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4. TRIANGULARIZAAO DE GAUSS

Triangularizao de Gauss ou dispositivo prtico, tambm conhecido como

escalonamento, que pode ser feito na forma matricial, utilizando a matriz completa (matriz formada

pelos coeficientes das incgnitas e pelos termos independentes).

As caractersticas importantes deste mtodo so:a)

Quando a soluo existe, ele d sempre a soluo.

b)

Ele mostra a inexistncia das solues, quando o sistema impossvel.

c) Ele se fundamenta em trs operaes bsicas (transformaes elementares):

I. A mudana da ordem na qual as equaes so escritas.

II. Multiplicar uma equao por um nmero diferente de zero.

III. Multiplicar uma equao por um nmero no nulo e adicion-la a outra equao.

Observaes:

a) Anular os coeficientes da 1 incgnita comparando a 1 equao com as demais.

b) Anular os coeficientes da 2 incgnita comparando a 2 equao com as restantes, exceto da

1.c) Anular os coeficientes da 3 incgnita comparando a 3 equao com as restantes, exceto das

1 e 2.

d)

E assim sucessivamente.

Exemplos:

1)

Resolver o sistema cuja matriz completa associada

.

2)

Resolver o sistema .3) Resolver o sistema .

Exerccios:1) Por escalonamento de matrizes, resolver os sistemas:

a) b) c)

d)

e) f)

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g)

h)

i)

2)

Obter o valor da incgnita z:

a) b)

DISPOSITIVO PRTICO DE GAUSS (D.P.G)

Vamos usar o Dispositivo Prtico de Gauss, que nada mais do que um algoritmo que nosauxilia na resoluo de grande parte dos sistemas lineares. Tal algoritmo consiste em dividir osistema em matrizes quadradas de ordem 2 e resolver seus determinantes de modo a se obter um

sistemaequivalentetriangularizado.Tomemos um exemplo prtico para ilustrar o tema ...

Seja o sistema linear

1zyx

2zy3x4

4zy3x2

, representaremos o sistema com o uso do D.P.Gda

seguinte maneira :

Equao x y z Termo indep.

E1 2 3 -1 4

E2 4 -3 1 2

E3 1 -1 1 1

E2 // -18 6 -12

E3 // -5 3 -2

E3 // // -24 -24

Algoritmo de construo da tabela ...

1 ) As equaes E1, E2 e E3 so compostas pelos coeficientes das incgnitas de cadaequao respectivamente, bem como seus termos independentes.

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2 ) Clculo da equao E2 ... Tomamos os coeficientes referentes a x em E1 e E2bem

como os coeficientes referentes a y em E1 e E2 e calculamos o determinante34

32

= -18,

analogamente, tomamos os coeficientes referentes a x em E1 e E2bem como os coeficientes

referentes a z em E1 e E2 e calculamos o determinante 14

12

= 6 e finalmente tomamos os

coeficientes referentes a x em E1 e E2bem como os termos independentes em E1 e E2 e

calculamos o determinante24

42= -12.

3 ) Clculo da equao E3 ... Tomamos os coeficientes referentes a x em E1 e E3bem

como os coeficientes referentes a y em E1 e E3 e calculamos o determinante11

32

= -5,

analogamente, tomamos os coeficientes referentes a x em E1 e E3bem como os coeficientes

referentes a z em E1 e E3 e calculamos o determinante11

12 = 3 e finalmente tomamos os

coeficientes referentes a x em E1 e E3bem como os termos independentes em E1 e E3 e

calculamos o determinante11

42= -2.

4 ) Clculo da equao E3 ... Tomamos os coeficientes referentes a y em E2 e E3bem

como os coeficientes referentes a z emE

2 eE

3e calculamos o determinante 35

618

= -24,

analogamente, tomamos os coeficientes referentes a y em E2 e E3bem como os termos

independentesem E2 e E3e calculamos o determinante25

1218

= -24.

5 )Temos portanto o sistema equivalente formado pelas equaes E1, E2 e E3()...

24z24

12z6y18

4zy3x2

Resolvendo o sistema a partir da terceira equao temos: z = 1, y = 1 e x = 1 .

Logo 1,1,1S .

Exerccios :

1 ) Resolva o sistema utilizando o dispositivo prtico de Gauss.

1z3y2x7

6zy4x211zy4x3

4,3,1S

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2 ) Resolva o sistema utilizando o dispositivo prtico de Gauss.

2z2yx

3zy2x4

7zyx2

11,

3

52,

3

20S

3 ) Resolva o sistema utilizando o dispositivo prtico de Gauss.

4w3z2y2x4

3w2z2y4x3

2wz2y3x

3w2z4y3x2

86,4;86,24;15,24;88,19S