FUNDAMENTOS PARA O PROJETO DE COMPONENTES

DE MÁQUINAS

Prof. Dr. Perrin Smith Neto

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FUNDAMENTOS PARA O PROJETO DE COMPONENTES DE MÁQUINAS

Prof. Dr. Perrin Smith Neto

Departamento de Engenharia Mecânica

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

Instituto Politécnico da Universidade Católica

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

PREFÁCIO DA 1A EDIÇÃO

Durante mais de 30 anos temos tido contato com os alunos do curso de engenharia

mecânica de diferentes Universidades Brasileiras como Universidade Federal de Minas

Gerais, Universidade Federal de Uberlândia, Universidade de São Paulo, Pontifícia

Universidade Católica do Rio de Janeiro, do Paraná e de Minas Gerais. Atualmente estamos

lecionando a disciplina Elementos de Máquinas para o curso de Engenharia Mecânica e

Mecatrônica da PUC-Minas. Todos os alunos se queixam da falta de um bom livro texto

nesta área em português. Também sentem dificuldades entre a ligação da teoria que

aprendem na Universidade e a prática profissional. O impacto que a disciplina Elementos

de Máquinas causa é muito grande, e, inúmeras vezes, vemos a necessidade de realizar um

grande esforço para que a impressão de nulidade na disciplina não marque

irremediavelmente o aluno que se inicia na matéria. Para o dimensionamento dos

elementos de máquinas, que é uma aplicação contínua das teorias estudadas em

Resistência dos Materiais, Mecânica dos Sólidos, Comportamento Mecânico dos Materiais,

Mecânica Racional, sentem-se os alunos perdidos, dentro de um campo imenso de

possibilidades, obrigados a tomar decisões, e a definir um campo imenso de possibilidades,

uma situação particular, sem que se sintam com pleno domínio daquelas teorias. O clamor

é geral, e por isso, marca realmente o ponto: falta para os estudantes de engenharia

mecânica, a parte prática neste campo de engenharia. Alguns tópicos, por deficiência dos

programas, são tratados superficialmente sem uma objetividade necessária, como a Fadiga

e a Concentração de tensões. Dentro da técnica moderna é impossível diminuir a

importância destes assuntos. São básicos, essenciais. O dimensionamento de uma peça de

máquina exige em profundidade aquilo que foi dado superficialmente na sala de aula. E fica

então o aluno, com aquele sentimento de frustração a que se referiu no inicio.

Incentivados por nossos ex-alunos e colegas das Universidades, com o intuito de

melhor prepará-los para aplicações reais, estamos apresentando o resultado do trabalho

que denominamos Fundamentos para o Projeto de Componentes de Máquinas. Neste livro

pretendemos enfocar na primeira parte os fundamentos do projeto de engenharia mecânica,

características mecânicas dos materiais, dimensionamento estático e dinâmico incluindo

conceitos de fadiga e concentração de tensões. Na parte de aplicações nos deteremos na

análise de parafusos de união, soldagem, molas, lubrificação e mancais de deslizamento,

mancais de rolamentos, engrenagens cilíndricas, eixos e árvores de transmissão, freios e

embreagens e elementos flexíveis de transmissão como correias, correntes e cabos de aço.

Durante estes anos de ensino superior, pudemos desenvolver junto com os alunos,

vários exercícios com utilização de softwares utilizando linguagens conhecidas dos alunos

tipo C++, Fortran, Pascal, etc. Com isto pretendemos neste volume apresentar não somente

um resumo da teoria, mas também alguns exercícios sob a forma de aplicativos,

desenvolvidos para utilização dos conceitos adquiridos no conteúdo da disciplina. Durante

vários anos ministrando a disciplina Elementos de Máquinas, desenvolvemos, orientando os

alunos, os seguintes softwares:

• Vigas-Diagramas de momentos fletores, diagramas de cargas cisalhantes.

• Resistência dos Materiais-cálculo de momentos de polar de inércia, centros de

gravidade para várias seções.

• Círculo de Mohr - determinação numérica e gráfica no estado plano e tridimensional

das tensões máximas normais e cisalhantes, conhecidas as tensões atuantes.

• Calculo da resistência à fadiga de elementos de máquinas em função do tamanho,

acabamento, temperatura, concentração de tensões.

• Cálculo do dimensionamento de parafusos de potência, parafusos de união em

vasos de pressão.

• Cálculo do dimensionamento do filete de solda para cargas de flexão ou torção.

• Dimensionamento de eixos e árvores para carregamento estático e dinâmico.

• Dimensionamento de mancais hidrodinâmicos.

• Dimensionamento de engrenagens cilíndricas retas e helicoidais.

• Seleção de Correias planas e trapezoidais utilizando catálogos de fabricantes.

• Seleção de correntes e cabos de aço.

O objetivo de acrescentar estes programas é de facilitar ao leitor uma visualização dos

conceitos de forma mais prática e moderna. Portanto, a idéia do livro é a de um documento

eletrônico para uma análise computacional dos projetos a serem desenvolvidos durante o

aprendizado.

Agradecemos aos nossos alunos e ex-alunos pelo incentivo que nos deram e ainda

nos dão, a eles dedicamos esta obra. Agradecimentos em especial à Pontifícia

Universidade Católica pelo privilégio de como professor titular na graduação e no mestrado

de engenharia mecânica ter recebido todo o apoio necessário à realização desta obra. As

críticas e sugestões serão sempre bem aceitas, e de antemão, as agradecemos. Também

não poderia de deixar de agradecer ao apoio recebido das Coordenações de Engenharia

Mecânica e Mecatrônica e principalmente do Mestrado de Engenharia Mecânica da

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Gostaria de poder receber de toda a

comunidade acadêmica de engenharia , sugestões e críticas para aperfeiçoamento e

melhoria desta primeira edição. Solo Dei Gloria.

Prof. Dr.Perrin Smith Neto

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Belo Horizonte, Fevereiro de 2005

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Índice CAPÍTULO 01 - INTRODUÇÃO __________________________ ___________ 01 1.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 01 1.2 PROJETO CONCEITO - CADEIRA DE RODAS DE FIBRA DE CARBONO __________ 02 1.2.1 - CICLO DE DESENVOLVIMENTO DO PRODUTO _______________________________ 04 1.2.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE UMA CADEIRA DE RODAS DE LAZER _______ 05 1.3 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A SEGURANÇA _____________________________ 08 1.4 - FATOR DE SEGURANÇA ____________________________________________ 09 1.5 - ESCOLHENDO UM FATOR DE SEGURANÇA ____________________________ 09 1.6 - CONSIDERAÇÕES ECOLÓGICAS _____________________________________ 13 1.7 - CONSIDERAÇÕES SOCIAIS __________________________________________ 14 1.8 - METODOLOGIA P/ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE COMPONENTES MECÂNICOS ____________________________________________ 15 1.9 - UNIDADES ________________________________________________________ 16 1.10 - COMENTÁRIOS SOBRE OS PROGRAMAS COMPUTACIONAIS ____________ 18 1.11 - CONFIABILIDADE DO PROJETO MECÂNICO ___________________________ 18 1.12 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL _______ 22

CAPÍTULO 02 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES ____ __________ 24 2.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 24 2.2 - TENSÃO __________________________________________________________ 24 2.3 - TENSÕES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL _________________ 27 2.3.1 - CARGA AXIAL __________________________________________________________ 27 2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSÃO DE APOIO ________________________________________ 27 2.3.3 - TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO _______________________________________ 28 2.4 - TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO ______________________________________ 29 2.4.1 - EQUAÇÕES PARA TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PLANA _____________________ 29 2.4.2 - CÍRCULO DE MOHR ______________________________________________________ 30 2.4.3 - CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES _______________________ 32 2.4.4 - TENSÕES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES __________________ 34 2.4.5 - CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENSÕES ____________________ 35 2.5 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÃO _________________________________________ 36 2.6 - LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ____________________________________________ 37 2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS ___________________ 37 2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS (ESTADO TRIAXIAL DE TENSÕES) _______________________________________________ 38 2.7 - EXTENSOMETRIA __________________________________________________ 39 2.7.1 - EXTENSÔMETRO ELÉTRICO (STRAIN-GAUGE) _______________________________ 40 2.7.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO E USO ____________________________________ 42 2.7.3 - TIPOS DE EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS (STRAIN-GAUGES) __________________ 43 2.8 - RELAÇÕES TENSÃO - DEFORMAÇÃO _________________________________ 45 2.9 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS _______________________________ 45 2.9.1 - INTRODUÇÃO __________________________________________________________ 45 2.9.2 – SÍNTESE HISTÓRICA ____________________________________________________ 46 2.9.3 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS _____________________________________ 48 2.9.4 - EQUAÇÕES BÁSICAS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ________________ 50 2.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _________________________________________ 51 2.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 61

CAPÍTULO 03 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS MATERIAIS -CARREGAMENTO ESTÁTICO __________________ _________ 63 3.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 63 3.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS _____________________________________ 64 3.3 - TEORIAS DE FALHAS COM CARREGAMENTO ESTÁTICO _________________ 73 3.3.1 - FALHA DE MATERIAIS DÚCTEIS SOB CARGA ESTÁTICA _______________________ 74

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3.3.2 - EXERCÍCIO RESOLVIDO _________________________________________________ 79 3.3.3 - FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS SOB CARGA ESTÁTICA ______________________ 80 3.4 - SELEÇÃO DE MATERIAIS ___________________________________________ 83 3.4.1 - MATERIAIS METÁLICOS _________________________________________________ 84 3.4.2 - MATERIAIS CERÂMICOS _________________________________________________ 87

3.4.3 - MATERIAIS POLIMÉRICOS _________________________________________ 88 3.5 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS __________________________________________ 91

CAPÍTULO 04 - CARREGAMENTO DINÂMICO - FADIGA E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ____________________________________ 103 4.1 - INTRODUÇÃO ______________________________________________________ 103 4.2 - TESTE DE FADIGA __________________________________________________ 104 4.3 - DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FADIGA _________________ 105 4.3.1 - FATORES MODIFICATIVOS ________________________________________________ 107 4.4 - LIMITE DE RESISTÊNCIA PARA VIDA FINITA ____________________________ 111 4.5 - FADIGA SOB TENSÕES FLUTUANTES _________________________________ 112 4.6 - FADIGA SOB TENSÕES COMBINADAS _________________________________ 115 4.7 - FADIGA DE CONTATO SUPERFICIAL __________________________________ 116 4.8 - GRÁFICOS P/ DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES KT _______________________________________ 117 4.9 - PREVISÃO DE FADIGA COM CARGAS VARIANDO RANDOMICAMENTE __________________________________________ 119 4.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _________________________________________ 120 4.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 125

CAPÍTULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO ______ ___________ 129 5.1 - INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 129 5.2 - MATERIAIS PARA EIXOS E ÁRVORES _________________________________ 129 5.3 - CARREGAMENTO ESTÁTICO ________________________________________ 131 5.3.1 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO, TORÇÃO E ESFORÇO AXIAL ____________________________________________________ 132 5.3.2 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO __________________________________________________________ 133 5.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TORÇÃO ________________________________ 134 5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME _________________________ 135 5.6 - EIXOS E ÁRVORES SUJEITOS À FADIGA ______________________________ 137 5.6.1 - CRITÉRIO DE FADIGA – GOODMAN ________________________________________ 137 5.6.2 – CRITÉRIO DE FADIGA - SODERBERG ______________________________________ 138 5.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CRITÉRIO DE FADIGA POR SODERBERG ______________________________________________ 139 5.8 – CHAVETAS / PINOS ________________________________________________ 144 5.9 - UNIÃO DE EIXOS COM CUBOS ______________________________________ 145 5.10 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS _________________________________ 146 5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CHAVETAS ____________________________ 147 5.12 - VIBRAÇÃO DE EIXOS ______________________________________________ 149 5.13 - FREQÜÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA ______________________ 151 5.14 - FREQÜÊNCIA NATURAL DE EIXOS COM DIVERSAS MASSAS ___________________________________________________ 152 5.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – VIBRAÇÕES EM EIXOS ___________________ 155 5.16 - EIXOS ESCALONADOS ____________________________________________ 158 5.17 - VELOCIDADES CRÍTICAS DE ORDEM SUPERIOR ______________________ 161 5.18 - EIXOS ESCALONADOS ____________________________________________ 163 5.19 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ____________ 164

CAPÍTULO 06 - LUBRIFICAÇÃO E MANCAIS DE DESLIZAMENTO ________________________________________________ 168

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6.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 168 6.2 - LUBRIFICANTES. _________________________________________________ 168 6.3 - VISCOSIDADE ____________________________________________________ 169 6.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS MANCAIS. ____________________________________ 170 6.5 - LUBRIFICAÇÃO ELASTODINÂMICA __________________________________ 172 6.6 - TIPOS DE LUBRIFICAÇÃO __________________________________________ 173 6.7 - LUBRIFICAÇÃO ESTÁVEL E INSTÁVEL _______________________________ 173 6.8 - MECANISMOS DA LUBRIFICAÇÃO. __________________________________ 174 6.9 - LUBRIFICAÇÃO COM FILME ESPESSO OU DE ATRITO FLUIDO __________ 175 6.10 - SUPERFÍCIES DOS MANCAIS. _____________________________________ 178 6.11 - INTRODUÇÃO AO PROJETO ______________________________________ 179 6.12 - LEIS DE NEWTON DE ESCOAMENTO VISCOSO ______________________ 180 6.13 - LEI DE PETROFF ________________________________________________ 181 6.14 - HIPÓTESES _____________________________________________________ 182 6.15 - RELAÇÕES GEOMÉTRICAS EM UM MANCAL COM FOLGA. _____________ 183 6.16 - GRUPAMENTO DE VARIÁVEIS _____________________________________ 184 6.17 - MANCAL IDEAL. _________________________________________________ 186 6.18 - ESPESSURA MÍNIMA PERMISSÍVEL DO FILME DE ÓLEO. ______________ 187 6.19 - CÁLCULO DE MANCAIS PARA REGIME DE ATRITO FLUIDO. ____________ 187 6.20 - PRINCIPIOS HIDRODINÂMICOS ____________________________________ 188 6.21 - PROCEDIMENTO DE PROJETO ____________________________________ 188 6.22 - APLICAÇÃO ____________________________________________________ 189 6.23 - MANCAIS ÓTIMOS. _______________________________________________ 190 6.24 - TAXA DE FOLGA. ________________________________________________ 191 6.25 - RELAÇÃO ENTRE O COMPRIMENTO E O DIÂMETRO. _________________ 191 6.26 - CONSIDERAÇÕES SOBRE DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES EM UM MANCAL E PERDA DEVIDA AO ATRITO ___________________________ 192 6.27 - FLUXO DE LUBRIFICANTE ATRAVÉS DE UM MANCAL. _________________ 194 6.28 - CALOR LEVADO PELO ÓLEO. ______________________________________ 195 6.29 - DISSIPAÇÃO DE CALOR DO MANCAL. _______________________________ 196 6.30 - MATERIAIS USADOS NOS MANCAIS. ________________________________ 199 6.31 - CONSTRUÇÃO DOS MANCAIS. _____________________________________ 200 6.32 - MANCAIS DE ESCORA. ____________________________________________ 200 6.33 - EXERCÍCIO RESOLVIDO ___________________________________________ 208

CAPÍTULO 07 - MANCAIS DE ROLAMENTOS _______________ ___________ 210 7.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 211 7.2 - DIMENSIONAMENTO ______________________________________________ 211 7.3 - ROLAMENTOS SOLICITADOS ESTATICAMENTE _______________________ 211 7.4 - ROLAMENTOS SOLICITADOS DINAMICAMENTE _______________________ 213 7.5 - CARGA E ROTAÇÃO VARIÁVEIS ____________________________________ 215 7.6 - CARGA MÍNIMA DOS ROLAMENTOS _________________________________ 216 7.6.1 - OBSERVAÇÕES ________________________________________________________ 217 7.6.2 - DURAÇÃO ATINGÍVEL - MODIFICADA DA VIDA ______________________________ 217 7.6.3 - DURAÇÃO DA VIDA ATINGÍVEL ___________________________________________ 218 7.6.4 - FATOR A23 ____________________________________________________________ 218 7.6.5 - RELAÇÃO DE VISCOSIDADE K ____________________________________________ 219 7.6.6 - VALOR BÁSICO A23II ____________________________________________________ 221 7.6.7 - FATOR DE LIMPEZA S ___________________________________________________ 224 7.6.8 - GRANDEZA DETERMINANTE V PARA A AVALIAÇÃO DA LIMPEZA ______________ 225 7.6.9 - VALORES PARA A GRANDEZA DETERMINANTE DE CONTAMINAÇÃO V _________ 227 7.6.10 - LUBRIFICAÇÃO COM ÓLEO _____________________________________________ 229 7.7 - PROCESSO DE SELEÇÃO DE ROLAMENTOS __________________________ 230 7.8 - TIPOS DE ROLAMENTOS ___________________________________________ 233 7.8.1 - ROLAMENTOS RÍGIDOS DE ESFERAS - ROLAMENTOS FAG FIXOS DE ESFERA __ 233 7.8.2 - ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR ________________________ 235

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7.8.3 - ROLAMENTOS DE AGULHAS _____________________________________________ 239 7.8.4 - ROLAMENTOS DE ROLOS CÔNICOS ______________________________________ 239 7.8.5 - ROLAMENTOS AXIAIS ___________________________________________________ 240 7.9 – EXEMPLO RESOLVIDOS ___________________________________________ 241 7.10 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ________________________________________ 248

CAPÍTULO 08 - PROJETO DE PARAFUSOS ________________ __________ 250 8.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 250 8.2 - PARAFUSOS DE POTÊNCIA _________________________________________ 263 8.3 - PARAFUSOS DE UNIÃO - COMPRIMENTO DA PARTE ROSCADA __________ 266 8.3.1 - CONSTANTE DE RIGIDEZ DOS PARAFUSOS ________________________________ 267 8.3.2 - RIGIDEZ DAS PEÇAS OU MEMBROS EM COMPRESSÃO ______________________ 268 8.3.3 - RESISTÊNCIA DO PARAFUSO ____________________________________________ 269 8.3.4 - EXIGÊNCIAS DO TORQUE ________________________________________________ 271 8.3.5 - PRÉ-CARGA DO PARAFUSO - CARREGAMENTO ESTÁTICO ____________________ 271 8.3.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ________________________________________________ 274 8.3.7 - CARGA DE FADIGA _____________________________________________________ 277 8.4 - CISALHAMENTO DE PARAFUSOS E REBITES A CARGA EXCÊNTRICA _____ 279 8.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 282

CAPÍTULO 09 - PROJETO DE SOLDAS ___________________ ___________ 285 9.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 285 9.2 – TIPOS COMUNS DE JUNTAS SOLDADAS _____________________________ 285 9.3 - CÁLCULO DAS TENSÕES – SOLDAS CARREGADAS CENTRALMENTE _____ 293 9.4 - SOLDAS EM ÂNGULO – CARGA EXCÊNTRICA _________________________ 294 9.5 – TORÇÃO NAS JUNTAS SOLDADAS __________________________________ 298 9.6 - CARREGAMENTO DINÂMICO _______________________________________ 299 9.7 – FLEXÃO EM JUNTAS SOLDADAS ____________________________________ 300 9.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 302

CAPÍTULO 10 - TIPOS DE ENGRENAGENS E RELAÇÕES CINEM ÁTICAS __ 307 10.1 - INTRODUÇÃO ___________________________________________________ 307 10.2 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS ____________________ 308 10.2.1 - DEFINIÇÕES __________________________________________________________ 308 10.2.2 – RAZÃO DE VELOCIDADES ______________________________________________ 310 10.2.3 - O MÓDULO ___________________________________________________________ 310 10.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS __________________________ 311 10.3.1 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES ____________________________________________ 312 10.3.2 - PASSO NORMAL E PASSO FRONTAL - MÓDULOS ___________________________ 314 10.3.3 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES ___________________________________________ 315 10.3.4 - ÂNGULO DE PRESSÃO _________________________________________________ 316 10.3.5 - LARGURA DE ENGRENAGEM ____________________________________________ 317 10.3.6 - RELAÇÕES ENTRE AS FORÇAS __________________________________________ 317 10.3.7 - COMPRIMENTO DOS DENTES EM CONTATO SIMULTANEAMENTE _____________ 317 10.4 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS ________________________ 320 10.4.1 - CONES DE ATRITO - DEFINIÇÕES ________________________________________ 320 10.4.2 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES ____________________________________________ 322 10.4.3 - ENGRENAGEM VIRTUAL ________________________________________________ 322 10.4.4 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES - EVITANDO INTERFERÊNCIA _________________ 323 10.4.5 - RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO ____________________________________________ 324 10.4.6 - MÓDULO EFETIVO - MÓDULO MÉDIO _____________________________________ 324 10.4.7 - COMPRIMENTO DO DENTE _____________________________________________ 325 10.4.8 - FORÇAS ATUANTES NAS CÔNICAS _______________________________________ 325 10.5 - PARAFUSO SEM-FIM/COROA _______________________________________ 327 10.5.1 - INTRODUÇÃO _________________________________________________________ 327 10.5.2 - CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS __________________________________________ 328 10.5.3 - ALGUNS DADOS EMPÍRICOS ____________________________________________ 330 10.5.4 - MATERIAIS ____________________________________________________________ 331 10.5.5 - DIÂMETROS E DISTÂNCIA ENTRE CENTROS _______________________________ 331

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10.6 - TREM DE ENGRENAGENS _________________________________________ 333 10.6.1 - TREM DE ENGRENAGENS SIMPLES ______________________________________ 333 10.6.2 - TREM DE ENGRENAGENS COMPOSTOS __________________________________ 334 10.6.3 - TREM DE ENGRENAGENS PLANETÁRIAS _________________________________ 335 10.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS ________________________________________ 337

CAPÍTULO 11 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS ______ ________ 339 11.1 - INTRODUÇÃO ___________________________________________________ 339 11.1.1 - MATERIAIS PARA ENGRENAGENS _______________________________________ 339 11.2 - DESGASTE SUPERFICIAL DOS DENTES _____________________________ 341 11.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS ______________________________ 343 11.3.1 - INTRODUÇÃO ________________________________________________________ 343 11.3.2 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA _________________________________ 344 11.3.3 - CASOS ESPECIAIS ____________________________________________________ 347 11.3.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS _____________________________________________ 349 11.3.5 -VERIFICAÇÃO DO DESGASTE ____________________________________________ 353 11.3.6 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS _____________________ 358 11.4 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS __________________________ 361 11.4.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 361 11.4.2 - VERIFICAÇÃO DO DESGASTE ____________________________________________ 362 11.4.3 – EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS _________ 362 11.5 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS ________________________ 365 11.5.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 365 11.5.2 - ROTEIRO DE CÁLCULO (ESQUEMA) ______________________________________ 366 11.5.3 - EXERCÍCIO RESOLVIDO ________________________________________________ 366 11.6 - PARAFUSO SEM FIM E COROA _____________________________________ 369 11.6.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA __________________________________ 369 11.6.2 - DIMENSIONAMENTO PELO DESGASTE ____________________________________ 370 11.6.3 - VERIFICAÇÃO DISSIPAÇÃO DE CALOR ____________________________________ 371 11.6.4 - RENDIMENTO DOS PARAFUSOS SEM-FIM _________________________________ 372 11.6.5 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - SEM FIM E COROA _______________________________ 374 11.7 - DIMENSIONAMENTO PELA NORMA AGMA ___________________________ 377 11.7.1 - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS _________________________________ 377 11.7.2 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS ________ 379 11.7.3 - DURABILIDADE SUPERFICIAL ___________________________________________ 384 11.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - DURABILIDADE SUPERFICIAL ____________ 387 11.9 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS _________________________________________ 390

CAPÍTULO 12 – PROJETO DE FREIOS E EMBREAGENS ______ __________ 392 12.1 - INTRODUÇÃO ____________________________________________________ 392 12.2 - MATERIAIS DE FRICÇÃO __________________________________________ 392 12.3 - CONCEITOS GERAIS DE ATRITO ____________________________________ 393 12.4 - CONSIDERAÇÕES SOBRE FREIOS EM VEÍCULOS _____________________ 395 12.5 - FREIO A TAMBOR ________________________________________________ 396 12.6 - FREIO A DISCO __________________________________________________ 401 12.8 - FREIO ABS ______________________________________________________ 406 12.9 - CONSIDERAÇÕES SOBRE PRESSÃO E DESGASTE ____________________ 408 12.10 - CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA ________________________________ 410 12.11 - CONSIDERAÇÕES SOBRE TEMPERATURA NO FREIO _________________ 412 12.12 - ACIONAMENTO DE FREIOS _______________________________________ 413 12.13 - OPERAÇÃO A VÁCUO SUSPENSO __________________________________ 413 12.14 - OPERAÇÃO DE AR SUSPENSO ____________________________________ 414 12.15 - OPERAÇÃO DA BOMBA HIDRÁULICA _______________________________ 414 12.16 - OPERAÇÃO ELETRO-HIDRÁULICO _________________________________ 414

CAPÍTULO 13 – PROGRAMAS COMPUTACIONAIS ____________ _________ 415 13.1 - CIRCULO DE MOHR _______________________________________________ 415 13.2 - VIGAS __________________________________________________________ 415

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13.3 - FADIGA PARA PEÇAS SEÇÕES CIRCULARES OU RETANGULARES _______ 416 13.4 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS ____________ 417 13.5 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS ____________ 418 13.6 – DIMENSIONAMENTO DE PARAFUSOS DE UNIÃO ______________________ 420 13.7 - PARAFUSO DE POTÊNCIA _________________________________________ 421 13.8 – FLEXÃO E TORÇÃO EM JUNTAS SOLDADAS __________________________ 421 13.9 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS UTILIZANDO A NORMA AGMA ___ 422 13.10 - MANCAIS HIDRODINÂMICOS _______________________________________ 425 13.11 - MANCAIS UTILIZANDO O CATÁLOGO DA SKF ________________________ 425 13.12 – MANCAIS DE DESLIZAMENTO _____________________________________ 426 13.13 – ROLAMENTOS COM UMA NOVA TEORIA DE VIDA ____________________ 427 13.14 – ROLAMENTOS DE ESFERA PARA UMA CARGA DINÂMICA _____________ 428 13.15 – SELEÇÃO DE ROLAMENTOS DE ESFERA ____________________________ 428 13.16 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS COM MOMENTO TORSOR E FLETOR ____ 429 13.17 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ____________________________________ 430 APÊNDICE _____________________________________________________ 432 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ______________________ ____________ 445

1

CAPITULO 01 - INTRODUÇÃO

1.1 - INTRODUÇÃO

A essência da engenharia é a utilização dos recursos e leis da natureza para beneficiar

a humanidade. Projetar uma residência com todos os detalhes é um exemplo desta utilização. A

Engenharia é uma ciência aplicada, no sentido que está relacionada com entendimento de

princípios científicos e sua aplicação para obtenção do alvo desejado.

O projeto de engenharia mecânica é um segmento maior da engenharia: ele se relaciona

com o conceito, projeto, desenvolvimento, refinamento e aplicação de maquinas e elementos de

máquinas de todos os tipos.

Para muitos estudantes de engenharia a disciplina Elementos de Máquinas é a sua

primeira disciplina profissionalizante, distinguindo-se das disciplinas básicas de ciência e

matemática. As disciplinas profissionalizantes se relacionam com a obtenção de soluções para

problemas práticos. Estas soluções devem refletir um entendimento das ciências mecânicas,

mas somente o seu entendimento não é suficiente; conhecimento empírico e bom senso estão

também envolvidos. Por exemplo, os cientistas não entendem a eletricidade completamente,

mas isto não impedem de desenvolverem equipamentos e sistemas elétricos bastante úteis e

práticos. De maneira análoga, os cientistas não entendem completamente os processos de

combustão ou fadiga de metal, mas os engenheiros mecânicos e industriais utilizam o

conhecimento disponível para desenvolverem máquinas de combustão bastante úteis e

necessárias. Quanto maiores conhecimentos científicos estejam disponíveis, os engenheiros

são capazes de desenvolver melhores soluções para os problemas práticos.

Devido à natureza profissional do assunto, a maioria dos problemas elementos de

máquinas não apresentam uma correta e única solução. Existe um número grande de soluções

trabalháveis, nenhuma das quais poderiam ser chamadas de incorretas. Mas dentre as

soluções corretas, algumas são obviamente melhores do que as outras porque elas refletem,

por exemplo, um conhecimento mais sofisticado da tecnologia, a conceito de projeto básico

mais engenhoso, uma utilização da tecnologia de produção mais econômica e efetiva, uma

aparência mais estética.

Este livro se relaciona primariamente com o projeto de componentes específicos de

máquinas ou sistemas mecânicos. Competência nesta área é básica para as considerações e

sínteses de maquinas completas e sistemas nas disciplinas subseqüentes como Projeto de

Máquinas, Máquinas de Elevação e Transportes, Projeto de Fim de Curso, Máquinas

Hidráulicas, Sistemas Mecânicos, dentre outras.Todo projeto inicia-se pequeno, com boa uma

2

fundamentação. A primeira parte do livro se relaciona com os fundamentos envolvidos,

conceitos de tensão e deformação, propriedades mecânicas dos materiais, análise estática e

dinâmica de peças, fadiga, aplicando em parafusos, molas e freios. Estes componentes são

largamente utilizados e de certa forma são bastante familiares aos estudantes.

No planejamento de uma cidade, além de residências, as praças e locais de acesso

como rodoviárias, ferroviárias, aeroportos, são fundamentais. Da mesma forma, a considerar

uma máquina completa, o engenheiro invariavelmente descobre que as condições e restrições

dos vários componentes estão interrelacionados. O projeto de uma mola de válvula de um

motor automotivo, por exemplo, depende do espaço disponível para a mola. Isto representará

um compromisso com o espaço para as passagens refrigerantes, folgas para vários

componentes, que irá adicionar uma nova dimensão para a imaginação e criatividade

necessária do engenheiro para obter um projeto ótimo de combinação dos elementos

relacionados.

Além das considerações fundamentais tecnológicas e econômicas do projeto no

desenvolvimento de componentes mecânicos e sistemas, o moderno engenheiro deve

considerar a segurança, ecologia e acima de tudo a qualidade de vida.

1.2 PROJETO CONCEITO - CADEIRA DE RODAS DE FIBRA DE CARBONO

Esta proposta foi desenvolvida entre o autor e um aluno do curso de Mecatrônica da

PUC-Minas. Visando o desenvolvimento e construção de uma cadeira de rodas fabricada em

fibra de carbono e projetada com tecnologia de ponta em engenharia de desenvolvimento de

produto, na PUC Minas, figura 1. A motivação é de podemos fabricar, no Brasil, cadeiras de

rodas esportivas mais eficientes para a prática de esportes e cadeiras motorizadas que

consumam menos bateria. Cadeiras de rodas brasileiras no mesmo nível tecnológico das

desenvolvidas na Europa e Estados Unidos, figuras 2 e 3.Podendo construir cadeiras mais

“baratas” e acessíveis para os portadores de deficiência

Para mostrar a viabilidade desse projeto é apresentado um exemplo prático de

desenvolvimento e construção de uma bicicleta esportiva de fibra de carbono. Foram utilizadas

ferramentas digitais da concepção à fabricação final.

3

Figura 1 - Cadeira de fibra de carbono conceito idealizada na PUC-Minas.

Figura 2 - Vista explodida da cadeira conceito

Após as pesquisas realizadas, constatou-se que a fabricação de uma cadeira de rodas

esportiva, utilizando fibra de carbono na sua estrutura, a torna super leve e resistente.

Com o uso dos melhores computadores e programas disponíveis na Engenharia Mecatrônica

PUC Minas, foi idealizada uma cadeira escamoteável, High-Tech.

Esta cadeira conceito, além de se destacar pelas suas qualidades mecânicas, ela inova

com seu estilo moderno e arrojado.Seu design foi concebido para que suas curvas façam a

cadeira parecer tão rápida quanto ela é, proporcionando prazer e atisfação às pessoas que a

utilizarem, figura 3.

Como “cadeira conceito” sua função é mostrar tendências e possibilidades de

projeto.Nos esboços 3D, vários detalhes como freios, encaixes e faixas não foram mostrados,

para que se pudesse focalizar a atenção apenas na geometria da cadeira, figura 4.

4

Figura 3 - Vista lateral da estrutura da cadeira de rodas. Figura 4 - Vista da cadeira desmontada.

Neste projeto, as três características principais são: leveza,design e resistência.

LEVEZA : a cadeira de rodas, para ser mais rápida e ágil precisa ter o mínimo de peso possível

a fim de diminuir os atritos e inércias do movimento.

DESIGN: sendo uma cadeira esportiva suas curvas devem invocar o sentimento de velocidade,

modernidade, agilidade e liberdade de movimento da pessoa que a utiliza.

RESISTÊNCIA: usando a fibra de carbono na fabricação da estrutura, a cadeira de rodas será

mais forte e mais resistente aos impactos e às condições ambientais adversas.

1.2.1 - CICLO DE DESENVOLVIMENTO DO PRODUTO

Da concepção até à fabricação de um produto final é necessária a execução de várias

etapas. Esse conjunto de etapas é denominado Ciclo de Desenvolvimento de Produto, figura 5.

É adotada toda uma metodologia científica para que o trabalho seja bem sucedido, do início ao

fim, com o produto final testado e livre de eventuais falhas de projeto.

idealização e esboços desenhos detalhados fabricação

do

pesquisa lista de materiais produto final

estudo de viabilidade cálculos e testes

Figura 5 - Fases do Ciclo de Desenvolvimento de Produto.

Na Era da Informação,o computador vem sendo usado como uma ferramenta valiosa e

indispensável para todas as áreas do conhecimento. Na engenharia, o computador realiza

cálculos e simulações impossíveis de serem feitos por um engenheiro com uso de apenas um

lápis e papel. Para os desenhistas e projetistas é mostrada na tela do computador, geometrias

tridimensionais que podem ser movimentadas e giradas em todas as direções criando a

sensação de estarem manipulando um objeto virtual, figura 6. Na fabricação os computadores

5

controlam as máquinas. Essas máquinas automatizadas realizam a fabricação das peças

mecânicas com precisão e velocidade sem a intervenção do homem diminuindo assim erros e

custos.

Com toda essa informatização, o ciclo de desenvolvimento de produto teve uma redução

de custo e tempo, e um aumento significativo na qualidade final do produto.

Figura 5 - Computador de ultima geração utilizado do projeto de uma moto de corrida.

1.2.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DE UMA CADEIRA D E RODAS DE LAZER

LEVEZA & RESISTÊNCIA

LEVEZA

A cadeira de rodas, para ser mais rápida e ágil precisa ter o mínimo de peso possível a fim de

diminuir os atritos e inércias do movimento

Figura 6 - Vista lateral do quadro da cadeira de rodas.

RESISTÊNCIA

Após pesquisas realizadas, os autores constataram que a fabricação de uma cadeira de

rodas esportiva, utilizando fibra de carbono na sua estrutura, a tornaria super leve e

resistente,em comparação ao aço e o alumínio. A fibra de carbono é utilizada na indústria

esportiva para fabricação de raquetes de tênis e bicicletas .

Na indústria aeroespacial para construção de foguetes e aviões.

6

Para a prática de esportes,uma cadeira de rodas precisa ter características especiais

sofrendo alguns ajustes em sua configuração .Abaixo são listadas algumas recomendações:

• A ajustagem do assento para baixo a fim de obter maior estabilidade , mais firmeza e

um maior raio de roda disponível para impulsão. O encosto das costas precisa estar o

mais próximo possível do corpo (aproximadamente perpendicular ao piso) para maior

conforto e melhor resistência ao impacto.

• A posição do centro de gravidade de seu corpo em relação aos eixos das rodas afeta a

mobilidade.

Os eixos das rodas e a cadeira colocados mais a frente, proporcionará maior mobilidade

e giro mais rápido. Devem ser levadas em conta nestes ajustes as preferências e

características pessoais de cada praticante.

FAIXAS

Para melhorar o equilíbrio e a mobilidade:

• Faixas de tórax e cintura – dependendo do tipo de lesão estas faixas melhorarão o

equilíbrio e aumentarão a confiança. Entretanto, as faixas de tórax interferem com a

movimentação da cadeira.

• Faixas de pernas – uma faixa envolvendo as coxas ou logo acima dos joelhos impedirá

que as pernas afastem durante o jogo, dará maior estabilidade ao corpo e aumentará a

mobilidade.

Figura 7 - Faixas de pernas.

• Faixas de pernas – uma faixa envolvendo as coxas ou logo acima dos joelhos impedirá

que as pernas afastem durante o jogo, dará maior estabilidade ao corpo e aumentará a

mobilidade

7

PNEUS

Pneus com câmaras de alta pressão dão melhor desempenho:

• Pneus pretos devem ser evitados para não marcar a quadra.

• A cadeira será tão mais manobrável quanto maior for a cambagem das rodas (de 3 a 10

graus, aproximadamente).

RODAS DIANTEIRAS

De 4 a 5 polegadas (10 a 12.5 cm) aproximadamente de diâmetro

• Se maiores, reduzem a habilidade de giro.

• Se menores não rodam com suavidade e qualquer irregularidade no piso fará a cadeira

trepidar.

• Não muito finas para evitar danos na superfície da quadra.

Figura 8 - Esboços do quadro de uma cadeira de rodas fabricada em fibra de carbono.

Atualmente, o trabalho proposto se encontra no primeiro estágio do Ciclo de

Desenvolvimento de Produto, na etapa de design e idealização, figura 10. Os esboços de uma

Cadeira Conceito de fibra de carbono mostram a possibilidade de se desenvolver e construir

uma cadeira de rodas: leve, escamoteável, resistente e moderna, utilizando tecnologias digitais

CAD/CAE/CAM. Tecnologias de Ponta empregadas pelas indústrias automotivas e

aeroespaciais no desenvolvimentos de seus produtos. Os autores esperam que, por meio

desta apresentação, parcerias e recursos financeiros sejam conseguidos para que se possa

dar continuidade no projeto proposto.

8

Figura 9 - Design e idealização

1.3 - CONSIDERAÇÕES SOBRE A SEGURANÇA

A qualidade de um projeto pode ser medida por muitos critérios. É sempre necessário

calcular um ou mais fatores de segurança para estimar a possibilidade de falha.

No passado, os engenheiros deram muito valor aos aspectos funcionais e econômicos

dos novos produtos.

Segurança pessoal é uma consideração que os engenheiros tem sempre em mente,

mas agora demanda um aumento na ênfase. Em comparação com aspectos computacionais

precisos como tensão e deformação, a determinação de segurança é como um assunto

indefinido, complicado por fatores psicológicos e sociológicos. Isto tem desafiado os

engenheiros para levar em conta todos os fatos pertinentes e então tomar boas decisões que

venham a refletir o entendimento, imaginação, engenhosidade e julgamento. O primeiro passo

mais importante no desenvolvimento da competência em engenharia na área de segurança é

cultivar um entendimento de sua importância. A segurança de um produto é de grande valor

para os legisladores, juizes, promotores bem como para os profissionais de seguradoras. No

entanto, estes indivíduos não podem contribuir diretamente para a segurança de um produto;

eles somente podem concordar com a urgência de se considerar uma ênfase adequada na

segurança para o desenvolvimento de engenharia de produtos. É na realidade o engenheiro

que deverá processar o desenvolvimento de produtos e projetos com alto grau de segurança.

Deverá ter engenhosidade, capacidade imaginativa o suficiente para antecipar situações

potenciais de alto risco para o produto.

9

1.4 - FATOR DE SEGURANÇA

Um fator de segurança pode ser expresso de várias maneiras. Ele é tipicamente uma

relação entre duas quantidades que tenham as mesmas unidades; tais como resistência/tensão,

carga crítica/carga aplicada, máximo ciclo/ ciclos aplicados ou máxima velocidade de

segurança/velocidade de operação. O fator de segurança será sempre adimensional.

A forma de expressão para um fator de segurança pode ser escolhida baseado no tipo

de carga atuante. Se o elemento de máquina é sujeito a uma carga que varia ciclicamente com

o tempo, ele poderá sofrer uma falha por fadiga. A resistência do material para alguns tipos de

carga de fadiga pode ser expressa como um número máximo de ciclos de tensão reversa a um

dado nível de tensão. Em tais casos, pode ser adequado expressar o fator de segurança como

a relação do máximo número de ciclos esperados em uma possível falha do material para o

número de ciclos aplicados ao elemento em serviço considerando sua vida esperada. Uma vez

que haverá mais de um modo potencial de falha para qualquer elemento de falha, poderá haver

mais de um valor para o fator de segurança. O menor valor do fator de segurança para qualquer

peça é de grande valia uma vez que ele irá predizer o modo como se imagina que a peça irá

falhar. Quando ele se torna unitário, a tensão na peça será igual à resistência do material (ou a

carga aplicada será igual à carga que irá falhar, etc.) e a falha irá ocorrer. Portanto o fator de

segurança será sempre maior que 1.

1.5 - ESCOLHENDO UM FATOR DE SEGURANÇA

Escolhendo um fator de segurança é freqüentemente uma proposição confusa para o

projetista principiante. São tantas as variáveis envolvidas, a possibilidade de fracasso se

apresenta com tanta intensidade, que o projetista novato, em geral, superestima, adotando

fatores de segurança grandes demais. O FS deve ser fixado com base em projetos existentes,

em indicações tabeladas, gerais ou particulares, com o discernimento que o conhecimento

teórico propicia ao projetista. Influenciam fortemente o valor do FS os seguintes elementos:

a) material da peça (dúctil, quebradiço, homogêneo, especificações bem conhecidas,

etc.);

b) carga que atua na peça (constante, variável, modo de aplicação, bem conhecida,

sobrecargas possíveis, etc.);

c) perigo de vida (do operador da máquina, de elementos vizinhos, etc.);

d) perigo da propriedade;

e) classe da máquina.

10

Os dois primeiros itens, a) e b), servem de ponto de partida para a escolha inicial, ordem

de grandeza do fator de segurança, FS. Os três outros obrigarão a aumentar o valor fixado. O

fator de segurança pode ser traduzido como uma medida de incerteza do projetista nos

modelos analíticos, nas teorias de falhas, nas propriedades do material a ser utilizado. Quanto

que o fator de segurança deverá ser maior que 1 (um), dependerá de muitos fatores incluindo o

nível de confiança no modelo em que os cálculos serão baseados, no conhecimento da faixa

das possíveis condições de carga atuantes e na confiança sobre as informações disponíveis

sobre a resistência do material. Um fator de segurança menor poderá ser adotado quando

testes extensos foram realizados em protótipos físicos do projeto para provar a validade do

modelo de engenharia e do projeto e já se tenha dados dos testes sobre as resistências do

material em particular. Não se conhecendo as características mecânicas testadas do material,

um fator de segurança maior deverá ser adotado. Na ausência de qualquer norma de projeto

que possa especificar um fator de segurança para casos particulares, a escolha do fator de

segurança envolve uma decisão de engenharia a ser tomada. Um método razoável é

determinar as maiores cargas esperadas em serviço (incluindo possíveis sobrecargas) e

resistências mínimas esperadas para o material, baseando, portanto o fator de segurança

nestes dados. Então o fator de segurança torna-se uma razoável medida de incerteza. Na

industria aeronáutica, fatores de segurança para aeronaves comerciais estão na faixa de 1,2 a

1,5. Aeronaves militares podem Ter o fator de segurança menor do que 1,1 , só que a tripulação

toda possui pára-quedas, além do que os pilotos de teste possuem altíssimos salários. Os

mísseis possuem fator de segurança igual a 1, mas não tem tripulação e não se espera que

precisem retornar a origem. Estes pequenos fatores de segurança em aeronaves são

necessários para manter os pesos baixos e são justificados pela análise analítica sofisticada,

com testes dos materiais usados, extenso testes de protótipos dos projetos geralmente em

escala real com aplicação de cargas dinâmicas e medição de seus efeitos, e rigoroso serviço de

inspeção para pequenas falhas de equipamentos.

Vários autores apresentam em seus comentários, o fator de segurança como um produto de

subfatores. Assim por exemplo, se a tensão perigosa é o limite de resistência à tração (limite de

ruptura), pode-se fazer:

FS= a x b x c x d

Onde a= relação de elasticidade (limite de resistência a tração/limite de resistência ao

escoamento);

b= fator que leva em conta o tipo de carga.

Pode-se tomar: cargas constantes: b=1;

11

Carga variável sem reversão: b=1,5 a 2,0;

Carga variável com reversão: b=2,0 a 3,0.

c= fator que leva em conta o modo de aplicação da caga.

Para este fator podem-se seguir seguintes indicações:

Carga constante, gradualmente aplicada: c=1;

Carga constante, subitamente aplicada: c=2;

Choque: c>2.

d= margem ou fator real de segurança.Este fator varia, em geral, entre 1,5 a 3. Para

materiais dúcteis, pode-se adotar a faixa de 1,5 a 2. Para materiais quebradiços, tem-se 2,0 a

3,0.

Informação Materiais dúcteis FS

Material Qualidade da informação F1

Dados sobre as

propriedades do

material disponíveis

no teste

O material real foi usado para ser testado

Resultados de teste de Material bem representativo

Resultados de testes de material relativ.

representativo

Resultados de testes de material pouco

representativo

1,3

2

3

5

Ambiente Qualidade de informações F2 Condições ambientais

de trabalho

Idênticas ao teste do material

Ambiente de laboratório estável

Ambiente moderadamente variável

Ambiente extremamente variável

1,3

2

3

5

Cargas Qualidade de informações F3

Modelos analíticos

para carga e tensão

Modelos foram testados e comparados com o

experimento

Modelos representam o sistema com precisão

Modelos representam o sistema com aproximações

Modelos são aproximações rudimentares

1,3

2

3

5

Tabela 1 – Materiais dúcteis.

Tal como foi apresentado acima, o FS permite uma determinação em que a dificuldade

foi dividida, tendo o projetista pontos de apoio para tomar sua decisão. Alguns cuidados devem

ser levados em conta. O maior ou menor conhecimento do material e da carga aproximam ou

afastam o FS dos valores mínimos dados. A presença de choque normalmente leva o FS para

12

os valores mais altos, em geral de 5 a 8, para os materiais dúcteis e aproximadamente o triplo

para os materiais quebradiços. Ao escolher um FS, o projetista deve verificar se não existe

algum valor imposto por lei ou mandado adotar por normas técnicas. É o caso, por exemplo, de

cabos para elevadores, caldeiras, pontes rolantes, etc. Quando a peça apresenta

descontinuidades ou qualquer fator que mude a distribuição uniforme do esforço, acarretando

concentração de tensões, os valores de FS não devem ser aplicados sem um estudo mais

minucioso. O FS sobre o limite de resistência à fadiga, não pode ser determinado pela

aplicação da expressão acima, sem um análise mais profunda.

Algumas diretrizes para a escolha do fator de segurança em um elemento de máquina

podem ser definidas, baseadas na qualidade e adequação da propriedade do material

disponível, das condições ambientais esperadas comparadas com aquelas nas quais o teste do

material foi realizado e a precisão da carga e análise de tensão dos modelos que foram

desenvolvidos para esta análise. A tabela 1 mostra um conjunto de fatores para materiais

dúcteis que podem ser escolhidos em cada uma das três categorias listadas. O fator de

segurança resultante é tomado como o maior dos três fatores escolhidos.

A ductilidade ou fragilidade do material deve ser considerada. Materiais frágeis são

projetados em relação à resistência à tração ou última, então a falha significa fratura. Materiais

dúcteis sob carga estática são projetados em relação ao limite de resistência ao escoamento e

se espera que mostrem algum sinal de alerta da falha antes que a fratura aconteça a menos

que as fissuras indiquem a possibilidade de falha de fratura mecânica. Por estas razões, o fator

de segurança para materiais frágeis é freqüentemente o dobro do usado para materiais dúcteis

na mesma situação.

Estes métodos de determinação do fator de segurança são apenas diretrizes para um

ponto de partida. Obviamente são sujeitos a julgamento do projetista na seleção dos fatores em

cada categoria. O projetista é o responsável último para obtenção da segurança do projeto.

Fatores de segurança maiores que os tabelados podem ser adequados em algumas

circunstâncias.

1.6 - CONSIDERAÇÕES ECOLÓGICAS

As pessoas dependem no seu ambiente de ar, água, alimentação e materiais para

vestimenta e agasalho. Na sociedade primitiva, os utensílios eram naturalmente recicláveis pelo

uso repetido. Quando foram introduzidas, a natureza tornou-se incapaz de e reciclar estas

periodicamente, interrompendo os ciclos naturais ecológicos. Os sistemas econômicos

permitem os produtos serem fabricados em massa e vendidos a preços que freqüentemente

13

não refletem o custo verdadeiro para a sociedade em termos do consumo de fontes naturais e

perdas ecológicas. Agora que a sociedade está tornando-se mais consciente destes problemas,

exigências na legislação e uma previsão de custos totais mais realística estão tendo um

impacto crescente nos projetos de engenharia. Podem-se colocar como objetivos ecológicos

básicos de um projeto de engenharia mecânica de uma maneira simples:

(1) a utilizar materiais que sejam reciclados economicamente dentro de períodos

razoáveis de tempo sem danos ao ar e poluição à água.

(2) minimizar a taxa de consumo de fontes de energia não recicláveis (tais como fluidos

fósseis) para efeito de conservação destes recursos e minimizar a poluição térmica.

Segue uma lista de pontos para serem considerados:

1. Considere todos os aspectos dos objetivos básicos do projeto envolvido, para verificar

se todos têm sentido. Existem métodos alternativos quando se consideram efeitos

ecológicos? Eles representam a melhor alternativa?

2. Após aceitar os objetivos básicos do projeto, o próximo passo é uma revisão dos

conceitos gerais que envolveram o projeto proposto.

3. Uma consideração importante é o projeto para reciclagem. O ciclo ecológico

completo incluindo a reutilização de dispositivos e conjuntos tornam-se a cada dia que

passa de uma grande importância. A industria automobilística já utiliza estes conceitos.

4. Seleção de materiais com fatores ecológicos em mente.

5. Ao especificar o processamento, fatores como a poluição de todos os tipos, o

consumo de energia, a eficiência do material utilizado são considerações bastante

importantes.

6. Empacotamento é outra importante área para conservação de recursos e redução da

poluição. Uso de materiais reciclados e reutilizáveis para empacotamento são áreas que

devem receber especial atenção.

1.7 - CONSIDERAÇÕES SOCIAIS

As soluções para os problemas em qualquer área da engenharia começam com sua

definição bem clara. O objetivo básico de qualquer projeto de engenharia é melhorar a

qualidade de vida de nossa sociedade. Poderíamos citar vários fatores como saúde física,

materiais bem acabados, segurança ambiental, igualdade de oportunidades; liberdade pessoal

e pacientes especiais. Várias considerações de projeto podem ser incompatíveis até que o

engenheiro consiga uma solução imaginativa e genial.

14

Todos os produtos de engenharia estão intimamente ligados a relações sociais. Grande

parte da população trabalha com organizações cuja função seja a de pesquisa, projeto,

desenvolvimento, fabricação, mercado, e serviço de produtos de engenharia. O esforço pessoal

aliado a fontes naturais entram no sistema de produção gerando produtos e materiais que serão

úteis e adequados. As experiências são de dois tipos: (1) experiência devido a trabalho direto

dos indivíduos, que é construtivo e satisfatório, e (2) conhecimento empírico obtido sobre a

efetiva idade do sistema total, com implicações para a melhoria do seu futuro. Os produtos

acabados servem a todas as pessoas até serem descartados, quando então eles serão fontes

de materiais reciclados de longo ou curto termo e possivelmente poluição. Uma lista de fatores

que constituem um índice de qualidade de vida deve levar em conta fatores psicológicos. As

pessoas exibem um conjunto infinito de variáveis e características. Sabe-se também que, no

entanto existem certas características inerentes e necessidades que permanecem constantes

para todos os indivíduos e presumivelmente em todos os tempos. Seriam assim definidas

como:

1. Sobrevivência

2. Segurança

3. Aceitação Social

4. Status

5. Auto-satisfação

O primeiro nível é á necessidade de imediata sobrevivência-alimentação, roupa,

vestimenta-aqui e agora. O segundo nível envolve segurança, para a própria sobrevivência e no

futuro. O terceiro nível tem a ver com a aceitação social. As pessoas precisam se interagir com

a família, com o grupos sociais, necessitando de amor e aceitação. O quarto nível é o de status,

reconhecimento, onde se deseja Ter o respeito e admiração pelo que se é no seu ambiente de

relacionamentos. O mais alto nível é o de auto satisfação, quando se cresce na direção de

alcançar um potencial completo, e obter como resultado satisfação pena. Em qualquer lugar e

tempo, as pessoas em cidades, estados e nações operam em um ou mais destes níveis,

podendo se pensar em uma escada com estes degraus de uma existência primitiva até alcançar

uma rica qualidade de vida. Vimos nas fotos o planejamento da cidade de Belo Horizonte, local

aprazível, serra do curral, bem planejada, com lindos prédios, arborização, e, no entanto

atualmente com inúmeros problemas e dificuldades de seus habitantes possuírem esta rica

qualidade de vida almejada. Historicamente, a engenharia tem feito esforços dirigidos

primariamente para os níveis 1 e 2. Mais recentemente, uma porcentagem maior de sistemas

de produção tem sido projetados para prover a sociedade com produtos que estejam acima

15

das necessidades básicas de sobrevivência e segurança, pensando na contribuição de

satisfazer as legítimas e maiores necessidades do consumidor.

1.8 - METODOLOGIA P/ RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE COMP ONENTES MECÂNICOS

Um método essencial para atacar os problemas de componentes de máquinas é

formular adequadamente e apresentar suas soluções com precisão. A formulação do problema

requer consideração da situação física acoplada a situação matemática. A representação

matemática da situação física é uma descrição ideal ou modelo que se aproxima do problema

físico. O primeiro passo na resolução dos problemas de componentes mecânicos é definir (ou

compreender) o problema. Os próximos passos são para definir ou sintetizar a estrutura,

identificar as interações com o ambiente, realizar hipóteses adequadas pelo uso de lies físicas

pertinentes, relações e regras que parametricamente relacionam a geometria e o

comportamento do componente ou sistema. O último passo é checar os resultados e apresentar

comentários. A maioria das análises utiliza, direta e indiretamente,

• Estática e dinâmica

• Mecânica dos materiais

• Fórmulas (tabelas, diagramas, gráficos)

• Princípio de conservação de massa e energia

O maior objetivo destes livros é auxiliar os estudantes a aprenderem como resolver os

problemas de engenharia que envolva componentes mecânicos.

Um ingrediente básico da sociedade humana é a mudança. Os engenheiros deveriam

procurar entender não somente as necessidades da sociedade de hoje, mas também a direção

e rapidez das mudanças da sociedade que estão acontecendo. Mais ainda, precisamos

entender a influência da tecnologia - e dos elementos de máquinas mecânicos e sistemas de

produção associados em particular-nestas mudanças. Talvez o mais importante objetivo do

futuro engenheiro será o de dar a sociedade sua contribuição que irá promover esta mudança

na direção de uma melhoria no índice de qualidade de vida.

1.9 - UNIDADES

Diversos sistemas de unidades são usados na engenharia. O Sistema Internacional

(SI), o sistema inglês pés-libras-segundo (fps), o sistema americano, polegadas, libras,

segundo(ips) e o sistema métrico pouco usado, centímetro, grama e segundo(cgs).

16

Todos os sistemas foram criados da escolha de três das quantidades da expressão geral

da Segunda lei de Newton :

2

.

t

LmF =

onde F é a força, m é a massa, L é o comprimento e t é o tempo. As unidades para estas três

variáveis podem ser escolhidas e a outra é então derivada em termos das unidades escolhidas.

As três unidades escolhidas são chamadas de unidades básicas, e as restantes são chamadas

de unidades derivadas.

A maioria da confusão que aparece quando da conversão entre as unidades do sistema

inglês e internacional é devida ao fato de que o sistema internacional utiliza diferente conjunto

de base unitária do sistema inglês. O erro maior é na conversão de unidades de peso (que são

as força libra) para unidade de massa. A relação entre massa e peso é

gc

PM =

onde gc que é a aceleração gravitacional é igual a 32,17 pés/segundo ao quadrado o que

equivale a 386 polegadas/segundo ao quadrado. Quando se utiliza todos os comprimentos em

polegadas e utiliza gc=32,17 pés/Seg2 para computar massa, incorre-se em um erro de um fator

12 nos resultados. Pior ainda é quando o estudante esquece de converter o peso para massa.

Os resultados deste cálculo terão um erro de 32 ou 386, suficiente para afundar um navio ou

levar um avião a espatifar-se.

O valor da massa é necessário na Segunda lei de Newton para determinar forças devido

a acelerações. As unidades de massa na equação F=m.a podem ser g, kg dependendo do

sistema a ser utilizado. Então no sistema inglês, o peso W em lbf deve ser dividido pela

aceleração devido a gravidade gc como indicado para obtenção da quantidade de massa pela

equação F= ma.

Ainda maior confusão é feita usando a unidade de libra-massa. Esta unidade é freqüentemente

usada em fluido dinâmico e termodinâmico, e aparece devido ao uso da forma diferente da

equação de Newton:

gc

amF

.=

onde m=massa em libramassa; a =aceleração e gc =constante gravitacional. Na terra, o valor

de massa de um objeto medido em libra-massa é numericamente igual ao seu peso em libra-

força. Contudo, o estudante deve se lembrar de dividir o valor de m em libra-massa por gc

17

quando usar a esta forma da equação de Newton. Então libra-massa irá ser dividida ou por

32,17 ou 386 quando se calcula a força dinâmica.

O sistema internacional (SI) requer que os comprimentos sejam medidos em metros,

massa em kilogramas (kg), e o tempo em segundos (sec). A força é derivada da lei de Newton

e a unidade é:

kg m/sec2 = newtons(N)

No sistema SI, há distintos nomes para massa e força que ajudam a aliviar a confusão. Quando

se utiliza a conversão do SI para o sistema inglês, deve-se estar alerta para o fato de que a

força se converte de Newtons (N) para libras (lb). A constante gravitacional no sistema SI é

aproximadamente de 9,81 m/sec2.

Neste livro pretende-se usar preferencialmente o sistema internacional (SI), porém

considerando que vários elementos de máquinas usados no Brasil são fabricados no exterior,

principalmente nos Estados Unidos da América do Norte, o sistema inglês também será usado

uma vez que os alunos precisam se familiarizar com os dois sistemas. Assim por exemplo,

parafusos de 1/2 polegada de diâmetro, cordão de solda de 1/4 de polegada de espessura,

correias de 60 polegadas de comprimento, cabos de aço de 1 polegada de diâmetro são

bastante usados no meio comercial e de engenharia. Da mesma forma elementos como

engrenagens cilíndricas também usam o sistema inglês e internacional. Já os equipamentos

adquiridos na Alemanha, usam a norma DIN, em que o sistema é o internacional.

O estudante de engenharia deverá tomar precaução e sempre checar as unidades em

qualquer equação escrita para a solução de um problema técnico, seja na universidade seja na

prática profissional. Você poderá estar salvando uma vida ao fazer isto.

18

1.10 - COMENTÁRIOS SOBRE OS PROGRAMAS COMPUTACIONAI S

Este trabalho ora apresentado, fruto de estudos e prática profissional ao longo de 30

anos de atividades na área de engenharia, contempla aos leitores com vários programas

computacionais que foram desenvolvidos e orientados para os alunos dos cursos de elementos

de máquinas e projeto de máquinas. Alguns destes programas estão citados os nomes dos

alunos que trabalharam sobre nossa orientação. São programas que complementam a parte

teórica conceitual e, portanto permitem uma análise de exercícios com rapidez e facilidade. É

claro que algum pequeno erro possa existir nestes programas, porém todos checados e

funcionam perfeitamente dentro da moderna engenharia mecânica. Sugestões e comentários

serão bem vindos para que em outra edição possamos ainda mais melhorar e aperfeiçoar o

trabalho original.

1.11 - CONFIABILIDADE DO PROJETO MECÂNICO

Os projetistas de componentes mecânicos ou estruturais necessitam de métodos de

cálculo que permitam avaliar, de uma forma mais racional, a probabilidade de falha de um

componente ao longo da vida operacional prevista para o mesmo. Os métodos probabilísticos,

baseados em conceitos de confiabilidade, tem sido empregado para este fim, sendo estes

centrados na formulação de funções de desempenho, as quais expressam um modo de falha

específico do componente, sendo as variáveis desta consideradas de natureza aleatória. Estes

métodos permitem calcular a probabilidade desta função assumir valores inferiores a zero,

representando a falha do componente.

Neste trabalho apresentam-se os fundamentos destes métodos probabilísticos, bem

como se aplica os mesmos para definir a probabilidade de falha de componentes mecânicos e

estruturais, considerando como modos de falha o escoamento e a fadiga.

Adicionalmente avalia-se a relação entre a probabilidade de falha e o coeficiente de

segurança usualmente empregado nos tradicionais Critérios de Projeto de componentes

mecânicos e estruturais.

O emprego de métodos probabilísticos no dimensionamento de elementos estruturais ou

componentes mecânicos tem como objetivo projetar um componente cuja probabilidade de

falha, ao longo da vida operacional, tenha uma magnitude conhecida, podendo esta ser

controlada ao longo do processo de síntese estrutural. Estes métodos probabilísticos diferem

dos tradicionais Critérios de Projeto de componentes mecânicos ou estruturais, os quais são

19

baseados no emprego de coeficientes de segurança, que não informam, de forma explícita a

probabilidade de falha que está sendo considerada no dimensionamento do componente.

Há portanto uma crescente importância que os projetistas estruturais tem dado ao uso

de métodos probabilísticos no projeto de estruturas de grande responsabilidade, em função da

perda de vidas humanas, prejuízos econômicos ou mesmo danos ambientais de grande monta

associadas à falha destas estruturas.

Muitos fenômenos observados na natureza apresentam um certo grau de incerteza, ou

seja, os resultados da ocorrência dos mesmos não podem ser previstos com exatidão. Para

estes fenômenos físicos, caso sejam executadas avaliações dos resultados obtidos com a

realização de uma seqüência de ensaios que simulem a ocorrência de um fenômeno específico,

verifica-se a variabilidade dos mesmos. Dentre estes resultados, observa-se que alguns

apresentam uma maior freqüência de ocorrência que outros. Esta variabilidade nos resultados

obtidos, quando da execução de experimentos que representam um fenômeno físico, é

denominada de incerteza. O projeto de muitos sistemas de engenharia utiliza como conceito

básico para a operação segura do mesmo a garantia de que a sua capacidade ou resistência

seja superior à demanda dele exigida.

No campo da engenharia de estruturas ou da engenharia mecânica, a capacidade é

representada pela resistência mecânica de um componente ou conjunto de componentes,

enquanto que a demanda está relacionada com a ação de uma combinação de cargas atuantes

sobre os membros estruturais que compõem o conjunto em estudo. Um projeto estrutural ou

mecânico é considerado apto para operação quando a sua resistência excede a demanda

representada pela ação do carregamento externo. No entanto, a resistência mecânica e a ação

do carregamento externo são consideradas variáveis aleatórias, ou seja, apresentam uma

variabilidade na sua magnitude, caracterizando a existência de incertezas associadas com os

valores da resistência mecânica e/ou com a ação do carregamento externo, que afetam a

possibilidade do sistema estrutural ou mecânico manter a sua capacidade operacional ao longo

da vida útil definida para o mesmo.

Considerando as incertezas associadas com as variáveis acima citadas, o desempenho

de uma estrutura ou componente mecânico, ao longo da sua vida operacional, não pode ser

garantido pelos projetistas estruturais, havendo uma probabilidade não nula da ocorrência de

falha ao longo desta vida, em conformidade com um critério de desempenho específico. A

possibilidade da estrutura operar satisfatoriamente, em conformidade com as condições de

projeto, ao longo de sua vida útil, calculada como complemento da probabilidade de falha, é

definida como Confiabilidade. O uso dos conceitos de confiabilidade na análise e síntese de

20

componentes ou sistemas mecânicos e estruturais tem como objetivo maximizar os níveis de

segurança estrutural e minimizar os custos de projeto e fabricação, buscando-se uma avaliação

probabilística da possibilidade de ocorrência de falha estrutural, ao invés da utilização dos

tradicionais coeficientes de segurança empregados nos Critérios de Projeto. Estes coeficientes,

definidos em função da experiência adquirida no passado, tanto no projeto como na operação

de alguns tipos de estruturas ou componentes mecânicos, embora facilitem a tarefa do

projetista quando da execução da síntese estrutural, não permitem uma avaliação da

probabilidade de falha que está sendo admitida pelo Critério de Projeto.

O uso de Critérios de Projeto baseados em análises probabilísticas permite a clara

definição da probabilidade de falha de um sistema estrutural, bem como propicia a possibilidade

de estudo da influência de cada variável aleatória sobre a segurança do sistema. Mesmo com a

introdução de considerações probabilísticas, os Critérios de Projeto devem considerar a opinião

de especialistas, com grande experiência na execução de projetos estruturais ou mecânicos,

principalmente quando da definição das dispersões associadas às variáveis aleatórias e para

seleção das formulações matemáticas utilizadas para modelar um mecanismo específico de

falha.

De uma forma simplificada, o problema da definição da possibilidade de falha de um

componente estrutural pode ser analisado com o emprego de um modelo de comparação entre

uma oferta e uma demanda. A oferta é a resistência mecânica do componente, com respeito a

um modo de falha específico, e a demanda é a combinação de efeitos associados aos

carregamentos externos que agem sobre o mesmo ao longo de sua vida operacional. A falha do

componente estrutural ocorre quando a resistência mecânica tem magnitude inferior à

magnitude dos efeitos gerados pela ação do carregamento externo. O problema básico do

projetista estrutural é posicionar as funções densidade de probabilidade associadas com a

resistência mecânica e com a solicitação externa de forma a minimizar a probabilidade de falha,

controlando as dimensões e o material do componente estrutural. Os tradicionais Critérios de

Projeto empregados no dimensionamento de componentes mecânicos ou estruturais

consideram que tanto a resistência mecânica como a solicitação externa são representadas por

valores determinísticos, denominados de valores nominais. A resistência mecânica nominal é

um valor conservador, afastado do valor médio por um número inteiro de desvios padrões,

usualmente dois ou três, de forma a obter-se um valor inferior ao valor médio, minimizando a

resistência mecânica para as condições de projeto. A solicitação externa nominal tem

magnitude superior ao valor médio, sendo este afastado do mesmo por um número inteiro de

desvios padrões, maximizando a solicitação externa. O projeto estrutural é executado de forma

21

a afastar a resistência nominal da solicitação nominal, limitando esta última a uma fração da

resistência mecânica nominal, com o emprego do denominado fator de segurança, ou seja,

minimiza a possibilidade da solicitação externa superar a resistência mecânica. Este método,

tradicionalmente conhecido como “Método das Tensões Admissíveis”, limita a solicitação

máxima atuante no componente estrutural, expressa em termos de uma tensão admissível,

como uma porcentagem da resistência mecânica do material empregado na sua fabricação,

devendo o arranjo estrutural e as dimensões dos elementos de máquinas, garantir que, sob a

ação do carregamento externo considerado no projeto, as tensões atuantes nestes elementos

tenham, no máximo, a mesma magnitude da tensão admissível. Dessa forma, o

conservadorismo e a segurança introduzidos no projeto estrutural, com o emprego dos

coeficientes de segurança, são dependentes das incertezas associadas com a resistência

mecânica e com a solicitação externa, bem como da forma com que são definidos os valores

nominais das mesmas.

Usualmente, estes valores nominais são selecionados a partir da análise da dispersão

associada com a resistência mecânica e com a solicitação externa, para uma família de

estruturas, tais como estruturas navais, aeronáuticas e mecânicas, utilizando a experiência na

construção e operação destas estruturas, e a opinião de consultores especialistas.

A seleção do fator de segurança segue procedimentos similares aos acima descritos,

empregados para definição dos valores nominais. O mesmo objetivo dos tradicionais Critérios

de Projeto, baseados no uso do fator ou coeficiente de segurança, o qual é minimizar a

sobreposição entre as funções densidade de probabilidade da resistência mecânica e da

solicitação externa, pode ser obtido de uma forma que se baseia no cálculo da probabilidade da

resistência mecânica ser superada pela solicitação externa, denominada neste texto de

probabilidade de falha, sendo esta dependente das incertezas associadas com as variáveis

acima citadas. Os Critérios de Projeto baseados nos conceitos de confiabilidade tem por

objetivo minimizar a probabilidade de falha, considerando como variáveis aleatórias à

resistência mecânica e a solicitação externa, utilizando as dimensões do componente estrutural

e o material do mesmo como elementos que influenciam a magnitude e a variabilidade das

variáveis aleatórias. A utilização dos conceitos de confiabilidade na análise e/ou síntese de

componentes mecânicos ou estruturais apresenta algumas peculiaridades.

22

1.12 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DA CONFIABILIDADE EST RUTURAL

O cálculo da confiabilidade de um componente mecânico ou estrutural está associado

com o desenvolvimento de uma função de desempenho que representa a formulação

matemática empregada para modelar um dado mecanismo de falha que o componente em

estudo está sujeito a apresentar. De uma forma genérica, a função de desempenho para um

componente mecânico ou estrutural pode ser definida pela relação entre a resistência mecânica

e a solicitação externa, usualmente expressa em termos de tensões induzidas no componente

pela ação do carregamento externo.

A função de desempenho (Z) é usualmente expressa pela relação:

SRZ −=

onde R representa a resistência mecânica do material do componente e S representa as

tensões induzidas pela ação do carregamento externo, ou simplesmente solicitação.

A falha do componente ocorre quando a solicitação ultrapassa a capacidade de

resistência do componente, ou seja, quando a função de desempenho tem magnitude inferior a

zero.

Para definição da confiabilidade do componente mecânico ou estrutural, considera-se

que tanto a resistência mecânica como a solicitação são variáveis aleatórias, e a confiabilidade

é

( ) ( )SRPZPRc ≥=≥= 0

representada pela probabilidade da resistência mecânica ser superior à solicitação, ou seja

onde RC probabilidade de sobrevivência do componente, ou a sua confiabilidade.

Como complemento da probabilidade de sobrevivência tem-se a probabilidade de falha,

a qual é definida pela seguinte relação:

( ) ( )SRPZPRf ≤=≤= 0

onde pf é a probabilidade de falha.

Baseando-se nas formulações apresentadas nas equações acima, verifica-se que, para

o cálculo da probabilidade de falha e da confiabilidade, necessita-se do conhecimento das

funções densidade de probabilidade da resistência mecânica e da solicitação, podendo ser

executado o cálculo analítico da probabilidade de falha através da relação:

∫∞

=0

)()( dssfsFP srf

sendo FR(.) a função distribuição acumulada da resistência mecânica.

23

A confiabilidade é definida como o complemento da probabilidade de falha, ou seja:

fc pR −=1

A execução da integral constante da equação pode ser complexa, dependendo dos tipos

de funções densidade de probabilidade empregados na representação da resistência mecânica

e da solicitação externa. Entretanto, este não é o maior empecilho para a aplicação das

equações em referência. Na maioria dos problemas mecânicos ou estruturais, a solicitação,

expressa como as tensões atuantes na estrutura devido à ação do carregamento externo, é

calculada como a relação entre propriedades geométricas do componente e o carregamento

externo, sendo que as primeiras também tem natureza probabilística, fato que dificulta a

avaliação da função densidade de probabilidade da solicitação. A probabilidade de falha

calculada em conformidade coma formulação apresentada, para uma família de estruturas

projetadas conforme um Critério de Projeto específico, o qual emprega um coeficiente de

segurança pré-definido, permite a verificação de qual é a probabilidade de falha admissível

neste Critério de Projeto, expressa em termos do uso do coeficiente de segurança e dos valores

nominais da resistência mecânica e da solicitação. A obtenção desta correlação torna-se mais

complexa quanto maior for o número de variáveis necessárias para o cálculo da função

densidade de probabilidade da solicitação. Para funções de desempenho de formulações

lineares, a determinação da probabilidade de falha pode ser simplificada, caso as funções

densidade de probabilidade da resistência mecânica e da solicitação sejam do tipo normal e as

variáveis sejam consideradas independentes. Outras formulações, para outras combinações de

funções densidade de probabilidade, podem ser obtidas em literatura especializada na área de

confiabilidade estrutural.

24

CAPÍTULO 02 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES

2.1 - INTRODUÇÃO

Os conceitos mais fundamentais no dimensionamento de elementos de máquinas são a

tensão e a deformação. Conhecidas as cargas atuantes nos elementos de máquinas, pode-se

determinar as tensões resultantes. Neste capítulo relacionamos as tensões atuantes no corpo

como um todo, sendo distintas das tensões superficiais ou tensões de contato. As tensões

resultantes de carregamento estático serão analisadas neste capítulo.

2.2 - TENSÃO

A tensão representa a intensidade da força de reação em um ponto do corpo submetido

a cargas de serviço, condições de fabricação e variações de temperatura. A tensão é medida

como a força atuante por unidade de área de um plano.

∆P – Vetor força que atua sobre o elemento de área ∆A

Figura 1 – Cargas atuantes em elemento infinitesimal

áreaforçaTensão /=

A

Px

Axx ∆

∆=→∆ 0

limσ A

Py

Axy ∆

∆=

→∆ 0limτ

A

Pz

Axz ∆

∆=→∆ 0

limτ

σxx, τxy, τxz são as componentes de tensão associadas ao plano x do ponto O

σ - tensão normal: tensão perpendicular ao plano de análise

τ - tensão de cisalhamento: tensão que atua paralelamente ao plano.

Em uma peça submetida a algumas forças, a tensão é geralmente distribuída como uma

função continuamente variável dentro do contínuo do material. Cada elemento infinitesimal do

material pode experimentar diferentes tensões ao mesmo tempo. Deve-se olhar as tensões

como atuando em pequenos elementos dentro da peça.

25

A figura abaixo mostra um cubo infinitesimal do material da peça que é submetida a

algumas tensões tridimensionais. As faces deste cubo infinitesimal são paralelas a um conjunto

de eixos xyz tomados em uma orientação conveniente. A orientação de cada face é definida

pelo vetor superficial normal como mostra a figura. A face x tem sua superfície normal paralela

aos eixos x, etc. Note que há duas faces x, duas faces y e duas faces z, uma de cada sendo

positiva e uma negativa como definida pelo sentido de seu vetor normal à superfície. Os nove

componentes de tensão atuando nas superfícies deste elemento infinitesimal estão mostrados

nas figuras 3 e 4. Os componentes σxx , σyy , σzz são as tensões normais, assim chamadas

porque atuam respectivamente nas direções normais às superfícies x, y e z do cubo. As

componentes τxy , τxz , por exemplo são as tensões cisalhantes que atuam na face x e cujas

direções de atuação são paralelas aos eixos y e z , respectivamente

Figura 2 - Componentes de tensão sobre um elemento infinitesimal tridimensional

Estes elementos infinitesimais são modelados como cubos. Os componentes de tensão

são considerados atuando nas faces destes cubos em duas diferentes maneias. Tensões

normais atuam perpendicularmente à face do cubo e tendem a tracioná-las (tensão normal de

tração) ou comprimi-las (tensão normal de compressão). Tensões cisalhantes atuam

paralelamente às faces dos cubos em pares e nas faces opostas, que tendem a distorcer o

cubo em um formato romboidal. Estas componentes de tensão normal e cisalhamento atuantes

no elemento infinitesimal compõem o tensor.

Tensão é um tensor de segunda ordem e requer nove valores ou componentes para

descrevê-lo no estado tridimensional. Pode ser expresso por uma matriz:

26

Onde a notação para cada componente de tensão contem três elementos, a magnitude

(σ ou τ), a direção da normal à superfície de referencia (primeiro subscrito) e a direção da ação

(segundo subscrito). Utiliza-se σ para tensões normais e τ para tensões cisalhantes. Muitos

elementos nas máquinas são sujeitos a um estado de tensão tridimensional e requer o tensor

tensão.

Figura 3 – Componentes de tensão em um estado bidimensional

Em alguns casos, são usados como estado de tensão bidimensional (figura 2.2b)

O tensor tensão para o estado bidimensional é:

Um elemento infinitesimal de um corpo (dx) (dy) deve estar em equilíbrio. Portanto:

∑ = 0oM ∑ = 0yF ∑ = 0xF

de onde podemos mostrar que:

yxxy ττ =

ou seja, para um ponto sob estado plano de tensões as componentes cisalhantes em planos mutuamente perpendiculares devem ser iguais. De fato, pode-se mostrar que isto é verdade para um estado mais geral de tensões, ou seja:

27

zxxz ττ = zyyz ττ =

2.3 - TENSÕES EM MEMBROS COM CARREGAMENTO AXIAL

2.3.1 - CARGA AXIAL

Seja a barra, considerada sem peso e em equilíbrio, sujeita a duas forças F em suas

extremidades.

A

P=σ Tensão Normal (tração)

Figura 4 - Tensão normal (tração)

2.3.2 - CARGA AXIAL - TENSÃO DE APOIO

A

P=σ Tensão de Apoio (compressão)

Figura 5 -Tensão de compressão

28

2.3.3 - TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO

Figura 6 - Tensão de cisalhamento

a) Cisalhamento simples:

Figura 7 - Cisalhamento simples

b) Rebite:

A

P

A

Vm ==τ

Figura 8 - Cisalhamento de rebite

c) Cisalhamento duplo:

A

P

A

Vm 2

==τ

Figura 9 - cisalhamento duplo

29

2.4 - TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO

2.4.1 - EQUAÇÕES PARA TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO PLANA

Uma vez determinadas às tensões normais σx e σy e a tensão de cisalhamento τxy, é

possível determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano inclinado em um

dado estado de tensão.

Figura 10a - Análise de tensões em um plano qualquer

Figura 10b - Análise de tensões em um plano qualquer

Aplicando as equações de equilíbrio estático:

0'∑ =xF

0cos.....cos.cos.cos.' =−−−− θθτθθσθθτθθσσ sendAsensendAsendAdAdA xyyxyxx

θθτθσθσσ sensen xyyxx .cos..2.cos. 22' ++=

Sabendo que:

30

θθθ cos..22 sensen = , θθθ 22cos2cos sen−= , θθ 22cos1 sen+=

Assim:

2

2cos1cos2 θθ += ,

2

2cos12 θθ −=sen

Substituindo as expressões de sen2θ, cos2θ e sen 2θ:

θτθσθσσ 22

2cos1

2

2cos1' senxyyxx +−++=

θτθσσσσ

σ 22cos22' senxy

yxyxx +

−+

+=

∑ = 0yF

0..cos..cos.cos..cos'' =+−−+ θθτθθσθθτθθστ sensendAsendAdAsendAdA xyyxyxyx

θτθσσ

τ 2cos22'' xy

yxyx sen +

−−=

2.4.2 - CÍRCULO DE MOHR

Sejam as equações de transformação de tensão:

θτθσσσσ

σ 22cos22' senxy

yxyxx +

−=

+−=

θτθσσ

τ 2cos22 xy

yxxy sen +

−−=

Elevando ao quadrado ambas as equações e somando-as tem-se:

2

2

2''

2

' 22 xyyx

yxyx

x τσσ

τσσ

σ +

−=+

+−

Esta equação pode ser de maneira mais compacta:

( ) 22''

2' Ra yxx =+− τσ

A equação acima é a equação de um circulo de raio 2

2

2 xyyxR τ

σσ+

−=

e o centro

em 2yxa

σσ +=

e b=0.

31

O circulo construído desta maneira é chamado círculo de Mohr, onde a ordenada de um

ponto sobre o circulo é a tensão de cisalhamento τxy e abscissa é a tensão normal σx.

Figura 11 - Círculo de Mohr para tensões

CONCLUSÕES IMPORTANTES

• A maior tensão normal possível é σ1 e a menor é σ2. Nestes planos não existem tensão

de cisalhamento.

• A maior tensão de cisalhamento τmax é igual ao raio do circulo e uma tensão normal de

2yx σσ +

atua em cada um planos de máxima e mínima tensão de cisalhamento.

• Se σ1==σ2, o circulo de Mohr se degenera em um ponto, e não se desenvolvem tensão

de cisalhamento no plano xy.

• Se σx+σy=0, o centro do circulo de Mohr coincide com a origem das coordenadas σ - τ, e

existe o estado de cisalhamento puro.

• Se soma das tensão normais em quaisquer dos planos mutuamente perpendiculares é

constante: σx+σy=σ1+σ2=σx’+σy’= constante.

• Os plano de tensão máxima ou mínima formam ângulos de 45º com os planos das

tensões principais.

32

2.4.3 - CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES

Figura 12 - Elemento submetido a tensões σx = - 20 MPa (20 x 106 N/m2) , σy = 90 MPa , σxy = 60 Mpa

Procedimento

1- Determinar o centro do circulo (a,b):

Mpaa yx 352

9020

2=+−=

+=

σσ

, 0=b

2- Determinar o Raio

2

2

2 xyyxR τ

σσ+

+= →

MpaR 4,8160

2

9020 22

=+

−−=

3- Localizar o ponto A(-20,60)

Figura 13 – Círculo de Mohr

33

4- Tensões principais:

Mpa4,1164,81351 =+=σ , Mpa4,464,81352 −=−=σ

5- Orientações das tensões principais:

º7,473520

602.2 ''

1 =

+= tagarcθ , º85,25''

1 =θ

º18022 ''2

''1 =+ θθ → º15,66''

2 =θ

Figura 14 – Inclinação das tensões atuantes

6- Tensão máxima de cisalhamento:

MpaR 4,81max ==τ

7- Orientação da tensão máxima de cisalhamento:

º9022 ''2

''1 =+ θθ → º15,212 ''

2 =θ

Figura 15 - Posição do elemento submetido a tensões máximas de cisalhamento

34

2.4.4 - TENSÕES PRINCIPAIS PARA O ESTADO GERAL DE T ENSÕES

Considere um estado de tensão tridimensional e um elemento infinitesimal tetraédrico.

Sobre o plano obliquo ABC surge a tensão principal σn, paralela ao vetor normal unitário.

Figura 16 - Elemento infinitesimal tetraédrico submetido a estado tridimensional de tensões

O vetor é identificado pelos seus cosenos diretores 1, m e n, onde cos α = 1, cos β = m,

cos γ = n. Da figura nota-se que: 12+m2+n2 = 1.

Figura 17 – Vetor unitário

O plano oblíquo tem área dA e as projeções desta área nas direções x, y e z são: dA.L,

dA.m e dA.n. Impondo o equilíbrio estático nas direções x, y e z, temos:

∑ = 0xF , ( ) 0..1.1. =−−− ndAmdAdAdA xzxyxn ττσσ

∑ = 0yF , ( ) 01.... =−−− dAndAmdAmdA xzxyxn ττσσ

∑ = 0zF , ( ) 0..2 =−− mdAndAndA yzn τσσ

Simplificando e reagrupando em forma matricial, temos:

35

Como visto anteriormente, 12+m2+n2 = 1, os cosenos diretores são diferentes de zero.

Logo, o sistema terá uma solução não trivial quando o determinante da matriz de coeficientes

de 1,m e n for nulo

A expansão do determinante fornece um polinômio característico do tipo:

023 =−+− σσσ σσσ IIIIII nnn

onde: zyxI σσσσ ++=

( )222)( xzyzxyxzzyyxII τττσσσσσσσ ++−++=

( )222.2 xyzxzyyzxxzyzxyzyxIII τστστστττσσσσ ++−+=

As equações acima são invariantes, independentemente do plano oblíquo que é tomado

no tetraedro. Logo, as raízes do polinômio característico já as tensões principais.

2.4.5 - CÍRCULO DE MOHR PARA O ESTADO GERAL DE TENS ÕES

Qualquer estado de tensão tridimensional pode ser transformado em três tensões

principais que atuam em três direções ortogonais.

Figura 18 - Elemento submetido a estado tridimensional de tensões

36

Admitindo que σ1>σ2>σ3>0.

Figura 19 - Círculo de Mohr para o estado tridimensional de tensões

2.5 – ANÁLISE DE DEFORMAÇÃO

Um corpo sólido se deforma quando sujeito a mudanças de temperatura ou a uma carga

externa, como mostrado abaixo.

Figura 20 - Corpo submetido à tração pura

Se L0 é o comprimento inicial e L é o comprimento final do corpo sob tração, o

alongamento é ∆L = L – L0 e o alongamento por unidade de comprimento, chamado

deformação linear, é definido como:

00 0 L

L

L

dLL ∆== ∫ε

Se o corpo se deforma em três direções ortogonais x,y,z e z e u, v, e w forem as três

componentes do deslocamento nestas direções, as deformações lineares são respectivamente:

37

Além da deformação linear, um corpo pode sofrer uma deformação angular, como

mostrado abaixo.

Figura 21 - Análise de deformação angular em elemento infinitesimal

Assim, para pequenas mudanças de ângulo, a deformação angular associada as

coordenadas x e y é definida por:

Se o corpo se deforma em mais planos ortogonais xz e yz, as deformações angulares

nestes planos são:

2.6 - LEIS DE TENSÃO - DEFORMAÇÃO LINEAR E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

2.6.1 - COEFICIENTE DE POISSON PARA MATERIAIS ISOTR ÓPICOS

Seja o corpo abaixo submetido a uma força axial.

38

Figura 22 - Peça submetida a carregamento axial

Deformação axial

Deformação lateral

A relação entre o valor da deformação lateral e a deformação axial é conhecida como

coeficiente de Poisson:

2.6.2 - LEI DE HOOKE PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS (ES TADO TRIAXIAL DE

TENSÕES)

Seja um corpo sujeito a um estado triaxial de tensões σx, σy e σz.

Figura 23 - Corpo sujeito a um estado triaxial de tensões

O estado triaxial de tensões pode ser considerado como a superposição de três estados

de tensão uniaxial analisados separadamente:

39

1 – Deformações devido a σx:

2 – Deformações devido a σy:

3 – Deformações devido a σz:

Superpondo todas as deformações, temos:

Da Lei de Hooke, σ = E ε é o modulo de elasticidade do material, as deformações devido

à σx, σy e σz são:

Para o caso do corpo ser submetido a esforços de cisalhamento as relações deformação

- tensão são:

O módulo de cisalhamento G está relacionado a E e ν por:

2.7 - EXTENSOMETRIA A extensometria é uma técnica utilizada para a análise experimental de tensões e

deformações em estruturas mecânicas e de alvenaria. Estas estruturas apresentam

deformações sob carregamento ou sob efeito da temperatura. É importante conhecer a

extensão destas deformações e muitas vezes precisam ser monitoradas constantemente, o que

pode ser feito de diversas formas. Algumas são o relógio comparador, o detector eletrônico de

40

deslocamento, por camada frágil, por foto-elasticidade e por strain-gauge. Dentre todas, o

strain-gauge, do inglês medidor de deformação, é um dos mais versáteis métodos.

Os extensômetros elétricos são largamente utilizados para medir deformações em

estruturas como pontes, máquinas, locomotivas, navios e ainda associados a transdutores para

medir pressão, tensão, força e aceleração. São ainda associados a outros instrumentos de

medidas para uso desde análise experimental de tensão até investigação e práticas médicas e

cirúrgicas.

2.7.1 - EXTENSÔMETRO ELÉTRICO (STRAIN-GAUGE)

Em 1856 William Thomson, ou conhecido como Lord Kelvin, apresentou à Royal

Philosophical Society de Londres os resultados de um experimento envolvendo a resistência

elétrica do cobre e ferro quando submetidos a estresse. As observações de Kelvin foram

consistentes com a relação entre resistência elétrica e algumas propriedades físicas de um

condutor, segundo a equação

A

LR

ρ=

onde R é a resistência elétrica, ρ é a constante de condutividade, L é o comprimento do

condutor e A é a área da seção transversal deste. A resistência é diretamente proporcional ao

comprimento e inversamente proporcional à área da seção transversal.

Quando uma barra metálica é esticada, ela sofre um alongamento em seu comprimento

e também uma diminuição do seu volume, resultado da diminuição da área da seção

transversal desta barra. A resistência elétrica da metálica aumenta quando esta barra é

esticada, também resultado da diminuição da área da seção transversal e do aumento do

comprimento da barra. Da mesma maneira, quando a barra é comprimida, a resistência diminui

devido ao aumento da área transversal e diminuição do comprimento.

A relação entre comprimento e dimensão da seção transversal pode ser expressa

através do coeficiente de Poisson:

a

L

L

dLD

dD

εεν =

−=

41

Figura 24 - Extensômetro de fio

onde ν(ni) é o coeficiente de Poisson, D é a dimensão da seção transversal, L é o

comprimento, εL (epslon) é a deformação lateral e εa é a deformação axial. Esta relação

demonstra basicamente que, quando o comprimento diminui para um material (compressão), a

seção transversal aumenta, e vice-versa para um aumento no comprimento (tensão) do

material.

Experimentos realizados pelo norte-americano P. W. Bridgman em 1923 mostraram

algumas aplicações práticas da descoberta de Kelvin para realização de medidas, mas foi a

partir de 1930 que estas tomaram impulso. É creditado a Roy Carlson uma das primeiras

utilizações de um fio resistivo para medições de tensões em 1931. Entre 1937 e 1939, Edward

Simmons (Califórnia Institute of Technology, - Pasadena, CA, USA) e Arthur Ruge

(Massachusetts Institute of Technology - Cambridge, MA, USA) trabalhando

independentemente um do outro, utilizaram pela primeira vez fios metálicos colados à superfície

de um corpo de prova para medida de deformações. Esta experiência deu origem aos

extensômetros que são utilizados atualmente. A Figura 2.21 mostra um a construção geral de

um extensômetro à base de fio colado.

A partir de 1950, o processo de fabricação de extensômetros adotou o método de

manufaturar finas folhas ou lâminas contendo um labirinto ou grade metálica, colado a um

suporte flexível feito geralmente de epóxi. As técnicas de fabricação de circuitos impressos são

usadas na confecção dessas lâminas, que podem ter configurações bastante variadas e

intrincadas, como mostra a Figura 25.

Figura 25 Tipos de extensômetros elétricos.

42

Os extensômetros elétricos têm as seguintes características gerais, que denotam sua

importância e alto uso:

• alta precisão de medida;

• baixo custo;

• excelente linearidade;

• excelente resposta dinâmica;

• fácil instalação;

• pode ser imerso em água ou em atmosfera de gases corrosivos (com tratamento

adequado);

• possibilita realizar medidas à distância.

A base do extensômetro pode ser de: poliamida, epóxi, fibra de vidro reforçada com resina

fenólica, baquelita, poliéster, papel e outros. O elemento resistivo pode ser confeccionado de

ligas metálicas tais como Constantan, Advance, Nicromo V, Karma, Níquel, Isoelatic e outros. O

extensômetro pode ser confeccionado também com elemento semicondutor, que consiste

basicamente de um pequeno e finíssimo filamento de cristal de silício que é geralmente

montado em suporte de epóxi ou fenólico.

As características principais dos extensômetros elétricos de semicondutores são sua grande

capacidade de variação de resistência em função da deformação e seu alto valor do fator do

extensômetro, que é de aproximadamente 150, podendo ser positivo ou negativo. Para os

extensômetros metálicos a maior variação de resistência é devida às variações dimensionais,

enquanto que nos de semicondutor a variação é mais atribuída ao efeito piezo-resistivo.

Para um extensômetro ideal, o fator de extensômetro deveria ser uma constante, e de maneira

geral os extensômetros metálicos possuem o fator de extensômetro que podem ser

considerados como tal. Nos extensômetros semicondutores, entretanto, o fator do extensômetro

varia com a deformação, numa relação não linear. Isto dificulta quando da interpretação das

leituras desses dispositivos. Entretanto é possível se obter circuitos eletrônicos que linearizem

esses efeitos. Atualmente, os extensômetros semicondutores são bastante aplicados quando se

deseja uma saída em nível mais alto, como em células de cargas, acelerômetros e outros

transdutores.

2.7.2 - PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO E USO

Na sua forma mais completa, o extensômetro elétrico é um resistor composto de uma

finíssima camada de material condutor, depositado então sobre um composto isolante. Este é

então colado sobre a estrutura em teste com auxílio de adesivos como epóxi ou cianoacrilatos.

43

Pequenas variações de dimensões da estrutura são então transmitidas mecanicamente ao

extensômetro, que transforma essas variações em variações equivalentes de sua resistência

elétrica (por esta razão, os extensômetros são definidos como transdutores). Os extensômetros

são usados para medir variações de carga, pressão, torque, deslocamento, tensão,

compressão, aceleração, vibração. A seleção do extensômetro apropriado para determinada

aplicação é influenciada pelas características seguintes: material da grade metálica e sua

construção, material do suporte isolante, material do adesivo, tratamento e proteção do medidor

e configuração. O design dos extensômetros incorpora várias funcionalidades como alto fator de

medição, alta resistividade, insensibilidade à temperatura, alta estabilidade elétrica, alta

resistência mecânica, facilidade de manipulação, baixa histerese, baixa troca termal com outros

materiais e durabilidade. A sensibilidade à temperatura é um ponto fundamental no uso de

extensômetros, e freqüentemente o circuito de medição contém um compensador de

temperatura. Da mesma forma, o tipo de adesivo usado para fixar o extensômetro à estrutura a

ser monitorada é de suma importância. O adesivo deve transmitir as variações mecânicas com

o mínimo de interferência possível, por isso deve ter alta resistência mecânica, alta resistência

ao cisalhamento, resistência dielétrica e capacidade de adesão, baixas restrições de

temperatura e facilidade de aplicação.A relação básica entre deformação e a variação na

resistência do extensômetro elétrico pode ser expressa como:

=R

dR

F

1ε

onde ε é a deformação, F é o fator do medidor e R é a resistência do medidor. Para um

medidor típico, F é 2.0 e R é 120 ohm.

2.7.3 - TIPOS DE EXTENSÔMETROS ELÉTRICOS (STRAIN-GA UGES)

Extensômetro axial único. Utilizado quando se conhece a direção da deformação, que é

em um único sentido.

Figura 26 - Extensômetro axial único.

44

EXTENSÔMETRO AXIAL MÚLTIPLO

Roseta de 2 direções. São dois extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a

duas direções. Utilizada para medir deformações principais quando se conhecem as direções.

Figura 27 - Roseta de 2 direções

Roseta de 3 direções. São três extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a três

direções. Utilizada quando as direções principais de deformações não são conhecidas.

Figura 28 - Roseta de 3 direções

A Figura 29(a) apresenta um extensômetro tipo diafragma, que são quatro extensômetros sobre uma mesma base, sensíveis a deformações em duas posições diferentes. Usado para transdutores de pressão. A Figura 29(b) apresenta um extensômetro para medida de tensão residual, que são três extensômetros sobre uma base devidamente posicionados para utilização em método de medida de tensão residual. Finalmente, a Figura 29(c) mostra um extensômetro para transdutores de carga (strain-gauge load cell), que são dois extensômetros dispostos lado a lado, sobre a mesma base, para utilização em células de cargas (para medição de tensão e compressão).

45

(a) (b) (c)

Figura 29 - Extensômetros tipo (a) diafragma, (b) para medida de tensão residual e (c) célula de carga

A extensometria, como técnica de medição de deformações ocorridas em materiais, é

essencial para monitoramento dinâmico de estruturas sujeitas a carregamentos e tem no

extensômetro elétrico ou strain-gauge seu instrumento principal.

Os strain-gauges têm aplicações tão variadas quanto monitoramento de deformações

em pontes, vigas, medição de vibração em máquinas, medição de pressão, de força, em

acelerômetros e torquímetros. Devido às vantagens e importância dos extensômetros elétricos,

estes aparelhos são indispensáveis a qualquer equipe que se dedique ao estudo experimental

de medições.

2.8 - RELAÇÕES TENSÃO - DEFORMAÇÃO Para o estado plano de tensões, as condições permitem o uso da aproximação segundo

a qual não ocorre variação das tensões na direção z, podendo-se desconsiderar as tensões σzz

, σxz e σyz em presença das outras tensões. Então:

( )( )yyxxxx

E υεευ

σ +−

=21

( )( )yyxxyy

E ευευ

σ +−

=21

0=== yzxzzz σσσ

xyxy Gεσ 2=

εxx

εxx = εyy

εxy

2.9 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

2.9.1 - INTRODUÇÃO

A mecânica dos meios contínuos e mais especificamente a teoria da elasticidade, tem

como fundamento básico o desenvolvimento de modelos matemáticos que possam representar

adequadamente a situação física real em estudo. Na análise estrutural o objetivo pode ser a

46

determinação do campo de deslocamentos , as deformações internas ou as tensões atuantes

no sistema devido a aplicação de cargas. Muitos estudiosos do assunto tais como Navier,

Cauchy, Poisson, Green etc , destacaram-se no desenvolvimento de modelos matemáticos que

auxiliaram na determinação de variáveis envolvidas num determinado estudo.

Porém em certos casos práticos certas aplicações de modelos matemáticos apresentam

dificuldades as vezes intransponíveis . Como exemplo sabe-se que na análise estrutural a

perfeita representação matemática dos carregamentos, geometria, condições de contorno etc

em muitas situações apresenta-se de forma complexa, havendo assim a necessidade de se

introduzir hipóteses mais aproximadas no problema físico real possibilitando assim formas de

modelagem matemática que conduzem a soluções mais simples.Por outro lado a engenharia

tem demonstrado interesse cada dia maior em estudos mais precisos que se aproximam o

máximo possível do modelo real . Dentre estes métodos escolhidos surgiu o método dos

elementos finitos que é baseado na discretização do meio contínuo (estrutura sólida, o fluido, os

gases etc).O método dos elementos finitos é seguramente um dos métodos mais difundidos na

discretização dos meios contínuos . A sua utilização se deve também ao fato de poder ser

aplicado em problemas clássicos da mecânica estrutural elástico-linear tais como mecânica dos

sólidos , mecânica dos fluidos, transmissão de calor , acústica etc.

2.9.2 – SÍNTESE HISTÓRICA

Devido a complexidade comportamental dos sistemas estruturais utiliza-se modelos

mais simplificados que consistem em separar os sistemas em componentes básicos ou seja,

aplica-se o processo de análise do método científico de abordagem do problema.

Com esta operação, tem-se a oportunidade de se estudar o comportamento dos

elementos de forma mais simples sintetizando as soluções parciais para se obter uma solução

aproximada porém segura. A discretização de sistemas contínuos tem objetivos análogos aos

acima descritos, particionando-se o domínio, o sistema em componentes cujas soluções são

mais simples e posteriormente utiliza-se soluções parciais para resolver os problemas. Em

alguns casos essa subdivisão prossegue indefinidamente e o problema só terá solução

utilizando definições matemáticas de infinitésimos isto é, conduzindo-se a equações

diferenciais , ou expressões equivalentes com um número infinito de elementos. Com a

evolução dos computadores digitais os problemas discretos podem ser resolvidos sem

dificuldade mesmo que o modelo apresente um grande número de elementos dependendo

apenas da capacidade do computador .

47

A discretização de problemas contínuos tem sido abordada ao longo dos anos, de forma

diferente por matemáticos e engenheiros. Os matemáticos tem desenvolvido técnicas gerais

aplicáveis diretamente a equações diferenciais que regem o problema tais como: aproximações

por diferenças finitas , métodos de resíduos ponderados, técnicas aproximadas para determinar

pontos estacionários de funcionais etc. Os engenheiros procuram abordar os problemas de

forma mais intuitiva estabelecendo analogias entre os elementos discretos reais e porções

finitas de um domínio do contínuo.

O conceito de análise de estruturas teve início na escola francesa (1850 a 1875) com

Navier , St. Venan e com os trabalhos de Maxwell, Castigliano , Mohr e outros.

No período compreendido entre 1875 e 1920 as teorias e técnicas analíticas para o

estudo das estruturas forma particularmente lentos devido certamente as limitações práticas

nas soluções de equações algébricas . Neste período as estruturas de interesse eram

basicamente treliças e pórticos que utilizavam um processo de análise mais aproximado

baseado na distribuição de tensões com forças incógnitas o que era universalmente

empregado. Após 1920 em função dos trabalhos de Maney e Ostenfield passou-se a utilizar a

idéia básica de análise aproximada de treliças e pórticos baseada no método dos

deslocamentos . Estas idéias portanto foram as precursoras do conceito de análise matricial de

estruturas em uso hoje em dia. Várias limitações no tamanho dos problemas a solucionar que

poderiam ter forças ou deslocamentos com incógnitas continuaram a prevalecer até 1932

quando Hardy Cross introduziu o Método da distribuição de momentos. Este método facilitou a

solução de problemas de análise estrutural possibilitando-se assim trabalhar com problemas

mais complexos .

Após 1940 McHenry , Hrenikof e Newmark demonstraram no campo da mecânica dos

sólidos que podiam ser obtidas soluções razoavelmente boas de um problema de contínuo

através da distribuição de barras elásticas simples. Mais tarde Argyris, Turner, Clough , Martin e

Topp demonstraram que era possível substituir as propriedades do contínuo de um modo mais

direto e não menos intuitivo , supondo que as porções ou seja os elementos se comportavam

de forma simplificada.

Os computadores digitais apareceram por volta de 1950 mas a sua real aplicação a

teoria e a prática não se deu aparentemente de forma imediata. Entretanto alguns estudiosos

previram o seu impacto e estabeleceram codificações para a análise estrutural de forma

adequada ou seja na forma matricial. Duas contribuições notáveis podem ser consideradas

como um marco no estudo do método dos elementos finitos. Seus autores são Argyris e Kelsey

e Turner, Clough, Martin e Topp.

48

Tais publicações uniram os conceitos de análise estrutural e análise do contínuo e lançaram os

procedimentos resultantes na forma matricial; elas apresentaram uma influencia preponderante

no desenvolvimento do MEF nos anos subseqüentes. Assim as equações da rigidez passaram

a ser escritas em notação matricial e resolvidas em computadores digitais. A publicação

clássica de Turner et all de 1956 influencia decisivamente no desenvolvimento do método dos

elementos finitos.

Em 1941 o matemático Courant sugeria a interpolação polinomial sobre uma subregião

triangular como uma forma de se obter soluções numéricas aproximadas. Ele considerou esta

aproximação como uma solução de Rayleigh-Ritz de um problema variacional. Este é portanto o

método dos elementos finitos na forma com se conhece hoje em dia.

O trabalho de Courant foi no entanto esquecido até que os engenheiros

independentemente o desenvolveram. O nome elementos finitos que identifica o uso preciso da

metodologia geral aplicável a sistemas discretos , foi dado em 1960 por Clough. Em 1963 o

método foi reconhecido como rigorosamente correto e tornou-se uma respeitável área de

estudos. Hoje muitos pesquisadores continuam a se ocupar com o desenvolvimento de novos

elementos e de melhores formulações e algorítmos para fenômenos especiais e na elaboração

de novos programas que facilitem o trabalho dos usuários.

2.9.3 - O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

O método dos elementos finitos é um procedimento numérico para resolver problemas

de mecânica do contínuo com precisão aceitável na engenharia.Suponha-se que os

deslocamentos e/ou tensões da estrutura mostrada na figura 30a devam ser determinados Os

métodos clássicos descrevem o problema com equações diferenciais parciais, más não

fornecem respostas prontas por não serem o carregamento e a geometria comuns. Na prática

muitos problemas se tornam complicados para terem uma solução matemática fechada

(algoritmo próprio para a solução). Neste caso portanto como o da figura 30a uma solução

numérica é necessária e um dos métodos mais aplicáveis é o método dos elementos finitos.

49

Figura 30a – Estrutura plana real Figura 30b – malha de EF

Na figura 30b é mostrada uma possível malha de elementos finitos que representa a

viga da figura 30a, onde as regiões triangulares representam os elementos finitos e os

pequenos círculos representam os nós que conectam os elementos uns aos outros. Pode-se

dizer que os elementos finitos representam pedaços da estrutura real porém não se pode

converter a figura 30a na figura 30b fazendo cortes na estrutura em regiões e unindo estas

partes através dos nós pois isto resultaria numa estrutura fragilizada. Adicionalmente

procedendo desta forma haveria certamente uma concentração de tensões nos nós e uma

tendência a haver uma separação dos elementos nas regiões limítrofes. Na realidade uma

estrutura real não atua desta forma. Assim os elementos finitos devem se deformar de maneira

compatível. Por exemplo se uma aresta de um elemento permanece reta, as arestas dos

elementos adjacentes deverão ter deformações compatíveis, sem que haja sobreposição ou

separação.

A versatilidade é uma notável característica do método dos elementos finitos que pode

ser aplicado a problemas de natureza diversa. A região sob análise pode ter forma arbitrária e

cargas e condições de contorno quaisquer. A malha pode ser constituída de elementos de

diferentes tipos, formas e propriedades físicas. Esta grande versatilidade pode muitas vezes ser

colocada em um programa computacional simples, desde que se controle a seleção do tipo de

problema a abordar, especificando a geometria, condições de contorno, seleção de elementos

etc. Outra característica muito positiva do método é a semelhança entre o modelo físico e o

modelo real fazendo com que a abstração matemática seja fácil de se visualizar. Apesar de

suas vantagens, o método dos elementos finitos apresenta também algumas desvantagens por

exemplo: um resultado numérico específico sempre é obtido para um conjunto de dados que

tentam representar um sistema, e nem sempre existe uma fórmula fechada que permita a

verificação destes resultados. Um programa e um computador confiáveis são essenciais;

50

experiência e um bom senso na análise são necessários para se construir uma boa malha. Os

dados de saída de uma análise feita devem ser cuidadosamente interpretados.

2.9.4 - EQUAÇÕES BÁSICAS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS F INITOS

O método dos elementos finitos comumente usado é baseado no método de Rayleigh-

Ritz e prevê a divisão do domínio de integração, contínuo em um número finito de pequenas

regiões conforme visto no item anterior (figuras 30a e 30b). A esta divisão do domínio dá-se o

nome de rede de elementos finitos. A malha desse reticulado pode ser aumentada ou diminuída

variando o tamanho dos elementos finitos. Ao invés de buscar uma função admissível que

satisfaça as condições de contorno para todo o domínio, no método dos elementos finitos as

funções admissíveis são definidas no domínio de cada elemento finito. Para cada elemento

finito i, é montado um funcional i∏ , que somado aos dos demais elementos finitos , formam

um funcional ∏ para todo o domínio.

∑=

∏=∏n

ii

1

Para cada elemento i, a função aproximada é formada por variáveis referidas aos nós do

elemento (parâmetros nodais) e por funções denominadas de funções de forma. Assim a função

aproximada υ tem a forma:

∑ == m

j jjav1

φ

onde jasão os parâmetros nodais e jφ

as funções de forma.

O funcional ∏ fica sendo expresso por:

∑ =∏≅∏ n

i jij aa1

)()(

A condição de estacionariedade gera como no método de Rayleigh-Ritz, um sistema de

equações algébricas lineares tal que como:

( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑= = =

=∂

∏∂=∏=∏ n

i

n

i

m

jj

jijij a

aaa

1 1 10δδ

A solução do sistema de equações acima dá os valores dos parâmetros nodais ja que

podem ser deslocamentos, forças internas, ou ambos, dependendo da formulação do método

dos elementos finitos que se utiliza. Se o campo de deslocamentos é descrito por funções

aproximadoras e o princípio da mínima energia potencial é empregado, as incógnitas são as

componentes dos deslocamentos nodais e o método dos elementos finitos é denominado de

método dos elementos finitos, modelo das forças de deslocamentos ou método dos elementos

51

finitos, modelo dos deslocamentos ou método dos elementos finitos, modelo de rigidez. Se o

campo das tensões ou esforços internos é representado por funções aproximadoras, as

incógnitas serão as tensões ou esforços internos nodais e o método dos elementos finitos é

denominado de método dos elementos finitos, modelo das forças ou método dos elementos

finitos, modelo de flexibilidade, sendo utilizado o princípio da mínima energia complementar.

Nos métodos mistos, as funções aproximadoras são expressas em termos de deslocamento e

forças internas ou tensões e são derivadas de princípios variacionais generalizados, como o

princípio de Reissner.

2.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Dado o seguinte tensor da tensão associado ao sistema de referência x, y,z.

Figura 31 – Exercício resolvido 1

Determine:

a) i) As componentes normal (σ) e tangencial (τ) da tensão, numa faceta igualmente

inclinada relativamente a x, y, z.

ii) As direções das componentes referidas na alínea i).

b) Resolva a alínea anterior para uma faceta paralela a z e igualmente inclinada

relativamente a x e y.

c) As tensões e respectivas direções principais.

d) As componentes normal e tangencial da tensão na faceta x, partindo do tensor das

tensões associado ao sistema de eixos principais. Compare os valores obtidos com

os valores dados inicialmente.

Solução:

a) i) MPa2100.2 ×−=σ .1016.2 2 MPa×=τ

ii) 535.0' −=⋅−

=τσ lT

l x ; 802.0' =⋅−

=τσ mT

m y ;

267.0' −=⋅−=τσ nT

n z

b) MPa50−=σ .150MPa=τ

52

236.0' −=⋅−

=τσ lT

l x ; 236.0' =⋅−

=τσ mT

m y ;

943.0' −=⋅−=τσ nT

n z

c) [ ] .10

19.300

032.00

0087.4

00

00

002

3,2,13,2,13

2

1

3,2,1 MPa×

−=

=σ

σσ

σ

),1cos(440.0

),1cos(612.0

),1cos(657.0

1

1

1

zn

ym

xl

=====−=

),2cos(423.0

),2cos(787.0

),2cos(449.0

2

2

2

zn

ym

xl

=−===

==

),3cos(792.0

),3cos(081.0

),3cos(605.0

3

3

3

zn

ym

xl

====

==

d)

[ ] MPazyx2

,, 10

792.0081.0605.0

423.0787.0449.0

440.0612.0657.0

19.300

032.00

0087.4

792.0423.0440.0

081.0787.0612.0

605.0449.0657.0

×

−−

×

−×

−

−=σ

2. a) Represente no plano de Mohr, o estado de tensão abaixo definido.

Figura 32 – Exercício resolvido 2

b) Determine as tensões e direções principais do estado de tensão definido na alínea

anterior, resolva analiticamente e pela circunferência de Mohr.

Resolução:

a)

53

Figura 33 – Solução do exercício resolvido 2

b) σ1 = 7.606 Mpa; σ2 = 0.394 Mpa; σ3 = σz =0 MPa ( valor admitido )

θ1 = -16.850; θ2 = 73.150; θ3 = θz = 900.

3. A figura representa o estado de tensão num ponto de uma chapa de aço.

Figura 34 – Exercício resolvido 3

a) Faça a representação gráfica de Mohr, do estado de tensão nesse ponto e determine

as tensões principais e respectivas direções.

b) Posteriormente a chapa é submetida a uma compressão adicional uniforme de

15MPa, segundo uma direção que faz um ângulo de 200 com o eixo dos x, marcado

no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.

Determine as tensões principais e respectivas direções , referentes ao estado de

tensão resultante no ponto considerado.

54

Resolução :

a)

Figura 35 – Solução do exercício resolvido 3

σ1 = 67.5 MPa; σ2 = σz = 0 Mpa; σ3 = -27.75 MPa

θ1 = -24.230 ; θ2 = θz = 900; θ3 = 65.770

b) [ ] MPazyx

−−−

=000

076.1382.39

082.3976.36

,,σ ; [ ] MPa

−=

66.3500

000

0066.58

3,2,1σ

θ1 = -28.810; θ2 = θz = 900; θ3 = 61.190

4. Considere o campo de deslocamentos dado por:

( )( )( )( )( )( )

×+⋅=

×+⋅=

×+⋅=

−

−

−

42

42

42

1025.0

1025.0

1025.0

yxzw

zxyv

zyxu

Para o ponto A (1,2,1), determine:

a) O tensor das deformações referido ao referencial x, y, z.

b) A deformação no ponto A segundo uma direção igualmente inclinada relativamente

aos três eixos.

c) Determine o plano onde se dá a distorção.

d) As extensões principais.

e) Determine o tensor das tensões, sabendo que E = 210 GPa e ν = 0.3.

55

Resolução:

a) [ ] 4,, 10

25.275.150.1

75.100.175.1

50.175.125.2−×

=zyxε

b) 410167.5 −×=ε radt4' 10466.0

2−×== γδ

c) 412.0

2

'' =

⋅−= γ

εδ ll x ; 827.0

2

'' −=

⋅−= γ

εδ mm

y; 412.0

2

'' =

⋅−= γ

εδ nn z

d) [ ] 43,2,1 10

456.000

0750.00

00206.5−×

−=ε

e) [ ] MPa

=5.5600

00.750

004.143

3,2,1σ

5. Considere o estado de tensão definido no exercício 1 e um material isotrópico com

constantes elásticas: E = 210 GPa e ν = 0.3.

Determine o estado de deformação correspondente a este estado de tensão, tomando

como eixos coordenados:

Eixos x, y, z

Eixos principais 1, 2 , 3.

Resolução:

a) [ ] 3,, 10

905.062.085.1

62.0952.024.1

85.124.1333.0−×

−−−

−−=zyxε

b) [ ] 3

3,2,1

3,2,1 10

26.200

009.00

0073.2−×

−−=ε

6. Grava-se sobre uma chapa de aço uma circunferência de 600 mm de diâmetro.

Submete-se depois esta chapa a tensões tais que :

56

MPax 140=σ ; MPay 20=σ ; MPaxy 80−=τ

Figura 36 – Exercício resolvido 6

Depois da solicitação a circunferência transforma-se numa elipse. Calcular os

comprimentos do eixo maior e do eixo menor dessa elipse e marcar as respectivas

direções na figura.

Resolução:

Figura 37 – Solução do exercício resolvido 6

θ1 = -26.570 θ2 = θz = 900 θ3 = 63.430.

57

7. Num ponto situado à superfície de uma placa de aço instalou-se uma roseta de

extensômetros como se indica na figura. Depois de aplicada ao corpo uma determinada

solicitação, colocando o ponto em estado plano de tensão, fizeram-se as seguintes

leituras:

ab

c

X

Y

εa

εb

εc30

0

Figura 38 – Exercício resolvido 7

3101 −×== ya εε 3.0=ν

3105.2 −×−=bε MPa510211.1 ×=λ

xc εε =×−= −3102 MPaE 5101.2 ×=

MPaG 51081.0 ×=

Nesta situação determinar as extensões e tensões principais e respectivas direções.

Resolução:

[ ] 33.2.1 10

58.200

0428.00

0058.1−×

−=ε

θ1 = -68.050; θ2 = θz = 900; θ3 = 21.950

[ ] MPa

−=

25.48700

001018.00

0066.186

3,2,1σ

8. Na vizinhança de um ponto, mediram-se as extensões segundo as arestas de um

tetraedro, resultantes de uma dada solicitação, e que estão representadas na figura.

58

Figura 39 – Exercício resolvido 8

Os valores obtidos foram os seguintes:

4101 −×== xa εε ; 4105.0 −×== yb εε ; 4105.0 −×−== zc εε ; 4105.1 −×=dε

4108.0 −×=eε ; 4106.0 −×−=fε

a) Defina o estado de deformação no ponto por intermédio do tensor das extensões.

b) Determine a extensão e a distorção numa direção igualmente inclinada relativamente

a três eixos de referência x, y, z.

c) Determine o plano aonde se dá a distorção.

d) Determine as extensões principais.

e) Represente o estado de deformação no plano de Mohr.

f) Determine o valor da máxima distorção.

Resolução

a) [ ] 4,, 10

5.06.055.0

6.05.075.0

55.075.01−×

−−−

−−=zyxε

b) 410133.0 −×−=ε radt4' 10347.0

2−×== γδ

c) 277.0

2

'' −=⋅−= γ

εδ ll x ; 803.0

2

'' =

⋅−= γ

εδ mm y ;

528.0

2

'' −=⋅−= γ

εδ nn z

59

d) 43

42

41 10806.010012.010816.1 −−− ×−=×−=×= εεε

e)

Figura 40 – Solução do exercício resolvido 8

f) rad4max 1062.2 −×=γ

9. Na figura estão indicados os elementos da superfície A e B, ambos paralelos a direção

principal z, as tensões normal e tangencial no elemento A e a tensão normal no

elemento B, sabendo que a tensão principal na direção z vale 50 MPa, determine:

Figura 41 – Exercício resolvido 9

a) A tensão tangencial no elemento B.

b) As tensões e direções principais.

c) As extensões principais supondo: E = 210 Gpa ; ν= 0.3

60

d) Componentes da tensão no elemento de superfície cuja normal, relativamente aos eixos

principais, tem por cossenos directores: 3

1,

3

2,

3

2 === nml .

e) A tensão de comparação pelo critério de Von-Mises.

Resolução:

a) MPab 44.10−=τ

b) MPa501 =σ ; MPa0.122 =σ ; MPa9.443 −=σ

zθθ == 01 90 ; 0

2 23.59=θ ; 03 77.30−=θ

c) [ ] 4

3,2,1

3,2,1 10

02.300

0498.00

0085.2−×

−−=ε

d) MPa57.22=σ .82.29 MPa=τ

e) MPaeq 72.82=σ

10. Num corpo de aço macio sujeito a estado plano de tensão, conhecem-se as tensões

normais em duas facetas ortogonais, como se indica na figura. Sabe-se também que

uma das direções principais é a indicada na figura, determine:

60 MPa

100 MPaA

B

X

Y

300

Dir P

Z

Figura 42 – Exercício resolvido 10

a) As tensões principais.

b) As extensões principais, sabendo que E = 210 GPa, 3.0=ν

c) tensão de comparação pelo critério de Von-Mises.

d) Admitindo que se trata de um material frágil com: MPac 100=σ ; MPat 60=σ

Verifique, pelo critério de Mohr-Coulomb, se o estado de tensão é possível.

61

Resolução:

a) [ ] MPa

−=

14000

000

00180

3,2,1σ

b) [ ] 3

3,2,1

3,2,1 10

92.000

006.00

0006.1−×

−−=ε

c) MPaeq 85.277=σ

d) 14.4100

140

60

180 ≥=−− não verifica

100180≤ não verifica

O estado de tensão não é admissível.

Figura 43 – Solução do exercício resolvido 10

2.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Determinar, empregando equações e o círculo de Mohr, para cada um dos estados de

tensão abaixo representados :

• a orientação dos planos principais;

• as tensões principais;

• a máxima tensão de cisalhamento;

• a orientação dos planos das tensões máxima de cisalhamento;

• a tensão normal associada a tensão máxima de cisalhamento.

Resposta : a) 18,52º e 108,52º; 66,10 MPa e -53,10 MPa; 59,60 MPa; -26,42º e 63,57º; -

2,5 MPa;

62

b) 18,4º e 108,4º; 151,7 MPa e 13,8 MPa; 69 MPa; -26,6º e 63,4º; +82,75 MPa;

c) -37º e 53º; -27,2 MPa e -172,8 MPa; 72,8 MPa; 8º e 98º; -100 MPa;

d) -31º e 59º; 130,0 MPa e -210,0 MPa; 170 MPa; 14º e 104º; -40MPa.

Figura 44 – Exercício proposto 1

2. O prisma abaixo está submetido a um Estado Plano de Deformações. Encontrar as

tensões e direções principais, a tensão de cisalhamento máxima no plano xy e sua

direção e a maior tensão de cisalhamento no entorno de P. Representar estas

grandezas (tensões e direções) através dos círculos de Mohr correspondentes aos

planos formados por cada dois eixos principais.. Encontrar as deformações específicas e

deformações totais nas direções x, y e z. Encontrar as deformações específica máxima

e mínima. E=210.000 MPa. (= 0,3.

Figura 45 – Exercício proposto 2

63

CAPITULO 03 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DOS MATERIAIS -

CARREGAMENTO ESTÁTICO

3.1 - INTRODUÇÃO

No projeto de um elemento de máquina, o ideal é se ter à disposição os resultados de

vários testes de resistência do material escolhido. Estes testes deverão ser feitos em amostras

que possuam o mesmo tratamento térmico, o mesmo acabamento superficial e as mesmas

dimensões do elemento que o engenheiro se propõe a construir; os testes dêem ser realizados

sob a mesma condição em que a peça estará trabalhando. Os testes deverão proporcionar

informações úteis e precisas, que dizem ao engenheiro qual o fator de segurança que deverá

ser usado e qual é a confiabilidade para uma determinada vida em serviço. O custo de reunir

numerosos dados antes do projeto é ainda mais justificado, quando há possibilidade da falha da

peça colocando em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a peça em grande

quantidade . O custo dos atestes é muito baixo, quando dividido pelo número total de peças

fabricadas. Deve-se no entanto analisar as possibilidades: 1) a peça deva ser fabricada em

quantidades tão pequenas que, de forma alguma, justificariam os testes, ou o projeto deva ser

completado tão rapidamente, que não haveria tempo suficiente para a realização destes testes;

2) A peça já tenha sido projetada, fabricada e testada com a conclusão de ser falha ou

insatisfatória. Necessita-se de uma averiguação e análise mais aprofundada para compreender

a razão da falha da peça e sua não qualificação a fim de projetá-la mais adequadamente e

portanto melhorá-la. Normalmente o profissional terá somente os valores de limites de

escoamento, limites de ruptura e alongamento percentual do material, como as que são

apresentadas no apêndice deste livro. Com estas poucas informações, espera-se que o

projetista de máquinas apresente uma solução adequada. Os dados normalmente disponíveis

para o projeto foram obtidos através de testes de tração, onde a carga é aplicada gradualmente

e há um tempo para o aparecimento de deformações. Estes dados poderão ser usados para o

projeto de peças com cargas dinâmicas aplicadas das mais diversas maneiras a milhares de

rotações por minuto. O problema fundamental aqui seria usar portanto os dados dos testes de

tração e relacioná-los com a resistência das peças, qualquer que seja o estado de tensão ou

carregamento.

O ensaio de tração consiste em submeter um corpo de prova a uma tração progressiva,

sob a ação de uma cara lente e gradualmente crescente, em uma máquina de ensaios que

permite medir, continuamente, a força de tração P e a correspondente variação de comprimento

64

previamente assinalado no corpo de prova. O alongamento assim determinado compõe-se de

deformações "elásticas" e "permanentes". A deformação permanente pode ser medida após o

descarregamento da barra solicitada. Na curva tensão deformação se distinguem os seguintes

valores-limite:

Limite de elasticidade que é a maior tensão que se pode aplicar ao corpo de prova sem que ele

sofra deformação permanente. Considera-se limite de elasticidade "técnico" a tensão sob a

qual se verifica uma deformação permanente de 0,03%.

Limite de proporcionalidade é a máxima tensão sob a qual ainda se verifica

proporcionalidade entre a tensão e a deformação, isto é, sob a qual ainda é constante o módulo

de elasticidade.

σx ≥ σy → escoamento σx ≥ σu → ruptura

Figura 1 - Teste de tração em materiais dúcteis e frágeis

Limite de escoamento é a tensão sob a qual se verifica um "escoamento", isto é, um

alongamento sem um correspondente aumento da tensão aplicada.( σy também usado neste

livro como Sy) Durante o escoamento, a tensão pode variar entre o limite superior de

escoamento e o limite inferior de escoamento. Não sendo possível determinar o limite de

escoamento, considera-se o mesmo como sendo igual à tensão sob a qual se verifica uma

deformação permanente de 0,2%.

Limite de ruptura é a máxima tensão que se pode aplicar ao corpo de prova (σu ou

também usado neste livro como Su ou Srup).

3.2 - CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS

Podem-se primeiramente definir dois tipos de materiais. Os materiais dúcteis, que são

capazes de suportar uma deformação plástica relativamente grande antes de sofrerem fratura.

65

Mede-se a ductilidade pelo alongamento percentual que ocorre no material por ocasião da

fratura. Já o material é considerado frágil, quando se verifica uma pequena deformação

plástica. A linha divisória entre a ductilidade e a fragilidade é o alongamento de 5%. Diz-se que

um material com menos de 5% de alongamento na fratura é frágil, enquanto que um que tenha

mais de 5 é dúctil. Mede-se a ductilidade pelo alongamento percentual que ocorre no material

por ocasião da fratura. A ductilidade é também importante, porque é uma medida da

propriedade que indica a capacidade do material ser trabalhado a frio. Dobramento,

embutimento ou estampagem são operações de processamento de metais que exigem

materiais dúcteis.

Figura 2 - Máquina para ensaio de dureza

Quando se deve selecionar um material para resistir à deformação plástica, a dureza é,

geralmente a propriedade mais importante. Os quatro tipos de dureza mais usados são Brinell,

Rockwell, Vickers e Knoop. A maior parte dos sistemas de teste de dureza emprega uma carga

padrão que é aplicada a um esfera ou pirâmide em contato com o material a ser testado. É

uma propriedade fácil de se medir, porque o teste não é destrutivo e não há necessidade de

corpo de prova. Para os aços pode-se usar o número e dureza Brinell para obter-se uma boa

estimativa da resistência à tração. A relação é

Sut= 3,45 HB , (onde Sut ou σu ) é expresso em MPa.

As tabelas do apêndice mostram as propriedades de uma grande variedade de

materiais. Para o estudante, estas tabelas constituem uma fonte de informações para a

resolução de problemas e a execução de projetos.

66

A avaliação de tensões produzidas por cargas externas e peso próprio (F) é uma das

preocupações fundamentais no dimensionamento de estruturas. A tensão (σ) é avaliada por:

σ =F

A

onde F representa o carregamento e A a área da secção resistente.

Os materiais podem ser solicitados por tensões de tração, de compressão ou de

cisalhamento. Porém, quando submetidos a tensões de tração e compressão surge,

internamente ao material, tensões de cisalhamento.

Figura 3 - Tensões de tração, compressão e cisalhamento

As deformações são representadas pelas alterações de forma e dimensões de um corpo

resultantes das tensões. Conforme o tipo de carregamento aplicado tais deformações podem

ocorrer instantaneamente ou a longo prazo. Dependendo ainda do tipo de material e da

magnitude do carregamento as deformações podem ser reversíveis ou permanentes.

Corpo de prova antes do ensaio de tração (a)

Corpo de prova antes do ensaio de tração (b)

Figura 4 – Comprimento final e inicial do corpo de prova no ensaio de tração

Deformação específica ε pode ser definida com a relação entre a variação dimensional

( ∆ ) devido ao carregamento e a dimensão inicial

∆ = −o fl l

67

ε =∆

ol

onde lo é a dimensão antes da aplicação da carga e lf a dimensão após a aplicação da carga.

Em função dos mecanismos de tensão e deformação os materiais podem ser

classificados em elásticos, plásticos, viscosos. Entretanto, na prática, como os materiais

empregados na engenharia civil não são perfeitos, eles apresentam um comportamento

intermediário, podendo ser elasto-plásticos, visco-elásticos, visco-elasto-plásticos. Desse modo

as relações tensão-deformação, que definem o comportamento dos materiais, são

apresentadas nos itens subseqüentes.

Figura 5 - Corpo de prova submetido a tração

DEFORMAÇÃO ELÁSTICA

Em nível microestrutural, a deformação elástica é resultante de uma pequena elongação

da célula unitária na direção da tensão de tração ou a uma pequena contração na direção da

tensão de compressão. Esta deformação não resulta em qualquer alteração das posições

relativas dos átomos, conseqüentemente ocorre uma alteração no volume do material.

Deformação ( εεεε)

Ten

são

( σσ σσ)

Def. Elástica Def. Plástica

Figura 6 - Gráfico tensão x deformação de material levado à ruptura

68

As deformações elásticas são reversíveis, isto é, o material recupera sua forma inicial

após a remoção do carregamento. É também instantânea, ou seja, a sua magnitude independe

do tempo decorrido desde o momento de aplicação da carga.

MÓDULO DE ELASTICIDADE

Quando a deformação medida é uma função linear da tensão e independente do tempo,

o material possui comportamento elástico perfeito. Este comportamento é representado pela lei

de Hook.

εσ

=E

onde E é uma constante, denominada módulo de elasticidade, ou módulo de Young. O módulo

de elasticidade é a inclinação da reta do gráfico tensão x deformação.

COEFICIENTE DE POISSON

Qualquer variação dimensional em uma determinada direção, causada por uma força

uniaxial, produz uma variação nas dimensões ortogonais à direção da força aplicada. Por

exemplo, pode-se observar uma pequena contração na direção perpendicular à direção da força

de compressão. A relação entre a deformação lateral εx e a deformação direta (vertical) εy, com

sinal negativo, é denominada coeficiente de Poisson (ν).

Figura 7 – Deformação lateral e direta – Coeficiente de Poisson

νεε

= − x

y

69

O coeficiente de Poisson (ν) está normalmente na faixa 0,25 a 0,50. Nas aplicações de

engenharia, as tensões de cisalhamento também solicitam as estruturas cristalinas . Essas

produzem um deslocamento de um plano de átomos em relação ao plano adjacente.

A deformação elástica de cisalhamento γ (Figura 8)definida pela tangente do ângulo de

cisalhamento :

γ = tgα

e o módulo de cisalhamento G é a relação entre a tensão (τ) e a deformação de cisalhamento

(γ):

G =τγ

Este módulo de cisalhamento (G) também chamado de rigidez. O módulo de

cisalhamento esta relacionado ao módulo de elasticidade e ao coeficiente de Poisson:

GE

=+2 1( )ν

A tensão de cisalhamento produz um deslocamento de um plano atômico em relação ao

seguinte. Desde que os vizinhos dos átomos sejam mantidos, a deformação será elástica

(Figura 8 ).

Figura 8 - Deformação elástica por cisalhamento

Considerando-se a faixa de variação do coeficiente de Poisson, o módulo de

cisalhamento é entre 33 e 45% do valor do módulo de elasticidade.

Os módulos de elasticidade (E) à tração e à compressão, o módulo de cisalhamento (G), assim

como o coeficiente de Poisson (ν), são parâmetros importantes que definem um material, dando

elementos para a previsão do seu comportamento frente às solicitações externas.

DEFORMAÇÃO PLÁSTICA Quando submetidos a um determinado nível de tensão, muitos materiais apresentam uma

deformação permanente, não reversível e que não produz alteração de volume, denominada

deformação plástica. Ela é resultante de um deslocamento relativo permanente de planos

cristalinos e moléculas adjacentes. Trata-se de uma deformação irreversível, porque os átomos

70

e moléculas deslocados não retornam a sua posição inicial, mesmo depois da remoção do

carregamento.

DUCTILIDADE

É a deformação plástica total até o

ponto de ruptura, provocada por tensões que

ultrapassam o limite de elasticidade. Quando

um material é submetido à tração, a ductilidade

pode ser medida pela estricção que é a

redução da área da seção transversal do

material, imediatamente antes da ruptura. É

expressa em porcentagem (%) como sendo:

Es=Ao - Af

Aox 100

onde Es é a estricção, Ao a área inicial e Af a área final.

Uma outra medida da ductilidade é o alongamento, que também pode ser medido em

porcentagem (%), sendo igual a:

Allo lf

lox100=

−

onde Al é o alongamento, lo o comprimento inicial e lf é comprimento final.

Portanto, quanto mais dúctil um material, maior é a redução de área ou alongamento

antes da ruptura.

A tensão de escoamento é a tensão na qual o material começa a sofrer deformação

plástica.

FLUÊNCIA E RELAXAÇÃO Quando os materiais são submetidos a carregamentos constantes por longos períodos

de tempo, apresentam, além da deformação elástica instantânea uma parcela de deformação

plástica variável com o tempo e uma parcela de deformação denominada anelástica, ou seja,

uma deformação reversível não instantânea. Este processo no qual a tensão (σ) aplicada à

peça é constante e a deformação crescente com o tempo, é denominado fluência (Figura 10).

Se a peça for submetida a uma deformação constante, a fluência manifesta-se na forma

de alívio de tensão ao longo do tempo, conhecido por relaxação.

Deformação ( εεεε)

Ten

são

( σσ σσ)

Def. Elástica Def. Plástica

reversível irreversível

Figura 9- Comportamento de material elasto-

plástico durante carga e descarga

71

Tempo

Def

orm

ação

(εε εε)

Def. elástica instantâneaou anelástica

Def. por fluência

Tempo

Ten

são

Figura 10 - Exemplos de deformação (direita) por fluência e relaxação da tensão (esquerda) por fluência

DUREZA

É definida pela resistência da superfície do material à penetração efetuada por um

material de dureza superior. A escala Brinell - BHN (Brinell Hardness Number) contém índices

de medida de dureza, calculados a partir da área de penetração de uma esfera metálica (de aço

ou de carbeto de tungstênio) no material. A penetração desta esfera é feita a partir de uma força

e intervalo de tempo padronizado. A escala Rockwell de dureza pode ser relacionada a BHN,

mas é a medida da profundidade de penetração (p) da esfera, e não da área da calota esférica

utilizada para definir dureza BHN.

Figura 11 - Medida de dureza Brinnell

BHN =2

2 2

N

D D D dπ ( − −

Para materiais que possam ser considerados homogêneos e isotrópicos, é possível

estimar aproximadamente a resistência à tração ou à compressão a partir da dureza.

72

TENACIDADE

É a medida da energia necessária para

romper o material, expressa em N×m. No gráfico

carga x deslocamento pode-se medir a tenacidade

pelo cálculo da área sob a curva (Figura 12).

A tenacidade é medida através de um ensaio

dinâmico onde o corpo-de-prova recebe o impacto

de uma massa conhecida que cai de uma altura

conhecida.

A resiliência é a energia dissipada pelo material em

deformação no regime elástica.

FADIGA

A fadiga é uma propriedade que os materiais apresentam quando submetidos a esforços

cíclicos, como ocorre numa ponte ferroviária cujo maior carregamento acontece com a

passagem do trem. Nesta situação, o material pode romper com um nível de tensão inferior ao

da ruptura estática, como alguém que fica dobrando um arame quando não pode cortá-lo com

as mãos.

(a) Número de Ciclos x Resistência (b) Número de Ciclos x Resistência

Figura 13 – Gráficos típicos de fadiga apresentando o número de ciclos de carregamento necessários para romper a

diferentes tensões de (a) aços e concreto armado e (b) polímeros.

A ruptura por fadiga depende do nível de tensão ao que o material é submetido em cada ciclo:

assim, quando o material é submetido a uma tensão da ordem de 95% da tensão de ruptura

estática, exigirá um número menor de ciclos do que quando a tensão é de 90%. Em alguns

materiais estruturais, como o concreto e o aço, existe o chamado limite de fadiga, que é a

porcentagem da tensão de ruptura estática abaixo da qual o material não rompe por fadiga, isto

Figura 12 - Tenacidade

73

é, suportaria um número infinito de ciclos. Outros materiais, como os polímeros termoplásticos

não apresentam limite de fadiga, rompendo sempre com o esforço cíclico, mesmo que isso

demande um número imenso de ciclos.

3.3 - TEORIAS DE FALHAS COM CARREGAMENTO ESTÁTICO

Quando se deve selecionar um material para resistir à deformação plástica, a dureza é,

geralmente a propriedade mais importante. Os quatro tipos de dureza mais usados são Brinell,

Rockwell, Vickers e Knoop. A maior parte dos sistemas de teste de dureza emprega uma carga

padrão que é aplicada a um esfera ou pirâmide em contato com o material a ser testado. É

uma propriedade fácil de se medir, porque o teste não é destrutivo e não há necessidade de

corpo de prova. Para os aços pode-se usar o número e dureza Brinell para obter-se uma boa

estimativa da resistência à tração. A relação é

Sut= 3,45 HB , onde S é expresso em MPa.

As tabelas do apêndice mostram as propriedades de uma grande variedade de materiais. Para

o estudante, estas tabelas constituem uma fonte de informações para a resolução de problemas

e a execução de projetos. Os engenheiros que trabalham com projetos de máquinas e

desenvolvimento de novos produtos de todo tipo de estrutura são confrontados quase sempre

com problemas onde as peças possuem tensões normais de tração e compressão e flexão,

além tensões de cisalhamento.Porque uma peça falha? Esta questão tem ocupado os cientistas

e engenheiros por décadas. Hoje se tem muito mais entendimento sobre vários mecanismos de

falhas do que se sabia no passado, devido a melhoria de técnicas de medição e testes. A

resposta mais simples e óbvia para a pergunta acima seria dizer que as peças falham porque

suas tensões atuantes excedem suas resistências. Que tipo de tensões ocasionam as falhas,as

tensões devido a compressão, tração, cisalhamento? A resposta seria: “Depende”. Depende do material em questão; depende de sua resistência à compressão, tração e

cisalhamento. Depende também do tipo de carregamento e da presença ou ausência de

fissuras no material. Para uma combinação de cargas estáticas que produzem tensões

críticas, como saber se o material irá falhar para uma determinada aplicação? Uma vez que é

impraticável testar cada material e cada combinação de tensões, uma teoria de falha é

necessária para predizer com base na performance do teste de tração simples do material, tão

forte e resistente será sob outras condições de carga estática. A “teoria” por trás de todas as

teorias de falha é que qualquer que seja o responsável pela falha no teste padrão clássico de

tração será também responsável pela falha sob todas as outras condições de carga estática.

74

Por exemplo, suponha que um material tenha uma resistência à tração de 700 MPa. A

teoria prediz que sob qualquer condição de carga, o material irá falhar, se e somente se, a

tensão normal máxima exceder a 700 MPa. Para uma tensão normal de 560 MPa, não há

previsão de falha na peça. Por outro lado, suponha que seja postulado que a falha durante o

teste de tração ocorreu porque o material é limitado pela sua capacidade inerente de resistir a

tensão de cisalhamento, e que baseado no teste de tração a sua capacidade de tensão

cisalhante é de 350 MPa. Então se a peça foi submetida a uma tensão de cisalhamento de 420

MPa, sua falha foi prevista pela teoria.

O estudante de engenharia já tendo estudado os princípios de Mecânica dos sólidos e

resistência dos Materiais reconheceu nos exemplos acima a ilustração da teoria da máxima

tensão normal e a teoria da máxima tensão cisalhante.

Falha em uma peça submetida a um tipo qualquer de carregamento é considerada como

qualquer comportamento que a torna inútil para o qual foi projetada. Neste ponto iremos

considerar somente carga estática, deixando a parte de fadiga para o próximo capítulo. Carga

estática pode resultar de uma deflexão ou instabilidade elástica bem como uma distorção

plástica ou fratura. A distorção ou deformação plástica, está associada com tensões cisalhantes

e envolvem deslocamentos ao longo de planos de deslocamentos. A falha é definida como

ocorrendo quando a deformação plástica alcança um limite arbitrário, por exemplo 0,2 % em um

teste padrão de tração. O escoamento poderá no entanto ocorrer em áreas localizadas de

concentração de tensões ou em qualquer peça submetida à flexão ou torção quando

escoamento seja restrito a superfície externa.

3.3.1 - FALHA DE MATERIAIS DÚCTEIS SOB CARGA ESTÁTI CA

Enquanto os materiais dúcteis irão sofrer fratura se tencionado estaticamente acima de

seu limite de resistência máximo, sua falha nos elementos de máquinas é geralmente

considerado ocorrer quando escoam sob carga estática. O limite de resistência ao escoamento

de um material dúctil é muito menor do que seu limite de resistência.

Historicamente, várias teorias foram formuladas para explicar esta falha: a teoria da

máxima tensão normal, a teoria da máxima deformação normal, a teoria da energia de

deformação máxima, a teoria da energia de distorção (Von Mises-Hencky) e a teoria da máxima

tensão cisalhante. Destas somente as duas últimas concordam com os resultados

experimentais e delas, a teoria de von Mises-Hencky é a mais precisa. Serão discutidas as

duas últimas teorias.

75

A) CRITÉRIO DE VON MISES-HENCKY OU CRITÉRIO DA MÁXI MA ENERGIA DE

DISTORÇÃO

O critério de Von Mises leva em consideração todas as tensões que atuam no corpo –

tensões tridimensionais, ou seja, as três tensões que atuam no cubo, definidas como s1 , s2 e s3

. Baseado em experimentos que mostram que corpos tencionados hidrostaticamente possuem

escoamento muito acima (ou não escoam) dos valores dados pelos testes de tração.

Von Mises conclui que o escoamento está diretamente relacionado com a distorção

angular do material da estrutura. Por esta razão, este critério é baseado na teoria da energia de

distorção máxima.

Desta forma, a energia que produz a distorção angular em uma estrutura é igual à

energia total de deformação menos a energia para produzir a variação de volume, ou seja:

Figura 14 – Energias aplicada em um corpo para variar seu volume

A tensão σm é chamada de tensão média e dada por:

3321 σσσσ

++=m

A energia de distorção do corpo provoca uma distorção na sua forma geométrica, como

mostrado:

76

Figura 15 – Distorção geométrica de um corpo

Este critério se baseia na determinação da energia de distorção (isto é, energia

relacionada a mudanças na forma) do material. Neste critério, estamos interessados na tensão

equivalente

( )2

221 σσσ −

=eq

e o material é considerado no regime elástico enquanto

σeq

≤ SY

onde SY é o limite de escoamento do material, tensão esta determinada em um ensaio de

tração. Graficamente esta relação é representada pela figura 15, onde cada ponto, de

coordenadas σ1 , σ

2 representa o estado de tensões em um ponto do corpo. A região interna a

elipse de Mises indica que o ponto do corpo encontra-se no regime elástico. O contorno indica

plastificação e a região externa é inacessível.

Esta teoria preconiza que em qualquer material elasticamente tencionado aparece uma

variação no formato, no volume ou em ambos.

A energia total de deformação em uma peça submetida a carregamento pode ser

considerada consistindo de duas componentes ,uma devido ao carregamento hidrostático que

varia seu volume e outra devido a distorção com a variação do seu formato. Ao separar estas

duas componentes, a parcela da energia de distorção irá apresentar a medida da tensão

cisalhante presente. O componente estrutural estará em condições de segurança enquanto o

maior valor da energia de distorção por unidade de volume do material permanecer abaixo da

energia de distorção por unidade de volume necessária para provocar o escoamento no corpo

de prova de mesmo material submetido a ensaio de tração.

É conveniente quando utilizar esta teoria em trabalhar com a tensão equivalente, definida com o

valor da tensão de tração uniaxial que produz o mesmo nivel de energia de distorção que a

tensão real envolvida.

77

Seja a energia de distorção por unidade de volume em um material isotrópico em estado

plano de tensões:

( )2221

21.

6

1 σσσσ +−= GUd

Sendo σa e σb as tensões principais e G o módulo de elasticidade transversal.

No caso particular de um corpo de prova em ensaio de tração, que esteja começando a

escoar, temos σ1 =σy e σ2 =0, sendo (Ud)e = σy2 /6. G.

Assim o critério da máxima energia de distorção indica que o elemento estrutural está

seguro enquanto Ud < (Ud)e ou seja

σ12 -σ1σ2 + σ2

2 = Sy2

Figura 16 - Teoria da energia de distorção ou Von Mises

B) CRITÉRIO DE TRESCA OU DA MÁXIMA TENSÃO DE CISAL HAMENTO

Este critério estabelece que a falha (escoamento) começa sempre que a tensão

cisalhante máxima em uma peça torna-se igual à tensão cisalhante máxima (Ssy) que o material

pode suportar. Neste critério, as duas tensões são consideradas, lembrando-se que:

2

21 ⇒−

= σστmáx atuam que tensõesduas as entre diferença

da metade a é máxima cisalhante Tensão

Assim, o procedimento é feito calculando-se a máxima tensão cisalhante que atua na

estrutura, usando o modelo matemático apropriado, e comparando com o limite de resistência

(escoamento) ao cisalhamento (Ssy).

Escoamento começa quando:

Ssymáx =τ

78

O limite de resistência ao cisalhamento ou tensão cisalhante do material está relacionado com

Sy (limite de escoamento a tração / compressão). Desta forma, para um teste uniaxial de tração,

apenas a tensão σ1 está presente, sendo a condição extrema quando σ1 = Sy, então:

0,5 2

SS

S yy

sy ⋅==

O limite de resistência ao cisalhamento do material é a metade do limite de resistência

do material, seja no escoamento (Sy) como no limite de resistência máximo (Su).

A representação gráfica deste critério esta mostrada abaixo:

Figura 17 – representação gráfica do Critério de Tresca

Este critério é mais usado para materiais dúcteis.

Figura 18 – Exemplificação de torção em uma peça

Para garantir que a estrutura não ira falhar, usa-se um fator de segurança n.

2n

n

SS ysy

máx==τ

2n

n SS usu

máx==τ

A teoria da máxima tensão cisalhante deve ser a mais antiga teoria sendo

originariamente proposta por Coulomb (1736-1806), que apresentou as maiores contribuições

79

para o campo da mecânica e da eletricidade. Esta teoria está representada graficamente na

figura 17. Note cuidadosamente na figura 17 que no primeiro e terceiro quadrantes a tensão

principal zero está envolvida no circulo principal de Mohr, o mesmo não acontecendo no

segundo e quarto quadrantes. Esta teoria se correlaciona razoavelmente com o escoamento de

materiais dúcteis. Contudo a teoria da máxima energia de distorção seria mais recomendada

porque correlaciona melhor com os dados atuais de testes de materiais dúcteis, sendo:

SY = Limite de Resistência ao Escoamento;

σ1, σ2 - tensões normais principais

ESTADO UNIAXIAL - σσσσ1 < SY

O Elemento estrutural é considerado seguro enquanto a tensão máxima de cisalhamento

τmax no elemento não exceder a tensão de cisalhamento correspondente a um corpo de prova

do mesmo material, que escoa no ensaio de tração.

3.3.2 - EXERCÍCIO RESOLVIDO

1. A viga mostrada na figura abaixo foi construída de um material com Sy = 150MPa.

Determinar a largura b da viga, sabendo-se que l = 1,5m, h=0,35m, P=100.000N,

segurança n=1,7, usando o escoamento como a característica de resistência do

material.

Figura 19 – Figura exercício resolvido

Resolução:

hbhhb

hb

lPhlP

IylPMh

y

⋅⋅

⋅

⋅⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅=

=⋅=⋅==

223

3

lP6

2

12

2

12

12

I

M

2

σσ

σ

80

Condições de dimensionamento n

Sy≤⇒ σ

Então:

m 0,083b

106150350

71511000006

6 b n

6

2

2y

2

S

≥⇒

⋅⋅⋅⋅⋅≥⇒

⋅⋅⋅≥⇒≤⋅⋅⋅

),(

,, b

nlPlP

Shhb y

3.3.3 - FALHA DE MATERIAIS FRÁGEIS SOB CARGA ESTÁTI CA

A) CRITÉRIO DA MÁXIMA TENSÃO NORMAL (RANKINE)

Este critério de comparação entre s e v, estabelece que a falha da estrutura ocorre

sempre que a maior tensão (principal) que atua na peça, determinada pelo modelo matemático

apropriado, se iguala ao limite de escoamento (Sy) ou ao limite de resistência (Su). Assim:

Figura 20 – Tensão normal atuante em uma peça – Critério de Rankine

s1 = Sy

s1 = Su

s1 é a máxima tensão normal que atua

Se o estado de tensão que atua no corpo da estrutura for um estado plano de tensão, ou

seja, tensões normais sx , sy e tensão cisalhante txy , mesmo assim a comparação com S é feita

tomando-se apenas a maior delas.

Assim:

81

Figura 21 - Estado de tensão que atua no corpo de uma estrutura em um estado plano de tensão

Apenas s1 é usada na comparação. Pelo que foi visto, o critério da máxima tensão

normal, s1 sendo a única tensão importante, tem sua aplicação em estruturas onde outras

tensões são pequenas ou desprezíveis.

Uma representação gráfica ilustra este critério conforme mostrado abaixo:

Figura 22 - Critério de Rankine

Sut = limite de resistência à tração

Suc = limite de resistência à compressão

Para os aços ⇒ Sut = Suc

Para garantir a integridade da estrutura, assegurar que a mesma não vai falhar, usa-se

um fator de segurança n (1,3 ≤ n ≤ 2,0) e a comparação é feita. Neste caso o escoamento é

considerado como limite de resistência critica. Critério mais usado para materiais frágeis.

nSut=σ 1

→ Neste caso o escoamento é considerado como limite de resistência crítico.

Critério mais usado para materiais frágeis.

1 n

Sy=σ

82

O componente estrutural se rompe quando a máxima tensão normal atinge o valor da

tensão última σU do material, determinada em um ensaio de tração em um corpo de prova de

mesmo material. Assim, o componente estrutural se encontrará em situação de segurança

enquanto os valores absolutos das tensões principais forem menores que Sut.

O critério da máxima tensão normal é conhecido também com critério de Coulomb,

devido ao

físico francês Charles Augustin de Coulomb. Este critério tem uma deficiência séria, uma vez

que se baseia na hipótese de que a tensão última do material é a mesma na tração e na

compressão.

B) CRITÉRIO DE MOHR

Ensaios de tração, compressão, torção → Envoltória dos círculos de Mohr

Figura 23 - Critério de Mohr

Este critério, sugerido pelo engenheiro alemão Otto Mohr, pode ser usado para prever

os efeitos de um certo estado de tensões plano em um material frágil, quando alguns resultados

de vários tipos de ensaios podem ser obtidos para esse material. O estado de tensões que

corresponde à ruptura do corpo de prova no ensaio de tração pode ser representado em um

diagrama de círculo de Mohr pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em σUT . Do

mesmo modo, o estado de tensões que corresponde à ruptura no ensaio de compressão pode

ser representado pelo círculo que intercepta o eixo horizontal em O e em SUC. Fica claro que um

83

estado de tensões representado por um círculo inteiramente contido em qualquer dos dois

círculos descritos é um estado de tensões seguro.

3.4 - SELEÇÃO DE MATERIAIS

A seleção de um determinado material para integrar um novo produto é uma tarefa

dinâmica e os princípios que a controlam são constantemente alterados à medida que novos

materiais são também continuamente concebidos, bem como os requisitos técnicos e econômicos

podem ser mudados. Um exemplo desse fato é a substituição das ligas metálicas por materiais

compósitos na fuselagem dos aviões comerciais de última geração. A necessidade de minimizar

gastos com combustível e melhorar o desempenho dessas aeronaves leva ao uso de um material

mais leve. Um outro exemplo é encontrado na indústria automobilística. Até o início da década

passada era comum que os blocos de motores fossem fabricados em ferro fundido, um material

relativamente pesado. Entretanto, nos últimos anos a indústria automobilística tem substituído o

ferro fundido por ligas de alumínio, que além de serem mais leves, permitem que o motor seja

refrigerado de maneira mais eficiente. A substituição de materiais é um processo contínuo que

ocorre desde os primórdios da civilização, à medida que, em função de suas necessidades, o

homem iniciou a transformação de materiais em ferramentas e utensílios. Na indústria moderna,

muitos fatores e aspectos são constantemente alterados. Isto provoca a contínua busca pela

reposição de materiais, tendo como objetivo o menor custo de produção, bem como o aumento da

eficiência do produto final. Uma lâmpada,por exemplo, é constituída por um bulbo de quartzo

(SiO2) e por um filamento de tungstênio. O tungstênio, por suportar facilmente temperaturas

acima de 2.0000C, é usado para transformar energia elétrica em energia luminosa. Entretanto,

em presença de oxigênio, esse metal é intensamente oxidado em temperaturas elevadas, o que

leva a sua degradação. Em uma lâmpada elétrica, o tungstênio é inserido dentro do bulbo e

selado a vácuo, o que evita a oxidação do filamento. Um exemplo clássico de alteração no perfil

de consumo de materiais é o caso da indústria automobilística. Em 1975, um carro médio

americano exibia em torno de 80% de seu peso em ligas ferrosas. Com a necessidade de redução

de peso imposta pelos aumentos do custo de combustíveis na década de 70, o emprego dessa

ligas passou a ser responsável por 73% do peso. Tal redução é significativamente profunda

quando se considera que o veículo teve seu peso reduzido em aproximadamente 25% no mesmo

período, resultado direto do uso de materiais mais leves e da diminuição em tamanho. Nesse

período, o uso de materiais leves, como os plásticos e o alumínio, passou de 8% do peso total do

veículo para valores próximos a 23%. Atualmente, é possível encontrar em alguns automóveis,

84

carrocerias construídas integralmente em alumínio, o que além de representar redução de custos,

resulta em um produto mais resistente à corrosão.

3.4.1 - MATERIAIS METÁLICOS

A principal característica dos materiais metálicos está relacionada à forma ordenada

com que os seus átomos estão arranjados no espaço, o que pode ser melhor sintetizado pelo

termo “estrutura cristalina”. Em função do arranjo atômico, os materiais metálicos apresentam,

em geral, boa resistência mecânica e podem ser deformados permanentemente sob a ação de

forças externas.

Além, disso, como resultado das ligações metálicas, eles são bons condutores de calor e

eletricidade. Os materiais metálicos são substâncias inorgânicas compostas por um ou mais

elementos metálicos e podem também conter elementos não-metálicos, como o oxigênio,

carbono e nitrogênio.

Dentre os materiais metálicos, destacam-se as ligas de alumínio, largamente empregadas

na construção de aeronaves, as ligas de titânio usadas na confecção de implantes ortopédicos e

as superligas de níquel, apropriadas para fabricação de componentes para operação em

temperaturas elevadas. Os metais são vitais para indústria moderna, pois seu uso ocorre em uma

gama de aplicações excepcionalmente diversificada, da indústria de microeletrônica à automotiva.

AÇOS ESPECIAIS

Aços especiais são os aços que pelo seu percentual de carbono ou pela adição de

elementos de liga, principalmente metálicos, apresentam propriedades específicas em termos

de resistência mecânica, à corrosão e características eletromagnéticas. Assim como nos aços

comuns, os aços especiais podem ser planos ou longos.

AÇOS ESPECIAIS PLANOS

Os aços especiais planos são produzidos através de processos de laminação a quente

ou a frio, sendo comercializados nas formas de bobinas e chapas. Os tipos mais importantes

são os aços inoxidáveis, os aços siliciosos (ou aços elétricos) e os aços carbono e/ou ligados.

85

AÇOS INOXIDÁVEIS

O aço inoxidável é versátil, reciclável e está presente em vários segmentos de mercado,

pelas suas características mecânicas, de durabilidade, limpeza e beleza. Deve conter mínimo

de 10% de cromo em sua composição, o que permite a formação em sua superfície de fina

película protetora de óxido de cromo, que impede a corrosão (oxidação) do ferro. Outros

elementos como níquel, molibdênio e cobre, quando adicionados, melhoram a resistência à

corrosão e as características mecânicas destes aços. Os aços inoxidáveis são divididos em

três tipos básicos conforme o teor de cromo, níquel e carbono em sua composição e suas

características metalúrgicas.

- Aços Inoxidáveis Martensíticos - contêm de 10% a 30% de cromo e alto carbono. O

maior teor de carbono torna estes aços temperáveis, obtendo-se dureza superficial.

- Aços Inoxidáveis Ferríticos - possuem teor de cromo idêntico aos martensíticos e baixo

teor de carbono, apresentando superior resistência à corrosão.

- Aços Inoxidáveis Austeníticos - quando, além do cromo, contêm níquel em percentagens de

5% a 25%. Estes são os inoxidáveis considerados mais nobres, pois o níquel melhora a

resistência à corrosão, as qualidades mecânicas e a resistência ao trabalho em temperaturas

elevadas.

Cabe ressaltar que o setor de bens de consumo duráveis é o maior consumidor,

especificamente o de cutelaria e baixelas. O consumo industrial, englobando indústrias

alimentícia, bebidas, láctea, vinícolas e de balcões e frigoríficos, é o segundo maior

demandante, seguido pelo setor de transportes (indústria automobilística).

AÇOS SILICIOSOS

Os aços siliciosos ou aços elétricos têm características eletromagnéticas e podem ser de

dois tipos: G.O. - grão orientado e G.N.O. - grão não orientado. Os aços ao silício G.O.

apresentam excelentes propriedades magnéticas na direção de laminação. Estes aços são

utilizados basicamente na fabricação dos núcleos de transformadores, e em menor escala em

reatores de potência, hidrogeradores e turbogeradores, propiciando economia de energia

elétrica e maior eficiência dos equipamentos. Os aços ao silício G.N.O. possuem as mesmas

propriedades magnéticas em qualquer direção. As principais aplicações são na fabricação de

núcleos de geradores e motores elétricos, não necessitando de tratamento térmico posterior.

Note-se que algumas vezes são também chamados de especiais os aços ao silício,

semiprocessados, os quais necessitam ser submetidos a tratamento térmico posterior pelo

86

usuário, para adquirir características magnéticas do aço silicioso G.N.O., porém com qualidade

inferior.

AÇOS CARBONO/LIGADOS

São utilizados em máquinas e equipamentos que requerem propriedades mecânicas

especiais, conferidas pelo alto teor de carbono (de 0,5% a 2,0% C) e/ou pelos elementos de liga

adicionados em sua confecção. Os principais usos são nos implementos agrícolas, ferramentas

e cutelaria.

AÇOS ESPECIAIS LONGOS

Os aços especiais longos apresentam enorme gama de tipos em função das

propriedades físicas e químicas requeridas. São geralmente comercializados sob as formas de

blocos, tarugos, barras, fio-máquina, arames e tubos. Para fins de estudos, podem ser

classificados em quatro tipos básicos:

AÇOS PARA CONSTRUÇÃO MECÂNICA

São aços que contêm carbono até 0,5% e/ou outros elementos de liga como silício,

manganês, cromo e molibdênio, de forma a melhorar suas características de resistência

mecânica. Os aços para construção mecânica são classificados por vários critérios como

composição química, tratamento térmico a ser submetido e aplicação final dos produtos. Os

principais tipos de aços são: microligados, para tratamento térmico, para forjados, para molas,

para porcas e parafusos e para rolamentos. Estima-se que cerca de 90% dos aços para

construção mecânica destina-se à indústria automobilística e de autopeças. A indústria

ferroviária, implementos agrícolas e de artigos de uso doméstico seriam as demais usuárias.

AÇOS DE ALTA-LIGA

Estes aços contêm elementos de liga como cromo, níquel, molibdênio, vanádio,

tungstênio e cobalto, adquirindo propriedades de dureza e resistência mecânica, entre outras,

necessárias à fabricação de ferramentas de usinagem, estampos, moldes e matrizes, válvulas e

outros produtos. Os principais tipos são: aço ferramenta, aço rápido, aço inoxidável, aço válvula

e superligas.

87

Os aços ferramenta podem ser para trabalho a frio e a quente. As principais

características do aço ferramenta para trabalho a frio são: alta resistência a abrasão, alta

tenacidade, elevada retenção de corte, alta resistência ao choque e grande estabilidade

dimensional. No caso dos aços para trabalho a quente, as principais características são:

elevada resistência mecânica a quente, boa resistência a abrasão em temperaturas elevadas,

boa condutibilidade térmica e elevada resistência à fadiga.

Os aços rápidos são aços ferramenta utilizados para fabricação de ferramentas de corte.

Os aços inoxidáveis longos destinam-se a diversos usos onde se necessite material não

corrosivo, tais como indústrias de alimentos, bebidas e hospitalar. Os aços válvula são

inoxidáveis destinados, especificamente, para a produção de válvulas de motores a combustão.

As superligas são ligas nobres, principalmente à base de níquel, feitas sob encomenda,

para utilização em resistências elétricas, eletrodos de vela de automóvel, implantes cirúrgicos,

entre outros.

3.4.2 - MATERIAIS CERÂMICOS

Os materiais classificados como cerâmicos envolvem substâncias altamente resistentes ao

calor e no tocante à estrutura atômica, podem apresentar arranjo ordenado e desordenado,

dependendo do tipo de átomo envolvido e à forma de obtenção do material. Esses materiais são

constituídos por elementos metálicos e não-metálicos (inorgânicos), formando reações químicas

covalentes e iônicas.

Em função do arranjo atômico e das ligações químicas presentes, os materiais cerâmicos

apresentam elevada resistência mecânica, alta fragilidade, alta dureza, grande resistência ao calor

e, principalmente, são isolantes térmicos e elétricos. Nas últimas décadas, uma gama bastante

variada de novos materiais cerâmicos foi desenvolvida. Tais materiais caracterizam-se,

principalmente, pelo controle de suas composições, das dimensões de suas partículas e do

processo de produção dos componentes. Como resultado desse procedimento, é possível produzir

dispositivos de alta resistência mecânica e resistente a temperaturas elevadas, o que possibilita a

aplicação dos mesmos em máquinas térmicas, onde o aumento do rendimento está ligado ao

aumento da temperatura de trabalho. Em razão de sua excelente estabilidade térmica, os materiais

cerâmicos têm um importante papel na fabricação de diversos componentes, tais como insertos de

pistões de motores de combustão interna ou ainda, na produção de componentes de turbinas a

gás. A figura 24 mostra produtos automotivos fabricados com materiais cerâmicos. Exemplos de

materiais cerâmicos incluem a alumina, a sílica, o nitreto de silício, a zircônia e o dissiliceto de

molibdênio, todos caracterizados como materiais cerâmicos de engenharia.Em função da alta

88

estabilidade térmica, os materiais cerâmicos são, em princípio, ideais na fabricação de

componentes de máquinas térmicas, as quais têm seu rendimento aumentado quando se eleva

a temperatura de operação.

(a) (b)

Figura 24 - Produtos automotivos fabricados com materiais cerâmicos: (a) Parte superior

de pistões e anéis de nitreto de silício sinterizado, (b) Rotor de turbo-alimentador de

nitreto de silício.

Entretanto, além das características citadas, os materiais cerâmicos exibem baixa

tenacidade à fratura, que corresponde à falta de capacidade de limitar a propagação de trincas

no interior do material. Assim, no caso da existência de uma pequena trinca no interior de um

componente fabricado com materiais cerâmico, a mesma propagaria rapidamente, causando a

ruptura do mesmo. Tal fenômeno ocorre em escala muito menor em materiais metálicos.

Algumas partes da fuselagem do ônibus espacial americano são recobertas com material

cerâmico. Durante a reentrada dessa aeronave na atmosfera terrestre, em conseqüência do atrito,

temperaturas acima de 1.0000C podem ser geradas, o que poderia danificar partes desse veículo.

O recobrimento de material cerâmico utilizado, que pode suportar temperaturas extremamente

elevadas, serve como proteção, isolando o calor gerado do resto da aeronave.

3.4.3 - MATERIAIS POLIMÉRICOS

Os materiais poliméricos, apesar de abrangerem diversos materiais classificados como

naturais, envolvem ainda aqueles de natureza sintética e artificial. Grande parte desses últimos

tiveram sua utilização viabilizada a partir da década de 20, com os avanços da química orgânica. A

principal característica que diferencia os materiais poliméricos dos outros tipos de materiais está

relacionada à presença de cadeias moleculares de grande extensão constituídas principalmente

89

por carbono. O arranjo dos átomos da cadeia molecular pode levar a mesma a ser caracterizada

como linear, ramificada ou tridimensional. O tipo de arranjo da cadeia controla as propriedades do

material polimérico. Embora esses materiais não apresentem arranjos atômicos semelhantes ao

cristalino, alguns podem exibir regiões com grande ordenação atômica (cristalinas) envolvidas por

regiões de alta desordem (não-cristalina). Devido à natureza das ligações atômicas envolvidas

(intramoleculares → ligações covalentes e intermoleculares → ligações secundárias), a maioria

dos plásticos não conduz eletricidade e calor. Além disso, em função do arranjo atômico de seus

átomos, os materiais poliméricos exibem, em geral, baixa densidade e baixa estabilidade térmica.

Tal conjunto de características permite que os mesmos sejam freqüentemente utilizados

como isolantes elétrico ou térmico ou na confecção de produtos onde o peso reduzido é

importante. Um dos materiais poliméricos mais versáteis é o polietileno, com um número de

aplicações industriais bastante amplo. Outros exemplos de materiais poliméricos incluem os

poliuretano, que é usado na fabricação de implantes cardíacos ou a borracha natural utilizada na

fabricação de pneus.O painel de um automóvel moderno é essencialmente fabricado com o uso

de plásticos (material polimérico). Entretanto, os automóveis fabricados há mais de 20 anos

tinham o mesmo painel fabricado a partir de materiais metálicos. Tal substituição foi efetuada

em função de dois fatores: segurança e custos. Com o uso de plásticos, o painel se tornou mais

seguro para os ocupantes do veículo em caso de acidente, pois esse materiais deformam-se

mais facilmente que os materiais metálicos. Com o desenvolvimento da indústria petroquímica,

os plásticos tiveram seu custo reduzido, bem como os processo de moldagem tornaram-se mais

eficiente, o que resultou em um produto de preço reduzido. Um automóvel de competição de

última geração é basicamente construído com o uso de materiais compósitos do tipo matriz

plástica e reforço de fibras de carbono. O material compósito matriz plástica/fibras de carbono

permite obter uma relação resistência mecânica/peso extremamente elevada e muito maior que a

de diversos materiais metálicos. Em um automóvel de competição é importante reduzir o peso total

do veículo. Portanto, com o uso desse material compósito é possível projetar o veiculo, com um

peso total menor. Por outro lado, o emprego de tal material em automóveis de passeio não se

justifica à medida que o custo de produção seria excessivamente elevado em comparação com o

uso do aço.

O emprego de materiais para se produzir um produto manufaturado exige etapas de

fabricação onde as características desses materiais são alteradas no tocante à forma, a

dimensões, e principalmente, em relação a sua estrutura interna. No caso de materiais metálicos, o

processamento pode envolver técnicas como a fundição, o forjamento, ou a laminação. No caso de

materiais cerâmicos, este podem ser fundidos, sinterizados, ou tratados termicamente.

90

TIPO DE MATERIAL CARACTERÍSTICAS CONSTITUINTES

METÁLICO Média – Alta resistência mecânica Alta ductilidade Bom condutor térmico e elétrico Baixa – Alta temperatura de fusão Baixa – Alta dureza

Elementos metálicos e não-metalicos

POLIMÉRICO Bom isolante térmico e elétrico

Alta ductilidade

Baixa resistência mecânica

Baixa dureza

Baixa estabilidade térmica

Cadeiras moleculares orgânicas

CERÂMICO Alta resistência mecânica Alta fragilidade Bom isolante térmica e elétrico Alta temperatura de fusão Alta dureza

Óxidos Silicatos Nitretos

Tabela 1 - Constituição e características dos materiais

Os materiais poliméricos são processados principalmente por moldagem a quente. Em

todos os casos, um número elevado de variáveis operacionais é observado e as características e

intensidade dessas afetarão de maneira significativa, a natureza do produto final. Por exemplo, a

transformação de um lingote de aço em uma chapa metálica a ser utilizada na fabricação de um

automóvel exige que o material seja conformado plasticamente, o que além de gerar tensões na

estrutura cristalina do metal, pode modificar sua estrutura atômica, alterando o arranjo dos átomos.

Tal situação pode alterar de maneira significativa, as propriedades mecânica do material utilizado.

Um outro exemplo está relacionado à produção de uma peça metálica pelo processo de

fundição de metais, como é o caso de um bloco de motor de automóvel. Neste caso, um molde,

com uma cavidade com a mesma forma geométrica do bloco é preenchido por um volume de

metal líquido. Após a solidificação deste metal, a peça é desmoldada e a fundição do pistão é

concluída. Quando a velocidade de solidificação do metal líquido é alta ou baixa, a estrutura

interna do material será afetada em relação a defeitos na estrutura atômica e distribuição de

constituintes e conseqüentemente, alterando as propriedades da peça.

Concluindo, um material para ser aplicado em engenharia necessita apresentar dados

sobre suas características básicas e também sobre a maneira com que o mesmo foi processado

91

até o momento de ser empregado. Uma chapa de aço, que é na verdade uma liga de ferro e

carbono, laminada "a frio" apresenta características distintas de uma outra laminada "a quente".

No projeto de um elemento de máquina, o ideal é se ter à disposição os resultados de

vários testes de resistência do material escolhido. Estes testes deverão ser feitos em amostras

que possuam o mesmo tratamento térmico, o mesmo acabamento superficial e as mesmas

dimensões do elemento que o engenheiro se propõe a construir; os testes dêem ser realizados

sob a mesma condição em que a peça estará trabalhando. Os testes deverão proporcionar

informações úteis e precisas, que dizem ao engenheiro qual o fator de segurança que deverá

ser usado e qual é a confiabilidade para uma determinada vida em serviço. O custo de reunir

numerosos dados antes do projeto é ainda mais justificado, quando há possibilidade da falha da

peça colocando em perigo vidas humanas ou quando se deve fabricar a peça em grande

quantidade . O custo dos atestes é muito baixo, quando dividido pelo número total de peças

fabricadas. Deve-se no entanto analisar as possibilidades: 1) a peça deva ser fabricada em

quantidades tão pequenas que, de forma alguma, justificariam os testes, ou o projeto deva ser

completado tão rapidamente, que não haveria tempo suficiente para a realização destes testes;

2) A peça já tenha sido projetada, fabricada e testada com a conclusão de ser falha ou

insatisfatória. Necessita-se de uma averiguação e análise mais aprofundada para compreender

a razão da falha da peça e sua não qualificação a fim de projetá-la mais adequadamente e

portanto melhorá-la. Normalmente o profissional terá somente os valores de limites de

escoamento, limites de ruptura e alongamento percentual do material, como as que são

apresentadas no apêndice deste livro. Com estas poucas informações, espera-se que o

projetista de máquinas apresente uma solução adequada. Os dados normalmente disponíveis

para o projeto foram obtidos através de testes de tração, onde a carga é aplicada gradualmente

e há um tempo para o aparecimento de deformações. Estes dados poderão ser usados para o

projeto de peças com cargas dinâmicas aplicadas das mais diversas maneiras a milhares de

rotações por minuto. O problema fundamental aqui seria usar portanto os dados dos testes de

tração e relacioná-los com a resistência das peças, qualquer que seja o estado de tensão ou

carregamento.

3.5 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Qual a peça solicitada por maior tensão; uma barra de aço de seção reta 1,31×1,53 cm

solicitada por uma carga de 209,5 N ou uma barra de aço duro de seção circular de

diâmetro 6,8 mm sob uma carga de tração de 139,0 N ?

92

2. Em um fio de aço são marcados dois traços que distam entre si 50,0 mm. O fio é

tencionado e a distância entre traços passa a ser 57,6 mm. Qual o alongamento sofrido?

3. Se o módulo médio de deformação longitudinal (Es) de um aço é 2.100.000 kgf/cm2,

quanto se alongará um fio de 12,7 mm de diâmetro e com 10 m de comprimento, quando

solicitado por uma carga de tração de 18.000 kgf?

4. Se o módulo médio de deformação longitudinal (Ec) de um concreto é 250.000 kgf/cm2 ,

quando se encubará (deformação elástica-instantânea) uma viga de seção reta 20×30

cm com 10m de comprimento, quando submetida a uma carga de compressão de

18.000 kgf?

5. Com o valor de encurtamento obtido no exercício 4 calcule em quanto foi reduzida a

carga de tração do exercício 3.

6. Uma carga de 450 kgf, quando aplicada a um fio de aço com 240 cm de comprimento e

0,16 cm2 de área de seção transversal, provoca uma deformação elástica de 0,3 cm.

Calcular a tensão (σ), a deformação (ε) e o módulo de Young (Es).

7. Ao se determinar a dureza Brinell de um exemplar de uma amostra de cobre, usou-se

uma esfera de diâmetro 2mm impressa com uma força igual a 40 kgf. Os diâmetros de

impressão, medidos a 180° um do outro foram de 0,67 e 0,69 mm. Qual a dureza Brinell

do corpo de prova ensaiado?

8. Uma barra de alumínio com 12,5 mm de diâmetro, possui duas marcas que distam entre

si 50mm. Os seguintes dados obtidos de um ensaio de tração:

Carga (kgf) Distância entre marcas (mm)

900 50,05

1800 50,10

2700 50,15

3600 54,80

Tabela 2 – exercício proposto 8

a) Construir a curva tensão×deformação;

b) Calcular o módulo de deformação longitudinal da barra;

c) Calcular a tenacidade do material, Para este cálculo, é necessário, fazer uma

simplificação admitindo patamar de escoamento linear até a ruptura (material elástico-

plástico perfeito).

93

SOLICITAÇÕES ESTÁTICAS

9. Projetou-se um pequeno pino de 8 mm de diâmetro, de um ferro fundido cujas tensões

de resistência a tração e a compressão são respectivamente σrt=293 MPa e σrc=965

MPa. Este pino suportará uma carga compressiva de 3500 N combinada com uma carga

torcional de 9000 N.m. Calcular o fator de segurança usando a teoria da Tensão Normal

Máxima, Teoria de Mohr Modificada e Teoria de Coulomb-Mohr.

10. Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura abaixo

baseando-se na teoria da máxima energia de distorção e na teoria da máxima tensão de

corte e compare-as.

Material: Alumínio com σe =330 MPa

Comprimento da haste: L = 160 mm

Comprimento do braço: a = 200 mm

Diâmetro externo da Haste: 45 mm

Carregamento : F = 4500 N

Figura 25 – Exercício proposto 10

11. Determine o fator de segurança para o suporte esquematizado na figura acima se

baseando na teoria de Mohr modificada.

Material: Ferro fundido cinzento com σrt =380 MPa e σrc = 1200 MPa

Comprimento da haste: L = 160 mm

Comprimento do braço: a = 200 mm

Diâmetro externo da haste: 39 mm

Carregamento : F = 4500 N

12. Determinar os fatores de segurança, correspondentes às falhas pelas teorias da tensão

normal máxima, da tensão cisalhante máxima, e da teoria de Von-Mises (energia da

distorção) respectivamente para um aço 1020 Laminado, para cada um dos seguintes

estados de tensão:

a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa.

b) σx =70 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido horário).

c) σx = -14MPa , σy = -56 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido anti-horário).

d) σx =70 MPa e σy = 35 MPa.τxy = 70 MPa. (sentido horário).

94

13. Usando os valores típicos das resistências do ferro fundido ASTM 40, determinar os

fatores de segurança correspondentes à fratura, pelas teorias da tensão normal máxima,

de Coulomb-Mohr e modificada de Mohr, respectivamente, para cada um dos seguintes

estados de tensão:

a) σx =70 MPa e σy = -28 MPa.

b) σx =70 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido horário).

c) σx = -14MPa , σy = -56 MPa e τxy = 28 MPa. (sentido anti-horário).

d) σx =70 MPa e σy = 35 MPa.τxy = 70 MPa. (sentido horário).

14. Um tubo de alumínio com σe =290 MPa e σrt = 441 MPa tem 80 mm de diâmetro externo

e espessura de parede de 1,25 mm e esta sujeito a uma pressão estática interna de 8,9

MPa. Calcular o fator de segurança, contra o escoamento, aplicando as três teorias para

materiais dúcteis.

15. Um cilindro de paredes grossas deve ter um diâmetro interno de 15 mm, ser feiro de um

aço SAE 4140 normalizado e deve resistir a uma pressão interna de 35 MPa baseado

num fator de segurança de 4. Especificar um diâmetro externo satisfatório, baseado a

decisão no escoamento, de acordo com a teoria da máxima tensão cisalhante.

16. Um elemento de máquina de seção retangular esta submetido a uma carga P = 5000N.

O elemento é confeccionado com aço SAE 1020 normalizado. O raio de curvatura r = 50

mm e b = 10mm, c = 10 mm. Determine o coeficiente de segurança correspondente a

teoria de von-Mises.

CRITÉRIOS DE ESCOAMENTO E FRATURA

17. Um componente de máquina construído em aço, está submetido ao estado de tensões

indicado. O aço utilizado tem σY = 331 MPa. Usando a teoria da máxima tensão de

cisalhamento (Tresca), determinar se vai ocorrer escoamento quando: a) σ0 = 210 MPa;

b) σ0 = 252 MPa; c) σ0 = 294 MPa. Resp.: a) Não; b) Sim; c)Sim.

18. Resolver o problema anterior usando a teoria da máxima energia de distorção (von

Mises).

95

Resp. : a)Não; b) Não; c) Sim.

19. Um componente estrutural de aço, com σY = 300 MPa, fica submetido ao estado de

tensões indicado.

Figura 26 – Exercício proposto 19

Determinar, usando o critério da máxima energia de distorção, se o escoamento vai

ocorrer quando:

a)τ0 =60 MPa; b) τ0 = 120 MPa; c) τ0 = 130 MPa. Resp. : a) Não; b) Não; c) Sim.

20. Resolver o problema anterior usando a teoria da máxima tensão de cisalhamento.

Resp. : a) Não; b) Sim; c) Sim.

Figura 27 – Exercício resolvido 20

96

21. Uma barra de alumínio é feita de uma liga para a qual σUT = 70 MPa e σUC = 175 MPa.

Sabendo-se que a intensidade T dos torques indicados é aumentada gradativamente e

usando o critério de Mohr, determinar a tensão de cisalhamento τ0 que deve ocorrer na

ruptura da barra. Resp. : 50 MPa.

22. Um elemento de máquina é feito de ferro fundido para o qual σUT = 51,7 MPa e σUC =

124,1 MPa. Determinar, para cada um dos estados de tensões indicados, e usando o

critério de Mohr, a tensão σ0 para a qual deve ocorrer a ruptura do elemento. Resp. : a)

51,7 MPa; b) 42,8 MPa; c) 56,4 MPa.

23. A tensão de escoamento para um dado material vale 110 MPa. Se esse material está

sujeito a tensão plana e a falha por escoamento ocorre quando uma das tensões

principais é igual a +120 MPa, qual o valor da menor intensidade para a outra tensão

principal ? Usar o critério de Von Mises. Resp.: 23,9 MPa.

24. Se um eixo é construído com um material para o qual σY = 50 ksi, determine a tensão

tangencial máxima de torção no inicio do escoamento segundo : a) teoria da máxima

tensão tangencial (Tresca); b) teoria da máxima energia de distorção (Von Mises).

Resp.: a) 25 ksi; b) 28,9 ksi.

25. O estado de tensões abaixo mostrado ocorre no ponto crítico de um elemento estrutural

cuja tensão de escoamento σY = 300 MPa. Esboçar o hexágono de Tresca e a elipse de

von Mises marcando sobre mesmos o ponto correspondente ao estado de tensões dado

e demonstrando se há segurança ao segurança ao escoamento.

Figura 28 – Exercício resolvido 25

97

26. O teste de tração em um corpo de prova de aço 12.5 mm diâmetro e 50 mm de

comprimento , forneceu o seguinte resultado :

Carga (kN) 26 36 46.5 54.5 71 75 80.5 85

Alongamento (mm) 0.05 0.07 0.09 0.11 0.15 0.20 0.31 0.41

Tabela 3 – Exercício proposto 26

1. Calcule o limite de resistência ao escoamento 0.2% e o módulo de elasticidade. [ 640

MPa, 207 GPa ]

2. Um peça cilíndrica de 800 mm de comprimento deverá resistir a uma força de tração

de 2 kN sendo que o seu comprimento não deve exceder a 1 mm. O fator de

segurança mínimo é 2.5 .

Figura 29 – Exercício resolvido 26

27. Este exemplo introduz conceitos que serão utilizados no tratamento de juntas com

flanges. Um parafuso olhal de diâmetro de 18 mm (1) é montado através de um furo de

diâmetro 20 mm em uma luva de diâmetro externo de 35 mm (2),com a porca para

fixação. A porca é então apertada produzindo uma força inicial de montagem e a carga

P finalmente é aplicada. A máxima tensão admissível é de 550 e 80 MPa para o

parafuso e a luva respectivamente, e o módulo de elasticidade são 550 e 80 para o

parafuso e a luva respectivamente. Qual a máxima carga que a montagem poderá

resistir sem perda de contato e qual a força inicial será necessária? Resposta [ 136, 52

kN ].

29. Três barras de comprimento 0.5 m são idênticas e feitas de aço com limite de

escoamento de 250 MPa e conectadas por dois pinos. São submetidas a carga de 15

kN. Estas barras foram projetadas para suportar igual carga e fator de segurança 2,5.

98

Devido a erro de fabricação o comprimento da barra central difere de 0,2 mm do

comprimento das outras barras exigindo que um dos pinos esteja trabalhando forçado

yield steel, are conectada por dois pinos e onde é aplicada uma carga de 15 kN.

Desprezando a flambagem, determine o real fator de segurança na montagem se

a. a barra central é a maior de todas. Resposta [ 2.0 ]

b. a barra central é a menor de todas. Resposta [ 1.6 ]

Figura 30 – Exercício resolvido 29

30. Uma prensa consiste de um parafuso central rosqueado 1 através da viga 2 que

está conectado à base através de dois cilindros idênticos 3. Todos os componentes são de aço

; suas dimensões efetivas são:

1. o passo do parafuso central é de 3mm , seu diâmetro é de 20 mm e seu comprimento

é de 250 mm;

2. a viga possui 300 mm de largura, 60 mm de profundidade e comprimento de 250 mm;

3. Os cilindros são de 250 mm de comprimento e diâmetro de 15 mm cada.

Figura 31 – Exercício resolvido 30

O parafuso é girado manualmente até assentar-se na base. Qual a tensão nos cilindros

quando após isto. o parafuso gira um quarto de volta ? Despreze os efeitos de deflexão

e flambagem.

[Resposta 209 MPa ]

99

31 . O disco anular de raios ri e ro e espessura b, é apoio ao longo de sua superfície

externa. Uma carga é transmitida uniformemente para sua periferia interna por

cisalhamento. Supondo que o cisalhamento no disco para o raio r seja uniforme,

calcule a rigidez devida :

1. a carga axial,F. Resposta [ 2 b G / ln ( ro/ri ) ]

2. um torque, T. Resposta [ 4 b G /( 1/ri2 - 1/ro

2 ) ]

Figura 32 – Exercício resolvido 31

32. Quando um eixo sólido de seção circular é submetido a a uma pressão uniforme p

(devido a montagem com interferência de uma polia por exemplo) , as tensões radiais e

circunferências no eixo são compressivas e iguais a p. Usando a teoria de falha da máxima

tensão cisalhante, deduza equação de projeto para uma seção transversal de um eixo de

módulo Z, carregada pela pressão p, por um momento fletor M e um torque T.

Resposta [ n √{ (M/Z + p)2 + (T/Z)2 } = S ]

Figura 33 – Exercício resolvido 32

33. As componentes de tensão resultantes em uma seção transversal de uma peça circular

de diâmetro 50 mm, material dúctil, são mostradas: força de tração de 120 kN, força

cisalhante vertical de 120 kN , momento fletor de 0,5 kNm e um torque de 1,5 kNm. Qual

a tensão máxima equivalente nesta seção transversal? Resposta [ 292 MPa ]

100

Figura 34 – Exercício resolvido 33

34. Determine para cada um dos seguintes estados bidimensionais de tensão (MPA) , as

tensões principais e a orientação da máxima tensão principal. Faça um desenho dos

elementos orientados segundo as direções principais.

A) σ x = 80 ; σ y = 170 ; τxy = 60 c.w. Resposta [ 50, 200 MPa,

116.6o ]

B) σ x = -220 ; σ y = -70 ; τxy = 180 c.c.w. Resposta [ -340, 50 MPa, 56.3o ]

C) σ x = -205 ; σ y = -445 ; τxy = 35 c.w. Resposta [ -450, -200 MPa, -8.1o

]

35. Mostre que a teoria de falha por distorção leva às seguintes formas alternativas para um

estado plano de tensão :

σ e2 = σ 1

2 - σ 1 σ 2 + σ 22 onde σ 1 e σ 2 são as tensões principais,

= σ m2 + 3 σ a

2 ou em termos dos componentes básicos

= σ x2 - σ x σ y + σ y

2 + 3 σ xy2 ou em termos dos componentes cartesianos.

Qual a relação entre as resistência à tração e ao cisalhamento que esta teoria prediz?

Resposta [ 0.577 ]

36. Um eixo uniformemente sólido ABCDE é apoiado por dois mancais em A e D, e gira a

900 rpm. Uma potência de 50 kW é aplicada ao eixo através de uma polia de diâmetro

de 560 mm em C. A potência de 30 kW é dissipada pela polia de 280 mm de diâmetro

em B, e 20 kW pela polia de 210 mm de diâmetro em E. Cada polia, as duas correias

são paralelas e a relação de tração nelas é de 3:1. Determine o diâmetro mínimo

admissível do eixo se a tensão admissível de projeto devido a fadiga é de 100 MPa.

Resposta [ diâmetro de 40 mm ]

101

Figura 35 – Exercício resolvido 36

37. O braço de uma broca abcdefg é feito de um eixo de aço com limite de resistência a

fadiga de 450 MPa e está submetido ao carregamento mostrado na figura. Um mancal

de apoio em g prevê a reação de torque necessário ao equilíbrio. Qual o fator de

segurança? Resposta [ teoria da máxima tensão cisalhante 1.21; teoria da

energia de distorção 1.22 ]

Figura 36 – Exercício resolvido 37

38. O eixo horizontal ABCD é apoiado em dois mancais em B e D como mostra a figura.

Uma correia envolve uma polia de 250 mm de diâmetro fica no eixo em A, e uma

engrenagem de 150 mm de diâmetro primitivo está montada no eixo em C. Os

diâmetros do eixo e a disposição axial dos componentes está mostrada abaixo.

Figura 37 – Exercício resolvido 38

102

As forças atuantes na correia são horizontais e na relação F1/F2 = 4, enquanto que a

reação vertical no pinhão ,P atua tangencialmente ao círculo primitivo. Determine o fator

de segurança do eixo quando suporta uma potência de 20 KW através da correia para o

pinhão a uma freqüência de 7,5 Hz, sendo que o limite de escoamento do material do

eixo é de 500 MPa. Neste exemplo são desprezados aspectos de fadiga e concentração

de tensão Um grande fator de segurança deverá ser portanto obtido devido a estas

considerações.

Resposta [teoria da máxima tensão cisalhante 14.5 ou teoria da energia de distorção

15.6]

103

CAPITULO 04 - CARREGAMENTO DINÂMICO - FADIGA E

CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES

4.1 - INTRODUÇÃO

Na determinação das propriedades dos materiais através do diagrama tensão-

deformação a aplicação da carga é gradual, sendo esta condição definida como condição

estática. Os valores obtidos se aplicam aos critérios conhecidos como critérios estáticos.

Por outro lado, as condições que freqüentemente aparecem em estruturas mecânicas

são solicitações dinâmicas, onda as tensões/deformações variam ciclicamente em pequenos

intervalos de tempo, como no caso de um eixo em uma máquina rotativa. Esta flutuação da

tensão ou variação em função do tempo leva à estrutura a falha por fadiga. A fadiga é um

processo gradual, iniciado com pequenas trincas não visíveis a olho nu, que se desenvolve de

forma progressiva e acumulativa, levando a peça a falhar bruscamente após um determinado

número de solicitações ou ciclos. Muitas pesquisas já foram realizadas nesta área de forma,

nos dando um conhecimento parcial dos mecanismos básicos associados com a falha por

fadiga. Neste capítulo iremos dar alguns fundamentos de conceitos elementares que são de

grande ajuda para o entendimento do comportamento devido à fadiga. A falha por fadiga

resulta, portanto de deformação plástica repetitiva, da mesma forma que um arame falha ao ser

fletido repetidamente para frente e para trás. Sem o escoamento plástico repetido, a falha por

fadiga não acontece. A falha por fadiga pode ocorrer a níveis de tensão bem abaixo do ponto de

escoamento ou limite elástico convencional. Devido ao fato que o escoamento plástico

altamente localizado pode dar origem a falha por fadiga, o engenheiro é levado a ter especial

atenção a locais potencialmente vulneráveis tais como: quinas, roscas, rasgo de chavetas,

corrosão, furos e entalhes. O aumento de resistência destes locais chamados de vulneráveis é

tão efetivo quanto substituir a peça por uma material mais resistente. A fissura inicial devido a

fadiga resulta em um aumento da concentração de tensão local. À medida que a fissura se

propaga, o material na raiz da fissura é submetido a um escoamento reverso bem localizado e

destrutivo. A seção é reduzida e cauda um aumento de tensões, a taxa de propagação da

fissura aumenta até que a seção restante não é mais capaz de suportar a carga aplicada, vindo

finalmente a acontecer a fratura. Este capítulo descreve a obtenção do limite de resistência à

fadiga, fatores modificativos desta resistência e as teorias existentes para o seu cálculo.

104

4.2 - TESTE DE FADIGA

O carregamento dinâmico consiste em solicitações onde as tensões variam ciclicamente

em pequenos intervalos de tempo. Uma causa comum de fratura é a fadiga: tipo de falha devido

a cargas repetidas, a qual é responsável por grande parte das falhas por causas mecânicas.

Em geral, uma ou mais trincas pequenas surgem no material, podendo crescer até que ocorra

falha completa. Este efeito é observado em estruturas com estado de tensões bem abaixo da

tensão de ruptura.

Se o número de repetições (ciclos) do carregamento é grande, da ordem de milhões,

então a situação é dita fadiga de alto ciclo. Por outro lado, fadiga de baixo ciclo é causada por

um número relativamente pequeno de ciclos, cerca de dezenas, centenas, ou milhares. Fadiga

de baixo ciclo é geralmente acompanhada por uma quantidade significativa de deformação

plástica, enquanto que fadiga de alto ciclo é associada a deformações relativamente pequenas

que são essencialmente elásticas. Componentes de máquinas, veículos e estruturas, são

freqüentemente sujeitos a carregamentos repetidos, também chamados de carregamentos

cíclicos, e as tensões cíclicas resultantes podem levar a danos físicos microscópicos nos

materiais envolvidos. Mesmo em tensões bem abaixo de uma dada resistência do material, os

danos microscópicos podem ser acumulados com ciclo contínuo até seu desenvolvimento em

uma trinca ou outro dano macroscópico que leva à falha do componente. A figura abaixo mostra

o croqui do corpo de prova para o teste de fadiga à flexo-torção.

Figura 1 – Corpo de Prova de Moore para fadiga.

A Máquina de fadiga para testes de flexo-torção é bem simples, e o laboratório de

Análise Estrutural da PUC-Minas, possui o equipamento mostrado na figura 2.

A figura 3 apresenta um esquema da máquina, onde se verifica que o momento fletor

atuante no corpo de prova é constante. O braço de alavanca provoca uma carga 10 vezes

maior no corpo de prova. Um motor elétrico de 3500 rpm produz as rotações no corpo-de-prova.

Estas rotações são registradas por um contador eletrônico com capacidade de contar até 109

ciclos. Ocorre o desligamento automático da máquina após a falha do corpo-de-prova.

105

Deve-se observar que a fixação do corpo-de-prova, na máquina é feita em dois pontos.

Assim, o corpo-de-prova fica submetido a um momento fletor constante no seu centro, logo,

nesta região do corpo-de-prova atua apenas o momento fletor.

Figura 2 - Máquina de Fadiga Flexo-Rotativa aberta no Laboratório de

Análise Estrutural da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Figura 3 - Esquema da máquina de fadiga.

4.3 - DETERMINAÇÃO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA À FADIG A

Para determinar o limite de resistência à fadiga Sf (também chamado de limite de fadiga)

Moore desenvolveu uma máquina rotativa para testar corpos de provas, cujo esquema é dado

abaixo:

106

Provoca-se um momento constante ao longo do comprimento do corpo de prova L com a

aplicação da carga. Vários corpos de prova idênticos são testados para diferentes cargas P

(diferentes tensões na seção crítica), sendo que o número de ciclos ou vida para cada um deles

será, portanto diferente. A representação gráfica tem a configuração mostrada abaixo:

Figura 4 - Curva de fadiga para aços, sendo Sf o limite de resistência à fadiga.

Na figura 4 acima, pode ser observado que, para um nível de tensão σ ≤ Sf, o corpo de

prova de aço não rompe, tendo uma vida infinita ou número de ciclos (N) muito grande, maior

que 106 ciclos. Por outro lado, para um número de ciclos menor ou igual a 103 (mil ciclos), a

tensão de ruptura é praticamente igual ao limite de resistência à tração, encontrada para os

testes estáticos, sendo o valor mais recomendado pela literatura é 0,9 Su. Neste capitulo

usaremos ambas as expressões Su ou Srup para o limite de resistëncia a tração. A tensão

encontrada nos testes de fadiga, para uma vida infinita, utilizando a máquina de Moore, é

chamada de limite de resistência à fadiga e é representado por Sf. O valor do limite de

resistência à fadiga varia para os diferentes tipos de aço. Dos resultados experimentais, obtidos

para aços comerciais, conclui-se que existe uma relação funcional entre o limite de resistência à

fadiga do corpo de prova, Se' e o limite de resistência à tração, Su, tal que:

SuSf ×= 504.0' ⇒ O limite de resistência à fadiga de corpos de

prova (Sf') é a aproximadamente a metade do limite de resistência à

tração (Sut) para aços.

É importante notar que a relação acima vale somente para valores do limite de

resistência à tração de aços até 1400 MPa. Os resultados experimentais mostram que para

valores acima de 1400 MPa, o limite de resistência à fadiga dos aços fica praticamente em

torno de 700 MPa. Portanto MpaSf 700'= ⇒ quando MpaSu 1400> . Tem-se então que,

para traçar o diagrama teórico S-N (tensão-número de ciclos) de um corpo de prova de aço, não

107

é necessário realizar inúmeros testes na máquina de Moore. A comprovação experimental

mostra que a construção desta curva em escala log-log pode ser feita assumindo:

103 ciclos ⇒ usar σ = 0.9 Srup.

106 ciclos ⇒ usar σ = 0.5 Srup.

Para isto basta marcar os pontos A e B, respectivamente 0,9 Srup e 0,5 Srup. Marcar o

ponto C para 106, na posição correspondente a 0,5 Srup. A figura abaixo mostra este

procedimento.

Figura 5 - Curva de fadiga teórica para um aço comercial

4.3.1 - FATORES MODIFICATIVOS

Nota-se que o limite de resistência à fadiga Sf' encontrado para um aço, vale para um

corpo de prova, de dimensões padronizadas, testado sob certas condições de acabamento e

temperatura. O limite de resistência à fadiga de uma peça qualquer sofre várias influências que

devem ser levadas em consideração. Os fatores de modificação são usados para modificar Sf',

adaptando-o às condições reais da peça em estudo. Assim, multiplicando Sf' pelos vários

fatores modificativos, K, tem-se o limite de resistência à fadiga teórico, de peça Sf.

'ff SKeKdKcKbKaS ×××××=

Cada fator modificativo,K tem uma função de modificação definida por um valor

numérico. Assim, na expressão acima tem-se:

Sf = Limite de resistência à fadiga da peça;

Sf' = Limite de resistência à fadiga do corpo de prova;

Ka = Fator devido ao acabamento superficial;

Kb = Fator devido ao tamanho da peça;

Kc = Fator devido ao tipo de carga;

108

Kd = Fator devido à temperatura;

Ke = Fatores diversos, como concentração de tensões ou ambiental.

A) FATOR DE ACABAMENTO SUPERFICIAL

Este fator leva em consideração o acabamento da superfície, que no caso do corpo de

prova é bem acabada e polida. Como o acabamento é função do material e da forma que o

mesmo foi trabalhado, a fórmula abaixo permite a sua determinação do fator de superfície Ka:

brupSaKa .=

onde Srup é o limite de resistência à tração do material. Uma vez que o limite de resistência à

tração de materiais dúcteis é idêntico ao limite de resistência à compressão, utiliza-se a

expressão Srup, mas alguns autores utilizam a expressão Srupt para defini-lo e Srupc para o limite

de resistência à compressão. Os fatores a e b são obtidos a partir da tabela a seguir:

Fator a Acabamento superficial

Kpsi MPa

Fator b

Retificado 1.34 1.58 -0.085

Usinado ou estirado à frio 2.70 4.51 -0.265

Laminado à quente 14.4 57.7 -0.718

Forjado 39.9 272 -0.995

Tabela 1 - Valores para os fatores a e b, no sistema internacional e inglês, de acordo com [67].

B) FATOR DEVIDO AO TAMANHO

O fator Kb para flexões e torções é calculado por:

1133.0

3.0

−

= dKb ind 211.0 ≤≤ (pol.)

107,0

1133,0

.24,162,7

−−

=

= dd

Kb mmd 5179,2 ≤≤ (mm)

dKb .000837,0859,0 −= mmd 25451 ≤≤ (mm)

Para valores maiores, Kb varia de 0.60 a 0.70 para flexões e torções. Se a peça estiver

sob cargas axiais, o tamanho não tem nenhum efeito sobre o limite de resistência à fadiga e,

portanto adota-se Kb = 1. Quando a peça não estiver girando ou a seção transversal não for

circular, o valor do fator Kb deve ser calculado. Nestes casos utilizamos o conceito de diâmetro

109

efetivo de, que é obtido equacionando o volume do material submetido à carga e 95% da carga

máxima para o mesmo volume do corpo de prova. Quando os dois volumes são igualados, o

comprimento é cancelado e precisamos considerar apenas as áreas.

No caso de peças com secções não circulares, como a figura 6 Para se calcular o

diâmetro efetivo para uma barra de secção retangular, usa-se a fórmula:

( ) 2/1.808.0 hbde=

sendo que h é a altura e b a largura da seção retangular.

C) FATOR DEVIDO AO CARREGAMENTO Para carregamento axial, Kc=1 ou Kc=0,922 ( MpaSrup 1400> )

Para carregamento de flexão Kc=1

Para carregamento devido a cisalhamento, torção Kc = 0,577.

D) FATOR DEVIDO À TEMPERATURA Os testes realizados nos corpos de prova foram à temperatura ambiente. Para peças

trabalhando a temperaturas diferentes a da ambiente, os fatores Kd podem ser obtidos por

tabelas ou experimentalmente. Nesta edição ainda usaremos Kd=1,pois os valores de Kd estão

sendo obtidos no laboratório de Análise Estrutural da PUC-Minas em pesquisa em andamento.

E) FATOR DEVIDO À CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES

A concentração de tensão está presente em toda estrutura que contém curvaturas

significativas, entalhes e outra forma de perturbação brusca na geometria da peça. Os fatores

de concentração teórico Kt, obtidos na sua maioria de forma experimental, podem ser obtidos

em tabelas e gráficos próprios, como mostrado no final do capítulo. Este fator, quando

multiplicado pela tensão nominal, ou seja, tensão σo calculada pelo modelo matemático sem a

existência de entalhe, permite determinar a tensão máxima que atua no entalhe.

⇒= . omáx Kt σσ o

máxKtσ

σ=

Estes gráficos mostram os principais fatores de concentração de tensão para alguns

entalhes mais usados nas estruturas.

110

Dependendo do tipo de material ou da sua resistência, este fator de concentração de

tensão geométrico ou teórico, Kt, sofre alterações, diminuindo sua intensidade em função da

sensibilidade q do entalhe. A relação que determina o novo fator de concentração Kf (fator

efetivo ou prático), foi definido por Peterson, como:

( )11 −×+= KtqKf

A sensibilidade ao entalhe q, depende do limite de resistëncia a tração e do raio do

enalhe. Os valores experimentais da literatura usam q variando de 0 a 1,sendo que os valores

mais utilizados se encontram na faixa de 0,6 a 0,9. Esta faixa de valores será utilizada nesta

edição e após os resultados experimentais obtidos na PUC-Minas, teremos alteração nestes

valores de q.

Calculado o fator Kf, temos que:

KfKe

1=

Este é o fator Ke , que devemos usar como fator corretivo,na fórmula para o cálculo do

limite de resistência à fadiga de peça ,Sf.

F) EFEITO DA CONCENTRAÇÃO DE TENSÃO COM CARGA DE FA DIGA

COMPLETAMENTE REVERSA

Para elementos de máquinas com entalhes as curvas S-N apresentam para o mesmo

material um valor menor do que quando não possuem entalhes. Isto significa que as

concentrações de tensões são importantes causando esta diminuição. A relação entre os

limites de resistência a fadiga sem entalhe e com entalhe é designada como Kf, ou fator de

concentração de tensão de fadiga. Teoricamente, poderíamos esperar que Kf fosse igual ao

fator teórico de concentração de tensões Kt. Os testes, porém mostram que Kf é

freqüentemente menor que Kt. Isto é aparentemente devido a irregularidades internas na

estrutura do material. Um material "ideal" teria tensões internas de acordo com a teoria elástica;

na realidade os materiais possuem irregularidades causando pontos localizados com maiores

tensões. Então, mesmo corpos de prova não entalhados sofrem destes "entalhes internos". A

equação definida como ( )11 −×+= KtqKf , utiliza o índice de sensibilidade ao entalhe q, que

varia entre 0 (Kf =Kt) e 1 (Kf=1). Há portanto necessidade de se determinar o indice de

sensibilidade do material. A situação é um pouco mais complicada do que se imagina porque a

sensibilidade ao entalhe depende não somente do material mas também do raio relativo da

111

geometria do entalhe e das dimensões das imperfeições internas características. Os raios de

entalhe bem pequenos aproximando-se de imperfeições de material fornecem um índice de

sensibilidade quase zero o que não deixa de ser uma boa noticia! Isto torna o Kf quase sempre

igual a um. Os gráficos do índice de sensibilidade ao entalhe são plotados em função do raio e

da resistência à tração dos materiais (Figura 7). Para os aços observa-se a tendência de que

materiais mais resistêntes e duros são mais sensíveis ao entalhe. Isto significa que a troca de

um aço menos resistente por um aço mais resistente e duro normalmente aumenta uma parte

da resistência a fadiga, mas o aumento não é tão grande como se poderia esperar devido ao

aumento no índice de sensibilidade. A Figura 4.6 também mostra que para um dado aço

submetido a carregamento torcional a sensibilidade ao entalhe é um pouco maior do que para

carregamento axial e fletor. Os resultados também mostram que a influência do entalhe a 103

ciclos é consideravelmente menor do que a 106 ciclos.

Outro aspecto onde há uma pequena divergência entre os autores. É melhor tratar o Kf

como um fator de concentração de tensão ou um fator de redução de resistência? Os autores

diferem neste ponto, mas a maioria utiliza como fator de concentração de tensão. Na realidade

a resistência do material não enfraqueçe pela existência do entalhe. O entalhe é o causador de

tensões maiores e localizadas. Com isto pode-se utilizar as curvas S-N tanto para peças com

ou sem entalhes.

G) FATORES DEVIDO A INFLUÊNCIA DIVERSAS

A peça pode não possuir pontos de concentração de tensão, mas o fator Ke pode ser

também utilizado quando se considera outros efeitos como, direcionamento na laminação do

material, corrosão, tensões residuais, cromagem superficial e outros tratamentos de cobertura

superficial.

4.4 - LIMITE DE RESISTÊNCIA PARA VIDA FINITA

Uma vez determinados todos os coeficientes de modificação, é possível calcular o limite

de resistência à fadiga para a peça em estudo:

'ff SKeKdKcKbKaS ×××××=

Desta forma é possível traçar o diagrama S-N para a peça, como já definido:

112

Figura 8 - Determinação da resistência à fadiga S, para um número de ciclos

(104 ciclos) e um limite de resistência à fadiga Sf determinados.

Como Sf é o limite de resistência à fadiga para vida infinita, pode-se calcular, a partir do

diagrama acima o limite de resistência a fadiga (S) para uma vida finita. A solicitação cíclica em

uma peça é um processo cumulativo, ou seja, se a peça resiste a 100.000 ciclos e já sofreu

30.000 ciclos, ela memoriza ou guarda este número de ciclos. Se em outra oportunidade a peça

continuar sendo solicitada, o número de solicitações ainda possível é igual ao número de ciclos

totais que ela suportaria menos o número de ciclos já aplicados, ou seja, 70000. A teoria de

fadiga acumulativa é estudada pela Regra de Minner.

bNaS .= para b

a

SN

1

=

onde

( )f

rup

S

Sa

2.9,0=

e f

rup

S

Sb

.9,0log

3

1−=

4.5 - FADIGA SOB TENSÕES FLUTUANTES

Freqüentemente encontram-se em estruturas solicitações diferentes das simplesmente

alternadas. Estas tensões são chamadas de flutuantes ou a combinação de tensões alternadas

e tensões médias constantes. As figuras a seguir mostram estas solicitações:

113

Figura 9 - Tensões reversas, repetidas e flutuantes.

As tensões médias (σm) e alternadas (σa) são definidas como:

2mínmáx

a

σσσ −= 2

mínmáxm

σσσ +=

A influência das tensões médias e alternadas na fadiga de uma peça foi determinada

inicialmente por Goodman. Na figura 10, a linha de Goodman é obtida pela reta unido na

abcissa o limite de resistência à tração (Srup) e na ordenada o limite de resistência à fadiga (Sf).

As tensões médias são plotadas na abcissa e as tensões alternadas na ordenada.

Figura 10 - Diagrama de Goodman, com os eixos das tensões média e alternada.

O diagrama é baseado no fato de que quando somente tensão média (σm) atua, a falha

é caracterizada pelo limite de resistência (Srup.). Quando somente tensão alternada (σa) atua, a

falha é caracterizada pelo limite de resistência a fadiga (Sf).

Resultados experimentais mostram que, sob a ação das tensões médias (σm) e

alternadas (σa), os pontos de falha, para diferentes valores de tensões combinadas acontecem

como mostrado na figura acima. Isto significa que a linha de Goodman, obtida ligando Sf com

Srup, é a linha de segurança para qualquer combinação de tensões σm e σa. Em outras palavras,

qualquer combinação que cair dentro dos limites do diagrama está seguro, como no caso do

ponto “A”.

114

Outra concepção desta teoria é o diagrama de Sodeberg ou linha de Sodeberg, que

utiliza para o eixo das tensões médias o limite de resistência ao escoamento (Se), sendo um

diagrama mais conservativo. Outros diagramas mais próximos da realidade, que mais se

aproximam dos resultados experimentais já foram propostos, com destaque para a parábola de

Gerber. A figura abaixo mostra a representação gráfica:

Figura 11 - Representação gráfica das diversas teorias de fadiga.

Nesta figura, o ponto A, resultado da combinação das tensões médias σm e alternadas

σa, esta segura para as teorias de Gerber e Goodman, mas não se encontra segura segundo a

teoria de Soderberg. As equações a seguir representam a formulação matemática de cada

teoria:

1=+yf S

Sm

S

Sa ⇒ Soderberg

1=+rupf S

Sm

S

Sa ⇒ Goodman

1

2

=

+

rupf S

Sm

S

Sa ⇒ Gerber

Para fins de aplicação nos problemas convencionais de engenharia, recomenda-se a

utilização da teoria de Goodman.

Para cálculos de tensões de fadiga em problemas reais de engenharia, deve-se utilizar

um coeficiente de segurança n, que na teoria de Goodman, por exemplo, é determinado por:

ma

SmSan

σσ==

As tensões σm e σa podem se transformar respectivamente nas resistências média e

alternada Sm e Sa se cada uma delas forem divididas pelo coeficiente de segurança n. Assim as

equações que representam as teorias ficariam assim:

115

nSS y

m

f

a 1=+σσ

⇒ Soderberg

nSS rup

m

f

a 1=+σσ

⇒ Goodman

1

2

=

+

rup

m

f

a

S

n

S

n σσ ⇒ Gerber

4.6 - FADIGA SOB TENSÕES COMBINADAS

Em componentes mecânicos de uma forma geral, a distribuição de tensões mais

freqüente é a de tensões combinadas. Dependendo dos tipos de esforços envolvidos na parte

mecânica, flexão, esforço normal ou torção aparecem tensões alternadas e médias devido a

essas múltiplas solicitações. Assim, cada tipo de esforços pode gerar:

A combinação destas tensões para resultar em um única tensão, seja alternada ou

média, é conseguida da seguinte forma:

- Tensões alternadas ou médias na mesma direção:

→ Soma (σa1)f + (σa1)n + (σa1)t = (σa1), obtendo-se a tensão resultante, alternada

ou média, na direção correspondente.

- Tensões alternadas ou médias, respectivamente em direções diferentes:

→ Calcula-se a tensão equivalente ou tensão de Von Misses:

2

221

'

21 aaaa σσσσσ +∗−=

2

2

2

1'

21 mmmmm σσσσσ +∗−= Direções 1 e 2 principais.

Observa-se que as tensões contidas nos radicais já foram combinadas como a soma de

todas as tensões que atuam na mesma direção. No caso das tensões estarem referidas nos

eixos X e Y, a tensão cisalhante estará presente e as equações acima descritas são escritas na

forma:

116

222 .3)(' axyayayaxaxa τσσσσσ ++×−=

222 .3)(' mxymymymxmxm τσσσσσ ++×−=

Deve-se lembrar que cada uma destas tensões são calculadas pela equação dada pelo

modelo matemático correspondente ao tipo de solicitação. Uma vez obtido σa’ e σm’, a teoria de

Goodman pode ser aplicada.

4.7 - FADIGA DE CONTATO SUPERFICIAL

No estudo anterior, o limite de resistência a fadiga Sf’ foi determinado usando uma

máquina rotativa que flexiona o corpo de prova, e por isso é freqüentemente chamado de limite

de resistência à fadiga devido à flexão. O contato direto entre peças causa a fadiga superficial

devido ao contato, sendo o limite de resistência à fadiga superficial Ssf determinado de forma

diferente.

Trabalhos realizados por Buckingham e Talboudert determinaram que a fadiga

superficial do material depende da dureza Brinell (HB), sendo o limite de resistência à fadiga

superficial para uma vida de 108 ciclos, definido pelas expressões:

104.0' −= HBS sf (Kpsi) ou

7076.2' −= HBS sf (MPa)

Este limite foi determinado para materiais (aço) em condições apropriadas e para uma vida

de 108 ciclos. Em condições de trabalho o limite de resistência à fadiga superficial da peça é

determinado pela expressão abaixo, que considera os fatores de modificação:

RT

HLsfsf CC

CCSS

×××= '

onde CL = Fator de vida, depende do número de ciclos

CH = Fator que depende da razão de dureza

CT = Fator de temperatura

CR = Fator de confiabilidade

O fator CH = 1 para uma dureza das partes aproximadamente iguais. O fator de vida CL é

calculado pela expressão: 056,0466,2 −×= NCL

para N = número de ciclos entre 104 e 108.

117

O fator temperatura CT, para condições normais da temperatura dos lubrificantes (T <

120°), é 1. Por outro lado, o fator de confiabilidade depende do sistema em consideração,

sendo CR para engrenagem dado:

Confiabilidade Fator C R

90% 0,85

99% 1,00

99.9% 1,25

Tabela 3 – Fatores de confiabilidade.

A fadiga superficial é muito importante para estudar certos elementos mecânicos como a

fadiga no contato de dentes de engrenagens, contato de esfera ou rolos em rolamentos, rodas e

trilhos ferroviários, cames e seguidores, etc.

É muito importante lembrar que, para o dimensionamento da parte mecânica usando

fadiga superficial, é necessário conhecer o modelo matemático ou fórmula matemática da

tensão provocada pelo contato. Estas formulações não são simples de serem escritas, e são

baseadas na teoria de contato de Hertz. Uma vez calculada a tensão induzida na peça, o

dimensionamento é feito comparado esta tensão com o limite de resistência à fadiga Ssf,

considerando o coeficiente de segurança n.

n

Ssf=σ

4.8 - GRÁFICOS P/ DETERMINAÇÃO DO FATOR DE CONCENT RAÇÃO DE TENSÕES K T

118

119

Figura 12 - Gráficos para Determinação do Fator de concentração de tensões Kt.

4.9 - PREVISÃO DE FADIGA COM CARGAS VARIANDO RANDOM ICAMENTE

Para se prever a vida de peças tencionadas acima do limite de resistência a fadiga,

1N

n...

N

n

N

n

k

k

2

2

1

1 =+++

120

é um procedimento difícil. Palmgreen e Minner propuseram muito logicamente um conceito

simples onde se uma peça é carregada ciclicamente a um nível de tensão que provocaria uma

falha a 105 ciclos, então cada ciclo deste carregamento consume uma parte nos 105 da vida da

peça. Se outros ciclos de tensão são interpostos correspondendo a uma vida de 104 ciclos,

cada um destes ciclos consume uma parte nos 104 da vida, e assim por diante. Nesta base, 100

% da vida foi consumida, e se tem a previsão da falha. A regra de Palmgren ou Miner é

expressa pela seguinte equação em que n1, n2,..., nk representam o número de ciclos a

específicos níveis de sobre tensão, e N1 , N2 , .. Nk representam a vida (em ciclos) destes

níveis de sobre tensão, tomados da curva S-N. A falha por fadiga é prevista quando a equação

acima se mantém.

4.10 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Uma peça metálica é submetida a uma carga fletora F. A mola flutua entre 9,3 kN a 10,67

kN. Possui um limite de resistência à tração Srup=1400 Mpa e limite de resistência ao

escoamento Se=950 Mpa. Considerando um acabamento de forjamento para a peça,

calcule o fator de segurança contra o escoamento e a fadiga para uma espessura de 18

mm.

Solução:

Cálculo do fator por fadiga. Devemos calcular os valores de R1 e R2.

21

FR = e

22

FR =

Figura 13 - Exercício resolvido 1.

31 10150. −= XRM F → 310150.

2−= X

FM F

Momento onde a força F e aplicada.

33

max 10150.2

1067,10 −= xx

M F → mNM F .25,800max =

121

33

min 10150.2

103,9 −= xx

M F → mNM F .5,697min =

I

cM .=σ onde ( )

12

. 3hdwI

−=

Assim ( )( )12

1018.101010753333 −−− −= xxx

I → 4810645,3 mxI −=

Paxx

x 88

3

max 1028,210645,3

109.25,800 == −σ

Paxx

x 88

3

min 10987,110645,3

109.5,697 == −σ

2minmax σσσ −=a → Paxa

710465,1=σ

2' minmax σσσ +=m → Paxm

810133,2'=σ

Cálculo dos fatores de correção à fadiga.

Cálculo de Ka – Forjado

brupa Sak ⋅= tabela 4.1 a = 272 b = - 0,995

201,0=ak

Cálculo de Kb – Seção quadrada 1133,0

62,7

−

= dKb

mmd 5179,2 ≤≤ (mm)

2

1

)7518.(808,0 xde = → mmde 688,29=

1133,0

62,7

688,29−

=bK → 857,0=bK

Cálculo de Kc – Flexão

Para flexão temos que 1=ck .

Cálculo de Kd – Considerando temperatura de trabalho baixa. 1=dk

Cálculo de Ke

fe K

K1= onde )1.(1 −+= KtqK f

Cálculo de q

Adotando q=0,95,tem-se

122

Cálculo de Kt

133,01510 ==

w

d e 556,0

1810 ==

h

d

1,2=Kt

Donde fica Kf

)11,2.(95,01 −+=fK → 045,2=fK

Assim Ke

045,2

1=eK → 489,0=eK

Com todos os parâmetros podermos calcular o Sf.

rupf SS .504,0'= para aços.

MpaSf 6,705'=

'ff SKeKdKcKbKaS ×××××=

6,705489,0857,0201,0 ×××=fS

MpaSf 435,59=

Cálculo do fator de segurança pelo critério de Goodman modificado

nSS rup

m

f

a 1=+ σσ

nx

x

x

x 1

101400

10133,2

10435,59

10465,16

8

6

8

=+ → 382,0=n

Cálculo do fator de segurança por escoamento:

I

cM .=σ onde ( )

12

. 3hdwI

−=

Paxx

x 88

3

max 1028,210645,3

109.25,800 == −σ

maxσrupS

n = → 140,61028,2

1014008

6

==x

xn

2. Uma mola é submetida a uma carga variável, sendo a carga máxima F= 133 N e a carga

mínima F= 66 N. O material da mola é aço com Srup= 1170 Mpa, e diâmetro d= 9,5 mm.

123

Neste projeto não foi considerada a concentração de tensões ao longo do comprimento

da mola. O acabamento superficial corresponde a um laminado a quente. Qual o número

de aplicação de carga N, que causará falha na peça.

Figura 14 - Exercício resolvido 2.

Solução:

Calculemos o momento máximo e mínimo.

max3

max 10410 FxM ⋅= − min

3min 10410 FxM ⋅= −

13310410 3max ⋅= −xM 6610410 3

min ⋅= −xM

mNM ⋅= 53,54max mNM .06,27min =

Cálculo das tensões.

3.

32

d

M

πσ =

33max )105,9.(

53,54.32−=

xπσ → Mpa8,647max =σ

33)105,9.(

06,27.32−=

xm πσ → Mpam 5,321=σ

2minmax σσσ −=a → Mpaa 2,163=σ

2' minmax σσσ +=m → Mpam 7,484'=σ

Cálculo de Ka – Laminado à quente

brupSaka ⋅= tabela 4.1 a = 57,7 b = - 0,718

718,01170.7,57 −=Ka → 362,0=Ka

Cálculo de Kb

124

1133,0

62,7

−

= dKb mmd 5179,2 ≤≤ (mm)

dde .370,0=

5,9.370,0=ed

515,3=ed

1133,0

62,7

515,3−

=bK → 092,1=bk

Cálculo de Kc – Flexão

Para flexão temos que 1=ck .

Cálculo de Kd – Considerando temperatura de trabalho baixa. 1=dk

Não foram consideradas concentrações de tensões ao longo da mola, ou seja, 1=ek .

Com todos os parâmetros podermos calcular o Sf.

rupf SS .504,0'= para aços.

MpaSf 68,589'=

'ff SKeKdKcKbKaS ×××××=

68,589092,1362,0 xxSf = → MpaSf 103,233=

Cálculo do número de ciclos.

rup

m

a

S

S σσ

−=

1

6

6

6

100,117

107,4841

102,163

x

x

xS

−= →

810786,2 xS =

bNaS .=

( )Sf

Srupa

2.9,0= → 610734,4756 xa =

f

rup

S

Sb

.9,0log

3

1−= → 2183,0−=b

bf

a

SN

1

= → ciclosN 441683≥

125

4.11 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS

CARGAS VARIÁVEIS

1. Um elo como mostrado na figura abaixo, é feito de aço AISI 4130 temperdo e revenido a

540o C(Sut=1030 MPa). A carga F= 5 KN é repetitiva e reversa. Supondo não haver

concentração de tensão pede-se: a) Qual deverá ser o diâmetro para N=1,40 e acabamento

de usinagem? B) Idêntico ao item a, exceto que o acabamento é polido. Qual a economia no

peso? C) Idêntico ao item a, exceto que o acabamento é forjado.

Figura 15 – Exercido proposto 1.

2. Idêntico ao exercício 1,exceto que, devido ao ambiente corrosivo, o elo é fabricado em

bronze silício, laminado a frio e o número de ciclos esperado para a vida da peça é maior

que 3x 107ciclos.

3. Um eixo é apoiado como uma viga simples de 450 mm de comprimento, de aço AISI 3120.

Uma carga estática de 8900 N é aplicada ao eixo em rotação, na metade do eixo entre dois

apoios (mancais). As superfícies são polidas e a peça foi projetada para uma vida infinita.

aPara um fator de segurança N=1,6, baseado no limite de resistência à fadiga, qual deveria

ser o seu diâmetro se não há descontinuidades na sua superfície?

Figura 16 - Exercido 3.

4. Um suporte simples como o mostrado na figura, possui uma seção retangular e foi projetado

para vida infinita e carga reversa. Calcule: a) as dimensões de uma seção sem

descontinuidade onde b=2,8 t e L= 350 mm e um fator de segurança (projeto) igual a 2. O

126

material é aço AISI 1020, laminado com acabamento superficial de forjamento. b) Calcule as

dimensões de uma seção onde e= 100 mm.

Figura 17 - Exercido proposto 4.

5. Idêntico ao exercício 4, exceto que a vida da peça submetida a cargas reversas não deve

exceder 105ciclos.

6. Um eixo é submetido a um torque reverso máximo de 1695 Nm. É usinado e feito de aço

AISI3140 . Qual deverá ser o seu diâmetro para N=1,75?

7. Idêntico ao exercício 6, exceto que o eixo é oco, com diâmetro externo igual ao dobro do

diâmetro interno

CARGAS VARIÁVEIS COM CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES

8. Um elo de conexão é visto na figura, exceto que há um furo radial de diâmetro 3 mm, no

centro da peça. A peça é usinada, feito de aço AISI2330 WQT1000 ºF e submetida a uma

carga axial reversa cujo valor máximo é de 22 kN. Para um fator de segurança N=1,5,

determine o diâmetro do elo no furo: a) para uma vida infinita; b) Para uma vida de

105ciclos. c) Para o elo no ítem a, qual a máxima tensão de tração?

Figura 18 – Exercido proposto 8.

9. O elemento de máquinas mostrado na figura possui espessura uniforme t=b/2,5 e é usinado.

O material da peça é o aço AISI 1020, laminado. O projeto é para vida infinita e carga

127

repetitiva de 44 N a 90 kN, sendo que d=b. Pede-se: a) para um fator de segurança 1,8

(Soderberg), qual deveria ser as dimensões da peça? Qual a máxima tensão de tração

atuante na peça projetada?

Figura 19 – Exercido proposto 9.

10. A viga mostrada tem uma seção circular e suporta uma carga F que varia de 44,5 a 133,5

kN, é usinada, aço AISI1020, laminado. Determine o diâmetro D se r=0,2 D e N=2 (fator de

segurança), vida infinita.

Figura 20- Exercido 10.

11. Idêntico ao exercício 10, exceto que a carga F é constante e igual a 133,5 kN e a viga gira

com um eixo.

12. Uma viga em balanço está sujeita a uma carga reversa de 133,5 kN. Seja o raio do filete r=

3 mm e o material da viga é o aço SAE1015. Determine as dimensões t, h (b=1,3 h) para um

fator de segurança 1,8 baseado nas tensões variáveis. Considere nas seções A e B, vida

infinita.

128

Figura 21 - Exercido proposto 12.

13. Idêntico ao exercício 12, exceto que a carga F varia de =44,5 kN a 222,5 kN.

14. A peça mostrada na figura é feita de aço C1035, laminado com as seguintes dimensões:

a= 9 mm; b=22 mm; c=25 mm; d=12,5 mm; L=300 mm; r= 1,6 mm. A carga axial F varia de

133,5 kN a 222,5 kN e é aplicada através de pinos pelos furos. Pede-se: a) Quais os fatores

de segurança nos pontos A,B e C se a peça é totalmente usinada. B) Quais as máximas

tensões nestes pontos?

Figura 22 - Exercido 14.

129

CAPITULO 05 - EIXOS E ARVORES DE TRANSMISSÃO

5.1 - INTRODUÇÃO

Eixo é um elemento mecânico rotativo ou estacionário (condição estática) de secção

usualmente circular onde são montados outros elementos mecânicos de transmissão tais como:

engrenagens, polias, ventiladores, rodas centradas, entre outros. Os eixos são suportados

(apoiados) em mancais, de deslizamento ou rolamento, tendo secção quase sempre mássica e

variável, com rasgos de chavetas para fixação de componentes. A figura 1 mostra uma

iluminação de um eixo.

Figura 1 – Eixo

Os eixos são elementos solicitados a esforços de flexão, tração/compressão ou torção,

que atuam individualmente de forma combinada. Para a segurança do sistema em que o eixo

está inserido, este deve ser dimensionado para cargas estáticas (parado ou com rotação muito

baixa) ou dinâmica (altas rotações). Este dimensionamento leva em conta a resistência do

material de que foi confeccionado, comparam-se as tensões que atuam no mesmo com os

limites de resistência do material, estáticos (Sy ou Su) ou dinâmicos (Se – fadiga).

Em certos sistemas mecânicos, o nível de deflexão do eixo pode constituir em um

parâmetro crítico, devendo o eixo ser dimensionado usando a teoria de deflexão. Em outras

palavras, a geometria do eixo deve ser definida para os limites aceitáveis de deflexão, antes da

análise das tensões/resistências.

5.2 - MATERIAIS PARA EIXOS E ÁRVORES

Há uma grande variedade de materiais possíveis para a fabricação de eixos e árvores.

De acordo com o serviço devem ter alta resistência e baixa sensibilidade aos efeitos da

concentração de tenção.

Para se obter, em um cálculo, diâmetros menores e grandes resistências, pode-se usar

aços-liga, em geral tratados termicamente. Estes aços, porém têm a desvantagem de serem

130

caros e de maior sensibilidade às concentrações de tensões. Além disso, o diâmetro é muitas

vezes subordinado à certas deformações admissíveis, tornando o aço-liga contra indicado, já

que o problema não é mais de resistência.

Os aços-carbono, de baixo e médio teor, são, muito usados na fabricação de eixos e

árvores. Aços muito empregados são os seguintes: SAE 1015, 1020, 1025, 1030, 1040, 1045,

2340, 2345, 3115, 3120, 3135, 3140, 4023, 4063, 4140, 4340, 4615, 4620 e 5140.

Como vemos uma grande variedade de material existe para a confecção de eixos e

árvores. A seleção dependerá sempre das condições de serviço, custo, usinabilidade e

características especiais por ventura exigidas. É um campo muito aberto em que o projetista

deve procurar sempre maiores conhecimentos, pois praticamente qualquer material ferroso,

não-ferroso ou não metálico, pode ser usado, por uma razão qualquer, na execução de um eixo

ou uma árvore.

AISI Nº Tratamento Temperatura

ºC

Tensão de

escoamento

Mpa

Tensão de

ruptura

MPa

Alongamento

%

Redução de

Área

%

Dureza

Brinell

1030 Q&T

Q&T

Q&T

Q&T

Q&T

Normal

Annealed

205

315

425

540

650

925

870

848

800

731

669

586

521

430

648

621

579

517

441

345

317

17

19

23

28

32

32

35

47

53

60

65

70

61

64

495

401

302

255

207

149

137

1040

Q&T

Q&T

Q&T

Normal

Annealed

205

425

650

900

790

779

758

634

590

519

593

552

434

374

353

19

21

29

28

30

48

54

65

55

57

262

241

192

170

149

1050

Q&T

Q&T

Q&T

Normal

Annealed

205

425

650

900

790

1120

1090

717

748

636

807

793

538

427

365

9

13

28

20

24

27

36

65

39

40

514

444

235

217

187

1060 Q&T

Q&T

Q&T

Normal

Annealed

425

540

650

900

790

1080

965

800

776

626

765

669

524

421

372

14

17

23

18

22

41

45

54

37

38

311

277

229

229

179

Tabela 1 – Características dos Materiais para eixos

131

AISI Nº Tratamento Temperatura

ºC

Tensão de

escoamento

Mpa

Tensão de

ruptura

MPa

Alongamento

%

Redução de

Área

%

Dureza

Brinell

1095 Q&T

Q&T

Q&T

Q&T

Normal

Annealed

315

425

540

650

900

790

1260

1210

1090

896

1010

658

813

772

676

552

500

380

10

12

15

21

9

13

30

32

37

47

13

21

375

363

321

269

293

192

1141 Q&T

Q&T

315

540

1460

896

1280

765

9

18

32

57

415

262

4130 Q&T

Q&T

Q&T

Q&T

Q&T

Normal

Annealed

205

315

425

540

650

870

865

1630

1500

1280

1030

814

670

560

1460

1380

1190

910

703

436

361

10

11

13

17

22

25

28

41

43

49

57

64

59

56

467

435

380

315

245

197

156

4140

4140

Q&T

Q&T

Q&T

Q&T

Q&T

Normal

Annealed

205

315

425

540

650

870

815

1770

1550

1250

951

758

1020

655

1640

1430

1140

834

655

655

417

8

9

13

18

22

18

26

38

43

49

58

63

47

57

510

445

370

285

230

302

197

4340 Q&T

Q&T

Q&T

Q&T

315

425

540

650

1720

1470

1170

965

1590

1360

1080

855

10

10

13

19

40

44

51

60

486

430

360

280

Tabela 1 (continuação) – Características dos Materiais para eixos

5.3 - CARREGAMENTO ESTÁTICO

A determinação das dimensões de uma árvore é muito simples quando sujeito somente

a carregamento estático, principalmente se comparado a quando se tem carregamento

dinâmico. E mesmo com carregamento dinâmico, muitas vezes é necessário se ter uma boa

noção das dimensões das peças para se ter um bom começo dos problemas e por isto faz-se

antes uma analise como se o carregamento fosse estático.

132

5.3.1 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO, TOR ÇÃO E ESFORÇO AXIAL

As tensões em um ponto na superfície de uma árvore de diâmetro (d) sujeita flexão,

torção e carregamento axial são:

23

432

d

F

d

Mx

∗∗+

∗∗=

ππσ (1)

3

16

d

Txy ∗

∗=π

τ (2)

Onde a componente axial (F) de σx pode ser positiva ou negativa. Nós observamos que

há três carregamentos. Momento (M), força (F), e torque (T) aparecem na seção contendo o

ponto especifico na superfície.

Usando o circulo de Mohr podemos mostrar que as 2 principais tensões não nulas, são:

( )2

1

22

2

−

+

±=∗ xyx

xba τσσσσ (3)

Estas tensões podem ser combinadas de forma a obter a máxima tensão de

cisalhamento (τmax) e a tensão de Von Mises (σ’); dando em:

=−

=2max

ba σστ ( )2

1

22

2

+

xy

x τσ (4)

( ) ( )2

1222

122 3' xyxbbaa τσσσσσσ ∗+=+∗−= (5)

Substituindo as equações (1) e (2) em (4) e (5) teremos:

( ) ( )[ ]2

122

3max 882

TDFMd

∗+∗+∗∗

∗=

πτ (6)

( )[ ]2

122

3488

4' TdFM

d∗+∗+∗∗

∗=

πσ (7)

Estas equações nos permitem determinar τmax ou σ’ quando o diâmetro(d) é dado ou

determinar o diâmetro quando tivermos posse das tensões.

Se a analise ou projeto da árvore for baseada na teoria da máxima tensão de

cisalhamento, então τmax é:

n

S

n

S ySyall ∗

==2

τ (8)

As equações (6) e (8) são úteis para a determinação do fator de segurança(n), se o

diâmetro for conhecido, ou para determinar o diâmetro se o coeficiente de segurança for

conhecido.

133

Uma analise similar pode ser feita levando em conta a teoria da energia de distorção

para falhas, onde a tensão de Von Mises é:

n

Syall ='τ (9)

5.3.2 - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E TO RÇÃO

Em varias aplicações, a componente axial (F) das equações (6) e (7) é próxima de zero

ou tão pequena em relação às outras que pode ser desconsiderada. Daí teremos:

2

122

3max )(16

TMd

+∗∗

=π

τ (10)

( )

∗+∗∗∗

= 2

122

334

16' TM

dπσ (11)

É mais fácil resolver estas equações para se encontrar o diâmetro. Substituindo as

equações (8) e (9) nos temos:

( ) 3

1

2

12232

+∗

∗∗= TMS

nd

yπ (12)

Usando a teoria de máxima tensão de cisalhamento, se o diâmetro for conhecido,

calcula-se n da seguinte forma:

( )2

122

3

321TM

Sdn y

+∗∗∗

=π

(13)

Se usarmos como base a teoria de energia de distorção, teremos:

( ) 3

1

2

122 34

16

∗+∗∗

∗∗= TMS

nd

yπ (14)

( )2

122

334

161TM

Sdn y

∗+∗∗∗

=π

(15)

Onde:

n = fator de segurança. n = 1,5 a 2,0

Sy = limite de escoamento do material.

M = momento Máximo no eixo.

T = torque máximo.

134

5.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CARREGAMENTO ESTÁTICO SUJEITO À FLEXÃO E

TORÇÃO

1. Qual o diâmetro de um eixo mostrado na figura 2, feito de um aço AISI 1035 laminado

Figura 2 – Engrenagem no eixo.

=

=

rpmn

kWMotor

NF

1750

73,3

700

I) Torque:

n

HT

.

.1030 3

π×=

, onde H=> Potência em KW, tem-se:

mNT

T

.35,201750.

73,3.1030 3

=

×=π

II) Momento:

mNM

LFM

.5,522

3,0.

2

700

2.

2=

==

III) Material:

Pela Tabela => MPaSy 462=

IV) Segurança:

Usar n=2.

V) Diâmetro:

135

( )

( )mmd

d

TMSy

nd

54,13

35,205,5210462.

2.32

.

32

31

21

226

31

21

22

=

+×

=

+=

π

π

2. Do exercício anterior visto, tem-se:

mmd 47,13

2 n

462MPa S

20,35N.m T

52,5N.m M

y

=

=

===

MPa5,551S

462MPa S

20,35N.m T

52,5N.m M

u

y

=

===

� 'd.Ke.Kf.SeKa.Kb.Kc.K Se=

170,1MPa Se

)10551,5 . ,5041)(1)(1)(05)(0,923)((0,78)(0,8 Se

1,0 Kf

1,0 Ke

1,0 Kd

1520MPa)0,923(S Kc

0,85 Kb

0,78 Ka

6

u

=×=

===

<===

mmd

d

50,18

105,551

35,20

101,170

5,522.323

1

21

2

6

2

6

=

×+

×=

π

5.5 - DIMENSIONANDO EIXOS PELA NORMA ASME

OBSERVAÇÃO: a norma ASME para Eixo de Transmissão:

- Não considera fadiga

- Não considera concentração de tensão

136

Segundo a norma ASME – as máximas tensões são cisalhantes:

ytd S.30,0=τ utd S.18,0=τ (16)

dτ = máxima tensão cisalhante admissível

=ytS tensão escoamento admissível

=uS tensão de ruptura admissível

As normas prevêem que se as concentrações de tensões estiverem presentes devido a

entalhe em chavetas, a tensão máxima admissível deve ser diminuída de 25%. A máxima

tensão cisalhante em um eixo submetido à flexão-torção é dada por:

22

max 2 xya τστ +

= (17)

34 .

.32

2.

64

..

d

Md

d

My

I

Mx ππ

σ ===

34 .

.16

2.

64

..

d

Td

d

My

I

Tx ππ

τ ===

logo,

2

33max .

.16

.

.32.

4

1

+

=d

T

d

Mx ππ

τ

223min .

16TM

d+=

πτ

=xσ tensão de flexão (psi)

=xyτtensão de torção (psi)

=M momento de flexão (lbf.in)

T = momento de torção (lbf.in)

d = diâmetro dp eixo (in)

Segundo o critério da ASME, momento M e T devem ser multiplicados por fatores de

correção devido a choques e fadiga.

223

..

.16TM

d

Td +=

πτ → ( ) ( )22

3..

.

.16TCMC

d

Ttmd +=

πτ → Fórmula da ASME (19)

137

para diâmetro de eixos baseado na teoria da máxima tensão cisalhante. Fatores Cm e Ct dados

na tabela.

5.6 - EIXOS E ÁRVORES SUJEITOS À FADIGA

Qualquer árvore girante que sofre momento de flexão e torção fixas estão sujeitos a uma

inversão, reversão completa da tensão causada pelo giro da árvore, mais a tensão de

cisalhamento permanecerá a mesma.

3

32

d

M axa ∗

∗=

πσ (20)

3

16

d

Tmxym ∗

∗=

πτ (21)

onde:

σxa = Tensão de Amplitude Alternada

τxym = Tensão de Cisalhamento Constante

Estas duas tensões podem ser manipuladas usando dois círculos de Mohr

Se estivermos usando a teoria de máxima tenção de cisalhamento, teremos:

aa τσ ∗= 2 (22) mm τσ ∗= 2 (23)

Se estivermos usando a teoria da energia de distorção, teremos:

xaa σσ = (24) xymm τσ ∗= 3 (25)

5.6.1 - CRITÉRIO DE FADIGA – GOODMAN

Para qualquer eixo carregado com um momento de flexão e torção fixos, estará

submetido a uma flexão reversa provocando tensões alternadas e torção estacionária,

provocando tensões médias. Assim tem-se:

3

32

d

M aax π

σ = 3

16

d

Tmmxy π

τ = (26)

Usando estas expressões e a equação da linha de Goodman:

1=+u

m

e

a

SS

σσ (27)

Pode-se obter, após desenvolvimento analítico que:

138

31

21

2232

+

=

u

m

e

a

S

T

S

Mnd

π (28)

5.6.2 – CRITÉRIO DE FADIGA - SODERBERG

Utilizando o teorema da máxima tensão cisalhante:

3.

.16

d

Txy π

τ = 3.

.32

d

Mx π

σ =

Para qualquer plano fazendo um ângulo α com o plano horizontal tem:

απ

τ α .2cos..

.163d

Tm = → valor médio

απ

τ α .2..

.163

send

Ma = → (amplitude da componente alternativa)

Por meio da geometria analítica, tem-se que:

22

3

.16

.

+

=

sesy S

M

S

T

dn

π (29)

3

1

2

122

..16

+

=

sesy S

M

S

Tnd

π (30)

Para o critério da máxima tensão cisalhante (usada)

3

1

2

122

..32

+

=

ey S

M

S

Tnd

π (31)

sendo que: xsx SS .5,0=

=n Fator de segurança.

=yS Tensão de escoamento.

=eS Limite de resistência à fadiga.

Para casos mais gerais usar equação:

139

3

1

2

12222

..32

+

+

+

=

y

am

e

a

y

m

e

a

S

M

S

M

S

M

S

Tnd

π (32)

onde:

=aT Torque (amplitude)

=mT Torque médio

=aM Momento (amplitude)

=amM Momento médio

5.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - CRITÉRIO DE FADIGA PO R SODERBERG

1. Um eixo usinado é fabricado de um aço com Su = 550 MPa. Calcular n.

Dado: T = 6,0 KN

500

.1751

FR = →

500

.3251

FR =

=aσ tensão alternada

2minmax σσσ −

=a = maxσ

a

eSn

σ=

Mpa

c

IM

a 100==σ

mKNF

LRM .420200.500

.175.1 ===

64

. 4dI

π= onde: 32

. 3d

c

I π= e 2d

c =

c

IM

K Fa .=σ

eedcbae SKKKKKS .....= ´

ue SS .504,0´ =

140

bua SaK .= → a = 4,51 e b = -0,265

847,0550.51,4 265,0 == −aK

841,062,7

1133,0

=

=−

dKb

1== dc KK

fe K

K1=

=fK 0857,0=d

r → 72,1=tK → 428,1=

d

D

( ) 80,058,1)1.1 =→=−+= qKqK tf

logo, 633,058,1

1 ==eK

logo,

MPaSe 4,124=

25,108,99

4,124 ===a

eSn

σ

2. A transmissão representada na figura é movida por um motor elétrico, assíncrono, de

indução, trifásico, com potência P= 3,7 kW e rotação n= 1140 rpm. Dimensionar o

diâmetro da árvore 2, sabendo-se que a árvore é maciça e o material utilizado possui Su

= 700 Mpa, Sy = 630 Mpa e o fator de projeto é 1,8, com as engrenagens enchavetadas

no eixo (adotar Kf= 2,8). As engrenagens são cilíndricas (ECDR) e possuem as

seguintes características geométricas:

Z1= 23; Z2=49; Z3=28 e Z4= 47 m= 2,5 mm e ângulo de pressão 20º.

141

Figura 3 - Exercício resolvido 1.

Calculemos o torque na árvore 1

1

22 ..

3000

Z

Z

n

PM T π

=

A potência do motor - P = 3700 W

Portanto

23

49.

1140

3700.

30002 π

=TM → mmNMT .030.662 =

Esforços na transmissão:

Força tangencial (FT)

Força tangencial (no primeiro par)

Diâmetro primitivo

2

2

0

.2

d

MF T

T =

49.5,2. 202== Zmd → mmd 5,122

20 =

5,122

660302xFT = → NFT 078.1=

Diâmetro primitivo:

28.5,2. 303== Zmd → mmd 70

30 =

70

660302xFT = → NFT 887.1=

Força radial no primeiro par

º20.tgFF TR =

º20.1078tgFR = → NFR 392=

142

Força radial no segundo par

º20.tgFF TR =

º20.1887tgFR = → NFR 687=

Momento fletor

Plano vertical

100.392500.687.600

0

+==Σ

VB

A

R

M

NR VB 638=

687392

0

+=+

=Σ

BVVA

y

RR

F

NR VA 441=

Figura 4 – Forças cisalhantes, diagrama de

momento fletor no plano vertical

400.392500.max −= AVRM

mmNM .700.63max =

143

Plano Horizontal

500.1887100.1078.600

0

−==Σ

HB

A

R

M

NR HB 1393−=

18871087

0

−=+

=Σ

BHHA

y

RR

F

NR HA 584=

22max VH MMM +=

22max 13930063700 +=M

mmNM .174.153max =

Figura 5 – Forças cisalhantes, diagrama de

momento fletor no plano horizontal

Cálculo do diâmetro considerando cargas estáticas

TMTC

3

1

2

122 ).(

.

.32

+= TM

Sy

nd

π

3

1

2

122 )66030153174.(

630.

8,1.32

+=

πd → mmd 95,16=

TED

3

1

2

122 ).3.4.(

.

.16

+= TM

Sy

nd

π → mmd 99,16=

Cálculo do diâmetro considerando carregamento dinâmico

ue SS .504,0' =

700.504,0' =eS → MpaSe 8,352' =

144

bua SaK .= → a = 4,51 e b = -0,265

784,0700.51,4 265,0 == −aK

1133,0

62,7

−

= dKb

91,062,7

93,161133,0

=

=−

bK

1== dc KK

fe K

K1=

8,2=fK → 357,0=eK

'..... eedcbae SKKKKKS =

8,352357,01191,0784,0 xxxxxSe =

Cálculo do diâmetro pelo critério de Goodman

3

1

2

122

..32

+

=Su

Tm

Se

Mand

π

3

1

2

122

700

66030

86,84

3,155215.

8,1.32

+

=π

d → mmd 15,32=

5.8 – CHAVETAS / PINOS

Chavetas e pinos são dispositivos mecânicos usados para fixar no eixo, engrenagens,

polias e outros elementos de tal forma que o torque possa ser transmitido através dele. Os

pinos são usados com duplo propósito, o de transmitir o torque e evitar deslocamento axial do

componente montado no eixo. A figura abaixo ilustra estes dispositivos.

145

Figura 6 – Chavetas e Pinos.

5.9 - UNIÃO DE EIXOS COM CUBOS

O cubo é a parte centra do elemento (polia, engrenagem, etc.) onde é realizado um

rasgo para a fixação da chaveta.

Figura 7 – União de eixos com chavetas cúbicas.

A chaveta é uma peça que vai ocupar o rasgo no eixo e no cubo, simultaneamente,

fazendo a união dos mesmos.

Os principais tipos de chavetas, as mais usadas são definidas por normas (padrões).

Estas chavetas são do tipo:

• Chaveta meia-lua (woodruff)

• Chaveta plana.

• Chaveta inclinada.

A figura 8 mostra estas chavetas e a geometria, bem como a forma de usinagem do

rasgo. Observar que os rasgos das chavetas meia-lua são usinados com fresa circular as

chavetas planas e inclinadas com fresa circular e de topo.

146

Para exemplificar os padrões de chavetas tem-se:

• Uniões por adaptação de forma.

• Uniões por adaptação de forma com pretensão.

• Uniões por atrito.

• Chaveta meia-lua.

• Chavetas planas e inclinadas.

Figura 8 – Tipos de Chavetas

5.10 - DIMENSIONAMENTO DE CHAVETAS

Como já foi visto anteriormente, as chavetas são tabeladas quanto a sua secção.O

dimensionamento da chaveta consiste em determinar o seu comprimento mínimo (L), como é o

caso das chavetas planas e inclinadas (as mais usadas).

147

Figura 9 – Dimensionamento das chavetas.

As tensões que atuam nas chavetas são determinadas da seguinte forma:

Figura 10 – Tensões atuantes nas chavetas.

Quando a chaveta acopla (une) um eixo e uma polia, a transmissão de potencia do eixo

para a polia, força a chaveta de forma inclinada. Esta força (F) tende a cisalhar (rasgar) a seção

AA’ da chaveta. Logo:

Lt

F

A

F

.==τ Modelo Matemático (33)

Comparando com o limite de resistência cisalhante ao escoamento (Ssy) e para um fator

de segurança n, tem-se:

n

S

Lt

F

n

S sysy =⇔=.

τ (34)

5.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – CHAVETAS

1. Um eixo de aço AISI 1018 (ABNT) trefilado a frio tem Ssy = 185MPa. Uma chaveta

quadrada deve ser usada para acoplar um eixo de d = 40mm e uma engrenagem, que

transmitirão 22,38KW a uma rotação de 1100rpm. Usar fator de segurança n = 3,0.

148

2dT

F = => Força na chaveta

mmRd

R 202

40

2=⇒==

Como: n

HT

.

.1030 3

π×= , onde H=> Potência em KW, tem-se

Figura 11 – aplicação de chaveta.

mNTT .2,1941100.

38,22.1030 3

=⇒×=π

Logo:

NFF 97131020

2,1943

=⇒×

= −

Para a chaveta, temos:

mmL

L

S

n

t

FL

n

S

Lt

F

sy

sy

7,1910185

3.

008,0

9713

..

.

6

=×

=

=

=

� Observar que, o comprimento mínimo é L = 19,7mm como a geometria do cubo é

maior do que o diâmetro do eixo, e como as chavetas têm o comprimento do cubo,

pode-se dizer que o comprimento da chaveta a ser usada é:

mmL 40≥

149

5.12 - VIBRAÇÃO DE EIXOS

A figura 12 mostra um rotor consistindo de um grande disco de massa M montado em

um eixo, na metade da distância entre os mancais. A massa do eixo será considerada

desprezível comparada com M. Mesmo com um balanceamento de alto grau de precisão, há

contudo uma pequena excentricidade e do centro de massa g do disco, em relação ao eixo de

rotação. Por causa da excentricidade, a força centrífuga ocasionada pela rotação do eixo faz

com que este sofra uma deflexão r. Visto pela extremidade do eixo como na figura 12, o centro

O do disco parece estar girando em torno do eixo de rotação sobre uma circunferência de raio r.

A força de inércia causada por este movimento forçado é Fo = M(r + e) w2. Devido à deflexão do

eixo, considerado como uma mola, a resistência à força de inércia é kr, sendo k a constante de

mola do eixo na flexão. O sentido da aceleração do centro de gravidade g é conhecido neste

caso, de modo que se pode mostrar o vetor MA como uma força de inércia Fo (como na figura

12). Pode-se então escrever a equação do equilíbrio estático:

2

0

( ) 0

F

M r e w kr

=

+ − =

∑

(35)

Figura 12 - Rotor com disco

150

Para se determinar o raio r, pode-se apresentar a equação (35) da seguinte forma:

( )2

2

ewr

k wM

=−

(36)

Quando a velocidade ω do eixo for igual a /k M , o denominador da equação (36) se

anulará e r atingirá valores intoleravelmente grandes. A rotação do eixo assim defletido parece

com uma viga em vibração quando visto do lado onde somente pode-se observar a projeção do

movimento. Portanto, pode-se considerar /k M do eixo rotativo como a freqüência circular

natural ωn da viga quando levada a vibrar naturalmente no seu primeiro modo de vibração.

Pode-se escrever a equação (36), na forma adimensional:

2

2

( / )

1 ( / )n

n

w wr

e w w=

− (37)

A representação gráfica da equação (37) e indica a condição crítica de rotação, quando

ω for igual a ω n = /k M , devido às amplitudes muito grandes da vibração do eixo. Na

condição crítica, chama-se ω de ωc e a velocidade de rotação do eixo em rotações por minuto

será

60 60

2 2c c nn w wπ π

= =(38)

onde ω n = /k M normalmente é expresso em rad/s. Assim,

60 609,55 9,55 29,9 30

2 2c n

k k kg k kn w

M M P P Pπ π= = = = = �

(39)

na qual nc è a velocidade crítica em rotação por minuto, k está em Newtons por metro e M. em

quilogramas. Pode-se calcular a constante k da mola através da deflexão estática δest do eixo

devido ao peso do rotor. Assim, k = Mg/δest e quando substituído na equação (39), a velocidade

crítica será expressa pela seguinte equação:

130c

est

nδ

= (40)

Segundo os livros-texto de resistência dos materiais, pode-se calcular a deflexão

estática de uma carga P atuando no centro de uma viga uniforme bi-apoiada, como δest = Pl3/48

EIA. Assim, a velocidade crítica de um eixo com uma massa M situado no meio da viga, pode

ser calculada em termos das dimensões do eixo (l é o comprimento do eixo, entre apoios, IA é o

≅

151

momento de inércia da área da seção reta do eixo, igual a πd4/64, d é o diâmetro do eixo) e do

módulo de elasticidade E do material do eixo.

4

346c

Edn

Pl=

(41)

Assim, de acordo com a equação (41), pode-se alterar o material e as dimensões do

eixo, assim como o peso da massa Af, de modo que a velocidade crítica nc seja superior ou

inferior à velocidade de projeto n na qual deseja-se operar. Caso n/nc for menor do que 0,707

ou maior do que 1,414, r será menor do que o dobro da excentricidade e. Por exemplo, se a

excentricidade e for 0,025 mm, r será 0,050 mm quando n/nc = 2 .

É interessante observar que em velocidades muito acima da crítica (ω/ωn>>1,0), o valor

de r/e = -1 e r = - e, indicando que o centro de massa de M estará no eixo de rotação. Neste

caso a massa não estará oscilando, porém o eixo oscilará em torno do centro de massa de M.

Até agora, considerou-se desprezível a massa do eixo. No caso da massa do eixo ser

grande bastante para não ser desprezada, e o eixo ter diâmetro uniforme, deve-se somar à

massa M 50 por cento da massa m do eixo, para se determinar à freqüência circular natural.

( 0,5 )n

kw

M m=

+ (42)

Conforme mostra a figura 12, supõe-se que os mancais do eixo sejam rígidos. Em certos

casos, pode-se considerar os mancais como elasticamente apoiados, e neste caso o δest da

equação (40) deve incluir a deflexão estática dos apoios assim como a deflexão do eixo.

Entretanto, aplica-se a equação (40) somente quando a flexibilidade dos apoios for a mesma

para todas as posições angulares do rotor.

5.13 - FREQÜÊNCIA NATURAL E VELOCIDADE CRÍTICA

Pode-se ter uma variedade muito grande de configurações de rotores desde que sejam

usadas diversas massas e diversos apoios, assim como eixos de diâmetros variáveis. Embora

as curvas do fator de amplificação sejam difíceis de serem obtidas matematicamente, as

velocidades críticas dos eixos são determinadas com relativa facilidade através de cálculos de

freqüência natural. No próximo item, serão apresentados diversos casos de determinação da

velocidade crítica a partir da freqüência natural.

152

5.14 - FREQÜÊNCIA NATURAL DE EIXOS COM DIVERSAS MAS SAS

Em um eixo rotativo com diversas massas conforme mostra a figura 13a, pode-se

determinar a freqüência circular natural ωn do eixo que, sem girar, vibra livremente, sem

amortecimento, após uma deflexão inicial no primeiro modo de vibração.

Pode-se aplicar o método de Rayleigh neste caso. Considerando que o sistema

vibratório é conservativo, a soma da energia potencial e da cinética é constante em qualquer

fase da vibração. Duas destas fases analisam-se facilmente. Na fase em que todas as massas

estão simultaneamente nos máximos deslocamentos Y, a energia armazenada elasticamente

no eixo é igual è energia potencial ∑ FY/2. Nesta fase a energia cinética é zero porque todos os

pontos do sistema estão momentaneamente com velocidade zero. Assim, a energia potencial é

1 1 2 2 ...2 2 2

n nF YFY F YEP = + + +

(43)

As forcas F são as necessárias para a deflexão do eixo, como se fosse uma mola, ate

ficar com a conformação mostrada nesta fase. O produto forca-deslocamento determina energia

potencial. Entretanto, como a forca e diretamente proporcional ao deslocamento, a forca media

que atua durante o deslocamento Y e F/2.

Durante a vibração, o eixo passa pela fase de repouso (não deformada) na qual a

energia potencial e zero, mas a energia cinética e máxima porque as velocidades das massas

são máximas. Considerando que as massas tem movimento harmônico simples, as velocidades

são V = Yωn e as energias cinéticas são MV2/2 = M(Yωn)2/2. Assim, a energia cinética do

sistema é

2 22 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2... ...2 2

n nn n n n

w wEC M Y M Y M Y PY P Y P Y

g = + + + = + + +

(44)

(a) Flexão dinâmica

153

d1

d2 d3

W3W2W1

(b) Flexão estática

Figura 13 – Flexão

Igualando-se os membros da direita das equações (43) e (44), pode-se deter-minar a

freqüência circular natural ωn. Entretanto, as forças F e os deslocamentos Y não são

conhecidos, mas podem ser determinados considerando-se a forma do eixo defletido

estaticamente sob a ação dos pesos conforme indica a figura 13b. Considerando que os

deslocamentos Y da vibração são proporcionais as deflexões δ da deformação estática, então

1 2

1 2

... n

n

YY Y

δ δ δ= = =

(45)

Como as formas para defletirem uma mola são proporcionais as deflexões então

1 1 2 2

1 1 2 2

, , n n

n n

F YF Y F Y

P P Pδ δ δ= = =

(46)

Igualando as expressões da energia potencial e da cinética dadas pelas equações (43) e

(44) e usando as equações (45) e (46) para a eliminação de F e Y, a equação resultante que da

a freqüência circular natural é

[ ]1 1 2 22

2 2 21 1 2 2

...

...n n

n

n n

P P Pw g

P P P

δ δ δδ δ δ

+ + +=

+ + +

22n

Pw g

P

δδ

= ∑∑ (47)

e a velocidade critica pode-se determinar de nc = 60 ωn /2π.

A equação de Rayleigh equação (47) e uma expressão simples e altamente útil para

determinar a freqüência natural fundamental de muitos tipos de rotores. A determinação da

deflexão estática constitui a maior parte do esforço necessário na execução dos cálculos

conforme está ilustrado nos exemplos seguintes. As fórmulas de deflexão de vigas, para

inúmeros casos, estão disponíveis em livros texto de resistência dos materiais e em manuais.

Pode-se aplicar o método da área do diagrama de momento fletor e outros em casos gerais.

Dispõe também de métodos gráficos, conforme ilustrado no item seguinte, para a determinação

das deflexões estáticas de rotores com eixos de diâmetros variáveis.

154

Para inclusão da massa do eixo nos cálculos, deve-se dividi-lo em diversos

comprimentos, cada um tratado como se fosse uma massa adicional.

A equação (47) não e estritamente uma avaliação exata da freqüência natural porque a

curva das deflexões estáticas não e proporcional exatamente a curva deflexões dinâmicas,

como foi considerado. Entretanto, o resultado obtido equação e somente um ou dois por cento

superior a freqüência natural funda verdadeira. Considerando que outros fatores tais como

efeitos giroscópicos durante a oscilação, ajustagens forçadas de discos no eixo, e chavetas

alteram raramente a velocidade critica, a equação (47) produz uma resposta aceitável. A

deflexão dos apoios pode ter uma influencia maior sobre as velocidades críticas e devem ser

acrescidas as deflexões do eixo, na equação (47).

A freqüência natural dada pela equação (47) é a fundamental, ou a mais baixa

freqüência do sistema de massas. É desejável, portanto, se possível projetarem-se as

dimensões de um, eixo de tal modo que a velocidade crítica mais baixa seja superior à

velocidade de projeto. Entretanto, nem sempre isso é possível. Em turbinas de alta rotação, a

velocidade de operação pode estar entre duas velocidades críticas de modo que o eixo não

necessita tornar-se excessivamente pesado. Neste caso, é necessária a passagem pela

velocidade crítica mais baixa, o que pode ser perigoso. Entretanto, se o rotor estiver

cuidadosamente balanceado e a primeira velocidade crítica for baixa, as forças perturbadoras

serão pequenas nas regiões perto da crítica. Também, a amplitude de vibração à velocidade

crítica aumenta a níveis perigosos somente se for permitido um tempo para a amplitude crescer;

portanto, acelerando-se na passagem pela velocidade crítica, pode-se manter as amplitudes em

intensidades aceitáveis. O amortecimento natural do material do eixo, embora pequeno,

também tende a reduzir as amplitudes. Muitas máquinas bem sucedidas foram projetadas para

funcionar entre velocidades críticas.

Quando o eixo se estende para fora dos mancais como na figura 12a, deve-se inverter

os sentidos dos pesos como indica a figura 12b na determinação das deflexões estáticas para

emprego na equação (47). Deve-se notar que se simula dessa maneira a curva da deflexão

dinâmica de meia-onda, para obtenção da freqüência natural mais baixa.

155

(b)

Figura 14 – Freqüência natural da estrutura

5.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – VIBRAÇÕES EM EIXOS

1. Um rotor de compressor de 25 kg e um rotor de turbina, de 15 kg, são montadas em um

eixo de aço conforme mostra a figura 13a. O eixo deve operar à velocidade prevista de

10.000 rpm. Empregando a equação de Rayleigh (47) determine o diâmetro do eixo

mais leve que possa ser usado para que tenha uma velocidade critica fundamental de

12.000 rpm, com uma margem de segurança de 2.000 rpm.

(a)

156

(d) Figura 15 – Aplicação de vibrações em um eixo

Conforme a figura 15b mostra, inverte-se a carga P2 a fim de se obter uma curva de

deflexão com o formato do uma meia-onda simples. As figuras 15c e 15d mostram a

forma da viga deformada sob a ação de cada carga atuando independentemente,

conduzindo assim a dois casos cujas fórmulas deflexão estática mostradas a seguir

encontra-se em livros-texto de resistência dos materiais. Pelo método da superposição,

pode-se determinar as deflexões δ1 e δ2: 3 2

1 21 1 1

3 2

48 16

1 25 0,50 15 0,50 0,25 0,12369

48 16

A A

A A

Pl P l a

EI EI

EI EI

δ δ δ′ ′′= + = + =

× × ×= + =

2 21 2

2 2 2

( ) 0,322

16 3A A A

Pl a P a l a

EI EI EIδ δ δ +′ ′′= + = + =

Usando-se a equação (47),

(a)

(b)

(c)

157

2 1 1 2 22 2 2 2

1 1 2 2

25 0,12369 15 0,332

25 0,12369 15 0,332n A

P Pw g gEI

P P

δ δδ δ

+ × + × = = + × + ×

Para g= 9,81m/s² e E= 2,1 x 1010 kg/m²

2 10

10 2

81,678 10

0,012243 10

n A

A n

w I

I w−

= ×

= ×

Para nc= 12.000 rpm

21260 rad/s

60c

n

nw

π= =

Portanto, o momento de inércia necessário do eixo é:

10 20,012243 10 1260AI −= × ×

Como IA= πd4/64,

4 -1064395973,4762 10Ad I

π= = ×

0,0793 79,9 d m mm= =

Deve-se usar um diâmetro de 80mm.

2. Os apoios do rotor do exemplo 1, figura 15a, foram considerados como rígidos.

Determine a velocidade crítica do rotor do exemplo 1 se cada um dos apoios sofrer uma

deflexão de 0,14/EIA sob um carregamento estático. Use IA = 1,84 x 10-6 m4 e E = 2,1 x

1010 kg/m2.

Devido à flexibilidade dos apoios, as cargas Pl e P2 terão uma deflexão adicional.

Conforme indica a figura 16, sob o carregamento, o apoio da esquerda desloca-se para

baixo e o da esquerda para cima. Como se pode ver, não há influência nobre a deflexão

da carga P1, porém o deslocamento de Pl aumenta de 0,28/EIA. Portanto as deflexões

estáticas totais são

1

0,12369

AEIδ =

2

0,332 0,28 0,612

A A AEI EI EIδ = + =

.

Substituindo estes valores na equação (47),

158

2 774602

880,1 rad/s

60 60(880) 8404 rpm

2 2

n

n

c n

w

w

n wπ π

=

=

= = =

5.16 - EIXOS ESCALONADOS

A equação (47) para velocidade crítica se aplica a eixos de rotores do tipo mostrado na

figura 10a, no qual o diâmetro varia em degraus. Entretanto, como IA é variável em tais casos,

não se derivam com facilidade para as deflexões estáticas. Pode-se usar um dos diversos

métodos gráficos, tal como o seguinte.

Figura 16 – Eixos Escalonados

Deve-se recordar da resistência dos materiais que para se determinar à deflexão

estática deve-se resolver a equação diferencial básica:

2

2

d

dx A

y M

EI=

(48)

Na qual y é a deflexão, M é o momento fletor como função de x, e IA é O momento de

inércia da seção reta do eixo, como função de x. Integrando-se duas vezes a equação (48)

obtém-se a deflexão da viga. A primeira integração conduz a dy/dx, inclinação da curva elástica

da viga deformada. Além disso, iniciando-se com as cargas da viga, necessitam-se de duas

integrações para a obtenção do diagrama do momento fletor. Assim, necessita-se de quatro

integrações para se obterem as deflexões a partir do carregamento conhecido.

Como o processo de integração é o somatório de áreas sob as curvas, pode-se

empregar um método gráfico para um somatório para vigas complexas que têm funções com

numerosas descontinuidades. O método gráfico exige que as curvas sejam traçadas em escala

0,14

AEI

0,14

AEI

0,28

AEI

159

a fim de que as áreas sob as curvas possam ser avaliadas através da medição de quadrados

ou usando-se um planímetro.

A figura 17a mostra um rotor de aço com uma engrenagem de 89,0 N e um eixo de três

diâmetros diferentes. Divide-se a viga em cinco partes, mostrando-se os pesos de cada parte

no respectivo centro de gravidade. Uma delas inclui o peso da engrenagem. A figura 17a é um

diagrama de carregamento a partir do qual pode-se determinar o diagrama de esforço cortante

mostrado na figura 17b através de métodos convencionais (a primeira integração). Obtém-se o

diagrama de momento fletor da figura 17c através das áreas do diagrama de esforço cortante (a

segunda integração). Por exemplo, a ordenada M1 é obtida a partir da área Al, a ordenada M2,

é a soma das áreas A1+A2 e a ordenada Mn é 1

n

A∑. Deve-se levar em conta o sinal de cada

área. Devem-se multiplicar as áreas em milímetros quadrados pelo fator de conversão

apropriado obtido das escalas do diagrama de esforço cortante, afim de que as ordenadas do

diagrama de momento fletor sejam em N/mm.

160

Figura 17 – Deflexões em um eixo de carregamento conhecido

Depois de realizadas as integrações, deve-se transformar o diagrama de momento fletor

no diagrama M/EIA conforme exigido pela equação (48). Divide-se cada ordenada do diagrama

de momento fletor pelo valor adequado de EIA (E = 207x x 103 N/mm2 para o aço e IA = πd4/64)

para obtenção das ordenadas M/EIA da figura 17d. Obtém-se as ordenadas da figura 17 e

representando a inclinação dy/dx da elástica (terceira integração), através das áreas do

diagrama M/EIA. As ordenadas traçadas a partir do eixo x' são todas positivas. Entretanto, sabe-

se do formato esperado da elástica que as inclinações são negativas perto da extremidade da

esquerda da viga, positivas na extremidade da direita e nas proximidades do meio da viga há

uma inclinação nula. Assim, traça-se o eixo x escolhido arbitrariamente de tal modo que as

161

áreas negativas sejam aproximadamente iguais às positivas, na figura 17e. Faz-se a quarta

integração usando-se as áreas da figura 17e para obtenção das ordenadas da deflexão estática

y na figura 17f. Observa-se que as ordenadas da deflexão estática são negativas porque as

áreas da curva dy/dx são negativas na extremidade da esquerda onde se inicia a integração.

Embora estas ordenadas sejam levantadas a partir do eixo x\ traça-se o eixo x conforme

indicado porque se sabe que são nulas as deflexões da viga nos apoios. Como o eixo x, traçado

arbitrariamente no diagrama da inclinação da elástica figura 15e, havia dividido igualmente as

áreas negativas e positivas, então o eixo x' e o x da figura 15f deveriam coincidir.

Dos dados das curvas a e f, calculam-se os seguintes valores:

2

2 62

c

2,94 0,0385

0,794 10

865 rad/s

60(865)n 8260 rpm

2

n

n

Py N mm Py mm

Pyw g

Py

w

π

= ⋅ = ⋅

= = ×

=

= =

∑ ∑∑∑

5.17 - VELOCIDADES CRÍTICAS DE ORDEM SUPERIOR

Para rotores que tem eixos de diâmetros variáveis como no item precedente, a

determinação da segunda velocidade critica e as velocidades de ordem superior quanto à

flexão, e relativamente mais complexa do que o cálculo da velocidade crítica fundamental da

equação (47). Os livros-texto de Timoshenko, Den Hartog e Thomson apresentam métodos

para rotores com tais eixos e para um número de rotores com eixos uniformes com e sem

massas concentradas. No casos de vigas uniformes simplesmente apoiadas e vigas uniformes

em balanço para as quais a formula seguinte calcula as diversas freqüências naturais:

3A

n n

EI gw C

Pl=

(49)

E o coeficiente que indica a n-ésima freqüência natural, P e o peso total da viga em kg, e

/ e o comprimento da viga em metros. O eixo de transmissão do automóvel e eixo de bobina

são exemplos de vigas uniformes simplesmente apoiadas, e as palhetas de compressores e de

turbinas são exemplos aproximados de vigas uniformes em balanço.

162

Consideremos o caso da palheta do rotor mostrada na figura 18. Mostra-se a palheta

como uma viga em balanço a qual sofre um ciclo de perturbação de flexão cada vez que passa

por uma palheta do estator e provoca uma mudança na força aerodinâmica. Se N e o número

de palhetas do estator, então a freqüência da perturbação em ciclos por minuto será o produto

de N pela rotação do rotor em rpm. Quando essa freqüência coincidir com a freqüência natural

fn da palheta devida à flexão, existira uma situação crítica. Para a palheta de aço mostrada na

figura 16, os cálculos seguintes ilustram a determinação das diversas velocidades criticas do

rotor para o caso de um estator de 30 palhetas.

23 /10207 mmNxE = 2/9810 smmg = mmI 2,76=

433

1,6812

18,34,25

12mm

xbhI A ===

36 /105,76 mmNxp −=

6

3

n1 1 3 3

n

volume (25, 4 76, 2 3,18)(76,5 10 ) 0, 471 N

(207 10 ) 68,1 9810w 3,52 2870 rad/s

0, 471 76, 2

f

Ag

P p

EIc

Pl

−= × = × × × =

× × ×= = =×

n11

60w 602870 27, 400 ciclos/min

2 2π π= = × =

Figura 18 – Encaixe palheta e rotor

163

A velocidade crítica do rotor ocorre gerando n1 c1f nN=.

n1c1

f 27400n 913 rpm

N 30= = =

A segunda e a terceira velocidades críticas são

2c2 c1

1

3c3 c1

1

22,4n n 913 5810 rpm

3,52

61,7n n 913 16000 rpm

3,52

c

c

c

c

= = × =

= = × =

Em geral as palhetas de rotores devem ser delgadas e leves para maquinas de alta

rotação e freqüentemente ultrapassam a primeira e a segunda velocidades criticas. A seleção

do material e importante. Alguns materiais possuem propriedades de amortecimento melhores

do que outros, e isto pode significar a diferença entre o êxito e o fracasso em ultrapassar as

velocidades criticas. As palhetas geralmente são curvas e sua espessura diminui gradualmente,

sendo maior na base do que na extremidade: isto torna a palheta mais rígida e aumenta um

pouco a velocidade critica. Observação: não deve ser utilizado em vigas não uniformes.

5.18 - EIXOS ESCALONADOS

Quando o eixo tem os diâmetros escalonados como o do rotor de dois discos mostrados

na figura 22, a constante da mola torcional é variável. Pode-se determinar uma constante

equivalente kt em função das constantes individuais kl, k2, k3...Kn. Para molas em série, o

torque instantâneo T em cada seção do eixo é o mesmo. Entretanto, os ângulos de torção

diferentes. O ângulo total de torção Φt é a soma de todos os ângulos individuais de torção.

1 1 2 3

1 2 3

1 2 3

...

...

1 1 1 1 1...

1 1

n

t n

t n

t

T T T T T

k k k k k

k k k k k

k k

φ φ φ φ φ= + + + +

= + + + +

= + + + +

=∑ (50)

Para o rotor com dois discos e com eixos de diâmetro variável, pode-se substituir kt,

determinado pela equação (50).

164

Figura 19 - Eixo e mancais

5.19 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS

1. O eixo da figura suporta uma engrenagem cilíndrica de dentes retos para uma rotação de

315 rpm. O diâmetro primitivo da engrenagem é de 364 mm, t=310mm, t1=120 mm,

t2=190 mm. Dimensione este eixo, calculando o valor de d. A engrenagem é enchavetada

no eixo. A carga total atuando no eixo é de 15 KN.

Figura 21 - Exercício proposto 1.

2. Um eixo é fabricado com aço AISI 1137, laminado a frio, e é usado em um cortador de

grama. A potência é suprida ao eixo por uma correia plana à polia A. Em B, uma corrente

de rolos exerce uma força vertical e em C uma correia trapezoidal também exerce uma

força vertical. Nas condições de operação a correia transmite 35 HP a 425 rpm das quais

25 HP é transmitida ao cortador e 10 HP para o ventilador. As duas seções do eixo são

165

unidas por um acoplamento flexível em D e as polias são todas enchavetadas no eixo.

Decida qual serão os diâmetros dos eixos, utilizando a teoria de falhas de Von Mises e o

critério de Goodman.

Figura 22 - Exercício proposto 2.

166

3. Um eixo S de aço AISI 1137, laminado a frio, transmite potencia que recebe de um eixo

W, que gira a 2000 rpm através de uma engrenagem E de 125 mm de diâmetro à

engrenagem A de 375 mm de diâmetro. A potência é transmitida de uma engrenagem C

para a engrenagem G, que varia de 10 HP a 100 HP, retornando a 10 HP, durante uma

rotação de do eixo S. O projeto leva em conta as tensões variáveis e a teoria da máxima

tensão cisalhante TMT|C e o critério de Goodman. Para um fator de projeto n=1,8,

calcule o diâmetro do eixo, utilizando somente as cargas tangenciais motoras.

Figura 23 - Exercício proposto 3.

167

4. Idêntico ao anterior, exceto que as componentes radiais das engrenagens devem também

ser consideradas, todas as engrenagens com ângulo de pressão 20o.

5. Idêntico ao exercício 4, exceto que a engrenagem G se posiciona em cima da

engrenagem C.

6. Um pequeno eixo é fabricado com aço SAE1035, laminado a quente, recebe potência de

30 HP a 300 rpm, através de uma engrenagem de 300 mm de diâmetro, sendo esta

potência transmitida a outro eixo através de um acoplamento flexível. A engrenagem é

enchavetada no meio do eixo entre dois mancais, com ângulo de pressão 20o, fator de

segurança n=1,5.

(a) Desprezando a componente radial R da carga total W, determine o diâmetro do eixo.

(b) Considerando ambas componentes radiais e tangencial, determine o diâmetro do

eixo.

Figura 24 - Exercício proposto 6.

168

CAPITULO 06 - LUBRIFICAÇÃO E MANCAIS DE DESLIZAMENTO

6.1 - INTRODUÇÃO

O movimento dos elementos ou peças de máquina exige superfícies de apoio, algumas

das quais são fácil e completamente lubrificadas outras lubrificadas deficientemente e com

dificuldade e, ainda outras, não recebem qualquer lubrificação. Em muitas situações, quando o

movimento é pequeno e a carga leve, o projetista se contenta em prever um furo de óleo, ou

outro dispositivo simples, e de fazer depender do operador da máquina a aplicação periódica do

lubrificante. Entretanto, quando a carga ou à velocidade, ou ambas, são elevadas, como

acontece comumente nas máquinas modernas, a lubrificação, seja por óleo, por ar ou outro

fluido, deve ser projetada para atender as condições de operação e evitar dificuldades que, sem

isso, adviriam. A lubrificação não é a apenas o lubrificante. Depende da carga, velocidade,

folgas, comprimento e diâmetro do mancal e, talvez, do tipo de superfície.

6.2 - LUBRIFICANTES.

Os óleos animais ou vegetais são lubrificantes, mas, é claro, os mais importantes dos

óleos são os derivados de petróleo. Os modernos óleos de petróleo contem, usualmente, um ou

mais aditivos que objetivam a melhoria de alguma propriedade particular do óleo. Assim, são

usados aditivos com os seguintes objetivos: para reduzir a taxa de e oxidação do óleo

(antioxidantes); para limpar as superfícies das maquinas (detergentes); para reduzir a corrosão

(anticorrosivos); para manter os produtos da decomposição em um estado coloidal

(dispersantes); para prevenir o contato de metal com metal, como no caso dos dentes de

engrenagem (agentes para extrema pressão); para reduzir ferrugem (antiferruginosos); para

baixar o ponto de congelamento; para diminuir a variação do índice de viscosidade com a

temperatura e para prevenir a formação de espuma.

Os lubrificantes sintéticos estão assumindo importância cada vez maior em situações

especiais. Um polímero dimetilsilicone apresenta o alto índice de viscosidade ** de 150, resiste

à oxidação até 350º F e pode ser fabricado com a viscosidade desejada.

A grafita tem sido usada como lubrificante de muitos modos: Um composto especial ,

lubrificante sólido, produz um filme com espessura de 0,004 mm (0,00015 pol.) a 0,0127 mm

169

(0,0005 pol.) de espessura e adere tenazmente às superfícies. Tem sido usado em mancais,

engrenagens, arvores caneluradas e outras aplicações e é extremamente preventivo de

escoriações nas superfícies metálicas provocadas pelo atrito.

6.3 - VISCOSIDADE

A propriedade mais importante de um lubrificante, no caso de atrito fluido, é a

viscosidade . Consideremos um elemento de um fluido no qual ocorre movimento relativo das

partículas. Se a velocidade da camada superficial superior é 2v e, da inferior, 1v , a variação da

velocidade entre as duas camadas é 12 vv − = dv, se admitirmos que as camadas superficiais

estejam afastadas entre si de dh. A lei de Newton para os fluidos viscosos estabelece que a

tensão de cisalhamento F / A no fluido é proporcional ao gradiente de velocidade dv / dh:

Fig.1- Definição de viscosidade

dh

dv

A

F µ= ou h

AvF µ= (1)

onde A é a área do fluido e µ é a constante de proporcionalidade , chamada viscosidade

absoluta , ou simplesmente viscosidade , do fluido.

Existem dois tipos de viscosidade que são comumente utilizadas. A primeira é a

viscosidade absoluta e é derivada da unidade básica de força e velocidade. A outra é chamada

de viscosidade cinemática definida como a viscosidade absoluta dividida pela densidade.

h

u

A

F b⋅== µτ (2)

Então:

ecsPam

ecsN

mecsm

mN

hu

AF

b

⋅=⋅===2

2

µ (3)

170

Ou na unidade cgs:

centipoisecmegundosdina =⋅ 2 (4)

Ou nas unidades inglesas:

21 polegslbreyn f ⋅= (5)

Se o lubrificante não constar das tabelas, será, provavelmente, necessário à conversão

a partir da viscosidade Saybolt Universal (SU), que é obtida em leituras de viscosímetros

comerciais. Esta conversão é feita com o uso de uma outra propriedade denominada

Viscosidade cinemática , que é a viscosidade absoluta do fluido dividida pela sua massa

específica, ambas expressas no mesmo sistema de unidades. As dimensões básicas da

viscosidade cinemática são L2 T-1. Como no sistema CGS de unidades, a massa especifica ρ é

numericamente igual à densidade d, é fácil determinar a viscosidade cinemática VC a partir da

absoluta Z em centipoise.

VC = Z / ρ = Z / d = 0,22t – (180/t) (centistokes) (6)

onde t é a leitura no viscosímetro Saybolt Universal em segundos sendo todas as propriedades

consideradas à mesma temperatura. A densidade de um óleo derivado de petróleo a uma

determinada temperatura θ é dada, aproximadamente, por:

dθ = d60 – 0,00035 (θ-60) (7)

onde d60 é a densidade a 60°F (cerca de 0,89 a 0,93 para es tes óleos).

6.4 - CLASSIFICAÇÃO DOS MANCAIS.

Um mancal é constituído de duas partes principais: o munhão, que é a parte interna,

cilíndrica, usualmente com movimento de rotação ou oscilação, e o mancal propriamente dito ou

superfície de apoio, que pode ser estacionário, como os mancais de uma arvore, ou pode ser

imóvel, como no caso de um sistema biela-manivela.

Pode-se classificar os mancais de vários modos. Um deles encara o fato de ser o

munhão inteiramente envolvido pela superfície de apoio ou mancal propriamente dito, caso

em que o conjunto é chamado mancal completo ou de ser envolvido apenas parcial, caso em

que o conjunto é chamado de mancal parcial. Um tipo simples de mancal parcial é usado

quando a carga é aplicada na parte superior do munhão e este mergulhado em óleo na parte

inferior.

171

Os mancais podem ser também classificados como mancais com folga ou sem folga .

Nos mancais com folga o diâmetro da superfície de apoio é maior do que o do munhão. A

diferença entre esses diâmetros é chamada de folga c. A folga radial cr=c/2 é a diferença entre

os raios das superfícies do mancal e do munhão. A relação entre a folga e o diâmetro do

munhão c/D é chamada de taxa de folga . Um mancal sem folga é aquele em que ambas as

superfícies, a do munhão e a de apoio do mancal, Têm os mesmos raios. È evidente que um

mancal sem folga é, obrigatoriamente, um mancal parcial, enquanto os mancais com folga

podem ser completos ou parciais.

Antes de podermos estudar os mancais hidrodinâmicos, temos que entender primeiro

como os lubrificantes atuam. Como a viscosidade dos lubrificantes varia com a temperatura,

temos que escolher um óleo ou graxa adequados para as condições de trabalho. O lubrificante

escolhido também é determinado em função do acabamento das paredes do mancal. Este

capítulo introduzirá os parâmetros usados para selecionar os lubrificantes, as qualificações de

acabamento e o comportamento hidrodinâmico dos mancais de deslizamento O estudo de

lubrificação, atrito e desgaste é chamado tribologia.

A exigência fundamental para duas superfícies serem lubrificadas é que as espessuras

operacionais do lubrificante entre as superfícies deve ser maior que a rugosidade das

superfícies. As duas superfícies devem flutuar em um filme pressurizado de lubrificante.

Figura 2 - Relação entre a espessura do lubrificante e a rugosidade das superfícies do mancal

A relação para a lubrificação hidrodinâmica è:

2

1

min:...

∝W

uhfilmedoespessura b (8)

Onde hmin normalmente excede 1 µm e onde W é a carga aplicada ao mancal.

172

Pode-se ver o que acontece se hmin for menor do que a altura da saliência da

rugosidade. Contato de metal com metade iria ocorrer, alto atrito e alta taxa de desgaste

também acontecem.

6.5 - LUBRIFICAÇÃO ELASTODINÂMICA

Figura 3 – Lubrificação

A característica fundamental deste tipo de lubrificação é que a carga provoca uma

deflexão elástica na superfície principal formando uma pequena cunha superficial. O lubrificante

é jogado para esta superfície pela rotação do elemento girante.T

Figura 4a - Operação Elastohidrodinâmica

Figura 4b - Características da lubrificação hidrodinâmica

O módulo efetivo elastohidrodinâmico é utilizado no projeto de mancais de rolamentos

de esferas e de rolos e em eixos que operam com mancais de nylon.O módulo efetivo é:

173

(9)

6.6 - TIPOS DE LUBRIFICAÇÃO

Lubrificação Limite: Contato entre mancal e munhão

Lubrificação de filme de óleo- lubrificação intermitente

Lubrificação Hidrodinâmica: O eixo do mancal é apoiado em um filme de óleo. O filme é

criado pelo movimento do mancal. A figura abaixo mostra a relação entre os parâmetros do

mancal e o coeficiente de atrito.

Figura 5 - Viscosidade

6.7 - LUBRIFICAÇÃO ESTÁVEL E INSTÁVEL

A lubrificação Hidrodinâmica é considerada uma lubrificação estável. Com o aumento da

temperatura do lubrificante, a viscosidade tende a cair. Isto resulta em um menor coeficiente de

atrito levando a temperatura do lubrificante a cair, tendo portanto uma auto-correção. Já a

lubrificação intermediária é instável,pois um aumento na temperatura do lubrificante, causa uma

diminuição na viscosidade e portanto um aumento no coeficiente de atrito, levando a

temperatura do óleo a aumentar ainda mais.

b

b

a

a

EE

E22 11

2'

νν −+−=

174

6.8 - MECANISMOS DA LUBRIFICAÇÃO.

Suponhamos um munhão em repouso em seu mancal, como é mostrado

esquematicamente na Fig. 6 (a). O espaço da folga está cheio de óleo e o munhão repousa na

superfície de apoio, ou mancal, havendo contato de metal com metal no seu ponto mais baixo.

À proporção que o munhão, com a carga (ou reação do mancal) R, começa a girar no sentido

indicado na Fig. 6 (b) e (c), ocorre inicialmente, uma atrito de metal com metal e o munhão

tende a subir para a direita do mancal, como se vê na Fig 6 (b). Contudo, como o óleo adere à

superfície do munhão, a rotação arrasta um filme de óleo separando o munhão e o mancal e,

então, o munhão move-se para a esquerda e toma a posição excêntrica em relação ao mancal,

como se vê na Fig 6 (c). O mancal em rotação, agindo como uma bomba, provoca suficiente

elevação da pressão de óleo pra que este assegure uma completa separação entre a sua

superfície e a do mancal.

Para ser assegurado esta elevação de pressão e a continuidade da película de óleo, é

indispensável à existência de um espaço em forma de cunha pelo qual passe o fluxo de óleo,

como mostrou Reynolds na teoria hidrodinâmica que desenvolveu sobre o assunto. Observar,

neste particular, a convergência para a seção ho.

A camada de óleo junto à superfície do munhão fica aderente a ela e movimenta-se com

a mesma velocidade, enquanto a camada junto à superfície do mancal permanece estacionaria

com esta (se o mancal for estacionário). A velocidade de óleo vai, assim, decrescendo da

primeira das camadas citadas para a segunda. Em conseqüência, quanto mais rapidamente o

mancal girar, mais óleo será arrastado nas seções convergentes e maior será a espessura

mínima do filme ho, desde que a carga permaneça constante. Para bem compreender o

fenômeno, convém ter em mente a ação da bomba do munhão.

Fig. 6- Mecanismo de Lubrificação em Mancal

175

6.9 - LUBRIFICAÇÃO COM FILME ESPESSO OU DE ATRITO F LUIDO

As superfícies mais bem acabadas mostram irregularidades quando ampliadas, de modo

que existem sempre pontos mais elevados (ver Fig. 7). Para que se tenha uma lubrificação

com filme espesso , e espessura mínima ho do óleo deve ser suficientemente grande para

assegurar o afastamento destes pontos. Assim, quanto mais ásperas ou grosseiras as

superfícies mais espesso o filme que vai separar as mesmas. Um dos objetivos dos cálculos

dos mancais é o de assegurar a espessura mínima do filme de óleo ho, necessária para manter

a separação das superfícies. Quanto à lubrificação com filme espesso é atingida , a força de

atrito é a força necessária para cisalhar o lubrificante e é independente da natureza ou estado

das superfícies lubrificadas.

Fig. 7- lubrificante cisalhado

Desde que a ação de bomba do munhão não seja bastante para produzir um filme

suficientemente espesso, alguns ou muitos dos pontos mais altos das irregularidades de

superfície poderão tocar-se. Se este contato, ocorrer, teremos a lubrificação por filme

delgado ou de atrito combinado , pois que a força de atrito dependerá tanto das superfícies

como do lubrificante e ela será bem maior do que no caso do atrito fluido.

No inicio do movimento, Fig. 6 (a), há contato de metal com metal e lubrificação por filme

delgado. Se a carga é muito grande ou a velocidade muito baixa, o munhão poderá não

bombear bastante lubrificante para assegurar a separação das superfícies. Igualmente,

movimento de oscilação, partidas e paradas repetidas podem produzir rápido desgaste do

mancal pois que o filme se mantém demasiadamente fino. Se a operação normal processa com

filme espesso, isto é, atrito fluido, grande parte do desgaste ocorre nos períodos de partida. Por

esta razão, uma maquina com superfícies deslizantes deve ser projetada para partir sem carga

ou com carga leve, se bem que isto não seja sempre possível, praticamente.

176

Métodos de Lubrificação dos Mancais. Os mancais podem ser lubrificados: (a)

intermitentemente; (b) continuamente, com uma quantidade limitada de lubrificante ou (c)

continuamente, com uma quantidade abundante de lubrificante.

(a) Lubrificação Intermitente . A lubrificação intermitente, seja com óleo ou graxa,

compreende os casos em que é deixado ao operador a aplicação periódica do

lubrificante, seja em furos de lubrificação, ou em copos de óleo ou graxa, de tipo comum

ou de tipo especialmente designado como de pressão. O coeficiente de atrito decorrente

deste método de lubrificação é variável e problemático e, comumente, é admitido como

variando de 0,12 a 0,15.

(b) Lubrificação Limitada . Existem vários sistemas, alguns dos quais abaixo descritos, que

asseguram uma lubrificação contínua, mas de limitada quantidade de óleo, aos mancais.

Estes sistemas são indicados para serviços relativamente leves.

Lubrificação por gotejamento ou por gravidade. É de uso muito comum e, sob certas

condições, dá resultados satisfatórios. Um furo roscado no mancal, no lado da baixa

pressão, recebe um copo de óleo que é provido de uma válvula de agulha ajustável para

regular a quantidade de óleo fornecida ao mancal. Este método de alimentação de óleo

permite a formação de um filme de óleo espesso (atrito fluido), mas é aconselhável usar

um fator de segurança relativamente elevado e manter uma certa dependência ao

computar o valor do coeficiente de atrito.

Lubrificação por mecha. É obtida por meio de mechas ligadas a pequenos

reservatórios na parte superior do mancal e desenvolvendo-se ao longo de sua

superfície. O óleo é suprido ao munhão por ação capilar. Este tipo de lubrificação é

usado em eixos intermediários e os reservatórios de óleo devem ser completados

diariamente.

(c) Lubrificação Abundante. Existem vários meios de assegurar um abundante suprimento

de óleo a um mancal, alguns dos quais discutiremos abaixo.

O sistema de anel-guia, usado em muitos tipos de maquinas, é um sistema intermediário

177

no qual um anel fornecerá ampla quantidade de óleo, se o mancal for apropriadamente

projetado e trabalhar velocidades médias. Karelitz verificou que a quantidade de óleo

fornecida ao munhão é, aproximadamente, proporcional à largura do anel; que em altas

velocidades o óleo é expulso do anel, pela força centrifuga, na parte superior, havendo,

pois, necessidade de rasgos especiais para recolher o óleo e dirigi-lo ao munhão , e que

os anéis mais pesados fornecem mais óleo que os leves. Detalhes da aplicação de um

mancal com anel-guia do óleo a um motor elétrico, são mostrados na Fig. 8.

Fig. 8- Detalhes da aplicação de um mancal com anel-guia do óleo a um motor elétrico

Corrente ou cadeira-guia e colar-guia de óleo são variações do principio do anel. No

primeiro destes sistemas, uma corrente ou cadeia substitui o anel, enquanto que no segundo,

um colar no eixo mergulha no reservatório de óleo e leva o lubrificante à parte superior do

mancal. Notar que, se a carga atua na metade inferior do mancal, os sistemas de anel e de

corrente não dividem a área que suporta a carga, enquanto que o de colar divide essa área em

duas partes, tornando o mancal equivalente em dois mancais, no que se refere à distribuição

178

longitudinal da pressão.

Na lubrificação por banho, o munhão parcialmente submerso em um deposito de óleo,

método particularmente indicado para os mancais que suportam a carga na metade superior. A

lubrificação por salpico é usada em mecanismos alternativos, como nos motores de combustão

interna, onde a arvore de manivelas esta situada no reservatório de óleo (Carter) e a manivela

mergulha no óleo em cada volta. Este sistema tem se mostrado satisfatório em muitas

maquinas alternativas. Contudo, os resultados não são tão seguros quanto no caso de ser

usada a lubrificação por pressão.

No sistema de baixa pressão, o óleo flui ou é continuamente bombeado para o mancal

sob pequena altura manométrica. Nos sistemas de lubrificação sob pressão, em geral um

sistema de circulação, o óleo é bombeado de um reservatório. Ambos os sistemas devem

fornecer abundante quantidade de óleos aos mancais. Como a ação natural de bombeamento

do munhão, quando em rotação, produz pressões muito altas na película de óleo, não haverá

objetivo em bombear o óleo na região de alta pressão, exceto no caso de se querer assegurar

flutuação do eixo sob carga estática. A pressão com que o óleo é bombeado é muito menor do

que a gerada no mancal.

6.10 - SUPERFÍCIES DOS MANCAIS.

Conclui-se da exposição acima, que superfícies lisas são vantajosas nos mancais. Se as

irregularidades forem pequenas , as superfícies poderam ficar mais próximas uma da outra e o

lubrificante terá sua película mais fina, sem que sejam abandonadas as condições de atrito

fluido. Em conseqüência, quanto mais lisas as superfícies, maior a margem de

segurança.quanto a possível ruptura da película de óleo, pois que um mancal projetado para

trabalha em regime de atrito fluido, virá, certamente, a falhar se operar por largo tempo nas

condições de atrito combinado. O calor gerado pelo atrito excessivo romperá o filme de óleo.

Por esta razão as máquinas novas devem ser “amaciadas” sob baixa carga pois, deste modo,

os pontos altos das superfícies em atrito serão, onde houver ruptura local do filme de óleo,

alisados gradualmente e sem maiores danos. Quanto mais irregulares as superfícies, mais

eficiente será este período de amaciamento.

179

Os mancais comerciais são acabados por alargador, ou ferramenta de brochear. Os

munhões com superfícies apenas usinadas, sem retifica posterior são, comparativamente,

ásperos.

6.11 - INTRODUÇÃO AO PROJETO

Um número de parâmetros podem estar no controle do projetista, mas há um outro

grupo que é dependente do primeiro grupo e pode ser usado para definir os limites

operacionais do mancal. A hipótese 4 acima, em que a viscosidade é constante ao longo do

filme de óleo, não é muito precisa quando a temperatura do óelo eleva-se e passa ao mancal.

Uma vez que a viscosidade é fortemente dependente da temperatura, isto significa que o

projeto de mancal envolve algumas iterações, utilizando tabelas desenvolvidas por A A

Raimondi and J Boyd, 'A Solution for the Finite Journal Bearing and its Application to Analysis

and Design: III', Trans. ASLE 1, 1958, 194-209. Estas tabelas são bastante utilizadas em

soluções computacionais.

As variáveis obtidas ou controladas pelo projetista são viscosidade do lubrificante carga

por unidade de área projetada rotação, N dimensões: r, c, l e beta ( o angulo subtendido pela

parte submetida a carga no mancal).

As seguinte variáveis são consideradas dependentes do primeiro grupo:

Coeficiente de atrito

• Variação da temperatura, ∆t

• Taxa do fluxo de óleo, Q

• Espessura mínima do filme de óleo, ho

Atualmente ainda, muitas tabelas ainda utilizam o sistema inglês para viscosidade em

reyns (normalmente em micro-reyns). Para converter reyns em Pa.s deve-se multiplicar por

6890.

Na ausência de informações específicas, pode se supor que um óleo lubrificante mineral

tenha uma densidade de aproximadamente 850 kg/m3 e calor específico de 1675 J/kgºC.

Para mancais hidrodinâmicos, uma relação comprimento diâmetro de aproximadamente

1 (digamos 0.8 a 1.3) é considerada uma faixa adequada. Relações . l/d menores que

1,podem ser usadas quando um projeto compacto seja importante, tal como em motores

automotivos multicilindros. Uma redução na relação l/d aumenta o fluxo de saida nas

extremidades do mancal, auxiliando resfriamento.

180

A espessura mínima de filme de óleo aceitável depende do acabamento superficial e

deverá permitir que as partículas possam passar sem causarem falhas. Para algumas

aplicações, por exemplo em motores automotivos, filtragem é necessária para e remover as

partículas cujo tamanho poderiam exceder a espessura mínima de óleo. Os seguintes valores

da espessura mínima de ho podem ser sugeridos:

• 0.0000025 m para pequenos mancais de bronze finamente embuchados.

• 0.00002 m para mancais comerciais babit

• 0.0000025 < ho < 0.000005 m para motores automotivos com mancais de fino

acabamento superficial e filtragem no lubrificante.

As máximas temperaturas de óleo não deveriam ser permitidas por serem excessivas

uma vez que a degradação e oxidação aumentam rapidamente. Para propósitos gerais de

maquinário, uma temperatura de operação de 60ºC deveria produzir uma boa e longa vida útil.

Acima 100ºC a taxa de oxidação cresce rapidamente. Temperaturas de 120ºC deveriam ser

evitadas em equipamentos industriais. Nos motores automotivos a temperatura de lubrificantes

podem atingir 180oC, porém óleos automotivos são formulados especificamente (e podem

mesmo ser completamente sintéticos)para resistir tais condições.

A lista abaixo apresenta alguns valores típicos de pressão nominal (carga/comprimento

x diâmetro):

• Motores elétricos, turbinas a vapor, redutores de engrenagem, bombas centrífugas -

aproximadamente 1 MPa

• Motores automotivos- mancais principais 4 - 5 MPa

• Eixos virabrequim 10 - 15 MPa

• Motores Diesel - mancais principais 6 - 12 MPa

• Eixo virabrequim 8 - 15 Mpa

6.12 - LEIS DE NEWTON DE ESCOAMENTO VISCOSO

A tensão de cisalhamento em um fluido é proporcional a taxa de variação da velocidade

com relação 'y', isto é:

dy

du

A

F µτ == (10)

onde µ é a viscosidade dinâmica ou absoluta

Supondo que a taxa de cisalhamento seja constante, tem-se que : du/dy = U/h e

181

h

U

A

F µτ == (11)

Unidades da viscosidade dinâmica ou absoluta é Pa.s ou N.s/m2.

Figura 9 – Lubrificação de um mancal

6.13 - LEI DE PETROFF

Se um eixo de raio, r, gira em um mancal , comprimento l e folga radial c a uma rotação

por segundo N,então a velocidade tangencial será:

rNU π2= [m/s] (12)

A tensão de cisalhamento é o gradiente de velocidade x viscosidade

c

N

h

U πµµτ 2== (13)

O Torque para cisalhar o filme de óleo é definido como força x comprimento do braço

c

Nlrrl

c

rNrAT

µγπππµτ324

))(2(2

))(( =

== (14)

Se uma pequena força, w, é aplicada normal ao eixo do mancal, a pressão em N/m2

será:

p = w/2rl (15)

A força de atrito é igual a fw, onde f é o coeficiente de atrito, então o torque de atrito

será:

T = fwr = (f)(2rlp)(r) = 2r2flp

182

Igualando as duas expressões para o Torque T e resolvendo para f tem-se :

cp

Nf

γµπ 22=

que é a Lei de Petroff ; p

Nµ e

c

γ são grupos adimensionais.

6.14 - HIPÓTESES

• O lubrificante obedece às leis de Newton para fluxo viscoso.

• Efeitos inerciais do lubrificante são desprezados.

• O lubrificante é incompressível.

• A viscosidade do lubrificante é constante através do filme.

• A pressão não varia na direção axial.

• A curvatura do mancal pode ser ignorada.

• Não há fluxo na direção (z) axial.

• A pressão de filme é constante na direção 'y' , e depende da direção 'x'.

• A velocidade da partícula lubrificante depende das coordenadas x e y.

De um diagrama de corpo livre das forças atuando em um pequeno cubo do lubrificante

dy

d

dx

dp τ= (17)

e como:

y

u

∂∂= µτ

então:

2

2

y

u

dx

dp

∂∂= µ

Supondo que não haja vazamento nas extremidades mantendo x constante, a

integração dupla com relação a y, fornece:

( ) yh

Uhyy

dx

dpu −−= 2

2

1

µ (18)

mostrando que a distribuição de velocidade é função de y e do gradiente de pressão , dp/dx. A

distribução de velocidade através do filme é obtida superpondo uma distribuição parabólica (o

183

primeiro termo) em uma distribuição linear (o segundo termo). Quando a pressão for máxima,

dp/dx = 0 e a velocidade será u = - Uy/h.

Seja Q é a quantidade de fluido , na direção x por unidade de tempo:

∫= udyQ (19)

Na prática, estas integrações devem ser modificadas para incluir os efeitos de

vazamento nas extremidades, etc.

6.15 - RELAÇÕES GEOMÉTRICAS EM UM MANCAL COM FOLGA.

A linha que passa através dos centros da superfície de apoio e do munhão é chamada

de linha dos centros (Fig. 10). Notar que sobre esta linha esta situada a menor espessura do

filme de óleo hmin=ho’ desde que o mancal suficientemente grande para incluir o ponto M. Se o

mancal se estender apenas até uma seção x, como é mostrado na figura 10, a espessura

mínima do filme hmin ficará situada na seção x e a espessura em M (no prolongamento do

mancal) será designada por ho. No cálculo dos mancais, é suficiente satisfatório considerar

ho=hmin mesmo que o mancal não atinja a seção M.

À distância O-O’ entre os centros do munhão e do mancal é chamada de excentricidade

e, é:

hochoc

OO r −=−=−2

´ (20)

onde rc é a folga radial.

A relação entre a excentricidade e a folga radial O-O´/(c/2) é denominada razão , taxa ou

fator de excentricidade . Ela é:

2/

2/

2/

´

c

hoc

c

OOe

−=−= (21)

ou

rc

ho

c

hoe −=−= 1

21 (22)

184

Fig.10 – Relações geométricas em um mancal com folga

Assim , vemos que tanto e como a relação ho/ rc definem a razão de excentricidade. O

comprimento do arco de contato, compreendido pelo ângulo β , Fg.10, designaremos por AL .

Arco de contato = AL ββ rD ==2

, (23)

onde β é expresso em radianos e r = D / 2 é o raio do munhão.

O comprimento do mancal, medido em uma direção axial, será chamado de

comprimento e será designado por L.

O ângulo Ǿ, Fig. 5, algumas vezes chamado de ângulo de excentricidade localiza a

posição da menos espessura do filme de lubrificante ho.

As relações geométricas acima, tanto se aplicam aos mancais parciais como aos

completos.

6.16 - GRUPAMENTO DE VARIÁVEIS

Uma vez que o espaço não permite uma discussão da teoria hidrodinâmica,

estabelecida por Reynolds e desenvolvida por outros, poderemos utilizar os princípios da

185

analise dimensional para estabelecer as relações entre certas variáveis interdependentes.

Suponhamos que desejamos estudar a maneira pela qual a relação ho/cr depende das

variáveis µ , n , p , c e D. Admitamos que a forma da função seja

)( a fedb

r

o Dcpnc

h µφ= (24)

em que a, b, d, etc..., são expoentes de valores desconhecidos. A equação (24) deve ter as

mesmas dimensões em ambos os seus membros, para que ela seja matematicamente correta e

fisicamente homogênea. O passo seguinte em uma analise dimensional será substituir em (24)

as dimensões das diversas grandezas. Por exemplo, a unidade de ho/cr é mm por mm ou pol.

por pol, ou seja, a unidade, que significa que ho/cr é adimensional. Representando por F, T e L

respectivamente as dimensões de força, tempo e comprimento, a “dimensão” da viscosidade m

será FT / L² e a equação (24) dará:

( ) fedba

LLL

F

TL

FT)(

11

22

= (25)

Em conseqüência teremos:

=

ea

r

o

D

c

p

n

c

h µ (26)

que é o ponto mais avançado ao qual nos pode levar a análise dimensional. Ela serviu para que

estabelecêssemos um importante grupo de grandeza e que é confirmado por uma analise

teórica mais detalhada. Se nos faltasse esta análise teórica, seria necessária a execução de

numerosas experiências que nos proporcionasse informações posteriores quanto à natureza da

função mostrada na equação (27). Os grupos que aparecem em (27) são adimensionais.

O grupo de grandezas assim formado é denominado número de Sommerfeld S, ou

número característicos do mancal. Isto é:

2

=

c

D

p

nS

µ (27)

onde n, é a velocidade em rotação por segundo.

186

Este grupamento de grandezas é comumente utilizado nos diagramas, algumas vezes

em sua forma adimensional exata.

6.17 - MANCAL IDEAL.

Para a realização de uma analise matemática do problema dos mancais, certas

hipóteses devem ser feitas. Assim, mancal ideal é o que permite essa analise matemática. A

teoria e os diagramas são baseados nas seguintes hipóteses:

(a) As superfícies do munhão e do mancal são cilíndricas retas e lisas. Isto requer

que o munhão não sofra deflexões e que as imperfeições de superfície sejam

anuladas pela existência de um filme de óleo de espessura h0, adequada.

(b) O mancal e infinitamente longo na direção axial. Isto corresponde a dizer que

não há fuga axial do lubrificante. A fuga que realmente ocorre no mancal finito

será considerada no calculo por meio de fatores de correção.

(c) O lubrificante tem viscosidade constante no seu escoamento no mancal.

Realmente, a viscosidade varia acentuadamente com a temperatura e mais

discretamente com a pressão. Entretanto, um valor médio dá resultados

suficientes para o trabalho.

Existem outras hipóteses de menor importância, que já estão incluídas nos diagramas

cuja análise foge ao objetivo deste livro.

A fuga axial de lubrificante, que inevitavelmente ocorre nos mancais finitos, reduz

acentuadamente a capacidade de carga do mancal e faz crescer as perdas por atrito. Como

resultado desta fuga, a pressão no filme de óleo varia no sentido axial, sendo máxima nas

proximidades do centro do mancal e nula nas extremidades. No mancal ideal, em que não há

fuga axial, esta queda de pressão não ocorre. Além disso, a quantidade de óleo em

escoamento e, portanto, a elevação da temperatura do óleo são afetadas pela fuga axial.

187

6.18 - ESPESSURA MÍNIMA PERMISSÍVEL DO FILME DE ÓLE O.

A espessura mínima permissível e segura, h0, do filme de óleo depende da rugosidade

das superfícies e da deflexão do munhão do mancal. O munhão pode girar com segurança com

filme de óleo mais delgado se as superfícies são bem lisas. Ocasionalmente, as condições de

operação são tais que a carga só poderá ser suportada se forem usadas superfícies de

refinado acabamento. Este é o caso em que o calculo determina a rugosidade das superfícies.

Comumente, entretanto, as superfícies comerciais ordinárias podem ser usadas sem

dificuldade. Outro ponto a considerar, é da espessura da película de óleo, que deve ser

suficientemente espessa para permitir a passagem de pequenas partículas de matéria

estranha, sem danos às superfícies. Desalinhamentos ou deflexões excessivas podem

provocar falhas locais do filme de óleo com conseqüente aquecimento excessivo que, se

propagando, causará a falha definitiva. Finalmente, a espessura mínima do filme de óleo deve

ser suficiente para permitir variações imprevistas da carga e da temperatura de operação. Na

base das considerações acima, muitos projetistas preferem calcular com uma espessura de

filme que consideram segura. Mas poucos dados existem quanto a isto. Karelitz sugere h0=

0,0001 pol. (0,00254mm) para pequenas buchas de bronze finamente usinadas e h0 > 0,00075

pol (0,019mm) para mancais comerciais revestidos de babbit. Dennison sugere h0 ≈ 0,0004 a

0,0006 pol. (0,010 a 0,015mm) para mancais de 5 a 10 pol. (127 a 254 mm) de motores diesel

trabalhando de 500 a 1200 r.p.m. Por outro lado, nas maquinas geradoras de potência, de uma

maneira geral, h0 pode variar de 0,001 a 0,005 pol. (0,025 a 0,127 mm). Norton sugere h0 =

0,00025 D como uma regra aproximada, onde D é o diâmetro normal do munhão.

6.19 - CÁLCULO DE MANCAIS PARA REGIME DE ATRITO FLU IDO.

Os diagramas de cálculo, constantes neste capítulo, estão agrupados em páginas

consecutivas, para uma referência Algumas vezes, é necessário fazer tentativas e

aproximações sucessivas.

Enquanto a viscosidade varia com a pressão, especialmente nos gases, trabalhamos

com óleos em que tal variação é pequena. Para o projeto de mancais de deslizamento, o óleo

geralmente usado é o motor para motores, é importante saber como a viscosidade varia com a

temperatura.

188

6.20 - PRINCIPIOS HIDRODINÂMICOS

São muitas as geometrias de mancais que trabalham nos princípios hidrodinâmicos.

Basicamente qualquer mancal que trabalha com um filme de óleo ou fluido é um mancal

hidrodinâmico. O fluido pode ser gás ou líquido. A geometria das superfícies do mancal atuam

de forma a criar fluxo e pressão no fluido. É a pressão do fluido que suporta a carga evitando o

contato metal com metal. A espessura do filme de óleo sob o eixo é fina e as superfícies do

mancal devem ser lisas.Para o projeto de um mancal de deslizamento deve-se assegurar que a

espessura mínima do filme c seja mantida, a excentricidade do eixo e seja aceitável, a

pressão no lubrificante seja possível e a viscosidade do óleo seja aceitável. Para determinar as

condições de operação aceitáveis,muitos testes foram realizados e equações foram

desenvolvidas. As combinações dos resultados levaram ao desenvolvimento de tabelas ou

gráficos de projeto que auxiliam na escolha das dimensões dos mancais, das folgas e das

características do lubrificante para condições de operação particulares.

6.21 - PROCEDIMENTO DE PROJETO

1. Selecione uma relação l/d , 1 é provavelmente um bom ponto de partida.

2. Utilizando uma carga específica e uma pressão nominal adequada, selecione o

comprimento e o diâmetro do mancal.

3. Especifique uma folga radial apropriada, c, provavelmente baseado em ajuste fechado

(H8/f7) ou livre (H9/d9).

4. Decida sobre uma viscosidade inicial. Uma vez que a viscosidade varia

consideravelmente com a temperatura, é necessário normalmente utilizar para o cálculo,

dois valores de viscosidade, um ligeiramente abaixo e outro ligeiramente superior ao

valor final antecipado.

5. Determine o número característico do mancal ou número Sommerfield (S).

6. Obter na tabela, a variável espessura mínina de óleo em função do número

característico do mancal e da relação l/d.

7. Agora se pode calcular a espessura mínima de óleo e verificar se é razoável.

8. Pode-se calcular agora a relação de excentricidade.

9. Se necessário, a posição angular da espessura mínima de óleo pode ser obtida de um

outro gráfico.

189

10. No gráfico “variável coeficiente de atrito" em função do número característico do mancal,

S, e da relação l/d, pode-se ler a variável coeficiente de atrito.

11. Calcule o coeficiente de atrito. Utilizando o raio e a carga atuante, calcule o torque

necessário para vencer o atrito. Utilizando o coeficiente de atrito e a rotação do eixo,

calcule a perda de potência devido ao atrito.C

12. No gráfico, "variável de fluxo" em função do número característico do mancal e da

relação l/d calcule o fluxo total de óleo.

13. No gráfico "relação de fluxo" em função do número característico do mancal e da

relação l/d , calcule o vazamento lateral do lubrificante.

14. Calcule a elevação de temperatura no lubrificante- é comum supor que todo o calor é

levado para fora pelo fluxo de óleo e a temperatura de vazamento do óleo é a média da

temperatura de entrada e saída.

15. No gráfico viscosidade x temperatura, checar a viscosidade do óleo após o aumento de

temperatura pela quantidade calculada anteriormente, e supor uma temperatura de

entrada adequada.

16. Repetir os cálculos acima necessários para checar os resultados com a viscosidade com

a média das temperaturas de entrada e saída.

6.22 - APLICAÇÃO

1. Um mancal hidrodinâmico tem as características abaixo:

• W = 5kN;

• d = 50 mm (diâmetro)

• l = 50 mm (comprimento)

• N = 30 rps;

• SAE20 (óleo lubrificante)

• Temperatura Inicial de 38º C

a) Qual a temperatura média de funcionamento para uma folga de c = 0,050 mm?

b) Qual a folga de projeto para uma temperatura média de funcionamento de 50ºC,

sendo esta 70% da folga ideal? Traçar uma curva e mostrar os valores.

190

DADOS INICIAIS DO PROGRAMA

Carga: 5 kN

Diâmetro: 50 mm

Comprimento: 50 mm

Rotação: 30 rps

Temperatura Inicial: 38º C

Folga: 0,050

Tipo: SAE 20

Relação de l/d: 1

RESULTADOS

Formula Parcial: 3,75µ

Temperatura média de funcionamento: 47,5ºC

FOLGA DE PROJETO

Temperatura média de funcionamento: 50ºC

Porcentagem em relação a folga máxima: 70%

RESULTADOS

Folga Ideal: 0,014168 mm

6.23 - MANCAIS ÓTIMOS.

Um problema de mancais pode apresentar um numero indefinido de soluções.

Entretanto, considerações de ordem pratica, como folga razoável, óleo conveniente e a relação

L / D entre o comprimento e o diâmetro, limitam consideravelmente as possibilidades. Kingsbury

mostrou que, para um certo ângulo de contato β, há um certo valor da excentricidade e que

resulta em uma capacidade máxima de carga e outro valor de e que resulta em um mínimo de

perda por atrito. Os mancais que correspondem a estas situações são denominados mancais

ótimos sendo o de máxima capacidade de carga um tanto diferente do que proporciona um

mínimo de perda por atrito. Com tantas possibilidades a escolher, o calculista deve procurar

obter um mancal ótimo não importando qual deles. Pequenas variações da folga ótima, para

191

mais ou para menos, tem pequeno efeito seja na carga ou no atrito e o projeto final poderá ser

um compromisso entre as folgas comercialmente usadas e os valores ótimos

6.24 - TAXA DE FOLGA.

Permanecendo os outros elementos constantes, um aumento na folga c acarreta um

decréscimo no numero de Sommerfeld e na espessura mínima do filme de óleo. Assim, se a

espessura mínima do filme é o elemento decisivo, um aumento da folga pode reduzir a

capacidade de carga do mancal. Entretanto, a folga maior permite maior fluxo do lubrificante, de

modo que o mancal trabalhará com temperatura mais baixa, uma vez que maior quantidade de

calor é elevada pelo lubrificante.

A folga e a taxa de folga c / D são funções do processo de fabricação. Um valor de c / D

= 0,001 esta bem próximo da média para cargas constantes, porem c / D pode ser menor,

digamos, 0,00075 para cargas variáveis . Tomando por base os materiais dos mancais, os

seguintes valores da relação c / D podem ser tomados como guia : “Babbit” com base de

estanho, 0,0005 ;liga de cádimo e prata 0,0008 ; cobre e chumbo 0,001 ; liga de prata chumbo

e índio 0,001 ; liga de alumínio 0,001. Para mancais pequenos, c / D pode ser pouco maior e

para mancais grandes um pouco menor do que os valores dados acima.

6.25 - RELAÇÃO ENTRE O COMPRIMENTO E O DIÂMETRO.

Quanto maior o comprimento L, para um diâmetro particular D menor a pressão média.

Em um mancal em que puder ocorrer atrito combinado, uma pressão mais baixa será

importante. Entretanto, se o atrito for fluido, o grupo µn / p será o elemento decisivo, com as

ressalvas seguintes:

1º. , se o mancal esta sujeito às partículas ou paradas em regime de plena carga, o

desgaste devido ao contacto de metal com metal não deve ser desprezado;

2º. , a pressão máxima do filme de óleo não deve ser tão grande que deforme ou

provoque fadiga nos metais dos mancais. A analise feita por Needs sugere que, em média, o

valor L / D ≈ 1 equilibra os vários prós e contras. Deve-se ter em mente, também, que se por um

lado, há uma tendência de f crescer à proporção que o mancal se torna mais curto, a fuga axial

também cresce com esse encruamento e, assim, maior quantidade de calor é arrastada pelo

óleo.

192

Onde o espaço é vital, como no caso dos motores de avião e motores em V para a

industria automobilística, é regra a adoção de baixas relações L / D, não sendo incomum o uso

de relações tão baixas como 0,25 a 0,5. Uma certa espessura de filme de óleo que se rompe

em mancais relativamente longos, devido às deflexões do eixo, pode ser bem tolerada por um

mancal mais curto.

6.26 - CONSIDERAÇÕES SOBRE DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕE S EM UM MANCAL E

PERDA DEVIDA AO ATRITO.

Devido à fuga axial a distribuição das pressões na direção axial é aproximadamente

parabólica. Quando a definição devida a Newton para viscosidade, é aplicada a um munhão

concêntrico com seu mancal, a equação resultante e aplicável a mancais levemente carregados

e a mancais que trabalham em altas velocidades, que são os casos em que os mancais são

aproximadamente concêntricos. Tal aplicação serve também para fins estimativos e, em

conjunto com outras considerações, proporciona consideráveis informações de ordem

prática.Com a expressão Uf = Fv, podemos, se necessário, calcular a perda de potência devida

ao atrito. Os mancais são comumente construídos com ranhuras ou rebaixos para a distribuição

do lubrificante, situados em oposição e abrangendo arcos de 30° a 60°, em planos formando,

mais ou menos, um ângulo reto com a direção da carga Estes rebaixos atuam não só como

distribuidores, mas também como pequenos reservatórios de óleo. No que diz respeito a

espessura do filme de óleo e a carga, é aconselhável considerar tais mancais como parciais,

com ângulo β. Entretanto, as perdas por atrito devem ser calculadas como a soma da que

ocorre no arco β com a correspondente ao ângulo θ, não levando em conta as que ocorrem nos

arcos correspondentes as ranhuras de distribuição porque, devido a grande espessura do filme

nessas regiões, são desprezíveis. A perda por atrito na parte não-carregada (correspondente a

θ), pode ser calculada, com suficiente precisão, pela equação de Newton , usando hm como a

espessura média do filme de óleo. Assim:

F = µAv / hm (28)

onde A representa a área do fluido cisalhado. A Geometria do mancal da, para a espessura

média hm:

hm = c/ 2 + 2 / θ (c/2 – h0) cos φ sem θ/2. (29)

Se o ângulo θ situa-se entre 120° e 180°, a espessura média h m pode, sem erro sensível,

ser calculada pela equação:

193

hm = c/2 +0,74 (c/2 - h0) cos φ . (30)

Fig.11 – Relação geométrica devio a perda por atrito

A razão ou fator de excentricidade não pode ser bem prevista pela teoria. Se um

munhão esta girando a alta velocidade, seu centro praticamente coincide com o do mancal

representado por A na Fig.12. Vamos supor que à proporção que a carga cresça, o centro do

munhão mova-se segundo uma trajetória semicircular ABC, cujo diâmetro é a folga radial cr =

c/2. Nesta hipótese, o munhão vai entrar em contato com o mancal em C, se a carga tornar-se

suficientemente grande. Esta suposição aproxima-se bastante das trajetórias determinadas

experimentalmente e é suficientemente exata para os fins que temos em vista.

Fig.12 - A razão ou fator de excentricidade

194

Notando que AB, na Fig. 12, e OO’, na Fig. 11, têm os mesmos comprimentos e que, em

qualquer posição B do centro do munhão a distancia AB é igual a cr – h0 e que o ângulo ABC é

sempre reto, virá:

cos φ = (cr – h0) / cr = 1 – (h0 /cr) = 1 – (2h0/c) = e (31)

equação que permite calcular o valor de φ. Usando o valor de cos φ de (31) na equação (30),

teremos o valor aproximado da espessura média hm na capa:

hm = cr [1 + 0,74 (1 - h0 /cr )2] = cr (1 + 0,74e2). (32)

6.27 - FLUXO DE LUBRIFICANTE ATRAVÉS DE UM MANCAL.

Antes do advento das altas velocidades, encontradas em algumas das maquinas

modernas, a finalidade de um lubrificante era apenas reduzir o atrito. Entretanto, à proporção

que a velocidade de um munhão sob carga, cresce, a quantidade de perdas devidas ao atrito

também cresce e o mancal deve dissipar maior quantidade de calor. A quantidade de calor

gerado pelo atrito cresce, aproximadamente, com o cubo do diâmetro do munhão, enquanto

que o calor naturalmente transmitido por convexão e radiação é, aproximadamente,

proporcional à primeira potência de D. Assim, a proporção que a velocidade do munhão cresce,

com a carga constante, mais e mais quente vai se tornando o mancal. O munhão bombeia mais

óleo, o que tende fazer crescer a espessura do filme, mas o óleo perde viscosidade à proporção

que sobe a temperatura; se o mancal tornar-se demasiadamente quente, o filme de óleo

romper-se-á e o mancal será “queimado” Um método de retirar do mancal o calor excessivo,

devido ao atrito, e esfriá-lo por meios externos, seja ventilando-o, seja fazendo circular água em

serpentinas que o envolvam.

Usa-se muito um sistema de circulação de óleo, cujo principal propósito é obter um bom

fluxo de óleo através do mancal, para arrastar o excesso de calor gerado.

O óleo, normalmente, entra no mancal na região de baixa pressão do mesmo, um pouco

a frente da área que suporta a carga. Algumas vezes é prevista uma saída, um pouco além da

área de carga, pela qual o óleo, livremente, abandona o mancal. Se o óleo entra sob pressão

atmosférica, a ação bombeadora do munhão faz com que ele penetre na área que suporta a

carga. Nos mancais em que não há vedadores nas extremidades ocorre um certo vazamento.

195

Se não existirem saídas especiais, o único caminho para o óleo deixar um mancal completo é

pelas extremidades, principalmente nas extremidades da área de carga, porque o restante do

mancal não está sob pressão.

Admitido como retilíneo o gradiente da velocidade através da espessura do filme, como a

equação (33), a velocidade media do óleo será metade da velocidade periférica do munhão, isto

é, vr/2. Portanto, se o munhão for concêntrico em relação ao mancal (Fig. 220), o fluxo máximo

de óleo no espaço da folga, será o produto da velocidade média vr/2 pela área de escoamento

crL = cL/2, ou seja: q = vr cL/4 = 0,25 vr cL. Contudo, o valor real do fluxo na região sob carga é

menor e depende da relação L/D e da excentricidade do munhão. Assim, de uma maneira geral,

podemos escrever:

,cLvCq rf= (34)

onde q é obtido em galões por minuto (gpm), com vr em ft/min, c em polegadas, L em

polegadas e Cf o coeficiente de escoamento ajustado de modo que o resultado venha em gpm.

O coeficiente Cf é obtido na Fig. 213, onde são apresentados dois conjuntos de curvas. Os

valores de Cf, obtidos das curvas em traço cheio, substituídos na equação (34), dão o fluxo de

óleo na região carregada, quando o óleo é admitido no mancal a uma pressão próxima da

atmosférica. Uma parte deste óleo circula em torno do munhão e o restante abandona o mancal

pelas extremidades, em fuga axial. Esta fuga axial é igual a quantidade que deve ser

continuamente suprida para manter o escoamneto do óleo: corresponde a quantidade de óleo

que deixa o mancal quando nenhuma pressão o força para fora, exceto a gerada no filme de

óleo pela ação hidrodinamica de seu trabalho e quando a única área de escoamento é a da

folga.

6.28 - CALOR LEVADO PELO ÓLEO.

A quantidade de calor levada pelo óleo que circula através de um mancal é obtida a

partir da definição de calor especifico. Um valor, do lado da segurança, para óleos derivados de

petróleo é, aproximadamente, 0,4 Btu/lb = °F.

Então: twQ ∆= )40,0( (Btu/min), (35)

196

onde Q é a quantidade de calor recebida pelo óleo quando passa através do mancal, w, em

lb/min, é a vazão ou fluxo de oleo e ∆t é a elevação da temperatura do oleo.

Para a avaliação que estamos fazendo, podemos usar para os óleos derivados do

petróleo uma densidade de 0,83, que corresponde a um peso especifico de 6,92 lb/galão.

Assim, para q gpm, § 249, temos w = 6,92q lb/min e convertendo para unidades de trabalho,

usualmente adotadas para Uf, achamos:

tqQ ∆= 2150 (lb-ft/min), (36)

onde q é o fluxo de óleo em gpm. Para o óleo alimentado sob pressão, § 260, praticamnete

quase todo o calor gerado é, por ele, arrastado (179). Neste caso, a quantidade necessária de

óleo pode ser estimada igualando Q, da equação (36), para uma certa elevação de

temperatura, a Uf e calculando q. Uma elevação de temperatura inferior a 20°F é prá tica usual

no caso da lubrificação forçada.

6.29 - DISSIPAÇÃO DE CALOR DO MANCAL.

Muitas horas podem ser necessárias para que a temperatura de um mancal se estabilize

em seu valor de operação. Mesmo em condições estáveis, a radiação e a convecção térmica e

um mancal são fenômenos complexos. De uma estimativa da temperatura média do filme do

óleo, fazemos uma estimativa da temperatura na superfície do mancal. Entretanto, nem todas

as partes desta superfície estão a mesma temperatura, e o material adjacente ao mancal

conduz uma certa quantidade de calor, que é, eventualmente, transmitida ao ambiente por

convecção e radiação. Poderemos computar esta condução de calor pela adoção de uma certa

área “efetiva” de transmissão, área esta condensada nas partes metálicas adjacentes ao

mancal; entretanto, restará sempre a questão do valor desta área. De qualquer forma devemos

sempre fazer a estimativa da temperatura de operação em regime estável.

Em geral, a perda de calor pode ser expressa com:

bbcr tAfQ ∆= (37)

197

onde fcr é o coeficiente de transmissão de calor em Fpolftlb °− *min*/ 2 , Ab é a área efetiva

em 2pol através da qual se processa a transferência de calor e bt∆ é a elevação de

temperatura da superfície do mancal acima da temperatura ambiente, em °F.

Uma velha regra ditada pela experiência (166), recomenda que, em ar calmo, uma perda

de 2 FfthrBtu °− */ 2 é um valor aceitável. Em conseqüência:

Fpolftlbf cr °−= *min*/18,0 2 (ar calmo) (38)

Quando o ar está em momento, o valor de crf é bem maior, até mesmo dez vezes maior,

conforme publicações da literatura sobre o assunto. Assim, Karelitz (162) achou:

Fpolftlbf cr °−= *min*/516,0 2 (39)

para uma velocidade do ar de 500ft/min.

Quando o óleo não circula, pode-se tomar, com aproximação aceitável (162, 166) que:

2/0ttb ∆=∆ (40)

onde 0t∆ é a elevação de temperatura do filme de óleo.

Para valor da área efetiva, Norton (166) sugere, aproximadamente:

DLAb 25= (41)

onde L é o comprimento axial do mancal e D o seu diâmetro nominal. Esta expressão para bA é

aplicável quando existem pesadas massas de metal em presença. Se o mancal é de construção

leve ou tanto isolado, a área efetiva pode tornar-se tão baixa quanto 6DL.

As informações acima serão, provavelmente, satisfatórias na estimativa da temperatura

de equilíbrio. Porém, uma discussão resumida das considerações básicas elucidará um pouco

mais a situação. Assim, lembremo-nos que sendo uma parte do calor transmitida por meio de

radiação, a quantidade de calor assim transferida é, de acordo com a lei de Stefan-Boltzmann ,

proporcional à quarta potencia da temperatura. Por considerações diversas, e admitindo que a

temperatura não varie muito, poderemos chegar a:

198

Fpolftlbf r °−= *min*/108,0 2 (42)

para valor da taxa unitária de calor radiado.

Quanto à convecção, não foram determinadas expressões que permitam sua avaliação

nos mancais. A situação pode ser considerada semelhante a de um tubo cilíndrico exposto a

um fluido externo em movimento

( ) 6,0/*24,0/ µρvDkDf c = (43)

onde D é o diâmetro do tubo, k a condutibilidade térmica de seu material, ρ a massa especifica

e µ a viscosidade do fluido externo. Esta equação reduz-se à forma 4,06,0 / DCvf ac = , onde C é

uma função experimental das propriedades do ar, av é a velocidade do ar em ft/min e D é uma

dimensão característica. De alguns poucos resultados experimentais, podemos escolher C =

0,0172 e ter:

4,06,0 /*0172,0 Dvf ac = Fpolftlb °− *min*/ 2 (44)

que dá a taxa unitária de transmissão de calor por convecção, onde av é a velocidade do ar em

ft/min e D o diâmetro nominal do mancal em polegadas.

O coeficiente total de tarnsmissao de calor crf é, então, a soma rccr fff += , cujo valor

é usado na equação (36), como previamente foi explanado. Se a velocidade do escoamento do

ar ao mancal puder ser estimada, o processo acima indicado será preferível. Mancais

localizados próximos a polias, volantes, etc., podem ser admitidos como expostos a uma

velocidade de ar de 60 a 100 ft/min.

Se o problema for o de estimar a temperatura de equilíbrio para um óleo particular, a

solução pode ser obtida por aproximações sucessivas. Um modo de proceder é indicado pelo

roteiro abaixo:

a) Supor uma temperatura do filme de óleo e ∆t0.

b) Para o óleo fixado, determinar a viscosidade, o coeficiente de atrito e as perdas por

atrito Uf.

c) Admitir que a elevação de temperatura do mancal ∆tb seja metade de ∆t0, elevação

de temperatura do óleo, e calcular Q, fluxo com que o calor é dissipado à temperatura

199

fixada. Se Q = Uf a temperatura suposta é a estimada para operação. Se Q e Uf são

diferentes, supor outra temperatura do filme e repetir os cálculos. Depois de efetuadas

duas series de cálculos, interpolações ou extrapolações dos valores fixados

proporcionarão uma base para a terceira tentativa.

6.30 - MATERIAIS USADOS NOS MANCAIS.

As propriedades que devem ser consideradas vantajosas nos materiais que se destinam

à construção de mancais são (164): baixo módulo de elasticidade, o que redundará em

facilidade do material tomar a forma desejada; baixa resistência ao cisalhamento, o que

proporcionará facilidade de ser a superfície alisada; baixa soldabilidade ao aço, o que dificultará

o aparecimento de defeitos ou cortes na superfície; capacidade de absorção de corpos

estranhos ou “incrustabilidade”, permitindo que, pela penetração em sua massa, sejam os

mesmos removidos da película de lubrificante; resistência à compressão e à fadiga; resistência

às temperaturas; resistência à corrosão; boa condutibilidade térmica; coeficiente de expansão

térmica semelhante ao do aço e, como sempre, baixo custo.

Os materiais mais usados são as ligas de cobre e o babbit. Os babbits são de base de

estanho ou de chumbo, dependendo de qual destes metais é o principal constituinte da liga. Em

todas as suas formas os babbits são ligas de baixa resistência, sendo usados em camadas

muito finais [de espessura inferior a 1 mm (0,04 pol.) até 0,05 mm (0,002 pol.)] sobre casquilho

de aço. Devido à sua baixa resistência à fadiga, não são satisfatórios onde a carga é severa e

variável, se bem que os revestimentos muito finos possam manter-se em certos casos. Na

espessura de 0,4 mm (0,016 pol.), a capacidade normal de carga (com atrito fluido) é de

aproximadamente 1 kg/mm2 (1 500 psi).

As ligas de cobre usadas nos mancais são principalmente bronzes que são muito mais

fortes e duros do que o babbit. Uma liga de cobre e chumbo, com 25 a 50% de chumbo, em

uma camada de 0,75 mm (0,03 pol.) de espessura tem boa resistência à fadiga e é usada em

motores de avião. Sua capacidade de carga normal é de 2,1 kg/mm2 (3 000 psi). Bronzes ao

estanho têm uma capacidade normal de carga de 3,5 kg/mm2 (5 000 psi) (173).

Revestimentos de prata, para serviços pesados, são colocados pelo depósito de uma

camada de 0,5 mm (0,02 pol.) a 0,75 mm (0,03 pol.) de prata sobre o aço, seguida de uma

camada de 0,025 mm (0,001 pol.) a 0,075 mm (0,003 pol.) de chumbo; em seguida, cerca de 4

a 5% de índio é depositado eletroliticamente, e termicamente difundido, na camada de chumbo.

200

Um mancal de ferro fundido, suportando munhão de aço, tem se mostrado uma

excelente combinação no ponto de vista de desgaste e atrito no caso do atrito combinado.

Entretanto, o ferro fundido não oferece boa incrustabilidade e outras qualidades de um metal

macio e marca, seriamente, a superfície do munhão no caso de qualquer irregularidade de

funcionamento.

Um mancal que contém seu próprio lubrificante é fabricado mediante elevada

compressão de cobre e estanho (ou chumbo) em pó, que são então sintetizados a uma

temperatura situada entre as de fusão dos dois metais. O resultado é um material que

apresenta no seu volume mais de 35% de porosidade. As porosidades são, então, impregnadas

com óleo que vem à superfície quando o mancal é sujeito a aquecimento ou pressão. Tais

mancais, chamados sinterizados , são muito úteis para serviços leves em pontos de difícil

acesso ou nos casos em que a operação não possa depender de uma adição regular de

lubrificante, como é o caso das máquinas de uso doméstico. Um material sinterizado para

mancais, classificado como SAE Tipo I, à base de bronze , pode ser aplicado em casos em que

pv VII VII 50 000, onde p em psi, é a pressão na área projetada e v a velocidade periférica do

munhão em ft/min. Para a aplicação da expressão acima, podemos considerar as seguintes

pressões máximas: 2 000 psi para v = 2,5 ft/min; 500 psi para v entre 50 e 100 ft/min; 325 psi

para v entre 100 e 150 ft/min e 250 psi para v entre 150 e 200 ft/min.

Mancais autolubricados são também fabricados mediante a inserção de grafita em

rasgos ou furos abertos na superfície, agindo a grafita como lubrificante. Se estes mancais

forem empregados com rotação constante, limitar a pv VII 1 500 com pmax = 40 a 50 psi..

Diversas substâncias plásticas, como nylon e micarta, são usadas como mancais e

podem ser lubrificadas com água ou óleo. Igualmente a madeira é usada no caso de atrito

combinado, especialmente usando água como lubrificante. Os mancais à base de borracha, Fig.

226, trabalham de forma excelente com a água como lubrificante e são usados nas turbinas

hidráulicas, na construção naval, máquinas de dragagem e outras aplicações. A borracha macia

deixa passar a areia ou o saibro sem injuriar a superfície do munhão. Alguns detalhes sobre o

cálculo e projeto de mancais de borracha são apresentados na referência.

Numerosos outros materiais, metálicos ou não, são usados na fabricação de mancais.

Por trata-se de um assunto vasto por si mesmo, sugere-se consulta a outras fontes.

201

6.31 - CONSTRUÇÃO DOS MANCAIS.

Existem tantos tipos de mancais, do ponto de vista de suas construções, que a

discussão e as ilustrações abaixo são meramente indicativas. As buchas para mancais

pequenos são, freqüentemente, feitas em uma só peça, usualmente em latão ou bronze. As

buchas devem ser prensadas em sua sede e, em seguida, acabadas para o diâmetro desejado.

Depois que ocorrer desgaste excessivo, a bucha deve ser substituída. Os mancais feitos em

duas peças podem ser usados com calços que são removidos para compensar o desgaste do

mancal.

É melhor que a linha de ação da carga resultante no mancal seja inclinada de um ângulo

menor que 60º em relação à linha de centro de uma das metades, no caso dos mancais

bipartidos. Em nenhuma hipótese, quando o atrito for fluido, deve a linha de ação da resultante

situar-se no plano de corte do mancal, por causa do efeito destrutivo das descontinuidades na

pressão do óleo. Quando a linha de ação da carga forma um grande ângulo com a vertical,

pode-se usar um mancal com o corte inclinado ou o plano de corte pode ser vertical em vez de

horizontal.

Os mancais de grande porte são freqüentemente, fabricados em mais de duas partes.

Um mancal em quatro partes permite ajustagens, com o propósito de compensar desgastes,

tanto na horizontal, como na vertical.

Mancais para arvores de transmissão podem ser suportados por estruturas fixas às

paredes ou aos vigamentos.

6.32 - MANCAIS DE ESCORA.

As árvores verticais e aquelas em que estão montados parafusos sem-fim, engrenagens

helicoidais, etc., estão sujeitas a forças axiais. Estas forças são suportadas por mancais de

escora é o mostrado na Fig. 236, usado para suportar arvores verticais. O maior desgaste neste

tipo de mancal ocorre no raio externo pois que, nele, a velocidade linear é máxima. Em

conseqüência, a superfície próxima à periferia desgasta-se gradualmente, deixando a parte

central mais alta, o que, eventualmente, produz pressões muito altas nesta parte. Para eliminar,

parcialmente, esta dificuldade, é usado um disco de escora, que é feito com um furo no centro.

Ocasionalmente, são usados diversos discos B, cada um deles girando, então, a uma fração da

velocidade do eixo, o que distribui o desgaste. A pressão admissível para tais mancais pode

variar de 3,5 kg/cm2 (50 psi) a 14 kg/cm2 (200 psi), em correspondência com velocidades

202

lineares periféricas médias de 60 m/min (200 ft/min) a 150 m/min (500 ft/min), as maiores

velocidades correspondendo às menores pressões. Para serviços de condições médias e com

velocidades muito baixas as pressões podem elevar-se até 1 kg/mm2 (1500 psi) ou mais. O

coeficiente de atrito para mancais de escora bem lubrificados algumas vezes é feito igual a

0,015.

Fig 13 -mancal de escora para eixo vertical

O mancal de escora com colares, Fig. 13, é usado quando a carga é demasiadamente

elevada para um tipo simples, acima descrito, ou quando for impraticável a montagem do

mesmo. Em geral, ele é usado para absorver o esforço axial criado, por exemplo, por um órgão

de propulsão (como uma hélice ou um rotor de turbina ou bomba). As pressões admissíveis

para os mancais de colar são um pouco menores do que as permitidas nos mancais simples de

escora. Isto porque a carga não é uniformemente distribuída entre os colares. Se possível, os

colares devem ser colocados próximo ao ponto em que o esforço axial se origina, o que aliviará

o eixo da ação de flambagem. O diâmetro do colar pode ser de 1,4 a 1,8 vezes o diâmetro do

eixo e o coeficiente de atrito pode ser tomado aproximadamente igual a 0,04.

Fig 14.-mancal de escora com colares

203

Fig.15 – Viscosidade absoluta,conforme [67]

204

Fig.16 – Posição da espessura mínima do filme

205

Fig.17 – Razão da vazão,conforme [67]

206

Fig.18 – Razão da vazão,conforme [67]

Fig.19 – Razão da pressão máxima do filme,conforme [67]

207

Fig. 20 – Posição do filme,conforme [67]

208

6.33 - EXERCÍCIO RESOLVIDO

Um mancal hidrodinâmico gira a 1760 rpm, com diâmetro de d = 2 pol, comprimento L = 2 pol, carga de W = 1000 lbf, e óleo lubrificante SAE 20. Sabendo-se que a temperatura inicial é de 100ºF, pede-se: a) Qual a estimativa para a temperatura média de funcionamento para uma folga de c = 0,0020

pol. b) Qual a folga ideal para uma temperatura média de 120°F? Traçar um gráfico de ho x c. c) Para o mancal dado, folga de c = 0,0025 pol e temperatura média de 120°F, qual a potência

perdida? Esta potência aumenta ou diminui de quanto quando a rotação aumenta 50%? d) Quanto que a pressão máxima do mancal dado aumenta, quando a carga aumenta de

100%, c = 0,0025 pol, para a mesma temperatura média de 120ºF? Respostas

N = 33,2960

1760= rps W = 1000 lbf

D = 2 pol → r = 1 pol Óleo SAE 20 L = 2 pol Ti = 100°F

1=D

L

a) c = 0,0020 pol Tm = Ti + 2

T∆

∆T (ºF) Tm (°F) µ (12-11)

S Qs/Q

(12-19) (r/c).f

(12-17) Q/r.c.N.L (12-18) ∆T (°F)

20 110 6,4. 610− 0,18772 0,58 4,25 4,16 37

35 117,5 5,3. 610− 0,1553 0,63 3,8 4,2 34 Tabela 01 – exercício resolvido 01

Para ∆T = 20°F:

P

N

c

rS

..

2

2 µ= 2502.1.2

1000

..2===

Lr

WP lbf/pol2 = psi Tm = 100 + F°=110

2

20 → µ =

6,4. 610−

18772,0250

33,29.10.4,6.

0020,0

1 6

2

2

==−

S

( ) F

LNcr

Q

fc

r

Q

Qs

PT º37

16,4.58,0.5,01

25,4.250.103,0

...

.

.

.5,01

.103,0 =−

=

−

=∆

Para ∆T = 35°F Tm = 100 + F°= 5,1172

35 → µ = 5,3. 610− (12-11)

209

1554,0250

33,29.10.3,5.

0020,0

1 6

2

2

==−

S ( ) FT º342,4.63,0.5,01

8,3.250.103,0 =−

=∆

Assim, para c = 0,0020 pol → Tm = 100 + F°=1172

34

b) Tm = 120°F → µ = 5,0. 610−

2

6

2

62 10.5866,033,29.10.0,5.1

ccS

−−==

c S ho/c ho 0,0050 0,0235 0,12 0,600 310. −

0,0010 0,5866 0,73 0,730 310. −

0,0020 0,2607 0,59 0,885 310. −

0,0025 0,1467 0,44 0,880 310. −

0,0025 0,0939 0,33 0,825 310. −

0,0030 0,0652 0,26 0,780 310. − Tabela 02 – exercício resolvido 01

Gráfico ho x c

00,00020,00040,00060,0008

0,001

0 0,001 0,002 0,003 0,004

c

ho

A folga ideal está entre: 0,0010 < c < 0,0015, pois ↑T: ↓c: ↓ho

c) 55,2.0939,0250

33,29.10.5.

0025,0

133,29

60

17601

6

2

2

11 =

→==→==−

fc

rSrpsN

4,3.1408,0250

44.10.5.

0025,0

144

60

5,1.17602

6

2

2

22 =

→==→==−

fc

rSrpsN

210

0064,055,2.0025,0

111 =→=

ff 0085,04,3.

0025,0

122 =→=

ff

63000

... NrfWHP = HPHP 179,0

63000

1760.1.0064,0.10001 ==

HPHP 237,063000

1760.1.0085,0.10002 ==

Aumento = %4,32179,0

179,0237,0 =−

d) K

PPK

P

Pmáx

máx

=→= ..

Tm = 120°F → µ = 5,0. 610−

W (lbf) P(psi) S P/Pmáx.= K Pmáx.(psi) 1000 250 0,0939 0,39 641 2000 500 0,0469 0,33 1515

Tabela 03 – exercício resolvido 01

Sendo que: P

S33,29.10.0,5

.0025,0

1 6

2

2 −= Pmáx. = P/K

Aumento = %136100.641

6411515 =−

211

CAPÍTULO 07 - MANCAIS DE ROLAMENTOS

7.1 - INTRODUÇÃO

7.2 - DIMENSIONAMENTO

O projeto completo da máquina ou do aparelho já determina, em muitos dos casos, o

diâmetro do furo dos rolamentos. Para uma determinação final das demais dimensões principais

e do tipo construtivo deve, entretanto, ser constatado através de um cálculo de

dimensionamento se as exigências quanto à vida útil, à segurança estática e à economia estão

satisfeitas. Neste cálculo, a solicitação do rolamento é comparada à sua capacidade de carga.

Na tecnologia dos rolamentos há uma diferenciação entre uma solicitação dinâmica e uma

estática.

Na solicitação estática o rolamento não apresenta ou há só um pequeno movimento

relativo (n < 10 rpm). Nestes casos, deve ser verificada a segurança contra deformações

plásticas muito elevadas das pistas e dos corpos rolantes.

A maioria dos rolamentos é solicitada dinamicamente. Nestes, os anéis giram um em

relação ao outro. Com o cálculo do dimensionamento, é controlada a segurança contra uma

fadiga prematura do material das pistas e dos corpos rolantes.

A vida nominal L10 conforme DIN ISO 281 raramente indica a duração realmente

atingível. Construções econômicas exigem, no entanto, que a capacidade de rendimento dos

rolamentos seja aproveitada ao máximo. Quanto mais for este o caso, mais importante é um

correto dimensionamento dos rolamentos.

As capacidades dinâmica e estática mencionadas neste capítulo se aplicam a

rolamentos de aço cromo temperados em estado padrão para temperaturas de serviços usuais

de até 100 °C. A dureza mínima das pistas e dos cor pos rolantes corresponde a 58 HRC.

Sob temperaturas mais elevadas, a dureza do material se reduz e com isto, a

capacidade de carga do rolamento.

7.3 - ROLAMENTOS SOLICITADOS ESTATICAMENTE

Quando se trata de solicitação estática, calcula-se o fator de esforços estáticos fs para

comprovar que o rolamento selecionado possui uma capacidade de carga estática suficiente.

o

os P

Cf =

Onde fs - fator de esforços estáticos

212

C0 - capacidade de carga estática [kN]

P0 - carga estática equivalente [kN]

O fator de esforços estáticos fs é um valor de segurança contra deformações elásticas

elevadas, nos pontos de contato dos corpos rolantes. Para rolamentos que devam ter um giro

particularmente suave e silencioso, deverá ser alcançado um fator elevado de esforços

estáticos. Se as exigências que se referirem à suavidade de giro forem menores, bastarão

fatores fs menores. De um modo geral, devem ser atingidos os seguintes valores:

fs = 1,5...2,5 Para exigências elevadas

fs = 1,0...1,5 Para exigências normais

fs = 0,7...1,0 Para exigências reduzidas.

Os valores correspondentes aos rolamentos axiais auto-compensadores de rolos e aos

de alta precisão estão dados na parte das tabelas.

A capacidade de carga estática C0 [kN] se encontra indicada nas respectivas tabelas dos

rolamentos. Uma carga desta magnitude (nos rolamentos radiais uma carga radial e nos axiais

uma carga axial e central), provoca uma pressão de superfície P0 calculada, no centro do ponto

de contato mais carregado entre os corpos rolantes e a pista de:

• 4600 N/mm² em todos os rolamentos auto-compensadores de esferas

• 4200 N/mm² em todos os outros rolamentos de esferas

• 4000 N/mm² em todos os rolamentos de rolos.

A carga ocasionada por C0 produz, no ponto onde incide a maior carga, uma deformação

plástica total dos corpos rolantes e da pista da ordem de 1 /10000 do diâmetro do corpo rolante.

A carga equivalente P0 [kN] é um valor calculado, ou seja, uma carga radial nos rolamentos

radiais e uma carga axial e central nos rolamentos axiais. P0 ocasiona a mesma solicitação no

ponto central de contato onde incide a maior carga entre os corpos rolantes e a pista como a

solicitação realmente atuante.

ar FYFXP ** 000 += [kN] (1)

Onde P0 - carga estática equivalente [kN]

Fr - carga radial [kN]

Fa - carga axial [kN]

X0 - fator radial

Y0 - fator axial

Os valores para X0 e Y0 bem como indicações para o cálculo da carga estática

equivalente estão mencionados nas tabelas para os diversos tipos de rolamentos ou em seu

preâmbulo.

213

7.4 - ROLAMENTOS SOLICITADOS DINAMICAMENTE

O cálculo normalizado (DIN ISO 281) para os rolamentos dinamicamente solicitados tem

por base a fadiga do material, como causa da falha. A fórmula para o cálculo de vida nominal é:

[ ]rotaçõesP

CLL

P6

10 10

== (2)

Onde L10 - L vida nominal [106 rotações]

C - capacidade dinâmica [kN]

P - carga dinâmica equivalente [kN]

p - expoente de duração da vida

L10 é a vida nominal em milhões de rotações, atingida ou superada por, no mínimo, 90%

de um lote significativo de rolamentos iguais.

A capacidade dinâmica C [kN] conforme DIN/ISO281-1993 consta nas tabelas para cada

rolamento. Uma carga desta magnitude resulta em uma vida nominal L10 de 106 rotações.

A carga dinâmica equivalente P [kN] é um fator calculado, ou seja, uma carga radial

constante em tamanho e direção, em rolamentos radiais ou uma carga axial em rolamentos

axiais. O resultado de P é a mesma duração de vida quanto à carga combinada realmente

atuante.

ar FYFXP ** += [kN]

Sendo P - carga estática equivalente [kN]

Fr - carga radial [kN]

Fa - carga axial [kN]

X - fator radial

Y - fator axial

Os valores para X e Y e também as indicações para calcular a carga dinâmica

equivalente estão indicados nas tabelas dos diversos tipos de rolamentos.

O expoente de duração de vida nominal p é diferenciado para rolamentos de esferas ou

de rolos.

Onde p =3 para rolamentos de esferas

p =10/3 para rolamentos de rolos

Se a rotação do rolamento for constante, a vida nominal pode ser expressa em horas:

60*

10* 6

10 n

LLL hh == [h]

214

Sendo Lh10 = Lh duração de vida nominal [h]

L - vida nominal [106 revoluções]

N - rotação (freqüência de giro) [min-1]

Simplificando-se a fórmula, teremos:

60*

60*31*33*500*

n

LLh =

=nP

CLp

h 31*33

*500

ou P

C

n

L pp h *31*33

500=

Neste contexto significam:

p hL

Lf

500= índice dinâmico

Isto é fL = 1 para uma vida nominal de 500 horas

pn n

f 31*33

= fator de rotação

Ou seja, fn = 1 em uma rotação de 33*1/3 rpm. A equação da vida nominal fica, portanto, com a

forma simplificada:

nL fP

Cf *=

Sendo fL- fator dinâmico

C - capacidade de carga dinâmica [kN]

P - carga dinâmica equivalente [kN]

fn - fator de rotação ou fator dinâmico f

O fator fL a ser alcançado resulta de experiências com aplicações de rolamentos iguais

ou semelhantes, que tenham demonstrado comprovada eficiência na prática. Nas tabelas,

foram compilados os valores fL a serem atingidos para inúmeras aplicações. Estes valores

levam em consideração não somente um período suficientemente longo de funcionamento até a

fadiga, mas também outras exigências como o peso reduzido em construções leves, adaptação

às peças contíguas, picos de carga extrema e outras (veja também outras publicações para

aplicações especiais). Os valores fL são corrigidos de acordo com a evolução tecnológica.

Ao se estabelecer comparações com aplicações comprovadas na prática, deve-se

naturalmente determinar a magnitude do esforço segundo o mesmo método de cálculo. Nas

tabelas estão indicados, além dos valores fL a serem alcançados, também os dados comumente

215

utilizados no cálculo. Nos casos em que se utilizam fatores adicionais, o valor fz se encontra

indicado. Ao invés de se utilizar P, calcula-se com fz × P. Do valor fL obtido, determina-se a vida

nominal Lh.

Com os valores fL e Lh obtém-se os parâmetros para o dimensionamento, somente para

aqueles casos onde a comparação entre os rolamentos testados em campo é possível. Para

uma mais precisa determinação da vida útil, também os efeitos da lubrificação, temperatura e

limpeza devem ser levados em consideração.

7.5 - CARGA E ROTAÇÃO VARIÁVEIS

Se, no decorrer do tempo houver alterações na carga e na rotação de um rolamento

solicitado dinamicamente, este fato deve ser considerado no cálculo da carga equivalente.

Neste caso, aproxima-se a curva do gráfico obtido mediante uma série de cargas isoladas e

rotações com uma duração determinada q %. Neste caso, obtém-se a carga dinâmica

equivalente P, aplicando-se a seguinte fórmula:

3223

2113

1 ...100

..100

.. ++= q

n

nP

q

n

nPP

mm

[kN]

Onde nm

...100

.100

. 22

11 ++= q

nq

nnm [min-1]

Figura 1 – Carga e rotações variáveis

216

Para simplificar, consta o expoente 3 nas fórmulas para rolamentos de esferas e de

rolos. Se a carga for sujeita a alterações, mas a rotação permanecer constante, teremos:

PP =

3 232

131 ...

100.

100. ++= q

Pq

PP [kN]

Se, a uma rotação constante, a carga crescer de forma linear de um valor Pmin para um

valor máximo Pmax, obtém-se:

3

.2 maxmin PPP

+=

Figura 2 – Carga linear no tempo

O cálculo ampliado de vida não deve ser calculado com o valor médio da carga dinâmica

equivalente. O melhor é determinar o valor Lh para cada duração sob condições constantes e,

baseado nestas, obter-se a vida atingível.

7.6 - CARGA MÍNIMA DOS ROLAMENTOS

Sob uma carga muito baixa - por exemplo, em alta rotação em giro de teste pode surgir

deslizamento que, com uma lubrificação deficiente pode provocar danificações. Para uma carga

mínima para rolamentos radiais recomendamos:

Rolamentos P/C

Esferas com gaiola 0,01

Rolos com gaiola 0,02

Sem gaiola 0,04

Tabela 1 – Carga mínima dos rolamentos

Onde P - carga dinâmica equivalente

C - capacidade de carga dinâmica

A carga mínima dos rolamentos axiais está dada no preâmbulo da parte de tabelas. Um

super dimensionamento dos rolamentos pode levar a uma duração da vida menor. Nestes

217

rolamentos existe o perigo de deslizamento e uma solicitação elevada do lubrificante. O

deslizamento pode danificar as superfícies funcionais, por um engraxamento ou pela formação

de micro fissuras. Para um mancal ser econômico e seguro, deve ser aproveitada toda a sua

capacidade de carga. Para isto é necessário que ao projetá-lo, se considere outras grandezas

de influência, além da capacidade de carga, como é o caso do cálculo de vida.

7.6.1 - OBSERVAÇÕES

Os métodos de cálculo e símbolos acima expostos correspondem às indicações DIN ISO

76 e 281. A título de simplificação são utilizados nas fórmulas e tabelas para os rolamentos

radiais e axiais, os símbolos C e C0 para a capacidade de carga dinâmica e estática assim

como P e P0 para a carga dinâmica e estática equivalente. A Norma diferencia:

Cr → fator de carga radial dinâmica

Ca → fator de carga axial dinâmica

C0r → fator de carga radial estática

C0a → fator de carga axial estática

Pr → carga radial dinâmica equivalente

Pa → carga axial dinâmica equivalente

P0r → carga radial estática equivalente

P0a → carga axial estática equivalente

No intuito de simplificar, deixou-se de indicar os índices "r" e "a" junto a "C" e "P", haja

visto não existir, na prática, margem para dúvidas quanto à pertinência dos fatores de carga e

cargas equivalentes para rolamentos radiais ou axiais.

A DIN ISO 281 restringe-se à indicação da duração da vida nominal L10 e à vida

ampliada Lna em 106 rotações. A partir destes dados é possível ser deduzida a duração de vida

nominal em horas Lh e Lhna. Na prática, é costume se tomar por base Lh, Lhna e em especial o

fator dinâmico (fL). Devido a isto foram incluídos neste catálogo, como complementos valiosos,

valores orientativos para fL e fórmulas para Lh e Lhna.

7.6.2 - DURAÇÃO ATINGÍVEL - MODIFICADA DA VIDA

Segundo DIN ISO 281 a duração atingível (modificada) da vida é obtida segundo a

seguinte fórmula:

[ ]revoluçõesLaaaLna6

321 10...=

218

Ou expresso em horas:

[ ]hLaaaL hhna ... 321=

Onde Lna - duração atingível (modificada) da vida [106 rotações]

Lhna - duração atingível da vida [h]

a1 -fator para a probabilidade de falha, a2 - fator para o material, a3 - fator para as

condições em serviço

L - duração da vida nominal [106 rotações]

Lh - a duração da vida nominal [h]

7.6.3 - DURAÇÃO DA VIDA ATINGÍVEL

[ ]revoluçõesLaaLna6

231 10..= e [ ]hLaaL hhna .. 231=

Sendo a1 - fator para a probabilidade de falha

a23 - fator para o material e as condições de serviço

L - duração da vida nominal [106 rotações]

Lh - duração da vida nominal [h]

7.6.4 - FATOR A 23

O fator a23 para a determinação da duração da vida atingível Lna ou Lhna, é obtido da

relação

saa II .2323 =

Sendo a23II - valor básico a23II

s - fator de limpeza

O fator a23 considera as influências do material, tipo construtivo do rolamento,

solicitação, lubrificação e limpeza.

O ponto de partida para a determinação do fator a23. O campo mais importante para a

prática é o campo II do diagrama, que vale para limpeza normal (valor básico de a23 para s = 1).

Com uma limpeza melhor ou pior, será calculado com um fator s > 1 resp. s < 1.

219

Figura 3 - Esquema para a determinação de a23

7.6.5 - RELAÇÃO DE VISCOSIDADE Κ

No eixo de abscissas está indicada a relação de viscosidade κ como medida para a

formação da película lubrificante.

1v

vk =

Onde v - viscosidade em serviço da película lubrificante no contato de rolagem

v1 - viscosidade de referência na dependência do diâmetro e do número de rotações

A viscosidade de referência v1 é determinada através da figura 3, com o auxílio do

diâmetro médio do rolamento (D + d)/2 e do número de rotações em serviço.

A viscosidade em serviço v de um óleo lubrificante é obtida do diagrama V-T com o

auxílio da temperatura em serviço t e da viscosidade (nominal) do óleo a 40 °C. Para graxas,

usa-se para v a viscosidade em serviço do óleo básico. Em rolamentos altamente solicitados e

com grandes parcelas de deslizamento (fs* < 4) a temperatura do rolamento nas áreas de

contato dos corpos rolantes é até 20 K mais alta que a temperatura medida no anel do

220

rolamento parado (sem influência de aquecimento externo). Isto é em parte considerado,

colocando-se a metade do valor da viscosidade ½ obtida do diagrama V-T na fórmula.

1v

vk = .

Viscosidade de referência v1

Figura 4 – Viscosidade v1

221

Diagrama V-T para óleos minerais

Figura 5 – Viscosidade para óleos minerais

7.6.6 - VALOR BÁSICO A 23II

Para poder determinar com mais precisão o valor básico a23II é necessário ter-se o fator

determinante K = K1 + K2.

O valor de K1 pode ser obtido do diagrama acima, na dependência do tipo construtivo do

rolamento e do índice de solicitação fs*. O valor de K2 depende da relação de viscosidade κ e do

índice fs*. Os valores do diagrama (abaixo) valem para lubrificantes não aditivados ou para

lubrificantes com aditivos, cuja eficiência especial não tenham sido testados em rolamentos.

Com K = 0 até 6, a23II se situa em uma das curvas no campo II da figura 8.

Com K > 6, só pode ser esperado um fator a23 no campo III, quando se deverá almejar um valor

de K menor e mediante uma melhora das condições, alcançar o campo II definido.

Se for lubrificado com a quantidade certa e com uma graxa bem adequada, podem ser

selecionados valores K2, como para óleos bem aditivados. A escolha correta da graxa é muito

importante em rolamentos com grandes parcelas de deslizamento e nos de grande porte,

altamente solicitados. Na determinação do valor a23II e, sem um conhecimento preciso da

222

aptidão da graxa, deverá ser aplicado o limite inferior do campo II. Isso vale principalmente

quando não se podem manter os intervalos de lubrificação.

Fator determinante K1, na dependência do índice fs* e do tipo construtivo do rolamento.

Figura 6 – K1 versus fs*

Para

a - Rolamento fixo de esferas

b - Rolamento de rolos cônicos, rolamento de rolos cilíndricos

c - Rolamento auto-compensador de rolos, rolamento axial auto-compensador de rolos 3

rolamento axial de rolos cilíndricos 1, 3

d - Rolamentos de rolos cilíndricos sem gaiola 1, 2

1 - V < 1 só é atingível em combinação com filtragem fina do lubrificante, de outra forma

usar K1 > 6.

2 - Considere na determinação de v: o atrito é no mínimo o dobro do que nos rolamentos

com gaiola. Isto leva a temperaturas mais altas do rolamento.

3 - Considerar a carga mínima

Fator determinante K2, na dependência do índice fs* para lubrificantes não aditivados e

para lubrificantes com aditivos, cuja eficiência especial não tenham sido testados em

rolamentos.

223

Figura 7 – k2 versus fs*

K2 se torna igual a 0 em lubrificantes com aditivos para os quais haja uma comprovação

positiva. Com K≥0,4 o desgaste se propaga no rolamento, se não for impedido por aditivos

apropriados.

Figura 8 – Valor de K em função de a23II e k

224

Campo

I: Transição para a durabilidade permanente

Premissa: máxima limpeza na fresta de lubrificação e cargas não muito elevadas,

lubrificante adequado.

II: Limpeza normal na fresta de lubrificação

Através da utilização de aditivos comprovados em rolamentos, também são possíveis

valores de a23 > 1 com k< 0,4 a23.

III: Condições de lubrificação inadequadas.

Contaminação do lubrificante, Lubrificantes inadequados.

7.6.7 - FATOR DE LIMPEZA S

O fator de limpeza s quantifica a influência da contaminação na duração da vida. Para a

determinação de s, é necessário obter-se a grandeza de contaminação V figura 8.

Para uma limpeza normal (V = 1) sempre vale 1, ou seja a23II = a23.

Em uma limpeza melhorada (V = 0,5) e em uma limpeza máxima (V = 0,3), obtém-se,

partindo do valor fs* e, na dependência da relação de viscosidade, um fator de limpeza de s

≥1.

Com s = 1, vale k ≥0,4. Com V = 2 (lubrificante moderadamente contaminado) e V = 3

(lubrificante fortemente contaminado) se torna s < 1 da área b do diagrama. A diminuição dos

valores de s por altos valores de V atua tanto mais forte quanto menos seja solicitado o

rolamento.

Diagrama para a determinação do fator de limpeza s

Figura 9a e b – Fator de limpeza

225

Figura 9c – Fator de limpeza

Onde a - diagrama para limpeza melhorada (V = 0,5) até máxima (V = 0,3)

b - diagrama para lubrificante moderadamente contaminado (V = 2) e lubrificante

altamente contaminado (V = 3)

Um fator de limpeza s > 1 só é atingível em rolamentos sem gaiola, quanto ficar excluído

qualquer desgaste no contato rolo/rolo, através de um lubrificante altamente viscoso e com

máxima limpeza (pureza do óleo de no mínimo 11/7 segundo ISO 4407).

7.6.8 - GRANDEZA DETERMINANTE V PARA A AVALIAÇÃO DA LIMPEZA

A grandeza determinante V depende do corte transversal do rolamento, do tipo de

contato no contato rolante e do grau de pureza do óleo. Se, na área de contato mais solicitada

de um rolamento, forem sobre roladas partículas duras a partir de um determinado tamanho, as

impressões deixadas nas áreas de contato de rolagem levam a uma fadiga prematura do

material. Quanto menor for a área de contato tanto mais nociva é a ação de um determinado

tamanho de partículas. Portanto, os rolamentos pequenos reagem com mais sensibilidade com

o mesmo grau de contaminação que os maiores e os rolamentos com contato fixo (rolamentos

de esferas) com mais sensibilidade do que os de contato linear (rolamentos de rolos).

A classe de pureza do óleo necessária conforme ISO 4406 é uma grandeza mensurável

para o grau de contaminação de um lubrificante. Para a sua determinação, é usado o método

padronizado para a contagem de partículas. Neste, a quantidade de todas as partículas > 5 µm

e de todas as partículas > 15 µm são classificadas em determinadas classes de pureza de óleo

ISO, desta forma, um grau de pureza 15/12 conforme ISO 4406 significa que, em 100 ml de

líquido se encontram entre 16000 e 32000 partículas > 5 µm e entre 2000 e 4000 partículas >

15 µm. A diferença entre uma classe e outra reside no dobro, da metade da quantidade das

partículas.

226

Especialmente as partículas com uma dureza > 50 HRC agem como redutoras da

duração da vida nos rolamentos. Estas partículas são de aço temperado, areia e resíduos de

material de abrasão. Principalmente os últimos são extremamente danosos. Se, como em

muitos casos de aplicação técnica, a maior parcela dos materiais estranhos contidos nas

amostras de óleo estiver localizada na faixa de redução da duração da vida, a classe de pureza

obtida com a contagem de partículas, pode ser comparada diretamente com os valores contidos

na tabela. Se, entretanto, no exame do resíduo do filtro, for verificado que se trata quase que,

p.ex., exclusivamente de contaminação mineral como areia de fundição ou grãos de material de

abrasão especialmente redutores da duração da vida, os valores de medição deverão ser

elevados em uma até duas classes de pureza, antes de determinar a grandeza de

contaminação V. Ao contrário, se for comprovado que a maioria é de partículas macias, como

madeira, fibras ou tinta no lubrificante, o valor de medição da contagem de partículas pode ser

correspondentemente reduzido.

Para atingir a pureza do óleo exigida, deverá haver uma determinada taxa de resíduo no

filtro. Esta é uma medida para a capacidade de separação do filtro em partículas de tamanho

definido. A taxa de resíduo no filtro ßx é a relação entre todas as partículas > x µm antes do

filtro com as partículas > x µm depois do filtro. Abaixo se encontra uma representação

esquemática.

Uma taxa de resíduo no filtro ß3 ≥200, significa, p.ex. que no teste "multi-pass" (ISO

4572) de 200 partículas 3 µm, só uma única consegue passar pelo filtro.

Com o uso de um filtro com uma determinada taxa de resíduo não se pode concluir

automaticamente pela classe de pureza do óleo.

227

7.6.9 - VALORES PARA A GRANDEZA DETERMINANTE DE CON TAMINAÇÃO V

(D-d) / 2

Mm

V Contato Pontual classe de

pureza de óleo conforme

ISSO 44061

Valores orientativos para a

taxa de resíduo no filtro

conforme ISO 4572

0,3 11/8 β3 ≥ 200

0,5 12/9 β3 ≥ 200

1 14/11 β6 ≥ 75

2 15/12 β6 ≥ 75

≤12,5

3 16/13 β12 ≥ 200

0,3 12/9 β3 ≥ 75

0,5 13/10 β3 ≥ 75

1 15/12 β6 ≥ 75

2 16/13 β12 ≥ 75

> 12,5 ... 20

3 18/14 β25 ≥ 75

0,3 13/10 β3 ≥ 75

0,5 14/11 β6 ≥ 75

1 16/13 β12 ≥ 75

2 17/14 β25 ≥ 75

> 20 ... 35

3 19/15 β25 ≥ 75

0,3 14/11 β6 ≥ 75

0,5 15/12 β6 ≥ 75

1 17/14 β12 ≥ 75

2 18/15 β25 ≥ 75

> 35

3 20/16 β25 ≥ 75

Só devem ser consideradas partículas cuja dureza seja > 50HRC

Tabela 2 – Contaminação V

A classe de pureza do óleo como medida para a probabilidade de sobre rolagem de

partículas redutoras da duração da vida nos rolamentos pode ser determinada por amostras

p.ex. por fabricantes de filtros e institutos. Deverá ser observada uma coleta apropriada de

amostras (vide p.ex. DIN 51170). Também aparelhos de medição "on-line" se encontram hoje

em dia à disposição. As classes de pureza são atingidas quando a quantidade total do óleo em

circulação passar uma vez pelo filtro em poucos minutos. Para garantir uma boa limpeza dos

228

mancais, é necessário um processo de enxágüe antes da colocação em funcionamento dos

mesmos.

Uma taxa de resíduo ß3 ≥200 (ISO 4572) significa, p.ex. que no assim chamado teste

"multi-pass", de 200 partículas ≥3 µm só uma passa pelo filtro. Filtros maiores que ß25 ≥75 não

deverão ser usados, pelas conseqüências negativas para os demais agregados também

instalados no circuito do óleo. Lubrificação com graxa

A lubrificação com graxa é aplicada em 90% de todos os rolamentos, pois apresenta as

seguintes vantagens:

• Reduzido custo construtivo

• Bom apoio das vedações, proporcionado pela graxa

• Alta durabilidade com uma baixa manutenção

Sob condições ambientais e de serviço normais, muitas vezes é possível uma

lubrificação para a vida.

Deve ser prevista uma lubrificação a intervalos regulares, quando houver alta solicitação

(rotação, temperatura, carga). Para tanto, devem ser previstos canais para suprir e drenar a

graxa e um depósito para a graxa envelhecida e, quando os intervalos forem curtos,

eventualmente uma bomba e um regulador da graxa. Coeficiente de pressão-viscosidade α

como função da viscosidade cinemática v, válido para a faixa de pressão de 0 a 2000 bar

Figura 10 - Coeficiente de pressão-viscosidade versus viscosidade

Onde a-b - Óleos minerais; e – Diéster; g - Éster triarilfosfato; h - Flúor carbono; i - Poliglicol

k,l - Silicone

229

Figura 11 – Dependência da densidade dos óleos minerais em função da temperatura.

7.6.10 - LUBRIFICAÇÃO COM ÓLEO

Um método de lubrificação com óleo se oferece quando as peças adjacentes da

máquina já são supridas com óleo. A dissipação do calor é necessária quando houver altas

cargas, altas rotações ou um aquecimento do mancal devido a influências externas.

Na lubrificação com quantidades pequenas (lubrificação por quantidades mínimas), seja

por gotejamento, névoa ou por ar-óleo, o atrito por "chapisco" e, com isto, os atritos no

rolamento são mantidos bem reduzidos.

Na utilização do ar como meio de transporte, é obtido um suprimento dirigido e um fluxo

auxiliar a vedação.

Uma lubrificação por injeção de óleo em maiores quantidades possibilita um suprimento

correto em todos os pontos de contato dos rolamentos de alta velocidade, proporcionando uma

boa refrigeração.

230

7.7 - PROCESSO DE SELEÇÃO DE ROLAMENTOS

Inicialmente, devemos ter as seguintes informações:

• Desempenho e condições requeridas ao rolamento

• Condições de operação e meio

• Dimensão do espaço para o rolamento

• Avaliação do tipo de Rolamento.

• Espaço permissível para o rolamento.

Devemos verificar neste item, quais os rolamentos disponíveis que se enquadram nas

dimensões requeridas pelo projeto.

INTENSIDADE E DIREÇÃO DA CARGA

Ao selecionar o rolamento, verificar a direção da carga (radial ou axial) e a sua

intensidade.

Tipo de Rolamento Capacidade de carga Capacidade de carga axial

1 2 3 4 1 2 3 4

Fixo de uma carreira de esferas

Contato angular

Rolos cilíndricos

Rolos cônicos

Auto compensadores de rolos

Tabela 3 – Capacidade de carga de cada rolamento

VELOCIDADE DE ROTAÇÃO E LIMITE DE ROTAÇÃO

A rotação máxima permissível varia em função do tipo de rolamento, da dimensão, do

tipo e material da gaiola, carga e método de lubrificação.

DESALINHAMENTO DOS ANÉIS INTERNO E EXTERNO

O desalinhamento entre o anel interno e externo ocorre em casos como o da flexão do

eixo em função da carga, da imprecisão do eixo e alojamento ou da deficiência na instalação.

Quando temos grandes desalinhamentos, devem-se selecionar rolamentos com a capacidade

de auto-alinhamento como os rolamentos auto compensadores.

231

FIXAÇÃO NA DIREÇÃO AXIAL E DISPOSIÇÃO

Em uma disposição de rolamentos, uma das peças é determinada como lado fixo e é

usada para fixar o eixo posicionando axialmente o rolamento. Neste lado fixo, deve ser

selecionado o tipo de rolamento que suporte a carga radial juntamente com a carga axial. Na

outra posição, o rolamento é denominado lado livre, suportando somente a carga radial e

devem permitir o deslocamento do eixo devido à dilatação ou contração pela variação de

temperatura. A não observância desta norma poderá acarretar em uma carga axial anormal no

rolamento, podendo ser a causa de uma falha prematura.

DIFICULDADE NA INSTALAÇÃO E REMOÇÃO

Os rolamentos de rolos cilíndricos que têm os anéis internos ou externos separáveis, de

agulha ou de rolamentos cônicos, apresentam maior facilidade de instalação e remoção,

facilitando a manutenção em equipamentos que requerem uma inspeção periódica. Rolamentos

com furos cônicos também são fáceis de instalar, pois podem ser instalados com a utilização de

buchas.

RUÍDO E TORQUE

Os rolamentos fixos de esferas são os mais adequados para as máquinas que requerem baixo

ruído e baixo torque, como nos motores elétricos e instrumentos de medição.

RIGIDEZ

Ao aplicar uma carga no rolamento, ocorre uma deformação elástica nas áreas de

contato entre os corpos rolantes e a pista. A rigidez do rolamento é determinada em função

proporcional da carga no rolamento e a intensidade da deformação elástica no anel interno, no

anel externo e no corpo rolante. Os rolamentos de contato angular de esferas e os rolamentos

de rolamentos cônicos são os mais apropriados para casos onde devemos ter o aumento da

rigidez pelo método de pré-carregamento, como em fusos de máquinas-ferramenta.

DISPONIBILIDADE E CUSTO

Há diferenças significativas de custo de acordo com o tipo e tamanho de rolamento

utilizado. Além disso, há a dificuldade de se obter determinados tipos de rolamentos. Diante

disso, recomendamos que na medida do possível, na seleção dos rolamentos, não se optem

por rolamentos de custo inacessível ou de difícil localização para compra.

232

DIMENSÕES PRINCIPAIS - SISTEMAS DE DENOMINAÇÃO

Os rolamentos são elementos de máquinas utilizáveis universalmente, prontos para a

montagem, devido ao fato de suas dimensões principais usuais serem normalizadas.

As normas ISO correspondentes a cada tipo de rolamento são: a ISO 15 para os radiais

(exceto os de rolos cônicos), a ISO 355 para os rolamentos de rolos cônicos em dimensões

métricas e a ISO 104 para os rolamentos axiais. Os planos dimensionais das normas ISO foram

absorvidas na DIN 616 e DIN ISO 355 (rolamentos de rolos cônicos com dimensões métricas).

Nos planos de medidas da norma DIN 616, vários diâmetros externos e larguras são

alocados a cada furo de rolamento. As séries usuais de diâmetro são 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4 (nesta

ordem, com diâmetros crescentes). Em cada série de diâmetros há diversas séries de largura

como, p.ex. 0, 1, 2, 3, 4 (correspondendo uma largura maior a cada número crescente).

No número de dois algarismos para a série de medidas, o primeiro corresponde à série

de largura (nos rolamentos axiais à altura) e o segundo indica a série de diâmetro .

No plano de medidas para os rolamentos de rolos cônicos com dimensões métricas segundo

DIN ISO 355, um dos algarismos (2, 3, 4, 5, 6) indica a faixa do ângulo de contato. Quanto

maior o algarismo, tanto maior o ângulo de contato. As séries de diâmetros e de larguras são

identificadas por duas letras.

Em casos de divergências com relação ao plano de medidas, como nos rolamentos

integrais das séries 2344 e 2347, esta característica é informada nos textos preliminares às

tabelas de medidas.

Exemplos para a identificação da série do rolamento e do diâmetro do furo na

designação básica, segundo DIN 623.

233

Figura 12 a– Denominação dos rolamentos

7.8 - TIPOS DE ROLAMENTOS

Os rolamentos são classificados de acordo com o tipo de carga que irão suportar, carga

radial ou axial.

7.8.1 - ROLAMENTOS RÍGIDOS DE ESFERAS - ROLAMENTOS FAG FIXOS DE ESFERA

Os rolamentos fixos de esferas de uma carreira suportam cargas radiais e axiais e são

adequados para rotações elevadas. Os rolamentos fixos de esferas não são separáveis. A

adaptabilidade angular é relativamente reduzida. Os rolamentos fixos de esferas vedados são

livres de manutenção e possibilitam construções simples.

CARGA DINÂMICA EQUIVALENTE

Com uma carga axial mais elevada, o ângulo de contato aumenta nos rolamentos fixos

de esferas. Os valores X e Y dependem da relação f0 · Fa/C0, tabela 4. O fator f0 está dado em

forma de tabela. C0 é a capacidade de carga estática. Se um rolamento fixo de esferas for

montado com um ajuste normal, isto significa uma usinagem do eixo conforme j5 ou k5 e a caixa

segundo J6, valerão os valores da tabela 4.

234

X Y X Y

0,3 0,22 1 0 0,56 2

0,5 0,24 1 0 0,56 1,8

0,9 0,28 1 0 0,56 1,58

1,6 0,32 1 0 0,56 1,4

3 0,36 1 0 0,56 1,2

6 0,43 1 0 0,56 1

Tabela 4 – Carga dinâmica equivalente

Fatores radial e axial dos rolamentos fixos de esferas são relacionados por:

Folga normal

rFP =0 [kN] para 8,0≤r

a

F

F

ar FFP .5,0.6,00 += [kN] para 8,0>r

a

F

F

MEDIDAS DE MONTAGEM

Os anéis dos rolamentos só podem encostar-se aos rebordos do eixo e da caixa e não

no rebaixo. O maior raio rg da peça contrária rsmin tem que ser, portanto, menor que a menor

dimensão de canto rsmin (do rolamento).

A altura do rebordo da peça contrária deverá ser de tal forma que, mesmo com a maior

dimensão de canto, ainda permaneça uma superfície de apoio com uma largura suficiente (DIN

5418).

Nas tabelas dos rolamentos estão indicadas as medidas máximas do raio rg e o

diâmetro dos encostos. No preâmbulo do capítulo respectivo constam eventuais peculiaridades,

como p.ex. nos rolamentos de rolos cilíndricos, nos de rolos cônicos e nos axiais.

235

MEDIDAS DE MONTAGEM CONFORME DIN 5418

Figura 13 - Montagens de anéis de rolamento

Por serem de construção simples, inseparáveis, adequados para operar em altas

rotações, não exigirem muita manutenção e apresentarem um preço favorável, são os

rolamentos mais usuais. Apresentam um grande número de tamanhos e construções.

As pistas profundas e a conformidade próxima entre as ranhuras das pistas e as esferas

permite suportar cargas axiais relativamente pesadas em ambos os sentidos, além de cargas

radiais.

7.8.2 - ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR

Rolamentos FAG de contato angular de esferas de duas carreiras.

Figura 14 – Rolamentos rígidos de esferas de uma carreira (1)

e duas carreiras (2) com placas de vedação com anel interno largo.

236

A pista do anel externo é esférica e o centro do raio é coincidente ao centro do

rolamento. Desta forma, o anel interno e a gaiola com as esferas giram livremente ao redor do

centro do rolamento, permitindo com isto a correção de erros de alinhamento.

Os rolamentos de contato angular de esferas de duas carreiras das séries 32B e 33B

não têm ranhuras de enchimento, motivo pelo qual admitem cargas axiais em ambos os

sentidos. Além dos rolamentos abertos, há ainda execuções básicas com blindagens (.2ZR) ou

com anéis de vedação (.2RSR) em ambos os lados Os rolamentos que sejam fornecidos na

execução básica vedada, podem também por razões técnicas de fabricação, ter no rolamento

aberto, as ranhuras para os anéis de vedação ou os discos de blindagem. Os rolamentos de

contato angular de esferas de duas carreiras têm, de um lado, ranhuras de enchimento; os

rolamentos devem ser montados de maneira que a solicitação principal seja admitida pelas

pistas de rolagem, que não tenham qualquer ranhura de enchimento. Os rolamentos de contato

angular de esferas 33DA, com o anel interno bipartido, por seu elevado ângulo de contato de

45°, são adequados para admitir cargas axiais espec ialmente altas em sentidos alternados.

Figura 15 - Rolamentos de contato angular de esferas

As fórmulas para a capacidade de carga equivalente dependem do ângulo de contato

dos rolamentos.

CARGA DINÂMICA EQUIVALENTE

Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de

contato α de 25 °

ar FFP .92,0+= [kN] para 68,0≤r

a

F

F

237

ar FFP .41,1.67,0 += [kN] para 68,0>r

a

F

F

Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de

contato α de 35°

ar FFP .66,0+= [kN] para 95,0≤r

a

F

F

ar FFP .07,1.6,0 += [kN] para 95,0>r

a

F

F

Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de

contato α de 45°

ar FFP .47,0+= [kN] para 33,1≤r

a

F

F

ar FFP .81,0.54,0 += [kN] para 33,1>r

a

F

F

CAPACIDADE DE CARGA ESTÁTICA

O fator radial é 1; os fatores axiais dependem do ângulo de contato. Rolamentos de

contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de contato α de 25 °

ar FFP .76,00 += [kN]

Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de

contato α de 35 °

ar FFP .58,00 += [kN]

Rolamentos de contato angular de esferas, das séries 32B e 33B com um ângulo de

contato α de 45 °

ar FFP .44,00 += [kN]

Os rolamento para fusos são uma execução especial de rolamentos de contato angular

de esferas de uma carreira, na qual o ângulo de contato, as tolerâncias e a execução da gaiola

são diferentes. Os rolamentos para fusos são especialmente adequados para mancais dos

quais são exigidas uma altíssima precisão de guia e uma aptidão para altas rotações. Eles tem

tido a melhor comprovação na utilização em fusos de máquinas-ferramenta. A FAG, já há

diversos anos, fornece os rolamentos para fusos das séries B719, B70 e B72 com esferas de

238

aço. Os rolamentos híbridos de cerâmica das séries HCB719, HCB70 e HCB72 têm as esferas

do mesmo tamanho, porém de cerâmica. Os rolamentos para fusos de alta velocidade das

séries HS719 e HS70 como também os rolamentos híbridos de cerâmica das séries HC719 e

HC70 têm esferas menores de aço ou de cerâmica. Estes rolamentos se destacam pela aptidão

para uma rotação mais elevada, atrito e geração de calor mais reduzido, menos necessidade de

lubrificante e com isto uma duração de vida mais alta. Com os rolamentos para fusos de alta

velocidade HSS719 e HSS70, como com os rolamentos híbridos de cerâmica HCS719 e

HCS70, obtém-se soluções extremamente econômicas. Estes rolamentos têm anéis de

vedação de ambos os lados. São lubrificados com graxa para a vida e livres de manutenção. Os

rolamentos para fusos da execução universal são para a montagem em pares na disposição em

X, O ou Tandem ou para a montagem em grupos em qualquer das disposições. Os pares de

rolamentos da execução universal UL têm, antes de montados, uma leve pré-carga nas

disposições em X ou em O. Nos ajustes interferentes a précarga do par de rolamentos aumenta

(para as tolerâncias de usinagem dos assentamentos, vide a publicação FAG n° AC 41130). Ao

pedir os rolamentos na execução universal deverá ser mencionado a quantidade de rolamentos

e não a de pares ou de pos.

Os rolamentos de esferas de contato angular possuem as pistas dos anéis internos e

externos deslocadas entre si no sentido do eixo do rolamento. Isto significa que são

particularmente adequados para suportar cargas combinadas, isto é, cargas radiais e axiais

atuando simultaneamente.

ROLAMENTOS DE ESFERAS DE CONTATO ANGULAR DE UMA CAR REIRA (5)

A capacidade de carga axial dos rolamentos de esferas de contato angular aumenta

quando se aumenta o ângulo de contato α. Este é definido como sendo o ângulo entre a linha

que une os pontos de contato da esfera e as pistas no plano radial, ao longo do qual a carga é

transmitida de uma pista para a outra (a linha de carga) e uma linha perpendicular ao eixo do

rolamento.

239

Figura 16 – Ângulo de contato em rolamentos esféricos

A esferas e os anéis interno e externo formam ângulos que podem variar de 15°, 25°,

30° ou 40°. Quanto maior o ângulo de contato, maior será a capacidade de carga axial, e

quanto menor o ângulo de contato melhor será para altas rotações.

7.8.3 - ROLAMENTOS DE AGULHAS

Os rolamentos de agulhas são rolamentos de rolos com rolos cilíndricos que são muito

finos e compridos com respeito ao seu diâmetro. A ISO usa a definição que o comprimento do

rolo é de 2,5 vezes ou mais o diâmetro do rolo. Usa se, em referência a eles, o termo rolos de

agulha. Apesar da sua pequena seção transversal esses rolamentos têm elevada capacidade

de carga e são, portanto extremamente apropriados para arranjos de rolamentos onde o espaço

radial estiver limitado.

Figura 17 – Rolamentos de agulhas

7.8.4 - ROLAMENTOS DE ROLOS CÔNICOS

Os rolamentos de rolos cônicos são projetados de forma que o vértice dos cones

formados pelas pistas do anel interno e externo, e pelos rolos, coincidam em um ponto na linha

de centro do rolamento. Quando se aplica uma carga radial, dá-se origem a uma componente

de carga axial. É necessário usar dois rolamentos em oposição, em alguma combinação ou de

duas carreiras. São usados para cargas combinadas, ou seja, carga radial e axial.

240

O ângulo de contato α determina a capacidade de carga axial do rolamento. Quanto

maior o ângulo, maior a capacidade de carga axial.

• ângulo intermediário: C = 20°;

• ângulo grande: D = 28°;

• ângulo normal: sem sufixo = 17°.

Figura 18 – Rolamentos de rolos cônicos de uma carreira de (25)

em pares de quatro carreiras (27) rolos cônicos cruzados.

7.8.5 - ROLAMENTOS AXIAIS

Podem suportar somente cargas axiais. As cargas radiais não podem ser aplicadas,

devido à sua construção.

ROLAMENTOS AXIAIS DE ROLOS CILÍNDRICOS

Os rolamentos axiais de rolos cilíndricos podem suportar cargas axiais pesadas, são

insensíveis a cargas de choque e possibilitam arranjos de rolamentos rígidos que necessitam

de pouco espaço axial. Os rolamentos das séries 811 e 812 são utilizados principalmente

quando a capacidade de carga dos rolamentos axiais de esferas é insuficiente.

Os rolamentos axiais de rolos cilíndricos são rolamentos de sentido único, suportando somente

cargas axiais atuando em um sentido. Seu formato e desenho são simples, sendo fabricados

em construções de uma carreira e de duas carreiras.

A superfície cilíndrica dos rolos alivia ligeiramente em direção às extremidades. A linha de

contato modificada assim produzida assegura que não haverá tensões prejudiciais sobre as

extremidades. Os rolamentos são de construção separável; os componentes individuais podem

ser montados separadamente.

241

ROLAMENTOS AXIAIS DE AGULHAS

Os rolamentos axiais de agulhas podem suportar cargas axiais elevadas, são

insensíveis as cargas de choque e proporcionam arranjos rígidos que necessitam de espaço

axial reduzido. São rolamentos de escora simples, suportando somente cargas axiais em um

sentido. Para aplicações em que os componentes associados são inadequados para serem

utilizados como pista, os conjuntos também podem ser combinados com anéis de diferentes

construções.

7.9 – EXEMPLO RESOLVIDOS

1. Selecionar um rolamento para motor elétrico, com as seguintes características:

• Diâmetro do eixo, entre 50 ~ 70mm;

• Diâmetro do alojamento, entre 80 ~130mm; • Força Radial = 1000 kgf;

• Força Axial = 200 kgf;

• Temperatura de Trabalho = 80° C;

• Local com pequena concentração de impurezas;

• Rotação = 3600 rpm;

• Vida mínima exigida de 10.000 horas.

Para o nosso exemplo poderemos definir o tipo de rolamento mais adequado para a

aplicação requerida.

Espaço permissível para o rolamento.

Diâmetro Interno = 50 ~70 mm: poderemos utilizar qualquer rolamentos entre XX10

~XX14;

Diâmetro Externo = 80 ~ 130mm: qualquer rolamento entre XX10 ~ XX14, exceto X313

(D = 140mm) e X314 (D = 150mm).

Largura = Neste exemplo, não foi especificada a largura permitida.

Intensidade e direção da carga.

No exemplo dado, vamos comparar a capacidade de carga dos rolamentos 6310, 21310,

NU310 e 7310B:

Rolamento Cr (kgf) Cor (kgf)

6310 6.300 3.900

21310 12.100 13.000

7310B 6.950 4.900

NU310 8.850 8.800

Número

242

Tabela 5a – Exercício resolvido 1

Todos os rolamentos acima atenderiam a exigência do projeto quanto à capacidade de

carga.

Velocidade de rotação.

Vamos comparar o limite de rotação dos rolamentos 6310, 21310, NU310 e 7310B:

Rolamento Cr (kgf) Cor (kgf)

6310 6.000 7.500

21310 2.800 3.800

7310B 5.000 6.700

NU310 5.600 6.700

Tabela 5b – Exercício resolvido 1

Neste caso, o rolamento 21310 não atende às exigências de rotação do equipamento.

Desalinhamento

Não exigido para o exemplo dado.

Fixação na direção axial

Definir se é livre ou lado fixo.

Dificuldade na instalação e remoção

Verificar as dimensões dos encostos nas tabelas de dimensões dos rolamentos.

Ruído

Os rolamentos de esferas são os mais adequados quando o nível de ruído é importante.

Rigidez

Os rolamentos de contato angular são os mais indicados, no entanto, esta exigência não

é requerida para esta aplicação.

Disponibilidade e custo.

Tabela comparativa de custos entre rolamentos de tipos diferentes com o mesmo

dimensional.

Rolamento 6310 22310 30310 NU2310 7310B

Custo (unidade:x) 1,00 2,60 1,80 2,80 1,90

Tabela 5c – Exercício resolvido 1

Pelos custos simbólicos da tabela acima, verificamos que os rolamentos fixo de uma

carreira de esferas têm um custo menor (para rolamentos de mesmo tamanho), além

disso, são mais fáceis de serem adquiridos.

243

Diante do exposto acima, o rolamento fixo de uma carreira de esferas é o mais indicado

e atende às exigências: das dimensões requeridas, da rotação, da carga radial e axial e

aos requisitos da aplicação.

Além disso, tem o menor custo comparado aos outros tipos de rolamentos com o mesmo

tamanho e a vantagem da fácil localização para compra.

Resultado do Exemplo:

Definição do Tipo Especificação do Tipo

Rolamento Fixo de uma Carreira de Esferas 6310

Tabela 5d – Exercício resolvido 1

2. Um rolamento rígido de esferas 6309 feito de aço padrão da SKF deverá trabalhar a

uma velocidade de 5 000 r/min sob uma carga radial constante Fr = 8 000 N. Vai ser

utilizada a lubrificação com óleo, possuindo o óleo uma viscosidade cinemática ηc = 20

mm2/s à temperatura de trabalho. A confiabilidade desejada é de 90 % e assume-se que

as condições de trabalho são de extrema limpeza. Quais serão as vidas L10, Lna e Lnaa?

a) Vida nominal L10 (para 90 % de confiabilidade)

p

P

CL

=10

A partir das tabelas de produtos, as capacidades de carga dinâmica para o rolamento

6309, C = 52 700 N. Uma vez que a carga é puramente radial, P = Fr = 8 000 N e por

conseguinte.

L10 = (52 700/8 000)3 = 286 milhões de revoluções

b) Vida nominal ajustada Lna

Lna = a1 a23 L10

Como é necessária uma confiabilidade de 90 %, será preciso calcular a vida L10a e

a1 = 1. O fator a23 é calculado da seguinte maneira: para o rolamento 6309, utilizando d e

D das tabelas de produtos, dm = 72,5 viscosidade de óleo requerida à temperatura de

trabalho para uma velocidade de 5 000 r/min, ν1 = 7 mm2/s κ = η/η1 = 2,7 valor de

a23 = 1,92.

L10a = 1 x 1,92 x 286 = 550 milhões de revoluções

c) Vida nominal de acordo com a teoria de vida da SKF

Lnaa = a1 aSKF L10

Como a confiabilidade pretendida é de 90 %, a vida L10aa é calculada e a1 = 1. Das

tabelas de produtos Pu = 1 340 e Pu/P = 1 340/8 000 = 0,17. Como as condições são de

244

extrema limpeza ηc = 1 e por conseguinte para κ = 2,7 o valor de aSKF é 14 para que de

acordo com a teoria de vida da SKF

L10aa = 1 x 14 x 286 = 4 000 milhões de revoluções

Para obter as vidas correspondentes em horas de trabalho, é necessário multiplicar por

[1 000 000/(60 n)]

onde n = 5 000 r/min. As diferentes vidas são então

L10h = 950 horas de trabalho

L10ah = 1 800 horas de trabalho

L10aah = 13 300 horas de trabalho

Se no exemplo tivéssemos calculado para condições de contaminação tais que

ηc = 0,2, aSKF seria 0,3 e

L10aa = 1 x 0,3 x 286 = 86 milhões de revoluções

Ou L10aah = 287 horas de trabalho

3. O apoio de um eixo de hélice de navio possui diâmetro d=140mm . Ele suporta uma

esforço axial normal de FaN=40 kN a uma rotação de nN=375 rpm e uma carga axial e

uma carga axial máxima de Fav=53 kN a uma rotação nv=500 . A duração da carga

normal corresponde a 75% do total e a duração da carga máxima 25% da duração total.

A vida de trabalho destes equipamentos chega a 50.000 h de funcionamento. Selecione

os mancais de rolos angulares adequados para este sistema.

Figura 19 - Exercício resolvido 3

Resolução:

mmd 30=

245

NK a 2500=

rpmn 1500=

NF ar 2000=

NF br 3000=

a) Rolamento A - SKF 30206 C(N) =40200 e=0,37 Y=1,6

B - SKF 33206 C(N) = 64400 e=0,35 Y=1,7

Testando se a disposição pertence ao grupo 2a, 2b ou 2c

NYF

a

ar 12506,1

2000 ==

NYF

b

br 17657,1

3000 ==

acondiçãoYF

YF

b

br

a

ar 2=<

Assim:

NFFYF

F babab

brba 4,882

7,130005,05,0

=∴=∴=×

NFFKFF AaAaaBaAa 338225004,882 =∴=∴+= +

Cálculo da carga dinâmica equivalente

FP r=

eFF

r

ar ≤

YFFP ar+= ×4,0

eFF

r

ar >

Rolamento A: SKF 30206

37,069,120003382 >==

FF

r

ar

Assim,

33826,120004,0 ×× +=Pa

NPa 6211=

Rolamento B: SKF 33206

35,029,03000

4,882≤==

FF

br

ba

Assim,

FP rb=

NPb 3000=

246

Cálculo do tempo de vida: (Pág 28)

3

10

601000000

×=

× PC

nL

Rolamento A:

3

10

16240200

1500601000000

×=

+×La

5614=La horas de trabalho

Rolamento B:

3

10

300064400

1500601000000

×=

×Lb

305500=Lb horas de trabalho

b) Pelos resultados obtidos observa-se que o rolamento A: SKF 30206 não suporta um

tempo de vida de 32000 horas, já que seu limite é de 5614 horas. Já o rolamento B: SKF

33206 poderia ser utilizado. No entanto, seu limite de vida é de 305500 horas é muito

maior que o necessário, o que significa um maior custo. Desta forma, o ideal para esta

situação é escolher um rolamento que possua uma capacidade dinâmica C, entre os

valores de Ca = 40200N e Cb = 64400N, já que a capacidade dinâmica é proporcional ao

tempo de vida. Assim sendo: os rolamentos SKF 31306 e SKF32206 que possuem

capacidades dinâmicas de 47300N e 49500N, respectivamente, são mais recomendados

para esta situação.

Verificando o rolamento SKF 31306

Considerando que tanto o rolamento B quanto A são iguais: SKF 31306

acondiçãoYF

YF

b

br

a

ar 2=<

NFFYF

F aBaBb

rbaB 208372,0

30005,05,0=∴=∴=

×

NFFKFF AaAaaBaAa 458325002083 =∴=∴+= +

83,0=e

83,020004583>=

FF

ra

aA

NPP a ara 410072,0458320004,0 =∴×× +=

eFF

rB

aB ≤== 69,030002083

NPb 3000=

247

Considerando o pior hipótese, ou seja, a carga dinâmica equivalente P iguala 4100N

Temos:

3

10

410047300

1500601000000

×=

×L

38550=Lb horas de trabalho

Assim verifica-se que o rolamento SKF 31306 é suficiente para onde são necessários

um tempo de vida de 32000 horas

4. O mancal de um garfo de um roda em balanço contém dois rolamentos radiais de

esferas série 62 . O diâmetro do eixo foi calculado em 25 mm. A figura mostra as

medidas calculadas em mm. A carga radial radkraft F é de 2,5 kN. Selecione estes

rolamentos, para as condições normais de trabalho sendo que a capacidade de carga de

ambos rolamentos é determinada em função das cargas radiais Far eFbr e que um dos

rolamentos deve suportar toda a carga axial.

Figura 20 - Exercício proposto 4

Resolução:

NTonF 1005,4953×==

md 05,0=

a)

PCSS

0

000

3,1 =∴=

Carga estática equivalente para rolamento axial de esfera

FP a=

0

Assim NPSC 637701005,493,1 3

000=== ××

248

O rolamento selecionado segundo a tabela da pagina 600 é o SKF 51210 que possui uma capacidade de

carga estática superior a requerida, ou seja, Co=106000N > 63770N

b) Para o rolamento SKF 51210 e NF a 1053,243×=

, qual o So?

FP a=

0

NCo 106000=

1053,24106000

30

00 ×

==PCS

32,40=S

7.10 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. O eixo de um carrinho para combustível de forno suporta m=1,5 t devido ao peso próprio

e carga F p Quando o forno estiver funcionando ele suporta temperatura t=300o C.

Pelos cálculos para o dimensionamento do eixo, chegou-se ao valor de d=35 . Selecione

os rolamentos de esfera para este carrinho.

Figura 21 - Exercício proposto 1

4. Uma carga de 5 toneladas será aplicada em diâmetro d=48 mm conforme figura . Um

rolamento axial de esferas suporta esta carga, permitindo pequenos giros. Deseja-se

selecionar este rolamento de esferas.

249

Figura 22 - Exercício proposto 4

250

CAPÍTULO 08 - PROJETO DE PARAFUSOS

8.1 - INTRODUÇÃO

Parafusos são elementos de fixação, empregados na união não permanente de peças,

isto é, as peças podem ser montadas e desmontadas facilmente, bastando apertar e desapertar

os parafusos que as mantêm unidas.Os parafusos se diferenciam pela forma da rosca, da

cabeça, da haste e do tipo de acionamento.

Figura 1 - parafuso sextavado

O tipo de acionamento está relacionado com o tipo de cabeça do parafuso. Por exemplo,

um parafuso de cabeça sextavada é acionado por chave de boca ou de estria.Em geral, o

parafuso é composto de duas partes: cabeça e corpo.

O corpo do parafuso pode ser cilíndrico ou cônico, totalmente roscado ou parcialmente

roscado. A cabeça pode apresentar vários formatos; porém, há parafusos sem cabeça.

Há uma enorme variedade de parafusos que podem ser diferenciados pelo formato da

cabeça, do corpo e da ponta. Essa diferença, determinadas pela função dos parafusos, permite

classificá-los em quatro grandes grupos: para - fusos passantes, parafusos não-passantes,

parafusos de pressão, parafusos prisioneiros.

PARAFUSOS PASSANTES

Esses parafusos atravessam, de lado a lado, as peças a serem unidas, passando

livremente nos furos.Dependendo do serviço, esses parafusos, além das porcas, utilizam

arruelas e contra-porcas como acessórios.Os parafusos passantes apresentam-se com cabeça

ou sem cabeça.

251

Figura 2 - Parafusos passantes

PARAFUSOS NÃO-PASSANTES

São parafusos que não utilizam porcas. O papel de porca é desempenhado pelo furo

roscado, feito numa das peças a ser unida.

Figura 3 - Parafusos não-passantes

PARAFUSOS DE PRESSÃO

Esses parafusos são fixados por meio de pressão. A pressão é exercida pelas pontas

dos parafusos contra a peça a ser fixada.Os parafusos de pressão podem apresentar cabeça

ou não.

Figura 4 - Parafusos de pressão

252

PARAFUSOS PRISIONEIROS

São parafusos sem cabeça com rosca em ambas as extremidades, sendo

recomendados nas situações que exigem montagens e desmontagens freqüentes. Em tais

situações, o uso de outros tipos de parafusos acaba danificando a rosca dos furos.

As roscas dos parafusos prisioneiros podem ter passos diferentes ou sentidos opostos, isto é,

um horário e o outro anti-horário.Para fixarmos o prisioneiro no furo da máquina, utilizamos uma

ferramenta especial.Caso não haja esta ferramenta, improvisa-se um apoio com duas porcas

travadas numa das extremidades do prisioneiro.Após a fixação do prisioneiro pela outra

extremidade, retiram-se as porcas.A segunda peça é apertada mediante uma porca e arruela,

aplicadas à extremidade livre do prisioneiro.

O parafuso prisioneiro permanece no lugar quando as peças são desmontadas.

Figura 5 - Parafusos prisioneiros

Vimos uma classificação de parafusos quanto à função que eles exercem.

Veremos, a seguir, alguns tipos de parafusos. Segue um quadro síntese com

características da cabeça, do corpo, das pontas e com indicação dos dispositivos de

atarraxamento.

253

Tabela 1 - Características da cabeça, do corpo, das pontas e com indicação dos dispositivo de atarraxamento.

254

Tabela2 - Tipos de parafusos

255

ROSCAS

Rosca é um conjunto de filetes em torno de uma superfície cilíndrica.

Figura 6 - Filetes gerados em uma superfície cilíndrica

As roscas podem ser internas ou externas. As roscas internas encontram-se no interior

das porcas. As roscas externas se localizam no corpo dos parafusos.

Figura 7 - Conjunto porca e parafusos

As roscas permitem a união e desmontagem de peças.

Tipos de Rocas (Perfis) Perfil de Filete Aplicação

Parafusos e porcas de fixação na união de

peças

Ex: Fixação da roda do carro.

Parafusos que transmitem movimento suave

e uniforme.

Ex: Fusos de máquinas

Parafusos de grandes diâmetros sujeitos a

grandes esforços.

Ex: Equipamentos ferroviários.

Parafusos que sofrem grandes esforços e

choques.

Ex: Prensas e morsas.

Parafusos que exercem grandes esforços

num só sentido.

Ex: Macacos de catraca.

Figura 8 - Tipos e roscas e aplicação

256

Permitem, também, movimento de peças. O parafuso que movimenta a mandíbula

móvel da morsa é um exemplo de movimento de peças.Os filetes das roscas apresentam vários

perfis. Esses perfis, sempre uniformes, dão nome às roscas e condicionam sua aplicação.

NOMENCLATURA DA ROSCA

Independentemente da sua aplicação, as roscas têm os mesmos elementos, variando

apenas os formatos e dimensões.

.

Figura 9 - Nomenclatura e tipo da roscas

P = passo (em mm)

i = ângulo da hélice

d = diâmetro externo

c = crista

d1 = diâmetro interno

D = diâmetro do fundo da porca

d2 = diâmetro do flanco

D1 = diâmetro do furo da porca

257

a = ângulo do filete

h1 = altura do filete da porca

f = fundo do filete

h = altura do filete do parafuso

ROSCAS DE PERFIL TRIANGULAR

As roscas triangulares classificam-se, segundo o seu perfil, em três tipos:

· rosca métrica

· rosca whitworth

· rosca americana

Para nosso estudo, vamos detalhar apenas dois tipos: a métrica e a whitworth. Rosca

métrica ISO normal e rosca métrica ISO fina NBR 9527.

Figura 10 - Rosca de perfil triangular

Diâmetro maior da porca:

D = d + 2f:

Diâmetro menor da porca (furo):

D1 = d - 1,0825P;

Diâmetro efetivo da porca (Æ médio):

D2 = d2.

Altura do filete do parafuso:

he = 0,61343P.

Raio de arredondamento da raiz do filete do parafuso:

re = 0,14434P.

Raio de arredondamento da raiz do filete da porca:

Ângulo do perfil da rosca: a=60º

Diâmetro menor do parafuso (φ

do núcleo): d1=d-1,2268P.

d2=D2=d-0,6498P.

Folga entre a raiz do filete da

porca e a crista do filete da porca

e a crista do filete do parafuso:

F=0,045P.

258

ri = 0,063P.

A rosca métrica fina, num determinado comprimento, possui maior número de filetes do

que a rosca normal. Permite melhor fixação da rosca, evitando afrouxamento do parafuso, em

caso de vibração de máquinas. Exemplo: em veículos.

Rosca Whitworth normal - BSW e rosca Whitworth fina – BSF

Figura 11 - Nomenclatura da roscas Whitworth

A fórmula para confecção das roscas Whitworth normal e fina é a mesma. Apenas

variam os números de filetes por polegada. Utilizando as fórmulas anteriores, você obterá os

valores para cada elemento da rosca. Para facilitar a obtenção desses valores, apresentamos a

seguir as tabelas das roscas métricas de perfil triangular normal e fina e Whitworth normal -

BSW e Whitworth fina - BSF.

259

Tabela 3 - Tabela de roscas no sistema inglês

260

Tabela 4 - Tabela de roscas no sistema métrico - série normal

261

Tabela 5 - Tabela de roscas no sistema métrico - série fina

262

Duas tabelas a seguir mostram os valores dos diâmetros nominais dos parafusos, suas

áreas resistentes em função do tipo de rosca grossa ou fina. Na tabela 3.6é apresentado o

sistema métrico e na tabela 3.7 é apresentado o sistema inglês.

Séries rosca grossa Séries rosca fina Diâmetro nominal d Passo p Área

resistente A t

Área de menor

diâmetro Ar

Pitch p Área resistente At

Área de menor

diâmetro Ar 1,6 0,35 1,27 1,07 2 0,4 2,07 1,79

2,5 0,45 3,39 2,98 3 0,5 5,03 4,47

3,5 0,6 6,78 6 4 0,7 8,78 7,75 5 0,8 14,2 12,7 6 1 20,1 17,9 8 1,25 36,6 32,8 1 39,2 36

10 1,5 58 52,3 1,25 61,2 56,3 12 1,75 84,3 76,3 1,25 92,1 86 14 2 115 104 1,5 125 116 16 2 157 144 1,5 167 157 20 2,5 245 225 1,5 272 259 24 3 353 324 2 384 365 30 3,5 561 519 2 621 596 36 4 817 759 2 915 884 42 4,5 1120 1050 2 1260 1230 48 5 1470 1380 2 1670 1630 56 5,5 2030 1910 2 2300 2250 64 6 2680 2520 2 3030 2980 72 6 3460 3280 1,5 3860 3800 80 6 4340 4140 2 4850 4800 90 6 5590 5360 2 6100 6020

100 6 6990 6740 2 7560 7470 110 2 9180 9080

Tabela 6 - Tabela de parafusos no sistema métrico- rosca grossa e fina

263

UNC - Séries rosca grossa UNF - Séries rosca fina

Tamanho designação

Diâmetro maior -

polegadas Número de Roscas por polegadas N

Área resistente At

Área de menor

diâmetro Ar

Roscas em polegada N

Ária resistente A t

Área de menor

diâmetro Ar

0 0,06 80 0,0018 0,00151 1 0,073 64 0,00263 0,00218 72 0,00278 0,00237 2 0,086 56 0,0037 0,0031 64 0,00394 0,00339 3 0,099 48 0,00487 0,00406 56 0,00523 0,00451 4 0,112 40 0,00604 0,00496 48 0,00661 0,00566 5 0,125 40 0,00796 0,00672 44 0,0088 0,00716 6 0,138 32 0,00909 0,00745 40 0,01015 0,00874 8 0,164 32 0,014 0,01196 36 0,01474 0,01285 10 0,19 24 0,0175 0,0145 32 0,02 0,0175 12 0,216 24 0,0242 0,0206 28 0,0258 0,0226 ¼ 0,25 20 0,0318 0,0269 28 0,0364 0,0326 5

16 0,3125 18 0,0524 0,0454 24 0,058 0,0524 3

8 0,375 16 0,0775 0,0678 24 0,0878 0,0809 7

16 0,4375 14 0,1063 0,0933 20 0,1187 0,109

½ 0,5 13 0,1419 0,1257 20 0,1599 0,1486 9

16 0,5625 12 0,182 0,162 18 0,203 0,189 5

8 0,625 11 0,226 0,202 18 0,256 0,24

¾ 0,75 10 0,334 0,302 16 0,373 0,351 7

8 0,875 9 0,462 0,419 14 0,509 0,48 1 1 8 0,606 0,551 12 0,663 0,625

1. ¼ 1,25 7 0,969 0,89 12 1,073 1,024 1. ½ 1,5 6 1,405 1,294 12 1,581 1,521

Tabela 7 - Tabela de parafusos no sistema inglês - rosca grossa e fina

8.2 - PARAFUSOS DE POTÊNCIA

Um parafuso de força ou potência é utilizado em projetos de máquinas quando necessita

mudar o movimento angular para linear na transmissão de carga.

Na Figura 12, um parafuso de potência com rosca quadrada,possui um diâmetro médio

dm, ,passo p, um ângulo de avanço λ, um ângulo de inclinação de hélice ψ. É submetido a uma

carga de compressão axial. Deseja-se encontrar uma expressão para o torque necessário para

elevar e abaixar a carga atuante.

A figura 12 mostra à direita a rosca do parafuso estendida em uma volta completa. Seja

F a soma de todas as cargas axiais. Para elevar a carga, a força P atua para a direita, e para

abaixar a carga, a força P atua para a esquerda. A força de atrito é o produto do coeficiente de

fricção µ pela a força normal N, e atua no sentido de opor-se ao movimento. O sistema está em

equilíbrio sobre ação de uma destas forças, e portanto para elevar a carga F, tem-se:

264

sen cos 0

sen cos 0

H

V

F P N N

F F N N

λ µ λ

µ λ λ

= − − =

= + − =∑∑

(1)

De maneira análoga para abaixar a carga, teremos:

sen cos 0

sen cos 0

H

V

F P N N

F F N N

λ µ λ

µ λ λ

= − − + =

= − − =∑∑

(2)

Desde que não estamos interessados na força normal N, eliminando-a nos conjuntos de

equações acima e encontramos P. Para elevação da carga temos:

sen cos

cos senP F

λ µ λλ µ λ

+=−

e para abaixar a carga teremos: sen cos

cos senP F

λ µ λλ µ λ

−=+

Figura 12 - Parafuso de potência, com detalhe da rosca e cargas atuantes

Finalmente, notando que o torque é o produto da força P pelo do raio médio dm / 2, para

elevação da carga, tem-se:

2m m

m

Fd l dT

d l

πµπ µ +

= −

Onde T é necessário para dois objetivos, vencer o atrito e para elevar a caga.

Analogamente, o torque T necessário para abaixar a carga , é:

2m m

m

Fd d lT

d l

πµπ µ −

= +

265

Em alguns casos, o torque da equação (2) poderá ser negativo ou zero. Quando se

obtém um torque positivo partir desta equação, o parafuso é definido como auto-frenante.. A

condição para auto-frenamento é:

πµdm > 1

Agora, se divide ambos os lados dessa desigualdade por πdm lembrando que tg λ = 1 /

πdm, tem-se:

µ > tg λ

Esta relação indica que o auto-frenamento é obtido quando o coeficiente de atrito é igual

ou maior que tangente do ângulo de avanço.

Uma expressão para a eficiência é também muito útil na avaliação dos parafusos de

força. Consideram-se µ = 0 , tem-se:

2O

FlT

π=

A eficiência nos parafusos de potência será:

2OT Fl

eT Tπ

= =

As equações precedentes foram desenvolvidas para as roscas quadradas onde a carga

atuante nas roscas é paralela ao eixo axial do parafuso. No caso da rosca Acme,perfil triangular

ou outras roscas, a carga atuante é inclinada em relação ao eixo por causa do ângulo da rosca

2α e o ângulo de avanço λ. Desde que ângulos de avanço são pequenos, a inclinação pode ser

desconsiderada e somente ser considerado nos cálculos, o angulo de rosca. O efeito do ângulo

α é aumentar a força de atrito por ação da cunha. Com isso, tem-se:

sec

2 secm m

m

Fd l dT

d l

πµ απ µ α += −

Figura 13 – Ângulos de avanço

266

Para parafusos de potência, a rosca Acme, não é tão eficiente como a rosca quadrada,

mas, ainda é usado com mais freqüência devido a facilidade de fabricação e o uso de porca

divisora ajustável.

Usualmente, um terceiro componente de torque precisa ser adicionado nas aplicações

dos parafusos de potência. Quando um parafuso é carregado axialmente, há necessidade de

um colar, empregado entre os membros rotacionais e estacionários para suportar a componente

axial. A Figura mostra um mancal típico onde utiliza-se dc como diâmetro principal e µc como o

coeficiente do colar de atrito. O torque necessário será:

2c c

c

F dT

µ=

Figura 14 - Mecânica dos parafusos de potência

8.3 - PARAFUSOS DE UNIÃO - COMPRIMENTO DA PARTE ROS CADA

O comprimento da parte roscada, LT de parafusos no sistema inglês (polegadas) é:

Lr

14

12

2 in 6 in ou 6 in

2 in 6 inT

D L LL

D L

= < == = >

e no sistema internacional é :

Lr

2 6 125 mm ou 48 mm

2 12 125< 200 mm

2 25 200 mm

D L D

L D L

D L

+ ≤ ≤= + ≤ + >

O objetivo de um parafuso é manter duas ou mais partes juntas. O torque de aperto

acarretará tração ou alongamento no parafuso; o carregamento é obtido por torção da porca até

267

que o parafuso tenha sido tracionado próximo ao seu limite elástico. Se a porca não se afrouxar

a tensão do parafuso se manterá como pré-carga ou força de união (aperto).

A cabeça de um parafuso de cabeça hexagonal é suavemente mais fina do que a de um

pino de cabeça hexagonal. O material de uma porca deve ser cuidadosamente selecionado

para encaixar com o parafuso.

8.3.1 - CONSTANTE DE RIGIDEZ DOS PARAFUSOS

Quando uma conexão é projetada para poder ser periodicamente desmontada sem

métodos destrutivos e seja suficientemente forte para resistir a tensões externas, momentos, ou

força de corte então uma junção parafusada simples usando arruelas de aço endurecido é uma

boa solução.

Como visto previamente,a função de um parafuso é fixar duas ou mais partes juntas. Girando a

porca, o parafuso provocará uma força de união (aperto). Esta força de união é chamada de

pré-tensão ou pré-carga no parafuso. Ela existe na junção depois da porca ter sido

devidamente apertada não importando se a carga externa P tenha sido exercida ou não.

É claro, que desde que as peças (membros) são usados para ser unidas, a força de

união que produz uma tração no parafuso induzirá idêntica compressão nas peças.

A constante de rigidez, de um membro elástico, como um parafuso, é a razão entre a

força aplicada pela deformação produzida. A pega de uma conexão é a espessura do material

unido,incluindo as arruelas se houver.

A rigidez do parafuso ou pino consistirá de duas partes, a parte roscada e a parte não

roscada dentro da pega.Portanto a constante de rigidez do parafuso será equivalente à rigidez

de duas partes de maneira semelhante à rigidez de duas molas em série.

1 2

1 1 1

k k k= + ou 1 2

1 2

k kk

k k=

+

para duas partes em série:

t

tr l

EAK =

d

dd l

EAK =

onde: At = Área resistente do parafuso (Tabelas)

lT = comprimento da parte roscada na pega

Ad = área da parte lisa de parafuso

ld = comprimento da parte não roscada na pega,

268

Substituindo esses valores, tem-se:

dttd

tdpa lAlA

EAAK

+=

Onde kpa é uma estimativa da constante de rigidez efetiva no parafuso da zona da união

(pega).

8.3.2 - RIGIDEZ DAS PEÇAS OU MEMBROS EM COMPRESSÃO

Numa seção anterior, determinou-se a rigidez do parafuso região de pega. Nesta seção,

estudar-se-á a rigidez de uma peça ou membro na região de união. Ambas as constantes

devem ser conhecidos. Poder-se ter mais do que duas peças ou membros na pega de união por

parafuso. Todos eles agem como forças compressivas em série, e portanto a constante de

rigidez das peças km pode ser obtida pela equação abaixo:

ipe KKKKKK

1...

11111

4321

+++++=

Utilizando a metade do ângulo vértice α =30º, o alongamento de um cone com

espessura dx sujeito a uma força de tensão P é:

Pd dx

EAδ = (3)

Figura 15 - Rigidez das peças comprimidas

A área de elemento é:

269

( ) ( ) ( )2 22 2 tan 2 2

tan tan2 2

o iD DA r r x

D d D dx x

π π α

π α α

= + = + − =

+ − = + +

Substituindo na equação a, integrando, o alongamento será:

( ) ( )0

tan tan2 2

tP dx

E D d D dx x

δπ α α

=+ − + +

∫

( )( )( )( )2 tan

lntan 2 tan

t D d D dP

Ed t D d D d

αδ

π α α+ − +

=+ + −

Com isso, e com α =30º, a rigidez será:

))(15,1(

))(15,1(ln

577,0

dDdDt

dDdDtEdP

K pe

−+++−+

== πδ

Figura 16 - Cone para determinação da rigidez das peças a unir

O diâmetro da arruela da face é por volta de 50% maior do que o diâmetro do parafuso

de cabeça sextavada. Para este caso o valor de km (rigidez das peças) será dado pela

equação:

)5,2577,0(

)5,015,1(5ln2

577,0

dl

dlEd

K pe

++

= π

8.3.3 - RESISTÊNCIA DO PARAFUSO

A tensão do parafuso é um fator chave na análise e seleção de conexões parafusadas.

As normas para parafuso oferecem a resistência à tração (Srup) e resistência de prova (Sp) e a

270

resistência à fadiga,em função do diâmetro nominal do parafuso e do tipo. Assim é que existem

as normas SAE, ASTM,,etc.

A carga de prova é a força máxima que um parafuso pode suportar sem se deformar

permanentemente. A resistência de prova é a relação entre a carga de prova e a área de

resistência do parafuso. A resistência de prova corresponde aproximadamente à resistência ao

escoamento.

TENSÕES ATUANTES NO PARAFUSO SUBMETIDO A CARGA EXTE RNA ESTÁTICA

Considerando que apenas uma carga P seja aplicada a uma conexão parafusada.

Assumindo também que a força de união, chamada de pré-carga Fi, tenha sido corretamente

aplicada pelo aperto da porca antes da força P ser aplicada. A nomenclatura usada será:

Fi = Pré-carga

P = carga externa

Ppa = porção de P suportada pelo parafuso

Ppe = porção de P suportada pelas peças (membros)

Fpa = Ppa + Fi = carga total resultante no parafuso

Fpe = Ppe + Fi = carga total resultante nas peças (membros)

A carga externa P, ao ser aplicada na conexão aparafusada provoca uma deformação δ. Uma

vez que a constante de rigidez das peças,k, é a relação entre a carga pela deflexão ou

deformação,tem-se:

pe

pe

pa

pa

K

P

K

P==δ

Como P = Ppa + Ppe, tem-se:

pe

papepa K

KPP =

Portanto, a carga resultante no parafuso será:

ipepa

paipapa FP

KK

KFPF +

+=+= Fpe < 0

A carga resultante nas peças ou membros será:

ipepa

paipape FP

KK

KFPF +

+=−= Fpe < 0

271

É claro, que estes resultados são validos somente enquanto a carga de união se

mantém nas peças.

8.3.4 - EXIGÊNCIAS DO TORQUE

Apesar do coeficiente de atrito poder virar muito, pode-se obter uma ótima estimativa do

torque necessário para produzir uma determinada pré-carga combinada, através da equação

seguinte:

tan sec0,625

2 tan secm

c i

dT Fd

d l

λ µ α µµ λ α

+= + −

Define-se o coeficiente de torque K como sendo termo entre parênteses, e então:

tan sec0,625

2 tan secm

c

dK

d l

λ µ α µµ λ α

+= + −

A equação pode agora ser escrita:

T = KFid

O coeficiente de atrito depende da rugosidade da superfície, precisão e grau de lubrificação. Em

média, tanto µ quando µc são aproximadamente 0,15. O valor de K ≈ 0,20 para µ = µc = 0,15

independente do tamanho do parafuso empregado é independente da rosca ser bem acabada

ou não.

8.3.5 - PRÉ-CARGA DO PARAFUSO - CARREGAMENTO ESTÁTI CO

A partir da equação abaixo

iipepa

papa FCPF

KK

PKF +=+

+= (4)

Onde C é chamado constante de junta e é definida na equação (4) como sendo

pepa

pa

KK

KC

+=

Então,

Fpe = (l – C)P – Fi

A tensão de tração no parafuso pode ser encontrada dividindo-se ambos os termos da

equação (a) pela área resistente At. Isto leva a:

t

i

tpa A

F

A

CP +=σ (5)

272

Porém o valor limite de σb é a resistência de prova Sprova. Esta com introdução do fator

da carga n, a equação (b) passará a ser,

t

i

tprova A

F

A

CnPS += (6)

ou

CP

FASn itprova −

=

Figura 17 - Vaso de pressão com parafusos de união

Chama-se n, de fator carga ao invés de fator de segurança, já que duas idéias são de

alguma forma relacionadas. Qualquer valor de n > 1 garante que a tensão no parafuso será

menor que a tensão de prova.

Outra maneira de garantir uma junta segura é exigir que o carregamento externo seja

menor que o necessário para causar a separação da junta. Se a separação ocorrer assim

mesmo, então toda o carregamento externo recairá sobre o parafuso. Fazendo Po ser o valor

de carregamento externo que causaria a separação da junta. Na separação, Fpe = 0, então:

(l – C) P0 – Fi = 0 (7)

o fator de segurança contra a separação da junta é

Pon

P= (8)

Substituindo P0 = nP na equação (8), encontra-se:

(1 )iF

nP C

=−

como sendo fator de segurança contra separação da junta .

273

No diagrama da tensão x deformação de um parafuso de material de boa qualidade, não

existe um ponto claro de escoamento e o diagrama percorre suavemente até a fratura, que

corresponde ao limite de resistência a tração. Isto mostra que independentemente da pré-carga

aplicada no parafuso, este irá manter a sua capacidade de carregamento. Isto é que mantém o

parafuso firme e determina a resistência da junta. A pré-carga é o “músculo” da junta, e sua

magnitude é determinada pela resistência do parafuso. Se a resistência total do parafuso não é

usada na aplicação da pré-carga, então, o dinheiro estará sendo desperdiçado e a junta ficando

mais fraca.

Parafusos de boa qualidade podem ser pré-carregados no regime plástico para

desenvolver mais resistência. Alguns dos parafusos de torque utilizados para aperto produzem

torções, que aumentam a tensão principal de tração. Entretanto, esta torção é mantida apenas

pela fricção da cabeça do parafuso e da rosca; em tempo de relaxar e diminuir levemente a

tensão do parafuso. Como uma regra, o parafuso rompe durante o aperto ou nunca se rompe.

O alongamento real do parafuso deve sempre ser usado quando possível especialmente

em carregamentos alternados. De fato, se há necessidade de alta confiança na junta, então, a

pré-carga deve ser sempre determinada pelo alongamento do parafuso.

As recomendações da RB&W para pré-carga são de 60 kpsi para parafusos SAE grau 5

para conexões não permanentes, e os parafusos A 325 (equivalentes aos acima) usando em

aplicações de estrutura devem ser apertados até a carga de prova ou acima (85 kpsi para um

diâmetro de no mínimo 1 pol). Bowman recomenda uma pré-carga de 75% da carga de prova,

que é aproximadamente o mesmo da RB&W para parafusos reutilizados.

Em vista destas, é recomendado tanto para carregamento estático com alternado que o

seguinte critério seja utilizado para a pré-carga:

=prova

prova

i F

FF

90,0

75,0

onde FProva é a carga de prova, obtida da equação

Fprova = AtSprova

Aqui Sprova é a resistência de prova. Para outros materiais, um valor aproximado será

Sprova = 0,85 Se. Porém, deve-se ter muito cuidado ao utilizar um material fraco em conexões

que utilizam as arruelas.

274

8.3.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDO

1. Calcular o coeficiente da junta abaixo. Na figura abaixo sejam: A = 150 mm;B = 200 mm;

C = 300 mm; D = 20 mm e E = 25 mm. O cilindro é feito de ferro fundido com E = 113 GPa

e a tampa de aço com E = 207 GPa. Foram selecionados dez parafusos M12 ISO 8.8 com

pré-carga de aperto de 75% da carga de prova. Para uma pressão constante de 6 MPa,

qual o valor do fator de carga n neste projeto?

Figura 18 – Exercício resolvido

Resolução:

1-Cálculo da carga externa por parafuso:

3 26 10 15010,6

10 4

pAP

N

π−×= = = kN

2-Comprimento de pega:

Lpega = D + E = 20 + 25 = 45 mm

3-Comprimento da parte roscada do parafuso:

LT = 2D + 6 L ≤ 125mm

LT = 24 + 6 =30 mm

4-Comprimento do parafuso:

D + E + H = 45 + 10,8 = 55,8 mm

L = 60 mm

5-Comprimento da parte lisa do parafuso:

llisa = L – LT = 60 – 30 = 30 mm

6-Comprimento da parte roscada da pega:

lrp = Lpega – llisa = 45 – 30 = 15 mm

7-Cálculo da área na parte lisa:

275

04,1134

12

4

22

=== ππdAlisa mm2

8-Obtenção da área resistente:

At = 84,3 mm2

9-Cálculo da rigidez das peças:

lisarptliso

tlisapa ALAl

EAAK

+= MN/m

Cálculo de k1, t1 = 20 mm, E = 207 GPa.

11

1

0,5774470

(1,15 )( )ln

(1,15 )( )

Edk

t D d D d

t D d D d

π= =+ − ++ + −

MN/m

Cálculo de k2, t2 = 2,5 mm, E = 113 GPa.

22

2

0,577(1,15 )( )

ln(1,15 )( )

Edk

t D d D d

t D d D d

π= + − ++ + −

= 59040 MN/m

Cálculo de k3, t3 = 22,5 mm, E = 113 GPa.

33

3

0,577(1,15 )( )

ln(1,15 )( )

Edk

t D d D d

t D d D d

π= + − ++ + −

= 2343 MN/m

14981111

321

=++=KKKK pe

MN/m

10-Cálculo do coeficiente de junta:

pepa

pa

KK

KC

+= = 0,238

11-Resistência de prova:

Sprova = 600 Mpa

12-Cálculo da pré-carga:

Fprova = SprovaAt = 50,58 kN

=

=

permanenteconexãoFF

elreutilizávconexãoFF

provai

provai

90,0

75,0

Fi = 0,75 Fprova = 37,94 kN

13-Cálculo do fator de carga:

276

03,5.

==PC

FASn itprova

2. Uma peça foi parafusada a uma estrutura de aço para suportar uma carga de tração

flutuante. Os parafusos são de ½ pol. rosca grossa, SAE grau 5, apertados com a pré-

carga recomendada. A rigidez recomendada é de kb = 4,94 Mlb/pol e km = 15,97 Mlb/pol.

a) Determine a carga repetida que pode ser imposta a esta montagem, usando o

critério de Goodman para um fator de segurança 2,0.

b) Calcule o fator de carga baseado na carga obtida em (a).

1-Área resistente:

At = 0,1419 pol2

2-Resistência de prova:

Sprova = 85 kpsi

3-Limite de resistência a tração:

Srup = 120 kpsi

4-Limite de resistencia a fadiga:

Sf = 18,6 kpsi

5-Pré-carga:

Fi = 0,75Fprova = 0,75 Sprova At = 9,046 kip

6-Coeficiente de junta:

pepa

pa

KK

KC

+= = 0,236

7-Tensão alternada:

max min 0,8322 2

aa a

t

CPP

A

σ σσ −= = = kpsi

8-Tensão média:

max min 0,832 63,752

im a a

t

FP

A

σ σσ σ+= = + = + kpsi

9-Resistência alternada:

f

rup

t

irup

a

SS

AFS

S+

−=

1kpsi

10-Cálculo da carga alternada:

277

7,55

0,8322

a aa a

a

S Sn P

nσ

σ= ⇒ = ⇒ =

Pa = 4,532 klbf

11-Tensão alternada:

σa = 3,77 kpsi

12-Tensão média:

σm = 67,52 kpsi

13-Fator de carga:

82,2.

=−

=PC

FASn itprova

Figura 19 - Exercício resolvido 2 - cálculo do coeficiente de junta C

8.3.7 - CARGA DE FADIGA

Valores médios de fatores de redução da resistência à fadiga, para sessões logo abaixo

da cabeça do parafuso e também para o início da rosca na haste do parafuso. Esses valores já

estão corrigidos e tabelados para a sensibilidade da arruela e acabamentos da superfície.

Projetistas devem perceber que podem aparecer situações onde esses valores devem ser mais

cuidadosamente tratados, já que estes são apenas valores médios. De fato, Peterson observa

que a distribuição das falhas típicas dos parafusos se aproxima de 15% abaixo da cabeça do

parafuso, 20% no final da rosca e 60% na rosca da porca.

278

Na maioria das vezes, o tipo de carregamento de fadiga encontrado na análise da junta

do parafuso é uma carga aplicada externamente, que flutua entre zero e uma força máxima P.

Essa seria uma situação de um cilindro de pressão, onde por exemplo, a pressão existe ou

varia de zero a um valor máximo P. A fim de determinar a tensão alternada e a tensão média

para essa situação, emprega-se a notação: Fmax = Fb e Fmim = Fi. Portanto, a tensão alternada

do parafuso é:

ttpepa

pa

t

ipaa A

PC

A

P

KK

K

A

FF

2

.

22=

+=

−=σ

Então desde que a tensão média é igual à tensão alternada mais a tensão mínima, tem-

se:

2i i

m at t t

F FCP

A A Aσ σ= + = +

Sabe-se da importância de ter uma pré-carga alta nas juntas aparafusadas. Isso é

especialmente importante em carregamento submetido à fadiga porque faz o primeiro termo da

equação (24), ser relativamente pequeno quando comparado ao segundo termo, que é a tensão

devido a pré-carga. A observação da equação acima mostra que ela é construída por uma

constante Fi / At no eixo da tensão média (Figura 20). À distância AC representada área de

falha e AB área de segurança; então AC / AB é o fator de segurança de acordo com o critério

de Goodman. Então:

a

a

Sn

σ=

Observamos que a distância AD é igual à Sa, tem-se:

ia m

t

FS S

A= − (10)

A linha modificada de Goodman pode ser dada por:

−=

f

arupm S

SSS 1 (11)

279

Figura 20 - Diagrama de Goodman para parafusos de união

Resolvendo as equações (10) e (11) simultaneamente, temos:

f

rup

t

irup

a

SS

AFS

S+

−=

1

(12)

8.4 - CISALHAMENTO DE PARAFUSOS E REBITES A CARGA E XCÊNTRICA

A figura abaixo mostra uma junta parafusada submetida a cisalhamento. A figura 21a a

falha por tração nas peças unidas. A tensão de tração é a carga P dividida pela área líquida da

chapa, isto é a área reduzida de uma quantidade igual à área de todos os furos dos parafusos

ou rebites. Para materiais quebradiços e cargas estáticas devem-se incluir os efeitos da

concentração de tensão.

Figura 21 - Tipos de falha por cisalhamento

Sf

Srup

280

Os efeitos de concentração de tensão não são considerados em projetos estruturais,

porque as cargas são estáticas e os materiais dúcteis. Na figura 21b ilustra uma falha por

quebra do parafuso ou da chapa. O cálculo para essa tensão, chamada de tensão de mancal é

complicado, devido à distribuição de cargas sobre a superfície cilíndrica do parafuso. Os valores

exatos das forças que agem sobre o parafuso são desconhecidos; por isso, costuma-se

considerar que os componentes das forças distribuem-se uniformemente sobre a projeção da

área de contato do parafuso, tendo então a tensão o seguinte valor: carga P dividida pela área

A, onde A é a área projetada igual a t x d, onde t é a espessura da chapa mais fina e d o

diâmetro do parafuso ou rebite. A figura 21c mostra a falha do parafuso por cisalhamento puro,

onde a tensão é a carga P dividida pela área A,sendo neste caso a área A da seção reta do

parafuso.

CARGA EXCÊNTRICA NO PARAFUSO

Um exemplo de carga excêntrica nos parafusos é mostrado na Figura 22. Isso é uma

parte de estrutura de uma máquina (viga A), sujeita à ação de flexão. Nesse caso, a viga é

unida a membros verticais em suas extremidades através dos parafusos. Reconhecer-se-á a

representação esquemática da Figura 22, com uma viga, com ambas as extremidades fixas,

com um momento de reação M e com reações a força cisalhante V em suas extremidades.

Para conveniência os parafusos de uma ponta de viga, foram desenhados em maior

escala na Figura 22c. O ponto O representa o centróide do grupo de todos os parafusos desse

exemplo, todos os parafusos possuem o mesmo diâmetro. A carga total em todos os parafusos

será calculada em três passos. No primeiro passo a força cisalhante é dividida igualmente entre

os parafusos, de maneira que em cada parafuso F1= V / n, onde n é o número total de

parafusos no grupo e F1 é chamada força de cisalhamento primária.

Nota-se que em uma distribuição igual da força direita para os parafusos, assume um

membro absolutamente rígido. O arranjo do parafuso ou o tamanho e forma dos membros,

justificam o uso de outras possibilidades, como a divisão da carga.

A carga do momento ou cisalhamento secundário é a carga adicional em cada parafuso

devido ao momento M. Se rA, rB, rC,... são as distâncias radiais da centróide ao centro de cada

parafuso o momento e carga de momento são mostradas como se segue:

M = F2ArA + F2BrB + F2CrC + ... (13)

Onde F2 é chamada carga de momento ou cisalhamento secundário.

281

Figura 22 - Parafusos e rebites submetidos a cisalhamento combinado

Figura 23 - Parafusos e rebites submetidos a cisalhamento combinado

A força suportada por cada parafuso depende da distância radial ou centróide; quer

dizer, no parafuso mais distante do centróide se aplica maior carga, e no parafuso mais próximo

menor carga podemos então escreve:

C

C

B

BA r

F

r

FF 22

2 == (14)

Resolvendo as equações (13) e (14) simultaneamente obtemos:

...2222 +++=

CBA

mA rrr

MrF (15)

Onde m refere-se a um parafuso particular, onde se deseja determinar a carga.

282

No terceiro passo as forças de cisalhamento primária e secundária são somadas

vetorialmente, para obter a carga resultante em cada parafuso. Desde que todos os parafusos

ou rebites são geralmente de igual tamanho, somente o parafuso com carga máxima deve ser

considerado. Quando a carga máxima for encontrada, a resistência deve ser determinada

usando os métodos já descritos.

8.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Um parafuso de potencia de 30mm de diâmetro e rosca simples, passo de 6 mm possui

um apoio axial de diâmetro médio de 40 mm . Os coeficientes de atrito cinético na rosca

e no apoio são 0,15 e 0,1 respectivamente.

a) Calcule o torque necessário para elevar a carga de 100 kN. [501 Nm]

b) Se o parafuso gira a 1 Hz determine a potência necessária ao parafuso e a

eficiência do parafuso e a eficiência do parafuso e apoio combinados Resposta

[3,15 kW 19%]

c) Se o atrito de apoio é eliminado por um rolamento axial, mostre que o parafuso é

auto-frenante e determine o torque necessário para abaixar a carga . Resposta

[106 Nm]

d) O parafuso é lubrificado completamente de tal forma que o coeficiente de atrito

diminua 50%. Qual o efeito da lubrificação na performance aqui?

2. A tampa de um cilindro pressurizado é fixada por meio de 10 parafusos cuja constante

de rigidez é 1/4 da rigidez total da junta. Cada um dos parafusos é submetido a uma

carga inicial de aperto de 5 kN. Após isto, uma carga externa de 20 kN é aplicada à

tampa pela pressão contida no cilindro. Plotar a variação da carga do parafuso e da

junta em função da carga externa, avaliar a máxima carga atuante em cada parafuso, a

mínima carga total na junta e a carga de separação. Resposta [5,4; 34; 62,5

kN]

Figura 24 – Exercício proposto 2

283

3. Um braçelete de aço é aparafusado a uma peça de aço no teto por meio de dois

parafusos de classe 8.8 e pega de 48 mm de comprimento. Qual o torque de aperto

necessário a ser utilizado e qual a carga correspondente em cada parafuso quando uma

carga externa de 48 kN é aplicada ?Resposta [480 Nm; 125 kN]

Figura 25 – Exercício proposto 3

4. Uma tampa de vaso de pressão é fixada por meio de idênticos parafusos de união. A

pressão atuante do fluido é de 6 MPa. Selecione parafusos de classe 8.8, utilizando um

fator de segurança 3.

Figura 26 – Exercício proposto 4

5. A extremidade de uma biela de aço é fixada por meio de dois parafusos de aço,classe

8.8 M12 x 1,25 (rosca fina). Uma carga reversa de 20 kN é transmitida entre a biela e o

mancal do eixo virabrequim. A parte da biela que envolve cada parafusos,elasticamente

comprimida é suposta como tendo uma área anular de 300 mm2.

Figura 27 – Exercício proposto 4

Determine o fator de segurança para a carga reversa, com

a) Carga inicial zero no parafuso . Resposta [2,0]

b) Carga inicial no parafuso necessária para evitar a separação. Resposta [6,8]

c) Parafusos submetidos a um aperto inicial de 70% da carga de prova. Resposta [3,6]

d) Estime o torque necessário para o aperto para (a). Resposta [91 Nm]

284

6. Os componentes de um atuador hidráulico são de aço - o cilindro possui um diâmetro D

= 100 mm, espessura da parede t = 10 e comprimento L = 300 mm. A espessura dos

braceletes é w = 20 mm, e são conectados juntos com 5 parafusos M12x1,75, grau 5,8,

apertados com 75% da carga de prova. Em operação o cilindro é pressurizado entre 0 e

4 MPa.

Figura 28 – Exercício proposto 6

a) Determine a rigidez dos parafusos e da junta supondo que o cilindro é comprimido

uniformemente e que as extremidades dos braceletes são rígidas. Resposta [ 344,

2240 kN/mm]

b) Calcule as tensões média e alternada nos parafusos. Resposta [ 289, 4.7 MPa]

c) Calcule o limite de resistência a fadiga dos parafusos supondo uma confiabilidade

de 50%. Resposta [ 115 MPa]

d) Quais os fatores de segurança contra falha por fadiga e falha estática? Resposta [

8.3, 9.8]

7. Uma junta parafusada consiste de flanges de aço de largura w = 12 mm com uma junta

de diâmetro interno Di = 150mm, diâmetro externo Do= 250mm e espessura t = 2 mm.

O material da junta tem uma constante de rigidez de 100 MPa/mm com coeficiente de

junta = 1.5 e Sy = 2 MPa. Desprezando a rotação, avalie a conveniência da junta em

resistir pressão fluida flutuando entre 0 e 1 MPa, se seis parafusos de aço M10x1.5

classe 5.8 forem utilizados.

Figura 29 – Exercício proposto 7

285

CAPÍTULO 09 - PROJETO DE SOLDAS

9.1 - INTRODUÇÃO

A solda, é um processo de fabricação, que nos lembra que existem muitas facetas em

um projeto em adição à análise das tensões. De fato, a análise das tensões e o

dimensionamento são, com freqüência, as menores partes do trabalho. Na maioria das vezes,

os projetos são afetados de modo algo sensível pelos processos de fabricação, que neste livro

devem ser postos de lado por falta de espaço. Entretanto, uma vez que a análise convencional

de tensões nas soldas, freqüentemente, apresenta dificuldade e tratamento especial,

abordaremos abreviadamente soldas, dando uma menor ênfase a ela como processo. O efeito

deste processo de fabricação sobre o projeto é suficientemente grande para dar, às máquinas e

aos elementos de máquina soldados, um aspecto bem característico. A escolha de solda,

fundição, forjamento, etc., é um problema econômico que pode ser respondido corretamente de

diferentes maneiras, dependendo das circunstâncias locais. A solda pode ser um processo

menos dispendioso onde o custo de modelos para fundição venha a ser uma percentagem

grande do custo total, ou onde existam dificuldades de usinagem e fundição.

9.2 – TIPOS COMUNS DE JUNTAS SOLDADAS

Alguns tipos comuns de juntas soldadas são mostrados na figura 1. As juntas podem ou

não ser reforçadas, como se vê na figura 1a e 1b. As soldas são também classificadas de

acordo com a posição horizontal, vertical, inclinada, etc. Diz-se que uma junta é fechada

quando as partes a unir estão em contato na junção, como na figura 1c; é aberta quando as

partes a unir estão separadas na junção, como na figura 1a.

Figura 1 - Tipos comuns de juntas soldadas.

286

(a) Junta de topo. As chapas para junta de topo podem não ser chanfradas, quando

delgadas, chanfradas num lado apenas ou chanfradas em ambos os lados como na

figura 1a. O formato do chanfro pode também ser outro que não um V; um U, por

exemplo, simples ou duplo, aberto ou fechado. O chanfro em U é preferido,

especialmente para soldas profundas. Uma junta de topo pode ser reforçada, em ambos

os lados, em um lado apenas, ou não ter reforço. Um cordão de solda nivelado com as

chapas em ambos os lados, isto é, sem reforços, é melhor para resistir às tensões

repetidas, porque o reforço é uma descontinuidade que acarreta concentração de

tensões. Se uma junta de topo é submetida a uma tensão de flexão em relação ao eixo

da solda, uma tira é, algumas vezes, soldada em um ou ambos os lados para reforçá-la.

Deve-se evitar este tipo de carga, se possível.

(b) Junta sobreposta. Este tipo é mostrado na figura 1b, uma é uma solda em ângulo sem

reforço, a outra reforçada. A solda em ângulo padrão tem uma seção em triângulo reto

isósceles, como mostrado, com os catetos do triângulo iguais à espessura da placa. A

espessura de penetração t, figura 1, é usada nos cálculos de resistência, porém o

tamanho da solda é a sua dimensão b ou perna. Uma solda reforçada é aquela que tem

uma penetração t maior que b cos 45º. Para uma quantidade particular de metal de

solda, uma solda em ângulo com uma superfície côncava é relativamente fraca.

Entretanto, o canto vivo onde a solda se une a superfície da chapa soldada, figura 1b, é

ponto de concentração de tensão. Se a junta é submetida a tensões repetidas, o custo

do metal de solda extra, necessário para confeccionar uma união com concordância

nestes pontos, pode ser o compensador.

(c) Junta em T. A chapa A, figura 1c, pode ser chanfrada num lado, em ambos os lados ou

pode ser chanfrada, como na figura 2c. Se bem que as juntas em T devam, de

preferência, ser soldadas em ambos os lados, isto nem sempre é possível, pois depende

da acessibilidade.

(d) Junta de Quina ou em Cantoneira. Se uma solda em ângulo é colocada pelo lado de

dentro de uma junção em quina, ela é normalmente uma solda ligeira, como mostrado

na figura 1d. A penetração T desta solda é da ordem de 1,35 vezes a espessura da

chapa. É mais barato dobrar a chapa para fazer um canto do que solda-la.

(e) Solda de Beiradas. Soldas, figura 1e, provavelmente não são usadas para placas mais

espessas que, aproximadamente, ¼ pol.

287

(f) Soldas de Tampão. Se uma placa apóia-se sobre uma outra e se abrem orifícios que

são enchidos ou parcialmente enchidos com metal de solda, obtemos o que é chamada

uma solda de tampão.

(g) Solda Intermitente. Uma solda intermitente típica tem pequena extensão de solda, da

ordem de 2 ou 3 pol. de comprimento com espaçamento dos centros de 6 polegadas. A

extensão mínima deve ser ao menos quatro vezes a dimensão b da perna e nunca

menor que 1 pol. O espaçamento não deve ser maior que 16 vezes a espessura do

elemento mais delgado para trabalho à compressão, nem maior que 32 vezes para

outros tipos de tensões. Este método de solda economiza o custo onde é desnecessária

uma solda contínua que pela norma P-TB-2, da ABNT, ainda em estágio experimental,

apresenta dois tipos de solda intermitente: a solda em cadeia e a solda em escalão,

assim definidas: solda em cadeia – solda em ângulo usada nas juntas de cordões

intermitentes que coincidem entre si, de tal modo que a um cordão sempre se opõe

outro; solda em escalão – solda em ângulo usada nas juntas T, composta de cordões

intermitentes que se alternam entre si, de tal modo que a um cordão sempre se opõe

uma parte não-soldada.

(h) Solda de Ponteio. Uma solda de ponteio é uma solda intermitente, um ponto de solda

aqui e ali ao longo da junta, usada para manter elementos em posição para fins de

montagem ou para a operação principal de solda.

Figura 2 – Juntas soldadas.

288

Inadequado Adequado

Tabela 01 – Tipos de solda

289

Inadequado Adequado

Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda

290

Inadequado Adequado

Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda

291

Inadequado Adequado

Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda

292

Inadequado Adequado

Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda

293

Inadequado Adequado

Tabela 01 (continuação) – Tipos de solda 9.3 - CÁLCULO DAS TENSÕES – SOLDAS CARREGADAS CENTR ALMENTE

Muitas soldas, se não a maior parte, são feitas sem um cálculo prévio da tensão. A

resistência da solda pode mesmo não ter significado. Entretanto, devem ser verificadas no que

diz respeito à resistência mecânica sempre que forem destinadas a suportar cargas conhecidas

ou estimadas. Os métodos convencionais de calcular tensões, nas soldas, não estão sempre de

acordo com as análises corretas, porém têm as vantagens da simplicidade e concordância

razoável com as experiências. Uma vez que a falha da solda ocorre normalmente ao longo da

penetração t, esta seção é usada nas equações de resistência.

294

(a) Soldas de Topo. A equação da resistência para projeto de soldas de topo, em tração,

figura 2a, é

F = σttL

Onde L é a extensão do cordão e t a espessura da chapa (a espessura do reforço não

está incluída ). Em reservatório de pressão, as soldas, as soldas de topo são calculadas em

termos de suas resistências em relação à resistência da chapa. Os testes apontam que as

soldas de topo reforçadas em aço doce podem ser consideradas com a mesma resistência

estática que as placas que estão unindo, porém é mais seguro adotar uma eficiência da junta

de 90% ou menos.

(b) Solda em Ângulo Carregada Transversalmente. A área de penetração de uma solda da

figura 2b ou 2c é tL = (b cós 45º) L; para dois cordões, é 2tL, e a equação da resistência

torna-se :

F = τ(2tL) = 2Lb cos45º

A tensão em soldas com o carregamento representado é considerada de cisalhamento.

Uma vez que a junta sobreposta, figura 2b, está sujeita à flexão, bem como à tensão admissível

moderada.

(c) Solda em Ângulo Carregada Longitudinalmente. É sabido que as tensões nas

extremidades de uma solda, carregada como se vê na figura 2d são muito maiores que a

tensão média sobre a extensão da solda. Quanto mais extensa a solda, maior é a

discrepância entre as tensões máxima é média. A tensão de cisalhamento média em tais

soldas é calculada por :

F = τ(2tL) = 2τbL cos45º

Esta pode ser usada para soldas curtas deste tipo. Em dúvida, considerar, para uma

carga estática, a tensão máxima cerca de 30% maior que a média.

9.4 - SOLDAS EM ÂNGULO – CARGA EXCÊNTRICA

Existem muitas maneiras de se aplicar uma carga excêntrica em soldas. A seguir,

analisaremos alguns casos.

(a) 1º caso, figura 2. O momento fletor na solda é M = Fa. O módulo de resistência da seção

é tL2/6 para cada cordão ou tl2/3 para ambos os cordões. Substituindo estes valores na

fórmula do momento fletor, temos para a tensão normal :

σ = (M/Z) = (3Fa/tL2) = (3Fa/bL2cos45º) = (4,24Fa/bl2)

295

Admitindo a tensão de cisalhamento distribuída uniformemente, obtemos :

τ = (F/A) = (F/2tL) = (F/2Lb cos45º) = (0,707F/Lb)

Usando a teoria da tensão de cisalhamento máxima, obtemos a seguinte tensão :

τmax = [τ2+(σ/2)2]1/2 = [(F/2tL)2+(3Fa/2tL2)2]1/2,

Onde se pode encontrar a extensão de solda L necessária para uma tensão admissível τmax ou

vice-versa.

(b) 2º caso, figura 2. Um modo de proceder, quando duas ou mais soldas estão impedindo

uma rotação, é admitir que o centro de rotação está no centro de gravidade G do cordão

de solda. Quando o metal da solda está disposto assimetricamente, pode ser usado o

centro de gravidade das áreas de penetração, ponto G da figura 3. Em seguida, admitir,

também, que a tensão devida ao momento Fe, em qualquer ponto de uma solda, é

proporcional à sua distância de G; isto é, τ/ρ = τ1/ρ` onde τ é a tensão, num ponto

qualquer B, e τ1 é a tensão máxima que ocorre no raio máximo ρ`, no ponto H. Desta

forma, em B a força de cisalhamento perpendicular a ρ é tomada

Figura 3 - Força de cisalhamento perpendicular

Como τ dA , e o momento resistente desta força em relação a G é ρτdA. Usando τ =

ρτ1/ρ` e igualando o momento aplicado Fe ao momento resistente, obtemos :

Fe = ∫ρτdA = (τ1/ρ`)∫ρ2dA,

Onde observamos que ∫ρ2dA é o momento de inércia polar, JG de uma área que

tomamos como área de penetração em relação a G. A equação acima pode conseqüentemente

ser escrita da seguinte forma :

296

Fe = (τ1 JG)/ρ`

Para obter JG recordemos que o momento de inércia de uma área delgada longa, em

relação a um eixo que passa pelo centro de gravidade O e perpendicular à área é J` = AL2/12,

onde L é o comprimento da área e a outra dimensão (penetração) é bastante pequena,

comparada com L. Também, recordando o teorema dos eixos paralelos, (J = J`+ Ad2), obtemos,

figura 3 :

JG = J`+ Ad2 = (AL2/12) + Ar2,

onde r é a distância entre o centro de gravidade O de uma área de penetração e o centro de

gravidade G de todas estas áreas. Caso as soldas inferior e superior tiverem o mesmo tamanho

e a mesma extensão, o JG total será duas vezes o dado pela equação. Em geral, o JG total é a

soma dos momentos de inércia polares de todas as áreas de penetração, em relação a G, e o

valor JG de da equação deve ser este valor total.

Agora, se o momento for produzido por uma carga F, como se vê na figura 3, esta força

é considerada como induzindo também, nas soldas, uma tensão de cisalhamento média

orientada para baixo :

τ2 = (F/A)

Onde A é a área total das penetrações. Se estas tensões de cisalhamento atuam nos sentidos

mostrados em H, figura 3, a resultante HN de é obtida pela lei dos co-senos, como :

τmax = (τ12 + τ2

2 + 2τ1τ2cosθ)1/2

É tomada como a tensão de cisalhamento máxima. A análise precedente é aproximada e, além

disso, pressupõe que não haja tendência da chapa torcer. Pela natureza da análise, é

suficientemente acurado considerar os vários pontos P, O e H como se estivessem situados ao

longo da borda da chapa.

Usando a imaginação na figura 4, podemos fazer análises mais simples ou mais

complicadas que a apresentada. Esta, entretanto, é perfeitamente satisfatória.

297

Figura 4 - Tensão de cisalhamento

(c) 3º caso, figura 5. Este é o caso de uma solda em ângulo mas anelar, sendo submetida a

um momento de flexão M. Seja a σ tensão de tração sobre uma extensão de solda

elementar r dθ, figura 4. A força correspondente é dF = σdA = σtr dθ onde,

Figura 5 - Solda em ângulo

como de costume, a área é baseada na penetração t. As tensões no cordão são tomadas

proporcionais à distância do plano neutro, que é o plano horizontal que passa pelo centro de

gravidade. Se a tensão máxima, é σ1, temos : σ/r = σ/(r senθ) ou σ = σ1 senθ. Substituindo este

valor de σ na expressão de dF, obtemos :

dF = σ1 senθ tr dθ

Multiplicando ambos os membros por r senθ, temos :

∫(dF)(r senθ) = σ1 tr2 ∫ sen2θ dθ

onde o primeiro membro é igual ao momento aplicado M, e o segundo membro é o momento

resistente. A integração dá :

M = σ1 tr2 ∫2π sen2θ dθ = σ1 tr

2π

σ1 = (4M/πtD2) = 4M/π(b cos45º)D2 = (5,66M/πbD2)

298

9.5 – TORÇÃO NAS JUNTAS SOLDADAS

A figura 2 ilustra uma viga em balanço com solda de comprimento L a uma coluna por 2

filetes de solda, força de cisalhamento F e um momento M. A força cisalhante produz

cisalhamento primário nas soldas de valor:

τ’ = F / A

onde A é a área da garganta de todas as soldas.

Figura 6 - Isto é uma conexão de momentos; tal conexão produz torção nas soldas

O momento no apoio produz cisalhamento secundário ou torção nas soldas e esta

tensão é dada pela equação: τ’’ = M.r/J, onde r é a distância do centróide do grupo de soldas ao

ponto da solda de interesse e J é o segundo momento polar de inércia do grupo de soldas em

relação ao c.g. do grupo. Quando se conhece o tamanho das soldas, estas equações podem

ser resolvidas e os resultados combinados para se obter a maior tensão cisalhante. Note que r

é usualmente a maior distância do c.g. do grupo de soldas.

A vantagem de tratar o tamanho da solda como uma linha é que o valor de Ju é o

mesmo com relação ao

tamanho da solda. Como a largura da garganta do filete de solda é 0.707h, a relação entre J e o

valor da unidade é:

J = 0.707h.Ju

na qual Ju é encontrado por métodos convencionais para uma área que tenha largura da

unidade. A transferência da fórmula para Ju deve ser empregada quando a solda ocorrer em

299

grupos. A tabela 1 lista as áreas das gargantas e o momento unitário polar de área para os

filetes de solda mais comumente encontrados. O exemplo que se segue é típico de cálculos

normalmente feitos.

9.6 - CARREGAMENTO DINÂMICO

Os princípios de projeto para cargas variáveis como explanado no capitulo 04 podem ser

aplicados às uniões soldadas quando for possível uma avaliação segura das tensões atuantes.

A resistência a fadiga de uma junta de aço soldadas pode ser estimada como a metade de sua

resistência a ruptura. Os fatores de concentração de tensão podem ser obtidos por métodos

experimentais e normalizados. Testes de fadiga de soldas tem dados alguns resultados como:

Para solda de topo reforçadas , Kf=1,2

Ponta de solda em ângulo transversal Kf=1,5

Extremidade de solda em ângulo longitudinal Kf=2,7

300

Tabela 2 - Propriedades de Torção das Soldas de Filete conforme referëncia [67]

9.7 – FLEXÃO EM JUNTAS SOLDADAS

A figura 17a nos mostra uma viga em balanço soldada em um suporte por um filete de

solda no topo e no fundo Um diagrama de corpo livre de um cordão de solda nos mostra uma

força de reação de cisalhamento F e uma reação de momento M. A força de cisalhamento

produz um cisalhamento primário nas soldas de magnitude:

τ’ = F / A (6)

301

onde A é a área total da garganta.

O momento M produz uma tensão normal de dobramento nas soldas. Embora não

necessário, é de costume na análise de tensões na solda assumir que esta tensão age na

direção normal à área da garganta. Ao se tratar as duas soldas da figura 8b como linhas,

encontramos o segundo momento unitário de área sendo:

2

2bdI u = (7)

Então o segundo momento de área baseado na garganta da solda é:

2

707,02bd

hI = (8)

Figura 8 - Uma viga em Balanço soldada a um suporte no topo e no fundo

A tensão normal é:

bdh

M

hbd

dM

I

Mc 414.1

2/707,0

)2/(2

==== στ (9)

O segundo momento de área na equação (9) é baseado na distância d entre as duas

soldas. Se este momento é encontrado tratando-se as duas soldas como retângulos, à distância

entre os centróides da solda seria (d + h). Isto produziria um momento levemente maior e

resultaria em um menor valor da tensão σ. Assim o método de tratamento de soldas como

linhas produz resultados melhores. Talvez a segurança adicional é apropriada na visualização

da distribuição de tensões.

Uma vez que as componentes σ e τ das tensões foram encontradas as soldas sujeitas

ao dobramento, elas devem podem ser combinadas através do uso do diagrama do círculo de

Mohr para achar as tensões principais ou a máxima tensão de cisalhamento. Então uma teoria

de falha apropriada é aplicada para determinar probabilidade de falha ou segurança.

A tabela 3 lista as propriedades de dobramento mais prováveis de serem encontradas

na análise de cordões de solda.

302

Tabela 3 - Propriedades de dobramento, conforme referëncia [67]

9.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Um bracelete como mostrado na figura abaixo é feito de aço estrutural e suporta uma

carga repetida de 9 kN a uma distância de a=25 mm da parede. Qual deve ser o

comprimento L da solda com espessura de 9.5 mm para resistir a esta carga atuante?

Figura 9 – Exercício proposto 1

303

2. Uma peça é feita de chapas placas submetidas a flexão e soldadas com solda E6020.

Uma carga F constante de 23 kN, L=460 mm (comprimento), altura h=100 mm e a=150

mm. (a) Utilizando um fator de segurança N=3,75 para a tensão de cisalhamento

admissível do projeto(80% do Limite de resistência a tração),qual a espessura do

cordão de solda ?

Figura 10 – Exercício proposto 2

3. A peça abaixo deverá suportar uma carga F=80 kN sem torção na solda de eletrodo

E6010. A placa possue uma altura de L2=250 mm (10 pol), Supondo valor de L1= 130

mm(5 pol) calcule a espessura do cordão de solda. A distância do ponto de aplicação da

carga até a parede é de 286 mm (11,25 pol).

Figura 11 – Exercício proposto 3

304

4. Qual a junta mais efetiva, a transversal ou a longitudinal, e de quanto ? Resposta

[Transversal,22%]

Figura 12 – Exercício proposto 4

5. A tensão normal admissível para as soldas acima é de 240 MPa. Determine a máxima

carga admissível F, em cada caso. Resposta [ 100, 35.3, 14.5, 10.3 kN ]

Figura 22 – Exercício proposto 5

6. As duas vigas são cada uma soldadas em um suporte fixo como mostrado. Calcule a

máxima tensão cisalhante em cada uma das soldas.

.

Figura 13 – Exercício proposto 6

7. Uma força de 7,5 kN atua na peça mostrada ao lado. Qual a máxima tensão cisalhante

na solda?

Figura 14 – Exercício proposto 7

305

8. A viga em balanço de seção transversal circular, é soldada no suporte usando eletrodod

E48xx e carregada por uma força de valor F, inclinada em [ 4 -3 -12 ] como mostra a

figura. Qual o máximo valor da força para um fator de segurança 1,5 ? Resposta [ 19.7

kN]

Figura 15 – Exercício proposto 8

9. A viga em balanço horizontal de seção transversal triangular é soldada a uma parede

vertical e suporta um peso de 15 kN como mostra a figura. Qual a espessura do filete de

solda para uma tensão admissível ao cisalhamento de 250 MPa na junta ?The

horizontal cantilever of triangular cross-section is fillet welded to a vertical wall and

supports a weight of 15 kN as sketched. Resposta [ 4 mm]

Figura 16 – Exercício proposto 9

306

10. A viga Z é unida obliquamente ao plano apoiada por dois filetes idênticos de soldas, um

em cada flange, e carregada por um momento M de 1400 Nm, cujo eixo está indicado na

figura. Para uma tensão de projeto de 250 MPa, qual a espessura do filete necessário?

Figura 17 – Exercício proposto 10

307

CAPITULO 10 - TIPOS DE ENGRENAGENS E RELAÇÕES

CINEMÁTICAS

10.1 - INTRODUÇÃO

Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em diversas

aplicações. Existem várias opções de engrenagens de acordo com o uso a qual ela se destina.

A maneira mais fácil de se transmitir rotação motora de um eixo a outro é através de

dois cilindros (figura 1). Eles podem se tocar tanto internamente como externamente. Se existir

atrito suficiente entre os dois cilindros o mecanismo vai funcionar bem. Mas a partir do momento

que o torque transferido for maior que o atrito ocorrerá deslizamento.

Figura 1 - Transmissão de rotações por contato direto,dois cilindros

Com o objetivo de se aumentar o atrito entre os cilindros, fez-se necessária a utilização

de dentes que possibilitam uma transmissão mais eficiente e com maior torque. Nasce assim a

engrenagem. Todo estudo da engrenagem estará concentrado no estudo de seus dentes, iguais

em uma mesma engrenagem, relativo à sua geometria e resistência.

As engrenagens como elementos de transmissão de potência se apresentam nos

seguintes tipos básicos:

308

10.2 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS

Figura 2 – Engrenagens cilíndricas

10.2.1 - DEFINIÇÕES

Círculo primitivo é a base do dimensionamento das engrenagens e seu diâmetro

caracteriza a engrenagem (figura 1). As rodas conjugadas usualmente têm seus círculos

primitivos tangentes, se bem que esta condição não seja necessária no caso de engrenagens

de perfil evolvental.

A circunferência externa também chamada de cabeça do addendum ou externa, limita

as extremidades externas dos dentes.O addendum ou altura da cabeça do dente é a distância

radial entre as circunferências externa e primitiva.O círculo da raiz é o círculo que passa pelo

fundo dos vãos entre os dentes.O deddendum ou altura do pé do dente é a distância entre os

círculos primitivo e de raiz.

A folga do fundo é a distância radial entre a circunferência de truncamento e a da raiz.

Figura 3 -típico dente de engrenagem cilíndrica evolvental

309

A figura 3 apresenta apresenta o dente evolvental de uma engreangem cilíndrica de

dentes retos,onde:

de = diâmetro externo

di = diâmetro interno

dp = diâmetro primitivo

a = addendum

d = deddendum

c = folga

F = largura

p = passo

rf = raio do filete

Espessura do dente é o comprimento do arco da circunferência primitiva, compreendido

entre os flancos do mesmo dente.

O vão dos dentes é a distância tomada em arco sobre o círculo primitivo entre dois

flancos defrontantes de dentes consecutivos.

A folga no vão é a diferença entre o vão dos dentes de uma engrenagem e a espessura

do dente da engrenagem conjugada.

A face do dente é a parte de superfície do dente limitada pelo cilindro primitivo e pelo

cilindro do topo.

A espessura da engrenagem é a largura da engrenagem medida axialmente (é a

distância entre as faces laterais dos dentes, medida paralelamente ao eixo da engrenagem).

O flanco do dente é a superfície do dente entre os cilindros primitivo e o da raiz.O topo é

a superfície superior do dente. O fundo do vão é a superfície da base do vão do dente.Quando

duas engrenagens estão acopladas, a menor é chamada pinhão e a maior simplesmente

engrenagem ou coroa.

O ângulo de ação é o ângulo que a engrenagem percorre enquanto um determinado par

de dentes fica engrenado, isto é, do primeiro ao último ponto de contato. O ângulo de

aproximação ou de entrada é o ângulo que a engrenagem gira desde o instante em que um

determinado par de dentes entra em contato até o momento em que este contato se faz sobre a

linha de centros.

O ângulo de afastamento é o ângulo que a engrenagem gira desde o instante em que

um determinado par de dentes atinge o ponto sobre a linha de centros, até que eles abandonem

o contato.

310

10.2.2 – RAZÃO DE VELOCIDADES

A razão ou relação de velocidades ou relação de transmissão é a velocidade angular da

engrenagem motora dividida pela velocidade angular da engrenagem comandada. Para

engrenagens de dentes retos está razão varia inversamente com os diâmetros primitivos e com

o número de dentes.

1

2

2

1

D

D

N

Nesvelocidadederelação ===

10.2.3 - O MÓDULO

Em toda engrenagem existe uma relação constante relacionando o número de dentes

(N) e o diâmetro primitivo (dp). No sistema métrico esta relação é chamada de módulo m (em

milímetro) e no sistema inglês de passo diametral (número de dentes por polegada). Por outro

lado o passo é definido como o comprimento do círculo dividido pelo número de dentes. Assim:

Sistema Métrico Sistema Inglês

m = dp/N P = N/dp

p = π.dp/N p = π.dp/N

p = π.N p . P = π

Tabela 1 – Módulo no sistema inglês e métrico

A tabela a seguir mostra os principais passos diametrais (P) e módulos (m)

padronizados, necessários, pois às ferramentas usadas para usinar os dentes são também

padronizados em função destes números.

Módulo m [m] 1 1.25 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25

Passo P [1/in] 2 2 ¼ 2 ½ 3 4 6 8 10 12 16 20 24 32 40 48

Tabela 2 – Módulo e passo

311

Fórmula Descrição

Sistema métrico [mm] Sistema inglês [pol]

Addendum m 1/P

Deddendum 1.25 × m 1.25 / P

Diâmetro do pinhão m × Np NP / P

Diâmetro da coroa m × Ng NG / P

Distância entre centros (dg +dp)/2 ( dG + dP ) / 2

Altura do dente 2.25 × m 2.25 / P

Diâmetro ext. do pinhão dp + 2a = m (Np + 2) dP + 2a

Diâmetro ext da coroa dg + 2a = m (Ng + 2) dG + 2a

Folga 0.25 × m 0.25 / P

Raio do filete 0.30 × m 0.30 / P

Diâmetro base Db = dp × cos θ db = dP × cos θ

Número mínimo de dentes 12 a 15 12 a 15

Tabela 3 – Fórmulas

10.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS

Figura 4 - Esquema de um par de dentes helicoidais com eixos não paralelos

A figura 4 apresenta o princípio de funcionamento das engrenagens cilíndricas de dentes

retos. Para a análise das relações de velocidades entre duas engrenagens cilíndricas de dentes

helicoidais a figura 5 apresenta um esquema explicativo: AB - se deslocou para A’B’ - A’B’//AB

312

AB - segmento de reta, com inclinação qualquer, pertencente aos dois planos.

M - pertence aos dois planos

M - -do plano (1) se deslocou para M’

M - do plano (2) -se deslocou para M”

Figura 5 - Análise de velocidades em dois dentes helicoidais em contato

10.3.1 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES

Seja: ε = ângulo formado pelos eixos, no espaço.

α1 = ângulo formado pelo eixo de 1 com a linha AB que é o angulo de inclinação da hélice da

roda 1.

α2 = ângulo formado pelo eixo de 2 com a linha AB que é o ângulo de inclinação da hélice da

roda 2.

v1 e v2 = velocidade M nos planos 1 e 2, respectivamente.

nn - normal à linha AB

313

Figura 6 - Análise de engrenagens cilíndricas helicoidais

TEOREMA

As projeções das velocidades absolutas de dois corpos, sobre a tangente comum, no

ponto de contato, são iguais (figura 6).

AB - tangente comum

nn - normal à tangente comum AB

vn – v1 . cos α1 = v2 . cos α2

w1 . r1 cos α1 = w2 . r2 cos α2

11

22

2

1

cos

cos

αα

⋅⋅=

r

r

w

w

O dente de uma engrenagem cilíndrica reta pode ser considerado gerado pela

translação do perfil envolvente segundo a direção do eixo da engrenagem.

O dente da engrenagem cilíndrica helicoidal é gerado pela translação do perfil

envolvente que se move segundo uma hélice em torno do eixo da engrenagem.

Em cada plano normal ao eixo da engrenagem, o perfil será uma envolvente do circulo,

e como tal será conjugado com uma (engrenagem) cremalheira de flancos retilíneos. Os perfis

dos dentes da cremalheira, são porém, deslocados, uns em relação aos outros, obtendo-os,

para a cremalheira, perfis trapezoidais inclinados segundo uma reta que faz um ângulo a com o

eixo da roda.

''

''tan

SR

MRf ⋅

⋅=β

314

αβ cos''''

tan ⋅⋅⋅=

⋅⋅=

SR

MR

SR

MRn � α

ββcos

tantan n

f =

Figura 7 – Ângulos de pressão e passos para engrenagens helicoidais

10.3.2 - PASSO NORMAL E PASSO FRONTAL - MÓDULOS

Pn = Pf . cos α Mn = mf . cos α

Diâmetro Primitivo

d = mf – z ∴ ZM

d n ⋅=αcos

NOTA: A partir da relação de velocidades obtida anteriormente podemos escrever:

111

222

11

22

2

1

cos

cos

cos

cos

αα

αλαλ

⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅=

NM

NM

W

W

f

f

Mas: Mf2 . cos α2 = Mf1 . cos α1 = Mn

Portanto:

1

2

11

22

2

1

coscos

N

N

d

d

W

W =⋅⋅=

αα

315

Figura 8 - Cilindro com detalhe para engrenamento helicoidal

Seja:

r - raio do cilindro primitivo

ρ - raio de curvatura da hélice abcde.

ρ = r/cos2 α (Analítica)

απ

απρπ

33 cos

2

cos

22

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

fp

r

np

r

npN

Mas:

Nfp

r

f

=⋅⋅⋅π2

(nº real de dentes) ∴ α3cosN

Nv =

10.3.3 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES

Todas as considerações feitas para as engrenagens cilíndricas retas valem para as

helicoidais desde que se considere que os perfis envolventes estejam no plano frontal.

fmm sen

kN

β2

2 ⋅=

Foi visto anteriormente que:

αββ

cos

tantan

nf = (Helicoidais)

Sabe-se também que:

C = K . mf ∴ αcos==f

n

m

mK

Em

fmm sen

Nβ

α2

cos2 ⋅=

Sendo βf e βn muito próximos podemos escrever

316

αββ

cos

sensen n

f ≅ αββ

2

22

cos

sensen n

f =

nmm

senN

βα

2

3cos2 ⋅= nsen

N

βα 23min 2

cos=

Mas:

NN

=α3

min

cos

nmm

senN

β2

2= (número de dentes de engrenagem virtual)

Esta última expressão vem salientar que o perfil no plano normal ao eixo (logo, perfil

frontal) difere muito pouco do perfil correspondente de uma engrenagem cilíndrica reta com

ângulo de pressão βn e número de dentes Z*.

Relação de Transmissão - para as helicoidais podemos chegar até 6/1.

Figura 8 – Engrenagens helicoidais

10.3.4 - ÂNGULO DE PRESSÃO

O valor de βn é padronizado (mesmos valores usados nas cilíndricas retas).

O valor de βf é αββ

cos

tan nf arctg=

Ângulo de Inclinação de Hélice: a prática recomenda: α = 10 a 45º

Quando o ângulo é grande a componente axial aumenta sensivelmente. Recomenda-se

que, para ângulos superiores a 25º, as engrenagens sejam. feitas com dupla hélice (espinha de

peixe).

317

10.3.5 - LARGURA DE ENGRENAGEM

Para engrenagens de caixas de marcha k = 7 a 14. Para ‘engrenagens de redutores

silenciosos e a alta velocidade k 20 a 40.

Figura 9 - Plano mostrando as componentes radial,

tangencial e axial no dente de uma engrenagem helicoidal

O plano τ que contém S normal a PoPo S - força total agente sobre o dente.

Sf � T (radial

Decomposição de S: S � P (tangencial)

A � Axial

10.3.6 - RELAÇÕES ENTRE AS FORÇAS

n

nPS

βcos= Mas: αβα coscos

;cos ⋅

==n

nP

SP

P

A = Pn . sen α � A = P . tg α

n

nn

PST

βαβ

βcoscos

sensen

⋅⋅

=⋅= � nP

T βα

tancos

⋅=

d

MtP

⋅= 2

10.3.7 - COMPRIMENTO DOS DENTES EM CONTATO SIMULTAN EAMENTE

Vimos, nas engrenagens helicoidais,, sendo os dentes deslocados uns em relação aos

outros, o engrenamento é gradual e não periódico. Logo, temos sempre mais de um par de

dentes em contato.

318

Se o fator de recobrimento for 2 teremos o caso da figura abaixo:

Figura 10 - Número de dentes em contato-fator de recobrimento

Na figura 10 temos:

M1M2 - comprimento da linha de engrenamento

N1N2 - comprimento do arco de ação

Neste caso impomos: N1N2 = 2 X passo

As linhas da figura 10 (b) N1 N2 representam os eixos dos dentes. Esta figura representa

o cilindro primitivo desenvolvido no plano, logo os eixos dos dentes tornam-se retas inclinadas

de uma relação ao eixo da engrenagem. O comprimento de “dente em contato” no caso da

figura 10 será:

αcos2

bl ⋅=

l = comprimento da linha de engrenamento.

Generalizando:

αcos

bfl ⋅=

onde f é a relação de contato Nas engrenagens comum faz-se: f = 1,5

Logo:

αcos5,1

bl ⋅≅

319

Figura 11 - Detalhe dos planos normal e transversal para análise de forças das engrenagens helicoidais

Fórmula Descrição

Sistema métrico [mm] Sistema inglês[pol]

Addendum mn 1 / Pn

Deddendum 1.25 × mn 1.25 / Pn

Diâmetro do pinhão mt × Np NP / Pt

Diâmetro da coroa mt × Ng NG / Pt

Distância entre centros (dg +dp)/2 ( dG + dP ) / 2

Altura do dente 2.25 × mn 2.25 / Pn

Diâmetro ext. do pinhão dp + 2a = mt (Np + 2.cos ψ) dP + 2a

Diâmetro ext da coroa dg + 2a = mt (Ng + 2. cos ψ) dG + 2a

Folga 0.25 × mn 0.25 / Pn

Tabela 4 – Fórmulas

320

Figura 12 - Componentes radial,axial e tangencial no dente de engrenagem helicoidal

ψθ cos.cos. nWWt = nsinWWr θ.= ψθ sen.cos. nWWa=

Descrição Fórmula (Sistema Inglês)

Razão de transmissão mg = Ng/Np

Addendum da coroa Ag = 0.54 / P + 0.46 / (P.mn)

Altura do dente H = 2.0 / P

Folga C = 0.188 / P + 0.002 in

Largura do dente F = Ao / 3 ou 10 / P (usar o menor)

Pinhão 16 15 14 13 Número mínimo de dentes

Coroa 16 17 20 30

Tabela 5 – Fórmulas do sistema inglês

10.4 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS

10.4.1 - CONES DE ATRITO - DEFINIÇÕES

A transmissão entre eixos concorrentes é obtida por meio dos chamados cones de

fricção que, dotados de saliências e reentrâncias originam as engrenagens cônicas. O perfil

correto (não deformado) do dente é obtida em um plano perpendicular a geratriz do cone.

321

Figura 13 - Esquema mostrando os diferentes diâmetros para engrenagens cônicas de dentes retos

- Cone primitivo: cone de fricção que a engrenagem substitui.

- Geratriz primitiva: geratriz do cone primitivo

- Cone externo: cone circunscrito à engrenagem

- Cone interno: cone correspondente ao fundo do dente

- Diâmetro primitivo: (d) é o maior diâmetro do cone primitivo.

- Diâmetro externo: (de) é o maior diâmetro do cone externo.

- Diâmetro interno: (di) é o maior diâmetro do cone interno.

- Espessura da engrenagem: (a) é o comprimento do dente, medido sobre a geratriz

primitiva.

- Semi-ângulo da engrenagem: (ε) ângulo formado pela geratriz com eixo da peça.

Figura 14 - Esquema mostrando os diferentes diâmetros

para engrenagens cônicas de dentes retos

322

10.4.2 - RELAÇÃO DE VELOCIDADES

Seja: δ = ε1 + ε2 = ângulo pelos eixos das engrenagens

r1, r2 = raios primitivos

Da figura 15 podemos escrever:

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

sen

sen

εε

====d

d

r

r

n

n

W

W

Figura 15 - Relações geométricas entre ângulos primitivos e

diâmetros para engrenagens cônicas de dentes retos

10.4.3 - ENGRENAGEM VIRTUAL

Na figura 16, seja Ot Po = Rt o comprimento da geratriz do cone traseiro. É nesse cone

traseiro que o perfil do dente tem o seu formato correto. Assim, a mesma tabela de fatores de

forma dada para as engrenagens cilíndricas retas, será as cônicas, com as seguintes

considerações:

Desenvolvimento:

- Desenvolvendo o cone traseiro em um plano obtemos um setor de círculo.

- Neste setor e com o mesmo passo da engrenagem cônica fazemos o traçado dos

dentes cobrindo todo o setor.

323

- Imaginamos a complementação da circunferência, ainda com o mesmo passo, obtendo

assim a seção de uma engrenagem cilíndrica reta chamada engrenagem virtual (ou

fictícia), com um número de dentes representamos pelo símbolo Z*.

Figura 16 - Detalhe do comprimento do cone traseiro em engrenagens cônicas de dentes retos

Com estas considerações podemos escrever:

p

RZ t⋅⋅

=π2

* mas, (figura 16): εcos2⋅= p

t

dR

Então:

εεεπ

coscoscos2

2*

Z

m

d

p

dZ =

⋅=

⋅⋅⋅⋅=

Em função de Z* tiramos da tabela de Y o valor do fator de forma que terá, aqui, o

símbolo Y*. Este valor de Y* será usada no dimensionamento das cônicas.

10.4.4 - NÚMERO MÍNIMO DE DENTES - EVITANDO INTERFERÊNCIA

Analogamente às cilíndricas retas:

β2sen

2* ≥Z ou

βε 2sen

2

cos≥Z

βε

2minsen

cos2⋅≥Z

324

10.4.5 - RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO

1

2

2

1

Z

Z

W

WR == (relação de redução)

Onde:

Pinhão:índice 1

Coroa: índice 2

Sendo:

δ = ε1 + ε2 e 1

2

sen

sen

εε

=R

Escrevemos:

( ) δεεδε

εδε

cossencossen

sen

sen

sen

22

2

2

2

⋅−⋅=

−=R

δεδ coscotsen

1

2 −⋅=R

δδε

sen

cos1cot 2 ⋅

⋅+=R

R

No caso particular (e muito comum) de δ = 90º podemos escrever:

tg ε2 = R

Desta maneira calculamos os valores dos semi ângulos do par cônico.

10.4.6 - MÓDULO EFETIVO - MÓDULO MÉDIO

MÓDULO EFETIVO

dentesderealnúmero

máximoprimitivodiâmetro

z

dm ==

MÓDULO MÉDIO

dentesderealnúmero

médioprimitivodiâmetro

z

dm m

m ==

OBS: O diâmetro primitivo médio é tomado a partir da metade do comprimento a do dente.

325

Podemos escrever:

d

d

m

m mm =

Como:

εsen2

⋅−= arrm ou εsen⋅−= addm

Então:

εεsen1

sen ⋅−=⋅−=d

a

d

ad

m

mm

Mas:

a = K . m logo:

⋅−⋅= εsen1Z

Kmmm

que é a relação entre módulo médio e módulo efetivo.

10.4.7 - COMPRIMENTO DO DENTE

a = K . m

onde:

K = 6 (engrenagens comuns)

K = 8 (engrenagens de média precisão) ;

K = 12 a 15 (engrenagens de muita precisão montadas sobre eixos bastante rígidos)

NOTA: Alguns autores recomendam que:

εsen3

1

3

1 dOPa o ∴=≤

εsen6⋅≤⋅ d

mK onde εsen6⋅≤ Z

K

10.4.8 - FORÇAS ATUANTES NAS CÔNICAS

A força total S, atua sobre o dente atua no plano médio, sobre a engrenagem fictícia (ver

figura 17).

326

Figura 17 - Força atuante sobre dentes de engrenagens cônicas

A força S se decompõe em duas T* e P* = P

O plano de S (T* e P*) é perpendicular à geratriz primitiva. A força P* é tangente à

circunferência de raio Rt e também é circunferência de raio r. Logo P* = P.

A força T* se decompõe em T (radial) e A (axial)

m

t

d

MP

⋅=

2 força tangencial

T = T* . cos ε mas T* = P . tg β

T = P . cos ε . tqβ força radial

A = T* . sen ε = P . sen ε . tg β

A = P . sen ε . tg β .

Figura 18 - Análise de forças atuantes

As forças ficam assim distribuídas:

PoPo = geratriz do cone primitivo

00 = linha de centro da engrenagem

327

Figura 19 - Esquema de um par de engrenagens cônicas de dentes retos

Alguns autores utilizam a seguinte notação:

θcos.WWt = ; γθ cos..sinWWr = ; γθ sen.sen.WWa=

γθ cos.tgWtWr = γθ sen.tgWWa=

onde Wt= força tangencial; Wr=força radial e Wa=força axial e W força ou carga total no dente

da engrenagem.

10.5 - PARAFUSO SEM-FIM/COROA

10.5.1 - INTRODUÇÃO

As engrenagens de rosca sem fim são usadas para transmitir potência entre eixos que

não se interceptam e que, quase sempre, estão em ângulo reto. Razões de velocidades

relativamente altas, podem ser obtidas satisfatoriamente num espaço mínimo, sem ter que,

normalmente, com .sacrifício do rendimento, comparado com outros tipos de engrenagens. O

contacto por impacto no engrazamento de engrenagens retas e outras não se apresenta nos

para fusos sem-fins. A rosca do sem-fim desliza, em contacto com os dentes da engrenagem,

ação esta que resulta em funcionamento silencioso se o projeto e confecção forem adequados.

Quando a relação de redução das velocidades é muito grande, uma das engrenagens terá o

diâmetro e o número de dentes pequenos e sua forma será a de um parafuso, donde a

designação de parafuso sem-fim; neste caso a de maior diâmetro receberá a designação de

coroa. Ainda que existindo a possibilidade de emprego do mecanismo para um ângulo de eixos

qualquer, a prática o utiliza sempre para π/2 e numa faixa de redução bastante ampla,

geralmente de 1/10 a 1/100, ainda que este limite possa ser ultrapassado, quando seremos

328

conduzidos a diâmetro bastante elevados para a coroa. Esta poderá ou não envolver o parafuso

sendo o primeiro caso mais eficiente e comum. Como engrenagens helicoidais que são,

praticamente, tudo o que foi dito para engrenagens de eixos paralelos, vale para o atual caso.

Figura 20 – Parafuso sem fim.

10.5.2 - CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS

O parafuso sem-fim e a coroa podem ser projetados para transmissão entre eixos

normais ou fazendo um ângulo qualquer.

PASSO E AVANÇO

O passo P é a distância, media axialmente, de um ponto corres pendente ao filete

adjacente. O avanço é a distância axial que a rosca avança numa volta, isto é, a distância que a

porca se desloca ao longo do eixo numa volta. Um parafuso sem-fim de uma entrada tem um

avanço igual ao passo. Um parafuso sem-fim de duas entradas tem um avanço igual a duas

vezes o passo etc.

329

Uma entrada Duas entradas Três entradas

Figura 21 - Esquema de um parafuso sem fim com diferentes entradas

O ângulo de pressão é β, o ângulo de flancos é 2β.

O ângulo de avanço é γ.

O ângulo de avanço é o ângulo formado pela tangente à hélice com um plano normal ao eixo da

rosca.

pp D

avanço

⋅=

πγ arctan

Onde:

Dp = diâmetro primitivo do parafuso

O mesmo modo que para as engrenagens helicoidais, os sem-fins tem um passo normal

pen. Nas engrenagens helicoidais o passo fr tal é medido num plano ⊥ ao eixo; nos sem-fins o

passo frontal pf é medido na direção do eixo e é designado por pc. Para os sem-fins, a relação

entre os passos e:

Pnc = Pac . cos γp

Onde γp é o ângulo de avanço que é chamado algumas vezes de ângulo de hélice

(incorreto). No entanto, o seu emprego prático se limita, quase que no primeiro caso, motivo

pelo qual ele será abordado. Com esta consideração adotando-se o índice P, para indicar o

parafuso sem-fim e C para a coroa, tem-se:

αc + αp = π/2

Onde α representa os ângulos de inclinação e

PFP = PAC

PNP = PNC

PAP = PFC

Onde PF, PN e PA representam respectivamente os passos frontal, normal e axial, como

definidos para as engrenagens helicoidais.

330

m FP = m AC = dp/Np

m NP = m NC

m AP = m FC = dc/Nc

Sendo dp o diâmetro primitivo do parafuso e dc o diâmetro primitivo da coroa.

Comumente os parafusos sem-fim apresentam poucos helicóides constitutivos dos

dentes (de 1 a 4, ainda que esse número possa ser excedido). Como a cada dente corresponde

um vazio e, conseqüentemente, a uma operação de corte, os parafusos de um, dois ou mais

dentes, são ditos de uma, duas ou mais entradas.

10.5.3 - ALGUNS DADOS EMPÍRICOS

Para se obter urna boa forma dos dentes, aconselha-se a escolher os seguintes

números de dentes (ou nos de entradas) do parafuso:

R 40:1 20:1 13:1 10:1 8:1 7:1 6:1 5:1 4,5:1 4:1

Zp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabela 6 – Número de dentes

Para se evitar a interferência que se agrava nas regiões mais externas do parafuso,

recomenda-se a seguir as seguintes proporções:

Zp + Zc ≥ 40 e

Zc 18 24 32 38 46 54 62 ≥ 65

ββββap 30º 27º30’ 25º 22º30’ 20º 17º30’ 15º 14º30’

Tabela 7 – Exemplo de proporções Zc ,βap

Onde βap = ângulo de pressão num plano axial do parafuso

Figura 22 - Esquema de um corte nos dentes de parafuso sem fim,

mostrando o ângulo de pressão no plano axial do parafuso.

E também:

331

ααααc ≤ 12º 12º a

20º

20º a

25º > 25º

ββββa (P) 14º30’ 20º 22º30’ 25º

Tabela 8 – Ângulos αc, βa (P)

Onde αc ângulo de inclinação de hélice da coroa.

10.5.4 - MATERIAIS

Parafuso – aço-aço cementado, ferro fundido cinzento.

Coroa – bronze comum, bronze fosforoso, bronze de chumbo (altas velocidades),

bronze de alumínio, e bronze de silício (baixas velocidades e altas cargas), ferro fundido

cinzento (serviços leves).

OBS: é usual fazer-se o núcleo da coroa de ferro fundido ou aço, com aro externo de bronze

para reduzir os custos.

Figura 23 - Esquema de um parafuso sem-fim/coroa mostrando passos,

diâmetro primitivo e ângulos de hélice e avanço.

10.5.5 - DIÂMETROS E DISTÂNCIA ENTRE CENTROS

πptN

d GG

×= ⇒ diâmetro da coroa

K

Cdw

875.0

= ⇒ diâmetro do sem-fim, onde C é a distância entre centros: (1.7≤ K≤

3.0)

332

2

GW ddC

+= ⇒ distância entre centros

pxpt = ⇒ passo transversal igual ao axial para eixos perpendiculares

W

GG N

Nm = ⇒ razão de transmissão, onde Nw é o número de dentes do sem-fim ou

número de entradas

wNptL ×= ⇒ avanço

dw

Ltg

×=

πλ. ⇒ λ é o ângulo do avanço

Combinando sucessivamente estas expressões pode-se obter uma única expressão,

que relaciona os parâmetros mais importantes para a definição do sem-fim/coroa:

81

+=

K

tgmC G λ

para os valores de 1.7 ≤ K ≤ 3.0

O valor de K está compreendido em 1.7 e 3.0, sendo recomendado usar 2.2. Os ângulos de

avanço mais usados variam entre 4° e 25°, para ângulo de pressão normal θn de 14°30' e 20°. É

mais recomendado usar:

Para θn = 14°30' ⇒ λ = 0° a 15°

θn = 20° ⇒ λ = 15° a 30°

É possível construir uma transmissão sem-fim/coroa com C (distância entre centros)

variando de 50 mm a 150 mm dependendo da potência desejada. Esta análise permite

identificar a possibilidade geométrica do sem-fim/coroa, antes do dimensionamento final para

uma dada potência.

Em um redutor sem-fim/coroa, o movimento ou potência entra pelo sem-fim que solicita

a coroa com força W, que pode ser decomposta em três componentes, conforme figura.

333

Figura 24 - Análise de forças e ângulos em um circulo primitivo de um pinhão sem fim.

10.6 - TREM DE ENGRENAGENS

Um trem de engrenagens é um acoplamento de duas ou mais engrenagens. Um par de

engrenagens é a forma mais simples de se conjugar engrenagens e é freqüentemente utilizada

a redução máxima de 10:1. Trens de engrenagens podem ser simples, compostos e

planetárias.

10.6.1 - TREM DE ENGRENAGENS SIMPLES

Trens de engrenagens simples são aqueles que apresentam apenas um eixo para cada

engrenagem. A relação entre as duas velocidades é dada pela equação 1:

saida

ent

saída

ent

saida

ent

N

N

d

d

r

re ±=±=±=

A figura 25 mostra um jogo de engrenagens com 5 engrenagens em série. A equação

para a relação de velocidades é:

6

2

6

5

5

4

4

3

3

2

N

N

N

N

N

N

N

N

N

Ne +=

−

−

−

−=

Cada jogo de engrenagem influi na relação das velocidades, mas no caso de trens simples, o

valor numérico de todas as engrenagens menos a primeira e a última são cancelados. As

engrenagens intermediárias apenas influem no sentido de rotação da engrenagem de saída. Se

houver um número par de engrenagens o sentido de rotação da última será oposto ao da

primeira. Havendo um número impar de engrenagens, o sentido permanecerá o mesmo. É

334

interessante notar que uma engrenagem de qualquer número de dentes pode ser usada para

modificar o sentido de rotação sem que haja alteração na velocidade, atuando como

intermediária.

Figura 25 -Trem simples de 06 engrenagens

10.6.2 - TREM DE ENGRENAGENS COMPOSTOS

Para se obter reduções maiores que 10:1 é necessário que se utilize trens de

engrenagens compostos. O trem composto se caracteriza por ter pelo menos um eixo no qual

existem mais de uma engrenagem.

A figura 26 mostra um trem composto de quatro engrenagens. A relação das

velocidades é:

−

−=5

4

3

2

N

N

N

Ne

Esta equação pode ser generalizada para qualquer número de engrenagens no trem

como:

e = ± produto do número de dentes das engrenagens motoras

produto do número de dentes das engrenagens movidas

335

Figura 26 - Trens de engrenagens compostos

Note que as engrenagens intermediárias influem diretamente no processo de determinação da velocidade de saída e de entrada. Assim uma relação mais elevada pode ser obtida apesar da limitação de 10:1 para trens individuais. O sinal positivo ou negativo na equação depende do número e do tipo de disposição das engrenagens, internas ou externas.

10.6.3 - TREM DE ENGRENAGENS PLANETÁRIAS

São trens de engrenagem com dois graus de liberdade. Duas entradas são necessárias

para obter uma saída. Normalmente se usa uma entrada, um sistema fixo e uma saída. Em

alguns casos como em diferencial de automóveis uma entrada é usada para se obter duas

saídas, uma para cada roda.

Figura 27 - Trem de engrenagem convencional e trem planetário

A relação de velocidades pode ser calculada pela fórmula:

336

12

13

NN

NNe

−−

=

Em uma forma mais geral:

braçosaida

braçoent

NN

NNe

−−

=

onde:

Nent = número de rotações por minuto da engrenagem de entrada

Nsaída = número de rotações por minuto da engrenagem de saída

Nbraço = número de rotações por minuto do braço

Trens planetários apresentam algumas vantagens, como relações de velocidades

maiores usando engrenagens menores, saídas bidirecionais, concentricidade. Estas fatores

fazem com que o engrenamento planetário seja largamente utilizado em transmissões de

automóveis e caminhões.

10.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. O número de dentes de determinadas engrenagens no trem epicicloidal estão indicadas,

todas possuem o mesmo módulo. A engrenagem A gira a 1000 rpm no sentido horário

enquanto a engrenagem E gira no sentido antihorário a 500 rpm. Determine a velocidade

direção da rotação a engrenagem anel D e do suporte F.Resposta [371 rpm antihorário,

40 rpm horário]

Figura 28 – Exercício proposto 1

2. No trem epicicloidal ilustrado, a engrenagem C é fixa e o conjunto planetário BD gira

livremente no suporte que é coaxial com os eixos de entrada e saída. Mostre que se zb

ze > zc zd então os eixos de entrada e saída giram na mesma direção.

337

Figura 29 – Exercício proposto 2

3. Qual a faixa prática para a distância entre centros de um par de engrenagens cilíndricas

de dentes retos com módulo 4 mm, com 19 e 35 dentes? Se forem fabricados com

deslocamentos de perfis de 1,5 mm e 2 mm respectivamente, avalie o angulo de pressão

atuante e a relação de contato.

Resposta [ 108.6 ≤ C ≤ 112.8 mm, 24.47o, 1.42 ]

4. A planetária B gira livremente no eixo que é fixado na engrenagem de dentes internos F e

a engrenagem planetária E está girando louca no eixo do braço de saída. Dados os

números de dentes das engrenagens, calcule a rotação de saída quando a rotação do eixo

de entrada giraa 1000 rpm. Resposta [ 524 rev/min ]

Figura 30 – Exercício proposto 4

5. No trem epicicloidal visto na figura abaixo, o suporte 6 das engrenagens 3 e 4 giram a

100 rpm sentido horário e a engrenagem 5 fixa ao eixo de entrada gia a 2000 rpm no

sentido antihorário. Determine a rotação da engrenagem de dentes internos 2 que está

fixa ao eixo de saída do redutor. Os números dentes foram dados para cada

engrenagem.

338

Figura 30 – Exercício proposto 5

6. O eixo de entrada do trem epicicloidal mostrado na figura abaixo, gira no sentido horário.

O suporte das engrenagens satélites 3 e 5 possui a mesma rotação do eixo de entrada. As

engrenagens 1 e 6 são de dentes internos e estão fixas na carcaça do redutor. Determine a

relação de redução,Wentrada/Wsaída, sabendo que a engrenagem 7 está enchavetada no eixo de

saída.

Figura 31 – Exercício proposto 6

339

CAPÍTULO 11 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS

11.1 - INTRODUÇÃO

11.1.1 - MATERIAIS PARA ENGRENAGENS

Não é preciso salientar a importância da escolha do material adequado para executar-se

uma engrenagem; basta que se lembre de que do material ira depender diretamente a

qualidade geral do funcionamento, seja quanto à resistência as cargas aplicadas, seja quanto à

resistência ao desgaste, fatores que, em geral, determinam a falência da peça.

Há uma série de fatores que limitam a liberdade de escolha dos materiais para as

engrenagens:

1. Impossibilidade de obtenção do material condições comerciais;

2. Dificuldade de execução;

3. Impossibilidade de usinagem para o acabamento desejado;

4. Impossibilidade de posição e continuações.

A inconveniência dos três primeiros elementos é evidente por si mesma. Estudamos a

inconveniência do quarto, isto é, da incompatibilidade de posição e combinação.

A experiência em laboratório e a prática mostram que uma engrenagem de um dado

material se comporta satisfatoriamente, quando trabalha combinada com engrenagens de

certos materiais e falha completamente quando opera com engrenagens de outros materiais,

além disso um par de materiais pode comportar-se adequadamente -quando ao engrenagens

são colocadas em determinadas posições e falhar totalmente quando as posições são

invertidas. Como exemplo do primeiro caso, pode indicar o bronze fosforoso, que trabalha

satisfatoriamente com o ferro fundido e com o aço endurecido, mas comporta-se mal com o aço

mole, com o bronze e com os materiais laminados à base de ferrol.

A figura 1 adiante nos indica quando ocorre a incompatibilidade das combinações dos

materiais mais empregados. Como exemplo do 2º caso pode-se apontar o conjunto parafuso

sem fim e coroa: um parafuso sem fim de ferro fundido e uma coroa de bronze apresentam

elevada resistência ao desgaste (mais elevada que a de um parafuso sem fim de aço e uma

coroa de bronze); se entretanto, as posições forem invertidas, isto é, se o parafuso sem fim for

executado em bronze e a coroa em ferro fundido, a resistência ao desgaste torna-se bastante

deficiente.

Apontaremos em seguida os materiais mais utilizados na fabricação de engrenagens,

indicando suas principais características de comportamento.

340

FERRO FUNDIDO

O ferro fundido é um dos materiais que vem sendo utilizado largamente há longo tempo

e, mais recentemente sua fundição vem sendo aperfeiçoada de tal modo que se conseguem,

quer por processos especiais de fundição, quer pela composição de ferros-ligas, materiais

capazes de suportar tensão até de 2.100 Kg/cm2.

O ferro fundido para engrenagens deve apresentar uma dureza tão elevada quanto

possível: no caso, porém de ser prevista alguma operação de usinagem, a sua dureza Brinell

deve estar dentro dos limites 170 e 220 Bh.

O ferro fundido em areia deve ser de baixo teor de carbono, menor que 3,4%, a fim de

ser evitado e um excesso de grafita.

O emprego do ferro fundido é limitado pela possibilidade de ocorrência de forças

elevadas e de choque.

AÇO FUNDIDO

O aço fundido também é bastante utilizado, com teor de carbono entre 0,35 a 0,45%,

com que se obtém, uma resistência ao desgaste satisfatória. Após a fundição a peça deve ser

tratada termicamente para que desapareçam todos os traços da estrutura dentritica. Sua

resistência às forças elevadas e principalmente aos choques é melhorada com a adição de

cobre, níquel ou alumínio em sua composição.

AÇO DOCE

O aço doce deve ser utilizado com teor de carbono entre 0,10 e 0,25%, de manganês

entre 0,6 a 0,8 para cargas pequenas; com teor de carbono entre 0,35 e 0,45% para cargas

elevadas; pode também ser empregado com teor de carbono entre 0,50 e 0,60 e, embora se

obtenha, neste caso, uma resistência aos choques e a ductibilidade são mais baixas, de modo

que os aços com este teor devem ser evitados quando é prevista a ocorrência de choques de

grande intensidade.

AÇO-CROMO-NÍQUEL

O Aço-Cromo-Níquel deve ser empregado com teor de cromo entre 0,5 e 1% com teor

de níquel entre 2,5 e 3,5% e com acréscimo de um teor de molibdênio (para fins de

cementação) entre 0,2 e 0,6%.

341

AÇO PARA CEMENTAÇÃO

O aço para cementação deve apresentar baixo teor de carbono: a cementação garante

uma elevada resistência ao desgaste e o baixo teor de carbono uma elevada resistência a

tração qualidades que recomendam o emprego deste tipo de aço. Entretanto, ao lado destas

vantagens o aço para cementação apresenta o inconveniente de exigir uma obtenção custosa e

de apresentar certa distorção, principalmente quando temperado em água em lugar de óleo.

Esta desvantagem às vezes e tão pronunciada que es prefere abandonar um aço para

cementação e adotar um aço-cromo-níquel, ainda que haja aumento no custo do material.

Material Trabalha Bem com Trabalha Mal com

Bronze

Fosforoso

Ferro Fundido

Aço endurecido

Aço comum

Bronze

Laminados de ferrol

Aço Comum

Ferro Fundido

Babbitt

Latão Mole

Aço endurecido

Bronze

Aço Comum

Laminado a base de fenol

Aço endurecido

Bronze Mole

Latão

Ferro Fundido

Babbitt

Laminado a base fenol

Aço endurecido

Bronze de liga tratado

Aço Níquel Aço Níquel (algumas vezes)

Aço níquel

endurecido Coroa de bronze

Ferro Fundido Todos os materiais

Tabela 1 – Características dos materiais.

11.2 - DESGASTE SUPERFICIAL DOS DENTES

A experiência mostra que em grande número de casos os dentes das engrenagens se

apresentam desgastados depois de certo tempo de funcionamento. Neste tópico indicaremos os

tipos de desgaste superficial que podem atacar os dentes de uma engrenagem, suas causas e

os modos de evitá-los.

342

A) DESGASTE POR ESCORREGAMENTO

Este desgaste manifesta-se geralmente onde o deslocamento do ponto de contacto

entre os dentes é menor, isto é, na região a-a sobre A, na região b-b, sobre B, como se vê na

figura 1 que representa três posições particulares de dois dentes engrenados. Sua causa pode

ser compreendida, lembrando-se de que sempre se processa com escorregamento crescente a

partir do ponto do passo, onde é nulo.

Figura 2 – Escorregamento de engrenagens

B) DESGASTE POR CORROSÃO

Este desgaste manifesta-se através de superfície corroída típica; e produzida pela fadiga

do material e conseqüentemente desagregação de sua superfície; pode ser evitado com a

adoção de dimensões para os dentes que conduzem, sob a ação das cargas atuantes, as

tensões de fadiga superficial toleráveis pelo material escolhido.

C) DESGASTE POR ABRASÃO

Este desgaste se manifesta através da formação de uma superfície esmerilada, polida; é

produzida pela ação esmerilhadora de poeira ou partículas, misturadas com o lubrificante (estas

partículas podem ser partículas metálicas que se destacam dos mancais: partícula abrasivas

que não foram removidas antes da montagem; partículas arenosas devida a fundição; partículas

diversas conduzida. pelo óleo ou pela atmosfera.

Pode ser evitado mediante cuidados especiais na montagem, mediante proteção do

mecanismo quando a atmosfera no local de serviço for portadora de poeiras, de um modo geral,

mediante a manutenção das peças em boas condições de limpeza.

343

D) DESGASTE POR ARRANHAMENTO

Este desgaste se manifesta através de profundos riscos na direção do escorregamento

superficial; é produzido por pontas ou superfícies rugosas deixadas nos dentes pela imperfeição

da usinagem; pode ser evitado com a execução de um acabamento mais cuidadoso.

E) DESGASTE POR TRANSPORTE

Este desgaste manifesta-se através de uma série de ondas constituídas por saliência e

reentrâncias próximas da linha de passo é produzido pelo deslocamento plástico do material

sob aquecimento excessivo e cargas elevadas; pode ser evitado mediante o emprego de uma

lubrificação adequada.

F) DESGASTES POR ACRÉSCIMO

Este desgaste manifesta-se através de uma soldagem e subseqüente desagregação das

superfícies em contacto; é produzido pelo superaquecimento das partes em contacto quando

cessa completamente a lubrificação; pode ser evitado mediante o emprego de um processo de

lubrificação no qual esta cessação completa não possa se verificar.

11.3 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS

11.3.1 - INTRODUÇÃO

Chama-se engrenagem de força aquela em que é maior o perigo da ruptura do que o

perigo do desgaste. Por exemplo: engrenagens lentas ou engrenagens que funcionam por

breves períodos ou com possibilidades de fortes sobrecargas durante o funcionamento.

A ruptura pode ser de: tipo estático ou fadiga. A de tipo estático é muito rara: pode

ocorrer por contato defeituoso, por cálculo errado, por sobrecargas não previstas ou ainda por

fatores desconhecidos. Este tipo de ruptura se manifesta logo no inicio do funcionamento.

A ruptura por fadiga, de modo geral, é a mais comum. De fato, sobre o dente age uma

carga que vai desde zero a um determinado valor, voltando novamente a zero. É, portanto, uma

carga pulsativa. A ruptura é progressiva iniciando-se na parte de concordância do dente com

sua boca. Para o carregamento pulsativo é maior a resistência a compressão que à tração. O

dimensionamento de uma engrenagem é feito baseado na resistência a ruptura onde, para levar

344

em conta os efeitos dinâmicos, entraremos com um coeficiente Cv chamado coeficiente de

velocidade ou de super solicitação dinâmica.

11.3.2 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA

Algumas hipóteses simplificadoras foram feitas por LEWIS para que se chegasse a um

resultado racional da expressão do módulo da engrenagem.

O método de LEWIS é o seguinte:

“Consiste em verificar que o dente da engrenagem, considerado como uma viga

engastada, não se rompa sob a ação de força S, admitida estática”. Considera-se que:

• A força esteja distribuída uniformemente sobre todo o comprimento do dente.

• A força esteja aplicada na extremidade (topo) do dente.

• Toda a força atue num só dente.

• Os efeitos de concentração de tensões sejam desprezíveis.

A hipótese de dimensionamento é:

σf ≤ σadm

Onde:

σadm = tensão admissível

σf = tensão de flexão (atuante)

A tensão admissível é:

S

Radm K

σσ = (1)

Onde:

σR = tensão de ruptura do material (Kg/mm2) (tabelado).

KR = coeficiente de segurança-que, a título indicativo pode ser:

3 a 3,5 - para rodas em funcionamento normal

4 a 5 - para rodas sujeitas a choques e oscilações de carga

6 - para condições extremamente desfavoráveis

Cv = coeficiente de velocidade ou de super solicitação dinâmica, cujo valor é:

vA

ACv +

= (2)

Onde:

A = 3 para engrenagens de pouca precisão

A = 6 para engrenagens de média precisão

345

Para engrenagens de alta precisão

vCv +

=6,5

6,5 (3)

v = velocidade periférica, na primitiva, em m/s.

A tensão atuante de flexão vale:

J

cMff

⋅=σ (4)

Onde:

Mf = P.h = momento fletor

Figura 3 – Aplicação do momento no dente

2

sc = = distância da linha neutra à fibra mais afastada.

12

1 3sJ

⋅= = momento de inércia da seção da base do dente.

Levando estes valores na expressão de σf vem:

21

6

s

hPf ⋅

⋅⋅=σ (5)

Sendo h e s funções do passo.

Onde:

h=k1 . p s=k1 . p

Podemos escrever:

1

22

222

1

61

1

6

k

kp

p

pk

pkf

⋅⋅=

⋅⋅⋅

=σ

346

yk

k =1

22

6recebe o nome de FATOR DE FORMA do dente (tabelado em função deβ e de Z).

Fazendo 1=k.m (comprimento dente) e p = m.π (passo da engrenagem) vem:

Ymk

P

ymk

Pf ⋅⋅

=⋅⋅⋅

=22 π

σ (6)

Onde:

Y = π.y (também tabelado)

O valor da força P tangencial é

Zm

Mt

d

Mt

r

MtP

⋅⋅=⋅== 22

Sendo Mt = Momento de torção (Kg/mm2)

A expressão final de σf é:

ZYmk

Mtf ⋅⋅⋅

⋅=3

2σ (7)

Voltando à condição do dimensionamento podemos escrever:

vS

R CKZYmK

Mt ⋅≤⋅⋅⋅

⋅ σ3

2

3

2

ZYKCK

Mtm

vS

R ⋅⋅⋅⋅

⋅≥σ (8) Fórmula de Lewis

Ks = coeficiente de segurança

K = varia de 8 a 12 (em geral) ;

K = 6 a 14 (para caixa de marcha)

20 <K< 40 (redutores para grande potência)

Para carregamento estático.

32

ZYK

Mtm

⋅⋅⋅⋅≥

σ (9)

S

adm

K

σσ = (10)

Fórmula corrigida para carregamento dinâmico

3

2

12

KZYKC

KKtMtm

v ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=σ

(11)

347

Kt � fator de concentração de tensão E1 + fator de serviço

K1 � fator de serviço

K2 � fator de correção do fator

Os valores de Kt, K1 e K2 são dados na tabela a seguir:

Tipo de

Carregamento

K1

Constante 1,25

Pulsativo 1,35

Com Choque 2,50

Tabela 2a- Tipo de Carregamento.

Tipo do Perfil Kt

Perfil evolvente β =14º 30´ 1,54

Perfil evolvente não corrigido β

= 20º

1,33

Perfil evolvente corrigido β = 20º 1,43

Tabela 2b- Tipo do Perfil.

Valores K2

Perfil evolvente e

cicloidal

1,0

Perfil gerado não

corrigido

1,7

Perfil gerado corrigido 1,6

Tabela 2c- Valores.

11.3.3 - CASOS ESPECIAIS

CASO I - DADOS DO PROBLEMA

N (C.V.) - potência a transmitir

n (RPM) - rotação do pinhão

R - relação de redução

A expressão (11) deduzida anteriormente será aplicada neste caso. O fator Cv é

indeterminado, pois, depende da velocidade periférica que, por sua vez, depende do diâmetro

(d0 = m.Z).

348

Para a determinação de Cv usamos o me todo das aproximações sucessivas assim:

com um valor de Cv primeira aproximação:

Cv’ = 0,7

Calcula-se:

3

''

vC

Xm ≥ (12)

Onde:

ZYKK

MtX

S

R ⋅⋅⋅

⋅=σ

2

• Com m’ (padronizado) calcula-se d’

• Com d’ calcula-se v (em m/s)

• Com v calcula-se E Cv´ (em segunda aproximação)

• Com Cv” calcula-se:

3"

"vC

Xm = (13)

Achado m” (padronizado), adotado como módulo final, calcula-se os outros elementos

da engrenagem.

CASO II - DADOS DO PROBLEMA

N (C.V.) - potência a transmitir

n (RPM) - rotação do pinhão

R - relação de redução

E - distância entre centros

Com E e R calculamos os diâmetros primitivos do par.

A fórmula (11) se reduz a:

2

12

KdYKCK

KKMtm

pvS

R

t

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=

σ (14)

Onde fizemos m

dZ =

O único termo desconhecido é Y que, em primeira aproximação fazemos igual a Y’ =

0,3 (valor médio para β=20º envolvente) ver tabela doa fatores de forma.

349

Analogamente ao caso 1 obteríamos:

''

Y

Gm = (15)

Onde:

dKCK

MtG

vS

R ⋅⋅⋅

⋅=σ

2

• com m’ acha-se Z’ (arredondando a um nº inteiro)

• com Z’ tiramos da tabela o novo 1”

• chega-se ao módulo definitivo.

""

Y

Gm = (16)

• achado o módulo final (padronizado) os diâmetros devem ser corrigidos

alterando-se assim a distância entre centros, E. Deve-se notar que a alteração de

E é muito pequena não influindo sensivelmente no projeto do par.

• se E for tomada como distância rigorosamente estabelecida deve-se recorrer a

dentes especiais (maag, primitivas deslocadas).

Esquema do processo para o cálculo da indeterminação:

1º Processo:

Cv = f(m)

� Cv’ = 0,7 (arbitrário)

m = f(Cv)

Cv´� m´� v � v � Cv” � m”

Então padronizamos m” = m

2º Processo:

Adota-se um módulo tabelado

m´� v � Cv’ � m” � m

m (padronizado)

11.3.4 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Dimensionar a engrenagem para carregamento dinâmico com torque a transmitir = 3

Kgm, σ = 3Kg/mm2, Z =50 dentes, n = 300 rpm, perfil envolvente não corrigido β=20º.

350

Resolução: Mt = 3000 Kg . mm

n 300 rpm

75

1

3030⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= n

Mn

MWMNππ

7530

3003

⋅⋅⋅= π

N � N = 1,28 C.V

Resolvendo pelo 2º processo temos:

a) para

N = 1,26 CV

n = 300 rpm � m = 1,25

b) m = 1,25 mm d0 = m.z

2

5025,1

2

⋅=⋅= Zmr r ≅ 31 mm

c) 601000⋅⋅⋅= nd

vπ

(m/seg)

601000

30062

⋅⋅⋅= π

v � v = 0,96 m/seg

d) v

Cv +=

66

� 96,06

6

+=vC � Cv = 0,86

e) Mt = 3000 Kg.mm

σ = 3 Kg/mm2

Z = 50 dentes e β = 20º� Y = 0,408 (tabelado)

K � 10 adotado

Kt � 1,53 (tabela)

K2 � 1,0 (tabela 11) não corrigido

33

2

1

15010408,086,03

5,153,130022

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=KZYKC

KKMtm

v

t

σ

f) dp = m. Z dp = 3.50 � dp = 150 mm

dc = dp + 2 m = 150 + 2 . 3 � dc = .256 mm

l = K . m => 1 = 10 . 3 => l = 30 mm

Z = 50 dentes

β = 20º (navalha nº 6)

351

2. Dimensionar o par de Engrenagens. Dados: O perfil evolvente β = 20º não corrigido n =

1200 rpm (rotação do pinhão). R = 4/1 (razão de redução). Carregamento com choques,

engrenagens de média precisão. Material usado: aço SAE 1045 σR = 60 Kg/mm2.

Potencial a transmitir N = 10 CV

1200

753010

⋅⋅⋅==

πW

NMt

Mt ≅ 6Kgm = 6000 Kg.mm

Kt = 1,53 (tabelado)

K1 = 1,5 (tabelado)

5

60==S

rup

K

σσ

K � l = K.m K = 10 (tabelado)

Z = 17 Y = 0,302

β = 20º

Z = 17 dentes (adotado)

Cv’ = 0,7 (arbitrado)

K2 = (p/ perfil envolvente)

3

17,017302,01012

5,153,160002

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=m = 3,55mm

dp1 = m.Z = 3,55 X 17 = 60

60

120060

60

⋅⋅=⋅⋅

= ππ ndV

p= 3760 mm/seg ou V = 3,76 m/s

76,36

6

6

6

+=

+=

vCv � Cv = 0,62

33

2

112 62,0

7,055,3 ⋅=⋅=

v

v

C

Cmm = 3,7 � M = 3,75 (mais próximo padronizado)

dp = m . Z = 3,75 . 17 = 63,6

dc = m . Z + 2 m = 71,3

l = K .m � l = 10 . 3,75 � l = 37,5

Usar navalha nº 1 (tabelado em função do número de dentes).

Cálculo da Outra Engrenagem que está acoplada

352

m = 3,75

dp = m. Z = 3,75. 68 dp = 255

dc = 255 + 7,5 � dc = 262,5

l = 10 . 3,75 � 1 = 37,5

Navalha nº 7 (em função do nº de dentes)

Aço SAE 1045 (mesmo da outra)

3. Dá-se N = 16 Cv (potência a transmitir), n = 900 rpm (rotação do pinhão), E = 180 mm (+

5%). Perfil envolvente, corrigido β = 20º carregamento pulsativo, com oscilação de carga.

Engrenagem de alta precisão. Material usado SAE 1045 com σr = 60 Kg/mm2.

Resolução:

2

1

n

nR = �

2

9003

n= � n2 = 300 rpm

1

2

2

1

r

r

n

n= � r2 = 3 . r1

Mas 180 = r2 + r1 � 4

18032

⋅=r � r2 = 135

r1 = 45 dp1 = 2 . r1 � dp1 = 90

900

307516

⋅⋅⋅=

πtM = 12,7 Kgm

4

60==S

rup

K

σσ

Kt = 1,43

K1 = 1,35 v

Cv+

=6,5

6,5

K2 = 1,0

100060

90090

60 ⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅= ππ nd

RWv = 4,25 m/s → 06,2=v m/s

Logo 06,26,5

6,5

+=vC � Cv = 0,75

Adota-se K = 10

Y = 0,3 (em média)

3

109013,075,015

35,143,1127002

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=m � m = 4,07

353

11 Zmdp ⋅= � 07,4

901 =Z = 22

β = 20º

Z = 22 � Y = 0,330

33,0

3,007,4

2

112 ⋅=⋅=

Y

Ymm � m = 4 (mais próximo padronizado)

4

90

2

11 ==

m

dZ

p = 22,5

p/ Z1 = 22

dp1 = 22.4 = 88

p/ Z2 = 22 X 3 = 66

dp2 = 4 X 66 = 264

r1 + r2 = 176 � E = 176

180 171

±5% 189

p/ Z1 = 23 � dp1 = 23 X 4=92

p/ Z2 = 23 X 3 = 69 � dp2 = 69 X 4 = 276

E = 184 = r1 + r2

logo qualquer das aproximações é aceitável.

11.3.5 -VERIFICAÇÃO DO DESGASTE

As engrenagens, nas quais o perigo do desgaste é maior que o perigo da ruptura são

chamadas de engrenagens de trabalho. São as engrenagens muito velozes ou as que

funcionam por períodos muito longos (sem que aconteçam sobrecargas notáveis).

O dimensionamento baseado no desgaste consiste em:

“Verificar que a pressão de contato, calculada com as fórmulas de HERTZ, quando o

contato se dá sobre as primitivas, seja inferior a um valor admissível experimental, dependente

da dureza BRINELL do material e do número de repetições de carga sobre a engrenagem”.

OBS: Supõe-se aqui que as condições de lubrificação sejam boas e que não exista nenhum

meio abrasivo interferindo no funcionamento par em estudo.

354

Figura 4 – Condições de lubrificação.

FÓRMULA DE HERTZ:

21

21

11

11

135,0

EE

Sc

+

+⋅⋅=

ρρσ (17)

σc = tensão de contato de HERTZ ou tensão atuante

S = força total sobre o dente: βcos

PS =

E1; E2 = módulos de elasticidade dos materiais em contato

ρ1; ρ2 = raios de curvatura principais mínimos das superfícies dos dentes em contato.

ββρ senZm

senr o ⋅⋅

=⋅=2

111

ββρ senZm

senr o ⋅⋅

=⋅=2

222

Desenvolvendo a expressão anterior, chegamos à fórmula da pressão de contato de

HERTZ:

21

21

21

212

21

4,4

EE

EE

ZZ

ZZ

senp

Pc +

⋅⋅

⋅+

⋅⋅⋅

⋅=β

σ (18)

A tensão de contato admissível (experimental) vale:

61

610

5,0

⋅=⋅

g

Hadm B

cσ

355

Onde:

HB - dureza BRINELL do material (tabelado)

OBS: para o aço e na falta de tabela: HB ≅ 3 σR (Kg/mm2)

g - número de repetições dos ciclos de carga (função do nº de horas de funcionamento -

tabelado)

g = 60 . n . hf sendo n (RPM)

A desigualdade σc ≤ σc admissível deve ser verificada. Com esta condição chega-se a:

2

21

21

21

2114,4

2cEE

EE

ZZ

ZZp

senP σβ ⋅

⋅+

⋅+⋅

⋅⋅⋅= (19) O valor da força tangencial

O segundo membro e multiplica por Cv, para levar em conta as solicitações dinâmicas, e

assim teremos:

CadmEE

EE

ZZ

ZZp

senc =⋅⋅

⋅+

⋅+⋅

⋅⋅⋅ 2

21

21

21

2114,4

2 σβ

Obtemos: P ≤ 1 . p . C Cv

Indicando com Padm a força máxima tangencial admissível vem:

Padm = 1 . p . C . Cv

OBSERVAÇÕES IMPORTANTES

Se acontecer Patuante > Padm podemos variar:

1. modificar l (comprimento do dente)

2. modificar o nº de dentes

3. aumentar a dureza BRINELL o que seria mais conveniente.

Deve-se verificar: Pat ≤ Padm

Onde:

r

MtPat = (força tangencial atuante máxima)

Módulos Normalizados (m.m)

0,3 – 0,4....0,9

1,0 – 125.... 3,75

4,0 – 4,5 ... 6,5

7,0 – 8,0 ... 15

16 – 18 ... 24

27 – 30 ... 42

45 – 50 ... 75

Tabela 3 – Normalização de módulos.

356

Número mínimo de dentes para evitar interferências

Tipo de transmissão β = 20º β = 149º 30’

Pequenas velocidades -pequenas cargas 10 18

Velocidades médias (6 a 9 m/s) 12 24

Grandes velocidades (15m/s - cargas grandes) 16 30

Engrenamento externo Z1 + Z2 ≥ 24

Engrenamento interno Z2 – Z1 ≥ 10 Tabela 4 – Número mínimo de dentes.

Fatores de Forma � Y

Z1 ββββ = 149º

30’ ββββ = 20º Z1

ββββ = 149º

30’ ββββ = 20º

12 0,210 0,245 28 0,314. 0,352

13 0,220 0,261 30 0,320 0,358

14 0,226 0,276 34 0,327 0,371

15 0,236 0,289 38 0,333 0,333

16 0,242 0,295 43 0,346 0,396

17 0,251 0,302 50 0,352 0,408

18 0,261 0,308 60 0,358 0,421

19 0,273 0,314 75 0,364 0,434

20 0,283 0,320 100 0,371 0,446

21 0,289 0,327 150 0,377 0,459

22 0,292 0,330 300 0,383 0,471

24 0,298 0,336 — 0,390 0,484

26 0,307 0,346 — — —

Tabela 5 – Fatores de Forma.

Materiais usados em engrenagens:

Material σσσσR

(Kg/mm 2) HB

SAE-1035 30 a 45 150

SAE-1045 55 a 60 170

SAE-1060 65 a70 200

SAE-8640 70 a 85 -

SAE-4140 85 a 90 -

Ferro Fundido 21 220 Tabela 6 – Materiais usados em engrenagens.

357

ESPÉCIES DE MÁQUINAS

Duração em horas

de funcionamento

h f

Instrumento e aparelhos de pouco uso.

Aparelhos de demonstração, dispositivos para manobra de portões

corrediços. 500

Motores de avião. 1000 – 2000

Máquinas para serviço curto ou intermitente, quando eventuais

perturbações de serviço são de pouca importância:

Máquinas - ferramentas manuais: aparelhos de elevação para

oficinas; máquinas manuais em geral, máquinas agrícolas;

guindastes de montagem; aparelhos domésticos.

4000 - 8000

Máquina para serviço intermitente, quando eventuais perturbações

de serviço são de muita importância:

Máquinas auxiliares para instalação de força; equipamento de

transporte para fabricação contínua; elevadores; guindastes para

carga real; máquinas - ferramentas de pouco uso.

8000 - 12000

Máquinas para 8 horas de serviço diário não utilizado inteiramente.

Motores elétricos estacionários, engrenagens para fins gerais. 12000 - 20000

Máquinas para 8 horas de serviços diários, utilizados inteiramente.

Máquinas para oficinas mecânicas em geral; guindaste para trabalho

contínuo; ventiladores, transmissões intermediárias. 20000 - 30000

Máquinas centrífugas; bombas; transmissões; elevadores de minas;

motores elétricos estacionários, máquinas de serviço contínuo em

navios de guerra.

40000 - 60000

Máquinas para a fabricação de celulose e papel; máquinas para o

serviço público de força motriz; bombas para abastecimentos

públicos de água; máquinas de serviço contínuo em navios

mercantes.

100000 - 200000

Tabela 7 – Espécie de Máquinas.

358

11.3.6 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRI CAS

1 . Um trem simples de engrenagens cilíndricas retas tem as seguintes características:

N = 100 CV - potências motoras

n = 1600 RPM - rotação do pinhão

R = 3,75/1 - relação de redução

β = 20º - ângulo de pressão

Engrenagens de média precisão, de aço SAE-1060, sujeitos a condições extremamente

desfavoráveis.

O mecanismo pertence a uma máquina para oito horas de serviço diário, não utilizado

inteiramente.

PEDE—SE:

a) Dimensionar o par quanto à resistência

b) Verificar o par quanto ao desgaste

c) Com croquis da solução encontrada

Solução:

a) Cálculo é dado por:

3

12

ZYKCK

KKMm

vS

R

tt

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅≥

σ

1. Momento de torção:

Kgmmw

NM t .800.44

1600

103075100 3

=⋅

⋅⋅⋅==π

2. Material: SAE-1060 - σR = 70 Kg/mm2

3. Coeficientes de segurança:

Ks = 6 (condições extremamente desfavoráveis)

4. Fator velocidade:

Cv’ = 0,7 (arbitrado em 1ª aproximação)

5. Fator de proporcionalidade:

Adotaremos:

K = 20 (grandes potências).

6. Número de dentes das engrenagens:

15

60

1

75,3 ==R

359

Z1 = 16 dentes (pinhão)

Z2 = 60 dentes (coroa)

7. Fator de forma:

Y = 0,295 (em função de Z1 = 16 e β = 20º)

8. Módulo em 1ª aproximação:

3,8116295,02070

68004422 1 =⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

⋅=

KK

ZYKCK

MX t

vS

R

t

σ

mmC

Xm

v

85,47,0

3,81

'' 33 ===

m‘ = 5,0 mm (padronizado)

9. Diâmetro primitivo em 1ª aproximação:

d1 = m . Z1 = 5,0 . 16 = 80 mm

10. Velocidade periférica em 1ª aproximação:

smnd

v /7,6106 3

11 =×

⋅⋅=

π

11. Fator velocidade em 2ª aproximação:

vCv +

=6

6" (média precisão)

473,07,66

6" =

+=vC

12. Módulo em 2ª aproximação: (o valor encontrado depois de padronizado, será

adotado como final):

mmC

Xm

v

7,5473,0

3,81

"" 33 ===

M = 6,00 mm

b) Verificação ao desgaste: Condição de verificação:

Pat ≤ Padm

1. Força tangencial atuante:

KgZm

M

r

MP tt

at 940166

4480022

1

1

1

1 =⋅

⋅=⋅

⋅==

2. Força de contato admissível: Padm = l. p .C . Cv

360

Onde:

2

21

21

21

212

44 admcEE

EE

ZZ

ZZsenC σβ ⋅

⋅+

⋅+⋅

⋅⋅

=

3. Largura das engrenagens: l = K . m = 20.6 = 120 mm

4. Passo das engrenagens: p = m . π = 6,0 . 3,14 = 18,84 mm

5. Fator velocidade: Cv = 0,47.3 (adotado como valor final, por simplificidade).

6. Cálculo da fator C:

6610

5,0

g

HBadmc =σ

HB = 200 (sem tratamento térmico)

g = 60.n.h = 60. 1. 600. 15000 = 1440.106 ciclos de carga

hf = 15000 horas de funcionamento

8,291440

2005,06

=⋅=admcσ

E1 = E2 = 21.103 Kg/mm2 (módulo de elasticidade do aço)

3

3

3

1015588510441

1042

6016

6016

4,4

º40 −×=⋅××⋅

+⋅⋅= sen

C

7. Força admissível:

Padm = 1.p.C.Cv = 120. 18,84. 155. 10-3. 0,0473 = 165 K

8. A desigualdade: Pat ≤ Padm não foi atendida.

Uma das modificações que poderia resolver o problema consiste em cementar as peças,

com isto a dureza Brinell tríplice, bastando, então multiplicar por 9 (nove) o valor do Padm.

A nova Padm fica igual a:

Padm = 9. 165 = 1485 Kg

361

Comentando as peças fica verificado o par quanto ao desgaste.

n = 6,0 mm

z1 = 16 dentes

d1 = 96 mm

de1= 108 mm

p = 18,84 mm

z2 = 60 dentes

d2 = 360 mm

de2= 372 mm

l = 120 mm

Figura 5 – Engrenagens Cilíndricas.

11.4 - ENGRENAGENS CILÍNDRICAS HELICOIDAIS

11.4.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA

O cálculo é feito no plano, normal no eixo do dente. Neste plano, o dente helicoidal pode

ser aproximado ao dente de uma engrenagem cilíndrica reta com número de dentes igual ao

número virtual com o ângulo de processo:

Pn < Padm - Condição de Cálculo

Onde:

Padm = carga admissível no plano normal

S

vrnadm K

CPbYP

⋅⋅⋅⋅=σ

*

ασα cos*cos ⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅⋅=S

vrnadmadm K

CPbYnPP

A condição no plano normal ao eixo da engrenagem passa a ser:

P ≤ Padm

ασπα

βcos

cos* ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

S

vrnadm K

CMfYP

S

vrnadm K

CmfYP

⋅⋅⋅⋅⋅=σ

1*

362

2

cos222

⋅⋅⋅

=⋅

⋅=

⋅=

n

t

f

tt

M

M

ZM

M

d

MP

α

S

vrn

n

t

K

CmfY

M

M ⋅⋅⋅⋅⋅≤

⋅⋅⋅ σα

1*2

cos2 sendo l=k

3

1

*

cos2

ZKfYK

C

KKMM

S

vr

ttn

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅≥

σα

(20)

11.4.2 - VERIFICAÇÃO DO DESGASTE

A relação S e Sf e a mesma entre os raios de curvatura dadas na fórmula de HERTZ.

Disto conclui-se que se pode verificar a engrenagem helicoidal ao desgaste considerando um

par de rodas cilíndricas tendo a mesma seção frontal de um par helicoidal, isto é, tendo o

mesmo número de dentes, mesmo modulo e mesmo ângulo de pressão frontal.

P ≤ Padm

vfadm CpfCP ⋅⋅⋅= 1

onde 2

21

21

21

2112

44 admcf EE

EE

ZZ

ZZsenC σβ

⋅⋅+

⋅+⋅

⋅⋅

=

onde: σc adm2 é um valor experimental, tem o mesmo valor usado nas cilíndricas retas.

66

2

10

5,0

g

HBadmc =σ

11.4.3 – EXERCÍCIO RESOLVIDO - ENGRENAGENS CILÍNDRI CAS HELICOIDAIS

1. OBS: neste exercício aparecerão algumas fórmulas que não foram vista anteriormente.

Dimensionar o par de Engrenagens cilíndricas helicoidais de eixos paralelos, sendo

dados:

N = 10 CV � potência a transmitir

n = 1200 rpm � rotação do pinhão

R = 4/1 � razão de redução

perfil envolvente, não corrigido, β = 20º, α=22º, carregamento com choques, aço SAE

1045 com

σr = 60 Kg/mm2

363

vida das engrenagens 20.000 horas.

a) dimensionar pela resistência

b) verificação pelo desgaste

c) cálculo do rendimento

31

*

cos2

fCKZY

KKMm

v

ttn ⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅≥

σα

61200

307510 =⋅

⋅⋅=πtM � Mt = 6000 Kg.mm

cos α = cos 22º = 0,93

K1 = 1,5 Kt = 1,53 σ = σr/Ks = 60/5 = 12 Kg/mm2

Zv = 17 dentes � valor tirada da tabela para não haja interferência.

Zv = Z/cos3α � Z = Zv . cos3α = 17 . 0,8 ≅ 14

K = 10 (adotado) Z = 17

f = 1,5 (adotado) Y* � β = 20º � Y* = 0,302

Cv = 0,7 (adotado)

Substituindo, teremos:

3

5,17,01410302,012

53,15,193,060002

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥nm

65,37,04,102,32,1

53,193,06023 =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥nm

5593,0

1465,3

cos=⋅=

⋅=

αZm

d np � r=27,5

5,2730

1200⋅⋅== πrWv � v = 3,46 m/s

Logo:

63,046,36

6 =+

=vC

74,363,0

7,065,3

'' 33 =⋅=⋅=

v

vnn C

Cmm � mn = 4 mais próximo padronizado

364

Verificação ao desgaste:

Zm

M

v

MP

n ⋅⋅⋅== αcos2

vffadm CCplP ⋅⋅= * (21)

KgP 200144

93,060002 =⋅

⋅⋅=

l* = 1,5 . K . mn = 1,5 . 10 . 4 = 60,0 mm

mmm

p nf 6,13

93,0

4

cos=⋅=

⋅= π

απ

2

21

21

21

21

4,4

2adm

ff EE

EE

ZZ

ZZsenC σ

β⋅

⋅+

⋅+⋅

⋅=

391,093,0

º20tan

cos

tantan ===

αβ

β nf � βf = 21º30’

Z1 = 14 Z2 = 56

R = 4/1

HB = 3 σr

610

5,0

g

H Badmc

⋅=σ

σr = 60 � HB = 180

g = 60 n n hf = 60 . 1200 . 20000 = 1,44 X 107

Logo:

9,261440

904

==admσ � σadm2 = 720

Substituindo estes valores teremos:

12,07201041,4

102,4

5614

5614

4,4

68,08

4

=⋅××⋅

+⋅⋅=fC

Padm ≤ 60,0 . 13,6 . 0,12 . 0,63 � Padm ≤ 66,5 � 200 ≤ 66,5

teremos portanto que recalcular Cf.

200 ≤ 60,0 . 13,6 . 0,63 . Cf’

Cf’ = 200/55,5 = 0,36

Cf K . σc adm2

365

216012,0

72036,0''

22 =⋅=

⋅=

f

admcf

admc C

C σσ � σc’

2.= 46,5

Logo:

5,46

10

5,0

66

=⋅

=g

H Badmσ �

5,0

35,35,46 ⋅=BH � 310≥BH

e conseqüentemente σr = 46,5

Rendimento:

68,01,094,086,0

94,086,0

coscos

coscos22

2

⋅+⋅⋅=

⋅+⋅⋅

=αβα

βαηsenfn � η = 92%

11.5 - ENGRENAGENS CÔNICAS DE DENTES RETOS

11.5.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA

A) ESTÁTICO

3

*

2

v

tm ZYK

Mm

⋅⋅⋅⋅

≥σ

Fórmula de Lewis

mm = módulo médio

ε

ε

sen

ZK

senZ

Kmmm

⋅≤

⋅−⋅=

6

1

1

Y* ���� fator de forma Zv (nº virtual de dentes)

β ângulo de pressão

33

sen1*

2

⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅≥

εσZ

KZYK

Mm

v

t (22)

B) DINÂMICO

3

2

1

*

2

vv

ttm CKZYK

KKMm

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

≥σ (23)

366

K1 � fator de serviço

K2 � fator de correção do fator de forma

K2 = 1,70 para todas engrenagens cônicas de dentes retos

3

2

31

sen1*

2

vv

tt

CKZ

KZYK

KKMm

⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅≥

εσ (24)

11.5.2 - ROTEIRO DE CÁLCULO (ESQUEMA)

Cv � m1 � dp1 � v1 � Cv1 � m2

Onde:

3

112

v

v

C

Cmm ⋅=

“Adota-se Cv = 0,7 e calcula-se m1 em seguida dp1, v1 e assim por diante”.

11.5.3 - EXERCÍCIO RESOLVIDO

1. Dimensionar a resistência, um par de engrenagens cônicas de dentes retos de eixos

perpendiculares com razão de redução R = 19/7. A potência a transmitir é de 40 CV e o

pinhão guiará a 2500 rpm. O material a usar será um aço de σr = 70 Kg/mm2. O

carregamento será com choques, sob condições extremamente desfavoráveis. O perfil

será envolvente β = 20º (corrigido). Quanto à precisão serão engrenagens comuns.

Solução:

KgmW

NM t 5,11

2500

307540 =⋅

⋅⋅==π

� Mt = 11.500 Kg.mm

K1 = 1,5 2/8,116

70mmKg

K S

rup ===σ

σ

Kt = 1,43

K2 = 1,70 εsen

ZK ⋅≤

6

1

R = 19/7 � Z1 = 3 X 7 = 21 (nº de dentes do pinhão)

δ = ε1 + ε2 = 90º

R = tg ε2 ∴ tg ε2 = 19/7 = 2,71 � ε2 = 69º50’ e ε1 = 20º10’

34,0

21

6

1

'10º206

1 1 ⋅≤⋅≤sen

ZK � K = 10,02 � K ≅ 10

367

Adotando Cv1 = 0,7

( ) 58,0836,034,021

101'10º20

21

1011 3

333

==

⋅−=

⋅−=

⋅− sensenZ

K ε

3,2294,0

21

'10º20cos

21

cos====

εZ

Zc

Y*

β = 20º

pela tabela Y* = 0,33

31 1070,17,058,03,2233,08,11

50,143,1500.112

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=m

31 83=m � m1 = 4,35

dp1 = m1 . Z = 4,35 X 21 = 91,5 mm

60

2500105,91

60

3

1

⋅×⋅=⋅

=−ππ nd

v � v1 = 12 m/s

18

6

126

6

6

62 =

+=

+=

vCv � Cv2 = 0,33

1,235,433,0

7,012 ⋅== mm � m2 = 5,58 � m = 6 (mais próximo padronizado)

Verificação ao desgaste:

Patuante ≤ Padm

3

1

KCCpl

r

Mvm

m

t ⋅⋅⋅⋅≤

Onde: Mt � momento atuante

rm � raio médio

εsen22

⋅−= ldr

pm

l � comprimento do dente

Pm�-‘ passo médio

Onde:

Pm = π . mm = π . m (1 – K/z . sen ε)

2

21

21

21

212

4,4 admcvv

vv

EE

EE

ZZ

ZZsenC σβ ⋅

⋅+

⋅+⋅

⋅=

368

610

5,0

g

H Badmc

⋅=σ onde g = 60 . n . hf

HB = dureza Brinell

Cv � Coeficiente de velocidade

vCv +

=6

6 ou

vCv

+=

6,5

6,5 ou

vCv +

=3

3

K3 � fator que leva em Conta a distribuição não uniforme de cargas sobre o dente das

Engrenagens cônicas de dentes retos.

Verificação ao desgaste para o problema anterior:

3

1

KCCpl

r

Mvm

m

t ⋅⋅⋅⋅≤

Mt = 11.500Kg . mm

122εsen

ldr p

m ⋅−= ; m = 6 � dp = m . Z = 6 X 21

l = K . m = 10 X 6 = 60

sen ε1 = sen 20º10’ = 0,34

rm = 126/2 – 60/2 . 0,34 = 52,65

pm = π . m (1 – K/Z sen ε1) = π . 6 . (1 - 10/21 . 0,34) � pm = 16

Cv = 0,33 calculado anteriormente

K3 = 1,4

2

21

21

21

21

4,4

2senadmc

vv

vv

EE

EE

ZZ

ZZC σε ⋅

⋅+

⋅+⋅

⋅=

2,165'50º69cos

572 ==vZ

( ) 7,1910652,1224,0

10652,124,22

3

21

21 =×+

×⋅=+⋅

vv

vv

ZZ

ZZ

4

8

4

21

21 1095,0104,4

102,4 −×=××=

⋅+EE

EE (para aço com E = 2,1 X 104 Kg/mm2)

4,2294,0

21

'10º20cos

211 ===vZ

369

610

2105,0

gadmc

⋅=σ se g = 60 . 2500 . 2000 � g = 3 X 109

8,3

105

3000

105 ==admcσ � σc adm2 = 27,72 = 762

Logo: C = 0,146/1 . 19,7 . 0,95 X 10-4 . 762 � C = 0,208

Então: 11.500/52,65 ≤ 60 . 16 . 0,208 . 0,33 . 1/1,4 � 218 ≤ 47,066

Não verificou, faremos uma correção aumentando a dureza do material.

C = X . σc adm2

221 ' admc

admc

CC σ

σ⋅= mas

''2

2

B

B

admc

admc

H

H=

σσ

Então: 2

21

'B

B

H

H

C

C= logo: 218 ≤ 60 . 16 . 0,33 . 1/1,4 . C1 � 218 ≤ 227 C1

� C1 ≥ 218/227 = 0,96

2

21

'B

B

H

H

C

C= �

208,0

96,0210' 22 ⋅=BH � HB’ 2 = 2102 X 4,6

� HB’ ≥ 450

11.6 - PARAFUSO SEM FIM E COROA

11.6.1 - DIMENSIONAMENTO PELA RESISTÊNCIA

Sendo a coroa o elemento menos resistente, será o determinante do módulo. A forma

dos dentes, de espessura variável, bem como o tipo de contacto, que depende de vários

fatores, tais como o ângulo da rosca, ângulo de avanço do parafuso, dificultam ainda mais uma

solução teórica precisa.

Diante disso, adotam-se hipóteses simplificadoras que conduzem a resultados apenas

aproximadas, não se considerando considerações de rigorismo, como o fator de concentração

de tensões, por exemplo. As fórmulas serão análogas aquelas das engrenagens cilíndricas

helicoidais de eixos paralelos.

A ruptura poder-se-á dar por flexão ou por cisalhamento; Earle Buchinghan, aconselha,

para a flexão, determinar o modulo pela equação de Lewis.

370

3

*

cos2

σα⋅⋅⋅

⋅⋅≥

c

ctcn ZYK

Mm (26)

onde o índice c se refere a coroa.

Para o cisalhamento, a mesma autoridade aconselha a determinar a resistência pela

fórmula:

ττ ⋅⋅= SF3

2 Pat ≤ Fτ (26)

Onde:

Fτ é o esforço cortante a que pode resistir o dente (1 X g).

S = λ . 1 . PAP - é um valor proporcional à área resistente (mm2)

λ - é uma constante

l - é o comprimento do helicoide

τ - é a tensão de cisalhamento do material (Kg/mm2)

PAP - é o passo axial do parafuso

ββββαααα (P) 14º3

0’ 20º 25º 30º

λλλλ 0,60 0,70 0,75 0,75

Tabela 8 – Passo axial do parafuso.

11.6.2 - DIMENSIONAMENTO PELO DESGASTE

Earle Buckingham aconselha o uso da fórmula abaixo para determinação da força

resistente que o dente pode suportar:

Padm = dpc . b . K1 Pat ≤ Padm (27)

onde:

dpc é o diânetro primitivo da coroa (mm)

b é a largura da coroa (mm)

K1 é o fator de pressão em Kg/mm2, obtido do quadro abaixo:

371

Material Fator de Pressão (K 1) [K 1 – Kg/cm 2]

Parafuso Coroa γp = 0 a 10º γp = 10º a 25º γp >25º

Aço (250 BR) Bronze fosforoso 420 500 650

Aço cementado Bronze fosforoso 560 700 850

Aço cementado Bronze fosforoso 850 1050 1300

Ferro Fundido Bronze fosforoso 1050 1300 1600 Tabela 9 – Fatores de Pressão.

OBS: γp – ângulo de avanço do parafuso

αc – ângulo de inclinação de hélice da coroa

γp = αc

Figura 6 – Ângulo de inclinação.

11.6.3 - VERIFICAÇÃO DISSIPAÇÃO DE CALOR

CR

CN CV

+⋅=

7,19,1

Onde R - razão de redução

C - distância entre eixos em mm

NCV - potência que pode ser transmitida sob condições admissíveis de dissipação de

calor. Se a caixa da engrenagem fica muito quente, o óleo pode tornar-se muito fino e

ser expulso das superfícies pela pressão de contacto. Se isto acontecer, o atrito

aumentara, mais calor será produzido e, finalmente, ocorrera sério desgaste. Os

lubrificantes de extrema pressão (EP) reduzem as dificuldades resultantes do atrito

combinado, tornando possível capacidades mais elevadas.

372

11.6.4 - RENDIMENTO DOS PARAFUSOS SEM-FIM

Um estudo das forças na área de contacto conduzirá a uma expressão para o

rendimento. A reação da superfície, para a análise das forças, pode ser admitida num ponto O

(figura 7).

Figura 7 – Análise das forças de um parafuso sem-fim.

A força N é perpendicular à superfície naquele ponto e é mostrada atuando sobre o sem-

fim; assim sua projeção sobre o plano Zy, fará segundo um ângulo βα com o eixo dos Z onde βα

é o angulo de pressão num plano dimensional. Sua projeção sobre o plano ZX se fará segundo

um ângulo γ com o eixo dos Z onde γ é o ângulo de inclinação de rosca.

O plano abcd é ao eixo dos Z e abcd retângulo. O ângulo doc é βα o ângulo de pressão

no plano normal é βu = ângulo aôb. A relação entre estes ângulos é a seguinte:

CO

dce

CO

abn == αββ tantan

como pode ser visto na fig. anterior. Dividindo tg βn por tg βα e notando que ab = dc, obtemos:

γββ

costan

tan==

bO

CO

a

n

ou tg βn = tg βα . cos γ (28)

Além da força normal existe a força de atrito que é tangente à hélice e fica no plano xZ.

A reação total do plano é a soma vetorial destas duas forças. As forças nas quais estamos

interessados são as componentes x, y e z da reação total da superfície, chamadas

respectivamente wt, S e Ft conforme a fig. Vamos relacioná-las com N e Ff = fN. A componente

de N sobre Ob é N cos βu. A componente de N cos βu ao longo do eixo dos Z é N cos βu . cos γ ,

que atua para baixo. A componente da força vertical de atrito Ff é fN sen γ quando atua para

cima. A componente vertical total Ft é dada por:

373

Ft = N cosβn . cos γ - fN sen γ (29)

atuando para baixo na fig. onde Ft é a força motriz sobre a coroa, obtida da equação de

potência de saída aplicada a engrenagem. A componente horizontal da reação total no plano (N

e fN) é:

Wt = N cos βn . sen γ + fN cos γ (30)

onde é a força motora sobre o sem-fim e é ao eixo do parafuso no circulo primitivo.

Eliminando N das equações (29) e (30), obtemos:

⋅−⋅⋅+⋅

⋅=γγβγγβ

senf

fsenFW

u

utt coscos

coscos (31)

Se a força de atrito é nula, f = 0 e a equação (31) torna-se:

γγβγβ

tancoscos

cos' ⋅=

⋅⋅

⋅= tu

utt F

senFW (32)

Wt é a força que se opõe ao giro do sem-fim. Quando parafuso executa uma rotação,

numa certa quantidade de trabalho é efetuada contra essa resistência, conseqüentemente em

(31) e (32). Wt é respectivamente proporcional ao trabalho executado com e sem atrito.

Conseqüentemente, o rendimento, que é a razão do trabalho ideal (sem atrito) para o trabalho

real (com atrito), é a relação entre da equação (32) e da equação (31) ou

⋅+⋅−

⋅==γγβγγβγ

coscos

coscostan

'

fsen

senf

W

WM

u

n

t

t

ou

+−⋅−

⋅=f

fM

u

u

γβγβγ

tancos

tancostan

Uma representação gráfica típica da equação anterior, rendimento em função do ângulo

de avanço γ, é mostrada na figura 8 abaixo. O rendimento destas transmissões, além de variar

com β e γ, é sensível à lubrificação, à velocidade de deslizamento no contacto, à qualidade de

mão-de-obra e aos materiais.

374

Figura 8 – Rendimento x Avanço.

Da figura 8 vemos que para ângulos de avanço muito pequenos, o rendimento é baixo,

porém para ângulos de avanço entre 30º e 60º o rendimento é razoavelmente elevado. Quanto

menor for o diâmetro do sem-fim para um passo particular, maior será o ângulo de avanço,

porém, para se obter ângulo de avanço dentro de gama de rendimentos máximos é necessário

usar-se parafuso sem-fim de várias entradas, com 3, 4, 5 ou mais filetes.

11.6.5 - EXERCÍCIO RESOLVIDO - SEM FIM E COROA

1 . Dimensionar um sistema, parafuso coroa, segundo as especificações:

Potencia a transmitir = 22 CV

Rotação do parafuso 1980 rpm

Rotação da coroa = 180 rpm

Material do parafuso = aço cementado

com σr = 90 Kg/mm2 τr = 45 Kg/mm2

funcionando em condições normais com Fs = 3

material da coroa - Bronze fósforo:

σr = 27 Kg/mm2

τr = 12 Kg/mm2

ângulo de inclinação de hélice = 14º

Serviço contínuo, caixa comum com ventilação, sendo o sem fim com perfil envolvente.

375

a) dimensionar pela resistência - carregamento Estático.

b) verificação ao desgaste.

c) verificação quanto ao cisalhamento.

d) cálculo do rendimento.

e) verificação a dissipação de calor.

Dimensionamento pela Resistência

3

*

cos2

KZY

Mm

c

ctcn ⋅⋅⋅

⋅⋅≥

σα

supondo carregamento estático.

Kgmn

NM CV

tc 5,87180

22716716=⋅=

⋅= � Mtc = 87500 Kgmm

cos αc = cos 14º = 0,97

σ = σr/Ks = 27/3 = 9 Kg/mm2 � σ = 9 Kg/mm2

R = 1980/180 = 11/1 mas R = Zc/Zp

pela tabela uma relação de 10/1 � 4 entradas

11/1 = Zc/4 � Zc = 44 dentes

sendo o sem fim com 4 entradas.

Para que não haja interferência temos que ter:

505,4897,0

44

cos 33≅===

c

cvc

ZZ

α

Zv = 50

Y* � Y* = 4,08 X 10-1

β = 20º

32

4

3

106,13

107,1

84,4408,09

97,0875002

××=

⋅⋅⋅−⋅≥nm � mn = 5

b) Verificação ao desgaste:

Pat ≤ Padm

pc

tcat d

MP

⋅=

2 e 1KbdP pcadm ⋅⋅=

22797,0

445

cos=⋅=

⋅=

c

cnpc

Zmd

α

KgPat 772227

875002 =⋅= e

376

b = l . cos αc = k .mn . cos αc

b = 5 . 8 . 0,97 � b = 38,8 mm

K1 (fator de pressão) = 7 Kg/mm2 (tabelado) � 772 ≤ 227 . 38,8 . 7 ∴ Verifica

Se a condição não fosse satisfeita recalcularia-se um novo módulo utilizando a expressão

abaixo:

1coscos

cos

2kmk

m

mM

cnc

Zn

c

Zn

tc c

c

⋅⋅⋅⋅≤⋅ ⋅

⋅α

αα

� 3

12

cos2

kkZ

Mm

c

ctcn ⋅⋅

⋅⋅≥

α

c) Verificação ao cisalhamento:

Pat ≤ Fτ

Fτ = 2/3 S . τ sendo τ = 45/3 S = λ . l . Pap

λ � Sap � Zc p/ βap = 20º � λ = 0,7

l

LAPc =αsen �

c

APLl

αsen=

APAP PL ⋅= τ

97,0

14,350

coscos

⋅=⋅

===c

n

c

nfcAP

mPPP

απ

α� PAP = 16,2 mm

Figura 9 - Exercício resolvido 1.

402º14

2,97

º14

2,166 ==⋅=sensen

l

S = 0,7 . 402 . 16,2 = 4570 mm2

τ = 15 Kg/mm2

Fτ = 2/3 . 4570 • 15 � Fτ = 45 . 700 Kg

Logo:

Pat ≤ Fτ

d) Cálculo do Rendimento:

º14tan1,0º14tancos

º14tan1,0costan

tancos

tancos⋅

+⋅⋅−

=⋅+⋅

⋅−=

n

n

n

n

f

f

ββ

γγβ

γβη

tg βn = tg βα . cos γ = tg 20 X cos 14 = 0,37 X 0,97 � tg βn = 0,36 � βn = 19º

sendo ∴ cos 19º = 0,945 e tg 14º = 0,25

377

685,025,01,025,0945,0

25,01,0945,0 =⋅+⋅

⋅−=η � η = 68,5%

e) Verificação quanto a dissipação de calor:

100061100

32112

n

YYYNC

⋅+

⋅⋅⋅≥

2dpcppd

C+

= mas

83242,0

45 =⋅=⋅

=p

pnpp sen

Zmd

γ

22797,0

445 =⋅=⋅

=csen

Zmd

c

cnpc α

∴ mmC 1552

22783 =+=

N1 = 22CV y2 = 1 (devido a relação de redução)

y1 =1 (serviço contínuo) y3 = 1,17 (aço temperado sem retificar)

1000

198061

17,11122

100

1552

⋅+

⋅⋅⋅≥

29,12

75,254,2 =≥ (logo 0K!)

11.7 - DIMENSIONAMENTO PELA NORMA AGMA

11.7.1 - TENSÃO DE FLEXÃO EM ENGRENAGENS

A) CÁLCULO DA TENSÃO DE FLEXÃO, POR LEWIS, SEM CONS IDERAR O EFEITO

DINÂMICO

a) 2

6

/ Ft

lW

cl

M t==σ b) FY

PWt=σ

378

Número de

Dentes Y

Número de

Dentes Y

Número de

Dentes Y

12 0,245 21 0,328 50 0,409

13 0,261 22 0,331 60 0,422

14 0,277 24 0,337 75 0,435

15 0,290 26 0,346 100 0,447

16 0,296 28 0,353 150 0,460

17 0,303 30 0,359 300 0,472

18 0,309 34 0,371 400 0,480

19 0,314 38 0,384 Rack 0,485

20 0,322 43 0,397 - -

Tabela 10 – Número de Dentes e fator Y.

B) FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO EFEITO DINÂMICO

a) V

KV +=

1200

1200; (sistema inglês)

b) V

KV +=

1,6

1,6; (sistema internacional)

C) FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA TENSÃO DE FLEXÃO CONS IDERANDO O EFEITO

DINÂMICO

a) FYK

PW

v

t=σ ; (sistema inglês)

b) FmYK

W

v

t=σ ; (sistema internacional)

D) FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO CARREGAMENTO TANGENCIA L

a) V

HWt

33000= ; onde H entra em hp (cavalo vapor) e V em ft/min (pés por minuto)

b) V

HWt = ; onde H entra em Watts e V em m/s.

379

11.7.2 - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - TENSÃO DE FLEXÃO E M ENGRENAGENS

1. Um pinhão de aço tem um passo de 6 dentes/polegada, 22 dentes, e um ângulo de

pressão de 20º. O pinhão gira a uma velocidade de 1200 rpm e transmite uma potência

de 15hp a uma engrenagem de 60 dentes. Se a face mede 2 polegadas estime a tensão

de flexão.

• Cálculo do diâmetro: P

Nd = →

6

22=d → d = 3,67 in

• Cálculo da velocidade: 12

dnV

π= → 12

)1200(67,3 ××= πV → min/1152ftV =

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1200

1200→

11521200

1200

+=VK → 510,0=VK

• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 22 tem-se Y = 0,331:

• Cálculo da carga tangencial: V

HWt

33000= → 1152

1533000×=tW → lbWt 430=

• Cálculo da tensão de flexão: FYK

PW

v

t=σ → 331,02510,0

6430

×××=σ → Kpsi64,7=σ

2. Um pinhão de aço possui um passo diametral de 12 dentes/polegada, 16 dentes um

ângulo de pressão de 20º e tem a face do dente com uma largura de ¾ de polegada. É

esperado que este pinhão transmita 1,5 hp a uma rotação de 700 rpm. Determinar a

tensão de flexão.

• Cálculo do diâmetro: P

Nd = →

12

16=d → d = 1,33 in

• Cálculo da velocidade: 12

dnV

π= → 12

)700(33,1 ××= πV → min/73,243 ftV =

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1200

1200→

73,2431200

1200

+=VK → 83,0=VK

• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 16 tem-se Y = 0,296:

• Cálculo da carga tangencial: V

HWt

33000= → 73,243

5,133000×=tW → lbWt 1,203=

• Cálculo da tensão de flexão: FYK

PW

v

t=σ → 296,0

4

383,0

121,203

××

×=σ → Kpsi23,13=σ

380

3. Um pinhão de aço tem um módulo de 1,25 mm, 18 dentes, um ângulo de pressão de 20º

e 12 mm de largura de face. Em uma velocidade de 1800rpm é esperado que este

pinhão consiga transmitir 0,5 kW. Determine o resultado da tensão de flexão.

• Cálculo do diâmetro: N

dm = → 1825,1 ×=d → d = 22,5 mm

• Cálculo da velocidade: 60000

dnV

π= → 60000

)1800(5,22 ××= πV → smV /12,2=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

12,21,6

1,6

+=VK → 742,0=VK

• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 18 tem-se Y = 0,309:

• Cálculo da carga tangencial: V

HWt = →

12,2

500=tW → NWt 85,235=

• Cálculo da tensão de flexão: FmYK

W

v

t=σ → 309,025,112742,0

85,235

×××=σ →

MPa58,68=σ

4. Um pinhão com 15 dentes e um ângulo de contato de 20º módulo de 5 mm e a largura

da face igual a 60 mm. O pinhão gira a uma rotação de 200 rpm e transmite 5 kW para

uma engrenagem idêntica. Qual é o resultado do a tensão de flexão.

• Cálculo do diâmetro: N

dm = → 155×=d → d = 75 mm

• Cálculo da velocidade: 60000

dnV

π= → 60000

)200(75××= πV → smV /785,0=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

785,01,6

1,6

+=VK → 886,0=VK

• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 15 tem-se Y = 0,290:

• Cálculo da carga tangencial: V

HWt = →

785,0

5000=tW → NWt 43,6369=

Cálculo da tensão de flexão: FmYK

W

v

t=σ → 290,0560886,0

43,6369

×××=σ →

MPa63,82=σ

381

5. Um pinhão com um módulo de 1mm 16 dentes 20º de ângulo de contato e um

carregamento de 0,15 kW a uma rotação de 400 rpm. Determine a largura da face para

uma tensão de flexão de 150 MPa.

• Cálculo do diâmetro: N

dm = → 161×=d → d = 16 mm

• Cálculo da velocidade: 60000

dnV

π= → 60000

)400(16××= πV → smV /335,0=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

335,01,6

1,6

+=VK → 948,0=VK

• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 16 tem-se Y = 0,296:

• Cálculo da carga tangencial: V

HWt = →

335,0

150=tW → NWt 76,447=

• Cálculo da tensão de flexão: FmYK

W

v

t=σ → 296,01150948,0

76,447

×××=F →

mmF 64,10=

6. Um pinhão com ângulo de contato de 20º tem 17 dentes e um módulo de 1,5 mm

transmitindo 0,25kW na rotação de 400 rpm. Encontre a largura do dente apropriada

para que a tensão de flexão não ultrapasse 75 MPa.

• Cálculo do diâmetro: N

dm = → 175,1 ×=d → d = 25,5 mm

• Cálculo da velocidade: 60000

dnV

π= → 60000

)400(5,25 ××= πV → smV /534,0=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

335,01,6

1,6

+=VK → 919,0=VK

• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 17 tem-se Y = 0,303:

• Cálculo da carga tangencial: V

HWt = →

303,0

250=tW → NWt 08,825=

• Cálculo da tensão de flexão: FmYK

W

v

t=σ → 303,05,175919,0

08,825

×××=F →

mmF 32,26≥

382

7. Com um ângulo de contato de 20º um pinhão transmite 1,5 kW a uma rotação de 900

rpm. Se o pinhão tem 18 dentes determine valores coerentes para o módulo e a largura

do dente. A tensão de flexão não pode ultrapassar 75 MPa.

• Para um módulo igual a 2,5mm

• Cálculo do diâmetro: N

dm = → 185,2 ×=d → d = 45 mm

• Cálculo da velocidade: 60000

dnV

π= → 60000

)900(45××= πV → smV /12,2=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

12,21,6

1,6

+=VK → 742,0=VK

• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 18 tem-se Y = 0,309:

• Cálculo da carga tangencial: V

HWt = →

12,2

1500=tW → NWt 55,707=

• Cálculo da tensão de flexão: FmYK

W

v

t=σ → 309,05,275742,0

55,707

×××=F →

mmF 46,16≥

8. Uma engrenagem pinhão para transmitir 3,5kW em uma velocidade de 1200 rpm. Com

um ângulo de contato de 20º, 19 dentes e com uma tensão de flexão de 70 MPa,

encontre valores coerentes para a largura de face e o módulo.

• Para um módulo igual a 2,5mm

• Cálculo do diâmetro: N

dm = → 195,2 ×=d → d = 47,5mm

• Cálculo da velocidade: 60000

.. ndV

π= → 60000

)1200(5,47 ××= πV → smV /984,2=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

984,21,6

1,6

+=VK → 671,0=VK

• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 19 tem-se Y = 0,314:

• Cálculo da carga tangencial: V

HWt = →

984,2

3500=tW → NWt 76,1172=

• Cálculo da tensão de flexão: FmYK

W

v

t=σ → 314,05,270671,0

76,1172

×××=F →

mmF 8,31=

383

9. Estime a potência que pode ser transmitida em kW em um pinhão com módulo de 4mm,

20 dentes, ângulo de contato de 20º, largura da face do dente de 50mm, rotação de

1000 rpm e máxima tensão de flexão de 62,5 MPa.

• Cálculo do diâmetro: N

dm = → 204×=d → d = 80mm

• Cálculo da velocidade: 60000

dnV

π= → 60000

)1000(80××= πV → smV /189,4=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

189,41,6

1,6

+=VK → 592,0=VK

• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 20 tem-se Y = 0,322:

• Cálculo da carga tangencial: FmYKW vt σ= → 322,0450592,05,62 ××××=tW →

NWt 8,2382=

• Cálculo da potência: VWH t= → 189,48,2382 ×=H → kWH 98,9≤

10. Um pinhão com um ângulo de contato de 20º tem um módulo de 6mm, 21 dentes,

largura da face de 75mm e uma tensão de flexão de 60 MPa. Qual é a potência máxima

que pode ser transmitida se a rotação for de 800 rpm.

• Cálculo do diâmetro: N

dm = → 216×=d → d = 126mm

• Cálculo da velocidade: 60000

dnV

π= → 60000

)800(126××= πV → smV /278,5=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

278,51,6

1,6

+=VK → 536,0=VK

• Pela tabela 1 para um número de dentes igual a 21 tem-se Y = 0,328:

• Cálculo da carga tangencial: FmYKW vt σ= → 328,075536,060 ××××=tW →

82,4746=tW

• Cálculo da potência transmitida: VWH t= → 278,582,4746 ×=H → kWH 05,25= .

384

11.7.3 - DURABILIDADE SUPERFICIAL

E) COEFICIENTE ELÁSTICO É DEFINIDO PELA AGMA - FÓRM ULA OU TABELA

2

1

22 11

1

−+

−=

g

g

p

p

p

EE

Cυυ

π

onde E é o módulo de elasticidade do material constituinte e v é a razão de Poisson dados pela

tabela 11.

Constantes físicas dos materiais

Material

Módulo de

Elasticidade

(GPA)

Razão de

Poisson

Alumínio (todos os tipos) 71,0 0,334

Liga de berílio e cobre 124,0 0,285

Latão 106,0 0,324

Aço carbono 207,0 0,292

Ferro fundido, cinza 100,0 0,211

Cobre 119,0 0,326

Vidro 46,2 0,245

Liga de níquel,

cromo e ferro 214,0 0,290

Chumbo 36,5 0,425

Magnésio 44,8 0,350

Molibdênio 331,0 0,307

Monel 179,0 0,320

Liga de níquel e prata 127,0 0,322

Liga de níquel e aço 207,0 0,291

Bronze fosforoso 111,0 0,349

Aço inoxidável 190,0 0,305

Tabela 11- Módulo de elasticidade e razão de Poisson para os diferentes tipos de materiais.

385

Material da engrenagem

Coeficiente elástico (Cp) em MPa Aço

Ferro

maleável

Ferro

nodular

Ferro

fundido

Alumínio

e bronze Latão

Material do

pinhão

Módulo de

elasticidade (MPa) 200000 170000 170000 150000 120000 110000

Aço 200000 191 181 179 174 162 158

Ferro maleável 170000 181 174 172 168 158 154

Ferro nodular 170000 179 172 170 166 156 152

Ferro fundido 150000 174 168 166 163 154 149

Alumínio e

bronze 120000 162 158 156 154 145 141

Latão 110000 158 154 152 149 141 137

Tabela 12 - Coeficiente elástico Cp com relação ao material do pinhão e da engrenagem.

F) FATOR DINÂMICO CV

Para encontrarmos o fator dinâmico de um engrenamento podemos utilizar a fórmula

abaixo ou a Tabela 13.

( )

B

v

VA

AC

+=

2

1

200 , ( )BA −+= 15650 e

( )4

12 3

2

vQB

−= onde: V é a velocidade tangencial

em (m/s) e Qv é o fator de qualidade do engrenamento.Obs: Quando não for fornecido o fator

de qualidade Qv devemos calcular Kv, e igualar com Cv.

Cv Fator de qualidade (Qv)

Velocidade

(m/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

2 0,58 0,63 0,67 0,71 0,75 0,79 0,82 0,85 0,89 0,92 0,95

4 0,49 0,54 0,59 0,64 0,68 0,73 0,77 0,81 0,85 0,89 0,94

6 0,44 0,49 0,54 0,59 0,64 0,69 0,73 0,78 0,82 0,87 0,92

8 - 0,45 0,51 0,56 0,61 0,66 0,70 0,75 0,80 0,86 0,91

10 - - 0,48 0,53 0,58 0,63 0,68 0,73 0,79 0,84 0,91

12 - - - 0,51 0,56 0,61 0,66 0,72 0,77 0,83 0,90

14 - - - - 0,54 0,59 0,65 0,70 0,76 0,82 0,89

Tabela 13 – Fator Dinâmico Cv

386

Cv Fator de qualidade (Qv)

Velocidade

(m/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

16 - - - - 0,52 0,58 0,63 0,69 0,75 0,81 0,89

18 - - - - - 0,56 0,62 0,68 0,74 0,81 0,88

20 - - - - - 0,55 0,61 0,67 0,73 0,80 0,88

22 - - - - - 0,54 0,60 0,66 0,72 0,79 0,87

24 - - - - - - 0,59 0,65 0,72 0,79 0,87

26 - - - - - - - 0,64 0,71 0,78 0,87

28 - - - - - - - 0,63 0,70 0,78 0,86

30 - - - - - - - - 0,70 0,77 0,86

32 - - - - - - - - 0,69 0,77 0,86

34 - - - - - - - - 0,68 0,76 0,85

36 - - - - - - - - 0,68 0,76 0,85

38 - - - - - - - - - 0,75 0,85

40 - - - - - - - - - 0,75 0,84

42 - - - - - - - - - 0,75 0,84

44 - - - - - - - - - 0,74 0,84

46 - - - - - - - - - - 0,84

48 - - - - - - - - - - 0,83

50 - - - - - - - - - - 0,83

Tabela 13 (continuação)– Fator Dinâmico Cv.

G) FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TENSÃO DE CONTATO

2

1

21

11

cos

+−=

rrFC

WC

v

tpc φ

σ

onde 21

φsendr p= ,

22

φsendr g= , φ é o ângulo de pressão.

387

11.8 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - DURABILIDADE SUPERF ICIAL

1. Um pinhão com um ângulo de pressão de 20º, 20 dentes, um módulo de 4mm,

construído de ferro fundido movimenta uma engrenagem de ferro fundido com 32

dentes. Encontre a tensão de contato se o pinhão gira a uma rotação de 1000 rpm, a

largura da face é 50 mm e transmite 10 kW de potência.

• Cálculo do diâmetro do pinhão: N

dm = → 204×=d → d = 80 mm

• Cálculo do diâmetro da engrenagem: N

dm = → 324×=d → d = 128 mm

• Cálculo da velocidade do pinhão: 60000

dnV

π= → 60000

)1000(80××= πV → smV /19,4=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

19,41,6

1,6

+=VK → 593,0=VK

• Cálculo da carga tangencial: V

HWt = →

19,4

10000=tW → NWt 64,2386=

• Pela tabela 3 com pinhão e a engrenagem constituídos de ferro fundido temos uma

constante elástica Cp de 163 MPa.

• Como VV KC = então 593,0=VC

• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão: 2

sen1

φpdr = →

2

º20sen801

×=r → mmr 68,131 = .

• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem: 2

sen2

φgdr = →

2

º20sen1282

×=r → mmr 89,212 = .

• Cálculo da tensão de contato do engrenamento: 2

1

21

11

cos

+−=

rrFC

WC

v

tpc φ

σ →

2

1

89,21

1

68,13

1

20cos50593,0

64,2386163

+××

×−=cσ → MPac 520−=σ .

388

2. Um engrenamento é constituído de um pinhão de aço com 19 dentes e uma

engrenagem de ferro fundido com 30 dentes. Os dentes apresentam um ângulo de

contato de 20º. Determine os valores do módulo, largura da face que corresponda a uma

potência de entrada de 3,5kW, uma velocidade do pinhão de 1200 rpm e uma tensão

máxima de contato de 600 MPa.

• Para um módulo igual a 6mm

• Cálculo do diâmetro do pinhão: N

dm = → 196×=d → d = 114 mm

• Cálculo do diâmetro da engrenagem: N

dm = → 306×=d → d = 180 mm

• Cálculo da velocidade do pinhão: 60000

dnV

π= → 60000

)1200(114××= πV →

smV /16,7=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

16,71,6

1,6

+=VK → 46,0=VK

• Cálculo da carga tangencial: V

HWt = →

16,7

3500=tW → NWt 64,488=

• Com pinhão de aço e uma engrenagem de ferro fundido temos uma constante

elástica Cp de 174 MPa.

• Como VV KC = então 46,0=VC

• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão: 2

sen1

φpdr = →

2

º20sen1141

×=r → mmr 5,191 = .

• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem: 2

sen2

φgdr = →

2

º20sen1802

×=r → mmr 78,302 = .

• Cálculo da largura dos dentes do engrenamento: 2

1

21

11

cos

+−=

rrFC

WC

v

tpc φ

σ

→ 2

1

78,30

1

5,19

1

º20cos46,0

22,464174600

+××

×−=−F

→ mmF 6,7≥ .

389

3. Um redutor consiste de um pinhão de ferro fundido com 21 dentes girando a 800 rpm

movimentando uma engrenagem de ferro fundido com 44 dentes. O engrenamento tem

um ângulo de pressão de 20º, largura da face de 75mm e um módulo de 6mm. Para

uma tensão de contato de 480 MPa estime a potência máxima que pode ser transmitida.

• Cálculo do diâmetro do pinhão: N

dm = → 216×=d → d = 126 mm

• Cálculo do diâmetro da engrenagem: N

dm = → 446×=d → d = 264 mm

• Cálculo da velocidade do pinhão: 60000

dnV

π= → 60000

)800(126××= πV → smV /27,5=

• Cálculo do efeito dinâmico: V

KV +=

1,6

1,6→

27,51,6

1,6

+=VK → 536,0=VK

• Com pinhão e a engrenagem constituídos de ferro fundido temos uma constante

elástica Cp de 163 MPa.

• Como VV KC = então 536,0=VC

• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes do pinhão: 2

sen1

φpdr = →

2

º20sen1261

×=r → mmr 55,211 = .

• Cálculo do raio da curvatura do perfil dos dentes da engrenagem: 2

sen2

φgdr = →

2

º20sen2642

×=r → mmr 15,452 = .

• Cálculo da carga tangencial do engrenamento: 2

1

21

11

cos

+−=

rrFC

WC

v

tpc φ

σ →

2

1

15,45

1

55,21

1

º20cos75536,0163480

+××

×−=− tW → NWt 26,4779= .

390

• Cálculo da potência transmitida: V

HWt = → 27,526,4779 ×=H → kWH 22,25=

11.9 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Na instalação mostrada na figura, o conjunto sem-fim/coroa tem as seguintes

características:

NG = 30 (número de dentes da coroa)

Nw = 1 (número de dentes, de entrada)

λ = 7o 41’ (ângulo de avanço)

dw = C0,875/ 2,2 (diâmetro do sem fim)

ϕn = 14o30’ ( ângulo de pressão normal)

Material - coroa de bronze centrifugado, sem-fim de aço retificado.

Determinar a potência e rotação do motor sabendo-se que um fator de serviço de 1,5

deve ser considerado para o sem-fim/coroa e uma eficiência de 95% para o conjunto

engrenagens helicoidais e polias.

Figura 10 – Exercício proposto 1.

2. No redutor mostrado na figura abaixo, o rolamento A suporta uma carga radial de 3972

N,. O rolamento B suporta a carga radial pura de 2840 N. O eixo gira a uma rotação de

150 rpm e a carga axial é de 1125 N. A vida desejada é de 11.500 horas. Os diâmetros

do eixo são em A 35 mm e B 30 mm. Selecione os rolamentos que julgar mais

adequados.

391

3. Um conjunto de engrenagens cilíndricas de dentes retos, consiste de um pinhão de 16

dentes ,angulo de pressão 20o acionando uma engrenagem de 48 dentes. A rotação do

pinhão é de 300 rpm, largura da face de 50 mm, e módulo 4 mm. As engrenagens são feitas

de alta precisão com fator de segurança 1,8. Determine a potência a ser transmitida pelo

par de engrenagens, levando em conta a flexão e o desgaste, Dados: limite de resistência a

fadiga= 230 MPa; Dureza Brinell 180 HBN; CL=CH=CT=CR=1; CP=190; Jp=0,2;

4. Um conjunto de engrenagens consiste de um pinhão de aço 16 dentes, 20o acionando uma

engrenagem de ferro fundido de 48 dentes. A rotação do pinhão é de 300 rpm, largura da face de 2

pol, e passo diametral de 6 dentes por polegada. As engrenagens são feitas de padrão de qualidade

no.7 e devem ser montadas rígida e precisamente. Determine a tensão de contato AGMA se estas

engrenagens transmitem 5 HP.

392

CAPITULO 12 – PROJETO DE FREIOS E EMBREAGENS

12.1 - INTRODUÇÃO

Os freios são elementos associados à rotação, e têm como função armazenar energia

rotativa. O escorregamento ocorre devido a dois elementos que estão movendo a diferentes

velocidades, dissipando energia durante essa ação.

O torque transmitido durante a frenagem nos freios de fricção está relacionado à força

atuante, ao coeficiente de atrito e à geometria do freio.

12.2 - MATERIAIS DE FRICÇÃO

Um material de fricção no freio deve possuir as seguintes características:

• Um alto e uniforme coeficiente de fricção;

• Condições impermeáveis para o meio;

• A habilidade para suportar altas temperaturas, junto com uma boa condutividade

térmica;

• Boa resiliência;

• Alta resistência para o desgaste, descamação e risco.

A manufatura de materiais friccionais é um processo altamente especializado, e é

aconselhável consultar catálogos de fornecedores a fim de selecionar materiais friccionais para

aplicações específicas.

Os materiais utilizados para se construir um freio devem ser selecionados de acordo com a

análise do revestimento. O revestimento é determinado pela mistura dos materiais que irão

compor o freio e pela seqüência de produção dos componentes. Existem, basicamente, três

tipos de revestimentos.

REVESTIMENTO ORGÂNICO

Esse tipo de revestimento é geralmente composto por seis ingredientes básicos:

• Asbestos: pela resistência térmica e pelo alto coeficiente de fricção

• Modificadores de fricção: por exemplo, óleo para dar uma fricção desejada

• Preenchimento: por exemplo, goma de borracha para controlar os ruídos

• Agentes de cura: para promover as reações químicas requeridas durante a manufatura

393

• Outros materiais: por exemplo, chumbo em pó, lascas de latão e alumínio em pó para

aumentar a performance durante a frenagem

• Materiais coesivos: resinas fenólicas para unir ingredientes

Asbestos têm características que fazem com que sejam encaixados nas aplicações de

fricção: estabilidade térmica e resistência adequada ao desgaste. Por essas razões foi

encontrada uma aceitação universal como ingrediente básico nos materiais que compõem os

freios.

REVESTIMENTO SEMIMETÁLICO

Esse tipo de revestimento substitui parte dos asbestos e dos componentes orgânicos da

dureza orgânica por ferro, aço e grafite. As razões para essa substituição são:

• Aumento da estabilidade friccional e performance a alta temperatura;

• Excelente compatibilidade com o rotor e resistência ao desgaste a alta temperatura,

para temperaturas maiores que 230oC;

• Alta performance com ruídos minimizados.

REVESTIMENTO METÁLICO

Esse tipo de revestimento recebeu atenção pelas aplicações especiais envolvendo

grande dissipação de calor e altas temperaturas. Materiais de fricção sinterizados de cerâmica-

metalica são aplicados com sucesso em freios de jatos e em carros de corrida.

Dois métodos são usados para fabricar esse tipo de revestimento de freio – weaving e

moldagem. Ambos são feitos basicamente com asbestos com materiais coesivos para manter

as fibras de asbestos unidas. O tipo moldado é mais utilizado.

12.3 - CONCEITOS GERAIS DE ATRITO

Os conceitos gerais de atrito ou fricção, tem sido desenvolvidos ao longo dos anos. Como

aço e ferro fundido são aplicados no revestimento dos freios, as fontes principais de fricção são:

• Adesão: Com o movimento do revestimento sobre o tambor ou a superfície do rotor,

seus constituintes metálicos unem-se ao material do rotor e do tambor. O cisalhamento

dessa junção produz a força friccional.

394

• Deformação por cisalhamento: O coeficiente de fricção cresce à medida que a

temperatura cresce, sugerindo que a deformação seja um fator importante pois a resina

amacia-se com o crescimento da temperatura. Acredita-se que o efeito da deformação

ocorre a partir da formação de uma onda de deformação e não a partir de uma perda por

histereses.

• Sulcos: Durante o processo de movimento tangencial entre as superfícies,

protuberâncias no disco do tambor encadeia-se com partículas dos ingredientes,

desarranjando-as. Quando a tensão última é excedida, ocorre a ruptura no polímero e as

partículas são perdidas. Para que não ocorra a perda dessas partículas, longos

amiantos ou fibras de aço fornecem a tensão mecânica necessária para evitar perdas

excessivas de material durante a abertura dos sulcos.

• Histereses: A energia perdida que está envolvida com a tensão elástica, produz uma

fonte muito pequena de fricção no freio.

• Filmes da superfície: A contaminação da superfície com material de revestimento

decomposto afeta muito o coeficiente de fricção por reduzir a adesão e a deformação

por cisalhamento.

A importância de cada componente de fricção discutida acima, variará de acordo com a

vida do revestimento. A operação inicial do sistema pode envolver grandes ranhuras devido à

alta rugosidade original da superfície. À medida que a rugosidade vai diminuindo com o uso, o

efeito positivo do crescimento da adesão vai ficando mais importante assim como o efeito

negativo da contaminação das superfícies.

O coeficiente de fricção para o material de freios com fricção em ferro fundido é uma

função da carga, velocidade e temperatura. A expressão da força pode ser escrita como:

F = K(T)Pa(T)Vb(T)

Onde

K(T) = Constante, dependente da temperatura;

P = Carga normal;

a(T) = Expoente da carga dependente da temperatura;

V = velocidade de escorregamento;

b(T) = Expoente da velocidade dependente da temperatura.

Pela influência da carga, velocidade e temperatura para um material de fricção como o

amianto, percebe-se que o aumento da carga ou da velocidade causa um decrescimento no

coeficiente de fricção. Entretanto, análises como essas devem ser feitas com cuidado devido à

grande influência que a temperatura da superfície causa no coeficiente de fricção.

395

12.4 - CONSIDERAÇÕES SOBRE FREIOS EM VEÍCULOS

Um freio de fricção transforma a energia cinética em calor, entretanto, devido ao projeto

dos veículos, esse calor dissipado não é distribuído igualmente a todas as rodas. O calor

dissipado em cada freio será uma função da distribuição estática e dinâmica do peso sobre as

rodas e do design do sistema de freio. A carga dinâmica será dependente do design do veículo

(distribuição estática do peso, a altura do centro de gravidade e a base do volante) e da

desaceleração. A soma das forças durante a frenagem, mostra que a desaceleração do veículo

em porcentagem da aceleração da gravidade g é menor ou igual ao coeficiente de fricção entre

o pneu e o chão. Esse coeficiente de fricção dependerá do tamanho e da construção do pneu,

da superfície do chão, e do escorregamento relativo entre o pneu e o chão.

Se o peso está uniformemente distribuído da direita para a esquerda, a carga dos pneus

da frente e de trás (LF e LR) pode ser escrita como:

LF = W(F = µh/d)

LR = W(R = µh/d)

Onde:

F: carga estática da roda da frente = dR/d;

R: carga estática da roda de trás = dF/d;

d: base da roda; dF: distância do centro de gravidade à roda da frente;

dR: distância do centro de gravidade à roda de trás;

µ: coeficiente de fricção;

h: distância vertical do chão ao centro de gravidade.

Essa expressão pode ser usada para estimar a mudança no carregamento devido às

forças de fricção no chão durante a frenagem. Uma transferência de peso significativa ocorrerá

para veículos altos e curtos. Para veículos baixos e longos, porcentagens menores do peso

serão transferidas.

O balanço da frenagem entre a frente e a traseira é um fator importante no projeto. O

sistema de freio poderia ser projetado de forma que os freios da frente produzam um torque 4

vezes maior que o de trás. Entretanto, em condições molhadas, o coeficiente de fricção reduz

bastante, resultando em um balanço no sistema de freio de 80% na frente e 20% atrás que

causaria um escorregamento das rodas da frente. Se o sistema de freio fosse balanceado para

uma desaceleração dinâmica de distribuição de peso mais baixa, as rodas de trás

escorregariam primeiro durante a desaceleração máxima para condições secas.

396

Para decidir a respeito do projeto do balanço do freio, a influência do escorregamento da

roda no controle do veículo tem que ser considerada. O controle do veículo está relacionado

com o escorregamento da roda no seguinte sentido: Travando apenas as rodas de trás resulta

na perda parcial ou total do controle do veículo. Dependendo de suas características essa

situação levaria o veículo a rodar. Travando apenas as rodas da frente resulta em um

movimento retilíneo do veículo onde há perda quase total do controle do volante. Conclui-se

que para a maioria dos veículos, é melhor um balanço do sistema de freio favorecendo primeiro

o travamento das rodas da frente.

Para um melhor controle do veículo durante o frenagem, sistemas de freio ABS foram

desenvolvidos. Esses sistemas medem a velocidade relativa da roda e do veículo e modela a

pressão do freio para manter cada roda no limite de adesão sem escorregar. O coeficiente

máximo de fricção para os pneus na estrada ocorre a uma pequena porcentagem de

escorregamento que esta mais perto das condições de rolamento que de escorregamento.

Assim, um sistema ABS de freio pode ser projetado para produzir um torque máximo durante o

frenagem.

12.5 - FREIO A TAMBOR

A sapata interna do freio consiste essencialmente de três elementos: a superfície de

fricção, os meios de transmissão do torque para as e da superfícies e o mecanismo atuante.

Dependendo do mecanismo de operação, esses freios são classificadas como anel de

expansão, centrífugo, magnético, hidráulico ou pneumático.

O anel de expansão do freio é muito usado em máquinas da indústria têxtil, escavadoras

e em ferramentas onde o freio pode estar localizado dentro da polia de transmissão. Os anéis

de expansão do freio têm vantagens devido aos efeitos centrífugos; transmitem um alto torque,

mesmo em baixas velocidades; requerem engrenamentos positivos e uma força de

afrouxamento suficiente.

O freio centrifugo é usado principalmente para operações automáticas. Se molas não

são usadas, o torque transmitido é proporcional ao quadrado da velocidade. Isso é

particularmente útil para acionamentos de motores elétricos onde, durante a partida, a máquina

acionada adquire velocidade gradativamente. Molas também podem ser úteis para prevenir o

engrenamento até uma certa velocidade ser atingida mas choques podem ocorrer.

Os freios magnéticos são particularmente úteis para sistemas automáticos e com

controle remoto. Tais freios também são úteis em acionamentos sujeitos a ciclos de carga

complexos.

397

Freios hidráulicos e pneumáticos são úteis também em acionamentos que tem ciclos de

carga complexos e em máquinas automáticas ou em robôs. Nesse caso o fluxo do fluido pode

ser controlado remotamente por válvulas solenóides. Esses freios são encontrados também em

forma de disco e pratos múltiplos.

Em sistemas de freios, a sapata interna ou freio tambor é usada principalmente para

aplicações automotivas.

Para analisar o mecanismo de uma sapata interna, olhar Fig 1, no qual mostra uma

sapata com o pivô no ponto A, e a força atuante agindo no outro lado da sapata. Não é possível

admitir que a distribuição de forças é uniforme devido ao longo comprimento da sapata. O

mecanismo não permite pressões aplicadas no salto. A pressão nesse ponto é considerada

zero.

Figura 1 – Sapata interna

Para uma distância pequena do salto é muito comum omitir o material de fricção na

prática. Isso elimina interferências, e de qualquer forma o material poderia contribuir muito

pouco para a performance. Em alguns projetos, o pino articulado é feito móvel para prover

pressão adicional do heel. Isso promove o efeito de uma sapata flutuante.

Considerando uma unidade de pressão p agindo sobre um elemento de área do material

de fricção localizado no ângulo β a partir do pino articulado. A pressão máxima pa está

localizada no angulo βa a partir do mesmo ponto. Não é considerada a hipótese de que a

pressão nesse ponto é proporcional à distância vertical a partir do desse ponto. Essa distância

vertical é proporcional ao seno β e a relação entre as pressões é:

398

asen

pa

sen

p

ββ=

asen

senpap

ββ=

Observa-se que p é máximo quando β = 90º ou quando o ângulo do ponto livre β2 é

menos de 90º então p será máximo no ponto livre.

Quando β = 0 a equação acima mostra que a pressão é zero. Por contribuir muito pouco

na ação de frenagem, material de fricção localizado no salto, pode ser omitido também. Um

bom projetista concentraria o máximo possível do material de fricção na vizinhança do ponto de

máxima pressão. Tal desenho é mostrado na Fig 2. Nessa figura, o material de fricção começa

no ângulo β1, medido a partir do pino articulado no ponto A, até um ângulo β2. Qualquer arranjo

como esse resultará em uma boa distribuição do material de fricção.

Figura 2 – Forças na sapata

A força atuante F tem componentes Fx e Fy e opera a uma distância c do pino articulado.

Uma força normal diferencial dN age em qualquer ângulo β a partir do pino articulado e sua

magnitude é

dN = pbr dβ

onde b é a largura da face (perpendicular ao papel) do material de fricção. Substituindo o valor

da pressão, a força normal é:

asen

dpabrsendN

βββ= dN = (pa br senβ dβ)/senβa

A força normal dN tem componentes horizontais e verticais dN cosβ e dN senβ

respectivamente. A força de fricção f dN tem componentes horizontais e verticais cuja

399

magnitude é f dN senβ e f dNconβ respectivamente. Aplicando as condições da estática, é

calculado a força F, o torque T, e as reações no pino Rx e Ry.

A força F é calculada fazendo soma de momentos no pino articulado e igualando a zero.

A distância das forças de fricção para o cálculo do momento é r-acosβ. O momento Mf dessas

forças friccionais é:

( ) ( ) ββββ

ββ

βdarsen

sen

brfparfdNM

a

af ∫∫ −=−= 2

1

coscos

No qual é obtida substituindo o valor de dN. É conveniente integrar acima para cada

problema. À distância da força normal dN para o cálculo do momento é a-senβ. Chamando o

momento das forças normais MN e fazendo o somatório desses momentos no pino articulado,

obtém-se:

( ) ∫∫ == 2

1

2β

βββ

ββ dsen

sen

brapasendNM

a

aN

A força atuante F deve balancear esses momentos:

c

MMF fN −

=

Fazendo MN = Mf a condição de self-locking é obtida e nenhuma força atuante é

requerida. Assim, é necessário obter as dimensões para uma ação de auto energização. Para

que isso ocorra, a deve assumir um valor tal que MN > Mf.

O torque T aplicado no tambor pela sapata do freio é a soma das forças de fricção f dN

vezes o raio do tambor.

( )∫∫

−===2

1

2122 coscosβ

β βββββ

β a

a

a

a

sen

brfpdsen

sen

brfpfrdNT

As reações no pino articulado são calculadas pela soma das forças horizontais e

verticais. Assim, para Rx e Ry:

∫ ∫ ∫ ∫ −

−=−−= x

a

axx Fdsenfdsen

sen

brpFfdNsendNR

2

1

2

1

2coscosβ

β

β

ββββββ

βββ

∫ ∫ ∫ ∫ −

+=−+= y

a

ayy Fdsenfdsen

sen

brpFfdNdNsenR

2

1

2

1

coscos 2β

β

β

ββββββ

βββ

A direção da força de fricção é reversa se a rotação for reversa. Assim para rotações no

sentido anti-horário, a força atuante é:

c

MMF fN +

=

400

E como os momentos tem o mesmo sentido, o efeito auto energizante é perdido e para o

sentido anti-horário de rotação, o sinal dos termos friccionais nas equações para as reações no

pino mudam para:

xa

ax Fdsenfdsen

sen

brpR −

−= ∫ ∫

2

1

2

1

2cosβ

β

β

ββββββ

β

ya

ay Fdsenfdsen

sen

brpR −

+= ∫ ∫

2

1

2

1

cos2β

β

β

ββββββ

β

Simplificando:

2

1

2

1

2

2

1cos

β

β

β

βββββ∫

== sendsenA

2

1

2

1

24

1

22

β

β

β

βββββ∫

−== sendsenB

Para rotações no sentido horário:

( ) xa

ax FfBA

sen

brpR −−=

β

( ) ya

ay FfAB

sen

brpR −+=

β

Assim para rotações no sentido anti-horário:

( ) xa

ax FfBA

sen

brpR −+=

β

( ) ya

ay FfAB

sen

brpR −−=

β

Usando essas equações, o sistema de referência esta sempre na origem no centro do

tambor. O eixo x através do pino de articulação é considerado positivo. E o eixo y positivo é

sempre considerado na direção da sapata.

As seguintes suposições são feitas para uma análise precedente:

1. A pressão em qualquer ponto da sapata é considerada proporcional à distância do pino

articulado, onde o zero está no salto, considerando que o padrão de pressões, que são

especificado pelos fabricantes, usa a média e não a máxima.

2. O efeito da força centrifuga foi negligenciado. No caso dos freios, as sapatas não estão em

rotação portanto não existem forças centrífugas. No desenho da embreagem, o efeito dessa

força tem que ser considerado na hora de aplicar as equações da estática.

401

3. A sapata é considerada rígida. Como isso não ocorre na verdade, alguma deflexão ocorrerá,

dependendo da carga, pressão e dureza da sapata. A distribuição de pressão resultante

pode ser diferente da considerada.

4. Toda a analise foi baseada no coeficiente de fricção que não varia com a pressão. Na

verdade, o coeficiente pode variar com várias condições, incluindo temperatura, desgaste, e

ambiente.

12.6 - FREIO A DISCO

O conceito de freio a disco é um dos mais antigos. O primeiro projeto foi patenteado em

1902. Mas devido a sua falta de auto energização, freios a disco foram aplicados apenas em

aviões até 1940. Após a segunda guerra, o desenvolvimento dos freios a disco foi acelerado

devido ao aumento do peso e velocidade dos veículos: era necessário um freio com melhores

condições de dissipar calor.

Foi visto que os discos de tambor podem ser projetados por auto-energização. Apesar

desse fato ser importante por reduzir o esforço requerido do freio, tem suas desvantagens.

Quando freios de tambor são usados em veículos, somente uma mudança mínima no

coeficiente de fricção, causará uma grande mudança na força do pedal para frear. Uma redução

de 30% no coeficiente de fricção devido à mudança de temperatura ou umidade, pode resultar

em 50% de mudança na força requerida pelo pedal para obter o mesmo torque de frenagem. O

disco de freio não tem auto-energização e não é susceptível à mudanças no coeficiente de

fricção.

Mecanismos operacionais podem ser classificados como:

• Solenóides;

• Alavancas;

• Articulações com molas de carga ;

• Hidráulico e pneumático;

402

Figura 3 – Sapata externa

A notação para sapatas com contrações externas está mostrada na Fig 14.3. Os

momentos das forças normais e de fricção no pino articulado são os mesmo que para as

sapatas internas de expansão. As equações são as mesmas:

( ) βββββ

βdarsen

sen

brfpM

a

af ∫ −= 2

cos1

ββββ

βdsen

sen

brapM

a

aN ∫= 2 2

1

Ambas as equações fornecem valores positivos para momentos no sentido horário

quando usadas para sapatas de contração externa. A força atuante deve ser grande o bastante

para balancear os momentos:

c

MMF fN +

=

As reações horizontais e verticais no pino articulado são calculadas da mesma maneira

que para as sapatas de expansão interna:

∫ ∫ −−= xx FfdNsendNR ββcos

∫ ∫ −+= yy FfdNdNsenR ββ cos

403

Simplificando:

( ) xa

ax FfBA

sen

brpR −+=

β

( ) ya

ay FfAB

sen

brpR ++−=

β

Se a rotação é anti-horária, o sinal do termo de fricção em cada equação é reverso.

Assim a equação para a força atuante é:

c

MMF fN −

=

E o auto-energizamento existe para rotações anti-horária. As reações horizontais e

verticais são calculadas da mesma maneira que antes:

( ) xa

ax FfBA

sen

brpR −−=

β

( ) ya

ay FfAB

sen

brpR +−−=

β

Deve ser notado que quando projetos de contração externa são usados como freios, o

efeito da força centrífuga é diminuir a força normal. Assim, quando a velocidade aumenta, um

valor maior é requerido para a força atuante F.

Um caso especial é quando o pivô é simetricamente localizado e colocado de tal

maneira que os momentos das forças de fricção no pivô são iguais a zero. A geometria de tal

freio será similar ao da figura 4a. Para obter-se a relação da distribuição da pressão, é

considerado que os revestimentos de uso permanecerão em sua forma cilíndrica. Isso significa

que o desgaste ∆x na figura 4b é constante independentemente do ângulo β. O uso radial da

sapata é ∆r = ∆x cosβ. Se em uma área elementar da sapata, for considerado que a energia ou

perda friccional é proporcional à pressão radial, e se for considerado que o uso é diretamente

relacionado à perda de fricção, tem-se a analogia:

404

Figura 4a – Freio com pivô simétrico Figura 4b – desgaste do revestimento do freio

βcosapp =

A p é máximo em β = 0º. Observando a figura 4a tem-se:

βββ dbrppbrddN a cos==

A distância a até o pivô é de tal maneira que o momento das forças de fricção Mf é zero.

Simetricamente significa que β1 = β2 e:

( )( ) 0cos22

0=−= ∫ rafdNM f β

β

Substituindo:

( ) 0coscos22

0

2 =−∫ ββββ

drabrfpa

405

No qual:

22

2

22

4

βββ

sen

rsena

+=

Com o pivô localizado de acordo com essa equação, o momento no pino é zero e as

forças de reação horizontais e verticais são:

( ) ( )22022

2cos2

2 ββββ

senbrp

dNR ax +== ∫

Devido à simetria:

∫ = 0βfdNsen

( ) ( )22022

2cos2

2 ββββ

senbrfp

fdNR ay +== ∫

Onde:

∫ = 0βdNsen

Também devido à simetria. Note que Rx = -N e Ry = -fN, como deveria ser esperado a

partir da escolha particular de a Entretanto, o torque é:

T = afN

12.7 - FREIOS FLEXÍVEIS

Freios flexíveis são usados em escavadoras, guinchos e outras máquinas.

Figura 5 - Forças em um freio flexível

406

Pela Figura 5 a força atuante P2 é menor que a reação sobre o pino P1 devido à fricção e

rotação do tambor. Qualquer elemento em um comprimento angular dβ, estará em equilíbrio

sobre a ação das forças mostradas na figura. Fazendo o somatório na direção vertical obtêm-

se:

( ) 022

=−++ dNd

Psend

sendPPββ

dN=Pdβ

Para ângulos pequenos sen(dβ/2) = dβ/2. A partir do somatório de forças na horizontal,

obtêm-se:

( ) 02

cos2

cos =−−+ fdNd

Pd

dPPββ

dP-fdN=0

Substituindo e integrando:

∫ ∫=2

1 0

P

Pdf

P

dP φθ → φf

P

P =2

1ln → φfeP

P =2

1

O torque pode ser obtido a partir da equação:

T = (P1 – P2) D/2

A força normal dN agindo sobre um elemento de área da largura b e comprimento r dβ é:

dN = pbrdβ

Então:

θθ pbrdPd =

bD

P

br

Pp

2==

A pressão é proporcional à tensão na dobra. A pressão máxima pa ocorrera na

extremidade livre e vale:

Pa = 2P1/(bD)

12.8 - FREIO ABS

Muitos dos atuais modelos de veículos estão equipados com o sistema de freio anti-

bloqueamento - ABS. Esse sistema utiliza componentes eletrônicos e hidráulicos, que ajudam a

prevenir o bloqueamento das rodas durante períodos de forte frenagem. O sistema anti-

bloqueamento garante a segurança dos ocupantes do veículo, mantendo o controle direcional

enquanto oferece máxima eficiência na frenagem.

407

O sistema hidráulico do freio atua reduzindo a pressão a fim de evitar o travamento das

rodas, mantendo o atrito entre as rodas e a pista num valor ótimo. Já o sistema eletrônico do

ABS age recebendo sinal dos sensores e enviando sinais de comando para o atuador

hidráulico.

Os componentes do ABS são:

• Sensores de velocidade nas rodas;

• Coroa dentada;

• Atuador hidráulico;

• Módulo de controle Electronic Control Unit (ECU).

O sistema pode ser aplicado nas duas rodas traseiras ou nas quatro rodas.

SENSORES DE VELOCIDADE NAS RODAS E ROTORES DENTADOS

Esses sensores são utilizados para determinar a razão de rotação das rodas. A

extremidade do sensor está localizada perto do coroa dentada, que é geralmente preso ao eixo

do veículo ou na articulação guiada e gira na mesma velocidade das rodas. Quando o rotor gira,

uma tensão é induzida no sensor. O módulo e a freqüência dessa tensão varia em relação à

velocidade da roda.

O sensor de velocidade pode vir montado em cada roda ou na carcaça do eixo ou ainda

na transmissão.

ATUADOR HIDRÁULICO

O atuador hidráulico é a unidade que tem a capacidade de aumentar, diminuir ou manter

a pressão no freio. Ele age baseado em sinais recebidos do módulo de controle. O atuador

hidráulico consiste basicamente nos seguintes componentes:

• Conjunto bomba/motor, que supre o acumulador com fluido de freio pressurizado;

• Acumulador, que recebe o fluido de freio altamente pressurizado;

• Conjunto de válvulas bloqueadoras, que contêm as válvulas solenóides hidráulicas.

No sistema intregrado ABS, o conjunto cilindro mestre/elevador de pressão é uma parte

integral da unidade hidráulica. Nesses sistemas, o acionamento assistido é provido pelo fluido

de freio pressurizado que é suprido pelo acumulador. Em um sistema não integrado, um

conjunto convencional cilindro mestre/bomba é usado.

Alguns veículos são equipados com atuadores que utilizam motores elétricos ao invés

de válvulas hidráulicas para regular a pressão do freio.

408

MÓDULO DE CONTROLE

Um módulo de controle anti-bloqueamento é um computador que usa sinais dos

sensores de velocidade da roda para determinar quando e como o sistema anti-bloqueamento

deve operar em uma determinada situação. Quando a roda está próxima à uma condição de

bloqueamento, o módulo de controle emite sinais para o atuador hidráulico para regular a

pressão do fluido que afeta a roda em questão.

OPERAÇÃO DO ABS

Durante o período de frenagem normal, ao porção anti-bloqueamento do freio não opera.

Apesar disso, os sensores continuam monitorando a velocidade de rotação das rodas e

enviando sinais para o módulo de controle. Quando o pedal do freio é pressionado, fluido de

freio escoa do cilindro mestre, através do atuador hidráulico, até o freio.

Quando o módulo de controle detecta que a roda está aproximando do bloqueamento,

ele emite sinais para a válvula solenóide no atuador hidráulico para bloquear a passagem de

fluido entre o cilindro mestre e o freio da roda em questão. A pressão do fluido do cilindro

mestre não pode, assim, escoar através da válvula solenóide, e, a pressão do freio, na roda

afetada, é mantida constante.

Quando o módulo de controle detecta um bloqueamento completo, ele comanda o

atuador a diminuir a pressão na roda afetada. Para realizar isso, a válvula solenóide no atuador

move-se para interromper a pressão de fluido vinda do cilindro mestre e permite que o fluido,

atuando no freio, escoe para o reservatório do acumulador. No mesmo instante, a bomba

contida dentro do atuador, força o fluido do acumulador de volta ao cilindro mestre. Quando isso

ocorre, a pressão atuante na roda diminui.

Quando todas as rodas estão girando normalmente, a válvula solenóide no atuador

retorna à sua posição original e o sistema de frenagem convencional volta a funcionar. Se for

necessário, um sistema típico anti-bloqueamento pode repetir esse ciclo por volta de 15 vezes

por segundo.

12.9 - CONSIDERAÇÕES SOBRE PRESSÃO E DESGASTE

Uma freio axial é o qual os membros de fricção são movidos na direção paralela ao eixo.

Contudo, exceto por instalações relativamente simples, ele vem sendo desbancado pelo freio a

disco, empregando-se um ou mais discos nos membros operacionais. Nas vantagens dos freios

a disco está a liberdade proporcionada pelos efeitos centrífugos, a grande área de fricção que

409

pode ser instalada em um espaço pequeno, as superfícies mais efetivas na dissipação do calor

e a favorável distribuição de pressão.

Supondo um disco de fricção com diâmetro externo D e diâmetro interno d. Para obter a

força F necessária para produzir um torque T e uma pressão p, dois métodos podem ser

usados, dependendo da construção do freio. Se os discos são rígidos, o maior uso ocorrerá

primeiro nas áreas de fora devido ao maior trabalho de fricção nessas áreas. Após o certo

desgaste, a distribuição de pressão ira mudar permitindo um uso mais uniforme. Essa é a base

do primeiro método.

O outro método de construção, emprega molas para obter uma pressão uniforme sobre

a área.

DESGASTE UNIFORME

Após um primeiro desgaste e um uso dos discos até o ponto em que o uso uniforme

fique possível, a maior pressão deve ocorrer em r = d/2 para que o desgaste seja uniforme.

Para a pressão máxima pa, obtém-se:

2

dppr a= ou

r

dpp a 2

=

No qual é a condição para ter-se a mesma quantidade de trabalho realizado no raio r e

no raio d/2. Considerando um elemento de área de raio r e espessura dr, a área desse

elemento é 2πr dr fazendo com que a força atuante no elemento seja dF = 2πrp dr. Variando r

de d/2 a D/2 e integrando F obtém-se:

( )∫ ∫ −===2/

2/

2/

2/ 22

D

d

D

d

aa dD

dpdrdpprF

πππ

O torque obtido pela integração do produto da força de fricção e do raio é:

( )∫ ∫ −===2/

2/

2/

2/

222

82

D

d

D

d

aa dD

dfprdrdpfprT

πππ

Substituindo:

( )DDFf

T +=4

A equação que fornece a força atuante para a pressão máxima pa é valida para qualquer

quantidade de pares de fricção ou superfícies. A outra equação fornece a capacidade de torque

para apenas uma superfície de fricção.

410

PRESSÃO UNIFORME

Quando pode-se considerar uma pressão uniforme sobre a área do disco, a força

atuante é simplesmente o produto da pressão pela área.

( )22

4

2dD

pF a −=

Como antes, o torque é obtido, integrando o produto da força de fricção e o raio:

( )332/

2/

2

24

22 dD

fpdrrfpT

D

d−== ∫

ππ

Para a pressão máxima pa:

22

33

3 dD

dDFfT

−−=

Essas equações são válidas para o torque em um único par de união de superfícies.

Deve-se multiplicar o número de superfícies em contato para o caso de mais de uma.

12.10 - CONSIDERAÇÕES SOBRE ENERGIA

Quando os membros rotativos de uma máquina são freados, a energia cinética de

rotação deve ser absorvida pelo freio. Essa energia aparece no freio na forma de calor. Energia

cinética é absorvida, durante a mudança de velocidade, pelo freio, sendo transformada em

calor.

Foi visto como a capacidade de torque do freio depende do coeficiente de fricção do

material e de uma pressão normal segura. Entretanto, a carga deve ser tal, que se o valor do

torque for permitido, o freio deve ser destruído pelo seu próprio calor gerado. A capacidade da

engrenagem é limitada por dois fatores: as características do material e sua habilidade de

dissipar calor. Se o calor é gerado mais rapidamente que é dissipado, tem-se um problema de

aumento da temperatura.

Para um melhor esclarecimento do que ocorre durante a frenagem, simula-se um

modelo matemático de dois sistemas inerciais conectados por um freio. Os momentos de

inércia I1 e I2 possuem velocidades angulares iniciais w1 e w2. Durante o acionamento do freio,

ambas as velocidades angulares mudam e se tornam iguais. Assume-se que os dois eixos

sejam rígidos e que o torque seja constante.

Escrevendo a equação de movimento para a inércia 1:

I1β”1 = -T Equação (1)

411

Onde β”1 é a aceleração angular de I1 e T é o torque. Uma equação similar para I2 é:

I2β”2= T Equação (2)

Pode-se determinar as velocidades instantâneas β’1 e β’2 de I1 e I2 depois de um período

de tempo t pela integração das Eqs. (a) e (b).

β’1 = 11

wtI

T +−

β’2 = 22

wtI

T +−

A diferença das velocidades, conhecida como velocidade relativa, é

β’= β’1 - β’2 = tII

IITww

+−−

21

2121

A operação de acionamento da embreagem é completa no instante em qual as duas

velocidades angulares β’1 e β’2 se tornam iguais.Considerando o tempo requerido pela inteira

operação igual a t1. Então β’ = 0 quando β’1 = β’2, então a equação acima fica:

)(

)(

21

21211 IIT

wwIIt

+−

=

Essa equação mostra que o tempo requerido para o operação de frenagem é

diretamente proporcional à diferença de velocidade e inversamente proporcional ao torque.

Considerando o torque constante, acha-se, através das equações acima, a razão da

dissipação de energia durante a frenagem:

U = Tβ’ = ])([21

2121 t

II

IITwwT

+−−

A energia total dissipada durante a ação da embreagem é obtida integrando a equação

acima:

dttII

IITwwTudtE

tt

])([1

0 21

2121

1

0∫∫

+−−==

)(2

)(

21

22121

II

wwII

+−

=

Note que a energia dissipada é proporcional ao quadrado da diferença de velocidades e é

independente ao torque.

412

12.11 - CONSIDERAÇÕES SOBRE TEMPERATURA NO FREIO

A temperatura atuante na interface rotor-revestimento é fundamental para a fricção e

desgaste e está associada com os materiais em questão. É nessa interface que o calor causado

pela fricção é gerado e onde atuam as mais altas temperaturas. A temperatura do material da

presilha determina o modo de desgaste e o filme presente na superfície que influencia no

coeficiente de fricção. O equilíbrio da temperatura é relacionado com o calor de entrada

(proporcional ao peso do veiculo, à velocidade inicial e à freqüência de parada) e a magnitude

do calor dissipado. O calor é perdido através da condução para o conjunto de freio assim como

por convecção e radiação para a vizinhança.

CALOR DE ENTRADA

A entrada instantânea de calor no freio q é igual a mudança da energia cinética no

veículo:

∂∂=

∂∂=∆= 2

2

1mv

tKE

tKEq

onde q = razão de entrada de calor no freio, Btu/s

KE = energia cinética do veículo, Btu

m = massa do veiculo, peso/32,2 ft/s2

v = velocidade instantânea do veiculo, ft/s

O design do sistema de freio irá determinar a porcentagem do total de calor gerado que

irá se dissipar em cada roda.

VARIAÇÃO DE TEMPERATURA

O aumento de temperatura no conjunto do freio pode ser aproximado pela clássica

expressão:

cW

HT =∆

onde ∆T = aumento de temperatura, oF

c = calor específico, Btu / (lbm.oF)

W = massa do freio, lbm

Uma equação similar pode ser escrita no SI:

cm

ET =∆

413

onde ∆T = aumento de temperatura, oC

c = calor específico, J/ kg. oC

m = massa do freio, kg

As equações acima podem ser usadas para explicar o que acontece quando o freio

opera. Entretanto, existem várias variáveis envolvidas, então não é de se esperar que tais

análises se aproximem de resultados experimentais. Por essa razão, tais análises devem ser

utilizadas, em ciclos repetitivos, onde tem-se um melhor efeito na performance.

Um objeto aquecido a uma temperatura T1, esfria até uma temperatura ambiente Ta de

acordo com a relação exponencial abaixo:

tWCAUaai eTTTT )/(

1 )( −−=−

onde Ti = temperatura instantânea no tempo t, oF;

A = área de transferência de calor, ft2;

U = coeficiente de superfície, Btu/(ft2.s.oF).

A temperatura do freio depois de repetidas frenagens vai depender de quanto do calor

gerado é perdido devido à condução, convecção e radiação. Outro fator significante será o

torque residual no freio. Esse torque residual não gera altas temperaturas, mas reduz a perda

de calor do freio, mudando efetivamente o equilíbrio da temperatura após múltiplas frenagens.

12.12 - ACIONAMENTO DE FREIOS

Os acionamentos usados em carros de passeio são quatro; vácuo suspenso, ar suspenso,

hidráulico e eletro-hidráulico. O mais usado é o de suspensão a vácuo.

12.13 - OPERAÇÃO A VÁCUO SUSPENSO

Na posição neutra, ambos os lados do pistão de acionamento e do diafragma simples do

acionamento à vácuo são abertos e ar entra no coletor a vácuo. Quando o freio é requisitado,

ar é admitido em um lado do pistão e do diafragma. Imediatamente, pressão do ar atmosférico

move o diafragma e força o pistão para frente, causando o movimento para frente da barra de

pressão que age no pistão do cilindro mestre e aciona os freios.

Alguns veículos grandes são equipados com diafragmas em série. A operação é similar

a unidade única de diafragma, com ar sendo admitido em um lado de cada diafragma

promovendo uma assistência ao acionamento.

414

12.14 - OPERAÇÃO DE AR SUSPENSO

Na posição neutra, ambos os lados do pistão de acionamento estão sob pressão

atmosférica. Quando o freio é aplicado, o coletor a vácuo é admitido em um lado do pistão,

diminuindo a pressão desse lado. Imediatamente, a pressão atmosférica atuante no outro lado

causa o movimento do pistão, forçando a barra de pressão para frente, acionando o pistão do

cilindro mestre que, por sua vez, aciona os freios.

12.15 - OPERAÇÃO DA BOMBA HIDRÁULICA

O mecanismo de bombeamento causa uma pressão hidráulica requerida para acionar o

freio. Esse mecanismo combina uma válvula de bobina central aberta com o cilindro hidráulico

em uma única carcaça. Esse mecanismo hidráulico possui também um reservatório, chamado

acumulador, que armazena o fluido sobre pressão para promover assistência ao freio em caso

de queda de pressão.

Na posição neutra, o fluido escoa da bomba, passando através da válvula, para o

mecanismo de engrenagem, e volta para o reservatório.

Quando o freio é aplicado, a válvula fecha o retorno do fluido vindo do compartimento da

bomba e admite fluido entrando nesse compartimento. O fechamento da válvula também

restringe o escoamento do fluido para o mecanismo de engrenagem, causando o bombeamento

a fim de aumentar a pressão do fluido.

Enquanto a pressão hidráulica no compartimento de bombeamento aumenta, ela age no

pistão, que, por sua vez, move para frente o pistão do cilindro mestre para acionar o freio.

Se existir uma perda de pressão, a pressão no pedal do freio atua na válvula da bobina para

abrir a válvula acumuladora. A pressão na bomba fornece, então, uma reserva de suprimento

de energia ou fluido. Quando o suprimento se esgota, o sistema reverte para a operação

manual. A operação manual ocorre quando existe uma falta de assistência durante a aplicação

do freio. Isso aumenta o esforço necessário para acionar os freios.

12.16 - OPERAÇÃO ELETRO-HIDRÁULICO

Compõe este sistema: bomba eletro-hidráulica, um fluido acumulador, chave de pressão

dual e uma bomba hidráulico. A bomba opera entre uma faixa limite de pressão para manter a

pressão do fluido satisfatória para o acionamento do elevador de pressão. Quando o pedal do

freio é acionado, o fluido acumulador sob pressão, age sobre o pistão da bomba para que o

cilindro mestre entre em atuação.

415

Capítulo 13 – Programas computacionais

OBSERVAÇÕES PARA INSTALAÇÃO E UTILIZAÇÃO

Instale o programa no diretório c:\Elementos .Os programas devem ser instalados

diretamente no disco rígido, pois se instalados em diretórios com muitas sub-pastas podem não

funcionar corretamente.

Alguns programas estão na plataforma DOS portanto podem não funcionar corretamente

em algumas versões do Windows.

Quando se inicializar algum programa em que esteja operando em plataforma DOS, este

deve estar maximizado, caso isso não ocorra pressione as teclas Atl+Enter para maximizar.

A maioria dos programas interpretam o ponto como digito decimal e não a virgula.

Os programas podem ser acessados diretamente ou através de um programa geral

instalado no diretório c:\Elementos\Elemaq\Elemaq.exe

13.1 - CIRCULO DE MOHR

Programa – Morh\Circ.exe

• Primeiro passo: Selecione uma opção:

[1] Estado Triplo de Tensões

[2] Estado Plano de Tensões

• Segundo passo: Entre com as Tensões:

[1] Tx – Tensão normal no plano x

[2] Ty – Tensão normal no plano y

[3] Tz – Tensão normal no plano z

[4] Txy – Tensão cisalhante no plano xy

[5] Txz – Tensão cisalhante no plano xz

[6] Tyz – Tensão cisalhante no plano yz

13.2 - VIGAS

Cálculo de Momento fletor e esforço cortante em vigas:

Obs: Use ponto ao invés de virgula para décimos e centésimos.

Programas:

416

• Vigas\R1.exe – Engastada com extremidade livre com força sendo aplicada na

extremidade da viga

• Vigas\R2.exe – Engastada com extremidade livre com força sendo aplicada em uma

posição intermediaria a viga.

• Vigas\R3.exe – Engastada com extremidade livre com carregamento aplicado ao longo

da viga.

• Vigas\R4.exe – Engastada com extremidade livre e momento sendo aplicado na

extremidade da viga.

• VigasR5.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força aplicada no centro da viga.

• Vigas\R6.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força aplicada em uma posição

intermediaria da viga.

• Vigas\R7.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força uniforme aplicada na viga.

• Vigas\R8.exe – Bi-apoiada nos extremos e com momento aplicado em uma posição

intermediaria da viga.

• Vigas\R9.exe – Bi-apoiada nos extremos e com força aplicada simétrica em uma

posição intermediaria da viga.

• Vigas\R10.exe – Bi-apoiada em balaço e com força aplicada na extremidade da viga.

• Vigas\R11.exe – Engastada e apoiada com força aplicada no centro da viga.

• Vigas\R12.exe – Engastada e apoiada com força aplicada em posição intermediaria da

viga.

• Vigas\R13.exe – Engastada e apoiada com carregamento aplicado ao longo da viga.

• Vigas\R14.exe – Bi-engastada com força aplicada no centro da viga.

• Vigas\R15.exe – Bi-engastada com força aplicada em uma posição intermediaria da

viga.

• Vigas\R16.exe – Bi-engastada com carregamento uniforme aplicado ao longo da viga.

13.3 - FADIGA PARA PEÇAS SEÇÕES CIRCULARES OU RETAN GULARES

Programa – Fadiga\Fadiga1\fadiga.exe

Este livro apresenta um programa computacional Fadiga, que desenvolvemos para o

cálculo do limite de resistência à fadiga. O item Opção possui dois níveis: Seção Circular e

Seção retangular. Deve-se primeiramente através do item opção selecionar o tipo de seção da

peça. Em seguida selecione o tipo de carregamento no qual a peça está sujeita. Para a seleção

417

do carregamento basta clicar sobre a figura desejada. Deve-se agora preencher todos os dados

solicitados. Observe, também, que diversas variáveis estão indicadas no desenho que você

optou. Os valores não devem ser digitados arbitrariamente, por exemplo, se você digitar um

valor D>d, poderá haver um erro. Por fim, clica-se no botão calcular o resultado. Note que ao

selecionar uma determinada seção, aparece os desenhos relacionados ao tipo de seção. Se

você selecionar uma seção retangular apenas os desenhos da seção retangular estarão

disponíveis.

13.4 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS

Programa – Fadiga\Fadiga2\fadiga.exe

Os cálculos são realizados através da fórmula Se dada neste capítulo.

O usuário deverá:

• Consultar a lista de aços disponíveis teclando a opção [1];

• Entrar com o aço comercial tabelado [2];

• Escolher o processo de fabricação do aço:

[1] Laminado a quente;

[2] Estirado a frio;

[3] Normalizado;

[4] Recozido;

[5] Temperado.

• Escolher o tipo de acabamento:

[1] Retificado;

[2] Usinado ou estriado a frio;

[3] Laminado a quente;

[4] Forjado.

• Escolher o tipo de esforço:

[1] Axial;

[2] Torção / Flexão.

• Indicar o tipo de seção:

[1] Retangular;

[2] Circular;

[3] Tipo “I”;

[4] Cantoneira.

418

• Indicar o fator de carregamento:

[1] Axial;

[2] Fletor;

[3] Torsor ou cisalhante.

• Indicar o valor da temperatura de trabalho (entre 20ºC e 600ºC).

• Fornecer o valor de Ke, fator devido à concentração de tensões (use ponto para

frações).

Resultados do programa:

• Valores de Su, Sy, Ka, Kb, Kc, Kd, Se’, Se;

• Resistência à fadiga para N ciclos;

• Vida em ciclos para uma tensão reversa;

• Carga máxima aplicada ciclicamente.

13.5 - CÁLCULO DO LIMITE DE RESISTÊNCIA A FADIGA DE PEÇAS

Programa – Fadiga\Fadiga3\element.exe

Os cálculos são realizados através da fórmula Se dada neste capítulo.

O usuário deverá:

• Indicar o valor de Su (limite de resistência a tração) da peça. Poderá escolher o valor

tabelado ou indicar um novo valor via teclado.

• Indicar o Tipo de seção:

[1] Seção circular;

[2] Seção retangular;

[3] Perfil I;

[4] Perfil U;

• Informar se a peça trabalha:

[1] Fixa;

[2] Sob rotação.

• Informar a geometria da seção, se for eixo, por exemplo:

[1] Eixo maciço;

[2] Eixo com raio de adoçamento;

[3] Eixo com furo radial;

[4] Eixo com entalhe;

[5] Tubo vazado;

419

[6] Tubo vazado com furo radial.

• Digite o diâmetro do eixo ou calcule o diâmetro efetivo da peça.

• Informe o tipo de carregamento atuante:

[1] Carga axial;

[2] Carga de flexão;

[3] Carga de torção.

• Indique a temperatura de trabalho - retirar o valor da tabela de temperatura em o

Celsius, variando de 20 a 600 ºC.

• Indique o acabamento superficial da peça:

[1] Retificado;

[2] Laminado a frio ou Usinado;

[3] Laminado a quente Forjado.

• O programa informa o valor do Limite de Resistência à fadiga da peça (vida infinita). A

partir destes dados obtidos, pode-se agora proceder à estimativa da vida da peça. O

usuário deverá entrar com os dados das tensões atuantes sobre a peça, para que o

programa determine se esta terá vida finita ou vida infinita.

o Caso 1 - Vida infinita - O programa calcula o fator de segurança do projeto.

o Caso 2 - Vida finita - O programa calcula a vida da peça em número de ciclos.

• O usuário deverá digitar:

[1] A máxima tensão atuante sobre a peça em Mpa;

[2] A mínima tensão atuante sobre a peça em Mpa.

• O usuário deverá informar se há pré-carga na peça e o seu valor.

• O usuário deverá informar qual o critério a ser usado:

[1] Critério de Goodman;

[2] Critério de Soderberg.

• O programa apresenta como solução:

[1] O gráfico das tensões médias x tensões alternadas com as linhas de

Goodman e Soderberg e as tensões alternada, média e o ponto de trabalho.

[2] O programa apresenta o limite de resistência à fadiga (Se) se infinito ou limite

de fadiga se finito (Sf).

[3] O programa apresenta a curva de fadiga da peça destacando os valores de

103 ciclos (0,9 Su) e 106 ciclos, Se.

[4] O programa informa a vida da peça com o coeficiente de segurança.

420

13.6 – DIMENSIONAMENTO DE PARAFUSOS DE UNIÃO

Programa: Parafusos\VasoPressao\Vaspres.exe

Este programa computacional utiliza as equações deste capítulo para dimensionar

parafusos de união submetidos a carregamento estático e dinâmico.

Figura 1 – Programa parafuso.exe

Dimensionamento de Parafusos de União em Vasos de Pressão

O usuário deverá:

• Digitar o valor máximo da pressão interna do vaso em MPa.

• Digitar o valor do diâmetro interno do vaso de pressão d (mm).

• Digitar o valor da espessura da tampa do vaso, D (mm).

• Digitar o valor da espessura do vaso E (mm).

• Digitar o fator de segurança requerido para o projeto.

• Digitar o valor do número máximo de parafusos que se deseja.

• Informar se no projeto, os parafusos possuem ou não porca.

• Informar se no projeto, os parafusos possuem arruela.

• Utilizando tabela do programa, informar o material da tampa do vaso.

[1] Aço 207 GPa

[2] Alumínio 70 GPa

[3] Ferro Fundido 131 MPa

[4] Ferro Nodular 170 MP

• Utilizando tabela do programa, informar o material do valorf

• Informar a característica da junta

[1] Conexão permanente

[2] Conexão reutilizável

421

O programa apresenta as possíveis soluções utilizando parafusos de classe ISO

padronizados.

Apresenta uma tabela com as seguintes informações

Projeto - Qualidade dos Parafusos - Classe ISO - Diâmetro (mm) - Comprimento do

Parafuso (mm)

13.7 - PARAFUSO DE POTÊNCIA

Programa: Parafusos\ParafusoPot\Parapote.exe

O programa fornece como resposta o diâmetro da raiz, o diâmetro médio, torque para

elevar a carga, torque para abaixar a carga, eficiência do parafuso e potencia em HP.

Como entradas temos:

• Entre com o valor da carga [N]

• Entre com o valor da bitola do parafuso [mm]

• Entre com o passo [mm]

• Entre com número de entradas do parafusos

• Coeficiente de atrito para os cálculos

[1] Sim

[2] Não

• Tipo de rosca

[1] Rosca quadrada

[2] Rosca trapezoidal

• Ângulo da rosca em graus

• Velocidade com que a peça deve-se mover [mm/s]

13.8 – FLEXÃO E TORÇÃO EM JUNTAS SOLDADAS

Programa: Solda\solda.exe

O programa tem a função de calcular as tensões de torção e de flexão atuantes em

juntas soldadas.

• Selecione a opção do programa

[1] Determinação da tensão cisalhante

[2] Determinação da altura h da solda

• Tipo de solicitação

422

[1] Torção em junta soldadas

[2] Flexão em juntas soldadas

• Plano de atuação da força

• Tipos de carregamento

• Entre com o valor da força

A resposta do programa é o valor da tensão.

13.9 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS UTILIZANDO A NORMA AGMA

Programa: Engrenagens\Engren.exe

Cálculo de engrenagens de dentes retos e engrenagens de dentes retos helicoidais:

[1] Cálculo simples

[2] Cálculo de esforços

[3] Dimensionamento

a. Dimensionar um par de engrenagens para determinada aplicação, calculando-se

assim seu módulo, bem como diâmetros e números de dentes.

b. Para um dado par de engrenagens, calcula-se a máxima força tangencial que

este possa sofrer. Utiliza-se a norma AGMA para tais cálculos, podendo o

dimensionamento ser feito para o desgaste ou para a flexão (ou ambos).

Restrições: Engrenagens de dentes retos - ângulo de pressão 20o.

Engrenagens de dentes helicoidais - ângulo de pressão normal 20o.

• Determinar:

[1] Módulo da engrenagem

[2] Máxima força

• Para determinação do módulo do par de engrenagens são utilizados os seguintes

critérios de dimensionamento:

[1] Tensão de Flexão

[2] Tensão de contato

[3] Ambos os critérios

• Determinação da Resistência do Pinhão:

Para tanto, deve-se especificar o material da engrenagem ou sua dureza.

Tabela do programa (tabela 1) com indicação de material e dureza mínima:

• Especificação do material da coroa- utilizar tabela de material com dureza

• Digite o valor da máxima potência a ser transmitida em KW

423

• A relação de redução do sistema é a razão entre a velocidade de rotação da

engrenagem condutora (pinhão) pela velocidade de rotação da engrenagem conduzida

(corôa).

• Entrar com os dados informando a relação entre as velocidades.

• Informar a classe AGMA das engrenagens:

[1] Engrenagem comercial

[2] Engrenagem precisa

[3] Engrenagem de alta precisão

• Informar o número de qualidade AGMA

• Informar a vida desejada para o pinhão em número de ciclos

• Informar parâmetros referentes a características do engrenamento

• Velocidade de rotação do pinhão(no caso de velocidade variável indicar a máxima) em

rpm

• Temperatura de trabalho do engrenamento:

[1] Até 120o Celsius

[2] Acima de 120o Celsius

• Condições de Montagem:

[1] Montagem acurada, com engrenagens de precisão

[2] Montagem menos rígida, engrenagens menos acuradas

[3] Montagem acurada, onde não há conato total das faces

Aço temperado e recozido AGMA A-1 100 HB

Aço temperado e recozido AGMA A-2 240 HB

Aço temperado e recozido AGMA A-3 300 HB

Aço temperado e recozido AGMA A-4 360 HB

Aço temperado e recozido AGMA A-5 400 HB

Aço endurecido por indução ou chama tipo A 50 HRC

Aço cementado e com camada endurecida 55 HRC

Aço cementado e com camada endurecida 60 HRC

Aço AISI 4140 48 HRC

Aço AISI 4340 46 HRC

Aço Nitralloy 135M 60 HRC

Aço 2,5 % Cromo 60 HRC

424

Ferro Fundido AGMA-30 175 HB

Ferro Fundido AGMA-40 200 HB

Ferro Nodular Recozido e Temperado AGMA A-7 a 140 HB

Ferro Nodular Recozido e Temperado AGMA A-7 c 180 HB

Ferro Nodular Recozido e TemperadoAGMA A-7 d 230 HB

Ferro Nodular Recozido e Tempeado AGMA A-7 e 270 HB

Ferro Maleável A-8-c 165 HB

Ferro Maleável A-8-e 180 HB

Ferro Maleável A-8-f 195 HB

Ferro Maleável A-8-i 195 HB

Bronze AGMA -2c - máxima resist. à tração 275 Mpa

Alumínio Bronze 3 - máxima resist. à tração 620 Mpa

Tabela 1 – Dureza mínima dos materiais

• Confiabilidade requerida para o Projeto

• O sistema é constituído de:

[1] Engrenagens de dentes externos

[2] Engrenagens de dentes internos

• Indicar a aplicação mais próxima da desejada para o sistema

[1] Suporte de elevadores

[2] Movimentação do braço de suporte de guindastes móveis e suas

conexões

[3] Máquinas alternativas ou movidas a pistão

[4] Unidades acionadas por motor

[5] Maquinário leve, acionado por motor ou eixo

[6] Guindaste para suporte de grandes cargas

[7] Outra aplicação qualquer

• Parâmetros de referência - selecionar um item abaixo:

[1] Distância entre centros de engrenagens

[2] Diâmetro do pinhão

[3] Número de dentes do pinhão

[4] Número de dentes do pinhão a critério do programa

• Determinação da largura do par de engrenagens:

[1] Especificar o valor via teclado

425

[2] Calcular o valor em função do módulo

[3] Determinar pelo programa

[4] Determinar pelo usuário

• O programa apresenta como solução final

O módulo calculado, módulo padronizado, largura mínima recomendada; dados do pinhão e

coroa após padronização: número de dentes, diâmetros primitivos.

13.10 - MANCAIS HIDRODINÂMICOS

Programa: Mancais\Mancal\Mancal.exe

A função do programa é encontrar os valores da temperatura média dos mancais, folga

ideal, potencia dissipada e pressão máxima nos mancais.

Dados necessários:

• Diâmetro do mancal

• Comprimento do mancal

• Carga máxima atuante

• Rotação em rpm

• Tipo de óleo lubrificante (SAE)

• Temperatura de entrada do óleo

• Folga radial

O programa realiza interações sucessivas e determina em função dos dados:

• A temperatura média do mancal utilizando a teoria hidrodinâmica.

• Calcula também a espessura mínima de óleo (ho) ;

• A curva de ho x c (folga radial).

• Determina a folga ideal no mancal hidrodinâmico.

• Apresenta finalmente os seguintes resultados: Temperatura média do mancal, pressão

máxima do lubrificante; folga ideal, potencia dissipada pelo atrito; e o gráfico hox c.

13.11 - MANCAIS UTILIZANDO O CATÁLOGO DA TIMKEN E SKF

Programa: Mancais\Bearing\Bearing.exe

O programa fornece uma tabela de acordo com o fabricante SKF para seus tipos de

mancais, além de tem a possibilidade de inclusão de novos rolamentos no banco de dados.

Seque as opções fornecidas.

426

• Menu principal:

[1] Banco de dados de rolamento

[2] Tabela de vida por utilização

[3] Alterar dados do rolamento atual

[4] Inclusão de novo rolamento

[5] Selecionar pela vida nominal

[6] Remover filtro

13.12 – MANCAIS DE DESLIZAMENTO

Programa: Mancais\MancaisDesl\prjMancalexe

Dados de entrada

• Carga [kN]

• Diâmetro [mm]

• Rotação [rps]

• Temperatura inicial ºC

• Folga [mm]

• Tipo de óleo usado

[1] SAE 10

[2] SAE 20

[3] SAE 30

[4] SAE 40

[5] SAE 50

[6] SAE 60

[7] SAE 70

• Relação de i/d:

[1] 1

[2] ½

[3] ¼

[4] infinito

Projeto

• Temperatura de funcionamento

• Porcentagem em relação a folga máxima %

427

Como resultado temos Gráfico h0 x c e uma tabela indicando os valores de ∆T, Tm,

Viscosidades, f=r/c.

13.13 – ROLAMENTOS COM UMA NOVA TEORIA DE VIDA

Programa: Rolamentos\EXER--3.exe

O programa tem como objetivo fornecer o rolamento adequado ao tipo de trabalho

desejado.

• Tipo de Máquina

[1] Pequeno porte

[2] Uso intermitente

[3] Alta confiabilidade

[4] Uso diário <8 horas

[5] Uso diário de 8 horas

[6] Uso contínuo

• Tipo de ambiente

[1] Muito limpo

[2] Limpo

[3] Normal

[4] Contaminado

[5] Muito contaminado

• Confiabilidade

[1] 90 %

[2] 95 %

[3] 96 %

[4] 97 %

[5] 98 %

[6] 99 %

• Selecionar a vida útil desejada

• Força radial [N]

• Força axial [N]

• Temperatura de trabalho

Como resposta temos o rolamento selecionado

428

13.14 – ROLAMENTOS DE ESFERA PARA UMA CARGA DINÂMIC A

Programa: Rolamentos\EXER--4.exe

O programa tem como objetivo fornecer o rolamento adequado ao tipo de trabalho

desejado.

• Tipo de Máquina

[7] Pequeno porte

[8] Uso intermitente

[9] Alta confiabilidade

[10] Uso diário <8 horas

[11] Uso diário de 8 horas

[12] Uso contínuo

• Selecionar a vida útil desejada

• Força radial [N]

• Força axial [N]

Como resposta temos o rolamento selecionado

13.15 – SELEÇÃO DE ROLAMENTOS DE ESFERA

SELEÇÃO DE ÓLEO ATRAVÉS DA VISCOSIDADE

Programa: Rolamentos\EXER--6.exe

O programa tem como objetivo encontrar uma viscosidade para o óleo para um rolamento

especificado a ser usado para as condições de trabalho a ser apresentada.

• Séries de Rolamentos

A – Série 618

B – Série 160

C – Série 60

D – Série 60

E – Série 161

F – Série 62

G – Série 63

H – Série 64

I – Série 42

J – Série 43

429

• Disposição

[1] Tandem

[2] O

[3] X

• Força radial [N]

• Força axial [N]

• Capacidade de carga estática

• Velocidade [rpm]

• Diâmetro interno

• Diâmetro externo

• Temperatura de trabalho

Como resposta temos a viscosidade que o óleo deve apresentar.

13.16 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS COM MOMENTO TORSOR E FLETOR

Programa: Eixos\Eixos1\Eixo1.exe

O programa solicita os seguintes dados:

• O usuário deverá informar um dos seguintes dados, para o cálculo do momento torsor:

[1] Momento torsor - Força em N e distancia da origem do eixo em m;

[2] Torsor (N.m);

[3] Potência (HP) e rotação em rpm.

• Selecionar o seguinte critério de Resistência (carregamento estático):

[1] Critério da Máxima tensão cisalhante;

[2] Critério da energia de distorção,

• Selecionar para carregamento dinâmico:

[1] Limite de resistência à tração do eixo;

[2] Fator de concentração de tensão;

[3] Tipo de acabamento do eixo;

[4] Limite de resistência ao escoamento.

• Cálculo do Momento Fletor:

[1] Posição do Momento desejado;

[2] Posição dos apoios (estabelecer a quantidade e a localização dos apoios);

[3] Forças distribuídas (o valor e a localização das forças);

[4] Forças concentradas (o valor e a localização no eixo).

430

• Estabelecer um fator de segurança.

• Como resultado o programa calcula o momento fletor na localização desejada e

determina o diâmetro do eixo no local. Este programa, portanto determina o diâmetro do

eixo para a localização estipulada pelo usuário.

13.17 - DIMENSIONAMENTO DE EIXOS

Programa 2 – Eixos\Eixos2\Elemaq.exe

• Selecionar dimensionamento de Eixos.

• O usuário deverá escolher o critério de resistência desejado:

[1] Critério de Goodman;

[2] Critério de Soderberg;

[3] Critério da Energia de distorção;

[4] ASM.

• Selecionar o tipo de acabamento superficial do eixo:

[1] Retificado;

[2] Usinado;

[3] Laminado a quente;

[4] Forjado.

• O programa mostra o desenho de um redutor com duas engrenagens no eixo sendo

que:

[1] R1= raio da engrenagem motora do eixo 1;

[2] R2= raio da engrenagem movida do eixo 2;

[3] R3= raio da engrenagem motora do eixo 2;

[4] R4= raio da engrenagem movida do eixo 3.

• Para o eixo intermediário (engrenagens 2 e 3) o usuário deverá especificar as seguintes

distâncias:

[1] Distância da engrenagem 2 ao mancal esquerdo;

[2] Distância entre as engrenagens 2 e 3;

[3] Distância da engrenagem 3 ao mancal direito.

• O usuário deverá especificar o fator de segurança.

• Informar se as engrenagens são enchavetadas no eixo

• O programa fornece os diâmetros do eixo nos trechos:

[1] Diâmetro do eixo na seção da engrenagem 1;

431

[2] Diâmetro do eixo na seção da engrenagem 2;

[3] Diâmetro do eixo na seção da engrenagem 3.

• O fator de concentração deve ser usado, utilizando os tipos de entalhes definidos na

unidade I.

• Para o caso de chavetas, o fator de concentração de tensão é Kf = 3, para eixos submetidos

à solicitação de torção e flexão, que é o caso para a maioria dos eixos.

• Lembrar que quando existir chavetas no eixo, usar: Ke = 0,3.

432

A N E X O S

433

PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

N° Da

Tabela

Descrição

A-1 Propriedades Mecânicas para Alguns Aço-Carbono A-2 Propriedades Mecânicas de Alguns Plásticos de E ngenharia

A-3 Propriedades Mecânicas de Algumas Ligas de Alum ínio Fundido

A-4 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Co bre Fundido e

Forjado

A-5 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Ti tânio

A-6 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Ma gnésio

A-7 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Fe rro-Fundido

A-8 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas de Aç o Inoxidável

A-9 Propriedades Físicas de alguns Materiais de Engenharia

A-10 Propriedades Mecânicas para Algumas Ligas e Aç os Ferramenta

A-11 Propriedades Mecânicas para algumas ligas de A lumínio Forjado

434

Tabela A-1 – Propriedades Mecânicas para Alguns Aço -Carbono

Resistência a Tração Nominal

(2% de tolerância)

Resistência a Tração

Última

Alongamento acima de 2

pol

Dureza Brinell Número

SAE/AISI Condição

kpsi MPa kpsi MPa % -HB Laminado a quente 26 179 47 324 28 95 1010

Laminado a frio 44 303 53 365 20 105 Laminado a quente 30 207 55 379 25 111 1020

Laminado a frio 57 393 68 469 15 131 Laminado a quente 38 259 68 469 20 137

Normalizado a 1650°F 50 345 75 517 32 149 Laminado a frio 64 441 76 524 12 149 Q e T a 1000°F 75 517 97 669 28 255 Q e T a 800°F 84 579 103 731 23 302

1030

Q e T a 400°F 94 648 123 848 17 495 Laminado a quente 40 276 72 496 18 143 1035

Laminado a frio 67 462 80 552 12 163 Laminado a quente 42 290 76 524 18 149

Normalizado a 1650°F 54 372 86 593 28 170 Laminado a frio 71 490 85 586 12 170 Q e T a 1200°F 63 434 92 634 29 192 Q e T a 800°F 80 552 110 758 21 241

1040

Q e T a 400°F 86 593 113 779 19 262 Laminado a quente 45 310 82 565 16 163 1045

Laminado a frio 77 531 91 627 12 179 Laminado a quente 50 345 90 621 15 179

Normalizado a 1650°F 62 427 108 745 20 217 Laminado a frio 84 579 100 689 10 197 Q e T a 1200°F 78 538 104 717 28 235 Q e T a 800°F 115 793 158 1089 13 444

1050

Q e T a 400°F 117 807 163 1124 9 514 Laminado a quente 54 372 98 676 12 200

Normalizado a 1650°F 61 421 112 772 18 229 Q e T a 1200°F 76 524 116 800 23 229 Q e T a 1000°F 97 669 140 965 17 277

1060

Q e T a 800°F 111 765 156 1076 14 311 Laminado a quente 66 455 120 827 10 248

Normalizado a 1650°F 72 496 147 1014 9 13 Q e T a 1200°F 80 552 130 896 21 269 Q e T a 800°F 112 772 176 1213 12 363

1095

Q e T a 600°F 118 814 183 1262 10 375

435

Tabela A-2 – Propriedades Mecânicas de Alguns Plást icos de Engenharia

Módulo de

Elasticidade Aproximado

E

Resistência a Tração Última

Tensão de Compress

ão

Alongamento acima de

2 pol

Temp. Máx. Material

Mpsi GPa kpsi MPa kpsi MPa % °F

Gravidade

Específica

ABS 0,3 2,1 6,0 41,4 10,0 68,9 5 a 25 160-200 1,05

Vidro cheio 20-40%

0,6 4,1 10,0 68,9 12,0 82,7 3 200-230 1,30

Acetal 0,5 3,4 8,8 60,7 18,0 124,1

60 220 1,41

Vidro cheio 20-30% 1,0 6,9 10,0 68,9 18,0 124,

1 7 185-220 1,56

Acrílico 0,4 2,8 10,0 68,9 15,0 103,4 5 140-

190 1,18

Fluoroplástico (PTFE)

0,2 1,4 5,0 34,5 6,0 41,4 100 350-330

2,10

Nilon 6/6 0,2 1,4 10,0 68,9 10,0 68,9 60 180-300

1,14

Nilon 11 0,2 1,3 8,0 55,2 8,0 55,2 300 180-300 1,04

Vidro cheio 20-30% 0,4 2,5 12,8 88,3 12,8 88,3 4 250-

340 1,26

Policarbonato 0,4 2,4 9,0 62,1 12,0 82,7 100 250 1,20 Vidro cheio 10-

40% 1,0 6,9 17,0 117,

2 17,0 117,

2 2 275 1,35

Polietileno HMW 0,1 0,7 2,5 17,2 - - 525 - 0,94 Óxido de

Polifenileno 0,4 2,4 9,6 66,2 16,4 113,1 20 212 1,06

Vidro cheio 20-30% 1,1 7,8 15,5 106,

9 17,5 120,7 5 260 1,23

Polipropileno 0,2 1,4 5,0 34,5 7,0 48,3 500 250-320

0,90

Vidro cheio 20-30%

0,7 4,8 7,5 51,7 6,2 42,7 2 300-320 1,10

Poliestireno de Impacto 0,3 2,1 4,0 27,6 6,0 41,4 2 a 80 140-

175 1,07

Vidro cheio 20-30% 0,1 0,7 12,0 82,7 16,0 110,

3 1 180-200 1,25

Polisulfano 0,4 2,5 10,2 70,3 13,9 95,8 50 300-345

1,24

436

Tabela A-3 – Propriedades Mecânicas de Algumas Liga s de Alumínio Fundido

Resistência a Tração Nominal

(2% de tolerância)

Resistência a

Tração

Última

Alongament

o acima de 2

pol

Durez

a

Brinell

Ligas de

Alumínio

Fundido

Condição

kpsi MPa kpsi MPa % -HB

43 Molde fundição

permanente-fundir 9 62 23 159 10 45

195 Areia de fundição –

fundir 24 165 36 248 5 -

220

Areia de fundição –

solução tratada

termicamente

26 179 48 331 16 75

380 Fundição em estampa

– fundir 24 165 48 331 3 -

A132

Molde fundição

permanente – tratado

termicamente + 340°F

43 296 47 324 0,5 125

A142

Areia de fundição –

tratado termicamente

+ 650°F

30 207 32 221 0,5 85

437

Tabela A-4 – Propriedades Mecânicas para Algumas Li gas de Cobre Fundido e

Forjado

Resistência a Tração

Nominal(2% de tolerância)

Resistên-cia a

Tração Última

Alonga-mento > de

2 pol Ligas de Cobre Condição

kpsi MPa kpsi MPa %

Dureza Rockwell

Brinell

Tira recozida 10 69 32 221 45 40HRF CA110 – Cobre Puro

Mola temperada 50 345 55 379 4 60HRB

Tira recozida envelhecida 145 1000 165 113

8 7 35HRC CA170 – Cobre Berílio

Fortemente envelhecido 170 1172 190

1310 3 40HRC

Tira recozida 10 69 37 255 45 53HRF CA220 – Bronze Comercial Mola temperada 62 427 72 496 3 78HRB

Tira recozida 15 103 40 276 50 50HB CA230 – Bronze Vermelho Têmpera dura 60 414 75 517 7 135HB

Tira recozida 11 76 44 303 66 54HRF CA260 – Bronze em Cartucho Mola temperada 65 448 94 648 3 91HRB

Tira recozida 14 97 46 317 65 58HRF CA270 – Bronze Amarelo Mola temperada 62 427 91 627 30 90HRB

Recozida 19 131 47 324 64 73HRF CA510 – Bronze Fósforo Mola temperada 80 552 100 689 4 95HRB

Macio 45 310 82 565 40 84HRB CA614 – Bronze Alumínio Duro 60 414 89 614 32 87HRB

Recozido 21 145 56 386 63 76HRF CA655 – Bronze Alto Silicone Mola temperada 62 427 110 758 4 97HRB

Macio 30 207 65 448 33 65HRB CA675 – Bronze Manganês Meio-duro 60 414 84 579 19 90HRB

Bronze Estanho pesado Como fundido 19 131 34 234 18 60HB

Como fundido 20 138 50 345 40 85HB

Bronze Estanho Níquel Fundido e tratado

termicamente 55 379 85 586 10 180HB

438

Tabela A-5 – Propriedades Mecânicas para Algumas Li gas de Titânio

Resistência a

Tração

Nominal (2%

de tolerância)

Resistência

a Tração

Última

Alongamen-

to acima de

2 pol Ligas de Titânio Condição

kpsi MPa kpsi MPa %

Dureza

Rockwell

ou

Brinell

Ti-35A Folha recozida 30 207 40 276 30 135HB

Ti-50A Folha recozida 45 310 55 379 25 215HB

Ti-75A Folha recozida 75 517 85 586 18 245HB

Liga de Ti-0,2Pd Folha recozida 45 310 55 379 25 215HB

Liga de Ti-5 Al-2,5Sn Recozida 125 862 135 931 13 39HRC

Liga de Ti-8 Al-1 Mo-1 Folha recozida 130 896 140 965 13 39HRC

Liga de Ti-8 Al-2 Sn-4 Zr-2 Mo Barra recozida 130 896 140 965 15 39HRC

Liga de Ti-8 Al-6 V-2 Sn Folha recozida 155 1069 165 1138 12 41HRC

Liga de Ti-6 Al-4 V Folha recozida 130 896 140 13 2,5 39HRC

Liga de Ti-6 Al-4 V Tratada termicamente 165 1138 175 1207 12 -

Liga de T1-13 V-11 Cr-3 Al Folha recozida 130 896 135 931 13 37HRC

Liga de T1-13 V-11 Cr-3 Al Tratada

termicamente 170 1172 180 1241 6 -

439

Tabela A-6 – Propriedades Mecânicas para Algumas Li gas de Magnésio

Resistência

a Tração

Nominal

(2% de

tolerância)

Resistênci

a a Tração

Última

Alongament

o acima de

2 pol

Ligas de

Magnésio Condição

kpsi MPa kpsi MPa %

Dureza

Rockwel

l ou

Brinell

Folha recozida 22 152 37 255 21 56HB AZ31 B

Folha dura 32 221 42 290 15 73HB

Como forjado 33 228 48 331 11 69HB AZ80 A

Forjado e envelhecido 36 248 50 345 6 72HB

AZ91 A & AZ91 B Fundição em estampa 22 152 33 228 3 63HB

Como fundido 14 97 24 165 2,5 60HB

AZ91 C Fundido, solução tratada termicamente 19 131 40 276 5 70HB

Como fundido 14 97 25 172 2 65HB

Fundido, tratado quimicamente 14 97 40 276 10 63HB

AZ92 A

Fundido, envelhecido e tratado quimicamente 22 152 40 276 3 81HB

EZ33 A Fundido e envelhecido 16 110 23 159 3 50HB

Endurecimento forçado 29 200 37 255 8 68HB

HK31 A Fundido e tratado termicamente 15 103 32 221 8 66HRB

HZ32 A Fundido – tratado quimicamente e

envelhecido 13 90 27 186 4 55HB

Como prensado 38 262 49 338 14 75HB

ZK60 A Prensado e envelhecido 44 303 53 365 11 82HB

440

Tabela A-7 – Propriedades Mecânicas para Algumas Li gas de Ferro-Fundido

Resistência a

Tração

Nominal (2%

de

tolerância)

Resistência a

Tração

Última

Tensão de

Compres-

são

Dureza

Brinell Ligas de Ferro

Fundido Condição

kpsi MPa kpsi MPa kpsi MPa -HB

Ferro Fundido Cinzento

- Classe 20 Como fundido - - 22 152 83 572 156

Ferro Fundido Cinzento

- Classe 30 Como fundido - - 32 221 109 752 210

Ferro Fundido Cinzento

- Classe 40 Como fundido - - 42 290 140 965 235

Ferro Fundido Cinzento

- Classe 50 Como fundido - - 52 359 164 1131 262

Ferro Fundido Cinzento

- Classe 60 Como fundido - - 62 427 187 1289 302

Ferro Dúctil 60-40-18 Recozido 47 324 65 448 52 359 160

Ferro Dúctil 65-45-12 Recozido 48 331 67 462 53 365 174

Ferro Dúctil 80-55-06 Recozido 53 365 82 565 56 386 228

Ferro Dúctil 120-90-02 Q e T 120 827 140 965 134 924 325

441

Tabela A-8 – Propriedades Mecânicas para Algumas Li gas de Aço Inoxidável

Resistência a

Tração

Nominal (2%

de

tolerância)

Resistência

a Tração

Última

Alongamen

to acima de

2 pol

Ligas de Aço

Inoxidável Condição

kpsi MPa kpsi MPa %

Dureza

Rockwell

ou Brinell

Tira recozida 40 276 110 758 60 85HRB Tipo 301

Laminado a frio 165 1138 200 1379 8 41HRC

Folha recozida 40 276 90 621 50 85HRB Tipo 302

Laminado a frio 165 1138 190 1310 5 40HRC

Folha recozida 35 241 85 586 50 80HRB Tipo 304

Laminado a frio 160 1103 185 1276 4 40HRC

Tipo 314 Barra recozida 50 345 100 689 45 180HB

Tipo 316 Folha recozida 40 276 90 621 50 85HRB

Laminado a quente 55 379 100 689 35 200HB Tipo 330

Recozido 35 241 80 552 50 150HB

Folha recozida 45 310 70 483 25 80HRB Tipo 410

Tratado termicamente 140 965 180 1241 15 39HRC

Barra recozida 50 345 95 655 25 92HRB Tipo 420

Tratado termicamente 195 1344 230 1586 8 500HB

Barra recozida 95 655 125 862 25 260HB Tipo 431

Tratado termicamente 150 1034 195 1344 15 400HB

Barra recozida 65 448 110 758 14 230HB Tipo 440C

Q e T 600F 275 1896 285 1965 2 57HRC

17-4 PH (AISI 630) Endurecida 185 1276 200 1379 14 44HRC

17-7 PH (AISI 631) Endurecida 220 1517 235 1620 6 48HRC

442

Tabela A-9 – Propriedades Físicas de alguns Materia is de Engenharia

Módulo de

Elasticida-

de E

Módulo de

Rigidez G

Coeficiente

de Poisson

Peso

Específico

γ

Massa

Específica

ρ

Gravidade

Específi-

ca Material

Mpsi GPa Mpsi GPa Lb/in³ Mg/m³

Ligas de Alumínio 10,4 71,7 3,9 26,8 0,34 0,10 2,8 2,8

Liga Cobre Berílio 18,5 127,6 7,2 49,4 0,29 0,30 8,3 8,3

Bronze 16,0 110,3 6,0 41,5 0,33 0,31 8,6 8,6

Cobre 17,5 120,7 6,5 44,7 0,35 0,32 8,9 8,9

Ferro, Molde, Cinzento 15,0 103,4 5,9 40,4 0,28 0,26 7,2 7,2

Ferro, Molde, Dúctil 24,5 168,9 9,4 65,0 0,30 0,25 6,9 6,9

Ferro, Molde, Maleável 25,0 172,4 9,6 66,3 0,30 0,26 7,3 7,3

Ligas de Magnésio 6,5 44,8 2,4 16,8 0,33 0,07 1,8 1,8

Ligas de Níquel 30,0 206,8 11,5 79,6 0,30 0,30 8,3 8,3

Aço Carbono 30,0 206,8 11,7 80,8 0,28 0,28 7,8 7,8

Ligas de Aço 30,0 206,8 11,7 80,8 0,28 0,28 7,8 7,8

Aço Inoxidável 27,5 189,6 10,7 74,1 0,28 0,28 7,8 7,8

Ligas de Titânio 16,5 113,8 6,2 42,4 0,34 0,16 4,4 4,4

Ligas de Zinco 12,0 82,7 4,5 31,1 0,33 0,24 6,6 6,6

443

Tabela A-10 – Propriedades Mecânicas para Algumas L igas e Aços Ferramentas

Resistência a

Tração Nominal (2% de tolerância)

Resistência a Tração Última

Alongamento acima de 2 pol

Dureza Rockwell ou Brinell

Número SAE/AISI Condição

kpsi MPa kpsi MPa % -HB Recozido 63 434 102 703 25 204HB 1340

Q e T 109 752 125 862 21 250HB Recozido 47 324 75 517 30 150HB 4027

Q e T 113 779 132 910 12 264HB Recozido a 1450°F 52 359 81 558 28 156HB

Normalizado a 1650°F 63 434 97 669 25 197HB Q e T a 1200°F 102 703 118 814 22 245HB Q e T a 800°F 173 1193 186 1282 13 380HB

4130

Q e T a 400°F 212 1462 236 1627 10 41HB Recozido a 1450°F 61 421 95 655 26 197HB

Normalizado a 1650°F 95 655 148 1020 18 302HB Q e T a 1200°F 95 655 110 758 22 230HB Q e T a 800°F 165 1138 181 1248 13 370HB

4140

Q e T a 400°F 238 1641 257 1772 8 510HB Q e T a 1200°F 124 855 140 965 19 280HB Q e T a 1000°F 156 1076 170 1172 13 360HB Q e T a 800°F 198 1365 213 1469 10 430HB

4340

Q e T a 600°F 230 1586 250 1724 10 486HB Recozido 59 407 96 662 23 192HB 6150

Q e T 148 1020 157 1082 16 314HB Recozido 60 414 95 655 25 190HB 8740

Q e T 133 917 144 993 18 288HB Recozido a 1600°F 53 365 100 689 25 96HRB H-11

Q e T a 1000°F 250 1724 295 2034 9 55HRC Recozido a 1425°F 74 510 103 710 25 96HRB L-2

Q e T a 400°F 260 1793 290 1999 5 54HRC Recozido a 1425°F 55 379 95 655 25 93HRB L-6

Q e T a 600°F 260 1793 290 1999 4 54HRC Recozido a 1425°F 75 517 100 689 17 97HRB P-20

Q e T a 400°F 205 1413 270 1862 10 52HRC Recozido a 1475°F 60 414 100 689 24 96HRB S-1

Q e T a 400°F 275 1896 300 2068 4 57HRC Recozido a 1450°F 64 441 105 724 25 96HRB S-5

Q e T a 400°F 280 1931 340 2344 5 59HRC Recozido a 1525°F 55 379 93 641 25 95HRB S-7

Q e T a 400°F 210 1448 315 2172 7 58HRC Recozido a 1550°F 65 448 103 710 24 97HRB A-8

Q e T a 1050°F 225 1551 265 1827 9 52HRC

444

Tabela A-11 – Propriedades Mecânicas para algumas l igas de Alumínio Forjado

Resistência a

Tração

Nominal

(2% de

tolerância)

Resistência a

Tração Última

Resistência

a Fadiga a

5E8 ciclos

Alongamen-

to acima de

2 pol

Dureza

Brinell

Ligas de

Alumínio

Forjado Condição

kpsi MPa kpsi MPa kpsi MPa % -HB

Folha recozida 5 34 13 90 - - 35 23

1100 Laminado a

frio 22 152 24 165 - - 5 44

Folha recozida 11 76 26 179 - - 20 -

2024 Tratado

termicamente 42 290 64 441 20 138 19 -

Folha recozida 6 41 16 110 - - 30 28

3003 Laminado a

frio 27 186 29 200 - - 4 55

Folha recozida 13 90 28 193 - - 25 47

5052 Laminado a

frio 37 255 42 290 - - 7 77

Folha recozida 8 55 18 124 - - 25 30

6061 Tratado

termicamente 40 276 45 310 14 97 12 95

Barra recozida 15 103 33 228 - - 16 60

7075 Tratado

termicamente 73 503 83 572 14 97 11 150

445

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