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RAZÃO
A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente
entre dois números A e B, denotada por: .
Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4 porque:
e a razão entre 3 e 6 é 0,5 pois:
A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas
grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma
bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco
concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de
suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou
razão (que não tem unidade), é a razão: A/B.
Exemplo: Tomemos a situação apresentada na tabela abaixo.
Líquido Situação 1 Situação 2 Situação 3 Situação 4
Suco puro 3 6 8 30
Água 8 16 32 80
Suco Pronto 11 22 40 110
Na situação 1: para cada 3 litros de suco puro, coloca-se 8 litros de água
perfazendo 11 litros de suco pronto.
Na situação 2: para cada 6 litros de suco puro, coloca-se 16 litros de
água perfazendo 22 litros de suco pronto.
Na situação 3: para cada 8 litros de suco puro, coloca-se 32 litros de
água perfazendo 40 litros de suco pronto.
Na situação 4: para cada 30 litros de suco puro, coloca-se 80 litros de
água perfazendo 110 litros de suco pronto.
Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e
acerta 10.
Podemos avaliar o aproveitamento desse
jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de
arremessos, o que significa que o jogador acertou 1 para cada dois
arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de 0,5 para cada
arremesso.
Proporções
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre A/B e C/D
é a igualdade:
Notas históricas: A palavra proporção vem do latim proportione e
significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma
igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi
empregou o símbolo "..." para indicar as proporções e em 1.537, o italiano
Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma
6:3::8:4.
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o
emprego das proporções durante o período do Renascimento.
1) Propriedade Fundamental das proporções
Numa proporção:
Os números A e D são denominados extremos enquanto os números B
e C são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto
dos extremos, isto é:
A.D= B.C
Exemplo: A fração 3/4 está em proporção com 6/8, pois:
3.8=4.6
Exercício: Determinar o valor de X para que a razão X/3 esteja em
proporção com 4/6.
Aplicando a propriedade fundamental temos que:
x.6= 3.4 6x= 12
X=2. Muitos problemas em geometria são resolvidos com as propriedades das proporções, vejamos:
Consideremos dois segmentos AB e CD, cujas medidas são dadas,
respectivamente, por 2cm e 4cm. Assim podemos estabelecer a proporção da
seguinte forma: AB está para CD assim como 2 está para 4.
Observe que a expressão está para indica: AB/CD
E a expressão “assim como “ indica igualdade de AB/CD= 2/4.
Exemplo: Sejam os triângulos ABC e RST.
Observe que os triângulos são semelhantes(tem o mesmo formato) daí
seus lados equivalentes são proporcionais.
Veja: AC é equivalente a TR assim como AB é equivalente a RS e BC é
equivalente a ST. Assim podemos notar as proporções:
As proporções são também muito utilizadas em vários outros ramos ,
aos quais vale citar na cartografia, para marcar as dimensões das linhas que
delimitam as regiões do desenho de um mapa e a medida real daquela região.
Por exemplo: Suponha que a escala de um mapa esteja marcada como
1/ 1000.000.000. Assim como podemos encontrar a medida real de uma região
cujas linhas que limitam aquela região no mapa medem 5 cm?
Fazemos a seguinte proporção:
Se para cada 1 cm do desenho corresponde 1000.000.000 cm de
comprimento real, então para cada 5cm corresponde x.
Aplicando a propriedade das proporções teremos que x=
5.000.000.000cm. Ou seja 50.000km de distância real.
Proporções com números
Quatro números racionais A, B, C e D diferentes de zero, nessa ordem,
formam uma proporção quando:
1. Os números A, B, C e D são denominados termos
2. Os números A e B são os dois primeiros termos
3. Os números C e D são os dois últimos termos
4. Os números A e C são os antecedentes
5. Os números B e D são os consequentes
6. A e D são os extremos
7. B e C são os meios
8. A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma
constante K, denominada constante de proporcionalidade K dessa
razão.
Propriedades das proporções
Para a proporção valem as seguintes propriedades:
1) O produto dos extremos é igual ao produto dos meios
A.C= B.D
2) A soma (ou diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro
termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o
terceiro termo, isto é:
ou
Exemplo: A idade de Paulo está para a idade de Maria assim
como 3 está para quatro. Se a soma das idades dos dois é
igual a 35 anos. Qual a idade de cada um deles?
Observe que a soma das idades é 35 anos , então vamos
substituir P+M por 35:
Assim, teremos:
Pela propriedade fundamental:
7M= 4. 35⇨7M= 140⇨ M= 20.
Maria tem 20 anos.
Como a soma das idades era 35 anos, podemos verificar que
Paulo tem 15 anos.
3) A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o segundo
termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está para o
quarto termo, isto é:
ou =
Exemplo:
A diferença entre dois números é 20. Sabe-se que eles são
proporcionais aos números 4 e 3, respectivamente. Determinar
estes números.
4) A soma (ou diferença) dos antecedentes está para a soma
(diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está
para o seu consequente, isto é:
ou =
Exemplo: Determinar os números a, b e c, sabendo que
= , e que a+b+c= 200.
= . ⇨
10.a=600 ⇨ a = 60;
10.b=1000⇨b=100;
10c= 400 ⇨c=40.
Observe que: 60+100+40= 200.
Exercícios propostos
1) Determine dois números na proporção de 3 para 5, sabendo que a soma deles é
48.
2) Determine dois números na proporção de 3 para 5, sabendo que o segundo
supera o primeiro em 60 unidades.
3) A razão entre dois números é igual a 4/5. Determine-os sabendo que eles somam 72.
4) A razão entre dois números é igual a 4/5. Determine-os sabendo que o segundo supera o primeiro em 12 unidades.
5) Determine dois números na proporção de 2 para 7 sabendo que o dobro do
primeiro mais o triplo do segundo resulta igual a 100.
6) Dois números positivos encontram-se na proporção de 11 para 13. Determine-os
sabendo que a soma de seus quadrados resulta igual a 29.000.
7) Dois números negativos encontram-se na proporção de 7 para 3. Determine-os
sabendo que o quadrado do primeiro supera o quadrado do segundo em 360.
8) Encontre os três números proporcionais a 3, 4 e 5, tais que a diferença entre o maior deles e o menor é igual a 40.
9) Para usar certo tipo de tinta concentrada, é necessário diluí- la em água na proporção de 3:2 (porção de tinta concentrada para água). Sabendo que foram
comprados 9 litros dessa tinta concentrada, quantos litros de tinta serão obtidos após a diluição na proporção recomendada?
10) Três números são tais que o primeiro está para o segundo assim como 2 estã para 3 e o terceiro está para o primeiro assim como 1 está para 3. Determine-os
sabendo que a diferença do maior deles para o menor deles resulta em 35 unidades.
Exercícios complementares
1) Num concurso público constatou-se que a razão entre o número de homens e o número de mulheres era 3/5. Se o total de inscritos era 1600 pessoas, determine:
a) O número de mulheres que fizeram o concurso.
b)A razão entre o número de aprovados e o número de inscritos, sabendo que 5/12 dos homens foram aprovados e 17/25 das mulheres não conseguiram
aprovação.
2) Há pouco tempo, de cada 5 criança que nascia no mundo uma era chinesa e,
entre as chinesas, de cada 5 crianças 3 eram meninas. Sabendo-se que para as outras nacionalidades havia equilíbrio entre o número de meninas e o número de meninos. Pergunta-se:
a) Nascidas 250 crianças, quantas crianças chinesas seriam esperadas?
b) Qual era a razão entre o número de meninas e meninos recém-nascidos
chineses e o das recém- nascidas de outras nacionalidades?
3) Colocando-se 27 litros de gasolina no tanque de um carro, o ponteiro do marcador, que indicava ¼ do tanque, passa a indicar 5/8. Qual é a capacidade
total desse tanque de gasolina?
4) Um café é preparado e, logo depois é servido em quatro xícaras, nas quais é colocado o mesmo tipo de açúcar. A primeira xícara recebe 50ml de café e 2 g de açúcar;70 ml de café e 3g de açúcar; a terceira, 90ml de café e 4g de açúcar;
a quarta , 120 ml de café e 5 g de açúcar. Em qual das xícaras o café estará mais doce?
5) Dois estudantes A e B receberam bolsas de estudos de mesmo valor. No final do
mês, o estudante A havia gasto 5/4 do total de sua bolsa, o estudante B havia gasto 5/6 do total de sua bolsa, sendo que o estudante A ficou com R$8,00 a mais que o estudante B.
a) Qual era o valor da bolsa?
b) Quantos reais economizou cada um dos estudantes naquele mês?
Termos de uma proporção:
A proporção d
c
b
a pode ser lida como “a” está para “b” assim como “c” está para “d”
e representada como a:b::c:d.
Nesta proporção, os números a e d são os extremos e os números b e c são os meios. Em uma proporção os termos que ocupam os numeradores das frações são chamados de antecedentes e os termos que ocupam os denominadores são chamados de conseqüentes.
Quarta proporcional de três números dados, a, b, c , nesta ordem, é o número x que
completa com os outros três uma proporção tal que x
c
b
a.
Exemplo: Encontre a quarta proporcional dos números 3, 4 e 6 nesta ordem.
x
6
4
3 3.x= 6.4 x= 24/3 x =
8. Proporção contínua é aquela que tem meios iguais.
Exemplo: 4
6
6
9.
O valor comum dos meios é chamado média proporcional( ou média geométrica) dos
extremos. Exemplo: 4 é a média proporcional entre 2 e 8, pois 2:4:: 4:8.
O último termo é chamado terceira proporcional. Exemplo: 5 é a terceira proporcional dos números 20 e 10, pois 20:10::10:5.
Proporção múltipla é a igualdade simultânea de três ou mais razões. Exemplo:
10
5
8
4
6
3
4
2
Razões inversas são duas razões cujo produto é igual a 1.
Exemplo:
16
10
5
3x então dizemos que “3 está para 5 na razão inversa de 10 para 6” ou então que
3/5 está na razão inversa de 10/6 ou ainda que 3/5 e 10/6 são razões inversas.
Quando duas razões são inversas, qualquer uma delas forma uma proporção com o inverso da outra.
Exemplo: 3/5 e 10/6 são razões inversas. Então, 3/5 faz proporção com 6/10 (que é o inverso de
10/6) enquanto 10/6 faz proporção com 5/3 (que é o inverso de 3/5).
Escala
Chamamos de escala à razão constante entre qualquer medida de comprimento num desenho e a medida correspondente no objeto real representado pelo desenho,
ambos na mesma unidade. Exemplos de aplicação:
1) Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais.
Qual a razão do número de questões certas para o de erradas?
Resolução: Das 50 questões, 35 estavam certas e 5 ficaram em branco.
Logo o número de questões erradas: 50-35-5=10 Assim, a razão do número de questões certas (35) para o de erradas (10) é
2
7
10
35ou seja, 7 para 2.
2) Calcular dois números positivos na proporção de 2 para 5 sabendo que a diferença do maior para o menor é 42.
Resolução:
Sejam x o menor e y o maior dos números procurados. A proporção nos mostra que x está para 2 assim como y está para 5.
Então podemos dizer que: X tem 2 partes .................(x = 2p) Enquanto y tem 5 partes... y = 5p)
Mas como a diferença entre y-x deve valer 42, teremos: 5p-2p= 42
3p= 42 P = 14. Logo, podemos concluir que: O valor de x é .....x = 2p = 2.14 = 28
O valor de y é .....y = 5p = 5.14 = 70.
3) Na proporção múltipla 653
zyx, determine os valores de x, y e z sabendo que
x+y+z= 112. Aplicando a 4ª propriedade das proporções temos:
653653
zyxzyx
Assim:
314
xzyx
314
112 x,
14x= 112 .3
14x = 336
X=24.
514
112 y 14y = 112 .5
14y = 560
Y= 40
614
112 z 14z = 112 .6
14z = 672
Z = 48.
Logo, as partes são 24, 40 e 48.
4) Dois números positivos estão entre si assim com 3 está para 4. Determine-os
sabendo que a soma dos seus quadrados é igual a 100. Resolução:
4
3
y
x
16
9
²
²
y
x.
16
169
²
²²
y
yx.
16
25
²
100
y.
Y².25 = 1600
Y²= 1600/25 Y² = 64
Y= 8 X² + y² = 100, então, x² + 64 = 100
X²= 36 X = 6.
Divisão proporcional
Grandezas diretamente proporcionais
Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, ...) dizemos que estes valores são diretamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3,...) quando forem
iguais as razões entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra.
...3
3
2
2
1
1
b
a
b
a
b
a
O resultado constante das razões obtidas de duas sucessões de números diretamente proporcionais é chamado de fator de proporcionalidade .
Exemplo:
Os valores 6, 7, 10 e 15, nesta ordem são diretamente proporcionais aos valores 12,
14, 20 e 30, respectivamente, pois as razões 30
15
20
10
14
7
12
6 são todas iguais, sendo
igual a ½(fator de proporcionalidade) da primeira para a segunda.
Como se pode observar as sucessões de números diretamente proporcionais formam proporções múltiplas. Assim valem as propriedades já estudadas anteriormente.
Grandezas inversamente proporcionais
Dada a sucessão de valores(a1, a2, a3, ...), todos os valores diferentes de zero,
dizemos que estes valores são inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão(b1, b2, b3, ...) todos também diferentes de zero, quando forem iguais os
produtos entre cada valor de uma das sucessões e o valor correspondente da outra. a1.b1 = a2.b2 = a3.b3 = ...
Exemplo:
Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos 2x30, 3x20, 5x12 e 12x5 são todos iguais.
Relação entre proporção inversa e proporção direta Sejam duas sucessões de números, todos diferentes de zero. Se os números de uma
são inversamente proporcionais aos números da outra, então os números de uma delas serão diretamente proporcionais aos inversos dos números da outra.
Nota: Esta relação permite trabalhar com sucessões de números inversamente proporcionais como se fossem diretamente proporcionais.
Divisão em partes proporcionais
1º caso: Divisão em partes diretamente proporcionais
Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b, c, …,
significa encontrar os números A, B, C, …, tais que: A/a = B/b = C/c = …
A+B+C = N
Exemplos: 1) Dividir o número 72 em três partes diretamente proporcionais aos números 3, 4
e 5.
Resolução: Indicando por A, B, C cada uma das partes procuradas, temos que:
A= 3p; B= 4p e C= 5p A+B+C = 72 3p+4p+5p = 72
12 p = 72 :. p= 6. Logo, A= 3 x 6:. A= 18;
B = 4 x 6 :. B = 24 e C = 5 x 6:. C = 30. Portanto, as três partes procuradas são 18, 24 e 30.
2) Dividir o número 46 em partes diretamente proporcionais aos números ½; 2/3 e
¾. Resolução: Dividindo as frações ao mesmo denominador teremos:
6/12; 8/12 e 9/12. Desprezar os denominadores iguais não afetará os resultados finais, pois a
proporção será mantida e ainda simplificará nossos cálculos.
Então, podemos dividir 46 em partes diretamente proporcionais a 6, 8 e 9 (os
numeradores). Indicando por A, B, C as três partes procuradas, temos:
A= 6p; B =8p e C = 9p. A+B+C= 46 6p+8p+9p = 46
23p = 46 :. p = 2. Assim, concluímos que:
A= 6p = 6x2 = 12 B = 8p = 8x2 = 16 e C = 9p = 9x2 = 18.
As partes procuradas são 12, 16 e 18.
2º caso: Divisão em partes inversamente proporcionais Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a números dados a, b, c,
…, significa encontrar os números A, B, C, … tais que a xA = bXB = c x C = …
A+B+C+...=N. Exemplos:
1) Dividir 72 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12. Usando a relação entre proporção inversa e proporção direta, podemos afirmar que as
partes procuradas são diretamente proporcionais a : 1/3, ¼ e 1/12. Reduzindo as frações ao mesmo denominador, teremos:
4/12, 3/12 e 1/12. Podemos desprezar o denominador das frações, o que simplificará nossos cálculos.
Então, podemos dividir 72 em partes diretamente proporcionais a 4, 3 e 1(numeradores). Indicando por A, B, C as três partes procuradas, teremos: A= 4p, B= 3p e C= 1p.
A+B+C = 72 4p + 3p + p = 72
8p = 72 :. p = 9 Assim, concluímos que: A = 4p = 4 x 9 = 36
B = 3p = 3 x 9 = 27 C =1 p = 1 x 9 = 9.
Portanto, as partes procuradas são 36, 27 e 9. 3º caso: Divisão composta direta
Chamamos de divisão composta direta à divisão de um número em partes que devem
ser diretamente proporcionais a duas ou mais sucessões de números dados, cada uma. Para efetuarmos a divisão composta direta, devemos:
I) Encontrar uma nova sucessão onde cada valor será o produto dos valores
correspondentes das sucessões dadas; II) Efetuar a divisão do número em partes diretamente proporcionais aos valores da
nova sucessão encontrada. Exemplo:
Dividir o número 270 em três partes que deve ser diretamente proporcionais aos
números 2, 3 e 5 e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente.
Resolução: Indicando por A, B e C as três partes procuradas, devemos ter: A deverá ser proporcional a 2 e 4 = 2x4 = 8, logo A= 8partes;
B deverá ser proporcional a 3 e 3 = 3 x 3 = 9, logo B = 9partes e C deverá ser proporcional a 5 e 2 = 5x2= 10, logo B= 10 partes.
Assim, A+B+C = 270 :. 8p + 9p + 10p = 270
27 p = 270 :. p = 10. Então:
A = 8x10 :. A= 80 B = 9x10 :. B = 90 e C = 10 x10 :. C = 100.
Portanto, as três partes procuradas são: 80, 90 e 100.
4º caso: Divisão composta mista Chamamos de divisão composta mista a divisão de um número em partes que devem
ser diretamente proporcionais aos valores de uma sucessão dada e inversamente proporcionais aos valores de uma outra sucessão dada.
Para efetuarmos uma divisão composta mista, devemos: Inverter os valores da sucessão que indica proporção inversa, recaindo assim
num caso de divisão composta direta;
Aplicar o procedimento explicado anteriormente para as divisões compostas diretas.
Exemplo:
Dividir o número 690 em três partes que deve ser diretamente proporcionais aos números 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, respectivamente.
Resolução: Invertendo os valores da sucessão que indica proporção inversa, obtemos: ½; 1/3 e ¼
Reduzindo ao mesmo denominador comum, teremos: 6/12; 4/12 e 3/12
Desprezando o denominador 12, teremos: 6, 4, e 3, respectivamente. Então, indicando por A, B e C as três partes procuradas, devem ter:
A será proporcional a 1 e 6, ou seja; A = 1x6 :. A = 6 partes; B será proporcional a 2 e 4, ou seja: B = 2x4 :. B= 8 partes e
C será proporcional a 3 e 3, ou seja : C = 3x3 :. C = 9 partes. Assim:
A+B+C= 690 6p+8p+9p = 690
23 p = 690 :. p = 30.
Então:
A = 6 x 30 :. A= 180; B = 8 x 30 :. B = 240 e
C = 9 x 30 :. C = 270. Portanto, as três partes são: 180, 240 e 270.
Exercício de fixação 2
1) Determine X, Y, Z de modo que as sucessões (15, x, y, z) e (3, 8, 10, 12) sejam diretamente proporcionais.
2) Determine X, Y, Z de modos que as sucessões (X, 32, y, Z) e (3, 4, 7, 9) sejam diretamente proporcionais.
3) Determine X e Y de modo que as sucessões (20, X, Y) e (3, 4, 5) sejam
inversamente proporcionais.
4) Determine X, Y e Z d modo que as sucessões (6, X, Y, Z) e (20, 12, 10, 6) sejam inversamente proporcionais.
5) Determine X e Y de modo que as sucessões (3, X, Y) e (4, 6, 12) sejam
inversamente proporcionais.
6) Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 13.
7) Dividir 1200 em partes diretamente proporcionais a 26, 34 e 40.
8) Dividir 96 em partes diretamente proporcionais a 1,2 ; 2/5 e 8.
9) Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.
10) Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6.
11) Dividir 1090 em partes inversamente proporcionais a 2/3; 4/5 e 7/8.
12) Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e inversamente
proporcionais a 5 e 6.
13) Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e inversamente proporcionais a 5, 4 e 2.
14) Repartir uma herança de R$ 460.000,00 entre três pessoas na razão direta do
número de filhos de cada uma e na razão inversa das idades delas. As três pessoas têm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades dos respectivos filhos
são 24, 32 e 45 anos.
15) Dois irmãos repartiram uma herança em partes diretamente proporcionais as
suas idades. Sabendo que cada um deles ganhou, respectivamente, R$3.800,00 e R$ 2.200,00, e que as suas idades somam 60 anos, qual é a idade de cada um deles?
16) Certa quantia foi dividida entre duas pessoas em partes proporcionais a 2 e 3. Sabendo que a segunda recebeu a mais que a primeira R$ 1.000,00, determine qual o valor total da quantia distribuída.
A
B