resultados no teste de

proporção de falhas. No cálculo do VaR individual, o Modelo de Mistura de

Distribuições obteve os melhores resultados quando os ativos não possuíam as

características de Normalidade. Como a motivação deste trabalho foi a constatação em

diversos estudos que grande parte dos fatores de risco financeiro não seguem a

distribuição Normal ou outra distribuição bem definida e conhecida, estes resultados são

de grande valia. Nos casos em que os dados se aproximavam da distribuição Normal, a

simulação com as técnicas de AD+AI obteve os melhores resultados.

Com os testes individuais, também, fica bastante claro que as metodologias

clássicas de cálculo do VaR subestimam o risco incorrido em níveis de confiança mais

elevados. O pior desempenho ocorreu na metodologia histórica.

Quando se formam carteiras, observou-se que o desempenho das diversas

metodologias está relacionado com o resultado individual dos ativos. Quando os fatores

de risco estão mais distantes da distribuição Normal, como é o caso da posição de

compra, o risco é subestimado pelas metodologias clássicas e apenas as metodologias

propostas apresentaram bons resultados. Mesmo nos casos em que a Normalidade é

mais admissível, as metodologias propostas só ficaram for a do intervalo de Kupiec nos

níveis de 99% e 99,5% de confiança. Mesmo assim, ficaram abaixo do limite inferior,

apresentando uma posição mais conservadora e não de subestimação do risco.

Page 65: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Do ponto de vista da evolução dos métodos de amostragem na simulação de

Monte Carlo, tem-se resultados bastante expressivos. Da simulação básica para a

simulação com a técnica de Amostragem Descritiva, observou-se a redução da

variabilidade dos resultados e do tempo de processamento, apesar de não apresentar

melhorias nos resultados dos testes de proporção de falhas. Com a incorporação da

Amostragem por Importância à Amostragem Descritiva, além do ganho de precisão e

tempo em relação à Amostragem Aleatória Simples, observou-se melhoria dos

resultados dos testes, mostrando que a concentração dos valores selecionados na área de

interesse não representa apenas um avanço teórico. Já para o Modelo de Mistura de

Distribuições, o uso da Amostragem Descritiva o afastou do resultado esperado com

baixo ganho no desvio-padrão. Sendo, então, uma alternativa ruim.

Quando a simulação é utilizada, o tempo de processamento é um importante

ponto a ser discutido. No Modelo de Mistura de Distribuições, o tempo de

processamento foi pouco superior ao tempo da metodologia clássica envolvendo a

simulação de Monte Carlo. A técnica de Amostragem Descritiva, com o uso da amostra

determinística, permite o cálculo do VaR com apenas uma corrida para ativos

individuais (problema unidimensional). No caso das carteiras, o tempo foi compatível

com a Amostragem Aleatória Simples. A incorporação da Amostragem por

Importância, o VaR das carteiras foi calculado pela multiplicação dos valores

individuais e de suas correlações (fórmula 2.8), sendo então a multiplicação de

problemas unidimensionais e necessitando apenas do desenvolvimento de uma corrida

de simulação. Vale destacar que com o rápido avanço tecnológico, as limitações

provenientes dos recursos computacionais são cada vez menos relevantes.

Em resumo, os principais problemas no cálculo do VaR eram a subestimação do

risco pelas metodologias que necessitavam da suposição de Normalidade e a intensa

utilização de recursos computacionais nos modelos de simulação. O primeiro problema

foi contornado pelas metodologias propostas (vide resultados do teste de proporção de

falhas). O segundo problema foi minimizado pela incorporação das técnicas de redução

de variância na modelagem básica de simulação de Monte Carlo. A escolha da

metodologia de cálculo do VaR mais adequada dependerá das características dos ativos

que compõem o portfólio, sendo possível ou não a suposição de Normalidade.

Page 66: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

Como sugestão para trabalhos posteriores, tem-se a pesquisa de algoritmos mais

refinados para a calibragem dos modelos propostos. Uma forma de otimização do

deslocamento 'C' na Amostragem por Importância (fórmula 2.14) e no número de

desvios-padrão que determinam os saltos no Modelo de Mistura de Distribuições

(influenciando nos parâmetros da fórmula 2.16) que incorporem mais rapidamente as

informações passadas podem trazer maior agilidade aos modelos e melhores resultados.

Neste trabalho, os modelos foram estimados anualmente, mas algoritmos de ajustes

diário são possíveis.

Page 67: 33 - Modelos Baseados Em Simulacao Monte Carlo - Dissertacao Var -Bruno_Maletta

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