INSTITUTO POLITÉCNICO - CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

DISCIPLINA: SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA - SEP I

NOTAS DE AULA I: INTRODUÇÃO ÀS LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA DE CORRENTE ALTERNADA

Prof. José Celso Borges de Andrade – 2012

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SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA I - SEP I. PUC Minas - Enga. Elétrica.

EM SALA DE AULA (POWER POINT):

MATRIZ ENERGÉTICA BRASILEIRA FONTES CONVENCIONAIS E NÃO CONVENCIONAIS DE ENERGIA ELÉTRICA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA E QUALIDADE (QEE)

NOTAS DE AULA I: INTRODUÇÃO ÀS LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA DE CORRENTE ALTERNADA

NÍVEIS DE TRANSMISSÃO E PADRONIZAÇÃO; CÁLCULO DOS PARÂMETROS R, L, C DAS LTS CA; LINHAS CURTAS, MÉDIAS E LONGAS; EFEITO CORONA.

LIVRO TEXTO: Stevenson, W.D. “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, McGraw - Hill, 2a Edição em português, RJ, 1986. PARÂMETROS ELÉTRICOS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO R, L, C; CÁLCULO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO CURTAS, MÉDIAS E LONGAS; CONSTANTES GENERALIZADAS A, B, C, D. EFEITO CORONA.

AVALIAÇÕES:

1o. TP: 10 pontos1a. Prova: 40 pontos2o. TP: 10 pontos2a. Prova: 40pontos

Substitutiva 40 pontos

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SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA - SEP I

NOTAS I: INTRODUÇÃO ÀS LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA DE CORRENTE ALTERNADA

I) - INTRODUÇÃO ÀS LINHAS DE TRANSMISSÃO:

a - INFLUÊNCIA DO NÍVEL DE TENSÃO Vn E DO COS (fator de potência) no custo dos condutores de uma LT:

I

Vn Potência por fase P =

V n . I .cos ϕ

1000kW / fase

Carga

-Perda por fase na L.T. p= R I ²

1000kW / fase

ou:

p= 1000 . P ² .R

V n2 cosϕ

kW / fase sendo:

R=ρ .lS (onde l = comprimento, S = seção do condutor)

ρ = resistividade do material: natureza do material condutor, temperatura, pressão, etc...

Para os materiais mais usados, na temperatura de 20o C, tem-se:

Cobre - Cu (100% condutor, densidade = 8,89) : 1,724 ohm / cmAlumínio - Al (alumínio duro, densidade = 2,70): 2,283 ohm / cmFerro - Fe (ferro puro): 9,780 ohm / cmAço 14,000 ohm / cm

b - ESCOLHA DO NÍVEL DA TENSÃO DE TRANSMISSÃO: (é uma questão ligada à capacidade de transmissão da L.T. e, principalmente econômica). Muitas vezes a escolha é feita pelo SIL (Surge Impedance Loading, a ser visto, junto com o cálculo dos parâmetros) da L.T., pela disponibilidade das subestações próximas e padronização dos níveis de tensão nas empresas. Fórmula empírica:

V= 5,5 √ 0 , 61 . l + P100

( Still)onde:

p=1000 . P ² . l . ρ

S .V n2 . cos²ϕ

kW / fase e S=1000 . P ² . l . ρ

p . V n2 . cos² ϕ

Para uma L. T . (com P , ρ , p , l definidos ):

S .l=volume de material=K .1V n

2 . cos²ϕSe c , custo /kg do material e δ , peso específico :

Custo= c . δ . S .l= K1 .1V n

2 .cos² ϕ

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V tensão eficaz fase-fase em kVP potência máxima a transmitir em kWl comprimento em km (> 30 km)

TENSÕES PREFERENCIAIS EM CORRENTE ALTERNADA - CA, 60 Hz: em kV, fase-fase: 1050 (prevista), 750* 500* 440 345* 275 230* 161 138* 115 69* 34,5 ? 23 13,8* (distribuição primária)*Valores recomendados, no brasil, para ampliação do sistema elétrico de potência - SEP.

-Tensão em corrente contínua - cc: Itaipu + 600 kV, Rio Madeira + 600 kV

-As concessionárias de energia elétrica procuram restringir o número de tensões adotadas em seus sistemas, por uma questão de padronização de estruturas, estoques de componentes e acessórios, ferramentas, treinamento de pessoal, etc.;-Outros fatores: experiência, similaridade de condições, acessibilidade das subestações, condições e expectativa de crescimento das cargas, previsão de interligações, operação dos sistemas, etc;-Quanto maior o nível de tensão de transmissão, menor o custo dos condutores. A partir de um certo valor de tensão, o custo das torres, isoladores, disjuntores, subestações sobe rapidamente, assim como os aspectos de segurança, principalmente dentro das cidades, etc...

c - ESCOLHA DA SEÇÃO DOS CONDUTORES:-Segurança térmica; -economia e retorno dos investimentos;-perdas de potência de transmissão;-quedas de tensão admissíveis;-resistência mecânica.-Os projetos das Linhas de Distribuição e Transmissão, em geral, se iniciam pelo critério de “segurança térmica” e “perda de potência”. Em seguida, são verificados os outros fatores.-Os projetos da Rede de Distribuição: em geral, se iniciam pela “segurança térmica” e cálculo das “quedas de tensão” (momento elétrico, ou estudos de fluxo de carga).

d - DISTÂNCIA ENTRE CONDUTORES (MUITO VARIÁVEL), (STILL): Vn em Volts

dv dh dh

dv

dh 0,00538 x Vn metros dv 0,00425 x Vn metros

e - ESPAÇAMENTO EM m

15,0019,0013,00750

13,1017,0011,00500

12,1015,009,00345

10,2011,405,20230

6,006,103,70138

2,705,501,5069

Típico m

Máximo m

Mínimo m

Tensão kV

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FAIXAS DE PASSAGEM (right of way) TÍPICAS DAS LTS , EM metros: CEMIG S/A (até 500 kV) - 2010

69 kV 20 m138 kV 23 m230 kV 38 m345 kV 50 m500 kV 60 m750 kV 95 m CC: + 600kV 72 m

COMPARAÇÃO ENTRE DIFERENTES LTs CC Bipolar (+ Vcc ) e CA (3 - equilibradas)

a) - Potência igual a transmitir;b) - Comprimento igual da LT; c) - Perda de potência igual.

a+

Vcc = Vmáx Vmax/2-

N +Vcc = Vmáx b

-c

CC CA

Pcc = 2Vcc.Icc; pcc = 2 Rcc I²cc Pca = 3 (Vmáx/2) . I . cos ; pca = 3 Rca. I²caIgualando as potências a transmitir (Pcc = Pca) e as perdas (pcc = pca ), para mesma distância de transmissão, vem:

Rca/Rcc = (3. cos² )/4.

Como há 3 condutores nos sistema AC - 3 e 2 condutores no sistema CC Bipolar, a quantidade gasta de material para os condutores, fica:

CA = [ 2/ cos² ] CC, para Vmáx iguais, entre condutor e neutro, ou:CA = 1,5/ cos² , para Vmáx iguais entre dois condutores.

Todos os outros fatores devem ser considerados como o custo das subestações, estruturas, direitos de passagem, configurações, etc.

ALGUNS ASPECTOS GERAIS RELATIVOS ÀS LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO: (procurar normas brasileiras atualizadas):-Normas para apresentação de projetos para aprovação oficial-Normas que fixam princípios básicos para Linhas de Transmissão e Subtransmissão, para:-Garantir níveis mínimos de segurança para os empregados e público;-Limitar as perturbações em instalações próximas, principalmente nas de telecomunicação;-Fixar distâncias mínimas de partes vivas às partes aterradas dos suportes (condições de máximo deslocamento, para máximo vento, à temperatura + provável);-Realizar travessias e aproximações: -sobre linhas aéreas e de telecomunicações; vias de transporte, edificações; etc.;

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-Faixas de segurança: aproximação de aeroportos; sinais de advertência; estais das estruturas; aterramento; divisão do país, em regimes de carga do vento; cabos condutores e para-raios; isoladores, ferragens, cargas atuantes nas estruturas, fundações, torres (metálicas, de concreto armado, madeira).

ATENÇÃO: familiarizar-se com as Tabelas A1, A2 e A3 do livro texto: condutores CAA (ACSR). 1 pé = 30,48 cm; 1 milha = 1609 m; 1 polegada = 2,54 cm; Área de 1 CM (Circular Mill)=0,00050670866 mm² = área de um condutor com 0,0001 polegadas de diâmetro.

EXEMPLO DE LT 3: TRÊS MARIAS - MG: 345 KV (fase-fase) - CABOS GEMINADOS, 2 x 795 MCM-DRAKE -Formação 26 / 7 - CAA (ACSR).

10,6m 10,6m d = 0,45 cm

d d d-Altura média dos condutores ao solo = 19,6 m (estrutura rígida).

II) – EXEMPLO DO CÁLCULO PRELIMINAR DOS CONDUTORES DE UMA LT AÉREA

-Linha de Transmissão para transportar a potência máxima de 10 MW, cos = 0,9 indutivo, com perda máxima admissível de p = 5%, f = 60 Hz, disposição dos condutores segundo plano horizontal, comprimento de 90 km. Pede-se calcular:a - Tensão de transmissão;b - Espaçamento entre condutores;c - Perda de potência em kW;d - A resistência ôhmica por fase ao longo da L. T.;e - Resistência por km do condutor a ser utilizado; f - Escolha do Condutor.

a -Tensão de transmissão:

V = 68,45 kV Escolha da tensão: 69 kV

b - Espaçamento entre condutores:

dh = 0,005377 . 69000 / 3 = 214,5 cm (Still)

c - Perda de potência máxima permissível:

Potência aparente por fase: S = P / (3. cos ) = 10000 / (3 . 0,9) = 3704 kVA / faseCorrente por fase: | I | = 3704/ (69/3) = 92,87 A / fase

p = 10000 . 0,05 = 500 kW ou 166,7 kW / fase

a b c

V= 5,5 √ 0 ,61. 90 + 10000100

(Fórmula de Still)

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d -Resistência ôhmica / fase:

Pfase = Rfase. I ² Rfase = (166700 watts/fase)/ 92,87² = 19, 33 / fase

e -Resistência ôhmica por km de condutor:

R/km = R fase / l = 19,33/90 = 0,215 / km de condutor

Ou: 0,215 . 1,609 = 0,346 / milha

f - ESCOLHA DO CONDUTOR CAA (ACSR), alumínio nu com alma de aço:

Tabela A1, pág. 447, “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, William D. Stevenson, Jr. Mc Graw Hill Ltda., 2 a. Edição em português, 1986.

-Cabo Ostrich, 300 MCM, formação 26/7, R = 0,3372 / milha, a 50 º C, 60 Hz.

-Em geral, a escolha final dos condutores tem a ver com os projetos padronizados de uma determinada empresa concessionária.

Mas, normalmente os cálculos envolvem:-Segurança térmica; perda de potência máxima amissível; queda de tensão máxima admissível; resistência mecânica; economia.

PROPOSTA, FAZER O CÁLCULO PARA UMA LT:

-Carga de 400.000 kW, cos = 0,92 indutivo; -Perda de potência máxima = 4 %;-Disposição horizontal;-Distância = 250 km.

OBSERVAÇÃO:

-Se a L.T. for de 230 kV ou menor, usar 01 condutor / fase;-Se a L.T. for de 345 kV, usar 02 condutores / fase;-Se a L. T. for de 500 kV, usar 03 condutores / fase;

Tabela de Condutores: inclusive para o cálculo das perdas por Efeito Corona

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CódigoBitola RMG-

60Hz(m)

R a 25 º Cohms/cond./km

R a 50 º Cohms/cond./km

Imáx60Hz (A)

Aprox

camadas de alumínio,n ºde fios (diâm-pol) /aço: n º de fios (diâm-

pol)MCM mm2

AlDiâmetro

mmcc 60 Hz cc 60 Hz

CAA-com multi camadas de AlumínioBluebird 2156,0 1092 44,755 0.01792 0,02648 0,0289 ? 0,0314 1870 4 84x0.1602/19x0.0961

Falcon 1590,0 805 39,243 0,01584 0,03648 0,0367 0,04014 0,0425 1380 3 54x0.1716/19x0.1030

Parrot 1510,5 765 38,252 0,01545 0,03840 0,0386 0,04226 0,0447 1340 3 54x0.1672/19x0.1003

Plover 1431,0 725 37,211 0,01502 0,04052 0,0407 0,04462 0,0472 1300 3 54x0.1628/19x0.0977

Martin 1321,5 684 36,169 0,01459 0,04294 0,0431 0,04729 0,0499 1250 3 54x0.1582/19x0.0949

Pheasant 1272,0 644 35,102 0,01417 0,04561 0,0458 0,05021 0,0528 1200 3 54x0.1535/19x0.0921

Grackle 1192,5 604 33,985 0,01371 0,04866 0,0489 0,05537 0,0563 1160 3 54x0.1486/19x0.0892

Finch 1113,0 563 32,842 0,01325 0,05214 0,0524 0,05742 0,0602 1110 3 54x0.1436/19x0.0862

Curlew 1033,5 523 31,648 0,01280 0,05612 0,0564 0,06177 0,0643 1060 3 54x0.1383/07x0.1383

Cardinal 954,0 483 30,378 0,01228 0,06084 0,0610 0,06699 0,0701 1010 3 54x0.1329/07x0.1329

Canary 900,0 456 29,514 0,01191 0,06463 0,0646 0,07116 0,0736 970 3 54x0.1291/07x0.1291

Crane 874,5 443 29,108 0,01176 0,06650 0,0671 0,07321 0,0763 950 3 54x0.1273/07x0.1273

Condor 795,0 402 27,762 0,01121 0,07271 0,0739 0,08004 0,0856 900 3 54x0.1213/07x0.1213

Drake 795,0 402 28,143 0,01143 0,07271 0,0727 0,08004 0,0800 900 2 26x0.1749/07x0.1360

Mallard 795,0 402 28,956 0,01197 0,07271 0,0727 0,08004 0,0800 910 2 30x0.1628/19x0.0977

Crow 715,5 362 26,314 0,01063 0,08141 0,0820 0,08962 0,0921 830 3 54x0.1151/07x0.1151

Starling 715,5 362 26,695 0,01082 0,08141 0,0814 0,08962 0,0896 840 2 26x0.1659/07x0.1290

Redwing 715,5 362 27,457 0,01133 0,08141 0,0814 0,08962 0,0896 840 2 30x0.1544/19x0.0926

Gull 666,6 337 25,400 0,01027 0,08701 0,0876 0,09577 0,0955 800 3 54x0.1111/07x0.1111

Goose 636,0 322 24,815 0,01002 0,09136 0,0919 0,10055 0,1049 770 3 54x0.1085/07x0.1085

Grosbeak 636,0 322 25,146 0,01021 0,09136 0,0913 0,10055 0,1005 780 2 26x0.1564/07x0,1216

Egret 636,0 322 25,882 0,01069 0,09136 0,0913 0,10055 0,1005 780 2 30x0.1456/19x0.0874

Duck 605,0 306 24,206 0,00978 0,09571 0,0963 0,10534 0,1103 750 3 54x0.1095/07x0.1059

Squab 605,0 306 24,536 0,00996 0,09571 0,0957 0,10565 0,1068 760 2 26x0.1525/07x0.1186

Dove 556,5 281 23,545 0,00954 0,10411 0,1044 0,11491 0,1155 730 2 26x0.1463/07x0.1138

Eagle 556,5 281 24,206 0,00999 0,10411 0,1044 0,11491 0,1155 730 2 30x0.1362/07x0.1362

Hawk 477,0 241 21,793 0,00883 0,12181 0,1218 0,13424 0,1348 670 2 26x0.1354/07x0.1053

Hen 477,0 241 22,428 0,00926 0,12181 0,1218 0,13424 0,1349 670 2 30x0.1261/07x0.1261

Ibis 397,5 201 19,888 0,00807 0,14605 0,1471 0,16096 0,1616 590 2 26x0.1236/07x0.0961

Lark 397,5 201 20,472 0,00847 0,14605 0,1473 0,16096 0,1619 600 2 30x0.1151/07x0.1151

Linnet 336,4 170 18,313 0,00743 0,17277 0,1738 0,19017 0,1909 530 2 26x0.1137/07x0.0884

Oriole 336,4 170 18,821 0,00777 0,17277 0,1740 0,19017 0,1909 530 2 30x0.1059/07x0.1059

Ostrich 300,0 152 17,272 0,00701 0,19328 0,1948 0,21255 0,2143 490 2 26x0.1074/07x0.0835

Piper 300,0 152 17,780 0,00734 0,19328 0,1951 0,21255 0,2143 500 2 30x0.1000/07x0.1000

Partridge 266,8 135 16,306 0,00661 0,21864 0,2189 ? 0,2289 460 2 26x0.1013/07x0.0788

CAA- com uma só camada de AlumínioPenguin 4/0 107 14,300 0,00248 0,27408 0,2765 0,30142 0,3679 340 6x0.1878/1x0.1878

Pigeon 3/0 85 12,750 0,00182 0,34555 0,3480 0,38035 0,4493 300 6x0.1672/1x0.1672

Quail 2/0 67 11,553 0,00155 0,43629 0,4387 0,48041 0,5562 270 6x0.1489/1x0.1489

Raven 1/0 53 10,109 0,00135 0,55002 0,5518 0,60534 0,6960 230 6x0.1327/1x0.1327

Robin #1 42,4 9,017 0,00127 0,69608 0,6960 0,76444 0,8576 200 6x0.1181/1x0.1181

Sparrow #2 26,7 3,137 0,00127 0,87631 0,8763 0,96332 1,0503 180 6x0.1052/1x0.1052

Swan #4 21,1 6,350 0,00133 1,39216 1,3921 1,53510 1,5972 140 6x0.0834/1x0.0834

Turkey #6 13,3 5,029 0,00120 2,21245 2,2125 2,43628 2,4735 100 6x0.0661/1x0.0661

A MONTAGEM DE CONDUTORES MÚLTIPLOS POR FASE:-Diminui a reatância indutiva / km ou milha;

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-Diminui o efeito Corona; para o cálculo das perdas por efeito corona, é necessário conhecer o número de camadas e o raio do fio da camada mais externa do cabo. Por isso, é apresentada a tabela dos cabos CAA (ACSR - Aluminum Cable Steel Reinforced); -Por diminuir a reatância indutiva, diminui as quedas de tensão na L. T, sobretudo em plena carga, a longas distâncias;-A fabricação e manuseio de cabos com menor seção são mais fáceis que dos cabos de maior seção

TABELAS: CABOS DE ALUMÍNIO COM ALMA DE AÇO (CAA) OU ACSR: Para XL e XC: tabelas A1, A2 e A3 do Stevenson.

II) - PARÂMETROS: R, L E C DAS LTS AÉREAS:

RESISTÊNCIA R:

R= 1γ

.lS= ρ .

lS onde: = resistividade elétrica, ou resistência específica

l = comprimentoS = seção

depende de: a)-natureza do condutor (cobre, alumínio, etc.)b)-temperaturac)-pressãod)-efeitos: pelicular, proximidade, espiralar.

Em geral, as tabelas de condutores contemplam, diretamente, a natureza do condutor e temperatura, assim como o efeito pelicular e o efeito espiralar, para a frequência fundamental (f = 50 ou 60 Hz). As variações de proximidade, para distâncias de isolamento usuais ( para os condutores de LTs Aéreas de Alta Tensão) e da pressão, para pressões normais de trabalho, são consideradas irrelevantes.

Normalmente, nas LTs Aéreas, são utilizados condutores (cabos) de alumínio com alma de aço - CAA (ACSR). Nas redes aéreas urbanas de distribuição, os condutores (cabos) de alumínio simples CA. Os condutores de cobre, hoje, são utilizados em cabos isolados para redes subterrâneas, instalações industriais, linhas de transmissão para a travessia de rios, mar, etc.

INDUTÂNCIA L E REATÂNCIA INDUTIVA XL:

Campos Magnéticos e Elétricos nas Linhas de Transmissão:

REVISÃO DE ELETROMAGNETISMO BÁSICO

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Oersted: “Uma corrente elétrica produz efeitos magnéticos”

Vetor B (Weber/m**2): O vetor densidade de fluxo magnético, que caracteriza um Campo Magnético - CM, é definido:

-Seja um ponto P do espaço, em um CM. Uma carga elétrica q, passando por este ponto, com a velocidade v, sofre uma deflexão no seu deslocamento, devido ao CM presente. Existe uma direção para a qual a carga q não sofre deflexão. Esta é a direção do vetor B (densidade de fluxo magnético).

B F

v P

Sentido do Vetor B: A deflexão na direção do deslocamento da carga q é devida a uma força F, tal que F é perpendicular simultaneamente a v e B.

Regra da Mão Esquerda: V (dedo médio), F (polegar), B (indicador)

Módulo de B: F q .v sen F = B q v sen B = F / (q v sen )

Campo Magnético Uniforme: campo magnético onde B é constante.

B S = Fluxo magnético = B. S. cos

N

Faraday: “Se o fluxo magnético que envolve um circuito varia, o circuito será sede de uma f.e.m. igual, a cada instante, à taxa de variação do fluxo”.

e = / t = L i/ t L, fator de proporcionalidade entre e i.

Lenz: “A direção da f.e.m. induzida é no sentido de produzir uma corrente cujo efeito é contrariar a causa que a originou”.

Biot-Savart:“Um elemento l percorrido por uma corrente i cria, em um pt. qualquer, um B tal:

i

l P

1- B = (K i l sen)/r**22- A direção de B é perpendicular ao plano determinado por l e P3- O sentido de B: regra da mão direita

e, para um condutor retilíneo:

a

d l

i

P

r

t

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Fazendo K = /4 (MKS- racionalizado): -permeabilidade magnética do meio

B= μ4 π

x2 ia= μ

2 πx

ia

Ampère: “A integral de linha do vetor indução magnética, ao longo de uma trajetória fechada, é igual a .i”. Fazendo a integral de B, ao longo da circunferência de raios r:

dlr

CondutorB

∮B .ds=B∮ds = μ i

B é constante ao longo da trajetória, com centro no condutor.

Campo Magnético - CM, H:

Seja H = B/ ∮H . dl= I I = corrente envolvida

CM e L devidos ao fluxo interno (enlace) em 1 condutor:

r

B=K i ∫−∞

∞ sen ϕ

r2

dl = K i a ∫−∞

∞ d l

r3

= Kia∫−∞

∞ dt

( a2 + t2 )3/2já que :

r2

= a2 + t2 e dl = dt

t = a tg α : dt = a sec2 α . dα

B = Kia . ∫−

π2

π2 a sec2α

a2sec2α= Ki

a∫

−π2

π2 cos α dα = Ki

a[ sen α ]π/2

π/2 = 2 Kia

12

rr dx

x

Hx

∮H x . dl = I x ∴ H x . 2 πx=π x

2

π r2 . I ∴ H x =

x

2 π r 2 . I ∴ B x =μ . x

2 π r2 . I

dφ= μ . x

2 π r2. I .( dx . 1) Weber /m ∴ dψ= π x2

π r2. dφ= μ I x3

2 π r 4. dx

ψ int =∫0

r μ I x3

2πr4. dx =

μ I8π

=I2 . 10−7 Weber concatenado /m

Lint=12 . 10−7 Henry /m μ = 4 π x10−7 , permeabilidade relativa = 1

Indutância L devido ao fluxo externo (entre pontos P1 e P2):

P1 (D1) I é a corrente no condutor.

P1

P2 (D2)

X

H x . 2 πx = I ∴ H x =I2πx ∴ B x=

μ . I2πx , dφ =

μ . I2πx . dx . 1

ψ 12=∫D!

D2 μ . I2 πx

. dx= μ I2 π

. ln

D2

D1

L12 = 2x10−7

. ln

D2

D1

Henry /m

Indutância L de uma LT monofásica:

13

r1 D r2

D-r2 D+r2

I -I

Linhas de C. Magnético que enlaçam I = 0 não produzem enlace de fluxo

L1ext= 2 .10−7ln

D

r1

H /m L1int =12 10−7 H /m

L1= 2 . 10−7(14 + ln

D

r 1

) H /m = 2 . 10−7 . ln

D

r1 .e−1

4

∴ L1= 2. 10−7 . ln

D

r1

,

r1

,

= r1 . e−1

4é chamado de raio mod ificado

ana log amente :

L2= 2 . 10−7 . ln

D

r2

, e se r1

,

=r2

,

= r,

L1= L2 = 2 . 10−7 . ln

D

r, H /m ( por condutor ) e L= 4 .10−7 . ln

D

r, ( para 2 condutores)

Enlace de um condutor 1, raio r1, entre n condutores de um feixe, até o ponto P.

P

3

2

1 r1

n

14

ψ 1 P 1 = 2 . 10−7 I 1 ln

D1 P

r 1

,

ψ 1 P 2 = 2 . 10−7 I 2 ln

D2 P

D12enlace de fluxo com 1 produzido por 2 ∴

ψ 1 P = 2 . 10−7 [ I 1 ln

D1 P

r1

, + I 2 ln

D2 P

D12+ I 3 ln

D3 P

D13+.. .. . .. ..+ I n ln

DnP

DnP]

ψ 1 P= 2 . 10−7

[ I 1ln

1

r 1

, + I 2ln

1

D12

+. ..+I nln

1

D 1n

] +2 x 10−7

[ I 1ln D1 P + I 2ln D2 P +.. .+I nln D nP ]

Sabendo que: I1 + I2 + I3 + ....+ In = 0 In = -(I1 + I2 + I3 +...In-1)

ψ 1 P= 2 . 10−7 [ I 1 ln

1r1

+ .. .+ Í n ln

1D1 n

] + 2 x 10−7 [ I 1 ln

D1P

DnP+ . ..+I n ln

DnP

DnP]

Para D1P, D2P, ... DnP

ψ 1= 2 . 10−7 [ I 1ln

1r1

´ + I2 ln

1D12

+ .. .. . .. .. . .+ I n ln

1D1 n

] Weber concatenado / m

Indutância de LTs monofásicas com condutores compostosa´

a b´ b

c´ c

n m d´

Condutor X Condutor Y

15

ψ a= 2 . 10−7In [ln

1

ra

, + ln

1

D ab

+. .. .. .ln

1

Dan

] − 2 . 10−7 I

m [ ln

1

D aa´

+ln

1

D ab´

+. ..+ ln

1

Dam

]

ψ a= 2 . 10−7 . I ln

m√D aa´ . D ab´ .. .. . .. .. . D am

n√ra

,

. D ab . Dac . .. . .. . D an

∴ La=ψ a

In

; Lb =ψ b

In

etc .

Lav=La+Lb+ .. .. Ln

n (valor médio por fio )

LX =Lav

n=

La+Lb+. .. . Ln

n2= 2 . 10

−7

x ln

mxn√(Daa´ . Dab ´ . . D am) .(Dbb ´ .. Dbm ). . .(Dna´ . Dnb´ .. Dnm )

n2√(Daa . D ab . . D an)(Dba . Dbb . .. Dbn) .. .(Dna . D nb . . D nn)

LX= 2 . 10−7 .ln

Dm

Ds

H /m .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. L= LX + LY

LTs Trifásicas com espaçamento equilateral b

D D Ia + Ib + Ic = 0

a cD

Indutância das LTs trifásicas com espaçamento não - equilateral

ba A L.T. é desequilibrada

c

Transposição para equilibrar as LTs desequilibradasa c b

Posição1

b a cPosição 2

c b aPosição 3

Transposição1 Transposição2

ψ a= 2 . 10−7 [ I aln

1r ´ + I bln

1D + I c ln

1D ] sendo : I a = −( I b + I c )

ψ a= 2 . 10−7 [ I aln1r ´

− I aln1D

] ∴ La = 2 . 10−7 .lnDr ´

H /m

X a = 2 π f . La /m

16

Indutância / fase de uma LT trifásica transposta

ψ a 1 = 2 . 10−7 [ I aln

1r´ + I bln

1

D12

+I cln

1

D13

]

ψ a 2 = 2 . 10−7 [ I aln

1r ´ + I bln

1

D 23

+I cln

1

D12

]

ψ a 3 = 2 . 10−7 [ I aln

1r ´ + I bln

1

D13

+I cln

1

D 32

]

ψ a av =ψ a1+ψ a 2+ψ a 3

3 =2 x10

−7

3 [3 . I aln1r ´

+ I bln

1

D12 . D23 .D31

+ I cln

1

D12 . D23 . D31

]

Como I a =−( I b + I c )

ψ a=2. 10−7

3 [ 3. I aln

1r ´ − I aln

1

D12 .D 23 . D31

] = 2 . 10−7 I a .ln

3√D12 . D23 . D31

r ´

La = 2. 10−7 .ln

D eq

r´ H /m La = 2 . 10−7 .ln

Dm

D s

H /m

X L= 2 πf . L = 2 πf . 2 . 10−7ln

Dm

D s

/m = 2, 022 . 10−3 f . ln

Dm

D s

/milha

Outras denominações para Dm e Ds:

Dm = Deq = DMG (Distância Média Geométrica)

Ds = RMG (Raio Médio Geométrico)

Para o Uso das Tabelas A .1 e A .2 (págs. 447 e 448) do livro texto, Stevenson, lembrar - se que:

X L= 2 ,022 . 10−3 f .ln

Dm

DS/milha = 2 ,022 . 10−3 f .ln

1DS

+ 2 ,022 . 10−3 f .ln Dm /milha

X L = x a (reatância indutiva para 1 pé de espaçamento) +

+ x d ( fator de espaçamento da reatância indutiva)-Estudar o exemplo 3.4, pág. 63 do Livro Texto.

LT de Circuito Duploa a´ c c´ b b´

b b´ a a´ c c´c c´ b b´ a a´

Posição 1 Posição 2 Posição 3

a h c´ c b´ b a´ Opção preferencial: maior Ds ou menor g

b d f b´ a a´ c c´ L/fase. c a´ b c´ a b´

Posição 1 Posição 2 Posição 3

17

Para todas as posições:

Dm= Deq=3√Dab . . Dbc . D ca sendo :

Dab=4√d . g . d . g = √d . g

Dbc=4√d . g .d . g= √d . g na posição 1

Dca=4√2 d . h . 2d .h= √2 d .h Dm=Deq= 21/6 . d1/2 . g1/3 . h1/6

D s1=4√r ´ f . r ´ . f = √r ´ . f na posição 1

D s2=4√r ´ .h . r ´ .h= √r ´ . h na posição 2

D s3=4√r ´ . f .r ´ . f = √r ´ . f na posição 3

D s=3√D s1 . Ds 2 . D s3= (r ´ )1/2 . f 1/3 .h1/6

L= 2. 10−7 ln

Dm

D s

= 2 . 10−7 ln [21/6 . (dr ´

)12 . ( g

f)13 ] H /m

Exercícios: calcular XL / km para as LTs:

LT com 02 Cabos geminados / fase: 2 x 795MCM (45/7) – TERN - 345 kV

10,6 m 10,6m

d = 45cm d = 45cm d = 45cm

a b c

LT com 03 Cabos geminados / fase: 500 kV

D = 12 m D = 12 m

d = 50 cm

a b c

18

LT com 4 Cabos geminados / fase: 750 kV

d

d

D = 15,5 m D = 15,5 m

a b c

Exemplos de Formação de Cabos CAA

CAPACITÂNCIA C DAS LTs

+ + +

q ++

+ + +

D = Densidade do campo eletrostático =q(2 π x .1 )

coulombs /m2 ,

em um metro de comprimento do condutor

19

Intensidade do Campo Elétrico:

ξ= q2πx . k

; k= 8 , 85 x 10−12 farads /m (Permissividade unitária )

D1

D2

υ12 =∫D 1

D 2 ε . dx = ∫D1

D2 q2π x . k

. dx = q2π k

ln

D2

D1

volts

Capacitância de uma LT Monofásica:qa qb

Dra rb

vab =qa

2 π .kln

Dra

; vba=qb

2 π .kln

Drb

vab (qa ) + vab (qb ) =qa

2 π .kln

Dra

+qb

2π . kln

rb

DComo : qb =−qa

vab =qa

2 π .k[ln

Dra

− ln

rb

D]=

qa

2 π . kln .

D2

r a . rb

C ab=qa

v ab

=2 π . k

ln .D2

ra . rb

farads/m e , para r a = rb : C ab=π .k

ln .Dr

farads /m

a Cab b

ou: 2Cab n 2Cab

a b

20

C n =2π .k

ln .Dr

farads/m

X c=12 π fC =

2 , 862f x 109 ln

Dr . m = 4 , 77 x104 ln

Dr . km para o neutro , (60 Hz )

X c= 2 , 965 . 104 ln

Dr . milha para o neutro (60 Hz)

X c= 2 , 965 . 104 ln

1r + 2,965 x 104ln D . milha para o neutro (60Hz )

X c= x a + xd

Capacitância para LT Trifásica, equilátera:

D D

D

υab=12 πk (qaln

Dr + qbln

rD ) volts ( efeitos de qa e qb ) e υab= qcln

DD (efeito de qc )

υab =12 πk (qaln

Dr + qbln

rD + qcln

DD ) volts

υac=12 πk (qaln

Dr + qbln

DD +qcln

rD ) volts

υab +υac=12 πk (2qaln

Dr + (qb+qc)ln

rD ) volts

qb+qc=−qa

υab +υac=3 qa

2 πkln

Dr volts=3V an

V an=qa

2 πk ln

Dr C n=

2 πk

ln

Dr

farads /m para o neutro =0 , 0388

logDr

μ f /milha para o neutro

b

3Van Vbn Vbc Vab

Van Vcn

a Vca c

Capacitância para LT Assimétrica:

C n =2 πk

ln . (Deq

r )farads/m onde : Deq=

3√D12 .D23 .D 31

21

NOTA:-As fórmulas de XL e XC incluem Dm e Ds. No cálculo das indutâncias e capacitâncias, Dm = Deq = DMG têm o mesmo valor. Ds, no entanto é diferente. Para as indutâncias usa-se r´ = raio, raio de um condutor fictício, sem fluxo interno, com a mesma indutância interna de um condutor real de raio r. Para as capacitâncias usa-se o raio externo do condutor, já que a carga q do condutor fica na superfície.

Efeito da Superfície da Terra sobre a Capacitância das LT: pág 85, Stevenson

2

qb1 D12 D23

D31 H23 qa 3

H31 H1 H2

qc H12

H12 H3 H23

-qc H31

-qa

-qb

C n=2 πk

ln

Deq

r − ln (3√H 12 . H 23 . H 31 /

3√H 1 . H 2 . H 3 )

farads/m

-O efeito da terra é o de aumentar a capacitância da L.T.:-Normalmente, as distâncias diagonais, do numerador do termo de correção, são aproximadamente iguais aos termos verticais (distâncias entre os condutores e suas imagens) e, assim a correção é pequena. O efeito da terra é usualmente desprezado.

Potência e Energia:

-É quase sempre possível se transformar as formas “primitivas” de energia da natureza em energia elétrica, transmiti - la ao usuário e transformá - la em formas úteis.

p = dw/dt Watts, potência em um dado instante •kW, MW, GW

w = ∫ p dt (energia em um intervalo de to a t) em watts-segundo •kWh, MWh, GWh

22

Vector de Poynting

Exemplo 1 - Circuito nominal de uma L.T., 3, de 138 kV (fase-fase), de condutores 266,8 MCM, CAA, 26/7, Partridge, f = 60 Hz, t = 50o C, comprimento 75 km ?

D ab = 4,0 m; D bc = 5,0 m; D ca = 5,0 m a c

b

Fórmula fundamental de p, lei física elementar:p = v. i Watts;

P = E x H (intensidade do campo elétrico em V/m e intensidade do campo magnético em A/m);-A energia eletromagnética movimenta-se numa direção e num sentido coincidentes com os de P;

-E e H se situam em um plano perpendicular aos condutores, P será paralelo aos condutores;-O fluxo de energia elétrica, pela física moderna, é por fora dos condutores;

P

EH

-

+

23

Solução:

DMG=3√Dab .D bc . Dca =

3√4,0 x 5,0 x 5,0 = 4 ,64 m = 15 ,23 pés

Da Tabela A 1, pág. 447 do Stevenson:

RMG = Ds = 0, 0217 pés; R = 0,3792 / milha

-Cálculo da Resistência da LT:

R = 0,3792 x 75 / 1,609 = 17,67

-Cálculo da Reatância Indutiva X l da LT:

L= 2,0 x 10−7

x ln15 ,230 , 0217

= 1 ,311 x 10−6

Henrys /metro ; Ltotal= L x 75000= 98 ,31 x 10−3

H

X L = 2π fL= 37 ,06

-Cálculo da Reatância capacitiva Xc da LT:

Xc = Xa + Xd = 0,1074 (tabela A .1) + 0,0807 (tabela A.3 -pág. 449) do Stevenson:

75 km = 46,60 milhas

Xc = 0,188100M milha, ou Xc = 188100 / 46,60 = 4038,5

Circuito nominal: 17,67 + j 37,06

1) Calcular os parâmetros R , Xl e Xc de uma L.T.3, 60 Hz, transposta, condutores Drake-795 MCM-26/7, (exemplo 3.4, pág. 63, do Stevenson-2a. Ed., 1986). Usar as fórmulas e, também, as tabelas A1, A2 e A3: O comprimento da L.T. não foi dado.

a20´ 20´

38´ b c

-j 8077 -j 8077

24

a) - Resistência R, para 60 Hz: tabela A1, pág. 447, a 50oC, R = 0,1284 / milhab) - Reatância XL, para 60 Hz:

b1) - Fórmula Geral para L :L = 2 x 10

−7

.ln

D eq

D s

H / m

Cálculo da distância equivalente: Deq = DMG =3√Dab . D bc .D ca =

3√20.20 .38 = 24 ,8 pés

Cálculo de Ds: (ver diretamente na tabela A1): Ds = RMG = 0,0373 pés

L = 2 x 10−7

.ln

Deq

Ds

H / m = 2 x 10−7

.ln24 ,80 ,0373

= 13 ,00 x 10−7

H / m

X L = 2π . f . L = 2 .π .60 .13 ,00 .10−7

x 1609 = 0 ,788 / milha por fase

b2) - Cálculo de XL, em por fase por milha, usando-se as tabelas A1 e A2:

X L = 2 , 022 . 10−3

. f .ln

1

Ds

+ 2 , 022 . 10−3

. f .ln Deq = X a + X d ( fator de espaçamento de X L )

0 ,399 ( tab . A 1) + 0 ,389 ( tab . A 2 ) = 0 ,788 / milha por fase .

X a depende da bitola do condutor e X d da distância equivalente , no caso 24 ,8 pés (com int erpolação) .

c) - Reatância Xc, para 60 Hz

-raio externo do condutor r = 1,108 pol/ (2 x 12) = 0,0462 pés, com: Deq = 24,8 pés

c1) - Fórmula Geral para Cn:

C n =2π k

ln

Deq

r

F /m para o neutro

C n =2π . 8 ,85 .10

−12

ln

24 ,80 ,0462

= 8 ,8466 x 10−12

F /m

X C =10

12

2 π .60 x 8 ,8466 x 1609 = 0 ,1864 x 106

. milha para o neutro

c2) - Cálculo, usando-se as tabelas A1, A2, A3:

X C = X ´ a + X ´ d ( fator de espaçamento da reatância capacitiva )

X C = 0 ,0912 x 106

( tab . A 1) + 0 ,0953 x106

( tab . A 3 ) = 0 , 1865 x 106

. milha para o neutro

a) - Admitindo-se a LT precedente, com l = 175 milhas, calcular: R total, XL total e XC total para neutro, e a corrente de carregamento potência da potência Q (capacitiva) com V = 220 kV.

R total: = 0,1284 x 175 = 22, 47 XL total: = 0,788 x 175 = 137,9

XC total = 0 ,1865 x 106

/175 = 1066 para o neutro

Icarregamento: = V/XC = (220000/3)/(1066) 119, 0 ampères.

Qcarregamento: = 3 .220. 119,0 = 45291 kVAr = 45,3 MVAr

25

Para 02 cabos geminados/fase:R = Rcabo/2;

Para XL:D s =

4√r ´ . r ´ .d .d = √r ´ .d ou X L= X d +X a−x d

2

Xd (fator de espaçamento da reatância indutiva, referente à DMG), Xa depende do raio modificado do condutor e xd, fator de espaçamento da reatância indutiva, para a distância d entre os 02 cabos

geminados da mesma fase. Para XC, Ds vira √r .d , isto é, usa-se r externo em vez de r´.

Para 03 cabos geminados /fase:

Para XL: D s =9√ .r ´

3

.d6

=3√r ,

.d2

: X L= X d +X a−2 . x d

3

-Procurar, no texto, exemplos de LTs. com circuito duplo, 04 cabos geminados por fase, etc.

III) - LTs CURTAS, MÉDIAS E LONGAS, Equivalente e Cálculo:

(Stevenson) Comprimento lLT Curta < 80 kmLT Média 80 < l < 240 kmLT Longa > 240 km

(Fuchs) Comprimento Nível de TensãoLT Curta < 80 km < 150 kV

< 40 km 150 < l < 400 kV< 20 km > 400 kV

LT Média 40 < l < 200 km 150 kV < V < 400 kV20 < l < 100 km > 400 kV

LT Longa Demais casos em que os modelos de cálculo não são precisos

Para LTs curtas ( l < 80 km): Xc , ou admitância paralela Yc 0:

Z = R + j X IS IR

VS VR Carga

V S=V R + Z . I R; I S= I R

cos R, indutivo Vs cos R = 1 VsVs j XIR j XIR

R VR RIR IR VR RIR

IR

R: ângulo entre VR e IR: ângulo entre Vs e VR

26

IR Vs j XIR cos R, capacitivo

R VR RIR

Ss = 3.Vs Is*

Diagramas para L.T. curta: cargas de cos R indutivo, cos R=1 e, cos R capacitiva.

Exemplo I - Um barramento 3 de 138 kV () alimenta, simultaneamente, com VR = nominal, através de uma L.T. de Z = 4 + j 10 , equilibrada, as cargas 3s seguintes:

5,0 MW, cos = 1,0 L.T. 2,0 MW, cos = 0,95 indutivo3,5 MW, cos = 0,95 capacitivo VS VR

-Calcular VS, IS, SS = Ps + j Qs, na extremidade fonte, usando valores dimensionais.Solução: Carga 1: 5,0 /0 o MVA Carga 2: 2,1 /18,2º MVA Carga 3: 3,68/-18,2º MVA

Carga total SR: 10,50/-2,6º MVA; Como SR = 3.V(-) I*

I R =10 ,5¿2,60

√3 .138¿00 = 43,9 /2,6 o A na LT curta: Is = IR

Cálculo de Vs = Vr + Z IR: Vs = 79,67/0 o + (4+j 10). 43,9 /2,6 o = 79,857/0,3 o kV

Cálculo de Ss = 3Vs.Is /0,3 o –2,6 o MVA = 10,517 /-2,3 MVA = 10,508 - j 0,422 MVA

ΔV % = 79 ,85 − 79 , 6779 ,85

x 100 = 0 , 220 % Re g % = 79 ,85 − 79 , 6779 ,67

= 0 ,226 %

PARA LTs MÉDIAS ( 80km < l < 240 km), a admitância paralela é considerada:

IS Z = R + jX IR

VS Y/2 Y/2 VR Carga

V S=(ZY2 + 1 )V R + Z I R I S= Y (1 +

ZY4 ) V R + (

ZY2 + 1)I R

DIAGRAMA FASORIAL (PASSO A PASSO): Vscos R, indutivo Is

sILT = IR + IC1 jXILT

Vs = VR + ZILT Ic2

Is = ILT + Ic2 R ILT VR RILT

Ss = 3.Vs Is* IR Ic1

Examinar o diagrama fasorial para L.T. média e procurar justificar cada fasor.

Exemplo II - Cálculo de LT média (modelo ): “método passo a passo”

I LT

27

-Calcular a tensão em SJ e ITU, sabendo que: VNL = 138 kV: calcular S (3) e cos em ITU: 8,41 +j 21,9 28,9 +j 75,3

IITU SJ INL

I TU NL

-j 13800 -j13800 -j4010 -j4010

SNL = 20040 kW, cos =1 SSJ = 2400 kW, cos =0,8 ind.

-As LTs são equilibradas. O diagrama de impedâncias é o da figura e é desenhado só para uma fase.

Solução:a)-Linha de Transmissão SJ NL

SNL = √3.V . I *; I NL =SNL

¿

√3 .V ∠00 ∗¿= 20040∠00

√3 . 138∠ 00= 83 , 75 + j 0 A ¿ I cap 1 =

138000∠00 /√3

4010 ∠−900 = 0 + j 19 ,89 A

I LT = I NL + I cap 1 = 86 , 08∠13 , 30 A

Queda de Tensão na L.T:

ΔV = 80 , 8∠ 690 . 86 , 08∠13 ,30 = 6955 ,3 ∠ 82, 30

V SJ =V NL +ΔV = 80 , 95∠50 kV

b)-Subestação de SJ:

I cap 2 =V SJ

X C

=80950∠50

4010∠−900 = 20 , 19 ∠950 I cap 3=V SJ

X C

=80950∠50

13800∠−900 = 5 ,87∠ 950

I cap total = −2 ,27 + j 25 , 96 A I c arg aSJ =SSJ

¿

√3 .V SJ

¿ = 10 ,48 − j 6 ,53

c)-Linha de Transmissão ITU SJ ILT = (83,75 + j 19,89) + (10,48 – j 6,53) + (-2,27 + j 25,96) = 100 /23,1Queda de tensão na L.T.:

V = 23,5 /69 o . 100/23,1 o = 2350 /92,1o = -86,1 + j 2348 Volts

VIT = VSJ + V = 81,2 /6,6 kV VIT(-) = 140,48 /6,6 kV

d)-Subestação de ITU:

28

I cap 4 =81 ,2∠6,60

13 ,8∠−90o = 5 ,89 ∠ 96 ,60 =−0 ,62 + 15 ,89 A

I IT = I LT + I cap 4 = 101 ,9 ∠26 ,30

SIT= V . I ¿ = 81 ,2∠ 6,60 . 101 ,9 ∠−26 ,30 = 8274 ,3 ∠−19 ,70 kVA , por fase

SIT= 24822 ,9∠−19 ,70 kVA , trifásico , com fator de potência = 0 ,941

PARA LTs LONGAS ( > 240 km): são consideradas de parâmetros distribuídos e levam à sua formulação, através de equações diferenciais:

IS I + I I IR

VS V+V V VR Carga

x xz = impedância série/unidade de comprimento; y = admitância paralela/unidade de comprimento:

V+V-(I + I).z.x –V=0V=I.z.x+I.z.x I.z.x; V/x =I.z; limV/x(x0)=dV/dx = I.zanalogamente: I+I = (V+V).y. x+I; I V.y.x; I/x = Vy; limI/x(x0) = dI/dx = Vy

d2

V

d x2= y . z .V e ,

d2

I

d x2= y . z . I

equações diferenciais lineares de 2a . ordem, de coeficientes cons tan tes , da forma :

d2

V

d x2− y . z .V = 0 e

d2

I

d x2− y . z . I= 0 Solução :

V = A1 . e√ y . z .x

+ A2 . e−√ y . z . x

como :dVdx

= I . z

I =1

√ z / y. A 1 . e

√ y . z . x−

1

√z / yA 2 . e

−√ y . z . x

para x = 0: V = VR; I = IR e:

A 1=V R+I R . Z C

2 ; A2 =V R−I R . ZC

2então :V=

V R+I R . ZC

2 .eγ x

+V R−I R . Z C

2 .e−γ x

I=V R /Z c+I R

2. e

γ x

−V R /Z C−I R

2. e

−γ x

Z C = √z / y , é a impedância característica da L .T .

γ = √ z . y , é a cons tan te de propagação = α (const . de atenuação ) + jβ (const . de fase )

Assim:

V=V R+I R . Z C

2. e

α . x

.ejβ . x

+V R−I R . Z C

2. e

−α . x

.e− jβ .x

I=V R /ZC+I R

2.e

α x

. ejβ. x

−V R /Z C−I R

2.e

−α . x

.e− jβ . x

29

-Os termos em .x variam em magnitude, conforme o valor de x-Os termos em .x têm magnitude 1, pois são iguais a 1 (cos.x + jsen.x ) e causam um deslocamento de fase de radianos por unidade de comprimento:

V R+I R .Z C

2. e

α . x

.ejβ. x

aumenta em magnitude e fase com x “Onda Incidente”

V R−I R .Z C

2.e

−α . x

.e− jβ . x

diminui em magnitude e fase com x “Onda Refletida”-Em qualquer ponto da L.T., V é resultante das duas ondas.

-A uma distância x da receptora, OI e OR se compõem dando o valor resultante R ;-A ¼ de comprimento de onda, OI e OR estão em oposição de fase, dando um valor de R pequeno;-Para ½ comprimento de onda, OI e OR estarão em fase, podendo dar um valor R bastante elevado.-Então para LTs longas de comprimentos > 1000 km, podem existir problemas de operação, por haver valores de V, por exemplo, bem inferiores ao valor nominal, ou muito superiores.-Se uma L.T. for conectada à sua impedância característica ZC, VR será igual a IR.ZC. Não haverá “onda refletida”. Ela é chamada de L.T. plana ou infinita. Em SEP, ZC é chamada de impedância de surto. O termo é usado para L.T.s sem perdas. Neste caso, a ZC da L.T. se reduz a (L/C), resistência pura. A impedância de surto é importante para estudos de surtos atmosféricos.-O carregamento de uma L.T. por ZC (SIL) é a potência fornecida por uma L.T. a uma carga resistiva pura, igual à sua impedância de surto. Então:

|I L|=|V L|

√3 .√L/C ampères SIL = √3 . |V L||V L|

√3 .√L/C watts ∴ com V L em kV :

SIL =|V L|

2

√L/CMWatts

-Comprimento de onda é a distância entre 02 pontos da L.T., correspondente a um ângulo de fase de 360o, ou 2 radianos. Se é o defasamento em radianos/km, o comprimento de onda em km é: =

Onda Refletida-OR

lOnda Incidente-OI

l

Resultante-R

30

2/. A uma freqüência de 60 Hz, 4800 km., A velocidade de propagação da onda, em km/s, é de v = f. . Se IR = 0, linha a vazio, as ondas “incidente e refletida” da corrente se cancelam na receptora.

FORMAS HIPERBÓLICAS DAS EQUAÇÕES DAS LTs LONGAS

sen hθ=e

θ

−e−θ

2e cos hθ=

eθ

+e−θ

2então :

V= V R cos hγx + I R ZC senh γx I=I R cos hγx +V R

Z C

senh γx

para x = l : V = V S e I = I S

V S =V R cos hγl + I R Z C senh γl I S = I R cos hγl +V R

Z C

senh γl e , também :

V R=V S cos hγl − I S ZC senh γl I R = I S cos hγl −−V S

Z C

senh γl

CONSTANTES GENERALIZADAS DAS LTs

-De uma maneira geral pode-se escrever, para as LT longas:

V S= A .V R + B . I R e I S= C .V R + D . I R onde:

A = cos hγl B= ZC senh γl C=1

ZC

senh γl D= cos hγl

A e D são adim ensionas : B , é em e C , em mhos

-Para as L.T. médias (circuito nominal ):

A= ZY2

+ 1 = D; B = Z ; C = Y ( 1 + ZY4

)

-Para as L.T. Curtas, as constantes generalizadas A, B, C e D são:

A = 1; B = Z; C = 0; D = 1

Significado Físico das Constantes A, B, C e D:

Se na equação de VS, IR = 0, ou VR = 0:A = VS/VR, NL (adimensional), receptora a vazio; B = VS/IR (impedância), quando a receptora está em curto. C = IS/VR, (admitância) com a receptora a vazio; D = Is/IR (adimensional), com a receptora em curto circuito.

Re gulação em % =|V R , NL|−|V R , FL|

|V R , FL|

x 100 =|V S|/ |A|−|V R , FL|

|V R , FL|

x 100

Dedução do Circuito equivalente de uma LT longa, como LT média:

Em vários estudos do SEP é necessário um circuito equivalente para LTs longas. Escrevendo-se a equação de VS para uma L.T. Média, ( nominal), agora para uma L.T. Longa ( equivalente), tem-se:

31

V S = (Z´ Y ´

2 + 1 ) V R + Z´

I R

Z´

= Z C senhγl = √zy senh γl = z .l

senh γl

√z . y . l = Zsenh γ lγ l

Z´ Y ´

2+ 1 = cosh γ l ou

Y´

2= 1

Z C

cosh γ l −1senhγ

= 1

Z C

tanhγ l2

= Y2

.tanh γ l /2γ l /2

Zsenh γ l

γ lIS IR

VS

Y2

.tanh γ l /2

γ l /2

Y2

.tanh γ l /2

γ l /2 VR

Circuito equivalente de uma LT longa

Recomendações sobre a variação dos níveis de tensão nas LTs:

a)-Valores máximos e mínimos de V

V (kV) Vmáx. (kV)

Vmín.(kV)

69.0 72,5 65,6138,0 145,0 131,0345,0 362,0 328,0500,0 550,0 500,0750,0 787,0 715,0

b)-Evitar transporte de potencias reativas de Q, a longas distâncias:

-Q

G, reativo gerado em uma L.T., de reatância paralela Xc: QG =

V2

X c

-QA, reativo absorvido na L.T., função da reatância série XL: QA=X .I2

Para QG =QA :V

2

X C

= X L .I2

∴V

2

I2= X L . X c ∴ V

I= √ L

C= ZC , para uma L.T . sem perdas (R= 0 )

-Uma L.T. que alimenta uma carga compensada e de resistência equivalente Zc, trabalha com cos 1,0, não transportando nenhuma potência reativa, nem precisando de compensação.

32

Então:

PSIL= √3. V .V /√3

Z c

=V

2

Z c

Q

Região de QA < QG Região de QA > QG

V = +5% 200 400 600 P (MW)

V = -5% L.T. Pimenta-Taquaril: 345 kV P = SIL

PARÂMETROS TÍPICOS E SIL DE LTs AÉREAS E DE CABOS ISOLADOS: os valores das tabelas sofrem variações, em função dos projetos específicos.

Características 230 kV 345 kV 500 kV 765 kV 1100 kVR (/km)xL (/km)bC=wC (s/km)

0,0500,4883,371

0,0370,3674,518

0,0280,3255,200

0,0120,3294,978

0,0050,2925,544

(nepers/km) (rad./km)

0,0000670,00128

0,0000660,00129

0,0000570,00130

0,0000250,00128

0,0000120,00127

Zc () 380 285 250 257 230SIL (MW) 140 420 1000 2280 5260MVAr/km 0,18 0,54 1,30 2,92 6,71

Outros valores para o SIL: 69 kV-13 MW; 138 kV-52 MW. Parâmetros Típicos de LTs Aéreas

P a r â m e t r o s T í p i c o s d e C a b o s : PIPE: High Pressure Pipe Type

Caraterísticas 115 kV 115 kV 230 kV 230 kV 500 kVCable Type PILC PIPE PILC PIPE PILCR (/km)xL (/km)bC=wC (s/km)

0,05900,3026230,4

0,03790,1312160,8

0,02770,03388

245,6

0,04340,2052298,8

0,01280,2454

96,5

(nepers/km) (rad./km)

0,000810,00839

0,0006560,00464

0,0003720,00913

0,0008240,00787

0,0001270,00487

Zc () 36,2 28,5 37,1 26,2 50,4SIL (MW) 365 464 1426 2019 4960MVAr/km 3,05 2,13 13,0 15,8 24,1

33

IV) - Efeito Corona. Ionização dentro de um Laboratório de Alta Tensão

O Efeito Corona:Os corpos chamados condutores possuem elevado número de elétrons livres. O ar, considerado

dielétrico, não os deveria possuir. Na realidade, existem sempre alguns elétrons livres no ar e, também, íons positivos, produzidos por ações várias. Quando existe um campo elétrico, os elétrons livres se põem em movimento, com força atuante proporcional ao gradiente de potencial. Havendo íons positivos eles se movimentam em sentido oposto.

As partículas em movimento colidem com as moléculas dos gases presentes. Atingida uma certa energia cinética suficiente, arrancam-lhes elétrons que dão origem a outros tantos íons. O fenômeno é cumulativo e o ambiente gasoso fica altamente ionizado. Uma parte da corrente pode deixar o condutor e escoar-se pela camada ionizada do ar. O fenômeno ocorre quando o gradiente de potencial junto à superfície do condutor ultrapassa o “gradiente disruptivo crítico” do ar: 21,1 kV/ cm (eficaz), à t = 25o C, 75 cm de Hg, ar puro.

Etapas do Efeito Corona (experimental):I)-Aumentando-se lentamente a tensão de uma L.T., estando a linha sem carga, as perdas aumentam pouco, praticamente, até um determinado valor da tensão. Acima deste valor há um aumento brusco da mesma, coincidindo com o aparecimento de um zumbido característico e com o desprendimento de ozônio. Esta tensão é a “Tensão Disruptiva Crítica” (Vd).II)-Continuando-se a elevar a tensão da L.T. verifica-se a formação, ao redor dos condutores, de um tubo luminescente, ou coroa, devido à maior ionização do ar. O valor da tensão é chamado, agora, de “Tensão Visual Crítica” (Vv). A coroa se dá, inicialmente, sobre a superfície do condutor, onde o gradiente é máximo. Caso haja uma elevação suplementar da tensão, a ação cumulativa se propagará, expandindo-se no sentido radial do condutor, podendo haver descarga (faíscas) entre os condutores vizinhos.III)-O valor da tensão para o qual se dá uma descarga direta entre dois condutores é a “Tensão de Centelhamento”. Pode haver centelhamento, sem que previamente tenha havido as duas primeiras etapas, se a distância entre os condutores for pequena. Há casos em que o centelhamento se dá ao mesmo tempo que o Corona.

Cálculo de Perdas por Efeito Corona (eflúvios):-As perdas de potência por Efeito Corona se manifestam nas formas: sonora, calorífica, luminosa e propagação eletromagnética (interferência em circuitos de telecomunicação, pela produção de

34

harmônicos de alta freqüência). Com o aparecimento de ozônio e, a existência de óxido de azoto, na presença de umidade, há uma fabricação rápida de ácido nítrico e ácido nitroso na superfície dos condutores. Estes últimos são atacados e têm sua vida útil diminuída. Nas subestações, o efeito é mais pronunciado visto que, geralmente, as distâncias entre os condutores são menores.

As fórmulas são empíricas: Peek Jr., Petersen, Ryan, Whitehead, Carrol, Rockwell, etc.Altitude média da L.T. (metros) e pressão:

Altitude média da L.T. (m) 0 500 1000 1500 2000b = pressão em cm de Hg 76 71,3 67,0 62,9 59,1

a) - CÁLCULO DA “TENSÃO DISRUPTIVA CRÍTICA”, Vd:

V d = 123 ,4 . m .δ23

. r . log10

sr kV /neutro condutores maciços

V d =123 ,4 . m . δ

23

. r . [ log10sr+ 0 , 0677 ]

1 ,37 kV /neutro cabos com corôa externa de 06 fios

V d =

123 ,4 . m . δ23

. [ log10sC x ri

+ (n− 1) log10sr− Cx ri

]

1C x ri

+ n−12(r−C x ri )

kV /neutro , cabos com corôa externa>06 fios

s = D , para disposição simétrica ( polegadas );s = DMG , para disposição próxima à simétrica ( polegadas);s = espaçamento plano, distância entre dois condutores vizinhos , disposição horizontal ou vertical ;

n = no . de fios da coroa externa do cabo;ri = raio individual de um fio do cabo ( polegadas) ;r = raio externo do condutor ( polegadas );

V n= tensão de operação para o neutro , eficaz (kV );

V d= tensão disruptiva crítica para neutro , eficaz ( kV ) , para ar puro ;

m= fator de irregularidade : 0,9 > m > 0 , 87 , para os condutores mais utilizados;

C= 1−sen ( π /2+π /n )π /2+π /n

, tomando−se os ângulos em radianos ;

δ= densidade relativa do ar;t = temperatura média junto ao condutor ;F= Função Corona ( ába cos );

−Para tempo chuvoso, tomar 80 % dos valores de Vd calaculados para ar puro .

b) -CÁLCULO DAS PERDAS DE POTÊNCIA:

35

Pc=21, 1 . f . V n

2

.10−6

( logsr)2

x F kW /km /condutor

-21,1 kV/cm (eficaz) é o “gradiente disruptivo crítico do ar”, para t = 25oC, b = 76 cm/Hg, ar puro.Casos Especiais: Consultar Westinghouse, “Transmission and Distribution Reference Book”.

Função Corona F

Vn/Vd

Exemplo 1: L.T., trifásica, de 161 kV, Condutores CAA (ACSR), 336,4 MCM, 26/7, LINNET, Disposição Simétrica, D = 229,56´´, Altitude média = 500 m, t = 40o.C

Solução:1)-Características do condutor: n = 16, r = 0,36´´, ri = 0,057´´, m = 0,87

2)- Cálculo da densidade relativa do ar:

δ= b76

x273+25273 + t

= 3 , 92 . b273 + t

= 0 , 893 δ23= 0 , 927

3)- Cálculo do valor de C:

C= 1−sen (1, 77 )

1 , 77= 0 , 446

4)- Cálculo de:

log 10s

C x r i

= log10229 ,530 ,446 x 0 , 057

= 3 ,95

(n−1) . log10s

r−C xr i

= 15 . log10229 ,530 ,36− 0 ,446 x 0 ,057

= 15 x 2 , 32= 42 ,6

1

C xr i

=10 ,046 x 0 ,057

= 39 ,4

n−1

2(r − C xr i )

= 150 ,68

= 22 ,1

5)- Substituindo os valores calculados na fórmula de Vd:

100

10

1

10

1

0,1

4 6 8 10 12 14 16 18

0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4

8,0002,2

6,0002,0

3,5001,8

1,0001,5

0,3001,4

0.0801,2

0,0501,0

0,0180,8

0,0120,6

 FVn/Vd

36

6)-Cálculo das perdas por condutor /km:

Pc =21,1 x f x V n

2

x 10−6

( log229 ,53

0 ,36)2

x 0 , 1 = 0 ,14 kW /condutor /km

pois, para Vn/Vd =1,23 F 0,1

7)-Perdas totais da L.T.:

Pc = 0,14 x 3 = 0,42 kW/ km

Exemplo 2: L.T. de 345 kV, Condutores CAA (ACSR), 2 x 795 MCM, 26/7, DRAKE; Cabos Geminados (Bundle Conductors); d = 45 cm; espaçamento plano, Dab = 417,323´´; H = 500 m; t = 40oC.-O processo de cálculo é o mesmo;-Calcula-se a perda de potência por Efeito Corona para um condutor singelo, a uma tensão 1,4 vezes menor e, multiplica-se a perda por 2;-Sendo a disposição horizontal, ou em um mesmo plano, considera-se Vd diminuído de 4%, para o condutor central e aumentado de 6% para os condutores laterais.

1) Características do condutor:

n = no. de fios da última coroa = 16; r = 0,554´´; ri = 0, 087´´; m = 0,87

2) Cálculo da densidade relativa do ar:

δ= b76

x273 +25273 + t

= 3 , 92 . b273 + t

= 0 ,893 δ23= 0 ,927

3) - Cálculo de C:

C= 1−sen (1,77 )

1 , 77= 0 ,446

4) -Cálculo de:

log 10s

C x r i

= log10417 ,3230 ,446 x 0 ,087

= 4 ,032

(n−1) . log10s

r−C xr i

= 15. log10417 ,3230 ,554− 0 ,446 x 0 ,087

= 15 x 2 ,91= 43 ,6

V d=123 , 4 x 0 ,93 x 0 ,87 [ 3 , 95 + 42 ,6 ]39 ,4+22 , 1 = 75 ,7 k V /neutro

37

1

C xr i

=10 ,046 x 0 ,087

= 25 , 77

n−1

2(r − C xr i )

= 152 (0 ,554 − 0 ,446 x0 , 087 )

= 14 , 70

5) Cálculo de Vd:

V d=123 ,4 x 0 ,93 x 0 ,87 [ 4 ,03 + 43 ,2 ]25 ,77 + 14 ,70 = 116 ,6 k V /neutro

6) - Cálculo das perdas / km:-para o condutor central: V´d = 0,96 Vd = 0,96 x 116,6 = 112,0 kV

V n

´

V d

´=

345

√3 x 1,4112 , 0

= 1 , 27 F = 0 , 10

Pc =

21,1 x f x (345√3 x 1,4

)2 x 10−6

(2 ,877 )2 x 0 , 1 = 0 ,311 kW /condutor /km

-para os condutores laterais: V´d = 1,06 x 116,6 = 123,4 kV /neutro

V n

´

V d

´=

345

√3 x 1,4123 , 4

= 1,15 F = 0 , 07

Pc =

21,1 x f x (345√3 x 1,4

)2 x 10−6

( log10417 , 323

0 ,054)2

x 0 , 07 = 0 , 208 kW /condutor /km

-perdas totais por km:

Pc = (2 x 0,208 + 0,311) x 2 = 1,45 kW / km

CÁLCULO DA “TENSÃO VISUAL CRÍTICA”: Vv > Vd-Com base na fórmula de Peek Jr.:

V d = 123 ,4 . mo . δ . r . log10

sr kV /neutro

Ryan, H.J. verificou que não seriam obtidos resultados aceitáveis quando se tratasse do aparecimento da coroa luminosa. Sabendo que:

ΔV máx =V d

2,3 . r . lnsr

e que apareceria o Efeito Corona Luminoso quando ocorresse o gradiente citado, a uma distância x da superfície do condutor, ele determinou x, empiricamente.

V

38

x

Resultado: x = 0 ,301 . √ r

δ

-através de: ΔV máx =

V v

2,3 . (r+ x ) . lnsr

-chega-se a: V v = 1123 , 4 . mv . δ . r (1 +

0 , 301√δ .r . log

sr ) kV /neutro

mv = 0,93 a 1,0 para fiosmv = 0,72 para cabos (corona local)mv = 0,82 para cabos (corona generalizado)

TENSÃO DE CENTELHAMENTO:Estudos experimentais levaram à fórmula:

Vc = 123 , 4 . r . δ .(1 + 0 , 301

√δ .r.

sr

.1

30) . log

sr

kV /neutro

-quando:d/r < 30 pode haver centelhamento, sem que tenha havido coronad/r = 30 o centelhamento se produzirá ao mesmo tempo que o coronad/r > 30 é o que ocorre praticamente nas L.T.s aéreas. O centelhamento se produzirá excepcionalmente.

Conclusões:-Para baixas perdas Pc, por Efeito Corona, pode-se atuar nos fatores:a)-Fator de irregularidade m da superfície: difícil de ser controlado;b)-Aumento do espaçamento D: é uma solução antieconômica aumentar-se a distância entre os condutores, além de ter-se um aumento indesejável de XL (reatância indutiva da L.T.);c)-Aumento do raio do condutor: em geral, é a solução mais econômica e que dá melhores resultados (condutores com alma de aço -CAA, cabos geminados, etc.).Para LTs de V < 60 kV, as perdas podem ser consideradas desprezíveis.

Referências:- Stevenson, W.D. “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, McGraw - Hill, 2a Edição em português, RJ, 1986. Livro Texto.- Elgerd, O . I., “Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica”, McGraw - Hill, RJ, 1976.- Gross, C. A ., “Power System Analysis”, John Wiley & Sons, NY,1979.- Miller, T.J.E., “Reactive Power Control in Electric Systems”, Wiley Int. Publ., NY, 1982.- Glover, J. D./Sarma M.,“Power System Analysis and Design”,PWS Kent, Boston, 1987.- Andrade, Moacyr Durval; Moreira, Vinícius Araújo; Lepecki Jerscy, “Apostilas de Transmissão de Energia Elétrica I, II e III”, Ed.Engenharia, DEElétrica - EEUFMG, 1967

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- EPRI, “Transmission Line Reference Book, 345 kV and Above / Second Edition”, GEC General Electric Co. Energy Systems and Technology, Schenectady, N.Y., 1982.

- Camargo, C. C. de B., “Transmissão da Energia Elétrica”, UFSC, Eletrobrás, Florianópolis, 1984.- Gönen, Turan, “Electric Power Transmission System Engineering - Analysis & Design”, J. W. & Sons Inc., Cs University, 1988.- Andrade, José C. Borges, “Textos de Sistemas Elétricos de Potência I “, SGA, PUC Minas, 2011.

Preparado por: Prof. José Celso B. de Andrade. Sistemas Elétricos de Potência I – PUC Minas, 2012.