41952723 ASL 4 Series de FOURIER Convolucao Codigos Matlab Exercicios Resolvidos

Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Prof. Fernando Nogueira de Lima

148

TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS LINEARES E ESTACIONÁRIOS: ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA - SÉRIES DE FOURIER.

“O excesso de autoconfiança pode comprometer a competência”



149

INTRODUÇÃO

Os conhecimentos matemáticos sobre Series de FOURIER são utilizáveis em diversas áreas do saber. Neste material didático serão enfocadas aplicações na área de telecomunicações e de qualidade da energia. Para entendimento das demonstrações matemáticas aqui desenvolvidas é necessário o conhecimento da ortogonalidade das funções seno e coseno, assim como sobre as equações de EULER.

SERIES TRIGONOMÉTRICAS DE FOURIER

Aproveitando as propriedades de ortogonalidade das funções senoe cosenoé possível representar qualquer função periódica em termos dessas funções, utilizando os chamados coeficientes de FOURIER, que nada mais são do que três integrais definidas em um período completo T. Ou seja, se uma determinada função f(t) é uma função periódica de período T é possível representa-la pela serie trigonométrica seguinte:

0

1

( ) cos2 n n

n

af t a n t b senn tω ω

∞

=

= + +∑ (1)

Onde ω = 2π /T

Integrando ambos os lados da equação (1) em um período, temos:

( ) ( )2 20

2 21

( ) cos2

T T

n nT Tn

af t dt a n t b sen n t dtω ω

∞

− −=

= + +

∑∫ ∫ (2)

Considerando que a integral da função seno, assim como a integral da função coseno, em um período, é igual a zero, então a equação (2) pode ser apresentada na forma que segue:

2 2

0

2 2( )

2

T T

T T

af t dt dt

− −

=

∫ ∫

ou

2

0

2( )

2 2 2

T

T

a T Tf t dt

−

= +

∫



150

Daí,

2

0 2

2( )

T

Ta f t dt

T −= ∫ (3)

Utilizando as relações de ortogonalidade podemos determinar os coeficientes

n na e b da Série de FOURIER multiplicando ambos os lados da equação (1) por ( )cos m tω

e integrando no intervalo [ -T/2, T/2], assim:

( ) ( ) ( ) ( )2 20

2 21

( )cos cos cos2

T T

n nT Tn

af t m t dt a n t b sen n t m t dtω ω ω ω

∞

− −=

= + +

∑∫ ∫ (4)

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

20

21

( )cos

cos cos cos cos2

T

T

T

n nTn

f t m t dt

am t a n t m t b sen n t m t dt

ω

ω ω ω ω ω

−

∞

−=

=

+ +

∫

∑∫

( )

2

2

2

21

( )cos

1cos cos( )

2

T

T

T

n nTn

f t m t dt

a n m t a n m t dt

ω

ω ω

−

∞

−=

=

+ + −

∫

∑∫

2

2

2

21

( )cos

1cos( )

2

T

T

T

nTn

f t m t dt

a n m t dt

ω

ω

−

∞

−=

=

−

∫

∑∫ (5)

Quando n m=

[ ]2 2

2 2

1( )cos cos(0)

2

T T

nT Tf t n t dt a t dtω

− −=∫ ∫ (6)

( )2

2

1( )cos

2

T

nTf t n t dt a Tω

−=∫ (7)

Isolando na temos:

2

2

2( )cos

T

n Ta f t n t dt

Tω

−= ∫ (8)

Analogamente multiplicando a equação (1) por ( )sen m tω e integrando termo por

termo entre os limites [ -T/2, T/2], temos:



151

( ) ( ) ( ) ( )2 20

2 21

( ) cos2

T T

n nT Tn

af t sen m t dt a n t b sen n t sen m t dtω ω ω ω

∞

− −=

= + +

∑∫ ∫ (9)

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

20

21

( ) ( )

cos2

T

T

T

n nTn

f t sen m t dt

asenm t a n t sen m t b sen n t sen m t dt

ω

ω ω ω ω ω

−

∞

−=

=

+ +

∫

∑∫

( )

2

2

2

21

( )

1cos cos( )

2

T

T

T

n nTn

f t sen m t dt

b n m t b n m t dt

ω

ω ω

−

∞

−=

=

− − +

∫

∑∫

2

2

2

21

( )

1cos( )

2

T

T

T

nTn

f t sen m t dt

b n m t dt

ω

ω

−

∞

−=

=

−

∫

∑∫ (10)

Quando n m= ,

[ ]2 2

2 2

1( ) cos(0)

2

T T

nT Tf t sen n t dt b t dtω

− −∫ ∫ (11)

( )2

2

1( )

2

T

nTf t sen n t dt b Tω

−=∫ (12)

Isolando nb temos:

2

2

2( )

T

n Tb f t sen n t dt

Tω

−= ∫ (13)

Os três termos 0, n na b e c são chamados de coeficientes de FOURIER e a equação

(1) é denominada série trigonométrica de Fourier.

Quando a função ( )f t for par: ( ) ( )f t f t= − os coeficientes nb serão nulos. Por sua

vez, quando a função ( )f t for impar: ( ) ( )f t f t= − − então os coeficientes na serão nulos.

Nesses casos, o esforço matemático para calcular aqueles coeficientes é reduzido.

O coeficiente 0a pode ser determinado calculando a área ao longo do período,

multiplicada por 2/T.



152

A forma fase-ângulo da Série Trigonométrica de FOURIER é dada por:

( )0

0

( ) cos2 n n

n

af t c n tω δ

∞

=

= + +∑ (14)

Onde

( )1

2 2 2 1,2,3...n n nc a b n= + = (15)

1 1,2,3,...nn

n

btg n

aδ −

= − =

(16)

SERIES EXPONENCIAIS DE FOURIER

Em muitas aplicações das Séries de FOURIER é conveniente representar essas séries em termos de exponenciais complexos, do tipo:

j te ω±

Sendo a Série de FOURIER de uma função f(t) periódica dada por:

0

1

( ) cos2 n n

n

af t a n t b senn tω ω

∞

=

= + +∑ (17)

Onde ω = 2π /T

E considerando que as funções seno e coseno, também podem ser apresentadas na forma exponencial a partir das Equações de EULER, ou seja:

( )1cos

2jn t jn tn t e eω ωω −= + (18)

( )1

2jn t jn tsenn t e e

jω ωω −= − (19)

Então, substituindo essas equações na equação (15) temos:

( ) ( )0

1

1 1( )

2 2 2jn t jn t jn t jn t

n nn

af t a e e b e e

jω ω ω ω

∞− −

=

= + + + −∑ (20)



153

( ) ( )0

1

1( )

2 2jn t jn t

n n n nn

af t a b j e a b j eω ω

∞−

=

= + − + +∑ (21)

Fazendo:

0 0

1

2c a= (22)

( )1

2n n nc a jb= − (23)

( )1

2n n nc a jb− = + (24)

Então

2 22 1 0 1 2( ) ... ...j t j t j t j tf t c e c e c c e c eω ω ω ω− − −

− −= + + + + + + (25)

Ou

01

( ) jn t jn tn n

n

f t c c e c eω ω∞

−−

== + +∑ (26)

Simplificando:

( ) 0jn t

nn

f t c c e ω∞

=−∞= + ∑ (27)

Que é conhecida como forma complexa da Série de FOURIER ou Série Complexa de FOURIER da função f(t).

As integrais dos coeficientes nc são obtidas multiplicando ambos os membros da

equação tal por jn te ω− e em seguida integrando essa equação no intervalo de um período.

Assim:

2

2

1( )

T jn tn T

c f t e dtT

ω−

−= ∫ (28)



154

EXEMPLO NUMÉRICO 1

Considere uma função ( )f t = tal que ( ) ( )6f t f t= + definida como segue:

( )f t = -1 para -3 < t < 0

( )f t = 1 para 0 <t < 3

Fig.1 - Forma de onda quadrada

Determinação dos coeficientes de FOURIER:

( ) ( )0 3

0 3 0

1 10 3 3 0 0

3 3a dt dt

− = − + = − + + − = ∫ ∫

O que era de esperar tendo em vista que o valor médio da função f(t) em um período é igual à zero.

3 0 3

3 3 0

0 3

3 0

1 1( )cos( ) ( 1)cos( ) (1)cos( )

3 3

1 ( ) ( )0

3

na f t n t dt n t dt n t dt

sen n t sen n t

n n

ω ω ω

ω ωω ω

− −

−

= = − +

= − + =

∫ ∫ ∫

Para n=1, 2, 3,...

Resultado previsível, na medida em que a função ( )f t é uma função impar.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1



155

3 0 3

3 3 0

0 3

3 0

1 1( ) ( ) ( 1) ( ) (1) ( )

3 3

1 cos( ) cos( )

3

nb f t sen n t dt sen n t dt sen n t dt

n t n t

n n

ω ω ω

ω ωω ω

− −

−

= = − +

= −

∫ ∫ ∫

Sabemos que cos( ) cos( ) cos(0) 1eθ θ− = = , e ntão:

[ ]1cos(0) cos( 3 ) cos(3 ) cos(0)

3nb n nn

ω ωω

= − − − +

Neste caso 2

3T

π πω = = , logo:

( )21 cosnb n

nπ

π = −

Daí,

1 2

4; 0b b

π= =

3 4

4; 0

3b b

π= =

5 6

4; 0

5b b

π= =

Portanto:

( ) ( ) ( )4 4 4( ) 3 5 ...

3 5f t sen t sen t sen tω ω ω

π π π= + + +

Ou,

( ) ( ) ( )4 1 1( ) 3 5 ...

3 5f t sen t sen t sen tω ω ω

π = + + +

A seguir serão apresentadas formas de ondas obtidas por meio de programas computacionais desenvolvidos no ambiente MATLAB.



156

-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Forma de onda

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Forma de onda

n = 1 n = 3

-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Forma de onda

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Forma de onda

n = 9 n = 19

-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Forma de onda

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Forma de onda

n = 49 n = 99 Fig.2 - Formas de ondas para diferentes contribuições de harmônicas



157

n = 3

n = 5

Fig.3 - Composição da Forma de onda

-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Composição da forma de onda

-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1




158

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Construção de uma onda quadrada: o efeito Gibbs

n = 9

Fig.4 - Visualização do efeito GIBBS em duas dimensões

n = 20

Fig.5 - Visualização do efeito GIBBS em três dimensões



159

REPRESENTAÇÃO DE SINAIS PERIÓDICOS NÃO SENOIDAIS FORMA DE ONDA

A representação dos valores instantâneos de um sinal em função do tempo é denominada de Forma de onda. TEOREMA DE FOURIER

O Teorema de Fourier estabelece que todo sinal periódico não senoidal pode ser decomposto em uma série de ondas senoidais com freqüências múltiplas inteiras, da freqüência fundamental. Cada uma dessas ondas tem uma determinada amplitude, acrescida, em alguns casos, de uma componente contínua, ou seja, de freqüência zero. As ondas senoidais de freqüências múltiplas da fundamental são denominadas harmônicas. Um sinal senoidal é facilmente obtido e sua especificação se resume à freqüência, à amplitude e à sua fase. Portanto, a análise de sinais periódicos complexos pode ser transformada na análise de um conjunto de sinais senoidais distintos. ESPECTRO

A representação de um sinal senoidal por meio de um gráfico que mostra a amplitude versus a freqüência é conhecida por Espectro de linha. Para um sinal periódico e não senoidal o Espectro de linha apresenta, num único gráfico, as diversas componentes senoidais em que o sinal original pode ser decomposto, em termos da freqüência e respectiva amplitude. ESPECTOGRAMA

A representação da evolução dos espectros de linha do sinal em função do tempo é denominada Espectrograma.

As figuras a seguir apresentam o Espectro de linhas e o Espectrograma de uma onda quadrada, definida como segue:

( ) 1 0f t para tω ω π= ≤ ≤



160

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Espectro de Linha

Val

or d

a H

arm

ônic

a

nº da Harmônica

n = 9

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Val

or d

a H

arm

ônic

a

nº da Harmônica

n = 20

Fig. 6 - Espectros de linha de uma onda quadrada



161

Fig.7 - Espectrograma de uma onda quadrada

Observe a componente de maior nível (fundamental) em 1000 Hz com cor vermelha. O harmônico 9, em 9000 Hz é bem mais fraco, de cor azul claro. Neste caso particular, o espectrograma não traz muita informação suplementar, em relação ao espectro, a não ser a confirmação de que a freqüência do sinal é constante no tempo. Entretanto, o espectrograma é de fundamental importância para analisar a evolução espectral de um sinal complexo e variável no tempo, como por exemplo, um sinal de voz ou áudio. O espectrograma também pode ser mostrado de forma tridimensional, como no exemplo abaixo, onde o espectro e desenhado normalmente e em seguida empurrado para traz com um pequeno deslocamento para dar lugar a um novo espectro. Ficam visíveis além do espectro atual, os espectros passados no tempo.

Fig.8 - Espectrograma na forma tridimensional



162

EXEMPLO NUMÉRICO 2

Considere uma função ( )f t tal que ( )f t = ( )6f t + definida como segue:

( ) Vf t t

T=

Fig.9 - Forma de onda dente de serra

Determinação dos coeficientes de Fourier:

2 66

0 0 `0

2 20 40

6 6 36 2

ta t dt

= =

∫

0

40 360

36 2a = −

0 20a =

Cálculo de na

( )6

0

2 20cos

6 6na t n t dtω= ∫

Utilizando o método de integrais por partes:

;u t du dt= =

( ) ( )1cos ;dv n t dt v sen n t

nω ω

ω= =

0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8

10

12

14

16

18

20



163

Então

( ) ( )40 1

36n

ta sen n t sen n t dt

n nω ω

ω ω = −

∫

Resolvendo a integral indefinida

( ) ( )6

2 20

40 1cos

36n

ta sen n t n t

n nω ω

ω ω = +

( ) ( ) ( )2 2 2 2

40 6 1 16 cos 6 cos 0

36na sen n nn n n

ω ωω ω ω

= + −

( ) ( ) ( )2 2 2 2

40 18 9 92 cos 2 cos 0 0

36na sen n nn n n

π ππ π π

= + − =

( )6

0

2 20

6 6nb t sen n t d tω= ∫


;u t du d t= =

( ) ( )1; cosdv sen n t dt v n t

nω ω

ω= = −

Então

( ) ( )40 1cos cos

36n

tb n t n t dt

n nω ω

ω ω = − − −

∫

( ) ( )6

2 20

40 1cos

36n

tb n t sen n t

n nω ω

ω ω = − +

( ) ( )2 2

40 18 9cos 2 2 0

36nb n sen nn n

π ππ π

= − + −

( )20cos 2nb n

nπ

π= −



164

Portanto a função original pode ser escrita na forma que segue:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 10 20 510 2 3 4 ....

3f t sen t sen t sen t sen tω ω ω ω

π π π π= − − − − −

ou

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 3 4 ....20

10 2 3 4sen t sen t sen t sen t

f tω ω ω ω

π

+ + + − = −



165

0 1 2 3 4 5 60

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Forma de onda

0 1 2 3 4 5 6

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20Forma de onda

n = 2 n = 3

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10

15

20

25Forma de onda

0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25Forma de onda

n = 10 n = 15

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10

15

20

25Forma de onda

0 1 2 3 4 5 6

-5

0

5

10

15

20

25Forma de onda

n = 40 n = 100 Fig.10 - Formas de ondas para diferentes contribuições de harmônicas



166

0 1 2 3 4 5 6 -10

-5

0

5

10

15

20

n = 2

0 1 2 3 4 5 6 -10

-5

0

5

10

15

20

n =3

Fig.11 - Formas de ondas para diferentes contribuições de harmônicas



167

0 1 2 3 4 5 6 70

2

4

6

8

10

12 Espectro de Linha

no. Harmônica

Val

or d

a H

arm

ônic

a

n = 7

0 5 10 150

2

4

6

8

10

12 Espectro de Linha

no. Harmônica

Val

or d

a H

arm

ônic

a

n = 15

Fig. 12 - Espectro de linhas para diferentes contribuições de harmônicas



168

EXEMPLO LITERAL 1

Considere uma função ( )f tω tal que ( )f tω = ( )2f tω π+ definida como segue

( ) 0V

f t t para tω ω ω ππ

= ≤ ≤

( ) 0 2f t para tω π ω π= ≤ ≤

Fig.13 - Forma de onda dente de serra

Determinando os Coeficientes de FOURIER

0 0

2

2

Va t d t

πω ω

π π= ∫

( )2

20 2 202 2

V t Va

πω ππ π

= =

0 2

Va =

0

1cosn

Va t n t d t

πω ω ω

π π= ∫


;u t du d tω ω= = 1

cos ;dv n t v sen t d tn

ω ω ω= =

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0

5

10

15

20

25



169

Assim

2

1n

V ta senn t senn t d t

n n

ω ω ω ωπ

= − ∫


2 2 0

1cosn

V ta senn t n t

n n

πω ω ωπ

= +

2 2 2

1 1cos 0 cos0n

Va senn n

n n n

π π ππ

= + − +

2 2 2

1 1cosn

Va n

n nπ

π = −

( )2 2cos 1n

Va n

nπ

π= −

0

1n

Vb t senn t d t

πω ω ω

π π= ∫


;u t du d tω ω= =

1; cosdv senn t v n t

nω ω= = −

Assim

2

1cosn

V tb con t n t d t

n n

ω ω ω ωπ

= − − − ∫


2 2 `0

1n

V tb con t senn t

n n

πω ω ωπ

= − +

2 2

10n

Vb con senn

n n

π π ππ

= − + −

cosn

Vb n

nπ

π= −



170


( ) 2

2 1 1 1 1cos cos3 cos5 ... 2 3 ...

4 9 25 2 3

V V Vf t t t t sen t sen t sen tω ω ω ω ω ω ω

ππ = − + + + + − + −

EXEMPLO NUMÉRICO 3 Considere um ramo RC série (R=10Ω, C=80µF), alimentado por um sinal, com período de 2π , do tipo indicado na figura 14. Calcular: a) O valor eficaz de tensão e de corrente; b) a potência média dissipada no circuito; c) as contribuições de dissipação de potência de cada harmônica; d) a tensão nos terminais do capacitor devido a cada harmônica; e) o THD de tensão e de corrente, do sistema, fazendo ω=500rad/s.

Fig.14 - Forma de onda Trem de pulsos Decompondo a função de excitação em séries de FOURIER, tem-se:

[ ]0

0

2 200200 0

2a d t

πω π

π π−= = +∫

0 200a =

0na =

0200

nb senn t d tπ

ω ωπ −

= ∫

-4 -2 0 2 4 6 8 10 0 20

40

60

80

100

120

140

160

180

200



171

( )0200 200

cos cos0 cosnb n t nn nπ

ω ππ π−

= − = − − −

( )2001 cosnb n

nπ

π= − −

1 2

400; 0b b

π= − =

3 4

400; 0

3b b

π= − =

Portanto

( ) 400 1 1100 3 5 ...

3 5iV t sen t sen t sen tω ω ω ωπ

= − + + +

Ou

( ) 100 127,4 500 42,46 1500 25,47 2500 ...iV t sen t sen t sen tω = − − − −

a) Cálculo dos valores eficazes Para a tensão:

x

12

2 2 2 20 1 2 3ma max max

1 1 1...

2 2 2efV V V V V = + + + +

( ) ( ) ( )12

2 2 22 1 1 1100 127,32 42,44 25,47

2 2 2efV = + + +

139,03efV volts=

Para a corrente

500ω =

1

110 25 26,92 /_ 68,2Z R j j

Cω= − = − = − °

( )1max1

1

4,73 500 68,2V

I sen tZ

= = + °



172

1500ω =

3

110 8,33 13,02 /_ 39,80Z R j j

Cω= − = − = − °

( )3max3

3

3,26 1500 39,80V

I sen tZ

= = + °

2500ω =

5

110 5 11,18 /_ 26,56Z R j j

Cω= − = − = − °

( )5max5

5

2,28 2500 26,56V

I sen tZ

= = + °

Daí,

( ) ( ) ( ) ( )10 4,73 500 68,2 3,26 1500 39,80 2,28 2500 26,56i t sen t sen t sen tω = − + ° − + ° − + ° Daí,

12

2 2 2 20 1 2 3max max max

1 1 1...

2 2 2efI I I I I = + + + +

( ) ( ) ( )12

2 2 22 1 1 110 4,73 3,26 2,28

2 2 2efI = + + +

10,91efI A=

b) cálculo da potência média do circuito.

2 210.(10,91)efP RI= =

1190,99P watts=

c) contribuições de dissipação de potência do valor médio e de cada harmônica

0 0 0 1000P V I watts= =

1 1 1 1max max

1cos 118,82

2P V I wattsθ= =



173

2 2 2 2max max

1cos 53,17

2P V I wattsθ= =

3 3 3 3max max

1cos 25,97

2P V I wattsθ= =

0 1 2 3 1190,96TP P P P P watts= + + + =

d) Tensão nos terminais do capacitor A função de transferência, no domínio da freqüência, tendo a tensão nos terminais do capacitor como saída é dada por:

( )( )

0

1

1i

V j j C

V jR

j C

ω ωω

ω

=

+

( )( )

0

1

1i

V j j C

V j j RC

j C

ω ωω ω

ω

=

+

Assim,

( )( )

0 1 11i

V j

V j Rj C

R

ωω ω

= +

Para o valor médio

( )0 100V dc =

Para 500ω =

( )( ) ( )

0 0,10,928 /_ 21,8

0,1 0,04i

V j

V j j

ωω

= = − °+

( ) ( )0 0,928 /_ 21,8 .127,39V jω = − °

( )0 118,2 /_ 21,8V jω = − °



174

( )0 118,2 (500 21,8 )v t sen t= − °

Para 1500ω =

( )( ) ( )

0 0,10,156 /_ 50,19

0,1 0,12i

V j

V j j

ωω

= = − °+

( ) ( )0 3º 0,156 /_ 50,19 .42,46V H = − °

( )0 3º 6,63/_ 50,19V H = − °

( )0 6,63 (500 50,19 )v t sen t= − °

Para 2500ω =

( )( ) ( )

0 0,10,223/_ 63,43

0,1 0,2i

V j

V j j

ωω

= = °+

( ) ( )0 5º 0,223/_ 63,43 .25,47V H = − °

( )0 5º 5,69 /_ 63,43V H = − °

( )0 5,69 (500 63,43 )v t sen t= − °

Portanto

( )0 100 118,2 (500 21,8 ) 6,63 (1500 50,19 ) 5,69 (2500 63,43 ) ...V t sen t sen t sen tω = − − ° − − ° − − ° +

e) cálculo dos THD (Distorção Harmônica Total) Para a Tensão

( ) 100 127,4 500 42,46 1500 25,47 2500 ...iV t sen t sen t sen tω = − − − −

1

2 22

2 221 1

m nefdcV

nef ef

VVTHD

V V=

= +

∑



175

12 2 2 2

2 2 2

100 30,02 18,01

90,08 90,08 90,08VTHD

= + +

1,176VTHD =

Ou a partir do valor eficaz de tensão, como segue:

12 2

1

1efV

ef

VTHD

V

= −

12 2

139,031 1,176

90,08VTHD = − =

Para a corrente

( ) ( ) ( ) ( )10 4,73 500 68,2 3,26 1500 39,8 2,28 2500 26,56I t sen t sen t sen tω = − + ° − + ° − + °

1

2 22

2 221 1

m nefdcI

nef ef

IITHD

I I=

= +

∑

1

2 2 2 2

2 2 2

10 2,3 1,6

8,96 0,47 0,23ITHD

= + +

3,11ITHD =

Ou a partir do valor eficaz da corrente, como segue:

1

2 2

1

1efI

ef

ITHD

I

= −

1

2 210,91

1 3,113,34ITHD

= − =



176

Conhecendo as taxas de distorção total da corrente e da tensão é possível então determinar os valores eficazes verdadeiros para a tensão e para a corrente, respectivamente, como segue:

2

1 1 10,91ef IefI I THD A= + =

2

1 1 139,03ef VefV V THD volts= + =

EXEMPLO NUMÉRICO 4

Considere uma função ( )f tω tal que ( )f tω = ( )2f tω π+ definida como segue:

( )2

Vf t tω ω

π=

Fig. 15 - Forma de onda dente de serra

Determinação dos coeficientes de Fourier:

( )2 22

0 2 00

2 20 10

2 2 2a t d t t

π πω ω ωπ π π

= = ∫

( )20 2

54 0a π

π= −

0 20a =

0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8

10

12

14

16

18

20



177

Cálculo de na

( )2

0

2 20cos

2 2na t n t d tπ

ω ω ωπ π

= ∫


;u t du d tω ω= =

( ) ( )1cos ;dv n t d t v sen n t

nω ω ω= =

Tem-se

( ) ( )2

10 1n

ta sen n t sen n t d t

n n

ω ω ω ωπ

= − ∫


( ) ( )2

2 20

10 1cosn

ta sen n t n t

n n

πω ω ωπ

= +

( ) ( ) ( )2 2 2

10 2 1 12 cos 2 cos 0na sen n n

n n n

π π ππ

= + −

0na =

( )2

0

2 20

2 2nb t sen n t d tπ

ω ω ωπ π

= ∫


;u t du d tω ω= =

( ) ( )1; cosdv sen n t d t v n t

nω ω ω= = −

Tem-se

( ) ( )2

10 1cos cosn

tb n t n t d t

n n

ω ω ω ωπ

= − − − ∫



178

( ) ( )2

2 20

10 1cosn

tb n t sen n t

n n

πω ω ωπ

= − +

( ) ( )2 2

10 2 1cos 2 2 0nb n sen n

n n

π π ππ

= − + −

( )20cos 2nb n

nπ

π= −


( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 10 20 510 2 3 4 ....

3f t sen t sen t sen t sen tω ω ω ω ω

π π π π= − − − − −

ou

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 3 4 ....20


f tω ω ω ω

ωπ

+ + + + = −

Outra opção para resolver essa questão é utilizar a fórmula exponencial de Fourier, como segue:

00 10

2

aC = =

2

0

1 20

2 2jn t

nC t e d tπ ωω ω

π π− =

∫

ou

( )2

2 0

20

2jn t

nC t e d tπ ωω ω

π−= ∫

Fazendo,

u t du d tω ω= =

jn tjn t e

dv e vjn

ωω

−−= =

−



179

Então,

( )2

20

2

jn tjn t

n

t eC e d t

jn jn

ωωω ω

π

−−

= − − − ∫

( ) ( )2 2

20

2

jn tjn t

n

t eC e

jn jn

ωωω

π

−−

= −

− −

( ) ( )( )

2

2 2 0

201

2

jn t

n

eC jn t

jn

ω πω

π

− = − −

−

( )( ) ( )

( )( )

2

2 2 0

cos201

2n

n t jsen n tC jn t

jn

πω ωω

π

−= − −

−

( )( ) ( )

( )( )

( )2 2 2

cos 2 220 12 1

2n

n jsen nC jn

jn jn

π ππ

π

−= − − +

− −

( )( )

( ) ( )2 2 2

2 120 1

2n

jnC

jn jn

ππ

− −= +

− −

( )( )

( )2 2

2 1 120

2n

jnC

jn

ππ

− − +=

−

daí

10nC j

nπ=

Portanto

2 25 10 10 5( ) ... 10 ..j t j t j t j tf t j e j e j e j eω ω ω ωω

π π π π− − = − − + + + +



180

A partir da forma exponencial é possível determinar a respectiva forma trigonométrica, como segue:

0 02a C=

10 10n n na C C j j

n nπ π−= + = +−

0na =

( ) 10 10n n nb j C C j j j

n nπ π− = − = − −

20nb

nπ= −

Assim

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 12 3 4 ....20


f tω ω ω ω

ωπ

+ + + + = −



181

EXEMPLO NUMÉRICO 5

Considere uma função ( )f tω tal que ( )f tω = ( )2f tω π+ definida como segue:

( ) 3030 0f t t para tω ω π ω

π= + − ≤ ≤

( ) 3030 0f t t para tω ω ω π

π= − + ≤ ≤

Fig.16 - Forma de onda Triangular

Determinação dos Coeficientes de Fourier

0

0 0

2

2

K Ka t K d t t K d t

π

πω ω ω ω

π π π−

= + + − +

∫ ∫

2 20

002 2

K t ta t t

π

π

ω ωω ωπ π π−

= + + − +

2 2

0 02 2

Ka

π ππ ππ π π

= − + − +

0 2 2

Ka

π ππ ππ = − + − +

0a K=

-4 -2 0 2 4 6 8 10 0

5

10

15

20

25

30



182

0

0

2cos cos

2n

K Ka t K n t d t t K n t d t

π

πω ω ω ω ω ω

π π π−

= + + − +

∫ ∫

0 02cos cos

2n

Ka t n t d t K n t d t

π πω ω ω ω ω

π π− −

= + +

∫ ∫

0 0

cos cosK

t n t d t K n t d tπ π

ω ω ω ω ωπ

− +

∫ ∫

fazendo

;u t du d tω ω= =

1cos ;dv n t v sen n t

nω ω= =

Tem-se

0

2

1cosn

K t Ka sen n t sen n t d t n t d t

n n π

ω ω ω ω ω ωππ −

= − + +

∫ ∫

2 0

1cos

K t Ksen n t sen n t d t K n t d t

n n

πω ω ω ω ω ωππ

− − +

∫ ∫

( )0 0

2 2

1cosn

K t Ka sen n t n t sen n t

n nn π π

ω ω ω ωππ − −

= + +

( )2 2 0 0

1cos

K t Ksen n t n t sen n t

n nn

π πω ω ω ωππ

− + +

( ) ( ) 2 21 cos cos 1n

Ka n n

nπ π

π = − − − −

Sendo

( ) ( )cos cosn nπ π= −

então

( ) ( ) 2 21 cos 1 cosn

Ka n n

nπ π

π = − + −



183

ou

( )2 2

21 cosn

Ka n

nπ

π= −

Sendo a função ( )f tω par então

0nb =

Portanto

( ) 2

120 1 130 cos cos 3 cos 5 ...

9 25f t t t tω ω ω ω

π = + + + +

Ninguém é insubstituível. Só os arrogantes pensam assim e estão equivocados.



184

TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS LINEARES E ESTACIONÁRIOS: CONVOLUÇÃO

Aquele que convive apenas com pessoas medíocres, Mais cedo ou mais tarde será um deles,

Ou será confundido com eles



185

INTRODUÇÃO

A convoluçãoencontra ampla aplicação nas diversas áreas da Engenharia Elétrica. Entre outras aplicações, pode ser utilizada para determinar a resposta estado zero de um determinado sistema, a qual é obtida fazendo-se a convolução entre o sinal de excitação e a resposta ao impulso desse sistema. Também se apresenta como poderosa ferramenta para encontrar a transformada inversa de LAPLACE de funções complexas. Além disso, por meio do Teorema da Convoluçãoé amplamente utilizada em processamento digital

de imagens. CONVOLUÇÃO DE FUNÇÕES

Sejam ( )f f t= e ( )g g t= funções integráveis e cujo produto também seja uma

função integrável, então a convolução ou produto de convoluçãoé definida como

segue:

( ) ( )0

*t

f g f g t dτ τ τ= −∫

onde o operador denota a operação de convolução. PROPRIEDADES

Para a convolução de funções são válidas as propriedades que seguem: 1. Comutativa: * *f g g f=

2. Associativa: * ( * ) ( * ) *f g h f g h=

3. Distributiva: * ( ) ( * ) ( * )f g h f g f h+ = +

4. Nulidade: *0 0f =

5. Identidade: * ( )f t fδ = onde ( )tδ é a função delta de Dirac.



186

CONVOLUÇÃO ENTRE DOIS PULSOS RETANGULARES

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Função Pulso retangular

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Função Pulso retangular

Fig. 1 – Pulso retangular

Ao deslocarmos a função ( )W τ para a esquerda, gerando a função ( )W t τ− , tanto

uma quanto a outra extremidade dessa função deve ser deslocada de +t, tornando-se ( )1 t− + e ( )1 t+ , respectivamente. Assim, a convoluçãocomeçará a ser diferente de zero

no instante em que ( )1 1t+ = − ou seja, 2t = − . Pelo mesmo raciocínio, a convoluçãoserá

máxima quando ( )1 1t+ = ou seja, 0t = e tornando-se zero a partir do instante em que

( )1 1t− + = , ou 2t = .

( ) ( ) ( )

2 0

11* 4 4 4 1 41 1

4 4 4

4 8

t

ttV t W t d t

t

t

τ τ τ

− ≤ ≤++− = = = + +∫− −

= + += +

( ) ( ) ( )

0 2

11* 4 4 4 4 11 1

4 4 4

4 8

t

V t W t d tt t

t

t

τ τ τ

≤ ≤

− = = = − − +∫− + − +

= + −= − +

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 convolução

Fig. 2 – Convolução de dois pulsos retangulares



187

TEOREMA DA CONVOLUÇÃO

A transformada de Laplace do um produto de duas funções não é igual ao produto

das transformadas de Laplace das duas funções. No entanto, existe uma operação entre funções que, quando transformadas, dá o produto das transformadas das duas funções. Essa operação entre funções é designada convolução, e se apresenta como uma importante ferramenta no cálculo de transformadas inversas. O produto da convoluçãoentre duas funções( )f t e ( )g t define-se da seguinte forma:

( ) ( )0

*t

f g f g t dτ τ τ= −∫

Definição do Teorema da convolução: A transformada de Laplacedo produto da convoluçãoentre duas funções f e g , é igual ao produto das transformadas de Laplace das duas funções. Demonstração: A partir das definições da transformada de Laplacee do produto de convolução, obtemos:

( ) ( )0 0

*t stL f g f g t e d dtτ τ τ

∞ −= −∫ ∫

O integral em τ pode ser estendido até o infinito, se multiplicarmos por uma função degrau unitário que anule a parte desde t até infinito.

( ) ( ) ( )0 0

* stL f g f g t u t e d dtτ τ τ τ∞ ∞ −= − −∫ ∫

Trocando a ordem dos dois integrais, obtemos:

( ) ( ) ( )0 0

* stL f g f g t u t e dt dτ τ τ τ∞ ∞ − = − −

∫ ∫

Sendo

( ) ( ) ( ) ( ) 0

stg t u t e dt L g t u tτ τ τ τ∞ − − − = − −

∫

Pela propriedade do deslocamento em t

( ) ( ) ( ) sL g t u t G S e ττ τ −− − =

Assim, obtemos a igualdade que segue:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

* s sL f g f G S e d G S f e dτ ττ τ τ τ∞ ∞− − = = ∫ ∫



188

Que é igual ao produto das transformadas de Laplacedas duas funções, como pretendíamos demonstrar:

( ) ( )*L f g F S G S=

Esse teorema também se aplica no caminho inverso: a transformada inversa de

Laplacede um produto de funções é igual ao produto deconvoluçãoentre as transformadas inversas das duas funções. O Teorema da convolução é útil no cálculo de transformadas inversas de funções complicadas que possam ser escritas como produto entre funções simples. O produto de convolução entre funções verifica as propriedades: comutativa, associativa e distributiva em relação à soma de funções.

Como em geral a operação de convolução é mais complexa de calcular do que a transformada de Laplace, usa-se este teorema para calcular a convolução calculando-se a transformada das funções, sua multiplicação, e a transformada inversa. Essa técnica é bastante utilizada no processamento de imagem utilizando a transformada de Fourier em vez da transformada deLaplace. Exemplo: Calcule a transformada inversa da função

( ) ( )2 2

aF S

S S a=

+

Podemos escrever a função F como produto entre duas funções,

( ) 1G S

S=

E

( ) ( )2 2

aH S

S a=

+

As transformadas inversas de G eH são respectivamente,

( ) 1g t =

( ) ( )h t sen at=

E a transformada inversa de F é igual ao produto de convoluçãoentreg eh , ou seja:

( ) ( ) ( ) [ ]0

11* 1 cos

tf t sen at sen at d at

aτ= = = −∫



189

Utilizando decomposição em frações parciais

( ) 2 22 2

a A B CS

S SS S a ω+= +++

( ) ( )2 2 2

2 2 2 2

a AS Aa BS CS

S S a S S a

+ + +=+ +

( )( )

( )2 2

2 2 2 2

A C S BS Aaa

S S a S S a

+ + +=

+ +

Daí, ( ) 2 0A C S+ =

0A C+ =

A C= −

0BS=

0B =

2Aa a=

1A

a=

e

1

Ca

= −

Substituindo A, B e C na equação inicial, tem-se:

( ) ( )2 2 2 2

1a S

aSS S a a S a= −

+ +

ou

( ) 2 22 2

1 1a S

a S S aS S a

= − ++

Retornando ao domínio do tempo

( ) [ ]11 cosf t at

a= −



190

TEOREMA DA CONVOLUÇÃO NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

A transformada de Fourier de duas funções convoluídas no domínio do espaço é igual ao produto das transformadas das duas funções no domínio de Fourier:

( ) ( ) ( ) ( ), * , , . ,f x y h x y F Hx y x yω ω ω ω ℑ =

Este teorema é de grande importância no processamento de imagens.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

( )h xℑ ( )f xℑ

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

xω

( )F xω

-15 -10 -5 0 5 10 15

-2

0

2

4

6

8

10

xω -15 -10 -5 0 5 10 15

-2

0

2

4

6

8

10

xω

Fig. 3 - Teorema da Convolução: ( ) ( ) ( ) ( )[ * ] .x xf x h x F Hω ωℑ =

Convolução

↓

( )h x

A

( )f x

A

( ) ( )*h x f x

2

2 0A x

( ) ( ).H Fx xω ω

( )2

02Ax

( )H xω

2 0Ax

( )F xω

2 0Ax

↑ Multiplicação

2 0x− 2 0x x

0x

π− 0x

π

0x

π 0x

π

0x−

0x x

0x− 0x x



191

TRANSFORMADA DE FOURIER: FUNÇÃO PULSO RETANGULAR.

( ) ( )/ 2

2

T j t

TF t f t e dtωω −

−= ∫

0

0

x j t

xA e dtω−

−= ∫

( )0

0

1 xj t

x

Ae

T jω

ω−

− = −

( )

0 0j x j xAe e

jω ω

ω− = − −

( )0 0j x j xA

e ej

ω ω

ω− = − + −

0 0j x j xe e

Aj

ω ω

ω

− −=

( )0 0

0

0

2

2

j x j xx e eA

j x

ω ω

ω

− − =

Utilizando as equações de EULER

( ) ( )0 0

2

j x j xe esen t

j

ω ω

ω−−

=

Portanto

( ) ( )( )

00

0

2sen x

F t Axx

ωω

ω=



192

TRANSFORMADA DE FOURIER: FUNÇÃO PULSO UNITÁRIO

( )/ 2

2

1 T j tn T

C f t e dtT

ω−−

= ∫

/ 2

2

1 j tA e dtT

ω∆ −−∆

= ∫

( )2

2

1 1 1 j teT j

ω

ω

∆−

−∆ = ∆ −

( )2 2

1 1 j je e

T j

ω ω

ω∆ ∆− = −

∆ −

( )

2 21 1 j j

e eT j

ω ω

ω∆ ∆− = − +

∆ −

( )2 221

2

j je e

T j

ω ω

ω

∆ ∆− − = ∆

( )2 2

1

22

j je e

T j

ω ω

ω

∆ ∆− − = ∆

( )( )

1 2

2n

senC

T

ω

ω

∆=

∆

ou

( )( )

1n

sen xC

T x=



193

Para um caso particular no qual o período é igual à unidade, a forma de onda correspondente será:

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2gráfico de f(x)=sin(x)/x

x

y

Fig. 4 – Transformada de Fourier do pulso unitário

Ninguém muda da noite para o dia. As verdadeiras mudanças demandam tempo.



194

CODIGOS NO AMBIENTE MATLAB

Os caminhos do saber são incontáveis. Percorrê-los é sempre gratificante.



195

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.1 --------------------------------------------------- ---------- clear all per=input( ' Entre com o período: ' ); n=input( ' Entre com o numero de harmonicos: ' ); x=-per/2:0.01:per/2; f=-1*(x< 0 & x>-per/2)+1*(x>=0 & x<per/2); plot(x,f, 'r' ),grid,pause z=abs(fft(f))/(50*per); stem(0:2*n-1,z(1:2*n)),grid; title( 'Espectro de Linha' ) ylabel( 'Valor da Harmônica' ) xlabel( ' nº da Harmônica' )

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Val

or d

a H

arm

ônic

a

nº da Harmônica

--------------------------------------------------- ----------



196

Programa P-1.2 --------------------------------------------------- ---------- clear all clear all n=input( ' entre com n: ' ); per=input( ' entre com o período: ' ); w=2*pi/per; T=per/2; x=-T:0.01:T; f=-1*(x<0 & x>-T)+1*(x>0 & x<T); kx=fix((n+1)/2); s=zeros(size(x)); y = zeros(kx,max(size(w*x))); for k=1:2:n; s=s+(4/(k*pi))*sin(k*w*x); y((k+1)/2,:)=s; end plot(x,s, 'r' ,x,f, 'b' ),grid; title( 'Forma de onda' ),pause plot(x,y(1:1:kx,:),x,f, 'b' ),grid, title( 'Construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs' ), pause x=0:0.01:T; s=zeros(size(w*x)); y = zeros(kx,max(size(w*x))); for k=1:2:n; s=s+(4/(k*pi))*sin(k*w*x); y((k+1)/2,:)=s; end z = (abs(fft([y(kx,:),-y(kx,:)]))); stem(0:2*kx-1,z(1:2*kx)/(50*per)),grid; title( 'Espectro de Linha' ) ylabel( 'Valor da Harmônica' ) xlabel( ' nº da Harmônica' )

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Forma de onda



197

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Val

or d

a H

arm

ônic

a

nº da Harmônica



198

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.3 --------------------------------------------------- ---------- clear all n=input( ' entre com n: ' ); per=input( ' entre com o período: ' ); w=2*pi/per; x=-per/2:0.01:per/2; f=-1*(x<0 & x>-per/2)+1*(x>0 & x<per/2); %f=-1*(x<0)+1*(x>0); s=zeros(size(x)); k=1; s1=2*((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x)/pi; k=3; s2=2*((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x)/pi; k=5; s3=2*((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x)/pi; for k=1:n; s=s+((1-(-1)^k)/k)*sin(k*w*x); end s=(2/pi)*s; plot(x,s1, 'g' ,x,s2, 'b' ,x,s3, 'm' ,x,s, 'k' ,x,f, 'r' ), grid; title( 'Composição da forma de onda' )

-3 -2 -1 0 1 2 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1




199

--------------------------------------------------- --------- Programa P-1.4 --------------------------------------------------- ---------- clear all per=input( ' Entre como o periodo: ' ); nh=input( ' Entre como o nº de harmonicos: ' ); w=2*pi/per; t = 0:.02:per/2; f=-1*(t<0)+1*(t>0); y = zeros(nh,max(size(w*t))); x = zeros(size(t)); for k=1:2:2*nh-1 x=x+(4/(pi*k))*sin(k*w*t); y((k+1)/2,:) = x; end plot(t,y(1:1:nh,:)'), title( 'A construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs' ), grid, pause plot(t,x, 'r' ,t,f, 'b' ), title( 'Forma de onda resultante' ), grid, pause mesh(1:2:2*nh-1,t,y') view(60,35), grid xlabel( 'no. harmônica' ) ylabel( 'tempo' ) axis ij, grid, pause z = (abs(fft([y(nh,:),-y(nh,:)]))); stem(0:2*nh-1,z(1:2*nh)/(25*per)), grid title( 'Espectro de Linha' ) ylabel( 'Valor da Harmônica' ) xlabel( ' nº da Harmônica' )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4A construção de uma onda quadrada: o efeito de Gibbs



200

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Forma de onda resultante

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Val

or d

a H

arm

ônic

a

nº da Harmônica



201

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.5 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % delta=13/10000; t=0; per=input( ' Entre com o período: ' ); for i=1:10001 if t<=per f(i)=(20/per)*t; else if t<=2*per f(i)=(20/per)*t-20; else f(i)=0; end end i; x(i)=t; t=t+delta; end plot(x,f, 'b' ),grid;

0 2 4 6 8 10 12 140

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20



202

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.6 --------------------------------------------------- ---------- clear all per=input( ' entre com o período: ' ); n=input( ' entre com n: ' ); w=2*pi/per; x=-0:0.01:per; f=(20/(per))*x; s=zeros(size(x)); y = zeros(n,max(size(x))); s=10; for k=1:n; s=s+(-20)*sin(k*w*x)/(k*pi); y(k,:)=s ; end plot(x,s, 'r' ,x,f, 'b' ),grid; title( 'Forma de onda' ) pause plot(x,y(1:1:n,:),x,f, 'b' ),grid, title( 'Construção de uma onda triangular' ),pause z=abs(fft(f))/(50*per); z(1)=z(1)/2; % ?? para dar certo o valor dc ?? stem(0:n,z(1:n+1)),grid; title( 'Espectro de Linha' ) ylabel( 'Valor da Harmônica' ) xlabel( ' nº da Harmônica' )

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10

15

20

25Forma de onda



203

0 1 2 3 4 5 6-5

0

5

10

15

20

25Construção de uma onda triangular

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

2

4

6

8

10

12Espectro de Linha

Val

or d

a H

arm

ônic

a

nº da Harmônica



204

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.7 --------------------------------------------------- ---------- clear all per=input( ' Entre como o periodo: ' ); n=3; w=2*pi/per; x=0:0.01:per; f=(20/per)*x; s=zeros(size(x)); for k=1:n; s=s+(-1)*sin(k*w*x)/k; end s=10+(20/pi)*s; s0=10*(x>=0); s1=-(20/pi)*sin(w*x); s2=-(20/(2*pi))*sin(2*w*x); s3=-(20/(3*pi))*sin(3*w*x); plot(x,s0, 'm' ,x,s1, 'b' ,x,s2, 'y' ,x,s3, 'g' ,x,s, 'k' ,x,f, 'r' ),grid

0 1 2 3 4 5 6 7-10

-5

0

5

10

15

20



205

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.8 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % delta=19/10000; t=0; per=input( ' Entre com o período: ' ); for i=1:10001 if t<=per f(i)=(20/per)*t; else if t<=2*per f(i)=0; else if t<3*per f(i)=(20/per)*t-40; else f(i)=0; end end end i; x(i)=t; t=t+delta; end plot(x,f, 'b' ),grid;

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20



206

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-1.9 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % K=input( ' Entre com K: ' ); per=input( ' Entre com o período: ' ); T=per/2; delta=per/100; t=-per/2; aux=t; for i=1:201 if i<=100 if aux<0 f(i)=(K/T)*aux+K; else f(i)=(-K/T)*aux+K; end else if i<=150; f(i)=(K/T)*aux-K; else f(i)=(-K/T)*aux+3*K; end end x(i)=aux; aux=t+i*delta; end plot(x,f, 'b' ),grid;

-2 -1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4



207

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-2.1 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % incr=0; tal=5/10000; np=1000; t1=4*tal; t2=8*tal; t3=12*tal; tempo=13*tal; delta=tempo/np; for k=1:np+1; if incr<=t1 p(k)=20-20*exp(-2000*incr); else if incr<=t2 p(k)=-30+50*exp(-2000*(incr-t1)); else p(k)=40-70*exp(-2000*(incr-t2)); end end x(k)=incr; incr=incr+delta; end plot(x,p, 'b-' ),grid; title( 'Corrente Série do Circuito' ) xlabel( 'tempo(s)' ) ylabel( 'corrente(A)' )

0 1 2 3 4 5 6 7

x 10-3

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Corrente Série do Circuito

tempo(s)

corr

ente

(A)



208

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-2.2 --------------------------------------------------- ---------- % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % incr=0; tal=5e-2; np=1000; t1=4*tal; t2=8*tal; t3=12*tal; tempo=13*tal; delta=tempo/np; for k=1:np+1; if incr<=t1 p(k)=40*exp(-20*incr); else if incr<=t2 p(k)=-20*exp(-20*(incr-t1)); else p(k)=-50*exp(-20*(incr-t2)); end end x(k)=incr; incr=incr+delta; end plot(x,p, 'b-' ),grid; title( 'Corrente Série do Circuito' ) xlabel( 'tempo(s)' ) ylabel( 'corrente(A)' )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40Corrente Série do Circuito

tempo(s)

corr

ente

(A)



209

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-2.3 --------------------------------------------------- ---------- % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % incr=0; tal=4/10000; np=1000; t1=2*tal; t2=8*tal; t3=12*tal; tempo=13*tal; delta=tempo/np; for k=1:np+1; if incr<=t1 p(k)=300*exp(-2500*incr); q(k)=300-p(k); else if incr<=t2 p(k)=-259.4*exp(-2500*(incr-t1)); q(k)=-p(k); else p(k)=-600*exp(-2500*(incr-t2)); q(k)=-600-p(k); end end x(k)=incr; incr=incr+delta; end plot(x,p, 'b-' ,x,q, 'r' ),grid; title( 'Tensões nos terminais do Indutor e do Resistor' ) xlabel( 'tempo(s)' ) ylabel( 'tensão(v)' )

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300Tensões nos terminais do Indutor e do Resistor

tempo(s)

ten

são

(v)



210

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-2.4 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa traça as curvas de circuitos submet idos a chaveamentos % incr=0; tal=1/1000; np=1000; t1=500e-6; tempo=4*tal; delta=tempo/np; for k=1:np+1; if incr<=t1 p(k)=150*(1-exp(-1000*incr)); s(k)=150-p(k); j(k)=s(k)/200; else p(k)=-41*exp(-1000*(incr-t1))+100; s(k)=100-p(k); j(k)=s(k)/200; end x(k)=incr; incr=incr+delta; end plot(x,p, 'b-' ,x,s, 'r--' ,x,j, 'k-.' ),grid; title( 'Tensões nos terminas do Capacitor e do Resistor' ) xlabel( 'tempo(s)' ) ylabel( 'Tensão(v)' )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10-3

0

50

100

150Tensões nos terminas do Capacitor e do Resistor

tempo(s)

Ten

são(

v)



211

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-3.1 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa plota convolução entre dois pulsos retangularesi % f=0; z=-4:0.01:4; f=2*(z>=-1 & z<=1); plot(z,f, 'b' ),grid; axis([-4 4 0 8]) title( 'Função Pulso Retangular' ) pause x=-2:0.01:0; g=8*(x>=-2 & x<=0); g=g+4*x; y=0:0.01:2; g1=0*(y>=0 & y<=2); g1=g1-4*x; plot(x,g, 'b' ,y,g1, 'b' ),grid; axis([-4 4 0 8]) title( 'Convolução' )

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8Função Pulso Retangular

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8Convolução



212

--------------------------------------------------- ---------- Programa P-3.2 --------------------------------------------------- ---------- clear all % % Este programa plota a função sen(x)/x % x=-20:0.01:20; y=x; r=sqrt(x.^2+y.^2)+eps; z=sin(r)./r; plot(x,z),grid; axis([-20 20 -.4 1.2]) title( 'gráfico de f(x)=sin(x)/x' ) xlabel( 'x' ) ylabel( 'y' ) pause quit

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2gráfico de f(x)=sin(x)/x

x

y

“Quando a argumentação é longa pode comprometer o objetivo da causa”



213

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

“ Diga-me, que esquecerei. Ensina-me, que recordarei. Envolva-me, que aprenderei.”



214

Circuito RLC Série 1) Para 0 Sobreamortecimento∆ > →

10

20

10

R

L mH

C mF

= Ω==

1.1 ( ) ( )100 10ºv t sen tω= +

( )2

2

( ) ( ) 1 100( ) cos 10º

d i t R di ti t t

dt L dt LC Lω ω+ + = +

( )2

2

( ) ( )500 5000 ( ) 1885.000cos 10º

d i t di ti t t

dt dtω+ + = +

Solução Homogênea Associada

( )2

2

500 500 20000

2Lr− ± −

=

( )2 2500 5000) 0 500 5000 0D D i r r+ + = → + + =

1 10.21r = −

2 489.79r = −

10.21 489.79

1 2tih K e K e− −= +

Solução Particular Associada

( )Im 10ºip sen tω α= + +

1 7.27436.032

10tgα − = − = −



215

12 2

2

100Im

1R L

Cω

ω

= + −

100

Im 8.0912.36

= =

Portanto: ( )8.09 26.032ºip sen tω= −

Solução Geral

( )10.21 489.79

1 2 8.09 26.032ti K e K e sen tω− −= + + −

Cálculo de K1 e K2

( ) ( )1 20 8.09 26.032i K K sen= + + −

1 20 3.55( )K K a= + −

10.21 489.79

1 210.21 489.79 8.09 377cos(377 26.032)tdiK e K e t

dt−= − − + × −

1 2

(0) (0)10.21 489.79 2740.51 868.24 ( )

di VK K b

dt L= − + = =

De (a) 2 13 .55 ( )K K a= −

Substituindo em (b) 1 110.21 489.79(3.55 ) 2740,51 868.24K K− − − − =

1 110.21 1738.75 489.79 2740,51 868.24K K− − + − =

( )

( )1

868.24 2740.51 1738.75

10.21 489.79K

− +=

− +

1

133.56

479.58K = − , ou 1 0.278K = −



216

Substituindo em (a) 2 3.55 0.278K = + , ou 2 3.828K =

A solução geral será: ( )10.21 489.790.28 3.83 8.09 26.032ºti e e sen tω− −= − + + −

1.2 ( ) ( )100v t sen tω=

( )10.21 489.79

1 2 8.09 36.03ti K e K e sen tω− −= + + −

1 20 4.759K K= + −

1 2

(0)10.21 489.79 3.049.93cos( 36.03)

diK K

dt= − − + −

2 14.759K K= −

1 110.21 2330.91 489.79 2466.82 0K K− − + + =

( )( )1

2330.91 2466.82

10.21 489.79K

−=

− +

1 1

135.910.283

479.58K K

−= → = −

2 24.759 0.283 5.04K K= + → =

( )10.21 489.790.283 5.04 8.09 36.03ti e e sen tω− −= − + + −

1.3 ( ) 100v t =

10.21 489.79

1 2ti K e K e− −= +

1 2 2 1(0) 0i K K K K= + = → = −



217

10.21 489.791 210.21 489.79tdi E

K e K edt L

− −= − − =

31 2

(0) 10010.21 489.79 10 5000

20

diK K

dt== − − = × =

1 2 1

500010.21 489.79 5000 10.42

479.58K K K− + = → = =

2 10.42K = −

daí,

10.21 489.7910.42 10.42ti e e− −= −

2) Para 0∆ = Criticamente Amortecido 2.1 ( )( ) 120 377 40ºv t sen t= +

4R = Ω

20L mH=

5C mF=

Equação Descritiva correspondente é dada por:

( )2

200 10000 2262000cos 377 40º²

d i dii t

dt dt+ + = +

( )² 200 10000 0D D i+ + =

1 2 100r r= = −

100 100

1 2t tih K e K te− −= +




218

120Im 14.868

8.07= =

( )1 1.7525 60.3ºtgα −= − = −

( )14.868 20.3ºip sen tω= −

( )100 100

1 2 14.868 20.3ºt ti K e K e sen tω− −= + + −

1(0) 5.158 0i K= − =

1 5.158K =

( )100 100 1001 2 2100 100 5605.23cos 20.3ºt t tdi

K e K e K te tdt

ω− − −= − + − + −

( )1 2 3

(0) (0) 120100 5257.08 40º 3856.72

20 10

di vK K sen

dt L −= − + + = = =×

2515.8 5257.08 3856.72K− + + =

2 884.55K = −

( )100 1005.158 884.55 14.868 20.3ºt ti e te sen tω− −= − + −

2.2 ( )( ) 120v t sen tω=

( )100 100

1 2 14.868 60.3ºt ti K e K te sen tω− −= + + −

1(0) 12.91i K= −

1 12.91K =

( )100 100 1001 2 2100 100 5605.23cos 60.3ºt t tdi

K e K e K te tdt

ω− − −= − + − + −

1 2

(0)100 2777.16 0

diK K

dt= − + + =



219

21291 2777.16 0K− + + =

2 1486.16K = − ( )100 10012.91 1486.16 14.868 377 60.3ºt ti e te sen t− −= − + −

2.3 ( ) 120v t =

100 100

1 2t ti K e K te− −= +

1(0) 0i K= =

100 100 100 3

1 2 2

( ) 120100 100 10 6000

20t t tdi t E

K e K e K tedt L

− − −= − + − = = × =

2

(0)6000

diK

dt= =

100( ) 6000 ti t te−=

3) Para 0∆ < Oscilação 3.1

2R = Ω

20L mH=

10C mF=

Equação descritiva correspondente:

( )2 1 120

cos 377 40º²

d i R dii t

dt L dt LC L+ + = +

( ) 120 (377 40º )v t sen t= +



220

2

100 5000 1732792.5²

d i dii

dt dt+ + =

( )² 100 5000 0 ² 100 5000 0D D i r r+ + = → + + =

[ ]12

1,2

100 100² 20000

2r

− ± −=

1 50 50r j= − +

2 50 50r j= − −

( ) ( )50 50 50 50

1 2j t j tih K e K e− + − −= +

( )50

1 2cos(50 ) (50 )tih e C t C sen t−= +

( ) 1

2 2

120Im

4 0.265 7.54

=+ −

( )1 17.2753.637

2tg tgα − − = − = −

74.62ºα = −

15.9 ( 40º 34.62º )ip sen tω= + −

15.9 ( 34.62º )ip sen tω= −

( )50

1 2cos(50 ) (50 ) 15.9 ( 34.62º )ti e C t C sen t sen tω−= + + −

( ) ( )( )501 250 (50 ) 50cos(50 ) 50cos(50 ) 50 (50 )

5994.3cos( 34.62º )

tdie C sen t t C t sen t

dttω

− = − + + − +

+ −

1,2

100 100

2

jr

− ±=

120Im Im 15.9

7.545= → =



221

1 1(0) 9.03 0 9.03i C C= − = → =

1 2

(0)50 50 4932.93 3856.72

diC C

dt= − + + =

( ) ( )

2 2

50

451.65 50 1076.21 12.49

9.03cos(50 ) 12.49 (50 ) 15.9 34.62ºt

C C

i t sen t e sen tω−

− + = − → = −

= − + −

3.2 ( ) 120 ( )v t sen tω=

[ ]501 2cos(50 ) (50 ) 15.9 ( 74.62º )ti e K t K sen t sen tω−= + − −

1 1(0) 15.33 0 15.33i K K= − = → =

1 2

(0)50 50 15.9 377cos( 74.62º )

diK K

dt= − + + × −

2 20 766.5 1589.8 50 16.466K K= − + + → = −

[ ]50 15.33cos( ) 16.466 ( ) 15.9 ( 74.62º )ti e t sen t sen tω ω ω−= − + −

3.3 ( ) 120v t =

[ ]501 2cos(50 ) (50 )ti e K t K sen t−= +

1(0) 0i K= =

1 2

(0) 12050 50 6000

diK K

dt L= − + = =

2 250 6000 120K K= → =

( )( ) 50120 50 ti sen t e−=



222

4) Circuito RC serie

4.1 ( ) 200 ( 30º )v t sen tω= + 10R = Ω

5C mF=

Equação descritiva:

( )1200 cos 30º

dii t

dt RC R

ω ω+ = +

( )20 7540cos 30ºdi

i tdt

ω+ = +

Solução homogênea associada

t

RCih Ke−

=

Solução particular associada:


( ) ( )

3

12 2 2

200 10Im 0.5305

377 510

C

C

X

X

= → = = Ω×

+

Im 19.97=

1 0.533.033º

10tgα α− = → =



223

( )19.97 33.033ºip sen tω= +

( ) ( )(0) 19.97 33.033º 20 30º 10i K sen sen= + = =

10.88 10 0.88K K+ = → = −

( )200.88 19.97 33.033ºti e sen tω−= − + +

4.2 ( )( ) 200v t sen tω=

( )20 19.97 3.033ºti Ke sen tω−= + +

(0) 1.056 0 1.056i K K= + = → = −

( )201.056 19.97 3.033ºti e sen tω−= − + +

4.3 ( ) 200v t =

20 200ti Ke−= +

200(0) 20

10i K= = =

2020 ti e−=

5) Circuito RL serie

5.1 Equação descritiva

( )( ) 100500 10º

di R v t dii i sen t

dt L L dt Lω+ = → + = +

( )( ) 100 377 10

10

20

v t sen t

R

L mH

= += Ω=



224

( )500 5000 10ºdi

i sen tdt

ω+ = +

500tih Ke−=

( )( ) ( )

12 2 2

100Im 10 Im 7.98

10 7.54

ip sen tω α= + − → = = +

1 7.5437º

10tgα − = =

( )500 7.98 27ºti Ke sen tω−= + −

(0) 3.62 0 3.62i K K= − = → =

( )5003.62 7.98 27ºti e sen tω−= + −

5.2 ( ) 100 ( )v t sen tω=

500 7.98 ( 37º )ti Ke sen tω−= + −

(0) 4.8 0 4.8i K K= − = → =

5004.8 7.98 ( 37º )ti e sen tω−= + −

5.3 ( ) 100v t =

500 5000di

idt

+ =

500tih Ke−=

500 50005000 10

Rt tLip e e dt L

R

−= = × =∫

500 10ti Ke−= +



225

(0) 0 10 10i K K= = + → = − 50010(1 )ti e−= −

6) Circuito LC serie

6.1

Equação Descritiva

3

² 1 1 ( ) 377 100cos(377 10º )

² 20 10

d i dv ti

dt LC L dt −

×+ = × = −×

Solução Homogênea

1,2 0

1² 0r r j

LCω+ = → = ±

0

1100

LCω = =

100 100

1 2j t j tih K e K e−= +

1 2cos(100 ) (100 )ih C t C sen t= +

( )( )

1

2

100Im 10º Im 14.26

0,53 7.54 ²ip sen tω α= + + → = =

−

1 7.0190º

0tgα α− = − → = −

14.26 ( 80º )ip sen tω= −

1 2cos(100) (100) 14.26 ( 80º )i C t C sen t sen tω= + + −

1 1(0) 14.04 14.04i C C= − → =

1 2100 (100) 100 (100) 14.26 377 ( 80º )di

C sen t C sen t sen tdt

ω= − + + × −

( )( ) 100 10º

20

5

v t sen t

L mH

C mF

ω= +==



226

2

(0)100 933.53 868.24 (10º )

di VmC sen

dt L = + = × ×

2 0.653C = −

14.04cos(100) 0.653 (100) 14.26 ( 80º )i t sen t sen tω= − + −

6.2 ( ) 100 ( )v t sen tω=

1 1(0) 14.26 14.26i C C= − → =

( )2

(0)100 0 0

di VmC sen

dt Lφ = − = ×

2 0C =

14.26cos(100) 14.26 ( 90º )i t sen tω= + −

6.3 ( ) 100v t = 1 2cos(100) (100)i C t C sen t= + 1(0) 0i C= =

1 2100 (100) 100 cos(100)di

C sen t C tdt

= − +

32

(0) 100100 10 5000

20

diC

dt= = × =

2 50C =

50 (100 )i sen t=

É fundamental compreender que as equações para as tensões do sistema, podem ser determinadas a partir do conhecimento da equação da corrente. Além disso, também podem ser determinadas por meio das respectivas equações características ou com o auxílio da lei de Kirchhoff, como pode ser constatado no próximo exemplo. 7) Circuito RLC serie



227

2R = Ω

20L mH=

10C mF= ( ) 100 ( )v t sen tω= (0) 10Cv volts=

100R

L=

1

5000LC

=

Equação descritiva, modelando a tensão no capacitor:

² 100( )

²C C Cd v dv vR

sen tdt L dt LC LC

ω+ + =

Equação característica: ² 100 5000 0D D+ + = 1,2 50 50r j= − ±

( ) ( )( )50

1 2costCv h e C t C sen tω ω−= +

( )1100 13.25 74.63ºC CV p i dt sen t

Cω= = −∫ ∫

( ) ( )1325cos 74.63º 3.514cos 74.63º

377CV p t tω ω= − − = − −

( ) ( )( ) ( )50

1 2cos cos 3.514cos 74.63ºtCv e C t C t tω ω ω−= + − −

( ) ( )( ) ( )50

1 2cos cos 3.514cos 74.63ºtCv e C t C t tω ω ω−= + − −

( ) ( )( ) ( )501 250 cos cos 3.514cos 74.63ºtC

C

dvv e C t C t t

dtω ω ω−= = − + − − +



228

( ) ( )( ) ( )50

1 2 cos 3.514 377cos 74.63ºte C sen t C t tω ω ω ω ω−+ − + − × −

1 1(0) 0.93 10 10.93Cv C C= − = → =

1 2 2 250 1277.4 546.5 50 1277.4 36.48CdvC C C C

dt= − + − = + − → =

( ) ( )( ) ( )50 10.93cos 50 36.5 50 3.52cos 74.63ºt

Cv e t sen t tω−= + − −

A corrente serie do circuito é dada por:

( ) ( )( )501 2cost

hi e C t C sen tω ω−= +

( )1

2

100 100

7.554 7.54 0.265 ²

ip = =+ −

13.25ip A=

1 7.275

2i tgθ −= −

74.63ºiθ = −

daí

( ) ( )( ) ( )501 2cos 13.25 74.63ºti e C t C sen t sen tω ω ω−= + + −

1 1(0) 12.77 0 12.77i C C= − = → =

( ) 00(0) 10

1000 50020

COv v Ridi

dt L

− −= = − × = −

( ) ( )( ) ( ) ( )( )50 501 2 1 250 cos cost tdi

e C t C sen t e C sen t C tdt

ω ω ω ω ω ω− −= − + + + +

( )13.25 377cos 74.63ºtω+ × −



229

50 501 2 1 2

(0)50 ( cos( ) ( )) ( ( ) cos( ))t tdi

e C t C sen t e C sen t C tdt

ω ω ω ω ω ω− −= − + + − + +

13.25 377cos( 74.63º )tω+ × −

1 2

(0)50 50 1324 500

diC C

dt= − + + = −

2 2638.5 50 1324 500 23.71C C− + + = − → = −

Assim,

( )50 12.78cos(50 ) 23.7 (50 13.25 ( 74.63º )ti e t sen t sen tω−= − + −

Utilizando-se a equação da corrente é possível encontrar as equações para as demais variáveis do circuito conforme pode ser observado a seguir:

( )3 5020 10 [ 50 12.78cos(50 ) 23.71 (50 )tL

div L e t sen t

dt− −= = × − − +

( ) ( )50 639 (50 ) 1185.5cos(50 ) ] 495.25cos 74.63º te sen t t tω−+ − − + −

( )50[ 36.49cos(50 ) 10.93 (50 ) 99.9cos( 74.63º )]t

Lv e t sen t tω−= − + + −

A tensão no capacitor também pode ser determinada utilizando-se a Lei de Kirchhoff, na forma que segue: R C L C R Lv v v v v v v v+ + = → = − −

( ) 50100 (25.56cos(50 ) 47.43 (50 )) 26.51 ( 74.63º )tCv sen t e t sen t sen tω ω−= − − − − −

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

50

50

36.49cos 50 10.93 50 99.94cos 74.63º

10.93cos 50 36.5 50 3.52cos 74.63º

t

tC

e t sen t t

v e t sen t t

ω

ω

−

−

− − + − −

= + − −

“Na vida o importante não é ter muito e sim precisar de pouco”

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