343o [Modo de Compatibilidade]) · sãochamadosde geradoresCA ou alternadores. Geração do Sinal Alternado Geração do Sinal Alternado Geração do Sinal Alternado . ... média,

27/5/2010

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Escola de Educação Profissional SENAI Plínio Gilberto Kroeff - CETEMP

Análise de Circuitos Analógicos

Eng. Prof. Cristiano Luiz Henz

Análise de Circuitos Elétricos

Eng. Prof. Cristiano Luiz Henz

Geração do Sinal Alternado

Considere um enrolamento, de área S em [m2], formado por N espiras e

imerso em um campo magnético B em [Wb/m2], perpendicular ao eixo de

rotação do enrolamento:


A tensão produzida nos terminais do sistema analisado é denominada de

tensão alternada. A denominação alternada é decorrente do fato de a

polaridade da tensão induzida sofrer inversão a cada semiciclo.

Conectando uma carga nos terminais desse sistema, surge uma corrente

alternada com as mesmas características da tensão.

Um sinal alternado (tensão ou corrente) recebe a denominação genérica de CA

(corrente alternada) ou AC(alternate current).

Os sistemas elétricos que produzem um sinal CA por meios eletromecânicos

são chamados de geradores CA ou alternadores.


Geração do Sinal Alternado Geração do Sinal Alternado

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Geração do Sinal Alternado Parâmetros do Sinal Alternado

As figuras abaixo mostram os símbolos de um gerador de tensão CA e de um

gerador de corrente CA.

Embora a tensão alterne a sua polaridade e a corrente alterne o seu sentido

periodicamente(a cada meio ciclo), é comum representá-las por setas

unidirecionais, já que todo circuito possui um ponto de referência para as

tensões.

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Parâmetros do Sinal Alternado

O número de ciclos gerados por segundo é a frequencia f, cuja unidade de

medida é ciclos/segundo ou hertz[Hz].

Na figura abaixo temos a representação da frequencia e do período da tensão

senoidal alternada:

].[

];[

:

1

speríodoT

Hzfrequênciaf

onde

Tf

→

→

=


Amplitudes Características do Sinal Alternado

Um sinal CA(tensão ou corrente) pode ser especificado, em termos de

amplitude, de várias formas diferentes.

Tomemos como referência uma tensão alternada cossenoidal.

• Valor Instantâneo - v(t): o valor instantâneo v(ti) é a amplitude do sinal em

um determinado instante ti.

Matematicamente, ele deve ser calculado pela expressão:

Parâmetros de um Sinal Alternado

Valor de Pico – VP: o valor de pico corresponde à amplitude máxima(positiva

ou negativa) que o sinal possui.

Valor de Pico à Pico – VPP: o valor de pico a pico corresponde à amplitude total

entre os dois pontos máximos(positivo e negativo) e, portanto, ele é o dobro

do valor de pico.

Os valores VP e VPP são mais significativos que o instantâneo , pois por meio

deles é possível comparar a amplitude de sinais diferentes. Além disso, ao

analisarmos um sinal com um osciloscópio, esses valores podem ser

facilmente medidos.

Valor Eficaz ou RMS - Vef, VRMS ou V: o valor eficaz ou RMS(Root Mean

Square ou Raiz Média Quadrática) corresponde ao valor de uma tensão

alternada que, se fosse aplicada a uma resistência, dissiparia uma potência

média, em watt, de mesmo valor numérico de uma tensão continua

aplicada a mesma resistência.

Parâmetros de um Sinal Alternado

O valor eficaz de um sinal alternado é, em termos de amplitude, o mais

importante do ponto de vista prático, pois a tensão e a corrente eficazes

podem ser medidas diretamente, respectivamente, pelos voltímetros e

amperímetros CA.


Se o sinal está adiantado, a fase inicial θ é positiva na expressão do valor

instantâneo e no respectivo diagrama fasorial, conforme mostram as figuras

ao abaixo.

Observe que o sinal cossenoidal adianta-se quando o seu valor máximo ocorre

antes do instante inicial.


Se o sinal está atrasado, a fase inicial θ é negativa na expressão do valor

instantâneo e no respectivo diagrama fasorial, conforme mostram as figuras

abaixo.

Observe que o sinal cossenoidal atrasa-se quando o seu valor máximo ocorre

após o instante inicial.

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Defasagem entre Sinais Alternados

A diferença de fase entre dois sinais de mesma freqüência é chamada de

defasagem. Para que a defasagem possa ser utilizada matematicamente

de um modo mais fácil, é importante estabelecer um dos sinais como

referência.

Defasagem entre Tensão e Corrente

A defasagem entre tensão e corrente é simbolizada por ϕ, tendo a corrente

como referência. Consideremos uma tensão v(t)=Vp.cos(ωt+θv) e uma

corrente i(t)=Ip.cos(ωt+θi), sendo i(t) a referência. Nesse caso, a

defasagem é dada por ϕ=θv-θi.


Se v(t) estiver adiantado em relação a i(t), a defasagern ϕ será positiva.

No diagrama fasorial, a seta entre os fasores V e I tem a mesma orientação

que a freqüência angular ω, indicando que a defasagem é positiva, isto é,

que a tensão está adiantada em relação a corrente.


Se v(t) estiver atrasado em relação a i(t), a defasagem ϕ será negativa.

No diagrama fasorial, a seta entre os fasores V e I tem a orientação oposta à

da freqüência angular ω, indicando que a defasagem é negativa, isto é, que

a tensão está atrasada em relação à corrente.


Defasagem entre Sinais de Mesma Grandeza

A defasagem entre sinais de mesma grandeza (entre tensões ou entre

correntes) será simbolizada por ∆θ ou por uma letra grega qualquer,

diferente de ϕ.

Neste caso, deve-se adotar um dos sinais como referência, como nas figuras

abaixo, em que v1(t) foi adotado como referência e, portanto, v2(t) está

adiantado, resultando em uma defasagem positiva.

Conceito de Impedância

A impedância Z, em ohm[Ω], é um número complexo que caracteriza um

dispositivo ou circuito e reflete tanto a oposição total que ela impõe à

passagem da corrente alternada quanto a defasagem total entre a tensão e

a corrente.

Símbolo genérico de impedância:


A impedância Z é composta por uma componente real denominada resistência

R e por uma componente imaginária denominada reatância X, isto é:

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Conceito de Impedância Conceito de Impedância

Como sabemos, o nome resistência tem origem no verbo resistir, isto é, opõe-

se a passagem da corrente, sendo uma característica natural dos materiais.

Para nós, a resistência se refere, em princípio, aos dispositivos

denominados resistores. Analogamente, o nome reatância possui origem

no verbo reagir, isto é, opor-se a variação da corrente, sendo uma

característica particular das indutâncias e capacitâncias. Para nós, a

reatância se refere, em princípio, aos dispositivos denominados indutores e

capacitores. Por fim, o nome impedância possui origem no verbo impedir,

isto é, opor-se tanto a passagem quanto a variação da corrente, sendo uma

característica geral de qualquer circuito elétrico formado, em princípio, por

resistores, indutores e capacitores.


Em relação a componente resistiva R da impedância, podemos afirmar que ela

só pode assumir valores positivos.

Já, em relação a componente reativa X, a situação é outra. Como a

impedância pode adiantar (ϕ+) ou atrasar (ϕ-) a tensão em relação a

corrente , é imediato que isso só é possível matematicamente se a

reatância puder assumir valor positivo (+ jX) ou negativo (-jX).


De fato, e como veremos, uma indutância comporta-se como uma reatância

positiva (+ jXL) e uma capacitância como uma reatância negativa (-jXC).

Portanto, concluímos que, no campo dos números complexos, uma

impedância pode ocupar apenas o primeiro e o quarto quadrantes do

sistema cartesiano:

Lei de Ohm para Circuito CA

A Lei de Ohm pode ser aplicada aos circuitos que operam em corrente

alternada. Porém, como há a possibilidade de existir defasagem entre

tensão e corrente, conclui-se que:

• a relação entre tensão e corrente não resulta necessariamente em uma

resistência pura, mas em uma impedância Z , em ohm[Ω];

• a Lei de Ohm pode ser tratada matematicamente no campo dos números

complexos.

Para operação em CA, a Lei de Ohm é dada por:

Lei de Ohm para Circuito CA

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Leis de Kirchhoff para Circuito CA

Embora a polaridade da tensão fornecida por um gerador CA se alterne a cada

meio ciclo, do ponto de vista elétrico, um de seus pólos é sempre tomado

como referência, o que nos leva a representar a tensão por uma seta

unidirecional apontada para o pólo "positivo" do gerador.

O exemplo a seguir ilustra esta afirmação:


Definida essa "polaridade", todas as demais tensões e as correntes passam a

ter, respectivamente, "polaridades" e "sentidos" também definidos.

Considerando ainda que as impedâncias sejam, em princípio, formadas por um

ou mais dispositivos passivos (resistores, indutores e capacitores), do

ponto de vista elétrico, elas serão vistas como receptores, de modo que a

corrente elétrica deve atravessá-las no sentido do pólo "positivo" para o

"negativo" das suas tensões.

Portanto, a representação da tensão e da corrente por setas unidirecionais dá

a essas grandezas, do ponto de vista matemático, uma dimensão algébrica

que deve, necessariamente, ser respeitada nas análises.


Lei de Kirchhoff para Correntes CA - Lei dos Nós

Considere o nó de um circuito genérico e o sentido das correntes a ele

relacionadas.

Definindo arbitrariamente as correntes que chegam ao nó como positivas e as

que saem do nó como negativas, a Lei de Kirchhoff para correntes CA pode

ser enunciada como segue:

"A soma algébrica das correntes complexas em um nó é igual a zero".

Ou

"A soma dos correntes complexas que chegam a um nó é igual a soma das

correntes complexas que saem desse nó".


Lei de Kirchhoff para Tensões CA - Lei das Malhas

Considere a malha de um circuito genérico composta por vários bipolos e a

polaridade das tensões sobre eles. Definindo arbitrariamente as tensões no

sentido horário como positivas e as tensões no sentido anti-horário como

negativas, a Lei de Kirchhoff para Tensões CA pode ser enunciada como

segue:

"A soma algébrica das tensões complexas em uma malha é zero".

Ou

"A soma das tensões complexas com polaridade no sentido horário é igual à

soma das tensões complexas com polaridade no sentido anti-horário ".

Associação de Impedâncias

Com base nas Leis de Ohm e de Kirchhoff, podemos facilmente chegar as

fórmulas gerais para o cálculo da impedância equivalente das associações

série e paralela.

Associação Série de Impedâncias

Na associação série, a corrente é a mesma em todas as impedâncias, mas a

tensão V se subdivide entre elas, de modo que, pela Lei de Kirchhoff para

tensões CA:


Associação Paralela de Impedâncias

Na associação paralela, a tensão V é a mesma em todas as impedâncias, mas

a corrente I se subdivide entre elas, de modo que, pela Lei de Kirchhoff

para Correntes CA:

Assim, a impedância equivalente Zeq vale:

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Se o circuito for formado por duas impedâncias:

Divisores de Tensão Alternadas

Divisor de Tensão

Uma associação série de impedâncias possui como característica a subdivisão

da tensão total aplicada entre as impedâncias que a constituem.

Para um circuito formado apenas por duas impedâncias Z1 e Z2 em série, são

facilmente dedutíveis as fórmulas para o cálculo das respectivas tensões

V1 e V2 em função da tensão total V:

Divisores de Corrente Alternadas

Divisor de Corrente

Uma associação paralela de impedâncias tem como característica a

subdivisão da corrente total aplicada entre as impedâncias que a

constituem.

Para um circuito formado apenas por duas impedâncias Z1 e Z2 em paralelo,

as fórmulas para o cálculo das respectivas correntes I1 e I2 em função da

corrente total I podem também ser facilmente dedutíveis, a saber:

Divisores de Corrente Alternadas

A vantagem de utilizar as fórmulas dos divisores de tensão e de corrente é

poder determinar diretamente algumas tensões e correntes em um circuito,

sem a necessidade de calcular a sua impedância equivalente.

Reatância Indutiva e Capacitiva

A oposição (reação) as variações de corrente no indutor e no capacitor é

denominada reatância X, cuja unidade de medida é ohm [Ω].

No indutor, a reatância XL surge devido a auto-indução, que se opõe as

variações da corrente.

Como conseqüência, a reatância indutiva atrasa a corrente em relação a

tensão. Quanto mais “brusca” for a variação da corrente , maior e a

reatância XL.

Reatância Indutiva e Capacitiva

No capacitor, a reatância Xc surge devido a capacidade de armazenamento de

cargas, de modo que a tensão entre as suas placas não atinge o valor

máximo instantaneamente.

Como conseqüência, a reatância capacitiva atrasa a tensão em relação a

corrente. Quanto mais “brusca” for a variação da corrente, menor a

reatância Xc.

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Resistor em Corrente Alternada

O resistor possui um comportamento ôhmico resistivo e não reativo, pois a sua

resistência é uma constante R, em ohm [Ω], que independe da velocidade

com que a tensão aplicada varia, ou seja, independe da sua freqüência.

Por causa disso, a tensão e a corrente estão sempre em fase, isto é, θv = θi.

Graficamente, a corrente iR(t) que o gerador fornece ao resistor acompanha

temporalmente a tensão v(t) ou vR (t), conforme mostra a figura:


Portanto, num circuito puramente resistivo, a defasagem ϕ entre a tensão do gerador e a

corrente que ele fornece é sempre nula, isto é, ϕ= θv-θi=0 .


A representação fasorial da tensão e da corrente no resistor consiste nos dois

fasores VR e IR girando em fase (ϕ = 0°) a uma freqüência angular ω.

A figura abaixo mostra o comportamento fasorial da tensão e da corrente no

resistor:

Aplicando a Lei de Ohm por meio dos valores complexos da tensão VR e da

corrente IR no resistor, obtermos a sua impedância Z, cuja fase é sempre

nula e independente de θv e de θi.


Isso significa que, no plano dos números complexos, a resistência é

puramente real, isto é, não possui parte imaginária. Portanto, o resistor

possui uma impedância resistiva pura.

Reatâncias Indutiva e Capacitiva


O indutor L, em henry[H], e o capacitor C, em farad[F], possuem

comportamentos reativos, sendo que as suas reatâncias XL e XC, em ohm

[Ω], dependem da velocidade com que a tensão aplicada varia, ou seja,

dependem da freqüência.


No indutor, a reatância XL é diretamente proporcional à freqüência e à

indutância:

em que:

XL = reatância indutiva, em [Ω]

L = indutância, em [H]

f = freqüência, em [Hz]

ω = freqüência angular, em [rad/s]

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Para o capacitor temos o seguinte circuito:


No capacitor, a reatância XC é inversamente proporcional à freqüência e à

capacitância:

em que:

Xc = reatância capacitiva, em [Ω]

C = capacitância, em [F]

f = freqüência, em [Hz]

ω = freqüência angular, em [rad/s]


Aplicando uma tensão cossenoidal no indutor e no capacitor, ocorre uma

defasagem ϕ entre a tensão e a corrente que pode ser de 90 (ou

π/2rad), dependendo da natureza da reatância.

Por facilidade, consideraremos que o indutor e o capacitor sejam ideais e as

correntesiL(t) e iC(t) possuam fases iniciais nulas (θi=0 ).


No indutor ideal a tensão adianta 90 em relação à corrente, ou seja, ϕ=+90 :


No capacitor ideal a tensão atrasa 90 em relação à corrente, ou seja, ϕ=-90 :


A representação fasorial da tensão e da corrente no indutor e no capacitor

ideais consiste nos fasores de tensão e corrente em quadratura, girando

com freqüência angular ω:

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Impedâncias Reativas Puras

Aplicando a Lei de Ohm por meio da tensão e da corrente complexas no

indutor e no capacitor, obtemos as respectivas impedâncias complexas,

cujas fases ϕ são constantes, já que independem de θv e de θi, pois ϕ=θv-

θi= 90 (em função da natureza da impedância).

No indutor, obtemos Z por VL e IL:


No capacitor, obtemos Z por VC e IC :

Isso significa que, no plano dos números complexos, a reatância é uma

grandeza puramente imaginária, isto é, não possui parte real. Portanto, o

indutor e o capacitor são impedâncias reativas puras.


No indutor, a parte imaginária é sempre positiva.

No capacitor, a parte imaginária é sempre negativa.

Circuito Resistivo

IRV *=

R

VI =

Circuito Indutivo

X

VI

IXV L

=

= *

LfX L ***2 π=

Circuito Capacitivo

CfXC

***2

1

π=

C

C

X

VI

IXV

=

= *

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Circuito Resistivo-Indutivo em Série Circuito Resistivo-Indutivo em Série

( ) ( )22** IXIRV +=

IRVR *=

ILfVL ****2 π=

Z

R

Z

X

R

X

L

L

=

=

=

O cos

;Osen

;Otan

22XRZ +=

Circuito Resistivo-Indutivo em Série Circuito Resistivo-Indutivo em Série

Exemplo 1: Uma bobina possui uma resistência R=3 Ohms e uma reatância

X=9,42 Ohms. Calcular a corrente que passa na bobina se for aplicada

entre seus extremos uma tensão eficaz de 40Vca e o ângulo de defasagem

entre tensão e corrente.

Solução:

°∴===

=+

=+

==

20,7214,33

42,9

04,442,93

40

2222

R

Xtg

AXR

V

Z

VI

ϕ

Circuito Resistivo-Indutivo em Série

Exemplo 2: Um circuito possui uma resistência R=20 ohms e uma indutância

L=0,06 Henry e é percorrido por uma corrente de 0,6A com 50Hz.

Determinar a impedância, a tensão aplicada, o cosseno do ângulo de

defasagem entre tensão e corrente:

Solução:

°∴===

=Ω==

Ω=+=+=

Ω===

19,43729,042,27

20cos

45,166,0*42,27*

42,2784,1820

84,1806,0*50**2***2

2222

Z

R

VacAIZV

XRZ

LfX

L

L

ϕ

ππ


Exemplo 3: Através de uma bobina cuja resistência é R=2,3 ohms e indutância

L=0,03 henry, passa uma corrente de 5A, quando nos seus extremos é

aplicada uma tensão alternada de 55 Vac. Calcular a freqüência da

corrente alternada que a atravessa:

Solução:

HzL

Xf

RZX

I

VZ

L

L

8,5603,0**2

7,10

**2

7,103,211

115

55

2222

===

Ω=−=−=

Ω===

ππ

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Exemplo 4: para medir a indutância de uma bobina, foi aplicada em seus

bornes a tensão de 110Vac com 50Hz e a corrente absorvida foi de 5A. A

resistência elétrica medida resultou de 3 ohms.

Solução:

Hf

XL

RZX

I

VZ

L

L

0694,050**2

8,21

**2

8,21322

225

110

2222

===

Ω=−=−=

Ω===

ππ



22

22

22

11

2

1

L

L

XRZ

XRZ

+=

+=

Z

RR

Z

R

Z

R

21

2

22

1

11

O cos

O cos

O cos

+=

=

=


( )( ) ( )( ) ZIIXXIRRV ***2

21

2

21 =+++=

21

21Otan RR

XX

+

+=

IZV

IZV

*

*

22

11

=

=


Exemplo 1: através de duas bobinas agrupadas em série, passa uma corrente

alternada com valor eficaz de 100A, e uma freqüência de 50Hz. A

resistência da primeira bobina é R1=5 ohms e a sua indutância é

L1=0,0107H. A resistência da segunda bobina é R2=20 ohms e a sua

indutância é L2=0,5H. Calcular a impedância da primeira, da segunda e a

resultante entre ambas. Calcular a tensão nos extremos da primeira, da

segunda e a resultante entre ambas. Calcular o coseno do ângulo de

defasagem entre a corrente e tensão nos extremos da primeira bobina, da

segunda bobina e de ambas:

Solução:

( ) ( )

( ) ( ) Ω=+=+=

Ω=+=+=

1505,0*50**220***2

60107,0*50**25***2

222

2

2

22

222

1

2

11

ππ

ππ

LfRZ

LfRZ


( ) ( )

°∴=+

=+

=

°∴===

°∴===

===

===

===

Ω=+++=

19,811533,0163

205cos

76,82126,0159

20cos

59,33833,06

5cos

16300100*163*

15000100*150*

600100*6*

163

21

2

22

1

11

22

11

2

21

2

21

Z

RR

Z

R

Z

R

VcaIZV

VcaIZV

VcaIZV

XXRRZ LLT

ϕ

ϕ

ϕ

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Condutância e Admitância de um Circuito

Indutivo

Nos circuitos agrupados em paralelo se apresenta o problema de compor as

correntes defasadas entre si. O problema será facilmente resolvido se for

possível obter dois fatores, que multiplicados pela tensão existente nos

bornes do circuito forneçam as duas componentes ortogonais da corrente:

VbI

VgI

b

g

*

*

=

=


Indutivo

Aos dois fatores assim definidos dá-se o nome respectivamente de

condutância(g) e suscetância(b) do circuito. A corrente total absorvida pelo

circuito, obtida pela resultante:

Pondo:

Resulta:

De onde:

( ) ( ) ( ) ( ) 222222*** bgVVbVgIII bg +=+=+=

22bgY +=

VYI *=

V

IY =


Indutivo

O fator Y chama-se admitância do circuito e pode ser considerado como fator

que multiplicado pela tensão aplicada ao circuito, fornece o valor da

corrente absorvida. A expressão abaixo:

Pode ser obtida também pelo triângulo da admitância, que é obtido do

triângulo das correntes construído por uma tensão unitária. Da expressão :

Resulta que:

22 bgY +=

V

IY =

I

VZ

V

IY == pois;


Indutivo

Pode-se então escrever que:

Examinado agora o triângulo da impedância e o da admitância relativos ao

mesmo circuito, chega-se a conclusão de eles são semelhantes, pois são

dois triângulos retângulos que possuem em comum o ângulo ϕ. A

hipotenusa de um deles é Z e a outra é Y. Comparando estes dois

triângulos conforme as figuras abaixo, sendo o ângulo ϕ comum aos dois

triângulos, pode-se escrever:

YZ

ZY

1 pois;

1==


Indutivo

Osen ** onde,Osen

O cos** onde,O cos

2

2

YZ

XY

Z

Xb

Z

X

Y

b

YZ

RY

Z

Rg

Z

R

Y

g

=====

=====


Indutivo

Se as grandezas conhecidas são g, b, Y resulta:

2

2

*

*

Y

bZ

Y

bX

Y

gZ

Y

gR

==

==

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Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo

;tan

;tan

;

;

;***2

;***2

2

22

1

11

22

22

22

11

2

1

2

1

2

1

R

XO

R

XO

XRZ

XRZ

LfX

LfX

L

L

L

L

=

=

+=

+=

=

=

π

π

Circuito Resistivo-Indutivo em Paralelo

;**;**

;cos**;cos**

;*;*

;*;*

;cos*;cos*

;1

;1

222111

222111

2211

222

2

22112

1

11

222

2

22112

1

11

2

2

1

1

21

21

senOIVbIsenOIVbI

OIVgIOIVgI

VYIVYI

senOYZ

XbsenOY

Z

Xb

OYZ

RgOY

Z

Rg

ZY

ZY

bb

gg

====

====

==

====

====

==


;**;**

*;*

;

222111

2121

21senOIVbIsenOIVbI

VbIVgI

bbbggg

bb

bg

====

==

+=+=

g

bObgY

g

bObgY

g

bObgY

=+=

=+=

=+=

tan;

tan;

tan;

22

2

22

2

2

2

22

1

11

2

1

2

11

;O cos

;Osen

;Otan

I

I

Y

g

I

I

Y

b

I

I

g

b

g

b

g

b

==

==

==


Exemplo: Em um circuito onde em um ramo possui uma resistência R1=5 ohm

em série com uma indutância L1=0,02H e um outro ramo que possui uma

resistência R2=2 ohms em série com uma indutância L2=0,05H, onde

esses dois ramos estão ligados em paralelo é aplicada uma tensão

alternada de 55Vac de 50Hz. Determinar: as correntes I1 e I2; os

respectivos ângulos de defasagem com a tensão; a corrente total I, o

ângulo de defasagem entre a corrente total com a tensão, a resistência, a

reatância e a impedância equivalentes do arco duplo.

Solução:

Ω=+=+=

Ω=+=+=

85,157,152

828,65

222

2

2

22

222

1

2

11

XRZ

XRZ


Solução:

°∴===

°∴===

===

===

8385,72

7,15

51256,15

28,6

47,385,15

55

87,68

55

2

22

1

11

2

2

1

1

R

Xtg

R

Xtg

AZ

VI

AZ

VI

ϕ

ϕ

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15


Solução:

°∴===

=+=+=

=+=+=

=+=+=

===

===

===

===

62869,172,4

82,8

1082,872,4

82,844,338,5

72,444,028,4

44,39919,0*47,3*

44,01263,0*47,3cos*

38,57823,0*87,6*

28,46228,0*87,6cos*

2222

21

21

222

222

111

111

Ig

Ibtg

AIbIgI

AIbIbbI

AIgIgIg

AsenIIb

AIIg

AsenIIb

AIIg

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ


Solução:

ohmsZbY

bX

ohmsZgY

gR

ohmsI

VZ

mhoV

Ibb

mhoV

Igg

ee

ee

e

84,45,5*16,0*

6,25,5*0858,0*

5,510

55

16,055

82,8

0858,055

72,4

22

2

22

2

====

====

===

===

===

Circuito Resistivo-Capacitivo em Série Circuito Resistivo-Capacitivo em Série

22

CXRZ +=

;O cos

;Osen

;Otan

Z

R

Z

X

R

X

C

C

=

=

=

Circuito Resistivo-Capacitivo em Série

Exemplo: uma lâmpada de incandescência de 50Vac absorve uma corrente de

0,065A. Para poder ligá-la a uma tensão de 220Vac, com 50Hz, liga-se um

capacitor em série. Calcular a capacitância do capacitor, o ângulo de

defasagem entre corrente e tensão aplicada e a queda de tensão entre os

bornes do capacitor.

Solução:

Ω=−=−=

Ω===

Ω===

33107703400

3400065,0

220

770065,0

50

2222 RZX

AI

VZ

AI

VR

C

Circuito Resistivo-Capacitivo em Série

VacIXV

R

Xtg

nFXf

C

CC

C

C

215065,0*3310*

762987,4770

3310

9703310*50**2

1

***2

1

===

°∴===

===

ϕ

ππ

27/5/2010

16

Circuito Resistivo-Capacitivo em Série Circuito Resistivo-Capacitivo em Série

21

21Otan RR

XX CC

+

+=

2

1

***2

1

***2

1

2

1

CfX

CfX

C

C

π

π

=

=

Admitância, Condutância e Suscetância de

um Circuito Capacitivo

Se a um circuito, composto por um capacitor e uma resistência, agrupados em

série é aplicada uma tensão alternada, o circuito será percorrido por uma

corrente defasada em adiantamento sobre a tensão do ângulo ϕ. Tal

corrente, por comodidade, é conveniente considerá-la composta por duas

componentes, isto é, a componente Ig=g*V em fase com a tensão, e a

componente Ib=b*V defasada de 90° em adiantamento sobre a tensão, de

maneira que se pode escrever:

Os dois fatores g e b, que multiplicados pela tensão fornecem diretamente as

duas componentes da corrente Ig e Ib, representam respectivamente a

condutância e a suscetância do circuito e representam os catetos do

triângulo das correntes, obtidos aplicando-se ao circuito uma tensão

unitária.

2222* bgVIII bg +=+=

Admitância, Condutância e Suscetância de

um Circuito Capacitivo

A admitância Y é definida por:

A condutância g e a suscetância b do circuito ficam determinadas pelas

relações:

O ângulo ϕ é definido pelas relações:

22ou

1bgY

ZY +==

ϕϕ senYZ

XbY

Z

Rg C *;cos*

22====

Z

X

Y

bsen

Z

R

Y

g

R

X

g

btg CC ====== ϕϕϕ ;cos;

Circuito Resistivo-Capacitivo em Paralelo Circuito Resistivo-Capacitivo em Paralelo

Exemplo: para um circuito que possui em um ramo um resistor R1 de 30 ohms

ligado em série com um capacitor C1 de 120uF, onde este ramo está ligado

em paralelo com um outro ramo que possui um resistor R2=60 ohms ligado

em série com um capacitor de 180uF. A tensão aplicada nos extremos do

arco possui um valor eficaz de 120Vac e freqüência de 50Hz. Calcular:I1; I2;

I; ϕ1; ϕ2; ϕ; g1; g2; Y; Ze; Re; Xe; Ce:

Solução:

Ω=+=+=

Ω=+=+=

Ω===

Ω===

54,6269,1760

04,4033,2630

69,17180*50**2

1

***2

1

53,26120*50**2

1

***2

1

222

2

2

22

222

1

2

11

2

2

1

1

C

C

C

C

XRZ

XRZ

uFCfX

uFCfX

ππ

ππ

27/5/2010

17

Circuito Resistivo-Capacitivo em Paralelo

mhoZ

Rg

mhoZ

Rg

R

Xtg

R

Xtg

AZ

VIA

Z

VI

C

C

01534,054,62

60

00187,004,40

30

162948,060

69,17

418843,030

53,26

92,154,62

120;3

04,40

120

22

2

22

22

1

11

2

22

1

11

2

2

1

1

===

===

°∴===

°∴===

======

ϕ

ϕ


°===

===

=+=+=

=+=+=

=+=+=

===

===

74,3103404,0

02106,0

8,4120*04,0*

04,002106,003403,0

02106,000452,001654,0

03440,001534,001870,0

00452,054,62

69,17

65401,004,40

53,26

2222

21

21

22

2

22

22

1

11

g

btg

AVYI

mhobgY

mhobbb

mhoggg

mhoZ

Xb

mhoZ

Xb

ϕ


uFXf

C

ohmsZbY

bX

ohmsZgY

gR

ohmsI

V

YZ

C

24216,13*50**2

1

***2

1

16,13*

27,21*

251

2

2

2

2

===

===

===

===

ππ

Circuito RLC Série

22)(

*)()(

CL

CLCLX

XXRZ

IXXVVV

−+=

−=−=

Circuito RLC Série

Exemplo: um circuito RLC série é alimentado por uma tensão de 100Vac,

50Hz. Sabendo que R=10 ohms, L=0,5H e C=20uF. Calcular a reatância

indutiva XL e a capacitiva XC, a impedância total do circuito, a intensidade

da corrente, as tensões V1,V2 eV3, o ângulo de defasagem entre a corrente

e a tensão aplicada nos extremos da série:

Solução:

( ) ( )

AZ

VI

XXRZ

uFCfX

LfX

LC

C

L

6,94,10

100

4,1015716010

16020*50**2

1

***2

1

1575,0*50**2***2

2222

===

Ω=−+=−+=

Ω===

Ω===

ππ

ππ

Circuito RLC Série

°∴===

===

===

===

159615,04,10

10cos

15366,9*160*

15076,9*157*

966,9*10*

3

2

1

Z

R

VacIXV

VacIXV

VacIRV

C

L

ϕ

27/5/2010

18

Circuito RLC Série Circuito RLC Paralelo

Exemplo: um circuito possui os seguintes componentes eletrônicos ligados em

série: um resistor R1=10 ohms, uma indutância L=0,0125H, um resistor

R2=5 ohms e um capacitor C=100µF. Ligados a uma tensão de 125Vac de

50Hz. Calcular:V1,V2, I, ϕ1, ϕ2, ϕ:

Solução:

( ) ( )

( ) ( ) ohms

XXRRZ

ohmsXRZ

ohmsXRZ

LCT

69,31925,384,31510

23,3284,315

74,10925,310

22

22

21

222

2

2

22

222

1

2

11

=−++

=−++=

=+=+=

=+=+=

Circuito RLC Paralelo

°∴=+

−=

+

−=

°∴===

°∴===

===

===

===

50,61861,1510

925,384,31

5,81368,65

84,31

28,213925,010

925,3

98,12694,3*23,32*

31,4294,3*74,10*

94,369,31

125

21

12

2

22

1

11

22

11

RR

XXtg

R

Xtg

R

Xtg

VacIZV

VacIZV

AZ

VI

T

ϕ

ϕ

ϕ



Exemplo: um circuito possui dois ramos em paralelo: o primeiro ramo possui

uma resistência R1=5 ohms ligado em série com uma indutância

L=0,0125H e um outro ramo que possui uma resistência R2=10 ohms

ligado em série com um capacitor C=100uF. Os dois ramos em paralelo

estão ligados a uma tensão de 125Vac de 50Hz. Calcular:I1, I2, I, ϕ1, ϕ2, ϕ,

Re, Xe, Ze:

Solução:

AZ

VI

AZ

VI

ohmsXRZ

ohmsXRZ

C

L

74,337,33

125

65,1936,6

125

37,3384,3110

36,6925,35

2

2

1

1

2222

22

2222

11

===

===

=+=+=

=+=+=


A

II

sen

R

Xtg

R

Xtg

C

L

66,183534,0*74,3*65,19*274,365,91

cos***2III

:seguinte a é totalcorrente a fornece que fórmula a ,90 sendo

3534,020110cos

1107238

72184,310

84,31

38785,05

925,3

22

2121

2

2

2

1

21

2

2

1

1

=−+

=−+=

°>

−=°−=°

°=°+°=

°∴===

°∴===

+

+

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

27/5/2010

19


ohmsZbX

ohmsZgR

mhosenYb

mhoYg

ohmsI

V

YZ

mhoV

IY

sen

I

II

eee

eee

ee

ee

e

e

e

07,37,6*06836,0*

95,57,6*1326,0*

0683,04581,0*1492,0*

1326,08888,0*1492,0cos*

7,61492,0

11

1492,0125

66,18

4581,0278888,0

65,18

2996,0*74,37865,0*65,19cos*cos*cos

22

22

2211

===

===

===

===

====

===

=∴°=∴

=+

=+

=

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕϕ


Exemplo: para o circuito abaixo, calcule: I1,I2, I3, I, ϕ1, ϕ2, ϕ3, ϕa, ϕb, ϕ, Va e

Vb.

mhoZ

Rg

mhoZ

Rg

ohmsXRZ

ohmsXRZ

ohmsXRZ

ohmsXRZ

0048,023,32

5

0866,074,10

5

32,6925,35

47,167,155

23,3284,315

74,10925,310

22

2

22

22

1

11

222

4

2

44

222

3

2

33

222

2

2

22

222

1

2

11

===

===

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=


( ) )(0612,0

0578,047,16

7,15

0306,023,32

84,31

034,074,10

925,3

1098,0

0184,047,16

5

231

22

3

33

22

2

22

22

1

11

321

22

3

33

indutivomhobbbb

mhoZ

Xb

mhoZ

Xb

mhoZ

Xb

mhogggg

mhoZ

Rg

a

a

=−+=

===

===

===

=++=

===


ohmsXXX

ohmsRRR

indutivoohmsY

gZbX

ohmsY

gZgR

ohmsY

Z

mhobgY

at

at

a

aaaa

a

aaaa

a

a

aaa

825,7925,39,3

1257

)(91,38*0612,0*

02,78*1098,0*

8125,0

11

125,00612,01098,0

4

4

2

2

2

2

2

2

2222

=+=+=

=+=+=

====

====

===

=+=+=


°∴===

°∴===

===

===

°∴===

===

=+=+=

38785,05

925,3

295595,07

917,3

11,5572,8*32,6*

76,6972,8*8*

33652,012

825,7

72,832,14

125

32,14825,712

4

4

4

2222

R

Xtg

R

Xtg

VacIZV

VacIZV

R

Xtg

AZ

VI

ohmsXRZ

b

a

aa

b

aa

t

t

t

ttt

ϕ

ϕ

ϕ


°∴===

°∴===

°∴===

===

===

===

7214,35

7,15

8437,65

84,31

213925,010

92,3

23,447,16

76,69

16,226,32

76,69

49,674,10

76,69

3

33

2

22

1

11

3

3

2

2

1

1

R

Xtg

R

Xtg

R

Xtg

AZ

VI

AZ

VI

AZ

VI

a

a

a

ϕ

ϕ

ϕ

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343o [Modo de Compatibilidade]) · sãochamadosde geradoresCA ou alternadores. Geração do Sinal Alternado Geração do Sinal Alternado Geração do Sinal Alternado . ... média,