1

4O Erro de Medição

Fundamentos de Metrologia

Erro de Medição

mensurandosistema de medição

indicação valor verdadeiro≠

erro de medição

2

Um exemplo de erros...

Teste de precisão de tiro de canhões:Canhão situado a 500 m de alvo fixo;Mirar apenas uma vez;Disparar 20 tiros sem nova chance para refazer a mira;Distribuição dos tiros no alvo é usada para qualificar canhões.

Quatro concorrentes:

A B

CD

3

A B

CD

Ea

Es

Ea

Es

Ea

Es

Ea

Es

4.1Tipos de erros

4

Tipos de erros

Erro sistemático: é a parcela previsível do erro. Corresponde ao erro médio.

Erro aleatório: é a parcela imprevisível do erro. É o agente que faz com que medições repetidas levem a distintas indicações.

Precisão & Exatidão

São parâmetros qualitativos associados ao desempenho de um sistema.

Um sistema com ótima precisão repete bem, com pequena dispersão.

Um sistema com excelente exatidãopraticamente não apresenta erros.

5

4.2 e 4.3Caracterização e componentes do

erro de medição

Exemplo de erro de medição

1014g0 g1014 g

1

(1000,00 ± 0,01) gE = I - VVC

E = 1014 - 1000

E = + 14 g

Indica a mais do que deveria!

6

Erros em medições repetidas

0 g1014 g

1

(1000,00 ± 0,01) g

1

(1000,00 ± 0,01) g

1

(1000,00 ± 0,01) g

1014 g

1000

1010

1020

1012 g1015 g1018 g1014 g1015 g1016 g1013 g1016 g1015 g

1015 g

1015 g

1017 g

1017 g

erro

méd

io

disp

ersã

o

Cálculo do erro sistemático

VVIEs −= ∞

∞IVVmédia de infinitas indicações

valor verdadeiro conhecido exatamentecondições:

7

Estimativa do erro sistemático

VVCITd −=

Itendência

Td UTd ±

VVC

4.4Erro sistemático, tendência e

correção

8

Algumas definições

Tendência (Td)é uma estimativa do Erro Sistemático

Valor Verdadeiro Convencional (VVC) é uma estimativa do valor verdadeiro

Correção (C)é a constante que, ao ser adicionada àindicação, compensa os erros sistemáticosé igual à tendência com sinal trocado

Correção dos erros sistemáticos

Td C = -Td

9

Indicação corrigida

101410151017101210151018101410151016101310161015

I

121110987654321Nº

1015média

-15-15-15-15-15-15-15-15-15-15-15-15

C

-15

99910001002997100010039991000100199810011000

Ic

1000

-102-303-101-210

Ea

0

995 1000 1005

C = -Td

C = 1000 - 1015IVVCC −=

C = -15 g

4.5Erro aleatório, incerteza padrão e

repetitividade

10

Erro aleatório e repetitividade

I-IEa ii =

-5 0 5O valor do erro aleatório é imprevisível.

A repetitividade define a faixa dentro da qual espera-se que o erro aleatório esteja contido.

Distribuição de probabilidade uniforme ou retangular

1 2 3 4 5 6

probabilidade

1/60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

Valores

Pro

babi

lidad

e (1

/6)

Lançamento de um dado

11

Distribuição de probabilidade triangular

1,51,0 2,52,0 3,53,0 4,54,0 5,55,0 6,0

probabilidade (1/36)

2

4

6

Média de dois dados

Distribuição de probabilidade triangular

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

Média de 2 dados

Pro

babi

lidad

e (1

/36)

12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7

Valores

Pro

babi

lidad

e (1

/6)

Lançamento de um dado

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7

Médi a d e 2 d ado s

Pro

bab

ilid

ade

(1/3

6)

Média de dois dados

13

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7

Médi a d e 3 d ado s

Pro

bab

ilid

ade

(1/2

16)

Média de três dados

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 1 2 3 4 5 6 7

Médi a d e 4 d ado s

Pro

bab

ilid

ade

(1/1

296)

Média de quatro dados

14

0500

100015002000250030003500400045005000

0 1 2 3 4 5 6 7

Médi a d e 6 d ado s

Pro

babi

lida

de

(1/4

6656

)Média de seis dados

020000

4000060000

80000100000

120000140000

160000

0 1 2 3 4 5 6 7

Média de 8 dados

Pro

babi

lidad

e (1

/167

9616

)

Média de oito dados

15

“Teorema do sopão”

Quanto mais ingredientes diferentes forem misturados àmesma sopa, mais e mais o seu gosto se aproximará do gosto único, típico e inconfundível do "sopão".

Teorema central do limite

Quanto mais variáveis aleatórias forem combinadas, tanto mais o comportamento da combinação se aproximará do comportamento de uma distribuição normal (ou gaussiana).

16

Curva normal

µ

σ σ

pontos de inflexão

assíntotaassíntota

µ = média

σ = desvio padrão

Efeito do desvio padrão

σ > σ > σ

µ

17

Cálculo e estimativa do desvio padrão

n

IIn

ii

n

∑=

∞→

−= 1

2)(limσ

cálculo exato:(da população)

1

)(1

2

−

−=

∑=

n

IIs

n

ii

estimativa:(da amostra)

Ii i-ésima indicaçãomédia das "n" indicações

n número de medições repetitivas efetuadasI

Incerteza padrão (u)

medida da intensidade da componente aleatória do erro de medição.corresponde à estimativa do desvio padrão da distribuição dos erros de medição.u = s

Graus de liberdade (ν):corresponde ao número de medições repetidas menos um.ν = n - 1

18

Área sobre a curva normal

2σ 2σ

95,45%

µ

Estimativa da repetitividade(para 95,45 % de probabildiade)

Para amostras infinitas:

Re = 2 . σ

Para amostras finitas:

Re = t . u

Sendo “t” o coeficiente de Student para ν = n - 1 graus de liberdade.

A repetitividade define a faixa dentro da qual, para uma dada probabilidade, o erro aleatório éesperado.

19

Coeficiente “t” de Student

ν t ν t ν t ν t1 13.968 10 2.284 19 2.140 80 2.0322 4.527 11 2.255 20 2.133 90 2.0283 3.307 12 2.231 25 2.105 100 2.0254 2.869 13 2.212 30 2.087 150 2.0175 2.649 14 2.195 35 2.074 200 2.0136 2.517 15 2.181 40 2.064 1000 2.0037 2.429 16 2.169 50 2.051 10000 2.0008 2.366 17 2.158 60 2.043 100000 2.0009 2.320 18 2.149 70 2.036 ∞ 2.000

Exemplo de estimativa da repetitividade

1014g0 g1014 g

1

(1000,00 ± 0,01) g

1014 g

1012 g1015 g1018 g1014 g1015 g1016 g1013 g1016 g1015 g

1015 g1017 g

112

)1015(u

12

1

2

−

−=

∑=i

iI

média: 1015 g

u = 1,65 g

ν = 12 - 1 = 11

t = 2,255

Re = 2,255 . 1,65

Re = 3,72 g

20

Exemplo de estimativa da repetitividade

1015 10201010

+3,72-3,72 1015

Efeitos da média de medições repetidas sobre o erro de mediçãoEfeito sobre os erros sistemáticos:

Como o erro sistemático já é o erro médio, nenhum efeito é observado.

21

Efeitos da média de medições repetidas sobre o erro de mediçãoEfeitos sobre os erros aleatórios

A média reduz a intensidade dos erros aleatórios, a repetitividade e a incerteza padrão na seguinte proporção:

nReRe I

I =n

uu II =

sendo:

n o número de medições utilizadas para calcular a média

Exemplo

No problema anterior, a repetitividade da balança foi calculada:

Se várias séries de 12 medições fossem efetuadas, as médias obtidas devem apresentar repetitividade da ordem de:

ReI = 3,72 g

gI 07,11272,3Re

12==

22

4.6Curva de erros e erro máximo

Curva de erros

indicação

erro

1015

15

TdTd + Re

Td - ReEmáx

- Emáx

23

Algumas definições

Curva de erros:É o gráfico que representa a distribuição dos efeitos sistemáticos (Td) e aleatórios (Re) ao longo da faixa de medição.

Erro máximo:É o maior valor em módulo do erro que pode ser cometido pelo sistema de medição nas condições em que foi avaliado.

4.7Representação gráfica dos erros

de medição

24

Sistema de medição “perfeito”(indicação = VV)

1000 1020 1040960 980

mensurando

1000 1020 1040960 980indicação

Sistema de medição com erro sistemático apenas

1000 1020 1040960 980

mensurando

1000 1020 1040960 980indicação

+Es

25

Sistema de medição com erros aleatórios apenas

1000 1020 1040960 980

mensurando

1000 1020 1040960 980indicação

±Re

Sistema de medição com erros sistemático e aleatório

1000 1020 1040960 980

mensurando

1000 1020 1040960 980indicação

+Es

±Re

26

4.8Erro ou incerteza?

Erro ou incerteza?

Erro de medição:é o número que resulta da diferença entre a indicação de um sistema de medição e o valor verdadeiro do mensurando.

Incerteza de medição:é o parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a faixa dos valores que podem razoavelmente ser atribuídos ao mensurando.

27

4.9Fontes de erros

sistema de medição

Fontes de erros:

sinal de medição indicação

fatores internos

fatores externos

fatores externos

retroaçãoretroação

operador

mensurando

28

Erros provocados por fatores internos

Imperfeições dos componentes e conjuntos (mecânicos, elétricos etc).Não idealidades dos princípios físicos.

força

alongamento

região linear região não linear

Erros provocados por fatores externos

Condições ambientaistemperaturapressão atmosféricaumidade

Tensão e freqüência da rede elétricaContaminações

29

Erros provocados por retroaçãoA presença do sistema de medição modifica o mensurando.

65 °C

65 °C70 °C

20 °C

Erros induzidos pelo operador

HabilidadeAcuidade visualTécnica de mediçãoCuidados em geralForça de medição

30

Dilatação térmica

Propriedade dos materiais modificarem suas dimensões em função da variação da temperatura.

b b'

c'c

∆b = b' - b∆c = c' - c

∆b = α . ∆T . b∆c = α . ∆T . c

∆T

Temperatura de referência

Por convenção, 20 °C é a temperatura de referência para a metrologia dimensional. Os desenhos e especificações sempre se referem às características que as peças apresentariam a 20 °C.

31

Dilatação térmica:distintos coeficientes de expansão térmica

20°C 40°C 10°C

I = 40,0I = 44,0

I = 38,0

α > α

Dilatação térmica:mesmos coeficientes de expansão térmica

20°C 40°C 10°C

I = 40,0 I = 40,0

I = 40,0

α = α

32

Dilatação térmica:

Ci

Ce

Sabendo que a 20°C

Ci = Ce

Qual a resposta certa a 40°C?

(a) Ci < Ce

(b) Ci = Ce

(c) Ci > Ce

(d) NRA

α = α

Dilatação térmica:

(a) Ci < Ce

(b) Ci = Ce

(c) Ci > Ce

(d) NRA

33

Micrômetro

Correção devido àdilatação térmica

SM Peça a medir Correção devido à temperaturaMat Temp. Mat Temp.A 20 °C A 20 °C C = 0A TSM ≠ 20 °C A TP = TSM C = 0A TSM A TSM ≠ TP C = αA . L . (TSM - TP)A 20 °C B 20 °C C = 0A TSM ≠ 20 °C B TSM = TP C = (αA - αB). (TSM - 20°C) . LA TSM B TSM ≠ TP C = [αA . (TSM - 20°C) - αB . (TP - 20°C)] . L