30
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5 Joaquim Barros 5.1 5 - ELEMENTO DE PÓRTICO 3D DE TIMOSHENKO 5.1 - Introdução Neste capítulo a teoria de Timoshenko descrita na secção 4.3 vai ser estendida a estruturas porticadas tridimensionais. Um nó deste tipo de estruturas é caracterizado por seis graus de liberdade (3 deslocamentos e 3 rotações). Uma barra pode estar submetida a seis componentes de esforços, designadamente, esforço axial, esforços de corte segundo os eixos principais centrais de inércia (EPCI) da secção da barra, momento torsor e momentos flectores segundo os EPCI. Se alguma das barras tiver desenvolvimento curvilíneo, um referencial suplementar aos considerados no capítulo 4 deverá ser considerado, de forma a caracterizar grandezas estabelecidas nos pontos de Gauss do elemento, nomeadamente, as extensões e as tensões. Por este facto, a secção seguinte é dedicada à definição dos referenciais utilizados na teoria de Timoshenko aplicada a estruturas porticadas tridimensionais. 5.2 - Referenciais Considere-se uma peça curva definida no sistema de eixos global ( ) 3 2 1 , , g g g g i , pela sua directriz e e pela geometria das diferentes secções transversais planas de área A (e) , ortogonais a e (ver Figura 5.1). Admita-se que esta secção é discretizada em elementos de pórtico 3D de Timoshenko. A geometria, os deslocamentos generalizados e os esforços generalizados desta peça estão definidos em diferentes referenciais, que se estabelecem a seguir. G e l1 l2 l3 s1 A (e) 0 s 1 = 1 s 1 = 1 s 1 + = Figura 5.1 - Elemento de pórtico 3D de Timoshenko. 5.2.1 - Sistema coordenado global - ( ) 3 2 1 , , g g g g i Sistema coordenado cartesiano usado para definir a geometria da estrutura no espaço (Figura 5.2). As coordenadas e os deslocamentos dos nós da estrutura, a matriz de rigidez

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.1

5 - ELEMENTO DE PÓRTICO 3D DE TIMOSHENKO

5.1 - Introdução

Neste capítulo a teoria de Timoshenko descrita na secção 4.3 vai ser estendida a estruturas porticadas tridimensionais. Um nó deste tipo de estruturas é caracterizado por seis graus de liberdade (3 deslocamentos e 3 rotações). Uma barra pode estar submetida a seis componentes de esforços, designadamente, esforço axial, esforços de corte segundo os eixos principais centrais de inércia (EPCI) da secção da barra, momento torsor e momentos flectores segundo os EPCI. Se alguma das barras tiver desenvolvimento curvilíneo, um referencial suplementar aos considerados no capítulo 4 deverá ser considerado, de forma a caracterizar grandezas estabelecidas nos pontos de Gauss do elemento, nomeadamente, as extensões e as tensões. Por este facto, a secção seguinte é dedicada à definição dos referenciais utilizados na teoria de Timoshenko aplicada a estruturas porticadas tridimensionais.

5.2 - Referenciais

Considere-se uma peça curva definida no sistema de eixos global ( )321 ,, ggggi , pela sua directriz e e pela geometria das diferentes secções transversais planas de área A(e), ortogonais a e (ver Figura 5.1). Admita-se que esta secção é discretizada em elementos de pórtico 3D de Timoshenko. A geometria, os deslocamentos generalizados e os esforços generalizados desta peça estão definidos em diferentes referenciais, que se estabelecem a seguir.

G

e

l1

l2

l3

s1

A(e)

0s1 =

1s1 −=

1s1 +=

Figura 5.1 - Elemento de pórtico 3D de Timoshenko. 5.2.1 - Sistema coordenado global - ( )321 ,, ggggi

Sistema coordenado cartesiano usado para definir a geometria da estrutura no espaço (Figura 5.2). As coordenadas e os deslocamentos dos nós da estrutura, a matriz de rigidez

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.2

da estrutura e o vector das forças nodais equivalentes da estrutura são referidos a este sistema.

ggug 222 ,, θggug 111 ,, θ

1̂i

3̂i

2̂i

ggug 333 ,, θ

Figura 5.2 - Referencial global. 5.2.2 - Sistema coordenado normalizado - 1s

Sistema coordenado que serve de base à definição das funções de forma do elemento (ver secção 3.2). A coordenada normalizada 1s varia de –1 a +1 ao longo do eixo do elemento. O eixo do elemento coincide com a linha que contém os centros de gravidade das secções da peça. 5.2.3 - Sistema coordenado local - ( )321 ,,i

Sistema coordenado cartesiano definido localmente em qualquer secção do elemento. A definição deste referencial nos pontos de integração numérica (pontos de amostragem) serve de referência à definição dos estados de deformação e de tensão (Figura 5.3). A este referencial atribui-se por vezes a designação de tangencial pelo facto do eixo 1 ser tangencial ao eixo do elemento.

G

e

l1

l2

l3

Figura 5.3 - Referencial local.

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.3

Para cada ponto de amostragem do elemento, este sistema é definido por intermédio do procedimento que se passa a descrever.

– Versor do eixo 1

O vector 1 é tangente, no ponto de amostragem, ao eixo curvilíneo 1s . Assim,

T

sx

sx

sx

=

1

3

1

2

1

11 ∂

∂∂∂

∂∂ (5.1)

e

[ ]T3121111

11

ˆ == (5.2)

sendo 1

ˆ o versor de 1 . – Versor do eixo 2

Para se definir o versor de 2 vai-se começar por admitir que este eixo é ortogonal ao plano definido por 3̂i e 1

ˆ , pelo que

( )3211121211

221

13312111

132

ˆ.0ˆ.ˆ.)()(

1

ˆˆ1100

ˆˆˆ

iii

i

i

++−+

=

×=

×=

. (5.3)

Se 02111 == , então 3̂i e 1

ˆ são colineares. Se além disto 031 > , isto é, se a barra está orientada segundo o sentido positivo do eixo 3g , como se ilustra na Figura 5.4a,

então 2ˆ obtém-se a partir do produto vectorial de 1

ˆ com 1̂i . Neste caso, [ ]T010ˆ

2 = (5.4)

Se 031 < , isto é, se a barra está orientada segundo o sentido negativo do eixo 3g (ver

Figura 5.b), então 2ˆ obtém-se a partir do produto vectorial de 1̂i e 1

ˆ . Também neste caso,

[ ]T010ˆ

2 = . (5.5)

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.4

g1

13 ≡g

22 ≡g

3

3̂i

1̂i

2̂i

a)

1

31 ≡g

g3

22 ≡g

3̂i

1̂i2̂i

b)

Figura 5.4 - Barra dirigida segundo o sentido positivo a) e negativo b) do eixo 3g .

– Versor do eixo 3

O versor do eixo 3 obtém-se por intermédio do produto vectorial de 1ˆ com 2

ˆ 213

ˆˆˆ ×= . (5.6)

Assim, a matriz que converte entidades do referencial local para o referencial global apresenta a seguinte constituição:

[ ]

==

33

23

13

32

22

12

31

21

11

321ˆˆˆgT . (5.7)

Considere-se agora que os eixos 2 e 3 não coincidem com os EPCI da secção (ver Figura 5.5). Por este facto, estes eixos são designados por '

2 e '3 e ao sistema coordenado

de eixos que formam com '1 designa-se por referencial '

i . Neste caso, os versores de 'i ,

'ˆi , são convertidos para o referencial dos EPCI por intermédio da relação seguinte,

''

UTU = (5.8a) em que

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.5

−=

αααα

cossin0sincos0

001'

T (5.8b)

sendo α o ângulo entre '

2 e 2 (ou '3 e 3 ), ver Figura 5.5. Assim,

UT

UTT

UTU

g

Tg

gg

=

=

='''

''

. (5.9)

1 1≡ '

'2

2

'3

3

i

j

Perfil em Z com a almanum plano vertical

j > i= 0

Figura 5.5 - Definição do referencial local da barra para α não nulo. Na Figura 5.6 representam-se as situações em que os eixos '

2 e '3 não coincidem com os

EPCI, no caso de barra com eixo segundo o sentido positivo e negativo de 3g .

2

g1

113 ′≡≡g

22 ′≡g

3

3′+α

a)

2

g3

11 ′≡

22 ′≡g

3

31 ′≡g

b)

Figura 5.6 – Perfil em Z dirigido segundo o sentido positivo a) e negativo b) do eixo 3g .

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.6

5.3 - Campo de deslocamentos

Considere-se a secção do elemento representada na Figura 5.7. O campo de deslocamentos define-se por intermédio das expressões seguintes, ( ) ( ) ( ) ( )132123113211 ,, xxxxxuxxxu θθ −+= (5.10a) ( ) ( ) ( )113123212 ,, xxxuxxxu θ−= (5.10b) ( ) ( )11233213 , xxuxxxu θ+= (5.10c) em que ( ) ( )0,0, 321111 === xxxuxu (5.11a) ( ) ( )0,0, 321212 === xxxuxu . (5.11b)

G

e

3

2u3u

1u1θ

2θP

Px ,2

Px ,32

1

Figura 5.7 - Campo de deslocamentos. No referencial local e global o vector dos deslocamentos tem as seguintes componentes, [ ]321321 θθθuuuU = (5.12) [ ]gggg

GgG

gG

g uuuU 321321 θθθ= (5.13)

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.7

respectivamente. A conversão dos deslocamentos do referencial local para o referencial global efectua-se a partir da matriz de transformação gT , UTU gg = (5.14) em que

= g

gg

TTT

00 (5.15)

definida na secção anterior.

5.4 - Campo de deformações

As extensões são definidas no referencial local, sendo as componentes não nulas as seguintes

∂∂

+∂∂

+

∂∂

−∂∂

+−

∂∂

−∂∂

+∂∂

=

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=

=

1

12

1

32

1

13

1

23

1

32

1

23

1

1

1

3

3

1

1

2

2

1

1

1

13

12

1

xx

xu

xx

xu

xx

xx

xu

xu

xu

xu

xuxu

θθ

θθ

θθ

γ

γ

ε

ε (5.16a)

ou

∂∂∂∂∂∂

+∂∂

−∂∂∂∂

−−

=

1

3

1

2

1

1

21

3

31

2

1

1

2

3

23

0010000010

0001

x

x

x

xuxu

xu

xx

xx

θ

θ

θ

θ

θ

ε (5.16b)

que em notação matricial fica

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.8

εε R= (5.16c) sendo

−−

=0010000010

0001

2

3

23

xx

xxR (5.17)

e

=

∂∂∂∂∂∂

+∂∂

−∂∂∂∂

=

f

t

c

a

x

x

x

xuxu

xu

εεεε

θ

θ

θ

θ

θ

ε

1

3

1

2

1

1

21

3

31

2

1

1

(5.18a)

em que

1

1

xu

a ∂∂

=ε (5.18b)

é a extensão axial,

+∂∂

−∂∂

=

21

3

31

2

θ

θε

xux

u

G

G

c (5.18c)

é o vector das extensões de corte,

1

1

xt ∂∂

ε (5.18d)

é a extensão de torção, e

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.9

∂∂∂∂

=

1

3

1

2

x

xf θ

θ

ε (5.18e)

é o vector das extensões de flexão. Todas as componentes de extensão estão no referencial local.

5.5 - Tensões

As tensões são definidas no referencial local, sendo as componentes não nulas as seguintes (ver Figura 5.8) [ ]Tt

13121 ττσσ = (5.19)

G

e

3

13τ 2

11σ

12τ

Figura 5.8 - Tensões.

5.6 - Lei de Hooke

A relação entre o vector das tensões e das extensões é estabelecida por intermédio da matriz constitutiva D , no referencial local: εσ D= (5.20a) ou

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.10

=

13

12

1

13

12

13

12

1

000000

γ

γ

ε

τ

τ

σ

GG

E (5.20b)

em que E é o módulo de elasticidade longitudinal do material e 12G , 13G são os módulos de elasticidade transversal do material nos planos 21 e 31 , respectivamente. Se o material for homogéneo e isotrópico ( )( )υ+=== 121312 EGGG sendo υ o coeficiente de Poisson do material.

5.7 - Esforços

As componentes dos esforços numa secção do elemento, no referencial local, são as seguintes (Figura 5.9) [ ]TMMMVVN 321321=σ (5.21) em que

( )

−=

=

+−=

=

=

=

A

A

A

A

A

A

dAxM

dAxM

dAxxM

dAV

dAV

dAN

213

312

2133121

133

122

11

,

,

,

,

,

σ

σ

ττ

τ

τ

σ

(5.22)

são o esforço axial, o esforço de corte segundo o eixo 2 , o esforço de corte segundo o eixo 3 o momento torsor, o momento flector segundo o eixo 2 e o momento flector segundo o eixo 3 , respectivamente.

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.11

G

e

3

3V

2x

3x2

1

3M

1N

2M

1M

13τ

12τ

2V

Figura 5.9 - Esforços na secção de um elemento de Timoshenko no espaço. A relação (5.22) pode ser rescrita da seguinte forma

dA

xx

xx

M

MM

VV

N

A∫

−=

=

13

12

1

2

3

23

3

2

1

3

2

1

0000

0100010001

τ

τ

σ

σ (5.23)

pelo que dAR

A

T σσ ∫= (5.24)

Substituindo (5.20) em (5.24) e tendo em atenção a relação (5.16c) obtém-se

dARDR

dADR

A

T

A

T

ε

εσ

∫=

=

. (5.25)

Efectuando o produto matricial RDRT obtém-se

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.12

( ) ( )( )

( )

∫∫

−−−

+−

−−

=AA

T dA

ExExxExExxExEx

xGxGGxGxGxGGxG

ExExE

dARDR

22322

322

33

2213

2312132123

13213

12312

23

000000

00000000000

000

. (5.26)

Como os eixos 1 e 2 são principais centrais de inércia, e admitindo-se material homogéneo e isotrópico, EAdAE

A

=∫ (5.27a)

*

21212 GAGAdAGA

==∫ α (5.27b)

*

31313 GAGAdAGA

==∫ α (5.27c)

3,2/0 === ∫∫ ipdAxEdAxE

Aii

A

(5.27d)

3,2/0 === ∫∫ ipdAxGdAxG

Aii

A

(5.27e)

jicipdAxxEdAxxE

Ajiji

A

≠=== ∫∫ /3,2/0 (5.27f)

( ) ( ) 2

23

23 IEdAxEdAxE

AA

== ∫∫ (5.27g)

( ) ( ) 3

22

22 IEdAxEdAxE

AA

== ∫∫ (5.27h)

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 1

23

22

2312

2213 IGdAxxGdAxGxG

AA

=+=+ ∫∫ (5.27i)

em que *

2A e *3A são as áreas reduzidas de corte segundo os eixos 2 e 3 , 2I e 3I são

os momentos de inércia em torno dos eixos 2 e 3 e 1I é o momento de inércia em torno de 1 . Assim,

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.13

== ∫

3

2

1

*3

*2

000000000000000000000000000000

ˆ

EIEI

GIGA

GAEA

dARDRDA

T . (5.28)

Desta forma, os esforços determinam-se por intermédio da relação seguinte εσ D̂= (5.29a)

∂∂∂∂∂∂

+∂∂

−∂∂∂∂

=

1

3

1

2

1

1

21

3

31

2

1

1

3

2

1

*3

*2

3

2

1

3

2

1

00000

0000

00000

00000

0000000000

x

x

x

xuxu

xu

EI

EI

GI

GA

GAEA

M

M

M

V

V

N

θ

θ

θ

θ

θ

(5.29b)

em que

=

f

t

c

a

DD

DD

D

000000000000

ˆ (5.30a)

sendo EADa = , (5.30b)

= *

3

*2

00

GAGA

D c , (5.30c)

1GIDt = , (5.30d) e

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.14

=

3

2

00

EIEI

D f . (5.30e)

as submatrizes associadas à rigidez axial, corte, torção e flexão, respectivamente. Na formulação de Timoshenko, a distribuição das tensões de corte 12τ e 13τ é considerada constante em toda a secção transversal. Tal facto deriva da hipótese de que as secções transversais se mantêm planas após a deformação, o que não acontece na realidade, pois há uma distorção da secção. Assim, para ter em conta essa distorção e, consequentemente, uma distribuição de tensões ao longo da secção diferente da linear, multiplica-se a área 2A e 3A da secção pelos coeficientes 2α e 3α , respectivamente. Estes coeficientes são designados por coeficientes de forma ou de distorção. A sua obtenção, para cada direcção,

2 e 3 , é feita aplicando o PTV, de forma a que o trabalho de deformação da tensão tangencial constante coincida com o exacto da teoria das vigas (Barros 1989, 1997). As áreas resultantes são designadas por áreas reduzidas de corte ( *

2A e *3A ).

5.8 - Trabalho interno de deformação

Substituindo as componentes do vector das extensões e das tensões na parcela do trabalho interno de deformação (4.13) do princípio dos trabalhos virtuais obtém-se ( ) ( )

( )

( )( )∫∫ ++==

ee VV

Te dVdVW 1313121211int τδγτδγσδεσεδδ . (5.31)

Desenvolvendo esta expressão e tendo em conta as relações (5.16c), (5.20a) e (5.28) obtém-se

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )∫

∫ ∫

=

=

=

=

=

e

e e

e

e

e

L

T

L A

TT

V

TTV

TTV

Te

dLD

dLdARDR

dVRDR

dVDR

dVW

εεδ

εεδ

εεδ

εεδ

σεδδ

ˆ

int

(5.32)

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.15

5.9 - Formulação do elemento de pórtico 3D de Timoshenko por elementos finitos isoparamétricos de classe C0

5.9.1 - Definição da geometria

As coordenadas cartesianas de um ponto qualquer do elemento, na coordenada normalizada 1s , obtêm-se por intermédio da seguinte relação

( ) ( )∑=

=n

k

gkk

g xsNsx1

11 (5.33a)

ou

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

=

gn

gn

gn

g

g

g

n

n

n

g

g

g

xxx

xxx

sNsNsNsN

sNsNs

xxx

,3

,2

,1

1,3

1,2

1,1

111

111

111

1

3

2

1

00...0000...0000...00

(5.33b)

em que n é o número de nós do elemento, ( )1sNk é a função de forma do elemento relativa ao nó k, avaliada na coordenada normalizada 1s e g

kix , c/i=1,2,3 representa as coordenadas do nó k no referencial global. A relação (5.33b) pode ainda ser rescrita da seguinte forma

( )

( )( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( )egex

eg

e

x

x

x

g

g

g

XsN

XsNsNsN

sxxx

1

12

12

11

1

3

2

1

=

=

(5.33c)

em que ( )egX é o vector contendo as coordenadas, no referencial global, dos nós do elemento.

5.9.2 - Deslocamentos

Conhecidos os deslocamentos dos nós do elemento no referencial global, ( )egU , os deslocamentos de um ponto qualquer do elemento, na coordenada normalizada 1s , obtêm-se por intermédio da relação seguinte

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.16

( ) ( )∑=

=n

k

gkk

g UsNsU1

11 (5.34a)

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

=

gn

gn

gn

gn

gn

gn

g

g

g

g

g

g

n

n

n

n

n

n

g

g

g

g

g

g

uuu

uuu

sNsNsNsN

sNsNsNsN

sNsNsNsN

suuu

,3

,2

,1

,3

,2

,1

1,3

1,2

1,1

1,3

1,2

1,1

111

111

111

111

111

111

1

3

2

1

3

2

1

...

00000...0000000000...0000000000...0000000000...0000000000...0000000000...00000

θθθ

θθθ

θθθ

(5.34b)

em que g

kiu , e gki,θ c/i=1,2,3 representam os deslocamentos e as rotações do nó k no

referencial global. A relação (5.34b) pode ainda ser rescrita da seguinte forma ( ) ( )( ) ( )ege

ug UsNsU 11 = (5.34c)

5.9.2 - Matrizes de deformação

As extensões num ponto do elemento, na coordenada normalizada 1s , obtêm-se a partir dos deslocamentos dos nós dos elemento, efectuando a seguinte operação (ver (5.18))

( ) ( ) k

n

kk UsBs 1

11 ∑

=

=ε (5.35)

em que [ ]Tkkkkkkk uuuU ,3,2,1,3,2,1 θθθ= (5.36) é o vector dos deslocamentos do nó k, no referencial local do elemento, e

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.17

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

=

1

1

1

1

1

1

11

1

11

1

1

1

1

00000

00000

00000

0000

0000

00000

dxsdN

dxsdN

dxsdN

sNdx

sdN

sNdx

sdNdx

sdN

sB

k

k

k

kk

kk

k

k (5.37)

é a matriz de deformação relativa ao nó k, avaliada na coordenada normalizada 1s , e kU é o vector dos deslocamentos do nó k, no referencial local. Substituindo (5.14) em (5.35) obtém-se

( ) ( ) ( )[ ] gk

Tgn

kk UsTsBs 1

111 ∑

=

=ε (5.38a)

ou

( ) ( ) gk

n

kk UsBs ∑

=

=1

11ε (5.38b)

em que [ ]Tg

kg

kgk

gk

gk

gk

gk uuuU ,3,2,1,3,2,1 θθθ= (5.39)

é o vector dos deslocamentos do nó k, no referencial global, ( )1sT g é a matriz de transformação do referencial local para o referencial global, definida na secção 5.2.3, e ( ) ( ) ( )[ ]Tg

kk sTsBsB 111 = . (5.40) Para calcular ( ) 11 dxsdNk da matriz kB efectua-se procedimento similar ao descrito na secção 3.3. Assim,

( ) ( )

1

1

1

1

1

1

dxds

dssdN

dxsdN kk = . (5.41)

Como

( ) ( ) ( )232

22

11ggg dxdxdxdx ++= , (5.42)

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.18

então

( ) ( ) ( )

212

1

3

2

1

2

2

1

1

1

23

22

21

1

1

+

+

=

++=

dsdx

dsdx

dsdx

dsdxdxdx

dsdx

ggg

ggg

. (5.43a)

Substituindo (5.33) em (5.43a) obtém-se

( ) ( ) ( )

( )e

n

k

gk

kgk

kgk

k

J

xds

sdNxds

sdNxds

sdNdsdx

=

+

+

=∑

=1

212

,31

1

2

,21

1

2

,11

1

1

1

(5.43b)

que é o Jacobiano avaliado na coordenada normalizada 1s . Substituindo (5.43) em (5.41) obtém-se

( ) ( )( )e

kk

JdssdN

dxsdN 1

1

1

1

1 = . (5.44)

Na secção 5.4, o vector das extensões foi decomposto nas componentes de extensão axial, extensões de corte, extensão por torção e extensões por flexão. Para determinar estas componentes de extensão a partir dos deslocamentos dos nós efectua-se o procedimento que se passa a descrever. – Matriz de deformação axial

( ) ( )

( ) ( )[ ] gka

n

k

T

kg

aka

ka

n

kkaa

UsTsB

UsBs

,1

11,

,11

,1

=

=

=

=ε (5.45)

em que ( )[ ] ( )1,11

ˆ ssT Tk

T

kg

a = é o versor do eixo local 1 no referencial global, pelo que é

constituído pelos cosenos dos ângulos que esse eixo faz com os eixos ( )321 ,, ggggi do referencial global e ( )[ ] g

a

Tgaa UsTU 1= . (5.46)

Por sua vez,

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.19

( ) ( )1

11, dx

sdNsB k

ka = (5.47)

é o termo correspondente ao nó k da matriz de deformação axial, kka uU ,1, = (5.48) é o deslocamento do nó k segundo o eixo local 1 , e [ ]Tg

kg

kg

kg

ka uuuU ,3,2,1, = (5.49) é o vector dos deslocamentos do nó k segundo os eixos globais ( )321 ,, ggggi . – Matriz de deformação de corte Neste caso,

( ) ( )

( ) ( )[ ] gkc

n

k

T

kg

ckc

kc

n

kkcc

UsTsB

UsBs

,1

11,

,11

,1

=

=

=

=ε (5.50)

em que

( )k

ggkc T

sT

=

000ˆˆ

321, (5.51)

é a matriz de transformação associada aos graus de liberdade de corte e ( )[ ] g

c

Tgcc UsTU 1= . (5.52)

Por sua vez,

( )( ) ( )

( ) ( )

−=

000

000

11

1

11

1

1,

sNdx

sdN

sNdx

sdN

sBk

k

kk

kc (5.53)

são os termos correspondentes no nó k da matriz de deformação de corte, [ ]Tkkkkkkc uuU ,3,2,1,3,2, θθθ= (5.54) é o vector dos deslocamento do nó k no referencial local, e

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.20

[ ]Tgk

gk

gk

gk

gk

gk

gkc uuuU ,3,2,1,3,2,1, θθθ= (5.55)

é o vector dos deslocamentos do nó k no referencial global. – Matriz de deformação de torção A extensão de torção obtém-se a partir dos deslocamentos, por intermédio da relação seguinte,

( ) ( )

( ) ( )[ ] gkt

n

k

T

kg

tkt

kt

n

kktt

UsTsB

UsBs

,1

11,

,11

,1

=

=

=

=ε (5.56)

em que ( )[ ] ( )1,11

ˆ ssT Tk

T

kg

t = é o versor do eixo local 1 no referencial global e ( )[ ] g

t

Tgtt UsTU 1= . (5.57)

Por sua vez,

( ) ( )1

11, dx

sdNsB k

kt = (5.58)

é o termo correspondente ao nó k da matriz de deformação de torção, kktU ,1, θ= (5.59) é a rotação do nó k segundo o eixo local 1 , e [ ]Tg

kg

kgk

gktU ,3,2,1, θθθ= (5.60)

é o vector das rotações do nó k no referencial global. – Matriz de deformação de flexão As extensões de flexão obtêm-se a partir dos deslocamentos, aplicando a expressão seguinte,

( ) ( )

( ) ( )[ ] gkf

n

k

T

kgfkf

kf

n

kkff

UsTsB

UsBs

,1

11,

,11

,1

=

=

=

=ε (5.61)

em que

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.21

( ) [ ]kg

kf sT 321,ˆˆ= (5.62)

é a matriz de transformação associada aos graus de liberdade de flexão e ( )[ ] g

f

Tgff UsTU 1= . (5.63)

Por sua vez,

( )( )

( )

=

1

1

1

1

1,

0

0

dxsdN

dxsdN

sBk

k

kf (5.64)

são os termos correspondentes ao nó k da a matriz de deformação de flexão, [ ]TkkkfU ,3,2, θθ= (5.65) é o vector das rotações do nó k no referencial local, e [ ]Tg

kg

kgk

gkfU ,3,2,1, θθθ= (5.66)

é o vector das rotações do nó k no referencial global.

5.9.3 - Matriz de rigidez

Substituindo as expressões (5.38) em (5.32) obtém-se

( ) ( )( )

( )[ ] [ ] ( )

( )∫

=

=

e

e

L

egTgTgTeg

L

Te

dLUTBDBTU

dLDW

ˆ

ˆint

δ

εεδδ

. (5.67)

Convertendo (5.67) para coordenadas normalizadas resulta

( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( )∫+

−=

1

1 1intˆ egeTgTgTege UdsJTBDBTUW δδ (5.68)

em que

( ) [ ] ( )∫+

−=

1

1 1ˆ dsJTBDBTK eTgTge (5.69)

é a matriz de rigidez do elemento. Aplicando a integração numérica de Gauss Legendre (ver secção 3.3.3) ao cálculo da matriz de rigidez, a relação (5.70) reduz-se à seguinte,

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.22

( ) [ ]{ }( )

p

N

p

e

s

TgTge WJTBDBTKs

p∑=

=1

11

ˆ (5.70)

em que

1SN , é o número de pontos de integração na direcção 1s , em correspondência com a regra de integração seleccionada, pW é o peso associado ao ponto de integração de

coordenadas ps1 e J é o Jacobiano. A matriz de rigidez de um elemento pode ser obtida calculando-se as submatrizes de rigidez associadas à deformação axial, às deformações de corte, à deformação de torção e às deformações de flexão. Assim, substituindo (5.18a) e (5.30a) em (5.32) obtém-se

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )∫

=

=

e

e

L

f

t

c

a

f

t

c

a

T

fT

t

T

cT

a

L

Te

dL

DD

DD

dLDW

εεεε

εδεδεδεδ

εεδδ

000000000000

ˆint

(5.71)

Efectuando os produtos matriciais em (5.71) e fazendo intervir as relações (5.45)), (5.50)) (5.56)) e (5.61)) obtém-se

( ) ( )[ ] [ ]( )

( )[ ] [ ]( )

( )[ ] [ ]( )

( )[ ] [ ]( )

gf

L

Tgfff

Tf

gf

Tgf

gt

L

Tgttt

Tt

gt

Tgt

gc

L

Tgccc

Tc

gc

Tgc

ga

L

Tgaaa

Ta

ga

Tga

e

UdLTBDBTUUdLTBDBTU

UdLTBDBTUUdLTBDBTUW

ee

ee

∫∫

∫∫

+

++=

δδ

δδδ

int

(5.72)

em que ( ) [ ]

( )∫=

eL

Tgaaa

Ta

ga

ea dLTBDBTK (5.73a)

( ) [ ]

( )∫=

eL

Tgccc

Tc

gc

ec dLTBDBTK (5.73b)

( ) [ ]

( )∫=

eL

Tgttt

Tt

gt

et dLTBDBTK (5.73c)

( ) [ ]

( )∫=

eL

Tgfff

Tf

gf

ef dLTBDBTK (5.73d)

são as submatrizes de rigidez axial, corte, torção e flexão, respectivamente. Aplicando a integração numérica de Gauss-Legendre, as relações (5.73) convertem-se nas seguintes

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.23

( ) [ ]{ }( )

p

e

s

Tgaaa

Ta

ga

ea WJTBDBTK p∑

=

=a1s

1

N

1p (5.74a)

( ) [ ]{ }( )

p

e

s

Tgcccc

gc

ec WJTBDBTK p∑

=

=c1s

1

N

1p (5.74b)

( ) [ ]{ }( )

p

e

s

Tgttt

Tt

gt

et WJTBDBTK p∑

=

=t1s

1

N

1p (5.74c)

( ) [ ]{ }( )

p

e

s

Tgffff

gf

ef WJTBDBTK p∑

=

=f1s

1

N

1p (5.74d)

em que a

sN1, c

sN1, t

sN1 e f

sN1 são número de pontos de Gauss associados à integração

numérica da matriz de rigidez axial, corte, torção e flexão, respectivamente, fornecidos no Quadro 5.1.

Quadro 5.1 - Pontos de Gauss para integração numérica das submatrizes de rigidez do elemento de Timoshenko no espaço.

Elemento Ordem de integração Função de

forma Linear Quadrática

Axial 1 2

Corte 2 3

Torção 1 2 Completa

Flexão 1 2

Axial 1 2

Corte 1 2

Torção 1 2 Reduzida = Selectiva

Flexão 1 2

5.9.4 - Vector solicitação

5.9.4.1 - Introdução

Para complementar o sistema de equações de equilíbrio será necessário determinar as forças nodais, equivalentes às acções exteriores. Nesta secção descrevem-se os procedimentos necessários à obtenção das forças nodais equivalentes aos tipos de acções seguintes:

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.24

Forças aplicadas em pontos nodais da estrutura; Forças aplicadas em pontos do interior de elementos; Forças de volume; Forças distribuídas por unidade de comprimento; Deslocamentos prescritos.

5.9.4.2 - Forças aplicadas em pontos nodais da estrutura

Considere-se que num ponto P da estrutura está aplicado o vector de forças [ ]TPggggggg

PMMMFFFQ 321321= (5.75)

cujas componentes estão referidas ao sistema global de eixos e estão em correspondência com os graus de liberdade definidos em (5.13). Admite-se que o ponto P coincide com o centro de gravidade da secção. Neste caso, as forças nodais equivalentes à acção de g

PQ

obtêm-se espalhando g

PQ no vector das forças nodais equivalentes da estrutura, ( )EgQ .

5.9.4.3 Forças aplicadas em pontos do interior de elementos

No ponto A de coordenada local sA1 do elemento representado na Figura 5.10 está aplicado

o vector de forças [ ]TAggggggg

AMMMFFFQ 321321= (5.76)

cujas componentes estão referidas ao sistema global de eixos e estão em correspondência com os graus de liberdade definidos em (5.13).

1g

2gAF

3gAF

1gAF

1gAM

2gAM

3gAM

3g

2g

A2

3

1

Figura 5.11 - Forças generalizadas aplicadas em pontos do interior de elementos. Para determinar as forças nodais equivalentes ao vector (5.76) aplica-se o princípio dos trabalhos virtuais obtendo-se,

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.25

( ) ( )

mg

g

g

g

g

g

Ae

m

Ag

g

g

g

g

g

mgg

gg

gg

gg

gg

gg

uuu

sN

MMMFFF

MMM

uFuFuF

=

3

2

1

3

2

1

,1

3

2

1

3

2

1

33

22

11

33

22

11

δθδθδθδδδ

δθδθδθδδδ

(5.77)

em que,

gm

mg

g

g

g

g

g

Uuuu

δ

δθδθδθδδδ

=

3

2

1

3

2

1

(5.78)

é o vector dos deslocamentos virtuais no nó m, no referencial global. Como os deslocamentos virtuais são quaisquer, (5.77) simplificar-se-á para,

( ) ( )

Ag

g

g

g

g

g

Ae

m

mg

g

g

g

g

g

MMMFFF

sN

MMMFFF

=

3

2

1

3

2

1

,1

3

2

1

3

2

1

(5.79a)

ou ( ) g

AAmg

mQsNQ ,1= . (5.79b)

As coordenadas locais do ponto de aplicação do vector de forças g

AQ podem ser obtidas

recorrendo-se à condição de se estar a trabalhar com elementos finitos isoparamétricos. Assim, a coordenada As ,1 determina-se por intermédio da resolução da seguinte equação não linear

( ) gmi

n

mAm

gAi xsNx ,

1,1, ∑

=

= c/i=1 ou 2 ou 3 (5.80)

em que g

mix , é a componente i do nó m do elemento, no referencial global, e gAix , é a

componente i do ponto A do elemento, no referencial global. Substituindo o valor de As ,1

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.26

em (5.79) determinam-se as forças nodais equivalentes ao vector de forças generalizadas aplicadas num ponto genérico A do interior de um elemento. 5.9.4.4 - Forças de volume

Neste trabalho despreza-se os efeitos de acelerações rotacionais, pelo que apenas se simula os efeitos de acelerações que geram forças segundo o sistema coordenado global. Assim, uma porção de volume de um elemento de pórtico 3D de Timoshenko fica submetido às seguintes forças

dVggg

dQdQdQ

g

g

g

gV

gV

gV

=

3

2

1

3,

2,

1,

ρ (5.81a)

ou dVgFd gg

V ρ= (5.81b) em que gg1 , gg2 e gg3 são acelerações segundo gx1 , gx2 e gx3 , respectivamente, e ρ é a massa por unidade de volume do material que constitui o elemento. Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais e integrando na área do elemento e obtém-se,

( )( ) ( )

( )

dLAgUNUFeL

emm

e

mV ∫= ρδδ (5.82a)

( )( ) ( )

( )

[ ] dLAgTUNUF gTg

L

emm

e

mVe∫= ρδδ (5.82b)

em que [ ]Tmm uuuU 321=δ (5.83) são os deslocamentos de translação segundo os eixos locais. Como os deslocamentos virtuais devem ser quaisquer, a relação (5.82a) converte-se na seguinte

( )

( )

( )[ ] dLAgTNF gTge

Lm

emV

e

ρ∫=, . (5.84)

Aplicando a integração numérica de Gauss Legendre ao integral de (5.84) obtém-se,

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.27

( ) ( ) [ ]( ) [ ]

( )

( )

[ ]( )( )

p

N

p

e

sVm

p

N

p

e

s

gTgem

gTgem

emV

WJFN

WJAgTN

dsJAgTNF

s

p

s

p

=

=

=

=

=

1

,1

1

,1

1

1

1

1

1,

ρ

ρ

(5.85)

em que

( ) ( ) [ ] ( )psgTge

pV AgTsF,1,1

= ρ (5.86)

são as forças segundo os eixos do referencial local associado ao ponto de Gauss, avaliadas nesse ponto. 5.9.4.5 - Forças distribuídas por unidade de comprimento

Um elemento de barra 3D de Timoshenko pode ser solicitado por forças generalizadas distribuídas em correspondência com os graus de liberdade, conforme se representa na Figura 5.12. Nesta figura j

kLq , ( q f= para forças e q m= para momentos) representa a força generalizada atribuída ao nó k do elemento, dirigida segundo o eixo j , c/j=1,2,3, do

referencial local de um ponto do elemento. Por sua vez, jLq ( q f= para forças e q m=

para momentos) é a força generalizada distribuída por unidade de comprimento ao longo do elemento, dirigida segundo o eixo j . Para uma determinada posição 1s ao longo do elemento, o valor da carga uniformemente distribuída obtém-se por intermédio das relações seguintes (no caso de elementos de três nós),

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3333

2222

1111

3333

2222

1111

3,132,121,111

3,132,121,111

3,132,121,111

3,132,121,111

3,132,121,111

3,132,121,111

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

LLLL

msNmsNmsNsm

msNmsNmsNsm

msNmsNmsNsm

fsNfsNfsNsf

fsNfsNfsNsf

fsNfsNfsNsf

++=

++=

++=

++=

++=

++=

(5.87a)

ou, ( ) ( )( )[ ]T

L

e

LqsNsq 11 = (5.87b)

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.28

3

32

2

1

1

11,Lf 1

2,Lf

1Lf

1Lf

13,Lf

32

1

2

1,Lf

22,Lf

23,Lf

3

3 2

2

1

1

32

1

2Lf

2Lf

31,Lf

32,Lf

3Lf

3Lf

33,Lf

3

21

32

1 3

21

3

32

2

1

1

11,Lm 1

2,Lm

1Lm

1Lm

13,Lm

32

1

21,Lm

22,Lm

23,Lm

2Lm

3

3 2

2

1

1

32

1

2

Lm

31,Lm

32,Lm

3Lm

33,Lm

3

21

32

1 3

21

3Lm

Figura 5.12 - Forças distribuídas por unidade de comprimento num elemento de barra 3D de Timoshenko de 3 nós.

em que

( )

=

321

321

321

321

321

321

000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

NNNNNN

NNNNNN

NNNNNN

N e

(5.88)

e

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.29

[ ]TLLLLLLLLLLLLLLLLLLLmmmfffmmmfffmmmfffq 321321321321321321

3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,= . (5.89) No comprimento infinitesimal 1dxdL = a resultante das forças generalizadas é

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )dLsmsdM

dLsmsdM

dLsmsdM

dLsfsdF

dLsfsdF

dLsfsdF

LL

LL

LL

LL

LL

LL

11

11

11

11

11

11

33

22

11

33

22

11

=

=

=

=

=

=

(5.90)

ou ( ) ( )dLsqsQd

LL 11 = . (5.91) Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais e integrando ao longo do lado solicitado obtém-se, ( )[ ]

( )

dLqNQ g

LL

Teg

Le∫= . (5.92)

Para converter

Lq (força generalizada distribuída em dL ) para o referencial global

efectua-se a seguinte operação ( ) ( ) ( )111 sqsTsq

L

ggL

= (5.93) em que ( )1sT g é a matriz de transformação deduzida na secção 5.2.3. Convertendo o integral em (5.92) para coordenadas locais e tendo em conta a relação (5.93) obtém-se

( )[ ]( )[ ]( )[ ]∫

=

=

=

1

11

1

11

1

11

dsJqTN

dsJqTN

dsJqNQ

L

gTe

L

gTe

g

L

Teg

L

. (5.94)

Recorrendo-se à integração numérica de Gauss-Legendre (5.94) converte-se em

( )[ ]{ }∑=

=Ns

ppsL

gTeg

LWJqTNQ

p1 ,1 (5.95)

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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5

Joaquim Barros 5.30

em que Ns é o número de pontos de Gauss utilizados na integração ao longo do elemento e g

LQ é o vector constituído pelas forças nodais equivalentes às forças generalizadas

distribuídas ao longo do elemento, no referencial global, tal como se representa na Figura 5.13.

1g 21,

gLf

31,

gLf

11,

gLf

11,

gLm

21,

gLm

31,

gLm

22,

gLf

32,

gLf

12,

gLf

12,

gLm

22,

gLm

31,

gLm

23,

gLf

33,

gLf

13,

gLf

13,

gLm

23,

gLm

33,

gLm

3g

2g

1

2

3

Figura 5.13 - Forças nodais equivalentes às forças generalizadas distribuídas num elemento.

5.9.4.6 - Assentamentos de apoio

Os assentamentos de apoio podem ser introduzidos directamente no vector dos deslocamentos, nas posições correspondentes aos graus de liberdade prescritos. Para tal, o sistema de equações de equilíbrio (Barros et al. 1996), ( ) ( ) ( )EgEgEg QUK = (5.96) é reorganizado da forma seguinte

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

+=

EgEg

f

Eg

lEg

f

Egl

Egff

Egfl

Eglf

Egll

RQQ

UU

KKKK

(5.97)

em que ( )Eg

llK inclui as linhas e as colunas de interacção entre graus de liberdade livres, ( )Eg

ffK inclui as linhas e as colunas de interacção entre graus de liberdade fixos, ( ) [ ]Tg

lfEg

lf KK = inclui os termos de rigidez relativos à interacção entre os graus de liberdade

livres e fixos, ( )EglU e ( )Eg

fU são os vectores que incluem os graus de liberdade livres, a determinar, e dos graus de liberdade fixos (de valor nulo ou imposto, como sejam os assentamentos de apoio), conhecidos, respectivamente, ( )Eg

lQ e ( )Eg

fQ são os vectores que

englobam as forças nodais equivalentes em correspondência com os graus de liberdade livres e fixos, respectivamente, e ( )EgR é o vector que inclui as reacções nos apoios da

estrutura. Assim, os assentamentos de apoio são introduzidos no vector ( )EgfU .