103

5. Conduo de Calor Multidimensional em Regime Transiente

A conduo transiente ocorre principalmente quando um slido experimenta uma

mudana repentina em seu ambiente trmico, por exemplo, nos processos de tratamento

trmico. Os mtodos usados para se resolver tais problemas englobam o modelo de

capacitncia concentrada ou o modelo de slido semi-infinito, transformada de Laplace,

transformada integral, mtodos numricos (diferena finita, elemento finito, etc.) e mtodos

aproximados. Alguns destes mtodos sero vistos na seqncia.

5.1 O modelo da capacitncia concentrada

A essncia do mtodo da capacitncia concentrada a hiptese de que a temperatura

do slido espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Ou

seja, despreza-se o gradiente de temperatura no interior do corpo. Sob determinadas

condies, o modelo de capacitncia concentrada pode ser aplicado. Normalmente, um

processo de conduo transiente inicia-se pela conveco imposta na superfcie do slido, mas

dependendo do nvel de temperatura pode ocorrer transferncia radiativa. A Figura 5.1 ilustra

o processo.

Figura 5.1 Resfriamento de um slido por imerso num lquido.

Considere uma situao na qual as condies trmicas de um slido podem ser

alteradas por conveco, radiao e fluxo de calor aplicados superfcie e gerao interna de

energia. Assume-se que no instante 0t = a temperatura do slido seja iT diferente da

temperatura do fluido T e da temperatura da vizinha vizT . Em parte da superfcie imposto

104

um fluxo qe a gerao interna gq . Desprezando gradientes de temperatura no interior do

slido, um balano de energia fornece

, , ,s h g c s c r s rdTq A q q A q A Vcdt

+ = (5.1)

Substituindo os fluxos de calor convectivo e radiativo na equao (5.1) resulta a equao

( ) ( )4 4, , ,s h g s c viz s r dTq A q h T T A T T A Vc dt + = (5.2)

A equao (5.2) uma equao diferencial ordinria no linear que pode ser rearranjada na

forma

( )( ) ( )

4 4

, , ,viz

s h g s c s r

T T dTq A q hA A T T VcT T dt

+ + =

(5.3)

ou definindo o excesso de temperatura, T T = , resulta aps algumas manipulaes

( ) ,, 0s h ge s c q A qh Addt Vc Vc

+ + =

(5.4)

na qual

( ) ( )( )4 4

,

,

viz s re

s c

T T Ah h

T T A

= +

(5.5)

Definindo

,e s ch AaVc

= ; ,s h gq A q

bVc

+= (5.6)

a equao (5.4) pode ser reescrita como

( ) ( ) ( ) ( ) 0d t a t t b tdt

+ = (5.7)

com a condio inicial

( )0 i = (5.8)

A soluo da Eq. (5.7) com condio inicial (5.8) da forma

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0t t t tit exp a t dt exp a t dt b t exp a t dt dt = + (5.9) No caso em que se tenha somente conveco no contorno do slido e nenhuma

gerao interna

, 0shAa bVc

= = (5.10)

105

Em tal caso, resulta a soluo

( ) sihAt exp tVc

=

(5.11)

Uma anlise mostra que o modelo de capacitncia concentrada vlido quando o

nmero de Biot que razo da resistncia condutiva pela resistncia convectiva for

0 1cihLB ,k

= < (5.12)

5.2 O modelo do slido semi-infinito

O modelo de capacitncia concentrada se aplica quando a temperatura atravs do

slido tem praticamente o mesmo valor, num perodo que denominado regime posterior,

quando

( )2

0rt T T t

>> (5.13)

na qual 0r uma dimenso caracterstica do corpo. No regime inicial, quando,

( )2

0rt T T r ,t

106

5.2.1 O modelo do slido semi-infinito: temperatura constante no contorno

Considere o seguinte caso, 2

2

1T Tx t

=

(5.15)

com as condies inicial e de contorno definidas com a seguir,

Condio inicial:

iT T= em 0t = (5.16)

Condies de contorno:

T T= em 0x = (5.17)

iT T em x (5.18)

A soluo das equaes (5.15) por ser pelo uso de varivel de similaridade, desta

forma, define-se

xt

= (5.19)

Os termos da Eq. (5.15) podem ser transformados como

1T dT dTx d x d t

= =

(5.20)

2 2

2 2

1T d T d Tx d x x d t

= = (5.21)

3 22 /T dT dT xt d t d t

= =

(5.22)

Que substitudos em (5.15) leva equao: 2

2 02d T dTd d

+ = (5.23)

Com as condies de contorno, agora, representadas por

T T= em 0 = (5.24)

iT T em (5.25)

A Eq. (5.23) pode ser rearranjada como

( )2

d T dTd , TT d

= =

(5.26)

Integrando duas vezes em , a equao (5.26) leva ao seguinte resultado:

107

2

14lnT lnC = + (5.27)

2

1 4dT C expd

=

(5.28)

2

1 20 2T C exp d C

= +

(5.29)

na qual uma varivel muda e de acordo com a equao (5.24), 2C T= :

2

1 0 2T T C exp d

=

(5.30)

O membro direito da Eq. (5.30) lembra a funo erro, definida como

( ) ( )21 2 02 x

/erf x exp m dm= (5.30)

Com as seguintes propriedades

( ) ( )0 0 1erf erf= = (5.31a, b)

( ) 1 202 1 1284/x

d erf x ,dx =

= = (5.32)

O lado direito da equao (5.30) pode ser reformulado como

( )

( )( )

2

1 0

2 21 0

1 2 2 21 1 2 0

3

22 2

2

222

2

/

/ /

/

T T C exp d

= C exp m dm

= C exp m dm

= C erf /

=

(5.33)

Pela condio de contorno (5.25), 3C determinada como, 3 iC T T= . A soluo

para ( )T x,t fica na forma

( )( )1 22 /i

T x,t T xerfT T t

=

(5.34)

A partir da equao (5.34) pode-se calcular o fluxo de calor por

( )( )1 20

i/

x

T TTq t k kx t

=

= = (5.35)

108

5.2.2 O modelo do slido semi-infinito: fluxo de calor constante no contorno

Considere, agora, o caso em que a condio de contorno em 0x = , seja fluxo e calor

constante especificado, ou seja, em lugar de (5.17) tem-se

0Tk qx

=

em 0x = (5.36)

Definindo uma nova varivel como

Tkx

=

(5.37)

e introduzindo-a na eq. (5.15) resulta 2

2

1x t

=

(5.38)

As condies inicial e de contorno ficam na forma para a varivel

0 = em 0t = (5.39)

0q = em 0x = (5.40a)

0 em x (5.40b)

De acordo com o item 5.5.1, a soluo de (5.38) da forma

1 22xC erf C

t

= +

(5.41)

Usando as condies de contorno (5.40a, b) obtm-se 1 0C q= e 2 0C q= , e, portanto,

0 01 2 2x xq erf q erfc

t t

= =

(5.42)

Substituindo (5.42) em (5.37) resulta

0

2qT xerfc

x k t

= (5.43)

que integrada leva ao resultado

0

2xq xT erfc dx Ck t

= +

(5.44)

Aps integrao por partes da integral na eq, (5.44) obtm-se e determinado a constante C

obtm-se a soluo para ( )T x,t na forma

( )2

0 024 2i

q q xt x xT x,t T exp erfck t k t

=

(5.45)

109

A partir de (5.45) pode-se obter a temperatura na face 0x = como

00

2i

q tT Tk

= +

(5.46)

5.2.3 O modelo do slido semi-infinito: superfcie em contato com um fluido

Neste caso a condio de contorno em 0x = imposta na forma

( )Tk h T Tx

=

em 0x = (5.47)

Por procedimentos similares aos dos casos anteriores chega-se soluo na forma:

( ) 222 2i

T x,t T x hx h t x h te rf exp erfcT T k k kt t

= + + +

(5.48)

5.3 Conduo unidimensional

O interesse em solues unidimensionais transientes que elas sero usadas,

posteriormente, nas solues multidimensionais.

5.3.1 Placa de espessura constante

Considere o caso de uma placa de espessura 2L e temperatura inicial iT , cujos lados

so repentinamente expostos a um meio convectivo de temperatura T e coeficiente h .

Definindo o excesso de temperatura ( ) ( )x,t T x,t T = , resulta o conjunto de equaes para

soluo do problema:

- equao de conduo 2

2

1x t

=

(5.49)

- condio inicial

i = em 0t = (5.50)

110

- condies de contorno

0x=

em 0x = (5.51)

k hx =

em x L= (5.52)

Pelo procedimento de separao de variveis, adotando ( ) ( ) ( )x,t X x t = , obtm-se 2

22 0

d X xdx

+ = (5.53)

0dXdx

= em 0x = (5.54)

0dX h Xdx k

+ = em x L= (5.55)

2d dt

= (5.56)

A soluo de (5.53) a (5.55) corresponde ao caso 4 da Tabela 4.2, sendo da forma:

mxX cos LL

=

(5.57)

A soluo de (5.56) do tipo:

( )2C exp t = (5.58) Portanto, a soluo de ser da forma:

( ) ( ) ( )21

m m mm

x,t C cos x exp t

=

= (5.59)

Aplicando a condio inicial obtm-se

( )1

i m mm

C cos x

=

= (5.60)

Operando ambos os da eq. (5.60) por ( )0

L

ncos x dx e usando a condio de ortogonalidade das autofunes

( ) ( )20 0

L L

i m m mcos x dx C cos x dx = (5.61) Aps efetuar as integraes em (5.61) chega expresso da constante:

( )( ) ( )

2 i mm

m m m

sen LC

L sen L cos L

=

+ (5.62)

A substituio de (5.62) em (5.59) leva soluo para a temperatura na forma:

111

( ) ( )

( )( ) ( )

22

12

i i

mm m

m m m m

x,t T x,t TT T

sen a x tcos a exp aa sen a cos a L L

=

=

= +

(5.63)

na qual

( )m m m mhLa tg a , a Lk

= = (5.64)

Na forma adimensional i

T TT T

, a temperatura depende de trs grupos adimensionais:

2

x t hL, Fo , BiL L k

= = (5.65)

na qual Fo e Bi so os nmeros de Fourier e de Biot respectivamente.

A temperatura no plano mdio da placa pode ser calculada fazendo 0x = na eq.

(5.63), resultando

( )( ) ( ) ( )

2

12 mc m

mi m m m

sen aT T exp a FoT T a sen a cos a

=

=

+ (5.66)

A temperatura em qualquer outro plano da placa pode ser calculada na forma:

( ) ( )( )

( )ci c i

T x,t T T x,t T T t TT T T t T T T

=

(5.67)

comum graficar os termos entre colchetes na eq. (5.67) em funo do nmero de Fourier

tendo o nmero de Biot como um parmetro para facilitar estimativas rpidas da temperatura.

A taxa total de transferncia de calor de interesse. Considerando apenas metade da

placa, a mxima taxa de transferncia de calor num intervalo 0 t calculada por

( )i iQ WHLc T T = (5.68)

na qual W e H so a largura e altura da placa respectivamente frontal transferncia de

calor.

A taxa de calor real num intervalo 0 t sempre menor do que o mximo e pode ser

calculada como

( )0

tQ t WH q dt= (5.69)

na qual

x L

Tq kx =

= (5.70)

112

Normalmente se grfica ( ) iQ t / Q em funo de 2Bi Fo .

5.3.2 Cilindro longo

No caso de um cilindro longo, as equaes governantes ficam na forma:

- equao de conduo 2

2

1 1r r r t

+ =

(5.71)

- condio inicial

i = em 0t = (5.72)

- condies de contorno

0r=

em 0r = (5.73)

k hr =

em or r= (5.74)

A separao de variveis agora proposta como ( ) ( ) ( )r ,t R r t = , que resulta em 2

22

1 0d R dR Rdr r dr

+ + = (5.75)

0dRdr

= em 0r = (5.76)

0dR h Rdr k

+ = em or r= (raio externo) (5.77)

A equao na varivel tempo idntica do caso do item 5.3.1. A soluo geral da eq. (5.75)

do tipo:

( ) ( )1 0 2 0R C J r C Y r = + (5.78)

na qual 0J e 0Y so funes de Bessel de ordem zero do primeiro e segundo tipos

respectivamente.

O valor finito da temperatura no centro do cilindro requer que 2 0C = . A soluo final

para a temperatura ser da forma:

( )( ) ( ) ( )

202 2

1 0

2n n

ni on n

T r,t T Bi rJ b exp b FoT T rb Bi J b

=

= + (5.79)

113

Na qual os nmeros de Fourier e Biot so definidos como

2o

o

hrtFo , Bir k

= = (5.80)

e os autovalores n n ob r= s as razes da equao transcendental:

( ) ( )1 0 0n n nb J b BiJ b = (5.81)

5.3.3 Esfera

No caso de uma esfera, as equaes governantes ficam na forma:

- equao de conduo 2

2

2 1r r r t

+ =

(5.82)

- condio inicial

i = em 0t = (5.83)

- condies de contorno

0r=

em 0r = (5.84)

k hr =

em or r= (5.85)

Definindo uma nova varivel r = obtm-se um novo conjunto de equaes na

forma:

- equao de conduo 2

2

1r t

=

(5.86)

- condio inicial

ir = em 0t = (5.87)

- condies de contorno

0 = em 0r = (5.88)

1 0o

hr k r

+ =

em or r= (5.89)

114

As equaes (5.86), (5.88) e (5.89), aps separao de variveis, correspondem ao

caso 7 da Tabela 4.2 e, portanto, a soluo do tipo:

( ) ( )21

m m mm

C sen r exp t

=

= (5.90)

na qual

( )0 1om m ohrr ctg rk

=

(5.91)

Aplicando a condio inicial obtm-se

( )1

i m mm

r C sen r

=

= (5.92)

Operando ambos os da eq. (5.92) por ( )00

r

ncos r dr e usando a condio de ortogonalidade das autofunes

( ) ( )0 0 20 0

r r

i m m mr s en r dr C s en r dr = (5.93) Aps efetuar as integraes em (5.89) chega expresso da constante:

( ) ( )( ) ( )

0 0 0

0 0 0

2 i m m mm

m m m m

sen r r cos rC

r sen r cos r

=

(5.94)

A substituio de (5.94) em (5.90) leva soluo para a temperatura na forma:

( ) ( )0 21 0

2 mi m mm m

s en s r / rK exp s Fo

s r / r

=

= (5.95)

na qual

( ) ( )( ) ( )

2 m m mm

m m m

sen s s cos sK

s sen s cos s =

(5.96)

( ) 01m m m ms ctg s Bi, s r= = (5.97)

2o

o

hrtFo , Bir k

= = (5.98)

Tanto no caso do cilindro quanto da esfera so apresentados resultados similares ao

caso da placa de espessura finita.

115

5.4 Conduo multidimensional

Os resultados do item 5.3 podem ser usados para se determinar o campo de

temperatura em conduo multidimensional como ser ilustrado a seguir. Considere o caso

em que se deseja determinar a distribuio de temperatura numa barra retangular 2 2L H .

Como ilustrado na Figura 5.3, a distribuio de temperatura numa barra imersa num

fluido pode ser determinada como o produto da soluo da placa vertical pela soluo da

placa horizontal. A equao original da forma 2 2

2 2

1x y t

+ =

(5.99)

Supondo uma soluo na forma

( ) ( ) ( )L Hx,t , y x,t y,t = (5.100)

Derivando (5.100) duas vezes em relao a x e y, uma vez em relao ao tempo e substituindo

em (5.99), pode-se verificar que ela automaticamente satisfeita 2 2

2 2

1 1 0L L H HH Lx t y t

+ = (5.101)

Ambos os termos entre parnteses so nulos o que mostra que a soluo produto satisfaz a

equao original.

A soluo (5.100) respeitada apenas se a temperatura inicial tambm satisfaa

i i ,L i ,H = (5.102)

Dividindo (5.100) por (5.102) membro a membro, pode-se verificar que a temperatura

adimensional da barra tambm o produto das temperaturas adimensionais das placas, ou

seja,

( ) ( ) ( )

2 2barra , placa , placa ,i i i

L H L metade da espessura H metade da espessura

x, y,t x,t y,t

= =

=

(5.103)

Bejan (1993) mostra que a taxa total de transferncia de calor pode ser calculada como

( )i i i i iL H L H

Q t Q Q Q QQ Q Q Q Q

= +

(5.103)

116

Figura 5.3 Produto de solues unidimensionais

Outras solues para outras geometrias podem ser obtidas da mesma maneira.

Considere o caso de um cilindro curto de comprimento 2L e raio externo or , como ilustrado

na Figura 5.4.

117

Figura 5.4 Determinao da temperatura dependente do tempo num cilindro curto.

A soluo para este caso fica na forma

( ) ( ) ( )

oo

cilindro curto , cilindro longo, placa ,i i iL metade do comprimento r raio L metade da espessurar raio

r ,x,t r ,t x,t

= = ==

=

(5.104)

Os casos da placa semi-infinita e de um cilindro semi-infinito podem ser obtidos como

ilustrado na Figura 5.5.

Figura 5.5 Determinao da temperatura dependente do tempo numa placa e num cilindro

semi-infinitos.

118

A soluo da placa semi-infinita o produto da soluo da placa de espessura finita

pela soluo do slido semi-infinito (item 5.5.3) e fica na forma

( ) ( ) ( )placa semi inf inita , placa infinita , meio semi-infinito ,i i iL metadade espessura L metade da espessura y normal a superficie

x, y,t x,t y,t

= = =

=

(5.105)

No caso do cilindro semi-infinito, a soluo da forma

( ) ( ) ( )

o o

cilindro semi infinito , cilindro infinito , meio semi-infinito ,i i ir raio r raio x normal a superficie

r ,x,t r ,t x,t

= = =

=

(5.106)

O calculo da taxa total de transferncia de calor feito nos casos das equaes (5.104)

a (5.106) por uma equao similar eq. (5.103)

Finalmente, no caso de um paraleleppedo, como ilustrado na Figura 5.6, a soluo

tridimensional pode ser obtida como

( ) ( )

( )2 2barra , placa ,i i

L H L metade da espessura

placa ,iH metade da espessura

x, y,z,t x,t

y,t

=

=

=

( )placa ,iW metade da espessura

z,t

=

(5.107)

5.6 - Determinao da temperatura dependente do tempo num paraleleppedo imerso num

fluido.

A taxa total de transferncia de calor neste caso, de acordo com Bejan (1993)

calculada como

( ) 1 1 1i i i i i i iL H L W L H

Q t Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q

= + +

(5.108)

119

5.5 Fontes e sumidouros concentrados

Neste item consideram-se casos de conduo dependente do tempo em que o aspecto

principal a gerao (ou absoro) de calor em uma regio muito pequena uma regio

concentrada- do meio condutor. Quando calor liberado no meio a partir desta pequena

regio, o processo ser de conduo transiente na vizinhana de uma fonte de calor. Exemplos

incluem fissuras cheias de vapor geotrmico, exploses subterrneas, containeres de lixo

nuclear ou qumico, cabos eltricos enterrados no subsolo.

Quando a pequena regio recebe calor do meio infinito, a regio funciona como um

sumidouro concentrado de calor. Um exemplo o caso de um duto enterrado de um trocador

de calor atravs do qual uma bomba de calor recebe calor do meio ambiente (solo) a fim de

aument-lo e deposit-lo num edifcio.

5.5.1 Fontes e sumidouros instantneos

Considere, primeiramente, a direo x atravs de um meio infinito com propriedades

constantes ( )k , , ,c , Figura 5.7. A equao de conduo na direo x , para o excesso de

temperatura ( ) ( )x,t T x,t T = : 2

2

1x t

=

(5.109)

Uma soluo que satisfaz (5.109) pode ser do tipo:

( )2

4K xx,t exp

tt

=

(5.110)

na qual K uma constante.

Integrando a eq. (5.110) resulta

( )2

4K xx,t dx exp dx

tt

=

(5.111)

Aps um rearranjo a eq. (5.111) pode ser escrita como

120

( )

( ) ( )( ) ( )

2 21 2

1 2 1 20 0

1 2

1 2

2 22 2 2 2

// /

/

/

d dx,t dx K exp exp

=K erf erf

=K erf erf

= +

+ +

( )1 21 2

2/

/

=K erf

=2 K

(5.112)

A integral do lado esquerdo da eq. (5.112) proporcional ao inventrio de energia interna do

de meio inteiro:

( ) ( )u u Adx c T T Adx cA dx

= = (5.113)

na qual A a grande rea do plano normal direo x . Mas

( )u u Adx Q

= (5.114)

depsito de calor no plano 0x = no instante de tempo 0t = . Combinando as equaes

(5.112) a (5.114) obrem-se

1 22 /QK

c

= (5.115)

na qual Q Q / A = o poder da fonte plana instantnea. Assim, o excesso de temperatura

na vizinhana do plano 0x = em que Q liberado no instante 0t =

( )2

42Q xx,t exp

tc t

=

(fonte plana instantnea) (5.116)

Figura 5.7 Distribuio de temperatura na vizinhana de uma fonte de calor instantnea.

121

Frmulas similares podem ser obtidas para fontes no formato de linha ou fontes

pontuais. Em tais casos tem-se

( )2

4 4Q rr,t expc t t

=

(fonte linha instantnea) (5.117)

( )( )

2

3 2 48 /Q rr,t exp

tc t

=

(fonte ponto instantnea) (5.118)

5.5.2 Fontes e sumidouros persistentes (contnuos)

A distribuio de temperatura dependente do tempo e o processo de conduo que so

induzidos por fontes que persistem no tempo podem ser determinados analiticamente pela

superposio de efeitos de um grande nmero de fontes instantneas.

Assuma o caso, novamente, o caso da fonte plana, eq. (5.116), s que no instante 0t =

e no plano 0x = , a magnitude da fonte seja 0Q . Ento, pela eq. (5.116) tem-se a distribuio

de temperatura

( )2

00 42

Q xx,t exptc t

=

(5.119)

Assuma tambm que no instante 1t t= , o plano 0x = recebe uma nova fonte, 1Q . Se

esta nova fonte ocorrer s, ou seja, sem a presena de 0Q , ento a variao de temperatura

provocada por 1Q poderia ser escrito na forma

( )( ) ( )

21

111

42Q xx,t exp

t tc t t

=

(5.120)

na qual, agora, 1t t conta o tempo decorrido aps a liberao de 1Q .

Se 1Q ocorrer na presena da temperatura criada por 0Q no instante 0t = , ento, a

distribuio de temperatura aps 1t t= simplesmente a soma de ( )0 ,x t e ( )1 ,x t . Ou seja,

para 0t > pode-se escrever

( )( )( ) ( )

0 1

0 1 1

, 0,

, ,

x t t tx t

x t x t t t

<

122

Outras entradas podem ser adicionadas eq. (5.121) se fontes adicionais de dimenso

iQ forem depositadas em tempos it na fonte plana 0x = . Por exemplo, aps o tempo nt t=

(isto , aps 1n + depsitos), a distribuio de temperatura dada por

( ) 0 1 2, nx t = + + + + (5.122)

Uma fonte contnua no plano 0x = em o mesmo efeito que uma seqncia de um

grande nmero de pequenas fontes planas instantneas de igual tamanho:

Q q t = (5.123)

na qual ( )2/q W m o depsito de calor por unidade de rea e tempo, e t a curta durao de cada depsito (tiro). Quando t se torna infinitesimalmente pequeno, a soma na eq.

(5.122) substituda por uma integral

( )

( ) ( )

0

2

0

,

exp42

t

i

t

x t d

q x dtc t

=

=

(5.124)

No integrando, a varivel muda marca o tempo quando cada adicional fonte q d

entra em ao. Quando a integral (5.124) avaliada o resultado a distribuio de

temperatura prxima ao plano 0x = em que fontes contnuas q so ligadas no tempo 0t = :

( )2

4 2 2q x xq t xx,t exp erfc

c t k t

=

(fonte plana contnua) (5.125)

No plano 0x = tem-se

( )1 2

0/q t,t

c

=

(5.126)

o que mostra que mesmo que a fonte plana persista em nvel constante q , a temperatura na

fonte plana e no meio aumenta quando o tempo t cresce.

As distribuies de temperatura tambm podem ser obtidas de forma similar para

fontes linhas e pontuais contnuas. No caso de fontes linhas, pela eq. (5.117) pode obter

( ) 2 44u

r / t

q er,t duk u

= (fonte linha contnua) (5.127)

Em um tempo suficientemente longo e/ou para distncias radiais pequenas, onde o grupo 2 / 4r t menor do que 1, a distribuio de temperatura se aproxima por

( )2

2

4, ln 0,5772 14 4q t rr t

k r t

123

O efeito de uma fonte pontual contnua pode ser determinado pela superposio de um

grande nmero de fontes pontuais instantneas de igual tamanho:

( )2

4 2q rr,t e rfckr t

=

(fonte pontual contnua) (5.129)

Lembrando que ( )0 1erfc = , pode-se concluir que na medida em que o tempo cresce e o

argumento ( )1/ 2/ 2r t se torna consideravelmente menor do que 1, a distribuio de

temperatura se estabiliza no nvel

( )4

qr,kr

= (5.130)

As mesmas frmulas e equaes se aplicam para o caso de sumidouros instantneos e

contnuos, pela simples troca dos sinais de ( ), , , , ,Q Q Q q q q nas respectivas equaes.

5.5.3 Fontes de calor mveis

Uma caracterstica das fontes e sumidouros mveis a simetria das isotermas em

torno do local da fonte. Agora, considera o caso de fontes que se movem em relao ao meio

condutivo com velocidade constante, como ilustrado na Figura 5.8, a qual pode representar

um processo de soldagem de duas chapas. Aps um longo perodo de tempo, pode-se escrever

as equaes governantes para essa fonte linha como 2

2

T TUx y

=

(5.131)

T T= em y = (5.132)

( )q cU T T dy

= (5.133)

Figura 5.8 Fonte mvel

124

A soluo do problema (5.131) a (5.133) pode ser obtida definindo as variveis

( )( )

( )1/ 2/, q cT x y T

U x

= (5.134)

1/ 2Uyx

=

(5.135)

as quais substitudas em (5.131) a (5.133) resulta 2

2

1 02 2

d dd d

+ + = (5.136)

0 = em = (5.137)

1d

= (5.138)

A soluo de (5.136) que satisfaz (1.236) e (5.137) deve ser do tipo 2 / 4Ce = (5.139)

a qual substituda em (5.138) leva ao resultado para a constante C

( )

2

2

2 2

2 2

/ 4

2

0 2 2

0

1/ 22 2

1/ 2 1/ 20 0

1/ 2

1

2 12

2 12 2

2 22 12 2 2

C e d

C e d

C e d e d

C e d e d

C erf e

=

= + =

+ = +

( )( )1/ 2

1/ 2

1

2 1

1/ 2

rf

C erf

C

= =

=

(5.140)

A soluo para ser, portanto, da forma 2 / 4

1/ 22e

= (5.141)

que substituda em (5.134) juntamente com (5.135) leva ao resultado para a distribuio de

temperatura:

( )( )

2

1/ 2/, exp

44q c UyT x y T

xU x

=

(5.142)

125

No caso de uma fonte pontual contnua, de forma similar pode-se obter a distribuio

de temperatura como

( )2/, exp

4 4q c UrT x r T

x x

=

(5.143)

5.6 Solidificao e fuso

Os problemas de transferncia de calor com mudana de fase envolvem um

movimento de fronteira cuja posio deve ser determinada como parte da soluo. Os casos

considerados aqui so de fuso e solidificao.

5.6.1 Solidificao e fuso unidimensional

A Figura 5.9 ilustra os casos de fuso e solidificao unidimensional de um material.

Figura 5.9 Processos de fuso e solidificao

A Figura 5.10 ilustra o movimento da fronteira e balano de energia na mudana de

fase. Considerando um volume de controle em torno da fronteira mvel tem-se pela primeira

lei da termodinmica

l s lx , lado liquido

d d TA h A h k Adt dt x

=

= em ( )x t= (5.144)

126

na qual A , lh sh so a entalpia so a rea frontal do volume de controle, a entalpia especfica

do lquido e a entalpia especfica do slido respectivamente. O termo do lado direito de

(5.144) representa a transferncia de calor que chega de cima, isto , do lado lquido da frente

de fuso. No foi considerado nenhum termo de transferncia de calor do lado do slido da

frente de fuso, pois o slido foi considerado isotrmico. O coeficiente lk , portanto, a

condutividade trmica do lquido.

Figura 5.10 Fuso de um slido semi-infinito

O clculo da frente de fuso requer a determinao dos campos de temperatura. Uma

soluo simples baseada na observao de que bem no incio do processo, quando a camada

de fuso bem fina, a distribuio de temperatura linear:

( )( )0

1mm

T x,t T xT T t

(5.145)

da qual se obtm

( )( )

0 mT x,t T Tx t

(5.146)

Substituindo (5.146) em (5.144) resulta uma equao para determinar :

( )0l msl

kd T Tdt h

(5.147)

cuja soluo

( ) ( )1 2

02/

lm

sl

k tt T Th

(5.148)

em que sl l sh h h= o calor latente de fuso do material.

De acordo com Bejan (1993) uma soluo exata foi obtida por Stefan e da forma:

127

( ) ( ) ( )01 2 2 m/sl

c T Texp erf

h

= (5.149)

na qual c o calor especfico do lquido e um nmero adimensional definido como

( )1 22 /t

= (5.150)

O grupo aparecendo do lado direito da eq. (5.149) denominado por nmero de Stefan:

( )0 msl

c T TSte

h

= (5.151)

No caso em que h troca de calor tanto no lquido quanto no slido como ilustrado nos

processos de solidificao e fuso da Figura 5.11, a equao na interface fica na forma

( )s ls l sl

d tT Tk k hx x dt

=

em ( )x t= (5.152)

Se do lado lquido predominar um processo de troca convectiva com coeficiente de troca de

calor convectivo h , a equao na interface fica na forma

( ) ( )ss m sld tTk h T T h

x dt

=

em ( )x t= (5.153)

Figura 5.11 Processo de mudana de fase: (a) solidificao; (b) fuso

Se as densidades do lquido e do slido forem diferentes, com s l > e considerando

movimento do lquido pelos efeitos volumtricos, a equao na interface fica como

( )s ls l l l s s x l l lT Tk k h h V hVx x

=

em ( )x t= (5.154)

na qual lV a velocidade do lquido pelos efeitos volumtricos e a velocidade da fronteira

128

( )x

d tV

dt

= (5.155)

Um balano de massa na fronteira leva ao resultado

( )l s x l lV V = (5.156)

da qual se obtm

( )l s xl

l

VV

= (5.157)

Substituindo (5.157) em (5.154) obtm-se na interface

( )s ls l s l s x s sl xT Tk k h h V h Vx x

= =

em ( )x t= (5.158)

que idntica eq. (5.152), exceto com a massa especfica do slido no lugar da massa

especfica constante.

5.6.2 Solidificao e fuso multidimensional

No caso de um processo de fuso ou solidificao tridimensional, a frente de mudana

de fase ser uma superfcie no espao como ilustrado Figura 5.12 dada pela funo

( ) 0F x, y,z,t = .

Figura 5.12 Solidificao em trs dimenses.

Para um movimento da fronteira na direo da normal n , o balano de energia na

fronteira leva equao

( )s ls l l s nT Tk k h h Vn n

=

em ( ) 0F x, y,z,t = (5.159)

129

Uma forma explcita de escrever a funo que representa a superfcie de mudana de

fase :

( ), , , ( , , ) 0F x y z t z s x y t = (5.160)

O vetor normal superfcie pode ser calculado como

FnF

=

(5.161)

A superfcie F est na temperatura de mudana de fase e, portanto, ela uma superfcie

isotrmica; conseqentemente, T normal a esta superfcie, da,

,ii

TFn i s ou lF T

= = =

(5.162)

A partir de (5.162) pode-se obter que

,i iiT T FT n i s ou ln F

= = =

ii (5.163)

nV FV V n

F

= =ii (5.164)

A derivada total de (5.160) :

0F F F Fdt dx dy dzt x y z

+ + + =

(5.165)

da qual se obtm

F dx F dy F dz Fx dt y dt z dt t

FV Ft

+ + =

=

i (5.166)

/n

F tV V nF

= =

i (5.167)

Tambm se pode demonstrar que

, , 1,F s F s F F sx x y y z t t

= = = =

(5.168)

22

1iiT s sT Fz x y

= + + i (5.169)

22

1 /i iT T s s Fn z x y

= + + (5.170)

130

Substituindo (5.167) e (5.170) em (5.159) resulta para o caso tridimensional a equao

na interface: 22

1 s ls l slT Ts s sk k h

x y z z t

+ + = em ( )z s x, y,t= (5.171)

Os casos bidimensionais e unidimensionais podem ser obtidos a partir de (5.171) como 2

1 s ls l slT Ts sk k h

x z z t

+ = em ( )z s x,t= (2D) (5.172)

s ls l sl

T T dsk k hz z dt

= em ( )z s t= (1D) (5.173)

A eq. (5.173) idntica eq. (5.152), bastando trocar z por x .

5.7 Mtodos numricos

Os mtodos numricos utilizados para o caso de conduo em regime permanente,

tambm se aplicam aos casos de conduo transiente bastando incluir o termo transiente na

equao.

5.7.1 Volume finito

Considere um volume de controle de dimenses ( ) ( )x y W , Figura 5.13, um

balano de energia leva ao

w e s n gE q q q q qt

= + + + +

(5.174)

na qual foi assumido que as taxas de calor entram no volume de controle, cujo n central

identificado pelo smbolo P . O subscrito w a face oeste voltada para o n W ; e a face leste

voltada para o n E ; s face sul voltada para o n S e n a face norte voltada para o n N .

As taxas de calor que entram no volume de controle, a variao de energia dentro do volume

de controle e a gerao calor so definidas como

131

( )

( ) ( )

( )

,

N Pn n

n

W P E Pw w g e e

w e

S Ps s

s

T Tq k W xy

T T E T T Tq k W y x yWc q x yWq q k W yx t t x

T Tq k W xy

= =

(5.175)

Figura 5.13 Volume de controle em torno de um ponto P.

A eq. (5.174) pode ser reescrita como

w e s nTc V q q q q q Vt

= + + + +

(5.176)

A discretizao do termo transiente em (5.176) pode ser feita na forma

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

11

1

+ 1

+ 1

mm mP P w e s n

mw e s n

m m

Vc T T f q q q qt

f q q q q

f q V f q V

++

+

= + + + +

+ + + +

+

(5.177)

na qual 0 1f um parmetro para indicar se o esquema de discretizao no tempo

explcito, 0f = , semi-implcito, 0 1f< < ou totalmente implcito, 1f = . m indica o passo

de tempo e 1m mt t t+ = . O caso 0 5f ,= conhecido como esquema de Crank-Nicolson.

Substituindo as definies das taxas da eq. (5.175) e p p Cq S T S = + em (5.177)

obtm-se

132

( ) 1

1 1 1 1W E S N

mS N W E p P

m m m mW E S N

x yc f a a a a S x y Tt

f a T a T a T a T b

+

+ + + +

+ + + + = = + + + +

(5.178)

( )( )

( )( )

1

1

1W E S N

mS N W E p P

m m m mW E S N

mP P c

x yb c f a a a a S x y Tt

f a T a T a T a T

f S x yT S x y

= + + + + + + + + +

+ +

(5.179)

Numa forma compacta a eq. (5.178) pode ser reescrita como

( )p P W W E E S S N Na T f a T a T a T a T b= + + + + (5.180)

na qual o superscrito 1m + foi desconsiderado e os coeficientes so:

( )e

Ee

k yax

= (5.181a)

( )w

Ww

k yax

= (5.181b)

( )n

Nn

k xay

= (5.181c)

( )s

Ss

k xay

= (5.181d)

( )p E W N S Px ya c f a a a a S x y

t = + + + +

(5.181e)

No caso de um problema tridimensional, a coordenada z tambm ser discretizada e

existiro fluxos nas faces t (topo) e b (fundo), equao (5.180) e os coeficientes ficam na

forma

( )p P W W E E S S N N T T B Ba T f a T a T a T a T a T a T b= + + + + + + (5.182)

na qual

( )e

Ee

k y zax

= (5.183a)

( )w

Ww

k y zax

= (5.183b)

133

( )n

Nn

k x zay

= (5.183c)

( )s

Ss

k x zay

= (5.183d)

( )t

Tt

k x yaz

= (5.183e)

( )b

Bb

k x yaz

= (5.183f)

( )p E W N S T B Px y za c f a a a a a a S x y z

t = + + + + + +

(5.183g)

( )( )

( )( )

1

1

1W E S N

mS N W E B T p P

m m m m m mW E S N B B T T

mP P c

x y zb c f a a a a a a S x y z Tt

f a T a T a T a T a T a T

f S x y zT S x y z

= + + + + + + + + + + + + +

+ +

(5.183h)

5.7.2 Diferena finita

Ser considerado o seguinte caso

T T Tc k k qt x x y y

= + +

(5.184)

O lado direito da eq. (5.184) j foi discretizado na eq. (1.85) e, portanto, (5.184) pode ser

reescrita, usando a notao da Figura 5.14, como

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )2 2 2 2 2 2

, 1 1, 2 , 2 , 1, , 11 T i j T i j T i j T i j T i j T i jT qt ky x x y x y

+ + = + + + +

(5.185)

134

Figura 5.14 Nomenclatura para discretizao por diferena finita.

Ou usando a eq. (1.86) pode-se reescrever (5.185) como

, 1 1, , 1, , 1 ,1

i j i j i j i j i j i jT aT bT cT bT aT dt + +

= + + + + +

(5.186)

na qual, agora

( )21ay

=

(5.187a)

( )21bx

=

(5.187b)

( ) ( )2 22 2cx y

=

(5.187c)

,i jqdk

= (5.187d)

A discretizao do termo transiente na eq. (5.186) pode ser feita de vrias formas, pelo

uso do parmetro f como na equao (5.177). Desta forma aps discretizar o termo

transiente em (5.186) tem-se

( )

( )( )

11, ,

, 1 1, , 1, , 1 ,

, 1 1, , 1, , 1 ,

1

+ 1

m mmi j i j

i j i j i j i j i j i j

m

i j i j i j i j i j i j

T Tf aT bT cT bT aT d

t

f aT bT cT bT aT d

++

+ +

+ +

= + + + + + +

+ + + + +

(5.188)

Os casos clssicos so: mtodo explcito, 0f = , que condicionalmente estvel; mtodo

implcito, 1f = , incondicionalmente estvel e o caso 0 5f ,= , esquema Crank-Nicolson que

uma discretizao de segunda ordem no tempo.

Considere o caso em que x y = e 0f = . A eq. (5.188) pode ser reescrita como

( )( ) ( )21, , 1 1, 1, , 1 , , 1 4mm mi j i j i j i j i j i j i jT Fo T T T T d x Fo T+ + += + + + + + (5.189)

135

Na qual foi definido o nmero de Fourier com base no tamanho da malha

( )2tFo

x

=

(5.190)

Para que o mtodo explcito seja estvel, a seguinte condio dever ser satisfeita:

( )1 4 0Fo , que leva a

14

Fo (5.191)

O que restringe o passo de tempo em valores

( )2

4x

t

(5.192)

O caso 1f = leva seguinte equao para o mtodo implcito:

( ) ( )( ) 121, , 1 1, , 1, , 1 , ,1 4 mm mi j i j i j i j i j i j i j i jFo T Fo T T T T T d x T++ + ++ + + + + + = (5.193)

5.7.3 Elemento finito

O mtodo de elementos finitos, ilustrado na Figura 5.15, tambm tem sido usado para

se resolver a equao de conduo, devido sua versatilidade para discretizao de domnios

complexos. A equao de conduo transiente :

( )Tc k T qt =

i i (5.194)

Multiplicando a equao (5.194) por uma funo de ponderao W e integrando no domnio

de um elemento, aps uma integrao por partes obtm-se

e e e

e e e e

e e e eij ij i

i j j

TW c d W k Td Wq dtTW c d W k Td Wk T nd Wq dtT W T TW c d k d Wk n d Wq dt x x x

= + = + = +

i i

i i i i (5.195)

136

Figura 5.15 Malhas de elementos finitos: (a) elementos triangulares; (b) elementos

quadrilaterais.

Nas equaes onde aparecem os ndices i e j est implcita a regra de soma de

Einstein. Agora, interpola-se a temperatura dentro de um elemento na forma:

( ) ( ){ }eT N r T t= (5.196) na qual

1

2

T

Ne

NN

N

N

=

; { }1

2e

Ne

TT

T

T

=

(5.197a, b)

em que iN e iT so funes de interpolao conhecidas e associadas ao n i de um elemento e

os valores nodais da temperatura respectivamente num elemento. Tomando caso do mtodo

de Galerkin, em que

W N= (5.198)

e substituindo (5.196) e (5.198) em (5.195) resultar

137

{ } { }

{ } { }

e e

e e

ee

iji j

ij ij

dT N Nc N N d k d Tdt x x

TN k n d N q dx

+ =

= +

(5.199)

A equao (5.199) pode ser escrita numa forma matricial como

{ } { }e

e e e edTM K T Qdt

+ =

(5.200)

Na qual os elementos das matrizes de massa eM , de rigidez eK e do vetor carga

{ }eQ so definidos como

e

eM cN N d

= (5.201)

e

eij

i j

NNK k dx x

=

(5.202)

e e

eij i

j

TQ N k n d N q dx = + (5.203)

O primeiro termo do lado direito da Eq. (5.203) ser avaliado somente nos elementos

que tenha um contorno coincidindo com o contorno externo do domnio com fluxo de calor

especificado.

A discretizao do termo transiente na eq. (5.200) pode ser feita como nos casos de

diferenas finitas, resultando a equao discretizada na forma

{ } ( ) { }

{ } ( ){ }

11

1

1

1

m me e m me e e e e e

m me e

T TM M f K T f K Tt t

f Q f Q

++

+

+ + =

= +

(5.204)

ou

{ } ( ) { }

{ } ( ){ }

11

1

1

1

m me em me e e e e e

m me e

T TM f K T M f K Tt t

f Q f Q

++

+

+ = +

+ +

(5.205)

Se o domnio for discretizado em um nmero de elementos Nelem, considerando a

contribuio de todos os elementos, resultar a forma matricial,

[ ]{ } { }G T Q= (5.206)

138

na qual, agora, a matriz [ ]G e o vetor { }Q contero a contribuio de todos os elementos:

[ ]1

1Nelem e ee

G M f Kt=

= + (5.207)

{ } ( ) { } { }1 1

1 1Nelem Nelemme e e e

e eQ M f K T Q

t= = = +

(5.208)

O vetor { }T conter as temperaturas de todos os pontos do domnio.

A soluo da equao (5.206) feita aps introduo dos valores conhecidos de

temperatura em alguma parte do contorno do domnio, por tcnicas numricas apropriadas

para soluo de sistemas lineares esparsos.