Z04 • Istanstke aplicada

A média é:

o+b2

e a variânciaé:

(b_O)212

:'~:'~,'., O que você, . deve aprender• Como encontrar probabilidades

para variáveisnormalmentedis-tribuídasusando uma tabela eusandotecnologia.

Mesma

-3 -2 -1 O 2 3

--+-~+,--+---'--+--f--+,_XO I 2 3 4 5

Idade do computador (em anos)

f(x)

b, I i

~\

(a) Verifiqueque a área sob a curvaé 1.

(b) Encontrea probabilidadede x cairentre 0)5 e 0,5.

(c) Encontrea probabilidadede x cairentre 0,3 e 0,7.

66. Distribuiçãouniforme. Considereque a funçãodensidade uni-formef(x) = 0,1 para 10 :<:: x :<:: 20. A média dessa distribuiçãoé15 e o desviopadrãoé de aproximadamente2,89.(a) Desenhe um gráficoda distribuiçãoe mostre como a área

sob a curvaé 1.

(b) Encontrea probabilidadede x cairentre 12 e 15.

(c) Encontrea probabilidadede x cairentre 13 e 18.

m Iíistribuícões normais: encontrandoprobabilidades

Prebebilidede ~ dlstribukões normais

g Probabilidade e distribui~ões normaisSe uma variável aleatória x é normalmente distribuída, você pode encontrar a

probabilidade de x cair em um dado intervalo ao calcular a área sob a curva normalpara um dado intervalo. Para encontrar a área sob qualquer curva normal, você pode,primeiro, converter os limites superiores e inferiores do intervalo para z-escores. De-pois, usar a distribuição normal padrão para encontrar a área. Por exemplo, considereuma curva normal com /1 = 500 e a = 100, como no gráfico superior à esquerda. O valorde x um desvio padrão acima da média é /1 + a = 500 + 100 = 600. Agora, considere acurva normal padrão no segundo gráfico à esquerda. O valor de z um desvio padrãoacima da média é /1 + a = O + 1 = 1. Como um z-escore de 1 corresponde a um valor x de600, e áreas não são mudadas com uma transformação para uma curva normal padrão,as áreas sombreadas no gráfico são iguais.

{xemplo 1Incontrando probebilidades para distribuicões normais

Uma pesquisa indica que as pessoas usam seus computadores por uma médiade 2,4 anos antes de trocá-los por uma máquina nova. O desvio padrão é 0,5 anos. Umdono de computador é selecionado de forma aleatória. Encontre a probabilidade deque ele vá usar o computador por menos de 2 anos antes de trocá-lo. A variável x énormalmente distribuída.

SoluçãoO gráfico mostra uma curva normal com /1 = 2,4 e a = 0,5 e uma área sombreada

para x menor que 2. O z-escore que corresponde a 2 anos é:

z= X-/1 = 2-2,4 =-0,80.a 0,5

A Tabela Normal Padrão mostra que P(z < -0,8) = 0,2119.A probabilidade de queo computador seja substituído em menos de 2 anos é 0,2119.

InterpretaçãoPortanto, 21,19% dos donos vão trocar o computador em menos de 2 anos.

Capítulo 5 • lllstribuirães d~ prcbabllidades normais Z05Tente Um Ford Focus de transmissão manual percorre uma média de 24 milhas porvocê galão (mpg) na cidade, dirigindo com um desvio médio de 1,6 mpg. Um Focus1 é selecionado aleatoriamente. Qual é a probabilidade que percorra mais do

que 28 metros por galão? Suponha que a quilometragem da gasolina seja normalmentedistribuída. (Adaptado de LI.S. Department uf ElIergl/.)

a. Construa um gráfico.

b. Encontre o z-escore que corresponde a 28 milhas por galão.

c. Encontre a área à direita do z-escore.

d. Escreva o resultado como uma sentença.Resposta 1m p. A40

{xemplo Z

Incontrando probabilidades para distribuições normais

Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma pessoa gasta umamédia de 45 minutos, com um desvio padrão de 12 minutos naquela loja. Esse tempogasto na loja é normalmente distribuído e representado pela variável x. Uma pessoaentra na loja. (a) Encontre a probabilidade, para cada intervalo de tempo listado a se-guir, que essa pessoa fique na loja. (b) Interprete sua resposta se 200 pessoas entraremna loja. Quantos compradores você esperaria que houvesse na loja para cada intervalode tempo listado a seguir?

1. Entre 24 e 54 minutos.

2. Mais que 39 minutos.

Solução1. (a) O gráfico à direita mostra uma curva normal com f.L = 45 minutos e (J = 12

minutos. A área para x entre 24 e 54 minutos está sombreada. Os z-escores quecorrespondem a 24 minutos e a 54 minutos são:

e = 54-45 =175Z2 ' .12

z = 24-45 =-1751 12 '

Então, a probabilidade de que um consumidor fique na loja por um períodoentre 24 e 54 minutos é:

P(24 < x < 54) = P( -1,75 < z < 0,75)= P(z < 0,75) - P( z < -1, 75)= 0,7734 - 0,0401 = 0,7333.

(b) InterpretaçãoEntão, 73,33% dos consumidores estarão na loja entre 24 e 54 minutos. Se 200pessoas entrarem na loja, você esperaria por 200 (0,7333)= 146,66 (ou cerca de147) consumidores para estarem na loja entre 24 e 54 minutos.

2. (a) O gráfico à direita mostra uma curva normal com f.L = 45 minutos e (J = 12minutos. A área para x maior que 39 minutos está sombreada. O z-escore quecorresponde a 39 minutos é:

z = 39 - 45 = -O 5.12 '

Então, a probabilidade que uma pessoa fique na loja por mais de 39 minutos é:

P(x > 39) = P(z > -0,5) = 1 - P(z < -0,5) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

. 211 :3553337

norMalcdf(-10000,- CI"I• v.'

No Exemplo1, você pode usar uma TI--83/84 para encontrara probabilidadeuma vezque o limitesuperiorseja con-vertidopara umz-escore.

Dica de estudo•Outra forma de escrever aresposta para o Exemplo-l-éP(x < 2) = 0,2119.------------------------

10 20 30 40 50 60 70 80

Tempo (em minutos)

10 20 30 40 50 60 70 80

Tempo (em minutos)

Z06 • btatística aplicada

Retratando o mundo

No beisebol, uma média derebatidas é o número de bati-das dividido pelo número deat-bats (usado para cálculosestatísticos no beisebol). Asmédias de. rebatidas de maisde 750 jogadores da Liga deBeisebol em um ano recentepodem ser aproximadas peladistribuição normal, conformemostra o gráfico a seguir. Amédia de rebatidas é 0,269 e o _desvio padrão é 0,009.

Liga de beisebol

0,250 0,270 0,290

Média de rebatidas

Q/lantos por cento dos jogadorestêm uma média de rebatidas de0,275 ou maior que isso? Se há40 jogadores em IInTa escalação,quando você esperatu; ter IInTOmédia de rebatidas de 0,2.75 011

superior a isso?

(b) InterpretaçãoSe 200 pessoas entram na loja, então você esperaria 200 (0,6915) = 138,3 (oucerca de 138) pessoas que fiquem na loja por mais de 39 minutos.

Tente Qual é a probabilidade de que o consumidor no Exemplo 2 fique no supermer-você cado entre 33 e 60 minutos?2

a. Construa um gráfico.

b. Encontre o z- escore que corresponde a 60 minutos e 33 minutos.

c. Encontre a área acumulada para cada z-escore e subtraia a área menor da área maior.

d. Interprete sua resposta se 150 pessoas entrarem na loja. Quantas pessoas você espe-raria que ficassem na loja entre 33 e 60 minutos?

Resposta na p, A40

Outra forma de encontrar probabilidades normais é usar uma calculadora oucomputador. Você pode encontrar probabilidades normais usando o M1N1TAB,o Excele a T1-83/84.

[xemplo 3Usando tecnoloqia para encontrar probabilidades normais

Suponha que os níveis de colesterol dos homens nos Estados Unidos sejam nor-malmente distribuídos, com uma média de 215 miligramas por decilitro e um desviopadrão de 25 miligramas por decilitro. Você seleciona aleatoriamente um homem dosEstados Unidos. Qual é a probabilidade de que o nível de colesterol dele seja menorque 175? Use uma ferramenta tecnológica para encontrar a probabilidade.

SoluçãoO M1N1TAB,o Excel e a T1-83/84 têm recursos que lhe permitem encontrar as

probabilidades normais sem converter para z-escores. Para cada um, você deve espe-cificar a média e o desvio padrão da população, bem como o(s) valoríes) x que deter-mina o intervalo.

MINITAB

Cumulative Distribution FundonNormal with mean = 215.000 and standard deviation= 25.0000

x P[X<=x)175.0000 0.0548

EXCELA I 8 I C

~ ~ORMDIST[175,215,25,TRUE)2 10.054799

TI-83/84

normalcdf[0,175,215,25).0547992894

Capítulo 5 • Distribuições de probabilidades normais 107A partir das telas, você pode ver a probabilidade que o nível de colesterol do

homem escolhido seja menor que 175 é de aproximadamente 0,0548 ou 5,48%.

Um homem dos Estados Unidos é escolhido aleatoriamente. Qual é a probabi-lidade de que o nível de colesterol dele esteja entre 190 e 225. Use uma ferra-menta de tecnologia.

a. Leia o guia de usuário da ferramenta de tecnologia que você está usando.

b. Coloque os dados apropriados para obter a probabilidade.

c. Escreva o resultado como uma sentença.

Tentevocê3

Rt'sposta lia p. A40

o Exemplo 3 mostra uma entre várias formas ·de encontrar probabilidades nor-mais usando o MINlTAB, o Excel e a TI-83/84.

[JI] {xercídosContruindo habilidades básicas e conceitos 8.

Pontuação em matemática no SATProbabilidades computacionaisNos exercícios de 1 a 6, suponha que a variável aleatória x seja

normalmente distribuída com média Jl = 86 e desvio padrão a = 5.Encontre a probabilidade indicada.

1. P(x < 80).

2. P(x < 100).

3. P(x> 92).

4. P(x> 75).

5. P(70 <x < 80).

6. P(85 <x < 95).

Análise gráficaNos exercícios de 7 a 12, suponha que um membro seja selecio-

nado aleatoriamente de uma população representada pelo gráfico.Encontre a probabilidade de que um membro selecionado aleatoria-mente esteja na área sombreada do gráfico. Suponha que a variável xseja normalmente distribuída.

7.

,Ll=518O' = 115

--F'------'--'--'--+---F-_x200 670 800

Pontuação

9.Mulheres norte-americanas com idade

entre 20-34:colesterol total

11-= 1860'= 35,8

-t-"""-----I---+-.:::::..+-x

Pontuação em leitura crítica no SAT

200 <x < 450

75 200 239 300

Taxa total de colesterol (em mg/dL)

(Adaptado de National Center for Health Statistics.),LL= 5030'= 113

10.

-'""F---t-------'t-- x

Mulheres norte-americanas com idadeentre 55-64:colesterol total

,Ll=219O' = 41,6

200 450

Pontuação800

(Fonte: Colíege Board Online.) -T""''-----t----+----'''''i--x95 200 239 340

Taxa total de colesterol (em mg/dL)

Z08 • [statística aplicada

11.Toyota Camry: distância de

frenagem em uma superfície seca

J-l = 137a= 4,76

---i-""'=---------+----="i-~x122 141 15\

Distância de frenagern (em pés)

12.Toyota Camry: distância de

frenagem em uma superfície molhada

J-l = 149a = 5,18

_i-"""=-----+----+-----=-r-_x133 140 149 165

Distância de frenagem (em pés)

Usando e interpretando conceitos

Encontrando probabilidadesNos exercícios de 13 a 20, encontre as probabilidades indicadas.

Se for conveniente, use ferramentas tecnológicas para encontrar asprobabilidades.

13. Altura de homens Uma pesquisa foi conduzi da para medir aaltura de homens norte-americanos. Na pesquisa, os homensforam agrupados por idade. De 20 a 29 anos, as alturas foramnormalmente distribuídas, com uma média de 69,6 polegadas eum desvio padrão de 3,0 polegadas. Um homem que participoudo estudo é selecionado aleatoriamente. (Adaptado de National Cen-ter for Health Statistics.)

(a) Encontre a probabilidade de a altura dele ser menor que 66polegadas.

(b) Encontre a probabilidade de a altura dele estar entre 66 e 72polegadas.

(c) Encontre a probabilidade de a altura dele ser maior que 72polegadas.

14. Comprimento de peixes O comprimento das corvinas é nor-malmente distribuído, com uma média de 10 polegadas e umdesvio padrão de 2 polegadas. Uma corvina é aleatoriamente es-colhida. (Adaptado de National Marine Fishenes Sevice, Fisheries Statisticsand Economics Oivision.)

(a) Encontre a probabilidade de o comprimento do peixe sermenor que 7 polegadas.

(b) Encontre a probabilidade de o comprimento do peixe estarentre 7 e 15 polegadas.

(c) Encontre a probabilidade de o comprimento do peixe sermaior que 15 polegadas.

15. Pontuação no ACT Em um ano recente, a pontuação de alunosdo ensino médio nos exames ACT que tinham uma nota média

de 3,50 a 4,00 era normalmente distribuída, com uma média de24,2 e um desvio padrão de 4,3. Um aluno com uma nota médiade 3,50 a 4,00 que fez o ACT durante esse tempo é selecionadoaleatoriamente. (Fonte.' ACT.lnc.)

(a) Encontre a probabilidade de a pontuação do aluno no ACTser menor que 17.

(b) Encontre a probabilidade de a pontuação do aluno no ACTestar entre 20 e 29.

(c) Encontre a probabilidade de a pontuação do aluno no ACTser maior que 32.

16. Beagles O peso de beagles adultos machos é normalmentedistribuído, com uma média de 25 libras e um desvio padrão de3 libras. Um beagle é escolhido aleatoriamente.

(a) Encontre a probabilidade de o peso do beagle ser menorque 23 libras.

(b) Encontre a probabilidade de o peso do beagle estar entre 23e 25 libras.

(c) Encontre a probabilidade de o peso do beagle ser maior que27 libras.

17. Uso do computador Uma pesquisa foi conduzida para mediro número de horas que adultos nos Estados Unidos passam emfrente ao computador todas as semanas. Na pesquisa, o númerode horas era normalmente distribuído, com uma média de 7 ho-ras e um desvio padrão de 1 hora. Um participante da pesquisa éescolhido aleatoriamente.

(a) Encontre a probabilidade de esse participante passar menosque 5 horas por semana em frente ao computador.

(b) Encontre a probabilidade de esse participante passar entre5,5 e 9,5 horas por semana em frente ao computador.

(c) Encontre a probabilidade de esse participante passar maisde 10 horas por semana em frente ao computador.

18. Contas de consumo As contas de consumo mensais em umacidade são normalmente distribuídas com uma média de $ 100 eum desvio padrão de $ 12. Uma conta de consumo é escolhidaaleatoriamente.

(a) Encontre a probabilidade de a conta de consumo ser menorque $ 70.

(b) Encontre a probabilidade de a conta de consumo estar entre$ 90 e $ 120.

(c) Encontre a probabilidade de a conta de consumo ser maiorque $ 140.

19. Agenda do laboratório de computadores O tempo que umaluno usa o laboratório de computadores todas as semanas é nor-malmente distribuído, com uma média de 6,2 horas e um desviopadrão de 0,9 hora. Um aluno é selecionado aleatoriamente.

(a) Encontre a probabilidade de o aluno usar o laboratório pormenos de 4 horas por semana.

(b) Encontre a probabilidade de o aluno usar o laboratório entre5 e 7 horas por semana.

(c) Encontre a probabilidade de o aluno usar o laboratório pormais de 8 horas por semana.

20. Agenda de um ginásio de esportes O tempo que um atletausa uma starclimber (equipamento de ginástica) é normalmentedistribuído, com uma média de 20 minutos e um desvio padrãode 5 minutos. Um atleta é selecionado aleatoriamente.

(a) Encontre a probabilidade de um atleta usar a stairclimberpor menos de 17 minutos.

(b) Encontre a probabilidade de um atleta usar a stairclimberentre 20 e 28 minutos.

(c) Encontre a probabilidade de um atleta usar a stairclimberpor mais de 30 minutos.

Usando distribuições normaisNos exercícios de 21 a 30, responda as questões sobre as distri-

buições normais especificadas.

21. Pontuação em leitura crítica no SAT Use a distribuição normaldas pontuações de leitura crítica no SAT do Exercício 7 para asquais a média é 503 e o desvio padrão é 113.

(a) Qual é a porcentagem das pontuações verbais do SAT quesão menores que 60a?

(b) Se 1.000 pontuações verbais do SAT são escolhidas aleato-riamente, por volta de quantas você espera serem maioresque 5507

22. Pontuação em matemática no SAT Use a distribuição normaldas pontuações em matemática no SAT do Exercício 8, cuja mé-dia é 518 e o desvio padrão é 115.

(a) Qual é a porcentagem das pontuações em matemática noSATque são menores que SOa?

(b) Se 1.500 pontuações em matemática no SATsão seleciona-das aleatoriamente, por volta de quantas você espera quesejam maiores que 6007

23. Colesterol Use a distribuição normal dos níveis totais de coles-terol em mulheres do Exercício 9, para os quais a média é 186miligramas por decilitro e o desvio padrão é de 35,8 miligramaspor decilitro.

(a) Qual porcentagem de mulheres tem um nível total de coles-terol menor que 200 miligramas por decilitro de sangue?

(b) Se 250 mulheres norte-americanas, com idade entre 20 e34, são selecionadas aleatoriamente; cerca de quantas vocêespera que tenham um nível de colesterol total maior que240 miligramas por decilitro de sangue?

24. Colesterol Use a distribuição normal dos níveis totais de coles-terol em mulheres do Exercício 10, para os quais a média é 219miligramas por decilitro e o desvio padrão é de 41,6 miligramaspor decilitro de sangue.

(a) Qual porcentagem de mulheres tem um nível total de coles-terol menor que 239 miligramas por decilitro de sangue?

(b) Se 200 mulheres norte-americanas, com idade entre 55 e64 são selecionadas aleatoriamente, cerca de quantas vocêespera que tenham um nível de colesterol total maior que200 miligramas por decilitro de sangue?

25. Comprimento de peixes Use a distribuição normal dos com-primentos de peixes do Exercício 14 para as quais a média é 10polegadas e o desvio padrão é de 2 polegadas.

(a) Qual porcentagem de peixes são maiores que 11 polegadas?

(b) Se 200 peixes são selecionados aleatoriamente, cerca dequantos você espera que sejam menores que 8 polegadas?

26. Beagles Use a distribuição normal dos pesos de beagles doExercício 16 para os quais a média é 25 libras e o desvio padrãoé de 3 libras.

(ãpítulo 5 • Distribuicões de probãbilidãdes ncrmeis Z09(a) Qual porcentagem de beagles tem um peso maior que 30

libras?

(b) Se 50 beagles são selecionados aleatoriamente, cerca dequantos você espera que pesem menos que 22 libras?

27. Uso de computador Use a distribuição normal do uso de com-putadores do Exercício 17, para o qual a média é 7 horas e odesvio padrão é de 1 hora.

(a) Qual porcentagem de adultos passa mais de 4 horas porsemana nos computadores em casa?

(b) Se 35 adultos dos Estados Unidos são selecionados alea-toriamente, cerca de quantos você espera que respondampassar menos de 5 horas por semana em frente ao compu-tador em casa?

28. Contas de consumo Use a distribuição normal das contas deconsumo do Exercício 18 para a qual a média é $ 100 e .odesviopadrão é de $ 12.

(a) Qual é a porcentagem de contas de consumo que são maio-res que $ 1257

(b) Se 300 contas de consumo são seleciona das aleatoriamente,cerca de quantas você espera que sejam menores que $ 90?

29. Vida útil de baterias A vida útil de uma bateria é normalmentedistribuída, com uma média de 2.000 horas e um desvio padrãode 30 horas. Qual é a porcentagem de baterias que têm umavida útil maior que 2.065 horas? Seria incomum se uma bateriativesse uma expectativa de vida maior que 2.065 horas? Expliqueseu raciocínio.

30. Amendoins Suponha que o consumo anual de amendoins sejanormalmente distribuído, com uma média de 5,9 libras por pessoae um desvio padrão de 1,8 libras por pessoa. Qual é a porcenta-gem de pessoas de consomem, anualmente, menos que 3, 1 librasde amendoim 7 Seria incomum se uma pessoa consumisse me-nos que 3,1 libras de amendoim por ano? Explique seu raciocínio.

Ixpandindo conceitos

Tabelas de controleControle Estatístico de Processos (CEP) é o uso da estatística

para monitorar e melhorar a qualidade de um processo, como produ-ção de uma peça de motor. Em CEP, informações sobre o processo sãoreunidas para determinar se um processo atende todas as condiçõesnecessárias. Uma ferramenta usada em CEP é a tabela de controle.Quando medidas individuais de uma variável x são normalmente distri-buídas, uma tabela de controle pode ser usada para detectar processosque possivelmente estejam fora de controle conforme o que segue:

(1) Um ponto está situado a mais de três desvios padrão damédia.

(2) Há nove pontos consecutivos que caem em um lado damédia.

(3) No mínimo dois dos três pontos consecutivos estão situadosa mais de dois desvios padrão da média.

Nos exercícios de 31 a 34, uma tabela de controle é apresentada.Cada tabela tem linhas horizontais desenhadas na média u; em jl ± 2a,e jl ± 3a. Determine se o processo apresentado está sob controle oufora de controle. Explique.

210 • tstatística aplicada

31. Uma engrenagem foi desenvolvida para ter um diâmetro de 3polegadas. O desvio padrão do processo é de 0,2 polegada.

Engregagem

33. Uma máquina de distribuição de água foi desenvolvida para en-cher garrafas com um litrode líquido. O desvio padrão do proces-so é de 0,1 litro.

Distribuição de líquido

'".~ 1,5E~o:':' 1,0

".D'"v 0.5o:'2"E..J ,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12

Número de observações

~ 4~ r------.~--------+-CJ)

"ÕQ.

E~ 2e"E 1""o

12345678910

Número de observações

32. Um prego foi desenvolvido para ter um comprimento de 4 pole-gadas. O desvio padrão do processo é de 0,12 polegada.

Pregos

34. Uma peça de motor foi desenvolvida para ter um diâmetro-de-55milímetros. O desvio padrão do processo é de 0,001 milímetro.

Peça de motor

i@v 4,50eeCJ)

"ÕQ. 4,25E~$3 4,00c

"Eo.. 3,75EoU

P 55,0050ô),§ 55,0025 f--------------'§

i 55 ,0000 --t--='---~-/---c~-/="'--,,<;-e",§ 54,9975 f-----------o

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112 2 4 6 8 10 12

Número de observações Número de observações

o que vocêdeve ~prender

• Como encontrar umz-escore dadaa área sob a curva normal.

• Como transformar um z-esroreem um valor x.

• Como encontrar o valor de umdado específico de uma distribui-ção normal dada a probabilidade.

m Distribui~ões normais: encontrando valoresIncentrando I -escores -+ Transformando um I -esrore em um valor x-+Incontrande um dado de valor específico para uma dada probabilidade

El {ncontrando z-escoresNa Seção 5.2, foi dada uma variável aleatória x normalmente distribuída e você

encontrou a probabilidade que x pudesse estar em um dado intervalo ao calcular aárea sob a curva normal para um dado intervalo.

Mas, e se lhe fosse dado uma probabilidade e você quisesse encontrar o valor?Por exemplo, uma universidade pode querer saber qual é a pontuação mais baixa queum aluno pode tirar em uma prova seletiva e ainda estar no topo 10%, ou uma pesqui-sa médica pode querer saber os valores de corte para selecionar os 90% de pacientesintermediários por idade. Nesta seção, você vai aprender como encontrar um valor,dada uma área sob uma curva normal (ou uma probabilidade), como pode ser obser-vado no exemplo a seguir.

{xemplo IIncontrando um I-escore, dada uma área

1. Encontre o z-escore que corresponda à área acumulada de 0,3632.

2. Encontre o z-escore que tenha 10,75% da área de distribuição à sua direita.

(ãpítulo 5 • Distribuições de probãbilidãdes normais 211

z 0,00 0,01 0,02 0,03 004 0,05 0,060,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,855411 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770@ 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,89621,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131

oVocê também pode usar um computador ou calculadora para encontrar os

z-escores que correspondam às áreas acumuladas dadas, como você pode verificar nadica de estudo ao lado.

Solução1. Encontre o z-escore que corresponda a uma área de 0,3632 ao localizar 0,3632 na

Tabela Normal Padrão. Os valores no início da fileira correspondente e no topo dacoluna correspondente dão o z-escore. Para esta área, o valor da fileira é -0,3 e ovalor da coluna é 0,05. Então, o z-escore é -0,35.

z 0,09 0,08 0,07 0,06 005 0,04 0,033,4 0,0002 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003

0,5 0,2776 0,2810 0,2843 0,2877 0,2912 0,2946 0,29810,4 0,3121 0,3156 0,3192 0,3228 0,3264 0,3300 0,3336@ 0,3483 0,3520 0,3557 0,3594 0,3632 0,3669 0,37070,2 0,3859 0,3897 0,3936 0,3974 0,4013 0,4052 0,4090

2. Como a área à direita é 0,1075, a área acumulada é 1- 0,1075 = 0,8925. Encontre o z--escore que corresponda a uma área de 0,8925 ao localizar 0,8925 na Tabela NormalPadrão. Para essa área, o valor da fileira é 1,2 e o valor da coluna é 0,04. Então, oz-escore é 1,24.

Encontre o z-escore que tenha 96,16% da área de distribuição à direita.

Encontre o z-escore para o qual 95% da área de distribuição esteja entre-z e z.

a. Determine a área acumulada.

'Tenw 1.você 2.1

b. Localize a área na Tabela Normal Padrão.

c. Encontre o z-escore que corresponda à área.Re:,pasta lia p. A40

Na Seção 2.5, você aprendeu que os percentis dividem um conjunto de dados emcem partes iguais. Para encontrar um z-escore que corresponda a um percentil, vocêpode usar a Tabela Normal Padrão. Lembre-se que um valor x representa o 83º pontoporcentual, então 83% dos valores dos dados estão abaixo de x e 17% dos valores dosdados estão acima de x.

{xemplo Z

Encontrando um l-escore dado um percentil

Encontre o z-escore que corresponda a cada percentil.

1. Ps 2. Pso 3. P90

Solução1. Para encontrar o z-escore que corresponda à Ps' encontre o z-escore que corres-

ponda a uma área de 0,05 (ver figura) ao localizar 0,05 na Tabela Normal Padrão.

Dica de estudo-.-Aqui temos instruções para en-contrar o z-escore que corres-ponda à área dada em umaTI-83/84.

I 2nd ImSTR

3: invNorm(

Entre com a área acumulada.I ENTER I

o 1,24

Dica de estudo. .- .._----_ ....

Na maioria dos casos, a áreadada não será encontrada natabela, então use a entradamais próxima a ela. Se a áreadada estiver no meio de duasentradas, use o z-escore nomeio entre os z-escores cor-respondentes. Por exemplo,na parte 1 do Exemplo 2, oz-escore entre -1,64 e -1,65 é-1,645.

212 • tstãtísti(~ ~pli(~d~

-1,645 o

o

As áreas mais próximas a 0,05 na tabela são 0,0495 (z = -1,65) e 0,0505 (z = -1,64).Como 0,05 está na metade do caminho entre as duas áreas na tabela, use o z-escoreque esteja na metade entre -1,64 e -1,65. Então, o z-escore que corresponde a umaárea de 0,05 é -1,645.

2. Para encontrar o z-escore que corresponda a Pso' encontre o z-escore que correspon-de a uma área de 0,5 (ver figura) ao localizar 0,5 na Tabela Normal Padrão. A áreamais próxima a 0,5 na tabela é 0,5000, então o z-escore que corresponde a uma áreade 0,5 é 0,00.

3. Para encontrar o z-escore que corresponda a P 90' encontre o z-escore que correspon-de a uma área de 0,9 (ver figura) ao localizar 0,9 na Tabela Normal Padrão. A áreamais próxima a 0,9 na tabela é 0,8997, então o z-escore que corresponde a uma áreade 0,9 é 1,28.

Tente Encontre o z-escore que corresponda a cada percentil.você

L 21. PJO 2. P20 3,P99

a. Escreva o percentil como uma área. Se necessário, desenhe um gráfico da área paravisualizar o problema.

b. Localize a área na Tabela Normal Padrão. Se a área não está na tabela, use a áreamais próxima. (Veja a dica de estudo anterior)

c. Identifique o z-escore que corresponde à área.Resposta na V A40

g Transformando um z-~s(Or~para um valor xVejaque para transformar um valor x para um z-escore, você pode usar a fórmula:

x-p,z=--.

a

Essa fórmula dá z em termos de x. Se você resolver essa fórmula para x, vocêchega uma nova fórmula que dá x em termos de z.

x-p,z=--

aza=x-p,

p,+za=x

x= p,+za.

Fórmula pnm: em termos de x.

lVlultiplique cada lado de (J.

Adicione I' para cada lado.

Troque os lados.

Iransforme um r-escore em um valor xPara transformar um z-escore padrão em um dado de valor x em uma dada população, use afórmula:

x = p, + Zo:

{xemplo ~. _Incontrando um valor x que corresponda a um z -escore

As velocidades de veículos ao longo de uma autoestrada são normalmente dis-tribuídas, com uma média de 67 milhas por hora, e um desvio padrão de 4 milhas por

Capítulo 5 • Distribuições de probabilidades normais ZB

hora. Encontre as velocidades x que correspondam aos z-escores de 1,96, -2,33 e O.Interprete seus resultados.

SoluçãoO valor x que corresponde a cada pontuação padrão é calculado usando a fór-

mula x = J.L + zrr.

z = 1,96:

z =-2,33:

z= O:

x = 67 + 1,96(4) = 74,84 milhas por hora

x = 67 + (-2,33)(4) = 57,68 milhas por hora

x = 67 + 0(4) = 67 milhas por hora

InterpretaçãoVocê pode ver que 74,84 milhas por hora está acima da média, 57,68 está abaixo

da média e 67 é igual à média.

Tentevocê

As contas de consumo mensais em uma cidade são distribuídas normalmente,com uma média de $ 70 e um desvio padrão de $ 8. Encontre os valores x quecorrespondam aos z-escores de -0,75, 4,29 e -1,82. O que você pode concluir?3

a. Identifique J.L e O' da distribuição normal não padrão.

b. Transforme cada z-escore para um valor x.c. Interprete os resultados.

Resposta lia p. A40

o {ncontrando um dado d~ valor ~sp~cífico para uma dada probabilidad~Você também pode usar a distribuição normal para encontrar um dado de valor

específico (valor x) para uma dada probabilidade, como no Exemplo 4.

{xemplo 4

Incontrande um dado de valor específicoAs pontuações para um teste de serviço civil são normalmente distribuídas, com

uma média de 75 e um desvio padrão de 6,5. Para ser adequado ao emprego de serviçocivil, você deve ter pontuação dentro dos 5% primeiros. Qual é a menor pontuação quevocê pode conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego?

SoluçãoExamine as pontuações dos 5% primeiros que correspondem à região sombreada

a seguir:

5%

o 1,645-------11---+-1 --_o x (pontuação no exame)

75

Uma pontuação no exame nos 5% primeiros é qualquer pontuação acima do95º percentil. Para encontrar a pontuação que representa o 952 percentil, você deveantes encontrar o z-escore que corresponda à área acumulada de 0,95. A partir da

De acordo com a AssociaçãoMédica Americana, a médianumérica das horas que todosos médicos passam cuidandodos pacientes por semana é deaproximadamente 52,8 horas.Essas horas podem ser apro-ximadas por uma distribuiçãonormal. Suponha que o desviopadrão seja de 3 horas.

Horas que os médicospassam cuidando dos

pacientes

x I44 46 48 50 52 54 56 58 60 62

IEntre quais dois valores o Icentro 90% dos dados estásituado? )

\.- -----

Horas

Dica de estudo•Aqui estão as instruções paraencontrar um valor específi-co de x para urna dada pro-babilidade em urna TI-83/84.

12ndll DISTR I3: invNorm(

Coloque os valores para aárea sob a distribuição nor-mal, a média específica e odesvio padrão específico se-parados por vírgulas.

I ENTER IinvNorM(.95,75,6.5) 85.69154857

ZI4 •

in'A·~orl')(. ~11,210,38.6) 120.2029719

Usandouma TI-83/84, você pode en-contraro nívelde colesterolmais altoautomaticamente.

Tabela Normal Padrão, você pode verificar que as áreas mais próximas a 0,95 são 0,9495(z = 1,64) e 0,9505 (z = 1,65). Como 0,95 está na metade entre as duas áreas na tabela,use o z-escore que está na metade entre 1,64 e 1,65. Isto é, z = 1,645. Usando a equaçãox = J-l+ zo, você tem:

x=J-l+za

=75+1,645 (6,5)

~85,69.

InterpretaçãoA menor pontuação que você pode conseguir e ainda assim ser adequado ao

emprego é 86.

Tente As distâncias de frenagem de uma amostra de Hondas Accord são normal-você mente distribuídas. Em uma superfície seca, a distância de frenagem média era4 142 pés e o desvio padrão era 6,51 pés. Qual é a maior distância de frenagem

em uma superfície seca que um desses Honda Accord poderiam ter e ainda estarem no1% do topo? (Adaptada de C01151/11lerReports.)

a. Desenhe um gráfico.

b. Encontre o z-eSC01'eque corresponda à área dada.

c. Encontre x usando a equação x = J-l+ zc,

d. Interprete o resultado.Resposta na 1'. .440

{xemplo 5Encontrando um dado dp valor específlco

Em uma amostra escolhida aleatoriamente de 1.169 de homens com idade entre35 e 44 anos, a média do nível de colesterol total era de 210 miligramas por decilitrocom um desvio padrão de 38,6 miligramas por decilitro. Suponha que os níveis totaisde colesterol sejam normalmente distribuídos. Encontre o nível total de colesterol maisalto que um homem nesta faixa etária pode ter no 1% mais baixo. (Adaptado de Natiouu!Center fel!" Hrnltli Slatislic5.)

SoluçãoNíveis totais de colesterol no 1% mais baixo correspondem a região sombreada

a seguir.

Níveis totais de colesterol em homens entre 35 e 44 anos

-2,33 o*--+-----11-------, x (nível total de

210 colesterol, em mgldL)

Um nível de colesterol total no menor 1% é qualquer nível abaixo do primeiropercentil. Para encontrar o nível que representa o primeiro percentil, você antes deveachar o z-escore que corresponde à área acumulada de 0,01.A partir da Tabela Normal

Cõpítulo 5 • Distribuições de probõbilidõdes normõis 215

Padrão, você pode encontrar que a área mais próxima a 0,01 é 0,0099. Então, o z-escoreque corresponde a uma área de 0,01 é z = -2,33. Usando a equação x = p.. + za, você tem:

x= p..+za= 210+( -2,33)(38,6);::::120,06.

InterpretaçãoO valor que separa o 1% mais baixo dos níveis totais de colesterol de homens

com idade entre 35 e 44 anos dos 99% mais altos é de aproximadamente 120.

Tente O espaço de tempo que um funcionário trabalhou em uma corporação é no r-você malmente distribuído, com uma média de 11,2 anos e um desvio padrão de 2,15 anos. Em um corte da empresa, os 10% menores em termos de tempo de casa

são cortados. Qual é o espaço de tempo máximo que um funcionário pode ter traba-lhado e ainda assim ser cortado?

a. Desenhe um gráfico.

b. Encontre o z-escore que corresponda à área dada.

c. Encontre x usando a equação x = p.. + za.d. Interprete o resultado.

Resposta i11l p. A41

IxercíciosConstruindo habilidades básicas e conceitos 18. P

67.

19. P2S'

20. r;21. P7S'

22. P90.

23. P3S'

24. P6S'

Nos exercícios de 1 a 24, use a Tabela Normal Padrão para encon-trar o z-escore que corresponda ao percentil ou área acumulada dada.Se a área não estiver na tabela, use o número mais próximo àquelaárea. Se a área estiver na metade entre duas entradas, use o z-escoreque esteja entre os escores correspondentes. Se conveniente, use umaferramenta tecnológica para encontrar o z-escore.1. 0,7580.

2. 0,2090.

3. 0,6331.

4. 0,0918.

5. 0,4364.

6. 0,0080.

7. 0,9916.

8. 0,7995.

9. 0,05.

10. 0,85.11. 0,94.

12. 0,01.

13. P1·

14. P1S'

15. P20.

16. r;17. r;

Análise gráficaNos exercícios de 25 a 30, encontre o(s) z-escore(s) indicado(s)

no gráfico. Se for conveniente, use ferramentas tecnológicas para en-contrar o(s) z-escore(s).25.

26.

Área =0,5987

o 'z =?

216 • Istatísti« õplicõdõ

27.

28.

o z=?

29.

z =? o

30.

z=? oNos exercícios de 31 a 38, encontre o l-escore indicado.

31. Encontre o l-escore que tenha 11,9% da área de distribuição àesquerda.

32. Encontre o l-escore que tenha 78,5% da área de distribuição àesquerda.

33. Encontre o l-escore que tenha 11,9% da área de distribuição àdireita.

34. Encontre o l-escore que tenha 78,5% da área de distribuição àdireita.

35. Encontre o l-escore para o qual 80% da área de distribuição es-teja entre -I e I.

36. Encontre o l-escore para o qual 99% da área de distribuição es-teja entre -z e I.

37. Encontre o l-escore para o qual 5% da área de distribuição estejaentre -I e I.

38. Encontre o l-escore para o qual 12% da área de distribuição es-teja entre -I e I.

Usando e interpretando conceitos

Usando distribuições normaisNos exercícios de 39 a 44, responda às questões sobre a distri-

buição normal especificada.

39. Altura das mulheres Em uma pesquisa entre mulheres dos Es-tados Unidos (idade entre 20 e 29 anos), a altura média era 64,1

polegadas com um desvio padrão de 2,71 polegadas. (Adaptado deNational Center for Hedth Stotistic5.)

(a) Qual altura representa o 95º percentil?

(b) Qual altura representa o primeiro quartil?

40. Altura dos homens Em uma pesquisa entre homens dos Es-tados Unidos (idade entre 20 e 29 anos), a altura média era de69,6 polegadas com um desvio padrão de 3,0 polegadas. (f\dap-todo de Noúonoí Center for Heolth Stotístícs.)

(a) Qual altura representa o 90º percentil?

(b) Qual altura representa o primeiro quartil?

41. Maçãs A utilização anual de maçãs (em libras) per capita nosEstados Unidos pode ser aproximada por uma distribuição nor-mal, como pode ser visto no gráfico. (4daptodo de US Deportmentaf Agricuiture.)

(a) Qual utilização anual de maçãs per capita representa o 10ºpercentil? - '-'--

(b) Qual utilização anual de maçãs per capita representa o 3ºquartil?

Utilização anual de maçãs per capita nos EUA

~ x5 9 \3 17 2\ 25 29

Utilização (em libras)

42. Laranjas A utilização anual de laranjas (em libras) per capitanos Estados Unidos pode ser aproximada por uma distribuiçãonormal, como pode ser visto no gráfico. (Adaptado de us Depcn-ment af Agriculture.)

(a) Qual utilização anual de laranjas per capita representa o 5ºpercentil?

(b) Qual utilização anual de laranjas per capita representa o ter-ceiro quarnl?

Utilização anual de laranjas per capita nos EUA

5 11 14 17 20

Utilização (em libras)

43. Tempo de espera para transplante de coração O tempo deespera (em dias) por um transplante de coração em Ohio e Mi-chigan para pacientes com tipo sanguíneo N pode ser aproxima-do por uma distribuição normal, como pode ser visto no gráfico.(Adaptada de Orgon Procurement ono Ircnsplont Netwark.)

(a) Qual é o menor tempo de espera por um coração que aindaassim colocaria um paciente dentro dos maiores 30% emtempo de espera?

(b) Qual é o maior tempo de espera por um coração que aindacolocaria um paciente nos últimos 10% de tempo de espera?

Tempo de espera por um coração

,60 195

fi, = 127 dias(T = 23,5 dias

I Xll4 l4l

Dias

44. Sorvete O consumo anual de sorvete (em libras) per capitanos Estados Unidos pode ser aproximado por uma distribuiçãonormal, como pode ser visto no gráfico. (Adaptado de US Depott-

ment oi Agricu!ture.)

(a) Qual é o menor valor de consumo de sorvete anual per co-pito que ainda assim pode ser enquadrado dentro dos 25%de maior consumo?

(b) Qual é o maior valor de consumo de sorvete anual per capi-to que ainda assim pode ser enquadrado nos menores 15%de consumo?

Consumo anual per capita de sorvete nos EUA

8 lO l2 l4 l6 l8 20 22Consumo (em libras)

45. Caixas de cereais Os pesos do conteúdo de uma caixa de ce-reais são normalmente distribuídos com um peso médio de 20onças e um desvio padrão de 0,07 onça. Caixas nos 5% maisbaixos não atendem às condições mínimas de peso e devem serembaladas novamente. Qual é o peso mínimo exigido para umacaixa de cereais7

46. Sacos de cenoura baby Os pesos de sacos de cenouras babysão normalmente distribuídas com uma média de 32 onças e umdesvio padrão de 0,36 onça, Sacos nos 4,5% níveis mais altossão muito pesados e devem ser embalados novamente, Qual é o

Capítulo5 • Distribuiçõesdeprobabilidadesnormais 217máximo que um saco de cenoura baby pode pesar sem precisarser reembalado?

Ixpandindo conceitos

47, Redigindo uma garantia Você vende uma marca de pneus deautomóveis que tem uma expectativa de vida que é normalmentedistribuída, com uma vida média de 30,000 milhas e um desviopadrão de 2.500 milhas, Você quer dar uma garantia de troca depneus grátis que não durem muito, Como você poderia honrar suagarantia se você está disposto a trocar 10% dos pneus que vende?

48. Notas de estatísticas Em uma grande seção de uma sala deestatística, os pontos para o exame final são normalmente distri-buídos com uma média de 72 e um desvio padrão de 9, As notasserão dadas de acordo com as seguintes regras:

• As 10% mais altas recebem A;

• Os próximos 20% recebem B;

• Os 40% medianos recebem C;

• Os próximos 20% recebem D;

• E os últimos 10% recebem F.

Encontre a menor nota que determinaria um A, um B, um C eum D,

Notas de exame final40%

D C B APontos feitos no exame final

49. Máquina de vendas Uma máquina de venda automática dis-tribui café em um copo de 8 onças, A quantidade de café nocopo é normalmente distribuída com um desvio padrão de 0,03onça, Você pode deixar o café transbordar 1% das vezes, Qualquantidade você deveria marcar como a quantidade média decafé a ser distribuído?

Istudo de casoPesos de bebês nascidos nos Estados UnidosO National Center for Health Statistics (NCHS) mantém registros de muitos aspectos rela-

cionados à saúde das pessoas, inclusive o peso de todos os bebês nascidos nos Estados Unidos,O peso que um bebê tem ao nascer é relacionado ao seu período de gestação (período

entre a concepção e o nascimento), Para um dado período de gestação, os pesos dos bebêsao nascerem podem ser aproximados por uma distribuição normal. As médias e os desvios pa-drão dos pesos dos bebês no nascimento para vários períodos de gestação são dados a seguir,

Um dos vários objetivos do NCHS é reduzir a porcentagem de bebês nascidos comsubpeso, Como você pode verificar no gráfico a seguir, o problema de subpeso aumentou de1990 para 2004,