7 – Séries de Fourierwebx.ubi.pt/~felippe/texts2/an_sinais_cap7.pdf · 7 – Séries de Fourier 7.1 – Introdução à Análise de Fourier 3 7.2 – Série trigonométrica de

7 – Séries de Fourier

7.1 – Introdução à Análise de Fourier 3

7.2 – Série trigonométrica de Fourier para sinais contínuos 5

7.3 – Teorema de Fourier 6

Exemplo 7.1 7

7.4 – Uma interpretação da Série de Fourier 13

7.5 – Série exponencial de Fourier para sinais contínuos 17

Exemplo 7.2 19

7.6 – Equivalência das séries trigonométrica e exponencial de Fourier 21

7.7 – Propriedades da Série de Fourier para sinais contínuos 23

Linearidade 23

Translação no tempo (“time shifting”) 24

Sinal reflectido / reversão no tempo (“time reversal”) 25

Escalonamento no tempo (“time scaling”) 26

Multiplicação 27

Conjugação 27

Translação na frequência (“frequency shifting”) 28

Convolução no período 29

Derivada 30

Integral 30

Relação de Parseval 31

7.8 – Série trigonometria de Fourier para sinais discretos 31

Exemplo 7.3 34

Exemplo 7.4 40

J. A. M. Felippe de Souza 7 – Séries de Fourier

2

Exemplo 7.5 43

Exemplo 7.6 44

Exemplo 7.7 46

7.9 – Propriedades da Série de Fourier para sinais discretos 47

Linearidade 47

Translação no tempo (“time shifting”) 48

Sinal reflectido / reversão no tempo (“time reversal”) 49

Escalonamento no tempo (“time scaling”) 49

Multiplicação 50

Conjugação 51

Translação na frequência (“frequency shifting”) 52

Convolução no período 53

Primeira diferença 53

Soma acumulada 54

Relação de Parseval 55


3

Séries de Fourier 7.1 – Introdução à Análise de Fourier Neste capítulo e no próximo estudaremos a Análise de Fourier (também chamada de Análise Harmónica), que diz respeito à representação de sinais como uma soma (ou melhor dizendo, uma combinação linear) de sinais básicos como senos e co-senos, ou exponenciais complexas. A série de Fourier, assim como a transformada de Fourier, são as importantes contri-buições do matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).

Fig. 7.1 – Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francês.


4

A Análise de Fourier permite decompor um sinal nas suas componentes em frequên-cia (harmónicos) e tem muitas aplicações no Processamento de sinal, no Processa-mento de imagem, na Física em várias aplicações, na Probabilidade e Estatística as-sim como em muitas outras áreas. Antes de Fourier três físicos já tinham feito estudos preliminares em séries infinitas para resolverem problemas diversos da Física: suíço Leonhard Euler (1707-1783), o francês Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783) e o holandês Daniel Bernoulli (1700-1782). Entretanto, Fourier foi o primeiro a fazer um estudo sistemático das séries infinitas para resolver a equação da propagação do calor na Física, na publicação “Mémoire sur la théorie de la chaleur”, embora ele não tenha expresso os seus resultados com grande formalismo. Somente uns anos mais tarde que dois matemáticos: o alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) e o alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), expressaram os resultados de Fourier com mais rigor e precisão.

Fig. 7.2 – Série de Fourier (sinal periódico da onda quadrada).


5

7.2 – Série trigonométrica de Fourier para sinais contínuos Considere um sinal periódico contínuo x(t) ∈ R {conjunto dos números reais}, ∀ t. O sinal x(t) pode ser expresso como:

( ) ( )[ ]∑

∑

∞

=

∞

=

ω⋅+ω⋅+=

=

⋅π⋅+

⋅π⋅+=

1kokok

0

1kkk

0

tksenbtkcosa2

a

tkT

2senbtk

T

2cosa

2

a)t(x

eq. (7.1)

onde:

T = período fundamental do sinal x(t),

ωo = frequência fundamental do sinal x(t),

( )∫

∫

ω⋅=

=

⋅π⋅=

T

o

T

k

dttkcos)t(xT

2

dttkT

2cos)t(x

T

2a

k = 0, 1, 2, … eq. (7.2)

( )∫

∫

ω⋅=

=

⋅π⋅=

T

o

T

k

dttksen)t(xT

2

dttkT

2sen)t(x

T

2b

k = 1, 2, … eq. (7.3)

sendo que as integrais acima são tomadas ao longo do intervalo do período T do sinal periódico x(t). Observe que existe ao na série ak [eq. (7.2)], mas não existe bo na série bk [eq. (7.3)]. Além disso, ao (na eq. (7.2) fazendo k = 0), pode ser reescrito de forma mais simplifi-cada pois, como

( ) 0, k para,1tkcostkT

2cos o ==ω=

⋅π

então,


6

∫ ⋅=T

o dt)t(xT

2a

ou seja, ao de certa forma representa um valor médio do sinal x(t) no intervalo de um período T. Esta série é conhecida como série trigonométrica de Fourier pois contém termos com senos e co-senos. A equação eq. (7.1) acima é conhecida como a

“equação de síntese”

e as equações eq. (7.2) e eq. (7.3) são conhecidas como as

“equações de análise”

da série trigonométrica de Fourier. Os ak’s e os bk’s são chamados de coeficientes da série trigonométrica de Fourier. 7.3 – Teorema de Fourier Definição 7.1: x(t) é um sinal seccionalmente contínuo (ou, também chamado de “contínuo por partes”) se x(t) tem um número limitado de descontinuidades em qual-quer intervalo limitado.

Fig. 7.3 – Um sinal seccionalmente contínuo.

Definição 7.2: x(t) é um sinal seccionalmente diferenciável se ambos x(t) e sua deri-vada x’(t) forem sinais seccionalmente contínuos. Com estas definições podemos agora ver o Teorema de Fourier que estabelece os tipos de sinais que podem ser aproximados pela série de Fourier.


7

Teorema 7.1 (Teorema de Fourier):

Se x(t) é um sinal periódico seccionalmente diferenciável e de período T, então a série de Fourier [eq. (7.1)] converge em cada ponto t para:

a) x(t), se o sinal x(t) for contínuo no instante t ;

b) ½ [ x(t+0+) + x(t+0-) ] , o sinal x(t) for descontínuo no instante t. Um ponto positivo deste resultado é que a limitação do Teorema de Fourier acima é muito leve pois a grande maioria dos, ou quase todos, sinais de interesse prático são seccionalmente diferenciáveis. Portanto, o Teorema de Fourier acima assegura que, para os sinais x(t) que forem aproximados pela série de Fourier, quanto mais termos da série (ou parcelas da soma) forem adicionados, melhor será a aproximação. Ou seja, se chamarmos de xn(t) à série de Fourier com n termos, então:

)t(x)t(x n → nos casos em que x(t) for um sinal contínuo no instante t; e

[ ]2

)0t(x)0t(x)t(x n

−+ +++→

nos casos em que x(t) não for um sinal contínuo no instante t. Exemplo 7.1: Considere o sinal x(t) dado abaixo (onda quadrada), definido num intervalo (de t = –1 até t = 1) ilus-trado na figura 7.4.

Fig. 7.4 – Sinal da onda quadrada em um período (de t = –1 até 1).

<<

<<−−=

1t0se,1

0t1se,1)t(x


8

Repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e para esquerda de t = –1, obtemos um sinal periódico para ∀t (∞ < t < ∞ ).

Fig. 7.5 – Sinal do Exemplo 7.1. Onda quadrada estendida para ∀t (∞ < t < ∞). Agora x(t), sendo um sinal periódico ∀t (∞ < t < ∞) já pode ser aproximado por uma série de Fourier. De forma semelhante podemos estender qualquer outro sinal definido em um deter-minado intervalo finito e torná-lo periódico de forma a podermos aproximá-lo por uma série de Fourier.

Calculando-se agora os coeficientes de Fourier para o sinal da onda quadrada defi-nido acima temos, para ao primeiramente,

0dt)1(dt)1(dt)t(xT

2a

1

0

0

1T

o =+−=⋅= ∫∫∫ −

Como o período fundamental é T = 2, então

π=π=ωT

2o

e portanto,

( )

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( )

... 2, 1, k ,0

tksentksenk

1

dttkcos1dttkcos)1(

dttkcos)t(xT

2a

10

01

1

0

0

1

1

1k

==

=π+π−π

=

=π⋅+π⋅−=

=π⋅=

−

−

−

∫∫

∫


9

Logo os ak’s são todos iguais a zero ∀ k = 0, 1, 2, … Quanto aos bk’s, temos que:

( )

( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]( ) =π−+ππ

=

=π⋅+π⋅−=

=π⋅=

−

−

−

∫∫

∫

10

01

1

0

0

1

1

1k

tkcostkcosk

1

dttksen1dttksen)1(

dttksen)t(xT

2b

e portanto,

π

=ímparékse,

k

4

parékse,0

bk

Ou seja,

π= 4

b1 ,

0b2 = ,

π=

3

4b3 ,

0b4 = ,

π=

5

4b5 ,

0b6 = ,

π=

7

4b7 ,

0b8 = ,

π=

9

4b9 ,

0b10 = ,

π=

11

4b11 ,

etc.

Logo, esta é uma série de Fourier só de senos e os primeiros termos da série são:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...t11sen11

4t9sen

9

4t7sen

7

4

t5sen5

4t3sen

3

4tsen

4)t(x

+ππ

+ππ

+ππ

+

+ππ

+ππ

+ππ

=

As figuras 7.6 até 7.10 abaixo mostram esboços do sinal x(t) aproximado pela série de Fourier.


10

Primeiramente na figura 7.6, com apenas um termo (isto é, apenas k = 1), quando x(t) é simplesmente o seno

x(t) = b1 sen(πt) = (4/π) sen(πt)

Fig. 7.6 – Sinal onda quadrada. Aproximação por série de

Fourier com apenas um termo (k = 1). Na figura 7.8 vemos que com 2 termos (os dois primeiros termos não nulos, até k = 3, pois b2 = 0) temos a soma de 2 senos (e já nota-se 2 picos no sinal aproximado pela série):

x(t) = b1 sen(πt) + b3 sen(πt)


Fourier com apenas dois termos (k = 1 e 3). Depois, na figura 7.8, com 3 termos (os três primeiros termos não nulos, até k = 5, pois b2 = 0 e b4 = 0) temos a soma de 3 senos (e agora já nota-se 3 picos no sinal aproximado pela série):

x(t) = b1 sen(πt) + b3 sen(πt) + b5 sen(πt)


11


Fourier com apenas três termos (k = 1, 3 e 5). e assim por diante. As duas últimas figuras (figuras 7.9 e 7.10) ilustram esta série até k = 11 (6 termos não nulos) e até k = 49 (25 termos não nulos), respectivamente.


Fourier com seis termos (k = 1, 3, 5, 7, 9 e 11).


Fourier com 25 termos (k = 1, 3, ..., 49). Nota-se nitidamente que o sinal x(t) aproximado pela série de Fourier vai se tornando cada vez mais próximo do original, a onda quadrada.

Nos pontos t onde x(t) é um sinal contínuo esta série de Fourier converge para o pró-prio valor de x(t).


12

Por exemplo, para t = 0,5, sabemos que x(0,5) = 1. Pela série de Fourier,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...5,4sen9

45,3sen

7

45,2sen

5

45,1sen

3

45,0sen

4)5,0(x +π

π+π

π+π

π+π

π+π

π=

1,6977

0,8488 1,1035

0,9216

1,0631 que de facto converge para 1. Por outro lado, nos pontos t onde x(t) apresenta uma descontinuidade, esta série de Fourier converge para o valor médio de x(t), entre o imediatamente antes e o imedia-tamente depois de t. Por exemplo, para t = 0-, sabemos que x(0-) = –1, e t = 0-, e que x(0+) = 1. Logo, o ponto médio é:

02

11

2

)0(x)0(x =+−=+ −+

Pela série de Fourier,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

00000

...0sen9

40sen

7

40sen

5

40sen

3

40sen

4)0(x

++++=

=+π

+π

+π

+π

+π

=

que de facto converge para 0. � Mais adiante, nas Propriedades da Série de Fourier, veremos que:

Se x(t) é um sinal par, então a série de Fourier para x(t) é uma série de co-senos.

Se x(t) é um sinal ímpar, então a série de Fourier para x(t) é uma série de senos.


13

Isto pode ser visto pelas propriedades dos sinais pares e ímpares. Recorde-se que,

- A soma de 2 sinais pares é um sinal par.

- A soma de 2 sinais ímpares é um sinal ímpar.

- O produto de 2 sinais pares é um sinal par.

- O produto de 2 sinais ímpares é um sinal par. Logo, se x(t) é um sinal par, então os coeficientes bk da série de Fourier para x(t) são todos iguais a zero:

...,3,2,1k,0dttkT

2sen)t(x

T

2b

T

k ==

⋅π⋅= ∫

e portanto, a série de Fourier é uma série de co-senos. Mas se x(t) é um sinal ímpar, então os coeficientes ak da série de Fourier para x(t) são todos iguais a zero (incluindo ao):

...,3,2,1,0k,0dttkT

2cos)t(x

T

2a

T

k ==

⋅π⋅= ∫

e portanto, a série de Fourier é uma série de senos. De facto, no Exemplo 7.1 acima, como x(t) era um sinal par, então os ak’s eram todos iguais a zero ∀ k = 0, 1, 2, …, e a série de Fourier era uma série de senos. 7.4 – Uma interpretação da Série de Fourier A “série de Fourier” pode ser interpretada como uma forma de expressar um sinal x(t), em um espaço de sinais.

Recorde-se um vector v no espaço Rn é representado como a soma

nn2211 eeev ⋅α++⋅α+⋅α= L

onde e1, e2, … en, são os vectores


14

=

=

=

1

0

0

e,

0

1

0

e,

0

0

1

e n21M

LMM

ou seja, { }n21 e,e,e L , os chamados vectores canónicos e formam uma base do Rn;

e α1, α2, … αn, são os coeficientes do vector v nesta base { }n21 e,e,e L . Da mesma forma, um sinal x(t) pode ser representado semelhantemente na forma da eq. (7.1) como a soma infinita de senos e co-senos. Note que aqui o espaço não é mais o espaço de vectores (Rn, que tem dimensão n) mas sim um espaço de sinais, que terá dimensão infinita. A base do espaço não será mais formada pelos vectores e1, e2, … en , mas agora pelos sinais senos e co-senos

⋅πtk

T

2cos e

⋅πtk

T

2sen

definidos nas equações de análise eq. (7.2) e eq. (7.3). Além disso, os coeficientes que representam o sinal x(t) nesta base não serão mais α1, α2, … αn, mas agora serão os ak e bk. Em outras palavras, estes senos e co-senos formam uma base infinita de sinais. Claro que a expressão da eq. (7.1) é definida apenas para sinais periódicos, Entretanto, já vimos no exemplo 7.1 que um sinal x(t) que seja definido em um intervalo finito qualquer pode ser estendido para ambos os lados deste intervalo, tornando-se assim periódico e desta forma pode ser descrito também na forma da eq. (7.1). As figuras 7.4 e 7.5 ilustravam isto.

Outro detalhe: no espaço Rn os próprios vectores da base e1, e2, … en eram repre-

sentados (de forma única) como

ni21i e0e1e0e0

0

1

0

e ⋅++⋅++⋅+⋅=

= LLM


15

ou seja, com coeficientes

α1 = 0, α2 = 0, … ,αi = 1, … αn = 0 isto é,

{ } { }0,,1,,0,0,,,,, ni21 LLLL =αααα . Aqui também temos que os sinais senos e co-senos da base são representados (de forma única) como

∑∞

=

⋅π⋅+

⋅π⋅+=

⋅π1k

kk0 tk

T

2senbtk

T

2cosa

2

at

T

2cos l

onde todos os ak e bk serão todos iguais a “zero” excepto o valor de ak para k = l, ou seja:

ak = 0, bk = 0, excepto al = 1 e, além disso

∑∞

=

⋅π⋅+

⋅π⋅+=

⋅π1k

kk0 tk

T

2senbtk

T

2cosa

2

at

T

2sen l

onde todos os ak e bk serão todos iguais a “zero” excepto o valor de bk para k = l, ou seja:

ak = 0, bk = 0, excepto bl = 1. Isto ocorria porque o produto escalar entre 2 vectores ‘em’ e ‘en’, que pertençam à base, é

< em , en > = 0, se m ≠ n,

< em , en > = 1, se m = n, onde o produto escalar entre 2 vectores no espaço R

n era definido como

nn2211v,v α⋅α++α⋅α+α⋅α=>< L sendo α1, α2, … αn os coeficientes de v e n21 ,,, ααα⋅ L os coeficientes de v .


16

Devido a esta propriedade, dizemos que os vectores e1, e2, … en da base são “ortogo-nais” entre si. Aqui, neste espaço de sinais cuja base é formada por senos e co-senos, o produto escalar entre 2 sinais pode ser definido como:

LLLL +⋅+⋅++⋅+⋅=>< kk11kkoo bbbbaaaa)t(x),t(x onde ao, a1, …, ak, …, b1, …, bk são os coeficientes de x(t) na série de Fourier e

k1ok1o b,,b,b,,a,,a,a LLL os coeficientes de )t(x na série de Fourier. Desta forma pode-se verificar que

,nmse,0tnT

2cos,tm

T

2cos ≠=>

⋅π

⋅π<

,nmse,1tnT

2cos,tm

T

2cos ==>

⋅π

⋅π<

e,nmse,0tnT

2sen,tm

T

2sen ≠=>

⋅π

⋅π<

.nmse,1tnT

2sen,tm

T

2sen ==>

⋅π

⋅π<

ou seja, aqui os sinais da base também são ortogonais entre si. Isso se verifica obser-vando-se as equações de análise eq. (7.2) e eq. (7.3) e devido ao facto que

nmse,0dttnT

2costm

T

2cos

T

≠=

⋅π⋅

⋅π∫

nmse,0dttnT

2sentm

T

2sen

T

≠=

⋅π⋅

⋅π∫

e

nmse,2

Tdttn

T

2costm

T

2cos

T

==

⋅π⋅

⋅π∫

nmse,2

Tdttn

T

2sentm

T

2sen

T

==

⋅π⋅

⋅π∫


17

um resultado bastante conhecido em matemática, da teoria do “Cálculo”. Isto é, as integrais de senos e/ou co-senos de frequência diferentes multiplicados entre si são nulas. Os senos e co-senos são “ortogonais”.

Fig. 7.11 – Projecções de um vector v ∈ R2 nos seus 2 eixos (à esquerda) e v ∈ R3 nos seus 3 eixos (à direita).

Uma propriedade importante verificada nos vectores no espaço Rn era que o produto escalar entre v e um elemento ek da base era o próprio coeficiente αk, ou seja,

< v , ek > = αk De certa forma isto significava que os αk eram as projecções dos vectores do R

n nos seus diversos eixos, conforme ilustra a figura 7.11 para o R2 e R3. Aqui no espaço de funções também verifica-se que

katkT

2cos,)t(x =>

⋅π< e kbtkT

2sen,)t(x =>

⋅π<

o que também pode ser interpretado que os ak e os bk são uma espécie de projecção do sinal x(t) nos diversos sinais senos e co-senos componentes da base. 7.5 – Série exponencial de Fourier para sinais contínuos Nesta secção estudaremos a “série exponencial de Fourier” é também chamada de “série complexa de Fourier”.


18

Se o sinal x(t) ∈ R, então a série exponencial de Fourier é a mesma que a série trigo-nométrica escrita de uma forma diferente, em termos de exponenciais do tipo

tojωe

em vez de em termos de senos e co-senos. Entretanto, considere agora

um sinal periódico contínuo x(t) ∈ C = {conjunto dos números complexos} ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginária. A série exponencial de Fourier permite-nos aproximar x(t), o que não era possível com a série trigonométrica. Na série exponencial (ou complexa) de Fourier um sinal periódico x(t) pode ser expresso como:

∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

⋅ω

⋅π

⋅=

=⋅=

kk

kk

tkoj

tkT2j

c

c)t(x

e

e

eq. (7.4)

onde:

T = período fundamental do sinal x(t).

ωo = frequência fundamental do sinal x(t). e

∫

∫

⋅⋅=

=⋅⋅=

⋅ω−

⋅

π−

T

tkj

T

tkT

2j

k

dte)t(xT

1

dte)t(xT

1c

o k = 0, ±1, ±2, … eq. (7.5)

Portanto, a série exponencial (ou complexa) de Fourier generaliza a série trigonomé-trica de Fourier e tem também a vantagem de ser mais compacta. Os ck’s são chamados de coeficientes da série exponencial de Fourier ou coeficientes espectrais.


19

Semelhantemente à série trigonométrica, a equação eq. (7.4) acima é conhecida como a

equação de síntese

enquanto que a equação eq. (7.5) é conhecida como a

equação de análise

da série exponencial (ou complexa) de Fourier. Exemplo 7.2: Tomemos novamente a onda quadrada x(t) em um período (de t = –1 até t = 1) ilustrada na figura 7.12.

<<

<<−−=

1t0se,1

0t1se,1)t(x

Fig. 7.12 – Sinal do Exemplo 7.2. Onda

quadrada em um período (de t = –1 até 1).

E, repetindo-se (ou estendendo-se) este padrão para a direita de t = 1 e para esquerda de t = –1, obtemos um sinal periódico que pode ser aproximado pela série exponen-cial (ou complexa) de Fourier. Novamente, o período fundamental é T = 2, e

π=π=ωT

2o

e portanto, os coeficientes desta série complexa de Fourier para o sinal da onda qua-drada acima são:


20

( )

( ) ( ) =⋅+⋅−=

=⋅=

∫∫

∫

π−

−

π−

−

π−

1

0

tkj0

1

tkj

1

1

tkjk

dt12

1dt)1(

2

1

dt)t(xT

1c

ee

e

... 2, 1, ,0k ±±=

Fazendo-se as integrais, obtemos:

( )[ ]( ) ( )[ ]( )

( ) ( )π−ππ−π

π−−

π−

−−π

=+−−π

=

=π−⋅+

π⋅=

kjkjkjkj

1

0tkj0

1tkj

k

2jk2

111

jk21

jk)1(

21

jk1

21

c

eeee

ee

Agora, usando-se as equações de Eüler temos que:

[ ]

( )

( ))kcos(1k

j

)kcos(12jk2

1

)k(senj)kcos()k(senj)kcos(2jk2

1ck

π−π−=

=π−π

=

π⋅+π−π⋅−π−π

=

e portanto,

±±±=π−

±±=

=...,5,3,1kse,j

k

2

...,4,2,0kse,0

ck

Logo,

[ ]∑

∑

∑

∞

±±±=

∞

±±±=

π

∞

−∞=

ω

π⋅+π⋅

π−=

=

π−=

==

...,5,3,1k

...,5,3,1k

tkj

k

tkjk

)tk(senj)tk(cosjk

2

jk

2

c)t(x o

e

e


21

e, desmembrando-se a soma ...,5,3,1k ±±±= em duas de ...,5,3,1k = , como o seno é ímpar [sen (kπt) = –sen (–kπt), ∀k ] e o co-seno é par [cos (kπt) = –cos(kπt) , ∀k ], temos:

∑∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

π⋅

π−+π

π+

+π⋅

π−+π

π−=

...,5,3,1k...,5,3,1k

...,5,3,1k...,5,3,1k

)tk(senjk

j2)tk(cos

k

j2

)tk(senjk

j2)tk(cos

k

j2)t(x

e portanto os dois termos com co-senos se cancelam um ao outro, enquanto que os dois termos com senos são idênticos, logo podem se juntar ficando:

∑

∑

∞

=

∞

=

π

π=

=

π⋅

π−⋅=

...,5,3,1k

...,5,3,1k

)tk(senk4

)tk(senjkj2

2)t(x

que é o mesmo resultado obtido no Exemplo 1 com a série trigonométrica de Fourier, ou seja:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ...t11sen11

4t9sen

9

4t7sen

7

4

t5sen5

4t3sen

3

4tsen

4)t(x

+ππ

+ππ

+ππ

+

+ππ

+ππ

+ππ

=

� Isso acontece porque as séries trigonométricas e complexa (ou exponencial) de Fou-rier são equivalentes, um resultado que vamos ver a seguir na próxima secção. 7.6 – Equivalência das séries trigonométrica e exponencial de Fourier Se o sinal x(t) for de valores reais, então existe uma relação entre a série trigonomé-trica e a série complexa (ou exponencial) de Fourier. Pode-se facilmente mostrar que:


22

2

bjac kk

k

⋅−= para k = 0, 1, 2, … eq. (7.6)

e

2

bjac kk

k

⋅+=− para k = 1, 2, … eq. (7.7)

Embora o coeficiente bo não exista, pois não foi definido, na eq. (7.6) assume-se que

0bo = . Portanto, o coeficiente co pode ser expresso como:

2a

c oo = . eq. (7.8)

Note também que enquanto os coeficientes aks e bks são definidos nas eq. (7.2) e eq. (7.3) apenas para k = 0, 1, 2, …, os coeficientes cks são definidos nas eq. (7.6) e eq. (7.7) para k = 0, ±1, ±2, … Observe também que a eq. (7. 7) é equivalentes a:

2

bjac kk

k−− ⋅+= para k = –1, –2, … eq. (7.9)

Sabemos, pelas eq. (7.2) e eq. (7.3) da série trigonométrica de Fourier, que não existe aks ou bks para k negativos, entretanto a-k e b-k estão bem definidos na eq. (7.9) pois nesta equação k = –1, –2, … e portanto os índices de a-k e b-k serão sem-pre positivos. Por exemplo:

a-k para k = – 2 será o a2,

ou

b-k para k = – 5 será o b5. Os termos ck para k positivos são os conjugados de ck para k negativos, e vice-versa, isto é: ck = (c –k)* , ∀ k = 0, ±1, ±2, ±3, …


23

As equações acima permitem que se transforme uma série trigonométrica em uma série exponencial. O inverso, ou seja, as equações que permitem transformar uma série exponencial em uma série trigonométrica são as seguintes:

oo c2a = eq. (7.10)

)cc(a kkk −+= para k = 1, 2, … eq. (7.11)

e

)cc(jb kkk −−⋅= para k = 1, 2, … eq. (7.12) Com as relações acima é fácil de se mostrar que, quando x(t) é um sinal real, então:

( ) ( )[ ]∑

∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

−∞=

⋅ω∞

−∞=

⋅

π

ω+ω+=

=

⋅π+

⋅π+=

==

1kokok

0

1kkk

0

k

tkjk

k

tkT

2j

k

tksenbtkcosa2a

tkT2

senbtkT2

cosa2a

cc)t(x oee

ou seja, as duas séries de Fourier, ‘trigonométrica’ e ‘exponencial’, são equivalentes. 7.7 – Propriedades das séries de Fourier para sinais contínuos

Linearidade: Suponha que


24

x1(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc′

x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc ′′

e que

)t(x)t(x)t(y 21 β+α= então, mostra-se que:

y(t) tem período T ,

ou seja,

y(t) tem frequência fundamental T2

oπ=ω ,

e coeficientes de Fourier

kkk ccc ′′β+′α=

Translação no tempo (“ time shifting”): Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck e que

)tt(x)t(y o−= ou seja,

y(t) é o sinal x(t) com uma translação (shift) no tempo de to. Então, mostra-se que:

y(t) tem período T , ou seja,

y(t) tem frequência fundamental T2

oπ=ω ,



25

k

kk

c

cc~

otT2

kj

tokj o

⋅=

=⋅=

π−

ω−

e

e

Nota:

Como θ∀=θ ,1je , tem-se que:

kk cc~ =

Sinal reflectido / reversão no tempo (“ time reversal”) em torno de t = 0: Suponha que


)t(x)t(y −= então, mostra-se que:

y(t) tem período T , ou seja

y(t) tem frequência fundamental T

2o

π=ω ,


kk cc −= Nota: Como consequência desta propriedade pode-se concluir que:


26

Se x(t) é um sinal par ⇒ os coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, pares; i.e.,

kk cc −= Se x(t) é um sinal ímpar ⇒ os coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, ímpares; i.e.,

kk cc −−=

Escalonamento no tempo (“ time scaling”): Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck

(portanto x(t) tem frequência fundamental T

2o

π=ω )

e que

)t(x)t(y α= então, mostra-se que:

y(t) tem período αT

,

ou seja

y(t) tem frequência fundamental T

2T o

απ=ωα=)

e, além disso,

tT

2kj

tokj

kk

kk

c

c)t(y

∞

−∞=

∞

−∞=

πα−

ωα−

∑

∑

=

==

e

e

Note que a série de Fourier muda por causa da mudança da frequência fundamental (e do período). Entretanto os coeficientes ck não mudam.


27

Multiplicação: Suponha que


x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc ′′ e que

)t(x)t(x)t(y 21 ⋅= então, mostra-se que:

y(t) tem período T , ou seja tem frequência fundamental T

2o

π=ω ,


[ ] [ ]kckc

ccc iki

ik

′′∗′=

=′′⋅′= −

∞

∞−=∑

Ou seja, ck é a convolução entre os sinais discretos [ ]kcck ′=′ e [ ]kcck ′′=′′ .

L+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=

=′′⋅′=

+−−+−−

−

∞

∞−=∑

2k22k21k11k1ko

ikij

ik

cccccccccc

ccc

Conjugação: Suponha que


)t(x)t(y ∗=


28

então, mostra-se que:


2o

π=ω ,


∗−= kk cc

Nota: Como consequência desta propriedade pode-se concluir que:

Se x(t) ∈ R, então

os coeficientes de Fourier ∗

− = kk cc ;

co ∈ R ; e

kk cc −= .

Além disso, as relações acima permitem mais uma vez concluir que:

Se x(t) ∈ R é um sinal par ⇒

os coeficientes de Fourier ∗= kk cc ; e

kk cc −= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ pares” ).

Se ∈)t(x R é um sinal ímpar ⇒

os coeficientes de Fourier kc são imaginários puros, 0co = e

kk cc −−= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ ímpares” ).

Translação na frequência (“ frequency shifting”): Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck e, para um m inteiro, constante, considere agora os coeficientes


29

mkk cc −=

ou seja,

kc são os coeficientes ck desfasados de m. Então, mostra-se que o sinal:

)t(x)t(y tojm ⋅= ωe

tem os coeficientes de Fourier kc Nota: Esta propriedade é dual da translação no tempo (time shifting). Agora a translação (shift) foi aplicada aos ck e não no tempo t.

Outro detalhe, como θ∀=θ ,1je , então:

kk cc = k = 0, ±1, ±2, …

Convolução no período: Suponha que


x2(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc ′′ e que y(t) é a convolução (tomada no período T):

∫ ττ⋅τ−=

∗=

T

21

21

d)(x)t(x

)t(x)t(x)t(y

Então, mostra-se que:


2o

π=ω ,


kkk ccTc~~ ′′⋅′⋅=


30

Derivada: Suponha que


dtdx

)t(y =



2o

π=ω ,


kkok cT2

kjckjc

π=ω=′

Nota:

Para o caso de derivadas de ordem 2 ou mais, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Por exemplo, no caso da segunda derivada, se

2

2

dtxd

)t(y =

os coeficientes de Fourier de y(t) são

k

22

k22

k222

kok cT2

kckckjckjcoo

π−=ω−=ω=′ω=′′ .

Integral : Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck

e que

∫ ∞−=

tdt)t(x)t(y


31



2o

π=ω ,


kko

k c

T

2kj

1c

kj

1c ⋅

π=⋅

ω=(

Nota:

No caso de co = 0, esta propriedade só é válida para sinais x(t) periódicos e com valo-res finitos. Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes.

Relação de Parseval: Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier ck então, mostra-se que a potência média do sinal no intervalo de um período T:

∑

∫

∞

−∞==

==

k

2

k

T

2

c

dt)t(xT1

P

7.8 – Série exponencial de Fourier para sinais discretos Já vimos, no capítulo 4 (sobre Sistemas), que um sinal discreto é periódico se

[ ] [ ]Nnxnx +=

onde N é o período. Além disso, vimos que

N = período fundamental


32

se N for o menor inteiro para o qual a relação acima satisfaz. E neste caso:

N

2o

π=ω = frequência fundamental.

O conjunto de todos os sinais discretos no tempo do tipo exponenciais complexos que são periódicos (com período N) é dado por

[ ]n

N2jk

nojknk

πω ==φ ee , k = 0, 1, 2, … eq. (7.13)

e todos estes sinais têm frequência fundamental que são múltiplas de

N

2π

e portanto são harmonicamente relacionados. Existem apenas N sinais distintos no conjunto de funções φk[n] definido pela eq. (7.13) acima.

Isto é uma consequência do facto de que sinais discretos no tempo do tipo exponen-ciais complexas que diferem na frequência por um múltiplo de 2π são idênticos. Ou seja, após N consecutivos, estes termos começam a repetir-se.

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]MM

MM

nn

nn

nn

nn

Nkk

2N2

1N1

No

+

+

+

φ=φ

φ=φ

φ=φ

φ=φ

Esta situação é diferente do caso contínuo pois os coeficientes que aparecem na equa-ção de síntese da série de Fourier para sinais contínuos:

t

T2kj

tokj)t(k

πω ==φ ee k = 0, 1, 2, … ,

são todos diferentes uns dos outros.


33

Portanto, a série de Fourier para sinais discretos terá apenas N termos, para N conse-cutivos valores de k, de l=k até 1Nk −+= l . e, semelhantemente, apenas N coeficientes ck. Logo, a série de Fourier para sinais discretos tem a expressão:

∑

∑

−+

+=

−+

+=

ω

π

⋅=

=⋅=

)1N(

),1(,kk

)1N(

),1(,kk

nokj

nN2kj

c

c[n]x

l

Kll

l

Kll

e

e

eq. (7.14)

onde, conforme já dito,

N = período fundamental do sinal x[n].

ωo = frequência fundamental do sinal x[n]. A equação eq. (7.14) acima é conhecida como a

equação de síntese da série de Fourier discreta. Já os coeficientes ck’s no caso discreto são definidos por

[ ]

[ ]∑

∑

−+

+=

−+

+=

π−

ω−

⋅⋅=

=⋅⋅=

)1N(

),1(,n

)1N(

),1(,nk

nN2kj

nokj

nxN

1

nxN

1c

l

Kll

l

Kll

e

e

k = 0, ±1, ±2, … eq. (7.15)

Os ck’s são chamados de “coeficientes” da série Fourier discreta ou “coeficientes espectrais”.


34

A equação eq. (7.15) é conhecida como as

“equação de análise” da série de Fourier discreta. Exemplo 7.3: Considere a seguinte onda quadrada x[n] discreta no tempo ilustrada na figura 7.13:

Fig. 7.13 – Onda quadrada discreta de período N. Sinal do Exemplo 7.3.

∀

≤≤−=

somaçãodeintervalononoutros,0

1Nn1Nse,1[n]x

Neste caso os coeficientes espectrais ck ficam:

∑−=

π−⋅=

1

1

N

Nnk

nN2kj

N

1c e eq. (7.16)

Se L 2N, N, 0, k ±±= o somatório desta expressão de ck acima fica

)1N2(1 1

N

Nn

N

Nn

1

1

1

1

2nj +== ∑∑−=−=

π−e

e portanto, a expressão de ck da eq. (7.16) acima é facilmente expressa como:

N

1N2c 1

k

+= , L 2N, N, 0, k ±±=

Entretanto, para L 2N, N, 0, k ±±≠ definimos


35

m = n + N1 e então, fazemos uma mudança de índice no somatório, ficando

∑

∑

=

=

π−π−

−π−

⋅=

=⋅=

1

1

N2

0m

N2

0mk

mN2kj1N

N2kj

)1Nm(N2kj

N

1

N

1c

ee

e

.

Agora, usando a fórmula da soma finita dos elementos de uma progressão geométrica, já vista no capítulo 6, eq. (6.3):

LL

LL

,qaa,qaa,qaa

:a::a:a:a

1kk2312

k321

⋅=⋅=⋅= −

que é dada por:

)q1(

)q1(aaS

n1

n

1kk −

−== ∑

=

pode-se substituir o somatório da expressão dos ck acima, uma vez que é uma soma finita de uma progressão geométrica com

( )

π−=+== N

2kj

11 q,e1N2n,1a e obtendo-se:

−

−⋅=

π−

+

π−

π−

N

2kj

)1N2(N

2kj

NN

2kj

k

1

1

N

1c

1

e

ee

para L 2N, N, 0, k ±±≠

que, após multiplicação dos termos, pode facilmente ser expresso como


36

−⋅

−⋅

⋅=

ππ−πππ−

+π−+ππ−

N22

N2kj

N22

N2kj

N2kj

21

1NN2kj

21

1NN2kj

N22kj

N

1ck

eee

eee

para L 2N, N, 0, k ±±≠

e, usando Eüler, obtemos que

π

+π

⋅=

N

ksen

2

1Nk

N

2sen

N

1c

1

k , para L 2N, N, 0, k ±±≠

Desta forma temos então todos os coeficientes espectrais ck da onda quadrada discreta deste exemplo. Resumindo:

±±=+

±±≠

π

+π

⋅=

L

L

2N, N, 0, k se,N

1N2

2N, N, 0, k se,

N

ksen

2

1Nk

N

2sen

N

1

c

1

1

k

Para o caso particular de N = 9 e N1 = 2, temos que:

(2N1 +1) = 5 que representa o número de pontos que assumem o valor 1 em cada período e conse-quentemente,

N – (2N1 +1) = 9 – 5 = 4 representa o número de pontos que é igual a 0 (zero) em cada período.


37

O gráfico deste x[n] pode ser visto na figura 7.14.

Fig. 7.14 – Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N1 = 2. e os coeficientes ck calculados pela expressão acima são:

3199,0c

5556,0c

3199,0c

0591,0c

1111,0c

0725,0c

1

o

1

2

3

4

=

=

=

−=

−=

=

−

−

−

−

M

3199,0c

0591,0c

1111,0c

0725,0c

0725,0c

1111,0c

0591,0c

8

7

6

5

4

3

2

=

−=

−=

=

=

−=

−=

M

0725,0c

0725,0c

1111,0c

0591,0c

3199,0c

5556,0c

14

13

12

11

10

9

=

=

−=

−=

=

=

Observe que a cada N coeficientes eles se repetem. Isto é, a cada 9 ck eles voltam a ser os mesmos valores.

M

L

L

L

L

L

L

L

M

0591,0ccc

3199,0ccc

5556,0ccc

3199,0ccc

0591,0ccc

1111,0ccc

0725,0ccc

20112

19101

189o

1781

1672

1563

1454

−================

−====−====

====

−

−

−

−

e assim por diante.


38

Agora, com os valores dos coeficientes ck, podemos escrever a série de Fourier, eq. (7.14). Ao contrário do caso contínuo, em que tínhamos que acrescentar mais e mais termos para obter uma aproximação melhor, aqui no caso discreto é possível uma aproxima-ção exacta com N = 9 termos consecutivos:

∑+

+=

π

⋅=)8(

),1(,kk

n9

2kjc[n]x

l

Kll

e

Por exemplo, se tomarmos primeiramente apenas 3 termos consecutivos, k = –1, 0 e 1, teremos

∑−=

π

⋅=1

1kk3

n9

2kjc[n]x e

que nos dá uma primeira aproximação, ainda muito grosseira, do sinal x[n], como pode-se ver no gráfico de [ ]nx 3 na figura 7.15 abaixo.

Fig. 7.15 – Sinal onda quadrada discreta. Caso particular N = 9 e N1 = 2. Aproxima-

ção por série de Fourier com apenas 3 termos. Se entretanto tomarmos 5 termos consecutivos, k = –2, –1, 0, 1 e 2, teremos então

∑−=

π

⋅=2

2kk5

n9

2kjc[n]x e

que nos dá uma aproximação um pouco melhor, mas ainda longe de perfeita, do sinal x[n], como pode-se ver no gráfico de [ ]nx5 na figura 7.16 abaixo.


39


ção por série de Fourier com apenas 5 termos. Se agora tomarmos 7 termos consecutivos, k = –3, –2, –1, 0, 1, 2 e 3, teremos então

∑−=

π

⋅=3

3kk7

n9

2kjc[n]x e

que já nos dá uma aproximação bem melhor, mas ainda não perfeita, do sinal x[n], como pode-se ver no gráfico de [ ]nx7 na figura 7.17 abaixo.


ção por série de Fourier com 7 termos. Finalmente, se agora tomarmos 9 termos consecutivos, k = –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 e 4, teremos então

∑−=

π

⋅==4

4kk9

n9

2kjc[n]x[n]x e

que nos dá a aproximação perfeita, ou “exacta” do sinal x[n] pois N = 9. Ou seja,

[n]x[n]x 9 = O gráfico de [ ]nx 9 , que é coincidente com x[n], pode ser visto na figura 7.18 abaixo.


40


ção exacta por série de Fourier com 9 termos. � Exemplo 7.4: Considere agora o sinal sinusoidal discreto

)n(sen[n]x oω= Este sinal é periódico quando:

o

2

ωπ

é um inteiro ou a razão de inteiros.

Suponha que

N2

o

=ω

π

logo,

N

2o

π=ω

e x[n] é então um sinal periódico com período fundamental N. Usando-se a equação de Eüler podemos expandir este sinal x[n] como a soma de 2 termos exponenciais complexas, obtendo-se

nN2jn

N2j

j2

1

j2

1[n]x

π−π

−= ee

e vemos então que:


41

∀=

−=−=

=−=−

.,0c

j2

1

j2

1c

j2

1

j2

1c

somação de intervalo nok de valoresoutrosparak

1

1

Por exemplo, no caso particular de

N = 5

então

π= n5

2sen[n]x

e os coeficientes de Fourier serão:

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

6

5

4

3

2

1

o

1

2

3

−==

=

=−=

=

=

−==

=

=−=

=

=

−

−

−

M

e assim por diante.

M

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

j2

1

j2

1c

0c

j2

1

j2

1c

0c

0c

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

−==

=

=−=

=

=

−==

=

=−=

=

=


42

Ou seja, a cada 5 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores

M

L

L

L

M

j5,0ccc

0ccc

0ccc

941

832

723

============

−

−

−

M

L

L

L

M

0ccc

j5,0ccc

0ccc

1272

1161

105o

====−========

e assim por diante. O intervalo de somação pode ser quaisquer 5 coeficientes ck consecutivos, como por exemplo:

de -1k = até 3k = , ou

de 0k = até 4k = , ou


de 2k = até 7k = ,

etc. etc. Se tomarmos apenas 3 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2 e 3, teremos

∑=

π

⋅=3

1k

n5

2kj

k3 c[n]x e

que nos dá uma aproximação do sinal x[n]. Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5, teremos então

∑=

π

⋅=5

1k

n5

2kj

k5 c[n]x e

que nos dá a aproximação exacta do sinal x[n] pois N = 5. Ou seja,

π== n5

2sen[n]x[n]x 5 .

�


43

Exemplo 7.5:

Considere novamente o sinal sinusoidal discreto

)n(sen[n]x oω=

mas agora suponha que

inteiros 2 de razãoM

N2

o

==ω

π

onde N e M são 2 inteiros que não têm factores comuns.

Logo,

MN

2o ⋅π=ω

Novamente x[n] é um sinal periódico e com período fundamental N.

Usando-se a equação de Eüler podemos também expandir este sinal x[n] como a soma de 2 termos exponenciais complexas, obtendo-se:

nN2Mjn

N2Mj

j2

1

j2

1[n]x

π−π

−= ee

e portanto,

⋅−==

⋅=−=−

j2

1

j2

1c

j2

1

j2

1c

M

M

Além disso, como NkNk cc −+ = (os ck’s se repetem a cada N), então:

( ) ( )tambémMMNMN cj2

1cc −+−− =⋅==

e

( )tambémMMNMN cj2

1cc =⋅−== +−+

Entretanto,

.,0c somaçãoervalo de intno ores de koutros valparak ∀= �


44

Exemplo 7.6: Neste exemplo anterior (Exemplo 7.5), se tomarmos o caso particular de N = 5 e M = 3, então

( )n2,1senn5

6senn

5

23sen[n]x ⋅π⋅=

π=

π⋅=


0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

o

1

2

3

4

5

6

7

8

9

=

=

−=

=

=

=

=

−=

=

=

−

−

−

−

−

−

−

−

−

M

e assim por diante. Ou seja, a cada 5 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores

0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

=

=

−=

=

=

=

=

−=

=

=

M

0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

0c

0c

j2

1c

j2

1c

0c

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

=

=

−=

=

=

=

=

−=

=

=


45

M

L

L

L

M

j5,0cccc

j5,0cccc

0cccc

8327

7238

6149

−==========

=====

−−

−−

−−

M

L

L

L

M

0cccc

0cccc

0cccc

11614

105o5

9416

===============

−

−

−−

e assim por diante. O intervalo de somação novamente pode ser quaisquer 5 coeficientes ck consecutivos, como por exemplo: de -1k = até 3k = , ou


de 1k = até 5k = ,

etc. etc.

Se tomarmos apenas 1, ou 2, ou 3, ou 4 termos consecutivos, teremos uma aproxima-ção do sinal x[n]. Por exemplo: k = 1, 2 e 3,

∑=

π

⋅=3

1kk3

n5

6kjc[n]x e

Entretanto, se tomarmos 5 termos consecutivos, como por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5, teremos então

∑=

π

⋅=5

1kk5

n5

6kjc[n]x e


π== n5

6sen[n]x[n]x 5

�


46

Exemplo 7.7:

Novamente considerando o Exemplo 7.5, se tomarmos o caso particular de N = 7 e M = 3, então

( ) ( )n6928,2senn8571,0senn7

6senn

7

23sen[n]x ⋅=⋅π⋅=

π=

π⋅=


j21

c

0c

0c

0c

0c

0c

j21

c

3

2

1

0

1

2

3

−=

=

=

=

=

=

=

−

−

−

M

j21

c

0c

0c

0c

0c

0c

j21

c

10

9

8

7

6

5

4

−=

=

=

=

=

=

=

M

j21

c

0c

0c

0c

0c

0c

j21

c

17

16

15

14

13

12

11

−=

=

=

=

=

=

−=

e assim por diante. Ou seja, a cada 7 coeficientes ck, eles se repetem, i.e., voltam a ter os mesmos valores

M

L

L

L

L

M

============

====

−

−

−

0ccc

0ccc

0ccc

j5,0ccc

147o

1361

1252

1143

M

L

L

L

L

M

j5,0ccc

0ccc

0ccc

0ccc

17103

1692

1581

147o

−============

e assim por diante.


47

O intervalo de somação agora pode ser quaisquer 7 coeficientes ck consecutivos, co-mo por exemplo:

de -1k = até 5k = , ou


de 1k = até 7k = ,

etc. etc.

Se tomarmos apenas 1, ou 2, ou 3, ou 4 termos consecutivos, teremos uma aproxima-ção do sinal x[n]. Por exemplo: k = 1, 2, 3, 4 e 5,

∑=

π

⋅=5

1kk5

n7

6kjc[n]x e

Entretanto, se tomarmos 7 termos consecutivos, como por exemplo:

k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, teremos então

∑=

π

⋅=7

1kk7

n7

6kjc[n]x e


π== n7

6sen[n]x[n]x 7 .

� 7.9 – Propriedades da Série de Fourier para sinais discretos

Linearidade: Suponha que

x1[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc′

x2[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc ′′


48

e que [ ] [ ] [ ]nxnxny 21 β+α=

então, mostra-se que: y[n] tem período N ,

ou seja,

y[n] tem frequência fundamental N

2o

π=ω ,


kkk ccc ′′β+′α=

Translação no tempo (“ time shifting”): Suponha que

x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck

e que [ ] [ ]onnxny −=

ou seja, y[n] é o sinal x[n] com uma translação (shift) no tempo de no.

Então, mostra-se que: y[n] tem período N ,

ou seja,


2o

π=ω ,


k

kk

c

cc~

onN

2kj

onokj

π−

ω−

=

==

e

e

Nota:

Como θ∀=θ ,1je , tem-se que

kk cc~ =


49

Sinal reflectido / reversão no tempo (“ time reversal”) em torno de n = 0: Suponha que

x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck e que

[ ] [ ]nxny −= então, mostra-se que:

y[n] tem período N , ou seja,


2o

π=ω ,


kk cc −= Nota: Como consequência desta propriedade pode-se concluir, (semelhantemente ao caso contínuo), que: Se x[n] é um sinal par ⇒ os coeficientes de Fourier ck são, eles próprios, pares; i.e.,

kk cc −=

Se x[n] é um sinal ímpar ⇒ os coeficientes de Fourier ck são eles próprios, ímpares; i.e.,

kk cc −−= .

Escalonamento no tempo (“ time scaling” ): Suponha que


(portanto x[n] tem frequência fundamental N

2o

π=ω )


50

e que

[ ]

=

mdemúltiploénãonse,0

mdemúltiploénse,m

nx

ny


y[n] tem período Nm ⋅ , ou seja,

y[n] tem frequência fundamental Nm

2

mo

⋅π=ω

, e além disso,

[ ]

∑

∑

−+

+=

−+

+=

⋅π−

ω−

⋅=

=⋅=

)1N(

),1(,kk

)1N(

),1(,kk

nNm

2kj

nmokj

c

cny

l

Kll

l

Kll

e

e

Note que a série de Fourier muda por causa da mudança da frequência fundamental (e do período). Entretanto os coeficientes ck não mudam.

Multiplicação: Suponha que

[ ]nx1 é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc′

[ ]nx 2 é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc ′′ e que

[ ] [ ] [ ]nxnxny 21 ⋅= então, mostra-se que:

y[n] tem período N , ou seja tem frequência fundamental N

2o

π=ω ,



51

∑−+

+=−′′⋅′=

)1N(

),1(,jjkjk ccc

l

Kll

k = 0, ±1, ±2, …

Ou seja,

etcetcetcetc

)Nk(N3k32k21k1

)1Nk(1N2k21k1ko

)1N(

),1(,jjkjk

cccccccc

cccccccc

ccc

MMMM

L

L

l

Kll

−−−−

+−−−−

−+

+=−

′′⋅′++′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=

′′⋅′++′′⋅′+′′⋅′+′′⋅′=

=′′⋅′= ∑

Conjugação: Suponha que


[ ] [ ]nxny ∗= y[n] é o conjugado de x[n]; então, mostra-se que:


2o

π=ω ,


∗−= kk cc

Nota:

Como consequência desta propriedade pode-se concluir que:

Se x[n] ∈ R, então


52

os coeficientes de Fourier ∗− = kk cc ;

co ∈ R ;

e

kk cc −= .

Além disso, as relações acima permitem mais uma vez concluir que:

Se x[n] ∈ R é um sinal par ⇒

os coeficientes de Fourier ∗= kk cc ; e

kk cc −= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ pares” ).

Se x[n] ∈ R é um sinal ímpar ⇒

os coeficientes de Fourier kc são imaginários puros, 0co = e

kk cc −−= (os coeficientes de Fourier são eles próprios “ impares” ).

Translação na frequência (“ frequency shifting”): Suponha que

x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck e, para um m inteiro, constante, considere agora os coeficientes

mkk cc −= k = 0, ±1, ±2, … ou seja,

kc são os coeficientes ck desfasados de m. Então, mostra-se que o sinal:

[ ] [ ]nxny nomj ⋅= ωe

tem os coeficientes de Fourier kc


53

Nota: Esta propriedade é dual da translação no tempo (time shifting). Agora a translação (shift) foi aplicada aos ck e não no tempo t.

Como θ∀=θ ,1je , então

kk cc =

Convolução no período: Suponha que

x1[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc′

x2[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier kc ′′ e que y[n] é a convolução (tomada no período N):

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]∑−+

+=

⋅−=

=∗=

)1N(

),1(,k21

21

kxknx

nxnxny

l

Kll

Então, mostra-se que:


2o

π=ω ,


kkk ccNc~~ ′′⋅′⋅=

Primeira diferença: Suponha que


[ ] [ ] [ ]1nxnxny −−= então, mostra-se que:


54


2o

π=ω ,


( ) kN

2kj

kkj

k ce1ce1c o ⋅

−=⋅−=′

πω

Nota:

Esta propriedade corresponde, no caso discreto, à propriedade para a “derivada” no caso contínuo.

Para o caso de diferenças de ordem 2 ou maior, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Por exemplo, no caso da segunda diferença, se

[ ] [ ] [ ]2nxnxny −−=

os coeficientes de Fourier de y(t) são

( ) k

2

N

2kj

k

2kjk ce1ce1c o ⋅

−=⋅−=′′

πω

.

Soma acumulada: Suponha que


e que

[ ]∑−∞=

=n

k

kx)t(y


y[n] tem período T , ou seja tem frequência fundamental N

2o

π=ω ,


( ) k

N

2kj

kkjk c

e1

1c

e1

1c

o⋅

−

=⋅−

=

πω

(


55

Nota:

No caso de co = 0, esta propriedade só é válida para sinais x[n] periódicos e com va-lores finitos. Esta propriedade corresponde, no caso discreto, à propriedade para a integral no caso contínuo. Para o caso de integrais duplas, triplas, etc., pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes.

Relação de Parseval: Suponha que

x[n] é um sinal com período N e tem coeficientes de Fourier ck então, mostra-se que a potência média do sinal no intervalo de um período N:

[ ]

∑

∑

−+

+=

−+

+=

=

=⋅=

)1N(

),1(,k

2

k

)1N(

),1(,n

2

c

nxN

1P

l

Kll

l

Kll

Documents

7 – Séries de Fourierwebx.ubi.pt/~felippe/texts2/an_sinais_cap7.pdf · 7 – Séries de Fourier 7.1 – Introdução à Análise de Fourier 3 7.2 – Série trigonométrica de