,661 - UNESP: Câmpus de Bauru - Faculdade de Ciências · Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e derivação da ... utilizaremos a noção de sequências

Y-MXO

,661-

ISSN 2316-9664

Volume 9, jul. 2017

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Profa. Dra. Cristiane Alexandra Lázaro

Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues de Souza

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FICHA CATALOGRÁFICA

510

C919

C.Q.D. – Revista Eletrônica de Matemática [re-

curso eletrônico] / Faculdade de Ciências, De-

partamento de Matemática. – Vol. 9, (jul.

2017) – Bauru : Departamento de Matemática,

2012-

Semestral

ISSN 2316-9664

Disponível em:

http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/mate

matica/revista-cqd/

1. Matemática - Periódicos. I. Faculdade

de Ciências, Departamento de Matemática.

Sumário

A fórmula de Binet como modelo de generalização e extensão da sequência de Fibonacci a

outros conceitos matemáticos Arlem Atanazio dos Santos; Francisco Regis Vieira Alves 4-22

Equação de Riccati na descrição do movimento de um veículo por meio de uma propulsão

hidráulica Jorge Corrêa de Araújo; Rosa García Márquez 23-32

Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e derivação da equação

característica Ricardo da Silva Santos; Ole Peter Smith 33-41

Materiais concretos e manipulativos: uma alternativa para simplificar o processo de

ensino/aprendizagem da matemática e incentivar à pesquisa Suemilton Nunes Gervázio 42-55

Soluções periódicas de um tipo de equação diferencial de terceira ordem com retardo Suzete Maria Silva Afonso; Carolinne Stefane de Souza 56-65

Uma demonstração da conjectura de Chen no espaço Euclidiano E4 Fernando da Costa Gomes 66-77

ISSN 2316-9664

Volume 9, jul. 2017

Arlem Atanazio dos Santos1

Secretaria de Educação do

Estado do Ceará/Seduc-Ce

[email protected]

Francisco Regis Vieira Alves2

Instituto Federal de Educação

Ciência e Tecnologia do

Ceará/IFCE

[email protected]

A fórmula de Binet como modelo de

generalização e extensão da sequência de

Fibonacci a outros conceitos matemáticos*

The Binet formula as generalization model and extension of the

Fibonacci sequence to other mathematical concepts

Resumo

Neste artigo apresentamos uma discussão sobre alguns modelos de

generalização e extensão de um tópico bastante conhecido do contexto

histórico matemático, a sequência de Fibonacci. Assim, partindo do

problema clássico dos coelhos imortais estabelecemos alguns de seus

modelos de generalização, implícitos e explícitos, com destaque, para a

fórmula de Binet; modelo que permite a discussão sobre a extensão da

sequência de Fibonacci ao campo dos inteiros, através da obtenção da

sequência com índices negativos; bem como sua relação com outros

conceitos matemáticos, tais como, a sequência de Lucas, as Matrizes, o

triângulo de Pascal e a Trigonometria, com suas respectivas

generalizações e extensões a índices negativos. Desse modo, trazemos

uma abordagem da sequência de Fibonacci, que suscita elementos, não

somente, históricos, mais essencialmente matemáticos.

Palavras-chave: Sequência de Fibonacci. Generalizações. Extensões.

Abstract

In this paper we present a discussion about some models of

generalization and extension of a well known topic of the historical

mathematical context, the Fibonacci sequence. Thus, starting from the

classic problem of immortal rabbits, we established some of their

models of generalization, implicit and explicit, with emphasis, for the

formula of Binet; model that allows the discussion about the extension

of the Fibonacci sequence to the field of the integers, by obtaining the

sequence with negative indices; as well as its relation to other

mathematical concepts, such as the Lucas sequence, the Matrices, the

Pascal triangle and the Trigonometry, with their respective

generalizations and extensions at negative indices. Thus, we bring an

approach to the Fibonacci sequence, which raises not only historical,

but essentially mathematical elements.

Keywords: Fibonacci sequence. Generalizations. Extensions.

_____________________________

* Pesquisa realizada como parte integrante da Dissertação de Mestrado

Acadêmico do Programa de Pós- Graduação em Ensino de Ciências e

Matemática-PGECM, do Instituto Federal de Educação, Ciência e

Tecnologia do Ceará-IFCE, sob orientação do Prof. Dr. Francisco Regis

Vieira Alves. 1 Professor de Matemática da Secretária de Educação do Estado do

Ceará-SEDUC-CE e Mestrando do Programa de Pós-Graduação em

Ensino de Ciências e Matemática-PGECM/IFCE. 2 Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências

e Matemática-PGECM/IFCE. Docente do Programa de Pós-Graduação

em Ensino de Ciências e Matemática. ENCIMA/UFC.

mailto:[email protected]

SANTOS, A. A.; ALVES, F. R. V. A fórmula de Binet como modelo de generalização e extensão da sequência de Fibonacci a outros conceitos matemáticos.

C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 9, p. 4-22, jul. 2017.

DOI: 10.21167/cqdvol9201723169664aasfrva0422 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

5

1 Introdução

Trataremos neste estudo, da sequência de Fibonacci, sequência esta, que tem sua origem

discutida a partir da resolução do problema dos coelhos imortais, proposto por Fibonacci, em

1202, em sua obra Liber Abacci. Problema descrito como: um homem põe um casal de coelhos

dentro de um cercado. Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, se a natureza

desses coelhos é tal que a cada mês um casal gera um novo casal, que se torna produtivo a

partir do segundo mês? Sobre tal contexto, suscitaremos alguns modelos matemáticos que

evidenciam o processo de generalização e extensão, da sequência Fibonacci; além da

possibilidade de sua relação, com outros conceitos matemáticos.

2 A fórmula de Binet como modelo de generalização da sequência de Fibonacci

Continuando, sobre os aspectos matemáticos relativos à sequência de Fibonacci, Lando

(2003) destaca, que esta pode ser definida por 2 1n n nf f f , tendo como dois primeiros

termos 0 0f e 1 1f . E que, ao partirmos da lei de recorrência, estabelecida, podemos obter

facilmente a seguinte sequência (1;1;2;3;5;8;13;21;34;55;89;144;233;377;.....) . Sendo que ao

começarmos com 2f , cada elemento desta sequência é a soma dos dois anteriores.

Notemos que, dos argumentos suscitados, a obtenção de um elemento qualquer da sequência

de Fibonacci será conseguida, mediante, o estabelecimento dos seus dois elementos anteriores

e a utilização da lei de recorrência. Assim, se quisermos obter valores elevados da sequência,

como por exemplo, o 100f , pelo destacado, teremos que conhecer 98f e 99f . E que, pela

dinâmica estabelecida, teríamos que conhecer os anteriores a 98f , e assim sucessivamente,

caracterizando a recursividade.

No entanto, devemos nos questionar sobre a possibilidade de termos um modelo, não mais

recursivo, e que nos possibilite a obtenção, digamos direta, dos termos da sequência de

Fibonacci. Sobre o modelo de generalização discutido, destacamos que:

Huntley (1985, p. 63) argumenta que a “ligação entre a divisão áurea e a série de Fibonacci

pode ser vista de um novo ângulo considerando o termo geral da série. Trata-se da fórmula de

Binet”. Burton (2007) afirma que esta fórmula é obtida considerando-se 1 5

2

e

1 5

2

, raízes da equação quadrática 012 xx . Grimaldi (2012) relata que entre as

muitas propriedades satisfeitas por e , que podemos indicar: 12 ; 1 ;

5 ; 1; 322 ; 12 ; 1

; 1 e 522 .

Sendo a fórmula de Binet, expressa pelo seguinte resultado:

1 1 5 1 1 50 1 2 3

2 25 5

n n

nf ,n , , , ,...

.

Sobre esta formulação, Lívio (2002, p. 108) destaca que “num primeiro momento, essa

formidável e desconcertante fórmula, desde que não parece óbvio, que a partir da substituição

de seus índices, a mesma produz números inteiros”. Além disso, Huntley (1985, p. 63)

argumenta que “não são necessários cálculos demorados para demonstrar que esta formula




6

produz os primeiros termos inteiros da série”. Burton (2007) ressalta que esta fórmula é obtida

considerando-se 2

51 e

2

51 , raízes da equação quadrática 012 xx .

Dando continuidade, como as raízes desta equação devem satisfazer a 12 e

12 . Se fizermos a primeira destas relações multiplicada por n , e a segunda por n ,

teremos: 2 1n n n (i) e 2 1n n n (ii). E ao subtrairmos a segunda equação da

primeira, e dividirmos ambas por , encontramos:

2 2 1 1n n n n n n

(iii). Se colocarmos n n

nH ( ) / . A equação

anterior pode ser representada de forma mais concisa como: 2 1 1n n nH H H ,n .

Notemos que, anteriormente, apresentamos alguns resultados relativos à e , tais como:

1 , 5 e 1 . Consequentemente, obtemos: 1 1H

,

2 2

2 1H

e 3 3 2 2

3

( )( )2H

. Com isto, os resultados

.....,, ,321 HHH , representam a Sequência de Fibonacci, com

n n

nf

, onde 1n .

Com isto, vimos que a fórmula de Binet apresenta a possibilidade de obtenção dos termos

inteiros da sequência de Fibonacci, de maneira explícita, sem utilizarmos a ideia da

recursividade, sendo assim, um modelo de generalização da sequência de Fibonacci. Na seção

seguinte, continuaremos tratando da fórmula de Binet, discutindo suas relações com as

sequências recorrentes.

3 Sequências recursivas lineares e a fórmula de Binet

Vejamos agora, outros tipos de demonstrações da fórmula de Binet, nesse sentido,

utilizaremos a noção de sequências lineares recursivas homogêneas. Koshy (2011) discute a

seguinte equação 1 1 2 2 ...n n n k n ka c a c a c a , com 1 2 3, , ... , 0k kc c c c IR c . O autor

explica o significado de “linear”, na medida em que, todos os termos no lado direito

comparecem, apenas, potências de grau um, dos termos antecedentes 1 2, , ,n n n ka a a . Parker

(1964, p. 67) comenta que “da teoria das equações homogêneas de diferenças lineares assegura

que uma solução mais geral pode ser expressa pornn xcxcnf 21)( , c1 e c2 são constantes

arbitrárias”.

Demonstraremos os argumentos de Koshy (2011) e de Parker (1964), sobre a obtenção da

solução geral de uma sequência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes

constantes. Nesse sentido, utilizaremos os argumentos de Lima et al. (1998) sobre como

determinar a solução geral de uma relação recorrente de segunda ordem, sendo a sequência de

Fibonacci um exemplo de aplicação de tal modelo matemático.

Assim, iniciaremos apresentando que Lima et al. (1998) define este tipo sequência da

seguinte da forma: 2 1 0n n nx p.x q.x , com p e q constantes, e 0q . Note que, caso

tenhamos 0q a recorrência torna-se de primeira ordem. Lembrando ainda que a “cada

recorrência linear de segunda ordem homogênea, com coeficientes constantes, da forma




7

2 1 0n n nx p.x q.x , associaremos uma equação do segundo grau, 2 0r pr q ,

denominada de equação característica.” (LIMA et al.,1998, p. 74).

Antes de continuarmos, justificaremos a associação existente, entre a relação de recorrência

e uma equação do segundo grau da forma 2 1 0r r (equação característica).

Desse modo, se tivéssemos a equação 2 1 0n n nx p.x q.x , com q=0. Teríamos

2 1n nx p.x , tornando-se uma relação de recorrência de primeira ordem, que tem como

solução geral uma (progressão geométrica) da forma n

nx r . Logo, uma ideia inicial

considerável será observar se alguma progressão geométrica da forma n

nx r , satisfaz a

equação 2 1 0n n nx p.x q.x . Assim, se 2 1 0n n nr pr qr então

2 0nr ( r pr q ) , n

resultando em 2 0r pr q (equação característica da recorrência). Sendo as soluções de

2 0r pr q , soluções da relação de recorrência.

Outra questão, evidenciada por Lima et al. (1998) é de como obter uma solução geral para

uma recorrência linear de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes do tipo

2 1n n nx x x . Nesse sentido, Lima et al. (1998, p. 74-75) apresenta dois teoremas que

respondem a questão levantada, teoremas que enunciamos e demonstramos a seguir:

Teorema 1: Se as raízes de 2 0r pr q , são 1r e 2r , então 1 1 2 2

n n

na C r C r é solução

da recorrência 2 1 0n n nx p.x q.x , quaisquer que sejam os valores das constantes 1C e 2C

.

Demonstração: Admitindo que 1 1 2 2

n n

na C r C r

seja solução geral de

2 1 0n n nx p.x q.x , com 1r e 2r raízes. Daí temos que:

2 2 1 1

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

2 2

1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

0

0 0 0 0

n n n n n n

n n n n

C r C r p C r C r q C r C r .Logo,

se C r r pr p C r r pr p então C r C r ,( cqd )

Teorema 2: Se as raízes de 2 0r pr q são 1r e 2r , com 1 2r r , então todas as soluções

de recorrência 2 1 0n n nx p.x q.x , são da forma 1 1 2 2

n n

na C r C r , 1C e 2C constantes.

Demonstração: Seja ny uma solução de 2 1 0n n nx p.x q.x , temos que

1 1 2 2

n n

nC r C r y . Tomando dois casos particulares 1y e 2y . Devemos provar que 0n ,

teremos 1 1 2 2

n n

nC r C r y , onde 1C e 2C , são soluções do sistema1 1 2 2 1

1 1 2 2 2

n n

n n

C r C r y

C r C r y

.

Demonstraremos o Teorema 2, por indução. Com isto:

I) assumiremos inicialmente que a expressão é válida para 1n e 2n . Logo, temos que

obter C1 e C2, na resolução do sistema a seguir. Resolvendo temos que:

Se 1 1 2 2 1

1 1 2 2 2

n n

n n

C r C r y

C r C r y

então

2

2 1 2 21

1 2 2 1

r y r yC

rr ( r r )

e

2

1 2 1 12

1 2 2 1

r y r yC .

r r ( r r )

Quando tivermos 1 2 1 0r r ,r e 2 0r . O sistema pode ser classificado como Sistema

Possível e Determinado, caracterizando a solução para 1n e 2n . Dando prosseguimento:

II) Suponhamos que a expressão seja válida para n e 1n , devemos mostrar que a mesma

é válida para 2n . Nesse sentido, partiremos da igualdade 2 1 0n n nx px qx (i), e como




8

1nx e nx são soluções de (i), estas assumem as seguintes formas: 1 1

1 1 1 2 2

n n

nx C r C r

e

1 1 2 2

n n

nx C r C r . Ao substituirmos, esses resultados em (i), encontramos:

1 1

2 1 1 2 2 1 1 2 21 1

2 1 1 1 1 2 2 2 2

2 1 1 1 2 2 22 2 2 2

2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

0

0

0

n n n n

nn n n n

nn n

nn n n n

n

x p(C r C r ) q( C r C r )

x qC r pC r qC r pC r

x C r ( q pr ?) C r ( q pr ?)

x C r ( q pr r ) C r ( q pr r ) C r C r

Do resultado anterior, como 1r e 2r são raízes, temos que: 2 2

2 1 1 2 2

n n

nx C r C r

(cqd). A

partir dos teoremas caracterizados temos condições de obter soluções gerais de equações

recorrentes lineares de segunda ordem homogêneas com coeficientes constantes.

Fundamentados nos resultados dos Teoremas 1 e 2, discutidos anteriormente, a seguir

apresentamos outra demonstração da Fórmula de Binet. Vejamos:

Demonstração: Sabemos que a relação de recorrência de Fibonacci é definida por:

2 1n n nf f f , com 0n e 0 1 1f f , e que esta terá como equação característica 2 1r r ,

com raízes 1 5

2r

. Então 1 2

1 5 1 5

2 2

n n

nf C C

(i). Para determinarmos os

valores de C1 e C2, devemos utilizar as condições 0 1 1f f , a partir daí, obtemos o sistema:

1 2

1 2

1

1 5 1 51

2 2

C C

C C

, resolvendo o sistema, temos: 1

1 5

2 5C

e 2

5 1

2 5C

.

Logo, retomando o resultado 1 2

1 5 1 5

2 2

n n

nf C C

e ao substituirmos neste 1C e 2C

, encontramos a fórmula de Binet, a seguir: 1 1

1 5 1 5 5 1 1 5 1 1 5 1 5

2 2 2 22 5 2 5 5

n n n n

nf ,n N

Assim, destacamos a relação existente entre sequências recorrentes lineares e a fórmula de

Binet, trazendo a demonstração do modelo de Binet, a partir dos fundamentos das sequências

recorrentes lineares homogêneas, no caso, de segunda ordem. Prosseguindo, na discussão,

destacaremos outro modelo de generalização e de extensão da sequência de Fibonacci, a outro

campo numérico, no caso, os inteiros.

4 A fórmula de Binet estendida a índices inteiros

No estudo de Alfred (1965) o autor apresenta a possibilidade de obtenção através da

recursividade, de valores com índices negativos para a sequência de Fibonacci. Perspectiva

expressa na Figura 1, a seguir:




9

Figura 1 - Possibilidade de extensão da sequência de Fibonacci a valores com índices negativos.

Fonte: Alfred (1965, p. 2).

Possibilidade evidenciada, também, por Hoggat (1969), Zeckendorf (1972), Vorobiov

(1974), Dunlap (1997), Alves e Borges Neto (2011). E que os autores caracterizam pela

seguinte propriedade 11 n

n nf ( ) . f

. Em Hoggat (1969), o autor discute a demonstração de

tal propriedade, a partir da fórmula de Binet. Nesse sentido, para demonstrá-la, simplesmente,

escreve:

1 1nn

n n

nf

. Em seguida, observa que 1 . Donde encontra:

11

n n n nn

nf

. Com isto, temos

11 n

n nf ( ) . f

(cqd).

Caracterizando assim, o modelo de generalização e extensão da sequencia de Fibonacci, a

índices negativos, ampliando seu domínio aos inteiros. A seguir, apresentaremos algumas

relações da sequência de Fibonacci, com outra modelo recorrente, a sequência de Lucas.

5 A fórmula de Binet para os números de Lucas

Hoggat (1969) argumenta que a sequência de Lucas é nomeada assim, em homenagem ao

matemático francês do século dezenove François Eduard Anatole Lucas (1841-1891). Conway

e Guy (1999) relatam que os números de Lucas nL , relacionam-se com os números de

Fibonacci de várias maneiras, tendo sua mesma lei de recorrência, contudo, com termos iniciais

diferentes. Sobre tal fato, Koshy (2011) ressalta que ao usarmos a relação de recorrência

3,21 nLLL nnn , tomando as seguintes condições iniciais 11 L e 22 L , temos como

resultado: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47,.... (Sequência de Lucas).

Como estabelecemos, a sequência de Fibonacci relaciona-se intrinsicamente, com a de

Lucas. Nesse sentido, Parker (1964, p. 67) apresenta um modelo geral de obtenção dos números

de Lucas a partir do modelo de Fibonacci, vejamos:

Inicialmente, o autor parte da forma generalizada da equação de recorrência

1 1 2 2( ) n nF n c x c x , com 1c e 2c constantes quaisquer, admitindo as seguintes condições

iniciais (0) 2, (1) 1F F . Daí, podemos obter o sistema: 1 2

1 1 2 2

2

1

c c

c x c x

, aonde considera

1 21 5 1 5, x

2 2x

então

1 2x 5 x e1 2 x 1x . Ora, fazendo as contas, vemos

1 1 1 2(2 ) 1c x c x

então 1 1 2 1 2 1 1 2 22 1 ( ) 1 2c x x c x c x x x . Segue que:

21

1 2

1 2 51

( ) 5

xc

x x

e, para o outro valor, devemos encontrar 2 1c , como assim indicam

Parker (1964, p. 67). Por fim, Parker estabelece:




10

1 21 5 1 5 1 5 1 5( )

2 2 2 2

n n n n

F n c c

. Resultado, que

também pode ser expresso como: ,.....3,2,1, nL nn

n (Fórmula de Binet para a

sequência de Lucas).

Na Figura 2 a seguir, Hoggat (1969) traz os resultados dos números de Fibonacci e Lucas.

Podemos, a partir desse quadro comparativo, estabelecermos algumas relações preliminares

entre estes números, discussão que mostraremos, a seguir:

Figura 2- Comparativo de resultados entre os números de Fibonacci e Lucas.

Fonte: Hoggat (1969, p. 27).

Prosseguindo, notemos na figura que ao fazermos: 231 LFF , 342 LFF , este

resultado de modo geral é dado por: 1,11 nFFL nnn (lei de recorrência dos números de

Lucas).

Demostraremos este resultado, utilizando a fórmula de Binet. Assim, faremos:

11

1

nn

nF e

11

1

nn

nF , e ao somarmos os resultados, temos:

)..().()().()(

....

11

1111111111

dqcLn

nnnnnn

nnnnnnnnnnnn

Ainda nessa perspectiva, de discussão de propriedades relativas aos números de Fibonacci

e Lucas, em Hoggat (1969, p. 27) o autor apresentada a possibilidade de relacionarmos nF e

nL em temos de n e n . Sendo a reciproca dessa propriedade verdadeira.

Assim, utilizaremos 5 e reescreveremos as formas de Binet para Fibonacci e

Lucas das seguintes formas: se

n n

nF

então 5 ( )n n

nF i e ( )n n

nL ii . Ao

adicionarmos (i) e (ii), temos: se 5n n

n

n n

n

F

L

então 2 5 ,n

n nF L logo

5.

2

n n nF L

E ao subtrairmos (i) e (ii), temos: se

5n n

n

n n

n

F

L

então

2 5 ,n

n nF L

logo5

.2

n n nL F

Na Figura 3 a seguir, Hoggat (1969) apresenta resultados dos números de Fibonacci e Lucas,

com valores de inteiros de n, ou seja, apresenta a possibilidade de termos os números de Lucas

estendidos aos inteiros, propriedade já discutida para os números de Fibonacci.




11

Figura 3- Possibilidade de extensão dos números de Lucas a índices inteiros.

Fonte: Hoggat (1969, p. 28).

Dos argumentos anteriores, caracterizamos a existência do seguinte resultado

n

n

n LL .)1( . Demonstrarmos esse resultado, fundamentados nos argumentos de Hoggat

(1969) que para demonstrar a propriedade de Fibonacci, muda a variável na fórmula de Binet

de n para –n, e procede do seguinte modo:

)..(.)1()()1()1(

11dqcLL n

nnnn

n

nn

nn

nn

nn

nn

n

Como estamos mostrando, os números de Lucas relacionam-se diretamente com os números

de Fibonacci através de propriedades comuns. Dando continuidade, apresentaremos e

demonstraremos outras identidades da sequência de Fibonacci, destacando agora, sua relação

com as matrizes.

6 A fórmula de Binet Matricial

Os estudos de Alfred (1965), Hoggat (1969), Koshy (2011), Stakhov (2009) e Grimaldi

(2012), apresentam uma discussão que relaciona as matrizes com os números de Fibonacci.

Assim, iniciamos nossa apresentação caracterizando, que os autores caracterizam como a matriz

1 1

1 0Q

. Sendo esta, uma matriz de segunda ordem que tem como elementos

11 12 21 221, 1, 1, 0a a a a , os números de Fibonacci. Como destaca Grimaldi (2012 p. 113)

“propriedades desta matriz foram investigados em 1960 por Charles H. King em sua tese de

mestrado no State College San Jose, na Califórnia”. Seguindo um raciocínio comum, aos

estudos citados. Faremos a multiplicação entre as matrizes:

Iniciando com 1 1 1 1

.1 0 1 0

Q Q x

, encontramos 22 1

1 1Q

; continuando faremos,

2 12 1 1 1

.1 1 1 0

Q Q

, encontrando 33 2

;2 1

Q

seguindo faremos 3 13 2 1 1

. ,2 1 1 0

Q Q

obtendo 45 3

3 2Q

. Seguindo o procedimento, podemos conjecturar o resultado

1

1

n nn

n n

f fQ

f f

. Nesse sentido, enunciamos:

Teorema 3 : Para um dado número inteiro n, a enésima potência da matriz Q é dado por:

1

1

nn

nnn

ff

ffQ , sendo 11 ,, nnn fff , números de Fibonacci.




12

Demonstraremos o Teorema 3, utilizando o princípio da indução matemática. Iniciamos

com 1n , 2 11

1 0

1 1

1 0

f fQ

f f

. Para n k , temos:

1

1

k kk

k k

f fQ

f f

. Para

1n k ,1 1 2 11

1 1

. ( . . )k k k k kk k

k k k k k

f f f f fQ Q Q c q d

f f f f f

. Como existe uma

relação intrínseca entre a teoria das matrizes e o estudo dos determinantes, o próximo teorema,

nos informa o determinante da matriz nQ .

Teorema 4 : Para um dado inteiro n, temos: 1n ndet(Q ) ( ) .

Demonstração: do estudo dos determinantes sabemos n ndet(Q ) (det Q ) , e como

101

11det QQ , concluímos que:

1n ndet(Q ) ( ) .

Tomando por referência o Teorema 4, podemos demonstrar a seguinte identidade de

Fibonacci, a fórmula de Cassini. Como destaca Stakhov “é uma das mais importantes

identidades dos números de Fibonacci. Esta é chamada a fórmula de Cassini em homenagem

ao famoso astrônomo francês Giovanni Domenico Cassini (1625-1712), que descobriu a

formula pela primeira vez” (STAKHOV, 2009, p. 323). n

nnn fff )1(.2

11 (Fórmula de Cassini)

Demonstraremos, o resultado anterior, a partir dos argumentos estabelecidos no Teorema 4.

Assim, temos que: 1 2

1 1

1

1 1n nn n

n n n

n n

f fdet Q f . f f ( ) ,n ( c.q.d ).

f f

Dando prosseguimento, tomaremos como referência os argumentos de Hoggat (1969, p. 66-

67), sobre o estudo da álgebra das matrizes, destacando que “na álgebra das matrizes é de grande

interesse técnico o polinômio característico”, que Hoggat (1969), caracteriza como: Dada a

matriz Q, seu polinômio característico é definido por: P( x ) det( Q xI ) . Assim, ao

desenvolvermos tal resultado, encontramos:

Do resultado anterior, notemos que o termo constante na equação característica 2 ( ) ( ) 0x a d x ad bc , no caso, ( )ad bc é o determinante da matriz Q, e o termo de

coeficiente ( )a d ou ( )a d se for negativo; informa-nos a soma dos elementos da diagonal

principal da matriz Q, que é chamado de traço da matriz. A partir, dos argumentos sobre

polinômio característico, podemos apresentar e demonstrar o teorema a seguir, e seu corolário

presentes no estudo de Koshy (2011, p. 365). Sendo:

Teorema 5 : As raízes características de nQ , são

n e n .

Demonstração: Utilizaremos a noção de polinômio característico para obtermos as raízes de nQ . Calculemos inicialmente:

2 2

1 0 0( ) det( )

0 1 0

( ) ( ). ( ) 0, : ( ) ( ) 0.

a b a b x a x bP x Q xI x

c d c d x c d x

x a d x ad bc Se P x temos x a d x ad bc




13

1 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1

n n

n n n n n n n n

n n

f x fdet( Q xI ) ( f x ).( f x ) f x ( f f )x ( f . f f ),

f f x

como1 1n n nf f L e

2

1 1. ( 1) .n

n n nf f f Concluímos: 2det( ) ( 1) ( ).n

nQ xI x L x i

Retomando de (i), para obtermos as raízes faremos:

0det( Q xI ) , e ao resolvermos a

equação2 1 0n

nx L x ( ) ,obtemos:4( 1)

2

n

n nL Lx

, e ao usarmos a identidade,

2.5)1(4 n

n

n fL , temos: 5

2

n n nL . f

e

5

2

n n nL . f( c.q.d ).

O resultado anterior

possui uma consequência imediata, que se expressa no seguinte, resultado:

Corolário: As raízes características de Q são e .

Na demonstração, desta assertiva, utilizaremos os argumentos de Koshy (2011), que adota

o valor 1n , na equação característica 0)1(2 n

n xLx , obtendo a equação 2 1 0x x

(equação característica das sequências recorrentes lineares homogêneas de segunda ordem),

já caracterizado em seções anteriores.

Nesse sentido, Hoggat (1969) e Koshy (2011) argumentam sobre o seguinte resultado, que

as raízes características da equação característica são raízes características da equação da

matriz Q. Resultado que ilustra o conhecido Teorema de Cayley-Hamilton, que afirma que cada

matriz satisfaz sua equação característica, teorema que admitiremos sem prova, encontrado

em Hoggat (1969, p. 67) e Koshy (2011, p. 366).

Fundamentado no Teorema de Cayley-Hamilton, Koshy (2011) enuncia o seguinte

resultado: que a matriz Q satisfaz a sua equação característica 2 0Q Q I . Fato que pode ser

facilmente verificado, como faremos a seguir:

Demonstração: Partiremos de 2 0Q Q I , que escreveremos como:

2Q Q I (i); sendo,

1 1

1 0Q

e

10

01I . Ao substituirmos em (i), os resultados anteriores, encontramos:

10

01

01

11

01

112

(ii). Desenvolvendo (ii), temos: se 2 1 1 1 1 0

1 1 1 0 0 1

então

1 0 1 0( . . ).

0 1 0 1c q d

Em Stakhov (2009) encontramos uma tabela que nos informa as

matrizes de Fibonacci, para n inteiro, expresso na Figura 4, a seguir.

Figura 4 - Matrizes de Fibonacci para os inteiros.

Fonte: Stakhov (2009, p. 323).

Assim, vemos a possibilidade de obtermos uma fórmula explícita para as matrizes de

Fibonacci:

nQ e

nQ, com

0 1 2 3 4 5n , , , , , ,etc. A fim de demonstrarmos, o que podemos




14

chamar de formula de Binet matricial. Iniciaremos apresentando o seguinte teorema, de Koshy

(2011, p. 348).

Teorema 6: Se Q denota a Q matriz. Demonstre que IfQfQ nn

n

1 , onde I denota a

matriz identidade 2x2.

A fim de comprovarmos tal assertiva, utilizaremos os argumentos de Keskin e Demirtürk

(2010), que enuncia e demostra o seguinte resultado:

Lema: Sendo X uma matriz quadrada, que satisfaz 2X X I . Então vale que

1

n

n nX f X f I , para todo n inteiro.

Demonstração: Para 0n o resultado é imediato. Vejamos que, por indução sobre n IN

. E observar que: 1 2

1 1 1( )n

n n n n n nX f X f I X f X f X f X I f X

1

1 1 1( ) n

n n n n n n nf f X f I f X f I X f X f I

(c.q.d).

Demonstrados nos resultados anteriores, obteremos a fórmula de Binet em termos

matriciais. Nesse sentido, tomaremos o modelo de resolução de uma equação de recorrência de

segunda ordem, proposto por Lima et al (1998) e discutido no Teorema 2. Assim, como

02 IQQ , é a equação característica da matriz Q, de raízes e , temos que todas as

soluções de IfQfQ nn

n

1 , são da forma 21 QQQ nnn .

Demonstração: Assumiremos inicialmente que 0,21 nQQQ nnn (I), fazendo em

(I), 0n e 1n , teremos:

1 2

1 2

Q Q I

Q Q Q

, resolvendo o sistema, temos: 1

Q IQ

e

2

Q IQ

. E ao substituirmos,

1Q e 2Q , em 1 2 0n n nQ Q Q ,n , encontramos:

0,

n

IQIQQ nnn

(ii), com

a bQ

c d

e 1 0

0 1I

. Resolvendo em

(ii), Q I e Q I , encontramos: 1 0

( )0 1

a b a bQ I iii

c c c d

e

1 0( ).

0 1

a b a bQ I iv

c d c d

E ao substituirmos os resultados (iii) e (iv)

anteriores, em (ii) temos: 0,

n

dc

ba

dc

baQ

nnn

(v).

Continuando o desenvolvimento de (v), encontramos:

0n n n n n n

n

n n n n n n

a( ) b( )Q ,n

c( ) d( )

(vi). E ao considerarmos em (vi), a

condição:1 1

1 0

a bQ

c d

. Encontraremos em (vi), o seguinte resultado:

( ) ( ), 0

( ) ( )

n n n n n n

n

n n n nQ n

(Fórmula de Binet matricial).

Seguindo o raciocínio, semelhante ao de Hoggat (1969, p. 28) que para estender os números

de Fibonacci com índices negativos, considera a fórmula de Binet na forma nf ,com 0n .

Isto é, realiza apenas a mudança da variável n por –n em Binet. Utilizando esse percurso




15

faremos:

( ) ( ), 0

( ) ( )

n n n n n n

n

n n n nQ n

. Obtendo assim, a Fórmula de

Binet matricial com índices negativos, que pode ser ainda representada por: 1 1 1

1 1 1

( 1) ( ) ( 1) ( )1, 0.

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )

n n n n n n n n

n

n n n n n nQ n

Na seção atual, apresentamos algumas relações entre a sequência de Fibonacci e as Matrizes,

estabelecendo algumas propriedades de generalização e extensão relativas a estes conceitos.

Nessa perspectiva, destacaremos a seguir, outras relações conceituais da sequência de

Fibonacci, agora com o triângulo de Pascal.

7 O modelo binomial de generalização da sequência de Fibonacci

Dando continuidade, em Huntley (1985), Koshy (2011), Hoggat (1969), Posamentier e

Lehmann (2007) encontramos uma discussão que relaciona os números de Fibonacci e o

triângulo de Pascal. Os autores destacam a seguinte propriedade: Se ao somarmos os elementos

das diagonais do triângulo de Pascal, obteremos como resultado os números de Fibonacci. Tal

propriedade é observada na Figura 5, a seguir:

Figura 5- Relação entre os números de Fibonacci e o triângulo de Pascal.

Fonte: Posamentier e Lehmann (2007, p. 91).

Notemos que a lista de números obtidos no canto superior direito da figura acima, são os

números de Fibonacci. Sendo que, tais resultados, foram obtidos pela soma dos elementos de

cada diagonal do triângulo de Pascal. Com isto, podemos listar os seguintes resultados:

.,131651

,8341,5131,321,211,1,1

7

654321

etcf

ffffff

Prosseguindo tomaremos alguns dos resultados anteriores, expressos em termos de numeros

binomiais, sendo organizados, da seguinte maneira:




16

1

2

3

4

5

6

01

0

11

0

2 12

0 0

3 13

0 0

4 3 25

0 1 2

5 4 38

0 1 2

f

f

f

f

f

f

........................................

Continuando, o raciocínio empregado, podemos conjecturar o seguinte resultado: 2

0

1 20

0 1 2

[ n/ ]

i

n n n n i n i..... ,n

i i

e 0

2

ni . Vale destacar, que em

Hoggat (1969, p. 50) encontramos, esse resultado, expresso da seguinte forma:

0,]2/[

0

1

ni

inf

n

i

n , e em Alfred (1965), na forma:

]2/)1[(

1 1

k

k

kk

knf . Os resultados

expressos nos informam os números de Fibonacci em termos binomiais, e que Koshy (2011, p.

155) atribui esta propriedade a E. Lucas em 1876.

Vale ressaltar, que demonstraremos o resultado, apresentado por Hoggat (1969, p. 50), que

também é encontrado em Koshy (2011, p. 155), expresso no seguinte teorema.

Teorema 7: 0,]2/[

0

1

ni

inf

n

i

n (números de Fibonacci binomiais).

Na demonstração do teorema descrito, utilizaremos o princípio da indução matemática.

Nesse sentido, calculamos inicialmente os valores para n=0 e n=1, obtendo os resultados de f1

e f2. Para n=0, 10

000

0

1

i i

if . Para n=1, 1

0

115,0

0

2

i i

if . Continuando,

admitiremos que a propriedade é válida para n=k, isto é,

]2/[

0

1

k

i

ki

ikf (i) (hipótese de

indução). Agora, devemos mostrar que a mesma é válida para n=k+1. Assim, faremos:

]2/)1[(

0

1)1(

)1(k

i

ki

ikf (ii). Dando prosseguimento, utilizaremos a relação de Stifel:

1

1

r

n

r

n

r

n. Ademais, antes de aplicarmos Stifel na parte binomial, reescrevemos

esta como, ( 1) ( ) 1k i k i

i i

, e por Stifel, obtemos:

( ) 1.

1

k i k i k i

i i i

Aplicando o resultado em (ii), temos:

]2/)1[(

0

]2/)1[(

0

]2/)1[(

0

1)1(1

1)( k

i

k

i

k

i

ki

ik

i

ik

i

ikf




17

Analisando agora

]2/)1[(

0

k

i i

ik(iii), no resultado anterior, notemos que ao aplicarmos as

condições de existência de um número binomial, em

ikieNieNikcomi

ik

0)(, . Podemos estabelecer as seguintes

condições:2

20k

ikiikiiki . Logo,2

1

20

kki . Assim,

determinamos a hipótese de indução, caracterizada por:[( 1)/2] [ /2]

( 1) 1 1

0 0

k k

k k

i i

k i k if f

i i

.

Continuando, analisaremos

]2/)1[(

0 1

k

i i

ik (iv). Faremos inicialmente, a seguinte mudança

de variável pi 1 , e como 2

10

ki , encontramos

10 1 1 1

2

ki

então

11 1

2

ki

, e como pi 1 , temos

2

10

kp , com 0.i Concluindo obtemos:

]2/)1[(

0 1

k

i i

ik, como 1)1(

]2/)1[(

0

]2/)1[(

0

)1(

1

k

k

p

k

i

fp

pk

i

ik. Da análise dos resultados das

manipulações algébricas em (ii), (iii) e (iv), obtemos o seguinte resultado

1)1()1(1)1( kkk fff , ou seja, 1,12 kcomfff kkk (Lei de recorrência da sequência

de Fibonacci).

Finalizando, essa discussão sobre Fibonacci e os números binomiais, no triângulo de pascal,

destacaremos uma propriedade de Koshy (2011, p. 158) que nos permitirá a obtenção de uma

fórmula de extensão dos números de Fibonacci em termos binomiais a índices negativos. Nesse

sentido, apresentamos o seguinte resultado: i

in

i

n fi

nf )1.()1(

0

.

Para demonstrarmos o resultado anterior, utilizaremos o raciocínio empregado em Koshy

(2011, p. 158) que parte do lado direito da igualdade, obtendo o lado esquerdo. Nesse sentido,

faremos:

in

i

in

i

ii

n

i

i

in

i i

n

i

n

i

nf

i

n)()(

1)1(.)1(

0000

(I). Agora, ao rescrevermos

de (I), os somatórios 0

( ) (1 )n

i n

i

n

i

e

0

( ) (1 )n

i n

i

n

i

. E, ao substituirmos seus

resultados em (I), temos:

0 0 0

1 (1 ) (1 )( 1) . ( ) ( )

( )( . . )

n n n n n nn n ni i i

i

i i i

n n

n

n n nf

i i i

f c q d

Continuando, em seções anteriores, destacamos o seguinte resultado1( 1)n

n nf f

que nos

permite a obtenção dos números de Fibonacci com índices negativos. Notemos, que ao

combinarmos essa relação, com o resultado demonstrado, anteriormente, obtemos:




18

1( 1)n

n nf f

(I) e i

in

i

n fi

nf )1.()1(

0

(II), e ao substituirmos (II) em (I), encontramos

a seguinte relação: i

inn

i

n fi

nf

)1.(

0

, que nos informa os números de Fibonacci com

índices negativos em termos binomiais.

Portanto, nesta seção trouxemos a discussão de algumas propriedades de Fibonacci,

discutidas a partir, de sua relação com o triângulo de Pascal, estendida também, aos números

binomiais. Dando continuidade, apresentaremos outra relação conceitual dos números de

Fibonacci, agora com a trigonometria.

8 A fórmula de Binet trigonométrica

Huntley (1985, p. 49) apresenta uma relação entre a função ( ) e a trigonometria,

argumentando que observarmos esta relação ao solucionarmos a seguinte equação:

)3cos()2( sen . E como, o seno de um ângulo é igual ao seu complemento, teríamos:

2 3 , .2 10

com

Huntley (1985) sugere que a equação )3cos()2( sen , pode ser

reduzida a 24 2 1 0sen ( ) sen( ) . Grimaldi (2012, p. 65) resolve a equação anterior,

proposta por Huntley (1985), obtendo a fórmula trigonométrica de Binet, argumentos que

apresentaremos a seguir:

A fim de demonstrarmos tal modelo de Binet, tomaremos inicialmente algumas identidades

trigonométricas de referência, sendo estas:

2

3

2 22 2 13 4 3

sen( ) sen( )cos( ) ( i )cos( ) cos ( ) ( ii )cos( ) cos ( ) cos( ) ( iii )

Dando seguimento, já sabemos que: 2 32

,

10

, e que devemos resolver a

equação 2 3sen( ) cos( ) . Nesse sentido, ao utilizarmos as identidades (i) e (iii).

Encontramos 32 3 2 4 3sen( ) cos( ) sen( )cos( ) cos ( ) cos( ) . E ao

dividirmos, o resultado por 0cos( ) , teremos: 2 2 22 4 3 2 4 1 3 4 1sen( ) cos ( ) sen( ) ( sen ( )) sen ( ) . Logo, obtemos

a equação24 2 1 0sen ( ) sen( ) (iv), proposta por Huntley (1985). Ao resolvermos a

equação (iv), encontramos as seguintes soluções, 1 5

4sen( )

, como

01810

,

temos: 0 1 5

18 04

sen( ) sen( )

. Podemos, reescrever o resultado anterior, da

seguinte maneira, 1 5 1 1 5 1

4 2 2 2sen( )

, como 1. , obtemos:

1 1

2 2sen( )

(iv). Dando continuidade, como 5 2

2 5

, e ao utilizarmos




19

25

, na identidade (ii), obtemos:

2 22 1 2 1 15

cos( ) cos ( ) ( sen ( ))

2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 2 1 11 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( )( )

Do resultado anterior, obtemos: 25 2 5

cos( ) cos( )

. Utilizando a identidade

33 4 3cos( ) cos ( ) cos( ) ; e fazendo, 33

4 35 5 5

cos( ) cos ( ) cos( )

, temos:

2 22 233 33 1 3 3

4 35 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )cos( ) ( ) ( )

Assim, temos: 25

cos( )

e 3

25

cos( )

. Ao substituirmos os resultados, em Binet,

obteremos a fórmula de Binet trigonométrica, que segundo Grimaldi (2012) esta fórmula para

nf , foi estabelecida por W. Hope-Jones em 1921.

32 2

2 35 5 05 55 5 5

n nn n n n n

n n

n

( cos( )) ( cos( ))( )

f cos ( ) cos ( ) ,n

Dando continuidade, a partir da discussão realizada evidenciamos algumas relações

conceituais que podem ser estabelecidos através da generalização de alguns modelos de

Fibonacci relacionados a outros conceitos matemáticos. Resultados listados na tabela abaixo.

Tabela 1- Modelos relativos à generalização da sequência de Fibonacci

Conceito matemático Modelo matemático

1-Sequência recorrente de

Fibonacci. 2 1 , 0n n nf f f n

2-Fórmula de Binet. 1 1 5 1 1 5

0 1 2 32 25 5

n n

Fn ,n , , , ,...

3-Fórmula de extensão de

Binet aos inteiros.

11 n

n nf ( ) . f

4-Fórmula de Binet para a

sequência de Lucas. 1 2 3n n

nL ,n , , ,.....

5-Fórmula de extensão dos

números de Lucas aos

inteiros.

1 n

n nL ( ) .L

6-Fórmula de Binet

Matricial. 0n n n n n n

n

n n n n

( ) ( )Q ,n

( ) ( )

7-Fórmula de Binet

matricial com índices

negativos.

1 1 1

1 1 1

1 110

1 1

n n n n n n n n

n

n n n n n n

( ) ( ) ( ) ( )Q ,n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Fonte: Elaborado pelo autor.




20

Tabela 1- Modelos relativos à generalização da sequência de Fibonacci (continuação)

8-Números de Fibonacci em

termos binomiais.

2

1

0

0[ n/ ]

n

i

n if ,n

i

9-Fórmula de extensão em

termos binomiais. 0

1n

n i

n i

i

nf .( ) f

i

10-Fórmula de Binet

trigonométrica. 2 3

05 55

n n nn n

n

( )f cos ( ) cos ( ) ,n

Fonte: Elaborado pelo autor.

Portanto, discutimos até agora, a fundamentação dos conceitos e relações do processo de

generalização da sequência de Fibonacci, com destaque, para a fórmula de Binet, como modelo

de generalização e evolução epistemológica do conceito.

9 Conclusão

Vimos que a partir da resolução do problema dos coelhos e obtenção da sequência de

Fibonacci podemos estabelecer alguns de seus modelos implícitos e explícitos, com destaque,

para a fórmula de Binet. Além disso, mostramos a possiblidade de extensão desses modelos a

outros campos numéricos, no caso, os inteiros; bem como a relação da sequência, com outros

conceitos matemáticos, como os modelos recorrentes e generalizados de Lucas, Matricial e

Binomial.

Nesse sentido, apresentamos uma abordagem de estudo, que suscita uma discussão, que vai

além do contexto histórico, do problema dos coelhos imortais, que nos permitiu buscarmos

elementos matemáticos relativos à sequência de Fibonacci, e de estabelecermos um percurso

do processo de generalização do modelo de Fibonacci, com destaque para as formas: recorrente,

de Binet, Matricial, Binomial e trigonométrico, numa discussão, sobre sua extensão e evolução

conceitual, semelhante, a (ALVES; BORGES NETO, 2010, 2011) e (ALVES, 2013, 2015a,

2015b, 2016a, 2016b).

Desse modo, esperamos que a abordagem dada à sequência de Fibonacci destacando seus

modelos de generalização e extensões a outros conceitos matemáticos. Seja um modelo ao

estudo de outros tópicos deixados pela história da Matemática. No sentido, de enfatizar os

aspectos matemáticos relacionados a tais fatos. Permitindo também a organização de situações

de ensino, com tais resultados, perspectiva de estudo e ensino defendida por (SANTOS;

ALVES, 2016).

10 Referências

ALFRED, B. U. An introduction to Fibonacci discovery. Santa Clara: The Fibonacci

Association, 1965. Disponível em:

< http://www.fq.math.ca/Books/Complete/discovery.pdf>. Acesso em: 25 set. 2015.

ALVES, F. R. V. Descobrindo definições matemáticas no contexto de investigação histórica:

o caso da sequência generalizada de Fibonacci. Boletim GEPEM, v. 68, p. 112-117, 2016a.

Disponível em:

<http://www.ufrrj.br/SEER/index.php?journal=gepem&page=article&op=view&path%5B%5

D=2225>. Acesso em: 10 ago. 2016.




21

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http://www.fq.math.ca/Scanned/10-4/zeckendorf.pdf

ISSN 2316-9664

Volume 9, jul. 2017

Jorge Corrêa de Araújo

Prof. Associado do

Departamento de Matemática.

FFP-UERJ

[email protected]

Rosa García Márquez

Profa. Associada do

Departamento de Matemática.

FFP-UERJ

[email protected]

Equação de Riccati na descrição do movimento

de um veículo por meio de uma propulsão

hidráulica

Riccati's equation in the description of the movement of a

vehicle by means of a hydraulic propulsion

Resumo

Nesse artigo é analisado o movimento retilíneo de um veículo

adquirido pela ação de um jato de água propelido por uma

catapulta hidráulica em um tempo finito onde o parâmetro é a

velocidade do jato. O jato de água é considerado continuo e

constante até que o veículo atinja a velocidade máxima, e

imediatamente após o móvel ter atingido essa velocidade. A

equação da quantidade de movimento sobre o móvel, visto como

um volume de controle reduz-se a uma equação diferencial de

Riccati, cuja solução analítica é obtida. Cessando a propulsão

hidráulica imediatamente após o veículo atingir a velocidade

terminal, o movimento subsequente até a parada é descrito por

uma equação diferencial de Bernoulli. Simulações numéricas são

realizadas com a finalidade de mostrar o perfil desses dois

movimentos.

Palavras-chave: Catapulta hidráulica. Quantidade de

movimento. Equação de Bernoulli.

Abstract

In this paper is analyzed the rectilinear movement of a van

obtained by the action of a jet of water propelled by a hydraulic

catapult in a finite time where the parameter is the velocity of the

jet. The water jet is considered continuous and constant until the

vehicle reaches full speed, and immediately after the vehicle has

reached the maximum speed, the water jet stops. The equation of

the amount of motion on the van, as a control volume is reduced

to a differential equation of Riccati, whose analytical solution is

obtained. Upon cessation of hydraulic propulsion immediately

after the vehicle reaches terminal velocity, the subsequent

movement until the stopped is now described by Bernoulli's

differential equation. Numerical simulations are performed with

the purpose of to shown the profile of these two movements.

Keywords: Hydraulic catapult. Amount of movement.

Bernoulli´s Equation.

mailto:[email protected]

ARAÚJO, J. C.; MÁRQUEZ, R. G. Equação de Riccati na descrição do movimento de um veículo por meio de uma propulsão hidráulica. C. Q. D. – Revista

Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 9, p. 23-32, jul. 2017.

DOI: 10.21167/cqdvol9201723169664jcargm2332 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

24

1 Introdução

Em muitos problemas de engenharia, a ênfase é dada em forças que atuam sobre um sistema

ou um volume de controle (VC), como na mecânica de fluidos. Na mecânica de partícula o

objetivo é acompanhar elementos de massa identificáveis onde pode ser aplicada, por exemplo,

a segunda lei de Newton (FOX, 2011, p. 9). Esse tipo de abordagem é conhecido como método

lagrangiano. Uma das desvantagens desse método é dar origem a equações diferenciais parciais

de difícil tratamento. Desse modo, o uso de volume de controle, é utilizado quando não estamos

interessados no comportamento particular do campo de velocidade de um escoamento, mas sim

nos efeitos desse campo sobre um ou mais dispositivos, como o volume de controle. Tal método

de abordagem é conhecido como descrição eureliana. Em geral, os campos de escoamento são

tridimensionais, mas com frequência uma abordagem utilizando um menor número de

dimensões é às vezes assumida visando à simplificação do problema em análise.

Segundo Richard Meyer (2007, p. 15), rigorosamente os movimentos bidimensionais de

um fluido não são realistas e representam apenas uma possibilidade de retratar a realidade. Por

outro lado, Fox, Mc Donald e Prictchard (2011, p. 25) afirmam que muitos problemas

encontrados na engenharia, mesmo uma análise unidimensional é adequada para fornecer

soluções aproximadas, com a precisão requerida.

Entre as inúmeras aplicações da mecânica dos fluídos na engenharia estão os motores

baseados em sistemas de propulsão com hidrojato e que tem sido utilizado em testes com

lanchas pequenas obtendo bons resultados técnicos e econômicos.

Neste trabalho usaremos a abordagem eureliana para a análise bidimensional no plano xy

de um veículo movido com aceleração retilínea, na direção do eixo x, partindo do repouso, e

sendo propelido por um jato de água contínuo oriundo de uma catapulta hidráulica. O

movimento é descrito por um modelo matemático constituído por duas equações diferenciais

não lineares independentes, a saber, uma equação de Riccati (ARAUJO, 2016, p. 95) e outra de

Bernoulli (BOYCE, 1999, p. 40).

2 Materiais e métodos

Um veículo com massa M, em repouso é propelido por uma catapulta hidráulica, de onde

sai um jato de água com velocidade V. O veículo tem uma superfície côncava na sua traseira

por onde a água entra atingindo essa superfície de seção reta de área constante A e sendo

defletido de 180o saindo na direção horizontal conforme mostra a Fig. 1.




25

Figura 1: Diagrama do sistema catapulta hidráulica e do veículo em movimento (volume de controle VC no

retângulo pontilhado)

É admitida uma força de arrasto aerodinâmico, FD, proporcional ao quadrado da velocidade

do carrinho dada por

2kUFD (1)

onde )/.( 22 msNk e )/()( smtUU é a velocidade do veículo. A massa do veículo será

designada por )(kgM e a velocidade do jato por )/( smV . A área do bocal da catapulta é

)( 2mA igual às áreas das seções retas de entrada e de saída da superfície do carrinho. Uma

força de resistência, Fr , ao movimento proporcional a velocidade do veículo será também

considerada e dada por

UkF rr (2)

onde )/.( msNkr . Vamos admitir também que o escoamento é uniforme nas seções de entrada

e saída do escoamento no carrinho e a densidade da água sendo constante e denotada por

)/( 3mkg .

Na Fig. (1) o sistema XYZ é inercial, enquanto o sistema xyz fixado no volume de controle

(VC) está em aceleração retilínea. A velocidade V (do jato) e U (do veículo) são relativas ao

sistema estacionário, enquanto as velocidades V1 e V2 (da água no veículo de entrada e saída)

são relativas ao sistema xyz em movimento. Tais velocidades podem ser relacionadas pela

equação do movimento relativo

UVVVV |||| 212,1

(3)

A equação que trata da descrição da quantidade de movimento para um VC (volume de

controle) na direção x é dada por Eq.(4) (FOX, 2011, p. 132)

AdVudVut

dVaFF xyz

SCxxyz

VC

xyz

VCxrfxBxS

(4)

onde SC corresponde à superfície de controle, isto é, o local do carrinho onde se dá o

escoamento. xSF é a resultante das forças de superfície na direção x que atuam no VC, enquanto

xBF é a componente na direção x da força gravitacional que age no mesmo. O termo xrfa é a




26

componente da aceleração retilínea do referencial xyz (não inercial) em relação ao referencial

estacionário XYZ.

O primeiro termo do lado direito da Eq. (4) é a taxa de variação da quantidade de

movimento dentro do VC (integral de volume) enquanto o segundo termo (integral de área) é a

taxa liquida da quantidade de movimento que está saindo da superfície de controle (SC) na

direção normal a mesma.

Como as únicas forças de superfície atuando sobre o VC são a força de arrastro FD e a força

de resistência Fr, das Eq. (1) e (2) tem-se

rDSx FFF (5)

A componente gravitacional é nula na direção x, portanto

0BxF (6)

Aqui será assumido que a massa de água em contato com o veículo é desprezível. Como a

aceleração xrfa é relativa ao referencial XYZ, e a integração da expressão do lado esquerdo da

eq (4) é sobre o VC, então esse termo pode ser retirado da integral, e desse modo, tem-se

MadVadVaxrf

VCxrf

VCxrf (7)

A quantidade de movimento da água na direção x dentro do volume de controle, e medida

em relação ao mesmo, não deve variar significativamente com o tempo, pois a velocidade de

entrada e saída do fluído é constate em cada ponto desses bocais. Daí, em uma hipótese

simplificadora podemos considerar

0

dVu

tSC

xyz (8)

Das equações (4, 6, 7 e 8) tem-se

AdVuFFMa xyz

SC

xyzrDVCxrf

(9)

Da Eq. (3) e do fato das velocidades serem uniformes nas seções tem-se

UVVVuxyz 21 (10)

Os vetores 1V

e 1Ad

são paralelos com sentidos opostos, enquanto os vetores 2V

e 2Ad

são

paralelos com o mesmo sentido. Como é constante, a integral do lado direito da Eq. (10)

reduz-se a

)()( 2211 AdVVAdVVAdVuSCSC

xyz

SC

xyz

(11)

Os parêntesis dos integrandos do lado direito da Eq. (11) são o produto interno de vetores

multiplicados pelo escalar densidade, daí

AVdAVdAVAdVuAA

xyz

SC

xyz

2

2,1

2

2

2

1 2

21

(12)

Das equações (10) e (12) tem-se




27

AUVAdVu xyz

SC

xyz

2)(2

(13)

Combinando as equações (9) e (12) obtém-se

AUVUkkUMa rxrf22 )(2 (14)

Desde que xrfa é a componente horizontal do VC em relação a XYZ tem-se que

dt

dUa

xrf (15)

Das equações (15) e (16) obtém-se a equação diferencial não linear

M

UkkUAUV

dt

dU r

22)(2 (16)

A Eq. (16) pode ser reescrita na forma

2

2 242U

M

kAU

M

kVA

M

AV

dt

dU r

(17)

A equação (17) é uma equação diferencial ordinária de Riccati (ARAUJO, 2016, p. 95). Será

mostrado que a curva descrita por este movimento é assintótica à solução particular pU da Eq.

(17). Considerando a condição inicial do repouso 0)0( U e que o jato de água cessa, quando

o veículo atinge a velocidade máxima, isto é, imediatamente após o tempo mt , então a descrição

desse primeiro movimento do carrinho, isto é, partindo do repouso até atingir a velocidade

terminal pode ser tratado como um problema de valor inicial dado por

0)0(

,0 para ,2

111

U

ttUaUbcdt

dUm (18)

onde

M

kAa

21 ,

M

kAVb r )4(

1

e

M

AVc

2

1

2 (19)

Para determinar a solução da Eq. (18)1 é necessário conhecer uma solução particular desta

equação, a qual será denotada por pU . Mediante a mudança de variável )()()( tWtUtU p a

Eq. (18)1 se transforma em uma equação de Bernoulli, de onde pode ser obtida a função de

)(tW , obtendo assim a solução analítica do PVI dado pela Eq. (18).

Uma solução particular constante pU da equação de Riccati pode ser obtida ao substituir

U por pU na Eq. (18)1 e igualando-a a zero, isto é, 02

111 pp UaUbc , tem-se

1

11

2

11

2

4

a

cabbU p

(20)

Para que a equação (20) tenha uma velocidade positiva afim de não originar contradição

física para o problema é preciso que 01 a , isto é




28

kA 2 (21)

Daí a solução particular pU é dada por

)2(2

)(84 2

kA

kkkVAVkAVU

rrr

p

(22)

Fazendo a substituição

WUU p (23)

na equação (18)1 , obtém-se a equação de Bernoulli, dada por

2

111 )2( WaWbUadt

dWp (24)

Fazendo

1WZ (25)

A Eq. (24) se transforma em uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma

111 )2( aZbUadt

dZp (26)

e desse modo, a Eq. (26) pode ser resolvida usando o método do fator integrante (ARAUJO,

2016, p.81), obtendo

tbUa

tbUa

p

p

e

dteaCtZ

)2(

)2(

1

11

11

)(

(27)

Integrando e simplificando a Eq. (27) temos que

11

1)2(

2)( 11

bUa

aCetZ

p

tbUa p

(28)

onde C é uma constante arbitrária. Combinando as equações (23, 25 e 28) a solução geral da

Eq. (18)1 é da forma

)(

1)()(

tZtUtU p (29)

Das equações (25), (28) e (29) a solução geral da velocidade do veículo )(tU pode ser

posta na forma explicita, e é da forma

PtbUa

p

pU

aebUaC

bUatU

p

1

)2(

11

11

11)2(

2)( (30)

Ao considerar a condição inicial do movimento do veículo partindo do repouso 0)0( U

na Eq. (30) temos




29

P

p

pU

abUaC

bUaU

111

11

)2(

2)0( (31)

E igualando a zero obtém-se o valor da constante C, dada por

pp

p

UbUa

bUaC

)2(

)(

11

11

(32)

Substituindo o valor de C obtido pela Eq. (32) na Eq. (30), temos a solução do PVI (18)

p

tbUa

p

pp

PUaebUa

bUaUUtU

p

1

)2(

11

11

11)(

)2()(

(33)

Onde os coeficientes de U(t) são dados na Eq.(19). Como 01 b e foi suposto que 01 a

(Eq. (19-21), então

p

tbUa

p

pp

Ptt UaebUa

bUaUUtU

p

1

)2(

11

11

11)(

)2(lim)(lim pU (34)

Portanto, a velocidade máxima atingida é dada por PU conforme a Eq. (22).

Denotemos por mt , o tempo em que o jato de água cessa ao atingir a velocidade máxima,

e por mt o tempo real para que o veículo atinja 99% da velocidade máxima, isto é

pm UtU 99.0)( . O valor de mt pode ser determinado da Eq. (33), sendo dado explicitamente

por

11

11

11

2

100199ln

bUa

bUa

bUa

tp

p

p

m

(35)

Uma vez obtido o tempo aproximado mt , podemos considerar o segundo problema de valor

inicial fazendo V= 0 na Eq. (17) para descrever o segundo movimento do veículo, isto é, do

ponto ),( pm Ut até o ponto ( ft ,0). Resulta, portanto a seguinte equação

pm

m

UtU

ttUaUbdt

dU

99.0)(

,2

12 (36)

onde

M

kAa

21 ,

M

kb r2 (37)

A Eq. (36) é uma equação de Bernoulli, cuja solução para [,] mtt é dada por

12

2

2

)(aeCb

btU

tb

(38)




30

Considerando a condição inicial pm UtU 99.0)( temos a solução

p

ttb

p

p

UaebUa

UbtU

m

1

)(

21

2

99)10099(

99)(

2

(39)

Observa-se que

099)10099(

lim)(lim1

)(

21

2

2

p

ttb

p

p

tt UaebUa

UbtU

m

Não há como obter o tempo em que a velocidade se anule, de forma analítica ou numérica

a partir da Eq (39), pois trata-se de uma equação transcendental. Nesse sentido, usaremos o

tempo ft para que 1.0)( ftU . Assim, da Eq. (39) o tempo ft é dado por

2

2

21

21

10099

)10(99ln

b

tbbUa

baU

t

m

p

p

f

(40)

Portanto, a velocidade do veículo nos dois períodos do movimento é dada por uma função

definida por duas sentenças, a saber

fm

p

ttb

p

p

m

p

tbUa

p

pp

P

tttUaebUa

Ub

ttUaebUa

bUaUU

tU

m

p

;99)10099(

99

0;)(

)2(

)(

1

)(

21

2

1

)2(

11

11

2

11

(41)

Obtida a velocidade, U(t), é possível determinar o deslocamento do veículo na direção do

eixo x.

A equação que rege a distância percorrida (aproximada) pelo veículo desde o repouso até

parar pode ser dada através da integral em t da Eq. (41)

f

m

m

m

p

t

t p

ttb

p

p

t

p

tbUa

p

pp

Pm

dtUaebUa

Ub

dtUaebUa

bUaUUt

tX

1

)(

21

2

0 1

)2(

11

11

2

11

)(

)(

)2(

)( (42)

3. Resultados e discussões

Simulações numéricas foram realizadas com a finalidade de mostrar o comportamento dos

parâmetros de velocidade máxima do móvel, pU (m/s), o tempo que o móvel gasta para atingir

99% da velocidade máxima partindo do repouso, mt (s), o tempo total gasto no percurso, ft (s), a

distância percorrida pelo móvel do repouso até atingir a velocidade máxima, 1X (m), a distância




31

percorrida pelo móvel do ponto ( 1X ) até parar, e finalmente, a distância total percorrida pelo

móvel desde o repouso até parar , X (m).

Os parâmetros 80M kg, 999 kg/m3, 35V m/s e 001.0A m2 são fixados,

enquanto os parâmetros da força de arrasto e da resistência ao movimento foram variados. A

Tabela 1 mostra os resultados das simulações realizadas com o uso do sistema algébrico

computacional Maple, e nota-se claramente que o efeito do arrasto aerodinâmico nas

simulações é o principal responsável pela diminuição da velocidade do veículo.

Tabela 1: Variação dos parâmetros do movimento rk (N.s/m) e k (N.s2/m2)

S

Simu-

lações

k rk

pU (m/s)

mt (s)

ft (s)

1X (m)

2X (m)

X (m)*

1ª 4 4 14.2053 1.8956 60.1101 20.8797 81.3355 102.2152

2ª 4 8 13.9270 1.8666 36.4475 20.1665 58.6721 78.8386

3ª 8 4 11.4979 1.3860 40.9799 12.2258 36.7211 48.9469

4ª 8 8 11.3369 1.3740 26.8745 11.9568 28.9304 40.8872

*X=X1+X2

A Fig.2 revela o perfil dos movimentos das simulações que foram efetuadas utilizando os

dados dos coeficientes k e kr. É possível observar que as curvas com k=8 e kr = 4 e kr = 8 não

tem alterações relevantes no perfil, o que parece indicar, que o parâmetro de resistência kr não

contribui significativamente para o decréscimo do movimento.

Figura 2: Perfil da Velocidade do veículo em relação ao tempo com diferentes parâmetros k e kr




32

4 Conclusões

O problema proposto que, acreditamos ser de interesse em engenharia, em especial, para

pequenos veículos movidos por sistemas de propulsão a jato de água, pode ser representado

com boa aproximação por uma equação diferencial de Riccati (na primeira parte do movimento)

e como uma equação de Bernoulli (na segunda parte do movimento), e desse modo, o

movimento do móvel pode ser estudado em detalhes. A análise das simulações mostra que a

força de arrasto parece contribui de forma predominante para a diminuição da velocidade do

veículo.

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LTC, 2011.

RICHARD, E. M. Introduction to mathematical fluid dynamics. Mineola: Dover

Publications, Inc., 2007.

STREETER, V. L.; WYLIE, E. B. Mecânica dos fluidos. Traduzido por Milton Gonçalves

Sanches. São Paulo: Editora McGraw-Hill, 1982.

ISSN 2316-9664Volume 9, jul. 2017

Ricardo da Silva SantosInstituto Federal do EspıritoSanto - Campus [email protected]

Ole Peter SmithUniversidade Federal de [email protected]

Equacoes diferenciais linearescom

coeficientes constantes e derivacao da equacaocaracterıstica

Linear Autonomous equations and Derivation of PolynomialCharacteristics

ResumoNeste artigo, estudaremos as Equacoes Diferenciais OrdinariasLineares com Coeficientes Constantes (EDL-CC) atraves das pro-priedades complexas de um Operador Linear apropriado. Inicial-mente serao apresentados os conceitos basicos de Algebra Linearpara Equacoes Diferenciais. Na sequencia, a Exponencial Com-plexa e explorada com o objetivo de aplicarmos o “Metodo Ope-rador” no estudo de EDL-CC homogeneas e nao-homogeneas.Palavras-chave: Equacao caracterıstica, Equacoes DiferenciaisOrdinarias, Derivacao.

AbstractIn this paper, we will study the Linear Ordinary Differential Equa-tions with Constant Coefficients through Of the complex pro-perties of an appropriate Linear Operator. The basic conceptsof Linear Algebra for Differential Equations. Next, the Com-plex Exponential is explored with the objective of applying the “Operator Method ” in the Linear Ordinary Differential Equationswith Constant Coefficients study Homogeneous and nonhomoge-neous.Keywords: Characteristic equation, ordinary differential equati-ons, Derivation.

1 IntroducaoO topico Equacoes Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes e vastamente abordado

na literatura matematica. Sejam an,an−1, . . . ,a0 ∈ R e x(t) uma funcao n-vezes diferenciavel emum intervalo I, e considere q(t) uma funcao definida em I uma Equacao Diferencial OrdinariaLinear (EDL) e uma equacao da forma.

andnxdtn +an−1

dn−1xdtn−1 + · · ·+a1

dxdt

+a0x = q(t), t ∈ I. (1)

Seja Cn(I) o conjunto das funcoes derivadas de ordem n no intervalo I. Definimos o operadorL : Cn (I)→C0 (I) por:

Lx =(

andn

dtn +an−1dn−1

dtn−1 + · · ·+a1ddt

+a0

)x. (2)

Notamos que o operador L e uma transformacao linear, ou seja:

L(x+ y) = Lx+ Ly,L(αx) = αLx.

(3)

Na busca de solucoes da equacao (27), consideramos a Equacao Diferencial Homogenea:

Lx = 0, t ∈ R. (4)

O conjunto das solucoes da equacoes homogenea, S0, forma um subespaco vetorial. Sejams1,s2, ...,sn os elementos de S0, entao o conjunto S1 = si + xq(t) | 1≤ i≤ n formam o conjuntosolucao completa da equacao onde xq(t) e uma solucao particular da equacao (27).

Em consequencia a solucao completa da equacao

Lx = γ1q1(t)+ γ2q2(t) (5)

pode ser encontrado por superposicao de solucoes particulares:

2 Polinomio caracterısticoPela propriedade basica da funcao exponencial, obtemos:

dneλ t

dtn = λneλ t , (6)

Teorema 1. Por todo λ ∈ C vale a equacao caraterıstica:

Leλ t = P(λ )eλ t . (7)

Demonstracao. De 6 temos que:

Leλ t =(anλ n +an−1λ n−1 + · · ·+a1λ +a0

)eλ t . (8)

SANTOS, R. S.; SMITH, O. P. Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e derivação da equação característica. C.Q.D.– Revista Eletrônica

Paulista de Matemática, Bauru, v. 9, p. 33-41, jul. 2017.

DOI: 10.21167/cqdvol9201723169664rssops3341 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

34

Definamos portanto, P(λ ) o Polinomio Caracterıstico onde:

P(λ ) = anλn +an−1λ

n−1 + · · ·+a1λ +a0. (9)

Em consequencia:

Teorema 2. Para todo λ ∈ C temos que:

Lt peλ t =p

∑q=0

(pq

)P(q) (λ ) t p−qeλ t

Demonstracao. Derivando L(t pe(λ t)) em respeito de λ e utilizando que L nao depende de λ :

L(t pe(λ t)) = L(

dp

dλ p e(λ t))=

dp

dλ p L(eλ t) =

dp

dλ p P(λ )eλ t =p

∑q=0

(pq

)P(q) (λ ) t p−qe(λ t).

Corolario 1. Se λ ∈ C e uma raız ρ-esima do polinomio caracterıstico, as ρ funcoes ϕpλ(t) =

t peλ t , p < ρ todas sao solucoes da equacao homogenea (4).

Demonstracao. Por λ ser raız ρ-esima, temos: P(λ ) = P′ (λ ) = · · · = P(ρ−1) (λ ) = 0. Entao,por p < ρ:

Lt peλ t =p

∑k=0

(pk

)P(k) (λ ) t p−keλ t = 0.

Corolario 2. Se λ ∈ C e uma raız ρ-esima do polinomio caracterıstico, temos que:

Ltρeλ t = P(ρ) (λ )eλ t . (10)

Demonstracao. Segue diretamente da Teorema 2.

Corolario 3. Se λ ∈ C e uma raız ρ-esima do polinomio caracterıstico, vale por q > 0:

Ltρ+qeλ t =ρ+q

∑k=ρ

(ρ +q

k

)P(k) (λ ) tρ+q−keλ t . (11)

Demonstracao. Segue diretamente da Teorema 2.




35

3 O metodo complexoOs resultados no Teorema 1 e 2 tambem tem validade no caso complexa, e ainda sabemos

que:

eλ t = eαt (cosβ t + isinβ t) , (12)

onde λ = α + iβ , ou seja, α = Re(λ ) e β = Im(λ ). Por uma equacao da forma:

L(eλ t) = eαt (a1 cosβ t +a2 sinβ t) . (13)

consideramos a equacao ’conjugada’:

L(eλ t) = eαt (a1 sinβ t−a2 cosβ t) . (14)

Portanto,

L(eλ t) = (a1− ia2)e(α+iβ )t . (15)

Encontramos uma solucao particular da equacao complexa, zp(t), usando o metodo estipu-lado nas seccoes anteriores, resolvendo simultaneamente a equacao original e a sua equacaoconjugada:

xp(t) = Re(zp(t)) yp(t) = Im(zp(t)) (16)

4 A equacao homogeneaSe λ e uma raız (possivelmente complexa) do polinomio caraterıstico com multiplicidade ρ ,

o conjunto:

Sρ

λ=(c0 + c1t + . . .+ cρ−1tρ−1)eλ t | (co, . . . ,cρ−1) ∈ Rρ

(17)

e contido no espaco solucional da equacao homogenea, S0. De fato:

S =k⋃

i=1

Sρi

λi. (18)

onde os λi, i = 1, . . . ,k sao os raızes do polinomio caraterıstico com respectivas multiplica-dades ρi, ∑

ki=1 ρi = n.

5 A equacao nao homogeneaConsideramos uma equacao, possivelmente complexa, da forma:

Lx = q(t)eλ t =r

∑k=0

qktkeλ t . (19)




36

Se λ e uma raız ρ-esima, supondo uma solucao particular da equacao (19) da forma:

ϕp(t) = tρr

∑l=0

Qlt leλ t =r

∑l=0

Qlt l+ρeλ t . (20)

Obtemos:

Lt l+ρeλ t =l+ρ

∑k=0

(l +ρ

k

)P(k)(λ )t l+ρ−keλ t =

l+ρ

∑k=ρ

(l +ρ

k

)P(k)(λ )t l+ρ−keλ t =

l

∑k=0

(l +ρ

k+ρ

)P(k+ρ)(λ )t l−keλ t =

l

∑k=0

(l +ρ

l− k+ρ

)P(l−k+ρ)(λ )tkeλ t .

Assim:

Lϕp(t) =r

∑l=0

Ql

l

∑k=0

(l +ρ

l− k+ρ

)P(l−k+ρ)(λ )tkeλ t =

r

∑k=0

r

∑l=k

Ql

(l +ρ

l− k+ρ

)P(l−k+ρ)(λ )tkeλ t =

r

∑k=0

tkr

∑l=k

Ql

(l +ρ

l− k+ρ

)P(l−k+ρ)(λ )eλ t .

Igualando esta equacao ao lado direito, q(t)eλ t , obtemos:

qk =r

∑l=k

Ql

(l +ρ

l− k+ρ

)P(l−k+ρ)(λ ). (21)

O que mostra, que ϕp(t) e de fato solucao de equacao (19) - e fornece uma equacao permitindoencontrar de forma recursiva (substituicoes retro-ativas) as incognitas, Ql . Observamos aindaque: P(i)(λ ) = 0 por i > n.

Por simplicidade introduzimos:

αk,l =

(l +ρ

l− k+ρ

)P(l−k+ρ)(λ ). (22)

Assim a equacao (21) se reduz a:

qk =r

∑l=k

αk,lQl. (23)

Substituindo i = r− k:

qr−i =r

∑l=r−i

αr−i,lQl =r

∑l=r−i−1

αr−i,lQl +αr−i,r−iQr−i.

Supondo que αr−k,r−k 6= 0,obtemos por Qr−k:




37

Qr−i =

qr−i−r

∑l=r−i−1

αr−i,lQl

αr−i,r−i. (24)

- valido por i = 0, . . . ,r.

6 ExemplosVamos utilizar o metodo apresentado neste trabalho, para resolver de forma pratica, algumas

equacoes diferenciais.

6.1 Exemplo 1Consideramos a equacao:

d3ydx3 −3

d2ydx2 +4y = ex.

Primeiro encontremos a solucao da equacao homogenea correspodente, temos que a equacaocaracteristica e:

P(λ ) = λ3−3λ

2 +4. (25)

Assim, P(λ ) = 0 =⇒ λ =−1 (raiz simples), ou λ = 2 (raiz dupla).Logo a solucao completa da EDO homogenea e:

y(x) = c1e−x + c2e2x + c3xe2x.

Procuremos uma solucao particular yp = Aex.Sabemos que:

Leλx = P(λ )eλx.

Entao, pela Linearidade do Diferencial:

LAex = ALex = AP(1)ex.

Mas P(1) = 2.Entao,

LAex = 2Aex.

Mas queremos que

LAex = ex.

Entao temos que:




38

2Aex = ex =⇒ A =12.

Portanto, uma solucao particular e

yp =12

ex.

Entao, pelo teorema da suposicao de solucoes a solucao completa do sistema nao homogeneoe:

y(x) = c1e−x + c2e2x + c3xe3x +12

ex.

6.2 Exemplo 2Tomemos a seguinte EDO:

d3ydx3 −3

d2ydx2 +4y = e−x.

como λ = −1 e solucao de multiplicidade 1 do Polinomio Caracterıstico, procuremos umasolucao particular da forma yp = Axeλx.

Mas temos que:

LAxeλx = ALxeλx.

Entao:

ALxeλx = A(P(λ )xeλx +P′(λ )eλx).

Tomando λ =−1, temos que P(λ ) = 0 e P′(λ ) = 3λ 2−6λ = 3(−1)2−6(−1) = 9.Daı:

ALxeλx = 9Ae−x.

Mas queremos que LAxeλx, seja igual a e−x, entao igualando temos:

9Ae−x = e−x =⇒ A =19.

Portanto uma solucao particular e:

yp =19

xe−x.

6.3 Exemplo 3Para finalizar, mostraremos um exemplo no qual a resolucao atraves do modelo atual de

resolucao seria trabalhoso, porem utilizando o metodo de derivacao do Equacao Caracterısticaos calculos sao drasticamente reduzidos.




39

Suponha que queremos encontrar a solucao geral da seguinte EDO:

d4ydx4 −4

d3ydx3 +14

d2ydx2 −20

dydx

+25y = ex cos2x. (26)

Sabemos que:

ex cos2x = Re(e(1+2i)x).

Ainda temos que λ = 1+2i e raiz dupla, entao tomemos:

yp = Ax2e(1+2i)x.

Mas sabemos a propriedade do diferencial, temos:

LAx2eλx = A(P′′(λ )+2xP′(λ )+Px2(λ ))eλx).

Mas como,

P′(1+2i) = P(1+2i) = 0

eP′′(1+2i) = 12(1+2i)2−24(1+2i)+28 =−32.

Logo,

LAx2eλx =−32Ae(1+2i)x.

Daı, igualando temos que:

−32Ae(1+2i)x = e(1+2i)x =⇒ A =− 132

.

Entao temos que a solucao da EDO complexa e

yp∗ =−x2e(1+2i)x

32=−x2ex(cos2x+ isin2x)

32.

Portanto, a solucao particular e:

yp =−x2ex cos2x

32.

7 ConclusaoNeste trabalho e apresentado um novo metodo para resolucao de equacoes diferenciais linea-

res com coeficientes constantes, ou de outra maneira, equacoes do tipo,

andnxdtn +an−1

dn−1xdtn−1 + · · ·+a1

dxdt

+a0x = q(t), t ∈ I. (27)

.




40

Para isso apresentamos resultados onde o principal e que para todo λ ∈ C temos que,

Lt peλ t =p

∑q=0

(pq

)P(q) (λ ) t p−qeλ t

Utilizando desse resultado e mostrado alguns exemplos de como pode ser resolvido equacoesutilizando esse novo metodo .

Referencias[1] ARNOLD, V. I. Ordinary differential equations. Cambridge: MIT Press, 1973.

[2] AVILA, G. Variaveis complexas e aplicacoes. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

[3] BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equacoes diferenciais elementares e problemas devalores de contorno. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

[4] EDWARDS, C. H.; PENNEY, D. E. Equacoes diferenciais elementares com problemasde contorno. Rio de Janeiro: Editora PHB, 2006.

[5] POOLE, D. Algebra linear. Sao Paulo: Editora Thompson, 2006.

[6] SANTOS, R. S. Equacoes diferenciais ordinarias lineares com coeficientes constantese derivacao da equacao caracterıstica. 2015. 49 f. Dissertacao (Mestrado Profissional emMatematica em Rede Nacional)- Instituto de Matematica e Estatıstica, Universidade Federalde Goias, Goiania, 2015.

[7] STEWART, J. Calculo. 5. ed. Sao Paulo: Editora Thomson, 2005.

[8] ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equacoes diferenciais. Sao Paulo: Editora Pearson, 2005. 2v.




41

ISSN 2316-9664

Volume 9, jul. 2017

Suemilton Nunes Gervázio

Universidade de São Paulo/USP

[email protected]

Materiais concretos e manipulativos:

uma alternativa para simplificar o processo de

ensino/aprendizagem da matemática e

incentivar à pesquisa

Concrete and manipulative materials: an alternative to simplify the

teaching/ learning of mathematics and encourage research

Resumo

O presente trabalho tem por objetivo fazer uma análise e discutir

brevemente a situação atual da educação brasileira em relação ao

processo de ensino e aprendizagem da matemática e apresenta

uma proposta para a redução do fracasso no âmbito educacional

da referida disciplina, que vem ocorrendo de forma preocupante

na maioria das escolas. A princípio, evidenciam-se as razões que

impulsionam o crescimento deste fracasso. Logo após, expõe-se

uma alternativa para a solução desse problema, que seria a

utilização dos materiais concretos e manipulativos em sala de

aula, como fator preponderante ao sucesso escolar, no ensino da

matemática, o que pode até certo ponto, promover à pesquisa.

Por fim, mostraremos os resultados de uma aplicação dessa

metodologia de ensino em uma escola pública de nível médio.

Palavras-chave: Ensino, Experimentos, Educação matemática.

Abstract

The present work aims to briefly discuss the current

situation of Brazilian education in mathematics and present and

presents a suggestion to reduce the failure in this discipline which

has been occurred in an uncontrollable way in most of our

schools. At first, it could be observed the reasons that cause the

increasing in this failure. After that, it will be explained an

alternative which intends to solve this problem, for instance the

use of concrete and manipulative materials in classroom as a

major factor to the academic success within mathematics, which

may, to some extent, promote research . Finally, we will show

the results of an application of this teaching methodology in a

mid-level public school.

Key words: Teaching, Experiments, Education mathematics.

____________________________________________________________________________________________________ GERVÁZIO, S. N. Materiais concretos e manipulativos: uma alternativa para simplificar o processo de ensino/aprendizagem da matemática e incentivar à pesquisa.


DOI: 10.21167/cqdvol9201723169664sng4255 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

43

1 Introdução

O ensino da matemática vem se desgastando e tornando-se um dos principais motivos de

reprovação e evasão na maioria das escolas públicas e particulares da educação brasileira. Esses

fatos necessitam de medidas urgentes e emergenciais para a implantação de novas práticas

pedagógicas de ensino, que reduzam os índices de fragilidade, tanto na educação básica quanto

em nível superior.

Esses problemas apontam que os métodos antigos de ensino-aprendizagem necessitam ser

readaptados ou até mesmo extinguidos. Deve-se promover um novo modelo de educação, pois

utilizar apenas a lousa, giz e exposição oral, já não tem mais trazido bons rendimentos. Isso

pode ser verificado, quando se analisa os resultados das avaliações feitas por órgãos

internacionais na educação matemática nacional, onde o Brasil quase sempre ocupa as últimas

posições.

Assim, pode-se dizer que as metodologias e práticas tradicionais de ensino já não são mais

suficientes para um aprendizado significativo por parte dos estudantes, que necessitam de algo

que os chamem a atenção e que seja, de alguma forma, interessante para suas vidas. Tal

tradicionalismo pode induzir os alunos a ver a referida disciplina, como um problema em suas

vidas escolar acadêmica e não como uma ferramenta de suma importância em seu dia a dia

como, de fato, é a matemática.

Essa imagem distorcida, criada pelos discentes, não convém com a realidade, pois esta

matéria é fundamental para a vida das pessoas, além de ser um requisito básico na modernidade,

ela é de extrema importância por estar presente em tudo. E, para dissipar essa visão equivocada,

são critérios importantes para o educador, ter métodos inovadores de ensino, como aulas

dinâmicas e participativas, que consiga trazer os conteúdos para a realidade concreta.

Para tanto, o professor deve ter uma mente criativa, o que é essencial para o cultivo de boas

práticas educacionais, que sejam mais efetivas e eficazes para potencializar um aprendizado

mais consistente. Essas metodologias diferenciadas podem promover um novo olhar do aluno

para o processo de aprendizagem da matemática, melhora sua assiduidade e despertar, mesmo

que de forma implícita, a busca do conhecimento e a construção do saber.

Nessa nova perspectiva, o discente pode ir modelando sua própria forma de absorver, de

maneira simplificada, o que o educador quer ensinar. Tudo isso pode proporcionar uma visão

mais crítica/construtiva, uma melhor aquisição da aprendizagem e a busca por si só do

conhecimento, o que vem a caracteriza a pesquisa.

Nesse sentido, com as inovações metodológicas e tecnológicas para o ensino, surge a

matemática experimental como uma alternativa para facilitar o aprendizado e articular a teoria

com a prática. Um método envolvendo experimentos, como uma nova ferramenta para a

desmistificação, por muitos, da matemática como sendo uma disciplina difícil, entediante e

complicada.




44

2 Os desafios no ensino da matemática e a importância da implantação de novos

modelos educacionais.

Um dos grandes problemas e desafios para a educação matemática no século XXI é

extrapolar os limites impostos pelo método tradicional de ensino, cujo modelo ainda é seguido

fielmente por muitos professores. Por pensarem que ser apenas tradicionalista é a melhor forma

e que vão conseguir êxito na educação agindo dessa maneira, ou por esbarrarem em imposições

do sistema educacional.

No entanto, a prática educacional exclusivamente tradicionalista, traz consequências diretas

na relação do aluno com a aprendizagem matemática, no seu entendimento sobre as aulas e

sobre a compreensão da importância dessa disciplina. Com isso, a didática proposta pelos

docentes para as suas aulas poderão, até certo ponto, influenciar significativamente no

aprendizado dos estudantes e em sua apatia para com essa matéria.

A mudança nessas práticas de ensino é algo bastante discutida por educadores matemáticos.

Estes, afirmam que é preciso tornar a aprendizagem significativa para o aluno, através da

vivência de situações no cotidiano da sala de aula. Porém, toda aprendizagem, seja significativa

ou não, deverá ter relações direta com a prática educacional que o professor realiza no ambiente

escolar. Cabendo assim ao educador, incrementar em sua metodologia de ensino, instrumentos

que incentivem à pesquisa e que não deixe a falsa impressão da matemática como sendo apenas

a memorização de fórmulas entediantes.

Poder-se-ia dizer ainda que a metodologia do docente é o insight para a transformação do

conteúdo, dito saber científico, em saber a ensinar, sendo que este “trata-se de um saber ligado

a uma forma didática que serve para apresentar o saber ao aluno”. (MACHADO, 2002, p. 23).

O conhecimento pedagógico do conteúdo é, nessa perspectiva, considerado um conjunto de

saberes profissionais que constitui um modo de compreensão da disciplina, específico dos

professores e que tais saberes devem ser dialogados com os alunos de maneira mais simples

possível.

Assim, como já foi mencionado, utilizar o tradicional nas aulas como único método de

ensino, que apresentam em sua metodologia nada além do livro, o quadro e o giz não têm sido

suficiente para a construção do conhecimento matemático. Para Micotti (1999), “as aulas

expositivas e os chamados livros didáticos pretendem focalizar o saber, mas, geralmente, ficam

sem sentido para os alunos [...]”.

Nesse contexto, uma alternativa para que se consiga avançar na educação matemática, pode

ser a mudança de seu tratamento em sala de aula, de maneira única e exclusivamente abstrata

para uma abordagem mais prática, pois ao contrário do que muitos imaginam, ela é concreta e

manifesta-se através da natureza, nas tecnologias, nas construções humanas, entre outras. E,

quando ela é atrelada ao mundo real o aluno passa a dar mais sentido e pode aprender com mais

facilidade.

Mesmo diante desses possíveis benefícios, a matemática tem sido abordada, na maioria dos

casos, como uma ciência de exclusividade teórica e abstrata, o qual denomina-se de modelo




45

dedutivista, com poucas demonstrações concretas e problematização dos conceitos com a

realidade, fatos estes que dificultam o entendimento dos discentes, e como consequência,

muitos passam a não gostar da área de exatas. Sobre isso, Lakatos (1978, p. 188) indaga que:

“O estilo dedutivista, rompe as definições geradas pela prova dos antepassados, apresenta-as

no vazio, de modo artificial e autoritário. Ele oculta os contra-exemplos globais que levaram ao

seu descobrimento”.

No entanto, utilizar novas metodologias no ensino da disciplina aqui em questão é uma

tarefa difícil e desafiadora, porém, ao mesmo tempo é algo essencial e que deve está sempre

presente nas escolas. Dessa forma, pode-se dizer que o atual ensino da matemática é uma tarefa

árdua, que requer muito esforço e empenho do professor. Além disso, os métodos educacionais

que antes tiveram algum proveito, hoje quase já não têm mais serventia. Logo é fundamental

que o educador se aperfeiçoe constantemente.

Com isso, para a efetivação da construção do conhecimento matemático significativo e

consequentemente de uma escola de qualidade, é fundamental a implantação, principalmente

no ensino básico, de novas táticas de ensino, que sejam mais atraentes e que estimulem a

pesquisa.

3 Novas metodologias educacionais: os experimentos matemáticos.

No ensino da matemática, como já apresentado, para que os estudantes absorvam um

aprendizado mais efetivo, é essencial que se tenha uma teoria, mas que esta esteja aliada à

prática. Assim, envolver os alunos com materiais concretos e manipulativos, com o intuito de

promover uma familiarização com o universo matemático, deve ser uma método indispensável

para a educação.

Nessa perspectiva, ao utilizar os materiais concretos o aluno terá um contato mais próximo

com a matemática, e com base em Novello et al. (2009) através dos experimentos, ele terá uma

noção mais lógica de onde vêm as fórmulas e os significados delas. E, é nesse contexto, que

tais materiais se configuram em uma possibilidade de recurso para ser inserido no currículo,

criando o elo entre teoria/prática, minimizando as rupturas da articulação do cotidiano para o

saber escolar.

Trabalhar com estes materiais pode proporcionar, através de atividades lúdicas, um atrativo

para os discentes e um melhor aprendizado dos conteúdos. Com isso, o professor precisa

transformar suas aulas tradicionais em aulas dinamizadas, inovadoras e criativas, tornando os

experimentos indispensáveis na a aplicação desse novo modelo de ensino.

Mesclar o experimental com o abstrato na didática da sala de aula, pode promover uma

aprendizagem mais eficaz, pois estimula o cálculo mental, a dedução de estratégias, o domínio

das operações fundamentais, a construção de conceitos e o desenvolvimento do raciocínio

lógico. E estes são os pontos cruciais para a efetivação do verdadeiro conhecimento

matemático.




46

A importância de fazer o uso, na metodologia de ensino, dos materiais concretos é tão

grande que se encontra exposto até nos Parâmetros Curriculares Nacionais, PCN’s, de

Matemática, onde afirmam que os recursos didáticos, como esses materiais, é um princípio

fundamental para o estabelecimento no estudante do censo crítico para a matemática. Sobre

isso afirma que:

Os recursos didáticos como livros, vídeos, televisão, rádio, calculadora, computadores,

jogos e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e

aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao

exercício da análise e da reflexão. (BRASIL, 1998, p. 57).

Assim, ter como ferramenta os materiais manipulativos nas aulas é essencial para um

melhor aprendizado, para a interação entre os alunos e um estímulo para o trabalho em equipe.

O que pode ser primordial para o desenvolvimento do censo crítico e dedutivo do estudante,

para com a matemática. Segundo Moura,

A aprendizagem da Matemática depende de uma grande variedade de fatores o que torna

o seu ensino bastante complexo. É necessário desenvolver o raciocínio lógico e

estimular o pensamento independente, a criatividade e a capacidade de resolver

problemas. Desta forma, os professores de matemática devem concentrar-se em

aumentar a motivação para a aprendizagem, desenvolver a autoconfiança, organização,

concentração, atenção, raciocínio lógico-dedutivo e sentido cooperativo, aumentando a

socialização e as interações pessoais. (MOURA, 2006, p. 73).

Nesse sentido, as aulas dinamizadas e lúdicas proporcionam uma atração para os alunos,

podendo contribuir para redução da evasão escolar. Diante disso, Agranionih e Smaniotto

(2002) definem a importância de se utilizar esses objetos na matemática, através de

experimentos com os mesmos, para eles essa metodologia é:

[...] uma atividade lúdica e educativa, intencionalmente planejada, com objetivos claros,

sujeita a regras construídas coletivamente, que oportuniza a interação com os

conhecimentos e os conceitos matemáticos, social e culturalmente produzidos, o

estabelecimento de relações lógicas e numéricas e a habilidade de construir estratégias

para a resolução de problemas. (AGRANIONIH; SMANIOTTO, 2002, p. 16).

Também é perceptível que ao usar tais materiais, o professor pode observar nos alunos as

suas habilidades e identificar suas principais competências e fragilidades. Dessa forma, o

estudante será desenvolvido e avaliado como um todo, ou seja, o processo educativo será mais

democrático e satisfatório.

Fazendo uma releitura de Sarmento (2010) podemos inferir que o manuseio dos materiais

concretos, por um lado, permite aos alunos experiências físicas à medida que este tem contado

direto com os materiais, ora realizando medições, ora descrevendo, ou comparando com outros

de mesma natureza. Por outro lado permiti-lhe também experiências lógicas por meio das

diferentes formas de representação que possibilitam abstrações empíricas e abstrações

reflexivas, podendo evoluir para generalizações mais complexas.

Em suma, essa metodologia diferenciada de ensino é fundamental, pois pode despertar no

aluno um novo olhar para essa Ciência. Tornando-a mais simples, onde os cálculos e as

definições são mais claras e objetivas, fazendo sentido e sendo mais condizente com a realidade

de cada um.




47

Contudo, é importante que as escolas da atualidade, sejam elas públicas ou privadas, adotem

essa prática de ensino, pois diante dos argumentos anteriormente relatados, fica visível a

eficácia dos experimentos matemáticos em sala de aula, e estes, quando aplicados de maneira

coerente, transforma-se em um subsídio para a concretização da matemática como uma Ciência

prática e indutiva. Trazendo benefícios para toda a sociedade, em grande medida, o aluno pode

se tornar curioso, e provavelmente mais crítico, enquanto o professor dispusera de um

diferencial metodológico que é fundamental para a implantação de uma educação matemática

de qualidade.

4 Resultados da aplicação dos experimentos matemáticos na escola estadual presidente

Médici

Foi realizada uma intervenção pedagógica nas aulas de matemática, usando materiais

concretos e manipulativos com alunos do curso médio integrado ao técnico em eventos da

Escola Estadual de Ensino Médio e Médio Integrado ao Técnico Presidente Médici, onde o

autor deste artigo foi professor titular de matemática e executor do projeto.

Tal escola está localizada no município de João Pessoa no estado da Paraíba, e o projeto de

intervenção intitulado como “Dinamizar e simplificar o ensino da matemática através de

materiais concretos e manipulativos” foi executado no período do segundo semestre de 2013,

de Julho a Setembro. Envolveu 45 alunos das turmas de primeiro ano B e segundo ano A, do

curso médio integrado ao técnico em eventos, no sentido de melhor o nível de conhecimento

dos conteúdos da disciplina de matemática, dinamizar e simplifica as aulas e, consequentemente

diminuir a rejeição dos estudantes para com esta matéria.

O projeto foi desenvolvido buscando melhorar a qualidade do ensino/aprendizagem das

turmas citadas anteriormente, a partir da percepção do professor com alguns alunos que se

encontravam com baixos rendimentos e desmotivados com a disciplina em questão. Tal projeto

seguiu etapas lógicas e com uma sequência didática simples e propícia para a construção do

conhecimento matemático de forma mais clara e dinâmica. Assim, para a execução, foram

seguidas as seguintes etapas:

1° etapa: o executor do projeto realizou um levantamento bibliográfico de materiais

concretos e manipulativos que poderiam ser trabalhados em sala de aula através de

experimentos, relacionando-os com conteúdos matemáticos. Para esse fim, as atividades

selecionadas foram:

• Operações com números inteiros utilizando tampas de garrafa Pet:

Nessa atividade os alunos e o professor recolheram tampas de garrafas, de apenas duas

cores. Com essas tampas, cada uma representando uma unidade, nesse caso, se branca unidade

negativa e se azul unidade positiva. Partindo do princípio de que duas tampas de cores distintas

se anulam, ou seja, é zero, então é possível realizar operação com os números inteiros, de forma

concreta, utilizando as tampas.




48

• Seno, cosseno, tangente e relação métricas nos triângulos utilizando a

circunferência unitária, reproduzida em cartolina ou isopor:

Nessa atividade os alunos constroem, com o auxilio do professor, em uma cartolina ou em

isopor uma circunferência “unitária” com 10 cm de raio e marca todos os pontos de -10 cm a

10 cm no eixo X e no Y. Em uma folha de ofício desenha outra circunferência de diâmetro igual

ao raio da primeira. Recorta-se então a circunferência menor e a cola, sobre todo o seu diâmetro,

em um palito de churrasco, deixando o restante do palito para fora. Dessa forma é possível

sobrepor a circunferência menor sobre a maior em diversos ângulos e obter os senos, cossenos

e tangentes destes, só que de forma concreta. Além disso, também é possível analisar

indutivamente a relação fundamental da trigonometria.

• Prismas e pirâmides: a relação de Euler utilizando poliedros convexos e côncavos

produzidos em folha ofício e cartolina:

Nessa atividade o professor pede que os alunos, a partir da planificação de diversos

poliedros, entre eles os prismas e pirâmides, construam sólidos geométricos convexos e não

convexos. Depois disso, solicita-se que os estudantes contem a quantidade de vértices, faces e

arestas de todos os poliedros que eles construíram. Por fim, o professor os incentiva a

observarem possíveis relações entre esses elementos dos poliedros. Dessa forma eles poderão

aprender na prática a relação de Euler.

• Corpos redondos e poliedros: comparação prática de volumes:

Aqui o professor pede aos alunos que construam ou procurem embalagens que tenham a

forma de corpos redondos e de poliedros. Depois, manuseando esses objetos, pede-se que façam

comparações entre seus volumes e observem relações existentes. Dessa forma, o aluno poderá

aprender, utilizando os materiais concretos, como calcular e comparar o volume de sólidos,

conteúdos indispensáveis na geometria espacial.

2° etapa: a execução em sala de aula dos experimentos selecionados.

Primeiro experimento: essa etapa do projeto foi desenvolvida nas turmas do primeiro e

segundo ano, tal experimento se deu com a manipulação das tampas simulando operações com

números inteiros. Por exemplo, na adição – 9 + (+ 4) se junta 9 tampas brancas (que representam

nove unidades negativas) com 4 azuis (que representam quatro unidades positivas), estas se

anulam com 4 brancas. Assim, restam 5 tampas brancas, o que é o resultado da operação, -5.

Essa atividade foi bastante lúdica e atrativa, sendo um recurso pedagógico dinâmico para o

ensino-aprendizagem de operações com os números inteiros.

O experimento foi desenvolvido nas duas turmas, pois, tais operações mesmo sendo um

conteúdo do ensino fundamental II, é perceptível que uma das maiores dificuldades

apresentadas pelos estudantes no ensino médio é não saber operar com números negativos.

Dessa forma, o aluno pode obter uma base mais sólida em relação a esse conteúdo.

Nessa etapa se observou a interação, a compreensão do conteúdo e uma maior participação

dos estudantes nas aulas. Sobre isso, seguem as fotos:




49

Imagem 1 - aula de operações com números inteiros usando tampas de garrafa.

Segundo experimento: essa parte do projeto também foi realizada nas duas turmas. Os

experimentos foram essências para que os alunos pudessem ver concretamente os valores do

seno, cosseno e tangente de ângulos quaisquer. Para tanto, marcasse com o transferidor os

ângulos desejados na circunferência maior (a que estava feita na cartolina) e com a menor (a da

folha de ofício) que estava colada no palito de churrasco, a sobrepõe com o palito no raio da

maior, exatamente sobre o ângulo desejado e com início no ponto (0, 0).

Assim, onde a circunferência menor interceptar o eixo x é o valor do cosseno, onde

interceptar o eixo y é o valor do seno e onde interceptar a reta que tangencia a circunferência

maior é o valor da tangente. Tal experimento pode despertar no aluno a conscientização de que

conteúdos considerados difíceis, como a trigonometria, quando vistos de maneira concreta se




50

tornar mais simples. Além disso, com os valores dos senos e cossenos dos ângulos os alunos

puderam observar a relação seno² x + cosseno² x = 1. Sobre esse experimento seguem as fotos:

Imagem 2 - aula de trigonometria usando materiais concretos.

Terceiro experimento: Nessa etapa do projeto os alunos puderam desenvolver a

criatividade, o trabalho em equipe, a organização, o estímulo ao raciocínio lógico e

principalmente a dedução de fórmulas matemáticas através do manuseio e experimentos com

materiais manipuláveis. Por incompatibilidade de conteúdos/série apenas a turma do segundo

ano participou desse experimento.

Aqui os alunos construíram vários poliedros e fizeram experimentos com os mesmos,

contando o número de faces, vértices e arestas, chegando à dedução da relação de Euler para




51

poliedros convexos e outras relações que se podem obter com prismas e pirâmides. As fotos a

seguir ilustram essa etapa.

Imagem 3 - aula de geometria: identificando número de vértices, faces, arestas e a relação de Euler.

Quarto experimento: nesse último experimento em consonância com o anterior, também

realizado apenas com a turma do segundo ano, foi pedido aos alunos que trouxessem os

poliedros já construídos e procurassem ou construíssem objetos em formato de cilindros e

cones, sem as tampas, para que se fossem feitas manipulações com areia ou liquido, de modo a

encher e esvaziar esses objetos para que se obtivessem relações de volumes entre os poliedros,

entre os corpos redondos e entre poliedros e corpos redondos. Conforme foto abaixo.




52

Imagem 4 - aula de geometria espacial com o uso de sólidos geométricos construídos pelos alunos.

3° etapa: finalizando a execução do projeto, a terceira etapa consistiu em uma palestra

ministrada pelo professor coordenador do projeto, que foi dada através de vídeos e diálogos

sobre a matemática no dia a dia. Essa fase ocorreu na semana do primeiro encontro cientifico

cultural da Escola Presidente Médici, com a presença de todos os alunos das duas turmas. O

objetivo da palestra foi disseminar entre os estudantes a parte concreta da matemática que se

encontra numa realidade bem próxima. Dessa forma se pode conscientizar a todos que a

matemática é uma ciência “viva” e que está em tudo. Com isso, houve a finalização do projeto

com o discurso final sobre a temática.

5 A experiência em aplicar em sala de aula um projeto com experimentos matemáticos

A aplicação dessa metodologia de ensino foi gratificante, pois, em grande medida, os alunos

tiveram a oportunidade de participar mais assiduamente das aulas, debater os conteúdos,

apresentar seus pontos de vista, melhorar seus rendimentos e consequentemente, adquirir uma

nova visão sobre a matemática.

Quando são comparadas as médias bimestrais dos estudantes envolvidos antes e depois

dessas aulas, articuladas com os experimentos, é verificado um aumento significado nessas

avaliações, aonde alguns chegaram a melhorar em 116% sua média bimestral. Analisando as

duas turmas ao final da execução do projeto, foi observada uma média de melhoria de

desempenho em torno de 23%.

Em relação à experiência do autor em trabalhar com os materiais concretos e manipulativos

em sala de aula, a princípio se pode falar que foi uma tarefa um tanto dificultosa. Primeiro pelo

fato de se ter um programa anual a cumprir, que é determinado pela secretaria estadual de

educação e, utilizar na metodologia das aulas estes materiais, requer mais tempo e acaba




53

comprometendo o cumprimento de todo o programa. Outra dificuldade foi o fato de que a escola

onde foi realizado este trabalho trata-se de nível médio integrado ao técnico, e por isso, tem a

carga horária na disciplina de matemática reduzida para apenas 40% do normal (sendo somente

duas aulas semanais por turma), tornando-se mais um agravante para a execução do projeto.

No entanto, mesmo com essas adversidades, a realização foi exitosa, principalmente pela

participação assídua de toda a turma, pelo apoio recebido da direção escolar e pela colaboração

de alguns professores na aplicação. Mostrando que a cooperação de toda a comunidade escolar

pode ser determinante para o sucesso da educação.

Na execução, divergindo das aulas tradicionais, a utilização dos materiais concretos

proporcionou ao coordenador do projeto o prazer em ver a empolgação de vários alunos na

busca do conhecimento matemático, o interesse de alguns em saber como trazer para o

“concreto” os conteúdos já vistos por eles e, em outros se percebeu um início de familiarização

com a matemática, mesmo que um pouco tímida, no entanto, significativa.

Os estudantes, ao manipular os materiais propostos nas aulas, passaram a ter em suas mãos

o poder de realizar, observar e analisar peculiaridades da referida disciplina, vistas

anteriormente de maneira teórica, e isso foi determinante para a absorção do conhecimento. O

que pode os levar a descaracterização da matemática como uma disciplina extremante difícil e

exclusivamente teórica.

Todas as atividades desenvolvidas, além de ter proporcionado o que foi relatado

anteriormente, também possibilitou uma relação mais próxima entre o professor e aluno,

quando iam tirar dúvidas sobre o que fazer com o material, como analisá-los? Onde aquele

procedimento poderia ser eficiente para a teoria? E essa aproximação é fundamental para o

processo de ensino/aprendizagem.

Por fim, a experiência em utilizar materiais concretos e manipulativos nas aulas, além de

beneficiar os alunos, no que diz respeito a construção do conhecimento, proporcionou para o

autor desse artigo um grande incentivo para o exercício da docência, algo que é tão frustrante

nos dias de hoje. Além disso, o mesmo foi premiado pela secretaria estadual de educação do

estado da Paraíba, por ter desenvolvido com êxito tal projeto, recebendo o prêmio “Mestre da

educação 2013”.

6 Considerações finais

Uma das principais causas que dificultam os estudantes a aprender matemática, em certa

medida, pode ser o despreparo do professor, pois, muitos estão engessados a métodos

tradicionais que são insuficientes, onde apresentam apenas fórmulas e mais fórmulas, prontas

e perfeitas. Esse modelo de ensino estimula somente a memorização e repetição, sem dar a vez

ao educando de pensar, de perguntar de onde veio aquilo e para que serve, o inibindo de criar

estruturas matemáticas cognitivas que são precursoras do construtivismo tão exaltado por

Piaget.




54

Dessa forma, ensinar matemática é um processo bastante dinâmico, e, neste sentido, o

professor comprometido com uma educação de qualidade, precisa buscar inovar suas aulas,

torná-las mais atrativas, lúdicas e dinâmicas, principalmente na área de exatas onde os

conteúdos requerem mais dedicação e uma boa explanação, por parte do educador, para que a

disciplina venha a ser absorvida de forma coerente e significativa.

Quanto às novas práticas de ensino, através de materiais concretos e manipulativos, o que

se chama de matemática experimental, estes são necessários e de extrema importância no que

diz respeito à construção de conhecimentos. Trazer estes experimentos para a realidade da sala

de aula pode estimular à pesquisa, o que é um fator essencial para a formação de cidadãos

críticos e construtivos.

Por fim, contribuir com um ensino eficiente deve ser a meta de todos os educadores. E, para

que isso se concretize, é importante trabalhar com diversas formas de ensino. Assim, no que se

referem à matemática, os experimentos são aliados do professor, pois quando o aluno manipula

os objetos ele interage com os materiais e passam a ter em suas mãos o poder de reduzir um

problema teórico a um prático. Assim, se promove a pesquisa, desenvolvem-se as habilidades,

identificam-se suas competências e fragilidades, promovendo uma educação matemática mais

qualificada.

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Universidade Federal do Piauí, 2010. p. 1-12.

ISSN 2316-9664Volume 9, jul. 2017

Suzete Maria Silva AfonsoUniversidade Estadual Paulista -Julio Mesquita [email protected]

Carolinne Stefane de SouzaUniversidade Estadual Paulista -Julio Mesquita [email protected]

Solucoes periodicas de um tipo de equacaodiferencial de terceira ordem com retardo

Periodic solutions of a kind of third-order delay differentialequation

ResumoNeste trabalho, estabeleceremos condicoes para garantir aexistencia de solucao ω-periodica para a equacao diferencial fun-cional neutra de terceira ordem x′′′(t)+ax′′(t)+g(x′(t− τ(t)))+f (x(t− τ(t))) = p(t), em que a e uma constante positiva, g, f , p :R −→ R sao funcoes contınuas, τ e p sao ω-periodicas, comω > 0 e

∫ω

0 p(t)dt 6= 0. Para isso, encontraremos uma equacaoa operadores Lx = N(x,λ ), λ ∈ [0,1], onde L e um operadorde Fredholm de ındice zero e Nλ = N(·,λ ) e um operador L-compacto, ambos definidos e tomando valores em espacos ade-quados de funcoes, de tal modo que da existencia de solucao paratal equacao, que sera garantida pelo Teorema de Continuacao deMawhin, possamos inferir que a equacao acima possui pelo me-nos uma solucao ω-periodica em R.Palavras-chave: Solucao periodica. Equacao diferencial funcio-nal neutra. Teorema da Continuacao de Mawhin.

AbstractIn this work, we will establish conditions to guarantee the exis-tence of a ω -periodic solution for the third-order neutral functio-nal differential equation x′′′(t)+ax′′(t)+g(x′(t−τ(t)))+ f (x(t−τ(t))) = p(t), where a is a positive constant, g, f , p : R −→ Rare continuous functions, τ and p are ω-periodic, with ω > 0and

∫ω

0 p(t)dt 6= 0. For this, we will find an operator equationLx = N(x,λ ), λ ∈ [0,1], where L is a Fredholm operator of indexzero and Nλ = N(·,λ ) is a L-compact operator, both defined andtaking values in appropriate spaces of functions such that, fromthe existence of solution for such equation, which will be guaran-teed by Mawhin’s Continuation Theorem, we can infer that theabove equation has at least one ω-periodic in R.Keywords: Periodic solution. Neutral functional differentialequation. Mawhin’s Continuation Theorem.

1 IntroducaoNos ultimos anos, alguns resultados sobre existencia de solucao periodica de equacoes di-

ferenciais com retardo tem sido obtidos atraves do Teorema de Continuacao de Mawhin, vejaos artigos [1], [2] e [3], por exemplo. Em [3], Ma; Wang e Yu obtiveram resultados sobre aexistencia de solucao periodica para a equacao de Duffing com retardo:

x′′(t)+m2x(t)+g(x(t− τ)) = p(t).

Em [4], Gui e Ge estabeleceram condicoes que garantem a existencia de solucao periodica paraa equacao diferencial com retardo de terceira ordem:

x′′′(t)+ax′′(t)+g(x′(t− τ(t)))+ f (x(t− τ(t))) = p(t), (1)

em que

1) a e uma constante positiva;

2) g, f , p : R−→ R sao funcoes contınuas;

3) τ e p sao funcoes ω-periodicas (τ(t +ω) = τ(t) e p(t +ω) = p(t)), com ω > 0;

4)∫

ω

0 p(t)dt 6= 0.

Este artigo e uma traducao em portugues, mais detalhada, do trabalho de Gui e Ge ([4]).O artigo [4] contem um erro, que esta no exemplo presente no final do trabalho. A funcaof (u) = 2(senu)2 arctanu nao satisfaz a hipotese (H2) do Teorema 1-[4], para K = 1, D > π

4 e

M = π , e a = 0.4 nao cumpre ω = 2π <1a2 , o que torna o exemplo inviavel para ilustrar o

resultado obtido. Aqui, nos apresentamos um exemplo valido para concluir o trabalho de Gui eGe. Ademais, fizemos uma pequena alteracao na hipotese (H3) do Teorema 1-[4].

Caracterizamos este artigo como um trabalho de divulgacao. Pretendemos mostrar comouma ferramenta topologica - a teoria do grau coincidente - pode ser empregada para resolverproblemas de equacoes diferenciais funcionais com retardo de forma elegante.

Sob algumas condicoes, provamos que a equacao (1) tem pelo menos uma solucao periodicana Secao 3. A principal ferramenta para obter este resultado e o Teorema de Continuacao deMawhin. Na Secao 4, fornecemos um exemplo em que aplicamos o resultado obtido.

2 NotacoesOs seguintes sımbolos serao usados na sequencia.

1. R := (−∞,+∞).

2. |.| denota o modulo de um numero real.

3. C(R,R) e o espaco vetorial das funcoes contınuas ϕ : R→ R.

4. Cn(R,R) e o espaco vetorial das funcoes n vezes diferenciaveis ϕ : R → R, tais queϕ(n) : R→ R e contınua.

5. |p|0 = max|p(t)|; t ∈ [0,ω].

AFONSO, S. M. S.; SOUZA, S. S. Soluções periódicas de um tipo de equação diferencial de terceira ordem com retardo. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista

de Matemática, Bauru, v. 9, p. 56-65, jul. 2017.

DOI: 10.21167/cqdvol9201723169664smsacss5665 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

57

6. ‖x‖= max|x|0, |x′|0, |x′′|0.

7. Ω denota o fecho do conjunto Ω.

8. intΩ denota o interior do conjunto Ω.

9. ∂Ω denota a fronteira do conjunto Ω.

3 Existencia de solucoes periodicasVamos considerar a equacao (1), com as hipoteses 1), 2), 3) e 4) satisfeitas. Dizemos que

x ∈C3(R,R) e solucao da equacao (1) quando x satisfaz (1). Alem disso, se x(t+ω) = x(t), paratodo t ∈ R, entao x sera dita uma solucao ω-periodica de (1).

Vamos assumir que existem tres constantes positivas K, D e M, tais que:

(H1) |g(x)| ≤ K, para todo x ∈ R;

(H2) | f (x)|> K + |p|0 e x f (x)> 0 para |x| ≥ D;

(H3) | f (x)| ≤M para x≤−D.

Alem disso, vamos admitir que

(H4) ω <1a2 .

O resultado central deste trabalho e o seguinte teorema.

Teorema 1. Se as hipoteses (H1), (H2), (H3) e (H4) estao satisfeitas, entao a equacao (1) tempelo menos uma solucao ω-periodica em R.

Na sequencia apresentaremos conceitos importantes para a demonstracao do Teorema 1.

Sejam X e Z espacos de Banach. Um operador linear L : domL⊂ X −→ Z e dito operador deFredholm se estao satisfeitas as seguintes condicoes:

i) KerL possui dimensao finita (dimKerL < ∞);

ii) ImL possui codimensao finita (codimImL < ∞);

iii) ImL e um conjunto fechado ( ImL = ImL).

Quando dimKerL = codimImL, L e dito um operador de Fredholm de ındice zero.Prova-se que, se L for um operador de Fredholm de ındice zero, entao existirao operadores

lineares contınuos e idempotentes P : X → X e Q : Z −→ Z, tais que

Ker L = Im P e Im L = Ker Q.

Consequentemente, a restricao LP do operador L ao conjunto domL∩ KerP e invertıvel, cominversa KP : ImL−→ domL∩ KerP. Para a analise destes fatos, veja [5].

Denotaremos por KP,Q : Z −→ domL∩KerP a inversa generalizada de L definida por KP,Q =KP(I−Q).

Dados Ω um subconjunto aberto e limitado de X e um operador N : Ω−→ Z, diremos que Ne um operador L−compacto em Ω se QN(Ω) e limitado e o operador KP,QN e compacto.

Para provar o Teorema 1 necessitamos do seguinte Teorema de Continuacao de Mawhin, cujademonstracao pode ser encontrada em [5].




58

Lema 2 (Teorema de Continuacao de Mawhin). Sejam X, Z espacos de Banach e Ω um subcon-junto aberto e limitado de X. Considere a equacao

Lx = λN(x,λ ),

em que L : domL ⊂ X −→ Z e um operador de Fredholm de ındice zero, λ ∈ [0,1] e N e umoperador definido em Ω× [0,1] com valores em Z.

Sejam P : X −→ X e Q : Z −→ Z projecoes contınuas, tais que ImP = KerL e KerQ = ImL.Suponha que o operador Nλ : Ω −→ Z, definido por Nλ (x) = N(x,λ ), seja L−compacto em

Ω, para cada λ ∈ [0,1] fixo. Suponha, tambem, que as seguintes condicoes sejam satisfeitas:

i) para λ ∈ (0,1) e x ∈ ∂Ω∩domL, tem-se Lx 6= λNλ (x);

ii) para x ∈ ∂Ω∩KerL, tem-se QN0(x) 6= 0;

iii) deg(QN0,Ω∩KerL,0) 6= 0.

Nestas condicoes, a equacao Lx = N(x,1) possuira pelo menos uma solucao em Ω∩domL.

Visando utilizar o Lema 2 para demonstrar o Teorema 1, encontraremos uma equacao a ope-radores Lx = N(x,λ ), onde L e um operador de Fredholm de ındice zero e Nλ e um operadorL-compacto, ambos definidos e tomando valores em espacos adequados de funcoes, de formaque da existencia de solucao para tal equacao seja possıvel concluir que a equacao (1) possuipelo menos uma solucao ω-periodica em R.

SejamX = x ∈C2(R,R); x(t +ω) = x(t),∀t ∈ R

eZ = z ∈C(R,R); z(t +ω) = z(t),∀t ∈ R

espacos de Banach com as normas ‖.‖, |.|0, respectivamente.Defina domL = x ∈C3(R,R); x(t +ω) = x(t),∀t ∈ R e

Lx = x′′′, para x ∈ domL.

Claramente domL⊂ X .Definamos agora, para λ ∈ [0,1],

N(x(t),λ ) =−ax′′(t)−λg(x′(t− τ(t)))− f (x(t− τ(t)))+λ p(t).

Considere as seguintes projecoes contınuas:

Px(t) =1ω

∫ω

0x(t)dt e Qz(t) =

1ω

∫ω

0z(t)dt, para x ∈ X ,z ∈ Z, t ∈ R.

Proposicao 3. L e um operador de Fredholm de ındice zero.

Demonstracao. Faremos a prova deste resultado em tres passos.

(I) E simples verificar que ImL = z ∈ Z;∫

ω

0 z(t)dt = 0. Vamos, pois, provar que ImL e umconjunto fechado. Com efeito, seja y ∈ ImL. Entao, existe uma sequencia (yn)⊂ ImL, talque ∫

ω

0yn(t)dt = 0 e yn −→ y.




59

Como a convergencia yn −→ y e uniforme, temos que∫ω

0yn(t)dt→

∫ω

0y(t)dt,

de onde segue que∫

ω

0 y(t)dt = 0 e, consequentemente, o conjunto ImL e fechado.

(II) Se x∈KerL, entao x′′′= 0, ou seja, x′′′(t) = 0 para qualquer t ∈R. Deste modo, x′′(t) = c1,para todo t ∈R, o que implica x′(t)= c1t+c2, para todo t ∈R, em que c1 e c2 sao constantesreais.

Do fato de x ser periodica, podemos concluir que x′ e periodica e, portanto, x′(t) = c2 ex(t) = c2t + c3, para todo t ∈ R, em que c3 e uma constante real. Como x e periodica, con-cluımos que x(t) = c3, para todo t ∈R, ou seja, x e uma funcao constante. Por conseguinte,

dimKerL = dimR= 1.

(III) Da forma como a projecao Q foi definida, vemos que ImQ'R. Entao, dimImQ= dimR=1.

Note que ImQ∩KerQ = 0. Assim,

Z = ImQ⊕KerQ. (2)

Vimos em (I) que KerQ = ImL e, portanto,

dimKerQ = dimImL. (3)

Das igualdades (2) e (3), obtemos

codimImL = dimImQ = 1.

Por (I), (II) e (III), podemos concluir que L e um operador de Fredholm de ındice zero.

Fixe λ ∈ (0,1) e considere a equacao

Lx = λN(x,λ ), (4)

que e equivalente a

x′′′(t)+λax′′(t)+λ2g(x′(t− τ(t)))+λ f (x(t− τ(t))) = λ

2 p(t). (5)

Proposicao 4. Se as condicoes (H1), (H2), (H3) e (H4) estao satisfeitas, entao existe uma cons-tante positiva A0, que nao depende de λ , tal que se x∈ domL satisfaz (4) entao ‖x‖< A0.

Demonstracao. Seja x ∈ domL uma solucao da equacao (5). Integrando ambos os membros daigualdade (5) sobre [0,ω], obtemos

−∫

ω

0

[x′′′(t)+λax′′(t)

]dt =

∫ω

0

[λ

2g(x′(t− τ(t)))+λ f (x(t− τ(t)))−λ2 p(t)

]dt,




60

de onde segue que

−[x′′(ω)− x′′(0)+λa(x′(ω)− x′(0))

]= λ

∫ω

0

[λg(x′(t− τ(t)))+ f (x(t− τ(t)))−λ p(t)

]dt.

Como x′ e x′′ sao periodicas, obtemos

0 =∫

ω

0

[λg(x′(t− τ(t)))+ f (x(t− τ(t)))+λ p(t)

]dt. (6)

Agora, note que∫ω

0[ f (x(t− τ(t)))−K−|p|0]dt ≤

∫ω

0

[f (x(t− τ(t)))−λ |g(x′(t− τ(t)))|−λ p(t)

]dt ≤

≤∫

ω

0

[f (x(t− τ(t)))+λg(x′(t− τ(t)))−λ p(t)

]dt = 0.

Defina E1 = t ∈ [0,ω]; x(t− τ(t))> D e E2 = [0,ω]−E1. Entao,∫E2

| f (x(t− τ(t)))|dt ≤ 2ω maxM,sup| f (x)|; |x| ≤ D

e ∫E1

[| f (x(t− τ(t)))|−K−|p|0]dt ≤∫

E1

| f (x(t− τ(t)))−K−|p|0|dt =

=∫

E1

[ f (x(t− τ(t)))−K−|p|0]dt =∫

ω

0[ f (x(t− τ(t)))−K−|p|0]dt−

−∫

E2

[ f (x(t− τ(t)))−K−|p|0]dt ≤−∫

E2

[ f (x(t− τ(t)))−K−|p|0]dt ≤

≤∫

E2

| f (x(t− τ(t)))−K−|p|0|dt ≤∫

E2

| f (x(t− τ(t)))|dt +∫

E2

[K + |p|0]dt.

Assim, ∫ω

0| f (x(t− τ(t)))|dt =

∫E1

| f (x(t− τ(t)))|dt +∫

E2

| f (x(t− τ(t)))|dt ≤

≤∫

E2

| f (x(t− τ(t)))|dt +∫

E2

[K + |p|0]dt +∫

E1

[K + |p|0]dt +∫

E2

| f (x(t− τ(t)))|dt =

= 2∫

E2

| f (x(t−τ(t)))|dt+∫

ω

0[K + |p|0]dt ≤ 4ω maxM,sup| f (x)|; |x|>D+ω (K + |p|0)=

= ω [4maxM,sup| f (x)|; |x|> D+K + |p|0] = ωM1,

em que M1 = 4maxM,sup| f (x)|; |x|> D+K + |p|0.88

Portanto,∫ω

0|x′′′(s)|ds =

∫ω

0|−λax′′(s)−λ

2g(x′(s− τ(s)))−λ f (x(s− τ(s)))+λ p(s)|ds≤

≤ a∫

ω

0|x′′(s)|ds+

∫ω

0|g(x′(s− τ(s)))|ds+

∫ω

0| f (x(s− τ(s)))|ds+

∫ω

0|p|0ds≤




61

≤ a∫

ω

0|x′′(s)|ds+ω(K +M1 + |p|0)≤ a

√ω

[∫ω

0|x′′(s)|2ds

] 12

+ω(K +M1 + |p|0),

ou seja, ∫ω

0|x′′′(s)|ds≤ a

√ω

[∫ω

0|x′′(s)|2ds

] 12

+ω(K +M1 + |p|0). (7)

Cabe observar que, para obter a ultima desigualdade, utilizamos a Desigualdade de Holder.A equacao (6) implica que existe t1 ∈ [0,ω], tal que

λg(x′(t1− τ(t1)))+ f (x(t1− τ(t1)))−λ p(t1) = 0.

Assim,

| f (x(t1− τ(t1)))| ≤ λ[|g(x′(t1− τ(t1)))|+ |p|0

]≤ |g(x(t1− τ(t1)))|+ |p|0 ≤ K + |p|0.

Por (H3), podemos concluir que |x(t1− τ(t1)))|< D.Finalmente, se t1− τ(t1) ∈ [0,ω], tome t2 = t1− τ(t1), caso contrario, como x e periodica,

existe t2 ∈ [0,ω], tal que x(t2) = x(t1− τ(t1)). Isto e, existe t2 ∈ [0,ω], tal que |x(t2)|< D.Entao,

|x(t)|= |x(t2)+(x(t)− x(t2))|=∣∣∣∣x(t2)+∫ t

t2x′(s)ds

∣∣∣∣≤ |x(t2)|+∫ t

t2|x′(s)|ds≤

≤ D+∫

ω

0|x′(s)|ds≤ D+

√ω

[∫ω

0|x′(s)|2

] 12

,

ou seja,

|x(t)| ≤ D+√

ω

[∫ω

0|x′(s)|2

] 12

. (8)

Como x(0) = x(ω), existe t0 ∈ [0,ω], tal que x′(t0) = 0, pelo Teorema do Valor Medio. Por-tanto,

|x′(t)|= |x′(t)− x′(t0)|=∣∣∣∣∫ t

t0x′′(s)ds

∣∣∣∣≤ ∫ ω

0|x′′(s)|ds≤

√ω

[∫ω

0|x′′(s)|2ds

] 12

. (9)

Temos entao[∫ω

0|x′(s)|ds

] 12

≤√

ω max|x′(t)|; t ∈ [0,ω] ≤ ω

[∫ω

0|x′′(s)|2ds

] 12

. (10)

Como x′′ e periodica, do mesmo modo que na equacao (9), obtemos

|x′′(t)| ≤∫

ω

0|x′′′(t)|dt.

Entao, [∫ω

0|x′′(s)|ds

] 12

≤√

ω max|x′′(t)|; t ∈ [0,ω] ≤√

ω

∫ω

0|x′′′(t)|dt. (11)




62

Substituindo a equacao (7) na equacao (11), temos[∫ω

0|x′′(s)|2ds

] 12

≤ ω32

1−aω(K +M1 + |p|0). (12)

Substituindo a equacao (12) na equacao (7), obtemos

|x′′|0 ≤∫

ω

0|x′′′(t)|dt ≤ a

1−aω(K +M1 + |p|0) := A3. (13)

Substituindo a equacao (12) na equacao (9), temos

|x′|0 ≤ω2

1−aω(K +M1 + |p|0) := A2. (14)

Agora, usando as equacoes (12), (10) e (8), obtemos

|x|0 ≤ D+ω3

1−aω(K +M1 + |p|0) := A1. (15)

Seja A0 = maxA1,A2,A3+ 1. Por (13), (14) e (15), concluımos que se x ∈ domL satisfaz(4) entao ‖x‖< A0.

Nas proximas linhas, obteremos um conjunto aberto e limitado Ω⊂ X , tal que o operador Nλ

e L-compacto em Ω, para λ ∈ [0,1], e as condicoes (i) (ii) e (iii) do Lema 2 estao satisfeitas.Defina

Ω = x ∈ X ; ‖x‖< A0. (16)

Proposicao 5. Para cada λ ∈ [0,1], Nλ e um operador L−compacto em Ω.

Demonstracao. Se x ∈Ω, entao ‖x‖ ≤ A0 e

|Q(N(x(t),λ )|=∣∣∣∣ 1ω

∫ω

0N(x(t),λ )dt

∣∣∣∣==

1ω

∣∣∣∣∫ ω

0

[ax′′(t)−λg(x′(t− τ(t)))− f (x(t− τ(t)))+λ p(t)

]dt∣∣∣∣≤

≤ 1ω

∫ω

0|g(x′(t− τ(t)))|dt +

1ω

∫ω

0| f (x(t− τ(t)))|dt +

1ω

∫ω

0|p(t)|dt ≤

≤ sup|g(z)|; z ∈ [−A0,A0]+ sup| f (z)|; z ∈ [−A0,A0]+ |p|0.Portanto, o conjunto QNλ (Ω) e limitado.Denotando por KP : ImL−→ domL∩ KerP a inversa do operador L restrito a domL∩ KerP,

temosKp(y(s)) =

t2

∫ω

0(ω− s)y(s)ds− t

2ω

∫ω

0(ω− s)2y(s)ds−

− t2

2ω

∫ω

0(ω− s)y(s)ds+

12

∫ t

0(t− s)2y(s)ds.

Com o auxılio do Teorema de Arzela-Ascoli, e possıvel provar que KP,QNλ = KP(I−Q)Nλ eum operador compacto para cada λ ∈ [0,1]. A prova deste fato nao apresenta detalhes de difıcilcompreensao; basta lembrar do conceito de operador compacto e verificar que as hipoteses doTeorema de Arzela-Ascoli sao satisfeitas. Ela e omitida aqui apenas por ser extensa.

Logo, para cada λ ∈ [0,1],Nλ e um operador L−compacto em Ω.




63

Proposicao 6. Se as condicoes (H1), (H2), (H3) e (H4) forem satisfeitas, entao se cumprirao ascondicoes seguintes:

i) para λ ∈ (0,1) e x ∈ ∂Ω∩domL, tem-se Lx 6= λNλ (x);

ii) para x ∈ ∂Ω∩KerL, tem-se QN0(x) 6= 0;

iii) deg(QN0,Ω∩KerL,0) 6= 0.

Demonstracao. i) Se Lx = λN(x,λ ), entao |x|0≤ A1, |x′|0≤ A2 e |x′′|0≤ A3, pela Proposicao4. Portanto,

‖x‖ ≤maxA1,A2,A3< A0⇒ x ∈Ω = intΩ,

de onde segue que x /∈ ∂Ω∩domL.

ii) Seja x ∈ ∂Ω∩KerL = ∂Ω∩R. Entao, x e uma funcao constante e, como ‖x‖= A0, temosx(t) =±A0, para todo t ∈ R.

Logo, para x ∈ ∂Ω∩KerL, temos

QN(x,0) =1ω

∫ω

0

[−ax′′(t)− f (x(t− τ(t)))

]dt =− 1

ω

∫ω

0f (±A0)dt 6= 0,

pois A0 > A1 > D e, pela hipotese (H2), e verdade que | f (±A0)|> K + |p|0 > 0.

iii) Considere a homotopia

H(x,µ) = µx+1−µ

ω

∫ω

0f (x)ds, µ ∈ [0,1].

Para x ∈ ∂Ω∩KerL e µ ∈ [0,1], temos

xH(x,µ) = µx2 +1−µ

ω

∫ω

0x f (x)ds > 0,

de onde podemos inferir que 0 /∈ H((∂Ω∩KerL)× [0,1]). Usando a propriedade da in-variancia do grau por homotopia, concluımos que

deg(QN0,Ω∩KerL,0) = deg(− f ,Ω,∩R,0) = deg(−I,Ω∩R,0) 6= 0.

Neste momento, estamos em condicoes de demonstrar o Teorema 1, que e o resultado princi-pal deste trabalho.

Demonstracao. (do Teorema 1) Suponha que as condicoes (H1), (H2), (H3) e (H4) estejam satis-feitas. Pelas Proposicoes 3, 4, 5 e 6, as hipoteses do Lema 2 estao satisfeitas. Portanto, a equacao(4) tem pelo menos uma solucao em Ω∩ domL, o que equivale a dizer que a equacao (5) tempelo menos uma solucao ω-periodica em R.




64

4 ExemploConsidere a seguinte equacao

x′′′(t)+3

10x′′(t)+ exp[−(x′(t− cos(t)))2]+2arctan(x(t− cos(t)) = 1+ sen(t). (17)

Temos a = 310 , g(u) = exp(−u2), f (u) = 2arctan(u), τ(t) = cos(t) e p(t) = 1+ sen(t).

E facil verificar que as condicoes do Teorema 1 estao satisfeitas para K = 1, M = π , D = 20e ω = 2π . Entao, a equacao (17) admite pelo menos uma solucao 2π- periodica.

5 Referencias bibliograficas1. LU, Shiping; GE, Weigao; ZHENG, Zuxiu. Periodic solutions for a kind of Rayleigh

equation with a deviating argument. Appl. Math. Letters, v. 17, n. 4, p. 443-449, 2004.

2. LU, Shiping; GE, Weigao. Periodic solutions for a kind of second order differential equa-tion with multiple deviating arguments. Appl. Math. Comput., v. 146, n. 1, p. 195-209,2003.

3. MA, Shiwang; WANG, Zhicheng; YU, Jianshe. Coincidence degree and periodic solutionsof Duffing equations. Nonlinear Analysis TMA, v. 34, n. 3, p. 443-460, 1998.

4. GUI, Zhanji; GE, Weigao. A priori bounds for periodic solutions of a kind of third-orderdelay differential equation. Applied Mathematics-A Journal of Chinese Universities, v.20, n. 1, p. 59-63, 2005.

5. GAINES, Robert E.; MAWHIN, Jean. L. Coincidence degree and nonlinear differentialequations. Berlin: Springer-Verlay, 1977.




65

ISSN 2316-9664Volume 9, jul. 2017

Fernando da Costa GomesInstituto Federal do Maranhao-Campus [email protected]

Uma demonstracao da conjectura de Chen noespaco Euclidiano E4

A proof of Chen conjecture in the Euclidean space E4.

ResumoSeja M2 uma superfıcie compacta bidimensional imersa no m-espaco Euclidiano Em. A curvatura media total de M2 e definidacomo sendo a integral

∫M2 H

2dV , onde H e dV denotam, res-pectivamente, a curvatura media e o elemento de volume da su-perfıcie M2. Um problema interessante e encontrar o melhor li-mite inferior desta integral em termos dos invariantes geometricosou topologicos de M2. Muitos resultados tem sido obtidos acercadesse problema. Bang-Yen Chen (1981, p. 515) conjecturou quese M2 e uma superfıcie bidimensional compacta de genero g ≥ 1imersa no m-espaco Euclidiano Em, entao a integral do quadradode sua curvatura media e pelo menos 2π2. Neste trabalho, de-monstraremos que essa conjectura e valida no caso do espaco Eu-clidiano 4-dimensional E4.Palavras-chave: Conjectura de Chen. Energia de Willmore.Numeros de Betti.

AbstractLet M2 be a two dimensional compact surface immersed in theEuclidean m-space Em. The total mean curvature of M2 is defi-ned to be the integral

∫M2 H

2dV , where H and dV denote, res-pectively, the mean curvature and the volume element of the sur-face M2. An interesting problem is to find the best possible lowerbound of this integral in terms of the geometric or topologic in-variants of M2. There have been many results obtained on thisproblem. Bang-Yen Chen (1981, p. 515) conjectured that if M2

is a two dimensional compact surface of genus g ≥ 1 immersedin the Euclidean m-space Em, so the integral of the square of themean curvature is at least 2π. In this paper we prove this conjec-ture is true in the case of the Euclidean 4-space E4.Keywords: Chen conjecture. Willmore’s energy. Betti numbers.

1 IntroducaoNa teoria classica de superfıcies fechadas (compactas e sem bordo) imersas em um espaco

Euclidiano m-dimensional Em, os dois invariantes geometricos basicos sao a curvatura Gaussi-ana K e a curvatura media H . A curvatura Gaussiana e um conceito intrınseco e sua integral nosfornece a conhecida formula de Gauss-Bonnet∫

M2

K dV = 2πχ(M2),

onde dV e χ(M2) denotam, respectivamente, o elemento de volume e a caracterıstica de Eulerda superfıcie M2.

Segundo Willmore (1968), para uma 2-superfıcie M2 imersa em Em, a integral do quadradoda curvatura media, conhecida como a energia de Willmore, satisfaz

W (M2) :=

∫M2

H2 ≥ 4π,

onde a igualdade ocorre se, e somente se, M2 e uma 2-esfera em um 3-espaco afim. A energia deWillmore aparece naturalmente em alguns contextos fısicos. Por exemplo, na Biomatematica elaaparece no modelo de Helfrich (1973) como um dos termos que contribuem para a energia dasmembranas celulares.

Chen (1979) mostrou que se M2 e uma superfıcie compacta flat imersa em E4, entao

W (M2) ≥ 2π2.

Uma extensao desse resultado para o caso m-dimensional (m ≥ 4) foi obtida pelo proprio Chenem 1981 e, alem disso, foi proposta a seguinte conjectura.

Conjectura 1 Toda 2-superfıcie compacta M2 de genero g ≥ 1 em Em satisfaz

W (M2) ≥ 2π2.

O principal objetivo deste trabalho e demonstrar que a conjectura acima e valida para o casoem que m = 4. Mais precisamente, demonstraremos o seguinte teorema.

Teorema 2 Seja M2 uma 2-superfıcie compacta de genero g ≥ 1 imersa no espaco EuclidianoE4. Entao

W (M2) ≥ 2π2.

2 Metodo do referencial movelSejam U um aberto do Rn e (e1, e2, . . . , en) campos diferenciaveis de vetores definidos em

U de tal modo que, para todo q ∈ U , se tenha 〈ei, ej〉q = δij , onde δij = 0 se i 6= j e δij = 1se i = j, com i, j = 1, . . . , n. Um tal conjunto de campo de vetores e chamado um referencialortonormal movel em U e sera denotado por ei. Doravante, omitiremos os adjetivos ortonormale movel, isto e, todos os referenciais serao ortonormais.

A partir do referencial ei podemos definir formas diferenciais lineares ω1, . . . , ωn pelacondicao ωi(ej) = δij; em outras palavras, em cada ponto q ∈ U , a base (ωi)q e a base

GOMES, F. C. Uma demonstração da conjectura de Chen no espaço Euclidiano E4. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de Matemática, Bauru, v. 9, p. 66-77,

jul. 2017.

DOI: 10.21167/cqdvol9201723169664fcg6677 - Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

67

dual de (ei)q. O conjunto das formas diferenciais ωi e chamado o correferencial associadoao referencial ei.

Cada campo ei e uma aplicacao diferenciavel ei : U ⊂ Rn → Rn. A diferencial (dei)q :Rn → Rn, em q ∈ U , e uma aplicacao linear. Portanto, para todo v ∈ Rn, podemos escrever

(dei)q(v) =∑j

(ωij)q(v) ej.

As expressoes (ωij)q(v), acima definidas, dependem linearmente de v e diferenciavelmente de q.Portanto, (ωij)q e uma forma linear em Rn. Como ei e um campo diferenciavel, entao ωij e umaforma diferenciavel linear. Com estes significados em mente, escreveremos

dei =∑j

ωij ej (1)

como definicao das formas ωij , que sao chamadas formas de conexao do Rn no referencial ei.Diferenciando a expressao 〈ei, ej〉q = δij, obtemos

0 = 〈dei, ej〉q + 〈ei, dej〉q = ωij + ωji,

isto e, as formas de conexao ωij sao antissimetricas nos ındices i, j.

Teorema 3 (Equacoes de Estrutura do Rn) Seja ei um referencial em um aberto U ⊂ Rn.Sejam ωi o correferencial associado a ei e ωij as formas de conexao de U no referencial ei.Entao,

dωi =∑k

ωk ∧ ωki, (2)

dωij =∑k

ωik ∧ ωkj, k = 1, . . . , n. (3)

Demonstracao: Sejam a1 = (1, 0, . . . , 0), a2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , an = (0, 0, . . . , 0, 1) a basecanonica do Rn e xi : U → R a funcao que faz corresponder a cada ponto q = (x1, . . . , xn) ∈ Ua sua i-esima coordenada. Entao, dxi e uma forma diferencial em U e, como dxi(aj) = δij ,concluımos que dxi e o correferencial associado ao referencial ai. O referencial dado seexprime em termos dos ai por

ei =∑j

βij aj, (4)

onde os βij sao funcoes diferenciaveis em U e, para cada q ∈ U , a matriz (βij(q)) e uma matrizortogonal. Como ωi(ej) = δij, temos

ωi =∑j

βij dxj. (5)

Diferenciando (4), obtemos

dei =∑k

dβik ak =∑k

dβij∑j

βjk ej.

Como dei =∑j

ωij ej, concluımos que

ωij =∑k

dβik βjk, (6)


jul. 2017.


68

ou seja, ∑j

ωij βjs =∑jk

dβik βjk βjs = dβis, s = 1, . . . , n. (7)

Por fim, diferenciando exteriormente (5) e usando (7), obtemos

dωi =∑j

dβij ∧ dxj =∑j,k

ωik βkj ∧ dxj =∑k

ωk ∧ ωki,

que e a primeira equacao de estrutura (2).Diferenciando (6) e usando (7), obtemos

dωij = −∑k

dβik ∧ dβjk

= −∑k

(n∑l=1

ωil βlk

)∧

(∑s

ωjs βsk

)= −

∑s

ωis ∧ ωjs

=∑k

ωik ∧ ωkj, (8)

que e a segunda equacao de estrutura (3).De modo inteiramente analogo ao que foi feito em Rn, podemos definir, mais geralmente,

um referencial ortonormal movel em um aberto U de uma variedade Riemanniana Mn qualquer.Para finalizarmos esta secao, apresentaremos o importante lema de Cartan e demonstraremos aexistencia e unicidade das formas de conexao.

Lema 4 (Cartan) Sejam V um espaco vetorial de dimensao n e ω1, . . . , ωr : V → R, r ≤n, formas lineares de V linearmente independentes. Suponhamos que existam formas linearesθ1, . . . , θr : V → R satisfazendo a seguinte condicao,

r∑i=1

ωi ∧ θi = 0.

Entao,θi =

∑j

aij ωj, i, j = 1, . . . , r, aij = aji.

Demonstracao: Completemos as formas ω1, . . . , ωr em uma base ω1, . . . , ωr, ωr+1, . . . , ωn deV ∗ (espaco dual de V ) e escrevamos

θi =r∑j=1

aij ωj +n∑

l=r+1

bil ωl.

Basta agora observarmos que a condicao∑i

ωi ∧ θi = 0 implica em

0 =r∑i=1

ωi ∧ θi

=r∑i=1

ωi ∧r∑j=1

aij ωj +r∑i=1

ωi ∧n∑

l=r+1

bil ωl

=∑i<j

(aij − aji)ωi ∧ ωj +∑i<l

bilωi ∧ ωl. (9)


jul. 2017.


69

Como os ωk ∧ ωs, k < s, k, s = 1, . . . , n, sao linearmente independentes, concluımos queaij = aji e bil = 0.

Lema 5 Sejam Mn uma variedade Riemanniana, q ∈ Mn e U ⊂ Mn uma vizinhanca de q.Sejam (e1, . . . , en) um referencial movel em U e ω1, . . . , ωn o correferencial associado a ei.Suponha que exista em U um conjunto de 1-formas diferenciais ωij satisfazendo as condicoes

ωij = −ωji e dωj =∑k

ωk ∧ ωkj.

Entao um tal conjunto e unico.

Demonstracao: Suponhamos que exista outro conjunto de formas ωij com

ωij = −ωji, dωj =∑k

ωk ∧ ωkj.

Entao,∑k

ωk ∧ (ωkj − ωkj) = 0 e, pelo lema de Cartan,

ωkj − ωkj =∑i

Bjkiωi, Bj

ki = Bjik.

Observemos que,

ωkj − ωkj =∑i

Bjkiωi = −(ωjk − ωjk) = −

∑i

Bkjiωi

e, como os ωi sao linearmente independentes, entao Bjki = −Bk

ji. Usando as simetrias obtidas,concluımos que

Bkji = −Bj

ki = −Bjik = Bi

jk = Bikj = −Bk

ij = −Bkji = 0,

ou seja, ωkj = ωkj.

Lema 6 Escolhido um referencial ei em um aberto U ⊂ Mn de uma variedade RiemannianaMn, existe em U um conjunto de formas diferenciais ωij que satisfazem

ωij = −ωji e dωj =∑k

ωk ∧ ωkj. (10)

Demonstracao: Dado um ponto q ∈ Mn, o conjunto ωi ∧ ωj; i < j, i, j = 1, . . . , n formauma base para o espaco Λ2(TqM

n)∗ das formas bilineares alternadas de TqMn × TqMn, onde

TqMn denota o espaco tangente a Mn em q. Assim, podemos escrever

dωj =∑k<i

Ajkiωk ∧ ωi; com Ajki = −Ajik. (11)

Queremos determinar funcoes Cikj = −Ci

jk tais que as formas diferenciais

ωkj =∑i

Cikjωi (12)


jul. 2017.


70

satisfacam (10). Se tais formas existirem, entao de (10) e (11) teremos

dωj =∑k<i

Ajkiωk ∧ ωi =∑k

ωk ∧

(∑i

Cikjωi

)=

∑k<i

(Cikj − Ck

ij)ωk ∧ ωi.

Igualando os coeficientes de termos correspondentes nas equacoes acima, obtemos

Ajki = Cikj − Ck

ij

Akij = Cjik − C

ijk

Aikj = Cjki − C

kji.

Adicionando membro a membro as igualdades acima, encontraremos a seguinte condicao ne-cessaria para a existencia dos Ci

kj ,

Cikj =

1

2(Ajki + Akij + Aikj). (13)

Entao, basta definirmos Cikj como em (13) e as formas ωij por (12).

3 Subvariedades em um espaco EuclidianoSeja f : Mn → En+p uma imersao de uma variedade suave compacta sem bordo n-dimensional

Mn em um espaco Euclidiano En+p de dimensao n+ p.Ao longo desta secao, identificaremos Mn com sua imagem imersa e convencionaremos os

seguintes domınios de ındices: 1 ≤ i, j, k ≤ n; 1 ≤ α, β, γ ≤ p; n + 1 ≤ r, s, t ≤ n + p; 1 ≤A,B,C ≤ n+ p. Alem disso, denotaremos por NqM

n o espaco normal a Mn em q.Consideremos no fibrado tangente T (En+p) um referencial ortonormal local (e1, . . . , en+p)

com a propriedade que, quando restritos a um aberto U de Mn, os vetores (e1, . . . , en) sejamtangentes a U e os vetores (en+1, . . . , en+p) sejam normais a U . Denotemos por (ω1, . . . , ωn+p)seu respectivo correferencial. Como vimos na Secao 1, existe uma unica 1-forma de conexao,(ωAB), tal que

dωA =∑B

ωAB ∧ ωB, ωAB + ωBA = 0, dωAB =∑C

ωAC ∧ ωCB.

Restringindo estas formas a Mn, temos ωr = 0, para todo r. Assim,

0 = dωr =∑i

ωri ∧ ωi, ∀ r.

Pelo lema de Cartan, temos

ωri =∑j

hrijωj, hrij = hrji, ∀ i, j, r.


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A primeira e a segunda forma fundamental sao, respectivamente, dadas por

I =∑i

(ωi)2 e II =

∑i,j,r

hrijωiωjer.

O operador de forma Ae de Mn com relacao ao vetor normal e ∈ NqMn e o operador auto-

adjunto em TqMn correspondente a forma quadratica IIe = 〈II, e〉. A matriz deAer com relacao

a base adaptada e1, ..., en+p e Lr = (hrij)n×n.Alem disso, podemos representar o campo vetor curvatura media ξ, a curvatura media H e o

comprimento ao quadrado da segunda forma fundamental S da seguinte maneira

ξ =∑r

Hrer, H = |ξ|, S =∑i,j,r

(hrij)2,

onde Hr = 1n

∑i

hrii para todo r.

Denotemos por Bν o fibrado normal unitario de f(Mn) em En+p, isto e,

Bν = (x, ν(x)) | x ∈Mn e ν(x) ∈ Nf(x)Mn, com 〈ν(x), ν(x)〉 = 1.

Notemos que Bν e localmente um fibrado de esferas (p − 1)-dimensionais sobre f(Mn) e elocalmente uma variedade diferenciavel de dimensao n+ p− 1.

Existe uma forma diferenciavel dσp−1 de grau p − 1 em Bν tal que, quando restrita a umafibra, e o elemento de volume da esfera de vetores normais e unitarios em um ponto x ∈ Mn,denotada por Sp−1

x .Com efeito, podemos pensar em f = en+p como vetor posicao da esfera Sp−1

x . Assim, dasequacoes (1) e (2) obtemos

df =

p−1∑α=1

ωn+αen+α e den+p =

p−1∑α=1

ωn+p,n+αen+α,

donde segue que,ωn+p,n+α = ωn+α.

Desse modo, o elemento de volume de Sp−1x no referencial acima e dado pela (p− 1)-forma

dσp−1 = ωn+1 ∧ · · · ∧ ωn+p−1 = ωn+p,n+1 ∧ · · · ∧ ωn+p,n+p−1.

Por outro lado, o elemento de volume deMn pode ser representado pela n-forma dV = ω1∧· · ·∧ωn. Como Bν e uma variedade diferenciavel (n+ p− 1)-dimensional, entao a (n+ p− 1)-formadada por

dV ∧ dσp−1 = ω1 ∧ · · · ∧ ωn ∧ ωn+1 ∧ · · · ∧ ωn+p−1

pode ser considerada como o elemento de volume de Bν .Em um ponto arbitrario (x, e) ∈ Bν , denotemos Ae = (Aij). Definimos a k-esima curvatura

media Kk(x, e) em (x, e) por

det(δij + tAij) = 1 +∑k

(n

k

)Kk(x, e)t

k,

onde δij e o delta de Kronecker, t e um parametro e(n

k

)=

n!

k!(n− k)!.


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Quando k = n, a k-esima curvatura media coincide com a curvatura de Lipschitz-Killing em(x, e). Chamamos a integral

K∗k(x) :=

∫Sp−1x

|Kk(x, e)|n/k dσp−1(e),

a k-esima curvatura absoluta total de Mn em x. A k-esima curvatura absoluta total com relacaoa f e definida por

TAk(f) :=1

cn+p−1

∫Mn

K∗k dV,

onde cn+p−1 denota o volume da esfera unitaria (n+ p− 1)-dimensional.O lema, a seguir, estabelece um limite inferior para TAn(f) em termos dos i-esimos numeros

de Betti βi(Mn) de Mn (confira a Secao 4 para a definicao de βi(Mn)).

Lema 7 Seja f : Mn → En+p uma imersao de uma variedade fechada em En+p. Entao,

TAn(f) ≥n∑i=0

βi(Mn),

onde βi(Mn) e o i-esimo numero de Betti.

Demonstracao: Vide (CHERN; LASHOF, 1958, p. 5).

4 Complexos simpliciaisDizemos que a0, a1, . . . , ar em Rn sao pontos independentes quando os vetores

a1 − a0, a2 − a0, . . . , ar − a0

sao linearmente independentes. Esta definicao nao depende da ordem em que os pontos foramlistados inicialmente, como se ve sem dificuldade.

Exemplo 8 Dois pontos distintos sao independentes. Tres pontos sao independentes quando saonao-colineares e quatro pontos independentes sao pontos nao-coplanares. Se e1, . . . , en e abase canonica do Rn, entao os pontos 0, e1, . . . , en sao independentes. O numero maximo depontos independentes em Rn e n+ 1.

Uma combinacao afim de pontos a0, a1, . . . , ar em Rn e uma expressao do tipo

p = α0 · a0 + α1 · a1 + · · ·+ αr · ar,

com α0 + α1 + · · ·+ αr = 1. Se, alem disto, tivermos α0 ≥ 0, α1 ≥ 0, . . . , αr ≥ 0, diremos quep e uma combinacao convexa dos pontos a0, a1, . . . , ar.

Um conjunto X ⊂ Rn e convexo se, e somente se, toda combinacao convexa de elementosde X ainda pertence a X .

O conjunto de todas as combinacoes convexas de um conjunto arbitrario X ⊂ Rn e umconjunto convexo. Ele e chamado a envoltoria convexa deX e esta contido em qualquer conjuntoconvexo que contenha X . Neste sentido, a envoltoria convexa de X e o menor conjunto convexo


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contendoX . Podemos descreve-la como a intersecao de todos os conjuntos convexos que contemX .

Sejam a0, a1, . . . , ak pontos independentes em Rn. O simplexo k-dimensional (ou k-simplexo)que tem estes pontos como vertices e o conjunto σ = 〈a0, a1, . . . , ak〉 de todas as combinacoes

convexas p =k∑i=0

αiai, ou seja, e a envoltoria convexa do conjunto a0, a1, . . . , ak. O numero k

e chamado a dimensao do simplexo.Fixado um subconjunto i0, i1, . . . , ij ⊂ 0, 1, . . . , k, o simplexo 〈ai0 , ai1 , . . . , aij〉 e cha-

mado uma face de σ. Em particular, cada vertice de σ e uma face de dimensao zero. Para cadai = 0, . . . , k, a face σ(i) = 〈a0, a1, . . . , ai, . . . , ak〉 chama-se a face oposta ao vertice ai. Se τ euma face de σ, escreveremos τ σ.

Um poliedro e um subconjunto K ⊂ Rn, no qual foi especificada uma colecao finita desimplexos de Rn, chamados os simplexos de K, de modo que as condicoes abaixo sao satisfeitas:

1. Todo ponto de K pertence a algum simplexo de K (ou seja, K e a reuniao dos seus sim-plexos);

2. Toda face de um simplexo de K e ainda um simplexo de K;

3. Se σ e ρ sao simplexos de K, entao σ ∩ ρ e vazio ou e uma face comum a σ e ρ (e portantoe um simplexo de K).

Exemplo 9 O poliedro mais simples e um simplexo, juntamente com suas faces. Em dimensoeszero, um, dois e tres sao, respectivamente, um ponto, um segmento de reta, um triangulo e umtetraedro.

Consideremos um k-simplexo σ, o qual e a envoltoria de um conjunto A de k + 1 pontosindependentes a0, . . . , ak (d ≥ k) em algum espaco Euclidiano Rd. Neste caso, dizemos que Agera o simplexo σ.

Uma orientacao de σ e induzida por uma ordenacao de seus vertices, denotada por 〈a0 · · · ak〉,como segue: Para qualquer permutacao π de 0, . . . , k, temos

〈aπ(0) · · · aπ(k)〉 = (−1)sign(π)〈a0, · · · , ak〉,

onde o sign(π) e o numero de transposicoes de π (logo, cada simplexo tem duas orientacoesdistintas). Um simplexo junto com uma escolha especıfica de orientacao e chamado simplexoorientado.

Um complexo simplicial K e um conjunto finito de simplexos em algum espaco EuclidianoRn, tal que (i) se σ e um simplexo de K e τ e uma face de σ, entao τ e um simplexo de K, e (ii)se σ e τ sao simplexos de K, entao σ ∩ τ e ou vazia ou uma face comum de σ e τ . A dimensaode K e o maximo das dimensoes de seus simplexos. Se d e a dimensao de K, diremos que Ke um d-complexo simplicial. A uniao de todos os simplexos de K induzidos com a topologiasubespaco de Rm sera denotada por |K|.

O i-esqueleto de K, denotado por Ki, e a uniao de todos os simplexos de K de dimensao nomaximo i. Um subcomplexo L deK e um subconjunto deK que e um complexo simplicial. Umatriangulacao de um espaco topologico X e um par (K,h), onde K e um complexo simplicial eh e um homeomorfismo de |K| em X.


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A caracterıstica de Euler de um d-complexo simplicial K, denotada por χ(K), e o numero

d∑i=0

(−1)iαi,

onde αi e o numero de i-simplexos de K.

5 Espacos de cadeia e homologia simplicialSeja K um complexo simplicial. Uma k-cadeia simplicial e uma soma formal do tipo

∑j ajσj

sobre os k-simplexos orientados σj emK, com coeficientes aj no corpo Q dos numeros racionais.Alem disso, por definicao, −σ = (−1)σ e o simplexo obtido de σ invertendo-se sua orientacao.

Com as definicoes canonicas de adicao e multiplicacao por escalar, o conjunto de todas ascadeias k-simpliciais forma um espaco vetorial Ck(K,Q), chamado espaco vetorial de k-cadeiassimpliciais de K, que e o espaco vetorial livre gerado pelos k-simplexos. A dimensao desseespaco vetorial e igual ao numero de k-simplexos de K. Portanto, a caracterıstica de Euler deum complexo simplicial d-dimensional K pode ser expressada como uma soma alternada dasdimensoes dos espacos de k-cadeias,

χ(K) =d∑i=0

(−1)i dimCk(K,Q). (14)

Seja 〈vi0 · · · vih · · · vik〉 um k-simplexo. Usaremos a notacao 〈vi0 · · · vih · · · vik〉 para indicar aomissao do termo vih .

O operador de bordo ∂k : Ck(K,Q) → Ck−1(K,Q) e definido como segue. Dado um unicok-simplexo σ = 〈vi0 · · · vik〉, k > 0, pomos

∂kσ =k∑

h=0

(−1)h〈vi0 · · · vih · · · vik〉,

e entao estendemos linearmente ∂k pondo

∂k

(∑j

ajσj

)=∑j

aj∂kσj.

Por consistencia definimos C−1(K,Q) = 0 e ∂0 : C0(K,Q) → C−1(K,Q) como sendo aaplicacao nula. O operador de bordo e uma aplicacao linear entre espacos vetoriais e satisfaza relacao ∂k∂k+1 = 0.

O espaco vetorial Zk(K,Q) = ker∂k e chamado espaco vetorial de k-ciclos simpliciais. Oespaco vetorial Bk(K,Q) = im∂k+1 e chamado espaco vetorial de k-bordos simpliciais. Como obordo de um bordo e 0, Bk(K,Q) e um subespaco de Zk(K,Q).

O espaco vetorial quociente

Hk(K,Q) = Zk(K,Q)/Bk(K,Q)

e o k-esimo espaco vetorial de homologia de K. Dois k-ciclos α e β sao k-homologos se adiferenca entre eles e um k-bordo, isto e, se existe uma (k+ 1)−cadeia γ tal que α−β = ∂k+1γ.A classe de homologia de α ∈ Zk(K,Q) e denotada por [α].


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Os coeficientes de cadeias simpliciais que consideramos ate agora foram os numeros racio-nais. Normalmente, esses coeficientes sao tomados em um anel, como o conjunto dos inteiros.Neste caso, obtem-se grupos de homologia, em vez de espacos vetoriais de homologia. Assim,Hk(K,Z) e chamado de k-esimo grupo de homologia do complexo K.

O k-esimo numero de Betti de um complexo simplicial K, denotado por βk(K,Q), e a di-mensao de Hk(K,Q). Em particular,

βk(K,Q) = dimZk(K,Q)− dimBk(K,Q). (15)

6 Demonstracao do resultado principalDemonstracao: (Do Teorema 2). O genero g e a caracterıstica de Euler χ(M2) de uma 2-superfıcie estao relacionados pela equacao χ(M2) = 2 − 2g. Como, por hipotese, g ≥ 1, entaoχ(M2) ≤ 0. Da formula de Gauss-Bonnet, segue que M2 tem curvatura Gaussiana K ≤ 0.Levando-se em conta que “a curvatura escalar normalizada de uma 2-superfıcie coincide comsua curvatura Gaussiana”(HOU, 1998, p. 503) e usando uma desigualdade devida a Chen (1973,p. 641), obtemos

∫M2

H2 dV ≥ π2

2·(

1

c3

∫M2

K∗2 dV

)+π

4

∫M2

K dV, (16)

onde c3 denota o volume da esfera unitaria 3-dimensional de E4.Da identidade χ(M2) = β0(M

2)− β1(M2) + β2(M2), do Lema 7 e de (16), temos

∫M2

H2 dV ≥ π2

2· [β0(M2) + β1(M

2) + β2(M2)] +

π2

2· [β0(M2)− β1(M2) + β2(M

2)]

= π2[β0(M2) + β2(M

2)]

= 2π2,

onde usamos na ultima igualdade o fato de que β0(M2) = β2(M2) = 1 para toda superfıcie

bidimensional compacta, conforme Otsuki (1966).

7 ReferenciasCHEN, B. Y. On the total curvature of immersed manifolds, III: surfaces in Euclidean 4-space,Amer. J. Math, v. 95, n. 3, p. 636-642, 1973.

CHEN, B. Y. On the total curvature of immersed manifolds, IV: spectrum and total mean curva-ture. Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, v. 7, n. 3, p. 301-311, 1979.

CHEN, B. Y. On the total curvature of immersed manifolds, V: C-surfaces in Euclidean m-space.Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, v. 9, n. 4, p. 509-516, 1981.


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CHERN, S. S.; LASHOF, R. K. On the total curvature of immersed manifolds. II, MichiganMath. J., v. 5, n. 1, p. 5-12, 1958.

HELFRICH, W. Elastic properties of lipid bilayers: theory and possible experiments, Z. Natur-forsch, v. 28, p. 693-703, 1973.

HOU, Z. H. The total mean curvature of submanifolds in a Euclidean space, Michigan Math. J.,v. 45, n. 3, p. 497-505, 1998.

OTSUKI, T. On the total curvature of surfaces in Euclidean spaces, Japan. J. Math, v. 35, p.61-71, 1966.

WILLMORE, T. J. Mean curvature of immersed manifolds, An. Sti. Univ. ”Al. I. Cuza” Iasi.Sect. I. a Mat, v. 14, p. 99-103, 1968.


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,661 - UNESP: Câmpus de Bauru - Faculdade de Ciências · Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e derivação da ... utilizaremos a noção de sequências