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RACIOCÍNIO LÓGICO

Didatismo e Conhecimento 1

RACIOCÍNIO LÓGICO

1 ESTRUTURAS LÓGICAS.

Na lógica, uma estrutura (ou estrutura de interpretação) é um objeto que dá significado semântico ou interpretação aos símbolos definidos pela assinatura de uma linguagem. Uma estrutura possui diferentes configurações, seja em lógicas de primeira ordem, seja em linguagens lógicas poli-sortidas ou de ordem superior. As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser compostas por proposições que provam, dão suporte, dão razão a algo, ou seja, são afirmações que expressam um pensamento de sentindo completo. Essas proposições podem ter um sentindo positivo ou negativo.

Exemplo 1: João anda de bicicleta. Exemplo 2: Maria não gosta de banana. Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirmação/

proposição.

A base das Estruturas Lógicas é saber o que é Verdade ou Mentira (verdadeiro/falso). Os resultados das proposições sempre tem que dar verdadeiro. Há alguns princípios básicos:

Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas contraditórias somente uma delas é verdadeira. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico (“mais ou menos”, meio verdade ou meio mentira). Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil).

Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se os conectivos lógicos, que são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições uma a outra ou as transformam numa terceira proposição. Veja:

(~) “não”: negação(Λ) “e”: conjunção(V) “ou”: disjunção(→) “se...então”: condicional(↔) “se e somente se”: bicondicional

Temos as seguintes proposições:

O Pão é barato. O Queijo não é bom.A letra p representa a primeira proposição e a letra q, a

segunda. Assim, temos:p: O Pão é barato. q: O Queijo não é bom.

Negação (símbolo ~): Quando usamos a negação de uma proposição invertemos a afirmação que está sendo dada. Veja os exemplos:

~p (não p): O Pão não é barato. (É a negação lógica de p)~q (não q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de q)Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a negação

vira falsa.Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vira

verdadeira.

Regrinha para o conectivo de negação (~):P ~PV FF V

Conjunção (símbolo Λ): Este conectivo é utilizado para unir duas proposições formando uma terceira. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (p e q) forem verdadeiras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será falso. Ex.: p Λ q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom). Λ = “e”. Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ):

P Q PΛQV V VV F FF V FF F F

Disjunção (símbolo V): Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposições for verdadeira. Ex: p v q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) V = “ou”. Regrinha para o conectivo de disjunção (V):

P Q PVQV V VV F VF V VF F F

Condicional (símbolo →): Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. “P” será condição suficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”. Ex: P → Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom.) → = “se...então”. Regrinha para o conectivo condicional (→):

P Q P→QV V VV F FF V VF F V

Bicondicional (símbolo ↔): O resultado dessas proposições será verdadeiro se e somente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as duas falsas). “P” será condição suficiente e necessária para “Q”. Exemplo: P ↔ Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom.) ↔ = “se e somente se”. Regrinha para o conectivo bicondicional (↔):

P Q P↔QV V VV F FF V FF F V


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QUESTÕES

01. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente:

(A) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.(B) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.(C) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.(D) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o

menino é loiro.(E) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem

olhos azuis.

02. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Anamara é médica, então Angélica é médica. Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. Se Andrea é médica, então Anamara é médica. Considerando que as afirmações são verdadeiras, segue- se, portanto, que:

(A) Anamara, Angélica e Andrea são arquitetas.(B) Anamara é médica, mas Angélica e Andrea são arquitetas.(C) Anamara, Angélica e Andrea são médicas.(D) Anamara e Angélica são arquitetas, mas Andrea é médica.(E) Anamara e Andrea são médicas, mas Angélica é arquiteta.

03. (ESAF - Receita Federal - Auditor Fiscal) Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente:

(A) piano, piano, piano.(B) violino, piano, piano.(C) violino, piano, violino.(D) violino, violino, piano.(E) piano, piano, violino.

(CESPE – TRE-RJ – Técnico Judiciário)

Texto para as questões de 04 a 07.

O cenário político de uma pequena cidade tem sido movimentado por denúncias a respeito da existência de um esquema de compra de votos dos vereadores. A dúvida quanto a esse esquema persiste em três pontos, correspondentes às proposições P, Q e R:

P: O vereador Vitor não participou do esquema;Q: O Prefeito Pérsio sabia do esquema;R: O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.

Os trabalhos de investigação de uma CPI da Câmara Municipal conduziram às premissas P1, P2 e P3 seguintes:

P1: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o Prefeito Pérsio não sabia do esquema.

P2: Ou o chefe de gabinete foi o mentor do esquema, ou o Prefeito Pérsio sabia do esquema, mas não ambos.

P3: Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas.

04. Das premissas P1, P2 e P3, é correto afirmar que “O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador Vitor participou do esquema”.

( ) Certo ( ) Errado

05. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A premissa P2 pode ser corretamente representada por R ∨ Q.


06. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A premissa P3 é logicamente equivalente à proposição “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”.


07. Considerando essa situação hipotética, julgue os itens seguintes, acerca de proposições lógicas. A partir das premissas P1, P2 e P3, é correto inferir que o prefeito Pérsio não sabia do esquema.


08. (CESPE - TRE-ES - Técnico) Entende-se por proposição todo conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, que afirmam fatos ou exprimam juízos a respeito de determinados entes. Na lógica bivalente, esse juízo, que é conhecido como valor lógico da proposição, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lógica apenas as proposições que atendam ao princípio da não contradição, em que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princípio do terceiro excluído, em que os únicos valores lógicos possíveis para uma proposição são verdadeiro e falso. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. Segundo os princípios da não contradição e do terceiro excluído, a uma proposição pode ser atribuído um e somente um valor lógico.


(CESPE - TRT-ES – Técnico Judiciário) Proposição

Texto para as questões 09 e 10.

Proposições são frases que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como V e F simultaneamente. As proposições simples são aquelas que não contêm nenhuma outra proposição como parte delas. As proposições compostas são construídas a partir de outras proposições, usando-se símbolos lógicos, parênteses e colchetes para que se evitem ambiguidades. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto: A, B, C, etc. Uma proposição composta da forma A ∨ B, chamada disjunção, deve ser lida como “A ou B” e tem o valor lógico F, se A e B são F, e V, nos demais casos. Uma proposição composta da forma A

∨

B, chamada conjunção, deve ser lida como “A e B” e tem valor lógico V, se A e B são V, e F, nos demais casos.


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Além disso, A, que simboliza a negação da proposição A, é V, se A for F, e F, se A for V. Considere que cada uma das proposições seguintes tenha valor lógico V.

I- Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidadeII- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla

não pagou o condomínio.III- Jorge não foi ao centro da cidade.

09. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem valor lógico V.


10. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição. “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F.


Respostas

01. Resposta “C”.

Proposição EquivalenteP → Q ~Q → ~PP → Q ~P ∨ QP → Q P é suficiente para QP → Q Q é necessário para P

A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro. (~P) (∨ ) (Q)

Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. (~P) (→) (Q)

Sintetizando: Basta negar a primeira, manter a segunda e trocar o “ou” pelo “se então”. “A menina tem olhos azuis (M) ou o menino é loiro (L)”.

Está assim: M v LFica assim: ~M → L

Se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.

02. Parte inferior do formulárioResposta “C”.

Anamara médica → Angélica médica. (verdadeira → verdadeira)

Anamara arquiteta → Angélica médica ∨ Andrea médica. (falsa → verdadeira ∨ verdadeira)

Andrea arquiteta → Angélica arquiteta. (falsa → falsa)Andrea médica → Anamara médica. (verdadeira →

verdadeira)

Como na questão não existe uma proposição simples, temos que escolher entre as existentes, uma proposição composta e supor se é verdadeira ou falsa. Nesta questão analise as proposições à medida que aparecem na questão, daí a primeira proposição sobre a pessoa assume o valor de verdade, as seguintes serão, em regra, falsas. Embora nada impeça que uma pessoa tenha mais de uma profissão, o que não deve ser levado em consideração. Importante lembrar que todas as proposições devem ter valor lógico verdadeiro. Para encontrar a resposta temos que testar algumas hipóteses até encontrar a que preencha todos os requisitos da regra.

- Se Anamara é médica, então Angélica é médica. (verdadeiro) 1. V V2. F F3. F V

- Se Anamara é arquiteta, então Angélica ou Andrea são médicas. (verdadeiro)

1. F V V - Para ser falso Todos devem ser falsos.2. V F V - A segunda sentença deu falso e a VF apareceu,

então descarta essa hipótese.3. V V F - Aqui também ocorreu o mesmo problema da 2º

hipótese, também devemos descartá-la.

- Se Andrea é arquiteta, então Angélica é arquiteta. (verdadeiro)1. F F2.3.

- Se Andrea é médica, então Anamara é médica. (verdadeiro)1. V V2. 3.

03. Resposta “B”.

Ana pianista → Beatriz violinista. (F → F)Ana violinista → Beatriz pianista. (V → V)Ana pianista → Denise violinista. (F → F)Ana violinista → Denise pianista. (V → V)Beatriz violinista → Denise pianista. (F → V)

Proposições Simples quando aparecem na questão, suponhamos que sejam verdadeiras (V). Como na questão não há proposições simples, escolhemos outra proposição composta e supomos que seja verdadeira ou falsa.

1º Passo: qual regra eu tenho que saber? Condicional (Se... então).

2º Passo: Fazer o teste com as hipóteses possíveis até encontrar a resposta.

Hipótese 1

- Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. (verdade)V V - Como já sabemos, se a (verdade) aparecer primeiro, a

(falso) não poderá.


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- Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. (verdade)F F - Já sabemos que Ana é pianista e Bia é violinista, então

falso nelas.

- Se Ana é pianista, Denise é violinista. (verdade)V V

- Se Ana é violinista, então Denise é pianista. (verdade)F F

- Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. (verdade)V F - Apareceu a temida V F, logo a nossa proposição será

falsa. Então descarte essa hipótese.

Hipótese 2

- Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. (verdade)F V

- Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. (verdade)V F - A VF apareceu, então já podemos descartá-la, pois a

nossa proposição será falsa.

04. Resposta “Certo”.

É só aplicar a tabela verdade do “ou” (v). V v F será verdadeiro, sendo falso apenas quando as duas

forem falsas.

A tabela verdade do “ou”. Vejam:

p q p ∨ qV V F V F VF V VF F F

No 2º caso, os dois não podem ser verdade ao mesmo tempo.

Disjunção exclusiva (Ou... ou)Representado pelo v, ou ainda ou.Pode aparecer assim também: p v q, mas não ambos.

Regra: Só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e outra falsa.

Hipótese 1:

P1: F → V = V (Não poderá aparecer VF).P2: V F = V (Apenas um tem que ser verdadeiro).P3: F → F = V

Conclusões:Vereador participou do esquema.Prefeito não sabia.Chefe do gabinete foi o mentor.

Então:O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador

Vitor participou do esquema.V V = verdade, pois sabemos que para ser falso, todos devem

ser falsos.

Hipótese 2:P1: F → F = VP2: F V = VP3: F →V = V

Conclusões:Vereador participou do esquema.Prefeito sabia.Chefe de gabinete não era o mentor.

Então:O chefe de gabinete foi o mentor do esquema ou o vereador

Vitor participou do esquema.F V = verdade.

05. Resposta “Errado”.Não se trata de uma Disjunção, trata-se de uma Disjunção

Exclusiva, cujo símbolo é . Também chamado de “Ou Exclusivo”. É o famoso “um ou outro mas não ambos”. Só vai assumir valor verdade, quando somente uma das proposições forem verdadeiras, pois quando as duas forem verdadeiras a proposição será falsa. Da mesma forma se as duas forem falsas, a proposição toda será falsa.

Tabela verdade do “Ou Exclusivo”.

p q p ∨ qV V F V F VF V VF F F

Com a frase em P2 “mas não ambos” deixa claro que as duas premissas não podem ser verdadeiras, logo não é uma Disjunção, mas sim uma Disjunção Exclusiva, onde apenas uma das premissas pode ser verdadeira para que P2 seja verdadeira.

06. Resposta “Certo”.Duas premissas são logicamente equivalentes quando elas

possuem a mesma tabela verdade:

P R ¬P ¬R P → R ¬R → P ¬P ∨ RV V F F V V VV F F V F F FF V V F V V VF F V V V V V

Possuem a mesma tabela verdade, logo são equivalentes.


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Representando simbolicamente as equivalências, temos o seguinte:

(P → R) = (¬P ∨ R) = (¬R → ¬P)

As proposições dadas na questão:P = O vereador Vitor não participou do esquema.R = O chefe de gabinete do Prefeito foi o mentor do esquema.

Premissa dada na questão: P3 = Se o vereador Vitor não participou do esquema, então o chefe do gabinete não foi o mentor do esquema. Em linguagem simbólica, a premissa P3 fica assim: (P → ¬R).

A questão quer saber se (P → ¬R) é logicamente equivalente a proposição: “O vereador Vitor participou do esquema ou o chefe de gabinete não foi o mentor do esquema”, que pode ser representada da seguinte forma: (¬P ∨ ¬R). Vemos que P3 tem a seguinte equivalente lógica: (P → ¬R) = (¬P ∨ ¬R). Negamos a primeira sentença, mudamos o conectivo “→” para “∨”, e depois mantemos a segunda sentença do mesmo jeito. Assim sendo, a questão está correta. As duas sentenças são “logicamente equivalentes”.

07. Resposta “Errado”.A questão quer saber se o argumento “o Prefeito Pérsio não

sabia do esquema” é um argumento válido. Quando o argumento é válido? Quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão obrigatoriamente verdadeira ou quando as premissas forem falsas e a conclusão falsa. Quando o argumento não é válido? Quando as premissas forem verdadeiras e a conclusão for falsa. Pra resolver essas questões de validade de argumento é melhor começar de forma contrária ao comando da questão. Como a questão quer saber se o argumento é válido, vamos partir do princípio (hipótese) que é inválido. Fica assim:

P1: P → ~Q verdadeP2: R (ou exclusivo) Q verdadeP3: P → ~R verdadeConclusão: O prefeito Pérsio não sabia do esquema. falso

Se é falso que o Prefeito Pérsio não sabia, significa dizer que ele sabia do esquema. Então, pode-se deduzir que as proposições ~Q e Q são, respectivamente, falsa e verdadeira. Na segunda premissa: Se Q é verdadeira, R será obrigatoriamente falsa, pois na disjunção exclusiva só vai ser verdade quando apenas um dos argumentos for verdadeiro. E se R é falso, significa dizer que ~R é verdadeiro. Fazendo as substituições:

P1: P → ~Q VerdadeF → F V

Por que P é falso? Na condicional só vai ser falso se a primeira for verdadeira e a segunda for falsa. Como “sabemos” que a premissa toda é verdadeira e que ~Q é falso, P só pode assumir valor F.

P2: R (ou exclusivo) Q VerdadeF (ou exclusivo) V V

Lembrando que na disjunção exclusiva, só vai ser verdade quando uma das proposições forem verdadeiras. Como sei que Q é verdadeiro, R só pode ser falso.

P3: P → ~R VerdadeF → V V

Se deduz que R é falso, logo ~R é verdadeiro. Consideramos inicialmente o argumento sendo não válido (premissas verdadeiras e conclusão falsa). Significa dizer que a questão está errada. Não é correto inferir que o Prefeito Pérsio não sabia do esquema. Foi comprovado que ele sabia do esquema.


Princípio da Não Contradição = Uma preposição será V ou F não podendo assumir os 2 valores simultaneamente. Representação: ¬(P

∨

¬P). Exemplo: Não (“a terra é redonda” e “a terra não é redonda”).

Princípio do Terceiro Excluído = Uma preposição será V ou F, não podendo assumir um 3o valor lógico. Representação: P ∨ ¬P. Exemplo: Ou este homem é José ou não é José.

Uma proposição só poderá ser julgada verdadeira ou falsa, nunca poderá ser as duas coisas ao mesmo tempo.

09. Resposta “Errado”.Da proposição III “Jorge não foi ao centro da cidade” que é

verdadeira e a questão diz “Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” a segunda parte é falsa como o conectivo é “e” as duas teriam que ser verdadeiras (o que não acontece). Vamos analisar cada proposição de cada premissa, tendo em mente que as premissas tem valor lógico (V), daí tiramos um importante dado, sabemos que a premissa III é (V), portanto vamos atribuir o valor lógico (V) a proposição “e” e o valor lógico (F) a proposição “B”, agora vamos separar:

A: Tânia estava no escritório (V)B: Jorge foi ao centro da cidade (F)

Diante das análises iniciais temos que a premissa A v B, tem valor lógico (V), mas que a proposição “B” tem valor lógico (F), ou seja, A v (valor lógico F), para que essa premissa tenha o valor lógico (V), “A” tem que ter um valor lógico (V).

C: Manuel declarou o imposto de renda na data correta (V)D: Carla não pagou o condomínio (V)

O enunciado fala para considerar todas as premissas com valor lógico (V), logo, a premissa C

∨

D para ter valor lógico (V), ambas proposições devem ter valor lógico (V).

E: Jorge não foi ao centro da cidade (V)

Diante das explicações, C

∨

B = (V)

∨

(F) = (F).


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10. Resposta “Certo”.Considere que cada uma das proposições seguintes tenha

valor lógico V. Logo o que contraria essa verdade é falso.I- V + F = VII- V + V = VIII- V

Portanto se no item II diz que Carla não pagou o condomínio é verdadeiro, então o fato dela ter pago o condomínio é falso, pois está contradizendo o dito no item II. Os valores lógicos da segunda proposição não são deduzíveis, mas sim informados no enunciado.

II- Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Carla não pagou o condomínio V e V. Portanto, se Carla não pagou o condomínio é Verdadeiro. Carla pagou o condomínio é Falso. Enunciado correto.

2 LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E

CONCLUSÕES.

Um argumento é “uma série concatenada de afirmações com o fim de estabelecer uma proposição definida”. É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição. Isto é, o conjunto de proposições p1,...,pn que tem como consequência outra proposição q. Chamaremos as proposições p1,p2,p3,...,pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Podemos representar por:

p1p2p3...pn∴ q

Exemplos:

01. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar.Passei no concurso________________________∴ Irei trabalhar

02. Se ele me ama então casa comigo.Ele me ama.__________________________∴ Ele casa comigo.

03. Todos os brasileiros são humanos.Todos os paulistas são brasileiros.__________________________∴ Todos os paulistas são humanos.

04. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão

o bicho.Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores

receberão o bicho.__________________________∴ Todos os jogadores receberão o bicho.

Observação: No caso geral representamos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. Veja exemplo:

Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água.

Todos os sabões são sais de sódio. ____________________________________Conclusão: ∴ Todos os sabões são substâncias solúveis

em água.

Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes básicos: suas premissas e sua conclusão. Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do mundo. O Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do mundo”, temos um argumento com duas premissas e a conclusão.

Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas. O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo:

Premissa: Todos os peixes vivem no oceano.Premissa: Lontras são peixes.Conclusão: Logo, focas vivem no oceano.

Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicação. O símbolo A denota implicação; A é a premissa, B é a conclusão.

Regras de ImplicaçãoPremissas Conclusão Inferência

A B A à BFalsas Falsa VerdadeiraFalsas Verdadeira Verdadeira

Verdadeiras Falsa FalsaVerdadeiras Verdadeira Verdadeira

- Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão

pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2).- Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a

inferência é inválida (linha 3).- Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é

verdadeira (linha 4).


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Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a conclusões verdadeiras.

Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções-base”. São as chamadas premissas. É a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, é as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo. As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento.

A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “admitindo que...”, “já que...”, “obviamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder à argumentação. Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entenda por que algo é “óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente “óbvias”.

Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo por meio do processo chamado “inferência”. Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências. Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta. Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “Consequentemente...” ou “isso implica que...”.

Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada como conclusão no contexto de um argumento em particular. A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas.

A seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”.

1. Premissa: Todo evento tem uma causa.2. Premissa: O universo teve um começo.3. Premissa: Começar envolve um evento.4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu

um evento.5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa.6. Conclusão: O universo teve uma causa.

A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, então, é usado em conjunto com proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão.

Validade de um Argumento

Conforme citamos anteriormente, uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:

a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo:

Todos os apartamentos são pequenos. (V)Todos os apartamentos são residências. (V)__________________________________∴ Algumas residências são pequenas. (V)

b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Exemplo:

Todos os peixes têm asas. (F)Todos os pássaros são peixes. (F)__________________________________∴ Todos os pássaros têm asas. (V)

c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Exemplo:

Todos os peixes têm asas. (F)Todos os cães são peixes. (F)__________________________________∴ Todos os cães têm asas. (F)

Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam. Podemos dizer que um argumento é válido quando todas as suas premissas são verdadeiras, acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Exemplo:

Todas as mulheres são bonitas.Todas as princesas são mulheres.__________________________∴ Todas as princesas são bonitas.

Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento é válido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos:

Todos os A são B.Todos os C são A.________________∴ Todos os C são B.

Logo, o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade é consequência da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.


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Argumentos Dedutivos e Indutivos

O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Exemplo:

Todo ser humano tem mãe.Todos os homens são humanos.__________________________∴ Todos os homens têm mãe.

O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para retificar as conclusões. Exemplo:

O Flamengo é um bom time de futebol.O Palmeiras é um bom time de futebol.O Vasco é um bom time de futebol.O Cruzeiro é um bom time de futebol.______________________________∴ Todos os times brasileiros de futebol são bons.

Portanto, nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.

Argumentos Dedutivos Válidos

Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.

Afirmação do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do antecedente”, também conhecido como modus ponens. Exemplo:

Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.

José foi aprovado no concurso.___________________________∴ José será demitido do serviço.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

Se p, então q,

..q

p∴

ou p → q

qp

∴

Outro argumento dedutivo válido é a “negação do consequente” (também conhecido como modus tollens). Obs.: ( )qp → é equivalente a ( )pq ¬→¬ . Esta equivalência é chamada de contra positiva. Exemplo:

“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”;

Então vejamos o exemplo do modus tollens. Exemplo:

Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação.

Não há inflação.______________________________∴ Não aumentamos os meios de pagamentos.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

Se p, então q,

..

pNãoqNão

∴

ou

p → q

pq¬∴¬

Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis. Exemplo:

João se inscreve no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ele.Eis o dilema de João:

Ou João passa ou não passa no concurso.Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante

dos colegas de trabalho._________________________∴ Ou João vai embora de São Paulo ou João ficará com

vergonha dos colegas de trabalho.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

p ou q.

Se p então r

soursentãopSe

∴.

ou

p ∨ q

p→ r

srsq

∨∴→

Argumentos Dedutivos Não Válidos

Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quando se está construindo um argumento dedutivo. Elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia a dia, nós denominamos muitas crenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: falácia é uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido (além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás da argumentação).

Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Frequentemente, parecem válidos e convincentes, às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica. Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa


RACIOCÍNIO LÓGICO

nunca teremos um argumento válido, então este argumento é não válido, chamaremos os argumentos não válidos de falácias. A seguir, examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita frequência. O primeiro caso de argumento dedutivo não válido que veremos é o que chamamos de “falácia da afirmação do consequente”. Exemplo:

Se ele me ama então ele casa comigo.Ele casa comigo._______________________∴ Ele me ama.

Podemos escrever esse argumento como:

Se p, então q,

pq

∴ ou

p→ q

pq

∴

Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Outra falácia que corre com frequência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente”. Exemplo:

Se João parar de fumar ele engordará.João não parou de fumar.________________________∴ João não engordará.

Observe que temos a forma:

Se p, então q,

..

qNãopNão

∴

ou

p → q

qp¬∴¬

Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos não válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém, as premissas não sustentam a conclusão. Exemplo:

Todos os mamíferos são mortais. (V)Todos os gatos são mortais. (V)___________________________∴ Todos os gatos são mamíferos. (V)

Este argumento tem a forma:

Todos os A são B.Todos os C são B._____________________∴ Todos os C são A.

Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra.

Todos os mamíferos são mortais. (V)Todas as cobras são mortais. (V)__________________________∴ Todas as cobras são mamíferas. (F)

Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se um argumento é válido ou falso. Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3, ...Pn é válido ou não, por meio das tabelas-verdade, é construir a condicional associada: (P1 ∧ P2 ∧ P3 ...Pn) e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia. Se essa condicional associada é tautologia, o argumento é válido. Não sendo tautologia, o argumento dado é um sofisma (ou uma falácia).

Tautologia: Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, então teremos uma tautologia. Ex: P (p,q) = ( p ∧ q) ↔ (p V q) . Numa tautologia, o valor lógico da proposição composta P (p,q,s) =

{(p ∧ q) V (p V s) V [p ∧ (q ∧ s)]} → p será sempre verdadeiro.

Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não válidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou não validade de um argumento. O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou da conclusão. Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer produzirem algo que possa ser chamado de argumento. Às vezes, os argumentos não seguem os padrões descritos acima. Por exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso.

Para complicar, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a Bíblia é verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus”. Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas.

Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, alguém dissesse: “Einstein afirmou que ‘Deus não joga dados’ porque acreditava em Deus”. Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é. Trata-se de uma explicação da afirmação de Einstein. Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em: “Einstein acreditava em Deus, por isso afirmou que ‘Deus não joga dados’”. Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria estar provando. Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.


RACIOCÍNIO LÓGICO

QUESTÕES

01. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

02. Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo.Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma ps, então 1, p, p2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a:

a) 25b) 87c) 112d) 121e) 169

03. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

04. Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:

a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente.

b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente.

c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente.

d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade.

e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

05. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:

a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a

princesa.c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

06. (FUNIVERSA - 2012 - PC-DF - Perito Criminal) Parte superior do formulário

Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 200,00, já com a gorjeta incluída. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, então, as seguintes declarações, todas verdadeiras:

Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou.Danton: — Carlos também pagou, mas do Basílio não sei

dizer. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de

R$ 10,00.Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem

colocou, eu vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota

de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na mesa.

Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo, dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: — O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a

(A) Antônio. (B) Basílio. (C) Carlos. (D) Danton. (E) Eduardo.

07. (ESAF - 2012 - Auditor Fiscal da Receita Federal) Parte superior do formulário

Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Passárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Passárgada. Assim,

(A) não viajo e caso.(B) viajo e caso.(C) não vou morar em Passárgada e não viajo.(D) compro uma bicicleta e não viajo.(E) compro uma bicicleta e viajo.


RACIOCÍNIO LÓGICO

08. (FCC - 2012 - TST - Técnico Judiciário) Parte superior do formulário

A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos humanos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma, conclui-se que, necessariamente,

(A) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde.

(B) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.

(C) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês.

(D) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês.

(E) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.

09. (CESGRANRIO - 2012 - Chesf - Analista de Sistemas) Parte superior do formulário

Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira, Pedro terá aula de futebol ou natação. Quando Pedro tem aula de futebol ou natação, Jane o leva até a escolinha esportiva. Ao levar Pedro até a escolinha, Jane deixa de fazer o almoço e, se Jane não faz o almoço, Carlos não almoça em casa. Considerando-se a sequência de implicações lógicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje

(A) é terça, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane não fez o almoço.(B) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira.(C) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o

almoço. (D) não é segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas

uma das modalidades esportivas.(E) não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o

almoço.

10. (VUNESP - 2011 - TJM-SP) Parte superior do formulárioSe afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o

instrumento soa bem, então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que

(A) sonho dormindo. (B) o instrumento afinado não soa bem. (C) as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo.

Respostas

01.(P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.(P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou

Débora fala dinamarquês. (P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.(P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade

que Francisco não fala francês. (P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês.

Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se então, Ou, Se e somente se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira. Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo e.

Na premissa 5 tem-se: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo para esta proposição composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que:

Francisco não fala francêsChing não fala chinês

Na premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala, isto já é falso e o antecedente do se e somente se também terá que ser falso, ou seja: Elton não fala espanhol.

Da premissa 3 tem-se: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo se então (veja que a vírgula subentende que existe o então), pois é, a regra do se então é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton não fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F Î F = V, logo: Débora não fala dinamarquês.

Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Vamos analisar o consequente do se então, observe: ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (temos um ou exclusivo, cuja regra é, o ou exclusivo, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F. Se o consequente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Iara não fala italiano.

Da premissa 1 tem-se: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no consequente... Só será verdadeiro quando V Î V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo: Ana fala alemão.

Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações:

Francisco não fala francês Ching não fala chinês Elton não fala espanholDébora não fala dinamarquêsIara não fala italianoAna fala alemão.

A única conclusão verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras é a da alternativa (A), resposta do problema.


RACIOCÍNIO LÓGICO

02. Resposta “B”.O número que não é primo é denominado número composto.

O número 4 é um número composto. Todo número composto pode ser escrito como uma combinação de números primos, veja: 70 é um número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 são números primos. O problema informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p2, onde p é um número primo.

Observe os seguintes números:1 2 22 (4)1 3 3² (9)1 5 5² (25)1 7 7² (49)1 11 11² (121)

Veja que 4 têm apenas três divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números 9, 25, 49 e 121 (mas este último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.

03. Resposta “B”.O Argumento é uma sequência finita de proposições lógicas

iniciais (Premissas) e uma proposição final (conclusão). A validade de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa, observe a seguir:

Todo cavalo tem 4 patas (P1)Todo animal de 4 patas tem asas (P2)Logo: Todo cavalo tem asas (C)

Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão C. Veja que este argumento é válido, pois se as premissas se verificarem a conclusão também se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se é cavalo então tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.

(P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 patas então o animal tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

(C) Todo cavalo tem asas. Indica que se é cavalo então tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto de cavalos é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

Observe que ao unir as premissas, a conclusão sempre se verifica. Toda vez que fizermos as premissas serem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira, estaremos diante de um argumento válido. Observe:

Desse modo, o conjunto de cavalos é subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua vez é subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a conclusão se verifica, ou seja, todo cavalo tem asas. Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas, logo temos um argumento. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a conclusão que torna o argumento válido. Vejamos:

Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. (P2)Artur gosta de Lógica (P3)

Observe que deveremos fazer as três premissas serem verdadeiras, inicie sua análise pela premissa mais fácil, ou seja, aquela que já vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa três, veja que para ela ser verdadeira, Artur gosta de Lógica. Com esta informação vamos até a premissa um, onde temos a presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou falsas. Observe a tabela verdade do “ou exclusivo” abaixo:

p q p V qV V FV F VF V VF F F

Sendo as proposições:p: Lógica é fácilq: Artur não gosta de Lógicap v q = Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1)

Observe que só nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as linhas 2 e 3 da tabela verdade. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica, ou seja, a premissa q é falsa, só nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p também será verdadeira, ou seja, Lógica é fácil. Sabendo que Lógica é fácil, vamos para a P2, temos um se então.

Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Do se então já sabemos que:

Geografia não é difícil - é o antecedente do se então. Lógica é difícil - é o consequente do se então.

Chamando:r: Geografia é difícil~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil)p: Lógica é fácil(não p) ~p: Lógica é difícil


RACIOCÍNIO LÓGICO

~r → ~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificar o se então tem-se também que a negação do consequente gera a negação do antecedente, ou seja: ~(~p) → ~(~r), ou seja, p → r ou Se Lógica é fácil então Geografia é difícil.

De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que:

Artur gosta de LógicaLógica é fácilGeografia é difícil

Vamos agora analisar as alternativas, em qual delas a conclusão é verdadeira:

a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (V → F = F) a regra do “se então” é só ser falso se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele será sempre verdadeiro.

b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (V ^ V = V) a regra do “e” é que só será verdadeiro se as proposições que o formarem forem verdadeiras.

c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (V ^ F = F)d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (F ^ V = F)e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (F v F = F) a regra

do “ou” é que só é falso quando as proposições que o formarem forem falsas.

04. Alternativa “A”.Com os dados fazemos a tabela:

Camisa azul Camisa Branca Camisa Preta

“eu sou culpado”“sim, ele (de

camiza azul) é o culpado”

“Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou

eu”

Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente.

I) Primeira hipótese: Se o inocente que fala verdade é o de camisa azul, não teríamos resposta, pois o de azul fala que é culpado e então estaria mentindo.

II) Segunda hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa preta, também não teríamos resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele é o culpado e não inocente.

III) Terceira hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa branca achamos a resposta, observem: Ele é inocente e afirma que o de camisa branca é culpado, ele é o inocente que sempre fala a verdade. O de camisa branca é o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele está dizendo a verdade). O de camisa preta é inocente e afirma que roubou, logo ele é o inocente que está sempre mentindo.

O resultado obtido pelo sábio aluno deverá ser: O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente (Alternativa A).

05. Resposta “C”.Uma questão de lógica argumentativa, que trata do uso do

conectivo “se então” também representado por “→”. Vamos a um exemplo:

Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça) formada por duas proposições simples (duque sair do castelo) (rei ir à caça), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q, ou seja:

→ p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente.

→ q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente.

→ Se p então q também pode ser lido como p implica em q.→ p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra,

ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer.→ q é conhecida como condição necessária para que p ocorra,

ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.

Vamos às informações do problema:1) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do

castelo. Chamando A (proposição rei ir à caça) e B (proposição duque sair do castelo) podemos escrever que se B então A ou B → A. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.

2) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposição rei ir à caça) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se A então C ou A → C. Lembre-se de que ser condição suficiente é ser antecedente no “se então”.

3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e E (proposição barão sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D ↔ E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto o antecedente quanto o consequente são condição necessária e suficiente ao mesmo tempo), onde poderíamos também escrever E se e somente se D ou E → D.

4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C então D ou C → D. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “se então”.

A única informação claramente dada é que o barão não sorriu, ora chamamos de E (proposição barão sorriu). Logo barão não sorriu = ~E (lê-se não E).

Dado que ~E se verifica e D ↔ E, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: esse modo ~E → ~D (então o conde não encontrou a princesa).

Se ~D se verifica e C → D, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~D → ~C (a duquesa não foi ao jardim).

Se ~C se verifica e A → C, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~C → ~A (então o rei não foi à caça).

Se ~A se verifica e B → A, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~A → ~B (então o duque não saiu do castelo).

Observe entre as alternativas, que a única que afirma uma proposição logicamente correta é a alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.


RACIOCÍNIO LÓGICO

06. Resposta “D”. Como todas as informações dadas são verdadeiras, então

podemos concluir que:1 - Basílio pagou;2 - Carlos pagou;3 - Antônio pagou, justamente, com os R$ 100,00 e pegou

os R$ 60,00 de troco que, segundo Carlos, estavam os R$ 50,00 pagos por Eduardo, então...

4 - Eduardo pagou com a nota de R$ 50,00.

O único que escapa das afirmações é o Danton.

Outra forma: 5 amigos: A,B,C,D, e E.

Antônio: - Basílio pagou. Restam A, D, C e E.Danton: - Carlos também pagou. Restam A, D, e E.Eduardo: - Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$

10,00. Restam A, D, e E.Basílio: - Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio. Restam

D, e E.Carlos: - Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota

de R$ 50,00 que o Eduardo colocou. Resta somente D (Dalton) a pagar.

07. Resposta “B”.1°: separar a informação que a questão forneceu: “não vou

morar em passárgada”.2°: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro

tem de haver pelo menos uma proposição verdadeira.3°: destacando-se as informações seguintes:- caso ou compro uma bicicleta.- viajo ou não caso.- vou morar em passárgada ou não compro uma bicicleta.

Logo:- vou morar em pasárgada (F)- não compro uma bicicleta (V)- caso (V)- compro uma bicicleta (F)- viajo (V)- não caso (F)

Conclusão: viajo, caso, não compro uma bicicleta.

Outra forma:

c = casarb = comprar bicicletav = viajarp = morar em Passárgada

Temos as verdades:c ou bv ou ~cp ou ~b

Transformando em implicações:~c → b = ~b → c~v → ~c = c → v~p → ~b

Assim:~p → ~b~b → cc → v

Por transitividade:~p → c~p → v

Não morar em passárgada implica casar. Não morar em passárgada implica viajar.


A declaração dizia:“Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e

ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Porém, o diretor percebeu que havia se enganado, portanto, basta que um funcionário não tenha plano de saúde ou ganhe até R$ 3.000,00 para invalidar, negar a declaração, tornando-a desse modo FALSA. Logo, necessariamente, um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês.

Proposição composta no conectivo “e” - “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Logo: basta que uma das proposições seja falsa para a declaração ser falsa.

1ª Proposição: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde.

2ª Proposição: ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.

Lembre-se que no enunciado não fala onde foi o erro da declaração do gerente, ou seja, pode ser na primeira proposição e não na segunda ou na segunda e não na primeira ou nas duas que o resultado será falso.

Na alternativa C a banca fez a negação da primeira proposição e fez a da segunda e as ligaram no conectivo “ou”, pois no conectivo “ou” tanto faz a primeira ser verdadeira ou a segunda ser verdadeira, desde que haja uma verdadeira para o resultado ser verdadeiro.

Atenção: A alternativa “E” está igualzinha, só muda o conectivo que é o “e”, que obrigaria que o erro da declaração fosse nas duas.

A questão pede a negação da afirmação: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde “e” ganha mais de R$ 3.000,00 por mês.

Essa fica assim ~(p ^ q). A negação dela ~pv~q

~(p^q) ↔ ~pv~q (negação todas “e” vira “ou”)

A 1ª proposição tem um Todo que é quantificador universal, para negá-lo utilizamos um quantificador existencial. Pode ser: um, existe um, pelo menos, existem...

No caso da questão ficou assim: Um funcionário da empresa não possui plano de saúde “ou” ganha até R$ 3.000,00 por mês. A negação de ganha mais de 3.000,00 por mês, é ganha até 3.000,00.


RACIOCÍNIO LÓGICO


Sendo: Segunda = S e Quarta = Q, Pedro tem aula de Natação = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF.

V = conectivo ou e → = conectivo Se, ... então, temos:S V Q → PF V PN

Sendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negação, ou seja Jane não leva Pedro a escolinha. Ainda temos que ~Ja = Jane deixa de fazer o almoço e C = Carlos almoça em Casa e ~C = Carlos não almoça em casa, temos:

PF V PN → JeJe → ~Ja~Ja → ~C

Em questões de raciocínio lógico devemos admitir que todas as proposições compostas são verdadeiras. Ora, o enunciado diz que Carlos almoçou em casa, logo a proposição ~C é Falsa.

~Ja → ~C

Para a proposição composta ~Ja → ~C ser verdadeira, então ~Ja também é falsa.

~Ja → ~C

Na proposição acima desta temos que Je → ~Ja, contudo já sabemos que ~Ja é falsa. Pela mesma regra do conectivo Se, ... então, temos que admitir que Je também é falsa para que a proposição composta seja verdadeira.

Na proposição acima temos que PF V PN → Je, tratando PF V PN como uma proposição individual e sabendo que Je é falsa, para esta proposição composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa.

Ora, na primeira proposição composta da questão, temos que S V Q → PF V PN e pela mesma regra já citada, para esta ser verdadeira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individualmente S V Q como falsa, esta só pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas. E da mesma maneira tratamos PF V PN.

Representação lógica de todas as proposições:

S V Q → PF V PN(f) (f) (f) (f) F F

PF V PN → Je F F

Je → ~Ja F F

~Ja → ~C F F

Conclusão: Carlos almoçou em casa hoje, Jane fez o almoço e não levou Pedro à escolinha esportiva, Pedro não teve aula de futebol nem de natação e também não é segunda nem quarta. Agora é só marcar a questão cuja alternativa se encaixa nesse esquema.


Dê nome:A = AFINO as cordas;I = INSTRUMENTO soa bem;T = TOCO bem;S = SONHO acordado.

Montando as proposições:1° - A → I2° - I → T3° - ~T V S (ou exclusivo)

Como S = FALSO; ~T = VERDADEIRO, pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso “ou isso ou aquilo, escolha UM”).

~T = VT = FI → T(F)

Em muitos casos, é um macete que funciona nos exercícios “lotados de condicionais”, sendo assim o F passa para trás.

Assim: I = FNovamente: A → I(F)

O FALSO passa para trás. Com isso, A = FALSO. ~A = Verdadeiro = As cordas não foram afinadas.

Outra forma: partimos da premissa afirmativa ou de conclusão; última frase:

Não sonho acordado será VERDADEAdmita todas as frases como VERDADEFicando assim de baixo para cima

Ou não toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = VSe o instrumento soa bem (F) então toco muito bem (F) = VSe afino as cordas (F), então o instrumento soa bem (F) = V

A dica é trabalhar com as exceções: na condicional só dá falso quando a primeira V e a segunda F. Na disjunção exclusiva (ou... ou) as divergentes se atraem o que dá verdade. Extraindo as conclusões temos que:

Não toco muito bem, não sonho acordado como verdade.Se afino as corda deu falso, então não afino as cordas.Se o instrumento soa bem deu falso, então o instrumento não soa bem.

Joga nas alternativas:(A) sonho dormindo (você não tem garantia de que sonha

dormindo, só temos como verdade que não sonho acordado, pode ser que você nem sonhe).

(B) o instrumento afinado não soa bem deu que: Não afino as cordas.

(C) Verdadeira: as cordas não foram afinadas.(D) mesmo afinado (Falso deu que não afino as cordas) o

instrumento não soa bem.(E) toco bem acordado e dormindo, absurdo. Deu não toco

muito bem e não sonho acordado.


RACIOCÍNIO LÓGICO

3 LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL). 3.1 PROPOSIÇÕES

SIMPLES E COMPOSTAS. 3.2 TABELAS-VERDADE.

3.3 EQUIVALÊNCIAS. 3.4 LEIS DE DE MORGAN. 3.5 DIAGRAMAS LÓGICOS.

Proposições ou Sentenças

Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado. Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de modo diferente. É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada algo significante. É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado.

As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma ideia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas. As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s...

Considere os exemplos a seguir:

p: Mônica é inteligente.q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu.r: 7 > 3s: 8 + 2 ≠ 10

Tipos de Proposições

Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em:

- Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não ser verdadeiro. Exemplo: Júlio César é o melhor goleiro do Brasil.

- Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso. Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra?

- Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Proposições Universais e Particulares

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo:

“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P”

Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.

Exemplo: “O cão é mamífero”.

As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.

Proposições Afirmativas e Negativas

No caso de negativa podemos ter:

“Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”.

“Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”.

No caso de afirmativa consideramos o item anterior.

Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

Então teremos a tabela:

AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E)PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O)

Diagrama de Euler

Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.

- Todo S é P (universal afirmativa – A)P

S ou

P=S

- Nenhum S é P (universal negativa – E)

S P

- Algum S é P (particular afirmativa – I)

SP

ou

P

Sou

P=S

ou

S

P

- Algum S não é P (particular negativa – O)S

P

ou

S

Pou

S P


RACIOCÍNIO LÓGICO

Princípios

- Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

- Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor.

a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo” é um proposição verdadeira.

b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.

c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.

As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não” ∧ corresponde a “e” ∧

corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então” ⇔ corresponde a “se somente se”

Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

- Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)- Disjunções: a

∧

b (lê-se: a ou b) - Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) - Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)

Exemplo

“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”

Sejam as proposições:p = “Cacilda é estudiosa”q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:Se p então q (ou p ⇒q)

Sentenças Abertas

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas.

Exemplos

1. 94:)( =+xxp

A sentença matemática 94 =+x é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles, 5=x , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como .5−=x

2. 3:)( <xxq

Dessa maneira, na sentença 3<x , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como

2−=x , e outros são falsos, como .7+=x

Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas.

A sentença 522:)( =+xs é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de )(xs é F, pois a sentença é falsa.

A sentença )(xp “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro.

Já a sentença )(xe “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que

)(xe seja verdadeiro, ou falso.

Modificadores

A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição.

Exemplo

p: Jacira tem 3 irmãos.~p: Jacira não tem 3 irmãos.

É fácil verificar que:1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa.2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F

V N∈4 N∉4 F

F 12 é divisível por zero 12 não é divisível por zero. V

Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade.

Para negação, tem-se

p ~pV FF V

Atenção: A sentença negativa é representada por “~”.

A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui

como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.

Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “¬ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Proposições Simples e Compostas

Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.

Exemplos

(1) p: eu sou estudioso(2) q: Maria é bonita (3) r: 3 + 4 > 12

Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos:

(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.

(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa.

(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5.

(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a.

As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

Exemplos

São proposições simples:p: A lua é um satélite da terra.q: O número 2 é primo.r: O número 2 é par.s: Roma é a capital da França.t: O Brasil fica na América do Sul.u: 2 + 5 = 3 . 4

São proposições compostas:P(q, r): O número 2 é primo ou é par.Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América

do Sul.R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

Não são proposições lógicas:- Roma- O cão do menino- 7+1- As pessoas estudam- Quem é?- Que pena!

Tabela Verdade

Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p, é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

pVF

Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados. É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Proposição Composta - 02 proposições simples

Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p qV VV FF VF F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simples

No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F


RACIOCÍNIO LÓGICO

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos

p: o sol é verde;q: um hexágono tem nove diagonais;r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0V(p) = FV(q) = VV(r) = F

Questões

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:

a) P ˅ ~qb) p → qc) ~p ^ ~qd) p ↔ ~qe) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p)

02. Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: Aterra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.

b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno

do Sol.d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não

é um planeta.e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas

como “não p e não q”)

03. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é impar”, determine:

a) a contrapositivab) a recíproca

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine

V (p → r ^ s).b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine

V (p), V (q), V (r).c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p

˅ r → q ˅ r).

05. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas:

a) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0b) x² ˃ 4 ↔ x² -5x + 6 = 0

06. Use o diagrama de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas:

a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um girassol.

b) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Conclusões:

I- Alguns baianos são louros.II- Alguns professores são baianos.III- Alguns louros são professores.IV- Existem professores louros.

07. (CESPE - PF - Regional) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ̚ , ^, ˅ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir.

a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ̚ P) ˅ ( ̚ Q) também é verdadeira.

b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→ ( ̚ T) é falsa.

c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) → (¬ Q) é verdadeira.

08. (CESPE - Papiloscopista) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes.

a) As tabelas de valorações das proposições P v Q e Q → ¬P são iguais.

b) As proposições (P v Q) → S e (P → S) v (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.

09. (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenças abaixo.

I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos

europeus fumam, então fumar deve ser proibido.V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso

que fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.


RACIOCÍNIO LÓGICO

P Fumar deve ser proibido.Q Fumar de ser encorajado.R Fumar não faz bem à saúde.T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T).

b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R).

c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.

d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ^ (¬ T)) → P.

e) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ^ (¬ P)).

10. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:a) A loura é Sara e vai à Espanha.b) A ruiva é Sara e vai à França.c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.d) A morena é Bete e vai à Espanha.e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Respostas:

01. a) “Está frio ou não está chovendo”.b) “Se está frio então está chovendo”.c) “Não está frio e não está chovendo”.d) “Está frio se e somente se não está chovendo”.e) “Está frio e não está chovendo se e somente se está

chovendo e não está frio”.

02. a) ~(p ˅ q);b) p → qc) ~(p ˅ ~q)d) ~p ^ ~qe) q ↔ ~p

03.a) a contrapositiva: “Se p 2 e p é par, então p não é primo”.b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”.

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2),

determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = F

b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p) = V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = V

c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r) = V. Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V.

05. a) R – {2}b) [-2,2[

06.a) O diagrama a seguir mostra que o argumento é falso:

b) O diagrama a seguir mostra que todos os argumentos são falsos:

07.a) Item ERRADO. Pela tabela do “ou” temos:(¬ P) v (¬ Q)(¬ V) v (¬ V)(F) v (F)Falsa

b) Item ERRADO. A condicional regra que:R → (¬ T)F (¬ V)F (F)Verdadeira

c) Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional:(P ^ R) → (¬ Q)(V ^ F) → (¬ V) F FVerdadeira


RACIOCÍNIO LÓGICO

08.a) Item ERRADO. Basta considerarmos a linha da tabela-

verdade onde P e Q são ambas proposições verdadeiras para verificar que as tabelas de valorações de P v Q e Q → ¬P não são iguais:

P Q ¬P P v Q Q → ¬PV V F V F

b) Item ERRADO. Nas seguintes linhas da tabela-verdade, temos os valores lógicos da proposição (P v Q) → S diferente dos da proposição (P → S) v (Q → S):

P Q S (P v Q) → S P → S v Q → SV F F F VF V F F V

09. a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T.b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que

diz a proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre ficarmos atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra.

c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P.

d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P.

d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...”. A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T.

10. Resposta “E”.A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar

as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema:

a) São três amigasb) Uma é loura, outra morena e outra ruiva.c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara.d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa:

Alemanha, França e Espanha.e) Elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

Faça uma tabela:

Cor dos cabelos Loura Morena Ruiva

Afirmação Não vou à França nem a Espanha

Meu nome não é Elza nem Sara

Nem eu nem Elza vamos à

França

País Alemanha França EspanhaNome Elza Bete Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha.

Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete.Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França

e nem Elza, mas observe que a loura vai a Alemanha e a ruiva não vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.

Tabela Verdade

A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da proposição simples. A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das proposições.

Proposição Composta do Tipo P(p, q)

p q P(p, q)V V ?V F ?F V ?F F ?

Proposição Composta do Tipo P(p, q, r)

p q r P(p, q, r)V V V ?V V F ?V F V ?V F F ?F V V ?F V F ?F F V ?F F F ?


RACIOCÍNIO LÓGICO

Proposição Composta do Tipo P(p, q, r, s): a tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.

Proposição Composta do Tipo P(p1, p2, p3,…, pn): a tabela-verdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores.

O Conectivo “não” e a negação

O conectivo “não” e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for falsa e F se p é verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade:

p ~pV FF V

Exemplo:

a)p = 7 é ímpar. ~p = 7 não é ímpar.

p ~pV F

b)q = 24 é múltiplo de 5. ~q = 24 não é múltiplo de 5.

q ~qF V

Observação: A negação de “Roma é a capital da Itália” é “Roma não é a capital da Itália” ou “Não é verdade que Roma é a capital da Itália”. Note que:

- A negação de “Todos os brasileiros são carecas” é “Nem todos os brasileiros são carecas” ou “Pelo menos um brasileiro não é careca”.

- A negação de “Nenhum homem é careca” é “Algum homem é careca” ou “Pelo menos um homem é careca”.

Número de linhas da Tabela Verdade

Seja “L” uma linguagem que contenha as proposições P, Q e R. O que podemos dizer sobre a proposição P? Para começar, segundo o princípio de bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:

PVF

Agora, o que podemos dizer sobre as proposições P e Q? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim:

P QV VV FF VF F

Como você já deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R é assim:

P Q RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração. Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, tais como ⌐P, Q∨R, ou (Q

∨

R) → (P↔Q)? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade. Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em:

- Uma linha em que estão contidas todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria fórmula. Por exemplo, a fórmula ⌐(P˄Q) → R tem o seguinte conjunto de subfórmulas: [(P˄Q) → R, P˄Q, P, Q, R].

- “L” linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos.

O número de linhas é L = nt, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o número de átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os átomos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos átomos são falsos (F F F). Então, para a fórmula ⌐(P˄Q) → R, temos:


RACIOCÍNIO LÓGICO

P Q R P˄Q (P˄Q) → R ⌐(P˄Q) → RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como interpretá-los.

O Conectivo e “e” a conjunção

O conectivo “e” e a conjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem verdadeiras, e F em outros casos. O símbolo p ˄ q (p e q) representa a conjunção, com a seguinte tabela-verdade:

p q p ˄ qV V VV F FF V FF F F

Exemplo:

a)p = 2 é par.q = o céu é rosa.p ˄ q = 2 é par e o céu é rosa.

p q p˄ qV F F

b)p = 9 < 6.q = 3 é par.p ˄ q: 9 < 6 e 3 é par.

p q p ˄ qF F F

c) p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil.p ˄ q = O número 17 é primo e Brasília é a capital do Brasil.

p q p ˄ qV V V

O Conectivo “ou” e a disjunção

O conectivo “ou” e a disjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se alguma das proposições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p v q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabela-verdade:

p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Exemplo:

a)p = 2 é par. q = o céu é rosa. p ν q = 2 é par ou o céu é rosa.

p q p ∨ qV F V

b)p = 9 < 6. q = 3 é par. p ν q: = 9 < 6 ou 3 é par.

p q p ∨ qF F F

c)p = O número 17 é primo. q = Brasília é a capital do Brasil.p ν q = O número 17 é primo ou Brasília é a capital do Brasil.

p q p ∨ qV V V

d)p = O número 9 é par. q = O dobro de 50 é 100.p ν q: O número 9 é par ou o dobro de 50 é 100.

p q p ∨ qF V V

O Conectivo “se… então…” e a condicional

A condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q representa a condicional, com a seguinte tabela-verdade:


RACIOCÍNIO LÓGICO

p q p → qV V VV F FF V VF F V

Exemplo:

a)p: 7 + 2 = 9.q: 9 – 7 = 2.p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2.

p q p → qV V V

b)p = 7 + 5 < 4. q = 2 é um número primo.p → q: Se 7 + 5 < 4 então 2 é um número primo.

p q p → qF V V

c)p = 24 é múltiplo de 3. q = 3 é par.p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.

p q p → qV F F

d)p = 25 é múltiplo de 2.q = 12 < 3.p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3.

O Conectivo “se e somente se” e a bicondicional

A bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, e F nos outros casos. O símbolo p ↔ q representa a bicondicional, com a seguinte tabela-verdade:

p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

Exemplo:

a)p = 24 é múltiplo de 3. q = 6 é ímpar. p ↔ q = 24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é ímpar.


RACIOCÍNIO LÓGICO

p q p ↔ qV F F

b)p = 25 é quadrado perfeito.q = 8 > 3. p ↔ q = 25 é quadrado perfeito se, e somente se, 8 > 3.

p q p ↔ qV V V

c)p = 27 é par.q = 6 é primo.p ↔ q = 27 é par se, e somente se, 6 é primo.

p q p ↔ qF F V

Tabela-Verdade de uma Proposição Composta

Exemplo: veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q), onde p e q são duas proposições simples quaisquer. Resolução: uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 24 = 4 linhas, logo:

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∨ q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)V VV FF VF F

Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P.

a) Valores lógicos de p ν q

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∨q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)V V VV F VF V VF F F

b) Valores lógicos de ~p

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∨q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)V V V FV F V FF V V VF F F V


RACIOCÍNIO LÓGICO

c) Valores lógicos de (p ν q) → (~p)

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∨q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)V V V F FV F V F FF V V V VF F F V V

d) Valores lógicos de p ∨ q

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∨q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)V V V F F VV F V F F FF V V V V FF F F V V F

e) Valores lógicos de P(p, q) = ((p ν q) → (~p)) → (p ∨ q)

p q p ∨ q ~p (p ∨ q) → (~p) p ∨q ((p ∨ q) → (~p)) → (p ∨ q)V V V F F V VV F V F F F VF V V V V F FF F F V V F F

QUESTÕES

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:

(A) p v ~q(B) p → q c) ~p ∨ ~q(C) p ↔ ~q e) (p v ~q) ↔ (q ∨ ~p)

02. Considere as proposições p: A Terra é um planeta e q: A Terra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

(A) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.(B) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.(C) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol.(D) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta.(E) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.

(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)

03. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível.(A) É falso que não está frio ou que está chovendo.(B) Se as ações caem aumenta o desemprego.(C) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis.(D) A condição necessária para ser um bom matemático é saber lógica.(E) Jorge estuda física mas não estuda química.

(Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “ p e q”)


RACIOCÍNIO LÓGICO

04. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é ímpar”, determine:

(A) a contrapositiva (B) a recíproca

05.(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F e V(~r Λ ~s) = V, determine

V(p → r Λs).(B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V e V (p v r → q) = F, determine

V(p), V(q) e V(r).(C) Supondo V(p→ q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p

v r → q v r).

06. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique as seguintes proposições:

(A) (p v q) Λ ~p(B) p Λ (p → q) Λ (p →~q)(C) p Λ (p v q) → (p v q) Λ q(D) ~(p → q) Λ ((~p Λ q) v ~(p v q))(E) ~p → (p v ~(p v ~q))

07. Escrever as expressões relativas aos circuitos. Simplificá-las e fazer novos esquemas.

(A)

(B)

08. Verifique a validade ou não dos seguintes argumentos sem utilizar tabela-verdade:

(A) p v q, ~r v ~q ╞ ~p → ~r(B) p → q v r, q → ~p, s → ~r ╞ ~(p ∨ s)(C) p → q, r → s, p v s ╞ q v r(D) Se o déficit público não diminuir, uma condição necessária

e suficiente para inflação cair é que os impostos sejam aumentados. Os impostos serão aumentados somente se o déficit público não diminuir. Se a inflação cair, os impostos não serão aumentados. Portanto, os impostos não serão aumentados.

09. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas:

(A) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0(B) x² > 4 ↔ x² - 5x + 6 = 0

10. Dê a negação das seguintes proposições:(A) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem

escrever.(B) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente.(C) Para todo número primo, a condição suficiente para ser

par é ser igual a 2.

Respostas

01.(A) “Não está frio e não está chovendo”.(B) “Está frio se e somente se não está chovendo”.(C) “Está frio e não está chovendo se e somente se está

chovendo e não está frio”.

02.(A) ~(p v q)(B) p → q(C) ~(p v ~q)(D) ~p ∨ ~q(E) q ↔ ~p

03.(A) “Não está frio ou está chovendo”.(B) “As ações caem e não aumenta o desemprego”.(C) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem

olhos azuis e não tem cabeloslouros”.(D) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático

então sabe lógica” cuja negação é “É um bom matemático e não sabe lógica”.

(E) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”.

04.(A) contrapositiva: “Se p ≠ 2 e p é par então p não é primo”.(B) recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar então p é primo”.

05.(A) Supondo V(p Λ q ↔ r v s) = F(1) e V(~r Λ ~s) = V (2),

determine V(p → r Λ s).Solução: De (2) temos que V (r) = V(s) = F; Usando estes

resultados em (1) obtemos:V(p) = V(q) = V, logo,V(p → r Λ s) = F

(B) Supondo V(p Λ (q v r)) = V (1) e V(p v r → q) = F (2), determine V(p), V(q) e V(r).

Solução: De (1) concluimos que V(p) = V e V(q v r) = V e de (2) temos que V(q) = F, logo V (r) = V.

(C) Supondo V(p → q) = V, determine V(p Λ r → q Λ r) e V(p v r → q v r).

Solução: Vamos supor V(p Λ r →q Λ r) = F. Temos assim que V(p Λ r) = V e V(q Λ r) = F, o que nos permite concluir que V(p) = V(r) = V e V(q) = F, o que contradiz V(p → q) = V. Logo, V(p v r → q v r) = V. Analogamente, mostramos que V(p v r → q v r) = V.


RACIOCÍNIO LÓGICO

06. (A) (p∨q) ∨ ~p ↔ (p ∨~p) ∨ (q ∨~p) ↔ F ∨ (q ∨~p) ↔ (q ∨~p)

(B) p ∨ (p→q) ∨ (p→~p) ↔ p ∨ (~p∨q) ∨ (~p∨~q)↔ p ∨ ((~p ∨ (q ∨~q)) ↔ p ∨ (~p ∨ F) ↔ p ∨ ~p ↔ F

(C) p ∨ (p∨q) → (p ∨q) ∨ q ↔ p→q

(D) ~(p→q) ∨ ((~p ∨q)) ↔ (p ∨~q) ∨ ((~p ∨q) ∨ (~p ∨~q))(p ∨~q) ∨ ((~p ∨ (q∨~q)) ↔ (p ∨~q) ∨ (~p ∨V) ↔ (p ∨~q) ∨ ~p(p ∨~p) ∨ ~q ↔ F ∨ ~q ↔ F

(E) ~p → (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ p ∨ (p ∨ ~(p∨~q)) ↔ (p ∨ (~p ∨q)) ↔(p∨~p) ∨ (p∨q) ↔ V ∨ (p∨q) ↔ p∨q

07.(A) (p ∨q) ∨ ((p ∨q) ∨ q) ∨ p ↔ ((p ∨q) ∨ p ↔ q ∨p

(B) ((p∨q) ∨ r)) ∨ ((q ∨r) ∨ q)) ↔((p∨q) ∨ r) ∨ q ↔ (p∨q∨q) ∨ (r∨q)↔ (p∨q) ∨ (r∨q) ↔ q ∨ (p ∨r)

08. (A) Válido (B) Válido(C) Sofisma. Considerando V(p) = V(q) = V( r ) = F e V(s) = V, todas as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa.(D) Considere p: O déficit público não diminui; q: A inflação cai; r: Os impostos são aumentados.Analise o argumento: p → (q↔r), r →p, q →~r ╞ ~r (Válido)

09.(A) R- {2} (B) [-2, 2[

10.(A) “Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever”.(B) “Existe pessoa culta que é sábia e não é inteligente ou que é inteligente e não é sábia”.(C) “Existe um número primo que é igual a 2 e não é par”.

Equivalências

Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes, se p ╞ q e q ╞ p. Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo “conteúdo lógico”. Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação. A notação normalmente usada para representar a equivalência lógica entre p e q é p ≡ q, p ⇔ q ou p q.

Exemplo: As seguintes sentenças são logicamente equivalentes:1- Se hoje é sábado, então hoje é fim de semana.2- Se hoje não é fim de semana, então hoje não é sábado.Em símbolos:d: “Hoje é sábado”. (d → f)f: “Hoje é fim de semana”. ( f → d)

Sintaticamente, (1) e (2) são equivalentes pela Lei da Contraposição. Semânticamente, (1) e (2) têm os mesmos valores nas mesmas interpretações.

Há equivalência entre as proposições p e q somente quando a bicondicional p ↔ q for uma tautologia ou quando p e q tiverem a mesma tabela-verdade.

p ⇔ q (p é equivalente a q) é o símbolo que representa a equivalência lógica.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Diferenciação dos símbolos ↔ e ⇔

O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições p e q, que tem como resultado uma nova proposição p ↔ q com valor lógico V ou F.

O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade p ↔ q, ou ainda que o valor lógico de p ↔ q é sempre V, ou então p ↔ q é uma tautologia. Exemplo:

A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será:

p q ~q ~p p → q ~q → ~p (p → q) ↔ (~q → ~p)V V F F V V VV F V F F F VF V F V V V VF F V V V V V

Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia. Veja a representação: (p → q) ⇔ (~q → ~p)

Equivalências NotáveisNome Propriedade Dual

Dupla Negação (DN) ~~p ↔ pIdempotente (IP) p V p ↔ p p ∧ p ↔ pComutativa (COM) p V q ↔ q V p p ∧ q ↔ q ∧ pAssociativa (ASS) p V (q V r) ↔ (p V q) V r p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ rDe Morgan (DM) ~(p V q) ↔ ~p ∧ ~q ~(p ∧ q) ↔ ~p V ~qDistributiva (DIS) p ∧ (q V r) ↔ (p ∧ q) V (p ∧ r) p V (q ∧ r) ↔ (p V q) ∧ (p V r)Absorção (ABS) p ∧ (p V q) ↔ p p V (p ∧ q) ↔ pReescrita da Condicional (COND) p → q ↔ ~p V qReescrita da Bicondicional (BI) p ↔ q ↔ (p → q) ∧ (q → p)Elemento Neutro (EN) p V F ↔ p p ∧ V ↔ pElemento Absorvedor (EA) p V V ↔ V p ∧ F ↔ FComplementares (COMPLE) p V ~p ↔ V p ∧ ~p ↔ F

F = contradição V = tautologia

As proposições p e q são chamadas de logicamente equivalentes (≡) se p ↔ q é uma tautologia. Exemplos:

Mostraremos que (p V q) e p ∧ q são logicamente equivalentes. Uma das leis de De Morgan. Solução:

(p V q) e p ∧ q

p q (p V q) ¬(p V q) ¬ p ¬ q p ∧ q (p V q) ↔ p ∧ q

V V V F F F F VV F V F F V F VF V V F V F F VF F F V V V V V

Mostraremos que (p → q) e p V q são logicamente equivalentes. Solução:

(p → q) e p V q

p q ¬p ¬p V q p → q (p → q) ↔ p V q

V V F V V VV F F F F VF V V V V VF F V V V V


RACIOCÍNIO LÓGICO

QUESTÕES

01. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis:

(A) p → q ∧ r ⇔ (p → q) ∧ (p → r)(B) p → q ∨ r ⇔ (p → q) ∨ (p → r)(C) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t)(D) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r)(E) ~(~p → ~q) ⇔ ~p ∧ q

02. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas:

(A) Exemplo: Regra da simplificação: p ∧ q ⇒ q Para provarmos uma relação de implicação temos que

demonstrar que a condicional p ∧ q → q é tautológica, ou seja, que a condicional p ∧ q → q ⇔ V

Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se:p ∧ q → q ≡ (aplicando-se a equiv. de reescrita da condicio-

nal)~(p ∧ q) ∨ q ≡ (aplicando-se a Lei de Morgan)~p ∨ ~q ∨ q ≡ (aplicando-se lei complementar, ~q ∨ q é uma

tautologia)~p ∨ V ≡ (pela lei da identidade ~p ∨ V é um tautologia)V Portanto, está provado que p ∧ q ⇒ q é uma tautologia

(B) Regra da adição: p ⇒ p ∨ q(C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p(D) Regra de Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q(E) Regra de Modus Tollens: (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p

03. Usando as regras de equivalência, mostre a seguinte tautologia: (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q)

Respostas

01.(A) p → q ∧ r ⇔ (p → q) ∧ (p → r) p → q ∧ r ⇔ ~p ∨ (q ∧ r) ⇔ (reescrita da condicional) (~p ∨ q) ∧ (~p ∨ r) ⇔ (distributiva) (p → q) ∧ (p → r) (reescrita da condicional)

(B) p → q ∨ r ⇔ (p → q) ∨ (p → r) p → q ∨ r ⇔ ~p ∨ (q ∨ r) ⇔ (reescrita da condicional) ~p ∨ q ∨ r ⇔ (associativa) ~p ∨ ~p ∨ q ∨ r ⇔ (idempotente, adicionei um ~p,

pois ~p ∨ ~p ⇔ ~p) (~p ∨ q) ∨ (~p ∨ r) ⇔ (associativa) (p → q) ∨ (p → r) (reescrita da condicional)

(C) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) p ∧ (r ∨ s ∨ t) ⇔ p ∧ (r ∨ (s ∨ t)) ⇔ (associativa em s ∨ t ) (p ∧ r) ∨ (p ∧ (s ∨ t)) ⇔ (distributiva) (p ∧ r) ∨ (p ∧ s) ∨ (p ∧ t) (distributiva)

(D) p ∧ q → r ⇔ p → (q → r) p ∧ q → r ⇔ ~(p ∧ q) ∨ r ⇔ (reescrita da condicional) ~p ∨ ~q ∨ r ⇔ (De Morgan) ~p ∨ (~q ∨ r) ⇔ (associativa) ~p ∨ (q → r) ⇔ (reescrita da condicional) p → (q → r) (reescrita da condicional)

(E) ~(~p → ~q) ⇔ ~p ∧ q ~(~p → ~q) ⇔ ~(~~p ∨ ~q) ⇔ (reescrita da condicional) ~(p ∨ ~q) ⇔ (dupla negação) ~p ∧ ~~q ⇔ (De Morgan) ~p ∧ q (dupla negação)

02.(B) Regra da adição: p ⇒ p ∨ q p → p ∨ q ⇔ V (devemos demonstrar que a relação de

implicação equivale a uma tautologia) ~p ∨ (p ∨ q) ⇔ (condicional) ~p ∨ p ∨ q ⇔ (associativa) V ∨ q ⇔ (complementares ~p ∨ p) V (identidade)

(C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p ∨ q) ∧ ~q ⇒ p (p ∨ q) ∧ ~q → p ⇔ V (devemos demonstrar que a relação

de implicação equivale a uma tautologia) (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~q) → p ⇔ (distributiva) (p ∧ ~q) ∨ F → p ⇔ (complementares) (p ∧ ~q) → p ⇔ (identidade) ~(p ∧ ~q) ∨ p ⇔ (condicional) ~p ∨ ~q ∨ p ⇔ (De Morgan) (~p ∨ p) ∨ ~q ⇔ (associativa) V ∨ ~q ⇔ (complementares) V (identidade)

(D) Regra de Modus Ponens: (p → q) ∧ p ⇒ q (p → q) ∧ p → q ⇔ V (devemos demonstrar que a relação

de implicação equivale a uma tautologia) (~p ∨ q) ∧ q → q ⇔ (condicional) (q ∧ ~p) ∨ (q ∧ q) → q ⇔ (distributiva) (q ∧ ~p) ∨ q → q ⇔ (idempotente) ~((q ∧ ~p) ∨ q) ∨ q ⇔ (condicional) (~(q ∧ ~p) ∧ ~q) ∨ q ⇔ (De Morgan) ((~q ∨ p) ∧ ~q) ∨ q ⇔ (De Morgan) (~q ∧ ~q) ∨ (~q ∧ p) ∨ q ⇔ (distributiva) ~q ∨ (~q ∧ p) ∨ q ⇔ (idempotente) (~q ∨ q) ∨ (~q ∧ p) ⇔ (associativa) V ∨ (~q ∧ p) ⇔ (complementares) V (identidade)

(E) Regra de Modus Tollens: (p → q) ∧ ~q ⇒ ~p (p → q) ∧ ~q → ~p ⇔ V (devemos demonstrar que a

relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p ∨ q) ∧ ~q → ~p ⇔ (De Morgan) (~q ∧ ~p) ∨ (~q ∧ q) → ~p ⇔ (Distributiva) (~q ∧ ~p) ∨ F → ~p ⇔ (Complementares) (~q ∧ ~p) → ~p ⇔ (Identidade) ~(~q ∧ ~p) ∨ ~p ⇔ (condicional) ~~q ∨ ~~p ∨ ~p ⇔ (De Morgan) q ∨ p ∨ ~p ⇔ (Dupla Negação) q ∨ V ⇔ (complementares) V


RACIOCÍNIO LÓGICO

03. Mostraremos que (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) é uma tautologia, de fato:

Ordem Proposição1 (p → q) → r ⇔2 ⇔(~p ∨ q) → r ⇔3 ⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔4 ⇔ r ∨ ~(~p ∨ q)5 r ∨ (p ∧ ~q)

Lei De Morgan

As leis de De Morgan definem regras usadas para converter operações lógicas OU em E e vice versa. Sendo X, Y {0,1} e as operações em {0,1} sendo +, . e -, assim definidas:

Operação lógica Símbolo Exemplos

Ou +

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1

E .

0 . 0 = 00 . 1 = 01 . 0 = 01 . 1 = 1

Não - = 1 = 0

Da autoria do ilustre matemático inglês Augustus De Morgan (1806-1871), podemos separá-las em Primeiras Leis de Morgan e Segundas Leis de Morgan. As primeiras podem ser indicadas de várias formas, dependendo do contexto a estudar. Podemos utilizá-las em operações lógicas sobre proposições ou em operações sobre conjuntos.

Primeiras Leis de Morgan: Sendo p e q duas proposições e ~, ∧ e ∧, respetivamente, os símbolos das operações lógicas negação, conjunção e disjunção, as Primeiras Leis de Morgan podem ser apresentadas simbolicamente por:

1. ~(p ∧ q) = ~p ∧ ~q cujo significado é:“negar a simultaneidade de p e q é afirmar pelo menos não p

ou não q”.

2. ~(p ∧ q) = ~p ∧ ~q cujo significado é:“negar a ocorrência de pelo menos p ou q é afirmar nem p

nem q”.

Mas, se considerarmos A e B dois conjuntos e , respectivamente, os símbolos da interseção, reunião, complementar de A e complementar de B, as Primeiras Leis de Morgan podem ser apresentadas simbolicamente por: cujo significado é: “o complementar da interseção de dois conjuntos é igual à reunião dos complementares dos conjuntos iniciais”

cujo significado é: “o complementar da reunião de dois conjuntos é igual à interseção dos complementares dos conjuntos iniciais”.

Segundas Leis de Morgan: As Segundas Leis de Morgan permitem-nos efetuar a negação de proposições com quantificadores (universais e existenciais). Dada a expressão proposicional (ou condição) p(x), em que x ∈ A, conjunto de números reais, a expressão ∀x ∈ A: p (x) lê-se: “para todo o elemento de A, verifica-se p”, ou seja, qualquer que seja o valor de A pelo qual substituímos x, p(x) transforma-se numa proposição verdadeira. Por outro lado, a expressão ∃x ∈ A: p(x) lê-se: “existe pelo menos um elemento de A que verifica p”, ou seja, significa que existe pelo menos um valor da variável x, para a qual a p(x) se transforma numa proposição verdadeira.

Neguemos ambas:

As negações destas duas proposições constituem então as Segundas Leis de Morgan.

As leis: Considere X e Y como variáveis booleanas ou proposições cuja resposta seja {Sim, Não} ou {Verdadeiro, Falso} ou ainda {0,1}. Seguem as leis de De Morgan conforme algumas notações possíveis:

Lógica Proposicional

Lógica Booleana

Textual

Não (X E Y) = Não (X) Ou Não (Y)Não (X Ou Y) = Não (X) E Não (Y)

Generalização: A ideia é que ao “aplicar” a barra (operador Não) sobre uma outra operação, esta muda seu sinal, restando uma barra para cada membro da operação. Exemplos:

Prova: Se de fato, então:

a)

Primeiro usamos a propriedade distributiva do operador (+), depois a propriedade comutativo (passo não mostrado), então vemos a soma de elementos complementares.


RACIOCÍNIO LÓGICO

b)

Primeiro usamos a propriedade distributiva do operador (.), depois usamos a propriedade de comutatividade (esse passo não foi mostrado), então usamos a propriedade de elementos complementares .

QUESTÕES

01. Numa pesquisa sobre audiência de TV entre 125 entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao canal X, 40 ao canal Y, 15 ao canal Z, 25 assistem a X e Y, 8 a Y e Z, 3 a X e Z e 1 assiste aos três.

(A) Quantos não assistem a nenhum desses canais?(B) Quantos assistem somente ao canal X?

02. Prove a seguinte Lei de De Morgan: x + y = xy.

03. Demonstre as Leis de Morgan:(A) ~(p ∧ q ∧ r) ↔ ~p ∨ ~q ∨ ~r(B) ~(p ∨ q ∨ r) ↔ ~p ∧ ~q ∧ ~r

Respostas

01.

(A) Assim, (A B C) ∧ C = ?X= 60XY= 25 - 1 = 24X e Y = 3 - 1 = 2X, Y e Z= 1 → X, Y e Z = 1

Da teoria dos conjuntos, temos:n(X Y Z) = n(X) + n(Y) + n(Z) - n(X Y) - n(X Z) -

n(Y Z) + n(X Y Z)n(X Y Z) = 60 + 40 + 15 - 25 - 3 - 8 + 1n(X Y Z) = 116 – 36n(X Y Z) = 80, então: como n(X Y Z) = 125, vem

que:125 - 80 = 45 não assistem nenhum desses canais.

(B) 60 - (25 - 1) + (3 -1) + 1 = 60 - 27 = 33

02. Podemos demonstrar a Lei de De Morgan por indução completa ou algebricamente.

Tabela de verdade onde se demonstra a Segunda Lei de De Morgan:

0 00 11 01 1

0111

1000

1100

1010

1000

Para a demonstração algébrica vamos ter de nos socorrer dos axiomas e de outros teoremas da álgebra de Boole Binária. Para tanto, consideremos:

(A2a)= 0 + 0 (A4a T2a)

Por outro lado, consideremos:

(A1b) (A2b)

Sendo assim, x + y e xy satisfazem os axiomas A4a e A4b, pelo que x + y deverá ser o (único) complemento de xy, e vice-versa. E então possível escrever e, por dualidade, x . y = x + y.

03.(A) ~(p ∨ q ∨ r) ↔ ~p ∨ ~q ∨ ~r~(p ∨ (q ∨ r)) ↔ (Associativa)~p ∨ ~(q ∨ r) ↔ (De Morgan)~p ∨ ~q ∨ ~r (De Morgan)

(B) ~(p ∨ q ∨ r) ↔ ~p ∨ ~q ∨ ~r~(p ∨ (q ∨ r)) ↔ (Associativa)~p ∨ ~(q ∨ r) ↔ (De Morgan)~p ∨ ~q ∨ ~r (De Morgan)

Diagramas Lógicos

Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica.

Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando-se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elementos tem a intersecção e depois completaremos os outros espaços.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas.

a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas.b) Dirigem somente carros 33 motoristas.c) Dirigem somente motos 8 motoristas.

No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela:

Jornais LeitoresA 300B 250C 200

A e B 70A e C 65B e C 105

A, B e C 40Nenhum 150

Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individualmente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa.

Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais.

Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos.Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos.Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos.Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos.Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos.Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos.

Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos:

Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas leem apenas o jornal A. Verificamos que 500 pessoas não leem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150.

Diagrama de Euler

Um diagrama de Euler é similar a um diagrama de Venn, mas não precisa conter todas as zonas (onde uma zona é definida como a área de intersecção entre dois ou mais contornos). Assim, um diagrama de Euler pode definir um universo de discurso, isto é, ele pode definir um sistema no qual certas intersecções não são possíveis ou consideradas. Assim, um diagrama de Venn contendo os atributos para Animal, Mineral e quatro patas teria que conter intersecções onde alguns estão em ambos animal, mineral e de quatro patas. Um diagrama de Venn, consequentemente, mostra todas as possíveis combinações ou conjunções.

Diagramas de Euler consistem em curvas simples fechadas (geralmente círculos) no plano que mostra os conjuntos. Os tamanhos e formas das curvas não são importantes: a significância do diagrama está na forma como eles se sobrepõem. As relações espaciais entre as regiões delimitadas por cada curva (sobreposição, contenção ou nenhuma) correspondem relações teóricas (subconjunto interseção e disjunção). Cada curva de Euler divide o plano em duas regiões ou zonas estão: o interior, que


RACIOCÍNIO LÓGICO

representa simbolicamente os elementos do conjunto, e o exterior, o que representa todos os elementos que não são membros do conjunto. Curvas cujos interiores não se cruzam representam conjuntos disjuntos. Duas curvas cujos interiores se interceptam representam conjuntos que têm elementos comuns, a zona dentro de ambas as curvas representa o conjunto de elementos comuns a ambos os conjuntos (intersecção dos conjuntos). Uma curva que está contido completamente dentro da zona interior de outro representa um subconjunto do mesmo.

Os Diagramas de Venn são uma forma mais restritiva de diagramas de Euler. Um diagrama de Venn deve conter todas as possíveis zonas de sobreposição entre as suas curvas, representando todas as combinações de inclusão / exclusão de seus conjuntos constituintes, mas em um diagrama de Euler algumas zonas podem estar faltando. Essa falta foi o que motivou Venn a desenvolver seus diagramas. Existia a necessidade de criar diagramas em que pudessem ser observadas, por meio de suposição, quaisquer relações entre as zonas não apenas as que são “verdadeiras”.

Os diagramas de Euler (em conjunto com os de Venn) são largamente utilizados para ensinar a teoria dos conjuntos no campo da matemática ou lógica matemática no campo da lógica. Eles também podem ser utilizados para representar relacionamentos complexos com mais clareza, já que representa apenas as relações válidas. Em estudos mais aplicados esses diagramas podem ser utilizados para provar / analisar silogismos que são argumentos lógicos para que se possa deduzir uma conclusão.

Diagramas de Venn

Designa-se por diagramas de Venn os diagramas usados em matemática para simbolizar graficamente propriedades, axiomas e problemas relativos aos conjuntos e sua teoria. Os respectivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos (por exemplo, 4 ∉ {3,4,5}, mas 4 ∉ {1,2,3,12}) e relações de continência (inclusão) entre os conjuntos (por exemplo, {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}). Assim, duas curvas que não se tocam e estão uma no espaço interno da outra simbolizam conjuntos que possuem continência; ao passo que o ponto interno a uma curva representa um elemento pertencente ao conjunto.

Os diagramas de Venn são construídos com coleções de curvas fechadas contidas em um plano. O interior dessas curvas representa, simbolicamente, a coleção de elementos do conjunto. De acordo com Clarence Irving Lewis, o “princípio desses diagramas é que classes (ou conjuntos) sejam representadas por regiões, com tal relação entre si que todas as relações lógicas possíveis entre as classes possam ser indicadas no mesmo diagrama. Isto é, o diagrama deixa espaço para qualquer relação possível entre as classes, e a relação dada ou existente pode então ser definida indicando se alguma região em específico é vazia ou não-vazia”. Pode-se escrever uma definição mais formal do seguinte modo: Seja C = (C1, C2, ... Cn) uma coleção de curvas fechadas simples desenhadas em um plano. C é uma família independente se a região formada por cada uma das interseções X1 X2 ... Xn, onde cada Xi é o interior ou o exterior de Ci, é não-vazia, em outras palavras, se todas as curvas se intersectam de todas as maneiras possíveis. Se, além disso, cada uma dessas regiões é conexa e há apenas um número finito de pontos de interseção entre as curvas, então C é um diagrama de Venn para n conjuntos.

Nos casos mais simples, os diagramas são representados por círculos que se encobrem parcialmente. As partes referidas em um enunciado específico são marcadas com uma cor diferente. Eventualmente, os círculos são representados como completamente inseridos dentro de um retângulo, que representa o conjunto universo daquele particular contexto (já se buscou a existência de um conjunto universo que pudesse abranger todos os conjuntos possíveis, mas Bertrand Russell mostrou que tal tarefa era impossível). A ideia de conjunto universo é normalmente atribuída a Lewis Carroll. Do mesmo modo, espaços internos comuns a dois ou mais conjuntos representam a sua intersecção, ao passo que a totalidade dos espaços pertencentes a um ou outro conjunto indistintamente representa sua união.

John Venn desenvolveu os diagramas no século XIX, ampliando e formalizando desenvolvimentos anteriores de Leibniz e Euler. E, na década de 1960, eles foram incorporados ao currículo escolar de matemática. Embora seja simples construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh.

Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponha-se que o conjunto A representa os animais bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras.

Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo B, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis pernas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos.

Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro):

- Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem sobreposição).

- Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem sobreposição).

- Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição).- Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco

- fora).


RACIOCÍNIO LÓGICO

Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama:

Diferença de A para B: A\B

Diferença de B para A: B\A

Intersecção de dois conjuntos: AB

Complementar de dois conjuntos: U \ (AB)

Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos.

União de dois conjuntos: A B

Diferença Simétrica de dois conjuntos: A B

Complementar de A em U: AC = U \ A

Complementar de B em U: BC = U \ B

Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes.

Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C.

União de três conjuntos: A B C

Intersecção de três conjuntos: A B C


RACIOCÍNIO LÓGICO

A \ (B C)

(B C) \ A

Proposições Categóricas

- Todo A é B- Nenhum A é B- Algum A é B e- Algum A não é B

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.

Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B.

Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A. Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.

- Todo A é B = Todo A não é não B.- Algum A é B = Algum A não é não B.- Nenhum A é B = Nenhum A não é não B.- Todo A é não B = Todo A não é B. - Algum A é não B = Algum A não é B.- Nenhum A é não B = Nenhum A não é B.- Nenhum A é B = Todo A é não B.- Todo A é B = Nenhum A é não B.- A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa).- A negação de Algum A é B é Nenhum A não é B (e vice-

versa).

Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas

Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B, pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

A

B

A = B

1 2

Nenhum A é B. É falsa. Algum A é B. É verdadeira.Algum A não é B. É falsa.

2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

BA

Todo A é B. É falsa.Algum A é B. É falsa.Algum A não é B. É verdadeira.

3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:

Nenhum A é B. É falsa.Todo A é B. Pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).Algum A não é B. Pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em

3 e 4) – é indeterminada.


RACIOCÍNIO LÓGICO

4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

BA3

Todo A é B. É falsa.Nenhum A é B. Pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e

2 – é indeterminada).Algum A é B. Ou falsa (em 3) ou pode ser verdadeira (em 1 e

2 – é indeterminada).

QUESTÕES

01. Represente por diagrama de Venn-Euler (A) Algum A é B(B) Algum A não é B(C) Todo A é B(D) Nenhum A é B

02. (Especialista em Políticas Públicas Bahia - FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

(A) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(B) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

(C) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

(D) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

(E) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

03. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos. Quantos músicos desta Filarmônica tocam:

(A) instrumentos de sopro ou de corda?(B) somente um dos dois tipos de instrumento?(C) instrumentos diferentes dos dois citados?

04. (TTN - ESAF) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que:

(A) algum A não é G; (B) algum A é G. (C) nenhum A é G;(D) algum G é A;(E) nenhum G é A;

05. Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é:

(A) 30. (B) 35. (C) 37. (D) 42. (E) 44.

06. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre:

- 20 alunos praticam vôlei e basquete.- 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete.- 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei.- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao

número de alunos que praticam só vôlei.- 17 alunos praticam futebol e vôlei.- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não

praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:

(A) 93(B) 110(C) 103(D) 99(E) 114

07. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas?

(A) 220(B) 240(C) 280(D) 300(E) 340

08. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C?

(A) 1.430(B) 1.450(C) 1.500(D) 1.520(E) 1.600

09. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O?

(A) 50(B) 52(C) 59(D) 63(E) 65


RACIOCÍNIO LÓGICO

10. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60% leem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que leem ambos os jornais.

(A) 40%(B) 45%(C) 50%(D) 60%(E) 65%

Respostas

01. (A)

(B)

(C)

(D)


A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa. A opção “B” é perfeitamente correta. Percebam como todos os elementos do diagrama “livro” estão inseridos no diagrama “instrutivo”. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

03. Seja C o conjunto dos músicos que tocam instrumentos de corda e S dos que tocam instrumentos de sopro. Chamemos de F o conjunto dos músicos da Filarmônica. Ao resolver este tipo de problema faça o diagrama, assim você poderá visualizar o problema e sempre comece a preencher os dados de dentro para fora.

Passo 1: 60 tocam os dois instumentos, portanto, após fazermos o diagrama, este número vai no meio.

Passo 2: a)160 tocam instrumentos de corda. Já temos 60. Os que só

tocam corda são, portanto 160 - 60 = 100b) 240 tocam instrumento de sopro. 240 - 60 = 180

Vamos ao diagrama, preenchemos os dados obtidos acima:

100 18060

Com o diagrama completamente preenchido, fica fácil achara as respostas: Quantos músicos desta Filarmônica tocam:

a) instrumentos de sopro ou de corda? Pelos dados do problema: 100 + 60 + 180 = 340

b) somente um dos dois tipos de instrumento? 100 + 180 = 280

c) instrumentos diferentes dos dois citados? 500 - 340 = 160

04. Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas:

- Alguns A são R- Nenhum G é R

Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta. Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos separados, sem nenhum ponto em comum.

Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.

Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações. Para facilitar a solução da questão não faremos todas as representações gráficas possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão, desenhamos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as alternativas que foram verdadeiras. Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção entre eles.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Teste das alternativas:Teste da alternativa “A” (algum A não é G). Observando os

desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão em G. Passemos para o teste da próxima alternativa.

Teste da alternativa “B” (algum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a direita, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que não estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “D” não é correta. Passemos para a próxima.

Teste da alternativa “C” (Nenhum A é G). Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a esquerda, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “E” não é correta. Portanto, a resposta é a alternativa “A”.

05. Resposta “E”.

n = 20 + 7 + 8 + 9 n = 44

06. Resposta “D”.

n(FeB) = 45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV) = 15n(FeV) = 17 com n(FeBeV) = 15 → n(FeV - B) = 2n(F) = n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) + n(FeBeV) 60 = n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F) = 13

n(sóF) = n(sóV) = 13n(B) = n(só B) + n(BeV) + n(BeF-V) → n(só B) = 65 - 20 –

30 = 15n(nem F nem B nem V) = n(nem F nem V) - n(solo B) = 21-

15 = 6

Total = n(B) + n(só F) + n(só V) + n(Fe V - B) + n(nemF nemB nemV) = 65 + 13 + 13 + 2 + 6 = 99.

07. Resposta “E”.

80 20 130

A B

110+

Começamos resolvendo pelo que é comum: 20 alunos gostam de ler os dois.

Leem somente A: 100 – 20 = 80Leem somente B: 150 – 20 = 130Totaliza: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas.


1200 320 480

A B

Somente B: 800 – 320 = 480Usam A = total – somente B = 2000 – 480 = 1520.


A B

26 14 21 59+

Começa-se resolvendo pelo AB, então somente A = 40 – 14 = 26 e somente B = 35 – 14 = 21.

Somando-se A, B e AB têm-se 61, então o O são 120 – 61 = 59 pessoas.

10. Resposta “A”.- Jornal A → 0,8 – x- Jornal B → 0,6 – x- Intersecção → x

Então fica:

(0,8 - x) + (0,6 - x) + x = 1- x + 1,4 = 1- x = - 0,4x = 0,4.

Resposta “40% dos alunos leem ambos os jornais”.


RACIOCÍNIO LÓGICO

4 LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM.

O cálculo proposicional possui limitações com respeito a codificação de sentenças declarativas. De fato, o cálculo proposicional manipula de forma satisfatória componentes das sentenças como não, e, ou, se ... então, mas certos aspectos lógicos que aparecem em linguagens naturais ou artificiais são muito mais ricos. Por exemplo, como expressar coisas do tipo: “Existe...” e “Para todo...” na lógica proposicional?

Exemplo: Considere a seguinte sentença declarativa: Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor. Na lógica proposicional podemos identificar esta sentença com uma variável proposicional p. No entanto, esta codificação não reflete os detalhes da estrutura lógica desta sentença. De que trata esta sentença?

- Ser um estudante.- Ser um instrutor.- Ser mais jovem do que alguém.

Para expressar estas propriedades utilizaremos predicados. Por exemplo, podemos escrever estudante (ana) para denotar que Ana é uma estudante. Da mesma forma podemos escrever instrutor (marcos) para denotar que Marcos é um instrutor. Por fim, podemos escrever jovem (ana, marcos) para denotar que Ana é mais jovem do que Marcos. Nestes exemplos, estudante, instrutor e jovem são exemplos de predicados. Ainda precisamos codificar as noções de “todo” e “algum”. Para isto introduziremos o conceito de variável. Variáveis serão denotadas por letras latinas minúsculas do final do alfabeto: u, v, w, x, y, z (possivelmente acrescidas de sub-índices x1, x2, ...). Variáveis devem ser pensadas como “lugares vazios” que podem ser preenchidos (ou instanciados) por elementos concretos, como João, Maria, etc. Utilizando variáveis podemos especificar o significado dos predicados estudante, instrutor e jovem de uma maneira mais formal:

- estudante (x): x é um estudante.- instrutor (x): x é um instrutor.- jovem (x, y): x é mais jovem do que y.

Note que o nome das variáveis não é importante. É equivalente a:- estudante (x): x é um estudante.- estudante(y): y é um estudante.

Para que possamos finalmente expressar em detalhes a sentença apresentada no exemplo precisamos codificar o significado de Todo e algum em Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor. Os quantificadores e fazem este trabalho:

: significa para todo;: significa existe.

Os quantificadores e estão sempre ligados a alguma variável:x: para todo x;x: existe um x (ou existe algum x).

Agora podemos finalmente codificar a sentença: Todo estudante é mais jovem do que algum instrutor. Da seguinte forma:

x (estudante (x) → ( y (instrutor (y) Λ jovem (x, y))))

Note que predicados diferentes podem ter um número distinto de argumentos: os predicados estudante e instrutor admitem apenas um argumento e por isto são chamados de predicados unários, enquanto que o predicado jovem admite dois argumentos, e portanto é um predicado binário. O número de argumentos de um predicado é chamado sua aridade. Assim, os predicados unários têm aridade 1, enquanto que os predicados binários têm aridade 2, etc. No cálculo de predicados são permitidos predicados com qualquer aridade finita.

Exemplo: Considere a sentença: Nem todos os pássaros podem voar. Escolhemos os seguintes predicados para expressar esta sentença:

- pássaro(x): x é um pássaro.- voar (x): x pode voar.

Esta sentença pode ser codificada da seguinte forma:

¬(x (pássaro (x) → voar(x)))

Exemplo: Uma outra maneira de expressar a mesma ideia da sentença anterior é dizer que: Existem alguns pássaros que não podem voar. Esta última sentença pode ser codificada da seguinte maneira:

x (pássaro (x) Λ ¬voar(x))

Posteriormente veremos que as duas codificações dadas são semanticamente equivalentes. De fato, existem transformações que convertem uma na outra.

O vocabulário da lógica de primeira ordem consiste de três conjuntos:

- Um conjunto P de símbolos de predicado;- Um conjunto F de símbolos de função;- Um conjunto C de constantes.

Onde cada símbolo de predicado e de função vem com sua aridade bem definida. Os predicados são casos especiais de função: enquanto as funções possuem contradomínio qualquer, os predicados têm contradomínio sempre igual a {V,F}. As constantes são funções de aridade 0.

Termos são definidos da seguinte forma:- Qualquer variável é um termo;- Se c F é uma função de aridade 0 então c é um termo;- Se t1, ... , tn são termos e f F é uma função de aridade n > 0

então f (t1, ... , tn) é um termo.- Nada mais é termo.

Em BNF (Backus Naur form) temos:

t :: = x | c | f (t, ... , t)

Onde x percorre o conjunto de variáveis V, c percorre os símbolos de função de aridade 0 de F e f percorre os elementos de aridade maior do que 0 de F.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo: Suponha que n, f e g são símbolos de função de aridade respectivamente igual a 0, 1 e 2. Então g (f (n), n) e f (g (n, f (n))) são termos, mas g(n) e f (f (n), n) não são termos por violarem as aridades dos símbolos. A escolha dos conjuntos P e F para símbolos de predicado e de função é definida a partir do que se pretende descrever.

Definimos o conjunto de fórmulas sobre o conjunto S = (F, P) indutivamente da seguinte forma:

- Se p P é um símbolo de predicado de aridade n > 0, e se t1, ... , tn são termos sobre F então p (t1, .... , tn) é uma fórmula.

- Se Φ é uma fórmula então (¬Φ) é também uma fórmula.- Se Φ e ψ são fórmulas então (Φ Λ ψ), (Φ V ψ), (Φ → ψ) e (Φ

↔ ψ) são fórmulas.- Se Φ é uma fórmula e x é uma variável então ( xΦ) e ( xΦ)

também são fórmulas.- Nada mais é fórmula.

Em BNF temos:

Φ :: = p (t1, ... , tn) | (¬Φ) | (Φ Λ Φ) | (Φ V Φ) | (Φ → Φ) | (Φ ↔ ψ) | (( xΦ) | (( xΦ)

Onde p é um símbolo de predicado de aridade n > 0, ti são termos sobre F e x é uma variável.

Adotaremos a seguinte prioridade de operadores:1. ¬, , ;2. Λ, V;3. →, ↔.

Exemplo: Considere a seguinte sentença: Todo filho de meu pai é meu irmão. Podemos codificar esta fórmula de pelo menos duas formas distintas:

1. Representando a noção de “pai” como predicado: Neste caso escolhemos três predicados: filho, pai e irmão com os seguintes significados e aridades:

- filho (x, y): x é filho de y.- pai (x, y): x é pai de y.- irmão (x, y): x é irmão de y.

Uma possível codificação para a sentença dada utilizando estes predicados é:

x y (pai (x, João) Λ filho (y, x) → irmão (y, João))

Dizendo que: “para todo x e todo y, se x é o pai de João e se y é um filho de x então y é um irmão de João”. Representando a noção de “pai” como função, que chamaremos de f: Neste caso, f(x) retorna o pai de x. Note que isto funciona apenas porque o pai de uma dado x é único e está sempre definido, e portanto f é realmente uma função. Uma possível codificação para esta sentença é dada por:

x (filho (x, f(João) → irmão (y, João))

Significando que “para todo x, se x é um filho do pai de João então x é um irmão de João. Esta codificação é menos complexa que a anterior porque envolve apenas um quantificador.

Especificações formais em geral exigem um domínio de conhecimento. Muitas vezes este conhecimento não está explicitado no domínio. Sendo assim, um especificador pode desconsiderar restrições importantes para um modelo ou implementação. Por exemplo, as codificações dadas no exemplo anterior podem parecer corretas, mas e se x for igual a João? Se o domínio de relações de parentesco não é um conhecimento comum o especificador pode não notar que uma pessoa não pode ser irmão dela mesma.

A abrangência de x (respectivamente, x) em xΦ (respectivamente, xΦ) é Φ. Uma ocorrência de uma variável ligada numa fórmula, é uma ocorrência de uma variável x, dentro do campo de abrangência de um quantificador x ou x. Uma ocorrência de uma variável livre é uma ocorrência de uma variável x não ligada.

Exemplo: Na fórmula x (p(f(x), y) → q(x)), as duas ocorrências da variável x são ligadas, enquanto a ocorrência da variável y é livre. Na fórmula x p(f(x), y) → q(x) a primeira ocorrência da variável x é ligada, no entanto a segunda é livre.

Dada uma variável x, um termo t e uma fórmula Φ, definimos Φ [x/t] como sendo a fórmula obtida após substituir cada ocorrência livre de x em Φ por t.

Exemplo: Considere novamente a fórmula x ((p(x) → q(x)) Λ s(x, y)), que chamaremos simplesmente de Φ. Temos que Φ [x/f(x, y)] = Φ. De fato, todas as ocorrências de x em Φ são ligadas, e portanto a substituição [x/f(x, y)] não tem nenhum efeito sobre esta fórmula.

Exemplo: Agora considere a fórmula ( x (p(x) Λ q(x))) → (¬p(x) V q(y)) que chamaremos simplesmente de ψ. Neste caso temos uma ocorrência livre de x e, portanto [x/f(x, y)] é igual a (

x (p(x) Λ q(x))) → (¬p(f(x, y)) V q(y)). As substituições podem produzir efeitos colaterais indesejados: Considere o termo f(x, y) e a fórmula y (p(x, y)). Então ( y (p(x, y))) [x/f(x, y)] resulta na fórmula ( y (p(f(x, y), y))) se fizermos uma substituição “ingênua”. Observe que o termo resultante possui uma semântica diferente da esperada porque a variável y do termo f(x, y) não corresponde a variável y quantificada universalmente na fórmula dada. Como resolver este problema?

Dados um termo t, uma variável x e uma fórmula Φ, dizemos que t é livre para x em Φ se nenhuma ocorrência livre de x em Φ está no escopo de ( y ou y para qualquer variável y que ocorra em t.

Exemplo: Considere a fórmula s(x) Λ y (p(x) → q(y)), que possui duas ocorrências livres de x. A ocorrência de x mais a esquerda poderia, por exemplo, ser substituída pelo termo f(y, y), no entanto a outra ocorrência não poderia ser substituída por este termo porque tal substituição acarretaria captura da variável y. Quando precisamos realizar uma substituição de um termo t que não está livre para uma variável x em uma fórmula Φ, o que fazemos é renomear as variáveis ligadas para evitar capturas:

Exemplo: No caso do exemplo anterior, a substituição de x por f(y, y) em s(x) Λ y (p(x) → q(y)) pode ser resolvida renomeando a variável ligada y da fórmula para algum nome novo, por exemplo

: s(x) Λ (p(x) → q( )). Agora a substituição pode ser realizada sem provocar captura de variáveis.


RACIOCÍNIO LÓGICO

O ingrediente novo da lógica de primeira ordem não encontrado na lógica proposicional é a quantificação: dada uma sentença Φ qualquer, as novas construções xΦ e xΦ - leia “para todo x, Φ” e “para algum x, Φ”, respectivamente são introduzidas. xΦ significa que Φ é verdadeiro para todo valor de x e xΦ significa que há pelo menos um x tal que Φ é verdadeiro. Os valores das variáveis são tirados de um universo de discurso pré-determinado. Um refinamento da lógica de primeira ordem permite variáveis de diferentes tipos, para tratar de diferentes classes de objetos.

A lógica de primeira ordem tem poder expressivo suficiente para formalizar praticamente toda a matemática. Uma teoria de primeira ordem consiste em um conjunto de axiomas (geralmente finitos ou recursivamente enumerável) e de sentenças dedutíveis a partir deles. A teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel é um exemplo de uma teoria de primeira ordem, e aceita-se geralmente que toda a matemática clássica possa ser formalizada nela. Há outras teorias que são normalmente formalizadas na lógica de primeira ordem de maneira independente (embora elas admitam a implementação na teoria dos conjuntos) tais como a aritmética de Peano. Um cálculo de predicados consiste em:

- regras de formação (definições recursivas para dar origem a fórmulas bem-formadas ou FBFs).

- regras de transformação (regras de inferência para derivar teoremas).

- axiomas.

Os axiomas considerados aqui são os axiomas lógicos que fazem parte do cálculo de predicados. Além disso, os axiomas não-lógicos são adicionados em teorias de primeira ordem específicas: estes não são considerados como verdades da lógica, mas como verdades da teoria particular sob consideração. Quando o conjunto dos axiomas é infinito, requer-se que haja um algoritmo que possa decidir para uma fórmula bem-formada dada, se ela é um axioma ou não. Deve também haver um algoritmo que possa decidir se uma aplicação dada de uma regra de inferência está correta ou não. É importante notar que o cálculo de predicados pode ser formalizado de muitas maneiras equivalentes; não há nada canônico sobre os axiomas e as regras de inferência propostos aqui, mas toda a formalização dará origem aos mesmos teoremas da lógica (e deduzirá os mesmos teoremas a partir de um conjunto qualquer de axiomas não-lógicos).

Alfabeto

O alfabeto de 1ª ordem, Σ, tem a seguinte constituição:Σ = X ΣC ΣF ΣR ΣL ΣP, onde

X = {x, y, z, x1, x2, ..., y1, y2, ..., z1, z2, ...} é um conjunto enumerável de variáveis;

ΣC = {a, b, c, a1, a2, ..., b1, b2, ..., c1, c2, ...} é um conjunto de símbolos chamados de constantes;

ΣF = {F1, F2, ...} é um conjunto de símbolos ditos sinais funcionais;

ΣR = {R1, R2, ...} é um conjunto de símbolos ditos sinais relacionais ou predicativos;

ΣL = {¬, Λ, V, →, ↔, , } é o conjunto de símbolos ditos sinais lógicos;

ΣP = {(,),,} é o conjunto de símbolos de pontuação.

As constantes, sinais funcionais e sinais predicativos constituem a coleção de sinais ditos símbolos não lógicos. Há diversas variações menores listadas abaixo:

O conjunto de símbolos primitivos (operadores e quantificadores) varia frequentemente. Alguns símbolos primitivos podem ser omitidos, substituindo-os com abreviaturas adequadas; por exemplo (p ↔ q) é uma abreviatura para (p → q) ∧ (q → p). No sentido contrário, é possível incluir outros operadores como símbolos primitivos, como as constantes de verdade ⊤ para “verdadeiro” e o ⊥ para “falso” (estes são operadores do aridade 0). O número mínimo dos símbolos primitivos necessários é um, mas se nós nos restringirmos aos operadores listados acima, seria necessário três; por exemplo, o ¬, o ∧ , e o bastariam.

Alguns livros mais velhos usam a notação Φ ⊃ ψ para Φ → ψ, ~Φ para ¬Φ, Φ & ψ para Φ ∧ ψ, e uma riqueza de notações para os quantificadores; por exemplo, xΦ pode ser escrito como (x)Φ. A igualdade é às vezes considerada como parte da lógica de primeira ordem; Neste caso, o símbolo da igualdade será incluído no alfabeto, e comportar-se-á sintaticamente como um predicado binário. Assim a LPO será chamada de lógica de primeira ordem com igualdade. As constantes são na verdade funções de aridade 0, assim seria possível e conveniente omitir constantes e usar as funções que tenham qualquer aridade. Mas é comum usar o termo “função” somente para funções de aridade 1. Na definição acima, as relações devem ter pelo menos aridade 1. É possível permitir relações de aridade 0; estas seriam consideradas variáveis proposicionais.

Há muitas convenções diferentes sobre onde pôr parênteses; por exemplo, se pode escrever x ou ( x). Às vezes se usa dois pontos ou ponto final ao invés dos parênteses para criar fórmulas não ambíguas. Uma convenção interessante, mas incomum, é a “notação polonesa”, onde se omite todos os parênteses, e escreve-se o ∧ , ∧, e assim por diante na frente de seus argumentos. A notação polonesa é compacta e elegante, mas rara e de leitura complexa. Uma observação técnica é que se houver um símbolo de função de aridade 2 que representa um par ordenado (ou símbolos de predicados de aridade 2 que representam as relações de projeção de um par ordenado) então se pode dispensar inteiramente as funções ou predicados de aridade > 2. Naturalmente o par ou as projeções necessitam satisfazer aos axiomas naturais.

Os conjuntos das constantes, das funções, e das relações compõem a assinatura e são geralmente considerados para dar forma a uma linguagem, enquanto as variáveis, os operadores lógicos, e os quantificadores são geralmente considerados para pertencer à lógica. Uma estrutura dá o significado semântico de cada símbolo da assinatura. Por exemplo, a linguagem da teoria dos grupos consiste de uma constante (elemento da identidade), de uma função de aridade 1 (inverso), de uma função de aridade 2 (produto), e de uma relação de aridade 2 (igualdade), que seria omitida pelos autores que incluem a igualdade na lógica subjacente.

Regras de Formação

As regras de formação definem os termos, fórmulas, e as variáveis livres como segue. O conjunto dos termos é definido recursivamente pelas seguintes regras:

- Qualquer constante é um termo (sem variáveis livres).- Qualquer variável é um termo (cuja única variável livre é

ela mesma).


RACIOCÍNIO LÓGICO

- Toda expressão f (t1,…, tn) de n ≥ 1 argumentos (onde cada argumento ti é um termo e f é um símbolo de função de aridade n) é um termo. Suas variáveis livres são as variáveis livres de cada um dos termos ti.

- Cláusula de fechamento: Nada mais é um termo.

O conjunto das fórmulas bem-formadas (chamadas geralmente FBFs ou apenas fórmulas) é definido recursivamente pelas seguintes regras:

- Predicados simples e complexos: se P for uma relação de aridade n ≥ 1 e os ai são os termos então P (a1, ..., an) é bem formada. Suas variáveis livres são as variáveis livres de quaisquer termos ai. Se a igualdade for considerada parte da lógica, então (a1 = a2) é bem formada. Tais fórmulas são ditas atômicas.

- Cláusula indutiva I: Se Φ for uma FBF, então ¬Φ é uma FBF. Suas variáveis livres são as variáveis livres de Φ.

- Cláusula indutiva II: Se Φ e ψ são FBFs, então (ψ ∧ Φ), (ψ V Φ), (ψ → Φ), (ψ ↔ Φ) são FBFs. Suas variáveis livres são as variáveis livres de Φ e de ψ.

- Cláusula indutiva III: Se Φ for uma FBF e x for um variável, então xΦ e xΦ são FBFs, cujas variáveis livres são as variáveis livres de Φ com exceção de x. Ocorrências de x são ditas ligadas ou mudas (por oposição a livre) em xΦ e xΦ.

- Cláusula de fechamento: Nada mais é uma FBF.

Na prática, se P for uma relação de aridade 2, nós escrevemos frequentemente “a P b” em vez de “P a b”; por exemplo, nós escrevemos 1 < 2 em vez de < (1 2). Similarmente se f for uma função de aridade 2, nós escrevemos às vezes “a f b” em vez de “f (a b)”; por exemplo, nós escrevemos 1 + 2 em vez de + (1 2). É também comum omitir alguns parênteses se isto não conduzir à ambiguidade. Às vezes é útil dizer que “P(x) vale para exatamente um x”, o que costuma ser denotado por !xP(x). Isto também pode ser expresso por x (P (x) y (P (y) → (x = y))). Exemplos: A linguagem dos grupos abelianos ordenados tem uma constante 0, uma função unária −, uma função binária +, e uma relação binária ≤. Assim:

- [0, x, y são termos atômicos];- [+ (x, y), + (x, + (y, − (z))) são termos, escritos geralmente

como x + y, x + (y + (−z))];- [= (+ (x, y), 0), ≤ (+ (x, + (y, − (z))), + (x, y)) são fórmulas

atômicas, escritas geralmente como x + y = 0, x + y - z ≤ x + y,];- [( x y ≤ (+ (x, y), z)) ∧ ( x = (+ (x, y), 0)) é uma fórmula,

escrita geralmente como ( x y (x + y ≤ z)) ∧ ( x (x + y = 0))].

Substituição: Se t é um termo e Φ(x) é uma fórmula que contém possivelmente x como uma variável livre, então Φ(t) se definido como o resultado da substituição de todas as instâncias livres de x por t, desde que nenhuma variável livre de t se torne ligada neste processo. Se alguma variável livre de t se tornar ligada, então para substituir t por x é primeiramente necessário mudar os nomes das variáveis ligadas de Φ para algo diferente das variáveis livres de t. Para ver porque esta condição é necessária, considere a fórmula Φ(x) dada por y y ≤ x (“x é máximal”). Se t for um termo sem y como variável livre, então Φ(t) diz apenas que t é maximal. Entretanto se t é y, a fórmula Φ(y) é y y ≤ y que não diz que y é máximal. O problema de que a variável livre y de t (=y) se transformou em ligada quando nós substituímos y por x em Φ(x). Assim, para construir Φ(y) nós devemos primeiramente mudar a variável ligada y de Φ para qualquer outra coisa, por exemplo a variável z, de modo que o Φ(y) seja então z z ≤ y. Esquecer desta condição é uma causa notória de erros.

Igualdade: Há diversas convenções diferentes para se usar a igualdade (ou a identidade) na lógica de primeira ordem. Esta seção resume as principais. Todas as convenções resultam mais ou menos no mesmo com mais ou menos a mesma quantidade de trabalho, e diferem principalmente na terminologia. A convenção mais comum para a igualdade é incluir o símbolo da igualdade como um símbolo lógico primitivo, e adicionar os axiomas da igualdade aos axiomas da lógica de primeira ordem. Os axiomas de igualdade são

x = xx = y → F(…, x, …) = F(…, y, …) para qualquer função Fx = y → (R(…, x, …) → R(…, y, …)) para qualquer relação

R (incluindo a própria igualdade)

A próxima convenção mais comum é incluir o símbolo da igualdade como uma das relações de uma teoria, e adicionar os axiomas da igualdade aos axiomas da teoria. Na prática isto é quase idêntico à da convenção precedente, exceto no exemplo incomum de teorias com nenhuma noção de igualdade. Os axiomas são os mesmos, e a única diferença é se eles serão chamados de axiomas lógicos ou de axiomas de teoria. Nas teorias sem funções e com um número finito de relações, é possível definir a igualdade em termos de relações, definindo os dois termos s e t como iguais se qualquer relação continuar inalterada ao se substituir s por t em qualquer argumento. Por exemplo, em teoria dos conjuntos com uma relação ∈ , nós definiríamos s = t como uma abreviatura para ∀x (s ∈ x ↔ t ∈ x) ∧ ∀x (x ∈ s ↔ x ∈ t). Esta definição de igualdade satisfaz automaticamente os axiomas da igualdade. Em algumas teorias é possível dar definições de igualdade ad hoc. Por exemplo, em uma teoria de ordens parciais com uma relação ≤ nós poderíamos definir s = t como uma abreviatura para s ≤ t ∧ t ≤ s.

Regras de Inferência

A regra de inferência modus ponens é a única necessária para a lógica proposicional de acordo com a formalização proposta aqui. Ela diz que se Φ e Φ → ψ são ambos demonstrados, então pode-se deduzir ψ. A regra de inferência chamada Generalização Universal é característica da lógica de primeira ordem:

Se ╞ Φ, então ╞ xΦ

onde se supõe que Φ é um teorema já demonstrado da lógica de primeira ordem. Observe que a Generalização é análoga à regra da necessitação da lógica modal, que é:

Se ╞ P, então ╞ xP

Limitações: Apesar da Lógica de Primeira Ordem ser suficiente para formalizar uma grande parte da matemática, e também ser comumente usada em Ciência da Computação e outras áreas, ela tem as suas limitações. Suas limitações incluem limitações em sua expressividade e limitações com relação aos fragmentos das línguas naturais que pode descrever.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Expressividade: O teorema de Löwenheim–Skolem mostra que se uma teoria de primeira ordem tem um modelo infinito, então a teoria também tem modelos de todas as cardinalidades infinitas. Em particular, nenhuma teoria de primeira ordem com um modelo infinito pode ser categórica. Assim, não há uma teoria de primeira ordem cujo único modelo tem o conjunto dos números naturais como domínio, ou cujo único modelo tem o conjunto dos números reais como domínio. Várias extensões da Lógica de Primeira-Ordem, incluindo a Lógica de Ordem Superior e a Lógica Infinitária, são mais expressivas no sentido de que elas admitem axiomatizações categóricas dos números naturais ou reais. Essa expressividade tem um custo em relação às propriedades meta-lógicas; de acordo com o Teorema de Lindström, qualquer lógica que seja mais forte que a lógica de primeira ordem falhará em validar o teorema da compaccidade ou em validar o teorema de Löwenheim–Skolem.

Formalizando as Línguas Naturais

A lógica de primeira ordem é capaz de formalizar vários quantificadores na lingua natural, como “todas as pessoas que moram em Paris, moram na França”. Mas existem várias características que não podem ser expressas na lógica de primeira ordem. “Qualquer sistema lógico que é apropriado para analisar línguas naturais, precisa de uma estrutura muito mais rica que a lógica de primeira ordem” (Gamut 1991).

Tipo Exemplo Comentário

Quantificadores sobre as

propriedades

Se Rafael for satisfeito consigo mesmo, então ele tem pelo menos uma coisa em comum com

Roberta

Requer quantificadores sobre os predicados, os quais não podem ser implementados com a lógica de primeira ordem (unicamente

ordenada): Zj→ ∃X(Xj∧Xp)

Quantificadores sobre as

propriedadesPapai Noel tem todos os atributos de um sadista

Requer quantificadores sobre os predicados, os quais não podem ser implementados com a lógica de primeira ordem (unicamente

ordenada): ∀X(∀x(Sx → Xx)→Xs)

Predicado adverbial Luiz está andando rápido Não pode ser analisado como Wj ∧ Qj; predicados adverbiais não são a mesma coisa que predicados de segunda ordem, como cores

Adjetivo Relativo Jumbo é um elefante pequeno Não podem ser analisados como Sj ∧ Ej; predicados adjetivados não são a mesma coisa que predicados de segunda ordem, como cores

Modificador do predicado adverbial Anderson está andando muito rápido -

Modificador do adjetivo relativo Roberta é extremamente pequena

Uma expressão como “extremamente” , quando usado com um adjetivo relativo “pequena”, resulta em um novo adjetivo relativo:

“extremamente pequena”

Preposições Alberto está sentado ao lado de Danilo A preposição “ao lado de” quando aplicada a Luiz, resulta em um predicado adverbial “ao lado de Luiz”

Axiomas e Regras

Os cinco axiomas lógicos mais as duas regras de inferência seguintes caracterizam a lógica de primeira ordem:

Axiomas:

(A1) (A2) (A3) (A4) , onde x não é livre em α.(A5) , [t:= x], onde t é livre para x em α.

Regras de Inferência

Modus Ponens:

Generalização Universal:

Estes axiomas são na realidade esquemas de axiomas. Cada letra grega pode ser uniformemente substituída, em cada um dos axiomas acima, por uma FBF qualquer, e uma expressão do tipo α [t:= x] denota o resultado da substituição de x por t na fórmula α.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Cálculo de Predicados

O cálculo de predicado é uma extensão da lógica proposicional que define quais sentenças da lógica de primeira ordem são demonstráveis. É um sistema formal usado para descrever as teorias matemáticas. Se o cálculo proposicional for definido por um conjunto adequado de axiomas e a única regra de inferência modus ponens (isto pode ser feito de muitas maneiras diferentes, então o cálculo de predicados pode ser definido adicionando-se alguns axiomas e uma regra de inferência “generalização universal”. Mais precisamente, como axiomas para o cálculo de predicado, teremos:

- Os axiomas circunstanciais do cálculo proposicional (A1, A2 e A3);

- Os axiomas dos quantificadores (A4 e A5);- Os axiomas para a igualdade propostos em seção anterior, se

a igualdade for considerada como um conceito lógico.

Uma sentença será definida como demonstrável na lógica de primeira ordem se puder ser obtida começando com os axiomas do cálculo de predicados e aplicando-se repetidamente as regras de inferência “modus ponens” e “generalização universal”. Se nós tivermos uma teoria T (um conjunto de sentenças, às vezes chamadas axiomas) então uma sentença Φ se define como demonstrável na teoria T se a ∧ b ∧ ...→ Φ é demonstrável na lógica de primeira ordem (relação de consequência formal), para algum conjunto finito de axiomas a, b, ... da teoria T. Um problema aparente com esta definição de “demonstrabilidade” é que ela parece um tanto ad hoc: nós tomamos uma coleção aparentemente aleatória de axiomas e de regras de inferência, e não é óbvio que não tenhamos acidentalmente deixado de fora algum axioma ou regra fundamental.

O teorema da completude de Gödel nos assegura de que este não é realmente um problema: o teorema diz que toda sentença verdadeira em todos os modelos é demonstrável na lógica de primeira ordem. Em particular, toda definição razoável de “demonstrável” na lógica de primeira ordem deve ser equivalente à definição acima (embora seja possível que os comprimentos das derivações difira bastante para diferentes definições de demonstrabilidade). Há muitas maneiras diferentes (mas equivalentes) de definir provabilidade. A definição acima é um exemplo típico do cálculo no estilo de Hilbert, que tem muitos axiomas diferentes, mas poucas regras de inferência. As definições de demonstrabilidade para a lógica de primeira ordem nos estilos de Gentzen (dedução natural e cálculo de sequentes) são baseadas em poucos ou nenhum axiomas, mas muitas regras de inferência.

Algumas Equivalências

Algumas Regras de Inferência

(se c for uma variável, então não deve ser quantificada em P(x)).

(x não deve aparecer livre em P(c)).

QUESTÕES

01. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Dadas as sentenças A e B da lógica de primeira ordem, onde A é a sentença

e B é a sentença , tem-se que

(A) A é consequência da lógica de B.(B) B é consequência da lógica de A.(C) A é consequência da lógica de ¬B.(D) B é consequência da lógica de ¬A.(E) B é consequência da lógica de A.

02. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Considere o conjunto de conectivos lógicos da lógica sentencial.

Por definição, um conjunto de operadores B é completo se somente se todos os operadores de A podem ser expressos em função do(s) operador(es) de B. Analise as afirmativas a seguir:

I- é um conjunto de operadores completo.II- é um conjunto de operadores completo.III- é um conjunto de operadores completo.IV- é um conjunto de operadores completo.V- é um conjunto de operadores completo.

Conclui-se que(A) uma das afirmativas acima é verdadeira e quatro são falsas.(B) duas das afirmativas acima são verdadeiras e três são

falsas.(C) três das afirmativas acima são verdadeiras e duas são

falsas.(D) quatro das afirmativas acima são verdadeiras e uma é

falsa.(E) todas as afirmativas acima são verdadeiras.

03. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) Considere as premissas:

Premissa 1: as premissas 2 e 3 são verdadeiras.Premissa 2: das premissas 3 e 4, uma delas é verdadeira e a

outra, falsa.Premissa 3: as premissas 1 e 4 são ambas verdadeiras ou

ambas falsas.Premissa 4: as premissas 1 e 3 são ambas falsas.

Sabendo-se que cada premissa acima é exclusivamente verdadeira ou exclusivamente falsa, são verdadeiras APENAS as premissas:

(A) 1 e 2.(B) 1 e 3.(C) 2 e 3.(D) 2 e 4.(E) 3 e 4.

04. (CESPE - TRE-MG – Técnico Judiciário) Considere as sentenças apresentada a seguir.

G - O preço do combustível automotivo é alto.M - Os motores dos veículos são econômicos.I - Há inflação geral de preços.C - O preço da cesta básica é estável.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Admitindo que os valores lógicos das proposições compostas (M ∨ G) → (C ∧ I), I → ( C ∧ G), G → M e C ∨ M são verdadeiros, assinale a opção correta, considerando que, nessas proposições, os símbolos ∨ e ∧ representam os conectivos “ou” e “e”, respectivamente, e o símbolo ¬denota o modificador negação.

(A) os motores dos veículos são econômicos e não há inflação geral de preços.

(B) o preço da cesta básica não é estável e há inflação geral de preços.

(C) o preço do combustível automotivo é alto e os motores dos veículos não são econômicos.

(D) os motores dos veículos são econômicos e o preço da cesta básica não é estável.

(E) o preço da cesta básica é estável e o preço do combustível automotivo é alto.

05. (FCC - TRE-PI - Técnico Judiciário) Todos os advogados que trabalham numa cidade formaram- se na universidade X. Sabe-se ainda que alguns funcionários da prefeitura dessa cidade são advogados. A partir dessas informações, é correto concluir que, necessariamente,

(A) existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X.

(B) todos os funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X são advogados.

(C) todos os advogados formados na universidade X trabalham nessa cidade.

(D) dentre todos os habitantes dessa cidade, somente os advogados formaram-se na universidade X.

(E) existem funcionários da prefeitura dessa cidade que não se formaram na universidade X.

06. (CESPE - SECONT-ES - Auditor do Estado) Se a proposição simbolizada por A ∧ B → C for um argumento válido, então a proposição A ∧ B ∧ (¬C) será falsa.


07. (CESPE - TRE-MA – Técnico Judiciário) Com base nas regras da lógica sentencial, assinale a opção que corresponde à negação da proposição “Mário é contador e Norberto é estatístico”.

(A) Se Mário não é contador, então Norberto não é estatístico. (B) Mário não é contador e Norberto não é estatístico. (C) Se Mário não é contador, então Norberto é estatístico. (D) Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico. (E) Se Mário é contador, então Norberto é estatístico.

08. (FCC - TCE-GO - Técnico de Controle Externo) São dadas as afirmações:

- Toda cobra é um réptil.- Existem répteis venenosos.

Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza, também é verdade que

(A) Se existe uma cobra venenosa, então ela é um réptil.(B) toda cobra é venenosa.(C) algum réptil venenoso é uma cobra.(D) qualquer réptil é uma cobra.(E) Se existe um réptil venenoso, então ele é uma cobra.

09. (FCC - TCE-GO - Técnico de Controle Externo) No próximo domingo, Dona Marieta completará 100 anos de idade e sua bisneta Julieta resolveu presenteá-la construindo a árvore genealógica de seus descendentes. Para tal, Julieta usou as seguintes informações:

- Dona Marieta teve 10 filhos, três dos quais não lhe deram netos e cada um dos demais lhe deu 3 netos;

- Apenas quatro dos netos de Dona Marieta não tiveram filhos, enquanto que cada um dos demais lhe deu 5 bisnetos;

- Dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove não tiveram filhos e cada um dos outros teve 2 filhos;

- Os tataranetos de Dona Marieta ainda não têm filhos.

Nessas condições, é correto afirmar que o total de descendentes de Dona Marieta é:

(A) 277(B) 272(C) 268(D) 264(E) 226

10. (CESGRANRIO - 2010 - Petrobrás) x ↔ y possui a mesma tabela verdade que:

(A) ¬x → y(B) ¬x → ¬y (C) (x → y)

∧

y (D) (x → y) ∧ (y → x)(E) (x → y)

∧

(¬y → x)

Respostas

01. Resposta “A”.

Sentenças:(A) (B)

Para saber qual sentença manipular, é preciso lembrar algumas regras:

(1) ¬∃xp(x) = ∀x¬p(x)(2) ¬∀xp(x) = ∃x¬p(x)

Para a sentença A ser “transformada”, seria necessário introduzir uma negação dupla (¬¬). Observando a regra (1), percebe-se que a sentença B pode ser “transformada” sem a necessidade de utilização de uma negação dupla. Com isso, selecionamos a sentença B para efetuar a manipulação. Manipulando a sentença B:

¬∃x¬p(x) ∨∀xq(x)∀x¬¬p(x) ∨∀xq(x)∀x(¬¬p(x) ∨q(x))∀x(¬¬p(x) ∨q(x))

Obs.:

(¬p(x) ∨ q(x) = p(x) → q(x))∀x (¬p(x) → q(x))


RACIOCÍNIO LÓGICO

Logo, a sentença A é consequência da lógica de B. É importante mencionar que não foram introduzidos elementos adicionais (negação dupla, por exemplo) na sentença original para se chegar ao resultado. Com isso, podemos afirmar que a sentença A é consequência da lógica (manipulação direta) de B.

São equivalências lógicas, ou seja, elas são bidirecionais. Dessa forma, pode-se concluir que a alternativa correta é a “A”, (B → A).


Dizemos que um conjunto de operadores é completo se com eles pode exprimir as operações conjunção, disjunção e negação, que são:

∧

, ∧ ,¬ e nand (não é).I - Verdadeiro;II - Verdadeiro;III - Falso;IV - Verdadeiro;V - Falso.

Na lógica, um grupo de conectivos tem a propriedade da completude funcional se todos outros conectivos possíveis podem ser definidos em função dele. Os conjuntos {nand}, {nor}, {

∧

, ¬}, {

∧, ¬} e {→, ¬} possuem a propriedade da completude funcional.

Demonstração da completude funcional em um conjunto:Utilizando apenas a negação ¬ e a implicação (→) podemos

gerar todas as outras operações.

Disjunção: Conjunção: Bi-implicação:


Premissa 1: as premissas 2 e 3 são verdadeiras. FALSO (apenas a premissa 2 é verdadeira a 3 é falsa);

Premissa 2: das premissas 3 e 4, uma delas é verdadeira e a outra é falsa. VERDADEIRA (a premissa 3 é falsa e a 4 é verdadeira);

Premissa 3: as premissas 3 e 4 são ambas verdadeiras ou ambas falsas. FALSO (premissa 3 é falsa e a 4 é verdadeira);

Premissa 4: as premissas 1 e 3 são ambas falsas. VERDADEIRA.

Normalmente ler as premissas em ordem inversa facilita a resposta.

Premissa 4: afirma que 1 e 3 são falsas, portanto 2 deverá ser verdadeira.

Premissa 3: contraditória com a P4 - Falsa.Premissa 2: até aqui a 4 é verdadeira e a 3 falsa – Verdadeira.Premissa 1: contraditória com a P4 – Falsa.


- Atribui-se verdadeiro para todas as sentenças simples, ou seja, G, M, I, C - são a princípio (V).

- Comece pela primeira sentença composta: M ∧ ~G então C ∧ G - Por essa sentença conclui-se que atribuindo à sentença I como verdadeira essa sentença composta seria falsa e como a questão afirma que todas as compostas são verdadeiras, então I = Falsa e ~I = V, daí a sentença seria verdadeira, ou seja: Não há inflação geral de preços.

- Na segunda sentença composta: I então ~C ∧ G - considerando I (falsa) o resultado era verdadeiro para a sentença independente de ser Falso ou Verdadeiro a 2ª parte - por isso não tinha ainda argumento válido.

- Na terceira sentença: G então M - se considerar M verdadeira então G pode ser falso ou Verdadeiro.

- Na quarta sentença: ~C

∧

M - se considerar M verdadeira então ~C pode ser falso ou verdadeiro (mas como na primeira sentença já considera C como verdadeira), ou seja: Os motores dos veículos são econômicos.

O enunciado da questão diz:1) Se (M

∧

~G) então (C ∧ ~ I) que equivale a: Se (Se G então M ) então ~(Se C então I);

2) Se I então (~C ∧ G) que;3) Se G então M;4) ~C

∧

M que.

Precisa-se somente das proposições 1 e 3. Inicia-se pela proposição 3. Supunha que o G era verdadeiro, desta forma o M só poderia ser verdadeiro. Caso contrário a proposição se tornaria falsa.

Então para a proposição 1: Como a primeira parte é verdadeira a segunda só poderia ser verdadeira, ou seja ~(se C então I) também tinha que ser verdadeira. Como tem o “~” na frente, Se C então I tem que ser falsa. E para ser falsa I deve ser falso e C deve ser verdadeira. Desta forma descobre-se o valor real de cada proposição.


Quando temos a expressão “Todo” e “Todo”, a resposta tem que obrigatoriamente ter a expressão “Todo” e não pode aparecer a expressão comum. Ex.: Todo indivíduo que fuma tem bronquite. Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. Expressão comum: bronquite. Logo: Todo indivíduo que fuma costuma faltar ao trabalho.

Quando temos as expressões “Todo” e “Algum”, na resposta prevalece o “Algum” e não pode aparecer a expressão comum. Na questão acima, descartamos a “B” e a “C”, pois começam com “Todo”. Depois descartamos “D” pois aparece a expressão comum “advogados”. Depois descartamos a “E” pois aparece uma negação “não se formaram na universidade x”. Resumo:

Todo e Todo = TodoTodo e Nenhum = NenhumAlgum e Todo = AlgumAlgum e Nenhum = Algum Não


RACIOCÍNIO LÓGICO

Se todos os advogados são formados na universidade X e se existem funcionários da prefeitura que são advogados, logo, certamente existem funcionários da prefeitura dessa cidade formados na universidade X. Com relação a letra “E”, temos que não necessariamente os outro funcionários que não são advogados não se formaram na universidade X, pois nada garante que eles tenham se formado nesta universidade ou não, como deixa dúvida, esta não pode ser necessariamente correta.


Um argumento válido considere todas as premissas verdadeiras, e a conclusão terá que ser verdadeira.

V ∧ VA ∧ B → C (Argumento válido)A ∧ B ∧ (~C)V ∧ V ∧ (~V)V ∧ F = F (Falsa)

Nota-se que na proposição composta que a alternativa diz ser falsa só foi usado o conectivo E (∧ ), isto torna a questão fácil, ou seja, tanto o A, o B e a negação de C têm que ter valores verdadeiros para a proposição ser verdadeira (regra do conectivo E). Se a negação de C tem que ser verdade, logo, o C é falso. Se o C é falso, A ∧ B não pode ser verdadeiro, pois V então F, que é o argumento válido trazido pela questão, é falso. Se a questão diz que o argumento é válido, ele realmente é válido, temos que acreditar nisso, logo, o valor de A ∧ B tem que ser falso obrigatoriamente, senão o argumento não é válido. Se A ∧ B tem que ser falso, significa que ou o A ou o B tem que ser falso (regra do E, um falso tudo falso). Sendo ou o A ou o B falso, torna a proposição A ∧ B ∧ ~C falsa.


A negativa de uma conjunção pode ser:- uma condicional - afirma a 1ª parte e nega a 2ª parte = P

então não Q.- uma disjunção - Não P ou Não Q.

Mário é contador e Norberto é estatístico.P e Q = P e não Q, portanto:Se Mário é contador, então Norberto não é estatístico.

Considerando:P: “Mário é contador”.Q: “Norberto é estatístico”.A negação de P ∧ Q é ~P “ou” ~Q.

A partir daí basta transformar ~P “ou” ~Q em sua proposição equivalente: P “se então” ~Q.


(A) Verdade, toda cobra é um réptil.Se as duas afirmações são verdadeiras, então, com certeza,

também é verdade que- Se existe uma cobra venenosa (P), então ela é um réptil (Q).

(P → Q = V). Obs: segundo as afirmações “dadas” não se pode determinar se P é V ou F, no entanto isto não altera a correção da assertiva.

(B) Falsa = nem toda cobra é venenosa.(C) Falsa = nem todo réptil venenoso é cobra (há lagartos

venenosos, répteis e não são cobras).No contexto geral, esta afirmação poderia ser considerada

verdadeira, mas segundo as afirmações “dadas” pela questão ela é falsa, pois não é mencionada qualquer ligação entre o grupo das cobras e dos répteis venenosos; A cobra é um réptil; Alguns répteis são venenosos; mas embasando-se somente nestas duas afirmações não há como se garantir que Algum réptil venenoso é uma cobra.

(D) Falsa = nem todo réptil é uma cobra (Jacaré é réptil).(E) Falsa = nem todo réptil venenoso é cobra (há lagartos

venenosos, são répteis e não são cobras).

Um grande conjunto é o dos répteis, obrigatoriamente o conjunto das cobras, que é menor, estará totalmente dentro do conjunto dos répteis. Já o conjunto dos Venenosos existem 3 possibilidades:

1 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis, mas não se mistura com o conjunto das cobras, ou seja, são dois conjuntos dentro do grande conjunto que é o dos répteis;

2 - o conjunto dos venenosos estar parcialmente dentro do conjunto dos répteis, mas não se mistura com o conjunto das cobras, ou seja, um conjunto (cobras) dentro do conjunto dos répteis e outro (venenosos) parcialmente dentro e fora (como na figura).

3 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis, e parcialmente, também, dentro do conjunto das cobras.

4 - o conjunto dos venenosos estar totalmente dentro do conjunto dos répteis e totalmente dentro do conjunto das cobras.

Logo, a única coisa que conseguimos garantir dentre as alternativas é que “todas as cobras são répteis”, elas podem ser ou não venenosas e os venenosos podem ou não ser répteis e podem ou não ser cobras.


Dona Marieta teve 10 filhos = 7 férteis e 3 inférteis.Sete férteis tiveram 21 filhos = 17 férteis e 4 inférteis.Dezessete férteis tiveram 85 filhos = 76 férteis e 9 inférteis.Setenta e seis férteis tiveram 152 filhos = 152 férteis.Descendentes = férteis + inférteis = 252 + 16 = 268

descendentes.

Seguindo os passos:- Dona Marieta teve 10 filhos, três dos quais não lhe deram

netos e cada um dos demais lhe deu 3 netos; dos 10 filhos de Dona Marieta 3 não lhe deram netos, enquanto que 7 lhe deram 3 netos “cada”, então fazemos o seguinte cálculo: 7. 3 = 21 netos.


RACIOCÍNIO LÓGICO

- Apenas quatro dos netos de Dona Marieta não tiveram filhos, enquanto que cada um dos demais lhe deram 5 bisnetos; Sabemos que Dona Marieta teve 21 netos, mas, desses 21, quatro não tiveram filhos, enquanto que os outros 17 lhe deram 5 bisnetos cada: 17. 5 = 85 bisnetos.

- Dos bisnetos de Dona Marieta, apenas nove não tiveram filhos e cada um dos outros tiveram 2 filhos; Dona Marieta teve 85 bisnetos, e desses 85 nove não tiveram filhos, o que implica que 76 tiveram 2 filhos “cada”: 76 . 2 = 152 tataranetos.

- Os tataranetos de Dona Marieta ainda não têm filhos. Como os tataranetos não tiveram filhos, então somamos os filhos, netos, bisnetos e tataranetos: 10 + 21 + 85 + 152 = 268.


Segundo Sérates (1997), a conjunção da sentença x → y com a sentença y → x resulta na sentença x y. Assim, (x → y) ∧ (y → x) equivale a x y.

x se e somente se y: somente admite resposta verdadeira quando ambas possuem o mesmo sinal. Tabela verdade: tabela verdade de x-y e y-x:

x y x-y x y x-y x y y-x “e”V V V V V V V V V VV F F V F F V F F FF V F F V V F V F FF F V F F V F F V V

x se e somente se y é equivalente a y, se x e x, se y.

5 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE.

Análise Combinatória

Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda, ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos de contagem que existem em acertar algum número em jogos de azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais propriedades existem:

- Princípio fundamental da contagem- Fatorial- Arranjos simples- Permutação simples- Combinação- Permutação com elementos repetidos

Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes:

• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.

Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n

Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer?

Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de possibilidades:

Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n1, n2, n3, … , nk

Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa a ordem.

Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”.

ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento.

ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem dos elementos.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 e 31 são considerados distintos, pois indicam números diferentes.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos

são iguais, pois indicam a mesma reta.

Conclusão: Os agrupamentos...

1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos, os agrupamentos serão considerados distintos.

ac = ca, neste caso os agrupamentos são denominados combinações.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos determinam.

2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e considerados distintos.

ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados arranjos.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles determinados.

Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808. A função fatorial é normalmente definida por:

Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

Note que esta definição implica em particular que 0! = 1, porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função recursiva (n + 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0.

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial.

Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus elementos.

Cálculos do número de arranjos simples:

Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de A, tomados k a k:

n → possibilidades na escolha do 1º elemento.n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois um

deles já foi usado.n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois dois

deles já foi usado....n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento, pois

l-1 deles já foi usado.

No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:

An,k = n (n - 1) . (n - 2) . ... . (n – k + 1) (é o produto de k fatores)

Multiplicando e dividindo por (n – k)!

Note que n (n – 1) . (n – 2). ... .(n – k + 1) . (n – k)! = n!

Podemos também escrever

Permutações: Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são denominados permutações simples de n elementos. De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.

Cálculo do número de permutação simples:

O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula An,k = n (n – 1) (n – 2) . … . (n – k + 1), temos:

Pn = An,n= n (n – 1) (n – 2) . … . (n – n + 1) = (n – 1) (n – 2) . … .1 = n!

Portanto: Pn = n!

Combinações Simples: são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com n elementos k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples k a k, dos n elementos de A.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo: Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os elementos de A podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma: abc – abd – acd – bcd

Se trocarmos ps 3 elementos de uma delas:

Exemplo: abc, obteremos P3 = 6 arranjos disdintos.

abc abd acd bcdacbbacbcacabcba

Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos todos os arranjos 3 a 3:

abc abd acd bcdacb adb adc bdcbac bad cad cbdbca bda cda cdbcab dab dac dbccba dba dca dcb

(4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos

Logo: C4,3 . P3 = A4,3

Cálculo do número de combinações simples: O número total de combinações simples dos n elementos de A representados por C n,k, tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos:

a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk arranjos distintos.

b) Trocando os k elementos das Cn,k . Pk arranjos distintos.

Portanto: Cn,k . Pk = An,k ou

n,kn,k

k

AC =

PLembrando que:

Também pode ser escrito assim:

Arranjos Completos: Arranjos completos de n elementos, de k a k são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos, deve-se levar em consideração os arranjos com elementos distintos (arranjos simples) e os elementos repetidos. O total de arranjos completos de n elementos, de k a k, é indicado simbolicamente por A*n,k dado por: A*n,k = nk

Permutações com elementos repetidos

Considerando:

α elementos iguais a a,β elementos iguais a b,γ elementos iguais a c, …,λ elementos iguais a l,

Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos.

Simbolicamente representado por Pnα, β, γ, …, λ o número

de permutações distintas que é possível formarmos com os n elementos:

Combinações Completas: Combinações completas de n elementos, de k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações completas devemos levar em consideração as combinações com elementos distintos (combinações simples) e as combinações com elementos repetidos. O total de combinações completas de n elementos, de k a k, indicado por C*n,k

QUESTÕES

01. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8?

02. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para que cada clube enfrente o outro no seu campo e no campo deste. O número total de jogos a serem realizados é:

(A)182(B) 91(C)169(D)196(E)160

03. Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é:

(A) 78.125(B) 7.200(C) 15.000(D) 6.420(E) 50


RACIOCÍNIO LÓGICO

04. (UFTM) – João pediu que Cláudia fizesse cartões com todas as permutações da palavra AVIAÇÃO. Cláudia executou a tarefa considerando as letras A e Ã como diferentes, contudo, João queria que elas fossem consideradas como mesma letra. A diferença entre o número de cartões feitos por Cláudia e o número de cartões esperados por João é igual a

(A) 720(B) 1.680(C) 2.420(D) 3.360(E) 4.320

05. (UNIFESP) – As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é

(A) PROVA.(B) VAPOR.(C) RAPOV.(D) ROVAP.(E) RAOPV.

06. (MACKENZIE) – Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é:

(A) 66(B) 72(C) 90(D) 120(E) 124

07. (ESPCEX) – A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas?

(A) 80(B) 96(C) 240(D) 640(E) 1.280

08. Numa clínica hospitalar, as cirurgias são sempre assistidas por 3 dos seus 5 enfermeiros, sendo que, para uma eventualidade qualquer, dois particulares enfermeiros, por serem os mais experientes, nunca são escalados para trabalharem juntos. Sabendo-se que em todos os grupos participa um dos dois enfermeiros mais experientes, quantos grupos distintos de 3 enfermeiros podem ser formados?

(A) 06(B) 10(C) 12(D) 15(E) 20

09. Seis pessoas serão distribuídas em duas equipes para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar duas equipes é

(A) 10(B) 15(C) 20(D) 25(E) 30

10. Considere os números de quatro algarismos do sistema decimal de numeração. Calcule:

a) quantos são no total;b) quantos não possuem o algarismo 2;c) em quantos deles o algarismo 2 aparece ao menos uma vez;d) quantos têm os algarismos distintos;e) quantos têm pelo menos dois algarismos iguais.

Resoluções

01.

02. O número total de jogos a serem realizados é A14,2 = 14 . 13 = 182.

03.

Algarismos

Letras

As três letras poderão ser escolhidas de 5 . 5 . 5 =125 maneiras.Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 5 . 4 . 3 . 2 =

120 maneiras.O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 125 .

120 = 15.000.

04. I) O número de cartões feitos por Cláudia foi

II) O número de cartões esperados por João era

Assim, a diferença obtida foi 2.520 – 840 = 1.680

05. Se as permutações das letras da palavra PROVA forem listadas em ordem alfabética, então teremos:

P4 = 24 que começam por AP4 = 24 que começam por OP4 = 24 que começam por P

A 73.ª palavra nessa lista é a primeira permutação que começa por R. Ela é RAOPV.


RACIOCÍNIO LÓGICO

06. Se, do total de 10 diretores, 6 estão sob suspeita de corrupção, 4 não estão. Assim, para formar uma comissão de 5 diretores na qual os suspeitos não sejam maioria, podem ser escolhidos, no máximo, 2 suspeitos. Portanto, o número de possíveis comissões é

07. C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240

08. I) Existem 5 enfermeiros disponíveis: 2 mais experientes e

outros 3.II) Para formar grupos com 3 enfermeiros, conforme o

enunciado, devemos escolher 1 entre os 2 mais experientes e 2 entre os 3 restantes.

III) O número de possibilidades para se escolher 1 entre os 2 mais experientes é

IV) O número de possibilidades para se escolher 2 entre 3 restantes é

V) Assim, o número total de grupos que podem ser formados é 2 . 3 = 6

09.

10. a) 9 . A*10,3 = 9 . 103 = 9 . 10 . 10 . 10 = 9000b) 8 . A*9,3 = 8 . 93 = 8 . 9 . 9 . 9 = 5832c) (a) – (b): 9000 – 5832 = 3168d) 9 . A9,3 = 9 . 9 . 8 . 7 = 4536e) (a) – (d): 9000 – 4536 = 4464

Probabilidade

Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento

Em uma tentativa com um número limitado de resultados, todos com chances iguais, devemos considerar:

Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados possíveis.

Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados possíveis; será representado por S e o número de elementos do espaço amostra por n(S).

Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço amostral; será representado por A e o número de elementos do evento por n(A).

Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto são eventos.

Ø = evento impossível.S = evento certo.

Conceito de Probabilidade

As probabilidades têm a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos A e o número de elemento S. Representando:

Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 6, e observar o lado virado para cima, temos:

- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. - um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6}

C S.- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois

Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio

- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: P(Ø) = 0 e P(S) = 1.

- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 -

P(A).

Demonstração das Propriedades

Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:

União de Eventos

Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, temos:


RACIOCÍNIO LÓGICO

A

BS

Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Eventos Mutuamente Exclusivos

A

BS

Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A

B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente:

P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An)

Eventos Exaustivos

Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos se A1 A2 A3 … An = S

Então, logo:

Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1

Probabilidade Condicionada

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É representada por P(B/A).

Veja:

Eventos Independentes

Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente quando:

P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B)

Intersecção de Eventos

Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, logo:

Assim sendo:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)

Considerando A e B como eventos independentes, logo P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a representação:

A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ouA e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

Lei Binominal de Probabilidade

Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o complemento A cuja probabilidade é 1 – p.

Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?

Resolução:- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes

o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k vezes o evento A.

- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:


RACIOCÍNIO LÓGICO

- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o evento A é, portanto Cn,k.

- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade desejada é: Cn,k . p

k . (1 – p)n-k

QUESTÕES

01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:

(A) (B) (C) (D) (E)

02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é

(A) (B) (C) (D) (E)

03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?

04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números ímpares ou dois números iguais?

05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo de 10 é

(A) 10%(B) 12%(C) 64%(D) 82%(E) 86%

06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ela ser amarela ou branca?

07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:

(A) 42%(B) 45%(C) 46%(D) 48%(E) 50%

08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o valor de P(B) é:

(A) 0,5(B) 5/7(C) 0,6(D) 7/15(E) 0,7

09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira serem brancas é:

(A) (B) (C) (D) (E)

10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer o suco dessa fruta é:

(A) 1 (B) (C) (D) (E)

Respostas

01.

02. A partir da distribuição apresentada no gráfico:08 mulheres sem filhos.07 mulheres com 1 filho.06 mulheres com 2 filhos.02 mulheres com 3 filhos.

Como as 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é igual a P = 7/25.

03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) =

04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é:


RACIOCÍNIO LÓGICO

05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500

A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500

B: o número sorteado é múltiplo de 10;B = {10, 20, ..., 500}.

Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral da P.A., em que

a1 = 10an = 500r = 10Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50

Dessa forma, p(B) = 50/500.

A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10;A Ω B = {100, 110, ..., 500}.De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n =

41 e p(A B) = 41/500

Por fim, p(A.B) =

06. Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1,

V2, V3 as vermelhas.Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2

Como A B = , A e B são eventos mutuamente exclusivos; Logo: P(A B) = P(A) + P(B) =

07. Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os

seguintes eventos:(A) “A” acerta e “B” erra; ou (B) “A” erra e “B” acerta.

Assim, temos:P (A B) = P (A) + P (B)P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30%P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30P (A B) = 0,28 + 0,18P (A B) = 0,46P (A B) = 46%

08. Sendo A e B eventos independentes, P(A B) = P(A) . P(B) e

como P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). Temos: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 0,7 . (PB) = 0,5 P(B) = 5/7.

09. Representando por a probabilidade pedida, temos:

= =

10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas um desses sucos, então:

I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, pois seriam necessárias 27 laranjas.

II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco.

A probabilidade de isso ocorrer é:

6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.

Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos.

Note que ao subtrairmos os elementos comuns evitamos que eles sejam contados duas vezes.

Observações:

a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira.

b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Observe o diagrama e comprove.

Conjuntos

Conjuntos Primitivos

Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são primitivos, ou seja, não são definidos.

Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos.

Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto.

Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto (de pontos).

Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade.

Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por letras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por letras minúsculas.

Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.

Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∈ALê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.

Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∉A

Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.

Como representar um conjunto

Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula.

Exemplos

- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8.

{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m.

{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 3} e {3}.

Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado.

P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos:

Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por:

{x, tal que x tem a propriedade P}

Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por:

{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,{x : x tem a propriedade P}

Exemplos

- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u}- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que

{0, 1, 2, 3}- {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1}

Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”.

Exemplos- Se A = {a, e, i, o, u} então

- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então

Conjunto Vazio

Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-se pela letra do alfabeto norueguês 0/ ou, simplesmente { }.

Simbolicamente: ∀ x, x∉ 0/

Exemplos

- 0/ = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}- 0/ = {x | x é um número natural e 3 – x = 4}- 0/ = {x | x ≠ x}


RACIOCÍNIO LÓGICO

Subconjunto

Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A ⊂ B.

Simbolicamente: A⊂B⇔ (∀ x)(x∈∀ ⇒ x∈B)

Portanto, A ⊄B significa que A não é um subconjunto de B ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B.

Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que não é elemento de B.

Simbolicamente: A⊄B⇔ (∃ x)(x∈A e x∉B)

Exemplos

- {2 . 4} ⊂ {2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4}- {2, 3, 4}⊄ {2, 4}, pois 3 ∉{2, 4}- {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∈{5, 6} e 6 ∈{5, 6}

Inclusão e pertinência

A definição de subconjunto estabelece um relacionamento entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (⊂ ).

A relação de pertinência (∈) estabelece um relacionamento entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da relação de inclusão.

Simbolicamentex∈A ⇔ {x}⊂Ax∉A ⇔ {x}⊄A

Igualdade

Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A.

Simbolicamente: A = B ⇔ A⊂B e B⊂ADemonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale,

segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A.Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente

se, possuem os mesmos elementos.Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B

se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A. Simbolicamente: A ≠ B ⇔ A⊄B ou B⊄A

Exemplos

- {2,4} = {4,2}, pois {2,4} ⊂ {4,2} e {4,2}⊂ {2,4}. Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem em que esses elementos são descritos.

- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} ⊂ {2,4} e {2,4} ⊂ {2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é desnecessária.

- {a,a} = {a}- {a,b = {a} ⇔ a= b- {1,2} = {x,y} ⇔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1)

Conjunto das partes

Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e é indicado por P(A).

Simbolicamente: P(A)={X | X⊂ A} ou X⊂ P(A) ⇔ X⊂A

Exemplos

a) = {2, 4, 6}P(A) = { 0/ , {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}

b) = {3,5}P(B) = { 0/ , {3}, {5}, B}

c) = {8} P(C) = { 0/ , C}

d) = 0/P(D) = { 0/ }

Propriedades

Seja A um conjunto qualquer e 0/ o conjunto vazio. Valem as seguintes propriedades

0/ ≠(0/ ) 0/ ∉ 0/ 0/ ⊂ 0/ 0/ ∈{ 0/ }0/ ⊂A⇔ 0/ ∈P(A) A⊂A⇔ A∈P(A)

Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, portanto, P(A) possui 2n elementos.

União de conjuntos

A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se por A∪ B.

Simbolicamente: A N∉4 B = {X | X∈A ou X∈B}

Exemplos

- {2,3}∪ {4,5,6}={2,3,4,5,6}- {2,3,4}∪ {3,4,5}={2,3,4,5}- {2,3}∪ {1,2,3,4}={1,2,3,4}- {a,b}∪ φ {a,b}


RACIOCÍNIO LÓGICO

Intersecção de conjuntos

A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A∩ B. Simbolicamente: A∩ B = {X | X∈A ou X∈B}

Exemplos

- {2,3,4}∩ {3,5}={3}- {1,2,3}∩ {2,3,4}={2,3}- {2,3}∩ {1,2,3,5}={2,3}- {2,4}∩ {3,5,7}=φ

Observação: Se A∩ B=φ , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

Subtração

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∈A e X∉B}

O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A, representado por CAB.

Simbolicamente: CAB = A - B{X | X∈A e X∉B}

Exemplos

- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} CAB = A – B = {1,3} e CBA = B – A =φ

- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14}

- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} CAB = A – B = {0,2,4} e CBA = B – A = {1,3,5}

Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em relação a A somente nos casos em que B ⊂A.

- Se B ⊂ A representa-se por B o conjunto complementar de B em relação a A. Simbolicamente: B⊂A ⇔ B = A – B = CAB`

Exemplos

Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:a) A = {2, 3, 4} A⇒ = {0, 1, 5, 6}b) B = {3, 4, 5, 6 } B⇒ = {0, 1, 2}c) C = φ C⇒ = S

Número de elementos de um conjunto

Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos temos:

n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B)A∩ B=φ ⇒ n(A∪ B)=n(A)+n(B)n(A -B)=n(A)-n(A ∩ B)B⊂A⇒ n(A-B)=n(A)-n(B)

Exercícios

1. Assinale a alternativa a Falsa:a) φ ⊂{3}b)(3) ⊂ {3}c)φ ∉ {3}d)3∈{3}e)3={3}

2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).

a) 2 ∈ Ab) (2) ∈Ac) 3∈Ad) (3) ∈Ae) 4∈A

3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos (partes) possuem o conjunto A?

4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, quantos elementos possui o conjunto A?

5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8 } pede-se:

a) A∪ Bb) A∩ Bc) A∪ Cd) A∩ C


RACIOCÍNIO LÓGICO

6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. Determine o conjunto X de tal forma que: X∩ A=φ e X∪ A = S.

7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A⊂X e A∪X={2,3,4}, determine o conjunto X.

8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elementos de A∩ (B∪ C), sabendo-se:

a) A∩ B tem 29 elementosb) A∩ C tem 10 elementosc) A∩ B tem 7 elementos.

9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se

a) quantas crianças existem na escola?b) quantas crianças são meninas ou são ruivas?

10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:

- Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;- Quando chove de manhã não chove à tarde;- Houve 5 tardes sem chuva;- Houve 6 manhãs sem chuva.

Podemos afirmar então que n é igual a:a)7b)8c)9d)10e)11

Respostas

1) Resposta “E”.Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida

pela relação de pertinência (∈) e não pela relação de igualdade (=). Assim sendo, 3∈{3} e 3≠{3}. De um modo geral, x ≠ {x}, ∀ x.

2) Solução:a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A.b) Falsa, pois {2} não é elemento de A.c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A.e) Falsa, pois 4 não é elemento de A.

3) Resposta “32”.Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então

A possui 2k subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5 elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.

4) Resposta “10”.Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então

2k é o número de subconjuntos de A.Assim sendo: 2k=1024⇔ 2k=210⇔ k=10.

5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do diagrama de Venn-Euler, temos:

a)

A∪ B={1,3,4,5,6,7}

b)

A∩ B={3,4}

c)

A∪ C={1,3,4,5,6,8}

d)

A∩ C={4,6}

6) Resposta “X={1;3;5}”.Solução: Como X∩ A=φ e X∪ A=S, então X= A

=S-A=CsA ⇒ X={1;3;5}

7) Resposta “X = {2;3;4}Solução: Como A⊂X, então A∪ X = X = {2;3;4}.


RACIOCÍNIO LÓGICO

8) Resposta “A”.Solução: De acordo com o enunciado, temos:

n(A∩ B∩ C) = 7n(A∩ B) = a + 7 = 26⇒ a = 19n(A∩ C) = b + 7 = 10⇒ b = 3

Assim sendo:

e portanto n[A∩ (B∪ C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3Logo: n[A∩ (B∪ C)] = 29.

9) Solução:

Sejam:A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = xB o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = yDe acordo com o enunciado temos:

=⇔=+=+=∪=⇔=+=+=∪15249)()()(33429)()()(

xxBnAnDAnyyDnBnDBn

Assim sendoa) O número total de crianças da escola é:

703313915)()()()()( =+++=+++=∪∪∪ DnCnBnAnDCBAn

b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é:

5733915)()()()]()[( =++=++=∪∪∪ DnBnAnDBBAn

10) Resposta “C”.Solução:Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o

conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M’ e T’ os conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:

n(T’) = 5 (cinco tardes sem chuva)n(M’) = 6 (seis manhãs sem chuva)n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à

tarde)

Daí:

n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)7 = n(M) + n(T) – 0

Podemos escrever também:n(M’) + n(T’) = 5 + 6 = 11

Temos então o seguinte sistema:n(M’) + n(T’) = 11n(M) + N(T) = 7

Somando membro a membro as duas igualdades, vem:n(M) + n(M’) + n(T) + n(T’) = 11 + 7 = 18

Observe que n(M) + n(M’) = total dos dias de férias = nAnalogamente, n(T) + n(T’) = total dos dias de férias = n

Portanto, substituindo vem:n + n = 182n = 18n = 9

Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias.

7 RACIOCÍNIO LÓGICO ENVOLVENDO PROBLEMAS ARITMÉTICOS,

GEOMÉTRICOS E MATRICIAIS.

Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis:

- O conjunto dos números inteiros não nulos:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0}

- O conjunto dos números inteiros não negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N

- O conjunto dos números inteiros positivos:Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}


RACIOCÍNIO LÓGICO

- O conjunto dos números inteiros não positivos:Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- O conjunto dos números inteiros negativos:Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |.

O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é

sempre positivo.

Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.

Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0

No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.

Adição de Números Inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder.

Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (–z) = 09 + (–9) = 0

Subtração de Números Inteiros

A subtração é empregada quando:- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas

tem a mais que a outra;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a

uma delas para atingir a outra.

A subtração é a operação inversa da adição.

Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9 diferença subtraendo minuendo

Considere as seguintes situações:

1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?

Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3

2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira?

Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3)

é o mesmo que (+5) + (–3).

Temos:(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3

Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.

Multiplicação de Números Inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) x (+1) = (+1)(+1) x (-1) = (-1)(-1) x (+1) = (-1)(-1) x (-1) = (+1)


RACIOCÍNIO LÓGICO

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do produtoIguais PositivoDiferentes Negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z7 x 1 = 7Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe

um inverso z–1=1/z em Z, tal quez x z–1 = z x (1/z) = 19 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)

Divisão de Números Inteiros

Dividendo divisor dividendo:Divisor = quociente 0Quociente . divisor = dividendo

Sabemos que na divisão exata dos números naturais:

40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 4036 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36

Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo:

(–20) : (+5) = q (+5) . q = (–20) q = (–4)

Logo: (–20) : (+5) = - 4

Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:

- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.

- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.

- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.

- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.

1- Não existe divisão por zero.Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um

número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de

zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero.

Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0

Potenciação de Números Inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a x a x a x a x ... x aa é multiplicado por a n vezes

Exemplos:33 = (3) x (3) x (3) = 27(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125(-7)² = (-7) x (-7) = 49(+9)² = (+9) x (+9) = 81

- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo.

Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9

- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo.

Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um

número inteiro negativo.Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125

Propriedades da Potenciação:

Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9

Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2

Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10

Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–13)1 = –13

Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1


RACIOCÍNIO LÓGICO

Radiciação de Números Inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical).

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

√9 = ±3mas isto está errado. O certo é:√9 = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos

(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.(b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.(d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:

(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.

(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

Exercícios

1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos?

2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro?

3. Calcule:a) (+12) + (–40)b) (+12) – (–40) c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)

4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras:

a) x + (–12) = –5b) x + (+9) = 0c) x – (–2) = 6d) x + (–9) = –12e) –32 + x = –50f) 0 – x = 8

5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informações?

Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.Máxima prevista 37° no Piauí.

6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10?

7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números.

8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham:

a) (–140) : x = –20 b) 144 : x = –4 c) (–147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (–93) = +45 f) x : (–12) = –36

9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?

10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?

Respostas

1) Resposta “9²”.Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.Os números quadrados perfeitos são:1² = 1 (menor que dois algarismos)2² = 43² = 94² = 16 (dois algarismos)5² = 256² = 367² = 498² = 649² = 8110² = 100 (mais que dois algarismos)

Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81

2) Resposta “270”.Solução:(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 10155 – 51 + 165 + 101 = 270

Portanto, o número inteiro é 270.


RACIOCÍNIO LÓGICO

3) Solução:a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 =

6 – 24 = -18

4) Solução:a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7b) x + (+9) = 0 → x = -9c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18f) 0 – x = 8 → x = -8

5) Resposta “40˚”. Solução:A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º,

0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º.

6) Resposta “-1320”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x+2 = -10x= -10 -2x = -12

(-12) . (-12+1) . (-12+2) =-12 . -11 . -10 = - 1320

7) Resposta “999900”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x= 99

(99) . (99+1) . (99+2) =99 . 100 . 101 = 999900

8) Solução:a) (–140) : x = –20 -20x = -140 x = 7

b) 144 : x = –4 -4x = 144 x = -36 c) (–147) : x = +21 21x = -147 x = -7

d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (–93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185

f) x : (–12) = –36 x = -36 . -12 x = 432

9) Resposta “738”.Solução:x + (-846) . -3 = 324x – 846 . -3 = 324-3 (x – 846) = 324-3x + 2538 = 3243x = 2538 – 3243x = 2214

x =

x = 738

10) Resposta “3”.Solução: Seja t o total da adição inicial.Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de

8 unidades: t + 8Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido

de 5 unidades: Temos:

t + 8 - 5 = t + 3

Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

Números Racionais - Q

Um número racional é o que pode ser escrito na forma mn, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente

de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n.

Como podemos observar, números racionais podem ser obti-dos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = { mn : m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:

- Q* = conjunto dos racionais não nulos;- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.

Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional pq , tal que p não seja múltiplo

de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.

Nessa divisão podem ocorrer dois casos:

1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:

25

= 0,4

14

= 0,25

35 4

= 8,75

153 50

= 3,06


RACIOCÍNIO LÓGICO

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

13

= 0,333...

122

= 0,04545...

167 66

= 2,53030...

Representação Fracionária dos Números Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:

1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 910

5,7 = 5710

0,76 = 76100

3,48 = 348100

0,005 = 51000

= 1200

2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:

Exemplo 1

Seja a dízima 0, 333... .

Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333

Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:

10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 39

.

Exemplo 2

Seja a dízima 5, 1717...

Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 ⇒ x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512 99

.

Exemplo 3

Seja a dízima 1, 23434...

Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .Subtraindo membro a membro, temos:990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990

Simplificando, obtemos x = 611 495

, a fração geratriz da dízima 1, 23434...

Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.

Exemplo: Módulo de - 32

é 32

. Indica-se 32

- = 32

Módulo de + 32

é 32

. Indica-se 32

+ = 32

Números Opostos: Dizemos que – 32 e 3

2 são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 3

2 e 3

2 ao ponto zero da reta são

iguais.

Soma (Adição) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a

b e c

d, da mesma forma que a soma de frações,

através de:

ab

+ cd

= ad + bc bd

Propriedades da Adição de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.

- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em

Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (–q) = 0

Subtração de Números Racionais

A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q)

Multiplicação (Produto) de Números Racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a

be c

d, da mesma forma que o produto de frações,

através de:ab x c

d = ac

bd


RACIOCÍNIO LÓGICO

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da Multiplicação de Números Racionais

O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo

q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q

- Elemento inverso: Para todo q = ab

em Q, q diferente de zero, existe q-1 =

ba

em Q: q × q-1 = 1 ab

x ba

= 1

- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Divisão de Números Racionais

A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1

Potenciação de Números Racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

a) 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

8125

b) − 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = − 1

8

c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25

d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25

Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.

+ 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟0

= 1

- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.

− 94

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1

= - 94

- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

− 35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−2

. − 53

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= 259

- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

827

- Toda potência com expoente par é um número positivo.

− 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

= − 15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ . −

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

125

- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟3

= 25.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .25.25.25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2+3

= 25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟5

- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes

Radiciação de Números RacionaisSe um número representa um produto de dois ou mais fatores

iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1

4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se √4= 2.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo 2

19 Representa o produto 1

3 . 13

ou 1

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

. Logo, 13

é a raiz

quadrada de 19 .Indica-se 1

9= 1

3

Exemplo 3

0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.

Assim, podemos construir o diagrama:

N Z Q

Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.

O número -100 9

não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10 3

como +10

3, quando elevados ao quadrado, dão 100

9.

Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.

O número 23 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe

número racional que elevado ao quadrado dê 23

.

Exercícios

1. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 724

− 512

− 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 7

6+ 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

b) + 316

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ : − 1

12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

52

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− 94− 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. Escreva o produto 73

32.

32

+

+ como uma só potência.

3. Escreva o quociente − 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟12

: − 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

como uma só potência.

4. Qual é o valor da expressão

5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 16 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas 34

. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?

6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 14 do livro e no

dia seguinte leu 16 do livro. Então calcule:

a) A fração do livro que ela já leu.b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

7. Em um pacote há 45 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote

há 13 . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que

o segundo?

8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 59 da rua

já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?

9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 13

desses apartamentos foi vendido e 16 foi reservado. Assim:

a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não

foram vendidos ou reservados?

10. Transforme em fração:a) 2,08b) 1,4c) 0,017d) 32,17

Respostas1) Solução

a) 724

− 512

− 18

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 7

6+ 34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= 724

− 10 − 324

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

−14 + 912

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

724

− 724

+ 512

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

724

− 7 +1024

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

724

− 1724

= − 1024

= − 512

b) + 316

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ : − 1

12⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

52

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥− 94− 72

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

316− 112

+ 52

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥− 9 −14

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

3616

− 52

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − − 5

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 94+ 52+ 54= −9 +10 + 5

4= 64= 32

mmc:(4;2)=4

2) Solução:

+ 23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟10

3) Solução:

− 1625

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟8


RACIOCÍNIO LÓGICO

4) Solução:

5) Resposta 1112Solução:

16

+ 34

= 212

+ 912

= 1112

6) Solução:

a) 14

+ 16

= 312

+ 212

= 512

b) 1- 512

= 1212

- 512

= 712

7) Respostas 715Solução:

45 - 1

3 = 12

15 - 5

15 = 7

15

8) Resposta 49Solução:

1 - 59 = 9

9 - 5

9 = 4

9

9) Solução:

a) 13 + 1

6 = 26

+ 16 = 3

6 = 12

b) 1- 12

= 22

- 12

= 12

10) Solução:

a) 2,08 → 208100

= 5225

b) 1,4 → 1410

= 75

c) 0,017 → 171000

d) 32,17 → 3217100

Números Irracionais

Os números racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a/b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero.

Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica.

Vejam os exemplos de números racionais a seguir:3 / 4 = 0,75 = 0, 750000...- 2 / 3 = - 0, 666666...1 / 3 = 0, 333333...2 / 1 = 2 = 2, 0000...4 / 3 = 1, 333333...- 3 / 2 = - 1,5 = - 1, 50000...0 = 0, 000...

Existe, entretanto, outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fração a/b, conhecidos como números irracionais.

ExemploO número real abaixo é um número irracional, embora pareça

uma dízima periódica: x = 0,10100100010000100000...Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta

a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:

e = 2,718281828459045...,Pi (π) = 3,141592653589793238462643...

Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc.

Classificação dos Números Irracionais

Existem dois tipos de números irracionais:

- Números reais algébricos irracionais: são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo número real que pode ser representado através de uma quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros é um número algébrico, por exemplo,

. A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos que

não podem ser expressos através de radicais, conforme o teorema de Abel-Ruffini.

- Números reais transcendentes: não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de Euler ( ). Pode-se dizer que existem mais números transcendentes do que números algébricos (a comparação entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos conjuntos).

A definição mais genérica de números algébricos e transcendentes é feita usando-se números complexos.

Identificação de números irracionais

Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que:

- Todas as dízimas periódicas são números racionais.- Todos os números inteiros são racionais.- Todas as frações ordinárias são números racionais.- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.- Todas as raízes inexatas são números irracionais.- A soma de um número racional com um número irracional é

sempre um número irracional.- A diferença de dois números irracionais, pode ser um número

racional.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo: - = 0 e 0 é um número racional.- O quociente de dois números irracionais, pode ser um

número racional.

Exemplo: 8 : 2 = 4 = 2 e 2 é um número racional.- O produto de dois números irracionais, pode ser um número

racional.

Exemplo: . = = 5 e 5 é um número racional.- A união do conjunto dos números irracionais com o conjunto

dos números racionais, resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais.

- A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio (∅).

Simbolicamente, teremos:Q∪I = RQ∩I =∅

Geometria Plana

A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa ideia das figuras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo.

Reta, semirreta e segmento de reta

Definições.a) Segmentos congruentes.Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.b) Ponto médio de um segmento.Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao

segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.c) Mediatriz de um segmento.É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio

Ângulo

Definições.a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de

mesma origem.b) Ângulos congruentes: Dois ângulos são ditos congruentes

se têm a mesma medida.c) Bissetriz de um ângulo: É a semirreta de origem no vértice

do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.

PerímetroEntendendo o que é perímetro.Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de

comprimento.Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé

nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não se coloca rodapé?

A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja:

P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1P = 26 – 1P = 25

Colocaríamos 25m de rodapé.A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.

Área Área é a medida de uma superfície. A área do campo de futebol é a medida de sua superfície

(gramado). Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma

malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:


RACIOCÍNIO LÓGICO

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.

A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² (centímetros quadrados), e outros.

Se tivermos uma figura do tipo:

Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.

No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.

Retângulo É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes

e iguais a 90º.

No cálculo da área de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio:

Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.

O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4 A = 24 cm² Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:

A = b . h

Quadrado É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os

ângulos internos a congruentes (90º).

Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:

Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = .A= ²

Trapézio É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. A altura de um

trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média aritmética dessas bases.

A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula:

A = b . h (b = base e h = altura). 2 Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais

importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):

Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h).

Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como:

Primeiro: completamos as alturas no trapézio:

Segundo: o dividimos em dois triângulos:

A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF).

Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.

Cálculo da área do ∆CEF:

A∆1 = B . h 2

Cálculo da área do ∆CFD:

A∆2 = b . h 2

Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer:

AT = A∆1 + A∆2

AT = B . h + b . h 2 2

AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evi- 2 dência, pois é um termo comum aos dois fatores.

AT = h (B + b) 2

Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:

A = h (B + b) 2

h = altura B = base maior do trapézio b = base menor do trapézio

Losango

É o quadrilátero que tem os lados congruentes.

Em todo losango as diagonais são:a) perpendiculares entre si;b) bissetrizes dos ângulos internos.A área do losango é definida pela seguinte fórmula:

.2

d DS = Onde D é a diagonal maior e d é a menor.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Triângulo

Figura geométrica plana com três lados.

Ângulo externo. O ângulo externo de qualquer polígono convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do outro lado.

Classificação dos triângulos.

a) quanto aos lados:- triângulo equilátero.- triângulo isósceles.- triângulo escaleno.

b) quanto aos ângulos:- triângulo retângulo.- triângulo obtusângulo.- triângulo acutângulo.

Propriedades dos triângulos1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos

internos é 180º.

2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.

3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos externos é 360º.

4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o seu lado diferente.

Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado oposto.

Área do triangulo

Segmentos proporcionaisTeorema de Tales. Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta

transversal, a razão entre dois segmento quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Semelhança de triângulosDefinição.Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois

congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.Definição mais “popular”.Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a

ampliação do outro. Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a

proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, raios das circunferências inscritas, raios das circunferências circunscritas, perímetros, etc.

Exercícios

1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos parale-logramos?

2. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a área deste triângulo equilátero?

3. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medi-das da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?

4. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é a medida da sua superfície?

5. Considerando as informações constantes no triangulo PQR, pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede:

a)5 b)6 c)7 d)8

6. Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre si, um ângulo reto (90°). Observe a figura:

Considerando AF=16cm e CB=9cm, determine:a) as dimensões do cartão;b) o comprimento do vinco AC

7. Na figura, os ângulos assinalados sao iguais, AC=2 e AB=6. A medida de AE é:

a)6/5 b)7/4 c)9/5 d)3/2 e)5/4

8. Na figura a seguir, as distâncias dos pontos A e B à reta va-lem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA=DÊB

a)3b)4c)5d)6e)7

9. Para ladrilhar uma sala são necessários exatamente 400 pe-ças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala tem 36m², determine:

a) a área de cada peça, em m².b) o perímetro de cada peça, em metros.

10. Na figura, os ângulos ABC, ACD, CÊD, são retos. Se AB=2 3 m e CE= 3 m, a razão entre as áreas dos triângulos ABC e CDE é:

a)6b)4c)3d)2e) 3


RACIOCÍNIO LÓGICO

Respostas

1. A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1

2. Segundo o enunciado temos:l=5mm

Substituindo na fórmula:² 3 5² 3 6,25 3 10,84 4

lS S S= ⇒ = = ⇒ =

3. Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:h=10b=20

Substituindo na fórmula:

. 20.10 100 ² 2 ²S b h cm dm= = = =

4. Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que en-volve as diagonais, cujos valores temos abaixo:

d1=10d2=15

Utilizando na fórmula temos:

1. 2 10.15 75 ²2 2

d dS cm= ⇒ =

5. 4 6 36 69 6

PRPR

= ⇒ = =

6. 9 ² 144 1216

) 12( );2 24( )

) 9² ² 81 144 15

x x xx

a x altura x comprimento

b AC x

= ⇒ = ⇒ =

= =

= + = + =

7.

8.

9.

10.

Matriz

A tabela seguinte mostra a situação das equipes no Campeonato Paulista de Basquete masculino.

Campeonato Paulista – ClassificaçãoTime Pontos

1º Tilibra/Copimax/Bauru 202º COC/Ribeirão Preto 203º Unimed/Franca 194º Hebraica/Blue Life 175º Uniara/Fundesport 166º Pinheiros 167º São Caetano 168º Rio Pardo/Sadia 159º Valtra/UBC 1410º Unisanta 1411º Leitor/Casa Branca 1412º Palmeiras 1313º Santo André 1314º Corinthians 1215º São José 12

Fonte: FPB (Federação Paulista de Basquete)Folha de S. Paulo – 23/10/01


RACIOCÍNIO LÓGICO

Observando a tabela, podemos tirar conclusões por meio de comparações das informações apresentadas, por exemplo:

→ COC/Ribeirão lidera a classificação com 20 pontos juntamente com Tilibra/Bauru

→ Essa informação encontra-se na 2ª linha e 3ª coluna.

Definições

Chamamos de matriz m x n (m Є N* e n Є N*) qualquer tabela formada por m . n elementos (informações) dispostos em m linhas e n colunas

Exemplos

1°)

1 01 1

−2 33 2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

é uma matriz 2 x 4

2º)121

034

132

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ é uma matriz 3 x 3

3º)

1 0 3⎡⎣ ⎤⎦ é uma matriz 1 x 3

4º) 20

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

é uma matriz 2 x 1O nome de uma matriz é dado utilizando letras maiúsculas do

alfabeto latino, A, por exemplo, enquanto os elementos da matriz são indicados por letras latinas minúsculas, a mesma do nome de matriz, afetadas por dois índices, que indicam a linha e a coluna que o elemento ocupa na matriz.

Assim, um elemento genérico da matriz A é representado por aij.O primeiro índice, i, indica a linha que esse elemento ocupa na

matriz, e o segundo índice, j, a coluna desse comando.

A = aij⎡⎣ ⎤⎦← i − ésima ⋅ linha

↑

j − ésima ⋅coluna

ExemploNa matriz B de ordem 2 x 3 temos:

B =1 0 3

2 −1 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

b11 = 1; b12 = 0; b13 = 3;b21 = 2; b22 = -1; b23 = 4

Observação: O elemento b23, por exemplo, lemos assim: “b dois três”

De uma forma geral, a matriz A, de ordem m x n, é representada por:

A =

a11 a12 a13 ... a1n

a21 a22 a23 ... a2n

... a32 a33 ... a3n

am1 am2 am3 ... amn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Ou com a notação abreviada: A = (aij)m x n

Matrizes Especiais

Apresentamos aqui a nomenclatura de algumas matrizes especiais:

1ª. Matriz LinhaÉ a matriz que possui uma única linha.

Exemplos

- A = [-1, 0]- B = [1 0 0 2]

2ª. Matriz ColunaÉ a matriz que possui uma única coluna.

Exemplos

−A = 21

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −B =

0−13

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

3ª) Matriz NulaÉ a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplos

1)A =0 0

0 0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2)B =0 0 0

0 0 0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

4ª. Matriz QuadradaÉ a matriz que possui o número de linhas igual ao número de

linhas igual ao número de colunas.

Exemplos

1)A =1 3

2 −1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ É a matriz quadrada de ordem 2.

Observações: Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de retangular.

Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao conjunto dos elementos que possuem índices iguais.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo{a11, a22, a33, a44} é a diagonal principal da matriz A.

3ª) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz ao conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1.

Exemplo{a14, a23, a32, a41} é a diagonal secundária da matriz A.

5ª. Matriz DiagonalÉ a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não

pertencentes à diagonal principal, iguais a zero.

Exemplos

1)A =

2 0 0

0 1 0

0 0 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

6ª) Matriz IdentidadeÉ a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da

diagonal principal iguais a 1.

Representamos a matriz identidade de ordem n por In.

Exemplos

1)I2 =1 0

0 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2)I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Observação: Para uma matriz identidade In = (aij)n x n

7ª. Matriz TranspostaDada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à

matriz obtida de A trocando-se “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por At.

Exemplo

A =1 0 3

2 1 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥,então At =

1 2

0 1

3 4

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Observação: Se uma matriz A é de ordem m x n, a matriz At, transposta de A, é de ordem n x m.

Igualdade de Matrizes

Sendo A e B duas matriz de mesma ordem, dizemos que um elemento de matriz A é correspondente a um elemento de B quando eles ocupam a mesma posição nas respectivas matrizes.

Exemplo

Sendo A e B duas matrizes de ordem 2 x 2,

A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ e B =

b11 b12

b21 b22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

São elementos correspondentes de A e B, os pares:a11 e b11; a12 e b12; a21 e b21; a22 e b22.

DefiniçãoDuas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma

ordem e os elementos correspondentes são iguais.Indica-se:A = BEntão:A = (aij)n x n e B = (bij)p x q

Observações: Dada uma matriz A = (aij)m x n , dizemos que uma matriz B = (bij)m x n é oposta de A quando bij = -aij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n.

Indicamos que B = -A.

Exemplo

A =3 −1

2 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⇒ B =

−3 1

−2 −4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é simétrica quando aij = aji para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é, A = At.

- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é anti-simétrica quando aij = -aij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é, A é anti-simétrica quando At = -A.

Adição e Subtração de Matrizes

DefiniçãoDadas duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n,

denominamos soma da matriz A com a matriz B à matriz C, de ordem m x n, cujos elementos são obtidos quando somamos os elementos correspondentes das matrizes A e B. Indicamos:

C = A + B

Assim:

1 3 4

2 1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

2 1 1

3 2 3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

3 4 5

5 3 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Propriedades da Adição

Sendo A, B e C matrizes m x n e O a matriz nula m s n, valem as seguintes propriedades.

- A + B = B + A (comutativa)- (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)- A + O = O + A = A (elemento neutro)- A + (-A) = (-A) + A = O (elemento oposto)- (A + B)t = At + Bt


RACIOCÍNIO LÓGICO

DefiniçãoConsideremos duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem m

x n. Chamamos de diferença entre A e B (indicamos com A – B) a soma de A com a oposta de B.

A – B = A + (B)

Exemplo

Sendo:

A =3 2

1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥e B =

4 5

−2 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ , então

A − B =3 2

1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−

4 5

−2 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

A − B =3 2

1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

−4 −5

2 −1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

A - B =

A − B =−1 −3

3 −3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Observação: Na prática, para obtermos a subtração de matrizes de mesma ordem, basta subtrairmos os elementos correspondentes.

Multiplicação de Matrizes por um Número Real

DefiniçãoConsideremos uma matriz A, de ordem m x n, e um número

real. O produto de por A é uma matriz B, de ordem m x n, obtida quando multiplicamos cada elemento de A por.

Indicamos:B = α . A

Exemplo

Sendo:

A =1 3

2 5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ , temos

2 . A =2.1 2.3

2.2 2.5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

2 6

4 10

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Matrizes – Produtos

Multiplicação de MatrizesO produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por

uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos. Indicamos:

B = α . A

Da definição, decorre que:- Só existe o produto de uma matriz A por uma matriz B se o

número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.- A matriz C, produto de Am x p por BP x n, é do tipo m x n.

PropriedadesSendo A uma matriz de ordem m x n, B e C matrizes

convenientes e, são válidas as seguintes propriedades.- ( A . B) . C = A . (B . C) (associativa)- C . (A + B) = C . A + C . B (distributiva pela esquerda)- (A + B) . C = A . C + B (distributiva pela direita)- A . In = Im . A = A (elemento neutro)- (α . A) . B = A . (α . B ) = . (A . B)- A . On x p = Om x p e Op x m . A = Op x n- (A . B)t = Bt . At

Observação: Para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa (A . B ≠ B . A). Esta propriedade só é verdadeira em situações especiais, quando dizemos que as matrizes são comutáveis.

Devemos levar em consideração os fatos seguintes:1º) (A + B) ≠ A2 + 2AB + B2, pois (A + B)2 = (A + B)(A+B) +

A2 + AB + BA + B2

2º) (A . B)t ≠ At . Bt, pois, pela 7ª propriedade, devemos ter (A . B)t = Bt . At

Matriz Inversa

No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição:

a.b=b.a=1

Normalmente indicamos o inverso de a por a1

ou a-1.Analogamente para as matrizes temos o seguinte:

DefiniçãoUma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se inversível se, e

somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:A.B=B.A=InA matriz B é denominada inversa de A e indicada por A-1.

Exemplos- Verifique que a matriz B=

−

−1134

é a inversa da matriz A=

4131

Resolução

A.B=

4131

.

−

−1134

=

1001

B.A=

−

−1134 .

4131 =

1001

Como A.B=B.A=12, a matriz B é a inversa de A, isto é, B=A-1.

Observação: É bom observarmos que, de acordo com a definição, a matriz A também é a inversa de B, isto é, A=B-1, ou seja, A=(A-1)-1.


RACIOCÍNIO LÓGICO

- Encontre a matriz inversa da matriz A=

1213

, se existir.

Resolução

Supondo que B=

dcba

é a matriz inversa de A, temos:

A.B=

1213

.

dcba

=

1001

++++

dbcadbca

2233

=

1001

Assim:

=+=+

0213

caca e

=+=+

1203

dbdb

Resolvendo os sistemas, encontramos:A=1,b=-1,c=-2 e d=3

Assim, B=

−

−3211

Por outro lado:

B.A=

−−

3211 .

1213

=

1001

Portanto, a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz:

B=A-1=

−

−3211

Observação: Quando uma matriz é inversível, dizemos que ela é uma matriz não-singular; caso a matriz não seja inversível, dizemos que ela é uma matriz singular.

PropriedadesSendo A e B matrizes quadradas de ordem n e inversíveis,

temos as seguintes propriedades:- (A-1)-1=A- (A-1)t= At)-1

- (A.B)-1=B-1..A-1

- Dada A, se existir A-1, então A-1 é única.

ExemploSendo A, B e X matrizes inversíveis de ordem n, isolar X em

(X.A)-1-=B.

Resolução(X.A)-1=B ⇒A-1.X-1=B

Multiplicando os dois membros à esquerda por A, encontramos:A.A-1.X-1=A.BComo A.A-1=In, então:In.X

-1=A.B

Como In é elemento neutro na multiplicação de matrizes, temos:

X-1=A.BElevando os dois membros da igualdade, ao expoente -1,

temos:(X-1)-1=(A.B)-1

Assim, X=(A.B)-1, ou então X=B-1.A-1

O sistema obtido está escalonado e é do 2º

Determinantes

Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por mate-máticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema linear”, assunto que estudaremos a seguir.

Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras verticais, como no exemplo abaixo:

A=

5421

→ det A=5421

Definições

Determinante de uma Matriz de Ordem 1Seja a matriz quadrada de ordem 1: A=[a11]Chamamos determinante dessa matriz o número:det A=[ a11]= a11

Exemplos1º) A=[-2] → det A= -22º) B=[5] → det B=53º) C=[0] → det C=0

Determinante de uma Matriz de ordem 2

Seja a matriz quadrada de ordem 2:

A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Chamamos de determinante dessa matriz o número:

detA =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ = a11 . a22 − a21 . a12

Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundá-ria. Esquematicamente:

detA =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ = a11 . a22 − a21 . a12


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplos

- A=

3521

det A=1.3-5.2=-7

- B=

−3212

det B=2.3-2.(-1)=8

Determinante de uma Matriz de Ordem 3

Seja a matriz quadrada de ordem 3:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

Chamamos determinante dessa matriz o numero:

detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a32 a21 a13-a31 a22 a13+-a12 a21 a33-a32 a23 a11

Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada Regra de Sarrus:

1º) Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz.a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32

2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos produtos, temos:

detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a13 a21 a32-a13 a22 a31+-a11 a23 a32-a12 a21 a33

Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1º e 2º linhas, ao invés de repetirmos a 1º e 2º colunas.

Determinantes – Propriedades - IApresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a

simplificar o cálculo dos determinantes:

Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At.

Exemplo

A= ⇒

dcba

At=

dbca

AAbcadA

bcadA tt detdet

detdet

=⇒

−=

−=

Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si a posição de duas filas paralelas, então:

detB = -detA

Exemplo

A=

dcba

e B=

badc

B foi obtida trocando-se a 1º pela 2º linha de A.detA=ad-bcdetB=BC-ad=-(ad-bc)=-detAAssim,detB=-detA

Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais”tem determinante igual a zero.

Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna “iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA

Assim: detA = 0

Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos uma de sua filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA

Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência”um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna).

Exemplo

ka kbc d

= k.a b

c d

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos de A por k, então:

det(k.A)=kn.detA

Exemplo

A =

a b c

d e f

g h i

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⇒ k.A =

ka kb kc

kd ke kf

kg kh ki

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

det(k.A) =

ka kb kc

kd ke kf

kg kh ki

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

= k.k.k

a b c

d e f

g h i

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

Assim:det(k.A)=k3.detA


RACIOCÍNIO LÓGICO

Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então.

detC = detA + detB

Exemplos:

a b x

c d y

e f z

+

a b r

c d s

e f z

=

a b x + r

c d y + s

e f z + t

Propriedades dos Determinantes

Propriedades 5 (Teorema de Jacobi)O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila

qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número.

Exemplo

ExemploConsidere o determinante detA=

ihgfedcba

Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos:

a b c + ma

d e f + md

g h i + mg

(P4)

a b c

d e f

g h i

+

a b ma

d e md

g h mg

a b c + ma

d e f + md

g h i + mg

= detA +m

a b a

d e d

g h g

Igual a zeroa b c + ma

d e f + md

g h i + mg

= detA

Exemplo

Vamos calcular o determinante D abaixo.

D=8+0+0-60-0-0=-52

Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular:

D1=48+0+0-100-0-0=-52Observe que D1=D, de acordo com a propriedade.

ConsequênciaQuando uma fila de um determinante é igual à soma de

múltiplos de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero.

Exemplo

SejaD =

1 2 8

3 2 12

4 −1 05

Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª coluna multiplicada por 3.

8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 612 = 2(3) + 3(2) = 6 + 65 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0Use a regra de Sarrus e verifique.

Propriedade 6 (Teorema de Binet)Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então:det(A.B) = detA . detB

Exemplo

A= ⇒

3021

detA=3

B= ⇒

1234

detB=-2

A.B= ⇒

3658

det(A.B)=-6

Logo, det(AB)=detA. detB

Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e n∈N*, temos:

det(An) = (detA)n

Sendo A uma matriz inversível, temos:

detA-1=Adet

1

Justificativa: Seja A matriz inversível.A-1.A=Idet(A-1.A)=det IdetA-1.detA=det I

detA-1=Adet

1

Uma vez que det I=1, onde i é a matriz identidade.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Determinantes – Teorema de Laplace

Menor complementar e Co-fator

Dada uma matriz quadrada A=(aij )nxn (n≥ 2), chamamos menor complementar do elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.

Exemplo

Sendo A=

212014321

, temos:

M11=2101 =2

M12=2204 =8

M13=1214 =2

Chamamos co-fatorn do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.

Exemplo

Sendo A

−

−

031312413

, temos:

A11=(-1)1+1.M11=(-1)2. 0331

=-9

A12=(-1)1+2.M12=(-1)3. 0132

− =-3

A33=(-1)3+3.M33=(-1)6. 1213 −

=5

Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n≥ 2, chamamos matriz co--fatora de A a matriz cujos elementos são os co-fatores dos ele-mentos de A; indicamos a matriz co-fatora por cof A. A transposta da matriz co-fatora de A é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj. A.

Exemplo

Sendo A=

−124101231

, temos:

A11=(-1)1+1.

1210 −

=2

A12=(-1)1+2.

1411 −

=-5

A13=(-1)1+3. 2401

=2

A21=(-1)2+1. 12

23 =1

A22=(-1)2+2.

1421

=-7

A23=(-1)2+3.

2431

=10

A31=(-1)3+1.

1023−

=-3

A32=(-1)3+2.

1121− =3

A33=(-1)3+3.

0131

=-3

Assim:

cofA =

2 −5 2

1 −7 10

−3 3 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

e adjA =

2 1 −3

−5 −7 3

2 10 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Determinante de uma Matriz de Ordem n

Definição.Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes

quadradas de ordem 1, 2 e 3.Seja A uma matriz quadrada de ordem n.

Então:- Para n = 1A=[a11] ⇒ det A=a 11

- Para n ≥ 2:

A= ∑=

=⇒

n

jjj

nnnn

n

n

AaA

aaa

aaaaaa

111

21

22221

11211

.det

..........................

.......

ou seja:detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n

Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos co-fatores.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplos

1º) Sendo A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ , temos:

detA=a11.A11+a12.A12, onde:A11=(-1)1+1.|a22|=a22A12=(-1)1+2.|a21|=a21

Assim:detA=a11.a22+a12.(-a21)detA=a11.a22-a21.a12

Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente.

− Sendo A =

3 0 0 0

1 2 3 2

23 5 4 3

−9 3 0 2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

,temos :

detA = 3.A11 + 0.A12 + 0.A13 + 0.A14zero

A11=(-1)1+1.

203341232

=-11

Assim:

detA=3.(-11)⇒ det A = -33

Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado.

Teorema de LaplaceSeja A uma matriz quadrada de ordem n, n⇒ 2, seu determi-

nante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores.

Exemplo

Sendo A=

− 0223001401232105

Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que calcular apenas um co-fator.

Assim:detA=2.A14+0.A24+0.A34+0.A44

A14=(-1)1+4

− 223014123

=+21

detA=2.21=42

Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com a regra de Sarrus, por exemplo.

- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade de zeros.

- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema de Laplace.

Exemplo

Calcule det A sendo A=

−−

3643213212101321

A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de Laplace, calcularemos ainda três co-fatores.

Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero”em A31=-2 e A41=3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos:

A=

−−

−

0320477012101321

Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna:

detA=1.(-1)1+1.

−−

−

032477121

=

−−

−

032477121

Aplicamos a regra de Sarrus,

det A=(0-16-21)-(-14+12+0)detA=0-16-21+14-12-0=-49+14detA=-35

Uma aplicação do Teorema de Laplace

Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular inferior.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Assim:1ª) A é triangular superior

A=

nn

n

n

n

a

aaaaaaaaa

...000...............

...00

...0....

333

22322

1131211

detA=a11.a22.a33. ... .ann

2ª) A é triangular inferior

A=

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaa

..................

...

...0....

321

3333231

22221

1131211

detA=a11.a22.a33. ... .ann

In=

1000

010000100001

det/n=1

Determinante de Vandermonde e Regra de Chió

Uma determinante de ordem n ≥ 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente.

Exemplos1º) Determinante de Vandermonde de ordem 3

222

111

cbacba

2º) Determinante de Vandermonde de ordem 4

3333

2222

1111

dcbadcbadcba

Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos.

PropriedadeUm determinante de Vandermonde é igual ao produto de

todas as diferenças que se obtêm subtraindo-se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do determinante.

ExemploCalcule o determinante:

detA =

1 2 4

1 4 16

1 7 49

Sabemos que detA=detAt, então:

detAt =

1 1 1

2 4 7

1 16 49

Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então:detA=(4-2).(7-2).(7-4)=2.5.3=30

Exercícios

1. Escreva a matriz A = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i + j.

2. Obtenha o valor de x e y sabendo que a matriz A = é nula.

3. Calcule a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz .

4. Calcule o valor a e b, sabendo que =

5. Sabendo que a matriz A = é matriz diagonal, calcule x, y e z.

6. Sabendo que I2 = calcule x e y.

7. Escreva a matriz oposta de A = (aij) 2x 2 sabendo que aij = i + j.8. Escreva a matriz transposta A = (aij)3 x 3 dada por aij = i – 2j.

9. Dada a matriz A = calcule o valor de a para que A seja simétrica.

10. Calcule A + B sabendo que A = e

B =


RACIOCÍNIO LÓGICO

Respostas

1) Solução: Sendo a matriz A do tipo 2 x 3, temos:

A =a11 a12 a13

a21 a22 a23

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

a11 = 2 . 1 + 1 = 3a12 = 2 . 1 + 2 = 4a13 = 2 . 1 + 3 = 5a21 = 2 . 2 + 1 = 5a22 = 2 . 2 + 2 = 6a23 = 2 . 2 + 3 = 7

Portanto, A =

2) Solução: Como a matriz A é nula, então todos os seus elementos são nulos. Logo:

x + 1 = 0 → x = -1y – 2 = 0 → y = -2

3) Solução: Os elementos da diagonal principal são 1, 5 e 9; logo, 1 + 5 + 9 = 15.

Os elementos da diagonal secundária são 3, 5 e 7; logo, 3 + 5 + 7 = 15.

Portanto, a soma procurada é 15 + 15, ou seja, 30.

4) Solução: Como as matrizes são iguais, devemos ter:a + 4 = 5 → a = 1b² = 4 → b = 2 ou b = -2

5) Solução: Como a matriz A é matriz diagonal, devemos ter:x + 2 = 0 → x = -2y – 1 = 0 → y = 1z – 4 = 0 → z = 4.

Portanto, x = -2, y = 1 e z = 4.6) Solução:

Como I2 = , devemos ter x – y = 1 e x + y = 0.Resolvendo o sistema encontramos x =

7) Solução:

A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ → a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 + 2 = 3, a21 = 2 +

1 = 3, a22 = 2 + 2 = 4.

Logo,A =2 3

3 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥e− A =

−2 −3

−3 −4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

8) Solução:

A =

a11 a12 a13

a 21 a22 a23

a31 a32 a33

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

a11 = 1 – 2 . 1 = -1a12 = 1 – 2 . 2 = -3a13 = 1 – 2 . 3 = -5

a21 = 2 – 2 . 1 = 0a22 = 2 – 2 . 2 = -2a23 = 2 – 2 . 3 = -4a31 = 3 – 2 . 1 = 1a32 = 3 – 2 . 2 = -1a33 = 3 – 2 . 3 = -3

Portanto, A =

−1 −3 −5

0 −2 −4

1 −1 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

e At =

−1 0 1

−3 −2 −1

−5 −4 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

.

9) Solução: A matriz A será simétrica se At = A.

At = .

Então devemos ter → a² = 4

Portanto, a = 2 ou a = -2.

10) Solução:

A + B =1 0 3

−2 4 2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

−1 1 2

3 −2 5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=1+ −1( ) 0 +1 3+ 2

−2 + 3 4 + (−2) 2 + 5

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

0 1 5

1 2 7

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ANOTAÇÕES

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RACIOCÍNIO LÓGICO

ANOTAÇÕES

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Documents

5_-_racioc_nio_l_gico_igual_mpu_2.pdf