78053519 apostila-hidraulica-ufvjm-2009

Prof. Cláudio Márcio UFVJM 2009 1

ÍNDICE Pagina

01 Generalidades 03

02 Evolução da hidráulica 04

03 Dimensões, símbolos e unidades 05

04 Sistema de unidades 07

05 Grandezas mecânicas 09

06 Transformação de unidades 10

07 Grafia de números 11

08 Prefixos 11

09 Analise do comportamento dos fluidos 12

10 Exercícios (S.U e Prop. fund.fluidos) 14

11 Exercícios resolvidos 15

12 Exercícios conversão unidades 18

13 Exercícios (S.U e Prop. fund. fluidos) 19

14 Hidrostática 20

15 Manometria 25

16 Empuxo 31

17 Exercícios de hidrostática 34

18 Exercícios empuxo 35

19 Exercícios manometria 39

20 Exercícios sistema de unidades 43

21 Fundamentos da cinemática dos fluidos 44

22 Teste múltipla escolha 48

23 Teorema de Bernoulli 50

24 Potencia da corrente fluida 52

25 Aplicações da equação de Bernoulli 52

26 Exercícios (eq. continuidade e Bernoulli) 56

27 Orifícios 58

28 Bocais 61

29 Vertedores 63

30 Hidrometria 65

31 Condutos livres 65

32 Condutos forçados 71

33 Exercícios hidrometria 75

34 Exercícios condutos forçados e hf 75

35 Dimensionamento de canais 77

36 Elementos geométricos 78

37 Exercícios resolvidos canais 82

38 Exercícios propostos canais 83

39 Escoamento em tubulações 84

40 Determinação da perda de carga 84

41 Exercícios de perda de carga 88

42 Bombas Hidráulicas 91

43 Cavitação 94

44 Potências e rendimentos 95

45 Curvas Características De Bombas Centrífugas 100

46 Método Básico Para Seleção De Uma Bomba Centrífuga 105

47 Esquema típico de instalação de motobomba 109

48 Referencias 112


1. GENERALIDADES

A ciência da engenharia denominada mecânica dos fluidos desenvolveu-

se através de um entendimento das propriedades dos fluidos1 (tanto em

repouso quanto em movimento), da aplicação das leis fundamentais da

mecânica e da termodinâmica e da experimentação metódica.

O significado etimológico da palavra hidráulica é a “condução de

água” (do grego hydor, água e aulos, tubos condução). Entretanto a

engenharia hidráulica envolve a aplicação de princípios e métodos da

engenharia para o controle, conservação e utilização dos fluidos. A

hidráulica pode ser dividida em Geral ou Teórica e Aplicada ou

Hidrotécnica. A Hidráulica Geral se aproxima muito da mecânica dos

fluidos e pode ser subdividida em Hidrostática2, Hidrocinemática

3 e

Hidrodinâmica4; já a Hidráulica Aplicada é a aplicação prática dos

conhecimentos científicos da Mecânica dos Fluidos e da observação

criteriosa dos fenômenos relacionados à água parada ou em movimento.

As áreas de atuação da Hidráulica Aplicada são: Urbana (sistemas de

abastecimento de água, sistema de esgotamento sanitário, sistema de

drenagem pluvial, canais); Rural: (sistemas de drenagem, sistemas de

irrigação, sistemas de água potável e esgotos); Instalações Prediais:

(industriais, comerciais, residenciais e públicas); Lazer e Paisagismo;

Estradas (drenagem); Defesa contra inundações; Geração de energia;

Navegação e Obras Marítimas e Fluviais.

Os instrumentos utilizados na atividade profissional da Hidráulica

Aplicada são: analogias, cálculos teóricos, e empíricos, modelos físicos,

modelos matemáticos de simulação, hidrologia. Os acessórios, materiais e

estruturas utilizados na prática da Hidráulica Aplicada são: Tubulações,

aterros, barragens, bombas, canais, válvulas, vertedores, etc.

1 Definição de fluido: é uma substancia que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de

cisalhamento. Outra definição seria “fluidos são substancias que são capazes de escoar e cujo volume toma a forma de seus recipientes”. 2 Trata dos fluidos em repouso.

3 Estuda velocidades e trajetórias, sem considerar forças ou energia.

4 Refere-se às velocidades, às acelerações e às forças que atuam nos fluidos em movimento.


2. EVOLUÇÃO DA HIDRÁULICA

Os trabalhos hidráulicos são conhecidos desde a mais remota

antiguidade. As grandes civilizações antigas que se fixaram em regiões

áridas, mas próximas de cursos de água facilmente aproveitáveis, foram

nascidas e conservadas graças à utilização eficiente de seus recursos

hídricos. Há mais de 3000 anos a.C5., entre os rios Tigre e Eufrates, os

egípcios já haviam construído obras hidráulicas para irrigação de suas

lavouras e em Nipur (Babilônia), existiam coletores de esgoto desde 3750

a. C.

O principio de Arquimedes pertence quase ao inicio da época Romana;

da autoria de FRONTINUS do Imperador Nero, é o primeiro tratado de

Hidráulica, particularmente dedicado aos aquedutos de Roma, considerados

obras de primária importância para o desenvolvimento da civilização.

O primeiro sistema público de abastecimento de água de que se tem

noticia, o aqueduto de Jerwan, foi construído na Assíria, 691 a.C. Alguns

princípios da hidrostática foram enunciados por Arquimedes, no seu

“Tratado sobre corpos flutuantes”, 250 a.C.

Deve-se a Euler as primeiras equações gerais para o movimento dos

fluidos. No seu tempo, os conhecimentos que hoje constituem a Mecânica

dos Fluidos apresentavam-se separados em dois campos distintos: a

Hidrodinâmica Teórica, que estudava os líquidos perfeitos, e a Hidráulica

Empírica, em que cada problema era investigado isoladamente.

Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de

ferro fundido, capazes de resistir a pressões internas, relativamente

elevada, com o crescimento das cidades e importância cada vez maior do

serviço de abastecimento de água e ainda em conseqüência de novas

maquinas hidráulicas é que a Hidráulica teve um progresso rápido e

acentuado.

Finalmente, pode-se admitir que a Hidráulica é jovem como ciência

sendo que novas e importantes descobertas se desenvolverão ano após ano

nesse campo de atividades.

5 Primeiro relato da irrigação no mundo.


3. DIMENSÕES, SIMBOLOS E UNIDADES

O estudo da mecânica dos fluidos envolve uma variedade de

características. Assim, torna-se necessário desenvolver um sistema de

descrevê-la de modo qualitativo (comprimento, tempo, velocidade) e

quantitativo (fornece uma medida numérica para as características). A

descrição qualitativa é conveniente realizada em função de certas

quantidades primarias tais como o comprimento, L, tempo, T, massa, M.

Estas quantidades primárias podem ser combinadas e utilizadas para

descrever, qualitativamente, outras quantidades ditas secundarias, por

exemplo: área = L2, velocidade = L T

-1 e massa especifica = M L

-3. O

símbolo = é utilizado para indicar a dimensão de quantidade secundaria em

função das dimensões das quantidades primarias. Assim nós podemos

descrever qualitativamente a velocidade, V, do seguinte modo:

1 LTV

e dizer que a dimensão da velocidade é igual ao comprimento dividido pelo

tempo. As quantidades primárias são também denominadas dimensões básicas.

É interessante notar que são necessárias apenas três dimensões

básicas (L, T e M) para descrever um grande numero de problemas de

mecânica dos fluidos e da hidráulica. Nós aceitamos como premissa básica

que todas as equações que descrevem os fenômenos físicos precisam ser

dimensionalmente homogêneas. Por exemplo, a equação para a velocidade de

um corpo uniformemente acelerado é:

atVoV

Onde: Vo é a velocidade inicial, a é a aceleração e t é o intervalo de

tempo. Em termos dimensionais a forma desta equação é:

111 LTLTLT

podendo concluir desta forma que a equação para a velocidade de um corpo

é dimensionalmente homogênea.

Exemplo: Dada a equação para determinar a vazão do escoamento de um

liquido através de um orifício localizado na lateral de um tanque é:

ghAQ 261,0


Onde: A é área do orifício, g é a aceleração da gravidade e h é a altura

da superfície livre do liquido em relação ao orifício. Investigue a

homogeneidade dimensional desta equação.

Solução: as dimensões dos componentes da equação são:

LalturahTLgravidadeaceleracaog

LareaATLtempovolumeQ

..............

...................../

2

213

Se substituirmos estes termos na equação, obtemos a forma dimensional:

2/12/12213 )()()2)()(61,0()( LLTLTL Ou )()2)(61,0()( 1313 TLTL

Este resultado mostra que a equação é dimensionalmente homogênea, ou

seja, os dois lados da equação apresentam a mesma dimensão

L3 T

-1, sendo 0,61 e 2 adimensionais.

Obs 1.: uma equação é dita homogênea dimensionalmente, quando os seus diferentes

termos apresentam o mesmo grau com relação às grandezas fundamentais

Obs 2: uma equação física não pode ser verdadeira se não for dimensionalmente

homogênea.

Quadro: Unidades de diversas grandezas mecânicas nos principais sistemas.

Designação Dimensões Sistema

CGS

S I Sist.

Técnico

MLT FLT (MLT) (MLT) (FLT)

Unid.

fundam

Comprimento L L cm m m

Massa M FT2

L-1

g kg UTM

Força ML T-2 F dina

(dyn)

N kgf

Tempo T T s s s

Unidades derivadas

Superfície L2 L

2 cm

2 m

2 m

2

Volume L3 L

3 cm

3 m

3 m

3

Velocidade L T-1 L T

-1 cm/s m/s m/s

Aceleração L T-2 L T

-2 cm/s

2 m/s

2 m/s

2

Trabalho M L2 T

-2 FL erg joule(J) kgf.m

Potencia M L2 T

-3 FL T

-

1

erg/s watt(W) kgf.m/s

Visc

din.()

M L-1

T-

1

FT L-

2

poise decapoise(d

a)

kgf s/m2

Visc

cin..()

L2 T

-1 L

2T cm

2/s

(stokes)

m2/s m

3/s

Massa esp

()

M L-3 FT

2

L-4

g/cm3 kg/ m

3 Kgfs

2/m

4

(UTM/ m3)

Peso

esp.()

M L-2T-2 F L

-3 dyn/cm

3 N/m

3 Kgf/m

3

U.T.M = 9.81 kg 1 N = 0.102 kgf 1 kgf = 9.81 N 1 N = kgf.m.s-2


4. SISTEMAS DE UNIDADES

Normalmente, além de termos que descrever qualitativamente uma

quantidade, é necessário quantificá-la. Existem vários sistemas de

unidades em uso e consideraremos apenas três dos sistemas utilizados em

engenharia.

- Sistema Internacional (S.I.) 6

- Sistema Técnico (utilizado nos EUA)

- Sistema C.G.S.

Ainda são toleradas algumas unidades de outros sistemas. Por exemplo:

Unidades de Pressão:

-Atmosfera 1 atm = 101 435 Pa = 101,435 kPa = 1,01 bar = 14,22 lb/pol2

ou PSI

-Bar 1 bar = 100.000 Pa = 100 kPa =

0.985 atm

-Metro de Coluna de Água

1 m.c.a. = 10 kPa

-Milímetro de Mercúrio

1 mmHg = 133, 322 Pa

Unidades de Potência:

-Cavalo-Vapor 1 cv =735,5 watt

(muito utilizado em motores)

-Horse-Power 1 hp = 746 watt

Unidades de Força:

-Quilograma-Força 1 kgf = 9,81 N

Obs: Em Hidráulica, os sistemas de

unidades mais utilizados são o S.I. e o

Sistema Técnico.

Obs.: 1200 cfm ("cubic feet per minute", ou pé cúbico por minuto)

6 O decreto n 81.621 de 03/05/1979, tornou oficial no Brasil o uso do Sistema Internacional de Unidades

(S.I.).


Exemplo: Um tanque contem 36 kg de água e está apoiado no chão de um

elevador. Determine a força que o tanque exerce sobre o elevador quando

este movimenta para cima com uma aceleração de 7 ft s-2.

Solução: A fig. Mostra o diagrama de corpo livre para o

tanque. Note que W é o peso do tanque e da água. A

expressão da segunda lei de Newton é: maF

Eq. 1

Aplicando esta lei ao problema, temos:

maWFf (considerando positivo para cima).

Como W = m g, a eq. 1 pode ser reescrita como:

Ff = ma + mg ficando

Ff = m(g+a).

Se quisermos conhecer o valor de Ff em Newton, é necessário exprimir

todas as quantidades no SI.

Assim: ..97,42913,281,936 222 mskgmsmskgFf

Como 1 N = 1 kgf.m.s-2, temos que a força Ff é igual a 429,97 N (atua no

sentido positivo). O sentido que a força atua no elevador é para o solo

porque a força mostrada no diagrama de corpo livre é a força que atua

sobre o tanque.

5. ALGUMAS GRANDEZAS MECÂNICAS

MASSA: U.T.M. Unidade Técnica de Massa.

Definição: É a massa de um corpo pesando “9,81” kgf

Obs dimensão : L

TF

T

L

F

A

FMAMF

2

2

..

Força = massa x aceleração

Massa = 9,81 kgf 1 U.T.M = 1 kgf . s2

9,81 m.s-2 m

1 U.T.M = 9,81 kg

Exemplo: Um corpo pesa 250 Kgf. Qual sua massa no sistema técnico?

m = 250 kgf = 25,5 U.T.M.

9,81 m /s2

W

Ff

a


FORÇA 2

.

T

LMDimensao C.G.S

2

.

s

cmg = dina (dyn)

S.I. 2

.

s

mkg = Newton (N)

Obs: Newton: Força que comunica à massa 1 kg, a aceleração de 1 m/s2.

S. Técnico Força = Quilograma-força (kgf)7.

1F = 1 kg . 9,81 m/s2

1F = 9,81 kg . m/s2

1F = 9,81 N ainda 1 kgf = 9810 N

Observação: A massa no S.I. possui o mesmo módulo que a força no Sistema

Técnico.

Exemplo: 2 kg (massa no S.I) de banana pesam 2 kgf (força no Sistema

Técnico), porém em sistemas diferentes !!!

O Quadro abaixo exemplifica a questão:

S.I. Sistema Técnico

Massa = 2 kg Massa = kg

kg

81,9

2 = 0,204 U.T.M = 0,204

m

skgf 2.

Peso = m . g

Peso = 2 kg . 9,812s

m

Peso = 19,62 N

Peso = m . g

Peso = 0,204m

skgf 2.. 9,81

2s

m

Peso = 2 kgf

Observação: Na resolução de problemas é necessária a utilização de um mesmo

sistema de unidades.

A massa específica ( ) no S.I. = Peso específico () no Sistema

Técnico

(S.Tec.) = g

(S.I) (S.Tec) =

g

(S.I.) (S.I.) = (S. Tec)

água = 1 000 kgf/m3 (S. Téc.) água = 9 810 N/m

3 (S.I.)

7 Peso do protótipo internacional do quilograma, quando submetido à ação da gravidade normal (9,81 m/s

2).


6. TRANSFORMAÇÕES DE UNIDADES EXPERIÊNCIA DE TORRICELLI (Século XVIII)

A pressão atmosférica em um local pode ser

medida pela coluna de mercúrio na experiência

de Torricelli.

Sendo: hpEpBpBpo .'

Mas: pE=zero(pressão em E, vácuo parcial);

Hg=13590 kgf m-3 (peso espec. merc.)

Então: 23 328 10760,0*590 13 kgfmmkgfmpo ou

mmHgkgfcmpo 760033,1 2

Que é o valor da pressão atmosférica ao nível

do mar, correspondendo a 1 atmosfera normal.

Ao emborcar a proveta cheia de mercúrio (Hg)

na cuba, permaneceu uma coluna de 760 mmHg. Concluiu-se com isto, que a

Pressão Atmosférica corresponde à 760 mmHg.

Como Hg = 13 590 Kgf/m3

e P = . h, então: 13 590 kgf/m

3 x 0,760 m = 10 328 kgf/m

2 = 1,033 kgf/cm

2(Atmosfera física).

Como a densidade do Hg () = (Hg) / (água) = 13,59 A mesma pressão atmosférica equilibraria uma coluna de água de:13,59 X

0,760 m = 10,33 m.c.a.

Atmosfera Padrão (ao nível do mar, 40º de latitude)

760 mmHg = 10.340 kgf/m2 = 1,034 kgf/cm

2 = 10,34 m.c.a.

Atmosfera Técnica (usada para cálculos em engenharia)

735mmHg = 10.000 kgf/m2 = 1,0 kgf/cm

2 = 10 m.c.a. = 1 atm = 100kPa =

14,22 PSI (1 kgf = 10 N).

Observação: Para uma elevação de 100 m na altitude, ha uma redução de

0,012 atm (0,12 m.c.a. ou 120 kgf/m2) na pressão atmosférica local.

Exemplo: Determinar o valor da Pressão Atm. para Lavras Altitude=920 m)

Sabemos que a atmosfera padrão, ao nível do mar, é igual a 1,034 atm =

10.340 kgf/m2 = 10,34 m.c.a. e também que a pressão é reduzida de 120

kgf/m2 para cada 100 m acima do nível do mar, portanto:

Patm local = 10 340 kgf/m2 – (120 kgf/m

2 x Altitude/100)

Patm local = 10 340 kgf/m2 – (120 kgf/m

2 x 920 m / 100)

Patm local = 9 236 kgf/m2

Exercício: calcular a pressão atm para a cidade de Diamantina (1350m).

h =760mm de Hg

Hg

B‟

po

B

E

F

Vácuo parcial


7. GRAFIA DE NÚMEROS

A fim de facilitar a leitura, os números podem ser repartidos em

grupos de três algarismos cada um, esses grupos nunca será separados por

virgula ou ponto (9ª CGPM/1948-resolução 7).

Exemplo: 100 000,0 sendo representativo de cem mil e zero unidades.

8. PREFIXOS DO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)

Fator Prefixo Simbolo Fator Prefixo Simbolo

1018 exa E 10

-1 deci d

1015 peta P 10

-2 centi c

1012 tera T 10

-3 mili m

109 giga G 10

-6 micro

106 mega M 10

-9 nano n

103 quilo k min. 10

-12 pico p

102 hecto h 10

-15 femto f

101 deca da 10

-18 atto a

9. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DOS FLUIDOS

Definição de Fluido: é uma substancia que se deforma continuamente quando

submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena

possa ser essa tensão.

a) Peso especifico (γ). É o peso da unidade de volume da substancia.

V

W

Onde: V é o volume da substância e W é peso da substancia.

obs W=mg.

Dimensões MLT22TL

M e FLT

3L

F

b) Massa especifica (ρ). É a massa contida na unidade de volume, também

conhecida como “densidade absoluta”.

V

m

Onde: m é a massa da substancia.

Dimensões MLT3L

M e FLT

4

2

L

FT

Obs: Entre a massa especifica e o peso específico existe a seguinte

relação: V

W

V

mgsendo

V

m logo g. onde g é a aceleração da

gravidade.


Massa especifica de algumas substancias.

Substancia ρ (g cm-3) ρ (kg m

-3)

Agua (4ºC) 1,0 1 000

Gelo 0,92 920

Álcool 0,79 790

Ferro 7,8 7 800

Chumbo 11,2 11 200

Mercurio 13,6 13 600

Obs.: água, peso especifico 101,94 UTM/m3 sendo UTM=

m

skgf 2.

c) Densidade (δ). É a relação entre a massa especifica de uma substancia

e a massa específica de outra substância, tomada como referência.

1

sendo adimensional.

Geralmente a substancia tomada como referência é a água a 4ºC que

apresenta massa específica de 1000 kg m-3.

d) Viscosidade (atrito interno). é a propriedade dos fluidos responsável

pela sua resistência à deformação. Obs: em conseqüência da viscosidade o

escoamento dos fluidos dentro das canalizações somente se verifica com

perda de energia denominada “perda de carga”.

e) Coeficiente de viscosidade dinâmica (μ). É o parâmetro que traduz a

existência de esforços tangencias nos líquidos em movimento.

n

VSF

Onde: ΔF é força necessária para o deslocamento, S é superfície contato,

Δn é distancia de deslocamento e ΔV é velocidade relativa.

f) Coeficiente de viscosidade cinemática (υ). É o quociente de

viscosidade dinâmica pela massa especifica.

Obs: coeficiente de viscosidade cinemática da água (υ) = 1,01.10-6 m

2 s

-1 =

1,01 centistokes.

g) Coesão. Permite às partículas fluidas resistirem a pequenos esforços

de tensão.

Por exemplo: formação da gota d’água.

h) Adesão. Quando um liquido está em contato com um sólido, a atração

exercidas pelas moléculas do sólido é maior que a atração existente entre

as moléculas do próprio liquido.


i) Tensão superficial (σs). Na superfície de contato entre dois fluidos

não miscíveis (água e ar), forma-se uma película elástica capaz de

resistir a pequenos esforços.

Por exemplo, pernilongo sobre a água.

j) Capilaridade. As propriedades de adesão, coesão, tensão superficial

são responsáveis pelo fenômeno da capilaridade. É a elevação (ou

depressão no Hg) de um liquido dentro de um tubo de pequeno diâmetro.

gr

sh

cos.2

Onde: α é o ângulo formado pela superfície do liquido com a parede do

tubo, ρ é a massa específica da água, g é a aceleração da gravidade e r é

o raio do tubo capilar.

l) Compressibilidade. Para efeitos práticos, os líquidos são considerados

incompressíveis.

Por exemplo, 1 000 L de água à pressão de 7 kgf cm-2, sofre uma redução de

0,0033 m3 ou de 3,3 L.

m) Solubilidade dos gases. Os líquidos dissolvem os gases (água dissolve

o ar). Implicação: causa do desprendimento de ar e aparecimento de bolhas

de ar nos pontos altos das tubulações.

FLUIDO NEWTONIANO

Definimos fluido como “toda substancia que se deforma

continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento” na

ausência deste, não existe deformação. Os fluidos podem se

classificar, de forma geral, segundo a relação entre os esforços

cortantes aplicados e a rapidez de deformação resultante. Aqueles

fluidos onde o esforço cortante é proporcional a rapidez de

α

Patm h

menisco

agua

Fig.: tubo capilar de vidro em água

Coesão >

adesao Adesão >

Coesão


deformação, se denominam fluidos Newtonianos, p.e. água, ar,

gasolina, e o termo Não Newtoniano se utiliza para classificar

todos os fluido onde o esforço cortante no é diretamente

proporcional a rapidez de deformação, p.e. creme dental, tintas. Na

nossa apostila, somente faremos menção a fluidos Newtonianos.

Obs. VISCOSIDADE

Considerando a deformação dos fluidos Newtonianos diferentes, por exemplo,

a água e a glicerina se deformam em diferentes tempos para uma mesma força

cortante. A glicerina oferece muito mais resistência à deformação do que a água,

então, diz-se que a glicerina é muito mais viscosa. Outro exemplo seria o mel

com o álcool, qual seria mais viscoso?

10. LISTA 1.

HIDRÁULICA (Sist. de Unidades e Prop.Fundamentais dos fluidos)

1. Transformar a pressão de 35.000 2m

kgf em :

a) kgf / cm2 (Resp.: 3,5 kgf / cm

2)

b) m.c.a. (Resp.: 35 m.c.a)

c) atm (Resp.: 3,5 atm)

d) Pascal (Pa) (Resp.: 350.000 Pa)

e) kPa (Resp.: 350 kPa)

Obs: Utilizar atmosfera técnica

2. Sabe-se que 3 dm3 de um líquido pesam 2.550 gf. Calcular o peso específico, massa específica e a densidade deste líquido no Sistema

Técnico.

Resposta: = 850 kgf/m3 = 86,65 kgf . s2 / m4 = 0,85

3. Um frasco de densidade tem massa igual a 12g quando vazio e 28g quando cheio de água. Retirando-se a água, enche-se o frasco com um

ácido e Obtém-se uma massa total de 37,6g (frasco + ácido).

Calcular a densidade relativa do ácido. Resposta: = 1,6 4. Sabendo-se que a massa de 3 950 kg de álcool ocupa um volume de 5 000

litros, calcular o peso específico do álcool em N / m3.Resposta: =

7 750 N / m3

5. Há 4 200 kgf de gasolina em um tanque com 2 m de largua, 2 m de

comprimento e 1,5 m de altura. Determinar a massa específica da

gasolina em g/cm3. Resposta: = 0,7 g/cm3

6. Um tubo cilíndrico mede 50 cm de comprimento e 12 mm de diâmetro

interno. Determinar a massa de mercúrio (Hg = 13,6 g/cm3) necessária

para encher o referido tubo. Resposta: massa = 769 g


11. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(Sistemas de Unidades e Propriedades Fundamentais dos Fluidos)

1- Determinar o peso em kgf de uma massa de 8,76 U.T.M. num local onde

a aceleração da gravidade (g) é igual a 8,94 m/s2.

Resolução:

U.T.M. = m

skgf 2* W (peso) = m.g

W = s

m

m

skgf94,8*

*76,8

2

W = 78,31 kgf

2- A massa específica () de uma substância é 1,76 g/cm3. Determinar no Sistema Internacional:

a) Densidade ( ); b) Peso específico ( ).

Resolução: = 1,76 g/cm3 massa (m) = 1,76 g = 0,00176 kg

1 cm = 0,01 m 1 cm3 = (0,01 m)

3 = 0,000001 m

3

= 3610*1

00176,0

m

kg

= 1.760 kg/m3

a) = 3

3

/000.1

/760.1

mkg

mkg

água

= 1,76

b) = 23

81,9*760.1*s

m

m

kgg = 17.265 N/m3

Obs.: N = 2

*

s

mkg

3 - Se 8 m3 de óleo pesam 7 200 kgf , Calcule seu peso específico (),

massa específica () e sua densidade ().

Resolução:

Vamos resolver utilizando o sistema técnico: V = 8 m3; W= 7 200 kgf

= 38

200.7

m

kgf

V

P = 900 kgf/m3


= V

m ou =

2

3

/81,9

/900

sm

mkgf

g

= 91,74

4

2*

m

skgf

=

água

ou =

3

3

/000.1

/900

mkgf

mkgf

água

= 0,9

4. Enche-se um frasco (até o afloramento) com 5,23g de ácido sulfúrico.

Repete-se a experiência, substituindo o ácido por 2,98g de água. Calcule

a densidade, massa específica e peso específico do ácido sulfúrico no

Sistema Técnico.

Resolução:

Obs.: Volumes iguais (mesmo recipiente ).

Densidade: ácido =

água

água

ácido

ácido

água

ácido

V

m

Vm

ácido =

água

ácido

m

m

ácido = g

g

98,2

23,5 ácido = 1,75

Massa Específica: =

água

= 1,75 * 102

3

...

m

MTU

= 178,5 3

...

m

MTU

Obs.: U.T.M = 3

2*

m

skgf

Peso Específico: = * g = 178,5 4

2*

m

skgf * 9,81

2s

m logo

5,23g de ácido

Vfrasco

2,98g de água

Vfrasco


= 1 751 3m

kgf

5. Sendo a densidade relativa da cerveja 1,03; calcular a sua massa

específica () e peso específico () no Sistema Internacional.

Resolução:

Massa Específica: cerveja = água

cerveja

cerveja = * água

cerveja = 1,03 * 1000 kg/m3 cerveja = 1.030 kg/m

3

Peso Específico: = * g cerveja = 1.030 kg/m3 * 9,81 m/s

2

cerveja = 10.104 N/m3

6. Transformar a pressão de 2,5 atm (atmosfera) em:

a) kgf/cm2 ; b) kgf/m

2 ; c) m.c.a. ; d) kPa

Obs.: Utilizar a atmosfera técnica (1 atm = 10 m.c.a. = 1 kgf/cm2 = 10

000kgf/m2 = 100 000 Pa)

Resolução:

a) 1 atm ------- 1 2cm

kgf x =

atm

cmkgfatm

1

.15,2 2 = 2,5

2cm

kgf

2,5 atm ----- x 2cm

kgf

b) 1 atm ---------------- 10 000 kgf/m2 x = 25 000 kgf/m

2

2,5 atm -------------- x kgf/m2

c) 1 atm -------------- 10 m.c.a. x = 25 m.c.a.

2,5 atm ------------ x m.c.a.

d) 1 atm --------- 100 000 Pa x = 250 000 Pa = 250 kPa

2,5 atm ------ x Pa

2,5 atm = 2,5 kgf/cm2 = 25 000 kgf/m2 = 25 m.c.a. = 250 kPa


12. LISTA 2 Exercícios de sistemas de unidades

1) Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidades do sistema técnico.

Exemplo: 50,0 l/s = 0,05 m3/s (vazão)

a) 9 810 dinas (g.cm.s-2);

Conversão de dina para N

1 ( g.cm.s-2) ------ 10

-5 kg.m.s

-2

9 810 ----- X logo X = 0,0981 kg.m s-2.

Conversão de N para kgf

1 kgf --------- 9,81 N

X --------- 0,0981 N

x= 0,01 kgf

b) 250g; c) 7814 N; d) 200 cm/s2; e) 80 km/h;f) 200 000 KN;

g) 3 000 l/h; h) 4,0” (polegadas); i) 5,0 lb. (libras); j) 7 500 N/m2;

k) 5 PSI (libras por polegada quadrada); l) 7,0 kgf/cm2;

m) 9,81 g/cm3; n) 8 000 000 cm

2/s; o) 20 000 kW; p) 10 H.P;

q) 10 c.v;


13. LISTA 3 (Sistemas de Unidades e Prop. Fundamentais dos Fluidos)

1 - Se 7 m3 de um óleo tem massa de 6 300 Kg, calcular sua massa

específica ( ), densidade relativa ( ) e peso específico no Sistema Internacional ( S.I. ). Considere g = 9,81 m/s

2 .

2 - Repita o problema do exercício anterior usando o Sistema Técnico.

Compare os resultados.

3 - Dois dm3 de um líquido pesam 1 640 gf. Calcular seu peso específico,

massa específica e densidade.

4 - Um fluido pesa 25 N / m3 em um local onde a aceleração da gravidade

9,81 m / s2 . Determinar:

a) Massa específica do fluido no referido local em kg / m3 ; b) O peso esp. do mesmo fluido em outro local onde g=9,83 m/s2 .

5 - Para um líquido cuja massa específica é = 85,3 4

2*

m

skgf , calcular

o respectivo peso específico e a densidade relativa. (Sistema Técnico).

6 - Um frasco de densidade cheio de gasolina pesa 31,6 g, quando cheio

de água ele pesa 40 g, e quando vazio, pesa 12 g. Determine a densidade

relativa da gasolina ( ).

7 - Calcular o peso de uma massa de 5,55 U.T.M. em um local onde a

aceleração gravitacional é 9,65 m / s2 .

8 - Transformar a pressão de 15 m.c.a. em:

a) kgf / cm2 ; b) kgf / m

2 ; c) atm ; d) kPa.

Obs.: Utilizar atmosfera técnica ( 1 atm = 1 kgf / cm2 = 10 000 kgf / m

2

= 10 m.c.a. = 100 kPa)

9 - Para uma viscosidade dinâmcia ( ) de 0,6 poise

2

*

cm

sdina e

densidade igual a 0,6, qual o valor da viscosidade cinemática () ?

(Usar o Sist. Técnico)


14. HIDROSTÁTICA

A estática dos fluidos é o estudo dos fluidos no qual não há

movimento relativo entre as partículas do fluido. A pressão é a única

tensão que existe onde não há movimento.

Conceito de pressão e empuxo.

Pressão: Pode ser definida relacionando-se uma força a uma unidade de

área.dA

dFp

Onde:

ApE

pDaE

.

Se pressão for a mesma em toda a área.

Pressão nos líquidos.

O que é pressão? Muitas pessoas pensam que pressão é sinônimo de força.

Pressão, no entanto, leva em conta não apenas a força que você exerce mas

também a área em que a força atua. A Fig. abaixo representa um bloco de 1

decímetro quadrado por dois decímetros de altura, pesando 4 kgf. O peso

do bloco é distribuído sobre uma área de 1dm2, de modo que exerce uma

pressão de 4kg* por decímetro quadrado. Se o bloco estiver apoiado na

face lateral (Fig. B) de modo que a área em contato com a mesa seja de 2

dm2, a pressão será de 2kg* por dm2. Um pneu de automóvel de cerca de 20

centímetros de largura tem uma grande superfície em contato com o chão.

Com esse pneu um carro pesado roda mais suavemente que com um pneu menor

que exigiria maior pressão?

dA

dF A


Exemplo: Uma caixa pesando 150kg* mede 1,20m de comprimento por 0,5m de

largura. Que pressão exerce ela sobre o chao?

120 kg* = peso da caixa;

0,5 m = largura da caixa;

1,2 m = comprimento da caixa.

Determinar a pressão.

Resolva os problemas

1. Um tanque contém agua pesando 480kg*. O tanque tem 1,20m de

comprimento por 80 cm de largura. Qual a pressão no fundo do tanque, em

quilograma-força por decímetro quadrado?

2. A base de um monumento tem uma área de 4 m2. Se seu peso é de 6

toneladas. Que pressão ele exerce (em kgf/m2)?

3. O vapor de uma caldeira exerce a pressão de 100kgf/cm2 na base de um

pistão de 40cm2. Que força o vapor exerce sobre o pistão?

4. A água de uma represa exerce uma pressão média de 0,3kgf/cm2 contra a

muralha de 6 m ele altura por 18 m de largura. Determine a força total

sobre a muralha.

Respostas:

Pressão

1) 5 kgf/dm2; 3) 4000 kgf.

Pressão de água

1) 22 kgf/dm2; 3) 450 kgf/dm

2 e 4,5 kgf/cm

2; 5) (a) 600 gf/cm

2 e (b) 0,6

kgf/cm2.

Densidade e pêso específico

1) 2,25; 3) (a) 1,11 (b)36 cm2.

Pressão num líquido qualquer

1) 410 gf/cm2; 3) 0,062 kgf/dm2.


E

w ou P

Exercícios

1. uma caixa de concreto armado pesa 540 kgf sendo suas diemnsoes 1,2 x

0,5 x 1,0 de altura. Que pressão unitária ela exerce sobre o chão estando

vazia? E cheia ? e cheia com mercúrio?

2. A pressão d’água numa torneira A é de 0,3

kgf/cm2. calcule a altura da coluna de água (ver

figura ao lado).

3. determine a pressão em kgf/m2 a uma profundidade

de 10 m de um óleo de .75,0

Resp.: 7 500 kgf/m2.

4. Determine a pressão absoluta em kgf/m2 do

problema anterior num local onde o barômetro indica

720 mmHg .57,13

5. um tubo vertical de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto

na extremidade auperior, contem volumes iguais de água e mercurio.

Pergunta-se:

a) qual a pressão manométrica, em kgf/cm2 no fundo do tubo?

b) Qual os pesos liquidos nele contidos ?

Princípio de Arquimedes

Um corpo imerso num liquido está sujeito a um empuxo vertical (γ V) de

intensidade igual ao peso do liquido deslocado.

Seja (Vf) o volume de fluido deslocado pelo corpo. Então a massa do

fluido deslocado é dado por:

Vfdfmf .

A intensidade do empuxo é igual à do peso dessa massa deslocada:

gdfVfgmfE ..

Para corpos totalmente imersos, o volume de fluido deslocado é igual ao

próprio volume do corpo. Neste caso, a intensidade do peso do corpo e do

empuxo são dados por:

gVcdfEegVcdcP ...............................

A resultante das forças (Fr) será:

PesoforçadaeEmpuxof ....


Quando um corpo mais denso que um liquido é totalmente imerso nesse

liquido, observamos que o valor do seu peso, dentro desse liquido, é

aparentemente menor que o do ar. A diferença entre o valor do peso real e

do peso aparente corresponde ao empuxo exercido pelo liquido.

ErealPaparenteP ..

Lei de Pascal: Em qualquer ponto no interior de um

liquido em repouso, a pressão é a mesma em todas as

direções.

Consideremos um liquido em equilíbrio colocado em um

recipiente. Supondo as pressões hidrostáticas, 0.2 e

0.5 nos pontos A e B, respectivamente.

Demonstração da lei de Pascal: Considerar mo interior de um liquido, um

prisma imaginário de dimensões elementares.

Para que haja equilíbrio é necessário que a resultante das forças seja

nula:

Na direção x: .... sendspsdypx

px.dy.1 = ps.ds.sen.α ficando px dy = ps ds dy / ds Logo px = ps

Na direção y: cos... dspsdxpy

ps.ds

dx

px.dy

dw α

py.dx

A

B

F Se através de um embolo

comprimirmos o liquido,

produzindo uma pressão de 0,1

atm, todos os pontos sofrerão o

mesmo acréscimo de pressão.

Logo A=0,3atm

B=0,6atm.


py.dx.1 = ps.ds.cos.α ficando py dx = ps ds dx / ds Logo py = ps

Princípio da Prensa Hidráulica.

1

212

A

AFF

F1 = esforço aplicado

F2 = força obtida

A 1,2 = seção do embolo.

Exemplo: Em um macaco hidráulico aplica-se uma força de 280kgf no embolo

menor (diâmetro=52mm). Calcular o esforço no embolo maior (364mm).

Logo F2 = 280 * A2 / A1;

F2 = 280 * 104 062,72 / 2 123,72 = 13 720kgf

Vasos Comunicantes

Quando dois líquidos não se misturam

(imiscíveis) são colocados num mesmo recipiente,

eles se dispõem de modo que o liquido de maior

densidade ocupe a parte de baixo e o de menor

densidade a parte de cima.

Caso os líquidos imiscíveis colocados num

sistema constituído por vasos comunicantes, como

um tubo em U, eles se dispõem de modo que as

alturas de colunas liquidas, medidas a partir da

superfície de separação, sejam proporcionais às

respectivas densidades.

d2

d1 h2 h1

Sendo d1 a densidade do liquido

menos denso, d2 a densidade do

liquido mais denso, h1 e h2 as

respectivas alturas das colunas,

obtemos:

d1.h1=d2.h2

d1 ( óleo)

d2 (água)

d2 > d1


Equação Fundamental da Fluidostática (Lei de Stevin)

Obs: para água γ = 1 kg. m-3 = 10

4 N. m

-3

No caso de se querer medir a pressão no interior de um massa

liquida, a partir de uma superfície, basta:

Poder-se-ia pensar que o líquido contido em B, pelo facto de B ter maior diâmetro do que A, e portanto conter uma porção de líquido de maior peso, obrigasse esse mesmo líquido a ascender mais em A. Tal não sucede.

Exercício

1. Em um recipiente há 2 líquidos não-misciveis e de densidades diferentes. Através da lei de Stevin (Equação geral da

fluidostatica) mostrar que a superfície de separação dos 2 líquidos

é plana e horizontal.

Solução:

Sejam M e N dois pontos na superfície de separação dos 2 liquidos, cujos

pesos específicos são 1 E 2 . Deve-se demonstrar que M e N é horizontal

(Fig. Acima). Considerando o liquido cujo o peso especifico é 1 , acima

da superfície de separação , tem-se pela lei de Stevin:

Pn-Pm= 1 .h

Para o liquido cujo peso é 2 , abaixo da mesma superfície:

Pn-Pm= h2

Subtraindo membro a membro: )21(0 h

Sendo 21 O que implica em 0h

Conclusão : os pontos M e N têm a mesmas cotas, o que ocorrerá também com

todos os outros pontos da superfície de separação.


15. MANOMETRIA

Manometria: É a medida das pressões.

Manômetros: São instrumentos (dispositivos) utilizados na medição da

Pressão Efetiva (função da altura da coluna líquida)

Pabs = P + Patm

P Pressão efetiva ou manométrica ou piezométrica (medida através de

manômetros ou piezômetros);

Patm Pressão atmosférica local (medida através de barômetros, de

mercúrio ou aneróide).

Lista de Exercícios de Hidrostática

1. Uma caixa d’água de concreto armado pesa 840 kgf, sendo suas dimensões

1,2 * 0,5 * 1,0 de altura. Que pressão unitária ela exerce sobre o chão

vazia? E quando cheia de água? E com material de densidade = 6?

2. a pressão de água em uma torneira A é de 1,3kgf/cm2, segundo a figura.

Calcule a altura de coluna de água.

3. Um tambor com 2 ft (pés-foot) de diametro esta cheio de água e tem um

tubo vertical com 0,5 in (inch-polegada) de diâmetro ligado a sua parte

superior. Quantos litros de água devem ser adicionados pelo tubo para que

seja exercida uma força de 1000 lb (libra-força)no topo do tambor?

4. Determinar a pressão em kgf/cm2 a uma profundidade de 10 m em um óleo

de densidade = 0,75?

5. Determinar a pressão absoluta em kgf/m2 do problema anterior num local

onde o barômetro indica 700 mm Hg (densidade = 13,57).


6. Qual o peso especifico do liquido B do esquema abaixo.

7. Um tubo vertical, de 25 mm de diâmetro e 30 cm de comprimento, aberto

na sua extremidade superior, contem volumes iguais de água e mercúrio.

Pergunta-se:

a. qual a pressão manométrica em kgf/cm2 no fundo do tubo?

b. qual os pesos líquidos nele contidos?


2. Pressão efetiva e pressão absoluta

A pressão em um ponto também pode ser calculada a partir do zero absoluto

(vácuo), obtendo nesse caso a pressão absoluta. Agora a pressão nula

corresponde ao vácuo total e, portanto a pressão absoluta é sempre

positiva.

Pab. B = Pef.B. + Po e Pab. D = Pef.D + Po e Pab. E = Pef.E + Po

II - CLASSIFICAÇÃO DOS MANÔMETROS

1) Manômetro de Coluna Líquida

a) Piezômetro Simples ou Tubo Piezométrico;

b) Tubo ou Manômetro em “U”;

c) Manômetro Diferencial;

d) Manômetro ou Tubo

Inclinado.

2) Manômetro Metálico

a) “Bourdon”;

b) Digital

(Eletrônico).

a) Piezômetro ou Tubo

Piezométrico

- É o dispositivo mais simples para a medição de pressão;

- Consiste na inserção de um tubo transparente no recipiente

(tubulação) onde se quer medir a pressão;

- O líquido subirá no Tubo Piezométrico a uma altura “h”,

correspondente à pressão interna;

Po

E

D

B

P ef B = pressão efet em B.

P ef D = pressão efet em D.

P ef E = pressão efet em E.

a pressão efetiva pode ser:

positiva: quando > Po

nula: quando = Po

negativa: quando < Po(vácuo)

Obs: a pressão efetiva é também chamada de pressão manométrica (manômetros)


- Devem ser utilizados Tubos Piezométricos com diâmetro superior a

1cm para evitar o fenômeno da capilaridade;

- Não serve para a medição de grandes pressões ou para

gases.

b) Tubo em “U”

- Utilizado para medir pressões muito pequenas ou pressões muito

grandes;

- Utiliza-se um líquido indicador ou líquido manométrico com a

finalidade de aumentar ou diminuir o comprimento da coluna

líquida.

Pressões muito pequenas:

Densidade () do líquido manométrico densidade () do líquido do

recipiente

Líquidos manométricos:Água (=1,0),Tetracloreto de carbono (= 1,6)

Exemplo: P = 10.000 kgf / m2

Água h = 10 m.c.a. Mercúrio h = 0,735 mHg

P = . h

h = P/

A

água

h

Patm Patm Patm

PA = água . h

Exemplo: Um oleo de = 0,8, está submetido a uma pressão

de 4 kgf/cm2. Exprimir esta pressão em coluna de liquido.

Sendo P=γ h Logo: h = 40 000 / 800 = 50 m de coluna de

óleo.


Pressão muito grande:

Densidade do líquido manométrico > densidade do líquido do

recipiente

Líquido manométrico: Mercúrio ( = 13,6)

Líquido do recipiente: Água ( = 1,0 )

Exemplos de Tubos em “U “: a) Tubo U.

Obs.: Pontos situados na mesma cota

e na mesma porção fluida, estão

submetidos à mesma pressão (para

fluidos em repouso).

P1 = Patm + 2 . h2 P2 =

Patm + 2 . h2 = 0 + 2 . h2

PA + 1 . h1 = 2 . h2 PA =

Patm + 2 . h2 - 1 . h1

a) Duplo “U”.

P (1) P(2) P(3) PE = PD e PB = PC

PE = Patm + 2 . h2 = PD

PD = 1 . y + PF

PF = PD - 1 . y (PD = PE)

PF = PG PC = 2 . h1 + PG

PC = PB

PB = 1 . (h1 + x) + PA

Ou, inicia-se em um ponto e percorre todo o manômetro:

PA + 1 . (x + h1) - 2 . h1 + 1 .y - 2 . h2 = 0

PA + 1 . (x + h1 + y) - 2 . (h1 + h2) = 0

PA = 2 . (h1 + h2) - 1 . (x + h1 + y)


b) Manômetro Diferencial: É utilizado para medir a diferença de pressão

entre dois pontos.

MANÔMETRO METÁLICO DE “ BOURDON ”

- São utilizados em estações de bombeamento, indústrias, etc.;

- Funcionamento: Em seu interior existe uma tubulação recurvada que,

sob o efeito da pressão tende a se alinhar, fazendo assim a

movimentação de um ponteiro sobre uma escala graduada;

- Sujeitos a deformações permanentes, por isso de baixa precisão.

Obs: Vacuômetros são manômetros que medem pressões efetiva negativas

Manômetro Diferencial:

PA = PC + h1. γ1 + h3. γ3 = PD = PE + h2. γ2

Logo: PA – PE = + h1. γ1 + h3. γ3 - h2. γ2

PA > PB

PC = Pa

PC = PA + 1 . x

PB + 2 . h + 1 . y

PA + 1 . x = PB + 2 . h + 1 . y

PA - PB = 2 . h + 1 . h - 1 . x

B A

C

D

y

x

h 1

2


MANÔMETRO ELETRÔNICO (DIGITAL )

- Não possui peças móveis, portanto mais resistente a vibrações;

- Substitui tanto os manômetros convencionais como os vacuômetros

- É alimentado por baterias de 09 V, com duração de até um ano;

B

γ3

C

E

h1

h3

D

h2

A

γ1

γ2

γ3


16. EMPUXO

Freqüentemente o engenheiro encontra problemas relativos a projetos

de estruturas que devem resistir a pressões exercidas por líquidos. Tais

são os projetos de comportas, de barragens, tanques, canalizações, etc.

A força agindo em dA será:

dAsenyAdhAdpdF ........

Cada uma das forças dF será normal à respectiva área:

A resultante ou empuxo (total) sobre toda a área, também normal,

será dado por:

dAysenydAsenydFFAA

........

dAyA

.. é o momento da área em relação à interseção O; portanto AÿdAyA

..

onde ÿ é a distancia do centro de gravidade da área ate O, e A é a área

total.

AsenÿF .... como hseny ... AhF ..

A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o

teorema dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à

interseção O deve igualar-se aos momentos das forças elementares dF.

A h-

B

CG CP

dA

O

h

yp

A

B

ÿ

y

α


FydyF p ...

Na dedução anterior; dAsenydF .... ou AsenyF ....

Substituindo: AA

p AdysendAsenyyAseny ............. 2

logo yA

I

yA

Ady

y A

p

..2

expressão em que I é o momento de inércia em relação ao eixo-intersecao.

Mais comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que

passa pelo centro de gravidade, sendo conveniente a substituição.

2.yAII o yyA

Iy

yA

yAIy o

p

o

p

2

Como 2k

A

I o , quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo,

passando pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, yy

ky p

2

.

O centro de pressão esta sempre abaixo do centro de gravidade a uma

distancia igual a y

k 2

, medida no plano da área.

O

y p sen θ

yp

F

B

ÿ

y

θ

y sen θ


17. LISTA 4

EXERCÍCIOS (Hidrostática: Lei de Stevin e Lei de Pascal)

1 - Determinar a pressão (efetiva) em kgf / m2 a uma profundidade de 8,5

m abaixo da superfície livre de um volume de água.

Resposta: P = 8 500 kgf / m2

2 - Determinar a pressão em kgf / m2 a uma profundidade de 17 m em um

óleo de densidade igual a 0,75.

Resposta: P = 12 750 kgf / m2

3 - Determine a pressão absoluta em kgf / m2 no problema anterior quando

um barômetro instalado no local indica uma pressão de 760 mmHg (densidade

do Hg = 13,6).

Resposta: Pabs = 23 086 kgf / m2

4 - Que profundidade de óleo, com densidade 0,85, produzirá uma pressão

de 4,6 kgf / cm2 ? Qual a profundidade em água?

Resposta: Profundidade em óleo (h) = 54,1 m

Profundidade em água (h) = 46,0 m

5 - Converter a altura de carga de 6,5 m de água para metros de óleo

(densidade de 0,75).

Resposta: Altura de óleo (h) = 8,7 m

6 - Converter a pressão de 640 mmHg para metros de óleo (densidade =

0,75).

Resposta: Altura de óleo (h) = 11,6 m

7 - Em um tanque de querosene, tem-se uma diferença de pressão igual a

0,288 kgf / cm2 entre dois pontos da massa líquida, distanciados de 4

metros na vertical. Obter o peso específico do querosene. Resposta:

= 720 kgf / m3

8 - Calcular as pressões efetiva e absoluta em um ponto à profundidade

de 17 m em água do mar (densidade = 1,025). A atmosfera local é 750 mmHg

(densidade do Hg = 13,6).

Resposta: Pefe. = 17 425 kgf / m2

Pabs. = 27 629 kgf / m2

9 - A pressão atmosférica em uma determinada cidade corresponde a 630

mmHg. Calcular as pressões efetiva e absoluta (kgf / cm2) para um ponto

situado a 15 m de profundidade da superfície livre de uma lagoa desta

cidade. Resp. Pefe. =1,50 kgf/cm2 Pabs. = 2,357 kgf/cm

2


10 - Um tanque cilíndrico fechado possui em sua parte superior um tubo

com 12 m de altura. Ele contém água até o nível de 0,90 m acima do

fundo e óleo daí para cima. Sendo os pesos específicos da água e do óleo

1.000 kgf / m3 e 850 kgf /m

3 respectivamente, determinar as pressões

nos pontos 1, 2 e 3 situados na face interna da parede do tanque.

Resposta:

P1 = 12 000 kgf / m2

P2 = 12 935 kgf / m2

P3 = 13 835 kgf / m2

11. Calcular a pressão efetiva em A, em N/cm2.

12 m

1,10 m

0,90 m Água

Óleo

P1

P2

P3


18. EXERCÍCIOS (Empuxo)

1 - Determinar o valor do Empuxo (E) e a profundidade do centro de

pressão ou empuxo (hp) para uma comporta retangular de 1,50m X 3,0m cujo

plano faz com a vertical um ângulo de 45º e cuja aresta superior (que

corresponde ao lado de 1,50m) está a 1,30m de profundidade e é paralela à

superfície livre da água.

Respostas: E = 10 620 kgf; hp = 2,519 m

2 – Calcular o Empuxo (E), posição do centro de gravidade (Y) e posição

do centro de empuxo (Yp) na comporta retangular (5,0m X 2,0m) da figura

abaixo.

Respostas: E = 32 930 kgf Y = 4,658 m Yp = 4,730 m


3 - Determinar a posição do centro de empuxo (Yp) da figura abaixo.

Resposta: Yp = d*3

2

4 - Um túnel T é fechado por uma comporta retangular com 1,50 m de

largura. Calcular o Esforço (E) suportado pela comporta e o respectivo

ponto de aplicação (Yp).Resposta: E = 12 727,92 kgf Yp = 4,400 m

5 - Calcular o Empuxo (E) e determinar a posição do centro de pressão

(Yp) numa comporta retangular inclinada, como a da figura abaixo.

Respostas: E = 4 362,37 kgf; Yp = 2,383 m


6 - Uma comporta quadrada de 0,6 m de lado, faz um ângulo de 60º com a

horizontal, tendo a aresta superior horizontal submersa de 0,90 m, num

líquido cuja densidade () é 3,0. Calcular o Empuxo (E) sobre ela e

determinar o centro de aplicação (Yp) dessa força.

Resposta: E = 1 252,8 kgf; Yp = 1,362

7 - Uma comporta circular vertical de 0,90 m de diâmetro, trabalha sob

pressão de melado (=1,50) cuja superfície livre está 2,40 m acima do topo da mesma. Calcular o empuxo (E) e a posição do centro de pressão

(Yp).


8 - Uma comporta circular de 1,50 m de diâmetro, inclinada 45

º, está

sujeita à pressão do mar (=1,06), a profundidade de 9 m, contados de seu centro de gravidade. Qual o empuxo sobre a comporta e a posição do centro

de pressão?



9 - Uma caixa d’água tem 2 m de largura, 2 m de comprimento e 0,90 m de

altura. Calcular o empuxo que atua em uma de suas paredes laterais e

obter o ponto de aplicação do empuxo, supondo a caixa totalmente cheia de

água.

Respostas: E = 810,0 kgf; Yp = 0,60 m

10 - Uma comporta circular com 100 cm de diâmetro está localizada na

parede e um reservatório inclinado de 60º. O ponto mais alto da comporta

está 150 cm abaixo do N.A.

Calcular:

a) O empuxo da água sobre a comporta;

b) A posição do centro de empuxo.

Respostas: a) E = 1 518,18 kgf; b) Yp = 2,260 m

11. Qual o empuxo e o yp do centro de pressão exercido pela água em uma

comporta vertical de 3 x 4 m cujo topo se encontra a 5 m de profundidade?

Resp.: F = 764 400 N e Yp = 6,615 m.


19. EXERCÍCIOS (MANOMETRIA)

1 - Determinar a pressão manométrica em A, devido a deflexão do mercúrio

do manômetro em “U” da figura abaixo.

Resposta: PA = 10 280 kgf/m2

2- De acordo com a figura e os dados abaixo, pede-se:

a) Determinas a diferença de pressão entre A e B em kgf/cm2; b) Se a pressão em B = 0,75 kgf/cm2,qual será a pressão em A ?

Resposta: a) PA – PB = -0,013 kgf/cm2 b) PA = 0,74 kgf/cm

2

A

água

mercúrio

3,0 m

3,6 m

3,8 m

Cotas

B C

D

A

B

h1

h2

h3

h1 = 25 cm

h2 = 15 cm

h3 = 50 cm

Água ( = 1,0)

Azeite ( = 0,8)


3- Os recipientes A e B da figura que contém água sob pressão de 3

kgf/cm2 e 1,5 kgf/cm

2 ,respectivamente. Qual será a deflexão do mercúrio

(h) no manômetro diferencial ?

Resposta: h = 1,34 m

4 - Sabendo-se que a leitura de um piezômetro é de 0,6 m e está

preenchido com água, calcule a pressão, em kgf/m2, no interior da

tubulação a que ele está ligado.

A

B

h

x

y

2,0 m

Água ( = 1000 kgf/m3)

Mercúrio ( = 13600 kgf/m3)

Obs.: y + x = 2,0 m

0,6 m


5 - Calcular a pressão no ponto “A “.

6 - Calcular a diferença de pressão entre os pontos A e B .

A

0,95m

E‟ E

D‟ D

C‟ C

B

0,8m 0,6m

Água

Mercúrio

0,9m

A

1,2m

D‟ D

C

Água

Mercúrio

B 0,1m

0,9m


7 - Na Figura abaixo, determinar o valor de “z”, sabendo-se que a

pressão no ponto A é igual a 2.795 kgf/m2.

8 - Calcular a diferença das pressões a montante e jusante do diafragma,

de acordo com a indicação do manômetro diferencial do esquema abaixo.

Líquido em escoamento (Água), líquido manométrico (Mercúrio).

A

Óleo ( = 0,80)

Bromofórmio ( = 2,87)

z

2,40m

eixo do

conduto

0,6m

Z

A B

Água

Mercúrio


9 - Dado o tensiômetro esquematizado a seguir, determine:

a) Potencial matricial (tensão) no ponto A em atmosfera técnica (atm),

para um valor de h = 37 cm;

b) Para um potencial matricial igual a tensão de 0,5 atm, qual o valor

da leitura da coluna de mercúrio?

20. EXERCÍCIOS DE SISTEMAS DE UNIDADES

2) Classificar e expressar as grandezas abaixo em unidades do sistema técnico.

Exemplo: 50,0 l/s = 0,05 m3/s (vazão)

a) 9 810 dinas (g.cm.s-2);

Conversão de dina para N

1 (g.cm.s-2)____10

-5 kg.m.s

-2

9 810___________ X logo X = 0,0981 kg.m s-2.

Conversão de N para kgf

1 kgf____________ 9,81 N

X________________0,0981 N logo x= 0,01 kgf

b) 250g; c) 7 814 N; d) 200 cm/s2; e) 80 km/h;

f) 200 000 KN; g) 3 000 l/h; h) 4,0” (polegadas);

i) 5,0 lb. (libras); j) 7 500 N/m2;

k) 5 PSI (libras por polegada quadrada);

l) 7,0 kgf/cm2; m) 9,81 g/cm

3; n) 8 000 000 cm

2/s;

o) 20 000 kW; p) 10 H.P; q) 10 c.v;

h

60 cm

A

20 cm


21. FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS

Escoamento

O cisalhamento deforma o fluido, dando a este a propriedade de

escoar, ou seja, de mudar de forma facilmente. Portanto, o escoamento é a

fácil mudança de forma do fluido, sob a ação do esforço tangencial. É a

chamada fluidez.

Finalidade

A cinemática dos fluidos estuda o escoamento dos líquidos e gases,

sem considerar suas causas.

Corrente fluida

É o escoamento orientado do fluido, isto é, seu deslocamento com

direção e sentido bem determinados.

Método de Lagrange

Um dos métodos de estudo na cinemática dos fluidos é o de Lagrange,

que descreve o movimento de cada partícula, acompanhado-a na trajetória

total. Apresenta grandes dificuldades nas aplicações praticas.

Método de Euler

Consiste em adotar um certo intervalo de tempo, escolher um ponto do

espaço e considerar todas as partículas que passam por este ponto. Neste

método observador é fixo, e é o preferido para se estudar o movimento dos

fluidos.

Linhas de corrente

No método de Euler, tomemos os vetores v1, v2, v3, etc., que

representam as diversas velocidades da partícula nos instante

considerados, no interior da massa fluida. Tracemos a curva que seja

tangente, em cada ponto, ao respectivo vetor velocidade (v1, v2, v3,

etc.). Tal curva é conhecida como linha de corrente ou linha de fluxo. A

linha de corrente é uma curva imaginaria.

As linhas de corrente não podem cortar-se, pois, em caso positivo a

partícula teria velocidades diferentes ao mesmo tempo, o que não é

possível. Em cada instante e em cada ponto, passa uma e somente uma linha

de corrente. Considerando um conjunto de linhas de corrente, em cada

instante, o fluido move-se sem atravessá-la.

Linha de

corrente

V1

V2

V3


Tubo de Corrente

Suponhamos duas curvas fechadas A e A’, que não sejam linhas de

corrente. Por outro lado consideremos todas as linhas de corrente que

toquem nessas duas curvas fechadas em um instante dado. Se o campo de

velocidades for continuo, formar-se-á então um tubo de corrente, que não

pode ser atravessado pelo fluido nesse instante porque não há componente

normal de velocidade. O tubo de corrente também é conhecido como veia

liquida.

Laminar

Turbulento

Permanente

Não- Permanente

Uniforme

Variado

Rotacional

Irrotacional

Quanto a

direção da

trajetória

Quanto a

variação no

tempo

Quanto à

variação na

trajetória

Quanto ao

Movimento

de rotação

Classificação dos

movimentos dos

fluidos.

A

A‟ Fig. Tubo de corrente


Classificação do escoamento dos fluidos.

1.1 Escoamento laminar.

As partículas dos fluidos percorrem trajetórias paralelas, também

chamadas de escoamento lamelar, tranqüilo ou de Poiseuille.

As trajetórias das partículas em movimento são bem definidas, não se cruzam.

1.2 Escoamento turbulento

As trajetórias são curvilíneas, elas se cruzam. Na pratica o

escoamento dos fluidos quase sempre é turbulento. P.e. encontrado nas

obras de engenharia, adutoras, vertedores de barragens, etc.

Número de Reynolds

Fez experiência variando o diâmetro e a viscosidade do liquido.

DV .Re Onde; V = velocidade de escoamento (m/s).

D = diâmetro (m).

υ = viscosidade cinemática (m2/s).

Re <= 2 000 Regime laminar.

2 000 < Re < 4 000 Regime critico.

Re >= 4 000 Regime turbulento.

Exemplo: Calcular Re para a seguinte situação: V=1,5m/s. D=100mm.

υ=1. 610 m

2/s. turbulentoregimeo

sm

msm..log.150000

/10.1

1,0*/5,1Re

26

1,3 Escoamento Não Permanente

Neste caso, a velocidade e a pressão, em determinado ponto, variam

com o tempo. variam também de um ponto pra outro, também chamado de

transitório, e diz que a corrente é instável. Agora a velocidade e a

pressão em um ponto A (x,y,z) dependem tanto das coordenadas como também

do tempo t. p.e. o escoamento não permanente ocorre quando se esvazia um

recipiente através de um orifício.


1,4 Escoamento Permanente

Os elementos que definem o escoamento (P, V, Q e t) permanecem

constantes ao longo do tempo em uma determinada seção. Todas as

partículas que passam por um ponto determinado no interior da massa

liquida terão, a qualquer tempo, a mesma velocidade.

1,5 Escoamento Uniforme

A velocidade é constante ao longo do tempo e em todas as seções da

trajetória.

OBS: No escoamento uniforme, a seção transversal da corrente é

invariável.

1,6 Escoamento Variado

Neste caso, os diversos pontos da mesma trajetória não apresentam

velocidade constante no intervalo de tempo considerado.

p.e. vertedouro de uma barragem.

V1

V3 V2

Acelerado

V3>V2>V1

comporta

agua

V1 V2 V3

Retardado

V3<V2<V1

agua

Q1

V1

t1

Q2

V2

T2

agua Q1= Q2

V1= V2

t1 diferente t2

0dT

dQ 0

dT

dV 0

dT

dP


Equação da continuidade

Vazão: é definido como sendo o volume do liquido que atravessa uma

determinada seção por unidade de tempo.

Exercício 1: verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa

linha de recalque é de 1,05m/s. A vazão necessária a ser fornecida pela

bomba é de 450m3/h. Determinar o diâmetro da linha. Resp.: 0,39m

Exercício 2: Em um edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável,

devido ao uso de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de

60mm de diâmetro, é de 7,5 l/s.

Determinar a velocidade de escoamento. Resp.: 2,65m/s.(Obs: esta veloc. é

admitida pela norma NBR 5626).

22. Teste de Múltipla escolha

1) o escoamento de um fluido é: a) a resistência a sua mudança de forma;

b) a sua viscosidade;

c) a sua facilidade em aquecer-se;

d) a sua fácil mudança de forma.

2) a corrente fluida é: a) o escoamento orientado do fluido; b) o deslocamento do fluido, com direção e sentido bem

determinados;

c) qualquer volume do fluido; d) a massa fluida em quantidade considerável.

3) no método de Lagrange a) cada partícula é acompanhada na sua trajetória total; b) o observador desloca-se simultaneamente com a partícula; c) o observador é fixo; d) cada partícula corresponde a uma trajetória e vice versa.

4) no método de Euler a) consideram-se todas as partículas que passam por um ponto

escolhido;

b) o observador é fixo; c) estuda-se o comportamento individual de cada partícula; d) adota-se o principio dos deslocamentos virtuais da mecânica

geral.

5) a linha de corrente é: a) uma curva real;

A

dS

V=A.dS

% dT

V / dT=A dS / dT

Q=A.V


b) conhecida também como linha de fluxo; c) a curva que tem a propriedade de ser tangente, em cada ponto,

ao respectivo vetor-velocidade;

d) uma curva imaginaria.

6) as linhas de corrente: a) não podem cortar-se; b) são atravessadas pelo fluido; c) indicam a direção da velocidade em diversos pontos; d) passam todas, ao mesmo tempo, a cada instante, pelo ponto

7) o tubo de corrente: a) é qualquer conjunto de linhas de corrente; b) é um conjunto de todas as linhas de correntes que toquem em

curvas fechadas

c) não podem ser atravessadas pelos fluidos; d) pressupõe um campo continuo de velocidades.

8) o filamento de corrente: a) é um fino tubo de corrente; b) é cada corrente fluida, de reduzidas dimensões; c) é a porção da corrente limitada por uma diretriz que abrange

uma área infinitesimal.

d) é a corrente liquida que permite a entrada e saída das

partículas fluidas.

9) quanto à variação no tempo, o escoamento classifica-se em: a) rotacional e irrotacional; b) permanente e não permanente; c) continuo e descontinuo; d) escoamento médio.

10) quanto à direção da trajetória, o escoamento pode ser: a) laminar e turbulento; b) tranqüilo e turbilhonário; c) lamelar e hidráulico; d) de Poiseuille e turbulento

11) quanto a variação na trajetória, os escoamento são: a) uniformes e variados; b) contínuos e descontínuos; c) de Reynolds e trajetórias errantes; d) rotacional e irrotacional.

Obs.: as velocidades da água no interior das tubulações de recalque devem

estar compreendidas entre 0,8 e 2,4 m/s.

Exercício:

1. Qual a máxima velocidade de escoamento da água e óleo lubrificante SAE-30 e temp. 40

oC numa tubulação de 118,11 polegadas sob regime

laminar ? Dados: visc. Cin água = 0,66.10-6 m

2/s.


2. Caracterize o tipo de escoamento numa canalização de 10” de diâmetro que transporta 360 000 l/s de água a 20

oC (1,007.10

-6

m2/s).Resp. V=1,97 m/s Reynolds=501 396 regime turbulento.

23. TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS OU IDEAIS

Nesta parte apresentamos a equação que provavelmente é a mais usada na

aplicação de escoamento do que qualquer outra equação. A obtenção desta

importante equação começa com a aplicação da segunda lei de Newton para

uma partícula do fluido.

Para a dedução desse teorema é necessário considerarmos os fluidos como

perfeitos ou ideais (não possuem viscosidade, coesão, elasticidade, etc).

Teorema das forças vivas.

“a variação da energia cinética de um sistema é igual ao trabalho

por todas as forças do sistema”.

2.2

1VmEc todeslocamenxforça .. forçasastodasdetrabalhoEc .....

Forças: Devido a pressão dF = p d A logo p = dF / dA.

Devido ao peso w = γ vol. Logo γ = w / vol

Ec2-Ec1 = dF1* dS1 - dF2*dS2 + w (z1-z2)

½ m2 V22 – ½ m1 V1

2 = P1dA1 * dS1 – P2dA2 * dS2 + γ vol (z1-z2)

½ m2 V22 – ½ m1 V1

2 = P1 vol – P2 vol + γ vol (z1-z2)

sendo ρ = m / vol logo m = ρ / vol

dS1

A2‟

A1‟ A1

A2

Plano referencia Z2

dS2

Z1


½ ρ / vol V22 – ½ ρ / vol V1

2 = P1 vol – P2 vol + γ vol (z1-z2) //

dividindo por vol. :

½ ρ V22 – ½ ρ V1

2 = P1 – P2 + γ (z1-z2) sendo ρ = γ / g

substituindo temos:

½ γ / g V22 – ½ γ / g V1

2 = P1 – P2 + γ (z1-z2) dividindo por γ :

½ V22 – ½ V1

2 = P1 / γ – P2 / γ + (z1-z2)

teconszP

g

Vz

P

g

Vtan..

.2

.1..

.2

.12

2

2

21

1

2

1

ou seja

“ao longo de qualquer linha de corrente é constante o somatório das

energias piezométrica, cinética e potencial”.

O teorema de Bernoulli não é senão o principio de conservação da

energia. Cada um dos termos representa uma forma de energia

g

V

.2

2

energia cinética = )....arg.(../

/2

22

dinamicaouvelocidadedeacmsm

sm

P energia de pressão ou piezométrica = )..arg.(..

/

/3

2

pressaodeacmmkgf

mkgf

Z = energia de posição ou potencial = m = carga geométrica ou de posição.


Demonstração experimental

Instalando-se piezômetros nas diversas seções verifica-se que a água

sobe a alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é

maior e, portanto, também é maior a carga cinética, resultando menor

carga de pressão.


h

Sejam:

h= profundidade do centro do orifício;

g= aceleração da gravidade;

V=velocidade media da veia liquida.

Orificio

agua

Lei da conservação da massa

Q = A.V

24. POTENCIA DA CORRENTE FLUIDA

Em qualquer seção do tubo de corrente, a potencia da corrente fluida

é, por definição:

g

VPZQN

2**.

2

onde Q, é vazão em volume.

Sendo He (energia total do sistema)= g

VPZ

2

2

Logo: N = γ * Q * He

25. APLICAÇÕES IMEDIATAS DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI

1. Teorema de Torricelli Suponhamos um recipiente de paredes delgadas e admitamos que a

superfície livre do liquido seja constante. Em uma parede

vertical do recipiente, há um orifício pelo qual escoa o liquido.

hgV **2


2. Tubo de Venturi (fluido ideal hf = 0)

Serve para medir, diretamente a vazão Q em tubulações. O venturimetro,

tubo de venturi ou apenas venturi, consiste em um trecho estrangulado

da tubulação. Em um venturi horizontal, sejam:

Q= vazão da tubulação;

A1=seção transversal do ponto 1; seção convergente,

A2=seção transversal no ponto 2; seção divergente

Obs.: também utilizado como injetor de fertilizantes.

onde: g= aceleração da gravidade;

γ= peso especifico do fluido;

p1= pressão unitária no ponto 1;

p2= pressão unitária no ponto 2.

21**2

*2*1

22

12

ppg

AA

AAQ

Em cada tubo de venturi é constante o produto dos dois primeiros fatores

do 2º membro.

21* ppKQ

Observe-se que o orifício e o tubo de pitot fornecem a velocidade da

corrente, ao passo que o venturi indica a vazão da tubulação.

3. tubo de Pitot Serve para medir a velocidade em um ponto qualquer de uma corrente

liquida (rio, canal, etc). consiste em um tubo de vidro recurvado, de

pequeno diâmetro e aberto nas duas extremidades.

Sejam:

V1= velocidade da corrente na

entrada do tubo de Pitot;

g= aceleração da gravidade;

h=altura que subiu o liquido no tubo,

acima da superfície livre;

hgV **21

2 1

A1 A2 Tubulação

Tubo de venturi

agua

h

corrente Tubo de

Pitot


Exercício 1. A água escoa pelo tubo indicado abaixo, cuja seção varia do

ponto 1 para o ponto 2, de 100cm2 para 50cm

2. em 1, a pressão é de

0,5kgf/cm2 e a elevação 100, ao passo que no ponto 2, a pressão é de

3,38kgf/cm2 na elevação 70. calcular a vazão em litros por segundo.

Resp.: 28l/s.

Exercício 2. Na tubulação que parte da barragem a vazão é de 28l/s. A

pressão no ponto 1 é p1=29,6mca. Calcular a seção da tubulação

desprezando as perdas de energia. Resp.: A=100cm2.

Exercício 3. Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente,

em um tubo tronco-conico de 1,83m de altura. As extremidades superior e

inferior tem os diâmetros de 100 e 50mm, respectivamente. Se a vazão é de

23l/s, achar a diferença de pressão entre as extremidades do tubo. Resp.:

p2-p1=4 586 kgf/m2.

30m

1

2

agua 1

2

70 100


Exercício 4. De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250mm de

diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para

125m; do tubo de 125, a água passa para a atmosfera sob a forma de jato.

A vazão foi medida, encontrando-se 105 l/s. Calcular a pressão na seção

inicial da tubulação de 250mm; a altura de água H na barragem; a potencia

do jato. Resp: H=3,71m; Potencia = 5,2cv.

Exercicio 5. deduzir a expressão que determina a velocidade da corrente

liquida na entrada do Tubo de Pitot.

H

Ponto 2

Jato agua

Ponto 1

Q=105L/s

125mm

250mm

V12

2g

1

2

1,83m

50mm

100mm

P R

h

1p

g

v

2

1

H

V1 PR A B


25cm

h Pitot

agua

Exercício 6: O centro de um orifício circular está a 8,5m abaixo da

superfície livre de água de um reservatório. Determinar o diâmetro deste

orifício para que a vazão seja de 25,34litros/s

(desprezar as perdas de energia) supor escoamento permanente. Resp.:

50mm.

Exercício 7: Com um tubo de Pitot mede-se a velocidade da água no centro

de um conduto com 25cm de diâmetro. A diferença de carga é h=0,1mca.

Devido ao grande diâmetro, supõe-se que a velocidade media da água neste

tubo corresponde a 2/3 da velocidade no seu centro. Calcular a vazão

(l/s). Resp.: 45,6l/s.

26. EXERCÍCIOS (Equação da Continuidade e Teorema de Bernoulli)

1 - 50 litros/s escoam no interior de uma tubulação de 8” . Esta

tubulação, de fofo, sofre uma redução de diâmetro e passa para 6”.

Sabendo-se que a parede da tubulação é de ½” , calcule a velocidade nos

dois trechos e verifique se ela está dentro dos padrões.

orificio

8,5m

7” ½”

8”

½”

Visualização, em corte, do diâmetro interno ( Di ) no primeiro trecho.


2 - No início de uma tubulação de 20 m de comprimento, a vazão é de 250

litros/h. Ao longo deste trecho são instalados gotejadores com vazão de 4

litros/h cada, distanciados de 0,5 m. Calcule a vazão no final do trecho.

3 - Um projeto fixou a velocidade V1 para uma vazão Q1, originando um

diâmetro D1. Mantendo-se V1 e duplicando-se Q1, demonstre que o diâmetro

terá que aumentar 41%.

4 - A água com = 1,01 x 10-6 m2/s escoa num tubo de 50 mm de diâmetro. Calcule a vazão máxima para que o regime de escoamento seja laminar.

5 - Considerar a água que escoa no sentido vertical descendente em um

tubo tronco-cônico de 1,83 m de altura. As extremidades superior e

inferior do tubo têm os diâmetros de 100 mm e 50 mm, respectivamente. Se

a vazão é de 23 litros/s, achar a diferença de pressão entre as

extremidades do tubo. (desprezar as perdas de carga).

6 - A um tubo de Venturi, com os pontos 1 e 2 na horizontal, liga-se um

manômetro diferencial . Sendo Q = 3,14 litros/s e V1 = 1 m/s, calcular os

diâmetros D1 e D2 do Venturi, desprezando-se as perdas de carga.

0,05 m

Q

1

2 P.R.

1 (D1) 2 (D2)

P.R.

Q

0,29 m

0,03 m água

mercúrio


7 - No tubo recurvado abaixo, a pressão no ponto 1 é de 1,9 kgf/cm2.

Sabendo-se que a vazão transportada é de 23,6 litros/s, calcule a perda

de carga entre os pontos 1 e 2 .

8- Em um canal de concreto a profundidade é de 1,2 m e as águas escoam

com uma velocidade media de 2,4 m/s, até um determinado ponto, onde,

devido a uma queda, a velocidade se eleva a 12 m/s, reduzindo-se a

profundidade a 0,6 m . desprezando-se as possíveis perdas por atrito.

Determinar a diferença de nível entre as partes do canal.

Resp.: y = 6,3 m.

27. ORIFÍCIOS

São aberturas por onde os líquidos escoam mediante as seguintes

características:

a) tem forma geométrica definida; b) o perímetro é fechado; c) a abertura esta situada na parede do reservatório;, tanque, canal

ou encanamento;

d) a abertura esta abaixo da superfície livre do liquido.

Foronomia: estuda o escoamento por orifícios.

Finalidade: medir vazão.

Classificação:

Quanto a forma: circulares e retangulares;

Quanto a divisões: pequenos e grandes;

Quanto a condições das bordas: em parede delgada e parede espessa.

1

2 D1 = 125 mm

D2 = 100 mm

1,25 m

P.R.


Orifícios pequenos e grandes

Orifícios em parede delgada e espessa (bocais)

Orifícios pequenos em paredes delgadas:

L = (0,5 a 1,0) d

No caso da água: L = 0,5 . d

Logo a

accc

ccaac .

onde: ac = área da seção contraída;

a = área seção do orifício;

cc = coeficiente de contração.

L

Seção contraída

V Max.

ac

d

Veia liquida Inversão jato

X P

Seção contraída

y

h

e < d d

e

Parede delgada Parede espessa (bocais)

e

d

h

d

d<=1/3 . h d > 1/3 . h

Orifícios

pequenos

Orifícios

grandes

d


Cc varia muito pouco, adota-se 62,0cc

Para orifícios retangulares

Vimos que no teorema de Torricelli hgV ..2 eq. 1. é a velocidade media

ideal que ocorreria na veia liquida se não houvesse atrito no orifício.

Sendo U = velocidade media veia liquida < V, entra coeficiente de redução

CVVUV

UCV . __________________________________eq. 2.

Substituindo 1 em 2: hgCVU ..2. _________________________eq. 3.

como U<V na pratica adotamos CV=0,985.

Por definição o volume do liquido em escoamento no orifício é:

UacQ . //sendo: ccaac . e hgCVU ..2.

hgCVccaQ ..2... //a=área orifício

sendo cc.CV = cd coef. Descarga

logo: hgcdaQ ..2..

Equação Para Vazão Em Orifícios Pequenos

OBS: na pratica adotamos: cd=cc.cv=0,62*0,985= cd= 0,61

Orifícios de grandes dimensões

Em orifícios grandes não se pode admitir que todas as partículas tenham

mesma velocidade. V = raiz(2.g.h) logo varia h, varia v.

A carga para este trecho elementar será:

hgdhLCddQ ..2..

a vazão para todo orifício será:

h2 dh

Parede delgada

h h1 L

b>h cc = 0,611


2

1

2

1

*..2....2..

h

h

h

h

dhhhgLcdhgdhLCdQ

12/1.2....2..

12/12

1

2/1 hgLcddhhgLCdQ

h

h

2/32/3 12..2..3

2hhgLCdQ

Sendo: 12 hh

AL

Logo:

12

12..2..

3

2 2/32/3

hh

hhgACdQ

28. BOCAIS

São pequenos tubos adaptados a orifícios em paredes delgadas, pelos quais

escoam líquidos dos reservatórios.

Finalidade: a principal é dirigir o jato d’água e regular a vazão.

Bocal interior:

Bocal exterior:

OBS: Cd obtido no bocal exterior é maior do que o obtido no interior.

Classificação dos bocais:

Quanto a forma geométrica;

Quanto a dimensões relativas.

Forma geométrica:

Tubo fora reservatório. D

L

Tubo esta dentro do

reservatório e seu L=D D

L


Bocal curto: Bocal longo:

D <=L<=2.D escoamento oscila entre orifício de parede delgada e orifiocio

parede espessa

2.D<=L<=3.D o escoamento é característico de bocal longo funcionando à

semelhança de orifício de parede espessa;

3.D<L<=100.D tubo curto

L>100.D considerado como encanamento

OBS: bocal padrão: L=2,5*D

Vazão nos Bocais: aplica-se a equação geral deduzida para os orifícios

pequenos.

hgAcdQ ..2.. Onde:

Q= vazão e m3/s;

A= seção do tubo, m2;

G=9,8 m/s2;

h=carga inicial disponível, m;

cd=coef. de descarga (coef. de velocidade).

Para orifícios de parede delgada 61,0.log.5,0 cdoD

L

Para bocais 82,0.log.32 cdoD

L

Obs: bocal padrão: cd=2,5

L>D. D

L

L<D. D

L

cilíndrico Cônico

divergente

Cônico

convergente


29. VERTEDORES

Definição: são orifícios incompletos,

pois tem perímetro aberto, Localizam-se

na parte superior do reservatório,

canais, etc.

Finalidade: medir vazão de córregos,

galerias pluviais, etc.

Classificação: o vertedor pode ter

qualquer forma, mas são preferíveis as

geométricas, a logarítmica, etc.

Quanto a forma geométrica:

Vertedor simples;

Vertedor composto.

Vertedor composto:

Reunião das formas geométricas acima

indicadas.

Denominações

Vertedor retangular: mais usado, fácil execução.

Sendo orifício de parede delgada de grande dimensão:

L

D

L L

D D

1 contração 2 contrações sem

contração

5 x h

mínimo

régua

Veia

liquida

b

h

soleira

a

Veia

liquida

Vertedor simples:

Retangular;

Triangular;

Trapezoidal;

Circular;

Parabólico, etc.


12

12..2..

3

2 2/32/3

hh

hhgACdQ

e adotando h1=0 e h2 = h a eq anterior fica:

0

0..2..

3

2 2/32/3

h

hgACdQ

sendo A=b.h //b=soleira e bh

A

substituindo fica:

2/3..2..3

2hgbCdQ Equação de DU Buat.

Que também se escreve da forma:

2/3

2

.211 hbah

hCCQ

onde: C1 e C2 são coeficientes em função de h, g, cd, etc).

Vertedor triangular: Vertedor circular:

2/5.15

.28hcd

gQ

807,1963,0 ..518,1 HDQ

h

d

h α Para α=90

0

Obs: indicado p/

carga muito

pequenas

h2 dh

Parede delgada

h h1 L


30.HIDROMETRIA (Processos de medidas hidráulicas)

I - INTRODUÇÃO

Definição: é uma das partes mais importantes da hidráulica, cuida das

questões tais como, medidas de profundidade, de variação de nível de

água, das seções de escoamento, das pressões, das velocidades das

vazões, ensaio de bombas, etc.

Importância

Quantificar a vazão disponível para projetos de irrigação;

Controlar a vazão (volume) de água de irrigação a ser aplicada em projetos (racionalizar o uso da água);

Quantificar a vazão disponível para acionar uma roda d’água ou carneiro hidráulico;

Sistemas de abastecimento de água e lançamento de esgoto;

Instalações hidrelétricas.

A escolha do método depende:

Do volume do fluxo de água;

Das condições locais;

Do custo (existem equipamentos caros e outros simples e baratos);

Da precisão desejada

II - MÉTODOS

1) CONDUTOS LIVRES (CANAIS)

a) MÉTODO DIRETO

Volumétrico

Gravimétrico (Alta precisão, usado como calibração de outros

métodos).

Utilização: Pequenas vazões (Q 10 L/s)

a-1) Volumétrico

Baseia-se no tempo gasto para que um determinado fluxo de água ocupe

um recipiente com volume conhecido.

t

VolQ onde: Q ( L/s ) ; Vol ( L ) ; t ( s )


Importante: Realizar 3 repetições e obter a média 3

321 QQQQméd

a-2) Gravimétrico

Consiste na pesagem de um determinado volume de água obtido em um

determinado tempo.

t

VolQ mas,

Vol

Peso

PesoVol

t

PesoQ

*

Exemplo: Balança: 20 kg (massa no S.I) ou 20 kgf (peso no Sist.

Técnico)

Tempo: 10 s

b) MÉTODO DO FLUTUADOR

Através de flutuadores (pode ser utilizada uma garrafa plástica,

bóia, etc.) determina-se a velocidade superficial do escoamento. Esta

velocidade superficial é, na maioria das vezes, superior a velocidade

média do escoamento. A velocidade média corresponde a 80/90% da

velocidade superficial. Multiplicando-se a velocidade média pela área

molhada (área da seção transversal por onde está ocorrendo o escoamento),

obteremos a vazão.

médiamédia AVQ *

10 a 20

litros


Determinação da área

Obs.: a seguinte equação nos dá o numero de verticais a serem levantadas

em função da largura do rio.

𝑁 = 4𝐿0,3 + 1 onde L é a largura do rio (m).

Determinação da velocidade

t

xV

Ex.O flutuador demorou 20 s para percorrer do ponto 1 ao 2 (10m).

sm

s

mV 5,0

20

10

Continuando o exemplo anterior:

VMED = 0,85 x 0,5 m/s VMED = 0,425 m/s

Supondo uma área da seção transversal igual a 1,5 m2 :

Q = 0,425 m/s x 1,5 m2

Q = 0,64 m3/s ou Q = 640 L/s

A

A área é determinada por

batimetria

A determinação em escritório, é feita utilizando-se

planímetros, papel milimetrado, etc

1 2 10 m

-Fazer 3 repetições -Trecho mais reto e uniforme -Baixa precisão

Vmáx

Vméd

V 0

-0,6 h

-0,2 h

VMED = 0,85 . VSUP.


c) MÉTODO DO VERTEDOR

Vertedores são simples aberturas ou entalhes na parte superior de

uma parede por onde o líquido escoa. Podem ser instalados em cursos

d’água naturais ou artificiais.

Utilização: pequenos cursos d’água, canais. (Q 300

L/s)

L largura da soleira

H altura da lâmina de água que passa sobre a soleira

P distância do fundo d’água à soleira

P’ profundidade do curso de água à jusante do vertedor

Alguns cuidados na instalação do Vertedor

- A soleira deve estar nivelada;

- Face de montante na verticale deve ser lisa;

- Paredes delgadas ou cantos em bisel;

- Não deve ser afogado. A água não deve escoar pela parede de jusante;

- P 2H ( P deve ser superior a 20 cm );

- 5 cm H 60 cm;

- Escolher um trecho retilíneo, de pelo menos 3 m para a instalação do

vertedor;

- Fazer a medição de H 1,5 m antes do vertedor.

P

H

Soleira ou crista Faces

H

P

1,5 m

P‟

P’ < P

(vertedouro livre)


Tipos de Vertedores e suas equações para a determinação da vazão

1- Vertedor Triangular:

Maior precisão para pequenas vazões

2- Vertedor Retangular

2.1 – Com duas contrações laterais

As contrações ocorrem nos vertedores cuja largura é inferior à

largura do curso d’água.

2.2 - Sem contração lateral

H Q = 1,4 . H5/2

( Q = m3/s ; H = m ; = 90º )

H

L

Q = 1,84 . L . H3/2

(Q = m3/s ; H = m ; L = m )

H

L

Q = 1,85 . L . H3/2

(Q = m3/s ; H = m ; L = m )


2.3 - Vertedor trapezoidal (CIPOLETTI)

2.4 - Vertedor circular

d) MEDIDOR “WSC FLUME” ( Calha )

Muito utilizado para medir a vazão em sulcos de irrigação ou canais.

Neste equipamento, a água praticamente não se eleva ( represamento ) à

montante do ponto de instalação. Por este motivo é muito utilizado em

projetos de irrigação por superfície ( sulcos );

São construídas em três tamanhos diferentes: pequena, média e

grande;

Para a medição da vazão, somente a leitura de uma régua graduada em

milímetros, encostada na parede lateral da entrada, é suficiente. A

leitura é convertida em vazão através de tabelas ou de prévia calibração

com outros métodos.

e) MOLINETES

São pás ou hélices que giram impulsionadas pela velocidade de

escoamento;

Estabelece-se uma proporcionalidade entre o número de voltas por

unidade de tempo e velocidade de escoamento;

É necessário a determinação da área da seção de escoamento para a

determinação da vazão ( Q = A . V );

Podem ser utilizados em condutos “livres” ou “forçados” ;

São muito precisos na determinação da velocidade de escoamento.

H

L

Q = 1,86 . L . H3/2

(Q = m3/s ; H = m ; L = m )

inclinação: 1:4

4

1

D

H

Q = 1,518 . D0,963 . H1,807

(Q = m3/s ; H = m ; D = m )

Q = a . Hb

a , b coeficientes experimentais, H altura ( cm ), Q vazão ( l/s )


2) CONDUTOS FORÇADOS (Tubulações)

f) MÉTODO DIRETO

Volumétrico

Gravimétrico (Alta precisão, usado como calibração de outros

métodos).

Utilização: Pequenas vazões (Q 10 L/s)

MÉTODO DO VENTURI ( Venturímetro)

É um medidor “diferencial”

Ou:

1 2 Q

h

x

1 2 Q

h

h1

h2


21

2

2

2

1

2

2

2

1 ..

...2.

PP

AA

AAgCdQ

21..PP

KCdQ

hKCdQ ..

Exemplo Venturi :

D1 = 31,75 mm (0,03175 m) ; D2 = 15 mm (0,015 m) ; Cd = 0,98

21

4

2

2

2

2 .

1

.2.

4..

PP

D

D

gDCdQ hKCdQ ..

K = 0,000803 Cd = 0,98 portanto:

hQ *000803,0*98,0 hQ *000787,0

g) MÉTODO DO ORIFÍCIO ( Diafragma )

Medidor Diferencial

Obs.: O diâmetro do orifício deve ser da ordem de 30% a 80% do

diâmetro do tubo.

hgACdQ ..2.. 2

Q = m3/s

h = m

Q 1 2 D2 D1

h1

h2

h

D1 D1/2

Q = m3/s A2 = m2

h = m


Orifício ou Diafragma

A = 3,14 x 10-4 m

2 Cd = 0,63

hgQ *2*10*14,3*63,0 4 hQ *000876,0

Exemplo: h = 10 cm (0,10 m)

Q = 0,000277 m3/s ou Q = 0,28 L/s

h) ROTÂMETRO ( Medidor de área variável)

Obs.: O rotâmetro deve ser instalado sempre em

tubulações na vertical e com fluxo ascendente.

i) MEDIDOR ELETRONICO DE PÁS

Existem modelos com leituras digital ou direta.

Q


33. LISTA DE EXERCÍCIOS (Hidrometria)

01 - Um vertedor retangular, sem contração lateral, tem 1,25 m de

soleira (largura) e esta fica 70 cm distante do fundo do curso d’água.

Sendo 45 cm a carga do vertedor, calcular sua vazão.

Resposta: Q = 0,698 m3 /s ou 698 litros /s

02 - Determinar a descarga ( vazão ) de um vertedor retangular, com 2,5 m

de soleira, situado no centro de um curso d’água com 4 m de largura, para

uma carga de 0,35 m sobre a soleira. A distância da soleira ao fundo do

curso d’água é de 0,90 m. Resposta: Q = 0,95 m3 / s

03 - A vazão de 850 litros /s ocorre em um vertedor cipolletti

(trapezoidal), sob carga de 37,8 cm. Calcular a largura que a lâmina de

água terá sobre a soleira. Resposta: L = 1,97 m.

04 - Deseja-se construir um vertedor trapezoidal (Cipolletti) para medir

uma vazão de 2m3/s. Determine a largura da soleira deste vertedor, para

que a altura d’água sobre a soleira NÃO ultrapasse a 60 cm.

Resposta: L = 2,31 m.

05 - Qual a descarga (vazão) de um vertedor triangular, de 90, sob uma carga de 15 cm ? Resp. 12,2l/s

06 - Um flutuador leva 1,5 minuto para percorrer 35 metros em um canal

retangular. Sabendo que o canal tem uma largura de 3,5 m e a lâmina

d’água no interior deste é de 2,0m, calcule a provável vazão deste canal

( Considerar Vmédia = 0,85 . Vsuperf ). Resposta: Q = 2,31 m3 / s

1,25 m

70 cm

45 cm

0,35m

2,5m

4,0m

0,9m

H

L

H = 37,8 cm

L = ?


34. EXERCÍCIOS (Conduto Forçado por Gravidade e Perda de Carga Contínua)

01 - Admite-se que uma tubulação de ferro fundido com D = 600 mm,

prevista para 35 anos de uso (C = 90), tenha a perda de carga unitária de

24 m / km. Com a fórmula de Hazen-Williams, obter a velocidade média e a

vazão da água nessa tubulação.

Respostas: V = 3,08 m/s Q = 0,87014 m3/s

02 - A água escoa em tubos de PVC com 50 mm de diâmetro, à

velocidade média de 1,6 m/s. Calcular a vazão e a perda de carga

unitária, segundo a fórmula de Flamant.

Respostas: J = 0,05198 m/m Q = 0,00314 m3 / s

03 - Em certa tubulação de PVC com 50 mm de diâmetro, mede-se a perda de

carga unitária J = 0,0212 m / m. Utilizando a fórmula de Flamant,

calcular a velocidade média e a vazão.

Respostas: V = 0,96 m/s Q = 0,00188 m3/s.

04 - Calcular o diâmetro de uma tubulação de aço (C = 130 (Equação de

Hazen-Williams)) que veicula uma vazão de 250 l/s, com uma perda de

carga de 1,7 m / 100 m. Calcular também a velocidade.

Respostas: D = 0,3487 m V = 2,6 m/s.

05 - Para o abastecimento de água de uma grande fábrica, será executado

uma linha adutora com tubos de ferro fundido novo ( C = 130 ) numa

extensão de 2.000 m. Dimensionar a canalização com capacidade para 25

l/s. A cota do nível da água na barragem de captação é 615 m e a cota na

entrada do reservatório de distribuição é de 599,65 m.

Resposta: D = 0,1711 m.

06 - Calcular o volume d’água que pode ser obtido diariamente com uma

adutora de ferro fundido usada ( C = 90 ), com 200 mm de diâmetro e 3.200

m de comprimento, alimentada por um reservatório cujo nível está na cota

338 m. O conduto descarrega no ar e a sua extremidade está na cota 290 m.

Resposta: V = 1,19 m/s e Q = 0,0374 m3/s . Portanto, em 1 dia:

Volume = 3 231,36 m3


35. CONDUTOS LIVRES (Canais)

O escoamento de superfície livre é provavelmente o fenômeno de

escoamento mais comumente encontrado na superfície da

terra. Correntes de rios e escoamento de água da chuva são

exemplos que ocorrem na natureza. As situações induzidas

pelo homem incluem escoamentos em canais e galerias

pluviais, drenagem sobre materiais impermeáveis, tais como

telhados e áreas de estacionamento. Em todas essas

situações o escoamento se caracteriza por uma interface

entre o ar e a superfície da água, chamada superfície

livre, nela a pressão é constante e, para quase todas as

situações, é atmosférica.

I - DIMENSIONAMENTO

a) Equação da Resistência

21

32

.. JRKV (STRICKLER) 21

32

..1

JRn

V (MANNING)

b) Equação da Continuidade

Q = A.V

Onde:

Q = Vazão ( m3/s );

A = Área da seção molhada ( m2 );

K = Coeficiente de rugosidade de Strickler;

n = Coeficiente de rugosidade de Manning;

V = Velocidade de escoamento ( m/s );

R = Raio hidráulico ( m ) R = A / P ( P = Perímetro molhado

);

J = Declividade do fundo ( m/m ).

Existem basicamente dois casos distintos para resolução de problemas

envolvendo condutos livres:

CASO I :

Dados: K, A, R , J Deseja-se conhecer: Q ou V

Dados: K, A, R , Q Deseja-se conhecer: J

Neste caso, a solução é encontrada com a aplicação direta da equação:


21

32

... JRKAQ ou n

AJRQ

.2/1.3/2 Lembrar que: Q = A.V

CASO II :

Dados: Q, K, J Deseja-se conhecer: A Seção do Canal (A, R )

Neste caso, existem três maneiras de se solucionar o problema:

MÉTODO DA TENTATIVA (será utilizado em Hidráulica);

Algebricamente;

Graficamente.

MÉTODO DA TENTATIVA:

21

32

... JRKAQ 2

13

2

..

JK

QRA

Existem diversas combinações de GEOMETRIA que satisfazem os dados

fornecidos. SOLUÇÃO: Fixar b ou h.

ou

36. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

As seções transversais dos canais podem ser consideradas regulares

ou irregulares, a forma de canal mais simples é a de seção retangular. O

canal trapezoidal é, muitas vezes utilizado, em condições onde se tem

problemas de estabilização dos taludes.

b

h

b

h

Dados conhecidos

m.h m.h

b

B

h 1

m

Talude :

m

1

Talude:


Tabela: Equações de área, perímetro molhado raio hidráulico e largura de

algumas figuras geométricas.

Forma da seção

Área (A)

( m2 )

Perímetro

molhado (P)

( m )

Raio hidráulico

(R) ( m )

Largura do

Topo (B)

( m )

hb.

hb .2

hb

hb

P

A

.2

.

b

hhmb ..

21..2 mhb

P

A

hmb ..2

2.hm

21..2 mh

P

A

hm..2

2.sen.8

1D

RAD

2

.D

D.sen

1.4

1

D.2

sen

8

2.D

2

.D

24

hD

hD .2

Obs.: D

h.21arccos.2 , onde deve ser calculado em radianos.

b

h

h

b 1

m

h

1

m

h D

h

B = D

h = D/2


III - INFORMAÇÕES IMPORTANTES

a) Declividade de canais:

Vazão ( m3/s)

Declividade ( % ) Porte

> 10

0,01 a 0,03

Grande

3 a 10

0,025 a 0,05

Mediano

0,1 a 3

0,05 a 0,1

Pequeno

< 0,1

0,1 a 0,4

Muito pequeno

b) Inclinação dos Taludes (valores de m):

Material das paredes

Canais pouco profundos

( h < 1 m ) Canais profundos

( h > 1 m)

Rochas em boas condições

0

0,25

Argilas Compactas

0,5

1,0 ou 0,75

Limo Argiloso

1,0

1,0 ou 1,50

Limo Arenoso

1,5

2,0

Areias Soltas

2,0

3,0

c) Limites de velocidade:

Material Velocidade máxima ( m/s )

Terreno Arenoso Comum

0,76

Terreno de Aluvião

0,91

Terreno Argila Compacta

1,14

Cascalho grosso , Pedregulho, Piçarra

1,83

Concreto

6,00


d) Coeficiente de Rugosidade de Strikler ( K )

Material

K ( m1/3 / s )

Concreto

60 a 100

Tubos de Concreto

70 a 80

Asfalto

70 a 75

Tijolos

60 a 65

Argamassa de cascalho ou britas

50

Pedras assimétricas

45

Canal aberto em rocha 20 a 55

Canal em Terra ( sedimentos médios) 58 a 37

Canal gramado 35

e) Folga ou borda-livre

f) Canal de máxima eficiência hidráulica

Um canal é chamado de Max. Efic. Quando

transporta uma máxima vazão por unidade de

área.

Dimensões do canal:

Tipo de

canal

Area Perímetro Raio hidráulico

retangular 2.y2 4.y 𝑦

2

Trapezoidal 𝑦2(2 1 +𝑚2 −𝑚) 2𝑦(2 1 +𝑚2 −𝑚) 𝑦

2

Base menor do canal b = 2.y

h

folga Folga 20 cm ( mínima )

Folga = 0,2 h ( 20% de h )


37. EXERCÍCIO RESOLVIDO (CANAIS)

1 - Um projeto de irrigação precisa de 1.500 litros / s de água, que

deverá ser conduzida por um canal de concreto, com bom acabamento ( K =

80 ). A declividade do canal deverá ser de 1 %0 e sua seção trapezoidal

com talude de 1 : 0,5 ( V : H ). Qual deve ser a altura útil do canal,

se sua base for de 60 cm.

Dados:

Canal de seção trapezoidal

Q = 1.500 litros / s = 1,5 m3 / s

K = 80 ( coef. de rugosidade de STRICKLER )

J = 1 %o = 0,1 % = 0,001 m/m

m = 0,5 ( talude da parede do canal )

b = 60 cm = 0,6 metros.

h = ?

Q = A.V (Eq. Continuidade) V = K.R2/3.J

1/2 (Eq. de Strickler)

Portanto: Q = A.K.R2/3.J

1/2

2/1

3

2/1

3/2

001,0.80

/5,1

..

sm

JK

QRA 593,0. 3/2 RA

Solução: Resolvendo pelo Método da Tentativa, devemos encontrar um valor

de h que satisfaça a condição de: 593,0. 3/2 RA . Para isto, montamos a

seguinte tabela auxiliar:

h hhmbA )..( 21.2 mhbP R=A/P R

2/3 A.R

2/3 Valor

conhecido

1,00 1,10 2,84 0,387 0,531 0,584 < 0,593

1,20 1,44 3,28 0,439 0,577 0,832 > 0,593

1,05 1,15 2,95 0,390 0,534 0,614 > 0,593

1,02 1,12 2,88 0,389 0,533 0,597 > 0,593

1,01 1,11 2,86 0,388 0,532 0,591 0,593

Supor h = 1,0 m logo A = 115,06,0 xx = 1,10 m2

P = 25,01126,0 xx = 2,84 m

R = A / P = 1,10 / 2,84 = 0,387

h = 1,01 m V = Q / A = 2

3

11,1

/5,1

m

sm = 1,35 m/s ok!!

(VMáx = 6,0 m/s) Folga = 0,20 x 1,01 m Folga = 0,20 m

h = ?

folga

b= 0,6m 1

m = 0,5


38. EXERCÍCIOS PROPOSTOS (CANAIS)

1. Dimensionar um canal de seção retangular para escoar uma vazão de

25m3/s, com declividade de 0,003m/m e rugosidade Manning igual a 0,03.

Utilizar critério de máxima eficiência onde A=2y2, P=4.y e R=y/2. o

critério de máxima eficiência hidráulica considera menor volume de

escavação do canal.

Resp.: y = 2,45m, b = 4,9m.

2 - Calcular a Vazão transportada por um canal revestido de nata de

cimento (n = 0,012 ou K = 83) tendo uma declividade de 0,3%o . As

dimensões e forma estão na figura abaixo. Verificar o valor da velocidade

média de escoamento.

3 - Calcular a vazão transportada por um canal de terra dragada (n =

0,025), tendo declividade de 0,4%o . As dimensões e formas estão na

figura abaixo.obs. m=1,5

4 - Calcular a vazão transportada por um tubo de seção circular,

diâmetro de 500 mm, construído em concreto (n = 0,013). O tubo está

trabalhando à meia seção, em uma declividade é de 0,7%.

5 – Um canal de concreto mede 2m de largura e foi projetado para

funcionar com uma profundidade útil de 1m. A declividade é de 0,0005 m/m.

Determinar: vazão e velocidade da água no canal.

Resp.: Q = 2,17m3/s e V = 1,08m/s.

b = 4,0 m

h = 2,0 m

h = 1,6 m

b = 1,20 m

1

1,5

D h


6- Qual a profundidade de escoamento num canal trapezoidal (m=1) que aduz

uma vazão de 2,4m3/s e com velocidade de escoamento de 0,81m/s? Dados:

n=0,018, b=2m e I=0,0004m/m.

Resp.: y = 1 m

7- Um canal de drenagem em más condições e fundo de barro (n=0,02), com

m=1, I=40cm/km. Foi dimensionado para uma vazão Q, tendo-se chegado às

dimensões da figura abaixo: Resp.: Q = 3,37m3/s

8 - Um canal de forma trapezoidal com taludes laterais com m=1,5 deve dar

escoamento a 45m3/s. quais as dimensões do canal tendo o mesmo um

comprimento de 10km sendo 1,3m a diferença de cota entre seus extremos.

Impõe-se como condição do problema que o fundo do canal deve ter b=15m

obs: k=40,81. Resp.: h=2,9m e B=23,7m.

9 – Um canal de concreto mede 2,5m de largura e foi projetado para

funcionar com uma profundidade útil de 1,5m. A declividade é de 0,0005

m/m. Determinar: vazão e velocidade da água no canal.

10 - Calcular a Vazão transportada por um canal revestido de argamassa de

cascalho tendo uma declividade de 0,035% . As dimensões e forma estão na

figura abaixo. Verificar o valor da velocidade média de escoamento.

11 - Um canal de forma trapezoidal com taludes laterais com m=1,5 deve

dar escoamento a 20m3/s. quais as dimensões do canal tendo o mesmo um

comprimento de 10km sendo 1,2m a diferença de cota entre seus extremos.

Impõe-se como condição do problema que o fundo do canal deve ter b=15m

obs: k=40,81.

12 – Um canal de concreto mede 1,5m de largura e foi projetado para

funcionar com uma profundidade útil de 2,0m. A declividade é de 0,0003

m/m. Determinar: vazão e velocidade da água no canal.

h = 1,5 m

b = 1,66 m

b = 2,0 m

h = 2,0 m


39. ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES

Obs: Rios e canais é o melhor exemplo de condutos livres.

40. PERDAS DE CARGA:

É a “perda de energia na forma de calor, ou seja, parte da energia

disponível se dissipa na forma de calor”.

Ljhf .

Onde: hf é a perda de carga continua, j é a perda de carga unitária (m m-

1) e L é o comprimento da tubulação.

Classificação das perdas de carga:

Perda de carga continua (hf). Ocasionada pelo movimento da água na

tubulação.

Perda de carga localizada (hfLoc.) . Provocada pelas peças especiais; por

exemplo registros, curvas, etc.

V12/2g

V22/2g P1/γ

P2/γ

Z1

Z2

hf = j. L

Plano de referência

Canalização

Linha Piezométrica

Linha Energética

Corte A

A‟

Pressão

A

A‟

B

B‟


Dimensionamento das Tubulações das Redes de Irrigação

Etapas de um projeto de irrigação ou de um sistema de bombeamento:

Dimensionamento da tubulação.

É possível se conhecer o regime de fluxo em uma tubulação por meio de um

parâmetro adimensional denominado numero de Reynolds (Re), que se obtém

mediante a relação:

VDRe

Onde: V é velocidade média do fluxo, D é o diâmetro da tubulação e ν é a

viscosidade cinemática do liquido.

Com base em resultados experimentais

Re < 2000..................... Regime laminar;

Re > 4000..................... Regime turbulento;

2000 <= Re <= 4000.... Regime crítico.

Perda de carga continua (hf). Ocasionada pelo movimento da água na

tubulação.

Equações:

a) Darcy-Weisbach (Equação Universal)

LjQD

Lf

g

V

D

Lfhf .0826,0

2

2

5

2

Onde

hf = perda de carga (m);

f = fator de atrito (adimensional), depende em geral do número de

Reynolds (Re=V D υ-1) e da rugosidade relativa (K D

-1);

V = velocidade média na seção (m s-1);

D = diâmetro interno do tubo (m);

υ = viscosidade cinemática da água (1,14.10-6 m

2 s

-1, para água a 15°C);

K = rugosidade absoluta do tubo (K=0,15 mm para aço galvanizado novo);

L = comprimento da tubulação (m);

g = aceleração da gravidade (9,81 m s-2);

Q = vazão em (m3 s

-1).

Para regime laminar o fator de atrito pode ser calculado pela equação

Re

64f (Hagen-Pouseuille) o qual depende exclusivamente das propriedades

do fluido, do diâmetro do tubo e da velocidade do escoamento.


Para regime turbulento usa-se a equação de White-Colebrook:

f

DK

f Re

51,2

71,3

/log2

1

Ver diagrama de Moody no apêndice.

Onde K é rugosidade absoluta em função do tipo de material.

Material da tubulação Rugosidade absoluta (K, mm)

Polietileno 0,002

PVC 0,02

Aço 0,06-008

Cimento amianto 0,07-0,08

Concreto 0,3-0,5

Ferro fundido 0,25-0,6

Uma boa aproximação de f se consegue com a equação de Swamer e Jain

(1976):

2

9,0Re

51,2

7,3

/log

25,0

DK

f

obs: Válida para 10-6 < K/D < 10

-2 e 10

3 < Re < 10

8, com erro relativo de

+-1%, apresentado erros inferiores a 0,5% para 10-5 < K/D < 10

-3 e 10

4 < Re

< 107.

Uma outra maneira para qualquer valor de Re e tipo de tubo pode-se obter

utilizando a equação desenvolvida por Churchill (1977):

12

1

5,1

121

Re

88

BAf sendo:

16

9,0

27,0Re

7

1ln457,2

D

KA

16

Re

0,37530

B


b) Equação de Hazen-Willians

852,1

87,4

1*66,10

C

Q

Dj Obs: hf = j.L

Onde: j é perda de carga unitária (m m-1), Q é vazão em (m

3 s

-1), D é o

diâmetro da tubulação (m) e C é coeficiente de atrito ou coeficiente de

Hazen-Willians.

Material da tubulação Coeficiente atrito (C)

Polietileno 150

PVC 145

Aço galvanizado 125

Cimento amianto 140

Aluminio 130

Perda de carga localizada (hfLoc.). As conexões e peças especiais provocam

perdas denominadas localizadas.

Métodos para se determinar:

a) g

Vk

2hf

2

1Loc

Onde hfLoc é a perda de carga localizada em mca, k1 é coeficiente da perda

correspondente a peça especial considerada, V é velocidade do fluxo à

jusante da peça em m s-1 e g é a aceleração da gravidade.

Conexão Valores de k1

Inferior Superior

Valvula de pé crivo 12 - 30

Curva de 45o 0,18 - 0,20

Redução gradual 0,1 - 30

Cotovelo de 90o 0,6 - 0,90

b) Método do comprimento equivalente.

O método consiste em se adicionar à extensão da canalização, para

simples efeito de calculo, comprimentos tais que correspondam à mesma

perda de carga que causaria as peças especiais existentes na

canalização.

Se igualar hf com hfLoc, fica:

g

V

D

Lfhf

2

2

com g

Vk

2

21hf Loc fica

g

Vk

2

21

g

V

D

Lf

2

2

e isolando L fica:

Lf

Dk

1


Conexão Comprimento equivalente

Válvula de pé crivo 250 * diâmetro

Curva de 90o 30 * diâmetro

Registro de gaveta 8 * diâmetro

Curva de 45o 15 * diâmetro

Válvula retenção 100 * diâmetro

Cotovelo de 90o 45 * diâmetro

Exemplo: Curva de 900 de 3 polegadas equivale a uma canalização retilínea

de 30 x o seu diâmetro.

L equiv. = 30 * D = 30 * 0,075m = 1,5m.

c) Método da estimativa: Na pratica 10-20 % da perda de carga continua é

considerada perda de carga localizada. Exceto filtros, reguladores de

pressão, limitadores de vazão, etc.

41. EXERCÍCIOS:

1. Determinar a perda de carga (hf) de uma tubulação de cimento amianto

de 400m de comprimento e 200mm de diâmetro, que transporta uma vazão de

30L s-1 a uma temperatura de 20

oC. A rugosidade absoluta do tubo é 0,07mm.

Obs. 20oC a viscosidade cinem. da água é 1,004.10

-6m2 s

-1. Resp. 1,735mca

(HW) e 1,672mca (Eq. Univ.).

2. Deseja-se saber qual diâmetro usar para conduzir água do ponto até o

ponto B, utilizar tubo de aço. E se usar PVC? Qual seria o novo diâmetro?

3. Para abastecimento de água de uma grande fabrica será executada uma

linha adutora com tubos de ferro fundido numa extensão de 2 100 m.

dimensionar a canalização com capacidade de 25 l/s. O nível de água na

barragem de captação é 615m e a cota da canalização na entrada do

reservatório de distribuição é de 599,65 m.

Resp.: D=0,20 m, j=0,0073m/m

4. Calcular o diâmetro de uma tubulação de aço usada (C=90), que veicula

uma vazão de 250 l/s com uma perda de carga de 1,70 m por 100 m. Calcular

tambem a velocidade.

D=400mm e V=1,99m/s

Cota 615m

Cota 599,65m

L=2100m

Q=25L s-1

A

B


5. Calcular a vazão que escoa por um tubo de ferro fundido usado (C=90),

de 200mm de diâmetro, desde o reservatório na cota 200 ate outro

reservatório na cota zero. O comprimento do conduto é de 10000 m.

Calcular também a velocidade.

Q= 44 l/s - V=1,4 m/s

6. Deseja-se conhecer a vazão e o diâmetro da tubulação com C=120, de

forma que a velocidade seja 3 m/s e a perda de carga seja 5m/100m.

D=200mm e Q= 94 l/s

7. Em uma usina hidrelétrica, o nível de água no canal de acesso está na

elevação 550m e, na saída da turbina, na cota 440m. A tubulação tem 660

m de extensão. Determinar o seu diâmetro de modo que a potencia perdida

sob a forma de perda de carga nos tubos seja 2% da potencia total

aproveitável. A vazão é 330l/s

D=0,60m V=1,16m/s

8. Para um sistema de irrigação precisa-se conduzir uma vazão de 30l/s,

numa distancia de 2km, sendo a tubulação de fereo fundido usado, na qual

estão instalados uma curva de 45, uma curva de 90, um registro de gaveta

e uma válvula de retenção. Determinar o diâmetro da tubulação, velocidade

e a perda de carga correspondente. Resp.: j==0,03275m/m, hf loc.=0,63m

hf total=66,14m. Veloc.=1,7m/s.


BOMBAS HIDRÁULICAS

São máquinas hidráulicas operatrizes, isto é maquinas que recebem

energia potencial (força motriz de um motor ou turbina), e transformam

parte desta potencia em energia cinética (movimento) e energia de pressão

(força), cedendo estas duas energias ao fluido bombeado, de forma a

recirculá-lo ou transportá-lo de um ponto a outro.

Ou ainda: Bomba é uma maquina hidráulica capaz de elevar a pressão de um

liquido.

Motores hidráulicos: transformam a energia de trabalho hidráulico em

energia mecânica rotativa. Os motores hidráulicos trabalham no principio

inverso das maquinas hidráulicas.

Classificação:

Quanto à forma do rotor

a) escoamento radial. Pressão desenvolvida

pela força centrifuga;

b) escoamento misto. Pressão desenvolvida

pela força centrifuga e pela sucção das

pás;

c) escoamento axial. Pressão desenvolvida

pela ação da sucção .

Vazão: é o volume de liquido bombeado na unidade de tempo.

Altura de elevação: é o aumento de pressão que a bomba pode comunicar ao

fluido (H).

NPSH E CAVITAÇÃO

DEFINIÇÃO: A sigla NPSH, vem da expressão Net Positive Suction Head, a

qual sua tradução literal para o Português não expressa clara e

tecnicamente o que significa na prática. No entanto, é de vital

importância para fabricantes e usuários de bombas o conhecimento do

comportamento desta variável, para que a bomba tenha um desempenho

satisfatório, principalmente em sistemas onde coexistam as duas situações

descritas abaixo:

Bomba trabalhando no inicio da faixa, com baixa pressão e alta vazão;

Existência de altura negativa de sucção;

Quanto maior for a vazão da bomba e a altura de sucção negativa, maior

será a possibilidade da bomba cavitar em função do NPSH.

Em termos técnicos, o NPSH define-se como a altura total de sucção

referida a pressão atmosférica local existente no centro da conexão de

sucção, menos a pressão de vapor do líquido.


NPSH = (Ho - h - hs - R) - Hv Onde:

Ho = Pressão atmosférica local , em mca (tabela 1);

h = Altura de sucção, em metros (dado da instalação);

hs = Perdas de carga no escoamento pela tubulação de sucção, em metros;

R = Perdas de carga no escoamento interno da bomba, em metros (dados do

fabricante);

Hv = Pressão de vapor do fluído escoado, em metros (tabela 2);

Para que o NPSH proporcione uma sucção satisfatória à bomba, é necessário

que a pressão em qualquer ponto da linha nunca venha reduzir-se à pressão

de vapor do fluído bombeado. Isto é evitado tomando-se providências na

instalação de sucção para que a pressão realmente útil para a

movimentação do fluído, seja sempre maior que a soma das perdas de carga

na tubulação com a altura de sucção, mais as perdas internas na bomba,

portanto:

Ho - Hv > hs + h + R

NPSH DA BOMBA E NPSH DA INSTALAÇÃO: Para que se possa estabelecer,

comparar e alterar os dados da instalação, se necessário, é usual

desmembrar-se os termos da fórmula anterior, a fim de obter-se os dois

valores característicos (instalação e bomba), sendo:

Ho - Hv - h - hs = NPSHd (disponível), que é uma característica da

instalação hidráulica. É a energia que o fluído possui, num ponto

imediatamente anterior ao flange de sucção da bomba, acima da sua pressão

de vapor. Esta variável deve ser calculada por quem dimensionar o

sistema, utilizando-se de coeficientes tabelados e dados da instalação;

R = NPSHr (requerido), é uma característica da bomba, determinada em seu

projeto de fábrica, através de cálculos e ensaios de laboratório.

Tecnicamente, é a energia necessária para vencer as perdas de carga entre

a conexão de sucção da bomba e as pás do rotor, bem como criar a

velocidade desejada no fluído nestas pás. Este dado deve ser

obrigatoriamente fornecido pelo fabricante através das curvas

características das bombas (curva de NPSH);

Assim, para uma boa performance da bomba, deve-se sempre garantir a

seguinte situação:

NPSHd > NPSHr


EXEMPLO: Suponhamos que uma bomba de modelo hipotético Ex.1 seja colocada

para operar com 35 mca de AMT, vazão de 32,5 m3 /h, altura de sucção de

2,5 metros e perda por atrito na sucção de 1,6 mca. A altura em relação

ao nível do mar onde a mesma será instalada é de aproximadamente 600

metros, e a temperatura da água é de 30ºC, verificaremos:

A. VERIFICAÇÃO DO NPSHr:

Conforme curva característica do exemplo citado, para os dados de altura

(mca) e vazão (m³/h) indicados, o NPSHr da bomba é 4,75 mca, confira:

B. CÁLCULO DO NPSHd:

Sabendo-se que:

NPSHd = Ho - Hv - h - hs Onde:

Ho = 9,58 (tabela 1)

Hv = 0,433 (tabela 2)

h = 2,5 metros (altura sucção)

hs = 1,60 metros (perda calculada para o atrito na sucção)

Temos que: NPSHd = 9,58 - 0,433 - 2,5 - 1,60

NPSHd = 5,04 mca


Analisando-se a curva característica abaixo, temos um NPSHr de 4,95 mca.

Portanto: 5,04 > 4,95 Então NPSHd > NPSHr

A bomba nestas condições funcionará normalmente, porém, deve-se evitar:

1. Aumento da vazão;

2. Aumento do nível dinâmico da captação;

3. Aumento da temperatura da água.

Havendo alteração destas variáveis, o NPSHd poderá igualar-se ou adquirir

valores inferiores ao NPSHr , ocorrendo assim a cavitação.

CAVITAÇÃO: Quando a condição NPSHd > NPSHr não é garantida pelo sistema,

ocorre o fenômeno denominado cavitação. Este fenômeno dá-se quando a

pressão do fluído na linha de sucção adquire

valores inferiores ao da pressão de vapor do

mesmo, formando-se bolhas de ar, isto é, a

rarefação do fluído (quebra da coluna de

água) causada pelo deslocamento das pás do

rotor, natureza do escoamento e/ou pelo

próprio movimento de impulsão do fluído.

Estas bolhas de ar são arrastadas pelo fluxo

e condensam-se voltando ao estado líquido

bruscamente quando passam pelo interior do

rotor e alcançam zonas de alta pressão. No

momento desta troca de estado, o fluído já

está em alta velocidade dentro do rotor, o

que provoca ondas de pressão de tal

intensidade que superam a resistência à tração do material do rotor,

podendo arrancar partículas do corpo, das pás e das paredes da bomba,

inutilizando-a com pouco tempo de uso. O ruído de uma bomba cavitando é

diferente do ruído de operação normal da mesma, pois dá a impressão de

que ela está bombeando areia, pedregulhos ou outro material que cause


impacto. Para evitar a cavitação, deve-se adotar as seguintes

providências:

A. Reduzir a altura de sucção e o comprimento desta tubulação,

aproximando-se ao máximo a bomba da captação;

B. Reduzir as perdas de carga na sucção, com o aumento do diâmetro dos

tubos e conexões;

C. Refazer todo o cálculo do sistema e a verificação do modelo da bomba;

D. Quando possível, sem prejudicar a vazão e/ou a pressão final

requeridas no sistema, pode-se eliminar a cavitação trabalhando-se com

registro na saída da bomba "estrangulado", ou, alterando-se o(s)

diâmetro(s) do(s) rotor(es) da bomba. Estas porém são providências que só

devem ser adotadas em último caso, pois podem alterar substancialmente o

rendimento hidráulico do conjunto.

CONCLUSÃO: A Pressão Atmosférica é a responsável pela entrada do fluído

na sucção da bomba. Quando a altura de sucção for superior a 8 metros (ao

nível do mar), a Pressão Atmosférica deixa de fazer efeito sobre a lâmina

d'água restando tecnicamente, nestes casos, o uso de outro tipo de bomba

centrífuga.

POTENCIAS E RENDIMENTOS

Potencia útil da bomba (Pu). Corresponde ao trabalho (w) realizado pela

bomba.

s

mkgf

s

mm

m

kgfQHPu

.....

3

3

ou 75

..)(

QHCVPu

ou 98,0*

100

..)(

QHkWPu

Potencia absorvida pela bomba (Pa). Corresponde a potencia fornecida no

eixo da bomba.

Rendimento da bomba (η) é igual a Pa

Pu

Ou 75.

..)(

QHCVPa ou

75.

..763,0)(

QHkWPa

EXEMPLO: Uma bomba operando com 42 m³/h em 100 mca, que apresenta na

curva característica um rendimento de 57%. Qual a potência necessária

para acioná-la?


PERDAS DE CARGA(hf), No DE REYNOLDS(Re),VELOCIDADE DE ESCOAMENTO (V),

DIÂMETROS DOS TUBOS, E ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL (AMT)

PERDAS DE CARGA (hf): Denomina-se perda de carga de um sistema, o atrito

causado pela resistência da parede interna do tubo quando da passagem do

fluído pela mesma.

As perdas de carga classificam-se em:

CONTÍNUAS: Causadas pelo movimento da água ao longo da tubulação. É

uniforme em qualquer trecho da tubulação (desde que de mesmo diâmetro),

independente da posição do mesmo.

LOCALIZADAS: Causadas pelo movimento da água nas paredes internas e

emendas das conexões e acessórios da instalação, sendo maiores quando

localizadas nos pontos de mudança de direção do fluxo. Estas perdas não

são uniformes, mesmo que as conexões e acessórios possuam o mesmo

diâmetro.

FATORES QUE INFLUENCIAM NAS PERDAS DE CARGA:

A. Natureza do fluído escoado (peso específico, viscosidade): Como as

bombas são fabricadas basicamente para o bombeamento de água, cujo peso

específico é de 1.000 Kgf/cm3, não há necessidade de agregar-se fatores

ao cálculo de perdas de carga, em se tratando desta aplicação;

B. Material empregado na fabricação dos tubos e conexões (PVC, ferro) e

tempo de uso: Comercialmente, os tubos e conexões mais utilizados são os

de PVC e Ferro Galvanizado, cujas diferenças de fabricação e acabamento

interno (rugosidade e área livre) são bem caracterizadas, razão pela qual

apresentam coeficientes de perdas diferentes.

C. Diâmetro da tubulação: O diâmetro interno ou área livre de escoamento,

é fundamental na escolha da canalização já que, quanto maior a vazão a

ser bombeada, maior deverá ser o Ø interno da tubulação, afim de

diminuir-se as velocidades e, conseqüentemente, as perdas de carga. São

muitas as fórmulas utilizadas para definir-se qual o diâmetro mais

indicado para a vazão desejada. Para facilitar os cálculos, todas as

perdas já foram tabeladas pelos fabricantes de diferentes tipos de tubos

e conexões. No entanto, para efeito de cálculos, a fórmula mais utilizada

para chegar-se aos diâmetros de tubos é a Fórmula de Bresse, expressa

por:

Onde:

D = Diâmetro interno do tubo, em metros;

K = 0,9 - Coeficiente de custo de investimento x custo operacional.

Usualmente aplica-se um valor entre 0,8 e 1,0;

Q = Vazão, em m³/ s;


A Fórmula de Bresse calcula o diâmetro da tubulação de recalque, sendo

que, na prática, para a tubulação de sucção adota-se um diâmetro

comercial imediatamente superior;

Obs.: para funcionamento intermitente utiliza-se a seguinte equação:

𝐷 = 1,3𝑇

24

0,25

√𝑄

onde: T= tempo de funcionamento do sistema por dia, Q é vazão em m3/s e D

é diamentro em m.

D. Comprimento dos tubos e quantidade de conexões e acessórios: Quanto

maior o comprimento e o nº de conexões, maior será a perda de carga

proporcional do sistema. Portanto, o uso em excesso de conexões e

acessórios causará maiores perdas, principalmente em tubulações não muito

extensas;

E. Regime de escoamento (laminar ou turbulento): O regime de escoamento

do fluído é a forma como ele desloca-se no interior da tubulação do

sistema, a qual determinará a sua velocidade, em função do atrito gerado.

No regime de escoamento laminar, os filetes líquidos (moléculas do fluído

agrupadas umas às outras) são paralelos entre si, sendo que suas

velocidades são invariáveis em direção e grandeza, em todos os pontos

(figura abaixo). O regime laminar é caracterizado quando o nº de Reynolds

(Re), for menor que 2.000.

No regime de escoamento turbulento, os filetes movem-se em todas as

direções, de forma sinuosa, com velocidades variáveis em direção e

grandeza, em pontos e instantes diferentes. O regime turbulento é

caracterizado quando o nº de Reynolds (Re), for maior que 4.000

Obviamente, o regime de escoamento mais apropriado para um sistema de

bombeamento é o laminar pois, acarretará menores perdas de carga por

atrito em função do baixo número de interferências existentes na linha.

Nº DE REYNOLDS (Re):

É expresso por: Onde:

Re = N0 de Reynolds;

V = Velocidade média de escoamento, em m/s;

D = Diâmetro da Tubulação, em metros;

u = Viscosidade cinemática do Liquido, em m2 /s;

Para a água doce, ao nível do mar e a temperatura de 250C, a viscosidade

cinemática (u) é igual a 0,000001007 m²/s;


O escoamento será: Laminar: Re < 2.000

Turbulento: Re > 4.000

Entre 2.000 e 4.000, o regime de escoamento é considerado crítico.

Na prática, o regime de escoamento da água em tubulações é sempre

turbulento;

VELOCIDADE DE ESCOAMENTO (V): Derivada da equação da continuidade, a

velocidade média de escoamento aplicada em condutos circulares é dado

por:

onde:

V = Velocidade de escoamento, em m/s;

Q = Vazão, em m³/s;

(Pi) = 3,1416, (constante);

D = Diâmetro interno do tubo, em metros;

Para uso prático, as velocidades de escoamento mais econômicas são:

Velocidade de Sucção 1,5 m/s (limite 2,0 m/s)

Velocidade de Recalque 2,5 m/s (limite 3,0 m/s)

DIÂMETRO DOS TUBOS:

A. Tubulação de Recalque: Com a utilização de equações calcular o

diâmetro mais adequado para os tubos de recalque;

Custo de Investimento: Custo total dos tubos, bomba, conexões,

acessórios, etc. Quanto menor o diâmetro dos tubos, menor o investimento

inicial, e vice-versa;

Custo Operacional: Custo de manutenção do sistema. Quanto maior o

diâmetro dos tubos, menor será a altura manométrica total (AMT), a

potência do motor, o tamanho da bomba e o gasto de energia.

Consequentemente, menor será o custo operacional, e vice-versa;

B. Tubulação de Sucção: Na prática, define-se esta tubulação usando-se o

diâmetro comercial imediatamente superior ao definido anteriormente para

recalque, analisando-se, sempre, o do sistema.

ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL (AMT): A determinação desta variável é de

fundamental importância para a seleção da bomba hidráulica adequada ao

sistema em questão. Pode ser definida como a quantidade de trabalho

necessário para movimentar um fluído, desde uma determinada posição

inicial, até a posição final, incluindo nesta "carga" o trabalho

necessário para vencer o atrito existente nas tubulações por onde

desloca-se o fluído. Matematicamente, é a soma da altura geométrica

(diferença de cotas) entre os níveis de sucção e descarga do fluído, com


a perdas de carga continua e localizadas ao longo de todo o sistema

(altura estática + altura dinâmica).

Portanto: Hman = Hgeo + hf

A expressão utilizada para cálculo é:

AMT = AS + AR + Perdas de Cargas Totais (hfr + hfs)

NOTA: Para aplicações em sistemas onde existam na linha hidráulica,

equipamentos e acessórios (irrigação, refrigeração, máquinas, etc.) que

requeiram pressão adicional para funcionamento, deve-se acrescentar ao

cálculo da AMT a pressão requerida para o funcionamento destes

equipamentos.

Rotação específica (ηs) é o numero de rotações dado na unidade de tempo

por uma bomba geometricamente semelhante que, com carga total igual a uma

unidade eleva a unidade de vazão.

4/3

.

H

Qs

Obs. ηs é a mesma para todas as bombas semelhantes e, para uma

mesma bomba, não muda com a rotação.

Representa para a bomba o mesmo que o Reynolds para os condutos.

Quando ηs é usada para caracterizar uma bomba deve-se calcular para

rendimento ótimo.

4/3

..211,0

H

Qns // n (rpm), Q (L s

-1) e H (m).

De modo geral, a forma do rotor varia com o numero de rotações

especificas (ηs) definido pela equação anterior, do seguinte modo:

Escoamento radial de entrada simples.......... ηs < 4200;

Escoamento radial de entrada dupla............ ηs < 6000;

Bomba de escoamento misto..................... 4200 < ηs < 9000;

Bomba de escoamento axial..................... ηs > 9000;

Exemplo: Deseja-se conduzir uma vazão de 0,05 m3 s

-1 com H de 60m e n de

1750 rpm. Pergunta-se: Qual o tipo de bomba devo usar?

CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS CENTRÍFUGAS

DEFINIÇAO: De forma simples e direta, podemos dizer que a curva

característica de uma bomba é a expressão cartesiana de suas

características de funcionamento, expressas por Vazão, em m3/h na

abscissa e na ordenada, hora Altura, em mca; rendimento em %; perdas

internas NPSHrequerido, em mca; e potência absorvida (BHP), em cv;


CURVA CARACTERÍSTICA DA BOMBA: A curva característica é função particular

do projeto e da aplicação requerida de cada bomba, dependendo do tipo e

quantidade de rotores utilizados, tipo de caracol, sentido do fluxo,

velocidade específica da bomba, potência fornecida, etc. Toda curva

possui um ponto de trabalho característico, chamado de "ponto ótimo",

onde a bomba apresenta o seu melhor rendimento , sendo que, sempre que

deslocar-se, tanto a direita como a esquerda deste ponto, o rendimento

tende a cair. Este ponto é a intersecção da curva características da

bomba com a curva característica do sistema (curvas 3 e 4 - CCB x CCS).

É importante levantar-se a curva característica do sistema, para

confrontá-la com uma curva característica de bomba que aproxime-se ao

máximo do seu ponto ótimo de trabalho(meio da curva, melhor rendimento).

Evita-se sempre optar-se por um determinado modelo de bomba cujo ponto de

trabalho encontra-se próximo aos limites extremos da curva característica

do equipamento (curva 2), pois, além do baixo rendimento, há a

possibilidade de operação fora dos pontos limites da mesma que, sendo à

esquerda poderá não alcançar o ponto final de uso pois estará operando no

limite máximo de sua pressão e mínimo de vazão. Após este ponto a vazão

se extingue, restando apenas a pressão máxima do equipamento denominada

schut-off.


Ao passo que, operando-se à direita da curva, poderá causar sobrecarga no

motor. Neste ponto a bomba estará operando com máximo de vazão e mínimo

de pressão aumentando o BHP da mesma.

Esta última posição é a responsável direta pela sobrecarga e queima de

inúmeros motores elétricos em situações não previstas pelos usuários em

função do aumento da vazão, com conseqüente aumento de corrente do motor.

CURVA CARACTERÍSTICA DO SISTEMA: É obtida fixando-se a altura geométrica

total do sistema (sucção e recalque) na coordenada Y (altura mca), e, a

partir deste ponto, calcula-se as perdas de carga com valores

intermediários de vazão, até a vazão total requerida, considerando-se o

comprimento da tubulação, diâmetro e tipo de tubo, tempo de uso,

acessórios e conexões (curvas 3 e 4).

Lembre-se: As relações entre Q, H, P e η designa-se por curva características

das bombas. Pode-se dizer que as curvas são o retrato de funcionamento nas mais

diversas situações.


Curva I - curva de H (AMT) em função da vazão (Q);

Curva II - curva da potencia (P) em função da vazão (Q);

Curva III - curva do rendimento (η) em função da vazão (Q);

obs: estas três curvas são obtidas em bancadas de ensaio dos fabricantes.

Alem destas três curvas características da bomba existem também as curvas

características da instalação.

Curva IV - curva da perda de carga total (H) em função da vazão (Q);

Curva V - curva H1 = y + H em função da vazão (Q), onde y é a altura

geométrica total.

ALTERAÇÕES NAS CURVAS CARACTERÍSTICAS DE BOMBAS

CONCEITO: Como vimos anteriormente, as curvas características apresentam

mudanças sensíveis de comportamento em função de alterações na bomba e no

sistema, é importante saber quais os fatores que a influenciam, e quais

suas conseqüências. Assim sendo, temos:

A. Alteração da rotação da bomba:

Vazão: Varia diretamente proporcional a variação da rotação:

Pressão: Varia proporcional ao quadrado da variação da rotação:

Potência: Varia proporcional ao cubo da variação da rotação:

Onde:

H, IV

η,,III

H, I

H1,V

P, II

QA

η max IV

PA

Ponto funcion. bomba HA

ηA y


Qo = Vazão inicial, em m3/h; Q1 = Vazão final, em m3/h;

Ho = Pressão inicial, em mca; H1 = Pressão final, em mca;

No = Potência inicial, em cv; N1 = Potência final, em cv;

no = Rotação inicial, em rpm; n1 = Rotação final, em rpm;

TABELA 3:

EXEMPLO: Uma bomba que funciona a 3.500 rpm, fornecendo Q1 = 20m³/h, H1 =

60 mca, N1 = 15 cv, precisará operar em 2.750 rpm, que resultados podemos

esperar?

Variação da rotação: N1 - No = 3.500 -2750 = 750 rpm

É o mesmo percentual de variação da rotação pois são proporcionais.

Portanto, os valores corrigidos funcionando com 2.750 rpm, são

B. Alteração do diâmetro do(s) rotor(es): Assim como a alteração da

rotação, a alteração do diâmetro dos rotores condiciona a uma certa

proporcionalidade com Q, H e N, cujas expressões são:

B.1 Vazão: Varia diretamente proporcional ao diâmetro do rotor:

B.2 Altura: Varia proporcional ao quadrado do diâmetro do rotor:


B.3 Potência: Varia proporcional ao cubo do diâmetro do rotor:

Onde: Do = Diâmetro original do rotor e D1 = Diâmetro alterado, ambos em

mm. Deve-se considerar também, que há certos limites para diminuição dos

diâmetros dos rotores, em função principalmente da brutal queda de

rendimento que pode ocorrer nestes casos. De modo geral os cortes

(usinagem) em rotores podem chegar a, no máximo, 20% do seu diâmetro

original;

C. Mudança do tipo de fluído bombeado: Tendo em vista que a maior parte

das bombas são projetadas exclusivamente para trabalho com águas limpas,

ou águas servidas de chuvas e rios, não nos deteremos neste item visto

que qualquer aplicação fora das especificações de fábrica são de

exclusiva responsabilidade do usuário. A exceção dos modelos BCA-43, para

uso com proporção de 70% água e 30% chorume, BCS 350 para sólidos em

suspensão de no máximo 20% em volume oriundos de esgotos sanitários e BC-

30 para algumas soluções químicas sob prévia consulta, a fábrica não

dispõe de testes com os chamados fluídos não newtonianos (não uniformes)

tais como, pastas, lodos e similares viscosos. No entanto, convém

salientar que, qualquer bomba centrífuga cuja aplicação básica seja para

água limpa, ao bombear fluídos viscosos apresenta um aumento do seu BHP,

e redução da AMT e da vazão indicadas originalmente nas curvas

características;

C. Tempo de vida útil da bomba: Com o decorrer do uso, mesmo que em

condições normais, é natural que ocorra um desgaste interno dos

componentes da bomba, principalmente quando não existe um programa de

manutenção preventiva para a mesma, ou este é deficiente. O desgaste de

buchas, rotores, eixo e alojamento de selos mecânicos ou gaxetas fazem

aumentar as fugas internas do fluído, tornando o rendimento cada vez

menor. Quanto menor a bomba, menor será o seu rendimento após algum tempo

de uso sem manutenção, pois a rugosidade, folgas e imperfeições que

aparecem são relativamente maiores e mais danosas que para bombas de

maior porte. Portanto, não se deve esperar o desempenho indicado nas

curvas características do fabricante, sem antes certificar-se do estado

de conservação de uma bomba que já possua um bom tempo de uso.

MÉTODO BÁSICO PARA SELEÇÃO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA

CRITÉRIOS: Para calcular-se com segurança a bomba centrífuga adequada a

um determinado sistema de abastecimento de água, são necessários alguns

dados técnicos fundamentais do local da instalação e das necessidades do

projeto:


C. Distância em metros entre a captação, ou reservatório inferior, e o

ponto de uso final, ou reservatório superior, isto é, caminho a ser

seguido pela tubulação, ou, se já estiver instalada, o seu comprimento em

metros lineares, e os tipos e quantidades de conexões e acessórios

existentes;

D. Diâmetro (Pol ou mm) e material (PVC ou metal), das tubulações de

sucção e recalque, caso já forem existentes;

E. Tipo de fonte de captação e vazão disponível na mesma, em m³/h;

F. Vazão requerida, em m³/h;

G. Capacidade máxima de energia disponível para o motor, em cv, e tipo de

ligação (monofásico ou trifásico ) quando tratar-se de motores elétricos;

H. Altitude do local em relação ao mar;

I. Temperatura máxima e tipo de água (rio, poço, chuva).

EXEMPLO: Baseados nestas informações podemos calcular a bomba necessária

para a seguinte situação, conforme o esquema típico de instalação

apresentado anteriormente:

A. CÁLCULO DAS PERDAS DE CARGA NO RECALQUE: Usando-se a Tabela 6 baseada

nos critérios de velocidade de escoamento, verificamos que o tubo de Ø

mais adequado para 35 m³/h é o de 3", por apresentar menor perda de carga

com velocidade de escoamento compatível (melhor relação custo x

beneficio).

Pela Tabela abaixo, vemos que os comprimentos equivalentes (por

segurança, usamos conexões de metal) são:


B. CÁLCULO DAS PERDAS DE CARGA NA SUCÇÃO: Analogamente, temos que, se a

tubulação de recalque é de Ø 3", a sucção, pelo usual, será de Ø = 4",

sendo suas perdas, pela Tabela, iguais a:


Tabela 6: Perdas carga(hf) em tubulações plásticas, em metros por cada

100 metros (%), de tubos novos.


C. CÁLCULO DA ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL (AMT)

AMT = A.S. + A.R. + hfr + hfs AMT = 2,5 + 28 + 10,93 + 0,366 :

Logo: AMT = 41,80 42 mca

D. CÁLCULO DO NPSHd

Sabendo-se que:

NPSHd = Ho - Hv - h - hs

(*) Geralmente, usa-se válvula de pé com crivo um diâmetro comercial

acima ao do mangote. Para este exemplo, por tratar-se de 4",deve-se

observar o peso da mesma.

F. CÁLCULO DA POTÊNCIA NECESSÁRIA AO MOTOR

Sabendo-se que:

Onde:

Q = 35 m³/h;

H = 42,00 mca;

h = 60 % (rendimento arbitrado)

Então:

F. DEFINIÇÃO DA MOTOBOMBA CENTRÍFUGA: Consultando-se as tabelas de

seleção e curvas características dos modelos de bombas, verificamos que o

modelo selecionado, denominado genericamente de Ex.2, apresenta as

seguintes especificações:

OBS.: Deve-se sempre analisar uma segunda opção de bomba, para comparar-

se os dados, optando-se pela melhor relação custo benefício.


Figuras: Curvas Características de bombas centrifugas




APÊNDICE A: ANÁLISE DIMENSIONAL E SISTEMAS DE UNIDADES

1 INTRODUÇÃO

Em qualquer estudo de um determinado fenômeno, pesquisa ou trabalho os

resultados que envolvem números relacionados com alguma grandeza física,

provenientes de uma operação algébrica relacionada a uma equação matemática,

normalmente são apresentados da seguinte forma:

onde a dimensão será representada por uma unidade pertencente a um sistema coerente de unidades.

Há casos em que este resultado, somente é representado por um valor numérico relacionado a

uma grandeza física, são os chamados números adimensionais, sendo assim representados:

Para melhor esclarecer o que foi exposto, apresenta-se o seguinte problema: uma força com

intensidade igual a 100 N está aplicada perpendicularmente em uma área com 0,5 m2 e deseja-se

conhecer a pressão exercida sobre a área.

O fenômeno físico é representado pela seguinte equação matemática: A

Fp

O valor numérico provém de uma operação algébrica de divisão de 100 por 0,5, resultando

igual 200 e a dimensão é N/m2. Poder-se-ia ter uma força igual a 100 kgf aplicada em uma área igual

a 0,5 cm2, cujo valor numérico também seria igual a 200, mas com uma outra dimensão, ou seja,

kgf/cm2, obtendo-se, portanto, um outro resultado para o mesmo fenômeno físico.

Um outro problema que pode ser apresentado, é o estudo do comportamento de um fluido

durante o escoamento no interior de um conduto, cujo parâmetro é o Adimensional ou Número de

Reynolds cuja equação matemática é

vDRe .

As operações algébricas resultam em um número sem dimensão, por exemplo, 2400, que

exprime o comportamento do fluido para uma determinada condição de escoamento. Portanto, os

resultados que não apresentam dimensão são chamados de adimensionais ou números adimensionais.

Assim pretende-se demonstrar a importância da dimensão, ou melhor, da unidade na

apresentação dos resultados dos problemas.

GRANDEZA = VALOR NUMÉRICO DIMENSÃO

GRANDEZA = VALOR NUMÉRICO


1.1 Análise dimensional

1.1.1 Equação dimensional

Pode-se dizer que em qualquer campo de estudo existem as grandezas chamadas de

fundamentais e as grandezas derivadas. Na Mecânica têm-se cinco grandezas, em princípio,

chamadas de fundamentais.

Tabela1: Grandezas Fundamentais da Mecânica

GRANDEZA SÍMBOLO

Força F

Massa M

Comprimento L

Tempo T

Temperatura θ

Estas cinco grandezas geram dois grupos, chamados de Base Completa da Mecânica, assim formados:

Observa-se que as grandezas comprimento, tempo e temperatura são comuns nas duas Bases

Completas da Mecânica. O que difere é a presença da força em uma das bases e da massa, na outra.

Assim pode-se concluir que a massa na base FLTθ é uma grandeza derivada, enquanto que a força é

assim considerada na base MLTθ.

As grandezas derivadas serão então escritas em função das grandezas fundamentais de uma das Bases

Completas da Mecânica, através de uma equação chamada de equação dimensional que é apresentada na forma de

produto de potências. Assim, a equação dimensional de uma grandeza derivada qualquer “K” será apresentada por:

onde os expoentes podem ser números inteiros ou fracionários, positivos ou negativos.

dcba TLF]K[

wzyx TLM]K[

Base FORÇA – COMPRIMENTO - TEMPO – TEMPERATURA

Base MASSA – COMPRIMENTO – TEMPO – TEMPERATURA Base MLTθ

ou

Base FLTθ


Os adimensionais ou números adimensionais independem das grandezas fundamentais das

Bases Completas da Mecânica, isto é, os expoentes destas grandezas são nulos.

Portanto: 0000 TLF]K[ ou 0000 TLM]K[

Para que se possa escrever a equação dimensional de uma determinada grandeza derivada,

deve-se conhecer a definição da grandeza ou a sua equação matemática.

Tabela 2: Exemplos de equações dimensionais

NOME DEFINIÇÃO SÍMBOLO EQUAÇÃO

DIMENSIONAL

Área Comprimento ao quadrado A [A] = L2

Volume Comprimento ao cubo V [V] = L3

Velocidade Espaço percorrido por unidade de tempo v [v] = LT-1

Aceleração Velocidade por unidade de tempo a [a] = LT-2

Massa específica Quociente entre a massa e o volume ρ [ρ] = ML-3

Trabalho Energia necessária para deslocar um corpo W [W] = FL

Sendo a força uma grandeza fundamental na base FLTθ e derivada na MLTθ e com a massa ocorre o inverso, qualquer grandeza pode ter uma equação dimensional escrita em função das grandezas fundamentais das bases. A tabela 3 apresenta o exemplo descrito. Tabela 3: Equações dimensionais da força e da massa

NOME SÍMBOLO EQUAÇÃO EQUAÇÃO DIMENSIONAL

Base FLTθ Base MLTθ

Força F F = m.a [F] = F [F] = MLT-2

Massa m F = m.a m = F / a [m] = FL-1

T2 [m] = M


1.2 Sistemas de unidades

Ainda hoje, em algumas áreas do conhecimento, empregam-se os sistemas coerentes de

unidades conforme apresentado na tabela 4.

Tabela 4: Sistemas coerentes de unidades

SISTEMA REPRESENTAÇÃO

Sistema MKS Técnico MK*S

Sistema MKS Giorgi MKS

Sistema CGS CGS

Sistema Inglês ou Britânico SB

Sistema Internacional de Unidades SI

Ressalta-se que o sistema empregado no desenvolvimento deste trabalho é o Sistema

Internacional de Unidades (SI), o qual será tratado com mais detalhe oportunamente.

Por definição, um sistema coerente de unidades define as unidades das grandezas fundamentais

para o qual ele foi criado.

Tabela 5: Quadro geral de unidades

SISTEMAS DE

UNIDADES

DEFINIDO

PARA A BASE

UNIDADES

F M L T

MK*S

FLT kgf ou kg* utm m s ºC

MKS MLT N kg m s ºC

CGS MLT dyn g cm s ºC

SB FLT lbf ou lb* slug ft s ºF

MLT Pd lb ft s ºF

Tomando-se como exemplo o sistema MK*S, que foi criado para atender a Base Completa da

Mecânica FLT, a unidade de massa é uma unidade derivada, sendo escrita em função das unidades

fundamentais, recebendo o nome de unidade técnica de massa. No quadro abaixo, são apresentadas as

unidades derivadas para força e massa relativas aos demais sistemas coerentes de unidades.

Tabela 6: Nomenclatura das Unidades

SISTEMA EQUAÇÃO DIMENSIONAL UNIDADES DERIVADAS NOMENCLATURA

MK*S [m] = FL-1

T2 un utm

s

m.kgfm unidade técnica de massa

MKS [F] = MLT-2

un Ns

m.kgF

2 newton

CGS [F] = MLT-2

un dyns

cm.gF

2 dina

SB {

[m] = FL-1

T2 un slug

s

ft.lbfm

[F] = MLT-2

un Pds

ft.lbF

2 poundal


2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES - SI

A globalização chegou para ficar. Com isso os países são obrigados a se organizarem em blocos

econômicos, como Mercosul, Comunidade Européia, Alca, etc, levando-os a adoção de um sistema

único de unidades, como forma de agilizar o mercado exportador. A integração de um mesmo sistema

de medida possibilita a padronização de produtos, determina a qualidade na produção e,

conseqüentemente, maiores oportunidades de negócios.

Em 1960, durante a 11ª. Conferência Geral de Pesos e Medidas, o Brasil apoiou à adoção do

Sistema Internacional de Unidades – SI – por entender que este sistema era mais racional, coerente e

prático e com grande possibilidade de ser utilizado mundialmente. Em 27 de junho de 1963, o Brasil

formalizou a adesão, através do Decreto Legislativo nº. 57 e em 23 de agosto de 1988, o INMETRO,

através da Resolução 12 estabelece, em todo Território Nacional, o emprego do Sistema Internacional

de Unidades – SI – de modo geral, relativo ao aspecto metrológico de quaisquer atividades

comerciais, agropecuárias, industriais, técnicas ou científicas.

2.1 Histórico

Foi em 1948 que a 9ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), por sua Resolução 6,

encarregou o Comitê Internacional de Pesos e Medidas (CIPM), de:

- estudar o estabelecimento de uma regulamentação completa das unidades de medida;

- proceder, com esse intuito, a um inquérito oficial sobre a opinião dos meios científicos,

técnicos e pedagógicos de todos os países;

- emitir recomendações atinentes ao estabelecimento de um sistema prático de unidades de

medidas, susceptível de ser adotado por todos os países signatários da Convenção do Metro;

A mesma Conferência Geral adotou também a Resolução 7 que fixou princípios gerais para os

símbolos de unidades e forneceu uma lista de nomes especiais de unidades.

A 10ª CGPM (1954) por meio de sua Resolução 6 e a 14ª CGPM (1971) em sua Resolução 3,

decidiram adotar, como unidades de base deste sistema prático de unidades, as unidades das sete

grandezas seguintes: comprimento, massa, tempo, intensidade de corrente elétrica, temperatura

termodinâmica, quantidade de matéria, e intensidade luminosa apresentadas na tabela 7.


A 11ª CGPM (1960), por intermédio de sua Resolução 12, adotou finalmente o nome de

Sistema Internacional de Unidades, com abreviação SI, para este sistema prático de unidades de

medida e institui regras para os prefixos, para as unidades derivadas e as unidades suplementares e

além de outras indicações, estabelecendo assim uma regulamentação de conjunto para as unidades de

medida.

2.1 INMETRO – Resolução nº. 12/1988

O Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – CONMETRO

usando de suas atribuições que lhe confere o artigo 3º da Lei nº. 5966, de 11 de dezembro de 1973,

através de sua 20ª. Sessão Ordinária realizada em Brasília, em 23 de agosto de 1988.

Considerando que as unidades de medida legais no país são aquelas do Sistema Internacional de

Unidades – SI, adotado pelo Conferencia Geral de Pesos e Medidas, cuja adesão pelo Brasil foi

formalizada através do Decreto Legislativo nº. 57, de 27 de junho de 1963.

Considerando que a fim de assegurar em todo Território Nacional a indispensável uniformidade

na expressão quantitativa e metrológica das grandezas, cabe privativamente à União, conforme

estabelecido na Constituição Federal, dispor sobre as unidades de medida, o seu emprego, e, de modo

geral, ao aspecto metrológico de quaisquer atividades comerciais, agropecuárias, industriais, técnicas

ou científicas, resolve:

1. Adotar o Quadro Geral de Unidades de Medida, em anexo, no qual constarão os nomes, as

definições, os símbolos das unidades e os prefixos SI.

2. Admitir o emprego de certas unidades fora do SI, de grandezas e coeficientes sem dimensões

físicas que sejam julgados indispensáveis para determinadas medições.

3. Estabelecer que o Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial –

INMETRO, seja encarregado de propor as modificações que se tornarem necessárias ao Quadro

anexo, de modo a resolver casos omissos, mantê-lo atualizado e dirimir dúvidas que possam surgir na

interpretação e na aplicação das unidades legais.

4. Esta Resolução entrará em vigor na data de sua publicação.

Brasília, 12 de outubro de 1988. Roberto Cardoso Alves


2.2.1 Unidades de base, suplementares e derivadas

O Sistema Internacional de Unidades, ratificado pela 11ª CGPM / 1960 e atualizado até a 18ª

CGPM / 1987, compreende sete unidades de base e duas unidades suplementares, apresentadas nas

tabelas 7 e 8 respectivamente. As unidades derivadas são deduzidas direta ou indiretamente das

unidades de base e suplementares e os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades acima, cujos

nomes são formados pelo emprego dos prefixos SI.

Tabela 7: Unidades de base

Tabela 8: Unidades suplementares

As outras unidades admitidas, fora do SI, são de duas espécies:

a) unidades aceitas para uso com o SI, isoladamente ou combinadas entre si e/ou

com unidades do SI, sem restrição do prazo:

GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO DEFINIÇÃO

comprimento metro m

17ª CGPM (1983) É o comprimento do trajeto percorrido

pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1 / 299

792 458 de segundo.

massa quilograma kg 3ª CGPM (1901) É igual à massa do protótipo

internacional do quilograma em platina iridiada.

tempo segundo s

13ª CGPM (1967) É a duração de 9 192 631 770 períodos

de radiação correspondente à transição entre dois níveis

hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.

corrente elétrica ampère A

9ª CGPM (1948) É a intensidade de uma corrente elétrica

constante que se mantida em dois condutores paralelos,

retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular

desprezível e situados à distância de 1 m entre si, no

vácuo, produz entre estes condutores uma força igual a 2 x

10-7

N/m.

temperatura

termodinâmica kelvin K

13ª CGPM (1967) É a fração 1 / 273,16 da temperatura

termodinâmica do ponto tríplice da água.

quantidade de

matéria mol mol

14ª CGPM (1971) É a quantidade de matéria de um

sistema que contém tantas entidades elementares quanto

são os átomos contidos em 0,012 kg de carbono 12.

intensidade

luminosa candela cd

16ª CGPM (1969) É a intensidade luminosa numa dada

direção de uma fonte que emite uma radiação

monocromática de freqüência 540 x 1012

Hz e cuja

intensidade energética nessa direção é 1 / 683 W/sr.

UNIDADE SÍMBOLO GRANDEZA

radiano rad ângulo plano

esterradiano sr ângulo sólido


Tabela 9: Unidades sem restrição de prazo para o seu uso

GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO DEFINIÇÃO

comprimento

unidade

astronômica UA Distância média da Terra ao Sol

parsec pc Comprimento do raio de um círculo no qual o ângulo

central de 1 s subtende uma corda igual a 1 UA

volume litro l ou L Volume igual a 1 decímetro cúbico

ângulo plano

grau º Ângulo plano igual a fração 1/360 do ângulo central de

um círculo completo

minuto „ Ângulo plano igual a fração 1/60 de 1º

segundo “ Ângulo plano igual a fração 1/60 de 1‟

intervalo de

freqüências oitava Intervalo de duas freqüências cuja relação é igual a 2

massa

unidade (unificada

de massa atômica) u

Massa igual à fração 1/12 da massa de um átomo de

carbono 12

tonelada t Massa igual a 1000 kg

tempo

minuto min Intervalo de tempo igual a 60 s

hora h Intervalo de tempo igual a 60 min

dia d Intervalo de tempo igual a 24 h

velocidade

angular rotação por minuto rpm

Velocidade angular de um móvel, que em movimento de

rotação uniforme a partir de uma posição inicial, retorna

à mesma posição após 1 min

energia elétron-volt eV Energia adquirida por um elétron ao atravessar, no

vácuo, uma diferença de potencial igual a 1 V

nível de potência decibel dB

Divisão de uma escala logarítmica cujos valores são 10

vezes o logarítmico decimal da relação entre o valor de

potência considerado e um valor de potência

especificado, tomado como referência e expresso na

mesma unidade

decremento

logarítmico neper Np

Divisão de uma escala logarítmica cujos valores são os

logarítmicos neperianos da relação entre dois valores de

tensões elétricas, ou entre dois valores de correntes

elétricas

a) unidades admitidas temporariamente:

Tabela 10: Unidades com uso temporário

UNIDADE SÍMBOLO VALOR EM UNIDADE

SI

angstrom o

A 10-10

m

atmosfera atm 101.325 Pa

bar bar 105 Pa

bam b 10-28

m2


caloria cal 4,1868 J

cavalo-vapor cv 735,5 W

curie Ci 3,7 x 1010

Bq

gal Gal 0,01 m/s2

gauss Gs 10-4

T

hectare ha 104 m

2

quilograma-força kgf 9,80665 N

milímetro de mercúrio mmHg 133,322 Pa

milha marítima 1852 m

nó (1852/3600) m/s

quilate 2 x 10-1

kg

rad 0,01 Gy

roentgen R 2,58 x 10-4

C/kg

rem rem 10-2

Sv

Observação: Fica abolido o emprego das unidades CGS, exceto as que estão compreendidas no

SI e as mencionadas na tabela anterior.

2.2.2 Grafia dos nomes das unidades

1. Quando escritos por extenso, os nomes das unidades começam por letra minúscula, mesmo

quando têm o nome de um cientista, por exemplo, ampère, kelvin, newton, etc, exceto o grau Celsius.

Assim, somente são escritos com letras maiúsculas os símbolos das unidades relativos a nomes

próprios, por exemplo, N (newton), K (kelvin), Pa (pascal), W (watt),etc.

2. Na expressão do valor numérico de uma grandeza, a respectiva unidade pode ser escrita por

extenso ou representada pelo seu símbolo, por exemplo, quilovolts por milímetro ou kV/mm, não

sendo admitidas combinações de partes escritas por extenso com partes expressas por símbolos.

3. Quando os nomes das unidades são escritos ou pronunciados por extenso, a formação do plural

obedece as seguintes regras básicas:


a) os prefixos SI são invariáveis;

b) os nomes das unidades recebem a letra “s” no final de cada palavra, quando:

▪ são palavras simples, por exemplo, ampères, candelas, kelvins, joules, volts, newtons, etc.;

▪ são palavras compostas em que o elemento complementar de um nome de unidade não é ligado

a este por hífen, por exemplo, metros quadrados, unidades astronômicas, etc.;

▪ são termos compostos por multiplicação, em que os componentes podem variar

independentemente um do outro, por exemplo, ampères-horas, newtons-metros, pascals-segundos,

watts-horas, etc.;

b) os nomes ou partes dos nomes de unidades não recebem a letra “s” no final, quando:

▪ terminam pelas letras s, x ou z, por exemplo, siemens, lux, hertz, etc.;

▪ correspondem ao denominador de unidades compostas por divisão, por exemplo, quilômetros

por hora, lumens por watt, watt por esterradiano, etc.;

▪ em palavras compostas, são elementos complementares de nomes de unidades e ligados a estes

por hífen ou preposição, por exemplo, anos-luz, elétron-volts, quilogramas-força, etc..

2.2.3.Grafia dos símbolos das unidades

A grafia dos símbolos das unidades obedece as seguintes regras básicas:

a) os símbolos das unidades são invariáveis, não sendo admitido colocar, após o símbolo, seja

ponto de abreviatura, seja “s” de plural, letras ou índices, por exemplo, o símbolo de watt é sempre

W, qualquer que seja o tipo de potência a que se refira: mecânica, elétrica, térmica, etc.;

b) os prefixos SI nunca são justapostos no mesmo símbolo, por exemplo, unidades como GWh,

nm, pF, etc.; não devem ser substituídas por expressões em que se justaponham, respectivamente, os

prefixos mega e quilo, mili e micro, micro e micro, etc.;

c) os prefixos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou divisão, por

exemplo, kN.cm, k.mA, kV/mm, M.cm, kV/.s, etc.;

d) os símbolos de uma mesma unidade podem coexistir num símbolo composto por divisão, por

exemplo, .mm2/m, kWh/h, etc.;


e) o símbolo é escrito no mesmo alinhamento do número a que se refere e não como expoente ou

índice. São exceções os símbolos das unidades não SI de ângulo plano (º „ “), os expoentes dos

símbolos que têm expoente, o sinal º do símbolo de grau Celsius e os símbolos que têm divisão

indicada por traço de fração horizontal;

f) o símbolo de uma unidade composta por multiplicação pode ser formado pela justaposição dos

símbolos componentes e que não cause ambigüidade (VA, kWh, etc.) ou mediante a colocação de um

ponto entre os símbolos componentes, na base da linha ou a meia altura (N.m, m.s-1

, etc.);

g) o símbolo de uma unidade que contém divisão pode ser formado por uma qualquer das três

maneiras exemplificadas a seguir: W/(sr.m2), W.sr

-1.m

-2,

2m.sr

W, não devendo ser empregada esta

última forma quando o símbolo, escrito em duas linhas diferentes puder causar confusão.

Tabela 12: Relações entre algumas unidades

UNIDADE APROXIMADAMENTE

IGUAL A

VALOR

USUAL OBSERVAÇÕES

1 kgf 9,80665 N 10 N

1 Pd 0,138 N

13823 dyn Pd poundal

1 dyn 10

-5 N dyn dina

0,102 x10-5

kgf 10-6

kgf

1 utm 9,80665 kg 10 kg utm unidade técnica de massa

1 slug 14,59 kg

32,17 lb

1 bar 10

5 Pa

1,02 kgf/cm2

1 Pa 1 N/m2 N/m

2 Pa pascal

1 Nm 1 J

1 Nm/s 1 J/s J/s W

1 ft 0,3048 m

12 in in inch polegada

1 in 0,0254 m

1 cv 75 kgf.m/s

cv cavalo-vapor 735,5 W 736 W

1 hp 549,7 lbf.ft/s 550 lbf.ft/s

hp horse-power 745,3 W 745 W


Tabela 13: Unidades Geométricas e Mecânicas do SI

GRANDEZA NOME SÍMBOLO DEFINIÇÃO

área metro quadrado m2

Área de um quadrado cujo lado te 1 metro de comprimento

volume metro cúbico m3

Volume de um cubo cuja aresta tem 1 metro de comprimento

freqüência hertz Hz

Duração de 9.192.931.770 períodos da radiação correspondente

à transição entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental

do átomos de césio 133

velocidade metro por

segundo m/s

Velocidade de um móvel que em movimento uniforme percorre

1 metro em 1 segundo

velocidade angular radiano por

segundo rad/s

Velocidade angular de um móvel que em movimento de

rotação uniforme descreve 1 radiano em 1 segundo

aceleração

metro por

segundo, por

segundo

m/s2

Aceleração de um móvel que em movimento retilíneo

uniformemente variado, cuja velocidade varia de 1 metro por

segundo em 1 segundo

aceleração angular

radiano por

segundo, por

segundo

rad/s2

Aceleração angular de um móvel de movimento em rotação

uniformemente variado, cuja velocidade angular varia de 1

radiano por segundo em 1 segundo

massa específica quilograma por

metro cúbico kg/m

3 Massa específica de um corpo homogêneo em que um volume

igual a 1 metro cúbico contém massa igual a 1 quilograma

vazão metro cúbico por

segundo m

3/s

Vazão de um fluido que, em regime permanente através de uma

superfície determinada, escoa o volume de 1 metro cúbico do

fluido em 1 segundo

fluxo de massa quilograma por

segundo kg/s

Fluxo de massa de um material que, em regime permanente

através de uma superfície determinada, escoa a massa de 1

quilograma do material em 1 segundo

momento de inércia quilograma-

metro quadrado kg.m

2 Momento de inércia, é o produto da massa de uma partícula

pelo quadrado da distância desta a um eixo.

momento linear

quilograma-

metro por

segundo

kg.m/s Momento linear de um corpo de massa igual a 1 quilograma

que se desloca com velocidade de 1 metro por segundo

momento angular

quilograma-

metro quadrado

por segundo

kg.m2/s

Momento angular em relação a um eixo, de um corpo que gira

em torno desse eixo com velocidade angular uniforme de 1

radiano por segundo, e cujo momento de inércia em relação ao

mesmo eixo, é de 1 quilograma-metro quadrado

momento de uma

força, torque newton-metro N.m

Momento de uma força de 1 newton em relação a um ponto

distante 1 metro de sua linha de ação

pressão pascal Pa

Pressão exercida por uma força de 1 newton, uniformemente

distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de

área perpendicular a direção da força

viscosidade

dinâmica pascal-segundo Pa.s

Viscosidade dinâmica de um fluido que se escoa de forma tal

que sua velocidade varia de 1 metro por segundo, por metro de

afastamento na direção perpendicular ao plano de

deslizamento, quando a tensão tangencial ao longo desse plano

é constante e igual a 1 pascal

energia, trabalho,

quantidade de calor joule J

Trabalho realizado por uma força constante de 1 newton que

desloca seu ponto aplicação de 1 metro na sua direção

potência, fluxo de

energia watt W

Potência desenvolvida quando se realiza, de maneira contínua e

uniforme, o trabalho de 1 joule em 1 segundo

densidade de fluxo

de energia

watt por metro

quadrado W/m

2 Densidade de um fluxo de energia de 1 watt, através de uma

superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular a

direção de propagação da energia

Fonte: Quadro Geral de Unidades de Medida


Tabela 14: Unidades Elétricas e Magnéticas do SI


capacitância farad F Capacitância de um elemento passivo de circuito entre os terminais

onde a tensão elétrica varia uniformemente a razão de 1 volt por

segundo, quando percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère

carga elétrica

(quantidade de

eletricidade)

coulomb C Carga elétrica que atravessa em 1 segundo, uma seção transversal de

um condutor percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère

condutância siemens S Condutância de um elemento passivo de circuito cuja resistência

elétrica é de 1 ohm

condutividade siemens por

metro S/m

Condutividade de um material homogêneo e isótropo cuja

resistividade é de 1 ohm-metro

fluxo magnético weber Wb Fluxo magnético uniforme através de uma superfície plana de área

igual a 1 metro quadrado, perpendicular à direção de uma indução

magnética uniforme de 1 tesla

gradiente de

potencial,

intensidade de

campo elétrico

volt por metro V/m

Gradiente de potencial uniforme que se verifica em um meio

homogêneo e isótropo, quando é de 1 volt a diferença de potencial

entre dois planos equipotenciais situados a 1 metro de distância um do

outro

indução magnética tesla T

Indução magnética uniforme que produz uma força constante de 1

newton por metro de um condutor retilíneo situado no vácuo e

percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère, sendo

perpendiculares entre si as direções da indução magnética, da força e

da corrente

indutância henry H Indutância de um elemento passivo de circuito entre os terminais onde

a tensão elétrica constante de 1 volt quando percorrido por uma

corrente que varia uniformemente à razão de 1 ampère por segundo

intensidade de

campo magnético

ampère por

metro A/m

Intensidade de um campo magnético uniforme, criado por uma

corrente invariável de 1 ampère, que percorre um condutor retilíneo,

de comprimento infinito e de área de seção transversal desprezível, em

qualquer ponto de uma superfície cilíndrica de diretriz circular com 1

metro de circunferência e que tem como eixo o referido condutor

potência aparente volt-ampère VA Potência aparente de um circuito percorrido por uma corrente

alternada senoidal com valor eficaz de 1 ampère, sob uma tensão

elétrica com valor eficaz de 1 volt

potência aparente volt-ampère VA Potência aparente de um circuito percorrido por uma corrente

alternada senoidal com valor eficaz de 1 ampère, sob uma tensão

elétrica com valor eficaz de 1 volt

potência reativa var var Potência reativa de um circuito percorrido por uma corrente alternada

senoidal com valor eficaz de 1 ampère, sob uma tensão elétrica com

valor eficaz de 1 volt, defasada de /2 radianos em relação à corrente

relutância ampère por

weber A/Wb

Relutância de um elemento de circuito magnético, no qual uma força

eletromagnética invariável de 1 ampère produz um fluxo magnético de

1 weber

resistência elétrica ohm Resistência elétrica de um elemento passivo de circuito que é

percorrido por uma corrente invariável de 1 ampère, quando uma

tensão elétrica constante de 1 volt é aplicada aos seus terminais

resistividade ohm-metro .m Resistividade de um material homogêneo e isótropo, do qual um cubo

com 1 metro de aresta apresenta uma resistência elétrica de 1 ohm

entre faces opostas

tensão elétrica,

diferença de

potencial, força

eletromotriz

volt V Tensão elétrica entre os terminais de um elemento passivo de circuito,

que dissipa a potência de 1 watt quando percorrido por uma corrente

invariável de 1 ampère



Tabela 15: Unidades Térmicas


calor específico

joule por

quilograma e

por kelvin

J/kg.K

Calor específico de uma substância cuja temperatura aumenta

de 1 kelvin quando se lhe adiciona 1 joule de quantidade de

calor por quilograma de sua massa.

capacidade térmica joule por kelvin J/K

Capacidade térmica de um sistema homogêneo e isótropo, cuja

temperatura aumenta de 1 kelvin quando se lhe adiciona 1 joule

de quantidade de calor.

condutividade

térmica

watt por metro e

por kelvin W/m.K

Condutividade térmica de um material homogêneo e isótropo,

no qual se verifica um gradiente de temperatura uniforme de 1

kelvin por metro, quando existe um fluxo de calor constante

com densidade de 1 watt por metro quadrado.

gradiente de

temperatura kelvin por metro K/m

Gradiente de temperatura uniforme que se verifica em um meio

homogêneo e isótropo, quando é de 1 kelvin a diferença de

temperatura entre dois planos isotérmicos situados à distância

de 1 metro um do outro.

temperatura Celsius grau Celsius °C Intervalo de temperatura unitário igual a 1 kelvin, numa escala

de temperaturas em que o ponto 0 coincide com 273,15 kelvins.


Tabela 16:Unidades Ópticas


convergência dioptria di Convergência de um sistema óptico com distância focal de 1

metro, no meio considerado.

eficiência luminosa lúmen por watt lm/W Eficiência luminosa de uma fonte que consome 1 watt para

cada lúmen emitido.

exitância luminosa lúmen por

metro quadrado lm/m

2

Exitância luminosa de uma superfície plana de 1 metro

quadrado de área, que emite uniformemente um fluxo

luminoso de 1 lúmen.

exposição luminosa,

excitação luminosa lux-segundo lx.s

Exposição (excitação) luminosa de uma superfície com

iluminamento de 1 lux, durante 1 segundo.

fluxo luminoso lúmen lm

Fluxo luminoso emitido por uma fonte puntiforme e

invariável de 1 candela, de mesmo valor em todas as direções

, no interior de um ângulo sólido de 1 esterradiano.

iluminamento lux lx

Iluminamento de uma superfície plana de 1 metro quadrado

de área, sobre a qual incide perpendicularmente um fluxo

luminoso de 1 lúmen, uniformemente distribuído.

intensidade energética watt por

esterradiano W/sr

Intensidade energética, de mesmo valor em todas as direções,

de uma fonte que emite um fluxo de energia uniforme de 1

watt, no interior de um ângulo sólido de 1 esterradiano.

luminância candela por

metro quadrado cd/m

2

Luminância de uma fonte de 1 metro quadrado de área e com

intensidade luminosa de 1 candela.

luminância energética

watt por

esterradiano e

por metro

quadrado

W/sr.m2

Luminância energética de uma direção em uma direção

determinada, uma fonte superficial de intensidade energética

igual a 1 watt pr esterradiano, por metro quadrado da sua área

projetada sobre um plano perpendicular à direção

considerada.

número de onda 1 por metro m-1

Número de onda de uma radiação monocromática cujo

comprimento de onda é igual a 1 metro.



APÊNDICE B: ALFABETO GREGO

MINÚSCULAS MAIÚSCULAS NOME VALORES

alfa A

beta B

delta D

épsilon E

fi F

gama G

eta Ê

iota J

capa K

lambda L

mü M

nü N

ômicron O

pi P

, teta T

rô R

, sigma S

tau T

úpsilon U

omega Ô

ksi X

dzeta Z

psi PS

qui QU


Diagrama de Moody.


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