25
Elementos e Mecânica dos Fluídos Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected] Exemplo – No tubo da figura, determinar a vazão em volume e a velocidade na seção ( 2 ), sabendo – se que o fluído é água. Nota: Como o fluido é incompressível, (líquido) então a Equação da Continuidade nos dá: A vazão será: 1 1 1 1 2 1 10 m Q v A Q s cm = × = × 2 4 2 1 10 m cm × 3 3 1 2 2 2 2 2 10 2 5 Q m s ou m Q v A Q s cm = = × = × 2 4 2 1 10 m cm × 3 3 2 10 Q m s = Portanto: 3 3 10 Q m = 3 1000 1 L s m × 1 Q Ls = 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 10 Q Q Q v A v A v A v A ms v v cm A = = × × = × × × = = 2 5 cm 2 2 v ms =

4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

Exemplo – No tubo da figura, determinar a vazão em volume e a velocidade na seção ( 2 ), sabendo – se que o fluído é água. Nota: Como o fluido é incompressível, (líquido) então a Equação da Continuidade nos dá: A vazão será:

1 1 1 121 10mQ v A Q

scm= × ⇒ = ×

2

4 2

110

mcm

× 3 31

22 2 2 2

10

2 5

Q m s

ou

mQ v A Qs

cm

−⇒ =

= × ⇒ = ×2

4 2

110

mcm

× 3 32 10Q m s−⇒ =

Portanto:

33

10Q m−=3

10001

Ls m

× 1Q L s⇒ =

1 2

1 1 2 2

1 12 2

2

21 10

Q Q Q v A

v A v A

v A m sv v cmA

= = ×

× = ×

× ×= ⇒ =

25 cm2 2v m s⇒ =

Page 2: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

Exemplo resolvido 4.1 – Ar escoa num tubo convergente. A área de maior seção do tubo é 220cm e a menor 210cm . A massa específica do ar na seção (1) é 30,12utm m , enquanto na seção (2) é

30,09utm m . Sendo a velocidade na seção (1) 10m s , determinar a velocidade na seção (2) e a vazão em massa. Nota: Trata-se de fluído compressível, 1 2ρ ≠ ρ e a Equação da Continuidade nos dá 1 2m mQ Q= .

1 2

1 1 1 2 2 2

1 1 12 2

2 2

0,12

m m m

ut

Q Q Q v A

v A v A

v Av vA

m

= = ρ× ×

ρ × × = ρ × ×

ρ × ×= ⇒ =

ρ ×

3m210 20m

scm× ×

0,09 utm3m

210 cm×2

1 1 31

26,67

0,12m m

v m s

utmQ v Am

Q

⇒ =

= ρ × × ⇒ = 10 m× 220

scm×

21m×

4 210 cm

2 2 3

3

2

2,4 10

0,09

m

m m

Q utm s

ou

utmQ Am

v Q

−⇒ = ×

= ρ × × ⇒ = 26,67 m× 210

scm×

21m×

4 210 cm32,4 10mQ utm s−⇒ = ×

Page 3: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

Exemplo resolvido 4.2 – Um tubo admite água ( )3100utm mρ = , num reservatório com uma vazão de

20L s . No mesmo reservatório é trazido óleo ( )380utm mρ = por outro tubo com a vazão de 10L s .

A mistura homogênea formada é descarregada por um tubo cuja seção tem uma área de 230cm . Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma. Pela Equação da Continuidade:

1 2 3

1 1 2 2 3 3

m m m mQ Q Q Q Q

Q Q Q

+ = = ρ×

ρ × + ρ × = ρ ×

Como os fluídos admitidos são incompressíveis, além de ser válida a Equação da Continuidade, vale a relação:

3 1 2 3 320 10 30L LQ Q Q Q Q L ss s

= + ⇒ = + ⇒ =

Logo:

3 31 1 2 2

1 1 2 2 3 3 3 33

33 3

3 3

100 20 80 10

30

28002000 800

30

utm L utm LQ Q m s m sQ Q Q LQ

sutmutm L utm Lmm s m

Ls

Ls

× + ×ρ × + ρ ×ρ × + ρ × = ρ × ⇒ ρ = ⇒ ρ = ⇒

×× + ×ρ = ⇒ ρ = s

30 Ls

33

33 3

3

93,3

30

utm m

Qv v

L

A

⇒ ρ =

= ⇒ =

31s

1

1000 L230 cm

21m×

4 210 cm

3 10v m s⇒ =

Page 4: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

Exemplo resolvido 4.5 – No dispositivo da figura, o pistão desloca-se 0,5m e o trabalho realizado nesse deslocamento é 50kgf m× . Supõe-se que não haja perda de pressão entre a saída da bomba e a face do pistão. Determinar:

a) A potência fornecida ao fluído pela bomba; b) A vazão em L s ; c) A pressão na face do pistão.

500,5

0,5

W kgf mS mt s

= ×==

???

NQP

===

2

50 1000,5

50pd

W kgf mN N N kg

c

f m st s

A SVQ Q Qt t

m

×= ⇒ = ⇒ = ×

×= ⇒ = ⇒ =

2

4 2

110

mcm

× 0,5×

0,5

m3 35 10

100

Q m ss

N kgfN P Q P P mQ

−⇒ = ×

×= × ⇒ = ⇒ =

s3 35 10 m−×

1s

2 220.000 2kgf kgfP ou Pm cm

⇒ = =

Page 5: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.1 – Ar escoa por um tubo de seção constante de diâmetro 5cm . Numa seção (1) a massa específica é 30,12utm m e a sua velocidade é de 20m s . Sabendo-se que o regime é permanente e que o

escoamento é isotérmico, determinar:

a) A velocidade do gás na seção (2), sabendo que a pressão na seção (1) é 21kgf cm (abs) e na

seção (2) é 20,8kgf cm (abs); b) A vazão em massa; c) A vazão em volume em (1) e (2).

Nota: O fluído é gás, portanto, não pode ser caculada a vazão em volume.

31

1

0,1220

utm mv m sρ =

=

( )( )

22

1

22

) v ?

1

0,8

a

P kgf cm abs

P kgf cm abs

=

=

=

1 12 2

2

1P vv vg

Pk f×

= ⇒ =2cm 20

0,8

m s

kgf

×2cm

2 25v m s⇒ =

1 1 1 1 1

3

)

0,12

m

m

b Q Q v A

utQm

m

= ρ × = ρ × ×

= 20 m×

0,05 m

s

π××

( )2

34,71 104 mQ utm s−⇒ = ×

( )

( )

12

3 31 1 1 1 1

23 3

2 2 2 1 1

) ?

0,0520 39,27 10

40,05

25 49,09 104

c Q

mmQ v A Q Q m ss

mmQ v A Q Q m ss

=

π×= × ⇒ = × ⇒ = ×

π×= × ⇒ = × ⇒ = ×

1 2

1 2

A At t

⇒ = ⇒

=1 1 2 2

1 12

2

P v P vP vv

P

× = ×

×=

1 1 2 2

Escoamento isotérmico Pv ctep v p v

⇒ =∴ =

2

1 11

) ?d

Av

ρ =

ρ × × 2 22 v A= ρ × ×3

1 12 2

2

0,12 20utmv m

v

ρ ×⇒ ρ = ⇒ ρ = s

25 m s3

2

3

2 2 2 2 22 2

0,096

4,71 10mm

utm m

ou

Q utmQ v Av A

s−

⇒ ρ =

×= ρ × × ⇒ ρ = ⇒ ρ =

×25 m

s( )

322 0,096

0,054

utm mm

⇒ ρ =π×

×

Page 6: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.2 – Os reservatórios I e II da figura são cúbicos e enchidos pelos tubos respectivamente em 100 e 500 s. Determinar a velocidade da água na seção “A” indicada, sabendo – se que o diâmetro é 1 m.

3

10 10 10

1000II

II

V m m m

V m

= × ×

=

3

5 5 5

125I

I

V m m m

V m

= × ×

=

entrada saída

3 3

3 3

3

125 1000100 500

1,25 2

3,25

A I II

I IIA

I II

A

A

A

Q Q

Q Q QV VQt t

m mQs sm mQ

s sQ m s

=

= +

= +Δ Δ

= +

= +

=

33,25A

A

Qv vA

m= ⇒ =

20,7853 ms

4,13v m s=

( )22

2

14 4

0,7853

A A

A

mDA A

A m

π×π×= ⇒ =

=

Page 7: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.4 – Um propulsor a jato queima 0,1utm s de combustível quando o avião voa a velocidade de 200m s . Sendo dados:

30,12ar utm mρ = ; 30,05m utm mρ = , na seção (2); 2

1 0,3A m= e 22 0,2A m= .

Determinar a velocidade dos gases queimados ( )mv na seção de saída.

( ) ( )

1 3 2

1 1 3 3 2 2

1 1 1 2 2 20,1

200

m m mQ Q QQ Q Q

utmv A v A

m

s

+ =

×ρ + ×ρ = ×ρ

× ×ρ + = × ×ρ

20,3s

m× 23 20,12 0,1 0,2 mutm v

smutm⎛ ⎞

× + = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 3

0,05 utm

m× 1

2

2

7,2 0,1 0,01

7,3

utm utm utmvs s m

v utm

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = ×

=0,01

sutm

2 730

m

v m s=

Page 8: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.7 – O tanque da figura pode ser enchido pela água que entra pela válvula A em 5h., pela que entra por B em 3h. e pode ser esvaziado (quando totalmente cheio) pela válvula C em 4h. (supondo vazão constante). Abrindo todas as válvulas (A,B,C,D) ao mesmo tempo o tanque matem-se totalmente cheio. Determinar a área da seção de D se o jato de água deve atingir o ponto O da figura. Dado: 210g m s= .

0 0 0

3 3 3

3

Lembrar:

Pela equação da continuidade:

30 30 305 3 4

8,5

A B C D

D

D

Q v A

Q Q Q Q

m m m Qh h h

Q m h

= ×

+ + = +

+ = +

=

}0

0

0

0

movimento da gota: na horizantal: MRU

na vertical: MRUV (queda livre)=

⇒= + ×

= + ×

D

t

D

X x v t

Y y v t 2

2

0

12

10 5 0 10 12

em "X":

10 0 1

10

− ×

= + − × ⇒ =

= + ×

= + ×

=

D f

D

D

g t

t t s

X x v t

v

v m s

3

Assim:

8,5

D D D

DD

D

D

Q v AQA

A

m

v

= ×

=

=

2

h1h

×3600 s

10 ms

4 2

2

2,361 10

2,361

D

D

A m

ou

A cm

−= ×

=

Page 9: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.8 – Sabendo-se que num conduto de seção circular o diagrama de velocidade é parabólico dado pela

equação 2

máx 1 rv vR

⎡ ⎤⎛ ⎞= = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

, onde v é uma velocidade genérica, máxv é a velocidade no eixo do

conduto, r é um raio genérico e R é o raio do conduto. Calcular a velocidade média na seção

(escoamento laminar). Sabe-se que: m1v v dAA

= × ∫ .

( )

2

máx2

máx

1 1 1 2

2

rA A

rv v dA v v r drA R R

vv

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= × ⇒ = × − × π× × ⇒⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟π× ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣

⎦⎩ ⎭

×

∫ ∫

π

( )

2 2máx22

0

33máx máx

2 2 2 20 0 0

2 4máx2 2

0 0

21 1

2 2 1

22 4

R

A

R R R

R R

vr rr dr v r drR R RR

v vr drv r dr v r dr r drR R R R

v r rvR R

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − × × ⇒ = × − × ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟× ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞×= × × − ⇒ = × × − × × ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ ∫

2 2má

á2

x2

m x

22 4

2

RR

vR

v Rv

v

⎛ ⎞⇒ = × − ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠

=2R

× máx

4 2vv⇒ =

Page 10: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.9 – Sabe-se que num conduto de seção circular o diagrama de velocidade é exponencial dado pela

equação: 1 7

max 1 rv vR

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, onde v é a velocidade genérica, maxv é a velocidade no eixo do conduto, r é

um raio genérico, R é o raio do conduto. Calcular a velocidade média na seção (escoamento turbulento).

Sabe-se que: 1

mv v dAA

= ×∫ .

2

2 (ver exercício 4.8) (ver exercício 4.8)

dA r drA R

= π× ×

= π×

1 7

max20

21 1 1 2R rv v dA v v r dr v

A R R⎛ ⎞= × ⇒ = − × π× × ⇒ =⎜⎝ ⎠

π⎟π×∫ ∫ maxv×

π

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 7

20

1 7 1 7max max2 1 7 15 7

0 0

1 7max max15 7 15 7

0

1 7 8 7 8 7 1 7 8 7 1 7

0 0 0 0

1

2 2

note:

2 2

7

R

R R

R

R R R R

R r r drRR

v vv R r r dr v R r r drR R R

R r tr R tdr dt

v vv t R t dt v IR R

I Rt t dt I t Rt dt I t dt R t dt

tI

−⎛ ⎞× × × ⇒⎜ ⎟× ⎝ ⎠

= × − × × ⇒ = × − × ××

− == −= −

= × × − × − ⇒ = ×

= − × − ⇒ = − × ⇒ = − ⇒

=

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )15 7 8 75 7 8 7

0 0 0 0

15 7 8 7 15 7 15 7 15 7 15 7

15 7 15 7

7 715 8 15 8

8 157 0 0 7 715 8 15 8 120

7 497120

R RR R R r R rtR I R

R R R R R RI R I I

R RI I

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⇒ = × − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− += × − − − ⇒ = × − + ⇒ = × ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤

= × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦

max15 7

1

2

20

2vv I vR

= × ⇒ =1

max15 7

vR

15 749 R×

120max

60

4960vv⇒ =

Page 11: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.10 – No sistema da figura, sabe-se que na seção (1) de área 30 cm2 (circular), o escoamento é laminar. As velocidades dos pistões são indicadas na figura. Qual a vazão em kg/s no retorno, se 310.000 N mγ = ?

Dado: 210g m s= .

max1 1 1 1

12

26 30

2

vQ v A A

cm sQ m

= × ⇒ ×

= ×2

4 2

110

mcm

×

3 31

1

9 10

9

Q m souQ l s

−= ×

=

2 2 2

223 10

Q v A

Q m s cm

= ×

= ×2

4 2

110

mcm

×

3 32

2

3 10

3

Q m souQ l s

−= ×

=

3 3 3

322 20

Q v A

Q m s cm

= ×

= ×2

4 2

110

mcm

×

3 33

3

4 10

4

Q m souQ l s

−= ×

=

4 4 4

421 30

Q v A

Q m s cm

= ×

= ×2

4 2

110

mcm

×

3 34

4

3 10

3

Q m souQ l s

−= ×

=

310.000

MR R

MR R

MR

Q Q

Q Q

NQ m

g

= ρ×γ

= ×

=210m s

1

335 10 m−× ×

s

5 5MR MRN s kgQ Q

mm× ×

= ⇒ =2s

1s

×m

5MRQ kg s=

entrada saída

1 2 3 4

3 3

9 3 4 3

5

5 10

R

Q Q

R

R

R

Q Q Q Q Q

Q

Q l souQ m s−

+ = + +

∑ ∑+ = + +

=

= ×

123 1442443

entrada saída

1 2 3 4 R

Q Q

Q Q Q Q Q+ = + +

∑ ∑123 1442443

Page 12: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.11 – No circuito hidráulico abaixo, que opera com óleo de peso específico 38000N m , há um vazamento. Determinar a despesa diária do óleo vazado, sabendo – se que seu custo é US$ 0,10/ kg. Dados: 2,5Av m s= ; 240AA cm= ; 2,1Bv m s= ; 245BA cm= ; 210g m s= .

( )1 .

1

1

49 turbulento6049 6604,9

máxv v

v m s

v m s

= ×

= ×

=

3

2

800010

8000

Nm

m

mgg s

kg

γγ = ρ× ⇒ ρ = ⇒ ρ =

×

ρ =23m s×

10 m 2s3800kg m⇒ ρ =

( ) ( ) ( )

1 .

1 1 .

1 1 1 .

4 2 4 2 4 2.3 3 3

.

4,9 40 10 800 2,5 40 10 800 2,1 45 10 800

15,68 8 7,56

m mA mB m vaz

A A B B m vaz

A A A B B B m vaz

m vaz

m vaz

Q Q Q Q

Q Q Q Q

v A v A v A Q

m kg m kg m kgm m m Qs m s m s mkg kg kg Qs s s

Q

− − −

= + +

×ρ = ×ρ + ×ρ +

× ×ρ = × ×ρ + × ×ρ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × × = × × × + × × × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + +

. 0,12

Despesa 0,12

m vaz kg

g

s

k

=

=s

$0,10USkg

×3600 s

×1h

24 h×

dia

Despesa 1036,8 $ diaUS=

Page 13: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.12 – Determinar o tipo de escoamento na seção (3). Dados:

1Re 5714= ; 2Re 8929= ; 5 28,4 10 m sυ −= × .

Obs: Re HD vυ×

= e 4 4H HAD Rp

= × = .

Onde:

raio hidráulico seção transversal molhada perímetro da seção em

contato com o fluído

HRAp

=

==

( )( )

1 11

11

1

1

SEÇÃO RETANGULAR

0,2 0

2

,3

1 0,2 0,3

1

Re

4 42

2

2 200 300

200 300

0,12

H

H

H

m m

H m m

H

v D

A a bDp a b

abD

a b

mm mm

D

mm m

D m

m

υ×

=

×= × = ×

× +

×=

+

⎛ ⎞⎜ ⎟× ×⎜ ⎟⎝ ⎠=

+

=

1442443

64748 64748

64748 64748

1

0,5 m

1

1 1 11 1

2

1

5

1

0,24

ReRe

5714 8,4 10

H

H

H

D m

v D vD

v m

υυ

=

× ×= ⇒ =

× ×=

1

0,24s

m

1 1

1 1 1

0,2 0,3

1

1 31

1 31

1,99 2,0

1,99 200 300

1,19 10

1,2 10

m m

v m s v m s

Q v A

mQ mm mms

Q m s

Q m s

= ⇒ ≅

= ×

⎛ ⎞⎜ ⎟= × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

= ×

≅ ×

64748 64748

( )

22

221

21 2

2

Re

44

4

4

H

H

H

v D

DADp D

D

υ×

=

π×= × = ×

π×

= ×π 2D× ( )2

41

×π 2D×

2 2

SEÇÃO CIRCULAR

2

2

22

22

2

5 2

2

250

0,25

Re

Re

8929 8,4 10

H

H

H

H

H

D D

D mm

D m

v D

vD

v m

υυ

=

=

=

×=

×=

× ×=

14243

1

0,25s

m

( )

( )

2

2 2 22

22

2

2

1 32

3,00

3,0040,25

3,004

1,47 10

v m s

Q v A

DmQs

mmQs

Q m s−

=

= ×

π×= ×

π×= ×

≅ ×

( )

3 1 23

13

1 33

3

3 33

1 33

33

0,55 0,55

1 3

3

Equação da continuidade(fluído incompressível)

1,2 1,47 10

2,67 10

Re ?

Re

2,67 10550 550

2,67 10

H

m m

Q Q Q

mQs

Q m s

D v

Q m svA mm

m

mm

v

υ

= +

= + ×

= ×

=

×=

×= =

×

×=

14243 14243

1

20,3025 ms

3

33

3

0,883

44H

v m s

ADp

=

= × =x

×l l

4 × l

3

SEÇÃO QUADRADA

3

3 33

3

0,55

Re

0,55Re

H

H

H

D

D m

D v

=

=

×=

=

l14243

0,883 m× s5 28,4 10 m−× s

3Re 5781,6

turbulento

= ∴

Page 14: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.13 – Com o registro “R” inicialmente fechado, o nível do reservatório apresenta uma variação 10h cmΔ = num intervalo de tempo de 10s . A partir deste instante, o registro é aberto, permanecendo

constante o nível do reservatório. Pede-se: a) O diâmetro da seção

transversal do tubo que abastece o tanque, sabendo-se que na mesma a velocidade máxima é 4m s e o escoamento é turbulento;

b) Após o nível constante, qual o alcance “X” do jato;

c) Regime de escoamento no tubo de saída dado 6 210 m sυ −= ;

d) Diâmetro do tubo se o regime for laminar.

2

2

) ?

44

4

t

t

t

a DtQ v A

DQ v

Q v D

QDv

== ×

π×= ×

= × π×

=× π

( )

1

2

3

7

3

1

49 turbulento6049 4603,267

0,10 0,64110

0,00641

4

4 0,00641

m máx

m máx

m

m

tq

t

t

rv vR

v v

v m s

m s

h AVQt t

m mQs

Q m

m

s

QDv

D

ν

⎛ ⎞= − ∴⎜ ⎟⎝ ⎠

= ×

= ×

=

Δ ×= =

×=

=

=× π

×=

2s

3,267 m s

0,05 5t tD m ou D cm

× π

≅ ≅

( )

2

3 3

2

) ?4

0,00641 0,006410,025

4

Q Qb X Q v A v vA D

m sv v mm

= = × ⇒ = ⇒ =π×

= ⇒ =π×

1

4 24,909 10 ms

−×

20

13,058

na vertical:12

0 1,25

v m s

Y y t g t

m t

ν

ν

⇒ =

= + × − ×

= + ×{0

22

0

2

1 102

0 1,25 5

1,25

t

m ts

t

mt

=

− × ×

= −

=5 m 2 0,5t s

s⇒ =

0

na horizontal:

0 13,058

X x tmXs

ν= + ×

= + 0,5 s×

6,529X m=

6 2

) Regime ?0,025 13,06Re

10

Re 32.6500 Re 4000 regime turbulento

cD D m m s

m sν ν

υ −

=× ×ρ × ×

= = =μ

= ∴ > ⇒

( )

( )2

2

2

2

2

) Regime laminar Re 2000ReRe .1

Laminar Re 20004 .2

4Substituindo 2 em 1:

Re Re Re44 4

dD v D eq

v

D QQ v A Q

D

v v eqD

DD D QQ QD

υυ

υ υ υ

≤× ×

= ⇒ =

π×= × ⇒ = × ⇒ =

π×

× × × π× × × π×= ⇒ = ⇒ =

π×

1

D

34 4 0,00641Re

mQDυ

×= =

× π×

1s

262000 10 m−× π× s4,08D m⇒ =

Page 15: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.14 – Dados: fluídos ideais. Seção (1): 2

1 10A cm= ; 31 10kN mγ =

Seção (2): 22 20A cm= ; 2 0,25v m s= ; 2 ? (S.I.)ρ =

Seção (3): 23 30A cm= ; 3

3 9,5kN mγ = ; 3 ? (S.I.)mQ = .

( )

1 2 3

1 1 1

1

1 1

1 1 1

4 21

3 31

2 2 2

4 22

3 32

3 1 2

33

3

Equação da continuidade(fluído ideal)Q

escoamento laminar2

2 12

1 10 10

1,0 10

0,25 20 10

0,5 10

1 10 0,5 10

máx

Q QQ v A

vv

m sv v m s

Q v AmQ ms

Q m s

Q v AmQ ms

Q m s

Q Q Q

mQs

+ =

= ×

=

= ⇒ =

= ×

= × ×

= ×

= ×

= × ×

= ×

= +

= × + ×3

3

3 33 1,5 10

ms

Q m s

−= ×

3 3

33

3

3 2

3

3 2

33

3 3 3

33

3

9,510

950010

950

1,5 10

m

m

g

gkN mm s

N mm s

kg

Q Q

m

m

Q −

γ = ρ ×

γρ =

ρ =

ρ =

ρ =

= ×ρ

= ×3

950 kgs m

×

3

1 1

31

3

1 2

3

1 2

31

1,425

1010

10.00010

1000

mQ kg s

g

gkN mm s

N mm s

kg m

=

γ = ρ ×

γρ =

ρ =

ρ =

ρ =

1 2 3

1 1

33

1

1 1,0 10

m m m

m

m

Q Q QQ Q

mQ −

+ =

= ×ρ

= ×3

1000 kgs m

×

1

33

2 2

3

2 3 13

32

2

1,0

0,5 10

1,425

0,5 10 1,425 1,0

0,425

m

m

m

m m m

Q kg s

mQs

Q kg s

Q Q Q

m kg kgs s s

k sg

=

= × ×ρ

=

= −

× ×ρ = −

ρ = 3 30,5 10 sm−×3

2 850kg mρ =

Page 16: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.15 – O tanque maior da figura abaixo permanece a nível constante. O escoamento na calha tem uma seção constante transversal quadrada e é bidimensional obedecendo a equação 23v y= . Sabendo que o

tanque “B” tem 31m e é totalmente preenchido em 5 segundos e o conduto circular tem 30 cm de diâmetro, pede-se:

a) Qual a velocidade média na calha quadrada? b) Qual a vazão no conduto circular de 30 cm de diâmetro? c) Qual a velocidade máxima na seção do conduto circular de 30 cm de diâmetro? d) Qual o tipo de escoamento no conduto circular de 30 cm de diâmetro?

( ) ( )

2

2

13

0

3 3

) da calha quadrada1

1 3 11 1

3 1

33

3 1 3 03 3

1

média

calha

calha

calha

calha

calha

calha

a v

v v dAA

v y dy

v y dy

yv

v

v m s

= ×

= ××

= ×

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

∫∫

30

30

3

3

2

3

30

30

3 3

30

30

) ?

Equação da continuidade(fluído incompressível)Q

15

0,2

1 1

1

Q

Q

Q 1 0,2

Q 0,8

cm

calha cm B

BB

B

B

calha calha calha

calha

calha

calha cm B

cm calha B

cm

cm

b Q

Q Q

V mQt s

Q m s

Q v AmQ ms

Q m s

Q Q

Q Q

m ms s

m

φ

φ

φ

φ

φ

φ

=

= +

= =

=

= ×

= ×

=

= +

= −

= −

= 3 s

( )

30 30 30

3030

30

3

30 2

2

30

3

3

30

) no conduto30 0,315 0,15

Q

Q

0,8

0,80,15

0,8

média

cm cm cm

cmcm

cm

cm

cm

cm

c vcm m

r cm m

v A

vA

m svr

m

m svm

v

φ φ φ

φφ

φ

φ

φ

φ

φ = == =

= ×

=

=π×

=π×

=1

20,0225smπ×

30 11,32cmv m sφ =

) Tipo de escoamento

0,30Re

d

Dm

vυ×

= =11,32 m

×s

2610 m− s

63,396Re Re 3.396.00010

Re 4000 turbulento

−= ⇒ =

∴ > ⇒

Page 17: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.16 – No sistema da figura a água é descarregada do cilindro e percorre uma distância 19,8a m= ,

caindo de uma altura 20,5b m= . Durante o processo que dura 6,0min. , no tanque A que tem 20,5m

de base, o nível de água sofre um desvio de ( )27cm hΔ . Calcular:

a) Velocidade da água na saída do cilindro 3v ; b) Velocidade do pistão vp e o sentido do seu movimento.

Dados: 330 ; 1Dp cm D cm= = .

24 30,27 0,5 3,75 10

360baseh AV m mQ Q m s

t t s−Δ × ×

= = = ⇒ = ×

3

20

) ?Queda Livre

na vertical:12

0 20,5

a v

b b v t g t

v t

=

= + × − ×

= + ×{0

2

0

2

1 102

0 20,5 5

20,5 2,0245

t

t

t

t t s

=

− × ×

= −

= ⇒ =

2

27 0,270,5

h cm mbase mΔ = =

= 3

30 0,31 0,01

Dp cm mD cm m

= == =

6,0min 360s=

0

3

na horizontal

19,8 0 2,0219,82,024

9,78

a a v tv

v

v v m s

= + ×

= + ×

=

= =

( )2

3 3 3 3

4 33

3 3

3

3 34 4

4 3

4 3

) ?

0,019,78

47,681 10

:

3,75 10 7,681 10

3,931 10 pistão descendo

vp

3,931 10

p p

p

p

p

pp p

p

b vp

mmQ v A Qs

Q m s

Logo Q Q Q Q Q Q

Q Q Q

m mQs s

Q m s

QQ A vp

m

A

vp

− −

=

π×= × ⇒ = ×

= ×

= + ⇒ = −

= −

= × − ×

= − × ⇒

= × ⇒ =

− ×=

1

0,3

s

mπ× ( )2 0,00556

4

vp m s⇒ = −

Page 18: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.17 – Dois gases de massas específicas diferentes 31,2A kg mρ = e 30,95B kg mρ = encontram-se

em um cilindro onde formam uma mistura homogênea. O pistão de diâmetro 18,5PD cm= se movimenta

para baixo com velocidade de 1,6cm s e a mistura resultante sai do cilindro com velocidade

12,5Cv m s= . Calcular:

a) Velocidade Bv ; b) Massa específica da mistura de gases.

Dados: 25Av m s= ; 1,5AD cm= ; 16,5mBQ kg h= ; 2,5BD cm= ; 2,0CD cm=

( ) ( ) ( )( )2

3

Equação da continuidade(fluído compresível)

1,2 25 16,54

mA mB mP mC

A A A mB P P P C C C

A

Q Q Q Qv A Q v A v A

Dk mh

g kgm s

+ + =

ρ × × + + ρ × × = ρ × ×

⎛ ⎞π×⎜ ⎟× × +⎜ ⎟⎝ ⎠

1h×

( ) ( )

2

2 2

0,016 12,53600 4 4

30

P CC C

D Dm ms s s

kgm

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ π× π×⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0,015

s

mπ××

×

( ) ( ) ( )2 2 2

3

3 33 3 4 3

33

0,185 0,024,58 10 0,016 12,5

4 4 4

5,30 10 4,58 10 4,30 10 3,93 10

3,93 10 4,30

C C

C C

C C

m mkg m ms s s

kg kg m ms s s s

ms

− − − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞π× π×⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ × + ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + × + ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ρ × × − ρ × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

34 3

33 3

3

10 9,88 10

3,5 10 9,88 10

9,88 10

C

C

m kgs s

m kgs skg s

− −

− −

⎛ ⎞= ×⎜ ⎟

⎝ ⎠

ρ × × = ×

×ρ = 3 33,5 10 sm−×

32,82C kg m⇒ ρ =

) ?

16,5

B

B B B

mB B B

mBB

B

B

a v

Q v AQ Q

QQ

kQ

g

=

= ×

= ×ρ

=0,95

hkg 3

3

3 3

17,37

4,82 10

B

B

m

Q m hou

Q m s−

=

= ×

( )

( )

3 3

2

3 3

2

4,82 10

44,82 10

0,0254

9,82

BB

B

B

m svD

m svm

v m s

×=

π×

×=

π×

=

Page 19: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.18 – Sabendo –se que a seção transversal (I) é quadrada e que 20Iv m s= , determinar o valor do lado

dessa seção, assim como o tipo de escoamento na mesma, considerando 210g m s= e 6 210 m sυ −= . O jato que sai da seção circular (II), de diâmetro 10cm , chega ao ponto “O” marcado na figura e o jato que sai da tubulação (III) enche o reservatório de dimensões conhecidas em 100 segundos. Dados: 0 45y m= ; ( )0 6x m= π ; 20,15BaseA m= ; 2H m= .

( )

( )

2

3

3

3

2

2

0

0,15 2

0,3

0,31000,003

4

0,14

na horizontal

6 0

6

IIIIII

III

III Base

III

III

III

III

II II II

IIII

II

II

II

II

VQt

V A H

V m m

V m

mQs

Q m s

Q v A

DA

mA

x x v tv t

vt

=

= ×

= ×

=

=

=

= ×

π×=

π×=

= + ×

π = + ×

π=

20 0

0

na vertical12

45 0

II

II

y y v t gt

m v t

= + × +

= + ×

0 0

2

2

12

1 2 45452

9 36 6

32

2

t

II

II

II

gt

mgt m tg

t t s

vt s

v m s

Q

=

+

×= ⇒ =

= ⇒ =π π

= =

π=

678

m s ×π ( )2

3

3

0,14

0,005

Equação da continuidade(fluído incompressível)

0,005 0,003

0,008

II

I II III

I

I

m

Q m s

Q Q QQ

Q m s

×

=

= +

= +

=

30,008

I I I

II

I

Q v A

QAv

m

= ×

= =2

s20 m s

2

2

2

3

3

0,0004

0,0004

0,

4

02

Re

4

I

I I

H I

H

H

A m

A A

m

m

D v

ADp

D

υ

=

= ⇒ =

=

=

×=

= ×

=

l l

l

l

x×l l

4 × l

seção quadrada

0,02Re

H

m

D =

=

l123

20 m× s2610 m− s

Re 400.000

escoamento turbulento

= ∴

Page 20: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.19 – O escoamento na seção A é turbulento. Após a seção A o fluído abastece 3 reservatórios como é mostrado na figura. A velocidade no eixo da seção A é conhecida. Os reservatórios I, II, e III são abastecidos respectivamente pelos tubos B, C e D. O reservatório I é abastecido em 100 segundos. O reservatório II é abastecido em 500 segundos, sendo o escoamento no tubo C laminar. O reservatório II é cúbico de aresta 4m. Determinar:

a) A vazão em volume na seção A; b) A vazão em massa no tubo C; c) A velocidade do fluxo no eixo do tubo C; d) A vazão em volume no tubo D

Dados: 39000N mγ = ; 210g m s= ; A 30 4,9eixov m s= ; ( )100 2AD cm= π ;

800CD cm= π .

)4960

49

A A A

A máx

A

a Q v A

v v

v

= ×

= ×

=10

602

30×

1

4,9

( )

( )( )

1

2

2

5

4

100 2

4

A

AA

A

A

m s

v m s

DA

cmA

A

=

π×=

π× π=

=π 410 2× × π( ) 2

2

4

5000A

cm

A cm=2

4 2

110

mcm

×

2

2

3

0,5

5 0,5

2,5

A

A A A

A

A

A m

Q v A

Q m s m

Q m s

=

= ×

= ×

=

3

1,6

mC C

mC C

mC

Q Q

Q Qg

Q m

= ×ρ

γ= ×

=39000

sN m

×210m s

( )

( )2

2

1440

) ?

laminar22

4800

4

mC

máx

máxc

máx C

CC

C

CC

C

C

N s KgQm s

c vvv

v vQvA

DA

cmA

A

× ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=

= ×

=

π×=

⎛ ⎞π× ⎜ ⎟π⎝ ⎠=

464 10××

π

4 2

2

4

16 10C

cm

mA c= ×2

4 2

110

mcm

×

216CA m=3

) ?

4 8 25500

1,6

mC

mC C

CC

C

C

C

b QQ Q

VQtm m mQ

sQ m s

=

= ×ρ

=

× ×=

=

31,6

CC

C

C

QvA

v m

=

=1

216s

m

3

3

0,1

22 0,1

0,2

) ?

4 4 5100

0,8

2,5 0,8 1,6

0,1

C

máx C

máx

máx

D

BB

B

B

B

A B C D

D A B C

D

D

v m s

v vv m s

v m s

d QVQtm m mQ

sQ m s

Q Q Q QQ Q Q QQ

Q m s

=

= ×

= ×

=

=

=

× ×=

=

= + +

= − −

= − −

=

Page 21: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.20 – No tanque 2 que fica cheio em 60min. , será feita uma diluição de suco concentrado, com água. Considerando que o tanque 1 tem nível constante, calcule a vazão de água no vazamento indicado na figura. Dados: tanque 2 12.000V litros= ; Suco: 1,5mSQ kg s= ; 31.200S kg mρ =

Água: 38Q m h= ; 310BQ m h= ; 2

31.000H O kg mρ =

1,5

mS S mS

mSS

mS

S

Q QQ

kg

Q

Q

= ×ρ

= s3600 s

×1

1.200h

kg 3

3

22

2

2

4,5

12.000

S

TqTq

Tq

Tq

m

Q m h

VQ

t

QL

=

=

=

311000

mL

×

60min.60 n

1mi .h

×

32 12TqQ m h=

2

2

2

2

Tq2

2

3 3

3

A

A3 3

3

Equação da continuidade(fluído incompressível)Q

12 4,5

7,5

para nível constanteQ

Q

10 8

2

H O S

H O Tq S

H O

H O

reciclo Bomba

reciclo Bomba

reciclo

reciclo

Q Q

Q Q Q

m mQh h

Q m h

Q QQ Q

m mQh h

Q m h

= +

= −

= −

=

+ =

= −

= −

=

2

2

3

3

3

3

3

3

Se 2

e 10 ,então concluímos que:

8

se 8e 7,5

concluímos que:vazamento

vazamento 0,5

reciclo

Bomba

Bomba reciclo

H O

H O

Q m h

Q m h

Q Q Q

Q m h

Q m hQ m h

Q Q

m h

=

=

= −

=

=

=

= −

=

Page 22: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.21 – A figura apresenta dois tubos concêntricos de raios 1 3R cm= e 2 4R cm= , dentro dos quais passa

óleo em sentidos contrários. O fluxo do tubo interno obedece a equação: 2

0 1 rv vR

⎡ ⎤⎛ ⎞= × −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. Esse fluxo

divide-se em 2Q , 3Q e no fluxo de retorno RQ , no tubo maior. O peso específico do óleo é 3800kgf m e

a leitura da balança é 14,4kgf em 60 segundos. O pistão desloca-se com uma velocidade de 3,8cm s e

tem uma área de 278,5cm . A velocidade no eixo do tubo de entrada é 0 2,3v m s= . Pede-se determinar:

a) A vazão 1Q em litros por segundo, no tubo interno;

b) A vazão RQ de retorno; c) A velocidade média no tubo de retorno.

( )

( )

1

21 1 1 1

1

31

3

1

2

Vazão em litros por segundo1,15

1,15 0,03

3,25 10

a QmQ v A Q R

s

sm

mQ m

Q −

⎡ ⎤= × ⇒ = × π×⎣ ⎦

⎡ ⎤= × π×⎣ ⎦

= ×3

10001

Ls m

× 1 3,25 LQs

⇒ =

Velocidade de retorno

2,65R

R R R R RR

c

QQ v A v v

L

A= × ⇒ = ⇒ =

31s

1

1000 L3 22,199 10 m−×

1,205Rv m s⇒ ≅

20

0

1

Escoamento Laminar

12

3

vrv v

cR m

vR

⎡ ⎤⎛ ⎞= × − ⇒ ∴ ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

=1

100 mmc

× 1

2

0,03

4

R m

R cm

⇒ =

=1

100 mmc

× 2 0,04

3,8p

R m

mv c

⇒ =

=1

100 mm

s c×

( ) ( )

( ) ( )

1

30 óleo

1 1

2 222 1

2 2 3 2

0,038

2,3 800

2,3 1,152

0,04 0,03 2,199 10

R

p

R R

R R

v m s

v m s kgf m

m sv v m s

A R A R R

A A m−

⇒ =

= γ =

= ⇒ =

⎡ ⎤= π×Δ ⇒ = π× −⎣ ⎦⎡ ⎤= π× − ⇒ = ×⎣ ⎦

2 2

2

2 2 2 2

Vazão de retorno

14,4 0,2460

0,24

R

G G

GG

b Q

G kgfQ Q kgf st s

QQ Q Q Q

kgf

= = ⇒ =

= γ × ⇒ = ⇒ =γ

skgf800 3

2

3

0,0003

m

Q m=

3

10001

Ls m

×

3

3

2

23

3

0,3

0,038 0,00785

0,0003

p p

Q L s

mQ v A Q ms

Q m

⇒ =

= × ⇒ = ×

≅3

10001

Ls m

× 3

1 2 3

0,3

3,25 0,3 0,3 2,65R

R R

Q L s

Q Q Q Q

Q Q L s

⇒ ≅

= + +

= + + ⇒ =

Page 23: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

4.22 – Na figura abaixo, determinar se o pistão sobe ou desce e com que velocidade? Dados:

1 8D cm= ; 1 3v m s=

2 20Q L s= ; 3 5v m s= 2

3 20A cm= ; 2. 50pistA cm= .

entrada

Equação da continuidade(fluído incompressível)

Q saídaQ∑ = ∑

3 3 3

3 23

2 33

5 2 10

1 10

Q v AmQ ms

Q m s

= ×

= × ×

= ×

2 20Q L=

311000

mLs

×

2 32 2 10Q m s−= ×

( )

( )

1 1 12

11

2

1

2 31

34

0,083

41,51 10

Q v A

DmQs

mmQs

Q m s−

= ×

π×=

π×= ×

= ×

entrada2 3

2 3

2 32 4

Note que Q ,

logo se a saída (1) + saída (3) 2,51 10 ,e a entrada (2) 2 10 ,então conclui-se que:

,obrigatoriamente têm que ser 2,51 10 ,portanto, o pistão está subindo

saídaQ

m sm s

Q Q m s

∑ = ∑

= ×

= ×

+ = ×

.

2 4 1 3

4 1 3 23 3 3

2 2 24

2 34

1,51 10 1 10 2 10

0,51 10

Q Q Q QQ Q Q Q

m m mQs s s

Q m s

− − −

+ = +

= + −

= × + × − ×

= ×

4 4

3

4

44

.

2

40,51 10

pist

Q v AQv

m

A

v−

= ×

=

×=

1

2450 10 ms

−×

4 1,02v m s=

Page 24: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

Extra 1 – De acordo com a figura são dados: 1 2 150 ; 25 ; 1 ;mD mm D mm V m s= = =

2

3 2 6 21000 ; 10 ; 10H O kgf m g m s m sυ −γ = = = . Determinar: 2 ; ; ;m Gv Q Q

mQ e qual o tipo de escoamento entre (1) e (2).

1 1 1 11 6 2

1

) Regime ?0,05 1Re

10Re 50.000 Re 4000

Re regime turbulento

m m

eD D m m s

m sν ν

υ −

=× ×ρ × ×

= = =μ

= ∴ >

=

1 2

2

11 1

1 1 2 2 2 22

Equação da Continuidade (fluído incompressível)

) ?m

mm

m m m m

Q Q Q Q v A

a v

vv Av A v A v v

A

⇒ = = = ×

=

××

× = × ⇒ = ⇒ =

π ( )21

4D×

π ( )22

4D×

( )( )

( )( )

21 1

2 22

2

2

2

2 2

1 50 1 250025

mm

m m

v Dv

D

m s mm m sv vmm

mm

×⇒ =

× ×= ⇒ =

2625 mm2 4mv m s⇒ =

( ) ( )2 21 3 3

1 1 1

) ?

0,051 1,96 10

4 41,96

m m

b Q

D mQ v A Q v Q m s Q m s

ou Q L s

=

π× π×= × ⇒ = × ⇒ = × ⇒ = ×

=

3

) ?G

G G

c Q

kgfQm

Q Q

=

= γ × ⇒ =1000 33

1,96 10 m−× × 1,96GQ kgf ss

⇒ =

) ?

1,96m

GG m m m

d Q

Q kgfQ Q g Q Q sg

=

= × ⇒ = ⇒ =210m s

1 0,196mQ kgf s m⇒ = ×

2 2 2 22 6 2

2

2

0,025 4Re10

Re 100.000 Re 4000

Re regime turbulento

m mD D m m sm s

ν νυ −

× ×ρ × ×= = =

μ= ∴ >

=

Page 25: 4 Cinematica dos Fluidos exercícios

Elementos e Mecânica dos Fluídos

Paulo Vinicius Rodrigues de Lima [email protected]

Extra 2 - De acordo com a figura são dados: 2 21 2 120 ; 10 ; 75 ;mA cm A cm V m s= = =

3 31 21,2 ; 0,9kg m kg mρ = ρ = . Determinar: 2 1 2; ;mv Q Q e mQ .

1 2

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

2

1 1 12 2

2 2

Equação da Continuidade (fluído compressível)

) ?

1,2

m m m m

m m

m

mm m

Q Q Q Q Q

Q Q v A v A

a v

v Av vA

kg

⇒ = = = ρ×

ρ × = ρ × ⇒ ρ × × = ρ × ×

=

ρ × ×= ⇒ =

ρ ×

3m275 20m

scm× ×

0,9kg

3m210 cm×

2 200mv m s⇒ =

1

4 2 31 1 1 1 1

2

4 2 32 2 2 2 2

1 1 1 31

) ?

75 20 10 0,15

) ?

200 10 10 0,20

) ?

1,2

m

m m

b Q

mQ v A Q m Q m ss

c Q

mQ v A Q m Q m ss

d Q

kgQ Q Qm

=

= × ⇒ = × × ⇒ =

=

= × ⇒ = × × ⇒ =

=

= ρ × ⇒ =3

0,15 m× 1

2 2 2 32

0,18

0,9

m

m m

Q kg ss

ou

kgQ Q Qm

⇒ =

= ρ × ⇒ =3

0,20 m× 2

1 2

0,18

0,18

m

m m m

Q kg ss

Q Q Q kg s

⇒ =

= = =