62403464-Apostila-Geodesia-UFMT

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO FACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA

CURSO DE EXTENSÃO EM GEOREFERENCIAMENTO

APLICADO À GEODÉSIA

Disciplina: GEODÉSIA APLICADA AO GEOREFERENCIAMENTO Professor: BERTHIER DE CARVALHO FILHO

CUIABÁ – MT

MARÇO – 2009

Berthier de Carvalho Filho ii

APRESENTAÇÃO

A Geodésia Geométrica é abrangente, para mim seria válido

tentar abranger a totalidade deste assunto de modo genérico. Se assim

eu fizesse, encontraria dois problemas. Primeiro, teria dificuldade em

introduzir detalhes suficientes em qualquer das áreas da Geodésia;

segundo, veria que a grande parte da matéria seria impossível em tão

pouco tempo. O que tentamos fazer neste material didático foi

selecionar parte dos assuntos que trata do georreferenciamento de

imóveis rurais, geoprocessamento e tratá-los em profundidade sem fugir

da diretriz traçada com o fim a que se destina o assunto.

Parte desta apostila é original, mas a outra inclui a experiência e

o trabalho de outros professores, como indicamos na extensa

bibliografia.

A literatura sobre o assunto é vasta em outros países, sendo

muito escassa no Brasil, foi escrita principalmente para programas de

ensino, com intuito de suprir a necessidade de um livro a respeito.

Tendo esta característica, torna-se necessário fazer revisões periódicas

com a finalidade de aprimorar e atualizar o seu conteúdo.

As críticas e sugestões, com objetivo de melhorar a qualidade

deste trabalho, serão bem vindas por mim.

Contato: [email protected]

Professor Berthier de Carvalho Filho

Berthier de Carvalho Filho iii

INDICE

1 GEODÉSIA: CONCEITOS INTRODUTÓRIOS............................................................. 1 1.1 GEODÉSIA – OBJETO............................................................................................... 1 1.2 GEÓIDE...................................................................................................................... 2 1.2.1 CONCEITO.............................................................................................................. 2 1.3 MODELO GEOMÉTRICO ......................................................................................... 4 1.3.1 ESCORÇO HISTÓRICO: DO PLANO AO ELIPSÓIDE.......................................... 5 1.3.1.1 PRIMEIRAS IDÉIAS ............................................................................................ 5 1.3.1.2 ERATÓSTENES – POSIDÔNIO........................................................................... 6 1.3.1.3 PTOLOMEU ....................................................................................................... 11 1.3.1.4 OS ÁRABES ....................................................................................................... 12 1.3.1.5 PICARD .............................................................................................................. 13 1.3.1.6 NEWTON............................................................................................................ 14 1.3.1.7 CASSINI ............................................................................................................. 15

2 MODÊLO GEOMÉTRICO COMO SUPERFÍCIE DE REFERÊNCIA........................ 17 2.1 PARÂMETROS DO MODELO ................................................................................ 17 2.2 DISTINÇÃO ENTRE GEÓIDE E ELIPSÓIDE......................................................... 19

3 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS E COORDENADAS GEODÉSICAS................................................................................................................... 20

3.1 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS ................................... 20 3.2 COORDENADAS GEODÉSICAS............................................................................ 21

4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE...................................................................................... 23 4.1 ELIPSÓIDE TERRESTRE........................................................................................ 24 4.1.1 ELEMENTOS DO ELIPSÓIDE ............................................................................. 24 4.1.1.1 ACHATAMENTO .............................................................................................. 24 b = 6.356.912,0000 m...................................................................................................... 27 4.1.1.2 PRIMEIRA EXCENTRICIDADE ....................................................................... 27 4.1.1.3 SEGUNDA EXCENTRICIDADE ....................................................................... 29 4.1.1.4 RELAÇÃO ENTRE ACHATAMENTO E EXCENTRICIDADE ........................ 30 4.1.1.7 CÁLCULO DA GRANDE E PEQUENA NORMAL........................................... 35 4.1.1.8 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DA SEÇÃO MERIDIANA ........... 38 4.1.1.9 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DE SEÇÃO NORMAL QUALQUER DE AZIMUTE α OU OBLÍQUA................................................................................... 40 4.1.2.0 RAIO MÉDIO DE CURVATURA ...................................................................... 41

5 APLICAÇÕES DOS RAIOS DA TERRA ..................................................................... 43 a) Raio equatorial (a) ....................................................................................................... 43 b) Raio polar (b) .............................................................................................................. 44 c) Grande normal (N) ...................................................................................................... 44 d) Pequena normal (N’) ................................................................................................... 44 e) Raio da seção meridiana (M) ....................................................................................... 44 f) Raio de um paralelo (r) ................................................................................................ 45 g) Raio médio (Rm).......................................................................................................... 45 h) Raio geográfico ( gR ).................................................................................................. 45

i) Raio da seção oblíqua (Rα ) ......................................................................................... 45

j) Raio vetor ( vR ) ........................................................................................................... 45

Berthier de Carvalho Filho iv

5.1 APLICAÇÕES DOS RAIOS DO ELIPSÓIDE .......................................................... 46 5.2 COMPRIMENTO DE UM ARCO DE PARALELO.................................................. 50 5.3 CÁLCULO ENVOLVENDO TODOS OS RAIOS DO ELIPSÓIDE ......................... 51 6 ÁREAS NA SUPERFÍCIE DO ELIPSÓIDE ................................................................ 62 6.1 ÁREA DO QUADRILÁTERO ESFÉRICO............................................................... 62 Constantes do Elipsóide U.G.G.I. – 67 ............................................................................ 64 6.2 ÁREA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO.............................................................. 64 6.3.1 MODELO MATEMÁTICO.................................................................................... 65 6.3.1.1 LADO ................................................................................................................. 65 6.3.1.2 AZIMUTE A PARTIR DO SUL.......................................................................... 66 6.3.1.3 CONTRA AZIMUTE .......................................................................................... 66 7 EXEMPLO APLICATIVO RESOLVIDO.................................................................... 69 7.2 CÁLCULO DO LADO PROVISÓRIO (1ª aproximação) .......................................... 70 7.5 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (3ª aproximação)............................................. 73 7.6 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (4ª aproximação)............................................. 74 7.7 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE DEFINITIVO ................................................. 76 8 ÁREA DE UMA ZONA ELIPSOIDAL........................................................................ 77

9 ALTITUDES ORTOMÉTRICA, GEOMÉTRICA E ONDULAÇÃO DO GEÓIDE. ... 78 9.1 TRANSPORTE DE ALTITUDES COM GPS UTILIZANDO DIFERENÇA DE NÍVEL DE ONDULAÇÃO GEOIDAL........................................................................... 80

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................ 87

Berthier de Carvalho Filho 1

1 GEODÉSIA: CONCEITOS INTRODUTÓRIOS 1.1 GEODÉSIA – OBJETO

O objetivo último da Geodésia é a determinação da forma e

das dimensões da Terra. Face às irregularidades da superfície terrestre, tal determinação exige o levantamento de pontos escolhidos sobre a mesma em número e distribuição geográfica compatíveis com a precisão desejada e com as restrições de ordem prática e econômica; os demais pontos são obtidos por interpolação.

Obviamente numa primeira aproximação as irregularidades

da superfície podem ser negligenciadas reduzindo-se o problema à determinação das dimensões do modelo geométrico mais adequado. A Geodésia do século XIX praticamente se concentrou na pesquisa dos parâmetros do “melhor elipsóide”.

Para atingir o seu objetivo a Geodésia pode valer-se de

operações geométricas, realizadas sobre a superfície terrestre (medidas angulares e de distâncias) associadas à esparsas determinações astronômicas; ou valer-se de medidas gravimétricas que conduzem ao conhecimento detalhado do campo de gravidade; ou, mais modernamente, valer-se de medidas efetuadas sobre satélites artificiais.

Mas, se a superfície terrestre continental se prolonga

naturalmente ao leito dos oceanos, cabe também à Geodésia a descrição submarina.

Por outro lado o avanço tecnológico, conduzindo a

equipamentos sofisticados que permitem medidas cada vez mais precisas, torna obrigatória a consideração da elasticidade do planeta; e daí a necessidade de encarar as coordenadas de um ponto terrestre como função do tempo.

Tais implicações e outras mais robustecem de maneira

significativa a “ciência geodésica” cuja importância cresce dia a dia seja pelo seu desempenho como ciência independente seja pelos subsídios que proporcionam as outras ciências.


Repetindo para enfatizar:

“A GEODÉSIA É A CIÊNCIA QUE TEM POR OBJETIVO DETERMINAR A FORMA E AS DIMENSÕES DA TERRA E OS PARÂMETROS DEFINIDORES DO CAMPO GRAVÍFICO”.

Do ponto de vista didático, nos parece conveniente a divisão

sugerida linhas acima: Geodésica Geométrica Geodésia Física Geodésia Celeste

Nesta apostila cogitaremos apenas a Geodésia Geométrica, a mais antiga e, do ponto de vista utilitário (suporte aos serviços de descrição geométrica a superfície terrestre através do mapeamento) a que ainda continua mais extensiva utilizada, pois as outras foge ao escopo deste trabalho.

1.2 GEÓIDE 1.2.1 CONCEITO

Como se sabe, a Terra não é perfeitamente esférica, sua forma real

é considerada como sendo aquela obtida pelo prolongamento da superfície média dos oceanos através dos continentes, idealizada por Carl Friedrich Gauss (físico e matemático alemão, 1777-1855),

conhecido como Geóide.

Figura 1.1 - Geóide


O geóide, porém, em virtude de suas ondulações, é uma figura de difícil tratamento matemático. Mas, felizmente, as muitas determinações feitas em diversos lugares do globo mostraram que o geóide se confunde muito sensivelmente com um elipsóide de revolução, tendo o seu eixo menor, quase que coincidente com a linha dos pólos. Assim, os geodésistas sentiram necessidade de introduzir uma nova superfície que aproximasse do geóide, o que diminuiria a influência dos erros da "aproximação esférica". Esta figura deveria também ser matematicamente conhecida. Desta forma, surgiu o elipsóide (quase sempre se utiliza o elipsóide de revolução), superfície na qual são calculadas as coordenadas geodésicas.

O fio de prumo de um teodolito, nivelado num determinado

ponto da superfície física da Terra, materializa uma linha perpendicular ao geóide, denominada vertical. Outra linha, que passa por este mesmo ponto, porém, perpendicular ao elipsóide é conhecida como normal. O ângulo formado entre a normal e a vertical é designado como desvio da vertical (Figura 1.2).

A diferença entre o geóide e o elipsóide em um dado ponto,

ou em outras palavras, o afastamento angular entre as duas superfícies, é determinada em função do desvio da vertical, entre a vertical à superfície do geóide e a normal à superfície do elipsóide.

O desvio será máximo nos pontos onde as duas superfícies

se interceptam. O leitor já deve ter percebido que o desvio da vertical (normalmente da ordem de poucos segundos de arco) anula-se quando o geóide e o elipsóide na área considerada são “paralelos”; pois neste caso vertical e normal serão coplanares, com a conseqüente coincidência das coordenadas astronômicas e geodésicas.


Geóide

Elipsóide

Nível do Mar

Superfície do Terreno

V N

i

Figura 1.2 – Geóide – Elipsóide – Normal – Vertical – Desvio da

Vertical 1.3 MODELO GEOMÉTRICO

Seja para estudar a forma e as dimensões da Terra, seja

para dar apoio aos trabalhos práticos de mapeamento, a Geodésia procura materializar sobre a superfície física do planeta um arcabouço de pontos fundamentais cujas coordenadas são determinadas rigorosamente levando-se em consideração a curvatura terrestre.

O primeiro passo consiste na adoção de um modelo; a

superfície terrestre pelas suas irregularidades deve, obviamente, ser substituída por um modelo mais simples, regular, geométrico, que se preste ao tratamento matemático e se afaste o menos possível da forma real.

Assim um topógrafo para descrever geometricamente certas

regiões adota a hipótese simplista do plano topográfico que restringe severamente os limites do seu campo de ação sob pena de proibitiva acumulação de erros.

Solução algo mais refinada, e satisfatória em muitos

problemas, é proporcionada pelo modelo esférico.


Mas a Geodésia, nos seus trabalhos rotineiros, adota sistematicamente como modelo geométrico, o elipsóide de revolução.

Quando e como chegou o Homem a essa solução?

Um rápido escorço histórico sobre o problema da forma e

dimensões da Terra trará resposta a essa pergunta. 1.3.1 ESCORÇO HISTÓRICO: DO PLANO AO ELIPSÓIDE

1.3.1.1 PRIMEIRAS IDÉIAS

Já em recuadas épocas os mistérios do Universo

espicaçavam a curiosidade de quantos se atreviam a levantar os olhos e as idéias para o céu e para os astros dando lugar a eclosão de explicações pitorescas, por vezes misto de pré-ciência e misticismo, por vezes só misticismo, através das quais o Homem ensaiava os primeiros passos na luta titânica que ainda prossegue para desvendar os empolgantes segredos da Natureza.

Um retrospecto às mais antigas cosmogonias revela-nos, salvo esporádicas exceções, um ponto comum a todas: a transcendente importância atribuída à Terra no cenário universal; e, como é natural, o interesse nas especulações sobre a sua forma.

Os poemas de HOMERO nos apresentam a Terra como um imenso disco flutuando no oceano e o Sol como o coche em que os deuses efetuavam o seu passeio diário; e ANAXÁGORAS, por repelir tais idéias, feriu cânones religiosos da época sendo enclausurado numa prisão de Atenas. Também ARISTARCO, cognominado o Copérnico da Antiguidade por se ter antecipado ao genial polonês ao sugerir que a Terra girava em torno do Sol, foi acusado de sacrilégio por aventar hipóteses que perturbavam o descanso dos deuses.

Ignoramos a que épocas remontam as primeiras idéias sobre a esfericidade da Terra; sabemos, contudo, que há dois milênios e meio já o genial PITÁGORAS recusava-se a aceitar a concepção simplista de uma Terra plana; enquanto (século V a.C.,) segundo


revela PLATÃO em seus Diálogos, esposava as mesmas idéias não obstante sua incapacidade em prová-las.

No século IV a.C., entretanto, a teoria da esfericidade robustecia-se com os argumentos apresentados por ARISTÓTELES:

a) contorno circular da sombra projetada pela Terra nos eclipses da Lua; b) variação do aspecto do céu estrelado com a latitude; c) diferença de horário na observação de um mesmo eclipse para observadores situados em diferentes meridianos.

Aliás, com o estagirita a teoria ganha um aspecto

quantitativo, pois que foram atribuídas - sem que saibamos por que – 400.000 estádias para o equador terrestre; contrapondo-se, porém, aos pitagóricos, defendia a imobilidade absoluta do planeta.

No século seguinte ARQUIMEDES afirmava ser o diâmetro

da Terra superior ao da Lua e inferior ao do Sol, atribuindo 3.000.000 de estádias ao perímetro de uma circunferência máxima.

1.3.1.2 ERATÓSTENES – POSIDÔNIO a) ERATÓSTENES de Alexandria, nascido em Cirene,

colônia grega do Norte da África, no ano 276 a.C., foi o autor de uma notável proeza científica ao determinar as dimensões do planeta, suposto esférico, com uma precisão digna de nota quando se tem em conta a precariedade dos meios disponíveis em sua época.

Aliás, mesmo na hipótese de ser questionável a precisão que

alguns autores lhe atribuem, mera conseqüência de uma feliz compensação de erros, sobram-lhes os méritos – estes irretorquíveis – da concepção do método, utilizado ainda em nossos dias: obter, por operações de natureza geométrica, o comprimento de um arco de meridiano e através de determinações astronômicas, o ângulo das verticais extremas.


Com um gnômom (Figura 1.3) ERATÓSTENES obteve para distância zenital meridiana do Sol no solstício de verão, em Alexandria, valor igual a 1/50 da circunferência; a vila de Syene (atual Assuam) situada à margem direita do Nilo, próxima a primeira catarata, foi suposta situar-se sobre o trópico de câncer, pois rezava a tradição que no dia solsticial do verão o astro-rei iluminava o fundo de um poço.

h

L

Z

h = Altura do GnomomL = Comprimento da SombraZ = Distância Zenital

tgZ = Lh

Figura 1.3 – Experiência de Eratóstenes


À distância Alexandria – Syene não teria sido difícil estimar com base nos inúmeros trabalhos de agrimensura realizados no vale do Nilo: 5.000 estádias. Admitindo, finalmente, que as duas localidades se achavam situadas no mesmo meridiano, ERATÓSTENES obteve para comprimento do arco de 1º o valor de 694,4 estádias, resultando para a circunferência equatorial, em números redondos, 250.000 estádias (Figura 1.3).

Evidentemente não é possível concluir sobre a precisão do

trabalho realizado pelo sábio de Alexandria; faltam-nos, de início, dados de confiança quanto a correspondência métrica da estádia; se aceitarmos a 600 pés egípcios e a este conferirmos 0,27 m, resultará o valor verdadeiramente surpreendente de 40.500 km para uma circunferência máxima terrestre. Adotando para a estádia o comprimento de 157,5 m que lhe atribuem alguns autores, o resultado será não menos surpreendente: 39.374 km.

De qualquer forma, porém, sabemos hoje que Syene acha-

se aproximadamente 3º a leste de Alexandria e que a sua latitude é de 24º05’ N, enquanto a obliqüidade da eclíptica, admitindo-se para a precessão planetária 47” por século, seria, na época de ERATÓSTENES, da ordem de 23º44’. Acompanhem, abaixo, os cálculos feitos por ERATÓSTENES.

φΑ φΒ

∆φ

EQUADOR

RB (SYENA)

N

CÂNCER

TRÓPICO DE

A (ALEXANDRIA)

Figura 1.4 – Cálculos feitos por ERASTÓTENES


O ângulo φφφφA é a latitude de Alexandria, φφφφB a latitude de Syene e R, o raio da Terra supostamente esférica, Figura 1.4.

Figura 1.5 – Observações Astronômicas de ERATÓSTENES ZA = Distância Zenital do Sol em Alexandria ZB = Distância Zenital do Sol em Syene.

A

A S

Z A S Z A

Z Z

L 1tgZ circunferência e ZS 0º

h 50 -

Z - Z Z (medido através do gnomom)

1 circunferência

50

Φ

= = =

∆ = Φ Φ

∆ = ∴ ∆ =

∆ = ∴ ∆ = ∆Φ

S S

A A

Z = -

Z = -

Φ δ

Φ δ

EQUADOR

A

B

PN

∆φ

ZA

D


Sendo a declinação do Sol, ângulo contado no meridiano do Sol,

do Equador até o Sol.

δ

A S A S

Então:

1Z - Z = - = circunferência

50Resulta na seguinte relação:

1D

501 2 R

Φ Φ

→

→ π

logo:

D x 50R =

2 x x Rcomo:

D = 5.000 estádias

= 3,16 valor conhecido por ERATÓSTENES na época, era dado

por:

256 = = 3,16

81

π

π →

π

Substituindo os valores, resulta:

R = 39.556,96 estádias

1 estádia = 157,5 m

logo:

R = 6230 km

A circunferência máxima será:

C = 2 x x R

C = 39.374 km

π

b) Cerca de século e meio mais tarde POSIDÔNIO (130 -

150), natural de Apaméia (Síria), valeu-se do método de ERATÓSTENES, desta feita sem utilização do Sol, chegando a um valor ligeiramente inferior para a circunferência da Terra: 240.000


estádias (desde que tratar-se da mesma unidade). Há certa confusão sobre o assunto; alguns autores atribuem-lhe apenas 180.000 estádias enquanto outros associam a este número a “estádia real egípcia”, com 210 metros.

POSIDÔNIO fundamentou-se nos seguintes dados:

1) a distância entre os portos de Rodes e Alexandria (supostos pertencerem ao mesmo meridiano) seria de 5.000 estádias;

2) a estrela Canopus (α Arg), invisível na Grécia continental, culminaria em Rodes no horizonte e em Alexandria com altura igual a “um quarto de um signo do zodíaco”.

Observação: Os cálculos ficam por conta do leitor (Figura 1.6)

PN

PS

QQ' QQ'

A

B

A

B

ZENITE

NADIR

HN

HS

Figura 1.6 – Experiência de POSIDÔNIO 1.3.1.3 PTOLOMEU CLÁUDIO PTOLOMEU viveu no Egito, no século de nossa

era, provavelmente de 100 a 178; foi o autor do famoso sistema


“geocêntrico” que atravessou incólume 14 séculos até esbarrar no gênio de COPÉRNICO.

Duas foram as suas principais obras: a “Geografia” e a

“Composição Matemática”, esta depois cognominada o “Grande Astrônomo” e, finalmente, batizada pelos árabes com a denominação que ainda hoje conserva: “Almagesto”. No primeiro dos trabalhos citados, que tanta influência exerceu nos cartógrafos do século XV, PTOLOMEU ensaiou uma estimativa das dimensões e forma do “mundo habitado” (Ecúmeno).

Concluiu pela esfericidade da Terra lembrando, entre outros

argumentos, que o nascer e o ocultar do Sol, Lua e Estrelas, não se dão ao mesmo tempo para todos os observadores e que, “quanto mais avançamos em direção ao norte, mais estrelas do hemisfério sul se tornam invisíveis”. No que concerne às dimensões do globo terrestre, segundo alguns autores teria repetido as observações de ERASTÓTENES e de acordo com outros simplesmente adotados o valor de POSIDÔNIO (180.000), ou seja, 500 estádias para o arco de 1º atribuindo, portanto, à Terra, as dimensões inferiores às reais. Aliás, tal erro seria de benéficas conseqüências por levar os cartógrafos da Renascença, em especial Colombo, a inclinarem-se com mais entusiasmo pela idéia de atingir à Ásia navegando por Oeste.

Observação: As dificuldades normais de informações tornam o assunto controverso; FISHER I., em “Another look at Erastosthene’s and Posidonius determinations of the Eart’s cincunference (152 -167), 1975, rejeita a determinação de POSIDÔNIO (cujos escritos se perderam) e atribui a redução de 25% nas dimensões terrestres ( que seriam explicadas pela substituição do valor de 250.000 por 180.000) à simples confusão entre a milha romana (-1500 m) e a milha árabe (pouco mais de 2 km).

1.3.1.4 OS ÁRABES

No primeiro milênio da era cristã a única tentativa conhecida objetivando a determinação das dimensões terrestres coube aos árabes, na terceira década do século IX.


Por iniciativa do califa Al Mamoun, responsável também pela tradução árabe do original grego Almagesto (do qual surgiria no início XV à primeira tradução latina na Europa), a planície de Sindjar, na Mesopotâmia, foi palco de trabalhos que lançaram um pouco de luz na escuridão da Idade Média e que somente seriam retomados cerca de sete séculos mais tarde.

Materializada no terreno a direção da meridiana, dois grupos

de astrônomos deslocaram-se em sentidos contrários até se distanciarem um grau do ponto de partido; as distâncias medidas sobre o alinhamento com réguas de madeira, conduziram a um valor médio de 256 3 milhas árabes. É grande a incerteza relativa à

correspondência métrica daquela unidade; aceitando; entretanto, apenas fixar cifras, o valor de 2.100 metros, resultando uma circunferência máxima algo exagerado, de 42.849 km.

1.3.1.5 PICARD

A medida de um arco de meridiano por PICARD (Jean Picard

1620 – 1682) assinala, pela técnica utilizada e precisão alcançada, o início das modernas operações geodésicas. Não queremos, entretanto, neste rápido escorço histórico, deixar de lembrar as realizações de alguns de seus predecessores: FERNEL, SNELLIUS, RACCIOLI e NORWOOD.

Em 1527 FERNEL mediu a distância entre Paris e Amiens

contando as voltas dadas pela roda de seu carro e chegou ao surpreendente valor de 56.746 toesas (T) para o arco meridiano de 1º.

SNELLIUS, em 1615, na Holanda obteve o valor de 55.021 T com o grande mérito de ter calculado a distância por de meio de uma triangulação; enquanto RICCIOLI na Itália, procedendo da mesma forma, obtinha 62.900 T. Ambos errôneos, o primeiro por falta e o segundo por excesso.

NORWOOD em 1635, medindo diretamente a distância entre

Londres e York, obteve o valor 57.424 T. Trinta anos após o trabalho de SNELLIUS, PICARD

estabeleceu uma rede de triangulação entre Paris e Amiens, utilizando, pela primeira vez, lunetas munidas de retículos; concluiu


ser de 57.060 T o arco meridiano de 1º, correspondendo a um raio de 6372 km, valor utilizado por NEWTON para verificação da Lei da Gravitação Universal.

1.3.1.6 NEWTON

a) As especulações teóricas sobre a forma de equilíbrio de

uma massa líquida isolada no espaço e submetida à ação da gravidade (atração e força centrífuga) começaram com NEWTON, no final do século XVII, quando postulou a forma elipsoidal para a Terra. HUYGENS (1690), MACLAURIN (1742) e CLAIRAUT (1743) desenvolveram o assunto demonstrando o postulado newtoniano; aliás, o trabalho de CLAIRAUT é considerado uma autêntica obra-prima, estendendo a demonstração ao caso de um elipsóide não homogêneo. Posteriormente LAPLACE, LEGENDRE, LIAPOUNOFF, POICARE, DARWIN, HAMY, VÊRONNET, etc., ligaram seus nomes ao tema. Foi JACOBI, entretanto, o primeiro a demonstrar (1834) que também o elipsóide escaleno, nas condições propostas, é uma figura de equilíbrio.

b) As raízes talvez estejam em COPÉRNICO que

esfacelando as esferas do sistema geocêntrico destruiu duplamente o mito da imobilidade da Terra (que remontava a ARISTÓTELES) conferindo-lhe um movimento roto-translatório. Talvez o genial polonês percebesse estar lançando as bases da Astronomia Moderna, mas certamente ignorava as conseqüências de suas idéias, então revolucionárias, no desenvolvimento da Geodésia.

Com efeito, as especulações teóricas de NEWTON não

toleravam harmonização entre o movimento de rotação e a forma perfeitamente esférica do planeta; ao contrário, postulavam. Como conseqüência da força centrífuga, um eixo polar mais curto, abrindo caminho para a era elipsoidal. Aliás, NEWTON, em abono de suas conclusões teóricas, alude às observações pendulares de RICHTER (em Paris e em Caiena, 1672), de HALLEY, HAYES e outros, revelando todas, o aumento do período com a diminuição da

latitude. Lembrando a fórmula aproximada do pêndulo L

t 2g

= π e

o valor das latitudes aproximadas de Paris ( 50º N)φ ≅ e Caiena na ( 5º N)φ ≅ , o aumento do período verificado da primeira


localidade para a segunda (tc > tp) implica admitida, a constância do comprimento do pêndulo, na diminuição de g com a latitude: gc < gp.

1.3.1.7 CASSINI Em 1718 surgiu o trabalho de CASSINI (JACQUES CASSINI

1677-1756) “De la grandeur et de la figure de la Terre”, versando sobre a primeira medida do “meridiano da França” que tanta celeuma despertou na Europa. CASSINI prosseguiu a triangulação de PICARD (continuando, aliás, obra já encetada por seu pai), estendendo-se para o norte até Dunquerque e para o sul até os Pirineus; seus trabalhos levaram-no a aceitar que o comprimento de um arco de meridiano decresce com o aumento da latitude (em território francês tal decréscimo seria da ordem de 31 toesas, aproximadamente 55 metros por grau); e o meridiano seria elíptico, coincidindo o eixo de rotação com o eixo maior. Sabe-se hoje que há um acréscimo da ordem de 20 metros por grau. Cabe citar os membros dessa ilustre família; GIOVANNI DOMENICO CASSINI, JACQUES CASSINI, CESAR FRANÇOIS CASSINI, DOMINIQUE CASSINI.

1.3.1.8 AS EXPEDIÇÕES FRANCESAS

s'<s

CASSINI R=Ctes=s'

s

s' s'

s'

NEWTON

s

s>s'

s

1º

1º

1º

1º

1º

1º

Os resultados obtidos por CASSINI, em franca contradição

com as conclusões newtonianas, deram origem à tão conhecida e polêmica entre as duas escolas que se formaram na Europa: adeptos de uma “Terra achatada” e adeptos de uma “Terra alongada”. Não cremos estar infringindo a verdade ao afirmar que tal controvérsia, pelas conseqüências que determinou, demarca o início da moderna Geodésia.


Com efeito, para dirimir tal dúvida a Academia de Ciências de Paris decidiu patrocinar a medida de um arco meridiano próximo ao equador e de outro junto ao círculo ártico, organizando duas expedições que se encaminharam, respectivamente, para o então Vice Reinado do Peru (1735 – 1744) e para a Lapônia (1736 – 1737).

A primeira, integrada por BOURGUER, GODIN E LA

CONDAMINE, além de dois jovens oficiais espanhóis, após vicissitudes de toda ordem inclusive à desarmonia entre os seus membros, mediu dois arcos com mais de 3º de amplitude, um deles proporcionando para o arco de 1º o comprimento de 110.614 metros.

A segunda expedição, da qual fazia parte MAUPERTIUS,

CAMUS, CELCIUS e o depois famoso CLAIRAUT, concluiu os seus trabalhos em menos de um ano obtendo o valor 111.949 metros com o que ficava positivado o achatamento polar e a conseqüente confirmação das idéias newtonianas.

Na última década do século XVIII, ainda em meio à

revolução francesa, a Comissão de Pesos e Medidas decidiu adotar como unidade de comprimento uma grandeza relacionada com as dimensões do planeta: o “metro” seria a quadragésima milionésima parte de um meridiano terrestre. Baseando-se na remedição do “meridiano de Paris” feita por DELAMBRE e MECHAIN (1792 – 1798) e no arco do peru, a comissão chegou aos seguintes resultados:

1

= ; quadrante = 5.130.740 toesas334

metro = 443,295936 linhas.

α

DELAMBRE, refazendo os cálculos da Comissão, sugeriu o achatamento 1 308,6α = que acabou sendo adotado na

elaboração da famosa carta topográfica da França (“elipsóide dos engenheiros geógrafos”, escala 1:80.0000, projeção de BONNE).

1 toesa do peru = 6 pés = 72 polegadas = 864 linhas = 1,949

metros.


Como, viu-se, em capítulos anteriores, a Terra foi objeto de estudo desde remota época, vários anos antes de Cristo, passando por vários cientistas, com um mesmo objetivo: determinar a forma e o tamanho do nosso planeta. Até os dias de hoje este assunto vêm à baila, mesmo com os instrumentos mais modernos antes imaginados, imagens de satélites artificiais de alta resolução, a forma e a tamanho da Terra deixam-nos muitas indagações.

2 MODÊLO GEOMÉTRICO COMO SUPERFÍCIE DE REFERÊNCIA

2.1 PARÂMETROS DO MODELO

Todo sistema geodésico supõe um modelo geodésico,

podemos deixar bem claro que o modelo rotineiramente utilizado em Geodésia, desde os resultados das “expedições francesas”, é o elipsóide de revolução ou biaxial. “Elipsóide é a figura matemática que imita a forma real da Terra”, ou, “Elipsóide é o sólido geométrico definido pela rotação de uma semi-elipse em torno do seu eixo menor”.

PN

PS

Equadorab

Figura 2.1.a – Elipsóide de Revolução

a = Semi-eixo equatorial = raio equatorial e b = Semi-eixo polar = raio polar


Figura 2.1.b – Elipsóide de Revolução O passo seguinte é fixar as suas dimensões ou determinar

os seus parâmetros. Os parâmetros de um elipsóide são dados pelo valor do raio equatorial e pelo seu achatamento. O elipsóide de CLARKE 1866 ainda hoje é utilizado nos Estados Unidos, México e Canadá; na Rússia, antiga União Soviética o modelo geométrico é o elipsóide de KRASSOWSKY (1945).

Já o Brasil, as Américas do Sul e Central e a Europa não

russa adotaram até recentemente em seus cálculos o elipsóide de HAYFORD, determinado em 1909 e, recomendado em 1924, pela Associação Internacional de Geodésia como superfície de referência internacional visando uma “uniformização” que jamais foi plenamente atingida.

Na verdade, do ponto de vista estritamente cartográfico

(elaboração de mapas), os mencionados elipsóides praticamente se equivalem. A perspectiva já não é a mesma do ponto científico, quando então se pesquisam parâmetros cada vez mais refinados; exemplificamos com as dimensões do modelo recomendado pela Associação Internacional de Geodésia para o chamado “Sistema Geodésico de Referência 1967”, hoje adotado em nosso país, cujo


eixo maior é 228 metro menor que o correspondente eixo do elipsóide de HAYFORD e cuja excentricidade também é menor (uma unidade da 5ª casa decimal).

2.2 DISTINÇÃO ENTRE GEÓIDE E ELIPSÓIDE

Já visto em capítulos anteriores, o Geóide é uma superfície

irregular com saliência e reentrâncias ocasionadas pela maior ou menor concentração de massa no interior da Terra.

O geóide, que é simplesmente uma determinada superfície

equipotencial do campo de gravidade; especificamente: o geópe que mais se aproxima do “nível médio dos oceanos”. Nos continentes e ilhas (25% da superfície terrestre acham-se no interior da crosta).

Em sua qualidade de geópe, o geóide é uma “superfície

horizontal” por ser, em qualquer ponto perpendicular, a respectiva vertical.

Como visto no primeiro parágrafo deste capítulo, o geóide,

apesar de suas saliências e reentrâncias, são superfícies suavemente regulares.

Na figura 2.2, mostra a configuração dos dois sólidos,

ondulações exageradas em benefício da clareza e da compreensão.

PN

PS

Equadorab

Elipsóide

Geóide

Figura 2.2 – Elipsóide e Geóide


3 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU GEOGRÁFICAS E COORDENADAS GEODÉSICAS

3.1 COORDENADAS ASTRONÔMICAS OU

GEOGRÁFICAS Como um dos objetivos da Astronomia de Campo é a

determinação das coordenadas geográficas ou astronômicas de um ponto, e, do Georreferenciamento, como finalidade alcançar um perfeito cadastro do imóvel rural, através da medição in loco, por profissional devidamente qualificado, levando em consideração as coordenadas estabelecidas pelo Sistema Geodésico Brasileiro, auferindo sua precisa localização e caracterização, tal como área superficial, medidas lineares e as respectivas confrontações. Também, tem por escopo possibilitar uma exata coincidência dos elementos físicos do imóvel com os assentos registrais, refletindo o imóvel no Fólio Real com exatidão, alcançando a segurança jurídica almejada e evitando a sobreposição de áreas (grilagem) ou sobreposição; veja-se, então, o significado destas coordenadas.

a) Latitude Geográfica ou Astronômica de um ponto - É o

ângulo formado pela vertical desse ponto com sua projeção equatorial. É usualmente representada pela letra grega φφφφ (phi). Figura (3.1).

Na figura 3.1, mBm' e nAn’ são os paralelos terrestres de A

e B; PN A PS e PN B PS são os meridianos terrestres de A e B; a linha que passa pelo centro da Terra (aqui suposta esférica) e por A e B são as verticais dos pontos A e B, sendo CA' e CB’ as suas projeções equatorial. Desta forma, todos os pontos situados no paralelo de A tem a mesma latitude e, os pontos do paralelo B, também, têm a mesma latitude, que varia de 0º a ± 90º, sendo positiva no Hemisfério Norte e negativa no Hemisfério Sul.

b) Longitude Geográfica ou Astronômica de um ponto - É

o ângulo formado entre o meridiano astronômico do ponto e o meridiano que passa pelo Observatório de Greenwich (origem). É simbolizada pela letra grega λλλλ (lambda). A longitude varia de 0º a 180º por Leste ou 0º a 180º por Oeste. Comumente, representa-se a longitude como variando de 0º a ± 180º, convindo o sinal positivo para Leste. Assim, todos os pontos situados em território brasileiro


terão longitude negativa, pois se está a Oeste no Meridiano de Greenwich.

c) Azimute Astronômico de uma direção AB - Chama-se

Azimute Astronômico de uma direção AB ao ângulo formado entre o meridiano do ponto e o alinhamento AB, contado do Sul por Oeste, conforme se vê na figura 3.1

B

A

AzBAAzAB

mm'

nn'

B'A'

Gr

PN

PS

L

W

QQ'φ

λ

φB A

B λA

o

Figuras 3.1 - Coordenadas Geográficas ou

Astronômicas 3.2 COORDENADAS GEODÉSICAS • A latitude geodésica (φφφφg) de qualquer ponto é o ângulo que a normal ao elipsóide no ponto forma com sua projeção equatorial (Figura 3.2). Sua variação é igual à da latitude astronômica.

• A longitude geodésica (λλλλg) do ponto P é o diedro formado pelos meridianos geodésicos de P e de Greenwich


(origem). Como a longitude astronômica, varia de 0º a ± 180º (negativa a Oeste).

As coordenadas geodésicas são obtidas a partir do cálculo

de uma rede de triângulos medidos na superfície física da Terra, por um processo especial (triangulação ou trilateração). Esta rede é projetada sobre o elipsóide de referência e calculada, obtendo-se assim as coordenadas geodésicas de todos os pontos componentes da rede. A obtenção das coordenadas geodésicas é objeto da Geodésia.

Atualmente, as coordenadas geodésicas são determinadas

com GPS (global positioning system – sistema de posicionamento global). Este sistema já está substituindo o método convencional de posicionamento, visto que a utilização dos satélites artificiais, aliada à vulgarização dos computadores, trouxe um desenvolvimento (não somente a Geodésia) que em curto prazo ultrapassou as mais otimistas expectativas.

Geóide

Superfície Topográfica

Gr.

P

P'

PN

PS

QQ'Φ

λ

NORMAL

Figuras 3.2 – Coordenadas Geodésicas O Sistema Geodésico Brasileiro (SGB), recomendado pelo

Instituto de Geografia e Estatística para os cálculos geodésicos, que integra o “South American Datum” – 1969 (SAD – 69), que também


integram o Elipsóide UGGI (União Internacional de Geodésia e Geofísica).

O aspecto geométrico concerne às dimensões do modelo

elipsoidal adotado nos cálculos: a) parâmetro a = (semi-eixo maior do elipsóide) = 6.378.160

m

b) parâmetro αααα (achatamento do elipsóide) = 1

298,25

Nota: O referencial (datum) altimétrico do Sistema Geodésico Brasileiro, ou seja, a RN inicial da rede altimétrica do Brasil, acha-se junto ao marégrafo na baía de Imbituba, litoral de Santa Catarina.

4 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE

O estudo do elipsóide de revolução é de suma importância em

Geodésia pelo simples fato de ter sido o mesmo eleito como modelo geométrico para os cálculos geodésicos; executando certas técnicas especiais os cálculos geodésicos são conduzidos sobre a superfície do elipsóide de revolução. Já comentado em capítulos anteriores, o elipsóide é um sólido geométrico gerado pela rotação de uma semi-elípse em torno de um de seus eixos.

Passando um sistema de coordenadas pelo centro do

elipsóide escaleno (três eixos desiguais) cujo plano XY coincide com o plano equatorial temos:

a

b

X

Z

Y Figura 4.1 – Sistema de coordenada tridimensional.


2 2 2

2 2 2

X Y Z 1 (1)

a c b+ + =

4.1 ELIPSÓIDE TERRESTRE

Elipsóide terrestre é o sólido geométrico gerado pela rotação

de uma semi-elípse em torno do seu eixo menor.

PN

PS

Equadorab

Figura 4.2 – Elipsóide de Revolução Como a = c

2 2 2

2 2

X Y Z + = 1 (2)

a b+

Que é a equação do elipsóide terrestre.

4.1.1 ELEMENTOS DO ELIPSÓIDE

4.1.1.1 ACHATAMENTO

a - b

= a

b = 1 - (3)

a

α

α


Exemplo elucidativo 1 – Calcular o achatamento do elipsóide UGGI – 67 Dados do elipsóide:

a = 6.378.160,0000 m b = 6.356.774,7192 m

α

α

α

α

b = 1 -

a

6.356.774,7192 = 1 -

6.378.160,0000

= 1 - 0,9966471081

= 0,0033528919

α

Na forma escalar, será:

1 =

0,0033528919

α =

α

α

298,249997276

logo:

1 =

298,249997276

aproximando, teremos:

1 =

298,25

Exercícios Resolvidos:

2 – Calcular o achatamento dos elipsóides :


HAYFORD a = 6.378.388,0000 m b = 6.356.912,0000 m α = 1: 297,000745018 Aproximando, têm-se

αααα = 1: 297,00 GRS – 80 ⇒Datum – WGS - 84

a = 6.378.137,0000 b = 6.356.752,3100

α = 1: 298,257164355 αααα = 1: 298,26

Da equação (3), conhecendo-se o valor de α e a, pode-se

determinar o valor de b. Exemplo resolvido:

Do elipsóide UGGI - 67

a = 6.378.160,0000 α = 1:298,249997276

b

= 1 - a

b - 1 = -

a

α

α

( )

b1 =

ab = a x 1 -

− α

α


=

substituindo, temos :

1b 6.378.160,0000 x 1 -

298,25

=b 6.356.774,7192 m

Exercício Resolvido: Para o elipsóide HAYFORD, calcular o valor de b.

Dados:

a = 6.378.388,0000 m e α = 1:297 b = a x (1 - α) b = 6.378.388,0000 x (1 – 1/297,000745018) b = 6.356.912,0000 m 4.1.1.2 PRIMEIRA EXCENTRICIDADE

A primeira excentricidade de um elipsóide é dada pela

seguinte fórmula:

22

2

ce (4)

a

elevando ambos os membros ao quadrado, resulta :

ce (5)

a

=

=

2 2 2

2 2 2

da geometria analítica (cônicas)

a b c

c a - b (6)

= +

=


2 22

2

substituindo o valor de c na equação 5, temos :

a - be

a=

22

2

be 1 - (7)

a=

2 2

2

a - be

a=

2 2 2

2

resulta em:

b = a x (1 - e )

b = a x 1 - e (8)

Exercícios resolvidos 1 - Calcular a primeira excentricidade do elipsóide UGGI – 67

Dados do elipsóide:

a = 6.378.160,0000 m b = 6.356.774,7192 m Aplicando a fórmula:

( )

( )

22

2

2

22

be = 1 -

a

6.356.774,7192e = 1 -

6.378.160,0000

2e = 0,006694541916

e = 0,08182018037

=

=

2 2

2

ou

a - be

ae 0,08182018037


2 – Exercícios Resolvidos Calcular a primeira excentricidade do elipsóide de HAYFORD

Dados do elipsóide:

a = 6.378.388,0000 m b = 6.356.912,0000 m

e2 = 0,006722653187 e = 0,08199178732

4.1.1.3 SEGUNDA EXCENTRICIDADE

A segunda excentricidade de um elipsóide é dada pela

fórmula: c

e' b

=

22

2

2 2 2


ce'

bda geometria analítica (cônica)

a b c

=

= +

2 2 2c a - b=

=

=

=

2 22

2

22

2

2 2

daí, resulta :

a - be'

ba

e' - 1b

ou, simplesmente :

a - be'

b


Exercícios resolvidos 1 – Calcular a segunda excentricidade do elipsóide UGGI –

67. Dados do elipsóide

a = 6.378.160,0000 m b = 6.356.774,7192 m

Pela fórmula, já explicita temos:

( ) ( )

( )

−= =

2 22 22

22

6.378.160,0000 6.356.774,7192a - be'

b 6.356.774,7192

=

=

2e' 0,006739660858

e' 0,0820954375

2 – Exercícios Resolvidos

Determinar a segunda excentricidade do elipsóide

HAYFORD Dados do elipsóide:

a = 6.378.388,0000 m b = 6.356.912,0000 m Aplicando a fórmula acima, resulta:

e’2 = 0,006768153133 → e’ = 0,0822687859 4.1.1.4 RELAÇÃO ENTRE ACHATAMENTO E EXCENTRICIDADE

α = = ∴ =

=

2

2

a - b b 1 - b a x 1 - e

a ab

1- ea


α = →

α α

α α

2 2 2

2 2 2

2 2


(1 - ) ( 1 - e ) no primeiro membro diferença

do quadrado de dois números

1 - 2 x 1 x + = 1 - e

1 - 2 + = 1 - e

α α

α α

2 2

2 2

1 - e = - 2 + 1

e = 2 -

= α

α =

≅ α

2

2

b 1 -

a

1 - 1 - e

e 2

Ou seja, “a excentricidade ao quadrado é aproximadamente

igual ao dobro do achatamento”. 4.1.1.5 CALCULO DAS COORD. RETILÍNEAS DO

ELIPSÓIDE

P

P'

Q' Q

Z

X

N

XZ

M (X,Z)

90º+Φ

Ο

H

D

Φ

Figura 4.3.a Coordenadas Retilíneas do ponto M Na Figura 4.3a, QQ’ é o diâmetro equatorial; PP’ o eixo polar

e o, o centro do elipsóide. Pelo ponto M, situado na linha meridiana, passamos uma

tangente. Uma normal a esta tangente pelo ponto M cortará o eixo polar no ponto H e o eixo equatorial no ponto D.


Cálculo de X: Da equação do elipsóide:

+ =

+ + =

2 2

2 2

2 2

X Z 1

a bderivando em dz e dx, teremos :

2X 2Z dZ 0

a b dX

−+ =

−=

−=

−=

2 2

2

2

2

2

2

2

2Z dZ 2X

b dX adZ 2X b

x dX a 2ZdZ X b

x dX a ZdZ X b

dX a Z

dZora, é o coeficiente angular da tangente no ponto M

dX

2

2

2 2

2

2

dZ dZ = tg ( + ) ou = - cotg

dX 2 dXX b

= cotg Z aX b = Z a cotg

X b tg Z =

alevando Z na equação do elipsóide, têm-se

πΦ Φ

Φ

Φ

Φ

2 2

2 2

X Z + = 1

a b

2 2 42

2 4 2

2 2 22

2 4

X X x b x tg 1

a a x b

X X x b + x tg = 1

a a

+ Φ =

Φ


22 2 2 4

2

XX x b x tg a

a+ Φ =

( )

Φ

+ Φ ⇒ = −

2 2 2 2 2 4

2

2 2 2 2 4 2 2 2

a X + X b tg = a

colocando X em evidência

X (a b x tg ) = a como b a 1 e

( )( )

( )( )

( )

+ − Φ =

=+ − Φ

=+ − Φ

2 2 2 2 2 4

4 22

2 2 2 2

22

2 2

temos :

X x a a 1 e x tg a

a aX

a a 1 e x tg

aX

1 1 e x tg

( )

2

2 22

2 2 2

2 22

2 2 2 2

2 22

2 2 2 2 2 2

multiplicando ambos as frações por cos , resulta :

a cos X

1 (1 - e ) tg x (cos )

a x cosX

cos 1 e x tg x cos

a x cosX

cos tg xcos e x tg x cos

Φ

Φ=

+ Φ Φ

Φ=

Φ + − Φ Φ

Φ=

Φ + Φ Φ − Φ Φ

2 2 2como : cos tg x cos 1Φ + Φ Φ =

2

2 22

2 2

sencos x cos

cos

cos sen 1

ΦΦ + Φ

Φ

Φ + Φ =

Temos: 2 2

22 2 2

a x cosX

1 e x tg x cosΦ

=− Φ Φ

2 2 2 2 2como : e x tg x cos e x senΦ Φ = Φ


2 22

2 2

2

2 2

a x cosX

1 e x senou

a x cosX

1 e x sen

Φ=

− Φ

Φ=

− Φ

que é a abscissa do ponto M em relação a sua latitude

geodésica

2

2

2 2

22

2

Cálculo de Z

X x b Z x tg

aSubstituindo X por

a x cos X=

1 e x sen e

b 1 e

ado

= Φ

Φ

− Φ

= −

( )

( )

2

2 2

2

2 2

cálculo da 1ª excentricidade

temos:

a x cos x 1 e x tg Z=

1 e sen

a x 1 e x senZ

1 e x s

n

e

Φ − Φ

− Φ

− Φ=

− Φ

que é o valor da cota ponto M em função da sua latitude

geodésica.


4.1.1.6 PROPRIEDADES DO ELIPSÓIDE

4.1.1.6.1 RAIOS DE CURVATURAS DE SEÇÕES

O raio de curvatura de uma secção normal ao elipsóide dependerá do azimute dessa seção normal; Em cada ponto existem duas secções normais mutuamente perpendiculares entre si, cujas curvaturas tomam o valor máximo e mínimo; As secções normais que verificam o valor máximo e mínimo de curvatura dizem-se seções normais principais; Sobre o elipsóide de revolução as seções normais principais são:

A secção do meridiano, gerada pelo plano normal de um ponto que passa pelos dois pólos;

A secção do primeiro vertical, gerada pelo plano normal de um ponto e que é perpendicular ao plano do meridiano.

4.1.1.7 CÁLCULO DA GRANDE E PEQUENA NORMAL

Da figura 4.3.b MH = N

Figura 4.3.b – Grande Normal e Pequena Normal


e, X N cos

então :

XN

cos

substituindo X na equação, resulta :

= Φ

=Φ

2 2

a x cos

1 - e sen N cos

Φ

Φ=Φ

2 2

2 2

a x cos 1N x

cos1 - e sena

N 1 - e sen

Esta é a fórmula para calcular a grande normal

Φ=

ΦΦ

=Φ

A pequena normal é o segmento de reta que une o ponto M ao ponto D.

MD = N’ = pequena normal

A fórmula para calcular a pequena normal é deduzida a partir

da figura 4.3.a, onde: Z = N’ sen Φ

ZN' =

sen Φ

2

2 2

como:

a x (1 - e ) x sen

1 - e sen N' = sen

Φ

Φ

Φ


2a x (1 - e ) x sen N' =

Φ2 2

1 x

sen 1 - e sen ΦΦ2

2 2

2

a x (1 - e )N' =

1 - e sen

então:

N' = N x (1 - e )

Esta é a fórmula definitiva para calcular a pequena normal.

Φ

Vimos que a grande normal (N) é o raio máximo de uma seção normal e M, o raio mínimo. Enfatizando, vamos definir o que é uma seção normal.

n

n'

Gr.

PN

PS

A1

A2A3

a

b

O

Φ

λ

P

Figura 4.3.c – Seção Normal Seção normal é qualquer seção que contenha a normal ao

elipsóide no ponto P. Em outras palavras, é a linha de interseção


entre o elipsóide e qualquer plano que contenha a normal nn’ (esse plano pode girar em torno de nn’), figura 4.3.c.

Seção meridiana é uma particular seção normal, aquela que

contém o eixo menor b, ou seja, o eixo dos pólos PN – PS. 4.1.1.8 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DA SEÇÃO

MERIDIANA Como vimos à seção meridiana que contém um ponto P

qualquer, denominada também Meridiano Geodésico, é uma linha sobre o elipsóide que contém a normal ao elipsóide no ponto e passa pelos pólos. Contém a linha Norte – Sul. É uma elipse cujo raio de curvatura pode ser definido em cada ponto pela equação a seguir:

Observação: Algumas deduções de fórmulas em capítulos anteriores foram de significativa importância para se estudar o capítulo em epígrafe. Omitiremos, a partir deste capítulo deduções que tornem desnecessárias, pois fogem ao propósito deste curso.

PS

Q' o

Z

PN

M'Φ

Q X

M

Z''

Y

Z'

X'

X''

m

n

90º- Φ

Figura 4.3.d – Raio da Seção Meridiana


Seja na figura 4.3.d um ponto M qualquer, da superfície elipsoidal, pertencente ao plano XZ e o a origem do sistema XYZ.

Se implantarmos um novo sistema de coordenadas com

origem no ponto M, através de uma translação dos eixos X para X’ e Z para Z’ num ângulo correspondente a (90º - Φ), será fácil perceber que MZ’ coincidirá com a normal ao elipsóide no ponto M e o plano XY será tangente ao elipsóide na nova origem das coordenadas (Figura 4.3.e). O novo eixo MY, permanecerá paralelo ao anterior OY. Observe a figura 4.3.e após a translação.

Na figura 4.3.e, mostra o novo sistema já implantado; o leitor naturalmente deverá analisar as afirmações acima citadas.

PS

Q'o

Z

PN

M'Φ

Q X

M

Z''

Y

Z'

X'

X''

m

n

90º- Φ

Figura 4.3.e – Características do novo Sistema de

Coordenadas Implantado

Como no estudo da grande normal e pequena normal:

X = m = N cos Φ


Z = n = N’ sen Φ Definitivamente, para melhor compreensão omitiremos

deduções de fórmulas, será apresentada para calcular o raio de curvatura da seção meridiana, a seguinte fórmula:

2

32 2 2

a (1 - e )M

(1 - e sen )=

Φ

4.3.f – Raio de Curvatura da Seção Meridiana (MM’) 4.1.1.9 CÁLCULO DO RAIO DE CURVATURA DE SEÇÃO

NORMAL QUALQUER DE AZIMUTE α OU OBLÍQUA. Este raio calcula-se pela fórmula:

α α= +

α

2 21 cos sen

Ra M N

Sendo o azimute da seção, que é o ângulo que a seção forma com a

seção meridiana.


Para casos especiais em que :

Azimute da seção 0º R M

Azimute da seção 90º R N

= → =

= → =

Z

X

n

m

Y

M'

o

M

Φ

Azimute da seção = 90º

R = N = Segmento MH = Grande Normal

H

Y

Φo

Z

m

n

M

Círculo 1º VerticalX

Azimute da seção = 0º

R = M = Segmento MM'

Raio de Curvatura da Seção Meridiana Raio de Curvatura Círculo 1º

Vertical

4.1.2.0 RAIO MÉDIO DE CURVATURA O raio médio de curvatura em um ponto M da superfície

elipsoidal é igual à média geométrica dos raios de curvaturas principais.

2

2 2

Rm MN

ou

a (1 - e )Rm

1 - e sen

=

=Φ

a) Raio Geográfico

O raio geográfico é utilizado na disciplina de geografia do 1º grau, é equivalente ao volume de uma esfera de mesmo volume do elipsóide U.G.G.I.


Volume da Esfera = Volume do Elipsóide UGGI - 67 b) Raio Vetor

O raio vetor é o segmento de reta que liga o centro do elipsóide a qualquer ponto da superfície elipsoidal.

O raio vetor é o segmento de reta que liga o centro do elipsóide a qualquer ponto da superfície elipsoidal.

EquadorQ'

PN

Q

PS

X=r

Zψ

Rv

- Latitude Geocêntricaψ

Q' Equador ψ

PS

PN

X=r

Rv

Q

Zo o

P P

Φ

H

- Latitude GeodésicaΦ

Figura 4.4 – Raio Vetor – Latitude Geocêntrica – Latitude Geodésica

Da Geômetra do elipsóide:

2 2

a.cos X

1 - e sen

Φ=

Φ

2

aN

1 - sen . =

Φ

( )

= = Φ

= Ψ = ΦΨ

2

r X N cos

rRv tg 1 - e tg

cos


= Ψ =

Φ = =

=

onde :

Rv Raio vetor Latitude geocêntrica

Latitude Geodésica e Pr imeira excentricidade

N Grande normal = r Raio do paralelo

c) Raio Médio de Curvatura de um Paralelo (r)

P

O Φ

ΜM'

Φ

r r

P'

QQ'

H

4.5 Raio de curvatura de um paralelo

r = Raio de curvatura do paralelo

A seção MM’, originada por um plano que passa por M

normal ao eixo polar, forma com o 1º vertical (Grande Normal – N) um ângulo igual a latitude geodésica. A fórmula para calcular o raio é dada pela fórmula:

r N cos = Φ 5 APLICAÇÕES DOS RAIOS DA TERRA

a) Raio equatorial (a)

No histórico, capítulo 1.3.1, viu-se que no passado diversos geodésistas determinaram o valor do raio equatorial com o uso da geodésia terrestre.


b) Raio polar (b) O raio polar é calculado em função do raio equatorial.

c) Grande normal (N) A maioria dos cálculos geodésicos utiliza-se a grande normal, principalmente, nas transformações de coordenadas planas sistema UTM/LTM/RTM em geodésicas e vice-versa. Também, a grande normal é utilizada no cálculo do raio de um paralelo.

d) Pequena normal (N’)

A pequena normal tem o seu emprego quase que restrito nos

cálculos geodésicos, entretanto, se constitui num importante elemento geométrico do elipsóide.

e) Raio da seção meridiana (M)

É usado para calcular o comprimento de arcos pequenos da linha meridiana. Para arcos maiores utiliza-se o raio de curvatura da seção meridiana originada da derivada/integral do binômio de Newton. Chamando de S o comprimento do arco e Φ1 - Φ2 os extremos da latitude, a fórmula já deduzida, será:

2 11 1 2 1

2

2 1 2 1 2 1

( - ) 1 1(A - B(sen2 - sen2 ) C(sen4 - sen4 )

180º 2 4S a (1- e )1 1 1

- D(sen6 - sen6 ) E(sen8 - sen8 ) - F(sen10 - sen10 )6 8 10

Φ Φ π Φ Φ + Φ Φ

= Φ Φ + Φ Φ Φ Φ

Para o elipsóide UGGI – 67 Onde: As constantes A, B, C, D, e F, são determinadas através de

séries.


-6

-9

-11

-14

A 1,00505262473

B 0,005063232048

C 10,6281071177 x 10

D 20,8218961595 x 10

E 3,93275334635 x 10

F 6,55534022587 x 10

=

=

=

=

=

=

f) Raio de um paralelo (r) O raio de um paralelo é utilizado para calcular o comprimento

do arco de paralelo terrestre. g) Raio médio (Rm) O raio médio é usado em diversos cálculos geodésicos, entre

os quais, a redução da distância horizontal para o nível do geóide (distância geoidal).

h) Raio geográfico ( gR )

O raio geográfico é aceito na geografia do ensino de 1º grau,

como sendo o raio de uma esfera de volume igual ao volume do elipsóide UGGI – 67.

i) Raio da seção oblíqua (Rα )

O raio da seção oblíqua é o raio da linha inclinada em

relação ao meridiano e o paralelo geodésico, sendo o ângulo α , o ângulo que a linha forma com a linha Norte-Sul (Rumo).

j) Raio vetor ( vR )

O raio vetor ( vR ) é usado no cálculo da altura geométrica (altura elipsoidal) a partir das coordenadas X, Y e Z.


5.1 APLICAÇÕES DOS RAIOS DO ELIPSÓIDE

Seja o arco MM’ da elipse meridiana na figura 5.1. Sendo pequeno desprezamos a variação do raio de curvatura ao longo deste arco. Desta forma confundindo com o raio circular igual ao raio de curvatura da elipse meridiana. Para arcos iguais ou maiores que 1º como já foi dito, emprega-se o raio da seção meridiana deduzida a partir da derivada/integral do binômio de Newton.

Quanto menor for o arco, menor será o erro a ser cometido.

M

M'

ΦΜ

M'Φ

∆Φ

S

PN

PS

QQ'o

Figura 5.1 – Arco de meridiano - S

Observação: sendo :

S Comprimento do arco MM'

Diferença entre as latitudes geodésicas dos extremos do arco.

=

∆Φ =


Exercício resolvido:

Calcular o comprimento do arco da linha meridiana compreendido entre a latitude Φ =1 28º23’43” S e a latitudeΦ =2 28º35’49” S .

Desenvolvimento: Cálculo da seção meridiana no ponto médio

Φ + ΦΦ =

Φ =

Φ =

1 2m

2

m 28º29'46"

m Latitude média entre M e M'

Φ

∆Φ Φ Φ

∆Φ

∆Φ

2

32 2 2

a (1 - e )M =

(1 - e sen m)

M = 6.349.970,074 m

= 2 - 1

= Diferença de latitude entre M e M'

= 00º12'06"

φ1 =

φ2 =

S

28º23'43"

28º35'49"

Aplicando uma regra de três simples, resulta:


2 M 360º

S

2 x x M x S

360º x M x

S 180º

S 22.350,290 m

π →

→ ∆Φ

π ∆Φ=

π ∆Φ=

=

Sendo o arco M M’ da elipse meridiana da figura, pode-se

desprezar a variação do raio da curvatura ao longo deste arco. Desta forma, confundindo com o raio circular igual ao raio

médio de curvatura da elipse meridiana. Enfatizando, quanto menor for o arco, menor será o erro a ser cometido.

Calculando o comprimento da seção meridiana pela fórmula

originada da derivada/integral do Binômio de Newton.

2 11 1 2 1

2

2 1 2 1 2 1

( - ) 1 1(A - B(sen2 - sen2 ) C(sen4 - sen4 )

180º 2 4S a (1- e )1 1 1

- D(sen6 - sen6 ) E(sen8 - sen8 ) - F(sen10 - sen10 )6 8 10

Φ Φ π Φ Φ + Φ Φ

= Φ Φ + Φ Φ Φ Φ

Para o elipsóide UGGI – 67

a 6.378.160,000 m= 2e 0,006694541916=

Coeficientes:

-6

-9

-11

-14

A 1,00505262473

B 0,005063232048

C 10,6281071177 x 10

D 20,8218961595 x 10

E 3,93275334635 x 10

F 6,55534022587 x 10

=

=

=

=

=

=


1 2

1

2

1

2

28º23'43" 28º35'49"

2 56º 47'26"

2 57º11'38"

4 113º34'52"

4 114º23'16"

Φ = Φ =

Φ =

Φ =

Φ =

Φ =

1

2

1

2

6 170º22'18"

6 171º34'54"

8 227º09'44"

8 228º 46'32"

Φ =

Φ =

Φ =

Φ =

( )

1

2

2

10 283º57'10"

10 285º58'10"

a 1 - e 6.335.461,14094

Φ =

Φ =

=


( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1 -3

-62 1

-82 1

A - x 3,537531285 x 10

180º1

B sen 2 - sen 2 - 9,708183028 x 1021

C sen 4 - sen 4 - 1,52059024 x 1041

D se6

Φ Φ π= = +

Φ Φ = +

Φ Φ = +

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

-112 1

-142 1

-172 1

n 6 - sen 6 - - 7,237949869 x 10

1 E sen 8 - sen 8 - 9,267583419 x 10

81

F sen 10 - sen 10 - 5,956332508 X1010

_____________________

Φ Φ =

Φ Φ = +

Φ Φ = +

-3

________________________________

soma 3,527807968

x

=

( )2 a 1 - e 6.335.461,14094

S 22.350

=

= ,29029 m

5.2 COMPRIMENTO DE UM ARCO DE PARALELO

As seções do elipsóide de revolução perpendiculares ao eixo de rotação são circulares. Como:

r N x cos = Φ 2 2

ou

a cos r

1 - e sen

Φ=

Φ

Exercício resolvido Calcular o comprimento do arco de paralelo entre a longitudes 1λ = 42º00’00” W e 2λ = 42º33’00” W, na latitude 28º38’09,9672” S


Desenvolvimento :

2 - 1

00º 33' 00"

Diferença de longitude ente 1 e 2

∆λ = λ λ

∆λ =

∆λ =

2 2

a cos r

1 - e sen

r 5.602.299,614 m

360º 2 r

X

Φ=

Φ

=

→ π

λ →

λ2 λ1

S

2 r X

360º

X 53.778,216 m

S 53.778,216 m

π ∆λ=

=

=

5.3 CÁLCULO ENVOLVENDO TODOS OS RAIOS DO

ELIPSÓIDE

Exercícios: Num ponto de latitude geodésica Φ = 40º Calcular: 1) Grande normal 2) Pequena normal


3) Coordenadas retilíneas 4) Raio de curvatura da seção meridiana 5) Raio médio 6) Raio de curvatura da seção obliqua cujo azimute é 20º 7) Raio do paralelo 8) Raio vetor 9) Raio Geográfico 10) Raio equatorial 11) Raio polar Desenvolvimento: Dados do elipsóide UGGI - 67

a = 6.378.160,000 m

2e 0,006694541916= 1)Cálculo da grande normal

2 2

aN

1 - e sen

N 6.386.999,412 m

=Φ

=

2)Cálculo da pequena normal

2

2 2

a (1 - e )N'

1 - e sen =

Φ

N' 6.344.241,377 m=

3)Cálculo das coordenadas retilíneas

X N cos

X 4.892.725,408 m

= Φ

=

Z N' sen

Z 4.077.999,750 m

= Φ

=


4)Cálculo do raio de curvatura da seção meridiana

2

2 2 1,5

a (1 - e )M

(1 - e sen )

M 6.361.838,371 m

=Φ

=

5)Cálculo do raio médio

Rm M.N

Rm 6.374.406,477 m

=

=

6)Cálculo do raio de curvatura da seção obliqua de azimute 20º

2 21 cos 20º sen 20º

Ra M N

Ra 6.364.771,410 m

= +

=

7)Cálculo do raio do paralelo

r N cos

como r X

r 4.892.725,408 m

= Φ

=

=

O raio da seção oblíqua serve para calcular a distância entre

duas cidades, este cálculo é usado, também, para obter-se a distância entre dois pontos para fins de navegação. Para cálculos geodésicos de alta precisão usam-se outras fórmulas.

8) Cálculo do raio geográfico.

O raio geográfico equivale ao raio de uma esfera de volume igual ao volume do elipsóide terrestre UGGI-67.


Desenvolvimento:

VolEsfera ElipsóideVol=

34Volume da esfera = R

3π

4Volume do Elipsóide .a.b.c, como a c, resulta :

3= π =

24V x a x b

3Igualando as duas equações, têm - se :

43

= π

π 3 4 R

3= π

( )

2 3 2

223 3g

g

g

a x b R a x b

R a .b 6.378.160,0000 x 6.356.774,7192

R 6.371.023,591 m

R 6.371 km

⇔ =

= =

=

≅

9) Raio Vetor Calcular a altura elipsoidal (altitude geométrica) do vértice

Chuá, a partir das coordenadas tridimensionais (X, Y e Z) e raio vetor.


Chuá

ψ

PN

PS

Rv

H

EquadorQQ'

Dados – Chuá – SAD – 69

X 4.010.615,30952 -19º 45'41,65270"

Y - 4.470.080,98267 - 48º06'04,06390"

Z - 2.143.140,50053

= Φ =

= λ =

=

Cálculo da altura elipsoidal a) Distância de Chuá a origem (centro do elipsóide)

= + +

=

2 2 2D X Y Z

D 6.376.496,715 m

b) Latitude geocêntrica

( )2tg 1 - e .tg

- 19º38'21,9379"

Ψ = Φ

Ψ =

c) Raio vetor X

Rv cos

=Ψ


2 2

a cos X X 6.004.834,0298

1 - e sen Rv 6.375733,434 m

Φ= =

Φ

=

d) Altura elipsoidal

H D - Rv

H 763,281 m

=

=

O valor de H calculado pela Escola Politécnica da USP para o vértice Chuá, no elipsóide UGGI / SAD – 69, é de 763,2819 m

10) Raio equatorial O raio equatorial da Terra é, atualmente, determinado com

tecnologia de satélite artificial. No passado, com se viu, diverso geodésistas determinaram o valor do raio equatorial como o uso da geodésia terrestre (Geodésia Clássica).

11) O raio polar é determinado juntamente com o raio

equatorial. A seguir, na tabela abaixo, alguns elipsóides e seus

respectivos parâmetros.

PRINCIPAIS ELIPSÓIDES Elipsóides Data a b -1α

Bessel 1841 6.377.397,000 6.356.679,000 299,15 Clarck 1866 6.378.249,000 6.356.515,000 293,46

Hayford 1909 6.378.388,000 6.356.912,000 297,0 UGGI 1967 6.378160,000 6.356.774,719 298,25

GRS – 80 1980 6.378.137,000 6.356.752,310 298,2572235630 Datas dos principais Elipsóides usados no Brasil ELIPSÓIDE DATUM

HAYFORD (Internacional) Córrego Alegre HAYFORD (Internacional) Astro Chuá *

UGGI – 1967 Vértice Chuá – SAD – 69 GRS – 1980 WGS – 84 **


* Datum Astro Chuá é usado somente no SICAD (Sistema Cartográfico do Distrito Federal – Brasília) ** Datum WGS – 84 é usado somente para o Sistema GPS 5.4 PARÂMETROS DE TRANSFORMAÇÃO DE DATUM Parâmetros dos elipsóides

( )

=

α =

=

=

α =

=

=

α =

2

2

WGS - 84

a 6.378.137,000 m

1 298,257164355

e 0,006694381317

SAD - 69

a 6.378.160,000 m

1 298,249997276 Para calculadora científica

e 0,006694541916

CÓRREGO ALEGRE

a 6.378.388,000 m

1 297,

=2

000745018

e 0,006722653187

SAD - 69 WGS - 84 WGS - 84 SAD - 69

X - 66,87 m X 66,87m

Y 4,37 m Y - 4,

→ →

∆ = ∆ = +

∆ = + ∆ = 37 m

Z - 38,52 m Z 38,52 m ∆ = ∆ = +


→

∆ =

∆ = +

∆ = +

CÓRREGO ALEGRE SAD - 69

X - 138,70 m

Y 164,40 m

Z 34,40 m

SAD - 69 →

∆ = +

∆ =

∆ =

CÓRREGO ALEGRE

X 138,70 m

Y - 164,40 m

Z - 34,40 m

Conhecendo os parâ

→

→

↔

→

∆ = +

∆ =

metros de :

WGS - 84 SAD - 69

e SAD - 69 CÓRREGO ALEGRE

podemos det erminar os parâmetros de :

WGS - 84 CÓRREGO ALEGRE

WGS - 84 CÓRREGO ALEGRE

X 205,57 m

Y

∆ = +

→

∆ =

∆ = +

∆ =

- 168,77 m

Z 4,12 m

CÓRREGO ALEGRE WGS - 84

X - 205,57 m

Y 168,77 m

Z - 4,12 m

5.5 EXEMPLO ELUCIDATIVO Transformar as coordenadas do ponto “Pilar 1 da Base USP”

do elipsóide UGGI – 67 SAD - 69 para o elipsóide WGS – 84. (CEBRAPOT – Escola Brasileira de Agrimensura – MÓDULO 10)


Coordenadas do ponto 1

1

1

1

1

1

- 23º33'01,28833

- 46º 43'52,03600

H 724,8371 m (Altitude Elipsoidal)

a)SAD - 69 WGS - 84

Sistema 1 - Elipsóide UGGI - 67 (SAD - 69)

a 6.378.160,000 m

1 298,249997276

Sistema 2 - Elip

Φ =

λ =

=

→

=

α =

2

2

sóide WGS - 84

a 6.378.137,000 m

1 298,257164355Parâmetros de transformação

SAD - 69 WGS - 84

X - 66,87 m

Y 4,37 m

Z - 38,52 m

Cálculo da primeira excentricidade do elip

=

α =

→

∆ =

∆ = +

∆ =

( )21 1 1

21

1

1 2 21 1

1

1

sóide 1

e 2 -

e 0,006694541916

Cálculo da grande normal N

aN

1 - e sen

N 6.381.571,04577 m

Cálculo do raio da seção meridiana

M

= α α

=

=Φ

=

=( )

( )

21 1

32 2 21 1

a 1 - e

1 - e sen Φ


=

∆ =

∆ =

1

2 1

M 6.345.631,20865 m

Cálculos auxiliares

a a - a

a - 23,00

2 1

-8

-

- 8,056977 x 10

∆α = α α

∆α =

Equações diferenciais simplificadas de Molodenski.

( ){ }

( )

∆Φ = ∆α + α ∆ Φ ∆ Φ λ ∆ Φ λ + ∆ Φπ

∆α + α ∆ Φ =

∆ Φ λ =

∆ Φ λ =

+

∆ Φ

1 1 1 1 1 1 1 11

1 1 1

1 1

1 1

1

1 180 a a sen2 - Xsen cos - Ysen sen Zcos

M

a a sen2 0,4329403679

-

Xsen cos 18,313293575

-

Ysen sen 1,271381531

Zcos =

=

=π

∆Φ =

Φ

-6

1

2

- 35,311640519

SOMA - 54,463375243

x

1 180 x 9,029169461 x 10M

- 00º00'01,77033256"

Cálculo de

Φ = Φ + ∆Φ

Φ = +

Φ =

2 1

2

2

- 23º33'01,28833" (- 00º00'01,77033256")

- 23º33'03,05866224"


( )

∆λ

∆λ = ∆ λ + ∆ λΦ π

∆ λ + ∆ λ =

=Φ π

∆λ =

λ

λ = λ

2

2 1 11 1

1 1

-6

1 1

2

2 1

Cálculo de

1 180 - Xsen Ycos

N cos

- Xsen Ycos - 45,695768782

x

1 180 x 9,794074601 x 10

N cos

- 00º00'01,611171966"

Cálculo de

( )

+ ∆λ

λ = +

λ =

2

2

- 46º 43'52,03600" - 00º00'01,611171966"

- 46º 43'53,6471717204"

( )

( )

α∆ = ∆α + α ∆ Φ ∆ + ∆ Φ λ + ∆ Φ λ + ∆ Φ

∆α + α ∆ Φ − ∆ = − − =

+

∆ Φ λ =

21 1 1 1 1 1 1 1

21 1 1

1 1

Cálculo da altitude geométrica ou elipsoidal

H a sen - a Xcos cos Ycos sen Zsen

a a sen a 0,0943502298 23,00000000 22,90564977

Xcos cos

+

∆ Φ λ + ∆ Φ =

∆ =

1 1 1

- 42,016665329

Ycos sen Zsen 12,4738921674

H - 6,63712339 m

2 1H H H= + ∆

( )2H 724,8371 - 6,63712339= +

=2H 718,1999766 m


Proposta de trabalho Calcular as coordenadas geodésicas e a altitude geométrica

(altura elipsoidal) para o Datum WGS – 84 WGS - 84 SAD - 69

Fazendo, desta maneira, a verificação dos cálculos anteriores.

→

6 ÁREAS NA SUPERFÍCIE DO ELIPSÓIDE

6.1 ÁREA DO QUADRILÁTERO ESFÉRICO

Chamaremos de quadrilátero elipsóidico a porção da superfície do elipsóide compreendida entre dois paralelos e dois meridianos. Sejam Φ2 e Φ1 as latitudes dos dois paralelos, ∆λ a diferença de longitude entre os dois meridianos e T a área do quadrilátero. A área é calculada pela seguinte fórmula:

2

m m m m

bT= (A' sen cos -B'sen3 cos3 +C'sen 5 cos 5 -D'sen7 cos7 )

90º Φ Φ Φ Φ

π ∆λ∆ Φ ∆ Φ ∆ Φ ∆ Φ

Com:

Exercício proposto: Calcular a área elipsóidica do quadrilátero, figura abaixo, compreendido entre as coordenadas:

1

2

1

2

20º00'00" S

20º10'00" S

53º 40'00" W

53º50'00" W

Φ =

Φ =

λ =

λ =

2 1 2 1

m 2 1

Com:

, , 2 2

Φ − Φ Φ + Φ∆Φ = Φ = ∆λ = λ − λ


λ1

λ2

1Φ

Φ2

−∆Φ =

∆Φ =

+Φ =

Φ =

∆λ = λ − λ

∆λ =

m

m

2 1

20º10'00" 20º00'00"2

00º05'00"

20º10'00" 20º00'00"2

20º05'00"

00º10'00"

∆Φ = Φ =

∆Φ = Φ =

∆Φ = Φ =

∆Φ = Φ =

m

m

m

m

00º05'00" 20º05'00"

3 00º15'00" 3 60º15'00"

5 00º25'00" 5 100º25'00

7 00º35'00" 7 140º35'00"


Constantes do Elipsóide U.G.G.I. – 67

3

6

9

A ' 1,00336417159

B' 1,12421676383 x 10

C' 1,69954210042 x 10

D' 2,71805590226 x 10

−

−

−

=

=

=

=

−

∆Φ Φ

−

∆Φ Φ

−

∆Φ Φ

∆Φ Φ

= +

= +

+

= −

= −

3m

6m

9m

m

A 'sen cos 1,370597544x10

-

B'3sen 3cos 2,434093515x10

C'5sen 5cos 2,234628095x10

-

D'7sen 7cos 2,1 −

−

π ∆λ=

=

11

3

211

2

37819454x10

1,368161237x10

x

b 2,350876171x10

90 Área 321637765,082 m

=Área 32163 ha 77a 65 ca

6.2 ÁREA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO

1 2 0º 90ºΦ = Φ =

2 1 2 1m

Com:

, 2 2

Φ − Φ Φ + Φ∆Φ = Φ =

A área é dada pela seguinte fórmula:

]2 21 m m m

1A 4 b A 'sen cos - B'sen3 cos3 +C'sen5 cos5 - ...

2Φ

Φ Φ Φ Φ= π ∆ Φ ∆ Φ ∆ Φ


Para o elipsóide UGGI – 67 - SAD – 69, as constantes são:

2 4 6 8 10

2 4 6 8 10 -3

1 3 5 35 63A ' 1 e e e e e A ' 1,00336417157

2 8 16 128 2561 3 3 35 45

B' e e e e e B' 1,12421676383 X 106 16 16 192 256

= + + + + + → =

= + + + + → =

4 6 8 10 -63 1 5 45C' e e e e C' 1,69954210049 x 10

80 16 64 512= + + + → =

6 8 10 -9

8 10 -12

1 5 15D' e e e D' 2,71805590226 x 10

112 256 5125 3

E' e e E' 4,434838074 x 102304 512

= + + → =

= + → =

6.3 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS GEODÉSICAS. - MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS. As coordenadas geodésicas são determinadas, atualmente, com técnica GPS. Com as coordenadas geodésicas de dois pontos, pode-se

calcular o azimute e distância para aplicação em direcionamento de antena de rádios microondas, navegação, onde, conhecendo a posição do avião e do aeroporto, ou do navio e do porto, calcula-se a distância e o azimute do avião para o aeroporto ou do navio para o porto.

Conhecendo as coordenadas de dois aeroportos pode-se

determinar o plano do vôo a partir da distância (hora do vôo) e azimute verdadeiro.

6.3.1 MODELO MATEMÁTICO 6.3.1.1 LADO O lado elipsóidico (sobre a superfície do elipsóide) é dado

pela seguinte fórmula. Distância provisória:


2 2eS X Y= +

6.3.1.2 AZIMUTE A PARTIR DO SUL O azimute provisório é determinado pela seguinte fórmula.

XRumo = arc tg Converter em Azimute

YObs: azimute contado a partir do Sul

→

6.3.1.3 CONTRA AZIMUTE

( )3" "

m m- A sen sec F é negativo no Hemisfério Sul2

∆Φ∆ = ∆λ Φ + ∆λ → Φ

( )BA AB A

1AZ AZ 180º + sec

cos= ± ∆ → Α =

Α

onde:

( )( )

( )( ) ( )

2 3

" " " B BB B A"

A A

2

-16 B m A

N cos2 tgX N sen1 cos M sen1

3 2N M sen1 180º

N cos M4,095x10

180º 180º

π Φ ∆λ Φ = λ Φ − −

π Φ ∆λ π ∆Φ −

( )

( )

2 2 "" m m A

3" o " o2 2A A A2

2

A2 " oA A

N cos Mtg 3e sen cos sen1 1Y - -

2N M sen1 180 M sen1 1802 1- e sen

1- 3tg M1

6N M sen1 180

π Φ ∆λ π ∆ΦΦ Φ Φ

= ∆Φ + Φ

Φ π ∆Φ +

2"m m

Ao

N cosM sen1

180

π Φ ∆λ


1

1

m m m1 1

A 2 2A

X RUMO

Y

N cos NX Y

180º 180ºa

N 1- e sen

=

π Φ ∆λ π ∆Φ= =

=Φ

( )

( )

B 2 2A

2

A B3 2 22 2 2 B

A

m m2 2 2 2m m

2 2A B

m

B A

a N

1- e sen

a 1 - e aM M

1- e sen1 - e sen

a aN M

1- e sen 1- e sen

a - b - e

a 2

-

=Φ

= =ΦΦ

= =Φ Φ

Φ Φ= Φ =

∆Φ = Φ Φ B A - ∆λ = λ λ

( )

( ) ( )

Φ

λ

= =

= =

= ∆ =

∆=

2

1 1 2 1

2 2

3 1 4 1 1

" 55 2 3 4 2

"

Fazendo :

K B Y K C X

K D K K E K X

K K - K - K + K Y

B

W ( )

( )

=

=

23

1 11B

2-162 1 1

C 2 C X

A B 3

C 4,095 x 10 X Y

=2 1 2 X W - C - C

= =∆

1B " "B B A

onde os coeficientes são :

1 1 A B

N sen1 cos M sen1


( ) ( )Φ

Φ=

Φ Φ += =

Φ

= Φ Φ

A"

A A

2 " 2 A A

3 22 2 A

A

2 2A A

tg C

2 N M sen1

3 e sen cos sen1 1 3 tgD E

6 N2 1- e

1 F sen cos sen 1

12

Φ =

λ =

Φ =

λ =

Φ =

=

=

=

"

A

A

B

A

m

1

A

Sendo :

latitude do ponto A

longitude do ponto A

latitude do ponto B

longitude do ponto B

latitude média

Se lado elipsóidico provisório

Se lado elipsóidico

N grande normal no

=B

ponto A

N grande normal no ponto B

A

B

M raio da seção meridiana no ponto A

M raio da seção meridiana no ponto B

=

=

2

AB

BA

e primeira excentricidade

a raio equatorial do elipsóide

b raio polar do elipsóide

AZ azimute elipsóidico de A para B

AZ azimute elipsóidico de B para A

=

=

=

=

=

Para o elipsóide UGGI-67 SAD-69

2

a 6.378.160,000 m

b 6.356.774,719 m

e 0,006694541916

=

=

=


7 EXEMPLO APLICATIVO RESOLVIDO Dadas às coordenadas geodésicas dos pontos 1 e 2,

determinar o lado e azimute elipsóidico.

1

1

2

2

Ponto 1

28º38'09,9672"S

49º21'42,6722" W

Ponto 2

28º 44'33,3542"S

49º08'30,0198" W

Φ =

λ =

Φ =

λ =

( )

( )

Φ

Φ

A 2 2A

A

2

A 32 2 2

A

A

aN =

1 - e sen

N = 6.383.069,10807 m

a 1 - eM =

1 - e sen

M = 6.350.101,13436 m

( )

( )

=Φ

=

=Φ

=

=

Φ

=

B 2 2B

B

m 2 2m

m

2

m 32 2 2

m

m

aN

1 - e sen

N 6.383.102,6082 m

aN

1 - e sen

N 6.383.085,84812 m

a 1 - eM

1 - e sen

M 6.350.151,09515 m


π Φ ∆λ=

=

π ∆Φ=

=

m m1

1

m1

1

N cosX

180º X - 21.518,1279133 m

M Y

180º

Y 11.803,1060286 m

7.2 CÁLCULO DO LADO PROVISÓRIO (1ª aproximação)

( ) ( )2 2

1ª 1 2

1ª

S X X

S 24.542,6799773 m

= +

=

7.3 CÁLCULO DO AZIMUTE PROVISÓRIO (1ª aproximação)

( )( )

( )

( )

−= =

+

=

11ª

1

1ª

XRumo AB arctg 4º Quadrante

Y

RUMO AB 61º15'15,79179456"NW Rumo da linha AB

α ΑΒ Α

Β

1


7.4 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (2ª aproximação

( )te

A

A

1 1

1

1

A

A A

1B = C

M sen1"

M 6.350.101,13434

B = 0,03248212932

K = B Y

Y 11.803,1060274 m

K 383,390016119

tgΦ C =

2N M s

=

=

=

-9

en1"

C = - 1,38933103 x 10

C é negativo no Hemisfério Sul

( )

A

A

A

9

1

2

2 1

2

2

28º38'09,9672

N 6.383.069,10807 m

M 6.350.101,13434 m

C 1,38933103 x 10

X 21.518,1279133 m

K C X

K - 0,6433017089

3e sen D

−

Φ =

=

=

= −

= −

=

=

Φ=

( )A A

32 2 2

A

-8

cos sen1"

2 1 - e sen

D -2,052502799 x 10

D é negativo no Hemisfério Sul

Φ

Φ

=

1X 21.518,1279133 m= − 2

A

e 0,006694541916

28º38'06,9672" S

=

Φ =

1K 383,390016119=


( )

( )

2

3 1

3

2A

2

A

K D K

K - 0,003016930853

1 3tg E

6 N

E 7,74

=

=

+ Φ=

= -159541271 x 10

1 X 21.518,1279133 m= −

( )2

4 1 1

34

5 2 3 4

5

K E K X

K 1,375706421 x 10

K " - K - K K

K 384,034694346

−

=

=

= ∆Φ +

=

2

33

5

B 0,03248212932

K 0,6433017089

K 3,016930853 x 10

K 384,034694346

−

=

= −

= −

=

52

2

K Y

B Y 11.822,953185 m

=

=

( )

−

= −

=

= −

23

1 1

9

1

1

2

C 3 C = X

B 2

C 1,38933103 x 10

B 0,03248212932

X 21.518,1279133 m

C = - 0,0121519139

C = 4,095 x ( )2-16

1 1

2

10 X Y

C = - 0,0012275834


( )te

1B

2 1 2

2

"W C

A

W = - 21.507,231333

X = W - C - C

X - 21.507,2179505

∆λ=

=

Lado elipsóidico

( ) ( )2 2

2ª 1 1

2ª

Se X Y

Se 24.542,6699005 m

= +

=

Azimute elipsóidico

22ª

2

2ª

2ª

XRUMO AB =

Y

RUMO AB = 61º12'05,44951728"

AZIMUTE AB = 298º47'54,550482"

7.5 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (3ª aproximação)

( )

( )

te

1

-9 te

B 0,03248212932 C

K 384,034694137

C - 1,38933103 x 10 C

=

=

=

( )

2

2 2

2

K = C X

K = - 0,6426495502

( )

( )

( )

=

=

=

=

=

-8 te

2

3 1

3

-15

2

4 1 2

D - 2,05250277961 x 10 C

K D K

K - 0,003027085443

E 7,749541271 x 10

K E K X

=4 K 0,001376622706


= ∆Φ +

=

=

5 2 3 4

5

53

K " - K - K K

K 384,034053298

K Y

B

( )

( )

=

=

=

=

3

23

1 2

1

2-162 2 2

Y 11.822,933448

C 2 C X

B 3

C - 0,01213343977

C 4,095 x 10 X Y

=

=

=

=

2

3 1 2

3

C - 0,001231090789

W - 21.507,2313333

X W - C - C

X - 21.507,21797655

Lado elipsóidico

( ) ( )

ª

ª

2 2

3 3 3

3

Se = X + Y

Se = 24.542,6604087 m


3ª

33ª

3

3ª

XRUMO AB

Y

RUMO AB 61º12'05,59498212 NW "

AZIMUTE AB 298º 47'54,4050162"

=

=

=

7.6 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE (4ª aproximação) B = 0,03248212932

1 3

1

K B Y

K 384,03405294

=

=


9

3

C -1,38933103 X 10

X 21507,2179505 m

−=

= −

( )

( )

2

2 3

2

8

2

3 1

33

15

1

3

K C X

K 0,6426495514

D 2,052502779 x 10

K D x K

K 3,027075335 x 10

E 7,749541271 x 10

K 384,03405294

X 21.507,2179505

−

−

−

=

= −

= −

=

= −

=

=

= −

( )2

4 1 3

4

K E K X

K 0,00137662041

=

=

5 2 3 4K K K K

00º06'23,3870"

= ∆Φ − − +

∆Φ =

2

33

4

5

K 0,6426495514

K 3,027075335 x 10

K 0,00137662041

K 384,034053286

−

−

= −

=

=

( )

( )

231

1

2162 3 3

32

C 2C X

B 3

C 0,01213344031

C 4,095 x 10 X Y

C -1,231086614 x 10

−

−

=

= −

=

=

∆λ=

∆λ = −

=

=

1B

1B

WA

792,6523999"

A 0,03685515758

W -21.507,2313333


= −

=

=

=

4

54

4

X 21.507,2179655 m

B 0,032482129319

KY

B Y 11.822,933448

7.7 CÁLCULO DO LADO E AZIMUTE DEFINITIVO Lado elipsóidico Como:

ª ª4 3Se Se =

Então

Se 24.542,6604 m=


=

=

ª ª4 3AZIMUTE AB AZIMUTE AB

AZIMUTE AB 298º 47'54,4050"

( )∆Φ

∆ = ∆λ Φ + ∆λ

= Φ Φ

=

Φ =

∆λ =

∆Φ=

3

m

2 2A A

-13

m

- A " "sen sec F "2

1F sen cos sen 1"

12 F - 7,231021102 x 10

- 28º 41'21,6607

" - 792,6524"

00º03'11,69352


∆Φ =

∆ = +

∆ =

00º06'23,3870"

- A " 380,521725"

A " - 380,52157253"

( )

∆ =

= ± + ∆

=

=

A " - 00º06'20,5217253"

AZIMUTE BA AZIMUTE AB 180º A

AZIMUTE AB 298º 47'54,4050"

AZIMUTE BA 198º 47'54,4050"

Verificação Cálculo Inverso: Atividade extra-classe. 8 ÁREA DE UMA ZONA ELIPSOIDAL

r

A

ds

X

Z

o

Figura 8.1 – Área de uma zona elipsoidal A área elementar A da zona elipsoidal gerada pela revolução

do arco ds (figura 8.1) em torno de OZ, é dada por:


( ) ( ) ( )

( )

2

1

2m m m

m

A 4 b A 'sen cos - B'sen3 3 cos C'sen5 cos5 -

D'sen7 cos7

Φ

Φ = π ∆Φ Φ ∆Φ Φ + ∆Φ Φ

− ∆Φ Φ

Φ =

Φ =

1

2

Com : Exercício proposto

50º

60º

sendo: 2 - 1 2 + 1

= m = 2 2

Φ Φ Φ Φ∆Φ Φ

Coeficientes : SAD - 69

2 4 6 8 10

2 4 6 8 10

4 6 8 10

1 3 5 35 63A ' 1 e e e e e 1,00336417160

2 8 16 128 2561 3 3 35 45

B' e e e e e 0,001124216786 16 16 192 256

3 1 5 45C' e e e e 0,00000169954

80 16 64 512

D'

= + + + + + =

= + + + + =

= + + + =

= 6 8 10

8 10 -12

1 5 15 e e e 0,00000000272112 256 512

5 3E' e e 4,437627647 x 10 0

2304 512

+ + =

= + = =

9 ALTITUDES ORTOMÉTRICA, GEOMÉTRICA E ONDULAÇÃO DO GEÓIDE. Por definição, altitude ortométrica (h) de um ponto é à

distância contada sobre a vertical desse ponto até o geóide, e, altitude geométrica, é à distância contada sobre a normal do ponto até o elipsóide. Um dos mais importantes problemas geodésicos é a determinação das “ondulações do geóide”, ou seja, da separação (N) entre a superfície equipotencial (geóide) e o elipsóide. As três áreas da geodésia que mencionamos no primeiro capítulo têm solução específica para esse problema; neste trabalho não restringiremos a nenhum método. A figura 9.1 ilustra melhor este assunto.

A altitude geométrica é determinada com GPS geodésico de alta precisão, pois o GPS de navegação fornece a altitude


geométrica, porém, de caráter meramente decorativo, pois o erro pode chegar a 200 metros. Ora, se conhecer a altitude geométrica e a ondulação do geóide, pode-se chegar a um valor aproximado da altitude ortométrica. O IBGE confeccionou a carta com as ondulações do geóide, bastando conhecer as coordenadas geodésicas do local, também, disponibiliza em arquivo eletrônico. Com um erro absoluto de 3 metros e um erro relativo de 1 cm/km na determinação da altitude.

A Fundação IBGE e a Universidade de São Paulo têm trabalhado ao longo dos últimos dez anos num projeto de melhoria da carta geoidal no Brasil. Neste sentido, um intenso programa de observações com o sistema TRANSIT foi conduzido sobre a rede de nivelamento de 1a. ordem resultando em um total de mais de 200 pontos. Este trabalho foi realizado na década de 70. No momento, a atenção está voltada para o GPS e já se dispõe de mais de uma centena de alturas geoidais derivadas. Levantamentos gravimétricos também têm sido intensificados de modo a melhorar a cobertura, sobretudo em regiões vazias.

N = DETERMINADO COM O MAPGEO 2004

Q'

PS

Φ

λ

E

P'

Q

N = ONDULAÇÃO DEOIDAL

PN

h = H - N

H = h + N

GEÓIDE

N

SUPERFÍCIE FÍSICA DA TERRA

h

H

P

Figura 9.1 – Altitude Ort., Altitude Geométrica e Ondulação Geóidal.


Sinais de N:

N é positivo quando a superfície geoidal estiver acima da superfície elipsoidal

N é negativo quando a superfície geoidal estiver abaixo da superfície elipsoidal

h

H

N

Superfície do Terreno

Geóide

Elipsoide

Figura 7.2 – Ondulação Geoidal 9.1 TRANSPORTE DE ALTITUDES COM GPS UTILIZANDO DIFERENÇA DE NÍVEL DE ONDULAÇÃO GEOIDAL.

No processamento de dados GPS, o grande problema enfrentado, por diversos profissionais da área da geomática, é a determinação das altitudes ortométricas (em relação ao nível do mar) uma vez que os softwares de processamento calculam a altura geométrica (em relação ao elipsóide GRS – Datum WGS – 84).

Para linhas de base curtas (menor que 1 km), pode-se, sem cometer erro apreciável, considerar, como altitude a altitude geométrica, pois a diferença da ondulação geoidal entre dois pontos próximos é desprezível. Porém, para linhas de base longas se faz necessário o processamento com a altura elipsoidal e posteriormente o cálculo da altitude ortométrica através da diferença de ondulação geoidal obtida num mapa geoidal confiável.

No Brasil, foi desenvolvido, pela Universidade Federal de São Paulo, o software Map-Geo (versão 2.0) que contém o mapa


geoidal do Brasil. Para determinar o valor da ondulação geoidal basta entrar com as coordenadas geodésicas do ponto (latitude e longitude) para o Elipsóide UGGI - 67 A precisão deste software, comentado no capítulo acima, é de 3 metros (precisão absoluta) e de 1 cm/km para precisão relativa. O transporte da altitude ortométrica entre dois pontos leva em consideração a diferença de ondulação geoidal extraída do MapGeo. O primeiro ponto (ponto de origem) deve ser um RN com a altitude ortométrica conhecida (recomenda-se RNs da rede de nivelamento do IBGE). Para os demais pontos devem ser conhecidos os seguintes elementos:

� Altura elipsoidal � Coordenadas Geodésicas � Ondulação geoidal extraída do MapGeo

As fórmulas para os cálculos são:

Diferença das alturas elipsoidais (∆H)

n 0

Map

Map Map n Map 0

H H - H

Diferença das ondulações geoidais do Map - Geo ( N )

N N - N

∆ =

∆

∆ =

Cálculo da altitude ortométrica


0 Map

0

Map 0

h h - N H

Cálculo da ondulação geoidal verdadeira (N)

N H - h

Onde :

H Altura elipsoidal do ponto de origem;

H Altura elipsoidal dos demais pontos;

N Ondulação geoidal da or

= ∆ + ∆

=

=

=

=

Map

Map

igem obtida com o Map - Geo;

N Ondulação geoidal dos demais pontos obtidas com o Map - Geo;

H Diferença das alturas elipsoidais;

N Diferença das ondulações geoidais obtidas com o Map - Ge

=

∆ =

∆ =

0

o;

h Altitude ortométrica da origem;

h Altitude ortométrica dos demais pontos

N Ondulação geoidal verdadeiro

=

=

=

Exercício:

Dados as coordenadas de três pontos, uma origem planimétrica, uma origem altimétrica (marco da rede de nivelamento do IBGE) e dois vértices para onde serão transportadas as altitudes ortométrica.

Φ = Φ = Φ =

λ = λ =

Ponto 01 Ponto 02 Ponto RN1256Z

28º 45'15" S 28º 40'01" S 28º52'33" S

49º52'22" W 4 λ =

= = =

9º34'25" W 49º 45'21" W

H 45,325 m H 32,185 m H 46,925 m

h = 45,4972 m

= +

= +

= +

O MapGeo 2004 calculou as ondulações geoidais dos pontos :

Ponto RN 1,52 m

Ponto 01 3,12 m

Ponto 02 1,70 m


( )

( )

( )

( )

( )

( )

∆

∆ =

∆ =

∆ =

∆ =

∆ =

∆ =

1 01-0

1-0

1-0

2 02-0

2-0

2-0

Cálculo das diferenças das alturas elipsoidais ( H)

H H - H

H 45,325 - 46,925

H - 1,600 m

H H - H

H 32,185 - 46,925

H -14,740 m

( )

( )

( )

∆

∆ =

∆ =

∆ = +

Map

1 01-0

1-0

1-0

Cálculo das diferenças das ondulações geoidais ( N )

N N - N

N 0,312 - 1,520

N 1,600 m

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

∆ =

∆ =

∆ =

= ∆ + ∆

= + +

=

= ∆ + ∆

= +

2 02-0

2-0

2-0

1 0 1-0 1-0

1

1

2 0 2-0 2-0

2

N N - N

N 0,170 - 1,520

N + 0,180 m

Cálculo das alturas ortométricas (h)

h h - N H

h 45,4972 - ( 1,600) (- 1,600)

h 42,2977 m

h h - N H

h 45,4972 - ( +

=2

0,180) (-14,740)

h 30,5772 m

Os resultados alcançados podem ser comparados a um nivelamento geométrico de média precisão, ou seja, precisão de 10 mm/km.

Observação:


1)As alturas elipsoidais devem ser obtidas com GPS

geodésico de alta precisão e as ondulações geoidais com a utilização do software Map-Geo ou através de uma carta geoidal, recomenda-se utilizar o software.

2)Cabe informar, oportunamente, que as diferenças de nível elipsoidal, por GPS, não tem aplicação prática.

Repetindo para enfatizar:

Genericamente podemos dizer que altitude de um ponto da superfície da Terra é à distância desse ponto à superfície que tem, por convenção, altitude zero. Em nosso país a "superfície origem" é o geóide passante pelo ponto do marégrafo de Imbituba, que identifica o nível médio do mar (NMM) local e para a época em que foi determinado. Hoje sabemos que NMM varia com o tempo. Marégrafo é o instrumento destinado à medição e ao registro do nível médio do mar a qualquer hora e é determinado por instituições governamentais. "O DATUM VERTICAL" oficial para todo o território brasileiro, é o marégrafo de Imbituba no litoral de Santa Catarina, ou seja, é origem das altitudes.

Com efeito, os registros horários de marés podem revelar

variações de vários metros em um dia, um exemplo é a Baia de Fundy (Canadá), aproximadamente 20 m, já as médias mensais de tais registros revelam certa estabilidade (variações de decímetros), estabilidade que se acentua nas médias anuais (variações de poucos centímetros); em outras palavras, as médias anuais praticamente eliminam as variações periódicas do nível do mar. Na figura 6.3 representamos esquematicamente o geóide; a separação entre ele e o NMM local é o que se convencionou chamar topografia do nível médio, a variação dessa topografia não é devido à maré oceânica, pois o NMM esta expurgado das variações periódicas. Mas existem outras causas como as meteorológicas (variação da pressão atmosférica, pois, um aumento de um milibar na pressão atmosférica implica, em média, em uma depressão de 1 cm no nível do oceano, e a pressão do vento); e as oceânicas, como a variação da densidade da água (que depende da temperatura, salinidade e pressão); e ainda as correntes oceânicas,


a descarga de rios próximos aos marégrafo, o derretimento de gelos glaciais, etc.

Observações maregráficas de um ou mais anos permitem

determinar um nível médio local; a RN inicial terá então a altitude, conforme a figura 6.3, que é transportada por meio de linhas de nivelamento geométrico (assunto que faz parte desta apostila) às demais RN que compõem a rede vertical do país. Existem milhares de marégrafo espalhados pelo mundo, cada um acusando um NMM. As linhas de nivelamento que, em princípio, devem compor círculos fechados, estendem-se normalmente ao longo das vias terrestres de comunicação.

Ocorre, porém, que esse nível médio não é uma superfície

equipotencial; e o adjetivo “local” é bem posto, pois, o NM varia de uma marégrafo para outro, ainda que situados no mesmo litoral.

Em nosso país já foram nivelados mais de 120.000 km de

linhas de alta precisão (três voltas ao mundo). O trecho da linha compreendido entre duas RN recebe o nome de seção, cujo comprimento médio é da ordem de 3 km, isto significa que mais de 40.000 referências de nível. Infelizmente, porém, o crescimento e a pavimentação asfáltica do nosso sistema rodoviário aliado a um descaso criminoso, foram responsáveis pela destruição de um enorme número dessas referências, mutilando a rede vertical com tremendo prejuízo econômico e científico. É bom salientar, nestas notas de aula, que as RNs são protegidas por lei e a sua destruição é crime e passível de punição.


RNb

aN M M

Marégrafo

ALTITUDE DA RN INICAL

H = a + b

Marégrafo

RN

mn

Geóide

N M M (local)NÍVEL INSTANTÂNEO

maré baixa

n = Topografiam = Topografia Estacionária

Figura 9 1 – Datum vertical - Marégrafo


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CAMIL, Gemael. Introdução à Geodésia Geométrica 1ª e 2ª parte. Curitiba: Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas/UFP, 1987. FILHO, Berthier de Carvalho. Análise Comparativa de Áreas Calculadas nos Sistemas UTM e Plano Retangular. V PCDET, Belo Horizonte: Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas (Topografia), 1995. ___________________. Altimetria: 2. Ed. Cuiabá, CEFET/MT, 2003. ___________________. Planimetria: 1. Ed. Cuiabá, CEFET/MT, 2002. ___________________. Fundamentos de Astronomia Esférica Aplicada na Determinação do Norte Verdadeiro. 2. Ed. Cuiabá, CEFET/MT, 2001. SILVEIRA, Luis Carlos da. Cálculo Geodésico no Sistema UTM Aplicados à Topografia. 1. Ed. Criciúma: Livraria Luana Ltda., 1990.

Documents

62403464-Apostila-Geodesia-UFMT