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103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando um sólido experimenta uma mudança repentina em seu ambiente térmico, por exemplo, nos processos de tratamento térmico. Os métodos usados para se resolver tais problemas englobam o modelo de capacitância concentrada ou o modelo de sólido semi-infinito, transformada de Laplace, transformada integral, métodos numéricos (diferença finita, elemento finito, etc.) e métodos aproximados. Alguns destes métodos serão vistos na seqüência. 5.1 O modelo da capacitância concentrada A essência do método da capacitância concentrada é a hipótese de que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Ou seja, despreza-se o gradiente de temperatura no interior do corpo. Sob determinadas condições, o modelo de capacitância concentrada pode ser aplicado. Normalmente, um processo de condução transiente inicia-se pela convecção imposta na superfície do sólido, mas dependendo do nível de temperatura pode ocorrer transferência radiativa. A Figura 5.1 ilustra o processo. Figura 5.1 – Resfriamento de um sólido por imersão num líquido. Considere uma situação na qual as condições térmicas de um sólido podem ser alteradas por convecção, radiação e fluxo de calor aplicados à superfície e geração interna de energia. Assume-se que no instante 0 t = a temperatura do sólido seja i T diferente da temperatura do fluido T e da temperatura da vizinha viz T . Em parte da superfície é imposto

5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

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103

5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente

A condução transiente ocorre principalmente quando um sólido experimenta uma

mudança repentina em seu ambiente térmico, por exemplo, nos processos de tratamento

térmico. Os métodos usados para se resolver tais problemas englobam o modelo de

capacitância concentrada ou o modelo de sólido semi-infinito, transformada de Laplace,

transformada integral, métodos numéricos (diferença finita, elemento finito, etc.) e métodos

aproximados. Alguns destes métodos serão vistos na seqüência.

5.1 O modelo da capacitância concentrada

A essência do método da capacitância concentrada é a hipótese de que a temperatura

do sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Ou

seja, despreza-se o gradiente de temperatura no interior do corpo. Sob determinadas

condições, o modelo de capacitância concentrada pode ser aplicado. Normalmente, um

processo de condução transiente inicia-se pela convecção imposta na superfície do sólido, mas

dependendo do nível de temperatura pode ocorrer transferência radiativa. A Figura 5.1 ilustra

o processo.

Figura 5.1 – Resfriamento de um sólido por imersão num líquido.

Considere uma situação na qual as condições térmicas de um sólido podem ser

alteradas por convecção, radiação e fluxo de calor aplicados à superfície e geração interna de

energia. Assume-se que no instante 0t = a temperatura do sólido seja iT diferente da

temperatura do fluido T∞ e da temperatura da vizinha vizT . Em parte da superfície é imposto

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104

um fluxo q′′e a geração interna é gq . Desprezando gradientes de temperatura no interior do

sólido, um balanço de energia fornece

, , ,s h g c s c r s rdTq A q q A q A Vcdt

ρ′′ ′′ ′′+ − − = (5.1)

Substituindo os fluxos de calor convectivo e radiativo na equação (5.1) resulta a equação

( ) ( )4 4, , ,s h g s c viz s r

dTq A q h T T A T T A Vcdt

εσ ρ∞′′ + − − − − = (5.2)

A equação (5.2) é uma equação diferencial ordinária não linear que pode ser rearranjada na

forma

( )( ) ( )

4 4

, , ,viz

s h g s c s r

T T dTq A q hA A T T VcT T dt

εσ ρ∞∞

⎡ ⎤−′′ ⎢ ⎥+ − + − =

−⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.3)

ou definindo o excesso de temperatura, T Tθ ∞= − , resulta após algumas manipulações

( ) ,, 0s h ge s c q A qh Addt Vc Vc

θθ θρ ρ

′′ +⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.4)

na qual

( ) ( )( )

4 4,

,

viz s re

s c

T T Ah h

T T Aθ εσ

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +

−⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.5)

Definindo

,e s ch Aa

Vcρ= ; ,s h gq A q

bVcρ

′′ += (5.6)

a equação (5.4) pode ser reescrita como

( ) ( ) ( ) ( ) 0d t

a t t b tdtθ

θ+ − = (5.7)

com a condição inicial

( )0 iθ θ= (5.8)

A solução da Eq. (5.7) com condição inicial (5.8) é da forma

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

t t t t

it exp a t dt exp a t dt b t exp a t dt dtθ θ′

′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′= − + − −∫ ∫ ∫ ∫ (5.9)

No caso em que se tenha somente convecção no contorno do sólido e nenhuma

geração interna

, 0shAa bVcρ

= = (5.10)

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105

Em tal caso, resulta a solução

( ) si

hAt exp tVc

θ θρ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.11)

Uma análise mostra que o modelo de capacitância concentrada é válido quando o

número de Biot que é razão da resistência condutiva pela resistência convectiva for

0 1ci

hLB ,k

= < (5.12)

5.2 O modelo do sólido semi-infinito

O modelo de capacitância concentrada se aplica quando a temperatura através do

sólido tem praticamente o mesmo valor, num período que é denominado regime posterior,

quando

( )2

0rt T T tα

>> ≅ (5.13)

na qual 0r é uma dimensão característica do corpo. No regime inicial, quando,

( )2

0rt T T r ,tα

<< ≅ (5.14)

o modelo de capacitância concentrada não é mais válido. Neste caso o modelo de sólido semi-

infinito é mais apropriado, Figura 5.5. Três casos são de interesse: temperatura constante no

contorno, fluxo de calor constante no contorno ou superfície em contato com um fluido.

Figura 5.2 – Modelo de sólido semi-infinito

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106

5.2.1 O modelo do sólido semi-infinito: temperatura constante no contorno

Considere o seguinte caso, 2

2

1T Tx tα

∂ ∂=

∂ ∂ (5.15)

com as condições inicial e de contorno definidas com a seguir,

Condição inicial:

iT T= em 0t = (5.16)

Condições de contorno:

T T∞= em 0x = (5.17)

iT T→ em x →∞ (5.18)

A solução das equações (5.15) por ser pelo uso de variável de similaridade, desta

forma, define-se

xt

ηα

= (5.19)

Os termos da Eq. (5.15) podem ser transformados como

1T dT dTx d x d t

ηη η α

∂ ∂= =

∂ ∂ (5.20)

2 2

2 2

1T d T d Tx d x x d t

ηη η α

∂ ∂ ∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (5.21)

3 22 /

T dT dT xt d t d t

ηη η α

∂ ∂ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟∂ ∂ ⋅⎝ ⎠

(5.22)

Que substituídos em (5.15) leva à equação: 2

2 02

d T dTd d

ηη η

+ = (5.23)

Com as condições de contorno, agora, representadas por

T T∞= em 0η = (5.24)

iT T→ em η →∞ (5.25)

A Eq. (5.23) pode ser rearranjada como

( )2

d T dTd , TT d

η ηη

′′= =

′ (5.26)

Integrando duas vezes em η , a equação (5.26) leva ao seguinte resultado:

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107

2

14lnT lnCη′ = − + (5.27)

2

1 4dT C expd

ηη

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.28)

2

1 20 2T C exp d C

η β β⎡ ⎤⎛ ⎞= − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (5.29)

na qual β é uma variável muda e de acordo com a equação (5.24), 2C T∞= :

2

1 0 2T T C exp d

η β β∞

⎡ ⎤⎛ ⎞− = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (5.30)

O membro direito da Eq. (5.30) lembra a função erro, definida como

( ) ( )21 2 0

2 x

/erf x exp m dmπ

= −∫ (5.30)

Com as seguintes propriedades

( ) ( )0 0 1erf erf= ∞ = (5.31a, b)

( ) 1 20

2 1 1284/x

d erf x ,dx π=

⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ (5.32)

O lado direito da equação (5.30) pode ser reformulado como

( )

( )( )

2

1 0

2 21 0

1 2 2 21 1 2 0

3

22 2

2

222

2

/

/ /

/

T T C exp d

= C exp m dm

= C exp m dm

= C erf /

η

η

η

β β

ππ

η

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.33)

Pela condição de contorno (5.25), 3C é determinada como, 3 iC T T∞= − . A solução

para ( )T x,t fica na forma

( )( )1 22 /

i

T x,t T xerfT T tα

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

− ⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.34)

A partir da equação (5.34) pode-se calcular o fluxo de calor por

( )( )1 2

0

i/

x

T TTq t k kx tπα

=

−∂⎛ ⎞′′ = − = −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (5.35)

Page 6: 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

108

5.2.2 O modelo do sólido semi-infinito: fluxo de calor constante no contorno

Considere, agora, o caso em que a condição de contorno em 0x = , seja fluxo e calor

constante especificado, ou seja, em lugar de (5.17) tem-se

0Tk qx

∂ ′′− =∂

em 0x = (5.36)

Definindo uma nova variável como

Tkx

φ ∂= −

∂ (5.37)

e introduzindo-a na eq. (5.15) resulta 2

2

1x tφ φ

α∂ ∂

=∂ ∂

(5.38)

As condições inicial e de contorno ficam na forma para a variável φ

0φ = em 0t = (5.39)

0qφ ′′= em 0x = (5.40a)

0φ → em x →∞ (5.40b)

De acordo com o item 5.5.1, a solução de (5.38) é da forma

1 22xC erf C

α⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.41)

Usando as condições de contorno (5.40a, b) obtém-se 1 0C q′′= − e 2 0C q′′= , e, portanto,

0 012 2

x xq erf q erfct t

φα α

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′′= − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(5.42)

Substituindo (5.42) em (5.37) resulta

0

2qT xerfc

x k tα′′∂ ⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠ (5.43)

que integrada leva ao resultado

0

2x

q xT erfc dx Ck tα

∞′′ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ (5.44)

Após integração por partes da integral na eq, (5.44) obtém-se e determinado a constante C

obtém-se a solução para ( )T x,t na forma

( )2

0 024 2i

q q xt x xT x,t T exp erfck t k t

απ α α

⎛ ⎞′′ ′′⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

(5.45)

Page 7: 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

109

A partir de (5.45) pode-se obter a temperatura na face 0x = como

00

2i

q tT Tk

απ

⎛ ⎞′′= + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.46)

5.2.3 O modelo do sólido semi-infinito: superfície em contato com um fluido

Neste caso a condição de contorno em 0x = é imposta na forma

( )Tk h T Tx ∞

∂− = −

∂ em 0x = (5.47)

Por procedimentos similares aos dos casos anteriores chega-se á solução na forma:

( ) 2

22 2i

T x,t T x hx h t x h te rf exp erfcT T k k kt t

α αα α

⎛ ⎞− ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5.48)

5.3 Condução unidimensional

O interesse em soluções unidimensionais transientes é que elas serão usadas,

posteriormente, nas soluções multidimensionais.

5.3.1 Placa de espessura constante

Considere o caso de uma placa de espessura 2L e temperatura inicial iT , cujos lados

são repentinamente expostos a um meio convectivo de temperatura T∞ e coeficiente h .

Definindo o excesso de temperatura ( ) ( )x,t T x,t Tθ ∞= − , resulta o conjunto de equações para

solução do problema:

- equação de condução 2

2

1x tθ θ

α∂ ∂

=∂ ∂

(5.49)

- condição inicial

iθ θ= em 0t = (5.50)

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110

- condições de contorno

0xθ∂=

∂ em 0x = (5.51)

k hxθ θ∂

− =∂

em x L= (5.52)

Pelo procedimento de separação de variáveis, adotando ( ) ( ) ( )x,t X x tθ τ= , obtém-se

22

2 0d X xdx

λ+ = (5.53)

0dXdx

= em 0x = (5.54)

0dX h Xdx k

+ = em x L= (5.55)

2d dtτ αλτ

= − (5.56)

A solução de (5.53) a (5.55) corresponde ao caso 4 da Tabela 4.2, sendo da forma:

mxX cos LL

λ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.57)

A solução de (5.56) é do tipo:

( )2C exp tτ αλ= − (5.58)

Portanto, a solução de θ será da forma:

( ) ( ) ( )2

1m m m

mx,t C cos x exp tθ λ αλ

=

= −∑ (5.59)

Aplicando a condição inicial obtém-se

( )1

i m mm

C cos xθ λ∞

=

=∑ (5.60)

Operando ambos os da eq. (5.60) por ( )0

L

ncos x dxλ∫ e usando a condição de ortogonalidade

das autofunções

( ) ( )2

0 0

L L

i m m mcos x dx C cos x dxθ λ λ=∫ ∫ (5.61)

Após efetuar as integrações em (5.61) chega à expressão da constante:

( )( ) ( )

2 i mm

m m m

sen LC

L sen L cos Lθ λ

λ λ λ=

+ (5.62)

A substituição de (5.62) em (5.59) leva à solução para a temperatura na forma:

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111

( ) ( )

( )( ) ( )

22

12

i i

mm m

m m m m

x,t T x,t TT T

sen a x tcos a exp aa sen a cos a L L

θθ

α

=

−=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑

(5.63)

na qual

( )m m m mhLa tg a , a Lk

λ= = (5.64)

Na forma adimensional i

T TT T

−−

, a temperatura depende de três grupos adimensionais:

2

x t hL, Fo , BiL L k

α= = (5.65)

na qual Fo e Bi são os números de Fourier e de Biot respectivamente.

A temperatura no plano médio da placa pode ser calculada fazendo 0x = na eq.

(5.63), resultando

( )( ) ( ) ( )2

12 mc

mmi m m m

sen aT T exp a FoT T a sen a cos a

∞∞

=∞

−= −

− +∑ (5.66)

A temperatura em qualquer outro plano da placa pode ser calculada na forma:

( ) ( )( )

( )c

i c i

T x,t T T x,t T T t TT T T t T T T

∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(5.67)

É comum graficar os termos entre colchetes na eq. (5.67) em função do número de Fourier

tendo o número de Biot como um parâmetro para facilitar estimativas rápidas da temperatura.

A taxa total de transferência de calor é de interesse. Considerando apenas metade da

placa, a máxima taxa de transferência de calor num intervalo 0 t− é calculada por

( )i iQ WHLc T Tρ ∞= − (5.68)

na qual W e H são a largura e altura da placa respectivamente frontal á transferência de

calor.

A taxa de calor real num intervalo 0 t− é sempre menor do que o máximo e pode ser

calculada como

( )0

tQ t WH q dt′′= ∫ (5.69)

na qual

x L

Tq kx =

∂⎛ ⎞′′ = − ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (5.70)

Page 10: 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

112

Normalmente se gráfica ( ) iQ t / Q em função de 2Bi Fo .

5.3.2 Cilindro longo

No caso de um cilindro longo, as equações governantes ficam na forma:

- equação de condução 2

2

1 1r r r tθ θ θ

α∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

(5.71)

- condição inicial

iθ θ= em 0t = (5.72)

- condições de contorno

0rθ∂=

∂ em 0r = (5.73)

k hrθ θ∂

− =∂

em or r= (5.74)

A separação de variáveis agora é proposta como ( ) ( ) ( )r ,t R r tθ τ= , que resulta em

22

2

1 0d R dR Rdr r dr

λ+ + = (5.75)

0dRdr

= em 0r = (5.76)

0dR h Rdr k

+ = em or r= (raio externo) (5.77)

A equação na variável tempo é idêntica à do caso do item 5.3.1. A solução geral da eq. (5.75)

é do tipo:

( ) ( )1 0 2 0R C J r C Y rλ λ= + (5.78)

na qual 0J e 0Y são funções de Bessel de ordem zero do primeiro e segundo tipos

respectivamente.

O valor finito da temperatura no centro do cilindro requer que 2 0C = . A solução final

para a temperatura será da forma:

( )( ) ( ) ( )2

02 21 0

2n n

ni on n

T r,t T Bi rJ b exp b FoT T rb Bi J b

∞∞

=∞

− ⎛ ⎞= −⎜ ⎟− + ⎝ ⎠∑ (5.79)

Page 11: 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

113

Na qual os números de Fourier e Biot são definidos como

2o

o

hrtFo , Bir kα

= = (5.80)

e os autovalores n n ob rλ= sã as raízes da equação transcendental:

( ) ( )1 0 0n n nb J b BiJ b− = (5.81)

5.3.3 Esfera

No caso de uma esfera, as equações governantes ficam na forma:

- equação de condução 2

2

2 1r r r tθ θ θ

α∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

(5.82)

- condição inicial

iθ θ= em 0t = (5.83)

- condições de contorno

0rθ∂=

∂ em 0r = (5.84)

k hrθ θ∂

− =∂

em or r= (5.85)

Definindo uma nova variável rφ θ= obtém-se um novo conjunto de equações na

forma:

- equação de condução 2

2

1r tφ φ

α∂ ∂

=∂ ∂

(5.86)

- condição inicial

irφ θ= em 0t = (5.87)

- condições de contorno

0φ = em 0r = (5.88)

1 0o

hr k rφ φ

⎛ ⎞∂+ − =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

em or r= (5.89)

Page 12: 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

114

As equações (5.86), (5.88) e (5.89), após separação de variáveis, correspondem ao

caso 7 da Tabela 4.2 e, portanto, a solução é do tipo:

( ) ( )2

1m m m

mC sen r exp tφ λ αλ

=

= −∑ (5.90)

na qual

( )0 1om m o

hrr ctg rk

λ λ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.91)

Aplicando a condição inicial obtém-se

( )1

i m mm

r C sen rθ λ∞

=

=∑ (5.92)

Operando ambos os da eq. (5.92) por ( )0

0

r

ncos r drλ∫ e usando a condição de ortogonalidade

das autofunções

( ) ( )0 0 2

0 0

r r

i m m mr s en r dr C s en r drθ λ λ=∫ ∫ (5.93)

Após efetuar as integrações em (5.89) chega à expressão da constante:

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

0 0 0

2 i m m mm

m m m m

sen r r cos rC

r sen r cos rθ λ λ λ

λ λ λ λ

⎡ ⎤−⎣ ⎦=⎡ ⎤−⎣ ⎦

(5.94)

A substituição de (5.94) em (5.90) leva à solução para a temperatura na forma:

( ) ( )0 2

1 0

2 mi m m

m m

s en s r / rK exp s Fo

s r / rθ θ

=

= −∑ (5.95)

na qual

( ) ( )( ) ( )

2 m m mm

m m m

sen s s cos sK

s sen s cos s⎡ ⎤−⎣ ⎦=

− (5.96)

( ) 01m m m ms ctg s Bi, s rλ= − = (5.97)

2o

o

hrtFo , Bir kα

= = (5.98)

Tanto no caso do cilindro quanto da esfera são apresentados resultados similares ao

caso da placa de espessura finita.

Page 13: 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

115

5.4 Condução multidimensional

Os resultados do item 5.3 podem ser usados para se determinar o campo de

temperatura em condução multidimensional como será ilustrado a seguir. Considere o caso

em que se deseja determinar a distribuição de temperatura numa barra retangular 2 2L H× .

Como ilustrado na Figura 5.3, a distribuição de temperatura numa barra imersa num

fluido pode ser determinada como o produto da solução da placa vertical pela solução da

placa horizontal. A equação original é da forma 2 2

2 2

1x y tθ θ θ

α∂ ∂ ∂

+ =∂ ∂ ∂

(5.99)

Supondo uma solução na forma

( ) ( ) ( )L Hx,t , y x,t y,tθ θ θ= × (5.100)

Derivando (5.100) duas vezes em relação a x e y, uma vez em relação ao tempo e substituindo

em (5.99), pode-se verificar que ela é automaticamente satisfeita 2 2

2 2

1 1 0L L H HH Lx t y t

θ θ θ θθ θα α

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂− + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5.101)

Ambos os termos entre parênteses são nulos o que mostra que a solução produto satisfaz a

equação original.

A solução (5.100) é respeitada apenas se a temperatura inicial também satisfaça

i i ,L i ,Hθ θ θ= × (5.102)

Dividindo (5.100) por (5.102) membro a membro, pode-se verificar que a temperatura

adimensional da barra também é o produto das temperaturas adimensionais das placas, ou

seja,

( ) ( ) ( )

2 2barra , placa , placa ,i i i

L H L metade da espessura H metade da espessura

x, y,t x,t y,tθ θ θθ θ θ

× = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.103)

Bejan (1993) mostra que a taxa total de transferência de calor pode ser calculada como

( )i i i i iL H L H

Q t Q Q Q QQ Q Q Q Q

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5.103)

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116

Figura 5.3 Produto de soluções unidimensionais

Outras soluções para outras geometrias podem ser obtidas da mesma maneira.

Considere o caso de um cilindro curto de comprimento 2L e raio externo or , como ilustrado

na Figura 5.4.

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117

Figura 5.4 – Determinação da temperatura dependente do tempo num cilindro curto.

A solução para este caso fica na forma

( ) ( ) ( )

oo

cilindro curto , cilindro longo, placa ,i i iL metade do comprimento r raio L metade da espessurar raio

r ,x,t r ,t x,tθ θ θθ θ θ

= = ==

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.104)

Os casos da placa semi-infinita e de um cilindro semi-infinito podem ser obtidos como

ilustrado na Figura 5.5.

Figura 5.5 – Determinação da temperatura dependente do tempo numa placa e num cilindro

semi-infinitos.

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118

A solução da placa semi-infinita é o produto da solução da placa de espessura finita

pela solução do sólido semi-infinito (item 5.5.3) e fica na forma

( ) ( ) ( )placa semi inf inita , placa infinita , meio semi-infinito ,i i iL metadade espessura L metade da espessura y normal a superficie

x, y,t x,t y,tθ θ θθ θ θ−

= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.105)

No caso do cilindro semi-infinito, a solução é da forma

( ) ( ) ( )

o o

cilindro semi infinito , cilindro infinito , meio semi-infinito ,i i ir raio r raio x normal a superficie

r ,x,t r ,t x,tθ θ θθ θ θ−

= = =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.106)

O calculo da taxa total de transferência de calor é feito nos casos das equações (5.104)

a (5.106) por uma equação similar à eq. (5.103)

Finalmente, no caso de um paralelepípedo, como ilustrado na Figura 5.6, a solução

tridimensional pode ser obtida como

( ) ( )

( )2 2barra , placa ,i i

L H L metade da espessura

placa ,iH metade da espessura

x, y,z,t x,t

y,t

θ θθ θ

θθ

× =

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤× ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )placa ,iW metade da espessura

z,t

θθ

=

⎡ ⎤× ⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.107)

5.6 - Determinação da temperatura dependente do tempo num paralelepípedo imerso num

fluido.

A taxa total de transferência de calor neste caso, de acordo com Bejan (1993) é

calculada como

( ) 1 1 1i i i i i i iL H L W L H

Q t Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (5.108)

Page 17: 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

119

5.5 Fontes e sumidouros concentrados

Neste item consideram-se casos de condução dependente do tempo em que o aspecto

principal é a geração (ou absorção) de calor em uma região muito pequena – uma região

concentrada- do meio condutor. Quando calor é liberado no meio a partir desta pequena

região, o processo será de condução transiente na vizinhança de uma fonte de calor. Exemplos

incluem fissuras cheias de vapor geotérmico, explosões subterrâneas, containeres de lixo

nuclear ou químico, cabos elétricos enterrados no subsolo.

Quando a pequena região recebe calor do meio infinito, a região funciona como um

sumidouro concentrado de calor. Um exemplo é o caso de um duto enterrado de um trocador

de calor através do qual uma bomba de calor recebe calor do meio ambiente (solo) a fim de

aumentá-lo e depositá-lo num edifício.

5.5.1 Fontes e sumidouros instantâneos

Considere, primeiramente, a direção x através de um meio infinito com propriedades

constantes ( )k , , ,cα ρ , Figura 5.7. A equação de condução na direção x , para o excesso de

temperatura ( ) ( )x,t T x,t Tθ ∞= − é:

2

2

1x tθ θ

α∂ ∂

=∂ ∂

(5.109)

Uma solução que satisfaz (5.109) pode ser do tipo:

( )2

4K xx,t exp

ttθ

αα⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.110)

na qual K é uma constante.

Integrando a eq. (5.110) resulta

( )2

4K xx,t dx exp dx

ttθ

αα∞ ∞

−∞ −∞

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ (5.111)

Após um rearranjo a eq. (5.111) pode ser escrita como

Page 18: 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

120

( )

( ) ( )( ) ( )

2 21 2

1 2 1 20 0

1 2

1 2

2 22 2 2 2

// /

/

/

d dx,t dx K exp exp

=K erf erf

=K erf erf

η η η ηθ ππ π

π

π

∞ −∞ ∞

−∞

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤− −∞ + ∞⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤− − ∞ + ∞⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

( )1 2

1 2

2/

/

=K erf

=2 K

π

π

(5.112)

A integral do lado esquerdo da eq. (5.112) é proporcional ao inventário de energia interna do

de meio inteiro:

( ) ( )u u Adx c T T Adx cA dxρ ρ ρ θ∞ ∞ ∞

∞ ∞−∞ −∞ −∞− = − =∫ ∫ ∫ (5.113)

na qual A é a grande área do plano normal à direção x . Mas

( )u u Adx Qρ∞

∞−∞− =∫ (5.114)

é depósito de calor no plano 0x = no instante de tempo 0t = . Combinando as equações

(5.112) a (5.114) obrem-se

1 22 /

QKcπ ρ

′′= (5.115)

na qual Q Q / A′′ = é o “poder” da fonte plana instantânea. Assim, o excesso de temperatura

na vizinhança do plano 0x = em que Q′′ é liberado no instante 0t = é

( )2

42Q xx,t exp

tc tθ

αρ πα′′ ⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(fonte plana instantânea) (5.116)

Figura 5.7 – Distribuição de temperatura na vizinhança de uma fonte de calor instantânea.

Page 19: 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

121

Fórmulas similares podem ser obtidas para fontes no formato de linha ou fontes

pontuais. Em tais casos tem-se

( )2

4 4Q rr,t expc t t

θρ πα α

′ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (fonte linha instantânea) (5.117)

( )( )

2

3 2 48 /Q rr,t exp

tc tθ

αρ πα⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(fonte ponto instantânea) (5.118)

5.5.2 Fontes e sumidouros persistentes (contínuos)

A distribuição de temperatura dependente do tempo e o processo de condução que são

induzidos por fontes que persistem no tempo podem ser determinados analiticamente pela

superposição de efeitos de um grande número de fontes instantâneas.

Assuma o caso, novamente, o caso da fonte plana, eq. (5.116), só que no instante 0t =

e no plano 0x = , a magnitude da fonte seja 0Q′′ . Então, pela eq. (5.116) tem-se a distribuição

de temperatura

( )2

00 42

Q xx,t exptc t

θαρ πα

′′ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.119)

Assuma também que no instante 1t t= , o plano 0x = recebe uma nova fonte, 1Q′′ . Se

esta nova fonte ocorrer só, ou seja, sem a presença de 0Q′′ , então a variação de temperatura

provocada por 1Q′′ poderia ser escrito na forma

( )( ) ( )

21

111

42Q xx,t exp

t tc t tθ

αρ πα

⎡ ⎤′′= −⎢ ⎥

−− ⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.120)

na qual, agora, 1t t− conta o tempo decorrido após a liberação de 1Q′′ .

Se 1Q′′ ocorrer na presença da temperatura criada por 0Q′′ no instante 0t = , então, a

distribuição de temperatura após 1t t= é simplesmente a soma de ( )0 ,x tθ e ( )1 ,x tθ . Ou seja,

para 0t > pode-se escrever

( )( )( ) ( )

0 1

0 1 1

, 0,

, ,

x t t tx t

x t x t t t

θθ

θ θ

⎧ < <⎪= ⎨+ <⎪⎩

(5.121)

Pode ser mostrado que 0 1θ θ θ= + satisfaz a eq. (5.109).

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122

Outras entradas podem ser adicionadas à eq. (5.121) se fontes adicionais de dimensão

iQ′′ forem depositadas em tempos it na fonte plana 0x = . Por exemplo, após o tempo nt t=

(isto é, após 1n + depósitos), a distribuição de temperatura é dada por

( ) 0 1 2, nx tθ θ θ θ θ= + + + + (5.122)

Uma fonte contínua no plano 0x = em o mesmo efeito que uma seqüência de um

grande número de pequenas fontes planas instantâneas de igual tamanho:

Q q t′′ ′′Δ = Δ (5.123)

na qual ( )2/q W m′′ é o depósito de calor por unidade de área e tempo, e tΔ é a curta duração

de cada depósito (tiro). Quando tΔ se torna infinitesimalmente pequeno, a soma na eq.

(5.122) é substituída por uma integral

( )

( ) ( )

0

2

0

,

exp42

t

i

t

x t d

q x dtc t

θ θ τ

τα τρ πα τ

=

⎡ ⎤′′= −⎢ ⎥

−− ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (5.124)

No integrando, a variável muda τ marca o tempo quando cada adicional fonte q dτ′′

entra em ação. Quando a integral (5.124) é avaliada o resultado é a distribuição de

temperatura próxima ao plano 0x = em que fontes contínuas q′′ são ligadas no tempo 0t = :

( )2

4 2 2q x xq t xx,t exp erfc

c t k tθ

ρ πα α α

′′⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

(fonte plana contínua) (5.125)

No plano 0x = tem-se

( )1 2

0/q t,t

ρ πα′′ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.126)

o que mostra que mesmo que a fonte plana persista em nível constante q′′ , a temperatura na

fonte plana e no meio aumenta quando o tempo t cresce.

As distribuições de temperatura também podem ser obtidas de forma similar para

fontes linhas e pontuais contínuas. No caso de fontes linhas, pela eq. (5.117) pode obter

( ) 2 44

u

r / t

q er,t duk uα

θπ

−∞′= ∫ (fonte linha contínua) (5.127)

Em um tempo suficientemente longo e/ou para distâncias radiais pequenas, onde o grupo 2 / 4r tα é menor do que 1, a distribuição de temperatura se aproxima por

( )2

2

4, ln 0,5772 14 4q t rr t

k r tαθ

π α′ ⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞≅ − <<⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

(5.128)

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123

O efeito de uma fonte pontual contínua pode ser determinado pela superposição de um

grande número de fontes pontuais instantâneas de igual tamanho:

( )2

4 2q rr,t e rfckr t

θπ α

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (fonte pontual contínua) (5.129)

Lembrando que ( )0 1erfc = , pode-se concluir que na medida em que o tempo cresce e o

argumento ( )1/ 2/ 2r tα⎡ ⎤⎣ ⎦ se torna consideravelmente menor do que 1, a distribuição de

temperatura se estabiliza no nível

( )4

qr,kr

θπ

∞ = (5.130)

As mesmas fórmulas e equações se aplicam para o caso de sumidouros instantâneos e

contínuos, pela simples troca dos sinais de ( ), , , , ,Q Q Q q q q′′ ′ ′′ ′ nas respectivas equações.

5.5.3 Fontes de calor móveis

Uma característica das fontes e sumidouros móveis é a simetria das isotermas em

torno do local da fonte. Agora, considera o caso de fontes que se movem em relação ao meio

condutivo com velocidade constante, como ilustrado na Figura 5.8, a qual pode representar

um processo de soldagem de duas chapas. Após um longo período de tempo, pode-se escrever

as equações governantes para essa fonte linha como 2

2

T TUx y

α∂ ∂=

∂ ∂ (5.131)

T T∞= em y = ±∞ (5.132)

( )q cU T T dyρ∞

∞−∞′ = −∫ (5.133)

Figura 5.8 – Fonte móvel

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124

A solução do problema (5.131) a (5.133) pode ser obtida definindo as variáveis

( )( )

( )1/ 2/, q cT x y T

U xρ θ η

α∞

′− = (5.134)

1/ 2Uyx

ηα⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(5.135)

as quais substituídas em (5.131) a (5.133) resulta 2

2

1 02 2

d dd dθ η θ θη η

+ + = (5.136)

0θ = em η = ±∞ (5.137)

1dθ η∞

−∞=∫ (5.138)

A solução de (5.136) que satisfaz (1.236) e (5.137) deve ser do tipo 2 / 4Ce ηθ −= (5.139)

a qual substituída em (5.138) leva ao resultado para a constante C

( )

2

2

2 2

2 2

/ 4

2

0 2 2

0

1/ 22 2

1/ 2 1/ 20 0

1/ 2

1

2 12

2 12 2

2 22 12 2 2

C e d

C e d

C e d e d

C e d e d

C erf e

η

η

η η

η η

η

η

η η

π η ηπ π

π

∞ −

−∞

⎛ ⎞−∞ ⎜ ⎟⎝ ⎠

−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −−∞ ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦− −∞ +

∫ ∫

∫ ∫

( )( )1/ 2

1/ 2

1

2 1

1/ 2

rf

C erf

C

π

π

⎡ ⎤∞ =⎣ ⎦∞ =

=

(5.140)

A solução para θ será, portanto, da forma 2 / 4

1/ 22e η

θπ

= (5.141)

que substituída em (5.134) juntamente com (5.135) leva ao resultado para a distribuição de

temperatura:

( )( )

2

1/ 2/, exp

44q c UyT x y T

xU xρ

απ α∞

′ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.142)

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125

No caso de uma fonte pontual contínua, de forma similar pode-se obter a distribuição

de temperatura como

( )2/, exp

4 4q c UrT x r T

x xρ

πα α∞

⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5.143)

5.6 Solidificação e fusão

Os problemas de transferência de calor com mudança de fase envolvem um

movimento de fronteira cuja posição deve ser determinada como parte da solução. Os casos

considerados aqui são de fusão e solidificação.

5.6.1 Solidificação e fusão unidimensional

A Figura 5.9 ilustra os casos de fusão e solidificação unidimensional de um material.

Figura 5.9 – Processos de fusão e solidificação

A Figura 5.10 ilustra o movimento da fronteira e balanço de energia na mudança de

fase. Considerando um volume de controle em torno da fronteira móvel tem-se pela primeira

lei da termodinâmica

l s lx , lado liquido

d d TA h A h k Adt dt x δ

δ δρ ρ=

∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ em ( )x tδ= (5.144)

Page 24: 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente · 103 5. Condução de Calor Multidimensional em Regime Transiente A condução transiente ocorre principalmente quando

126

na qual A , lh sh são a entalpia são a área frontal do volume de controle, a entalpia específica

do líquido e a entalpia específica do sólido respectivamente. O termo do lado direito de

(5.144) representa a transferência de calor que chega de cima, isto é, do lado líquido da frente

de fusão. Não foi considerado nenhum termo de transferência de calor do lado do sólido da

frente de fusão, pois o sólido foi considerado isotérmico. O coeficiente lk é, portanto, a

condutividade térmica do líquido.

Figura 5.10 – Fusão de um sólido semi-infinito

O cálculo da frente de fusão requer a determinação dos campos de temperatura. Uma

solução simples é baseada na observação de que bem no início do processo, quando a camada

de fusão é bem fina, a distribuição de temperatura é linear:

( )( )0

1m

m

T x,t T xT T tδ

−≅ −

− (5.145)

da qual se obtém

( )( )

0 mT x,t T Tx tδ

∂ −≅ −

∂ (5.146)

Substituindo (5.146) em (5.144) resulta uma equação para determinar δ :

( )0l

msl

kd T Tdt hδδ

ρ≅ − (5.147)

cuja solução é

( ) ( )1 2

02/

lm

sl

k tt T Th

δρ

⎡ ⎤≅ −⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.148)

em que sl l sh h h= − é o calor latente de fusão do material.

De acordo com Bejan (1993) uma solução exata foi obtida por Stefan e é da forma:

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127

( ) ( ) ( )01 2 2 m/

sl

c T Texp erf

hπ λ λ λ

−= (5.149)

na qual c é o calor específico do líquido e λ é um número adimensional definido como

( )1 22 /tδλα

= (5.150)

O grupo aparecendo do lado direito da eq. (5.149) é denominado por número de Stefan:

( )0 m

sl

c T TSte

h−

= (5.151)

No caso em que há troca de calor tanto no líquido quanto no sólido como ilustrado nos

processos de solidificação e fusão da Figura 5.11, a equação na interface fica na forma

( )s ls l sl

d tT Tk k hx x dt

δρ∂ ∂

− =∂ ∂

em ( )x tδ= (5.152)

Se do lado líquido predominar um processo de troca convectiva com coeficiente de troca de

calor convectivo h , a equação na interface fica na forma

( ) ( )ss m sl

d tTk h T T hx dt

δρ∞

∂− − =

∂ em ( )x tδ= (5.153)

Figura 5.11 Processo de mudança de fase: (a) solidificação; (b) fusão

Se as densidades do líquido e do sólido forem diferentes, com s lρ ρ> e considerando

movimento do líquido pelos efeitos volumétricos, a equação na interface fica como

( )s ls l l l s s x l l l

T Tk k h h V hVx x

ρ ρ ρ∂ ∂− = − −

∂ ∂ em ( )x tδ= (5.154)

na qual lV é a velocidade do líquido pelos efeitos volumétricos e a velocidade da fronteira é

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128

( )x

d tV

dtδ

= (5.155)

Um balanço de massa na fronteira leva ao resultado

( )l s x l lV Vρ ρ ρ− = (5.156)

da qual se obtém

( )l s xl

l

VV

ρ ρρ−

= (5.157)

Substituindo (5.157) em (5.154) obtém-se na interface

( )s ls l s l s x s sl x

T Tk k h h V h Vx x

ρ ρ∂ ∂− = − =

∂ ∂ em ( )x tδ= (5.158)

que é idêntica à eq. (5.152), exceto com a massa específica do sólido no lugar da massa

específica constante.

5.6.2 Solidificação e fusão multidimensional

No caso de um processo de fusão ou solidificação tridimensional, a frente de mudança

de fase será uma superfície no espaço como ilustrado Figura 5.12 dada pela função

( ) 0F x, y,z,t = .

Figura 5.12 – Solidificação em três dimensões.

Para um movimento da fronteira na direção da normal n , o balanço de energia na

fronteira leva à equação

( )s ls l l s n

T Tk k h h Vn n

ρ∂ ∂− = −

∂ ∂ em ( ) 0F x, y,z,t = (5.159)

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129

Uma forma explícita de escrever a função que representa a superfície de mudança de

fase é:

( ), , , ( , , ) 0F x y z t z s x y t≡ − = (5.160)

O vetor normal à superfície pode ser calculado como

FnF

∇=∇

(5.161)

A superfície F está na temperatura de mudança de fase e, portanto, ela é uma superfície

isotérmica; conseqüentemente, T∇ é normal a esta superfície, daí,

,i

i

TFn i s ou lF T

∇∇= = =∇ ∇

(5.162)

A partir de (5.162) pode-se obter que

,i ii

T T FT n i s ou ln F

∂ ∇ ∇= ∇ = =

∂ ∇ii (5.163)

nV FV V n

F∇

= =∇ii (5.164)

A derivada total de (5.160) é:

0F F F Fdt dx dy dzt x y z

∂ ∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (5.165)

da qual se obtém

F dx F dy F dz Fx dt y dt z dt t

FV Ft

∂ ∂ ∂ ∂+ + = −

∂ ∂ ∂ ∂∂

∇ = −∂

i (5.166)

/n

F tV V nF

−∂ ∂= =

∇i (5.167)

Também se pode demonstrar que

, , 1,F s F s F F sx x y y z t t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − = − = = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (5.168)

22

1ii

T s sT Fz x y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇ ∇ = + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦i (5.169)

22

1 /i iT T s s Fn z x y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞= + + ∇⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (5.170)

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130

Substituindo (5.167) e (5.170) em (5.159) resulta para o caso tridimensional a equação

na interface: 22

1 s ls l sl

T Ts s sk k hx y z z t

ρ⎡ ⎤⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞+ + − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

em ( )z s x, y,t= (5.171)

Os casos bidimensionais e unidimensionais podem ser obtidos a partir de (5.171) como 2

1 s ls l sl

T Ts sk k hx z z t

ρ⎡ ⎤ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞⎛ ⎞+ − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

em ( )z s x,t= (2D) (5.172)

s ls l sl

T T dsk k hz z dt

ρ∂ ∂⎛ ⎞− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ em ( )z s t= (1D) (5.173)

A eq. (5.173) é idêntica à eq. (5.152), bastando trocar z por x .

5.7 Métodos numéricos

Os métodos numéricos utilizados para o caso de condução em regime permanente,

também se aplicam aos casos de condução transiente bastando incluir o termo transiente na

equação.

5.7.1 Volume finito

Considere um volume de controle de dimensões ( ) ( )x y WΔ × Δ × , Figura 5.13, um

balanço de energia leva ao

w e s n gE q q q q qt

∂= + + + +

∂ (5.174)

na qual foi assumido que as taxas de calor entram no volume de controle, cujo nó central é

identificado pelo símbolo P . O subscrito w é a face oeste voltada para o nó W ; e a face leste

voltada para o nó E ; s á face sul voltada para o nó S e n é a face norte voltada para o nó N .

As taxas de calor que entram no volume de controle, a variação de energia dentro do volume

de controle e a geração calor são definidas como

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131

( )

( ) ( )

( )

,

N Pn n

n

W P E Pw w g e e

w e

S Ps s

s

T Tq k W xy

T T E T T Tq k W y x yWc q x yWq q k W yx t t x

T Tq k W xy

δ

ρδ δ

δ

−≅ Δ

− ∂ ∂ −′′′≅ Δ = Δ Δ = Δ Δ ≅ Δ∂ ∂

−≅ Δ

(5.175)

Figura 5.13 – Volume de controle em torno de um ponto P.

A eq. (5.174) pode ser reescrita como

w e s nTc V q q q q q Vt

ρ ∂ ′′′Δ = + + + + Δ∂

(5.176)

A discretização do termo transiente em (5.176) pode ser feita na forma

( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

11

1

+ 1

+ 1

mm mP P w e s n

mw e s n

m m

Vc T T f q q q qt

f q q q q

f q V f q V

ρ ++

+

Δ− = + + + +

Δ

− + + + +

′′′ ′′′Δ + − Δ

(5.177)

na qual 0 1f≤ ≤ é um parâmetro para indicar se o esquema de discretização no tempo é

explícito, 0f = , semi-implícito, 0 1f< < ou totalmente implícito, 1f = . m indica o passo

de tempo e 1m mt t t+Δ = − . O caso 0 5f ,= é conhecido como esquema de Crank-Nicolson.

Substituindo as definições das taxas da eq. (5.175) e p p Cq S T S′′′ = + em (5.177)

obtém-se

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132

( ) 1

1 1 1 1W E S N

mS N W E p P

m m m mW E S N

x yc f a a a a S x y Tt

f a T a T a T a T b

ρ +

+ + + +

Δ Δ⎡ ⎤+ + + + − Δ Δ =⎢ ⎥Δ⎣ ⎦⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦

(5.178)

( )( )

( )( )

1

1

1W E S N

mS N W E p P

m m m mW E S N

mP P c

x yb c f a a a a S x y Tt

f a T a T a T a T

f S x yT S x y

ρ Δ Δ⎡ ⎤= − − + + + − Δ Δ +⎢ ⎥Δ⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + + + +⎣ ⎦

+ − Δ Δ + Δ Δ

(5.179)

Numa forma compacta a eq. (5.178) pode ser reescrita como

( )p P W W E E S S N Na T f a T a T a T a T b= + + + + (5.180)

na qual o superscrito 1m + foi desconsiderado e os coeficientes são:

( )e

Ee

k yaxδΔ

= (5.181a)

( )w

Ww

k yaxδΔ

= (5.181b)

( )n

Nn

k xayδΔ

= (5.181c)

( )s

Ss

k xayδΔ

= (5.181d)

( )p E W N S Px ya c f a a a a S x y

tρ Δ Δ

= + + + + − Δ ΔΔ

(5.181e)

No caso de um problema tridimensional, a coordenada z também será discretizada e

existirão fluxos nas faces t (topo) e b (fundo), equação (5.180) e os coeficientes ficam na

forma

( )p P W W E E S S N N T T B Ba T f a T a T a T a T a T a T b= + + + + + + (5.182)

na qual

( )e

Ee

k y zaxδ

Δ Δ= (5.183a)

( )w

Ww

k y zaxδΔ Δ

= (5.183b)

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133

( )n

Nn

k x zayδΔ Δ

= (5.183c)

( )s

Ss

k x zayδ

Δ Δ= (5.183d)

( )t

Tt

k x yazδ

Δ Δ= (5.183e)

( )b

Bb

k x yazδ

Δ Δ= (5.183f)

( )p E W N S T B Px y za c f a a a a a a S x y z

tρ Δ Δ Δ

= + + + + + + − Δ Δ ΔΔ

(5.183g)

( )( )

( )( )

1

1

1W E S N

mS N W E B T p P

m m m m m mW E S N B B T T

mP P c

x y zb c f a a a a a a S x y z Tt

f a T a T a T a T a T a T

f S x y zT S x y z

ρ Δ Δ Δ⎡ ⎤= − − + + + + + − Δ Δ Δ +⎢ ⎥Δ⎣ ⎦⎡ ⎤+ − + + + + + +⎣ ⎦

+ − Δ Δ Δ + Δ Δ Δ

(5.183h)

5.7.2 Diferença finita

Será considerado o seguinte caso

T T Tc k k qt x x y y

ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ′′′= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(5.184)

O lado direito da eq. (5.184) já foi discretizado na eq. (1.85) e, portanto, (5.184) pode ser

reescrita, usando a notação da Figura 5.14, como

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )2 2 2 2 2 2

, 1 1, 2 , 2 , 1, , 11 T i j T i j T i j T i j T i j T i jT qt ky x x y x yα

− − + + ′′′∂= + − − + + +

∂ Δ Δ Δ Δ Δ Δ (5.185)

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134

Figura 5.14 – Nomenclatura para discretização por diferença finita.

Ou usando a eq. (1.86) pode-se reescrever (5.185) como

, 1 1, , 1, , 1 ,1

i j i j i j i j i j i jT aT bT cT bT aT dtα − − + +

∂= + + + + +

∂ (5.186)

na qual, agora

( )21ay

(5.187a)

( )21bx

(5.187b)

( ) ( )2 22 2cx y

= − −Δ Δ

(5.187c)

,i jqdk′′′

= (5.187d)

A discretização do termo transiente na eq. (5.186) pode ser feita de várias formas, pelo

uso do parâmetro f como na equação (5.177). Desta forma após discretizar o termo

transiente em (5.186) tem-se

( )

( )( )

11, ,

, 1 1, , 1, , 1 ,

, 1 1, , 1, , 1 ,

1

+ 1

m mmi j i j

i j i j i j i j i j i j

m

i j i j i j i j i j i j

T Tf aT bT cT bT aT d

t

f aT bT cT bT aT d

α

++

− − + +

− − + +

−= + + + + + +

Δ

− + + + + +

(5.188)

Os casos clássicos são: método explícito, 0f = , que é condicionalmente estável; método

implícito, 1f = , incondicionalmente estável e o caso 0 5f ,= , esquema Crank-Nicolson que

é uma discretização de segunda ordem no tempo.

Considere o caso em que x yΔ = Δ e 0f = . A eq. (5.188) pode ser reescrita como

( )( ) ( )21, , 1 1, 1, , 1 , , 1 4

mm m

i j i j i j i j i j i j i jT Fo T T T T d x Fo T+− − + += + + + + Δ + − (5.189)

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135

Na qual foi definido o número de Fourier com base no tamanho da malha

( )2tFo

xαΔ

(5.190)

Para que o método explícito seja estável, a seguinte condição dever ser satisfeita:

( )1 4 0Fo− ≥ , que leva a

14

Fo ≤ (5.191)

O que restringe o passo de tempo em valores

( )2

4x

ΔΔ ≤ (5.192)

O caso 1f = leva à seguinte equação para o método implícito:

( ) ( )( ) 121, , 1 1, , 1, , 1 , ,1 4

mm m

i j i j i j i j i j i j i j i jFo T Fo T T T T T d x T+

+− − + ++ − + + + + + Δ = (5.193)

5.7.3 Elemento finito

O método de elementos finitos, ilustrado na Figura 5.15, também tem sido usado para

se resolver a equação de condução, devido sua versatilidade para discretização de domínios

complexos. A equação de condução transiente é:

( )Tc k T qt

ρ ∂ ′′′−∇ ∇ =∂

i i (5.194)

Multiplicando a equação (5.194) por uma função de ponderação W e integrando no domínio

de um elemento, após uma integração por partes obtém-se

e e e

e e e e

e e e eij ij i

i j j

TW c d W k Td Wq dtTW c d W k Td Wk T nd Wq dtT W T TW c d k d Wk n d Wq dt x x x

ρ

ρ

ρ

Ω Ω Ω

Ω Ω Γ Ω

Ω Ω Γ Ω

∂ ′′′Ω − ∇ ∇ Ω = Ω∂∂ ′′′Ω + ∇ ∇ Ω− ∇ Γ = Ω∂∂ ∂ ∂ ∂ ′′′Ω + Ω = Γ + Ω∂ ∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

i i

i i i i (5.195)

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136

Figura 5.15 – Malhas de elementos finitos: (a) elementos triangulares; (b) elementos

quadrilaterais.

Nas equações onde aparecem os índices i e j está implícita a regra de soma de

Einstein. Agora, interpola-se a temperatura dentro de um elemento na forma:

( ) ( ){ }eT N r T t= (5.196)

na qual

1

2

T

Ne

NN

N

N

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

; { }1

2e

Ne

TT

T

T

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

(5.197a, b)

em que iN e iT são funções de interpolação conhecidas e associadas ao nó i de um elemento e

os valores nodais da temperatura respectivamente num elemento. Tomando caso do método

de Galerkin, em que

W N= (5.198)

e substituindo (5.196) e (5.198) em (5.195) resultará

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137

{ } { }

{ } { }

e e

e e

ee

iji j

ij ij

dT N Nc N N d k d Tdt x x

TN k n d N q dx

ρΩ Ω

Γ Ω

⎧ ⎫⎧ ⎫ ∂ ∂Ω + Ω =⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∂ ′′′= Γ + Ω∂

∫ ∫

∫ ∫ (5.199)

A equação (5.199) pode ser escrita numa forma matricial como

{ } { }e

e e e edTM K T Qdt

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ =⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎩ ⎭ (5.200)

Na qual os elementos das matrizes de massa eM⎡ ⎤⎣ ⎦ , de rigidez eK⎡ ⎤⎣ ⎦ e do vetor carga

{ }eQ são definidos como

e

eM cN N dαβ α βρ

Ω= Ω∫ (5.201)

e

eij

i j

NNK k dx xαβ

βαΩ

∂∂= Ω

∂ ∂∫ (5.202)

e e

eij i

j

TQ N k n d N q dxα α αΓ Ω

∂ ′′′= Γ + Ω∂∫ ∫ (5.203)

O primeiro termo do lado direito da Eq. (5.203) será avaliado somente nos elementos

que tenha um contorno coincidindo com o contorno externo do domínio com fluxo de calor

especificado.

A discretização do termo transiente na eq. (5.200) pode ser feita como nos casos de

diferenças finitas, resultando a equação discretizada na forma

{ } ( ) { }

{ } ( ){ }

11

1

1

1

m me e m me e e e e e

m me e

T TM M f K T f K Tt t

f Q f Q

++

+

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Δ Δ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

= + −

(5.204)

ou

{ } ( ) { }

{ } ( ){ }

11

1

1

1

m me em me e e e e e

m me e

T TM f K T M f K Tt t

f Q f Q

++

+

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = − − +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Δ Δ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

+ + −

(5.205)

Se o domínio for discretizado em um número de elementos Nelem, considerando a

contribuição de todos os elementos, resultará a forma matricial,

[ ]{ } { }G T Q= (5.206)

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138

na qual, agora, a matriz [ ]G e o vetor { }Q conterão a contribuição de todos os elementos:

[ ]1

1Neleme e

eG M f K

t=

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥Δ⎣ ⎦∑ (5.207)

{ } ( ) { } { }1 1

1 1Nelem Nelemme e e e

e eQ M f K T Q

t= =

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥Δ⎣ ⎦∑ ∑ (5.208)

O vetor { }T conterá as temperaturas de todos os pontos do domínio.

A solução da equação (5.206) é feita após introdução dos valores conhecidos de

temperatura em alguma parte do contorno do domínio, por técnicas numéricas apropriadas

para solução de sistemas lineares esparsos.