IFPE – MATEMÁTICA I

Prof.: Tetsuo Usui Aluna(o):_______________________________

LISTA DE EXERCÍCIOS 8 1. Escreva a equação que rege a relação entre

as duas variáveis nos itens abaixo: a) A área e o lado do triângulo equilátero. b) A área e o lado do hexágono regular. c) A área e o raio do círculo. d) A diagonal do polígono e o número de

lados do polígono. e) O espaço percorrido e o tempo no

movimento uniformemente variado. 2. Um mergulhador salta de um trampolim a

10 metros de altura. Após a largada do trampolim, sua altura � acima da água, em metros, em função do tempo �, em segundos, é dada pela expressão:

���� � �4,9� � 8� � 10 a) Calcule a altura no instante 1 segundo; b) Calcule a altura no instante 2 segundos; c) Calcule a velocidade média no intervalo

de 1 a 2 segundos. Sabe-se que �� � ∆�/∆�.

3. Determine � para que o gráfico cartesiano

de � � �� � 7� � 2 passe pelo ponto

�– 1; – 8�. 4. Sejam as funções reais �, � e � definidas,

respectivamente, por ���� � �, ���� � � � 2 e ���� � � � 1. Se possível, utilize o software Geogebra.

a) Trace, num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções �, � e �.

b) Todas as parábolas que você desenhou têm o mesmo eixo de simetria? Diga qual é esse eixo.

c) Como você pode obter os gráficos de � e � conhecendo o gráfico de �?

5. Sejam as funções reais �, � e � definidas,

respectivamente, por ���� � �, ���� � �� � 1� e ���� � �� � 2�. Se possível, utilize o software Geogebra.

a) Trace, num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções �, � e �.

b) Todas as parábolas que você desenhou têm o mesmo eixo de simetria? Caso a resposta seja negativa, diga qual é o eixo de simetria de cada função.

c) Como você pode obter os gráficos de � e � conhecendo o gráfico de �?

6. Dadas as funções de domínio real:

f(x) = x² – 2x e g(x) = 2x – 3 a) Esboce o gráfico das funções f e g no

mesmo plano cartesiano. b) A partir do gráfico, determine os pontos de

interseção dos gráficos de f e g. c) Determine algebricamente os pontos

comuns aos gráficos de f e g. d) Esboce os gráficos de f e g, no mesmo

plano cartesiano, utilizando o software Geogebra.

e) Para encontrar o ponto de interseção de dois gráficos no GeoGebra, selecione o menu conforme a figura abaixo. E, depois selecione com mouse os gráficos para obter ponto de intersecção das retas.

7. Para as seguintes funções f de � em �,

determine: I. f(0); II. Zeros da função; III. Vértice da parábola; IV. Conjunto imagem; V. Gráfico; VI. Estudo do sinal.

a) f(x) = x² − 6x + 8 b) f(x) = −x² − 2x + 3 c) f(x) = x² + 4x + 4

d) f(x) = −x² + 6x – 9 e) f(x) = x² − 2x + 2 f) f(x) = −x² + 6x – 13

8. Existe uma função quadráticas com zeros em x = –1, x = 2 e x = 3? Explique.

9. Seja a equação de segundo grau

� � 6� �� � 1 � 0, com � real. Determine �, de modo que a equação:

a) possua duas raízes reais e distintas. b) possua uma raiz dupla. c) não possua raízes reais. 10. Sabe-se que �� e � são as raízes reais da

equação quadrática � � !� � " � 0. Mostre que:

a) a soma # das raízes é dada por:

# � �� � � � �!

b) o produto $ das raízes é dada por:

$ � �� · � �"

11. Se α e β são as raízes da equação � ��� � & � 0. Calcule, em função de � e &:

a) α + β

b) α∙β

c) 1

'�1

(

d) ' � (

e) (

'�'

(

f) 1

' �1

(

g) ') � ()

12. Mostre que uma equação do segundo grau

de raízes reais �� e � é a equação: � � #� � $ � 0

em que # � �� � � e $ � �� · �. 13. Obtenha uma equação de segundo grau de

raízes: a) 5 e −9 b) 1/2 e 2/3

c) 1 e √2

d) 3 � √2 e 3 � √2

14. Mostre que uma função quadrática

���� � � � !� � " pode ser escrita na forma fatorada ���� � �� � ����� � �� onde �� e � são zeros reais de f.

15. Escreva as funções abaixo na forma

fatorada: a) ���� � � � 10� � 24

b) ���� � �� � 5� � 6

c) ���� � 3� � 2� � 1

d) ���� � 12� � � � 1 16. A função quadrática ���� � � � !� � ",

também, pode ser escrita na forma canônica:

���� � �� � �-� � �- onde �- e �- são, respectivamente, abscissa e ordenada do vértice da parábola. Escreva as funções da questão anterior na forma canônica.

17. Sejam as funções reais � e � definidas,

respectivamente, por: ���� � 2� e ���� � 2�� � 2� � 1

a) Esboce os gráfico das funções no mesmo plano cartesiano, se possível, utilize o software Geogebra.

b) Você pode obter o gráfico de � conhecendo o gráfico de �? Explique.

18. No gráfico abaixo estão representadas três

gráficos de funções ���� � �, ���� � !� e ���� � "�. Qual é a relação entre , ! e "?

x

y

f g h

19. Determine uma função quadrática ���� � � � !� � " tal que f(0)=5, f(1)=3 e f(–1)=9. Calcule f(2).

20. Determine a função quadrática

representada pelos gráficos:

a)

b)

21. Sendo A = [1; 5[ o domínio da função f,

determine o conjunto imagem da função ���� � � � 4� � 5.

22. Um pedreiro dispõe de tijolos suficiente

para fazer uma parede de 22 metros de comprimento. Esse pedreiro deseja construir um galpão de forma retangular utilizando os tijolos de que dispõe. Ele deseja saber a maneira de como a área do galpão depende de sua largura.

a) Complete a tabela de valores relacionando a largura e a área.

Largura (m) Área (m²)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

b) Existe regularidade na tabela? Qual?

c) Esboce um gráfico que representa essa situação.

d) Usando o gráfico e a tabela, determine em que condições a área é a maior possível.

e) Escreva a expressão matemática que rege a relação entre a área e a largura.

f) Calcule a área máxima que o pedreiro pode construir.

23. Um carpinteiro quer construir um

galinheiro de forma retangular. Para isso dispõe de uma tela de arame de 28m de comprimento com a qual pretende construir três lados do galinheiro. Para o quarto lado, ele deseja utilizar o muro de quintal. Quais devem ser as medidas dos lados do galinheiro para que sua área seja máxima, e qual é essa área?

24. Uma arma dispara um projétil que

descreve uma trajetória parabólica, cuja equação é dada por � � �� � 20�, sendo � e � em metros. Determine:

a) a altura máxima atingida pelo projétil; b) o alcance do projétil, ou seja, a distância

horizontal que o projétil percorre. 25. Em uma partida de futebol, a cobrança de

uma falta lança a bola em uma trajetória tal que a altura �, em metros, varia com o tempo �, em segundos, de acordo com a relação ���� � �5� � 10�. Determine:

a) o instante em que a bola atinge a altura máxima;

b) a altura máxima atingida pela bola? 26. Para uma excursão foi fretado um avião de

100 lugares. Cada passageiro deve pagar à empresa de aviação R$ 800,00, além de uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago do avião.

a) Determine o domínio da função da rentabilidade em função do número de passageiros.

b) Escreva a expressão matemática do valor que cada passageiro irá pagar em função de número de passageiros.

x

y

-3 1

3

1111 2222 3333

−1−1−1−1

1111

2222

3333

4444

x

y

c) Escreva a expressão matemática da rentabilidade da empresa em função de número de passageiros.

d) Quantos passageiros devem viajar para que a empresa tenha rentabilidade máxima?

e) Qual é essa rentabilidade máxima? 27. Num terreno, na forma de um triângulo

cuja base e altura medem, respectivamente, 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como na figura abaixo.

a) Exprima y em função de x. b) Para que valores de x e de y, a área

ocupada pela casa será máxima?

28. Em um reservatório de água, o nível � (em

metros) varia com o tempo � (em horas) a partir da meia noite, conforme a função � � �0,025� � 0,35� � 0,8. Determine:

a) O nível inicial do reservatório; b) O instante em que o reservatório vai estar

vazio; c) O instante em que o reservatório vai estar

mais cheio; d) O nível máximo atingido; 29. Num terreno serão plantadas 12 árvores de

uma determinada fruta. Espera-se que cada árvore produza em média 40 frutas. Nesse mesmo terreno, para cada árvore adicional plantada espera-se, em média, um rendimento de duas frutas a menos por cada árvore adicional.

a) Qual será o número de árvores adicionais a serem plantadas para que o pomar produza o máximo de frutas?

b) Qual é essa produção máxima?