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Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.1
5 - ELEMENTO DE PÓRTICO 3D DE TIMOSHENKO
5.1 - Introdução
Neste capítulo a teoria de Timoshenko descrita na secção 4.3 vai ser estendida a estruturas porticadas tridimensionais. Um nó deste tipo de estruturas é caracterizado por seis graus de liberdade (3 deslocamentos e 3 rotações). Uma barra pode estar submetida a seis componentes de esforços, designadamente, esforço axial, esforços de corte segundo os eixos principais centrais de inércia (EPCI) da secção da barra, momento torsor e momentos flectores segundo os EPCI. Se alguma das barras tiver desenvolvimento curvilíneo, um referencial suplementar aos considerados no capítulo 4 deverá ser considerado, de forma a caracterizar grandezas estabelecidas nos pontos de Gauss do elemento, nomeadamente, as extensões e as tensões. Por este facto, a secção seguinte é dedicada à definição dos referenciais utilizados na teoria de Timoshenko aplicada a estruturas porticadas tridimensionais.
5.2 - Referenciais
Considere-se uma peça curva definida no sistema de eixos global ( )321 ,, ggggi , pela sua directriz e e pela geometria das diferentes secções transversais planas de área A(e), ortogonais a e (ver Figura 5.1). Admita-se que esta secção é discretizada em elementos de pórtico 3D de Timoshenko. A geometria, os deslocamentos generalizados e os esforços generalizados desta peça estão definidos em diferentes referenciais, que se estabelecem a seguir.
G
e
l1
l2
l3
s1
A(e)
0s1 =
1s1 −=
1s1 +=
Figura 5.1 - Elemento de pórtico 3D de Timoshenko. 5.2.1 - Sistema coordenado global - ( )321 ,, ggggi
Sistema coordenado cartesiano usado para definir a geometria da estrutura no espaço (Figura 5.2). As coordenadas e os deslocamentos dos nós da estrutura, a matriz de rigidez
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.2
da estrutura e o vector das forças nodais equivalentes da estrutura são referidos a este sistema.
ggug 222 ,, θggug 111 ,, θ
1̂i
3̂i
2̂i
ggug 333 ,, θ
Figura 5.2 - Referencial global. 5.2.2 - Sistema coordenado normalizado - 1s
Sistema coordenado que serve de base à definição das funções de forma do elemento (ver secção 3.2). A coordenada normalizada 1s varia de –1 a +1 ao longo do eixo do elemento. O eixo do elemento coincide com a linha que contém os centros de gravidade das secções da peça. 5.2.3 - Sistema coordenado local - ( )321 ,,i
Sistema coordenado cartesiano definido localmente em qualquer secção do elemento. A definição deste referencial nos pontos de integração numérica (pontos de amostragem) serve de referência à definição dos estados de deformação e de tensão (Figura 5.3). A este referencial atribui-se por vezes a designação de tangencial pelo facto do eixo 1 ser tangencial ao eixo do elemento.
G
e
l1
l2
l3
Figura 5.3 - Referencial local.
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.3
Para cada ponto de amostragem do elemento, este sistema é definido por intermédio do procedimento que se passa a descrever.
– Versor do eixo 1
O vector 1 é tangente, no ponto de amostragem, ao eixo curvilíneo 1s . Assim,
T
sx
sx
sx
=
1
3
1
2
1
11 ∂
∂∂∂
∂∂ (5.1)
e
[ ]T3121111
11
ˆ == (5.2)
sendo 1
ˆ o versor de 1 . – Versor do eixo 2
Para se definir o versor de 2 vai-se começar por admitir que este eixo é ortogonal ao plano definido por 3̂i e 1
ˆ , pelo que
( )3211121211
221
13312111
132
ˆ.0ˆ.ˆ.)()(
1
ˆˆ1100
ˆˆˆ
iii
i
i
++−+
=
×=
×=
. (5.3)
Se 02111 == , então 3̂i e 1
ˆ são colineares. Se além disto 031 > , isto é, se a barra está orientada segundo o sentido positivo do eixo 3g , como se ilustra na Figura 5.4a,
então 2ˆ obtém-se a partir do produto vectorial de 1
ˆ com 1̂i . Neste caso, [ ]T010ˆ
2 = (5.4)
Se 031 < , isto é, se a barra está orientada segundo o sentido negativo do eixo 3g (ver
Figura 5.b), então 2ˆ obtém-se a partir do produto vectorial de 1̂i e 1
ˆ . Também neste caso,
[ ]T010ˆ
2 = . (5.5)
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.4
g1
13 ≡g
22 ≡g
3
3̂i
1̂i
2̂i
a)
1
31 ≡g
g3
22 ≡g
3̂i
1̂i2̂i
b)
Figura 5.4 - Barra dirigida segundo o sentido positivo a) e negativo b) do eixo 3g .
– Versor do eixo 3
O versor do eixo 3 obtém-se por intermédio do produto vectorial de 1ˆ com 2
ˆ 213
ˆˆˆ ×= . (5.6)
Assim, a matriz que converte entidades do referencial local para o referencial global apresenta a seguinte constituição:
[ ]
==
33
23
13
32
22
12
31
21
11
321ˆˆˆgT . (5.7)
Considere-se agora que os eixos 2 e 3 não coincidem com os EPCI da secção (ver Figura 5.5). Por este facto, estes eixos são designados por '
2 e '3 e ao sistema coordenado
de eixos que formam com '1 designa-se por referencial '
i . Neste caso, os versores de 'i ,
'ˆi , são convertidos para o referencial dos EPCI por intermédio da relação seguinte,
''
UTU = (5.8a) em que
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.5
−=
αααα
cossin0sincos0
001'
T (5.8b)
sendo α o ângulo entre '
2 e 2 (ou '3 e 3 ), ver Figura 5.5. Assim,
UT
UTT
UTU
g
Tg
gg
=
=
='''
''
. (5.9)
1 1≡ '
'2
2
'3
3
i
j
+α
+α
Perfil em Z com a almanum plano vertical
j > i= 0
Figura 5.5 - Definição do referencial local da barra para α não nulo. Na Figura 5.6 representam-se as situações em que os eixos '
2 e '3 não coincidem com os
EPCI, no caso de barra com eixo segundo o sentido positivo e negativo de 3g .
2
g1
113 ′≡≡g
22 ′≡g
3
3′+α
+α
a)
2
g3
11 ′≡
22 ′≡g
3
31 ′≡g
+α
+α
b)
Figura 5.6 – Perfil em Z dirigido segundo o sentido positivo a) e negativo b) do eixo 3g .
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.6
5.3 - Campo de deslocamentos
Considere-se a secção do elemento representada na Figura 5.7. O campo de deslocamentos define-se por intermédio das expressões seguintes, ( ) ( ) ( ) ( )132123113211 ,, xxxxxuxxxu θθ −+= (5.10a) ( ) ( ) ( )113123212 ,, xxxuxxxu θ−= (5.10b) ( ) ( )11233213 , xxuxxxu θ+= (5.10c) em que ( ) ( )0,0, 321111 === xxxuxu (5.11a) ( ) ( )0,0, 321212 === xxxuxu . (5.11b)
G
e
3
2u3u
1u1θ
3θ
2θP
Px ,2
Px ,32
1
Figura 5.7 - Campo de deslocamentos. No referencial local e global o vector dos deslocamentos tem as seguintes componentes, [ ]321321 θθθuuuU = (5.12) [ ]gggg
GgG
gG
g uuuU 321321 θθθ= (5.13)
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.7
respectivamente. A conversão dos deslocamentos do referencial local para o referencial global efectua-se a partir da matriz de transformação gT , UTU gg = (5.14) em que
= g
gg
TTT
00 (5.15)
definida na secção anterior.
5.4 - Campo de deformações
As extensões são definidas no referencial local, sendo as componentes não nulas as seguintes
∂∂
+∂∂
+
∂∂
−∂∂
+−
∂∂
−∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=
=
1
12
1
32
1
13
1
23
1
32
1
23
1
1
1
3
3
1
1
2
2
1
1
1
13
12
1
xx
xu
xx
xu
xx
xx
xu
xu
xu
xu
xuxu
θθ
θθ
θθ
γ
γ
ε
ε (5.16a)
ou
∂∂∂∂∂∂
+∂∂
−∂∂∂∂
−−
=
1
3
1
2
1
1
21
3
31
2
1
1
2
3
23
0010000010
0001
x
x
x
xuxu
xu
xx
xx
θ
θ
θ
θ
θ
ε (5.16b)
que em notação matricial fica
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.8
εε R= (5.16c) sendo
−−
=0010000010
0001
2
3
23
xx
xxR (5.17)
e
=
∂∂∂∂∂∂
+∂∂
−∂∂∂∂
=
f
t
c
a
x
x
x
xuxu
xu
εεεε
θ
θ
θ
θ
θ
ε
1
3
1
2
1
1
21
3
31
2
1
1
(5.18a)
em que
1
1
xu
a ∂∂
=ε (5.18b)
é a extensão axial,
+∂∂
−∂∂
=
21
3
31
2
θ
θε
xux
u
G
G
c (5.18c)
é o vector das extensões de corte,
1
1
xt ∂∂
=θ
ε (5.18d)
é a extensão de torção, e
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.9
∂∂∂∂
=
1
3
1
2
x
xf θ
θ
ε (5.18e)
é o vector das extensões de flexão. Todas as componentes de extensão estão no referencial local.
5.5 - Tensões
As tensões são definidas no referencial local, sendo as componentes não nulas as seguintes (ver Figura 5.8) [ ]Tt
13121 ττσσ = (5.19)
G
e
3
13τ 2
11σ
12τ
Figura 5.8 - Tensões.
5.6 - Lei de Hooke
A relação entre o vector das tensões e das extensões é estabelecida por intermédio da matriz constitutiva D , no referencial local: εσ D= (5.20a) ou
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.10
=
13
12
1
13
12
13
12
1
000000
γ
γ
ε
τ
τ
σ
GG
E (5.20b)
em que E é o módulo de elasticidade longitudinal do material e 12G , 13G são os módulos de elasticidade transversal do material nos planos 21 e 31 , respectivamente. Se o material for homogéneo e isotrópico ( )( )υ+=== 121312 EGGG sendo υ o coeficiente de Poisson do material.
5.7 - Esforços
As componentes dos esforços numa secção do elemento, no referencial local, são as seguintes (Figura 5.9) [ ]TMMMVVN 321321=σ (5.21) em que
( )
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−=
=
+−=
=
=
=
A
A
A
A
A
A
dAxM
dAxM
dAxxM
dAV
dAV
dAN
213
312
2133121
133
122
11
,
,
,
,
,
σ
σ
ττ
τ
τ
σ
(5.22)
são o esforço axial, o esforço de corte segundo o eixo 2 , o esforço de corte segundo o eixo 3 o momento torsor, o momento flector segundo o eixo 2 e o momento flector segundo o eixo 3 , respectivamente.
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Joaquim Barros 5.11
G
e
3
3V
2x
3x2
1
3M
1N
2M
1M
13τ
12τ
1σ
2V
Figura 5.9 - Esforços na secção de um elemento de Timoshenko no espaço. A relação (5.22) pode ser rescrita da seguinte forma
dA
xx
xx
M
MM
VV
N
A∫
−
−=
=
13
12
1
2
3
23
3
2
1
3
2
1
0000
0100010001
τ
τ
σ
σ (5.23)
pelo que dAR
A
T σσ ∫= (5.24)
Substituindo (5.20) em (5.24) e tendo em atenção a relação (5.16c) obtém-se
dARDR
dADR
A
T
A
T
ε
εσ
∫
∫=
=
. (5.25)
Efectuando o produto matricial RDRT obtém-se
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.12
( ) ( )( )
( )
∫∫
−−−
+−
−−
=AA
T dA
ExExxExExxExEx
xGxGGxGxGxGGxG
ExExE
dARDR
22322
322
33
2213
2312132123
13213
12312
23
000000
00000000000
000
. (5.26)
Como os eixos 1 e 2 são principais centrais de inércia, e admitindo-se material homogéneo e isotrópico, EAdAE
A
=∫ (5.27a)
*
21212 GAGAdAGA
==∫ α (5.27b)
*
31313 GAGAdAGA
==∫ α (5.27c)
3,2/0 === ∫∫ ipdAxEdAxE
Aii
A
(5.27d)
3,2/0 === ∫∫ ipdAxGdAxG
Aii
A
(5.27e)
jicipdAxxEdAxxE
Ajiji
A
≠=== ∫∫ /3,2/0 (5.27f)
( ) ( ) 2
23
23 IEdAxEdAxE
AA
== ∫∫ (5.27g)
( ) ( ) 3
22
22 IEdAxEdAxE
AA
== ∫∫ (5.27h)
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 1
23
22
2312
2213 IGdAxxGdAxGxG
AA
=+=+ ∫∫ (5.27i)
em que *
2A e *3A são as áreas reduzidas de corte segundo os eixos 2 e 3 , 2I e 3I são
os momentos de inércia em torno dos eixos 2 e 3 e 1I é o momento de inércia em torno de 1 . Assim,
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.13
== ∫
3
2
1
*3
*2
000000000000000000000000000000
ˆ
EIEI
GIGA
GAEA
dARDRDA
T . (5.28)
Desta forma, os esforços determinam-se por intermédio da relação seguinte εσ D̂= (5.29a)
∂∂∂∂∂∂
+∂∂
−∂∂∂∂
=
1
3
1
2
1
1
21
3
31
2
1
1
3
2
1
*3
*2
3
2
1
3
2
1
00000
0000
00000
00000
0000000000
x
x
x
xuxu
xu
EI
EI
GI
GA
GAEA
M
M
M
V
V
N
θ
θ
θ
θ
θ
(5.29b)
em que
=
f
t
c
a
DD
DD
D
000000000000
ˆ (5.30a)
sendo EADa = , (5.30b)
= *
3
*2
00
GAGA
D c , (5.30c)
1GIDt = , (5.30d) e
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.14
=
3
2
00
EIEI
D f . (5.30e)
as submatrizes associadas à rigidez axial, corte, torção e flexão, respectivamente. Na formulação de Timoshenko, a distribuição das tensões de corte 12τ e 13τ é considerada constante em toda a secção transversal. Tal facto deriva da hipótese de que as secções transversais se mantêm planas após a deformação, o que não acontece na realidade, pois há uma distorção da secção. Assim, para ter em conta essa distorção e, consequentemente, uma distribuição de tensões ao longo da secção diferente da linear, multiplica-se a área 2A e 3A da secção pelos coeficientes 2α e 3α , respectivamente. Estes coeficientes são designados por coeficientes de forma ou de distorção. A sua obtenção, para cada direcção,
2 e 3 , é feita aplicando o PTV, de forma a que o trabalho de deformação da tensão tangencial constante coincida com o exacto da teoria das vigas (Barros 1989, 1997). As áreas resultantes são designadas por áreas reduzidas de corte ( *
2A e *3A ).
5.8 - Trabalho interno de deformação
Substituindo as componentes do vector das extensões e das tensões na parcela do trabalho interno de deformação (4.13) do princípio dos trabalhos virtuais obtém-se ( ) ( )
( )
( )( )∫∫ ++==
ee VV
Te dVdVW 1313121211int τδγτδγσδεσεδδ . (5.31)
Desenvolvendo esta expressão e tendo em conta as relações (5.16c), (5.20a) e (5.28) obtém-se
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )∫
∫ ∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
=
e
e e
e
e
e
L
T
L A
TT
V
TTV
TTV
Te
dLD
dLdARDR
dVRDR
dVDR
dVW
εεδ
εεδ
εεδ
εεδ
σεδδ
ˆ
int
(5.32)
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.15
5.9 - Formulação do elemento de pórtico 3D de Timoshenko por elementos finitos isoparamétricos de classe C0
5.9.1 - Definição da geometria
As coordenadas cartesianas de um ponto qualquer do elemento, na coordenada normalizada 1s , obtêm-se por intermédio da seguinte relação
( ) ( )∑=
=n
k
gkk
g xsNsx1
11 (5.33a)
ou
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
=
gn
gn
gn
g
g
g
n
n
n
g
g
g
xxx
xxx
sNsNsNsN
sNsNs
xxx
,3
,2
,1
1,3
1,2
1,1
111
111
111
1
3
2
1
00...0000...0000...00
(5.33b)
em que n é o número de nós do elemento, ( )1sNk é a função de forma do elemento relativa ao nó k, avaliada na coordenada normalizada 1s e g
kix , c/i=1,2,3 representa as coordenadas do nó k no referencial global. A relação (5.33b) pode ainda ser rescrita da seguinte forma
( )
( )( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( )egex
eg
e
x
x
x
g
g
g
XsN
XsNsNsN
sxxx
1
12
12
11
1
3
2
1
=
=
(5.33c)
em que ( )egX é o vector contendo as coordenadas, no referencial global, dos nós do elemento.
5.9.2 - Deslocamentos
Conhecidos os deslocamentos dos nós do elemento no referencial global, ( )egU , os deslocamentos de um ponto qualquer do elemento, na coordenada normalizada 1s , obtêm-se por intermédio da relação seguinte
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.16
( ) ( )∑=
=n
k
gkk
g UsNsU1
11 (5.34a)
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
=
gn
gn
gn
gn
gn
gn
g
g
g
g
g
g
n
n
n
n
n
n
g
g
g
g
g
g
uuu
uuu
sNsNsNsN
sNsNsNsN
sNsNsNsN
suuu
,3
,2
,1
,3
,2
,1
1,3
1,2
1,1
1,3
1,2
1,1
111
111
111
111
111
111
1
3
2
1
3
2
1
...
00000...0000000000...0000000000...0000000000...0000000000...0000000000...00000
θθθ
θθθ
θθθ
(5.34b)
em que g
kiu , e gki,θ c/i=1,2,3 representam os deslocamentos e as rotações do nó k no
referencial global. A relação (5.34b) pode ainda ser rescrita da seguinte forma ( ) ( )( ) ( )ege
ug UsNsU 11 = (5.34c)
5.9.2 - Matrizes de deformação
As extensões num ponto do elemento, na coordenada normalizada 1s , obtêm-se a partir dos deslocamentos dos nós dos elemento, efectuando a seguinte operação (ver (5.18))
( ) ( ) k
n
kk UsBs 1
11 ∑
=
=ε (5.35)
em que [ ]Tkkkkkkk uuuU ,3,2,1,3,2,1 θθθ= (5.36) é o vector dos deslocamentos do nó k, no referencial local do elemento, e
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.17
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
−
=
1
1
1
1
1
1
11
1
11
1
1
1
1
00000
00000
00000
0000
0000
00000
dxsdN
dxsdN
dxsdN
sNdx
sdN
sNdx
sdNdx
sdN
sB
k
k
k
kk
kk
k
k (5.37)
é a matriz de deformação relativa ao nó k, avaliada na coordenada normalizada 1s , e kU é o vector dos deslocamentos do nó k, no referencial local. Substituindo (5.14) em (5.35) obtém-se
( ) ( ) ( )[ ] gk
Tgn
kk UsTsBs 1
111 ∑
=
=ε (5.38a)
ou
( ) ( ) gk
n
kk UsBs ∑
=
=1
11ε (5.38b)
em que [ ]Tg
kg
kgk
gk
gk
gk
gk uuuU ,3,2,1,3,2,1 θθθ= (5.39)
é o vector dos deslocamentos do nó k, no referencial global, ( )1sT g é a matriz de transformação do referencial local para o referencial global, definida na secção 5.2.3, e ( ) ( ) ( )[ ]Tg
kk sTsBsB 111 = . (5.40) Para calcular ( ) 11 dxsdNk da matriz kB efectua-se procedimento similar ao descrito na secção 3.3. Assim,
( ) ( )
1
1
1
1
1
1
dxds
dssdN
dxsdN kk = . (5.41)
Como
( ) ( ) ( )232
22
11ggg dxdxdxdx ++= , (5.42)
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.18
então
( ) ( ) ( )
212
1
3
2
1
2
2
1
1
1
23
22
21
1
1
+
+
=
++=
dsdx
dsdx
dsdx
dsdxdxdx
dsdx
ggg
ggg
. (5.43a)
Substituindo (5.33) em (5.43a) obtém-se
( ) ( ) ( )
( )e
n
k
gk
kgk
kgk
k
J
xds
sdNxds
sdNxds
sdNdsdx
=
+
+
=∑
=1
212
,31
1
2
,21
1
2
,11
1
1
1
(5.43b)
que é o Jacobiano avaliado na coordenada normalizada 1s . Substituindo (5.43) em (5.41) obtém-se
( ) ( )( )e
kk
JdssdN
dxsdN 1
1
1
1
1 = . (5.44)
Na secção 5.4, o vector das extensões foi decomposto nas componentes de extensão axial, extensões de corte, extensão por torção e extensões por flexão. Para determinar estas componentes de extensão a partir dos deslocamentos dos nós efectua-se o procedimento que se passa a descrever. – Matriz de deformação axial
( ) ( )
( ) ( )[ ] gka
n
k
T
kg
aka
ka
n
kkaa
UsTsB
UsBs
,1
11,
,11
,1
∑
∑
=
=
=
=ε (5.45)
em que ( )[ ] ( )1,11
ˆ ssT Tk
T
kg
a = é o versor do eixo local 1 no referencial global, pelo que é
constituído pelos cosenos dos ângulos que esse eixo faz com os eixos ( )321 ,, ggggi do referencial global e ( )[ ] g
a
Tgaa UsTU 1= . (5.46)
Por sua vez,
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.19
( ) ( )1
11, dx
sdNsB k
ka = (5.47)
é o termo correspondente ao nó k da matriz de deformação axial, kka uU ,1, = (5.48) é o deslocamento do nó k segundo o eixo local 1 , e [ ]Tg
kg
kg
kg
ka uuuU ,3,2,1, = (5.49) é o vector dos deslocamentos do nó k segundo os eixos globais ( )321 ,, ggggi . – Matriz de deformação de corte Neste caso,
( ) ( )
( ) ( )[ ] gkc
n
k
T
kg
ckc
kc
n
kkcc
UsTsB
UsBs
,1
11,
,11
,1
∑
∑
=
=
=
=ε (5.50)
em que
( )k
ggkc T
sT
=
000ˆˆ
321, (5.51)
é a matriz de transformação associada aos graus de liberdade de corte e ( )[ ] g
c
Tgcc UsTU 1= . (5.52)
Por sua vez,
( )( ) ( )
( ) ( )
−=
000
000
11
1
11
1
1,
sNdx
sdN
sNdx
sdN
sBk
k
kk
kc (5.53)
são os termos correspondentes no nó k da matriz de deformação de corte, [ ]Tkkkkkkc uuU ,3,2,1,3,2, θθθ= (5.54) é o vector dos deslocamento do nó k no referencial local, e
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.20
[ ]Tgk
gk
gk
gk
gk
gk
gkc uuuU ,3,2,1,3,2,1, θθθ= (5.55)
é o vector dos deslocamentos do nó k no referencial global. – Matriz de deformação de torção A extensão de torção obtém-se a partir dos deslocamentos, por intermédio da relação seguinte,
( ) ( )
( ) ( )[ ] gkt
n
k
T
kg
tkt
kt
n
kktt
UsTsB
UsBs
,1
11,
,11
,1
∑
∑
=
=
=
=ε (5.56)
em que ( )[ ] ( )1,11
ˆ ssT Tk
T
kg
t = é o versor do eixo local 1 no referencial global e ( )[ ] g
t
Tgtt UsTU 1= . (5.57)
Por sua vez,
( ) ( )1
11, dx
sdNsB k
kt = (5.58)
é o termo correspondente ao nó k da matriz de deformação de torção, kktU ,1, θ= (5.59) é a rotação do nó k segundo o eixo local 1 , e [ ]Tg
kg
kgk
gktU ,3,2,1, θθθ= (5.60)
é o vector das rotações do nó k no referencial global. – Matriz de deformação de flexão As extensões de flexão obtêm-se a partir dos deslocamentos, aplicando a expressão seguinte,
( ) ( )
( ) ( )[ ] gkf
n
k
T
kgfkf
kf
n
kkff
UsTsB
UsBs
,1
11,
,11
,1
∑
∑
=
=
=
=ε (5.61)
em que
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.21
( ) [ ]kg
kf sT 321,ˆˆ= (5.62)
é a matriz de transformação associada aos graus de liberdade de flexão e ( )[ ] g
f
Tgff UsTU 1= . (5.63)
Por sua vez,
( )( )
( )
=
1
1
1
1
1,
0
0
dxsdN
dxsdN
sBk
k
kf (5.64)
são os termos correspondentes ao nó k da a matriz de deformação de flexão, [ ]TkkkfU ,3,2, θθ= (5.65) é o vector das rotações do nó k no referencial local, e [ ]Tg
kg
kgk
gkfU ,3,2,1, θθθ= (5.66)
é o vector das rotações do nó k no referencial global.
5.9.3 - Matriz de rigidez
Substituindo as expressões (5.38) em (5.32) obtém-se
( ) ( )( )
( )[ ] [ ] ( )
( )∫
∫
=
=
e
e
L
egTgTgTeg
L
Te
dLUTBDBTU
dLDW
ˆ
ˆint
δ
εεδδ
. (5.67)
Convertendo (5.67) para coordenadas normalizadas resulta
( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( )∫+
−=
1
1 1intˆ egeTgTgTege UdsJTBDBTUW δδ (5.68)
em que
( ) [ ] ( )∫+
−=
1
1 1ˆ dsJTBDBTK eTgTge (5.69)
é a matriz de rigidez do elemento. Aplicando a integração numérica de Gauss Legendre (ver secção 3.3.3) ao cálculo da matriz de rigidez, a relação (5.70) reduz-se à seguinte,
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.22
( ) [ ]{ }( )
p
N
p
e
s
TgTge WJTBDBTKs
p∑=
=1
11
ˆ (5.70)
em que
1SN , é o número de pontos de integração na direcção 1s , em correspondência com a regra de integração seleccionada, pW é o peso associado ao ponto de integração de
coordenadas ps1 e J é o Jacobiano. A matriz de rigidez de um elemento pode ser obtida calculando-se as submatrizes de rigidez associadas à deformação axial, às deformações de corte, à deformação de torção e às deformações de flexão. Assim, substituindo (5.18a) e (5.30a) em (5.32) obtém-se
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )∫
∫
=
=
e
e
L
f
t
c
a
f
t
c
a
T
fT
t
T
cT
a
L
Te
dL
DD
DD
dLDW
εεεε
εδεδεδεδ
εεδδ
000000000000
ˆint
(5.71)
Efectuando os produtos matriciais em (5.71) e fazendo intervir as relações (5.45)), (5.50)) (5.56)) e (5.61)) obtém-se
( ) ( )[ ] [ ]( )
( )[ ] [ ]( )
( )[ ] [ ]( )
( )[ ] [ ]( )
gf
L
Tgfff
Tf
gf
Tgf
gt
L
Tgttt
Tt
gt
Tgt
gc
L
Tgccc
Tc
gc
Tgc
ga
L
Tgaaa
Ta
ga
Tga
e
UdLTBDBTUUdLTBDBTU
UdLTBDBTUUdLTBDBTUW
ee
ee
∫∫
∫∫
+
++=
δδ
δδδ
int
(5.72)
em que ( ) [ ]
( )∫=
eL
Tgaaa
Ta
ga
ea dLTBDBTK (5.73a)
( ) [ ]
( )∫=
eL
Tgccc
Tc
gc
ec dLTBDBTK (5.73b)
( ) [ ]
( )∫=
eL
Tgttt
Tt
gt
et dLTBDBTK (5.73c)
( ) [ ]
( )∫=
eL
Tgfff
Tf
gf
ef dLTBDBTK (5.73d)
são as submatrizes de rigidez axial, corte, torção e flexão, respectivamente. Aplicando a integração numérica de Gauss-Legendre, as relações (5.73) convertem-se nas seguintes
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.23
( ) [ ]{ }( )
p
e
s
Tgaaa
Ta
ga
ea WJTBDBTK p∑
=
=a1s
1
N
1p (5.74a)
( ) [ ]{ }( )
p
e
s
Tgcccc
gc
ec WJTBDBTK p∑
=
=c1s
1
N
1p (5.74b)
( ) [ ]{ }( )
p
e
s
Tgttt
Tt
gt
et WJTBDBTK p∑
=
=t1s
1
N
1p (5.74c)
( ) [ ]{ }( )
p
e
s
Tgffff
gf
ef WJTBDBTK p∑
=
=f1s
1
N
1p (5.74d)
em que a
sN1, c
sN1, t
sN1 e f
sN1 são número de pontos de Gauss associados à integração
numérica da matriz de rigidez axial, corte, torção e flexão, respectivamente, fornecidos no Quadro 5.1.
Quadro 5.1 - Pontos de Gauss para integração numérica das submatrizes de rigidez do elemento de Timoshenko no espaço.
Elemento Ordem de integração Função de
forma Linear Quadrática
Axial 1 2
Corte 2 3
Torção 1 2 Completa
Flexão 1 2
Axial 1 2
Corte 1 2
Torção 1 2 Reduzida = Selectiva
Flexão 1 2
5.9.4 - Vector solicitação
5.9.4.1 - Introdução
Para complementar o sistema de equações de equilíbrio será necessário determinar as forças nodais, equivalentes às acções exteriores. Nesta secção descrevem-se os procedimentos necessários à obtenção das forças nodais equivalentes aos tipos de acções seguintes:
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.24
Forças aplicadas em pontos nodais da estrutura; Forças aplicadas em pontos do interior de elementos; Forças de volume; Forças distribuídas por unidade de comprimento; Deslocamentos prescritos.
5.9.4.2 - Forças aplicadas em pontos nodais da estrutura
Considere-se que num ponto P da estrutura está aplicado o vector de forças [ ]TPggggggg
PMMMFFFQ 321321= (5.75)
cujas componentes estão referidas ao sistema global de eixos e estão em correspondência com os graus de liberdade definidos em (5.13). Admite-se que o ponto P coincide com o centro de gravidade da secção. Neste caso, as forças nodais equivalentes à acção de g
PQ
obtêm-se espalhando g
PQ no vector das forças nodais equivalentes da estrutura, ( )EgQ .
5.9.4.3 Forças aplicadas em pontos do interior de elementos
No ponto A de coordenada local sA1 do elemento representado na Figura 5.10 está aplicado
o vector de forças [ ]TAggggggg
AMMMFFFQ 321321= (5.76)
cujas componentes estão referidas ao sistema global de eixos e estão em correspondência com os graus de liberdade definidos em (5.13).
1g
2gAF
3gAF
1gAF
1gAM
2gAM
3gAM
3g
2g
A2
3
1
Figura 5.11 - Forças generalizadas aplicadas em pontos do interior de elementos. Para determinar as forças nodais equivalentes ao vector (5.76) aplica-se o princípio dos trabalhos virtuais obtendo-se,
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.25
( ) ( )
mg
g
g
g
g
g
Ae
m
Ag
g
g
g
g
g
mgg
gg
gg
gg
gg
gg
uuu
sN
MMMFFF
MMM
uFuFuF
=
3
2
1
3
2
1
,1
3
2
1
3
2
1
33
22
11
33
22
11
δθδθδθδδδ
δθδθδθδδδ
(5.77)
em que,
gm
mg
g
g
g
g
g
Uuuu
δ
δθδθδθδδδ
=
3
2
1
3
2
1
(5.78)
é o vector dos deslocamentos virtuais no nó m, no referencial global. Como os deslocamentos virtuais são quaisquer, (5.77) simplificar-se-á para,
( ) ( )
Ag
g
g
g
g
g
Ae
m
mg
g
g
g
g
g
MMMFFF
sN
MMMFFF
=
3
2
1
3
2
1
,1
3
2
1
3
2
1
(5.79a)
ou ( ) g
AAmg
mQsNQ ,1= . (5.79b)
As coordenadas locais do ponto de aplicação do vector de forças g
AQ podem ser obtidas
recorrendo-se à condição de se estar a trabalhar com elementos finitos isoparamétricos. Assim, a coordenada As ,1 determina-se por intermédio da resolução da seguinte equação não linear
( ) gmi
n
mAm
gAi xsNx ,
1,1, ∑
=
= c/i=1 ou 2 ou 3 (5.80)
em que g
mix , é a componente i do nó m do elemento, no referencial global, e gAix , é a
componente i do ponto A do elemento, no referencial global. Substituindo o valor de As ,1
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.26
em (5.79) determinam-se as forças nodais equivalentes ao vector de forças generalizadas aplicadas num ponto genérico A do interior de um elemento. 5.9.4.4 - Forças de volume
Neste trabalho despreza-se os efeitos de acelerações rotacionais, pelo que apenas se simula os efeitos de acelerações que geram forças segundo o sistema coordenado global. Assim, uma porção de volume de um elemento de pórtico 3D de Timoshenko fica submetido às seguintes forças
dVggg
dQdQdQ
g
g
g
gV
gV
gV
=
3
2
1
3,
2,
1,
ρ (5.81a)
ou dVgFd gg
V ρ= (5.81b) em que gg1 , gg2 e gg3 são acelerações segundo gx1 , gx2 e gx3 , respectivamente, e ρ é a massa por unidade de volume do material que constitui o elemento. Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais e integrando na área do elemento e obtém-se,
( )( ) ( )
( )
dLAgUNUFeL
emm
e
mV ∫= ρδδ (5.82a)
( )( ) ( )
( )
[ ] dLAgTUNUF gTg
L
emm
e
mVe∫= ρδδ (5.82b)
em que [ ]Tmm uuuU 321=δ (5.83) são os deslocamentos de translação segundo os eixos locais. Como os deslocamentos virtuais devem ser quaisquer, a relação (5.82a) converte-se na seguinte
( )
( )
( )[ ] dLAgTNF gTge
Lm
emV
e
ρ∫=, . (5.84)
Aplicando a integração numérica de Gauss Legendre ao integral de (5.84) obtém-se,
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.27
( ) ( ) [ ]( ) [ ]
( )
( )
[ ]( )( )
p
N
p
e
sVm
p
N
p
e
s
gTgem
gTgem
emV
WJFN
WJAgTN
dsJAgTNF
s
p
s
p
∑
∑
∫
=
=
−
=
=
=
1
,1
1
,1
1
1
1
1
1,
ρ
ρ
(5.85)
em que
( ) ( ) [ ] ( )psgTge
pV AgTsF,1,1
= ρ (5.86)
são as forças segundo os eixos do referencial local associado ao ponto de Gauss, avaliadas nesse ponto. 5.9.4.5 - Forças distribuídas por unidade de comprimento
Um elemento de barra 3D de Timoshenko pode ser solicitado por forças generalizadas distribuídas em correspondência com os graus de liberdade, conforme se representa na Figura 5.12. Nesta figura j
kLq , ( q f= para forças e q m= para momentos) representa a força generalizada atribuída ao nó k do elemento, dirigida segundo o eixo j , c/j=1,2,3, do
referencial local de um ponto do elemento. Por sua vez, jLq ( q f= para forças e q m=
para momentos) é a força generalizada distribuída por unidade de comprimento ao longo do elemento, dirigida segundo o eixo j . Para uma determinada posição 1s ao longo do elemento, o valor da carga uniformemente distribuída obtém-se por intermédio das relações seguintes (no caso de elementos de três nós),
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 3333
2222
1111
3333
2222
1111
3,132,121,111
3,132,121,111
3,132,121,111
3,132,121,111
3,132,121,111
3,132,121,111
LLLL
LLLL
LLLL
LLLL
LLLL
LLLL
msNmsNmsNsm
msNmsNmsNsm
msNmsNmsNsm
fsNfsNfsNsf
fsNfsNfsNsf
fsNfsNfsNsf
++=
++=
++=
++=
++=
++=
(5.87a)
ou, ( ) ( )( )[ ]T
L
e
LqsNsq 11 = (5.87b)
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.28
3
32
2
1
1
11,Lf 1
2,Lf
1Lf
1Lf
13,Lf
32
1
2
1,Lf
22,Lf
23,Lf
3
3 2
2
1
1
32
1
2Lf
2Lf
31,Lf
32,Lf
3Lf
3Lf
33,Lf
3
21
32
1 3
21
3
32
2
1
1
11,Lm 1
2,Lm
1Lm
1Lm
13,Lm
32
1
21,Lm
22,Lm
23,Lm
2Lm
3
3 2
2
1
1
32
1
2
Lm
31,Lm
32,Lm
3Lm
33,Lm
3
21
32
1 3
21
3Lm
Figura 5.12 - Forças distribuídas por unidade de comprimento num elemento de barra 3D de Timoshenko de 3 nós.
em que
( )
=
321
321
321
321
321
321
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
NNNNNN
NNNNNN
NNNNNN
N e
(5.88)
e
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.29
[ ]TLLLLLLLLLLLLLLLLLLLmmmfffmmmfffmmmfffq 321321321321321321
3,3,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,= . (5.89) No comprimento infinitesimal 1dxdL = a resultante das forças generalizadas é
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )dLsmsdM
dLsmsdM
dLsmsdM
dLsfsdF
dLsfsdF
dLsfsdF
LL
LL
LL
LL
LL
LL
11
11
11
11
11
11
33
22
11
33
22
11
=
=
=
=
=
=
(5.90)
ou ( ) ( )dLsqsQd
LL 11 = . (5.91) Aplicando o princípio dos trabalhos virtuais e integrando ao longo do lado solicitado obtém-se, ( )[ ]
( )
dLqNQ g
LL
Teg
Le∫= . (5.92)
Para converter
Lq (força generalizada distribuída em dL ) para o referencial global
efectua-se a seguinte operação ( ) ( ) ( )111 sqsTsq
L
ggL
= (5.93) em que ( )1sT g é a matriz de transformação deduzida na secção 5.2.3. Convertendo o integral em (5.92) para coordenadas locais e tendo em conta a relação (5.93) obtém-se
( )[ ]( )[ ]( )[ ]∫
∫
∫
−
−
−
=
=
=
1
11
1
11
1
11
dsJqTN
dsJqTN
dsJqNQ
L
gTe
L
gTe
g
L
Teg
L
. (5.94)
Recorrendo-se à integração numérica de Gauss-Legendre (5.94) converte-se em
( )[ ]{ }∑=
=Ns
ppsL
gTeg
LWJqTNQ
p1 ,1 (5.95)
Método dos elementos finitos aplicado a estruturas reticuladas Capítulo 5
Joaquim Barros 5.30
em que Ns é o número de pontos de Gauss utilizados na integração ao longo do elemento e g
LQ é o vector constituído pelas forças nodais equivalentes às forças generalizadas
distribuídas ao longo do elemento, no referencial global, tal como se representa na Figura 5.13.
1g 21,
gLf
31,
gLf
11,
gLf
11,
gLm
21,
gLm
31,
gLm
22,
gLf
32,
gLf
12,
gLf
12,
gLm
22,
gLm
31,
gLm
23,
gLf
33,
gLf
13,
gLf
13,
gLm
23,
gLm
33,
gLm
3g
2g
1
2
3
Figura 5.13 - Forças nodais equivalentes às forças generalizadas distribuídas num elemento.
5.9.4.6 - Assentamentos de apoio
Os assentamentos de apoio podem ser introduzidos directamente no vector dos deslocamentos, nas posições correspondentes aos graus de liberdade prescritos. Para tal, o sistema de equações de equilíbrio (Barros et al. 1996), ( ) ( ) ( )EgEgEg QUK = (5.96) é reorganizado da forma seguinte
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
+=
EgEg
f
Eg
lEg
f
Egl
Egff
Egfl
Eglf
Egll
RQQ
UU
KKKK
(5.97)
em que ( )Eg
llK inclui as linhas e as colunas de interacção entre graus de liberdade livres, ( )Eg
ffK inclui as linhas e as colunas de interacção entre graus de liberdade fixos, ( ) [ ]Tg
lfEg
lf KK = inclui os termos de rigidez relativos à interacção entre os graus de liberdade
livres e fixos, ( )EglU e ( )Eg
fU são os vectores que incluem os graus de liberdade livres, a determinar, e dos graus de liberdade fixos (de valor nulo ou imposto, como sejam os assentamentos de apoio), conhecidos, respectivamente, ( )Eg
lQ e ( )Eg
fQ são os vectores que
englobam as forças nodais equivalentes em correspondência com os graus de liberdade livres e fixos, respectivamente, e ( )EgR é o vector que inclui as reacções nos apoios da
estrutura. Assim, os assentamentos de apoio são introduzidos no vector ( )EgfU .