607909_Fenômenos de Transportes - Transferência de Calor

Fenmenos de Transporte 02/2011 Cristiana Brasil Maia Transferncia de Calor

128

TRANSFERNCIA DE CALOR

Sempre que existir uma diferena de temperatura em um meio ou entre meios diferentes,

haver, necessariamente, transferncia de calor. A transferncia de calor o trnsito de

energia provocado por uma diferena de temperatura, no sentido da temperatura mais alta

para a mais baixa. O ramo da cincia que trata da relao entre calor e outras formas de

energia a termodinmica. Seus princpios so baseados em observaes e foram

generalizados em leis julgadas verdadeiras para todos os processos que ocorrem na natureza:

1a Lei da Termodinmica: A energia no pode ser criada ou destruda, mas apenas

transformada de uma forma para outra.

2a Lei da Termodinmica: impossvel existir um processo cujo nico resultado seja a

transferncia de calor de uma regio de baixa temperatura para outra de temperatura mais alta.

Todos os processos de transferncia de calor envolvem a transferncia e a converso de

energia. Dessa forma, eles devem obedecer primeira e segunda leis da termodinmica. A

literatura reconhece trs modos distintos de transferncia de calor: conduo, conveco e

radiao.

Conduo

Transferncia de calor que ocorre em um meio estacionrio, que pode ser um slido ou um

fluido.

A conduo pode ser vista como a transferncia de energia de partculas mais energticas para

partculas de menor energia, devido s interaes que ocorrem entre elas. Temperaturas mais

altas esto associadas a energias moleculares mais altas. Quando molculas vizinhas colidem

entre si, h transferncia de energia das molculas de maior energia para as molculas de

menor energia. Na presena de um gradiente de temperatura, a transferncia de energia por

conduo ocorre, portanto, no sentido da diminuio de temperatura. Em slidos, as

molculas apresentam menor espaamento. As interaes moleculares so, portanto, mais

fortes e mais freqentes que nos fluidos. A transferncia de calor por conduo , portanto,

maior em materiais slidos do que em materiais fluidos, em condies semelhantes.

Conveco

Transferncia de calor que ocorre entre uma superfcie e um fluido em movimento, quando

estiverem em temperaturas diferentes.

A conveco abrange dois mecanismos distintos. Alm da transferncia de energia devido ao

movimento molecular aleatrio (conduo), a energia tambm transferida atravs do

movimento global ou macroscpico do fluido (adveco). Este movimento, na presena de

um gradiente de temperatura, contribui para a transferncia de calor.

A transferncia de calor por conveco pode ser classificada de acordo com a natureza do

escoamento do fluido. Ela dita conveco forada (Fig. 1a) quando o escoamento causado

por meios externos (como um ventilador ou uma bomba) ou quando o escoamento de ventos

atmosfricos. Na conveco natural ou livre (Fig. 1b), o escoamento dos fluidos induzido

por foras de empuxo, originadas a partir de variaes de densidade causadas por diferenas

de temperatura no fluido. Na prtica, podem ocorrer situaes nas quais ambas as formas de

conveco ocorrem simultaneamente. Diz-se, neste caso, que h conveco mista.


129

Figura 1 Transferncia de calor por conveco. (a) Conveco forada. (b) Conveco natural

Radiao

Energia emitida na forma de ondas eletromagnticas por uma superfcie a uma temperatura

no nula.

A radiao trmica a energia eletromagntica propagada na velocidade da luz, emitida pelos

corpos em virtude de sua temperatura. Os tomos, molculas ou eltrons so excitados e

retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste processo, emitem energia

na forma de radiao eletromagntica. Uma vez que a emisso resulta de variaes nos

estados eletrnico, rotacional e vibracional dos tomos e molculas, a radiao emitida

usualmente distribuda sobre uma faixa de comprimentos de onda. Estas faixas e os

comprimentos de onda representando os limites aproximados so mostrados na Fig. 2.

O processo de transferncia de calor por radiao ocorre de um corpo a alta temperatura para

um corpo a baixa temperatura, quando estes corpos esto separados no espao, ainda que

exista vcuo entre eles.


130

Figura 2 Espectro de Radiao Eletromagntica

Exemplo 1 Modos de Transferncia de Calor

Uma garrafa trmica tem o objetivo de manter a temperatura de seu contedo constante ao

longo do tempo, independendo das condies ambientes externas. Identifique os processos de

transferncia de calor que contribuem para o resfriamento de caf quente colocado em seu

interior e discuta sobre as caractersticas que minimizam as trocas de calor com o ambiente

externo.

As garrafas trmicas so constitudas basicamente de um vaso de vidro com paredes duplas,

distanciadas entre si de 1 cm, como mostrado na figura a seguir.

Considerando-se que o fluido no interior da garrafa trmica seja caf quente, as trocas de calor entre o

caf e o ambiente so: conveco natural do caf para a primeira parede; conduo atravs da primeira

parede; conveco natural da primeira parede para o ar no interior da garrafa; conveco natural do ar

para a segunda parede (invlucro plstico); troca lquida por radiao entre as paredes; conduo

atravs do invlucro plstico; conveco natural do invlucro plstico para o ambiente externo; troca

lquida por radiao entre a superfcie externa do invlucro plstico e a vizinhana.

No processo de fabricao, grande parte do ar retirado do espao entre as paredes atravs de um

orifcio, que a seguir selado. Com este vcuo parcial, as trocas de calor por conduo e conveco


131

so minimizadas. As superfcies das paredes so revestidas por materiais aluminizados (baixa

emissividade), fazendo com que elas se tornem espelhadas, provocando a reflexo da radiao para o

interior do recipiente, evitando a transmisso de calor para o exterior. A tampa que fecha a garrafa

geralmente oca e feita de borracha ou plstico (materiais isolantes), minimizando a perda de calor

para o exterior.

EQUAES DE TAXA

Todos os processos de transferncia de calor podem ser quantificados atravs da equao de

taxa apropriada. A equao de taxa pode ser usada para se calcular a quantidade de energia

transferida por unidade de tempo.

A taxa de energia denotada por q, e tem unidade de W (Watt) no SI. Outra maneira de se

quantificar a transferncia de energia atravs do fluxo de calor, "q , que a taxa de energia

por unidade de rea (perpendicular direo da troca de calor). No SI, a unidade do fluxo

W/m2.

Conduo

Lei de Fourier

dx

dTkq"cond

onde "cond

q : Fluxo de calor por conduo na direo x (W/m2)

k: Condutividade trmica do material da parede (W/mK)

calor de fluxo do direo na ra temperatude Gradiente :dx

dT

A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela rea perpendicular

direo da transferncia de calor,

dx

dTkAqcond

O sinal negativo aparece porque o calor est sendo transferido na direo da temperatura

decrescente. A Lei de Fourier se aplica a todos os estados da matria (slidos, lquidos e

gases), desde que estejam em repouso.

Conveco

Lei de Resfriamento de Newton

Figura 3 Transferncia Convectiva de Calor


132

TThq S"conv , se TS > T

S"conv TThq , se T > TS

onde qconv: Fluxo de calor por conveco (W/m2)

h: Coeficiente convectivo de calor (W/m2K)

TS: Temperatura da superfcie

T: Temperatura do fluido

Assumindo-se um fluxo de calor por conveco constante, a taxa de transferncia de calor por

conveco dada por

Aqq "convconv ou

TThAq sconv , se TS > T

sconv TThAq , se T > TS

A Tabela 1 apresenta valores tpicos do coeficiente convectivo h

Tabela 1 Valores de h (W/m2.K)

Gs Lquido

Conveco Natural 5-25 50-1.000

Conveco Forada 25-250 50-20.000

Ebulio ou Condensao 2.500-100.000

Radiao

Lei de Stefan-Boltzmann

A radiao com comprimento de onda de aproximadamente 0,2m a 1000m chamada radiao trmica e emitida por todas as substncias em virtude de sua temperatura. A

mxima energia trmica emitida por uma superfcie

4smax T"q

onde qmax: Energia emitida por unidade de rea da superfcie (W/m2)

: Constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8 W/m2K4)

Ts: Temperatura absoluta da superfcie (K)

Se a energia emitida for uniforme ao longo da superfcie, a taxa mxima de calor emitida pode

ser dada por:

ATq 4smax

onde A: rea da superfcie

Uma superfcie capaz de emitir esta quantidade de energia chamada um radiador ideal ou

um corpo negro. Um corpo negro pode ser definido tambm como um perfeito absorvedor de

radiao. Toda a radiao incidente sobre um corpo negro (independentemente do


133

comprimento de onda ou da direo) ser absorvida. Embora um corpo negro no exista na

natureza, alguns materiais se aproximam de um. Por exemplo, uma camada fina de carbono

preto pode absorver aproximadamente 99% da radiao trmica incidente.

O fluxo de calor emitido por uma superfcie real menor do que aquele emitido por um corpo

negro mesma temperatura e dado por

4sreal T"q

onde a emissividade da superfcie. Esta propriedade indica a eficincia de emisso da

superfcie em relao a um corpo negro 10 . A Tabela A.5 apresenta a emissividade de algumas superfcies selecionadas, a 300K.

Se o fluxo de calor for uniforme ao longo da superfcie, a taxa total de calor emitida pode ser

dada por:

ATq 4sreal

onde A: rea da superfcie

Anlises experimentais mostram que os metais, em geral, apresentam baixa emissividade. No

entanto, a sua oxidao provoca um aumento nesta propriedade. Ao contrrio dos metais, os

materiais no condutores apresentam alta emissividade.

Quando uma energia radiante atinge a superfcie de um material, parte da radiao refletida,

parte absorvida e parte transmitida, como mostrado na Fig. 4. A refletividade a propriedade radiativa que representa a frao refletida, ou seja, a razo entre a parcela

refletida pela superfcie e a radiao incidente sobre ela. Da mesma forma, a absortividade

a frao absorvida e a transmissividade a frao transmitida atravs da superfcie. Como a soma das parcelas absorvida, refletida e transmitida pela superfcie deve ser igual radiao

incidente sobre ela, pode-se perceber que a soma das propriedades radiativas deve ser igual

unidade, ou seja,

1

Figura 4 Radiao Incidente sobre uma Superfcie

O clculo da taxa lquida na qual a radiao trocada entre duas superfcies bastante

complexo e depende das propriedades radiativas das superfcies, de seu formato e de seu

posicionamento geomtrico. Por exemplo, a troca de calor por radiao entre duas placas

negras paralelas de 1 m x 1 m, distanciadas de 1m, de 1,13 kW. Se estas mesmas placas

estivessem distanciadas de 2 m, a troca de calor por radiao seria de 0,39 kW. Um caso

especial que ocorre com freqncia envolve a troca lquida de radiao entre uma pequena


134

superfcie a uma temperatura TS e uma superfcie isotrmica bem maior que a primeira, que a

envolve completamente (Fig. 5).

Figura 5 Troca Radiativa Lquida entre duas Superfcies

Considerando-se a superfcie menor cinzenta , o fluxo lquido de transferncia de calor por radiao a partir da superfcie dado por

44s"rad TTq

A taxa lquida de troca de calor

44srad TTAq

onde A: rea da superfcie menor

TS: Temperatura da superfcie menor

T: Temperatura da superfcie maior

Manipulando-se a equao anterior, pode-se escrever a taxa lquida como

2viz2sssrad TTTTTTAq

Definindo-se

22ssr TTTTh

a equao da taxa de calor por radiao pode ser escrita como

TTAhq srrad

Deve ser ressaltado que o resultado independe das propriedades da superfcie maior, j que

nenhuma parcela da radiao emitida pela superfcie menor seria refletida de volta para ela.

As superfcies mostradas na Fig. 3 podem tambm, simultaneamente, trocar calor por

conveco com um fluido adjacente. A taxa total de transferncia de calor dada, portanto,

pela soma da taxa de calor por radiao com a taxa de calor por conveco,

convrad qqq

A Tabela 2 apresenta um resumo das equaes de taxa dos diferentes modos de transferncia

de calor.


135

Tabela 2 Equaes de Taxa

Taxa Fluxo

Conduo

dx

dTkAqcond

dx

dTkq"cond

Conveco TThAq sconv TThq S"conv

Radiao 44srad TTAq 44s"rad TTq

Exemplo 2 Taxas de calor: radiao e conveco natural

Uma tubulao de vapor sem isolamento trmico passa atravs de uma sala onde o ar e as

paredes se encontram a 25oC. O dimetro externo do tubo de 70 mm, a temperatura de sua

superfcie de 200oC e sua emissividade de 0,8. O coeficiente associado com a transferncia

de calor por conveco natural da superfcie para o ar de 15 W/m2.K. Determine a taxa de

calor perdida pela superfcie do tubo, por unidade de comprimento.

A perda de calor da tubulao para o ar da sala se d por conveco e, para as paredes, por radiao. A

taxa total de calor perdida , portanto, a soma da taxa perdida por conveco com a taxa perdida por

radiao.

radconv qqq

A taxa de calor perdida por conveco calculada pela lei de resfriamento de Newton,

TThAq sconv

onde A a rea de troca de calor, ou seja, a rea superficial do tubo,

dLA

TTdLhq sconv

A taxa de calor perdida por radiao para as paredes pode ser calculada, considerando-se a superfcie

do tubo cinzenta, pela lei de Stefan-Boltzmann,

44srad TTAq

onde

dLA

44srad TTdLq

A taxa total de troca de calor dada, portanto, por

44ss TTdLTTdLhq

A taxa de calor por unidade de comprimento pode ser obtida dividindo-se a equao anterior por L,

44ss TTdTTdhL

q

4442

8o

2K15,298K15,473.m07,0.

K.m

W10x67,5.8,0C25200

K.m

W15.m07,0.

L

q

Deve ser observado que a temperatura pode ser escrita em oC quando se avaliam diferenas de

temperatura em processos de transferncia de calor por conduo ou por conveco (diferena linear


136

de temperatura). No entanto, a temperatura deve ser escrita em K em processos de transferncia de

calor por radiao (temperaturas elevadas quarta potncia).

m/W421m/W577L

q

m/W998L

q

Na situao deste exemplo, as taxas de transferncia de calor por radiao e conveco possuem

magnitudes comparveis, pois o valor da temperatura superficial grande quando comparado ao valor

da temperatura das vizinhanas e o coeficiente associado conveco natural pequeno.

Exemplo 3 Taxas de calor: radiao e conveco forada

Um cilindro oco de madeira, de 2 cm de dimetro e 1 m de comprimento, aquecido pela

passagem de uma resistncia eltrica. A temperatura superficial externa do cilindro mantida

constante em 40oC. Ele exposto a uma corrente de ar a temperatura de 15

oC, sendo o

coeficiente convectivo associado de 100 W/m2.K. Determine e compare as taxas de calor

trocadas entre o cilindro e o ambiente

a) por conveco

b) por radiao.

a) A taxa de calor perdida por conveco dada por TThAq sconv

como dLA

TTdLhq sconv

C1540Km

W100.m1.m02,0.q

o

2

W08,157q

b) A taxa de calor perdida por radiao dada por

4viz4srad TTAq

ou

44srad TTdLq

Da Tabela A.5, a emissividade da madeira a 300K varia entre 0,82 e 0,92. Assumindo-se um valor

mdio, 86,0

4442

8 K15,288K15,313.m1.m02,0.K.m

W10x67,5.86,0q

W34,8q

Percebe-se que a taxa de calor perdida por radiao representa apenas 5% da taxa total de calor,

podendo ser desprezada em clculos de engenharia. Isto pode ser explicado pelo alto valor do

coeficiente convectivo e pelos valores prximos de temperatura ambiente e da superfcie do cilindro.


137

INTRODUO CONDUO

A Lei de Fourier uma lei fenomenolgica, ou seja, desenvolvida a partir de fenmenos

observados, e no deduzida a partir de princpios fundamentais.

Para a conduo unidimensional, dx

dTkq" x,cond

O fluxo de calor uma grandeza vetorial, dado por Tk"q

onde o operador gradiente. A Tabela 3 apresenta, para os trs sistemas de coordenadas, a lei de Fourier.

Tabela 3 Lei de Fourier

Sistema de

coordenadas Lei de Fourier Forma compacta

Cartesianas

k

z

Tj

y

Ti

x

Tkq " kqjqiqq zyx

""""

Cilndricas

k

z

Tj

T

ri

r

Tkq

1"

kqjqiqq zr""""

Esfricas

k

T

rj

T

ri

r

Tkq

sen

11"

kqjqiqq r""""

PROPRIEDADES TRMICAS DA MATRIA

A condutividade trmica (k) representa a capacidade de um corpo transferir calor. Ela

depende da estrutura fsica da matria, a nveis atmico e molecular. Para uma taxa de calor

fixa, um aumento na condutividade trmica representa uma reduo do gradiente de

temperatura ao longo da direo da transferncia de calor. Para uma diferena fixa de

temperatura, um aumento na condutividade trmica representa um aumento da taxa de calor

transferida. Em geral, a condutividade trmica de um slido maior que a de um lquido que,

por sua vez, maior que a de um gs. Esta tendncia se deve, em grande parte, s diferenas

de espaamento intermolecular nos estados da matria, mas tambm se deve s diferenas

entre as estruturas moleculares dos materiais. As molculas de um metal so compactadas e

bem ordenadas, permitindo uma melhor transferncia de calor do que em um material no

metlico, que possui as molculas mais esparsas. Os eltrons livres, presentes nos materiais

metlicos, so em parte responsveis pela elevada condutividade trmica destes materiais.

Assim, bons condutores eltricos geralmente possuem altas condutividades trmicas. Os

slidos inorgnicos com estrutura cristalina menos ordenada que os metais apresentam

menores condutividades trmicas. Materiais orgnicos e fibrosos como a madeira tm

condutividades ainda menores. No Sistema Internacional, a unidade de k W/(m.K). A

Tabela A.6 apresenta valores da condutividade trmica para alguns materiais, a 300 K.

O produto cp (densidade * calor especfico), comumente chamado de capacidade calorfica, mede a capacidade de um material de armazenar energia trmica. No Sistema Internacional, a

unidade da capacidade calorfica kg.K/(m3.s

2).

A difusividade trmica definida como sendo a razo entre a condutividade trmica e a capacidade calorfica


138

pc

k

Esta propriedade mede a capacidade do material de conduzir a energia trmica em relao

sua capacidade de armazen-la. Materiais com valores elevados de respondero rapidamente a mudanas nas condies trmicas a eles impostas, enquanto materiais com

valores reduzidos de respondero mais lentamente, levando mais tempo para atingir uma nova condio de equilbrio. Em geral, os slidos metlicos tm maiores difusividades

trmicas, enquanto os slidos no metlicos apresentam menores valores desta propriedade.

No SI, a unidade de m2/s.

EQUAO DA DIFUSO DE CALOR

Coordenadas Cartesianas

Um dos objetivos principais da anlise da conduo de calor determinar o campo de

temperaturas em um meio, ou seja, a distribuio de temperaturas em seu interior. Assim,

pode-se determinar o fluxo de calor por conduo em qualquer ponto do meio ou em sua

superfcie utilizando-se a lei de Fourier. Seja o volume de controle infinitesimal de dimenses

dx, dy e dz mostrado na Fig. 6. gE representa a gerao interna de calor que pode existir no

volume de controle, ou seja, a converso de outras formas de energia em energia trmica. Esta

converso pode ser atravs de uma reao qumica exotrmica ou o aquecimento do volume

de controle por uma resistncia eltrica. aE o acmulo de energia que pode existir no

volume de controle ao longo do tempo. zyx q e q ,q so as taxas de calor por conduo nas trs

direes.

Fazendo-se um balano de energia no volume de controle

agse EEEE

dxdydzt

Tcdxdydzqqqqqqq pdzzdyydxxzyx

Figura 6 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas)


139

q : Taxa de gerao de energia por unidade de volume do meio (W/m3)

t

Tcp

: Taxa de variao de energia trmica do meio, por unidade de volume (W/m3)

Fazendo-se uma expanso em srie de Taylor nas 3 direes,

dzz

qqqdy

y

qqqdx

x

qqq zzdzz

yydyy

xxdxx

Assim,

dxdydzt

Tcdxdydzqdz

z

qqdy

y

qqdx

x

qqqqq p

zz

yy

xxzyx

dxdydzt

Tcdxdydzqdz

z

qdy

y

qdx

x

qp

zyx

dxdydzt

Tcdxdydzqdzq

zdyq

ydxq

xpzyx

As taxas zyx q e q ,q podem ser determinadas utilizando-se a Lei de Fourier

dxdyz

Tkqdxdz

y

Tkqdydz

x

Tkq zyx

dxdydzt

Tcdxdydzqdzdxdy

z

Tk

zdydxdz

y

Tk

ydxdydz

x

Tk

xp

dxdydzt

Tcdxdydzqdxdydz

z

Tk

zdxdydz

y

Tk

ydxdydz

x

Tk

xp

Dividindo-se todos os termos pelo volume infinitesimal dxdydz,

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

xp

Muitas vezes, no entanto, possvel operar com verses simplificadas desta equao,

adotando-se algumas hipteses:

Condutividade trmica constante (k constante):

t

T

k

c

k

q

z

T

y

T

x

T p2

2

2

2

2

2

Sabendo que a difusividade trmica

pc

k

A equao anterior pode ser reescrita como:


140

t

T1

k

q

z

T

y

T

x

T2

2

2

2

2

2

Regime Permanente 0

t

T :

0qz

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x

Conduo unidimensional de calor em regime permanente, sem gerao interna de calor

0dx

dTk

dx

d

0"qdx

dX

ou seja

constante"q X

Em condies de transferncia de calor unidimensional em regime permanente, sem gerao

interna de energia, o fluxo de calor constante.

Exemplo 4 Distribuio de temperaturas em uma parede plana k varivel

Uma parede plana tem a superfcie interna (x = 0) mantida a 300 K, enquanto a superfcie

externa (x = 0,5 m) mantida a 550 K. Dada a grande diferena de temperatura entre as

extremidades, a condutividade trmica do material da parede no pode ser considerada

constante, sendo dada pela expresso 06711.0x246.0x2965.1

1k

2 . Determine a

distribuio de temperaturas no interior da parede e o fluxo de calor na posio x = 0,3 m,

considerando a conduo unidimensional em regime permanente, sem gerao de calor.

A equao da difuso de calor, em coordenadas cartesianas, dada por

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

xp

Considerando-se a conduo unidimensional, em regime permanente, sem gerao interna de calor,

esta equao se reduz a

0dx

dTk

dx

d

Como a condutividade trmica do material da parede no constante, variando com a posio x, ela

deve ser includa na equao antes que a integrao da equao seja feita. Assumindo-se

cbxax

1

06711.0x246.0x2965.1

1k

22

0dx

dT

cbxax

1

dx

d

dx

dTk

dx

d2

Integrando-se uma vez a equao, obtm-se


141

12C

dx

dT

cbxax

1

(1)

ou

cbxaxCdx

dT 21

Integrando-se a equao uma segunda vez,

2

23

1 Ccx2

bx

3

axCT

(2)

ou

2

23

1 Cx06711,02

x246,0

3

x2965,1CT

Para a determinao das constantes de integrao, necessrio aplicar as condies de contorno.

K3000xT (3)

K550m5,0xT (4)

Substituindo-se a condio de contorno (3) na equao (2),

2

23

1 0.06711,02

0246,0

3

02965,1300 CC

KC 3002

Substituindo-se a condio de contorno (3) na equao (2),

3005,0.06711,0

2

5,0246,0

3

5,02965,1550

23

1

C

21 m/W4399C

Substituindo-se os valores encontrados para as constantes,

300x295x541x1901T 23

O fluxo de calor pode ser obtido atravs da lei de Fourier,

dx

dTk"q

Como 1C

dx

dTk (Equao 1)

1C"q

2m/W4399"q

Coordenadas Cilndricas

Efetuando-se uma anlise similar realizada para coordenadas cartesianas, pode-se escrever a

equao da difuso de calor em coordenadas cilndricas e esfricas.


142

Figura 7 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilndricas)

t

Tcq

z

Tk

z

Tk

r

1

r

Tkr

rr

1p2

Coordenadas Esfricas

Figura 8 Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esfricas)

t

Tcq

Tksen

senr

1Tk

senr

1

r

Tkr

rr

1p222

2

2

Condies de Contorno e Condio Inicial

A soluo das equaes que governam um problema depende ainda das condies fsicas que

existem nas fronteiras do meio (condies de contorno) e, quando a situao for dependente

do tempo, tambm das condies que existem em um certo instante inicial (condio inicial).

Como a equao da conduo de calor uma equao de segunda ordem nas coordenadas

espaciais, so necessrias 2 condies de contorno para cada coordenada espacial que

descreve o sistema. Como a equao de primeira ordem no tempo, basta apenas uma

condio inicial. As figuras a seguir mostram as 3 espcies de condies de contorno

comumente encontradas na transferncia de calor. Elas ilustram a situao para um sistema

unidimensional, especificando a condio de contorno na superfcie em x = 0, com a

transferncia de calor ocorrendo no sentido positivo do eixo x.

1) Temperatura da Superfcie Prescrita


143

sTtT ),0(

2) Fluxo de Calor Prescrito na Superfcie

)0("

0

x

x

qx

Tk

a) Fluxo de Calor Diferente de Zero

"

0

S

x

qx

Tk

b) Fluxo de Calor Nulo (Parede Isolada ou Adiabtica)

00

xx

T

3) Condio Convectiva na Superfcie

tTThx

Tk

x

,00

Exemplo 5 Fluxo e taxa de calor em uma casca esfrica

Uma casca esfrica, com os raios interno e externo ri e ro, respectivamente, contm

componentes que dissipam calor. Se a distribuio de temperatura na casca da forma

21 C

r

C)r(T , determine as expresses para o fluxo trmico e a taxa de calor em funo do

raio r.

O fluxo e a taxa de calor podem ser calculados atravs da lei de Fourier,

dr

dTk"q

Derivando-se a temperatura em funo do raio da casca esfrica,

2

1

r

C

dr

dT

21

r

Ck"q


144

2

1

r

Ck"q

A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela rea superficial da esfera,

2r4A

2

12

2

1

r

Cr4.k

r

CkAA"qq

1kC4q

CONDUO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE

Seja uma parede plana separando dois fluidos em temperaturas diferentes (Fig. 9). Considere

a conduo unidimensional de calor atravs da parede, em regime permanente, sem gerao

interna. A temperatura funo somente de uma coordenada espacial (no caso x) e o calor

transferido unicamente nesta direo. A transferncia de calor ocorre por conveco do fluido

quente a T1 para a superfcie da parede a TS1 em x = 0, por conduo atravs da parede e por

conveco da superfcie da parede em x = L a TS2 para o fluido frio a T2.

Figura 9 Transferncia de Calor atravs de uma Parede Plana

A determinao da distribuio de temperaturas no interior da parede feita atravs da

soluo da equao de calor. Em coordenadas cartesianas, esta equao dada por

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

xp

Hipteses:

Conduo unidimensional

0

zT

yT

Sem gerao interna 0q

Regime permanente 0t

T

A equao se reduz, ento, a


145

0dx

dTk

dx

d

Considerando-se a condutividade trmica do material constante,

0dx

Tdk

2

2

ou 0dx

Td2

2

Integrando-se 2 vezes em x,

1Cdx

dT 21 CxCT

Para se determinar as constantes de integrao C1 e C2, aplicam-se as condies de contorno:

1,ST0T 2,STLT

Assim,

L

TTC

1,S2,S

1

1,S2 TC

1,S1,S2,S

TxL

TTxT

Na conduo unidimensional em regime permanente numa parede plana sem gerao de

calor e com condutividade trmica constante, a temperatura uma funo linear de x.

A taxa de calor por conduo no interior da parede dada pela lei de Fourier

dx

dTkAq x

Derivando-se a equao encontrada para o perfil de temperaturas na direo x,

2,S1,Sx TTL

kAq

O fluxo de calor dado por

2,S1,Sx"x TTL

k

A

qq

Percebe-se, portanto, que, no interior da parede, a taxa e o fluxo de calor so constantes.

Resistncia Trmica

Da mesma maneira que uma resistncia eltrica se ope passagem de corrente em um

circuito, uma resistncia trmica se ope passagem de calor. Definindo-se a resistncia

como sendo a razo entre o potencial motriz e a correspondente taxa de transferncia, a

resistncia trmica assume a forma

q

TR t

Assim, para a conduo unidimensional atravs de uma parede plana


146

kA

LR cond,t

Para a conveco

hA

1R conv,t

Para a radiao

Ah

1R

rrad,t onde 22SSr TTTTh

Deve-se ressaltar que as resistncias trmicas conveco e radiao assumem a mesma

forma para qualquer sistema de coordenadas, variando-se apenas a expresso utilizada para a

rea. No entanto, a resistncia conduo assume diferentes expresses para os diferentes

sistemas de coordenadas.

No exemplo da parede plana, toda a energia transferida do fluido quente para a superfcie

conduzida atravs da parede e, por sua vez, para o fluido frio, ou seja, a taxa de calor

constante.

2convcond1convx qqqq

ou

2,2,S22,S1,S1,S1,1x TTAhTTL

kATTAhq

Reescrevendo-se a equao anterior,

Ah1

TT

kAL

TT

Ah1

TTq

2

2,2,S2,S1,S

1

1,S1,x

Utilizando-se o conceito de resistncia trmica,

2conv

2,2,S

cond

2,S1,S

1conv

1,S1,x

R

TT

R

TT

R

TTq

Pode-se ento fazer um circuito trmico, anlogo a um circuito eltrico, com a forma


147

Figura 10 Circuito Trmico

Pode-se, da mesma forma, fazer um circuito trmico equivalente, em funo da diferena

global de temperatura, definindo-se a resistncia trmica total Rtot.

tot

2,1,x

R

TTq

Como as resistncias trmicas condutiva e convectivas esto em srie,

2convcond1convtot RRRR

Ah

1

kA

L

Ah

1R

21tot

Parede Composta

Seja a conduo de calor unidimensional, em regime permanente, atravs de uma parede

composta, constituda por materiais de espessuras e condutividades trmicas diferentes (Fig.

11).

Figura 11 Transferncia de Calor atravs de uma Parede Plana

A taxa de transferncia de calor qx dada por


148

tot

4,1,

4

4,4,S

C

C

4,S3,S

B

B

3,S2,S

A

A

2,S1,S

1

1,S1,x

R

TT

Ah1

TT

AkL

TT

AkL

TT

AkL

TT

Ah1

TTq

onde Ah

1

Ak

L

Ak

L

Ak

L

Ah

1RR

2C

C

B

B

A

A

1ttot

No exemplo anterior, desprezaram-se as trocas de calor por radiao entre as superfcies da

parede e os fluidos. Ao se considerar estas trocas, a taxa total de calor entre a superfcie e o

fluido seria dada como a soma das taxas de calor por conveco e radiao. A resistncia

trmica radiao seria inserida no circuito trmico associada em paralelo resistncia

conveco, j que o potencial (T) entre a superfcie e o fluido seria o mesmo. O circuito trmico, se forem consideradas as trocas de calor por radiao, dado por

Figura 12 Circuito Trmico Equivalente

Exemplo 6 Circuito trmico: parede plana

A parede composta de um forno possui trs materiais, dois dos quais com condutividades

trmicas conhecidas, kA = 25 W/m.K e kC = 50 W/m.K. A espessuras dos 3 materiais so LA =

0,30 m e LB = LC = 0,15 m e a rea da superfcie de 1 m2. Em condies de regime

permanente, medies efetuadas revelam uma temperatura na superfcie externa do forno TS4

= 20oC, uma temperatura na superfcie interna TS1 = 600 K e uma temperatura no interior do

forno T = 800 K. Se o coeficiente de transferncia de calor por conveco no interior do

forno 15 W/m2.K e a emissividade do material A vale 0,7, desenhe o circuito trmico

equivalente e calcule o valor da condutividade trmica do material B.

O circuito trmico equivalente do problema mostrado na figura a seguir


149

Deve ser observado que, uma vez que no foram fornecidos dados a respeito de quaisquer fluidos que

possam estar em contato com a superfcie C, o circuito termina na superfcie externa do material C.

Como a temperatura da superfcie interna TS1 alta, os efeitos de radiao so importantes e devem ser

considerados nos clculos.

Sabe-se que a taxa de transferncia de calor constante atravs da parede.

2eq

4S1S

1eq

1S

eq

4S

R

TT

R

TT

R

TTq

(1)

onde

2eq1eqeq RRR

radconv1eq R

1

R

1

R

1 3cond2cond1cond2eq RRRR

As resistncias trmicas so dadas por

W/K0667,0m1.K.m/W15

1

hA

1R

22conv

Ah

1R

rrad

onde

Km

W566,55K800600K800K600

Km

W10x67,5.7,0TTTTh

2

222

42

821S

21Sr

W/K018,0m1.K.m/W566,55

1R

22rad

Assim,

W/K01417,0Req

W/K012,0m1.K.m/W25

m30,0

Ak

LR

2A

A1cond

B2

BB

B2cond

k

15,0

m1.k

m15,0

Ak

LR

W/K003,0m1.K.m/W50

m15,0

Ak

LR

2A

A3cond

W/K003,0k

15,0W/K012,0R

B2eq

Substituindo-se os valores e expresses das resistncias trmicas na equao (1), tem-se

B2eq

4S1S

1eq

1S

k/15,0W/K015,0

K15,293K600

W/K01417,0

K600K800

R

TT

R

TT

K.m/W25,22kB


150

Resistncia de Contato

Em sistemas compostos, a queda de temperatura nas interfaces pode ser considervel. Esta

mudana de temperatura atribuda a uma resistncia trmica de contato. A existncia de uma

resistncia de contato se deve principalmente aos efeitos da rugosidade da superfcie (Figura

13). Assim, existem regies vazias na interface que so, na maioria dos casos, preenchidas

com ar. A transferncia de calor , portanto, devida conduo de calor atravs da rea de

contato real e conduo e/ou radiao atravs das falhas.

Figura 13 Resistncia Trmica de Contato

A resistncia de contato normalmente adicionada ao circuito trmico como uma resistncia

em srie com as resistncias conduo atravs dos materiais. Para uma rea de interface

unitria, a resistncia trmica de contato definida pela expresso:

x

BAtc

q

TTR

""

Para slidos cujas condutividades trmicas so superiores do fluido presente nas falhas, a

resistncia de contato pode ser reduzida pelo aumento da rea dos pontos de contato. Este

aumento pode ser obtido por um acrscimo na presso de contato ou juno e/ou pela reduo

da rugosidade das superfcies em contato. A resistncia de contato pode ser reduzida pela

seleo de um fluido com elevada condutividade trmica para preencher as falhas. Duas

classes de materiais que so adequadas para este propsito so os metais macios e as graxas

trmicas. Os metais podem ser inseridos na forma de finas folhas ou pelculas, ou aplicados

como um fino revestimento em um dos materiais em contato. As graxas trmicas base de

silicone (silcio) so alternativas interessantes, pois preenchem completamente os interstcios

entre os materiais.

Tabela 4 Resistncia Trmica de Contato Slido/Slido

Interface Rtc x104 (m

2.K/W)

Chip de silcio/alumnio esmerilhado com ar (27 500 kN/m2) 0,3 0,6

Alumnio/alumnio com folha de ndio (~ 100 kN/m2) ~ 0,7

Ao inoxidvel/ao inoxidvel com folha de ndio (~ 100 kN/m2) ~ 0,04

Alumnio/alumnio com revestimento metlico (Pb) 0,01 0,1

Alumnio/alumnio, com graxa Dow Corning 340 (~ 100 kN/m2) ~ 0,07

Alumnio/alumnio, com graxa Dow Corning 340 (~ 3500 kN/m2) ~ 0,04

Chip de silcio/alumnio, com 0,02 mm de epxi 0,2 0,9

Lato/lato com 15m de solda base de estanho 0,025 0,14


151

Embora vrias tcnicas tenham sido desenvolvidas para estimar a resistncia de contato, os

valores mais confiveis so aqueles obtidos experimentalmente. A Tabela 4 apresenta valores

para a resistncia de contato entre slidos diferentes, com vrios materiais intersticiais. A

Tabela 5 apresenta valores para a resistncia de contato em uma interface de alumnio, para

diferentes fluidos interfaciais.

Tabela 5 Resistncia Trmica de Contato em uma Interface de Alumnio

Fluido Interfacial Rtc x104 (m

2.K/W)

Ar 2,75

Hlio 1,05

Hidrognio 0,720

leo de silicone 0,525

Glicerina 0,265

Configuraes do tipo Srie-Paralelo

Seja a parede composta apresentada na Fig. 14. Embora neste sistema a transferncia de calor

seja bidimensional, razovel a adoo da hiptese de condies unidimensionais. Com base

nestas hipteses, podem ser usados dois circuitos trmicos diferentes, mostrados na Fig. 15.

No caso (a), supe-se que as superfcies perpendiculares direo x so isotrmicas e, no caso

(b), que as superfcies paralelas a x so adiabticas. As taxas de calor so diferentes em cada

caso, representando um intervalo dentro do qual est a taxa real de transferncia de calor. As

diferenas entre os resultados relativos dos dois circuitos aumentam com o aumento da

diferena de condutividade trmica entre os materiais B e C, j que os efeitos bidimensionais

se tornam mais importantes.

Figura 14 Parede Composta Figura 15 Circuitos Trmicos Equivalentes numa Parede Composta


152

CONDUO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SISTEMAS RADIAIS CILINDRO

Seja um cilindro oco cuja superfcie interna se encontra exposta a um fluido quente e a

superfcie externa, a um fluido frio (Fig. 16).

Figura 16 Transferncia de Calor atravs de um Cilindro Oco

A equao que governa a transferncia de calor no interior do cilindro

t

Tcq

z

Tk

z

Tk

r

1

r

Tkr

rr

1p2

Se forem adotadas as hipteses de

Conduo unidimensional

0

zTT

Sem gerao interna 0q

Regime permanente 0t

T

a equao pode ser reduzida a

0dr

dTkr

dr

d

r

1

0dr

dTkr

dr

d

0

L2

q

dr

d r

0q

dr

dr

ou

constanteqr

A taxa de calor , portanto, constante no interior da parede do cilindro.

Considerando-se a condutividade trmica k constante,

0dr

dTr

dr

d

r

k


153

0dr

dTr

dr

d

Integrando-se uma vez em r,

1Cdr

dTr ou

r

C

dr

dT 1

Integrando-se outra vez em r,

21 CrlnCrT

Aplicando-se as condies de contorno

1s1 TrrT

2s2 TrrT ,

podem-se obter as constantes de integrao C1 e C2

212s1s

1r/rln

TTC

2212s1s

2s2 rlnr/rln

TTTC

Assim,

2s2212s1s T

r

rln

r/rln

TTT

A taxa de transferncia de calor dada por

dr

dTrL2k

dr

dTkAq r

Deve ser ressaltado que a rea a ser usada aquela perpendicular direo da transferncia de

calor, ou seja, a rea lateral do cilindro.

Como 21

2s1s

r/rln

TT

r

1

dr

dT

122s1s

rr/rln

TTLk2q

O fluxo de calor dado por

dr

dTk"q r

122s1s

rr/rln

TT

r

k"q

A taxa de calor, portanto, constante para qualquer posio radial (no depende do raio r), o

que no acontece com o fluxo de calor, que funo da coordenada radial r.


154

A resistncia trmica conduo para sistemas radiais dada por

r

2s1scond

q

TTR

Lk2

r/rlnR 12cond

Parede Cilndrica Composta

Considere a conduo unidimensional de calor, em regime permanente, sem gerao interna,

atravs de uma parede cilndrica composta, como mostrado na Fig. 17.

Figura 17 Transferncia de Calor Atravs de uma Parede Cilndrica Composta

A taxa de calor constante atravs do cilindro. Assim, desprezando-se os efeitos radiativos,

2conv

14s

3cond

4s3s

2cond

3s2s

1cond

2s1s

1conv

1s1

tot

41r

R

TT

R

TT

R

TT

R

TT

R

TT

R

TTq

onde

44C

34

B

23

A

12

11ttot

Lhr2

1

Lk2

r/rln

Lk2

r/rln

Lk2

r/rln

Lhr2

1RR

Exemplo 7 Circuito trmico: cilindro

Um fluido quente escoa no interior de um tubo cilndrico de ao AISI 304, de raio interno

igual a 10 cm e raio externo igual a 12 cm e 2 m de comprimento. O coeficiente total de

transferncia de calor (conveco + radiao) entre o fluido quente e a superfcie interna do

tubo 25 W/m2.K. Para diminuir as perdas trmicas para o ambiente a 15

oC, o tubo foi

revestido por uma manta de fibra de vidro (emissividade 0,85), de 2,5 mm de espessura O

coeficiente convectivo externo igual a 20 W/m2.K. Se a superfcie externa do revestimento

se encontra a 80oC, determine:

a) A taxa total de calor trocada entre o fluido quente e o ambiente externo;


155

b) A temperatura do fluido quente.

a) O circuito trmico equivalente do problema mostrado na figura a seguir


2eq

23S

R

TTq

(1)

onde

2rad2conv2eq R

1

R

1

R

1

As resistncias trmicas so dadas por

W/K0325,0m2.m1225,0.2.K.m/W20

1

Lr2.h

1

Ah

1R

232c22c

2conv

importante ressaltar que a conveco externa deve ser calculada baseando-se na rea superficial

externa do cilindro, Lr2A 32 , onde r3 o raio externo do cilindro de ao, somado espessura do

isolamento de fibra de vidro,

m1225,0m0025,0m12,0trr 23

Lr2.h

1

Ah

1R

32r22r2rad

onde

22242

821S

21S2r K15,28815,353K15,288K15,353

Km

W10x67,5.85,0TTTTh

Km

W42,6h

22r

W/K1012,0m2.m1225,0.2.K.m/W42,6

1R

22rad

Assim,

W/K246,0R 2eq

A taxa de transferncia de calor dada pela equao (1),

W/K0246,0

K1580q

W2644q

Para se calcular a temperatura do fluido quente, T1, necessrio calcular as resistncias trmicas Req1,

Rcond1 e Rcond2.

A primeira resistncia dada por


156

W/K03183,0m2.m1,0.2.K.m/W25

1

Lr2.h

1

Ah

1R

21111

1eq

As resistncias trmicas conduo so dadas por

1

121cond

Lk2

r/rlnR

Da Tabela A.6, k1 = 14,9 W/m.K

W/K00974,0

K.m/W9,14.m2.2

m10,0/m12,0lnR 1cond

2

332cond

Lk2

r/rlnR

Da Tabela A.6, k2 = 0,038 W/m.K

W/K04318,0

K.m/W038,0.m2.2

m12,0/m1225,0lnR 1cond

Sabendo que

2cond1condeq

3S1

RRR

TTq

04318,0000974,003183,0

C80T2644

o1

K1,554C9,200T o1

Espessura Crtica de Isolamento

Suponha que se deseje resfriar um cilindro oco, com a superfcie interna exposta a um fluido

quente e a superfcie externa, a um fluido frio (Fig. 18). Para se aumentar ou diminuir a taxa

de calor retirada do cilindro sem alterar as condies do escoamento externo, pode-se colocar

uma camada de um segundo material sobre o cilindro, com condutividade trmica diferente

do material do cilindro.

Figura 18 Parede Cilndrica Composta

A taxa de transferncia de calor da superfcie interna para o fluido frio ir depender da

espessura de material colocado, ou seja, do raio externo do novo cilindro, r2. Como a resistncia conduo aumenta com o raio e a resistncia conveco apresenta


157

comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de minimizar a resistncia trmica

equivalente, maximizando a perda trmica (Fig. 19).

Figura 19 Comportamento das Resistncias Trmicas com r2

A taxa de calor dada por

eq

1Sr

R

)TT(q

onde

hLr2

1

kL2

)r/rln(R

2

12eq

Assim,

hr

1

k

)r/rln(

)TT(L2q

2

12

1Sr

O mximo valor de qr obtido fazendo-se

0dr

dq

2

r


158

0

hr

1

k

)r/rln(

hr

1

kr

1)TT(L2

dr

dq

2

2

12

222

1S

2

r

Esta condio satisfeita quando

h

krr c2

rc = Raio crtico

Como a derivada segunda de qr em relao a r2 negativa, qr tem o seu valor mximo em r =

rc. O comportamento da resistncia total inverso, como mostrado na Fig. 19.

Exemplo 8 Raio crtico

No Laboratrio de Transferncia de Calor da PUC Minas feita uma experincia para

determinar o coeficiente convectivo associado ao escoamento de ar sobre um cilindro exposto

ao ar ambiente. O cilindro feito de um material metlico e possui dimetro externo de 2 in e

comprimento de 0,78 m. Ele revestido externamente por l de vidro (k = 0,06 W/m.K) com

1 in de espessura. A superfcie interna do cilindro aquecida pela passagem de uma corrente

eltrica (V = 30 V e i = 2,4 A). So medidas as temperaturas ambiente e da superfcie interna

do revestimento.

a) Para uma temperatura ambiente de 20oC e uma temperatura interna do revestimento de

480oC, calcule o coeficiente convectivo externo;

b) Calcule o raio crtico de isolamento. A espessura do revestimento superior ou inferior

espessura crtica de isolamento? Determine, qualitativamente, o que aconteceria com a

temperatura interna do revestimento se a espessura do isolamento fosse tal que o raio externo

do revestimento fosse igual ao raio crtico de isolamento.

a) O circuito trmico equivalente do problema mostrado na figura a seguir, desprezando-se os efeitos

de radiao

A energia gerada por efeito Joule transferida por conduo atravs do cilindro e do isolante e perdida

para o ambiente. Assim, pode-se dizer que

W72A4,2.V30ViRiq 2


conv2cond

2S

RR

TTq

onde a resistncia conduo no isolante dada por


159

2

332cond

Lk2

r/rlnR

onde r2 e r3 representam, respectivamente, o raio interno e o raio externo do isolante trmico. O raio

externo pode ser obtido somando-se o raio interno espessura do isolamento

m0508,0m0254,0m2

0508,0t

2

dtrr 223

importante ressaltar que as unidades foram convertidas do sistema britnico (in) para unidades do

Sistema Internacional (m). Assim,

m/W357,2

K.m/W06,0.m78,0.2

m0254,0/m0508,0lnR 2cond

O objetivo determinar o coeficiente convectivo h. Para isso, deve-se determinar a resistncia

conveco externa.

Como

conv2cond

2S

RR

TTq

,

q

TTRR 2Sconv2cond

ou

conv2S

2cond Rq

TTR

W/K032,4W/K357,2W72

C20C480R 2cond

Mas

Lr2.h

1

hA

1R

3conv

Assim,

m78,0.m0508,0.2.h

1W/K032,4

K.m/W996,0h 2

b) O raio crtico dado por

h

krc

K.m/W996,0

K.m/W06,0r

2c

m060,0rc

Para a espessura de isolante utilizada, o raio externo menor que o raio crtico. Como a taxa de calor

perdida para o ambiente aumenta at ser atingido o raio crtico, se o raio externo fosse igual ao raio

crtico, a temperatura do isolamento seria menor.


160

CONDUO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SISTEMAS RADIAIS ESFERA

Seja uma esfera oca cujas superfcies interna e externa se encontram, respectivamente, a

temperaturas Ts1 e Ts2 (Fig. 20), com Ts1>Ts2. Considere a transferncia de calor

unidimensional, em regime permanente, sem gerao interna nas paredes da esfera.

Figura 20 Transferncia de Calor atravs de uma Casca Esfrica

Partindo-se da equao da conduo do calor em coordenadas esfricas, pode-se obter o perfil

de temperaturas no interior da esfera, como feito para coordenadas cartesianas e cilndricas.

Com o perfil de temperaturas, pode-se determinar a taxa de calor conduzida atravs da esfera,

dada por

21

2s1sr

r

1

r

1

TTk4q

Assim, sabendo-se que

r

2s1scond

q

TTR

a resistncia condutiva dada por

21cond

r

1

r

1

k4

1R

TRANSFERNCIA DE CALOR EM SUPERFCIES EXPANDIDAS ALETAS

O aumento da taxa de transferncia de calor de uma superfcie a temperatura constante para

um fluido externo (Fig. 21) pode ser feito atravs do aumento do coeficiente de conveco h

ou atravs da reduo da temperatura do fluido T.

Figura 21 Superfcie da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferncia de Calor


161

Quando no possvel aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a rea de

troca de calor, atravs da utilizao de aletas (Fig. 22), que so elementos slidos que

transferem energia por conduo dentro de suas fronteiras e por conveco (e/ou radiao)

entre suas fronteiras e o ambiente. Elas so utilizadas para aumentar a taxa de transferncia de

calor entre um corpo slido e um fluido adjacente. Exemplos prticos de aplicaes de aletas

podem ser vistos nos sistemas para resfriamento dos cilindros dos pistes de motocicletas e

nos tubos aletados utilizados para promover a troca de calor entre o ar e o fluido de operao

em um aparelho de ar condicionado.

Figura 22 Colocao de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferncia de Calor

Tipos de Aletas

A Figura 23 ilustra diferentes configuraes de aletas.

Plana, de seo reta uniforme

Plana, de seo transversal no uniforme

Anular

Piniforme (pino)

Figura 23 Configuraes de Aletas


162

Balano de Energia para uma Aleta

Hipteses:

Conduo unidimensional de calor

Regime permanente

Condutividade trmica da aleta constante

Radiao trmica desprezvel

Sem gerao interna de calor

Coeficiente de conveco uniforme

Atravs de um balano de energia, pode-se obter a equao que governa a conduo de calor

atravs da aleta. Considerando-se um elemento infinitesimal de uma aleta de seo reta

varivel (Fig. 24), pode-se afirmar que a taxa de energia que entra no volume de controle,

menos a taxa de energia que sai do volume de controle, mais a taxa de energia que gerada,

deve ser igual taxa de variao da energia no interior do volume de controle.

Figura 24 Balano de Energia em uma Superfcie Expandida

Como a gerao interna de calor foi desprezada e a transferncia de calor ocorre em regime

permanente,

convdxxx dqqq

onde

fluido o para convecopor perdida Energia dq

malinfinitesi volumedo conduopor da transferiEnergiaq

malinfinitesi volumeo para conduopor da transferiEnergiaq

conv

dxx

x

A taxa de calor por conduo na posio x determinada pela lei de Fourier:

dx

dTkAq cx

onde Ac a rea da seo reta da aleta na posio x considerada.

Fazendo-se uma expanso em srie de Taylor, pode-se determinar a taxa de calor por

conduo na posio x + dx

dxx

qqq xdxx

dxdx

dTkA

dx

d

dx

dTkAq ccdxx


163

dxdx

dTA

dx

dk

dx

dTkAq ccdxx

A taxa de calor por conveco transmitida do elemento infinitesimal para o fluido dada por

TThdAdq sconv

onde dAs a rea superficial infinitesimal do elemento.

Substituindo-se as equaes de taxa na equao do balano de energia,

TThdAdx

dx

dTA

dx

dk

dx

dTkA

dx

dTkA sccc

0TTdAk

hdx

dx

dTA

dx

dsc

Como a rea da seo reta Ac pode variar com x,

0TTdx

dA

k

h

dx

TdA

dx

dA

dx

dT s2

2

cc

0TTdx

dA

k

h

A

1

dx

dT

dx

dA

A

1

dx

Td s

c

c

c2

2

Forma geral da equao da energia, em condies unidimensionais, em uma aleta.

Aletas com rea da seo transversal constante

Quando a rea da seo transversal da aleta uniforme (Fig. 25), a equao anterior pode ser

simplificada.

Figura 25 Aletas com rea da Seo Transversal Constante

Pdx

dAPxA

0dx

dA constanteA

ss

cc


164

0TTkA

hP

dx

Td

c2

2

Definindo-se a varivel (Excesso de Temperatura) como a diferena entre a temperatura da superfcie em uma posio x e a temperatura do fluido de resfriamento,

T)x(T)x(

dx

dT

dx

d

2

2

2

2

dx

Td

dx

d

0kA

hP

dx

d

c2

2

Definindo-se

c

2

kA

hPm

0mdx

d 22

2

Esta uma equao diferencial de segunda ordem, homognea, com coeficientes constantes,

cuja soluo geral tem a forma

mx2

mx1 eCeC)x(

Para resolver esta equao, necessrio ainda definir as condies de contorno apropriadas.

Uma condio pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x = 0)

bT0xT ou bb TT0x

A segunda condio de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser

especificadas quatro condies, cada uma correspondendo a uma situao fsica e levando a

uma soluo diferente.

A. Transferncia convectiva de calor na ponta da aleta

A taxa de calor que chega extremidade da aleta por conduo dissipada por conveco

)T)L(T(hAdx

dTkA c

Lxc

)L(hdx

dk

Lx

Aplicando-se estas condies de contorno, chega-se a

)mL(senh)mk/h()mLcosh(

)xL(msenh)mk/h()xL(mcosh)x(

b

A taxa de calor pode ser determinada atravs da aplicao da lei de Fourier

0xc

0xcf

dx

dkA

dx

dTkAq


165

Derivando-se a expresso encontrada para (x),


)mLcosh()mk/h()mL(senhhPkA.q cbf

Para simplificar a soluo, define-se

cb hPkAM ,

Assim, a equao para a taxa de calor pode ser dada por


)mLcosh()mk/h()mL(senhMqf

B. Ponta da aleta adiabtica

0dx

dT

Lx

ou

0dx

d

Lx

Neste caso,

)mLcosh(

)xL(mcosh)x(

b

)mL(tghMq .f

C. Temperatura da ponta da aleta fixa e igual a TL

LTLxT

ou

LLx

)mL(senh

)xL(msenh)mx(senh)/()x( bL

b

)mL(senh

)/()mLcosh(Mq bLf

D. Aleta muito longa

Neste caso, quando 0ouTT ,L LL

mx

b

e)x(

Mqf

A figura 26 apresenta a distribuio de temperatura em uma aleta retangular, utilizando-se a

condio de contorno de aleta muito longa. Observa-se que, a partir de uma dada posio, a


166

temperatura da aleta no se altera. Isto acontece porque a aleta j alcanou a temperatura

ambiente. A partir deste ponto, como no h diferena entre as temperaturas da aleta e

ambiente, no h mais troca de calor por conveco. Percebe-se, portanto, que no haveria

necessidade de se utilizar um comprimento maior que Lmax.

Figura 26 Distribuio de temperaturas em uma aleta muito longa

A Tabela 6 apresenta as equaes de uma forma resumida.

Tabela 6 Taxa de Calor e Distribuio de Temperatura

Condio de

contorno na ponta

Distribuio adimensional de

temperatura Taxa de calor

Troca de calor

por conveco


)xL(msenh)mk/h()xL(mcosh)x(

b


)mLcosh()mk/h()mL(senhMqf

Ponta adiabtica

)mLcosh(

)xL(mcosh)x(

b

)mL(tghMq .f

Temperatura fixa

T = TL

)mL(senh


b

)mL(senh

)/()mLcosh(Mq bLf

Aleta muito longa mx

b

e)x(

Mqf

cb

c

LLbb

hPkAMkA

hPm

,TTTTT)x(T)x(


167

Exemplo 9 Aletas

Uma aleta retangular de alumnio, com 4 mm de espessura, 10 mm de largura e 12 cm de

comprimento, est acoplada a uma chapa plana cuja temperatura superficial 85oC. O sistema

exposto ao ar ambiente a 15oC. O coeficiente convectivo associado 17W/m

2.K. Determine

a taxa de calor dissipada pela aleta se a sua ponta for mantida a uma temperatura fixa de 20oC

e a temperatura na posio x = 5 cm.

O primeiro passo calcular algumas grandezas que sero necessrias futuramente.

m028,0m004,0m010,02tw2P

25c m10x4m004,0.m010,0wtA

Da Tabela A.6, k = 237 W/m.K

1

25

2

c

m09,7m10x4.K.m/W237

m028,0.K.m/W17

kA

hPm

K70C70C15C85TT ooobb

K5C5C15C20TT oooLL

W70,4m10x4.K.m

W237.m028,0.

K.m

W17K70hPkAM 25

2cb

A taxa total de transferncia de calor pela aleta dada por

m12,0.m09,7senh

K70/K5m12,0.m09,7cosh.W70,4

)mL(senh

)/()mLcosh(Mq

1

1bL

f

W45,6qf

A temperatura adimensional em uma posio x da aleta dada por

)mL(senh


b

ou

)mL(senh

)xL(msenh)mx(senh)/(

TT

T)x(T bL

b

Na posio x = 5 cm,

)m12,0.m09,7(senh

)m05,0m12,0(m09,7senh)m05,0.m09,7(senh)K70/K5(

1585

15T1

11

C7,54T

Desempenho da Aleta

As aletas so utilizadas para se aumentar a taxa de transferncia de calor de uma superfcie

devido ao aumento da rea. No entanto, a aleta impe uma resistncia trmica conduo na

superfcie original. Deve ser feita uma anlise sobre o desempenho da aleta.


168

A Efetividade de uma aleta definida como sendo a razo entre a taxa de transferncia de

calor pela aleta e a taxa de transferncia de calor que existiria sem a sua presena. A

utilizao de aletas somente se justifica se f 2.

bc

ff

hA

q

onde Ac a rea da seo reta da aleta.

A Eficincia de uma aleta definida como a razo entre a taxa de transferncia de calor pela

aleta e a taxa mxima de transferncia de calor que existiria pela aleta. Esta taxa mxima

obtida quando toda a aleta se encontra temperatura da base.

bs

f

max

ff

hA

q

q

q

onde As = rea superficial da aleta

Nas expresses anteriores, a taxa de calor qf calculada de acordo com a condio de

contorno utilizada para a ponta da aleta.

Exemplo 10 Eficincia de uma aleta

Uma barra cilndrica de 5 cm de dimetro e condutividade trmica 280 W/m.K utilizada

para aumentar a taxa de calor retirada de uma superfcie mantida a 120oC, exposta a um

ambiente a 15oC, com coeficiente convectivo igual a 25 W/(m

2.K). Se a aleta tem 80% de

eficincia, calcule o seu comprimento, considerando a aleta muito longa.

m157,0m05,0dP

2322

c m10x963,14

m05,0

4

dA

L.m157,0PLAS

1

23

2

c

m673,2m10x963,1.K.m/W280

m157,0.K.m/W25

kA

hPm

K105C105C15C120TTbb

W3,154m10x963,1.K.m

W280.m157,0.

K.m

W25.K105hPkAM 23

2cb


W3,154Mqf

A eficincia da aleta pode ser calculada por

bs

f

max

ff

hA

q

q

q

K105.L.157,0.K.m/W25

3,15480,0

2

m467,0L


169

Em geral, no so encontrados sistemas com uma nica aleta. So colocadas diversas aletas

em uma superfcie, com o objetivo de se retirar uma quantidade maior de calor. A taxa total

de calor perdida pelo conjunto superfcie + aletas dada pela soma das taxas de calor

individuais. Considerando-se que todas as aletas do conjunto so iguais e que a presena de

uma aleta no interfere na taxa de calor dissipada por outra aleta, a taxa total de calor dada

por

bbft hANqq

onde

N = nmero total de aletas

qf = taxa de calor perdida por uma aleta

Ab = rea da superfcie exposta rea da base das aletas

A eficincia da aleta f caracteriza o desempenho de uma nica aleta. A eficincia global da

superfcie o caracteriza o desempenho de um conjunto de aletas e da superfcie da base sobre a qual este conjunto est montado. Ela definida como a razo entre a taxa de calor perdida

pelo conjunto e a taxa mxima de calor que poderia ser perdida pelo conjunto,

bt

t

max

to

hA

q

q

q

onde

At = rea total exposta

sbt NAAA

A eficincia do conjunto pode ser dada tambm em funo da eficincia de uma nica aleta.

Se f a eficincia de uma aleta, a taxa total de calor pode ser dada por

bbbsft hAhAN q

ou

bft

stbstsft 1

A

NA1hA)NAA(ANh q

Assim,

)1(A

NA1 f

t

so

Exemplo 11 Conjunto de aletas

Considere uma superfcie quadrada, de lado l = 25 cm, em contato com dois fluidos

diferentes, como mostrado na figura. O lado interno aquecido pela passagem do fluido 1,

com coeficiente convectivo h1 = 50W/m2.K, que mantm a superfcie da placa a uma

temperatura constante de 100oC. Pelo lado externo, aletado, passa um fluido frio (fluido 2), a

uma temperatura de 20oC, proporcionando um coeficiente convectivo igual a 10W/m

2.K.


170

Foram dispostas 16 aletas circulares, de 2 cm de dimetro e 17 cm de comprimento cada,

igualmente distribudas pela placa. As aletas, de cobre, foram isoladas na ponta. Considerando

que a temperatura externa da placa igual temperatura de sua superfcie interna, determine:

a) A taxa de calor dissipada por uma aleta;

b) A taxa de calor dissipada pelo conjunto superfcie + aletas;

c) A temperatura do fluido quente, considerando que todo o calor fornecido pelo fluido quente

seja dissipado para o fluido frio.

a) Para o clculo da taxa dissipada por uma aleta, devem ser calculados os parmetros

m0628,0m02,0dP

2422

c m10x142,34

m02,0

4

dA

Da Tabela A.6, k = 401 W/m.K

1

24

2

c

2 m233,2m10x142,3.K.m/W401

m0628,0.K.m/W10

kA

Phm

K80C80C20C100TT 2bb

W50,22m10x142,3.K.m

W401.m0628,0.

K.m

W10.K80PkAhM 24

2c2b


)m17,0.m233,2(tgh.W50,22)mL(tgh.Mq 1f

W157,8qf

b) A taxa total de calor dissipada dada pela soma da taxa de calor dissipada pelas aletas e pela taxa

de calor dissipada pela base,

2bb2fbft TTAhq.16qq.16q

onde

2242c2

b m0575,0m10x142,3.16m25,0NAlA

Assim,

C20C100m0575,0K.m

W10W157,8.16q 2

2t

W5,176q t


171

c) Considerando que toda a taxa de calor fornecida pelo fluido quente dissipada pelo conjunto

superfcie + aletas, pode-se dizer que

b1t1t TTAhq

b12

1t TTlhq

C100Tm25,050W5,176 12

C5,156T 1

FUNDAMENTOS DA CONVECO

Considere um fluido qualquer, escoando com velocidade u e temperatura T sobre uma

superfcie de forma arbitrria e rea superficial A, como mostrado na Fig. 27.

Figura 27 Transferncia Convectiva de Calor

A Camada Limite Fluidodinmica

Quando as partculas do fluido entram em contato com a superfcie, elas passam a ter

velocidade nula (condio de no deslizamento). Estas partculas atuam no retardamento do

movimento das partculas da camada de fluido adjacente que, por sua vez, atuam no

retardamento do movimento das partculas da prxima camada e assim sucessivamente, at

uma distncia y , onde o efeito de retardamento se torna desprezvel (Fig. 28). A

velocidade u aumenta at atingir o valor da corrente livre, u. A grandeza conhecida como espessura da camada limite e , usualmente, definida como o valor de y para o qual

u99,0u .

Como pode ser visto na figura, a espessura da camada limite depende da posio x.

Figura 28 A Camada Limite Fluidodinmica


172

A Camada Limite Trmica

Da mesma forma que h a formao de uma camada limite fluidodinmica no escoamento de

um fluido sobre uma superfcie, uma camada limite trmica deve se desenvolver se houver

uma diferena entre as temperaturas do fluido na corrente livre e na superfcie. Considere o

escoamento sobre uma placa plana isotrmica mostrada na Fig. 29.

Figura 29 A Camada Limite Trmica (TS > T)

No incio da placa (x = 0), o perfil de temperaturas no fluido uniforme, com T)y(T . No

entanto, as partculas do fluido que entram em contato com a placa atingem o equilbrio

trmico na temperatura superficial da placa, ou seja, ST)0,x(T . Por sua vez, estas partculas

trocam energia com as partculas da camada de fluido adjacente, causando o desenvolvimento

de gradientes de temperatura no fluido. A regio do fluido onde existem estes gradientes

conhecida como camada limite trmica, e a sua espessura definida como sendo o valor de y

no qual

99,0TT

TT

s

s

Com o aumento da distncia x, os efeitos da transferncia de calor penetram cada vez mais na

corrente livre e a camada limite trmica aumenta.

A Camada Limite de Concentrao

A camada limite de concentrao determina a transferncia de massa por conveco em uma

parede. Se uma mistura de duas espcies qumicas A e B escoa sobre uma superfcie e a

concentrao da espcie A na superfcie diferente da concentrao na corrente livre, uma

camada limite de concentrao ir se desenvolver. Ela a regio do fluido onde existem

gradientes de concentrao, sendo sua espessura definida como o valor de y no qual

99,0CC

CC

,AS,A

AS,A

O perfil de concentrao na camada limite (Fig. 30) similar ao perfil de temperatura na

camada limite trmica.


173

Figura 30 A Camada Limite de Concentrao (CA,S > C A,)

Em um escoamento sobre uma superfcie com diferena de temperatura e concentrao entre

ambos, em geral, as camadas limite fluidodinmica, trmica e de concentrao no se

desenvolvem simultaneamente, ou seja, no possuem a mesma espessura ct .

O objetivo da definio das camadas limite a simplificao das equaes que governam o

escoamento. No interior da camada limite fluidodinmica,

x

v,

y

v,

x

u

y

u

vu

No interior da camada limite trmica,

x

T

y

T

Desta maneira, as equaes podem ser simplificadas e a soluo do problema se torna mais

fcil.

Determinao da taxa de calor

Considere novamente o escoamento de um fluido sobre uma superfcie de forma arbitrria e

rea superficial A, como mostrado na Fig. 27. Se a temperatura da superfcie for superior

temperatura do fluido, haver uma transferncia de calor por conveco da superfcie para o

fluido. O fluxo trmico local dado pela lei de resfriamento de Newton

TTh"q S

onde h o coeficiente local de transferncia de calor por conveco.

Como as condies variam de ponto para ponto, q e h iro variar ao longo da superfcie. A taxa total de transferncia de calor obtida integrando-se o fluxo ao longo da superfcie

SSS dATThdA"qq

Considerando-se que as temperaturas da superfcie e do fluido sejam constantes e iguais,

respectivamente, a TS e T, a taxa de calor pode ser dada por:

SS hdATTq

Pode-se definir um coeficiente mdio de transferncia de calor por conveco h para toda a

superfcie, de maneira a representar toda a transferncia de calor


174

TTAhq SS

Igualando-se as expresses para a taxa de calor, os coeficientes local e mdio podem ser

relacionados por

SA

SS

hdAA

1h

Para uma placa plana de comprimento L e largura b (Fig. 31),

Figura 31 Escoamento sobre uma Placa Pana

bxxAS

SA

hbdxbL

1h

L

0

hdxL

1h

De maneira anloga, se um fluido com concentrao molar de um componente A igual a CA,

escoa sobre uma superfcie cuja concentrao molar de A mantida em um valor uniforme

CA,S CA,, haver transferncia do componente A por conveco. A taxa e o fluxo de transferncia de massa podem ser calculados atravs de um coeficiente local hm.

Se CA,S > CA,,

,AS,AmA CCh"N

onde NA: fluxo molar da espcie A (kmol/s.m2)

hm: coeficiente local de transferncia de massa por conveco (m/s)

CA,S: concentrao molar de A na superfcie (kmol/m3)

CA,: concentrao molar de A no fluido (kmol/m3)

A taxa total de transferncia de massa em base molar pode ser escrita na forma

,AS,ASmA CCAhN


175

onde mh : coeficiente global de transferncia de massa por conveco (m/s)

De modo anlogo transferncia de calor, o coeficiente mdio relacionado ao coeficiente

local por

SdA

SmS

m dAhA

1h

A transferncia de uma espcie qumica tambm pode ser expressa em termos da massa,

atravs do fluxo mssico nA (kg/s.m2) ou da taxa de transferncia de massa nA (kg/s).

Multiplicando-se a equao para o fluxo molar pela massa molecular de A,

,AS,AmA h"n

,AS,ASmA Ahn

onde A,S: densidade mssica (concentrao) de A na superfcie (kg/m3)

A,: densidade mssica (concentrao) de A no fluido (kg/m3)

A densidade mssica e a concentrao molar da espcie A esto relacionadas pela expresso:

AA CMM .

MM a massa molecular do fluido.

Parmetros Adimensionais

Os problemas de conveco consistem, basicamente, na determinao dos coeficientes de

conveco. Com eles, pode-se ento determinar as taxas de transferncia de calor. Em geral,

so obtidas equaes empricas em funo de parmetros adimensionais e, atravs de sua

definio, calculam-se os coeficientes convectivos. Estas correlaes dependem da geometria

do escoamento (escoamento interno ou externo, sobre placa plana, no interior de um tubo,

etc.), do regime do escoamento (laminar ou turbulento), se a conveco natural ou forada,

etc. Os parmetros adimensionais mais importantes na anlise da conveco so listados a

seguir. Deve-se observar que alguns parmetros so definidos em funo de um comprimento

caracterstico x. Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento caracterstico a

distncia x a partir da origem.

Nmero de Reynolds

uxRex

Nmero de Nusselt

k

hxNux

Nmero de Prandtl

k

pCPr


176

Nmero de Sherwood

AB

mx

D

xhSh

Nmero de Schmidt

ABDSc

onde DAB a difusividade de massa (m2/s)

Os valores das propriedades da gua e do ar, necessrias para se determinar os adimensionais

anteriores, encontram-se nas Tabelas A.2 e A.3, para diferentes temperaturas. A difusividade

de massa dada na Tabela A.7.

A transio para a turbulncia, no interior de tubos, ocorre para nmeros de Reynolds de

aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, esta transio ocorre para

Re = 5x105, ou seja, o nmero do Reynolds crtico (ou de transio) dado por

5cc,x 10x5

xuRe

onde u a velocidade da corrente livre.

Para escoamento laminar (Rex < 5x105), a espessura da camada limite fluidodinmica, na

forma adimensional,

x

lam

Re

5

x

A espessura da camada limite trmica dada por

3/1

t

Pr

A espessura da camada limite de concentrao dada por

3/1

c

Sc

O nmero de Nusselt local dado por

3/12/1x

xx PrRe332,0

k

xhNu , vlida para 6,0Pr

O nmero de Sherwood local dado por

3/12/1

x

AB

mxx ScRe332,0

D

xhSh , vlida para 6,0Sc

Para escoamento turbulento (Rex > 5x105) , a espessura da camada limite fluidodinmica, na

forma adimensional,


177

5/1

5/1

5/1

x

turb xu

37,0Re37,0x

Quando as camadas limite laminar e turbulenta so comparadas, percebe-se que a turbulenta

cresce muito mais rpido, j que sua espessura varia com x4/5

, enquanto no escoamento

laminar, a espessura varia com x1/2

.

Para escoamentos turbulentos, todas as camadas limite apresentam aproximadamente a

mesma espessura.

ct

O nmero de Nusselt local dado por

3/15/4xx PrRe0296,0Nu , vlida para 60Pr6,0

O nmero de Sherwood local dado por

3/15/4

xx ScRe0296,0Sh , vlida para 3000Sc6,0

Uma vez que a temperatura do fluido varia ao longo do comprimento (camada limite trmica),

as propriedades do fluido sofrem variaes que podem ser significativas ao longo do

comprimento da placa. Esta variao pode influenciar a taxa de transferncia de calor. Esta

influncia pode ser tratada se as propriedades do fluido forem avaliadas na temperatura mdia

da camada limite Tf, conhecida por temperatura do filme, definida por:

2

TTT Sf

Exemplo 12 Escoamento laminar

Ar a 20oC escoa sobre uma superfcie plana, de 2 m de comprimento e 10 cm de largura,

mantida a 60oC. A velocidade da corrente livre igual a 1 m/s. Determine: a) o coeficiente

convectivo global e b) as espessuras das camadas limite fluidodinmica e trmica na posio

x = 1 m.

a)

Em primeiro lugar, deve-se calcular a temperatura do filme, ou seja, a temperatura mdia da camada

limite, na qual sero avaliadas as propriedades do ar.

C402

C60C20

2

TTT Sf

As propriedades do ar a 40C se encontram na Tabela A.3.

Como as equaes para o clculo do coeficiente convectivo e das espessuras das camadas limite

dependem do regime de escoamento, deve-se, em primeiro lugar, calcular o nmero de Reynolds para

determinar se o escoamento laminar ou turbulento. O nmero de Reynolds para uma posio x

qualquer dado por

x52135s.m/kg10x005,2

x.s/m1.m/kg0453,1xuRe

5

3

x

Como se deseja calcular o coeficiente convectivo global sobre a placa, necessrio saber o nmero de

Reynolds na posio x = L = 2 m. Assim,

5m2x 10x04,12.52135Re


178

Como Re < 5x105, o escoamento laminar.

O coeficiente global de transferncia de calor por conveco dado por

L

0

hdxL

1h

onde h o coeficiente local de transferncia de calor por conveco, obtido atravs do adimensional de

Nusselt para escoamento laminar,

3/12/1x

xx PrRe332,0

k

xhNu

2/1

3/12/13/12/1x

x

934,1

x

K.m/W0287,0703,0x52135332,0

x

kPrRe332,0h

Assim,

2

0

2/12

0

2/1

2/1

x934,1

2

1dxx934,1

2

1h

K.m

W736,2h

2

b) A espessura da camada limite fluidodinmica, para escoamento laminar, dada por

xRe

x5

Para a posio x = 1 m, Re = 52135

52135

m1.5

m0219,0

A espessura da camada limite trmica dada por

3/1

t

Pr

ou

3/13/1t 703,0m0219,0

Pr

m0246,0

Exemplo 13 Escoamento turbulento

gua a 10oC escoa a 1m/s sobre uma superfcie lisa, de 4 m de comprimento e 20 cm de

largura, mantida a 100oC. Determine o coeficiente global de transferncia de calor entre a

placa e o escoamento e a taxa total de calor transferida da placa para a gua.

Em primeiro lugar, deve-se calcular a temperatura do filme, ou seja, a temperatura mdia da camada

limite, na qual sero avaliadas as propriedades do ar.

C552

C100C10

2

TTT Sf


179

As propriedades da gua, a 55C, podem ser interpolados a partir dos valores encontrados na Tabela A.2.

O nmero de Reynolds para uma posio x qualquer dado por

x.10x955,1s.m/kg10x04,5

x.s/m1.m/kg5,985xuRe 6

4

3

x

O nmero de Reynolds na posio x = L

56m4x 10x2,784.10x955,1Re

Como Re > 5x105, o escoamento turbulento no final da placa. Considerando-se que a transio de

escoamento laminar para turbulento ocorre para Re = 5x105, a posio da placa em que o escoamento

se torna turbulento pode ser calculado por

m256,0xx10x955,110x5xu

Re cc65c

c,x

O coeficiente global de transferncia de calor por conveco dado por

L

0

hdxL

1h

onde h o coeficiente local de transferncia de calor por conveco. No entanto, como no incio da

placa o escoamento laminar, o clculo do coeficiente global deve ser feito atravs da seguinte

expresso

L

x

turb

x

0

lam

c

c

dxhdxhL

1h

onde

x

kPrx10x955,1332,0

x

kPrRe332,0

x

kNuh 3/1

2/163/12/1x

lamlam

2/13/12/16lam x23,444x

K.m/W648,022,3x10x955,1332,0h

5/13/15/463/15/4xturbturb x86,3055x

K.m/W648,022,3x10x955,10296,0

x

kPrRe0296,0

x

kNuh

Assim,

4

256,0

5/1

256,0

0

2/1 dxx86,3055dxx23,4444

1h

K.m

W44,2686h

2

A taxa total de calor dada por

C10C100.m2,0.m4.K.m

W44,2686TTAhq

2s

kW4,193q

Deve-se ressaltar que, se o coeficiente global fosse obtido pela integrao do coeficiente local turbulento ao

longo de toda a placa, o erro na taxa de calor seria de aproximadamente 8%.


180

LISTA DE EXERCCIOS TRANSFERNCIA DE CALOR

1) a) Identifique os processos de transferncia de calor que determinam a temperatura de

um pavimento de asfalto em um dia de vero.

b) Uma tela para lareiras com lmina dupla de vidro colocada entre uma lareira a lenha e o interior de uma sala. A tela consiste em duas lminas verticais de vidro que esto

separadas por um espao atravs do qual o ar ambiente pode fluir (o espao est aberto

no topo e no fundo). Identifique os processos de transferncia de calor associados a

esta tela de lareira.

2) Uma parede de concreto, com rea superficial de 20 m2 e espessura de 0,25 m, separa uma sala com ar condicionado do ar ambiente. A superfcie interna da parede mantida a 25

oC

e a condutividade trmica do concreto 1 W/mK. Determine a taxa de calor perdida

atravs da parede para as temperaturas da superfcie externa de -15oC e 38

oC, que

correspondem aos extremos atingidos no inverno e no vero. Comente os resultados.

Exerccio 2

3) A parede de um forno industrial construda em tijolo refratrio com espessura de 0,15 m e condutividade trmica de 1,7 W/(m.K). Medies efetuadas durante a operao em

regime permanente revelaram temperaturas de 1400 K e 1150 K nas superfcies interna e

externa da parede do forno, respectivamente. Qual a taxa de calor perdida atravs de uma

parede com dimenses 0,5 m x 3,0 m?

4) Um aquecedor eltrico encontra-se no interior de um cilindro longo de dimetro igual a 30 mm. Quando gua, a uma temperatura de 25

oC e velocidade de 1 m/s, escoa

perpendicularmente ao cilindro, a potncia por unidade de comprimento necessria para

manter a superfcie do cilindro a uma temperatura uniforme de 90oC de 28 kW/m.

Quando ar, tambm a 25o

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607909_Fenômenos de Transportes - Transferência de Calor