Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
MATRICES
Índice
1. Matrices: definición ................................................................................................... 1
2. Tipos de matrices...................................................................................................... 2
3. Operacións con matrices .......................................................................................... 4
3.1. Suma de matrices .............................................................................................. 4
3.2. Diferenza de matrices ........................................................................................ 4
3.3. Produto dun número por unha matriz ................................................................. 5
3.4. Produto de matrices ........................................................................................... 5
4. Produto de matrices cadradas .................................................................................. 8
5. Matriz trasposta ...................................................................................................... 10
6. Matriz inversa ......................................................................................................... 10
6.1. Cálculo da matriz inversa a partir da definición ................................................ 10
6.2. Cálculo da matriz inversa polo método de Gauss............................................. 11
6.3. Aplicacións da matriz inversa ........................................................................... 11
7. As matrices na resolución de problemas ................................................................. 13
7.1. Organización matricial da información .............................................................. 13
7.2. Operacións con matrices. Aplicacións .............................................................. 13
7.3. Operacións con matrices asociadas a un grafo ................................................ 14
1. Matrices: definición
Chámase matriz de orde m x n a unha disposición en táboa rectangular de m x n números reais dispostos en m filas e n columnas.
A =
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
= (aij)
Aos números reais aij chámaselles elementos da matriz. O primeiro subíndice i indica a fila e o segundo j a columna na que se atopa o elemento aij.
Por exemplo, o elemento a32 atópase na terceira fila e segunda columna.
O número de filas e de columnas é a dimensión da matriz e desígnase así: m x n. Se m = n, filas igual a columnas, trátase dunha matriz cadrada de orde n.
As matrices represéntanse así: A = (aij), B= (bij), etc.
2
Por exemplo, a matriz A = (aij) =
8024
6231
054
32
é unha matriz de dimensión
3 x 4 (tres filas e catro columnas) e a13 = 5, a23 = 2 , etc.
Igualdade de matrices
Dúas matrices A e B son iguais se teñen a mesma dimensión (ou a mesma orde, se son cadradas) e ademais son iguais todos os elementos que ocupan o mesmo lugar.
Por exemplo, as matrices A =
ba 0
592 e B =
62
33
6
d
c serán iguais se a = 2,
b = 6, c = –5 e d = 0.
2. Tipos de matrices
Matriz rectangular é aquela matriz na que o número de filas é distinto ao de columnas m ≠ n.
Exemplo de matriz rectangular: A =
954
130
Matriz cadrada é aquela en a que o número de filas é igual ao de columnas m = n.
Exemplo de matriz cadrada: A =
857
634
012
Nunha matriz cadrada chámase diagonal principal ao conxunto dos elementos da forma aii. Na matriz A, a diagonal principal fórmana os elementos –2, 3, –8.
Nunha matriz cadrada chámase diagonal secundaria ao conxunto dos elementos aij con i + j = n + 1. Na matriz A, a diagonal secundaria fórmana os elementos 7, 3, 0; os seus subíndices suman 4.
Matriz fila é unha matriz que ten unha fila; polo tanto, de dimensión 1 x n.
Por exemplo, A = (–1 4 5 0) é unha matriz fila de dimensión 1 x 4.
Matriz columna é unha matriz que ten unha columna; polo tanto, de dimensión m x 1.
Por exemplo, A =
7
2
5
é unha matriz columna de dimensión 3 x 1.
Matriz oposta dunha matriz A é aquela que ten por elementos os opostos de A. Represéntase por –A.
Por exemplo, a oposta da matriz A =
571
204 é a matriz –A =
571
204.
3
Matriz simétrica é unha matriz cadrada que ten os elementos simétricos á diagonal principal iguais; isto é, aij = aji.
Por exemplo, A =
45
52 e B =
943
462
321
son matrices simétricas.
Matriz antisimétrica é unha matriz cadrada que ten opostos os elementos simétricos á diagonal principal; isto é, aij = –aji.
Por exemplo, A =
03
30 e B =
047
403
730
son matrices antisimétricas.
Os elementos da diagonal principal dunha matriz antisimétrica cumpren aii = –aii; é dicir, son números que coinciden cos seus opostos, polo tanto nulos.
Matriz nula é a que ten todos os seus elementos nulos. Denotarase por O = (0).
Por exemplo, as seguintes matrices son nulas: O2 =
00
00 e O2x3 =
000
000.
Matriz diagonal é unha matriz cadrada que ten nulos todos os elementos que non pertencen á diagonal principal.
Por exemplo, as seguintes matrices son diagonais: A =
30
06 e B =
500
040
003
.
Matriz escalar é unha matriz diagonal na que todos os elementos da diagonal son iguais.
Por exemplo, as seguintes matrices son escalares: A =
60
06 e B =
400
040
004
.
Matriz unidade ou identidade é unha matriz escalar na que os elementos da diagonal principal son uns.
Por exemplo, as matrices I2 =
10
01 e I3 =
100
010
001
son matrices identidade de
orde dúas e tres respectivamente.
Matriz triangular é unha matriz cadrada na que todos os elementos situados por debaixo (ou por enriba) da diagonal principal son cero.
Por exemplo, as matrices A =
100
730
432
e B =
861
025
003
son matrices
triangulares.
4
3. Operacións con matrices
3.1. Suma de matrices
Ao conxunto de todas as matrices de dimensión m x n desígnaselle por Mmxn. Nas matrices deste conxunto definense as operacións de sumar e restar. Dadas dúas matrices de Mmxn A= (aij) e B = (bij), chámase suma de ambas á matriz C = (cij) da mesma dimensión cuxo termo xenérico é cij = aij + bij.
A suma de matrices desígnase A + B = (aij + bij). Exemplo:
Dadas as matrices A =
745
213 e B =
053
102 de orde 2x3, calcular A + B.
A + B =
745
213 +
053
102 =
075435
120123 =
718
315
A suma de matrices (aij + bij) obtense ao sumar os elementos que ocupan o mesmo lugar nunha e noutra matriz.
Propiedades da suma
Asociativa. Calquera que sexan as matrices A, B e C de Mmxn cúmprese a igualdade (A + B) + C = A + (B + C)
Existencia da matriz nula en Mmxn. A matriz O = (0) é tal que A + O = A.
Existencia da matriz oposta. Dada a matriz A de Mmxn existe a matriz oposta –A da mesma orde, de modo que A + (–A) = O.
Conmutativa. Para todo par de matrices A e B de Mmxn cúmprese a igualdade A + B = B + A.
3.2. Diferenza de matrices
A diferenza de matrices A e B do conxunto Mmxn represéntase por A – B e obtense sumando ao minuendo o oposto do subtraendo; é dicir, A – B = A + (–B). Exemplo:
Dadas as matrices A =
745
213 e B =
053
102 de orde 2 x 3, calcular A – B.
A – B =
745
213 –
053
102 =
075435
120123 =
792
111
A diferenza de matrices (aij) – (bij) = (aij – bij) obtense ao restar elementos que ocupan o mesmo lugar nunha e noutra matriz.
5
3.3. Produto dun número por unha matriz
Calquera que sexan o número real k e a matriz A = (aij) do conxunto Mmxn, chámase produto de k por A, á matriz B = (bij) da mesma dimensión que A e cuxo termo xenérico é bij = k·aij.
O produto dun número por unha matriz k(aij) obtense ao multiplicar por k cada elemento de A= (aij). Exemplo:
Dada a matriz A =
534
102 de orde 2 x 3, calcular k·A.
k·A = 5·
534
102 =
553545
150525 =
251520
5010
Propiedades do produto dun número por unha matriz
Calquera que sexan as matrices A e B do conxunto Mmxn e os números reais λ e μ, verifícase:
Distributiva respecto da suma de matrices: λ(A + B) = λA + λB
Distributiva respecto da suma de escalares: (λ + μ)A = λA + μA
Asociativa respecto dos escalares: λ(μA) = (λμ)A
Elemento unidade: 1·A = A
3.4. Produto de matrices
Para multiplicar matrices, os matrices factores deben reunir algúns requisitos que se describirán neste apartado.
a) Produto dunha matriz fila por unha matriz columna
Sexan A unha matriz cunha fila e n columnas e B unha matriz con n filas e unha columna:
A = naaa ...21 e B =
nb
b
b
...
2
1
O produto da matriz fila A con n columnas pola matriz columna B con n filas é a matriz C = A·B cunha fila e unha columna; é dicir, un número c = a1·b1 + a2·b2 + ... + an·bn.
Polo tanto, A·B = C = (c) =
n
i
ii ba1
.
Hai que facer notar que, para poder multiplicar A e B, o número de columnas do primeiro factor A debe ser igual ao número de filas do segundo factor B.
6
Exemplo:
Sexan A = 412 unha matriz con unha fila e 3 columnas e B =
1
2
4
unha matriz
con 3 filas e unha columna. Achar a matriz produto.
A·B = 412 ·
1
2
4
= (2·4 + 1·2 + 4·(–1)) = 6
O resultado é unha matriz de orde 1 x 1; polo tanto, un número.
Regra: Obsérvase que para realizar o produto déixase caer a matriz fila A na matriz columna B; multiplícanse os elementos enfrontados e súmanse os resultados. b) Produto de dúas matrices calquera
Sexan A unha matriz do conxunto Mmxn, e B unha matriz do conxunto Mnxp; as columnas de A coinciden coas filas de B (neste caso n).
O produto de matrices A do conxunto Mmxn e B do conxunto Mnxp é outra matriz C do conxunto Mmxp con m filas (as do primeiro factor A) e p columnas (as do segundo factor B), cuxos elementos se calculan así:
O elemento cij da matriz produto C é o resultado de multiplicar a fila i da matriz A pola columna j da matriz B consideradas ambas como matrices fila e columna respectivamente.
A expresión do elemento cij da matriz produto C será:
cij = inii aaa ...21 ·
nj
j
j
b
b
b
...
2
1
= (ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj) =
nk
k
kjik ba1
Exemplo:
Dadas as matrices A =
314
012 e B =
51
24
32
:
a) Indicar a dimensión da matriz produto. b) Calcular A·B. a) A dimensión de A é 2 x 3. A dimensión de B é 3 x 2. Como o número de columnas de A, tres, coincide co de filas de B, as matrices pódense multiplicar e ademais a dimensión da matriz produto é 2 x 2; isto é, número de filas do primeiro factor e número de columnas do segundo factor.
b) As notacións que se empregaron no desenvolvemento do produto de matrices pódense simplificar, mediante a seguinte regra.
7
Regra: Os elementos da matriz produto obtéñense ao deixar caer os elementos das filas da matriz primeiro factor sobre as columnas da matriz segundo factor; multiplicar os elementos que quedaron enfrontados e finalmente sumalos.
A·B =
314
012·
51
24
32
=
532134134124
502132104122 =
2515
48
Propiedades do produto de matrices
O produto de matrices ten as propiedades seguintes:
Propiedade asociativa. Calquera que sexan as matrices A, B, C nos casos que se poidan multiplicar as tres matrices. É dicir, se A é do conxunto Mmxn, ou de dimensión m x n, B é do conxunto Mnxp, ou de dimensión n x p e C é do conxunto Mpxq, ou de dimensión p x q, entón:
(A·B)·C = A·(B·C)
Propiedade distributiva. Dadas as matrices A do conxunto Mmxn, ou de dimensión m x n; B e C do conxunto Mnxp, ou de dimensión n x p cúmprese:
A·(B + C) = A·B + A·C
O produto de matrices non é en xeral conmutativo; é dicir, A·B ≠ B·A.
a) Hai casos nos cales é posible efectuar A·B, e non B·A.
Por exemplo, se A2x3 =
130
321 e B3x1 =
0
1
2
, entón tense:
A2x3·B3x1 =
130
321·
0
1
2
=
011320
031221 =
3
0
Non é posible efectuar B3x1·A2x3; B ten unha columna e A ten dúas filas; ambos os números non coinciden.
b) Nos casos en que é posible efectuar A·B e B·A, non sempre dan o mesmo resultado. Ás veces nin sequera son da mesma dimensión.
Por exemplo, se A2x3 =
420
231 e B3x2 =
51
42
01
, entón tense:
A2x3·B3x2 =
420
231·
51
42
01
=
544200142210
524301122311 =
280
225
B3x2·A2x3 =
51
42
01
·
420
231 =
452125310511
442224320412
402120310011
=
8
=
1871
20142
231
4. Produto de matrices cadradas
O produto de matrices cadradas merece atención especial posto que as matrices cadradas do conxunto Mnxn, ou de orde n, multiplícanse entre si e o resultado é unha matriz do conxunto Mnxn, ou de orde n.
Por exemplo, o produto de dúas matrices de orde dúas é outra matriz de orde dúas, como se indica a continuación:
04
12·
20
13 =
412
46
En canto ás propiedades é evidente que seguen conservando as propiedades asociativa do produto e distributiva do produto respecto da suma, pero débense destacar outras propiedades.
En canto á propiedade conmutativa sempre é posible o dobre produto A·B e B·A, pero en xeral o resultado será diferente, como se indica no exemplo seguinte:
Se A =
20
04 e B =
31
21, entón A·B =
62
84 e B·A =
64
44; obsérvase
que A·B ≠ B·A.
O produto de matrices cadradas posúe elemento unidade e é a matriz identidade In; se A é unha matriz cadrada de orde n, tense:
In·A = A·In
A matriz unidade de orde dúas será: I2 =
10
01.
Potencias de matrices cadradas
Como se viu, o produto de dúas matrices cadradas é outra do mesma orde; isto fai que unha matriz póidase repetir como factor cantas veces precísese, dando lugar ás potencias de matrices, así:
A·A = A2, A·A·A = A3, ..., A·A... n veces ...·A = An A expresión da potencia n-sima dunha matriz débese xustificar para o que se aplica o chamado principio de indución.
Este método emprégase para probar que unha proposición P(n) é certa para todos os números naturais. Procédese en dúas etapas: 1) Verifícase que a proposición que se quere probar é certa para o primeiro número natural. 2) (Fase de indución). Supoñendo que a proposición P(n) é certa para un número natural calquera, demostrarase que tamén o é para o seguinte.
9
Exemplo:
Dada a matriz A =
101
011
001
, determinar e xustificar a expresión de An. A partir da
potencia n-sima calcular A100. Comézase por calcular as primeiras potencias da matriz A.
A2 = A·A =
101
011
001
·
101
011
001
=
102
012
001
A3 = A·A2 =
101
011
001
·
102
012
001
=
103
013
001
Nestas potencias os elementos a21 e a31 coinciden co valor do expoñente da potencia respectiva, polo que enunciase a seguinte regra que dá forma ás potencias deste exemplo:
“Os valores dos elementos a21 e a31 das potencias da matriz A =
101
011
001
coinciden
co valor do expoñente da potencia.”
Regra que se formula: An =
10
01
001
n
n .
Demostración da regra:
A regra cúmprese para n = 1: A1 = A =
101
011
001
.
Supóñase que se cumpre para n = p: Ap =
10
01
001
p
p .
Véxase que se cumpre para o seguinte a p que é p + 1:
Ap+1 = Ap·A =
10
01
001
p
p .
101
011
001
=
101
011
001
p
p
A regra cúmprese, logo a súa formulación foi correcta.
Aplicación: Para n = 100, A100 =
10100
01100
001
.
10
5. Matriz trasposta
Dada unha matriz A do conxunto Mmxn, chámase matriz trasposta de A, e represéntase At, á matriz que resulta de cambiar as filas polas columnas na matriz A.
Da definición dedúcese que se A pertence ao conxunto Mmxn, a súa trasposta At pertence ao conxunto Mnxm.
Por exemplo, a trasposta de A =
842
013 é At =
80
41
23
.
A dimensión de A é 2 x 3 e a dimensión de At é 3 x 2. Propiedades da transposición:
a) A trasposta da trasposta é a matriz inicial: (At)t = A.
b) A matriz trasposta dunha suma é igual á suma das traspostas dos sumandos: (A + B)t = At + Bt
c) Se λ é un número real, entón (λ·A)t = λ·At.
d) A trasposta do produto é igual á trasposta do segundo factor pola trasposta do primeiro factor: (A·B)t = Bt·At.
e) Se A = (aij) é unha matriz simétrica At = A. En efecto, se A é simétrica, cúmprese aij = aji, polo tanto, cámbiase de notación e resulta At = A.
6. Matriz inversa
Dada unha matriz cadrada A de orde n, non sempre existe outra matriz B chamada matriz inversa de A, tal que A·B = B·A= In.
Cando existe a matriz B, dise que é a matriz inversa de A e represéntase A–1; é dicir, A·A–1 = A–1·A = In. As matrices cadradas que teñen inversa chamáselles matrices regulares. As matrices cadradas que non teñen inversa chámanse matrices singulares.
6.1. Cálculo da matriz inversa a partir da definición
Dada a matriz cadrada de orde dúas A =
21
74, vaise calcular a súa inversa.
Trátase de calcular unha matriz
uz
yx que cumpra:
21
74·
uz
yx =
10
01.
Efectúase o produto:
uyzx
uyzx
22
7474 =
10
01.
A igualdade dos dous termos dá lugar aos sistemas:
02
174
zx
zx e
12
074
uy
uy.
As solucións dos sistemas son: x = 2, z = –1, y = –7, u = 4.
A matriz inversa será A–1 =
41
72.
11
6.2. Cálculo da matriz inversa polo método de Gauss
No método de Gauss para o cálculo da matriz inversa de A, cando exista, pártese da matriz (A I In) e mediante as transformacións que se indican a continuación chégase á matriz (In I B); entón a matriz B = A–1 é a inversa de A.
As transformacións que se poden aplicar son as seguintes:
Cambiar as filas de lugar.
Multiplicar unha fila por un número distinto de cero.
Sumar a unha fila outra multiplicada por un número. Exemplo:
Achar a inversa da matriz M =
21
53 e comprobar o resultado.
Engádeselle á matriz M a matriz unidade, así:
(M I I) =
10
01
21
53
FF ª2ª1
01
10
53
21
FF ª13ª2
31
10
10
21
Fª21
31
10
10
21 FF ª22ª1
31
52
10
01
A matriz inversa é M–1 =
31
52.
Comprobación:
21
53·
31
52 =
31
52·
21
53 =
10
01.
6.3. Aplicacións da matriz inversa
As operacións con matrices e en particular o cálculo da matriz inversa permiten resolver situacións problemáticas nas que aparecen matrices.
A continuación desenvolveranse algunhas situacións para cuxa resolución se precisa realizar operacións (calcular a matriz inversa, multiplicar...) das estudadas. Estas situacións chámanse ecuacións matriciais; resólvense cos mesmos principios que as ecuacións con coeficientes e variables de números reais, tendo en conta algunhas das seguintes consideracións:
Algunhas matrices non teñen inversa.
O produto de matrices non é conmutativo; polo que á hora de multiplicar os dous membros dunha igualdade débese ter en conta que a multiplicación se fai ben pola esquerda ou ben pola dereita en ambos os membros da igualdade.
No caso de ecuacións matriciais que se reducen á forma A·X = B ou X·A = B e A ten inversa; a incógnita X calcúlase respectivamente multiplicando pola esquerda ou pola dereita por A–1 os dous membros da igualdade.
Na ecuación A·X = B, multiplícanse pola esquerda os dous membros por A–1:
A–1·(A·X) = A–1·B ⟹ (A–1·A)·X = A–1·B ⟹ I·X = A–1·B ⟹ X = A–1·B
Na ecuación X·A = B, multiplícanse pola dereita os dous membros por A–1:
(X·A)·A–1 = B·A–1 ⟹ X·(A·A–1) = B·A–1 ⟹ X·I = B·A–1 ⟹ X = B·A–1
12
Exemplo:
Resolver a ecuación matricial A·X + B = C onde A =
62
41, B =
13
20 e
C =
52
64.
A·X + B = C ⟹ A·X = C – B ⟹ A–1·(A·X) = A–1·(C – B) ⟹ X = A–1·(C – B)
Calcúlase a inversa de A polo método de Gauss:
10
01
62
41 FF ª12ª2
12
01
20
41 )2(:ª2 F
2
11
01
10
41 FF ª24ª1
2
11
23
10
01
Logo A–1 =
2
11
23 ou A–1 =
2
1
12
46.
Substitúense as variables polos seus valores e opérase:
X =
2
11
23·
13
20
52
64 =
2
11
23·
45
44 =
62
132022
Ás veces o problema consiste en determinar algúns elementos dunha ou varias matrices que figuran nunha ecuación matricial. Exemplo:
Dada a matriz A =
zy
x1, determinar os valores de x, y e z para que se verifique a
igualdade: At·A =
zx
y1·
zy
x1 =
100
010.
Multiplícanse as matrices e iguálanse as matrices dos dous membros:
zx
y1·
zy
x1 =
22
21
zxyzx
yzxy =
100
010
10
0
0
101
22
2
zx
yzx
yzx
y
⟹
10
0
9
22
2
zx
yzx
y
⟹ Da primeira ecuación y = ±3.
Se y = 3 o sistema
10
03
22 zx
zx ten como solucións z = 1, x = –3 e z = –1, x = 3.
Se y = –3 o sistema
10
03
22 zx
zx ten como solucións z = 1, x = 3 e z = –1, x = –3.
13
As ternas (x, y, z) que verifican a ecuación matricial son: (–3, 3, 1), (3, 3, –1), (3, –3, 1) e (–3, –3, –1).
7. As matrices na resolución de problemas
As matrices aparecen con frecuencia nas ciencias que traballan con datos ordenados, como é o caso das Ciencias Físicas, Económicas e Sociais. A continuación preséntanse algunhas situacións nas que as matrices son de utilidade.
7.1. Organización matricial da información
As matrices de información permiten resumir informacións diversas; entre outras poden estar ligadas a grafos. Exemplo:
As cidades A, B, C e D comunícanse mediante liñas de autobuses de ida e volta como se indica no grafo. Expresar este grafo en forma de matriz.
A cada liña do grafo asígnaselle o valor 1, e 0 á falta de comunicación entre cidades. Con estes criterios resulta a matriz de información:
DCBA
D
C
B
A
0202
2011
0101
2110
7.2. Operacións con matrices. Aplicacións
Cando a información atópase disposta en forma matricial, os resultados de operar con matrices poden dar lugar a novas informacións. Exemplo:
Un construtor opera en tres cidades: Madrid, Sevilla e Valencia, e edifica pisos de dous tipos, A e B. O número de pisos construídos de cada tipo en cada cidade nos anos 2007 e 2008 veñen expresados polas matrices seguintes:
BA BA
Valencia
Sevilla
Madrid
43
74
58
Valencia
Sevilla
Madrid
22
44
46
Pídese: a) Calcular os pisos construídos durante os dous anos de cada tipo e en cada cidade. b) Calcular os pisos que debe construír en 2009, para reducir a produción dos construídos en 2008 á metade.
14
c) Cada piso do tipo A leva 5 portas e 9 xanelas e os do tipo B teñen 3 portas e 7 xanelas. Cantas xanelas e portas se utilizaron en cada cidade para cubrir as necesidades das construcións do ano 2008? Sexan P e Q as matrices asociadas ás construcións dos anos 2007 e 2008 respectivamente.
a) A matriz P + Q informa dos pisos construídos entre os dous anos.
P + Q =
43
74
58
+
22
44
46
=
65
118
914
b) A matriz informa dos pisos para construír durante o ano 2009.
2
1·Q =
2
1·
22
44
46
=
11
22
23
c) Disponse en forma matricial os números de portas P e de xanelas X, que precisan os dous modelos de pisos:
XP
B
A
73
95
Para ver as portas e xanelas que se precisan nas construcións realizadas en Madrid durante o ano 2008 é necesario realizar as operacións seguintes:
6·5 + 4·3 = 42 portas 6·9 + 4·7 = 82 xanelas
Estes cálculos pódense realizar para as dúas cidades restantes pero quedan resumidos mediante o produto de matrices:
22
44
46
·
73
95 =
72923252
74943454
74963456
=
3216
6432
8242
7.3. Operacións con matrices asociadas a un grafo
Os resultados dalgunhas operacións entre matrices asociadas a grafos transmiten novas informacións, sobre as situacións que o grafo describe. Exemplo: Ana, Xulio, Nereida e Ramón comunícanse a través de Internet como se indica no seguinte grafo:
Traducir a información do grafo nunha matriz de información G, calcular G2, G3 e G + G2 e en cada cálculo interpretar os resultados. No grafo A representa Ana, X Xulio, N Nereida e R Ramón.
15
A matriz asociada ao grafo ao asignar o número 1 á frecha do que parte ao que chega será a seguinte:
RNXA
R
N
X
A
0101
1001
0001
1100
Desígnase por G a matriz do grafo.
Calcúlase G2 = G·G =
0101
1001
0001
1100
·
0101
1001
0001
1100
=
2101
1201
1100
1102
.
O elemento a11 = 2 da matriz G2 indica que se comunica con A de dúas formas diferentes a través doutro; estas son A – N – A e A – R – A. O elemento a32 = 0 significa que N non pode comunicarse con X a través doutro. O elemento a23 = 1 significa que X pódese comunicar con N a través doutro: X – A – N.
A matriz G3 indica as formas de comunicarse cada persoa con outra a través doutras dúas.
G3 = G·G2 =
0101
1001
0001
1100
.
2101
1201
1100
1102
=
2303
3203
1102
3302
Por exemplo, o elemento a13 = 3 informa que Ana e Nereida pódense comunicar de tres formas a través doutros dous internautas: A – R – A – N, A – N – R – N e A – N – A – N.
A matriz G + G2 informa do número de formas que poden comunicarse cada internauta co resto directamente ou a través doutro.
G + G2 =
0101
1001
0001
1100
+
2101
1201
1100
1102
=
2202
2202
1101
2202