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Capítulo 5

5. Geometria Analítica

A Geometria Analítica tornou possível o estudo da Geometria através da Álgebra. Além de proporcionar a interpretação geométrica de diversas equações algébricas.

5.1. Sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas

Chamamos de reta orientada quando estabelecemos dois

sentidos que ela percorre: positivo e negativo. Para

identificarmos tais sentidos, admitimos que o positivo é indicado

por uma seta e o negativo é o lado oposto. Essa reta também pode

ser chamada de eixo quando um ponto 𝑂 demarca a origem deste.

Assim, podemos verificar tais características nas Figura (5.1) e

(5.2).

Figura 5.1 – Sentido de uma reta orientada.

Fonte – Autores.

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Figura 5.2 – Representação de um eixo x.

Fonte – Autores.

A coordenada 𝑥𝑝 de um ponto 𝑃 representa a distância

orientada entre os pontos 𝑂 e 𝑃 medida na unidade adotada. Diz-

se que 𝑃 tem coordenada 𝑥𝑝 e escreve-se 𝑃(𝑥𝑝).

Exemplo 5.1: Determine as coordenadas dos pontos indicados

na Figura 5.3.

Figura 5.3 – Figura referente ao Exemplo 1.

Fonte – Autores.

Solução:

O ponto 𝑂 é a origem do sistema e o associamos à

coordenada zero, denotando-o 𝑂(0).

O ponto 𝐵 está a 2 unidades da origem 𝑂 na semirreta

positiva do sistema. Assim, sua distância orientada em relação à

origem é +2. Logo, sua coordenada é 𝑥𝑝 = +2 ou 𝑃(2).

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O ponto 𝑄 está a 2 unidades da origem 𝑂 na semirreta

negativa do sistema. Portanto, sua distância orientada em relação

à origem é −1. Logo sua coordenada é 𝑥𝑄 = −1 ou 𝑄(−1).

Podemos estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais 𝑅e os pontos sobre a reta 𝑥, da seguinte maneira:

Cada número real corresponde a um único ponto da reta.

Cada ponto da reta corresponde a um único número real,

chamado de coordenada do ponto.

Quando a cada ponto da reta for associada uma coordenada, constituímos um sistema de coordenadas e esta reta é então chamada de eixo de coordenadas, escala numérica ou reta numérica. O conjunto das coordenadas de todos os pontos da escala numérica é chamado de conjunto dos números reais 𝑅.

É usual representarmos o sistema unidimensional por uma reta horizontal, orientada para direita, e denominá-la por eixo 𝑥ou eixo das abscissas.

5.1.1. Distância entre Dois Pontos na Reta

Sejam 𝐴(𝑥𝐴) e 𝐵(𝑥𝐵) dois pontos de um eixo de coordenadas unidimensional. Denominamos distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 o número real 𝑑 dado pela equação 5.1.

𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝑥𝑏 − 𝑥𝑎| (5.1)

Exemplo 5.2: Sejam os pontos: 𝐴(−3,5), 𝐵(−1,8), 𝐶(1) e 𝐷(2,5),

dispostos na Figura 5.4. Calcule as distâncias entre os pontos: 𝐴 𝑒

𝐶; 𝐵 𝑒 𝐷; 𝐴 𝑒 𝐷

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Solução:

Figura 5.4 – Figura referente ao Exemplo 5.2

Fonte – Autores.

Solução:

Para calcularmos as três distancias, basta utilizarmos a

equação (5.1) e substituirmos os respectivos valores numéricos de

A (𝑥𝐴), B(𝑥𝐵), C(𝑥𝐶) e D(𝑥𝐷) nesta.

𝑑(𝐴, 𝐶) = |𝑥𝐶 − 𝑥𝐴| = |1 − (−3,5)| = 4,5 (I)

𝑑(𝐵, 𝐷) = |𝑥𝐷 − 𝑥𝐵| = |2,5 − (−1,8)| = 4,3 (II)

𝑑(𝐴, 𝐷) = |𝑥𝐷 − 𝑥𝐴| = |2,5 − (−3,5)| = 6,0 (III)

Exemplo 5.3: Considere um eixo 𝑡 de coordenadas para

representar o tempo em anos. A origem deste eixo é o ano do

nascimento de Cristo e o sentido positivo indica os anos d.C.

(depois de Cristo).

a) Indique no eixo 𝑡 e determine as coordenadas dos pontos NA

e MA que representam, respectivamente, os anos de

nascimento e de morte de uma pessoa 𝐴 que nasceu no ano

de 30 a.C. e morreu no ano 25 d.C. Calcule a idade que esta

pessoa morreu.

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Figura 5.5 – Figura referente ao Exemplo 5.3.

Fonte: Autores.

Solução:

Assumimos que no Ponto 𝑁𝐴, 𝑡𝑁𝐴 = −30 → 𝑁𝐴(−30) e no

Ponto 𝑀𝐴, 𝑡𝑀𝐴 = 25 → 𝑀𝐴(25).

Portanto, podemos calcular o tempo de vida da pessoa 𝐴

pela equação IV.

𝑡𝑣𝐴 = 𝑑(𝑁𝐴, 𝑀𝐴) = |25 − (−30)| = 55𝑎𝑛𝑜𝑠 (IV)

b) Indique no eixo 𝑡 e determine as coordenadas dos pontos 𝑁𝐵 e

𝑀𝐵 que representam, respectivamente, os anos de nascimento e

de morte de uma pessoa 𝐵 que nasceu no ano de 20 a.C. e morreu

no ano 10 d.C. Calcule a idade que esta pessoa morreu.

Figura 5.6 – Figura referente ao Exemplo 5.3.

Fig 5.6: Fonte – Autores.

Solução:

Novamente, identificamos os pontos em questão: NB e

MB.

Ponto 𝑁𝐵, 𝑡𝑁𝐵 = −20 → 𝑁𝐵(−20)

Ponto 𝑀𝐵, 𝑡𝑀𝐵 = 10 → 𝑀𝐵(10)

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Em seguida, calculamos o tempo de vida da pessoa 𝐵 pela

equação (V).

𝑡𝑣𝐵 = 𝑑(𝑁𝐵, 𝑀𝐵) = |10 − (−20)| = 30𝑎𝑛𝑜𝑠 (V)

c) Determine quem nasceu e quem morreu primeiro e por

quantos anos as pessoas 𝐴 e 𝐵 foram contemporâneas (viveram

na mesma época). Figura 5.7 – Figura referente ao Exemplo 5.3.

Fonte – Autores.

𝑁𝐴(−30)𝑁𝐵(−20)𝑀𝐵(10)𝑀𝐴(25)

Solução:

A pessoa 𝐴 nasceu primeiro e a pessoa 𝐵 morreu primeiro.

As duas viveram na mesma época, no período entre o nascimento

da última nascer (𝑁𝐵) até a morte da primeira morrer (𝑀𝐴).

Assim, é possível calcularmos o período de contemporaneidade

pela expressão (VI).

𝑇 = 𝑑(𝑁𝐵, 𝑀𝐴) = |10 − (−20)| = 30𝑎𝑛𝑜𝑠 (VI)

5.2. Sistema Bidimensional de Coordenadas Cartesianas

Neste sistema, um ponto pode se mover livremente em todas as direções de um plano (no espaço bidimensional).

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O sistema é formado por dois eixos coordenados perpendiculares que se cruzarem na origem. O ponto O de intersecção entre os eixos coordenados é denominado origem do sistema. Um dos eixos é denominado de eixo das abscissas e o outro eixo das ordenadas.

A representação gráfica do sistema bidimensional cartesiano ou retangular é um plano denominado plano cartesiano. Cada ponto 𝑃(𝑥, 𝑦),onde 𝑥 é a abscissa e 𝑦 é a ordenada de 𝑃, pode ser inequivocamente localizado no plano cartesiano mediante um par ordenado (𝑥0, 𝑦0).

Para cada ponto distinto 𝑃 no plano cartesiano há um e apenas um par de coordenadas (𝑥0, 𝑦0). Inversamente, qualquer par de coordenadas (𝑥0, 𝑦0) determina um e apenas um ponto no plano coordenado. Portanto, no sistema de coordenadas retangulares há uma correspondência biunívoca entre ponto e par ordenado de números reais.

Na Figura 5.8, indicamos a localização de um ponto 𝑃(𝑥0, 𝑦0), de abscissa 𝑥0 e ordenada 𝑦0, neste plano.

Figura 5.8 – Plano cartesiano.

Fonte: Autores.

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𝑃𝑥(𝑥0, 0) é a projeção do ponto 𝑃 no eixo 𝑥.

𝑃𝑦(0, 𝑦0) é a projeção do ponto 𝑃 no eixo 𝑦.

O módulo da abscissa representa a menor distância que 𝑃 está do eixo 𝑦 e o módulo da ordenada representa a menor distância que 𝑃 está do eixo 𝑥.

5.2.1. Distância entre Dois Pontos na Plano

Dados dois pontos, 𝐴 e 𝐵, a distância entre eles, indicada por 𝑑(𝐴, 𝐵), é a medida do segmento de extremidades 𝐴 e 𝐵.

Sejam 𝐴(𝑥1, 𝑦1) e 𝐵(𝑥2, 𝑦2) dois pontos no plano cartesiano, como indicado pela figura 5.9. A distância entre eles pode ser determinada aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo em destaque na figura.

Figura 5.9 - Distancia entre dois pontos.

Fonte: Autores.

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O quadrado da distancia entre os pontos A e B, é igual a soma dos quadrados das variações x e y – determinado pela equação 5.2.

[𝑑(𝐴, 𝐵)]2 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2 (5.2)

Com ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1; ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1

Dessa forma, d(A,B) será igual a equação (5.3).

𝑑(𝐴, 𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 (5.3)

Exemplos 5.4: Determine a distância entre os pontos𝐴 e 𝐵 da figura 5.10:

Figura 5.10 - Figura referente ao Exemplo 5.4.

Fonte: Autores

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Os pontos 𝐴 e 𝐵 estão em uma mesma reta. Por conseguinte, a distância pode ser calculada utilizando a equação (5.1)

𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝑥𝐵 − 𝑥𝐴| = |8 − 2| = 6

Exemplo 5.5: Determine a distância entre os pontos𝐴 e 𝐵 da figura 5.11:

Figura 5.11 -Figura referente ao Exemplo 5.5

Fonte: Autores

Solução:

Neste caso são dadas as distâncias nas direções 𝑥 e 𝑦, podemos simplificar o cálculo utilizando diretamente o teorema de Pitágoras, a equação (5.3).

𝑑(𝐴, 𝐵) = √∆𝑥2 + ∆𝑦2 = √(4 − 2)2 + (2 − 6)2 (I)

𝑑(𝐴, 𝐵) = √22 + 42 = √20 = √4 ∗ 5 = 2√5.

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5.3. Gráfico de uma Equação

Traçar o gráfico de uma equação é representar em um sistema de coordenadas alguns dos pontos que a satisfaça.

Exemplo 5.6: Analise as figuras 5.12 e 5.13 e determine a equação da reta visualizada na imagem 5.14.

Figura 5.12 – Gráfico I

Fonte: Autores

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Figura 5.13 – Gráfico II

Fonte: Autores.

Figura 5.14 – Gráfico III

Fonte: Autores.

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Solução:

No Gráfico I, está representado o seguinte conjunto de

pontos:

𝐺1 = {(−2; −4), (−1; −2), (0; 0), (1; 2), (2; 4)}

No Gráfico II, foram acrescentados pontos intermediários

aos pontos existentes.

No Gráfico III, os pontos estão tão próximos que visualizamos o gráfico de uma reta que, devido a limitações gráficas, está representada com comprimento finito.

Podemos observar nos gráficos que a coordenada 𝑦 dos pontos representados é sempre o dobro de sua coordenada𝑥, ou seja, 𝑦 =2𝑥. Assim, a reta visualizada no Gráfico III é o gráfico da equação (I)

𝑦 = 2𝑥 (I)

À definição algébrica desta reta, chamaremos de reta 𝑟, é igual a equação (II).

𝑟 ≔ {𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑦 = 2𝑥} (II)

Lê-se: a reta 𝑟 é o conjunto de todos os pontos 𝑃 de coordenadas 𝑥e 𝑦 do plano tal que 𝑦 = 2𝑥.

5.4. Equação da Reta

Vimos anteriormente que dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. Isto significa que bastam dois pontos para traçar uma reta, embora ela seja constituída por infinitos pontos.

Considere uma reta 𝑟 que passa pelos pontos 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) e 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), como indicado na Figura 5.15.

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Figura 5.15 – Representação da reta r

Fonte: Autores.

Denominamos inclinação da reta 𝑟 ao ângulo 𝛼 formado

entre o eixo das abscissas (𝑥) e a reta, considerado positivo se

medido no sentido anti-horário, com 0° ≤ 𝛼 ≤ 180°. E coeficiente

angular ou declividade da reta 𝑟 ao número real 𝑚 dado pela

equação (5.3).

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑦1−𝑦0

𝑥1−𝑥0; 𝑐𝑜𝑚𝑥0 < 𝑥1 (5.3)

Observe que o coeficiente angular representa a tangente trigonométrica do ângulo 𝛼. Devido à variação da inclinação da reta é possível ter uma das seguintes situações:

1) Se 𝛼 = 0°𝑜𝑢 𝛼 = 180°

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Figura 5.16 - Reta com r 𝛼 = 0°𝑜𝑢 𝛼 = 180°

Fonte: Autores.

Quando ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 > 0 𝑒 ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 = 0, o coeficiente angular será igual a zero (5.4). Portanto, teremos uma reta constante.

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥→ 𝑚 = 0 (5.4)

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2) Se 0° < 𝛼 < 90°

Figura 5.17 – Reta r com 0° < 𝛼 < 90°

Fonte: Autores.

Quando ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 > 0 𝑒 ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 > 0, o coeficiente angular será igual maior do zero (5.5). Dessa forma, teremos uma reta crescente.

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥→ 𝑚 > 0 (5.5)

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3)Se 90° < 𝛼 < 180°

Figura 5.18 – Reta r com 90° < 𝛼 < 180°

Fonte – Autores.

Quando ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 > 0 𝑒 ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 < 0, o coeficiente angular será menor do que zero (5.6). Por conseguinte, teremos uma reta decrescente

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥→ 𝑚 < 0 (5.6)

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3) Se 𝛼 = 90°

Figura 5.19 – Reta r com 𝛼 = 90°

Fonte – Autores.

Quando ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 = 0 𝑒 ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 ≠ 0, o coeficiente angular não existirá (5.7). Por conseguinte, teremos uma reta paralela ao eixo y.

∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 = 0; ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 ≠ 0

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥→ ∄ 𝑚 ∈ 𝑅 (5.7)

Quando 𝛼 = 90°, a reta é paralela ao eixo 𝑦 e sua a declividade não é definida, pois não podemos dividir um número por zero. Portanto, a reta não tem declividade.

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5.4.1. Equação da Reta dados um Ponto e o Coeficiente Angular

Sejam 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) e 𝑚, respectivamente, um ponto da reta 𝑟e o coeficiente angular da reta. Considere o ponto genérico 𝑃(𝑥, 𝑦) nesta mesma reta, como indicado na figura abaixo.

Figura 5.20 – Reta r dado um ponto 𝑃0.

Fonte: Autores

O coeficiente angular da reta 𝑟 é dado pela equação (5.8).

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥→ 𝑚 =

𝑦−𝑦0

𝑥−𝑥0 (5.8)

Logo, será igual a (5.9).

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥0) (5.9)

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5.4.2. Equação da Reta dados Dois Pontos

Sejam 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) e 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) dois pontos conhecidos de uma reta 𝑟. Para determinar a equação da reta é necessário calcular previamente o valor do coeficiente angular (5.10). Posteriormente, escolhemos um dos pontos conhecidos e substituímos suas coordenadas e o valor calculado do coeficiente angular na equação da reta (5.11).

𝑚 =∆𝑦

∆𝑥=

𝑦1−𝑦0

𝑥1−𝑥0 (5.10)

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥0)

𝑦 − 𝑦0 = (𝑦1−𝑦0

𝑥1−𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0) (5.11)

5.4.3. Equação da Reta na Forma Reduzida

Trabalhando algebricamente com a equação da reta dada por 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0), obteremos a equação (5.12).

𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥0 + 𝑦0

𝑦 = 𝑚𝑥 + (𝑦0 − 𝑚𝑥0) (5.12)

Fazendo 𝑏 = (𝑦0 − 𝑚𝑥0), y será igual a equação (5.13):

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (5.13)

Esta forma é conhecida como equação da reta na forma reduzida onde 𝑚 é o coeficiente angular e 𝑏 é o coeficiente linear da reta.

Tome nota!

1) A equação da reta é um polinômio de primeiro grau em 𝑥.

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2) Na equação da reta na forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, se 𝑥 = 0 tem-se 𝑦 =𝑏, então o ponto 𝑃(0, 𝑏) é o ponto de interseção da reta com o eixo dos 𝑦, onde 𝑏 é o coeficiente linear da reta.

3) Se a reta é paralela ao eixo 𝑥, 𝑚 = 0,todos os pontos terão a mesma ordenada 𝑦0. A equação da reta é dada por 𝑦 = 𝑦0

4) Se a reta é paralela ao eixo 𝑦, ∄𝑚, todos os pontos terão a mesma abscissa 𝑥0. A equação da reta é dada por 𝑥 = 𝑥0.

Exemplo 5.7: Determine a equação da reta indicada na figura 5.21, dado 𝑚 = 0,5.

Figura 5.21 – Figura referente ao Exemplo 5.7.

Fonte: Autores.

Solução:

Podemos identificar um ponto da reta 𝑃0(3,4) e o coeficiente angular 𝑚 = 0,5. Para definirmos a equação da reta, utilizaremos a equação (5.9).

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥0)

𝑦 − 4 =1

2(𝑥 − 3)

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𝑦 =𝑥

2−

3

2+ 4 =

𝑥

2+

5

2

5.3.4. Posição relativa entre as Retas

Sejam 𝑟 e 𝑠 duas retas paralelas (𝑟 /⁄ 𝑠) – representadas pela figura 5.22 – de inclinações 𝛼1 e 𝛼2, respectivamente; não possuindo nenhum ponto em comum. Então, para que a condição seja aceita, os coeficientes seguirão a igualdade (5.14).

𝛼1 = 𝛼2 ⇒ 𝑚1 = 𝑚2 (5.14)

Figura 5.22 – Representação de duas retas paralelas.

Fonte: Autores.

Duas retas r e s – representadas pela figura 5.23 –, de inclinações 𝛼1 e 𝛼2, respectivamente, são ditas concorrentes quando estas se interceptam em um ponto. Os seus coeficientes angulares serão diferentes (5.15).

𝑚1 ≠ 𝑚2 (5.15)

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Figura 5.23 – Representação de duas retas concorrentes

Fonte: Autores.

Há um caso particular de retas concorrentes, o que ocorre quando as retas são perpendiculares (𝑟 ⊥ 𝑠) – representadas pela figura 5.24 – de inclinações 𝛼1 e 𝛼2, respectivamente. Elas possuem um único ponto em comum. Portanto, a relação entre os coeficientes angulares das duas será igual a (5.16).

𝛼1 = 900+𝛼2 ⇒ 𝑚1 =−1

𝑚2 (5.16)

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Figura 5.24 – Representação de duas retas perpendiculares

Fonte: Autores.

Sejam r e s retas coincidentes (𝒓 = 𝒔)– representadas pela figura 5.25 – de inclinações 𝛼1 e 𝛼2, respectivamente. Elas possuem todos os pontos em comum. Portanto, a relação entre os coeficientes angulares e lineares será iguail.

Figura 5.25 – Representação de duas retas coincidentes.

Fonte: Autores.

𝛼1 = 𝛼2 ⇒ 𝑚1 = 𝑚2, 𝑏1 = 𝑏2 (5.16)

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Exemplo 5.8: Trace o gráfico das retas 𝑟 e s e determine a interseção entre elas. Sabendo que:

→A reta 𝑟 é a reta de equação 𝑦 = −0,5𝑥 + 8.

→ A reta 𝑠 é perpendicular à reta 𝑟 e um de seus pontos é o ponto

𝑃(2,2).

Solução:

A equação da reta 𝑟 está em sua forma reduzida, 𝑦 = 𝑎𝑥 +𝑏. Assim, 𝑎 é o coeficiente angular (𝑚𝑟), ou seja, 𝑚𝑟 = −0,5.

A reta 𝑠 é perpendicular à reta 𝑟. Concluímos que o coeficiente angular ( 𝑚𝑠) da reta 𝑠 é igual a (I).

𝑚𝑠 =−1

𝑚𝑟=

−1

(−0,5)= 2 (I)

Dessa forma, a reta 𝑟 é uma reta de coeficiente angular 𝑚𝑠 = 2 e passa pelo ponto 𝑃(2,2). Conhecendo o coeficiente angular e um ponto da reta 𝑠 sua equação pode ser determinada por (II).

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑠(𝑥 − 𝑥0) (II)

𝑦 − 2 = 2(𝑥 − (2))

𝑦 − 2 = 2𝑥 − 4 ∴ 𝑦 = 2𝑥 − 2

O ponto de interseção entre as retas pertence à ambas as retas. Por conseguinte, deve satisfazer às equações das retas 𝑟 e 𝑠, ou seja, são iguais a (III).

𝑟: 𝑦 = −0,5𝑥 + 8 𝑒 𝑠: 𝑦 = 2𝑥 − 2 ∴

−0,5𝑥 + 8 = 2𝑥 − 2 (III)

2,5𝑥 = 10 → 𝑥 = 4

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Sabendo o valor da abscissa do ponto 𝑃(𝑥, 𝑦), o valor da ordenada fica estabelecido pela substituição em qualquer uma das equações.

𝑦 = 2𝑥 − 2 = 2.4 − 2 = 6 𝑜𝑢

𝑦 = −0,5𝑥 + 8 = −0,5.4 + 8 = −2 + 8 = 6

O ponto de interseção é o ponto𝑄(4,6).

O gráfico de uma reta pode ser traçado se forem conhecidos 2 de seus pontos pois por 2 pontos passa uma única reta. Dois pontos da reta 𝑠 são conhecidos: 𝑃(2,2) e 𝑄(4,6).

O ponto da interseção 𝑄(4,6) também pertence à reta 𝑟. Outro ponto qualquer da reta 𝑟 pode ser obtido por sua equação 𝑦 = −0,5𝑥 + 8. Por exemplo, para 𝑥 = 2, 𝑦 = −0,5.2 + 8 = 7, então o ponto 𝑇(2,7) pertence à reta 𝑟. O gráfico das retas 𝑟 e s bem como o ponto de interseção entre elas estão indicados pela figura 5.26.

Figura 5.26 – Representação das retas r e s

Fonte: Autores

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5.5. Equação da Circunferência

Define-se uma circunferência, de raio 𝒓 e centro 𝑪(𝒙𝟎, 𝒚𝟎), como um conjunto de pontos 𝑷(𝒙, 𝒚) do plano, tais que 𝒅(𝑷, 𝑪) =𝒓; representada pela figura 5.27.

Figura 5.27 – Circunferência de raio r centro C.

Fonte: Autores.

Utilizando a Equação (5.3), tem-se que:

√(𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐 = 𝒓 (5.17)

Ou:

(𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐 + (𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐 = 𝒓𝟐 (5.18)

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A Equação (5.18) é chamada de equação da circunferência reduzida.

Manipulando algebricamente a Equação (5.18), obtém-se a equação geral da circunferência (5.19).

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙. 𝒙𝟎 − 𝟐𝒚. 𝒚𝟎 + 𝒙𝟎𝟐 + 𝒚𝟎

𝟐 − 𝒓𝟐 = 𝟎 (5.19)

Exemplo 5.8: Encontre as equações reduzida e geral da circunferência. Dado que esta passa pelo ponto (3, -2) e possui centro em (1,1).

Solução:

Para obter as equações da circunferência, é necessário calcular o valor do raio desta. Como a distância entre o centro e qualquer ponto desta é sempre igual ao raio, utiliza-se a equação (5.17).

𝒓 = √(𝟑 − 𝟏)𝟐 + (−𝟐 − 𝟏)𝟐 = √𝟏𝟑 (I)

Calculado o valor do raio, substitui-se o valor deste e centro na equação (5.18) para obter a equação reduzida (II).

(𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 = (√𝟏𝟑)𝟐 (II)

Portanto, a equação geral será dada por (III).

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟐 = 𝟏𝟑

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎 (III)

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5.6. Equação da Elipse

Dados dois pontos 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐 (focos da elipse), denomina-se elipse o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a esses dois pontos é a constante 2a, maior que a distância 2c entre esses dois pontos (Ver Figura 5.28), ou seja,

𝑷𝑭𝟏 + 𝑷𝑭𝟐 = 𝟐𝒂 (5.20)

Figura 5.28 – Representação de uma elipse

Fonte: Autores

Com isso, pode-se extrair alguns elementos da elipse ao observar a Figura 5.29.

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Figura 5.29 – Representação da Elipse e seus elementos

Fonte: Autores

Elementos da Elipse:

𝑬𝒊𝒙𝒐 𝑴𝒂𝒊𝒐𝒓 − 𝑨𝟏𝑨𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟐𝒂

𝑬𝒊𝒙𝒐 𝑴𝒆𝒏𝒐𝒓 − 𝑩𝟏𝑩𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟐𝒃

𝑫𝒊𝒔𝒕â𝒏𝒄𝒊𝒂 𝑭𝒐𝒄𝒂𝒍 − 𝑭𝟏𝑭𝟐̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝟐𝒄

𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒂 𝑬𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆 − 𝑪(𝒙𝒐, 𝒚𝒐)

A partir da relação fundamental (5.21) resultante do triângulo abc, é possível obter a equação (5.22) da excentricidade da elipse.

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 (5.21)

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𝒆 =𝒄

𝒂 (5.22)

Com os elementos da elipse identificados, é possível definir a equação desta, as quais são divididas em duas situações:

1) Eixo maior paralelo ao eixo x.

Pela Figura 5.30, conclui-se que 𝑭𝟏(𝒙𝒄 − 𝒄, 𝒚𝒄) e 𝑭𝟐(𝒙𝒄 + 𝒄, 𝒚𝒄).

Figura 5.30–Representação do eixo maior paralelo ao eixo x

Fonte: Autores

A equação para esse caso será dada por (5.23).

(𝒙−𝒙𝒄)𝟐

𝒂𝟐 +(𝒚−𝒚𝒄)𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 (5.23)

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2) Eixo maior paralelo ao eixo y

Pela Figura 5.31, conclui-se que 𝑭𝟏(𝒙𝒄, 𝒚𝒄 − 𝒄) e 𝑭𝟐(𝒙𝒄, 𝒚𝒄 + 𝒄).

Figura 5.31 –Representação do eixo maior paralelo ao eixo y

Fonte: Autores

A equação para esse caso será dada por (5.24).

(𝒙−𝒙𝒄)𝟐

𝒃𝟐 +(𝒚−𝒚𝒄)𝟐

𝒂𝟐 = 𝟏 (5.24)

Exemplo 5.9: Determine as coordenadas dos focos da elipse de

equação 𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟐𝟐𝟓.

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Solução:

Primeiro, é necessário que a equação dada esteja no padrão da equação (5.23).

𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟐𝟐𝟓 𝒙 (𝟏

𝟐𝟐𝟓) (I)

𝒙𝟐

𝟐𝟓+

𝒚𝟐

𝟗= 𝟏 (II)

Com isso:

𝒂𝟐 = 𝟐𝟓 𝒆 𝒃𝟐 = 𝟗 (III)

Utilizando a equação (5.21), obtém-se o valor de c.

𝟐𝟓 = 𝟗 + 𝒄𝟐 ∴ 𝒄 = ±𝟒 (IV)

Portanto, as coordenadas dos focos serão 𝑭𝟏(𝟒, 𝟎) 𝒆 𝑭𝟐(−𝟒, 𝟎)

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Exercícios Propostos

1) Um ponto 𝑃 do eixo das abscissas é equidistante dos pontos

𝐴(1,4) e 𝐵(−6,3). Determine as coordenadas do ponto 𝑃.

2) Um ponto móvel 𝑃 (−2 + 𝑡,4𝑡

3+ 2) desloca-se no plano

cartesiano e suas coordenadas variam em função do tempo 𝑡(com 𝑡 ≥ 0). Qual a distância percorrida pelo ponto entre os tempos 𝑡 = 0 e 𝑡 = 6? 3) Determine o ponto de interseção das retas 𝑥 + 2𝑦 = 3 e 2𝑥 +

3𝑦 − 5 = 0

4) Determine a equação da reta que passa pelo ponto 𝐴(1, −2) e que tem coeficiente angular igual a 1. 5)Considere os pontos 𝐴(0,0), 𝐵(2,3) e 𝐶(4,1). Determine as

equações das retas 𝑟 e 𝑠 que são, respectivamente, paralela e

perpendicular à reta 𝐴�́� e que passam pelo ponto 𝐵.

6) As retas 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares e se interceptam no ponto (2,4). A reta 𝑠 contém o ponto (0,5). Determine a equação da reta 𝑟. 7) Calcule a área do triângulo formado pela interseção das retas: 𝑟: −2𝑥 + 𝑦 = 1; 𝑠: 𝑥 = 2; 𝑡: 𝑦 = 1. Trace o gráfico das retas em um mesmo plano cartesiano e destaque o triângulo. 8) Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0 , 0) e P(3 , h). Determine a expressão que representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h.

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9) Uma reta passa pelo ponto P (8, 2) e tem uma inclinação de 45º. Qual é a equação dessa reta? 10) Os pontos A (1, 2), B (3, 1) e C (2, 4) são os vértices de um triângulo. Determinar as equações das retas suportes aos lados desse triângulo. 11) Determinar a posição da reta r, de equação 2x – 3y + 5 = 0, em relação à reta s, de equação 4x – 6y – 1 = 0. 12) Clarence desenhou o triângulo determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7;5), B(3;2) e C(7;2). Quais valores de área e perímetro que Clarice encontrou ? 13) Qual a equação cartesiana da reta que passa pelo ponto (1, 1) e faz com o semi-eixo positivo ox um ângulo de 60° ? 14) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(0,0), B(2,2) e C(2,-2). Se ax+by=c é a equação cartesiana da reta que contém a altura deste triângulo relativa ao lado AB, determine 5b/a. 15) Qual é área do circulo que é limitado pela equação 𝑥2 + 𝑦2 +4𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0? 16) Qual é distância do centro da circunferência, de equação 𝑥2 −4𝑥 + 𝑦2 − 8𝑦 + 11 = 0, ao ponto (3,4)? 17) Os pontos A(4, – 2) e B(2,0) são extremidades do diâmetro de uma circunferência de centro (a,b) e raio r. Determine a equação reduzida dessa circunferência. 18) Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.

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19) O centro de uma elipse È o ponto (2; -4)e o vértice e o foco no mesmo semi-eixo são os pontos (2; -4)e (1; -4), respectivamente. Determine a equação da elipse, sua excentricidade, o comprimento de seu eixo menor. 20) Reduzir a equação da elipse e determinar as coordenadas do

centro, vértices e focos, os comprimentos dos seus eixos maior e

menor e sua excentricidade:

a) 𝑥2 + 4𝑦2 − 6𝑥 + 16𝑦 + 21 = 0

b) 9𝑥2 + 4𝑦2 − 8𝑦 − 32 = 0

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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) A(−2,0) 2) 10 u. c. 3) P(1,1)

4) y = x – 1

5)r: y −x

4=

1

2, s: y + 4x = 11

6) r: y − 2x = 0 7)A = 4 u. a.

8) 𝑑 = √9 + ℎ² 9) y = x − 6

10) AB: y = −x +5

2, AC: y = 2x, BC: y = −3x + 10

11) As retas r e s são paralelas 12) Perímetro: 12, Área=6.

13) √3 𝑥 − 𝑦 = √3 − 1 14) 5 15) 𝑆 = 9𝜋 16) 1

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17) (𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 1)2 = 2 18) 0,6

19) (x−2)2

16 +

(y+4)2

7 = 1; e =

3

4 ; 2b = 2√7

20)

a) (x−3)2

4 +

(y+2)2

1=

1; centro (3, −2); vértices (5, −2) 𝑒 (1, −2);

𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠 (3 + √3, −2) 𝑒 (3 − √3, −2); 2𝑎 = 4; 2𝑏 = 2; 𝑒 = −√3

2

b)

𝑥2

4 +

(y − 1)2

9= 1; centro (0,1); vértices (0,4) 𝑒 (0, −2)

𝑓𝑜𝑐𝑜𝑠 (0, 1 + √5) 𝑒 (0, 1 − √5); 2𝑎 = 6; 2𝑏 = 4; 𝑒 = −√5

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