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(2014/2015)
Anlise Estrutural Avanada
Integrao numrica - Quadratura de Gauss
Anlise estrutural avanada (2014/2015)
Quadratura de Gauss
Muitos dos integrais que necessrio calcular no mbito da aplicao
do Mtodo dos
Elementos Finitos (MEF) no so triviais, i.e., ou a primitiva da
funo integranda no
existe explicitamente, ou demasiado complicada para viabilizar a
sua utilizao prtica.
Por este motivo essencial recorrer a tcnicas de integrao
numrica, que tambm
recebem a designao de quadratura
(Azevedo, A., 2003)
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(Azevedo, A., 2003)
O integral (exacto) do polinmio no intervalo [-1,1] :
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(Azevedo, A., 2003)
Suponha-se agora que se pretende avaliar o integral de f (x) por
intermdio do somatrio de
avaliaes da funo f (x) em determinados locais, multiplicadas por
adequados pesos.
No caso do polinmio de grau 5 indicado, para se obter um
resultado exacto, deve-se avaliar a funo
f (x) em trs pontos de amostragem Pi e multiplicar cada um
desses valores por pesos Wi. O
integral avaliado desta forma designado por J, sendo:
colocar em evidncia os coeficientes
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Neste exemplo, relativo ao polinmio de grau 5, pretende-se
que:
I=J
Que o mesmo que dizer:
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Uma vez que os coeficientes ci so arbitrrios, para que a
igualdade anterior se verifique sempre,
suficiente que:
Para obter os valores de P1, P2, P3, W1, W2 e W3, resolve-se o
sistema de seis equaes no lineares a
seis incgnitas. A respectiva soluo
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O valor exacto do integral de um polinmio de grau 5, no
intervalo [-1,1], pode ser obtido com:
Os pontos de amostragem Pi, tambm so designados por pontos de
Gauss.
No caso de a funo f (x) ser genrica, i.e., no polinomial ou
polinomial de grau superior a 5, a
expresso, anterior, fornece um valor aproximado do integral I
.
O procedimento apresentado para o polinmio de grau 5, pode ser
repetido para polinmios de
qualquer grau.
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Integrais Mltiplos
Considerando em primeiro lugar o integral em ordem a x,
tem-se:
sendo nx o nmero de pontos de Gauss utilizados na direco x.
Considerando que a funo integranda uma funo g(y),
Substituindo agora o integral em
ordem a y, por um somatrio resulta:
Com;
sendo ny o nmero de pontos de
Gauss utilizados na direco y
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Integrais Mltiplos
que equivalente a
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Como o clculo de uma matriz de rigidez de um elemento
isoparamtrico, corresponde a um
integral duplo, cujos limites de integrao sejam -1 e +1 para
ambas as variveis, pode ser calculado
pela quadratura de Gauss, sendo o resultado obtido, em geral, um
valor aproximado pela expresso:
Nesta expresso, nGP1 o nmero de pontos de Gauss associado direco
s1 e nGP2 o nmero
correspondente direco s2. Os parmetros Wi e Wj so os pesos
associados s direces s1 e s2. A
funo f deve ser avaliada nos pontos de Gauss, cujas coordenadas
so:
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(Azevedo, A., 2003)
No caso de ser nGP1 = 2 e nGP2 = 2, da expanso dos somatrios em
(104) resulta a seguinte expresso:
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Bibliografia
Delgado, R. Texto de apoio s aulas de Mtodo dos Elementos
Finitos. Faculdade de
engenharia da Universidade do Porto. 1990, Porto, Portugal.
Azevedo, A. Livro - Mtodo dos elementos finitos. Faculdade de
engenharia da Universidade
do Porto. Abril 2003, Porto, Portugal.
Azevedo, A. Apresentao -Mtodo dos elementos finitos. Faculdade
de engenharia da
Universidade do Porto. Abril 2003 Porto, Portugal.
