382 Apostila Pesquisa Operacional Parte 1

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Ementa Pesquisa OperacionalINTRODUO 1. Programao Matemtica 2. Reviso de lgebra Linear 3. Uso de pacotes computacionais na soluo de problemas PROGRAMAO LINEAR 1. Introduo Programao Linear 2. O algoritmo Simplex

Engenharia de Produo DEPROT / UFRGS Profs. Flavio Fogliatto, Ph.D.

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EmentaMODELOS DE REDES 1. O problema do transporte 2. O problema da designao 3. O problema do transbordo 4. Modelos de Redes TPICOS AVANADOS 1. Programao Inteira

Referncias BibliogrficasLIVRO-TEXTO: Operations Research, Applications and Algorithms, de Wayne L. Winston, 3a. Ed., Duxburry Press. Adicionais (no mesmo nvel): 1. Pesquisa Operacional, de Harvey Wagner, 2a. Ed., Prentice-Hall do Brasil. 2. Pesquisa Operacional, de Pierre J. Ehrlich, Ed. Atlas.

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INTRODUO PROGRAMAO LINEAR Programao Linear uma ferramenta para soluo de problemas de otimizao. Em 1947, George Dantzig desenvolveu o algoritmo SIMPLEX, extremamente eficiente na soluo de problemas de PL. A partir de ento, PL passou a ser utilizada em diversos segmentos da atividade produtiva: Bancos Instituies Financeiras Empresas de Transportes, etc. Vamos introduzir a PL a partir de um exemplo.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 5 Prof. Fogliatto

EXEMPLO: O caso PolitoyA Politoy S/A fabrica soldados e trens de madeira. Cada soldado vendido por $27 e utiliza $10 de matria-prima e $14 de mo-de-obra. Duas horas de acabamento e 1 hora de carpintaria so demandadas para produo de um soldado. Cada trem vendido por $21 e utiliza $9 de matria-prima e $10 de mo-de-obra. Uma hora de acabamento e 1 h de carpintaria so demandadas para produo de um trem.

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EXEMPLO: O caso PolitoyA Politoy no tem problemas no fornecimento de matria-primas, mas s pode contar com 100 h de acabamento e 80 h de carpintaria. A demanda semanal de trens ilimitada, mas no mximo 40 soldados so comprados a cada semana. A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Formule um modelo matemtico a ser utilizado nessa otimizao.

Ao desenvolver um modelo para a Politoy, investigaremos caractersticas comuns a todos os problemas de PL VARIVEIS DE DECISO O primeiro passo na formulao de um problema de PL a definio das variveis de deciso relevantes. Estas variveis devem descrever completamente as decises a serem tomadas. A Politoy deve decidir sobre: x1 = nm. de soldados produzidos a cada semana x2 = nm. de trens produzidos a cada semana

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FUNO OBJETIVO Em qualquer problema de PL, o analista sempre vai desejar maximizar (ex., lucro) ou minimizar (ex., custo) alguma funo das variveis de deciso. A funo a ser maximizada (ou minimizada) a funo objetivo. A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Ou seja: ganho semanal = ganho semanal oriundo da venda de soldados + ganho semanal oriundo da venda de trens. = ($/soldado).(soldados/sem) + ($/trem).(trem/sem) = 27x1 + 21x2 Tambm devemos considerar: custo semanal com matria-prima: 10x1 + 9x2 custo semanal com mo-de-obra: 14x1 + 10x2

FUNO OBJETIVO O que a Politoy deseja maximizar : (27x1 + 21x2) - (10x1 + 9x2) - (14x1 + 10x2) = 3x1 + 2x2 Usaremos a varivel z para designar o valor assumido pela funo objetivo. Assim: Max z = 3x1 + 2x2 Os nmeros 3 e 2 so chamados coeficientes da funo objetivo. Eles indicam a contribuio de cada varivel nos ganhos da empresa.

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RESTRIES A medida que x1 e x2 crescem, o valor da funo objetivo aumenta. Mas x1 e x2 no podem crescer indefinidamente. Trs restries limitam seu crescimento: Restrio 1 - 100 h de acabamento / semana. Restrio 2 - 80 h de carpintaria / semana Restrio 3 - no mais que 40 soldados / semana, devido a limitaes na prpria demanda. Restries 1 3 devem ser expressas em termos das variveis de deciso x1 e x2.

RESTRIES Restrio 1: (total hs acabamento/sem.) = (hs.acab./sold.).(sold. produzidos/sem.) + (hs.acab./trem).(trens produzidos/sem.) (total hs acabamento/sem.) = 2(x1) + 1(x2) = 2x1 + x2 A restrio 1 ser dada por: 2x1 + x2

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Observe que todos os termos de uma restrio devem ter a mesma unidade de medida. Os valores 2 e 1 na restrio so denominados coeficientes tecnolgicos.

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Restrio 2 (determinada de maneira similar): (total hs carpintaria/sem.) = (hs.carp./sold.).(sold. produzidos/sem.) + (hs.carp./trem).(trens produzidos/sem.) (total hs carpintaria/sem.) = 1(x1) + 1(x2) = x1 + x2 A restrio 2 ser dada por: x1 + x2 Restrio 3: A restrio 3 definida pela limitao do nmero de soldados produzidos por semana (devido a limitaes na demanda): x1Prof. Fogliatto

RESTRIES DE SINAL Identificam os tipos de valores que as variveis podem assumir. Podem ser de trs tipos: 0 0 irrestrita

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Combinando a funo objetivo e as restries, chega-se a formulao matemtica do problema da Politoy: max z = 3x1 + 2x2 Sujeito a: 2x1 + x2 x1 + x2

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100 80 40 x1 x1, x2 0

Restrio de horas de acabamento Restrio de horas de carpintaria Restrio de demandaPesquisa Operacional 14

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PRTICA 1:Um fazendeiro deseja determinar quantos acres de milho e trigo ele deve plantar esse ano. Um acre de trigo rende 25 sacas e requer 10 horas de trabalho/semana. A saca vale $4 no mercado. Um acre de milho rende 10 sacas e requer 4 horas de trabalho/semana. A saca vale $3 no mercado. O governo garante a compra de pelo menos 30 sacas de milho/ano. O fazendeiro dispe de 7 acres de terra e pode trabalhar 40 horas/semana. Formule o problema tal que os ganhos do fazendeiro sejam maximizados.

Soluo - Prtica 1 Variveis de Deciso: x1 = no de acres de milho a serem plantados x2 = no de acres de trigo a serem plantados

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ESPAO DE SOLUES E SOLUO TIMA O espao de solues formado por todos os pontos que satisfazem as restries do problema. A soluo tima em um problema de maximizao corresponde ao ponto no espao de solues onde o valor da funo objetivo mximo.

Representao grfica Representao da restrio 2x1 + 3x2 = 6:x24 3 2

2x1 + 3x2 6

(0,0)

x12 3 4

2x1 + 3x2 6Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 17 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional

2x1 + 3x2 = 618

Representao grfica do problema Politoyx2100 (2) 80 (4) 60 Ponto timo: (20,60) O espao de solues encontra-se hachurado. (2) - (4) denotam as restries. As restries de sinal restringem o problema ao primeiro quadrante do espao bi-dimens.

Restries crticas (binding) e no-crticasUma restrio crtica (binding) se, substituindo os valores correspondentes ao ponto timo na restrio, a igualdade de verifica. Ex.: restries (2) e (3) no grfico anterior.

Soluo tima: (1) Desenhe o vetor z. (2) Desenhe linhas ortogonais ao vetor z. Essas so as linhas de isocusto. (3) Calcule o valor de z no ponto timo.

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Todas as demais restries so consideradas no-crticas. Ex.: restrio (4) e restries de sinal no grfico anterior.

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z

(3)

z = 3(20) + 2(60) = 180

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60

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100

x119 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 20

Outro exemplo:Solucione graficamente o problema e identifique o tipo de conjunto de solues resultante. Um empresa de eletrodomsticos planeja veicular seus produtos em comerciais de TV durante a novela das 8 e os jogos da seleo na Copa. Comerciais na novela so vistos por 7 milhes de mulheres e 2 milhes de homens e custam $50000. Comerciais nos jogos so vistos por 2 milhes de mulheres e 12 milhes de homens, e custam $100000. Qual a distribuio ideal de comerciais se a empresa deseja que eles sejam vistos por 28 milhes de mulheres e 24 milhes de homens a um menor custo possvel? Variveis de deciso: x1 = num. de comerciais veiculados durante a novela. x2 = num. de comerciais veiculados durante os jogos Funo objetivo: Min z = 50x1 + 100x2 A soluo grfica ... Restries: Pblico feminino: 7x1 + 2x2 28 Pblico masculino: 2x1 + 12x2 24 x 1, x 2 0 Soluo tima: (3.6, 1.4) com z = $320. A soluo nica.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 21 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 22

x2 10

Ponto timo no inteiro: Testar pontos (4,1), (3,2), (4,2), checando restries e z. Usar programao inteira.

CASOS ESPECIAIS:(1) Problemas com solues alternativas (vrias solues so simultaneamente timas). Nestes casos, a linha de isocusto, ao abandonar o espao de solues viveis, intersecciona com uma linha inteira (e no somente um ponto) desse conjunto.

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Ponto timo: (3.6, 1.4)

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zProf. Fogliatto

2

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x123 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 24

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CASOS ESPECIAIS:(2) Problemas com soluo tendendo ao infinito.

CASOS ESPECIAIS:(3) Problemas sem soluo

Nestes casos, as restries formam um espao aberto de solues viveis. Se a funo objetivo for do tipo max, z e a formulao do problema pode estar incorreta. Se for do tipo Min, uma ou mais solues sero encontradas.

Nestes casos, as restries no formam nenhum espao de solues viveis.

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