4.4 Secções planas de superfícies e sólidos

Cidália Fonte – Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra

4.4 Secções planas de superfícies e sólidos

Geometria Descritiva

2006/2007


Secções planas de superfícies e sólidos

Quando um plano intersecta uma superfície geométrica determina sobre ela uma linha plana que pertence à superfície A linha obtida pode ser

uma circunferência rectas (problema mais simples)

A linha pode ser uma curva complexa Ela terá que ser identificada ponto a ponto É útil conhecer a tangente à secção plana em cada ponto

A tangente à secção plana é a recta de intersecção do plano secante que gera a secção plana com o plano tangente à curva nesse ponto


Secções planas de poliedros

Aplicação a prismas pirâmides e outros poliedros 1º caso: O plano secante é projectante

A secção fica determinada pela intersecção de cada aresta do sólido com o plano secante projectante

2º caso: O plano secante não é projectante A secção é obtida através da intersecção do plano que

contém cada face do sólido com o plano secante


X


Aplicação a prismas pirâmides e poliedros

Determinar a secção plana definida pelo plano de frente 1 com o prisma hexagonal regular com bases de nível A secção é o rectângulo MNN’M’

(h1) N1 N’1

N2

N’2

M1 M’1

M2

M’2


X


Aplicação a prismas pirâmides e poliedros Determinar a secção plana definida pelo plano vertical com uma pirâmide pentagonal regular assente em 0 A secção é o polígono MNPQRPara se obter a secção em verdadeira grandeza fez-se o seu rebatimento sobre o plano horizontal

N2

M2

P2Q2

R2

N1

M1P1

Q1

R1

h

f

Nr1

Pr1

Mr1

Qr1

Rr1


Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas

1º caso: O plano secante passa pelo vértice da superfície O plano intersecta a directriz

Num ponto: A secção plana é a geratriz da superfície que passa nesse

ponto Em vários pontos:

A secção plana é constituída por geratrizes

O plano não intersecta a directriz A secção plana reduz-se a um ponto (o vértice da superfície)


X

V1

V2

d1

d2(f)

Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas A superfície é definida pelo vértice V e pela directriz d (num

plano de topo) O plano secante é definido pelas rectas r e s concorrentes em

V (portanto o plano contém o vértice da superfície) Determinar a secção definida na superfície pelo plano secante

A2

A1

g2

B2

B1

g’2

i2r2

s2

r1

s1

i1

g1

g’1

Identificam-se as geratrizes que definem a secção plana identificando dois dos seus pontos pertencentes à directriz (pontos A e B) O plano secante intersecta o plano que

contém a directriz segundo a recta i, que determina sobre a directriz os pontos A e B

A secção plana é constituída pelas geratrizes g e g’


Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas

2º caso: O plano secante não passa pelo vértice da superfície A secção não contém nenhuma geratriz A secção é constituída pelos pontos de intersecção

de cada uma das geratrizes com o plano secante


Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução As secções planas de superfícies cónicas ou

cilíndricas de revolução são cónicas: Elipses Parábolas Hipérboles

Considerando que uma circunferência é o caso particular de uma elipse um ponto é um caso particular de uma circunferência duas rectas paralelas são uma parábola degenerada duas rectas coincidentes são uma parábola degenerada duas rectas concorrentes são uma hipérbole degenerada


Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução

2º caso: O plano secante não passa pelo vértice da superfície Se o plano secante intersecta todas as

geratrizes da superfície a cónica é uma elipse (curva fechada)

Se o plano secante é paralelo apenas a uma das geratrizes a cónica é uma parábola

Se o plano secante é paralelo apenas a duas geratrizes a cónica é uma hipérbole



Hipérbole

Parábola

Círculo

Elipse

Para

lelo



Note-se que: A secção plana de uma superfície cilíndrica nunca

pode ser uma parábola ou uma hipérbole O plano secante não pode ser paralelo a uma ou a duas

geratrizes sem ser paralelo a todas

Para determinar se a secção plana de uma superfície cónica é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole faz-se passar pelo vértice um plano paralelo ao plano secante O plano determina quais são as geratrizes

paralelas a


X

V2

V1

Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar que tipo de superfície é a secção plana

definida pelo plano na porção de superfície cónica de revolução indicada

h

f

f

h

r2

r1

A2

A’2

B2

B’2

A1

A’1B’1

B1

Considera-se uma recta r, de frente, paralela ao plano e que passa no vértice Considera-se o plano paralelo a e que contém r Este plano intersecta a superfície segundo duas geratrizes AVA’ e BVB’ que são portanto paralelas a A secção plana é portanto uma hipérbole

Nota: Se a directriz da superfície cónica não estivesse sobre o plano frontal de projecção teríamos que o colocar nessa posição fazendo uma mudança do plano frontal de projecção ou determinando nova directriz sobre este plano


X

Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar a secção plana definida pelo plano

de topo no cone indicado

A projecção cilíndrica de uma elipse é sempre uma elipse

Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes

A elipse resultante é ABCDEFGH

Para que apareça em verdadeira grandeza fez-se o seu rebatimento

(f)

A1E1

D1

F1

C1

G1

B1

H1

B2A2

D2

C2

E2

F2H2

G2

Circunferência (caso particular de uma elipse)Segmento rectilíneo (elipse degenerada)

O plano de topo intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse

Ar1

Hr1Gr1

Fr1

Er1

Br1

Cr1 Dr1


X

Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Determinar a secção plana definida pelo

plano no cone indicado

f

h

P1

P2

f1

h1

X1

P21

O plano não é projectanteFaz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topoO plano intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipseDeterminam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizesA elipse resultante é ABCDEFGHPara que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento


X



f

h

f1

H21G21

A21

E21

B21C21D21F21

h1

A1

E1D1

F1

C1

G1

B1

H1

X1



X



f

h

f1

H21G21

A21

E21

B21C21D21F21

h1

A1

E1D1

F1

C1

G1

B1

H1

A2B2

D2

C2 E2

F2G2

H2

X1



X



f

hh1

A1

E1D1

F1

C1

G1

B1

H1

A2B2

D2

C2 E2

F2G2

H2



X


plano no cone indicado f1

O plano não é projectanteFaz-se uma mudança do plano horizontal de projecção de forma a transformar num plano verticalO plano é paralelo apenas a uma geratriz do cone (que passa no vértice e no ponto A), logo a secção plana é uma parábolaDetermina-se as suas projecções através das projecções dos pontos de intersecção do plano com as geratrizes

P1

P2

X 1

h1

P11

A11

A2

h

f


X


plano de topo no duplo cone indicadoConsidera-se o plano paralelo a e que passa pelo vértice do duplo coneO plano intersecta o cone segundo duas geratrizes AVA’ e BVB’ que são paralelas a Logo a secção plana definida pelo plano é uma hipérboleOs pontos M e N são os vértices da hipérbole e C é o ponto médio do eixo transverso MN da hipérbole

O plano frontal é um plano de simetria da hipérbole, logo o eixo transverso é frontal

Para que a hipérbole apareça em verdadeira grandeza é necessário fazer o seu rebatimento

V2

V1

h

f

C2

M2

N2

f

h

C1

A’2B’2

A2B2

A1

A’1

B’1

B1

h


Secções planas de superfícies de revolução 1º caso: O plano secante contém o eixo da superfície

A secção plana é uma meridiana da superfície

2º caso: O plano secante é perpendicular ao eixo da superfície A secção plana é um paralelo da superfície

3º caso: O plano secante é oblíquo ao eixo da superfície A secção plana é determinada por pontos que podem ser determinados

sobre cada paralelo ou sobre cada meridiana Determina-se a recta de intersecção do plano secante com o plano do

paralelo ou da meridiana e consideram-se os pontos comuns à recta obtida e ao paralelo ou à meridiana


Secções planas de uma esfera A secção plana de uma esfera é sempre um

círculo O centro do círculo é o pé da perpendicular baixada do

centro da esfera para o plano secante As projecções do círculo são elipses

O eixo maior é a projecção do diâmetro paralelo ao plano de projecção respectivo (projecta-se em verdadeira grandeza)

O eixo menor é a projecção do diâmetro perpendicular ao diâmetro paralelo ao plano de projecção em questão.


X

Secções planas de uma esfera Determinar a secção plana definida pelo

plano de topo na esfera representadaO centro do círculo correspondente à secção plana é o ponto CA projecção frontal da secção reduz-se ao segmento de recta A2B2

A projecção horizontal é a elipse com centro em C1, eixo maior E1D1=A2B2 eixo menor A1B1

O1

O2

(f)

A2

B2

A1

F2G2C2D2E2I2 J2

C1B1

F1

G1E1

D1

J1

I1

(f)(f)


4.5 Intersecção de rectas com sólidos

Geometria Descritiva

2006/2007


Intersecção de rectas com sólidos

Faz-se passar pela recta um plano auxiliar que intersectará o sólido segundo uma secção plana

Os pontos comuns à recta e à secção plana são os pontos procurados


X

Intersecção de rectas com sólidos

Determinar a intersecção de um octaedro regular com 3 cm de aresta e uma diagonal vertical, tendo o ponto de menor cota a cota zero, com a recta r

C1

A2B2

r1

r2(f)

V1

A1

B1

D2E2

C2 F2

S1

R1

R2

S2

D1

E1F1

Considera-se o plano de topo que contém a recta r Determina-se a secção plana definida no octaedro pelo plano A secção obtida é um polígono com vértices A, B, C, D, E e F Determinam-se os pontos de intersecção da secção plana com a recta r (pontos R e S) Para obter a secção em verdadeira grandeza pode rebater-se o plano


Intersecção de uma recta com superfícies cónicas e cilíndricas

Faz-se passar pela recta um plano auxiliar que intersectará a superfície segundo uma secção plana Por exemplo o plano que passa pelo vértice

Os pontos comuns à recta e à secção plana são os pontos procurados


X

d1

s2

r1

r2

s1

(f)d2

Intersecção de uma recta com superfícies cónicas e cilíndricas Determinar a intersecção da recta s com a superfície

A2

A1

i2

Considera-se o plano auxiliar definido pela recta s e pela direcção das geratrizesA intersecção deste plano com o plano que contém a directriz é a recta iA intersecção da recta i com a directriz define os pontos A e BPor A e B passam as geratrizes g e g’ que constituem a secção planaA intersecção da recta s com a secção plana (são complanares) definem os pontos procurados P e Q

r’1

B2

B1

g2

g1

P1

P2

r’2

g’2

cilíndrica definida pela directriz d (situada num plano de topo) e pela direcção das geratrizes r

Q1

Q2

i1

g’1


X

Utiliza-se um plano auxiliar projectante que contém a recta

Determina-se a secção plana formada na esfera pelo plano auxiliar

Determina-se a intersecção da secção plana com a recta Para se obter a posição dos pontos com maior

precisão pode rebater-se a secção plana e a recta em torno por exemplo de uma recta frontal f

Intersecção de uma recta com uma esfera

O1

O2

(f)

C2

C1

r1

r2

f1

f2

rr2P2

P1B1

Br2

B2

Pr2

Ar2

A2

A1

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4.4 Secções planas de superfícies e sólidos