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Nova School of Business and Economics
Prática Álgebra Linear
1
4 – Sistemas de Equações
Lineares
1 Rank ou característica de uma matriz ( ( ))
Número máximo de linhas de que formam um conjunto linearmente independente.
Ex.: [
]
( ) porque *( ) ( )+ (por exemplo) é linearmente independente e não
existe nenhum conjunto de linhas de com ou vectores que o seja.
2 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz e rank da
matriz
A realização de operações elementares sobre as linhas de uma matriz não altera o seu rank.
Ex.: [
]
[
] → [
] → [
]
→ [
]
( ) ( )
3 Formato em escada por linhas de uma matriz
Forma de uma matriz cujo primeiro elemento da 1ª linha não é , cujos primeiros elementos
de cada linha, a começar na 2ª, são , e em que o número de primeiros elementos de cada
linha que são é superior ao da linha anterior.
{
Definição
Definição
Facto
Prática Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações Lineares
2
Ex. 1: [
] tem o formato em escada por linhas porque o 1º elemento da 1ª linha
não é , e o 1º elemento da 2ª linha, os primeiros elementos da 3ª linha e os primeiros
elementos da 4ª linha são .
Ex. 2: [
] não tem o formato em escada por linhas porque o número de ’
consecutivos nas primeiras posições da 4ª linha não é superior ao da 3ª.
4 Pivot de uma matriz no formato em escada por linhas
Elemento de que é o primeiro da sua linha diferente de .
{
Ex.: [
]
5 Formato reduzido em escada por linhas de uma matriz
Forma de uma matriz que tem o formato em escada por linhas, cujos pivots são e cujos
elementos da mesma coluna e de linhas anteriores às de um pivot são .
{
{
Ex.: [
]
tem o formato reduzido em escada por linhas porque tem o formato em escada por linhas,
todos os seus pivots ( , e ) são , e .
Definição
Definição
Prática Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações Lineares
3
6 Algoritmo para redução de uma matriz ao formato reduzido
em escada por linhas por eliminação de Gauss
Redução ao formato em escada por linhas:
Anulação da parte inferior da coluna :
Transformação de num número não nulo: Se for , trocar a linha com
outra linha, abaixo desta, cujo elemento da coluna não seja . Caso contrário, saltar
este passo ( ).
Transformação de em : Se não for , dividir a linha por . Caso
contrário, saltar este passo (
).
Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha cujo
elemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha
e a linha ( ).
Anulação da parte inferior das restantes colunas: Aplicar os seguintes passos,
substituindo por . Depois, repeti-los, substituindo por . Continuar a repeti-los,
substituindo pelos restantes índices de linha da matriz, de forma crescente, até
Fim do algoritmo: Se todas as linhas, desde a até à , forem nulas, parar. Senão,
continuar.
Ordenação dos ’s criados: Fazer as trocas de ordem necessárias para que as linhas,
desde a até à , fiquem ordenadas pelo número de ’
colunas.
Transformação dos pivots em : Se o primeiro elemento da linha não nulo, ,
não for , dividir a linha por . Caso contrário, saltar este passo (
).
Anulação da parte inferior da coluna : Subtrair a cada linha abaixo da linha cujo
elemento da coluna não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha
e a linha ( ).
Anulação dos elementos superiores aos pivots: Depois de concluída a redução ao
formato em escada por linhas, aplicar o seguinte passo, substituindo por . Depois, repeti-
lo, substituindo por . Continuar a repeti-lo, substituindo pelos restantes índices de linha
da matriz, de forma crescente, até ao índice da última linha que tem um pivot.
Sendo o pivot da linha , subtrair a cada linha acima da linha cujo elemento da coluna
não seja o produto entre o elemento da coluna dessa linha e a linha (
).
1
2
Algoritmo
Prática Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações Lineares
4
Ex.: [
]
Redução ao formato em escada por linhas:
Anulação da parte inferior da coluna :
( )
[
] [
]
[
]
Anulação da parte inferior das restantes colunas:
( )
[
] [
]
[
]
[
]
( )
[
]
[
]
[
]
Anulação dos elementos superiores aos pivots:
( )
[
]
[
]
( )
[
]
[
]
( )
1
2
Prática Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações Lineares
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7 Sistema de equações lineares ( )
Conjunto de equações de variáveis, cada uma consistindo numa igualdade entre uma
combinação linear das variáveis e um número real. Igualdade entre dois membros: o
primeiro, , e o segundo, .
Sistema de equações lineares:
{
[
] [
] [
]
Ex.: {
[
] [ ] [
] é um sistema de equações
lineares com equações e variáveis ( ).
8 Classificação de um sistema de equações
Possível: Tem pelo menos uma solução.
Determinado: Tem apenas uma solução.
Indeterminado: Tem mais do que uma solução.
Impossível: Não tem soluções.
Ex. 1: O sistema de equações lineares {
é possível e determinado, porque a sua
única solução é o vector ( ).
Ex. 2: O sistema de equações lineares {
é possível e indeterminado, porque
o seu conjunto de soluções é *( ) +, que contém um número infinito de
vectores.
Ex. 3: O sistema de equações lineares {
é impossível, porque não há nenhum
vector de que o resolva.
Definição
Classificação
Prática Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações Lineares
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9 Sistemas de equações lineares possíveis e indeterminados e
número de soluções
Qualquer sistema de equações lineares possível e indeterminado tem um número infinito de
soluções.
* +
Ex.: O sistema de equações lineares {
é possível e indeterminado e, tendo
os vectores ( ) e ( ) como soluções, tem também todos os vectores da forma
( ) ( )( ), com .
10 Matriz aumentada de um sistema de equações lineares ( )
Matriz cujas primeiras colunas são as colunas de e cuja última coluna é .
, -
[ ]
Ex.: {
[
] [ ] [
]
, - [
]
11 Classificação de um sistema de equações lineares e rank das
matrizes do sistema
Um sistema de equações lineares é:
Possível e determinado ( ) ( )
Possível e indeterminado ( ) ( )
Impossível ( ) ( )
Ex.: {
[
] [ ] [
]
Definição
Facto
Facto
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4 – Sistemas de Equações Lineares
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( ) [
]
[
]
[
] [
]
[
]
( ) [
] [
]
( ) ( )
12 Sistema de equações lineares homogéneo ( )
Sistema de equações lineares cujo segundo membro é o vector nulo de .
Ex.: {
[
] [ ] [
]
[ ]
13 Espaço nulo de uma matriz ( ( ))
Conjunto de vectores de que resolvem o sistema de equações lineares homogéneo
associado a .
( ) * +
Ex.: [
]
( ) {( ) [
] [ ] [
]} *( ) ( )+
Definição
Definição
Prática Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações Lineares
8
14 Resolução de um sistema de equações lineares possível e
determinado por eliminação de Gauss
Realização de operações elementares sobre as linhas de até que esteja reduzida ao
formato em escada por linhas, eliminando-se as linhas nulas que aparecem no processo,
seguida da realização de operações elementares sobre as linhas da matriz resultante até que
esta se torne na matriz identidade. Nesta altura, a sua última coluna torna-se na solução do
sistema.
Ex.:
{
[
] [ ] [
]
[
]
→ [
]
→
[
]
→
[
]
→
[
]
→
[
]
→→
[
]
→ [
] → [
] , -
*( )+
15 Resolução de um sistema de equações lineares possível e
determinado por cálculo da inversa
Realização de operações elementares sobre as linhas de com o objectivo de reduzir
ao formato em escada por linhas, eliminando as linhas nulas que aparecem no processo, até
que seja quadrada, seguida da resolução do sistema obtido, , equivalente ao
original, em ordem a : (se for quadrada, basta resolver o sistema original em
ordem a : ).
Fórmula
Fórmula
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4 – Sistemas de Equações Lineares
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Ex.:
{
[
] [ ] [
]
[
]( )→ [
] , -
{
{
[
] [ ] [
]
[
]
[
]
[
]
[
] [ ]
*( )+
16 Resolução de um sistema de equações lineares possível e
determinado pela regra de Cramer
Realização de operações elementares sobre as linhas de com o objectivo de reduzir
ao formato em escada por linhas, eliminando as linhas nulas que aparecem no processo, até
que seja quadrada, seguida da obtenção, para o sistema obtido , equivalente ao
original, dos valores das coordenadas , , e da solução do sistema da seguinte
forma (se for quadrada, e são utilizados em vez de e ):
| |
| | |
|
| |
| |
| | |
|
| |
...
| |
| | |
|
| |
Ex.:
{
[
] [ ] [
]
Fórmula
Prática Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações Lineares
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[
]( )→ [
] , -
{
{
[
] [ ] [
]
| |
| | |
|
| |
|
|
|
|
| |
| | |
|
| |
|
|
|
|
| |
| | |
|
| |
|
|
|
|
*( )+
17 Algoritmo para a resolução de um sistema de equações lineares
possível e indeterminado
Definição das variáveis livres do sistema: Encontrar o número de variáveis, entre as
que definem cada solução do sistema, que podem ser escolhidas arbitrariamente
( ( )) e escolher para variáveis livres aquelas associadas a
colunas de , reduzida ao formato reduzido em escada por linhas, que não têm pivots.
Resolução do sistema homogéneo associado ao sistema: Encontrar , o sub-
espaço vectorial de dos vectores que são solução do sistema homogéneo associado ao
sistema (cujo primeiro membro é igual ao do sistema) ( ( ) ).
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Algoritmo
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4 – Sistemas de Equações Lineares
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Identificação de uma solução particular do sistema: Encontrar , um vector de
que seja solução do sistema.
Especificação da solução geral do sistema: Escrever , o conjunto de soluções do
sistema, ou seja, o conjunto dos vectores de que representam a soma de uma solução
particular do sistema ( ) com um vector do conjunto de soluções do sistema homogéneo
associado ao sistema ( ).
Ex.:
{
[
] [
] [
]
[
]( )→
[
]
( ) ( )
{
{
{
{
Determinação do número de variáveis livres do sistema:
( )
* + * +
Resolução do sistema homogéneo associado ao sistema:
{
{
( )
{
{
( )
*( ) ( )+ ( )
*( ) ( )+
Identificação de uma solução particular do sistema:
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Prática Álgebra Linear
4 – Sistemas de Equações Lineares
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{
{
(
) (
)
Especificação da solução geral do sistema:
{( ) ( ) (
) ( ) ( ) }
{(
) }
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