10/22/2014

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(2014/2015)

Anlise Estrutural Avanada

MEF Elementos Isoparamtricos

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Introduo

Problemas com geometria complexa => desenvolvimento de novos

elementos [elementos isoparamtricos]

Neste tipo de elementos est envolvida uma transformao do sistema

de eixos que permite transformar o domnio inicial num domnio mais

simples, simplificando a resoluo do problema

(Azevedo, A., 2003)

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Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Introduo

As fronteiras cuvas

correspondem a retas

no sistema de eixos ,

A roda transformada num

problema mais simples,

quando se utilizam

coordenadas polares.

(Delgado, R., 1990)

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Introduo

A formulao dos elementos isoparamtricos assenta em duas ideias chave:

1) Definio da geometria do elemento usando coordenadas dos pontos nodais e as

mesmas funes interpoladoras utilizadas na aproximao incgnita.

(Azevedo, A., 2003)

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Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Introduo

(Delgado, R., 1990)

2) Expressar as funes de forma em termos de um sistema de eixos local, , adimensional variando cada uma das coordenadas entre -1 e 1 no domnio do elemento.

Um elemento genrico de lados curvilneos transformado num elemento quadrado. Esta

transformao tem implicao direta na vantagem que advm na integrao numrica das expresses

que ocorrem na formulao da matriz de rigidez vetor solicitao.

x1

x2

s1

s2

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Elemento plano

A formulao dos elementos isoparamtricos:

(Azevedo, A., 2003)

As coordenadas dos ns so

armazenadas na atriz x ,

cujo elemento genrico ij x

corresponde coordenada

cartesiana do n i segundo a

direco xj.

Os valores nodais das

coordenadas s1 e s2 so os

seguintes:

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Elemento plano

A passagem do sistema de coordenadas s para o sistema de coordenadas x efectuada com uma

interpolao semelhante que foi para o campo de deslocamentos.

(Azevedo, A., 2003)

No sistema de coordenadas s, as funes de forma coincidem com as que foram descritas para o

elemento plano, bastando substituir em x1 por s1 e x2 por s2,resultando

Testar em execel

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Elemento plano

(Azevedo, A., 2003)

No sistema de coordenadas s, as funes de forma coincidem com as que foram descritas para o

elemento plano, bastando substituir em x1 por s1 e x2 por s2,resultando

No caso do elemento finito quadriltero de quatro ns e de geometria

arbitrria, as equaes do campo de deslocamentos permanecem vlidas

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Elemento plano

(Azevedo, A., 2003)

Para a resoluo do integral:

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Elemento plano

(Azevedo, A., 2003)

A matriz B depende das derivadas das funes de forma em ordem a xj ( Ni/ xj ) . De

modo a ser possvel calcular o integral, necessrio obter as expresses de Ni/ xi em funo

de s1 e s2 .

Considere-se uma das funes de forma (Ni) dependendo de x1 e x2, que por sua vez

dependem de s1 e s2. Pela regra da cadeia obtm-se:

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Elemento plano

(Azevedo, A., 2003)

que se pode escrever da seguinte forma em notao matricial

Atribuindo ao ndice i os valores 1 a 4 e agrupando os quatro casos nas seguintes matrizes, chega-se a

que de um modo mais compacto

se pode escrever

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Elemento plano

(Azevedo, A., 2003)

Sendo a matriz J a Matriz Jacobiana

O integral que permite obtera matriz K, em ordem a s1 e

s2, passa a ser:

Os elementos da matriz Jacobiana obtm-se por derivaodas equaes abaixo:

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Elemento plano

(Azevedo, A., 2003)

Resultando:

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Elemento plano

(Azevedo, A., 2003)

Que equivalente:

Ou:

Sendo:

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Elemento plano

(Azevedo, A., 2003)

Ora, para resolver o integral:

Sendo:

que de um modo mais compacto se pode escrever

Matriz B corresponde s derivadas das matrizes funes de forma em

ordem a x1 e x2, como vimos:

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Elemento plano

Se a matriz D no for constante, possvel utilizar o mesmo tipo de interpolao

para definir E e em funo de s1 e s2.

Nesta expresso, i E e i so os valores no n i do mdulo de Young e do coeficiente de Poisson. Na

generalidade dos casos prticos E e so considerados constantes ao nvel de cada elemento finito. Quando uma estrutura apresenta mais do que um tipo de material, a fronteira entre as zonas

correspondentes a cada material deve coincidir com a transio entre elementos finitos.

Se a espessura do elemento no for constante pode ser interpolada de um modo

Semelhante:

(Azevedo, A., 2003)

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Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Bibliografia

Delgado, R. Texto de apoio s aulas de Mtodo dos Elementos Finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. 1990, Porto, Portugal.

Azevedo, A. Livro - Mtodo dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. Abril 2003, Porto, Portugal.

Azevedo, A. Apresentao -Mtodo dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. Abril 2003 Porto, Portugal.