435 x cha v1 - belamatematica.files.wordpress.com · VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação

V.S.F.F.435.V1/1

PROVA 435/9 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)

Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos

Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE2004 VERSÃO 1

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA

VERSÃO 1

Na sua folha de respostas, indique claramente aversão da prova.

A ausência desta indicação implicará a anulaçãode todo o GRUPO I.

A prova é constituída por dois Grupos, I e II.

• O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla.

• O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta, algumasdelas subdivididas em alíneas, num total de dez.

435.V1/2

Formulário

Comprimento de um arco decircunferênciaα α< ( amplitude, em radianos, doângulo ao centro raio; < )

Áreas de figuras planas

Losango: H3+198+67+39<‚H3+198+67/89<#

Trapézio: F+=/7+39<F+=/7/89<# ‚ E6>?<+

Polígono regular: Semiperímetro Apótema‚

Sector circular: α <#

# (α amplitude,

em radianos, do ângulo ao centro raio; < )

Áreas de superfíciesÁrea lateral de um cone: 1 < 1( )< 1 raio da base geratriz;

Área de uma superfície esférica: % <1 #

( )< raio

Volumes

Pirâmide: "$ ‚ Área da base Altura‚

Cone: "$ ‚ Área da base Altura‚

Esfera: %$$1 ( )< < raio

Trigonometriasen sen cos sen cosÐ+ ,Ñ œ + Þ , , Þ +

cos cos cos sen senÐ+ ,Ñ œ + Þ , + Þ ,

tg Ð+ ,Ñ œtg tg

tg tg+ ,

" + Þ ,

Complexos3 ) 3 )-3= œ -3= Ð8 Ñ8 8

È È8 83 ) 3-3= œ -3= ß 5 − Ö!ß ÞÞÞß 8 "×) 1#5

8

Progressões

Soma dos primeiros termos de uma8

Prog. Aritmética: ? ?

#" 8 ‚ 8

Prog. Geométrica: ? ‚""<"<

8

Regras de derivação

Ð? @Ñ œ ? @w w w

Ð?Þ@Ñ œ ? Þ @ ? Þ @w w w

ˆ ‰? ? Þ @? Þ @@ @

wœ

w w

#

Ð? Ñ œ 8 Þ ? Þ ? Ð8 − Ñ8 w 8" w ‘

Ð ?Ñ œ ? Þ ?sen cosw w

Ð ?Ñ œ ? Þ ?cos senw w

Ð ?Ñ œtg w ??

w

#cos

Ð Ñ œ ? Þ/ /? w w ?

Ð Ñ œ ? Þ Þ + Ð+ − Ï Ö"×Ñ+ +? w w ? ln ‘

Ð ?Ñ œln w ??

w

Ð ?Ñ œ Ð+ − Ï Ö"×Ñlog +w ?

? Þ +

w

ln ‘

Limites notáveis

limBÄ!

senBB œ "

limBÄ!

/ "B

B

œ "

limBÄ!

ln ÐB"ÑB œ "

limBÄ∞

ln BB œ !

limBÄ∞

/B

B

: œ ∞ Ð: − Ñ ‘

V.S.F.F.435.V1/3

Grupo I

• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmoacontecendo se a letra transcrita for ilegível.

• .Não apresente cálculos, nem justificações

1. Para um certo valor de , é em a função , definida por5 1contínua ‘

( designa logaritmo de base )1ÐBÑ œ /

5 B =/ B Ÿ !

=/ B !

ÚÝÝÛÝÝÜ

coslnlnÐ"BÑ

B

Qual é o valor de ?5

(A) (B) (C) (D) " ! " #

2. Na figura junta está parte da representação

gráfica de uma função polinomial .2

O ponto de abcissa é o único ponto de" inflexão do gráfico de .2

Qual das expressões seguintes pode definir

2ww, da função ?segunda derivada 2

(A) (B)ÐB "Ñ Ð" BÑ# #

(C) (D)B " " B

435.V1/4

3. Sabe-se que log#+ œ

"&

Qual é o valor de ?log#Œ +&

)

(A) (B) (C) (D) " # $ %

4. Na figura abaixo está parte da representação gráfica de uma função , par e positiva,0

da qual a recta de equação é assimptota.C œ !

Qual é o valor de ? limBÄ∞ ÐBÑ

"0

(A) (B) (C) (D)! " ∞ ∞

5. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?necessariamente

(A) A soma das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1

(B) O produto das probabilidades de dois acontecimentos incompatíveis é 1

(C) A soma das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1

(D) O produto das probabilidades de dois acontecimentos contrários é 1

V.S.F.F.435.V1/5

6. Uma pessoa vai visitar cinco locais, situados no Parque das Nações, em Lisboa: o

Pavilhão de Portugal, o Oceanário, o Pavilhão Atlântico, a Torre Vasco da Gama e o

Pavilhão do Conhecimento.

De quantas maneiras diferentes pode planear a sequência das cinco visitas, se quiser

começar na Torre Vasco da Gama e acabar no Oceanário?

(A) (B) (C) (D) ' "# #% "#!

7. Na figura está representado, no plano complexo, um triângulo rectângulo isósceles.

Os catetos têm comprimento , estando um deles contido no eixo dos números reais."

Um dos vértices do triângulo coincide com a origem do referencial.

Qual das condições seguintes define a região sombreada, incluindo a fronteira?

(A) V/ÐDÑ ! • • lDl Ÿ "M7ÐDÑ Ÿ !

(B) V/ÐDÑ Ÿ ! • • lDl Ÿ "M7ÐDÑ !

(C) V/ÐDÑ " • •M7ÐDÑ ! lD 3l lD "l

(D) V/ÐDÑ " • •M7ÐDÑ ! lD 3l Ÿ lD "l

435.V1/6

Grupo II

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos oscálculos todas as justificações que tiver de efectuar e necessárias.

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o exacto.

1. Em considere os números complexos: e ‚ , D D" #œ œ " # 3 ' $ 3

Sem recorrer à calculadora, determine , apresentando o resultado final naD 3

D"

#$

#

forma trigonométrica.

2. Seja um número complexo, cuja imagem geométrica pertence ao primeiro quadrante (eixosDnão incluídos).

Justifique que a imagem geométrica de não pode pertencer ao quarto quadrante.D$

3. O João tem, no bolso, moedas: duas moedas de 1 euro e quatro moedas de 50seis cêntimos.

O João retira, simultaneamente e ao acaso, moedas do bolso.duas

3.1. Seja a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João.\Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável , apresentando\as probabilidades na forma de fracção irredutível.

3.2. Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inêsde que elas eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros.Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresente o resultado sob aforma de fracção irredutível.

4. Considere a função , de domínio , definida por 0 0 ÐBÑ œ " $ B / ‘ # B

4.1. , mostre que a função Sem recorrer à calculadora tem um único mínimo0relativo e determine-o.

4.2. (a não ser para efectuar eventuais cálculosSem recorrer à calculadoranuméricos), mostre que, no intervalo , existe pelo menos um objecto cujaÓ "ß !Òimagem, por meio de , é .0 %

V.S.F.F.435.V1/7

5. A figura 1 representa um depósito de forma cilíndrica, que contém um certo volume deum combustível.

Figura 1 Figura 2

Admita que a função , de domínio , definida porZ Ò !ß # Ó1

Z ÐBÑ œ )! ÐB BÑsen ,

dá o volume, em metros cúbicos, de combustível existente no depósito, em função da

amplitude , em , do (que, como se sabe, é igual à amplitude doB radianos arco EFG ângulo ao centro correspondente, assinalado na figura 2).

5.1. Qual é a capacidade total do depósito, em metros cúbicos?

Apresente o resultado arredondado às unidades.

: se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo,Nota

três casas decimais.

5.2. à calculadora para determinar Recorra graficamente a solução da equação que lhe

permite resolver o seguinte problema: Qual terá de ser a amplitude, em radianos, do

arco para que existam de combustível no depósitoEFG $!! 7, ? $

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente

o , ou , obtido(s). Apresente ográfico gráficos resultado na forma de dízima,

arredondado às décimas.

5.3. Determine o volume do, em metros cúbicos,

combustível existente no depósito, no momento em

que a sua altura é da altura máxima."%

Apresente o resultado arredondado às unidades.

: se, nos cálculos intermédios, proceder aNota

arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas

decimais.

435.V1/8

5.4. Admita agora que o depósito está vazio e que, num certo instante, se começa a

introduzir combustível a uma taxa constante, até ficar cheio, o que acontece ao fim

de cinco horas.

Seja do combustível2Ð>Ñ a altura

no depósito, após o> horas

instante em que começa a ser

introduzido.

Qual dos gráficos seguintes pode ser

o da função ?2

Numa pequena , com cerca de dez linhas, composição indique as razões que o

levam a rejeitar os restantes gráficos três (indique razões, uma por cada gráfico

rejeitado).

(A) (B)

(C) (D)

FIM

435.V1/9

COTAÇÕES

Grupo I 63....................................................................................................

Cada resposta certa .......................................................................... +9 Cada resposta errada........................................................................ - 3 Cada questão não respondida ou anulada ....................................... 0

Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.

Grupo II 137 .................................................................................................

1. ............................................................................................. 10

2. ............................................................................................. 11

3. ............................................................................................. 32 3.1. ................................................................................16 3.2. ................................................................................16

4. ............................................................................................. 28 4.1. ............................................................................... 14 4.2. ................................................................................14

5. ............................................................................................. 56 5.1. ................................................................................14 5.2. ................................................................................14 5.3. ................................................................................14 5.4. ................................................................................14

TOTAL 200 ..................................................................................................

V.S.F.F.435/C/1

PROVA 435/C/30 Págs.

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)

Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos

Duração da prova: 120 minutos 1.ª FASE2004

PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA

COTAÇÕES

Grupo I 63....................................................................................................

Cada resposta certa .......................................................................... +9 Cada resposta errada........................................................................ - 3 Cada questão não respondida ou anulada ....................................... 0

Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.

Grupo II 137 .................................................................................................

1. ............................................................................................. 10

2. ............................................................................................. 11

3. ............................................................................................. 32 3.1. ................................................................................16 3.2. ................................................................................16

4. ............................................................................................. 28 4.1. ............................................................................... 14 4.2. ................................................................................14

5. ............................................................................................. 56 5.1. ................................................................................14 5.2. ................................................................................14 5.3. ................................................................................14 5.4. ................................................................................14

TOTAL 200 ..................................................................................................

435/C/2

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO

Grupo I

Deverão ser anuladas todas as questões com resposta de leitura ambígua (letraconfusa, por exemplo) e todas as questões em que o examinando dê mais do que umaresposta.

As respostas certas são as seguintes:

Questões 1 2 3 4 5 6 7Versão 1Versão 2

B C B C C A CA B D C A D A

Na tabela seguinte indicam-se os pontos a atribuir, no primeiro grupo, em função donúmero de respostas certas e do número de respostas erradas.

Resp. erradas 0 1 2 3 4 5 6 7Resp. certas

012345

0 0 0 0 0 0 0 0 9 6 3 0 0 0 0 18 15 12 9 6 3 27 24 21 18 15 36 33 30 27 45 42 39 54 51 63

67

Grupo II

Critérios gerais

1. A cotação a atribuir a cada alínea deverá ser sempre um número inteiro, não negativo, depontos.

2. Se, numa alínea em que a respectiva resolução exija cálculos e/ou justificações, oexaminando se limitar a apresentar o resultado final, deverão ser atribuídos zero pontos aessa alínea.

3. Algumas questões da prova podem ser correctamente resolvidas por mais do que umprocesso. Sempre que um examinando utilizar um processo de resolução não contempladonestes critérios, caberá ao professor classificador adoptar um critério de distribuição dacotação que julgue adequado e utilizá-lo em situações idênticas.

V.S.F.F.435/C/3

4. Existem alíneas cuja cotação está subdividida pelas etapas que o examinando devepercorrer para as resolver.

4.1. Em cada etapa, a cotação indicada é a máxima a atribuir.

4.2. Caso a resolução da etapa esteja incompleta, ou contenha incorrecções, cabe aoclassificador decidir a cotação a atribuir a essa etapa, tendo em conta o grau deincompletude e/ou a gravidade dos erros cometidos. Por exemplo:- erros de contas ocasionais devem ser penalizados em um ponto;- erros graves, que revelem desconhecimento de conceitos, regras ou propriedades,

devem ser penalizados em, pelo menos, metade da cotação da etapa.

4.3. No caso de o examinando cometer um erro numa das etapas, as etapas subsequentesdevem merecer a respectiva cotação, desde que o grau de dificuldade não tenhadiminuído, e o examinando as execute correctamente, de acordo com o erro quecometeu.

4.4. Caso o examinando cometa, numa etapa, um erro que diminua o grau de dificuldadedas etapas subsequentes, cabe ao classificador decidir a cotação máxima a atribuir acada uma destas etapas. Em particular, se, devido a um erro cometido peloexaminando, o grau de dificuldade das etapas seguintes diminuir significativamente, acotação máxima a atribuir a cada uma delas não deverá exceder metade da cotaçãoindicada.

4.5. Pode acontecer que o examinando, ao resolver uma questão, não percorraexplicitamente todas as etapas previstas nos critérios. Todos os passos não expressospelo examinando, mas cuja utilização e/ou conhecimento estejam implícitos naresolução da questão, devem receber a cotação indicada.

5. Existem alíneas em que estão previstos alguns erros que o examinando pode cometer. Paracada caso, é indicada a cotação a atribuir. O examinando pode, contudo, utilizar umprocesso não contemplado nos critérios e/ou cometer um erro não previsto. Cabe aoclassificador adaptar as referências dadas a todas as situações não previstas.

6. Se, na resolução de uma alínea, o examinando utilizar simbologia, ou escrever umaexpressão, inequivocamente incorrecta do ponto de vista formal (por exemplo, se escrever osímbolo de igualdade onde deveria estar o símbolo de equivalência), deve ser penalizadoem um ponto, na cotação total a atribuir a essa alínea. Esta penalização não se aplica nocaso em que tais incorrecções ocorram apenas em etapas cotadas com 0 (zero) pontos.

7. Se, na resolução de uma alínea, o examinando não respeitar uma eventual instrução,relativa ao método a utilizar (por exemplo, se o enunciado vincular o examinando a umaresolução analítica, sem calculadora, e o examinando a utilizar), a etapa da resolução emque se dá o referido desrespeito bem como todas as subsequentes que dela dependamdevem ser cotadas com 0 (zero) pontos.

8. Tudo o que o examinando escrever fora de contexto e que não resulte de trabalho anterior(por exemplo, num exercício de probabilidades, a escrita de uma fracção que não tenhanada a ver com o problema, ou, num exercício de estudo da monotonia de uma função, aapresentação de um quadro fora do contexto) deve ser cotado com 0 (zero) pontos. Todasas etapas subsequentes que dependam do que o examinando escreveu fora de contextodevem ser igualmente cotadas com 0 (zero) pontos.

435/C/4

Critérios específicos

Para cada item são apresentados:

• a cotação total do item;

• para cada processo de resolução apresentado, uma subdivisão da cotação total em cotaçõesparcelares;

• exemplos de possíveis respostas dos examinandos, com a respectiva cotação a atribuir,devidamente explicada.

1. .....................................................................................................................................10

Substituição, na expressão , de D 3

D"

#$

#

D" por ' $3

e de .......................................................................................... 1 D# por " # 3

3 œ 3#$ ............................................................................................................. 1

Divisão ................................................................................................................... 5

Multiplicação de ambos os termos da fracção peloconjugado do denominador .........................................................1

Cálculo do novo numerador ........................................................ 2

Cálculo do novo denominador .....................................................2

Resultado na forma trigonométrica ....................................................................... 3

Módulo ................................................................... 1 (ver nota 1)

Argumento ..............................................................2 (ver nota 2)

Notas:

1. Não se exige a apresentação de cálculos intermédios (o examinando podecalcular o módulo mentalmente).

2. Não se exige a apresentação de cálculos intermédios (o examinando podevisualizar o argumento graficamente, dado que a imagem geométrica docomplexo pertence à bissectriz dos quadrantes ímpares, no terceiroquadrante).

V.S.F.F.435/C/5

Exemplos de possíveis respostas dos examinandos

Exemplo 1

' $ 3 3"# 3 "# 3 "# 3

' # 3 "# 3#$

œ œ

œ œ' "# 3 # 3 %

"%

œ œ # # 3"!"! 3

&

3 œ % % œ )È È>1 œ œ " œ œ) 1

# &# % % %

1 1 1

È) -3=&%1

Cotação a atribuir: " " &Ð" # #Ñ $Ð" #Ñ Ð "Ñ œ *(*) (**)

(*) Etapa implícita - ver critério geral 4.5.

(**) Erro de escrita - ver critério geral 6.Š ‹" œ1%

Exemplo 2

" # 3 3 " # 3 3'$ 3 '$ 3

" $ 3

' $ 3

#$

œ œ œÎÎ

œ œ -3=" "' ' 1

Cotação a atribuir: ! " ! Ð! ! !Ñ # Ð" " œ $(*) (**)Ñ

(*) O examinando troca D D" # com

(**) No último passo deve ser atribuído 1 ponto, pois a determinação do argumento fica mais simples -

ver critério geral 4.4.

435/C/6

2. .................................................................................................................................... 11

Referir que tem um argumento tal que ............................2 (1+1) D ) )! 1#

Referir que tem argumento .................................................................2 D$ $ )

Referir que ........................................................................... 5 (1+4) ! $ )$#1

Conclusão ...........................................................................................................2


Exemplo 1

Seja D œ -3= D œ -3= $ − Ó !ß Ò3 ) 3 ) ) $ $ 1#

! ! $ ) )1 1# #

$

Logo, se não pode pertencer ao quarto quadrante.$ − Ó !ß Ò D)$#1 , $

Cotação a atribuir: # # & # œ ""

Exemplo 2

D œ -3= D œ -3= $3 ) 3 ) $ $

Logo o argumento de é triplo do argumento de . Se pertence ao 1.º quadrante, nunca pode D D D D$ $

pertencer ao quarto quadrante, uma vez que o maior ângulo possível de , o seu triplo nuncaD Š ‹¸1#

chegaria ao 4.º quadrante, ficando pelo terceiro quadrante.

Cotação a atribuir: " # % " Ð "Ñ œ ((*)

(*) Deve ser descontado 1 ponto, pois o examinando escreve umana cotação total a atribuir à resposta,

afirmação inequivocamente incorrecta, do ponto de vista formal: (não existemaior ângulo possível de D

tal ângulo) - ver critério geral 6.

V.S.F.F.435/C/7

Exemplo 3

D œ -3=3 )

D œ -3= $$ $3 )

Não sei qual é o , mas sei que pertence ao 1.º quadrante.)

Apesar de os eixos não estarem incluídos, pode ser um número muito próximo de zero (no mínimo) ou)

muito próximo de (no máximo).1#

Assim, se for zero: .) 3 3D œ -3= $ ‚ ! œ -3= ! Ê − " U$ $ $ °

Se for : ) 3 31 1 1# # #

$D œ -3= $ ‚ œ -3=$ $ $

Se fosse poderia ser .) )1 1# #

$ , $

Assim, como não é, só poderá aproximar-se por valores inferiores a .$#1

Logo, tenho a certeza que nunca terá a sua imagem geométrica no quarto quadrante.D$

Cotação a atribuir: # # % # Ð "Ñ œ * (*) (**) (***)

(*) Apesar de, formalmente, o examinando não escrever a dupla desigualdade ! )1# , ela está

expressa na frase «) pode ser um número muito próximo de zero (no mínimo) ou muito próximo de 1#(no máximo)».

(**) O examinando não conclui a dupla desigualdade ! $ )$#1 . Apesar disso, podemos

considerar que ela está quase implícita no resto da resolução (daí os 4 pontos).

(***) Deve ser descontado 1 ponto, pois o examinando escreve umana cotação total a atribuir à resposta,

expressão - ver critério geral 6. inequivocamente incorrecta, do ponto de vista formal ( 1.º Q)Ê −

435/C/8

3.1. ................................................................................................................................. 16

Indicar os valores que a variável pode tomar ................................................ 4 \

Determinar o número de casos possíveis (denominador comumde todas as probabilidades) ....................................................... 3 (ver nota 1)

Escrever correctamente ................................... 3 TÐ\ œ "Ñ (ver notas 1 e 2)

Escrever correctamente ................................ 3 TÐ\ œ " &Ñ, (ver notas 1 e 2)

Escrever correctamente ................................ 3 TÐ\ œ #Ñ (ver notas 1 e 2)

Notas:

1. Se o examinando considerar que o número de casos possíveis é 36 (tiragemcom reposição) e calcular em conformidade as três probabilidades (4/9, 4/9e 1/9), deverão ser atribuídos 3 dos 12 pontos referentes às quatro últimasetapas.

2. Se o examinando não apresentar todas as probabilidades na forma defracção irredutível, deve ser penalizado em 1 ponto, no total da cotação aatribuir à sua resposta.


Exemplo 1

B " " & #

T Ð\ œ B Ñ

3

3

, ' ) ""& "& "&

T Ð\ œ "Ñ œ TÐ\ œ " &Ñ œ% % #

# " "' '

# #

G G ‚ G

G G ,

TÐ\ œ #Ñ œ#

#'

#

G

G

Cotação a atribuir: % $ $ $ $ Ð "Ñ œ "&(*)

(*) Deve ser descontado 1 ponto, pois o examinando na cotação total a atribuir à resposta, não apresenta

todas as probabilidades na forma de fracção irredutível (ver nota 2).

V.S.F.F.435/C/9

Exemplo 2

B " " & #

T Ð\ œ B Ñ

3

3

, # ) "& "& "&

T Ð" Ñ œ ‚ œ œ€ % $' &

"# #$! &

T Ð" & Ñ œ ‚ ‚ œ œ, € % # # %' & ' &

"' )$! "&

T Ð# Ñ œ ‚ œ œ€ # "' &

# "$! "&

Cotação a atribuir: % $ $ $ $ Ð "Ñ œ "&(*)

(*) Deve ser descontado 1 ponto, pois o examinando escrevena cotação total a atribuir à resposta,

expressões - verinequivocamente incorrectas do ponto de vista formal: , eTÐ" Ñ T Ð" & Ñ T Ð# Ñ€ , € €critério geral 6.

Exemplo 3

B ! & ! & œ " ! & " œ " & " ! & œ " & " " œ #

TÐ\ œ B Ñ

3

3

, , , , , ,"' ) ) %$' $' $' $'

Casos possíveis: ' ‚ ' œ $'

! & ! & p % ‚ % œ "' : œ ! & "p % ‚ # œ ) : œ, , , "' )$' $'

" ! &p # ‚ % œ ) : œ " "p # ‚ # œ % : œ, ) %$' $'

Cotação a atribuir: $ $ œ &(*) (**) (***) Ð "Ñ

(*) A forma como o examinando apresenta os valores possíveis da variável não está completamentecorrecta, na medida em que as situações e são apresentadas (erradamente)! & " œ " & " ! & œ " &, , , ,como distintas.

(**) Ver nota 1.

(***) Deve ser descontado 1 ponto, pois o examinando na cotação total a atribuir à resposta, não

apresenta as probabilidades na forma de fracção irredutível (ver nota 2).

435/C/10

Exemplo 4

! & ! & ! & ! &! & " & " &! & " & " &! & " & " &! & " & " &

" & " & " & " & #" & " & " & " & #

, , , , 1 1 , 1 1 1 , ,, 1 1 1 , ,, 1 1 1 , ,, 1 1 1 , ,

1 , , , , 1 , , , ,

TÐ\ œ "Ñ œ œ TÐ\ œ " &Ñ œ œ"# # "' )$! & $! "& ,

TÐ\ œ #Ñ œ œ# "$! "&

B " " & #

T Ð\ œ B Ñ

3

3

,# ) "& "& "&

Cotação a atribuir: % $ $ $ $ œ "'

Exemplo 5

! & ! & ! & ! &! & " & " &! & " & " &! & " & " &! & " & " &

" & " & " & " & # #" & " & " & " & # #

, , , , 1 1 , 1 1 1 1 , ,, 1 1 1 1 , ,, 1 1 1 1 , ,, 1 1 1 1 , ,

1 , , , , 1 , , , ,

TÐ\ œ "Ñ œ œ TÐ\ œ " &Ñ œ œ"' ) "' )$! "& $! "& ,

TÐ\ œ #Ñ œ œ% #$! "&

B " " & #

T Ð\ œ B Ñ

3

3

,) ) #"& "& "&

Cotação a atribuir: % ! ! ! ! œ %(*) (*) (*) (*)

(*) Os valores apresentados pelo examinando não estão coerentes com a tabela apresentada.

V.S.F.F.435/C/11

3.2. ................................................................................................................................. 16

Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, três processos:

1.º Processo

Probabilidade pedida: ou #

% #

G

G G

#

# # #‚"

%‚$ #‚"

Resultado final œ "(

As cotações devem ser atribuídas de acordo com o seguinte critério:

Escrita da fracção ......................................................15 (ver notas 1, 2, 3, 4 e 5)

Resultado na forma de fracção irredutível ........................................1 (ver nota 6)

Notas:

1. O examinando pode começar por indicar o número de casos possíveis e onúmero de casos favoráveis e só depois escrever a fracção.

No entanto, se não o fizer, isto é, se escrever directamente a fracção, nãodeverá ser penalizado.

2. Indicam-se a seguir possíveis respostas do examinando, no que respeita àescrita da fracção, com a respectiva cotação a atribuir.

#

% # %

G

G G G

#

# # # ou ou ............................15 " #‚"

" %‚$ #‚"

#‚#%‚% #‚# ..............................................................................................8

3. Se o examinando indicar o número de casos possíveis e o número de casosfavoráveis, mas não escrever a fracção, deverá ser atribuído à sua respostamenos 1 ponto do que nas situações atrás referidas.

4. Se a fracção escrita pelo examinando não for uma das indicadas acima,nem equivalente, deve ser cotada com 0 (zero) pontos.

5. Exige-se que o examinando explicite a forma como efectuou a contagemdos casos possíveis (escrevendo uma expressão como as dos exemplosfornecidos atrás ou apresentando um esquema), a não ser que oexaminando utilize dados obtidos na resolução da alínea anterior e o valorapresentado esteja de acordo com esses dados.

6. O ponto relativo a esta etapa só pode ser atribuído se a primeira etapa nãotiver sido cotada com 0 (zero) pontos.

435/C/12

2.º Processo

Sejam os acontecimentos e E FE - a quantia retirada é de 2 €F - as moedas retiradas são iguais

T ÐElF Ñ œ œ œTÐE∩FÑTÐFÑ (

"""&("&


Identificação da probabilidade pedida com TÐElFÑ,explicitando os acontecimentos e ............................................................ 3 E F

TÐE ∩ FÑ œ""& (ver ) ...........................................................................5 nota

T ÐF Ñ œ("& (ver ) .................................................................................. 5 nota

T ÐElF Ñ œTÐE∩FÑTÐFÑ ......................................................................................2

T ÐElF Ñ œ"( ..................................................................................................1

Nota:

Exige-se que o examinando explicite a forma como obteve as duasprobabilidades, a não ser que utilize a distribuição de probabilidadesapresentada na alínea anterior.

3.º Processo

! & ! & ! & ! &! &! &! &! &

##

, , , , 1 1 , 1 1 1, 1 1 1, 1 1 1, 1 1 1

1 1

Probabilidade pedida œ œ#"%

"(


Apresentação da tabela e escrita da fracção.......................................................15

Resultado sob a forma de fracção irredutível ....................................................... 1

V.S.F.F.435/C/13

Exemplos de possíveis respostas dos examinandosExemplo 1

: œ"(

" "€ €! & Ð"Ñ ! & Ð#Ñ ! & Ð"Ñ ! & Ð$Ñ, € , € , € , €! & Ð"Ñ ! & Ð%Ñ ! & Ð#Ñ ! & Ð$Ñ, € , € , € , €! & Ð#Ñ ! & Ð%Ñ ! & Ð$Ñ ! & Ð%Ñ, € , € , € , €Cotação a atribuir (1.º processo): "& " œ "'(*)

(*) O examinando explicita a forma como efectuou a contagem dos casos possíveis, apresentando um

esquema (ver nota 5, relativa ao 1.º processo).

Exemplo 2

-: œ G G œ ")% ## #

-0 œ G œ %##

: œ œ% #") *

Cotação a atribuir (1.º processo): "& ! œ "&(*) (**)

(*) A resposta do examinando é equivalente a #

% #

G

G G% #") *

#

# #œ œ , pelo que devem ser

atribuídos os 15 pontos relativos à escrita da fracção #

% #

G

G G

#

# #

(**) o examinando erra o cálculo de e de # % #G G G# # # , pelo que erra o resultado final (apesar da

passagem correcta ).% #") *œ

Exemplo 3

Admita-se que, na alínea anterior, o examinando indica

Soma 1€: %G œ '#

Soma 2€: #G œ "#

e que, na resolução desta alínea, o examinando escreve:

Casos favoráveis: "

Casos possíveis: ' " œ (

: œ"(

Cotação a atribuir (1.º processo): "& " œ "'(*)

(*) O examinando não explicita a forma como efectuou a contagem dos casos possíveis, mas percebe-se

que utiliza dados obtidos na resolução da alínea anterior (ver nota 5, relativa ao 1.º processo).

435/C/14

Exemplo 4

Admita-se que, na alínea anterior, o examinando apresentou a tabela

! & ! & ! & ! &! & " & " &! & " & " &! & " & " &! & " & " &

" & " & " & " & # #" & " & " & " & # #

, , , , 1 1 , 1 1 1 1 , ,, 1 1 1 1 , ,, 1 1 1 1 , ,, 1 1 1 1 , ,

1 , , , , 1 , , , ,


: œ œ% "#! &

Cotação a atribuir (1.º processo): ) " œ *(*)

(*) O examinando não explicita a forma como efectuou a contagem dos casos possíveis, mas percebe-seque utiliza dados obtidos na resolução da alínea anterior (ver nota 5, relativa ao 1.º processo). A fracçãoescrita pelo examinando é equivalente à do segundo exemplo da nota 2, relativa ao 1.º processo, pelo quedeve ser cotada com 8 pontos.

Exemplo 5

-: œ ' ‚ ' œ $' -0 œ œ % : œ # ‚ #%$'

Cotação a atribuir (1.º processo): ! ! œ !(*)

(*) Ver nota 4, relativa ao 1.º processo.

Exemplo 6

Casos possíveis: 2 (soma ou soma ) Casos favoráveis: 1 (soma )œ " œ # œ # : œ"#

Cotação a atribuir (1.º processo): ! ! œ !(*) (**)

(*) Ver nota 4, relativa ao 1.º processo.

(**) Ver nota 6, relativa ao 1.º processo.

Exemplo 7

Admita-se que, na alínea anterior, o examinando obtém a distribuição de probabilidades

B " " & #

T Ð\ œ B Ñ

3

3

, # ) "& "& "&


E F: retiram-se duas moedas iguais : a quantia retirada é €#

T ÐFlE Ñ œ œ œTÐE∩FÑTÐEÑ

""&

# "& "&

"(

Cotação a atribuir (2.º processo): $ & & # " œ "'(*) (*)

(*) Ver nota relativa ao 2.º processo.

V.S.F.F.435/C/15

4.1. ..................................................................................................................................14

Determinar ............................................................................ 5 0 ÐBÑw (ver nota) Derivada de ........................................................................... 1 B#

Derivada de .........................................................................1 /B

Restantes cálculos ...................................................................... 3

Determinar os zeros de .................................................................................. 3 0 w Escrever a equação ................................................ 1 0 ÐBÑ œ !w

Aplicação da lei do anulamento do produto ................................ 1 Restantes cálculos ...................................................................... 1

Estudo do sinal de e consequente conclusão,0 w relativamente à monotonia e extremos de (estudo0que pode ser apresentado através de um quadro) ...............................................4

Primeira linha do quadro (relativa à variável ) ........................ 1 BSinal de ..................................................................................2 0 w

Relação entre o sinal de e a monotonia de .......................1 0 0w

Determinar o mínimo (imagem de ) ................................................................... 2 !

Nota:Se existir evidência de que o examinando pretende determinar a expressão daderivada da função, a cotação mínima a atribuir a esta etapa é de 1 ponto.


Exemplo 1

0 ÐBÑ œ 'B / $B / œ / Ð'B "Ñ $Bw B # B B #

/ Ð'B "Ñ $B œ ! Í / œ ! ” 'B " œ ! ” $B œ ! ÍB # B #ðñòimpossível

Í B œ ” B œ !"'

B !

! !

!

"'

0 ÐBÑ

0ÐBÑ

w

min

0Š ‹ Š ‹" " "' ' "#œ " $ / œ " /

#"Î' "Î'

Cotação a atribuir: #Ð" " !Ñ "Ð" ! !Ñ #Ð" ! "Ñ # œ (

435/C/16

Exemplo 2

0 ÐBÑ œ 'B / $B Þ Ð / Ñ œ 'B / $B /w B # B B # B

' B / $B / œ ! ÍB # B

Í 'B / œ $B / œ ! ÍB # B

Í ' œ $B Í B œ #

B # ! 0 ÐBÑ

0ÐBÑ

w

min

0 ## œ "#" $ Þ Þ / œ " /# # #

Cotação a atribuir: &Ð" " $Ñ "Ð" ! !Ñ #Ð" ! "Ñ # œ "!

Exemplo 3

0 ÐBÑ œ 'B / $B Þ Ð / Ñ œ 'B / $B /w B # B B # B

0 ÐBÑ œw 0

Depois faz-se a tabela de sinais, substitui-se a derivada para achar

valores ou antes e depois dos zeros.

Onde a derivada for a função cresce, onde a derivada for a função decresce.

Cotação a atribuir: &Ð" " $Ñ "Ð" ! !Ñ !Ð! ! ! Ñ ! œ '(*) (*) (*)

(*) Ver critério geral 8.

V.S.F.F.435/C/17

4.2. ..................................................................................................................................14

Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos:

1.º Processo

Equacionar o problema ( ) ................................................................ 2 0ÐBÑ œ %

Referir que é contínua em .............................................................. 2 0 Ò "ß !Ó

Calcular ..................................................................................................2 0Ð "Ñ

Calcular ....................................................................................................... 2 0Ð!Ñ

Referir que ....................................................................... 3 0Ð!Ñ % 0Ð "Ñ

Evocar o Teorema de Bolzano para concluir o pretendido ................ 3 (ver nota)

Nota:Se o examinando conclui o pretendido, mas não refere que a conclusãoresulta do Teorema de Bolzano, devem ser atribuídos 2 dos 3 pontosprevistos para esta etapa.

2.º Processo

Equacionar o problema ( ) ................................................................ 2 0ÐBÑ œ %

Considerar a função , definida por ....................................1 1 1ÐBÑ œ 0ÐBÑ %

Referir que é contínua em ...............................................................1 1 Ò "ß !Ó

Calcular .................................................................................................. 2 1Ð "Ñ

Calcular ........................................................................................................2 1Ð!Ñ

Referir que e têm sinais contrários............................................ 3 1Ð!Ñ 1Ð "Ñ

Evocar o Teorema de Bolzano (ou o seu corolário) para concluiro pretendido ........................................................................................ 3 (ver nota)

Nota:Se o examinando conclui o pretendido, mas não refere que a conclusãoresulta do Teorema de Bolzano (ou do seu corolário), devem ser atribuídos2 dos 3 pontos previstos para esta etapa.

435/C/18

Exemplos de possíveis respostas dos examinandosExemplo 1

" $B / œ % Í $B / $ œ !

1ÐBÑ

# B # Bðóóóñóóóò1Ð "Ñ œ $ / $ 1Ð!Ñ œ $ 1Ð "Ñ ‚ 1Ð!Ñ !

Logo, a função tem pelo menos um zero em 1 Ó "ß !Ò

Cotação a atribuir (2.º processo): # " ! # # $ # œ "# (*)

( O examinando não refere que a conclusão resulta do Teorema de Bolzano.*)

Exemplo 2

Cotação a atribuir: ! (*)

( Ver critério geral 7.*)

Exemplo 3

" $B / œ % Í $B / œ $ Í B / œ " Í B œ " ” / œ "# B # B # B # B

Í B œ " ” B œ "/

Como , é verdade. − Ó "ß !Ò"/

Cotação a atribuir (1.º processo): # ! ! ! ! ! œ #

V.S.F.F.435/C/19

5.1. ..................................................................................................................................14

Este exercício pode ser resolvido por, pelo menos, quatro processos:

1.º Processo

Substituir, na expressão da função , por ............ 10 Z B #1 (ver nota 1)

Z Ð# Ñ ¸ &!$1 (ver nota 2) ..........................................................................4

Notas:1. Se o examinando substituir, na expressão da função , por ,Z B $'!

deve ser penalizado em 5 pontos.

2. Se o examinando não apresentar o resultado arredondado àsunidades, ou não o arredondar correctamente, deve ser penalizado em2 pontos.

2.º Processo

Substituir, na expressão da função , por ...................................... 3 Z B 1 Z Ð Ñ ¸ #&" $#(1 , ........................................................................................... 4

# ‚ #&" $#( ¸ &!$, .............................................................. 7 (ver nota 1)

Notas:1. Se o examinando não apresentar o resultado arredondado às

unidades, ou não o arredondar correctamente, deve ser penalizado em2 pontos.

2. Se o examinando substituir, na expressão da função , por ,Z B ")!deve ser penalizado em 5 pontos, na cotação total a atribuir à alínea,sem prejuízo do critério geral 1.

3.º Processo

Z ÐBÑ œ )! Ð" BÑw cos ................................................................................2

Z ÐBÑ œ ! Í B œ "w cos ............................................................................ 1

Z ÐBÑ œ ! Í B œ ! ” B œ #w 1 (ver nota 1) ........................................2

Z ÐBÑ ! Í B − Ó ! ß # Òw 1 (ver nota 2) .................................................1

Concluir que a função é máxima para ....................... 2 B œ #1 (ver nota 2)

Substituir, na expressão da função , por ........................................2 Z B #1

Z Ð# Ñ ¸ &!$1 (ver nota 3) ..........................................................................4

435/C/20

Notas:1. O examinando pode começar por indicar a expressão geral dos

ângulos cujo co-seno é , e só depois indicar as soluções da equação"Z ZwÐBÑ œ !, no domínio da função . Neste caso, os 2 pontosatribuídos à equivalência Z ÐBÑ œ ! Í B œ ! ” B œ #w 1deverão ser distribuídos da seguinte forma:

cosB œ " Í B œ #5 ß 5 −1 ™ ........................ 1 Z ÐBÑ œ ! Í B œ ! ” B œ #w 1 ...................... 1

2. O examinando pode apresentar o estudo do sinal da derivada e damonotonia da função, por meio de um quadro. Neste caso, se odomínio da função não for respeitado, deve ser atribuído 1 dos 3Zpontos previstos para estas duas etapas.


4. Se o examinando utilizar a unidade grau, em vez da unidade radiano,deve ser penalizado em 5 pontos, na cotação total a atribuir à alínea,sem prejuízo do critério geral 1.

4.º Processo

Esboçar o gráfico da função , obtido na calculadora ........... 2 Z (ver nota 1)

Valor pedido ........................................................12 ¸ &!$ (ver notas 2 e 3)

Notas:1. Se o examinando não respeitar o domínio da função que é oZ ,

intervalo , deve ser penalizado em 1 ponto.Ò!ß # Ó1


3. O examinando pode obter este valor, a partir do gráfico, por doisprocessos diferentes: ou procura directamente o máximo da função ,Zou começa por encontrar o maximizante e determina a sua imagem.

No primeiro caso, terá de existir evidência da procura do máximo dafunção (por exemplo, indicando, no gráfico, a ordenada do pontocorrespondente), sem a qual não devem ser atribuídos os 12 pontosdeste passo.

No segundo caso:• a substituição de por (ou por um valor aproximado de ), naB # #1 1

expressão de , deve ser cotada com 8 pontos;Z• o cálculo de deve ser cotado com 4 pontos;Z Ð# Ñ1• se o examinando utilizar a unidade grau, em vez da unidade radiano,

deve ser penalizado em 5 pontos, na cotação total a atribuir à alínea,sem prejuízo do critério geral 1.

V.S.F.F.435/C/21


Exemplo 1Z ÐBÑ œ )!Ð# =/8 # Ñ ¸ &!$1 1

Cotação a atribuir (1.º processo): "! % Ð "Ñ œ "$(*)

(*) Deve ser descontado 1 ponto, pois o examinando escreve umana cotação total a atribuir à resposta,

expressão - verinequivocamente incorrecta do ponto de vista formal: Z ÐBÑ œ )!Ð# =/8 # Ñ1 1

critério geral 6.

Exemplo 2Z Ð# Ñ œ )!Ð# =/8 # Ñ œ "'! )! =/8 # œ "'! ! œ "'!1 1 1 1 1 1 1

Cotação a atribuir (1.º processo): "! # œ "#(*)

(*) Deve ser penalizado em 2 dos 4 pontos - ver nota 2 do 1.º processo.da segunda etapa

Exemplo 3Z Ð")!Ñ œ )!Ð")! =/8 ")!Ñ œ )! ‚ ")" œ "%%)!

Cotação a atribuir (2.º processo): $ ! ! Ð &Ñ œ # Ä !(*) (**) (*) Ver nota 2 do 2.º processo.

(**) Ver critério geral 1.

Exemplo 4Z ÐBÑ œ )! )! -9= B œ ! Í B œ ! 5 #w 15 œ " Ê B œ ' #),5 œ # Ê B œ "# &(,

! ' #) "# &( ∞Z ÐBÑ ! !

Z ÐBÑ

, , +w

A função é crescente em todo o seu domínio. Desta forma, quanto maior for a amplitude do arcoZEFG maior será a capacidade do depósito.

Cotação a atribuir (3.º processo): # " " " ! ! ! œ &(*) (**) (***) (***)

(*) Etapa implícita (ver critério geral 4.5).

(**) Nota 1 do 3.º processo.

(***) Nota 2 do 3.º processo.

Exemplo 5! Ÿ =/8B Ÿ "B ! Ÿ B =/8B Ÿ B ")!ÐB !Ñ Ÿ )!ÐB =/8BÑ Ÿ )!ÐB "Ñ

Cotação a atribuir: !

435/C/22

5.2. ..................................................................................................................................14

Equacionar o problema: .................................. 4 Z ÐBÑ œ $!! (ver nota 1)

Explicação do método utilizado para resolver graficamente aequação ......................................................................................5 (ver nota 2)

B ¸ $ %, (ver nota 3) .....................................................................................5

Notas:

1. O examinando pode não apresentar (explicitamente) esta equação. Havendo evidência de que o examinando procura, por algum processo,

o objecto cuja imagem, por meio de , é , deverá ser-lhe atribuídaZ $!!a cotação de 4 pontos.

2. A deve ser cotada de acordo com oexplicação do método utilizadoseguinte critério:

Apresentação do gráfico da função (queZrespeite o domínio , bem como doÒ !ß # Ó1 )ponto de ordenada e respectiva abcissa .................. 5 $!!

Apresentação do gráfico e do ponto referidos,com algumas incorrecções (por exemplo, ográfico de não respeita o domínio) e/ouZausência de alguns elementos .................................3 ou 4

Ausência de explicação, simples referênciasdo tipo " " ou utilização deVi na calculadoraum processo não gráfico, como, por exemplo,uma tabela.......................................................................... 0

3. A escrita da solução da equação deve ser cotada de acordo com oseguinte critério:

(apresentação do resultado arredondado às décimas, de1.º Casoacordo com o enunciado):

Resposta ..................................................................... 5 $ %,

Resposta ..................................................................... 3 $ &,

Resposta ou ...................................................... 2 $ $ $ ', ,

Outros resultados ..................................................................0

V.S.F.F.435/C/23

(apresentação do resultado com aproximação superior às décimas):2.º Caso

Valor no intervalo ............................................... 3 Ò $ %% $ %'Ó, ,à

Valor fora do intervalo anterior, mas pertencente aointervalo ..............................................................2 Ò $ %! $ &!Ó, ,à

Valor fora do intervalo anterior, mas pertencente aointervalo ..............................................................1 Ò $ $! $ '!Ó, ,à

Outros resultados ........................................................................ 0

(apresentação do resultado arredondado às unidades):3.º Caso

Valor igual a ......................................................................... 1 $

Outros resultados ........................................................................ 0


Exemplo 1

A amplitude terá de ser de 3,4 radianos para que existam 300 m de combustível no depósito.$

Cotação a atribuir: % & & œ "%(*)

(*) Ver a nota 1 (página anterior).

Exemplo 2$!! œ )!ÐB =/8BÑIndo à tabela, verifica-se que, quando B ¸ $ & C ¸ $!!, Cotação a atribuir: % ! ! œ %(*) (*)

(*) O examinando desrespeita a indicação, expressa no enunciado, de que se pretendia uma resoluçãográfica da equação.

435/C/24

Exemplo 3)!ÐB =/8BÑ œ $!!

Para que existam 300 m de combustível no depósito, o ângulo terá de ter uma amplitude de 3,5 radianos.$

Cotação a atribuir: % % $ œ ""(*)

(*) O gráfico apresentado pelo examinando não respeita o domínio da função (uma parte do gráfico está

contida no terceiro quadrante), mas contém todos os elementos necessários.

Exemplo 4

)!ÐB =/8BÑ œ $!! Í B =/8B œ Í B =/8B $ (& œ !$!!)! ,

B ¸ $ %%,

Cotação a atribuir: % & $ œ "#

V.S.F.F.435/C/25

5.3. ..................................................................................................................................14

B œ#$1 (ver nota 1)....................................................................... 12

Escrever uma equação trigonométrica queconduza à resolução do problema.................................. 6

Solução da equação .......................................................3

Valor de .................................................................... 3 B

Z ¸ *)Œ #$1 (ver notas 2 e 3).........................................................2

Notas:1. O examinando pode recorrer a um esquema para concluir que

B œ#$1 .

Neste caso, a cotação a atribuir a esta etapa deverá ser feita do

seguinte modo:

Esquema adequado, acompanhado de justificaçãocorrecta e completa.........................................................................12

Esquema adequado, mas não acompanhado dejustificação ........................................................................................7

Esquema inadequado ...................................................................... 0

2. Se o examinando não apresentar o resultado arredondado às

unidades, ou não o arredondar correctamente, deve ser penalizado em

1 ponto.

3. Não deve ser valorizado o cálculo de expressões do tipo Z Š ‹1# ,

Z ZŠ ‹ Œ1 1% % #

" Z Ð Ñ, , etc., a não ser que provenham deß

algum raciocínio correcto, e o examinando tenha cometido algum erro

de cálculo (que tenha conduzido a alguma das expressões referidas,

ou a outras do mesmo tipo).

435/C/26


Exemplo 1

ESF œ GSF -9= ÐESFÑ œ ! & ESF œs s s s , logo 1$

ESG œ # ‚ œs 1 1 1$ $ $

# #Z ¸ *)Œ

Cotação a atribuir: "#Ð' $ $Ñ # œ "%

Exemplo 2

B œ1#

Z œŠ ‹1#

œ )! =/8 œŠ ‹1 1# #

œ )! " œŠ ‹1#

œ %! )! ¸ %'1

Cotação a atribuir: ! ! œ !(*)

(*) De acordo com a nota 3, não deve ser valorizado o cálculo de Z Š ‹1# .

V.S.F.F.435/C/27

Exemplo 3

=/8 œ Í œ œ # œα α 1 1" # % % ## ' ' $ $ $ 1 1 1 1 1

O arco do depósito, quando a altura é , é " # # # #% $ $ $ $

1 1 1 1 Z œ )! =/8 ¸ *)Œ ŒCotação a atribuir: "# Ð' $ $Ñ # œ "%

Exemplo 4

B œ # ‚1$ Z œ )! =/8 ¸ *)Œ Œ# # #

$ $ $1 1 1

Cotação a atribuir: ( œ *(*) 2(*) Ver nota 1.

435/C/28

5.4. ..................................................................................................................................14

Na tabela seguinte, indica-se como esta questão deve ser cotada:

( ) ( ) ( )

O exam

Forma Nível 1 Nível 2 Nível 3Conteúdo

‡ ‡ ‡

inando exclui três opções. 14 12 10

O examinando exclui duas opções. 9

correcta-mente

correcta-mente 7 5

O examinando exclui uma opção. 5 3 1

correcta-mente

( ) - Redacção clara, bem estruturada e sem erros (de sintaxe, de pontuação‡ Nível 1e de ortografia).

- Redacção satisfatória, em termos de clareza, razoavelmente estruturada,Nível 2com alguns erros cuja gravidade não afecte a inteligibilidade.

- Redacção confusa, sem estruturação aparente, presença de errosNível 3graves, com perturbação frequente da inteligibilidade.

Pode acontecer que uma composição não se enquadre completamente num dos trêsníveis descritos e/ou contenha características presentes em mais do que um deles.Nesse caso, deverá ser atribuída uma pontuação intermédia.

Nota:Se o examinando se limitar a escolher uma das opções (correcta ou não), nãoapresentando qualquer justificação, deverá ser-lhe atribuída a cotação de 0 pontos.


Exemplo 1O gráfico C não se adequa à situação descrita pois, à medida que o tempo passa, a altura do combustível nodepósito nunca diminui.O gráfico D também não é o correcto, pois, neste gráfico, a taxa de variação, em cada instante, é constante.Ora, dada a forma do depósito, há instantes em que a taxa de variação da altura do combustível é maior doque noutros, pelo que a taxa de variação não é constante.O gráfico A também não traduz a situação descrita, porque, dada a forma do depósito, é nos primeiros enos últimos instantes que a taxa de variação da altura do combustível é maior, ao contrário do que o gráficoA nos mostra.Portanto, o gráfico correcto é o gráfico B.

Cotação a atribuir: 14(*)

(*) o examinando exclui correctamente três opções, numa redacção clara, bem estruturada e sem erros (desintaxe, de pontuação e de ortografia).

V.S.F.F.435/C/29

Exemplo 2A curva C nunca poderia ser, pois a altura do combustível nunca poderia diminuir.A curva D também não demonstra o que acontece, pois o tempo não é directamente proporcional à altura.Penso que será a curva A, pois a altura do combustível irá aumentar com o tempo, e quando o depósitoestiver cheio, o volume do combustível mantém-se constante e, consequentemente, a altura.


(*) o examinando exclui correctamente duas opções (gráficos C e D), numa redacção clara, bemestruturada e sem erros (de sintaxe, de pontuação e de ortografia).

Exemplo 3O gráfico B não pode ser aceite pois a altura nunca estabiliza, continuando sempre a crescer.O gráfico C também não pois este indica que a determinado ponto a altura ia começar a diminuir.O gráfico D também não pode ser o da função pois a altura aumenta sempre, como se o depósito não2tivesse limites.Portanto, o gráfico correcto é o gráfico A.


(*) o examinando exclui correctamente uma opção (gráfico C), numa redacção satisfatória, em termos declareza, razoavelmente estruturada, com alguns erros cuja gravidade não afecta a inteligibilidade.

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