Métodos Estatísticos

7 7 –– Inferência EstatInferência EstatíísticasticaEstimaEstimaçção de Parâmetrosão de Parâmetros

ProporProporççõesões

• Referencia: Estatística Aplicada às Ciências Sociais, Cap. 9

• Pedro Alberto Barbetta. Ed. UFSC, 5ª Edição, 2002.

universo do estudo (população)

O raciocínio indutivo da estimação de parâmetros

dados observados

Estimação de Parâmetros

AMOSTRA

POPULAÇÃO

π = ?

X1 X2 X3 ...Observações: pπ = p ± erro amostral

Estimação de Parâmetros

Estimação de Parâmetros

População Amostra

π

σ 2

µ

S2

X−

p

Objetivo

• A partir de uma amostra estimar os parâmetros populacionais.

Amostra

S2

X−

p

População

π = ?σ2 = ?

µ = ?

Estimação de Parâmetros

Estimação de uma proporção π

• proporção amostral: p

• Relação entre o parâmetro πe a estatística p

Relação entre π e p

População30%contrários

70%favoráveis

Amostra aleatória comn = 400 indivíduos

Calcula-se p

Em geral, erro amostral < 0,05

Em geral, o intervalo p ± 0,05 contém π

0

5

10

15

20

0,64 0,66 0,68 0,7 0,72 0,74 0,76v alor calculado de P

freq

üênc

ia

0,70

Simulou-se 100 amostras desta forma

Nenhuma amostra com o valor de p fora do Intervalo 0,65 – 0,76

Como conhecemos π = 0,70, podemos dizer que a magnitude do erro amostral é 0,76 – 0,7 = 0,06

• Desde que a amostra seja aleatória e razoavelmente grande (n > 30), tem-se:

• Os possíveis valores de p seguem uma distribuição (aproximada) normal com média e desvio padrão dados por:

Relação entre π e p

n).(1 = P

π−πσ

πµ = P

Distribuição de p

≈ 95%

π ± 1,96σp

π

No exemplo distribuição de p

0,70 ± 0,045

≈ 95%

0,70

≈ 0,745≈ 0,655

π ± 1,96σp

π = 0,70σp= 0,023

n).(1 = P

π−πσ

Estimação de uma proporção π

Na prática, estima-se o erro padrão da proporçãopor

n)p.(1p = SP

−

Estimação de uma proporção π

n)p.(1p = SP

−

Intervalo de 95% de confiança

para π: p ± 1,96Sp onde:

Ex. n = 400 acusando 268 favoráveis ==> p = 0,67

0235,0400

)67,0.(167,0 = SP =− I. C.: 0,67 ± 0,046

ou: 67,0% ± 4,6%

População30%contrários

70%favoráveis

Estimação de π(exemplo)

Com 95% de confiança a verdadeira proporção de favoráveis está no intervalo67,0% ± 4,6%(ou de 62,4% a 71,6%)

≈ 95%

0,70 ± 0,048

0,70

0,67

π ± 1,96σπ

Pela teoria:possíveis valores de p

Outros Níveis de confiança

0 Z- Z

= nível de confiançadesejado

área interna =

PARTE DE UMA TABELA NORMAL PADRÃO

Área 0,800 0,900 0,950 0,980 0,990 0.995 0,998

z 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090

p ± z . SP

Intervalo de confiança

Repetir exemplo anterior, usando 99% de confiança

Pela tabela, área = 99% Z = 2,576Z.Sp = 2,576 x 0,0235 = 0,06 (ou 6%)Int. conf. = 67% ± 6%

Estimação de uma proporção πTamanho N da população conhecido

Faz-se a seguinte correção nocálculo do erro padrão:

1NnN

n)p.(1p = SP −

−−

OBS. Se N >> n, pode-se usar a expressão anterior

Exercícios1. Calcule o intervalo de confiança para a proporção

(conhecida) π. Discuta sobre a precisão das estimativas,

ao variar n e π.a) Nível de confiança de 90%, n = 400 com 60% de favoráveis;

b) Nível de confiança de 90%, n = 1000 com 600 favoráveis;

c) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 80 favoráveis;

d) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 320 favoráveis;

e) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 200 favoráveis;

n)p.(1p = SP

−IC = p ± z . SP

Exercíciosa) Nível de confiança de 90%, n = 400 com 60% de favoráveis;

P = 60%; Z = 1,645; Sp = 0,0245 ; IC = 60% ± 1,645x0,0245 = 60% ± 4,0%

b) Nível de confiança de 90%, n = 1000 com 600 favoráveis;P = 600/1000 = 0,60 60%; Z = 1,645; Sp = 0,0155 ; IC = 60% ± 1,645x0,0155 = 60% ± 2,5%

c) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 80 favoráveis;P = 80/400 = 0,20 20%; Z = 1,96; Sp = 0,02 ; IC = 20% ± 1,96 x 0,02 = 20% ± 3,9%

d) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 320 favoráveis;P = 320/400 = 0,80 80%; Z = 1,96; Sp = 0,02 ; IC = 80% ± 1,96 x 0,02 = 80% ± 3,9%

e) Nível de confiança de 95%, n = 400 com 200 favoráveis;P = 200/400 = 0,50 50%; Z = 1,96; Sp = 0,02 ; IC = 80% ± 1,96 x 0,02 = 80% ± 3,9%

Exercícios2. O tema da redação do vestibular da Coperve de 1991

tratou da mudança da capital de SC para Curitibanos. Lendo-se as redações, torna-se possível verificar se o vestibulando é ou não favorável a mudança.

a) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre todas as redações. Na amostra, 120 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de vestibulandos favoráveis a mudança, na amostra observada? E na população de vestibulandos considerando 95% de confiança?

b) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre os que prestaram o exame na região de Curitibanos. Nesta amostra, 250 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de favoráveis a mudança, na população de vestibulandos?

Exercícios2. O tema da redação do vestibular da Coperve de 1991

tratou da mudança da capital de SC para Curitibanos. Lendo-se as redações, torna-se possível verificar se o vestibulando é ou não favorável a mudança.

a) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre todas as redações. Na amostra, 120 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de vestibulandos favoráveis a mudança, na amostra observada? E na população de vestibulandos considerando 95% de confiança?

n = 400; p = 120/400 = 0,30 30% da amostra;

p = 0,30; Sp = 0,023; z95% = 1,96

Na população, o intervalo 30% ± 4,5%, contém a proporção de favoráveis

Exercícios2. O tema da redação do vestibular da Coperve de 1991

tratou da mudança da capital de SC para Curitibanos. Lendo-se as redações, torna-se possível verificar se o vestibulando é ou não favorável a mudança.

b) Foram observadas 400 redações extraídas ao acaso dentre os que prestaram o exame na região de Curitibanos. Nesta amostra, 250 mostraram-se favoráveis. O que se pode dizer da proporção de favoráveis a mudança, na população de vestibulandos? E na população da região

Em relação a população nada, uma vez que a amostragem não foi aleatória.Em relação a região, a proporção nesta amostra é de: 250/400 = 62.5% de favoráveis a mudança da capital.

Estimação de uma proporção πTamanho N da população conhecido

Faz-se a seguinte correção nocálculo do erro padrão:

1NnN

n)p.(1p = SP −

−−

OBS. Se N >> n, pode-se usar a expressão anterior

Intervalo de 95% de confiança para π 33,3% ± 7,3%

037,0)8607,0)(0430,0(1460

120460120

)333,0.(1333,0 = P

==

=−

−−S

Exercício

3. Numa AAS, de tamanho 120 famílias, realizada em certo bairro da cidade, observou-se que 33,3% possuíam instalações sanitárias adequadas. Considerando que no bairro existem 460 domicílios, encontre um IC de 95% para a proporção de domicílios com instalações sanitárias adequadas.

p = 0,033;

Z95% = 1,96

1,96 x Sp = 1,96 x 0,037 = 0,073