3º Relatório do PBL - Transformada de Fourier

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1. INTRODUO Na atual conjuntura, em que a globalizao est presente no cotidiano da populao, evidenciado pelo papel que os sistemas de telecomunicaes desempenham, de fundamental importncia a recuperao de sinais distorcidos, seja por um rudo no sinal ou por uma eventual falha na transmisso. Devido a essa grande evoluo tecnolgica, algumas mudanas nos parmetros do sinal ocorrem na implementao de um link de comunicao entre duas Estaes Rdio-Base (ERBs). Por esse motivo, as maiores empresas de telefonia tm procurado maneiras para recuperar o sinal transmitido. Visando a importncia da retificao de um sinal de voz para a rea de Processamento Digital de Sinais, bem como dos conceitos envolvidos para obter o sinal sem distoro, a empresa Sigma Delta Inc., atravs da diretoria de Pesquisa e Desenvolvimento (P&D), solicitou aos seus engenheiros de computao o desenvolvimento e teste de um sistema de processamento digital de udio, no qual o sinal de comunicao distorcido pela modificao de um parmetro, pudesse ser recuperado e o udio original reestabelecido.

2. FUNDAMENTAO TERICA

2.1 Caracterticas de Sinais de Adio Sinais de Fala

O som estudado na acstica, que uma das divises da fsica que estuda as oscilaes e ondas, que ocorrem em meios elsticos. O som formado pela vibrao de corpos que movimentam as molculas de ar em meio elstico (como o prprio ar), criando as ondas acsticas ou sonoras que so captadas pelos nossos ouvidos e interpretadas por ns como sons. Outros meios elsticos como gua, metais e madeiras, tambm transportam ondas sonoras, porm, com diferentes resistncias [1]. O som caracterizado por diversas propriedades, como amplitude, frequncia, a distncia entre a fonte e o ouvinte. No entanto, para este trabalho o foco se direciona para a frequncia de vibraes ocorridas, medidas em Hertz (Hz - rotaes por segundo) e a amplitude que esto relacionadas intensidade sonora, em decibis (dB) e a durao, em segundos. considerado como som audvel aquelas ondas que conseguem sensibilizar o ouvido humano, com frequncias variando em torno de 20 a 20.000 Hz. Abaixo da frequncia mnima (menos de 20 Hz), chamado de infra-som e acima (mais de 20.000 Hz), denomina-se ultra-som. Ambos os sons, ultra-som e infra-som, so inaudveis para o ouvido humano. Entretanto, numa conversao normal, geralmente no se passa de 3.000 Hz. Assim, visando utilizar melhor os canais de comunicao de fala, criou-se uma largura de banda de 4000 Hz para tais canais, como por exemplo, os canais de telefonia que o canal que utilizamos atualmente em nossas ligaes.

Em testes prticos, julgou-se, ento, que a faixa de frequncias entre 300 Hz e 3400 Hz permitia uma conversao normal. Desta forma, utiliza-se filtros eletrnicos para cortar sinais com frequncias acima disto. O valor de 4K Hz utilizado como uma tolerncia para evitar interferncias [2].

2.2 Sries de Fourier A forma mais simples de uma onda uma funo senoidal. Jean-Baptiste Joseph Fourier, matemtico e fsico francs, mostrou que qualquer funo, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos. A Figura 1 mostra um exemplo de uma funo f(x) que pode ser descrita atravs de somas entre senos e cossenos. possvel perceber isso realizando uma soma ponto a ponto de todas as componentes da funo apresentada na Figura 1.

Figura 1. Funo f(x) obtida atravs de somas de senos e cossenos [3].

Utilizando as sries de Fourier um sinal x(t) pode ser descrito da seguinte forma: x(t) = a0+ a1 sen(t) +a2 sen(2t) +a3 sen(3t)+ ... + b1 cos(t) + b2 cos(2t) + onde, os coeficientes (a0, a1, a2, ... , b1, b2) das funes seno e cosseno representam a amplitude de cada componente harmnica do sinal. Lembrando ainda que a0 a componente dc do sinal e possui frequncia igual a zero. 2.3 Determinao da representao de um sinal peridico de tempo contnuo em srie de Fourier Um sinal de tempo contnuo x(t) pode ser definido como peridico se existir um valor T positivo diferente de 0 tal que:

para todo t onde o menor valor para T chamado de T0, perodo fundamental. A representao em srie de Fourier exponencial complexa de um sinal peridico com perodo fundamental T0 dada por:

onde os dados por:

so conhecidos como coeficientes de Fourier complexos e so

2.4 Representao de Sinais Peridicos de Tempo Contnuo em Srie de Fourier Foi utilizado um exemplo retirado de [4] para a equipe entender como representado um sinal em termos de mdulo e fase. Segue o exemplo e sua explicao passo a passo. Considere o sinal cuja frequncia fundamental . Uma tcnica para determinar os coeficientes da srie de Fourier para esse sinal expandir o sinal senoidal como uma combinao linear de exponenciais complexas e identificar as componentes da srie de Fourier por inspeo. Podemos expressar, atravs da equao de Euler, que pode ser escrito da seguinte forma:

Agrupando os termos, obtem-se:

Assim, os coeficientes da srie da Fourier para este exemplo so:

A Figura 2 apresenta o grfico do sinal em magnitude de ak e a Figura 3 a apresenta o grfico da fase ak .

Figura 2. Grfico da magnitude e dos coeficientes de Fourier [4].

Figura 3. Grfico da fase e dos coeficientes de Fourier [4].

2.5 Transformada Discreta de Fourier Uma ampla classe de sinais, incluindo todos os sinais com energia finita, pode ser representada como uma combinao linear de exponenciais complexas.

Enquanto para sinais peridicos as exponenciais complexas que o representam esto relacionadas harmonicamente, para sinal aperidico elas esto infinitesimalmente prximas em frequncias, e a representao em termos de uma combinao linear toma a forma de uma integral, em vez de uma soma. O espectro de coeficientes resultante nessa representao chamado transformada de Fourier, e a integral de sntese, que usa esses coeficientes para representar o sinal como uma combinao linear de exponenciais complexas, denominada transformada inversa de Fourier. A DFT (Discrete Fourier Transform) a nica representao de Fourier que tem valores discretos tanto no tempo como em frequncia. A DFT se aplica a sinais de perodo N de tempo discreto cujas frequncias so mltiplos inteiros da frequncia fundamental do sinal. Esta representao no domnio da frequncia uma funo discreta e de perodo N da frequncia [5]. A DTF a nica representao de Fourier que pode ser computada numericamente. Segue as equaes de sntese e anlise da DFT, respectivamente.

Equao de Sntese da DFT

Equao de Anlise da DTF onde, X[k] representa os coeficientes e N representa o nmero de amostras e o perodo do sinal quando aplicado a DFT. E x[n] representa uma soma de produtos entre os coeficientes e as exponenciais complexas (senos e cossenos) que compem o sinal. E por fim, k o ndice de cada coeficiente. 2.6 Transformada Rpida de Fourier A Transformada Rpida de Fourier - Fast Fourier Transform (FFT) - consiste em um algoritmo para reagrupar os clculos dos coeficientes de uma DFT. Portanto, a FFT no um tipo diferente de transformada e sim uma tcnica que possibilita avaliar DFT de forma mais rpida e econmica. A FFT foi implementada com o objetivo de diminuir a complexidade (temporal) necessria para calcular uma DFT, visando aplicaes em tempo real. O nmero de operaes realizadas no clculo da DFT atravs da definio proporcional n2, logo este mtodo ter complexidade de O(n2), enquanto a FFT possui complexidade O(n*log n), sendo, portanto um algoritmo mais eficiente [6]. A FFT realiza o processo de mudana do domnio de tempo para o domnio da frequncia, obtendo o coeficiente que representa a magnitude deste sinal para cada

uma das freqncias do sinal. Estes coeficientes so obtidos a partir da seguinte frmula:

onde:

retrata o fasor do sinal discreto, o N simboliza o nmero de amostras, k representa cada ndice de frequncia, xn representa a funo qual foi aplicada a FFT (sinal discreto) e Xk representa a magnitude do sinal para o ndice de frequncia em determinado instante. Lembrando que o nmero de amostras (N) deve ser um valor de potncia de dois, devido ao modo de representao digital (binrio), e da restrio de funcionamento do algoritmo da FFT. Sendo N um nmero composto de potncia de dois, separa-se a sequncia original, x(k) em duas novas sequncias de N/2 pontos, sendo a primeira formada por coeficientes de ndice par e a segunda por coeficientes de ndice mpar:

assumindo que:

possa ser rescrito desta forma:

e que N possa ser expresso como N=2*M, sendo M um inteiro positivo.

3. METODOLOGIA

3.1 Anlise do Sinal atravs da Transformada de Fourier

O passo inicial para a remoo do rudo do sinal de voz foi realizar uma anlise sobre este sinal. Para isso, houve a necessidade de utilizar um software de processamento de sinais. Neste trabalho, foi utilizado o Matlab verso 2007 como software base para analisar o sinal de voz e para o desenvolvimento dos algoritmos que solucionaram o problema. Atravs do Matlab, foi que se iniciou o procedimento de verificao do problema. Primeiramente foram coletadas as informaes sobre o arquivo de udio atravs de sua leitura no Matlab. As principais informaes obtidas foram a frequncia de amostragem do sinal, que 48 KHz, a quantidade de amostras do sinal, que 1.048.576, e o valor de amplitude de cada amostra. Atravs dessas informaes puderam ser extrados outros dados referentes ao sinal, como por exemplo, o tempo de durao do sinal (quantidade de amostras / taxa de amostragem = 21,85 segundos). As Figuras 4 e 5 mostram o grfico do sinal de voz no domnio do tempo e o cdigo que gera esse grfico.

Figura 4. Sinal de Voz no domnio do tempo.

Figura 5. Cdigo feito no Matlab para plotar o grfico do sinal de voz no domnio do tempo.

Outras informaes que auxiliaram no desenvolvimento do sistema foram obtidas atravs de pesquisas sobre codificao e transmisso de sinais de voz. Tais informaes relatam que o ouvido humano capaz