5 - Engenharia de tráfego

ENGENHARIAELÉTRICA

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Prof. Dr. Naasson P. de Alcantara Jr.DEE - Unesp/Bauru

Engenharia de Tráfego

Prof. Dr. Naasson Pereira de Alcantara Jr.

[email protected]

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Introdução

A palavra tráfegoestá quase sempre associada ao movimentos de veículos em uma via (rodovia, avenida etc).

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IntroduçãoVamos então usar essa analogia.

Imagine duas metrópoles relativamente próximas entre sí, interligadas por uma rodovia de pista simples, com duplo sentido de movimento.

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IntroduçãoVamos então usar essa analogia.

Imagine duas metrópoles relativamente próximas entre sí, interligadas por uma rodovia de pista simples, com duplo sentido de movimento.Os congestionamentos serão imensos durante todo o tempo;

O risco de acidentes será extremamente alto, com muitas perdas de vidas e financeiras.

Os motoristas estarão sempre insatisfeitos e estressados.Negociantes de ambas as cidades sofrerão prejuízos, pois viagens de cidadãos entre as duas cidades serão sempre desestimulantes, etc, etc.

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IntroduçãoImagine agora o inverso. Duas pequenas cidades interligadas por uma freeway com duas pistas com 3 faixas de rolamentos cada.

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IntroduçãoEvidentemente isso seria o paraíso para os poucos viajantes entre as duas cidades, mas um péssimo investimento do ponto de vista econômico, pois o tempo de amortização do investimento, através da cobrança de pedágios seria uma eternidade.

A engenharia de tráfego consiste exatamente em encontrar soluções adequadas para situações como essas. Dimensionar e operar uma freeway para interligar as duas metrópoles, e uma rodovia simples para interligar as duas pequenas comunidades.

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IntroduçãoA Engenharia de Tráfego é um ramo da engenharia que estuda o dimensionamento de circuitos.

Em telecomunicações, tráfego é o volume de solicitaçõesque o sistema deve atender, obedecendo padrões pré-estabelecidos, de forma a garantir a necessidade dos assinantes, a um custo financeiro razoável.

É a ocupação de um circuito, medido pelo tempo desta ocupação em segundos, minutos, horas etc, dentro de um período de análise.

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Introdução

A Engenharia de Tráfego também é utilizada para a previsão de receita. Logo ele deve ser capaz de prever:

As necessidades de ampliação de equipamentos para suportar uma determinada demanda,

Tempo de amortecimento de investimentos.

A Engenharia de Tráfego visa oferecer um enlace de comunicações com um determinado grau de serviço, com um projeto de rede que venha a suprir as necessidades dos assinantes, atendendo aos padrões especificados com um custo financeiro razoável

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IntroduçãoProblema: Como um numero limitado de canais pode ser compartilhado por um número muito maior de assinantes?

O dinamarques A. K. Erlang (1872-1929) baseado em estudos estatísticos, elaborou a “Teoria do Tráfego Telefônico”, complementada por vários outros estudiosos. Essa teoria estabelece um conjunto de fórmulas, para casos específicos, onde é possível determinar, em função do número de fontes de tráfego, a quantidade de linhas (troncos) para uma certa probabilidade de perda.

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Intensidade de TráfegoO tráfego telefônico, ou intensidade de tráfego, ou ainda fluxo de tráfego é uma medida da densidade de tráfego.

Circuito (ou caminho de tráfego): É um canal, um time slot, uma banda de freqüência, uma linha ou um juntor nos quais as chamadas individuais passam em seqüência.

ocupado livre ocupado livre ocupado

Representação de um circuito (ocupado e desocupado)

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Intensidade de TráfegoUm sistema formado por 5 circuitos, observado por 60 minutos.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos

Inicialmente temos o registro das ocupações individuais, mostrando o estado de cada circuito (livre ou ocupado), individualmente.Circuito 1

Circuito 2

Circuito 3

Circuito 4

Circuito 5

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Intensidade de TráfegoUm sistema formado por 5 circuitos, funcionando por 60 minutos.

minutos

Em seguida apresentamos o gráfico que mostra o registro de ocupação simultânea desses circuitos.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 600

Circuitos ocupados

1

2

3

4

5

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minutos

Todos os circuitos estiveram ocupados no periodo de 30 a 35 minutos. Qualquer chamada que surgisse nesse periodo seria recusada ou enviada para um sistema de fila.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 600

Circuitos ocupados

1

2

3

4

5

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos

Tempo de Ocupação – É o intervalo de tempo em que uma chamada ocupa um circuito. Pela figura ao lado, o circuito 1 foi ocupado por uma chamada com duração de 20 minutos no período de 20 a 40 minutos.

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos

Volume de Tráfego - É a soma dos tempos de ocupação dos circuitos de um sistema

∑=

=n

iitV

1

N é o número total de ocupações e ti é o tempo da i-ésima ocupação

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos

V = t1 + t2 + ... + t18 = (15 + 20 + ... + 10) min

= 210 minutos

Examinando a figura ao lado:

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos

Intervalo de Ocupações– Édefinido como o número de ocupações (ou chamadas) que ocorre em um grupo de circuitos. Podemos observar no exemplo que houve dezoito ocupações durante sessenta minutos.

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos

Portanto a intensidade de ocupação ( λ ) ou chamadas é:

λ = 18 chamadas

60 minutos

λ = 0,3 cham./min.

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos

Tempo Médio de Ocupação – Éa média aritmética dos tempos de ocupação das chamadas observadas num sistema durante um período observado.

nVtm =

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos

No exemplo considerado:

tm = 210/18 = 11.67 min.

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos

Intensidade de Tráfego (A) - é o quociente entre o volume de tráfego e o período de observação:

TVA =

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos


A = 210 / 60= 3,5 Erl

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos

O tráfego telefônico (A) também admite a seguinte expressão:

A = λtm

onde λ (intensidade de ocupação) é a taxa média de chamadas e tm o tempo médio de duração das chamadas.

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0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60minutos


A = 0,3x11,67= 3,5 Erl

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Intensidade de TráfegoA unidade mais utilizada para intensidade de tráfego é o erlang (Erl), nome dado em homenagem ao matemático dinamarquês A. K. Erlang.

O erlang é uma unidade adimensional.

1 erlang representa um circuito ocupado durante todo o tempo de observação.

Outras interpretações:

A intensidade de tráfego em erlang representa o número médio de circuitos ocupados durante uma hora

No exemplo dado temos 42 ocupações (ou circuitos ocupados) de 5 minutos no período de uma hora. Portanto:

A = 42/12 = 3,5 Erl

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Intensidade de TráfegoA unidade mais utilizada para intensidade de tráfego é o erlang (Erl), nome dado em homenagem ao matemático dinamarquês A. K. Erlang.

O erlang é uma unidade adimensional.

1 erlang representa um circuito ocupado durante todo o tempo de observação.

Outras interpretações:

A intensidade de tráfego em erlang representa o tempo total expresso em horas, para escoar todas as chamadas.

No exemplo dado se houvesse apenas um circuito, e todas as chamadas fossem feitas uma após a outra, sem nenhum tempo ocioso do circuito, teríamos:

A = 210/60 = 3,5 Erl

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Intensidade de TráfegoProblema 1

Dois sistemas que apresentam volumes iguais de tráfego podem apresentar intensidade de tráfego diferentes?

Resposta

Sim, no exemplo apresentado, temos um volume de tráfego de 210 minutos, em um período de observação de 60 minutos, resultando em 3,5 Erl de intensidade de tráfego.

Um outro sistema com o mesmo volume de tráfego, porém com um tempo de observação de 100 minutos terá uma intensidade de tráfego de 2,1 Erl.

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Se analisarmos um circuito durante 120 minutos e constatarmos que apresentou em média 10 ocupações, podemos concluir que tivemos intensidade de tráfego de 10 Erlang?

Resposta

Não. 10 ocupações em 120 minutos (2 horas) resultará em:

A = 10/2 = 5 Erl

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Um conjunto de órgãos apresentou uma intensidade de chamadas λ = 5 chamadas/segundo e um tempo médio de ocupação tm = 100 seg. Calcular a intensidade de tráfego.

Resposta

Das definições de intensidade de chamada, tempo médio de ocupação e intensidade de tráfego:

T

nλ =

n

Vtm =

T

VA =

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Um conjunto de órgãos apresentou uma intensidade de chamadas λ = 5 chamadas/segundo e um tempo médio de ocupação tm = 100 seg. Calcular a intensidade de tráfego.

Resposta

Realizando substituições:

n/λtmxn

A = tmxλ= = 100 seg.x 5 (cham./seg) = 500 Erl.

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Intensidade de Tráfego

Central Telefônica120 s

60 s

Intensidade de tráfego na linha = 180 segundos

3600 segundos= 0,05 Erl

Exemplos

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Central Telefônica

102 s

67 s 46 s

172 s 214 s

95 s

Tráfego originado total = 383 segundos

3600 segundos0,106 Erl

Tráfego terminado total = 313 segundos


Exemplos

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Central Telefônica

102 s

67 s 46 s

172 s 214 s

95 s

Tráfego total nas linhas = 696 segundos


Exemplos

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Central Telefônica

Central Telefônica

Central Telefônica

Tráfego interno (apenas entre os telefones da central):

(Ai = 0,075 Erl)

Exemplos

0,075 Erl

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Central Telefônica

Central Telefônica

Central Telefônica

Ae1 = 0,017 Erl

Ae2 = 0,068 Erl

Ae = Tráfego de entrada = 0,017 + 0,068 = 0,085 Erl

At = Tráfego terminado total = 0,075 + 0,085 = 0,16 Erl

(Ai = 0,075 Erl)

Exemplos

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Central Telefônica

Central Telefônica

Central Telefônica

Ae1 = 0,017 Erl

Ae2 = 0,068 Erl

As = Tráfego de saída = 0,046 + 0,049 = 0,095 Erl

At = Tráfego originado total = 0,075 + 0,095 = 0,17 Erl

(Ai = 0,075 Erl)

As1 = 0,046 Erl

As2= 0,049 Erl

Exemplos

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Central Telefônica

Central Telefônica

Central Telefônica

Ae1 = 0,017 Erl

Ae2 = 0,068 Erl

Aext = Tráfego externo total = As + Ae = 0,095 + 0,085 = 0,18 Erl

Ac = Tráfego escoado pela central = Aext + Ai = 0,18 + 0,075 = 0,255 Erl

(Ai = 0,075 Erl)

As1 = 0,046 Erl

As2= 0,049 Erl

Exemplos

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Intensidade de TráfegoUma maneira prática e confiável de se obter o tráfego de saída de um cliente é através de sua conta telefônica:

1.O valor total de minutos encontrados no mês divide-se por um fator de concentração mensal, normalmente 22 dias úteis, determinando-se a quantidade diária de minutos;

2.A quantidade diária de minutos divide-se por um fator de concentração diário, normalmente 8 horas de expediente determinado-se a quantidade de minutos utilizados em um hora;

3.Divide-se a quantidade de minutos utilizados em uma hora por 60,obtendo-se o tráfego em Erlangs.

As = Número de minutos mensais

22x8x60

Este valor multiplica-se por 2 para obter o tráfego total (As + Ae).

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Hora de Maior Movimento (HMM)

A distribuição das chamadas telefônicas varia conforme a hora do dia e os perfis dos usuários da área atendida (e.g., assinantes em um distrito residencial ou comercial, grandes centros urbanos ou zona rural).

Hora de Maior Movimento (HMM), É o intervalo contínuo de 60 minutos, dentro de um período de 24 horas, onde se apresenta a maior intensidade de tráfego.

O dimensionamento de sistemas telefônicos são sempre realizados para atender a intensidade de tráfego da HMM.

Para se determinar a HMM, é recomendado pelo ITU-T (InternationalTelecommunications Union – Telecommunications Standardization Sector) que se efetue medições de tráfego a cada quarto de hora no intervalo de tempo compreendido entre 9 horas e 12 horas durante dez dias consecutivos. Estes dias deverão ser normais ou seja, não poderão ser feriados ou conterem quaisquer acontecimentos anormais;

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Hora de Maior Movimento (HMM)

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Grau de Serviçoo grau de serviço é caracterizado pela perda, isto é, a probabilidade de que uma ocupação oferecida seja rejeitada (perdida), razão pela qual é denominada de probabilidade de perda ou bloqueio. Seu valor numérico é uma estimativa da porcentagem das chamadas oferecidas que são rejeitadas.

Grau de serviço = Numero de chamadas perdidas

Número de chamadas aplicadas

Se em 100 tentativas de chamada, uma não for completada, o grau de serviço é0,01 ou 1 %.

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Grau de ServiçoA probabilidade de perda ou bloqueio depende de diversos fatores, dentre os quais:

1) Disponibilidade de circuitos em um tronco (disponibilidade plena ou restrita);

2) Forma de tratamento das chamadas perdidas;

3) O número de assinantes - fonte de tráfego limitada ou muito grande (infinita);

4) Distribuição das chamadas no tempo e distribuição de duração das chamadas.

.

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Grau de ServiçoDisponibilidade limitada

Canais de

entrada

Canais de

entrada

Troncos saída

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Grau de ServiçoDisponibilidade plena

Canais de

entrada

Troncos saída

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Tratamento das Chamadas Perdidas

Na teoria de tráfego telefônico convencional, três métodos são considerados para o manuseio ou tratamento de chamadas perdidas:

1) Chamadas Perdidas Mantidas (CPM)

2) Chamadas Perdidas Eliminadas (CPE)

3) Chamadas Perdidas Atrasadas (CPA)

.

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Tratamento das Chamadas Perdidas

No modo CPM admite-se que o usuário fará imediatamente uma nova tentativa de chamada assim que receber o tom de ocupado.

No modo CPE assume que o usuário, após receber um sinal de linha ocupada, irá desligar o telefone e esperar um certo tempo antes de fazer uma nova tentativa de chamada. A segunda tentativa é considerada uma nova chamada.

No modo CPA, a chamada do usuário é automaticamente colocada em uma fila (linha de espera). Este modo de análise é normalmente utilizado nas redes de computadores e nos sistemas de roteamento de pacotes, assim como em telefonia nas centrais telefônicas digitais.

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Outras DefiniçõesFontes de tráfego infinitas: são aquelas em que a probabilidade de chegada de uma chamada é constante e não depende do grau de ocupação do sistema. Exemplo: Chamadas terminadas em um PABX de central de atendimento.

Fontes de tráfego finitas: A probabilidade de se gerar novas chamadas não é constante. Exemplo: uma central local de pequeno porte isolada. Conforme aumenta o grau de ocupação, diminui o número de usuários que poderiam gerar novas chamadas.

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Outras DefiniçõesTráfego Oferecido: É aquele relacionado à entrada do sistema telefônico. É caracterizado quando um assinante retira o fone do gancho, ou quando o acesso é feito por outra central.

Tráfego Cursado: É aquele que a central telefônica tem condição de medir. É um dos mais importantes indicadores da Teoria do Tráfego Telefônico.

Tráfego Perdido: É aquele oriundo da desistência do assinante chamador, ou de uma demanda não atendida pela central.

Tráfego de Transbordo: É aquele que é escoado por rotas alternativas à rota principal.

Demanda de Tráfego: É expectativa ou a necessidade de tráfego por parte dos assinantes.

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Fórmulas de TráfegoNa teoria de tráfego telefônico quando se dimensiona uma rota, deseja-se encontrar o número de circuitos que servem a rota.

Existem várias formulações propostas para se determinar este número de circuitos baseado na hora de maior carga de tráfego. Os fatores que balizam a escolha da expressão apropriada são:

1) Distribuição das chegadas de chamadas e do tempo de retenção;

2) Número de fontes de tráfego;3) Disponibilidade;4) Tratamento das chamadas perdidas.

.

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Imagine a situação exemplificada pela figura abaixo, onde M fontes de tráfego da central B podem, em algum momento, tentar acessar a central A, sendo que o número de linhas disponíveis é N.

Central A Central B

N linhasM fontesSe:

N > M: Não ocorrerão bloqueios.

N < M: Haverá probabilidade de bloqueios, e essa probabilidade serádiretamente proporcional à relação M/N.

Fórmulas de Tráfego

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Os termos:

BloqueioProbabilidade de bloqueio;Perdas;Probabilidade de Perdas.Grau de Serviço

Tem o mesmo significado, e para simbolizá-los utilizaremos a a notação “B”.

oferecidotráfegoperdidotráfegoB =

Fórmulas de Tráfego

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Durante a hora de maior movimento são oferecidas, a um grupo de troncos, 1000 chamadas telefônicas. Admitindo que são perdidas 10 e que a duração de cada chamada é de 3 minutos, determine:

1)grau de serviço; 2) a duração total dos períodos de congestionamento.

Exemplo

soluçãoTráfego oferecido: 1000x3/60=50 Erl

Tráfego perdido: 10x3/60=0.5 Erl

Grau de serviço B=0.5/50=0.01

Duração total dos períodos de congestionamento 0.01x3600=36 s

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A partir de observações, os seguintes padrões de comportamento podem ser considerados:

As chamadas se originam ao acaso, independente umas das outras;

O número de assinantes susceptíveis de serem chamados é muito grande, comparado com o número de órgãos colocados à disposição;

Não é comum mais do que uma chamada se iniciar no mesmo instante.

Modelo de origem de chamadas

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Admite-se que o tráfego oferecido a um determinado sistema é puramente aleatório. Isto quer dizer que, os eventos associados à chegada e terminação das chamadas são eventos aleatórios e independentes. Um tráfego com estas características é conhecido por tráfego sem memória e implica que o número de fontes geradoras de chamadas seja muito elevado. Nesta situação, o número de chegadas de chamadas num determinado intervalo de tempo T é descrito por um processo de Poisson.


Os processos de Poisson apresentam duas propriedades fundamentais:Estacionaridade: a probabilidade de um dado número de eventos (chegada de chamadas) ocorrerem num intervalo de tempo determinado depende apenas da duração desse intervalo e não do seu posicionamento no tempo.

Incorrelação: Traduz a independência entre eventos (chamadas telefônicas) que ocorrem em intervalos de tempo disjuntos.

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Exemplo

Uma central telefônica recebe em média uma chamada a cada 5 segundos.Durante 20 segundos, qual é a probabilidade de que:a) Não chegue nenhuma chamada. b) Chegue uma chamada c) Chegue duas chamadas d) Chegue mais do que duas chamadas.

( )!

.)(k

etkPtk λλ −

=k = número de chamadas originadas; t = tempo de observação; λ = taxa média de chamadas.

A probabilidade P(k) de chegarem k chamadas no intervalo de tempo t édescrita por:

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Solução

( )!

.)(k

etkPtk λλ −

=λ = 12/60λ.t = (12/60)*20 = 4

( ) 0183,0!0

4)0(40

==−eP

( ) 0733,0!1

4)1(41

==−eP

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Solução

( )!

.)(k

etkPtk λλ −

=λ = 12/60λ.t = (12/60)*20 = 4

( ) 1465,0!2

4)2(42

==−eP

762,0)2()1()0(1)2( =−−−=> PPPP

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ENGENHARIAELÉTRICAModelo de origem de chamadas

Considere-se agora um intervalo de tempo elevado e marque-se os instantes de chegada das chamadas. O intervalo de tempo entre os instantes de chegada é representado por τ.

τchegadas

tempo

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ENGENHARIAELÉTRICAModelo de origem de chamadasPara um processo de chegada de Poisson, τ é uma variável aleatória, contínua, com distribuição exponencial negativa, cuja função densidade de probabilidade é descrita por:

λτλτ −= ep )(

O valor médio é:

( )∫∞

==0

1)(λ

ττττ dpE

A probabilidade de que o intervalo de tempo τ seja maior do que T é:

∫∞ −− ==>

T

TedeTP λλτ τλτ )(

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ENGENHARIAELÉTRICA Exemplo

Considere uma central local com 20.000 assinantes. Sabendo que cada assinante gera uma chamada por hora, determine a frequência com que ocorrem duas chamadas com um intervalo inferior a 0.02 s.

Solução

A probabilidade de o intervalo entre duas chamadas ser inferior a 0,02 s é dada por:

02,01)02,0(1)02,0( ×−−=≥−=< λττ ePP

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Solução

Por sua vez:

segundochamadas /56,53600

120000 ==λ

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Solução

Portanto:

105,01)02,0(1)02,0( 02,056,5 =−=≥−=< ×−ePP ττ

Ou seja, 10,5 % das chamadas ocorrem em um intervalo inferior a 0,02 s.

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Solução

Com a taxa de chegada de 5,56 chamadas por segundo, obtem-se para a frequencia pedida o valor:

s/584,0105,056,5 =×

ou, uma vez a cada 1,72 s.

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Suponha que num determinado sistema telefônico ocorra, em média, uma chamada a cada 100 segundos. Determinar a probabilidade de gerar uma chamada em:

a) 3 segundos;b) 6 segundos;c) 100 segundos;d) 200 segundos.

Exercício (fazer e entregar)

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ENGENHARIAELÉTRICAModelo de duração de chamadasO tempo médio de duração de uma chamada é formulado considerando-se que a probabilidade de uma chamada terminar em um dado intervalo de tempo é proporcional ao tamanho do intervalo. Trata-se de um processo exponencial negativo, com densidade de probabilidade dada por:

tt ep μμ −=

onde t = tempo de observação, 1/μ = tempo médio de duração de uma chamada, μ = taxa de término de uma chamada.

Assim, a probabilidade de uma chamada terminar em um instante inferior a T é:

∫ −− −==T Tt

t edteP0

1 μμμ

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ENGENHARIAELÉTRICA ExemploSuponha um sistema de distribuição de tráfego local com, com tempo médio de duração de chamadas 2 minutos. Determinar a probabilidade de uma chamada durar mais que 6 minutos.

SoluçãoNesse caso T = 6 minutos e 1/μ = 2 minutos/chamada. Então o valor de μserá:

utochamadas min/5,021==μ

Portanto:( ) 9502,01 65,0 =−= ×−ePt

Portanto, a probabilidade de uma chamada durar menos de 6 minutos é de aproximadamente 95 %, e a probabilidade de uma chamada durar mais do que 6 minutos é de aproximadamente 5%.

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Fórmula de PoissonA primeira fórmula que consideraremos é a fórmula de Poisson

Essa formulação pode ser utilizada quando:

• As chamadas são aleatórias;

• Há um número infinito de usuários que podem acessar um número finito de canais.

• Mais do que uma chamada não pode ser originada no mesmo instante.

Tipicamente utilizada em comutação de telefonia fixa, é a mais conservadora de todas as que serão apresentadas.

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Fórmula de PoissonA primeira fórmula que consideraremos é a fórmula de Poisson

∑−

=

−−=1

0 !1N

i

iA

iAeB

A = tráfego médio oferecido por grupo, em erlang.N = número de circuitos ou órgãos disponíveis.

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ExemploDetermine o Grau de Serviço para um sistema com 48 circuitos, cursando um tráfego de 0,75 Erlangs por canal. (Utilize a fórmula de Poisson).

Nesse caso temos que o tráfico oferecido por grupo será:

Solução

ErlcanalErlcanaisoferecidoTráfego 3675,048 =×=

Utilizando a fórmula de Poisson, temos:

∑−

=

−−=1

0 !1

N

i

iA

iAeB

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ExemploDetermine o Grau de Serviço para um sistema com 48 circuitos, cursando um tráfego de 0,75 Erlangs por canal. (Utilize a fórmula de Poisson).

Solução

∑=

−−=47

0

36

!361

i

i

ieB

031959,0!47

36...!1

36!0

3614710

36 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−= −eB

Portanto o bloqueio, ou porcentagem de chamadas perdidas, será de 3,2 %

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ExemploEm uma determinada hora do dia um assinante com uma única linha realiza quatro chamadas, com tempos de duração de 4 min, 3 min, 10,5 min e 7 min. Intercaladas com essas chamadas, ele recebe 3 chamadas com tempos de duração de 3,5 min, 6 min e 9 min. Qual é a probabilidade de que uma quarta tentativa de chamada para esse assinante encontre sua linha ocupada?

Solução

Taxa média de chamadas – λ = 7/60 = 0,1167 chamada/minuto

Tempo médio de duração – tm = (4 + 3 + 10,5 + 7 + 3,5 + 6 + 9)/60 = 6,157 minutos

Intensidade de tráfego – A = 0,1167x6,157 = 0,7185 Erl

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ExemploEm uma determinada hora do dia um assinante com uma única linha realiza quatro chamadas, com tempos de duração de 4 min, 3 min, 10,5 min e 7 min. Intercaladas com essas chamadas, ele recebe 3 chamadas com tempos de duração de 3,5 min, 6 min e 9 min. Qual é a probabilidade de que uma quarta tentativa de chamada para esse assinante encontre sua linha ocupada?

Solução

5125,0!0

7185,010

0

07185,0 =−= ∑

=

−

ieB

Portanto, o assinante chamador terá uma probabilidade de 51,25 % de encontrar a linha ocupada.

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Fórmula de Erlang BA fórmula de Erlang B é a mais utilizada para determinar o número de circuitos necessários para escoar um tráfego telefônico, com um grau de serviço pré-estabelecido.

A fórmula de Erlang B pressupõe que o tráfego é aleatório, o número de fontes é infinito e que as chamadas bloqueadas serão perdidas (não são encaminhadas para lista de espera).

∑=

= N

i

i

N

iA

NA

B

0 !

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ExemploDetermine o Grau de Serviço para um sistema com 48 circuitos, cursando um tráfego de 0,75 Erlangs por canal. (Utilize a fórmula de Erlang B).

Nesse caso temos que o tráfico oferecido por grupo será:

Solução

ErlcanalErlcanaisoferecidoTráfego 3675,048 =×=

Utilizando a fórmula de Erlang B, temos:

∑=

= N

i

i

N

iA

NA

B

0 !

!

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ExemploDetermine o Grau de Serviço para um sistema com 48 circuitos, cursando um tráfego de 0,75 Erlangs por canal. (Utilize a fórmula de Erlang B).

Solução

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=

!4836...

!236

!136

!036

!4836 4821048

B

009636,0=B

Portanto o bloqueio, ou porcentagem de chamadas perdidas, será de 0,96 %

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Comparação dos ResultadosComo podemos observar, para o mesmo problema obtivemos respostas muito diferentes, utilizando as fórmulas de Poisson e de Erlang B).

Poisson: B = 3,2 % Erlang B: B = 0,96 %

Isso demonstra, como citamos anteriormente, que a fórmula de Poisson éa mais conservadora para o cálculo de do Grau de Serviço.

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TabelasNa prática, problemas de tráfego são resolvidos utilizando tabelas previamente elaboradas, como a mostrada a seguir

Tráfego em erlang para B =

0,100,050,020,0100,0050,0020,001

Número de Circuitos

(N)

0,1060,0560,0210,01010,0050,0020,0011

0,5310,3580,2140,1500,1040,0650,0442

1,1000,8170,5670,4360,3380,2440,1923

1,7501,3701,0200,8220,6730,5190,4284

2,4401,9701,5501,2801,0600,8680,7395

3,1402,6102,1101,7901,5401,2701,1106

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TabelasNa prática, problemas de tráfego são resolvidos utilizando tabelas previamente elaboradas, como a mostrada a seguir

Tráfego em erlang para B =

0,100,050,020,0100,0050,0020,001

Número de Circuitos

(N)

3,8903,2802,6902,3302,0401,7201,5207

4,6703,9703,3102,9102,5702,2101,9708

5,4204,6903,9403,5003,1302,7202,4509

6,2205,4204,6104,1403,7203,2602,97010

7,0306,1705,3104,7804,3203,8203,50011

7,8306,9206,0005,4304,9404,4004,06012

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ExemploPara o sistema com 48 circuitos anterior, qual é o tráfego que pode ser escoado, para um grau de serviço de 3 %, utilizando a fórmula de erlang B?

Solução

Olhando em uma tabela de erlang, a resposta é 40,02 Erl

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ExemploQuantos circuitos são necessários para escoar um tráfego de 30 Erl, com um grau de serviço de 1 % ?

Solução

Olhando em uma tabela de erlang, vemos que os valores mais próximos são:

41 circuitos ► 29,888 Erl e42 circuitos ► 30,771 Erl

Escolhemos 42 circuitos por garantia.

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Sistemas com filas de esperaA análise feita até agora considerou que o sistema pode apresentar perdas, ou seja, qualquer chamada que não encontre um circuito disponível é perdida.

Todos os sistemas analógicos eram estritamente com perdas. A introdução da comutação digital possibilitou que as chamadas não atendidas de imediato fossem colocadas em uma fila de espera, para serem atendidas de acordo com a liberação dos circuitos.

A fórmula de tráfego que contempla esse tipo de comportamento do sistema é a Erlang C. Ela pressupõe um número infinito de fontes, as chamadas acontecem de forma aleatória, chamadas bloqueadas são atrasadas e o tempo de retenção varia exponencialmente.

ANN

iA

ANN

NA

PN

i

i

N

−+

−=

∑−

=

1

0 !

!

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ExemploUm Call Center espera receber 350 chamadas em uma hora. Cada chamada deve durar 2 minutos, mais 15 segundos para atividades adicionais do atendente. O tempo de espera na fila não deve superar 10 segundos. Calcule a intensidade de tráfego, o fator de atraso e o número de atendentes necessários.

Tráfego esperado = 350*[2x60 + 15] / 3600 = 13,13 Erl

Fator de atraso = 10 / 135 = 0,074 Erl

Utilizando uma tabela erlang C, o valores mais próximos serão 20atendentes, para um fator de atraso de 7 %.

Solução

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ExemploUm Call Center espera receber 350 chamadas em uma hora. Cada chamada deve durar 2 minutos, mais 15 segundos para atividades adicionais do atendente. O tempo de espera na fila não deve superar 10 segundos. Calcule a intensidade de tráfego, o fator de atraso e o número de atendentes necessários.

Substituindo o valores 20 e 13,13 na fórmula erlang C, encontramos um fator de atraso igual a 0,058, portanto, menor do que o especificado (0,074).

Solução

Substituindo o valores 19 e 13,13 na fórmula erlang C, encontramos um fator de atraso igual a 0,10, portanto, maior do que o especificado (0,074).

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ExemploUm Call Center espera receber 350 chamadas na hora de maior movimento. Cada chamada deve durar 2 minutos, mais 15 segundos para atividades adicionais do atendente. O tempo de espera na fila não deve superar 10 segundos. Calcule a intensidade de tráfego, o fator de atraso e o número de atendentes (canais) necessários.

Assim, a escolha de 20 atendentes atende a solicitação feita, com certa folga.

Solução

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