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Raciocínio Lógico

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O Instituto IOB nasce a partir da experiência de mais de 40 anos da IOB no desenvolvimento de conteúdos, serviços de consultoria e cursos de excelência.

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...Raciocínio Lógico / [Obra organizada pelo Instituto IOB] – São Paulo: Editora IOB, 2011.Bibliografia.ISBN 978-85-63625-62-5...

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dos conceitos.Nenhuma parte desta publicação

poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma sem a prévia autorização do Instituto IOB.

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punido pelo art. 184 do Código Penal.

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Sumário

Capítulo 1 — Conjuntos, 71. Introdução e Simbologia: Considerações Iniciais; Símbolo de

Pertinência e Inclusão, 71.1 Apresentação, 71.2 Síntese, 7

2. Subconjuntos / Triângulo de Pascal, 92.1 Apresentação, 9

3. Triângulo de Pascal e suas Propriedades / Descobertas, 94. Triângulo de Pascal: Problemas e Combinatória, 105. Números Triangulares , 11

5.1 Apresentação, 116. Números Figurados, Sequência de Fibonacci e suas Aplicações, 12

Capítulo 2 — Conjuntos e suas Aplicações, 151. Diagramas de Venn, 152. Dica de Resolução, 173. Problema da Pizza e do Prof. Délio, 184. Conjuntos e Sistemas Lineares, 19

Capítulo 3 — Princípios Básicos da Lógica, 221. Problema do Diofanto e do Jack Bauer, 22

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2. Verdade X Mentira: Indução ao Erro, 233. Estruturas Lógicas, 244. Premissas e Silogismo, 25

Capítulo 4 — Construção da Tabela – Conjunção e Disjunção, 271. Apresentação, 272. Condicional: Valéria Falou tá Falado, 293. Problema dos Engenheiros do Hawai, 314. ESAF: Diagramas / Negação, 335. Negação de uma Condicional, 346. Tabela de Negações – Diagramas, 367. Problema do Plog e Dica em Diagramas Usando Equivalência, 378. Questões da CESPE – Trabalho Conectivos na Linguagem Corrente, 39

Capítulo 5 — Conectivos: Dicas e Construções, 411. Tabela Base e Dica do Sorvete, 412. O ou Exclusivo e Inclusivo, 423. Dica da Condicional, 434. Dica da Condicional, 455. Termo Intermediário, 466. Negação e Condicional: Princípio da Contradição, 48

6.1 Negação, 497. Negação e suas Equivalências, 498. Negação e Suas Equivalências, 519. Diagrama: seu Melhor Amigo, 5310. Diagramas e Valorações Lógicas, 55

Capítulo 6 — Valores Lógicos, 571. Bicondicional, 572. Tabela: Uso e Construção, 593. Valoração Lógica em Linguagem Corrente, 604. Valoração em Linguagem Simbólica (Tabelas-Verdade), 635. Valoração com Uso Exclusivo de Tabelas, 65

Capítulo 7 — Enigmas Lógicos, 671. Charada de Einstein, 672. Problema do Político, 683. Desafio do U2 e Problema do Fenelon, 69

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Capítulo 8 — Negações: Simbologia, 721. Negação de uma Condicional – Parte I, 722. Negação de uma Condicional – Parte II, 733. Negação de uma Condicional – Parte III, 74

Capítulo 9 — Equivalência, 751. Condição Suficiente e Necessária, 752. Equivalência de uma Condicional, 773. Equivalência Lógicas, 784. Leis de Morgan, 795. Equivalências e suas Aplicações, 806. Equivalência: Simbologia, 82

Capítulo 10 — Argumentação, 841. Validade, 842. Valoração Lógica, 863. Cálculo Proposicional – Conectivos, 884. Proposições Relacionadas, 90

Capítulo 11 — Lógica Indutiva e Dedutiva, 931. Aplicações e Método, 93

1.1 Tipos de Lógica, 932. Problema da Vovó Vitória, 963. Questões usando Dedução e Indução, 984. Princípio da Contradição, 1005. Mentira ou Verdade?, 102

5.1 Sofismas, 105

Capítulo 12 — Análise Combinatória, 1071. Fatorial, 1072. PFC: Introdução, 1083. PFC: Problema do Salgado, 1104. PFC: Método, 1115. Tabuleiro de Xadrez, 1136. Uso do E e do OU, 1147. Anagramas, 1168. Anagramas: Questão do Cinema, 1179. Anagramas com Repetição, 11710. Combinação e Pascal, 12011. Comissões, 123

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12. Outro Enfoque: Problema das Lâmpadas, 12413. Agrupamento de Pessoas, 12614. Questão da Lanchonete, 130

Capítulo 13 — Probabilidades, 1331. Defi nição, 1332. Probabilidade de um Evento Qualquer: Problema da Moeda, 1353. Eventos Complementares e Exclusivos, 1374. Probabilidade Equiprovável, 1375. Questão de Conjunto, 1386. Probabilidade Condicional, 1397. Eventos Independentes, 1408. Lei de Murphy, 1429. Probabilidade de não Ocorrer um Evento, 14210. Distribuição Binomial, 14411. Questão da CESGRANRIO-ESAF, 14512. Propriedades da Condicional, 14813. Teorema de Bayes, 14914. Questões, 15015. Problema do Filme Quebrando a Banca, 151

Gabarito, 153

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Capítulo 1

Conjuntos

1. Introdução e Simbologia: Considerações Iniciais; Símbolo de Pertinência e Inclusão

1.1 Apresentação

Daremos início ao estudo de Raciocínio Lógico.

1.2 Síntese

Raciocínio Lógico-Quantitativo: Este trabalho visa desenvolver a habilidade do aluno em entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fi ctícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e

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compreender as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados, constituídos de elementos conhecidos e significativos, mostram que possuímos habilidades dos ouvintes para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais:

» raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da prova que serão tratadas durante o curso destinam-se a medir a capacidade de compreender o processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. A ideia de conjunto e seus subconjuntos devem estar diretamente relacionados com a lógica e toda sua simbologia:

Simbologia:∈ → pertence∉ → não pertence⊂ → está contido⊄ → não está contido⊂ → contém⊃ → não contém∪ → união (ou)∩ → interseção (e) - → diferença (exceto)

Subconjuntos ou Partes de um Conjunto

AB

Sejam os conjuntos A e B, onde os elementos de B estão contidos em A, então dizemos que B ⊂ A (B está contido em A) ou que A ⊃ B (A contém B). O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto. Obs.: Número de Subconjuntos é dado por 2n, onde n é número de elementos do conjunto.

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2. Subconjuntos / Triângulo de Pascal

2.1 Apresentação

Questão de subconjuntos e construção do Triângulo de Pascal.

Exercício

1. Um conjunto possui 512 subconjuntos, ao retirarmos 3 elementos desse con-junto, quantos subconjuntos terá o novo conjunto?

Triângulo de Pascal

N = 0 1

N = 1 1 1

N = 2 1 → 2 ↓ 1

N = 3 1 3 → 3 ↓ 1

N = 4 1 4 6 → 4 ↓ 1

N = 5 1 5 10 10 → 5 ↓ 1

N = 6 1 6 15 20 15 → 6 ↓ 1

N = 7 1 7 21 35 35 21 → 7 ↓ 1

N = 8 1 8 28 56 70 56 28 9 1

P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 P = 6 P = 7 P = 8

3. Triângulo de Pascal e suas Propriedades / Descobertas

Apresentação: Propriedades do Triângulo de Pascal

» Toda linha começa e termina com o número 1.

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» Relação de Stifel: Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do nú-mero imediatamente acima e do antecessor do número de cima.

» Simetria: O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura. » A soma das linhas é sempre 2n, onde n é o número da linha. » Os números naturais aparecem na segunda diagonal.

Aplicação matemática do Triângulo de Pascal » (a+b)² = 1a² + 2ab + 1b² (n = 2) » (a+b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³ (n = 3) » (a+b)4 = 1a4 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1b4 (n = 4)

4. Triângulo de Pascal: Problemas e Combinatória

O triângulo de pascal também pode ser usado como ferramenta nos problemas de análise combinatória, onde teremos a linha representando os elementos disponí-veis e a coluna representando os elementos “pedidos”.

Exercícios

2. (ESAF) Quantas comissões de três pessoas pode-se formar num grupo de 7 componentes?

3. (CESPE) Suponha que uma distribuidora de filmes tenha 6 filmes de ani-mação e 5 comédias para distribuição. Nesse caso, é superior a 140 e inferior a 160 o número de formas distintas pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2 sejam comédias e 2 sejam de animação.

4. (CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcio-nários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 manei-ras diferentes para distribuir essas tarefas.

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5. Números Triangulares

5.1 Apresentação

Estudaremos os Números Triangulares.

Números Triangulares, também chamados de números figurados, é um nú-mero que pode ser representado na forma de um triângulo equilátero. Tais números são calculados através de duas fórmulas:

T(n) = 1 + 2 + 3 + ... + n que é o mesmo que: Tn = [n (n + 1)] / 2

Ou como no teorema: O quadrado de todo número inteiro maior que um é a soma de dois números triangulares consecutivos.

T(1) = 1T(n + 1) = T(n) + (n + 1)

Exercícios

5. (FCC) Um número que pode ser representado pelo padrão abaixo é cha-mado número triangular.

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10...

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A soma dos oito primeiros números triangulares éa. 110.b. 120.c. 140.d. 130.e. 150.

6. (FUNDEP) “No meio do caminho tinha uma pedra tinha uma pedra no meio do caminho.” Carlos Drummond de Andrade

Suponha que Ronando passa por esse caminho todo dia. Suponha, ainda, que, no caminho de Ronando, uma nova pedra se soma às anteriores, a cada dia. Assim sendo, é correto afirmar que, no final de 100 dias, Ronando terá tido em seu caminho a. 100 pedras.b. 5.050 pedras.c. 6.250 pedras.d. 8.850 pedras.

6. Números Figurados, Sequência de Fibonacci e suas Aplicações

Os números tetraédricos são no fundo o número de pontos com que se pode definir um tetraedro.

Tn n n n= + +1

61 2( )( )

1

1

1

3

6

10

15

21

28

36

45

55

1

5

15

35

70

126

252

330

1

6

21

56

126

210

462

1

7

28

84

210

462

1

8

36

120

330

1

9

45

165

1

10

55

1

11 1

1

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

4

10

20

35

56

84

210

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Exercício

7. (FCC) Números figurados são assim chamados por estarem associados a pa-drões geométricos. Veja dois exemplos de números figurados.

1

1

3

4

Número triangulares

Número quadrados

6

6

10

16

A tabela abaixo traz algumas sequências de números figurados.

Números triangulares 1 3 6 10 ?

Números quadrados 1 4 9 16 ?

Número pentagonais 1 5 12 22 ?

Número hexagonais 1 6 15 28 ?

Observando os padrões, os elementos da quinta coluna, respeitando a ordem

da tabela, devem sera. 20, 30, 40, 50.b. 18, 28, 45, 50. c. 16, 36, 46, 56.d. 15, 25, 40, 50.e. 15, 25, 35, 45.

Muitos estudantes de matemática, ciências ou artes ouviram falar de Fibonacci somente por causa do seguinte problema do Liber abaci: um homem pôs um par de coelhos num lugar cercado por todos os lados por um muro. Quantos pares de coelhos podem ser gerados a partir deste par em um ano se, supostamente, todo mês cada par dá à luz a um novo par que é fértil a partir do segundo mês?

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Logo a sequência fi ca: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...“As somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a

Sucessão de Fibonacci”. Na tentativa de visualizar melhor as diagonais em questão, façamos uma reorganização dos elementos do Triângulo de Pascal:

1

1 12

1 114 4

1 1

12

35

813

1 33 1

1 5105 110

1 1515 16 620

Se dividirmos cada termo desta sequência, a partir do 21, pelo seu precedente obteremos aproximadamente o número 1,618, o “número de ouro” dos gregos:

21 : 13 = 1,6153834 : 21 = 1,6190455 : 34 = 1,6176489 : 55 = 1,61818

Razão Áurea pode ser escrita como:

∅ = 1 +

1 +

1 +

1 +1 + ...

= = 1,6180339887...1

1

1

1

1 5

2

+

Existem várias aplicações da sucessão de Fibonacci, ou mesmo da razão áurea, tais como O Nautilus, a razão entre as diversas confi gurações de uma borboleta, a razão entre os ossos de cada membro do nosso corpo, as simetrias dos animais e plan-tas, a simetria do nosso rosto, em odontologia a Peri ontologia é baseada na razão áurea, movimentos de frequência na física etc.

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1. Diagramas de Venn

Interseção: Se dois conjuntos quaisquer possuem elementos em comum, estes formam a interseção destes conjuntos. A ∩ B = {x / x ∈ A e x ∈ B}

Exemplos: Propriedades

A B

A ∩ B

AB

A ∩ B = B

A B

A ∩ B = ∅

1) A ∩ A = A2) A ∩ ∅ = ∅3) A ∩ B = B ∩ A

União: Dados dois conjuntos quaisquer, a união destes conjuntos é agrupar em um só conjunto os elementos de ambos os conjuntos. A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B}

Capítulo 2

Conjuntos e suas Aplicações

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Exemplos: Propriedades

A B

A ∪ B

AB

A ∪ B = A

A B

A ∪ B

1) A ∪ A = A2) A ∪ ∅ = A3) A ∪ B = B ∪ A

Diferença: Dados dois conjuntos quaisquer, a diferença entre eles é tirar do primeiro os elementos comuns aos dois. A – B = { x / x ∈ A e x ∈ B }

Exemplos: Observação

A B

A - B

AB

A - B

A B

A - B

B ⊂ A então (A – B) é o conjunto complementar de B em relação a A.

CAB = A – B com

B ⊂ A

Exercícios

8. (CESGRANRIO) Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B; exa-tamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60%, o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que lêem ambos?

9. Numa escola de 870 alunos, 450 deles estudam Finanças, 320 estudam Lógica e 110 deles estudam as duas matérias (Finanças e Lógica). Pergunta-se:a. quantos alunos estudam APENAS Finanças?b. quantos alunos estudam APENAS Lógica?c. quantos alunos estudam Finanças ou Lógica?d. quantos alunos estudam nenhuma das duas disciplinas?

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2. Dica de Resolução

Para resolvermos as questões de conjunto devemos antes demais nada ler atenta-mente o enunciado e iniciarmos a solução pelas interseções, para depois computar-mos os outros dados do problema.

Veja a questão e acompanhe a solução:

(FUNDEP) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que: » 210 pessoas compram o produto A » 210 pessoas compram o produto B » 250 pessoas compram o produto C » 20 pessoas compram os 3 produtos » 100 pessoas não compram nenhum dos 3 » 60 pessoas compram os produtos A e B » 70 pessoas compram os produtos A e C » 50 pessoas compram os produtos B e C

Quantas pessoas foram entrevistadas?

a. 670.b. 970.c. 870.d. 610.

Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:

A

100

150

50 3020

40 120

B

C

Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevista-dos (letra d).

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E se perguntássemos o seguinte: Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela

seja:

a. Consumidora de apenas um dos produtos?

P1370

610

37

61= =

b. Consumidora de no mínimo 02 produtos?

P2140

610

14

61= =

3. Problema da Pizza e do Prof. Délio

Neste bloco trabalharemos com a primeira lei da lógica que é a Lei da Exclusão, ou seja, só existem dois valores: certo ou errado; gosto ou não gosto; verdade ou mentira etc. Na questão a seguir podemos resolvê-la usando esta ideia:

(FUNDEP) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram: » 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; » 78% do total de entrevistados gostam de pizza; » 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.

Então, é correto afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcenta-gem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, dea. 25%.b. 30%.c. 35%.d. 40%.

Solução: Quando somamos 82% + 78% + 75% = 235%, ou seja passam 135% de um

todo (100%) que é o equivalente às interseções de choc. com pizza e com batata (a flor do centro); porém ao somarmos dois a dois como se os alunos sempre consumissem no mínimo dois tipos de alimento, teremos:

82 + 75 = 157%, passou 57%

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82 + 78 = 160%, passou 60% 75 + 78 = 153%, passou 53%

Somando agora o que passou obtemos 170% e deveria ser 135%, como acha-mos acima, logo 35% “estão repetidos”, ou seja, consomem os três alimentos, no mínimo.

Ou ainda usando a lei da exclusão, acompanhe a explicação.

Questão das Férias do Prof. Délio em Cabo Frio No último verão, o professor Délio passou com sua família alguns dias na

praia. Houve sol pela manhã em 7 dias e sol à tarde em 12 dias. Em 11 dias houve chuva e se chovia pela manhã, não chovia à tarde. Quantos dias o professor Délio passou na praia?a. 11.b. 12.c. 13.d. 14.e. 15.

Ma7̂ : Esta dica serve apenas para este estilo de problema: É só somarmos tudo e o resultado dividirmos por 2:

7 + 12 + 11 = 30 → 30 : 2 = 15 dias

4. Conjuntos e Sistemas Lineares

Neste bloco vamos resolver questões importantes de conjuntos que utilizam álgebra linear na solução, ou seja, o problema requer um pré-requisito de álgebra para a solução. Na resolução de problemas deste tipo devemos utilizar apenas ope-rações aritméticas simples, para não alterar a dimensão do problema, ou seja, apenas operações lineares, como soma, subtração e multiplicação por uma constante, não alterando assim a grandeza em questão.

Veja a solução da questão abaixo:

(Valéria Lanna) Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que fre-quentam, pelo menos, uma das três livrarias, A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados: » das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 28 não frequentam as demais; » das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 não frequentam as demais;

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» das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 não frequentam as demais; » oito pessoas frequentam as três livrarias.

a. Determine o número de pessoas que frequentam apenas uma das livra-rias.

b. Determine o número de pessoas que frequentam, pelo menos, duas li-vrarias.

c. Determine o número total de pessoas ouvidas.

Solução:

x

8

y z

24

28 26

BA

C

De acordo com diagrama acima teremos:

28 8 90

26 8 84

24 8 86

+ + + =

+ + + =

+ + + =

x y

x z

y z

x y

x z

y z

+ =

+ =

+ =

54

50

54

efetuando as operações teremos

se somarmos todas as 03 equações teremos:

2x + 2y + 2z = 158

x y z

z

y

x

+ + =

+ =

+ =

+ =

=

=

=

79

54 79

50 79

54 79

logo

z 25

y 29

x 25

R1) 28 + 26 + 24 = 78 pessoasR2) x + y + z + 8 = 79 + 8 = 87 pessoasR3) 78 + 87 = 165 pessoas

Resp.:a) 78. b) 87. c) 165.

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Exercício

10. Na compra de equipamentos para um grupo de técnicos, foram gastos R$ 1.040,00 em 4 arquivos, 3 cavaletes e 2 walkie talkie; logo depois foram gastos R$ 1.000,00 na compra de 2 arquivos, 3 cavaletes e 4 walkie talkie. Para adquirir um objeto de cada, ou seja, uma arquivo, um cavalete e um walkie talkie serão necessários:a. R$ 324,00.b. R$ 360,00.c. R$ 280,00.d. R$ 340,00.e. R$ 420,00.

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1. Problema do Diofanto e do Jack Bauer

Neste bloco vamos introduzir as duas outras leis básicas da lógica:

1ª lição: Leia com atenção o texto e preste atenção nas entrelinhas, aqui o nosso português é top de linha!!!

Desafi o: Numa brincadeira na escola de Diofanto, ele deve retirar o menor nú-mero possível de frutas (sem ver) de uma das três caixas rotuladas da seguinte ma-neira: maçã, pera e maçã e pera, onde os rótulos estão todos fora de ordem. Quantas frutas ele deve retirar para colocar os rótulos nas caixas corretas e de qual(ais) caixa(s) ele deve fazê-lo?

Desafi o: O agente da UCT, Jack Bauer foi entregue ao terrorista Abu Fayed, e o terrorista disse: “Diga uma frase para salvar sua vida: Se ela for verdadeira, nos te fuzilamos; porém se for falsa, nos te enforcamos.”

Jack Bauer pensou rapidamente, disse a frase e saiu livre e vivo, como sempre...

Capítulo 3

Princípios Básicos da Lógica

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Diga-me então: – Qual foi a frase dita por Jack ?

2ª lição: “Se nós quisermos atingir resultados nunca antes atingidos, devemos utilizar métodos nunca antes utilizados”, ou seja, jogar a verdade contra a mentira, ou mesmo induzir a pessoa ao erro ou a uma contradição é a coisa mais lógica a se fazer...

2. Verdade X Mentira: Indução ao Erro

Quando estamos diante de uma situação onde não podemos concluir a verdade eminente, procuramos algo ou fala contraditória, caso ao exista, utilizamos o prin-cípio da contradição, ou indução ao erro. No problema do Julgamento Final, como um guardião fala apenas a verdade e o outro, apenas a mentira, induzimos um deles à resposta do outro.

O Dia do Julgamento FinalSegundo uma antiga lenda, quando morremos nos deparamos com dois guar-

diões que estão à frente de duas portas: uma nos leva ao céu e a outra ao inferno. Não sabemos qual porta é qual, sabemos apenas que um dos guardiões diz sempre a verdade e outro mente sempre, mas também não sabemos qual é qual? Qual a pergunta (e uma só pergunta) que devemos fazer para que possamos desfrutar de uma vida eterna no céu?

Comentário: (Adaptada do livro “O homem que calculava”). Você está numa cela onde existem duas portas, cada uma vigiada por um guarda. Existe uma porta que dá para a liberdade, e outra para a morte. Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma pergunta a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um dos guardas sempre fala a verdade, e outro sempre mente e você não sabe quem é o mentiroso e quem fala a verdade. Que pergunta você faria? Resposta – “Se você fosse o seu colega, qual porta você me indicaria?” A reposta será exatamente o contrário do que se fará. Porta esquerda = Liberdade.Porta direita = Morte.

Se fala a verdade = Porta direita → Contrário → Porta esquerda.

Se fala a mentira = Porta direita → Contrário → Porta esquerda.

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3. Estruturas Lógicas

Definição de Lógica: Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos.

Para Aristóteles a lógica é um instrumento para o exercício do pensamen-to e da linguagem, oferecendo-lhes meios para realizar o conhecimento e o discurso e não uma ciência teorética, nem prática nem produtiva, mas um instrumento para as ciências, para o conhecer. O objeto da lógica para Aristóteles é a proposição, que exprime, por meio da linguagem, os juízos formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito. A verdade pode sofrer uma série de conceituações. (Maciel Neto)

Vejamos as consequentes:

» Verdade lógico-formal: é a que se refere à coerência na estrutura do raciocínio quanto às conclusões alcançadas, obedecendo a princípios formais do pensa-mento e segundo enunciados estabelecidos, a partir dos quais se desenvolve o pensamento que expressa uma nova proposição, um novo enunciado ou uma nova verdade. Assim, a verdade lógico-formal é a eu representa acordo com as leis do pensamento, a partir de princípios ou definições anteriormente estabelecidos.

» Verdade objetiva: é a que se refere à conformidade do conhecimento com a coisa conhecida ou a “conformidade do pensar com o ser”. Se digo que o dia está nublado, é preciso que, no instante que faça tal afirmação o céu esteja, realmente, nublado.

» Verdade ontológica, metafísica ou do ser: é a que se refere à essência mesma das coisas. Quando digo que a manteiga é pura, quero dizer que não foi acres-cido nenhum elemento estranho, mas que só contém a natureza própria da manteiga. Em outras palavras, exprime o ser das coisas, correspondendo exa-tamente ao nome que se lhe dá.

» Verdade moral: é a que se refere ao agir, à “conformidade da expressão oral com a mente”, podendo receber o nome também de veracidade. A verdade moral significa a correspondência entre a expressão do pensamento e o pen-samento.

O erro, em Lógica, chama-se falsidade. Em Moral, quando a pessoa erra cons-cientemente, chama-se mentira. O erro pode ter causa lógica, psicológica ou moral.

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» Proposição: Vem de “propor”, que significa submeter à apreciação; requerer em juízo, vem do latim prõpõnere. Logo, proposição é uma frase a ser julgada. Toda proposição apresenta três características obrigatórias: sendo oração, tem sujeito e predicado;· é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é falsa (F).

Exercício

11. (UNB/2007) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.a. “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”b. A expressão X + Y é positiva.c. O valor de 4 + 3 = 7.d. Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.e. O que é isto?

4. Premissas e Silogismo

Um termo pode também ser considerado em função ao enunciado de um juízo e no papel que desempenha em um silogismo.

Juízo: O juízo representa o ato em que o pensamento afirma ou nega uma coisa de outra. O pensamento apreende no universo lógico de duas ideias e as aproxima. A seguir, procede a uma comparação, da qual resultará um julgamento de conveni-ência ou inconveniência entre as duas ideias. Este julgamento do pensamento é a essência do juízo. Nele reside todo o valor deste ato intelectual. O juízo processa-se em três fases: apreensão das ideias, comparação das mesmas e julgamento da con-veniência e inconveniência de uma com a outra. O juízo em si não é verdadeiro nem falso, mas possível ou impossível. Possível quando as ideias comparadas não são contraditórias, e impossível quando o são. Assim, o juízo “João é inteligente” é possível, e o juízo “O círculo é quadrado” é impossível.

PremissaDo latim: praemissa Cada uma das duas proposições de um silogismo.

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Exercício

12. (UnB/Agente/PF/2004) Uma noção básica da lógica é a de que um argu-mento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem ver-dadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. ( ) Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.( ) Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.( ) Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.( ) É válido o seguinte argumento: Todo cachorro é verde, e tudo que é

verde é vegetal, logo todo cachorro é vegetal.

SilogismoDo latim: syllogismus Dedução formal tal que, postas duas proposições, chamadas premissas, delas se

tira uma terceira, nelas logicamente implicada, chamada conclusão.

Exemplo:

Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem cheios de buracos. Quanto mais queijo, mais buracos. Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo. Assim, quanto mais buracos, menos queijo. Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais queijo, menos queijo.

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1. Apresentação

Conectivos lógicos São expressões que servem para unir duas proposições ou transformar uma pro-

posição formando uma nova proposição.Os conectivos lógicos básicos são: não, e, ou, se ... então, e se e somente se.

As Tabelas VerdadeA lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser

formulados como segue:

» Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. » Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é ne-gação da outra), uma delas é falsa.

» Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.

Capítulo 4

Construção da Tabela – Conjunção e Disjunção

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Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou fal-sas – sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. Ao analisarmos uma proposição ela poderá ser verdadeira ou falsa, assim podemos construir o corpo de uma tabela-verdade.

A B

V V

V F

F V

F F

E continuando, se tivermos 03 proposições teríamos uma tabela de 08 linhas, pois seriam 2 x 2 x 2 = 8 possibilidades de valorações das proposições.

ConjunçãoA conjunção A ∧ B é verdadeira se A e B são ambas verdadeiras; se ao menos

uma delas for falsa, então A ∧ B é falsa.Este critério está resumido na tabela-verdade

A B A ∧ B

VVFF

VFVF

VFFF

DisjunçãoA disjunção A ∨ B é verdadeira se ao menos uma das proposições A ou B é ver-

dadeira; se A e B são ambas falsas, então A ∨ B é falsa.Este critério está resumido na tabela-verdade

A B A ∨ B

VVFF

VFVF

VVVF

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Exercício

13. (UnB/Analista/TRT-1ªR./2008) Considere que são V as seguintes proposições: – “Se Joaquim é desembargador ou Joaquim é ministro, então Joaquim é

bacharel em direito”; – “Joaquim é ministro”.

Nessa situação, conclui-se que também é V a proposiçãoa. Joaquim não é desembargador.b. Joaquim não é desembargador, mas é ministro.c. Se Joaquim é bacharel em direito então Joaquim é desembargador.d. Se Joaquim não é desembargador nem ministro, então Joaquim não é

bacharel em direito.e. Joaquim é bacharel em direito.

2. Condicional: Valéria Falou tá Falado

CondicionalAinda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições atra-

vés do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais:

» o condicional se ... então.... (símbolo: →); » e o bicondicional ... se, e somente se ... (símbolo: →).

O condicional se A, então B (A → B) é falso somente quando A é verdadeira e B é falsa; caso contrário A → B é verdadeiro.

Dica: “A condicional só será falsa no valéria falou tá falado”

Veja a tabela-verdade correspondente à proposição A → B:

A B A → B

VVFF

VFVF

VFVV

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Exemplos

01. A: O sol é uma estrela (V) B: A lua é uma estrela (F) A →  B: O sol é uma estrela então a lua é uma estrela é uma proposição falsa.

02. A: A terra é quadrada (F) B: Miguel é especial A → B: A terra é quadrada então Miguel é especial será sempre verdadeira

independentemente do valor lógico de B.

(ESAF-AFC-2000) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casa-mento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderleia viajou. Se Vanderleia via-jou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo:a. Vera não viajou e Carla não foi ao casa mento.b. Camile e Carla não foram ao casamento.c. Carla não foi ao casamento e Vanderleia não viajou.d. Carla não foi ao casamento ou Vanderleia viajou.e. Vera e Vanderleia não viajaram.

Solução: A última conclusão que iremos extrair, com base no nosso quadro--resumo que rege a estrutura em tela, é a seguinte:

Agora, resta-nos elencar as conclusões todas do nosso raciocínio. Foram as seguintes:

  → O navio não afundou. (premissa incondicional, “verdade” do enunciado);  → Vanderleia não viajou. (conclusão da terceira proposição);  → Carla foi ao casamento. (conclusão da segunda proposição);  → Vera não viajou. (conclusão da primeira proposição).

Daí, compararemos nossas conclusões acima com as opções de resposta. E chegamos, enfim, à resposta da questão, que é a opção E (Vera e Vanderleia não viajaram).

(TCU – 1999) Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo:a. Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia b. Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia

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c. Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatrizd. Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatrize. Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz

Daí, as conclusões que extrairemos do nosso raciocínio são as seguintes:

  → Beto não briga com Bia. (“premissa incondicional”);  → Bia não vai ao bar. (conclusão da terceira premissa);  → Beatriz não briga com Bia. (conclusão da segunda premissa);  → Beraldo não briga com Beatriz. Em comparação com as opções de resposta, concluímos que a resposta cor-

reta será o item C (“Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz”).

3. Problema dos Engenheiros do Hawai

Analise agora...

Na música do Engenheiros do Hawaii ...“Crimes perfeitos não deixam suspeitos” (Humberto Gessinger):é verdadeira, logo:

» Renato cometeu um crime. » Renato é suspeito. » Logo o crime não foi perfeito.

Exercício

14. (Delegado da Polícia Civil/Es) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução lógica é uma sequência de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclu-são. Considerando essas informações, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições.

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Considere a seguinte sequência de proposições:a. (1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso.b. (2) O criminoso não foi preso.c. (3) Portanto, o crime foi perfeito.d. Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão,

é verdadeira, e a sequência é uma dedução lógica correta.

Crime perfeito

Criminoso não preso

Não perfeito e não preso

Comentário: Condição sufi-ciente não é condição neces-sária. Mesmo que o criminoso não seja preso, isso não signi-fica que o crime foi perfeito, já que o crime imperfeito pode levar a um criminoso não preso. Se A então B: A é condição suficiente para que B ocorra, mas não necessária. Condição necessária é A ↔ B.

Diagrama

A → B

Se A, então B.

A ↔B.

Se A e só se B

(ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não

velejo. Assim,a. estudo e fumo.b. não fumo e surfo.c. não velejo e não fumo.d. estudo e não fumo.e. fumo e surfo.

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Solução:

V

F

VF

V

F

Surfo

Velejo

FumoEstudo

Não estudo

Portanto surfo e fumo. Letra E

Não surfo

ou

ou

ou

4. ESAF: Diagramas / Negação

Outra maneira de abordarmos a condicional é com o uso de diagramas comparativos:

A

A e B A ou B A → B

B A B B

Na condição (A→ B), negando a existência do conjunto maior (B), será condi-ção suficiente para a inexistência do conjunto menor (A).

(ESAF) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, com-preendo. Se é feriado, não desisto. Então,a. se jogo, não é feriado.b. se não jogo, é feriado.c. se é feriado, não leio.d. se não é feriado, leio.e. se é feriado, jogo.

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Veja a solução da questão com o uso dos diagramas.

Negação A proposição ~A tem sempre valor oposto de A, isto é, ~A é verdadeira quando A é falsa e ~A éfalsa quando A é verdadeiraNão “par vezes” = Não do não → Sim.Não “ímpar vezes” = Não do não do não → Não.

A ~A

V F

F V

~(A ∧ B) = ~A ou ~B

A B A ∧ B ~ (A ∧ B) ~A ~B ~A ou ~B

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

5. Negação de uma Condicional

Obs.: A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partirmos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão – ~(A → B) = A ∧ ~B.

A B ~A ~B A → B ~(A → B) A∧~B ~A → ~BV V F F V F F VV F F V F V V VF V V F V F F FF F V V V F F V

Por exemplo para negar a frase:

Se você jogar na Mega você ganhará.

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A negação será:

Você jogou na Mega e não ganhou.

Exercício

15. (Guarda Portuário / RJ) Se Marta pratica esporte, então ela é saudável. Mas Marta não pratica esporte. Logo, baseados somente nessas informações, po-demos concluir que:a. Ela é saudável;b. Ela não é saudável;c. Alguém não pratica esporte;d. Ninguém é saudável.

Resumindo:A negação do valor lógico da conjunção (e) é o valor lógico da disjunção (ou).A negação do valor lógico da disjunção (ou) é o valor lógico da conjunção (e).

A B A ∧ B A ∨ B ~A ~B (~A) ∨ (~B) (~A) ∧ (~B)

V V V V F F F F

V F F V F V V F

F V F V V F V F

F F F F V V V V

A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.

» ~ (A → B) = A ∧ (~B). » ~ (A → B) ≠ (~A) → (~B). » ~ (A → B) ≠ (~B) → (~A).

A B A→B ~(A→B) ~A ~B (~A)→(~B) A^(~B) (~B)→?(~A)

V V V F F F V F V

V F F V F V V V F

F V V F V F F F V

F F V F V V V F V

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Proposição Equivalente da Negação

A e B Não A ou não B

A ou B Não A e não B

*Se A então B A e não B

**A se e somente se B (↔) (A e não B) ou (B e não A)

Todo A é B Algum A não é B

Algum A é B Nenhum A é B

6. Tabela de Negações – Diagramas

Proposição Negação direta Equivalente da Negação

A e B Não (A e B) Não A ou não B

A ou B Não (A ou B) Não A e não B

Se A então B Não (se A então B) A e não B

A se e somente se B Não (A se e somente se B) (A e não B) ou (B e não A)

Todo A é B Não (Todo A é B) Algum A não é B

Algum A é B Não (Algum A é B) Nenhum A é B

» Obs.: Para negar o todo, basta ter uma exceção. » Obs.: Para negar algum, deve-se negar o todo.

A negação da proposição: Todo ser vivo é mamífero, é a proposição: nem todo ser vivo é mamífero ou, Existe, pelo menos, um ser vivo que não é mamífero; A negação da proposição: Tenho 1,80m de altura e você está pisando no meu pé é: Não tenho 1,80 m de altura ou você não está pisando no meu pé;

A negação da proposição: 3 + 5 = 8 é a proposição: 3 + 5 ≠ 8;Se p é a proposição: Existe um homem que é mortal, então a negação de p é a

proposição: ~p dada por Não existe um homem que seja mortal, ou ainda: Nenhum homem é mortal.

A negação de 3 > 1 é 3 ≤ 1;A negação de x ≥ 2 é x < 2;A negação de y < 5 é y ≥ 5;A negação de x ≤ 6 é x > 6

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Exercícios

16. Sejam p e q duas proposições. A negação de p ∧ ~q equivale a:a. ~p ∧ ~qb. ~p ∧ ~qc. ~p ∧ qd. ~p ∧ qe. p ∧ ~q

17. A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é:a. Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá.b. Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá.c. Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá.d. Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá.e. Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá.

7. Problema do Plog e Dica em Diagramas usando Equivalência

Questão com uso de diagramas e negações:

Ou PLOG = BLOG, ou CLOG = DLOG, ou EGLE = FLOG. Se GLOG = HUGLI, então EGLE = FLOG. Se CLOG = DLOG, então GLOG = HUGLI. Ora, EGLE ≠ FLOG, então:a. CLOG = DLOG ou GLOG = HUGLIb. PLOG ≠ BLOG e CLOG ≠ DLOGc. CLOG ≠ DLOG e GLOG = HUGLId. PLOG = BLOG e CLOG ≠ DLOG e. CLOG = DLOG ou PLOG ≠ BLOG

Resposta: Se Valéria não fala italiano, então Marcelo fala alemão. Se Valéria fala ita-

liano, então ou Waltinho fala chinês ou Nestor fala dinamarquês. Se Nestor fala dinamarquês, Leonardo fala espanhol. Mas Leonardo fala espanhol se e somente se não for verdade que Juliana não fala francês. Ora, Juliana não fala francês e Waltinho não fala chinês.

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Logo,a. Valéria não fala italiano e Nestor não fala dinamarquês.b. Waltinho não fala chinês e Nestor fala dinamarquês.c. Juliana não fala francês e Leonardo fala espanhol.d. Marcelo não fala alemão ou Valéria fala italiano.e. Marcelo fala alemão e Nestor fala dinamarquês.

Resolução: A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visu-alização de todo o problema: Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações:

Juliana não fala francês. Waltinho não fala chinês. Leonardo não fala espanhol. Nestor não fala dinamarquês. Valéria não fala italiano. Marcelo fala alemão.

Resposta: alternativa A.

Exercício 18. (CESPE) Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é

denominada proposição. Considere que A e B representem proposições bási-cas e que as expressões A ∨ B e ¬A sejam proposições compostas.

A proposição A ∨ B é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ¬A é F quando A é V, e é V quando A é F. De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir.

( ) (UnB/Agente/MPE/AM/2008) Se a proposição A for F e a proposição (¬A) B for V, então, obrigatoriamente, a proposição B é V.

(~A) ∨ B = V. B poderá ser V ou F, sendo incorreto afirmar.

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8. Questões da CESPE – Trabalho Conectivos na Linguagem Corrente

(CESPE) Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é denominada proposição. Considere que A e B representem proposições básicas e que as expressões A ∨ B e ¬A sejam proposições compostas.

A proposição A ∨ B é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ¬A é F quando A é V, e é V quando A é F. De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir.

( ) (UnB/Agente/MPE/AM/2008) Independentemente da valoração V ou F atribuída às proposições A e B, é correto concluir que a proposição ¬(A ∨  B) ∨ (A ∨ B) é sempre V.

Construção da tabela:A B A v B ~(A v B) ~(A v B) v (A v B) ~ (A v B) ∧ (A ~B)

V V V F V F

V F V F V F

V F V F V F

F V V F V F

F F F V V F

» Obs.: Sempre haverá um (V) nas hipóteses.( ) (UnB/Agente/MPE/AM/2008) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam

rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa “algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.

Item CERTO( ) (UnB/Analista/SEBRAE/2008) A proposição “João viajou para Paris e

Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. Correto. São duas proposições simples, cada uma com um verbo.

( ) (UnB/Analista/SEBRAE/2008). A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”. Errado. A negação é “Alguém aqui é brasiliense”.

Proposição Equivalente da Negação

Todo A é B Algum A não é B

Algum A é B Nenhum A é B

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Exercício

19. (NCE/Téc./MAPA/2005) A negação da afi rmativa “Me caso ou compro sor-vete” é:a. me caso e não compro sorvete.b. não me caso ou não compro sorvete.c. não me caso e não compro sorvete.d. não me caso ou compro sorvete.e. se me casar, não compro sorvete.

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1. Tabela Base e Dica do Sorvete

Tabela Base

A B A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

» Dica 01: A e B = A ∧ B → só será verdadeira se A e B forem verdadeiras, caso contrário será sempre falsa.

» Dica 02: A ou B = A ∧ B → só será falsa se A e B forem falsas, caso contrário será sempre verdadeira.

Capítulo 5

Conectivos: Dicas e Construções

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Dica do Sorvete: Existem os sorvetes A e B. Quero tomar a) Sorvete A e B; b) Sorvete A ou B.

Sorvete A Sorvete B Sorvete A e B (Conjunção)

Sorvete A ou B(Disjunção)

V V V V

V F F V

F V F V

F F F F

Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é verdadeiro, então do ponto de vista lógico, podemos dizer que:

“Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista”.“Se Paulo não é paulista, então Pedro não é pedreiro”.

Mas dizer que:

“Pedro é pedreiro e Paulo não é paulista” é uma falsidade.

2. O ou Exclusivo e Inclusivo

Alguns A são BAlguns B são A

A ou B →

A = B →

A e B →

Se A, então B → A

A B

B

A B

A é condição suficiente para que B ocorra. A se somente se BTodo A é B, mas nem todo B é A.

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Exercício 20. Sou amiga de Bob ou sou amiga de Dylan. Sou amiga de Marley ou não sou

amiga de Bob. Sou amiga de Kaleb ou não sou amiga de Dylan. Ora, não sou amiga de Kaleb. Assim,a. não sou amiga de Marley e sou amiga de Bob.b. não sou amiga de Kaleb e não sou amiga de Marley.c. sou amiga de Bob e amiga de Marley.d. sou amiga de Dylan e amiga de Marley.e. sou amiga de Dylan e não sou amiga de Kaleb.

Relembrando a questão: (ANEEL – 2004 / ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não

estudo. Ora, não velejo. Assim,a. estudo e fumo.b. não fumo e surfo.c. não velejo e não fumo.d. estudo e não fumo.e. fumo e surfo.

Resposta: NV → NE → S → F.

Atenção: Quando uma condicional tem sua hipótese falsa, ou seja, o princí-pio é falsa, não interessa a conclusão, ela sempre será verdadeira.

3. Dica da Condicional

Condicional (condição suficiente) → para você se dar bem:

Você gosta Ele(a) gosta Relacionamento

V V V

V F F

F V V

F F V

Dica: livro Encontro Marcado: no final tudo acaba bem, se ainda não acabou, é porque não chegou ao fim.

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Alguns A são BAlguns B são A

A ou B →

A = B →

A e B →

Se A, então B → A

A B A B

A é condição suficiente para que B ocorra. A se somente se BTodo A é B, mas nem todo B é A.

Exercício

21. (Engenheiro do Trabalho – 1998) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é por-tuguês, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo:a. Pedro é português e Frederico é francês.b. Pedro é português e Alberto é alemão.c. Pedro não é português e Alberto é Alemão.d. Egídio é espanhol ou Frederico é francês.e. Se Alberto é Alemão, Frederico é francês.

Se Astrubal é amigo de Leôncio, então Salgado é amigo de Pedro. Se Salgado é amigo de Pedro, então Pedro é amigo do João. Se Pedro é amigo de João, então João é amigo de Dimitri. Se João é amigo de Dimitri, então Thales é amigo de Diego. Se Thales é amigo de Diego, então Nina é feia. Ora Nina não é feia.

» Ora Nina não é feia. » Então, » Thales não é amigo de Diego. » Logo, » João não é amigo de Dimitri. » Assim,

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» Pedro não é amigo de João. » Salgado não é amigo de Pedro. » Logo, » Astrubal não é amigo de Leôncio.

Resumindo: Se A então B = A → B, só será falsa Se A for verdadeira e B for falsa, ou seja, No Valéria Falou tá Falado. Por exemplo: Se sou botafoguense então você será reprovado, é falsa, pois, Valéria Falou tá Falado e você será aprovado. Se o gato late, então o cachorro mia, é verdadeira, pois falso implica em falso. Dizemos que A é condição suficiente para que B aconteça.

4. Dica da Condicional

Exercício

22. (ESAF/SERPRO/2001) Cícero quer ir ao circo, mas não tem certeza se o circo ainda está na cidade. Suas amigas, Cecília, Célia e Cleusa, têm opi-niões discordantes sobre se o circo está na cidade. Se Cecília estiver certa, então Cleusa está enganada. Se Cleusa estiver enganada, então Célia está enganada. Se Célia estiver enganada, então o circo não está na cidade. Ora, ou o circo está na cidade, ou Cícero não irá ao circo. Verificou-se que Cecília está certa. Logo,a. o circo está na cidade.b. Célia e Cleusa não estão enganadas.c. Cleusa está enganada, mas não Célia.d. Célia está enganada, mas não Cleusa.e. Cícero não irá ao circo.

Comentário: Cecília/Certa → Cleusa/Enganada → Célia/Enganada → Circo não está na cidade

ou = Verdadeiro

Cc Cnc

VF

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Atenção: Quando uma condicional tem sua hipótese falsa, ou seja, o princípio é falsa, não interessa a conclusão, ela sempre será verdadeira.

Veja a tabela-verdade Correspondente à proposição A → B:

A B A → B

VVFF

VFVF

VFVV

Exercício

23. (UnB/Analista/TRT-1ªR./2008) Tendo em vista as informações do texto I, considere que sejam verdadeiras as proposições:I. Todos os advogados ingressam no tribunal por concurso público;II. José ingressou no tribunal por concurso público;III. João não é advogado ou João não ingressou no tribunal por concurso

público.

Nesse caso, também é verdadeira a proposiçãoa. José é advogado.b. João não é advogado.c. Se José não ingressou no tribunal por concurso público, então José é

advogado.d. João não ingressou no tribunal por concurso público.e. José ingressou no tribunal por concurso público e João é advogado.

5. Termo Intermediário

Em uma proposição composta condicional, temos a ideia e a conclusão, sa-bendo que ela só será falsa se a “ideia’ for verdadeira e a “conclusão” for falsa, assim sendo sabemos que:

1. Se a ideia é verdadeira e a conclusão é verdadeira, a resposta será verdadeira; »“Se eu tenho lá dentro, então eu tenho lá fora”

2. Se a conclusão é falsa e a ideia é falsa, a resposta será verdadeira. »“Se negamos lá fora, então negamos lá dentro.”

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3. Se negamos a ideia, não necessariamente negamos a conclusão, ou seja, po-demos não termos a hipótese, mas mesmo assim chegarmos à conclusão, que denominei :”Sujeito Intermediário”.

»“Esta fora lá de dentro e dentro lá de fora”.

(Delegado da Polícia Civil/Es) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução [...].

Crime perfeito

Criminoso não preso

Não perfeito e não preso

Comentário: Condição sufi-ciente não é condição neces-sária. Mesmo que o criminoso não seja preso, isso não signi-fica que o crime foi perfeito, já que o crime imperfeito pode levar a um criminoso não preso. Se A então B: A é condição suficiente para que B ocorra, mas não necessária. Condição necessária é A ↔ B.

Diagrama

A → B

Se A, então B.

A ↔B.

Se A e só se B

Condição suficiente Condição necessária

(Petrobrás/2008) Considere as seguintes frases.I. Todos os empregados da PETROBRAS são ricos.II. Os cariocas são alegres.III. Marcelo é empregado da PETROBRAS.IV. Nenhum indivíduo alegre é rico.

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Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicações, julgue os itens que se seguem.( V ) Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar de não serem

ricos, são alegres.( V ) Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico.( F ) Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que é carioca.( F ) Alguns cariocas são ricos, são empregados da PETROBRAS e são

alegres.

A

A e B A ou B A → B

B A B B

Na condição (A → B), negando a existência do conjunto maior (B), será condição suficiente para a inexistência do conjunto menor (A).

6. Negação e Condicional: Princípio da Contradição

O juízo processa-se em três fases: apreensão das ideias, comparação das mesmas e julgamento da conveniência e inconveniência de uma com a outra. O juízo em si não é verdadeiro nem falso, mas possível ou impossível. Possível quando as ideias comparadas não são contraditórias, e impossível quando o são. Na questão que se segue vamos mostrar as possibilidades da condicional e que mesmo caindo em con-tradição podemos deduzir a resposta correta:

Se Fuinha é culpado, então Beraldo é culpado. Se Fuinha é inocente, então ou Beraldo é culpado, ou Rapadura é culpado, ou ambos, Beraldo e Rapadura, são culpados. Se Rapadura é inocente, então Beraldo é inocente. Se Rapadura é culpado, então Fuinha é culpado. Logo,

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a. Fuinha é culpado, e Beraldo é culpado, e Rapadura é culpado.b. Fuinha é culpado, e Beraldo é culpado, e Rapadura é inocente.c. Fuinha é inocente, e Beraldo é culpado, e Rapadura é culpado. d. Fuinha é culpado, e Beraldo é inocente, e Rapadura é inocente.e. Fuinha é inocente, e Beraldo é inocente, e Rapadura é inocente.

Resposta: alternativa A

6.1 Negação

A proposição ~A tem sempre valor oposto de A, isto é, ~A é verdadeira quando A é falsa e ~A é falsa quando A é verdadeira

» Não “par vezes” = Não do não → Sim. » Não “ímpar vezes” = Não do não do não → Não.

A ~A

V F

F V

7. Negação e suas Equivalências

NegaçãoA negação do valor lógico da conjunção (e) é o valor lógico da disjunção (ou).A negação do valor lógico da disjunção (ou) é o valor lógico da conjunção (e).

A B A ∧ B A ∨ B ~A ~B (~A) ∨ (~B) (~A) ∧ (~B)

V V V V F F F F

V F F V F V V F

F V F V V F V F

F F F F V V V V

» Dica 09: A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.

» ~ (A → B) = A ∧ (~B). » ~ (A → B) ≠ (~A) → (~B). » ~ (A → B) ≠ (~B) → (~A).

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A B A → B ~(A→B) ~A ~B (~A)→(~B) A∧(~B) (~B)→?(~A)

V V V F F F V F V

V F F V F V V V F

F V V F V F F F V

F F V F V V V F V

Proposição Equivalente da Negação

A e B Não A ou não B

A ou B Não A e não B

*Se A então B A e não B

**A se e somente se B («) (A e não B) ou (B e não A)

Todo A é B Algum A não é B

Algum A é B Nenhum A é B

*Exemplo – Se João toca violão, então Diego é alto. » Negação: João toca violão e Diego não é alto. » Equivalência: Se Diego não é alto então João não toca violão.

**Exemplo – João toca violão se e somente se Pedro cursa Direito. » Negação: João toca violão e Pedro não cursa direito (A e não B) ou Pedro cursa direito e João não toca violão (B e não A).

» Obs.: Para negar o todo, basta ter uma exceção. » Obs.: Para negar algum, deve-se negar o todo.

A negação da proposição: Todo ser vivo é mamífero, é a proposição: nem todo ser vivo é mamífero ou, Existe, pelo menos, um ser vivo que não é mamífero.

A negação da proposição: Tenho 1,80 m de altura e você está pisando no meu pé é: Não tenho 1,80 m de altura ou você não está pisando no meu pé.

A negação da proposição: 3 + 5 = 8 é a proposição: 3 + 5 ≠ 8.Se p é a proposição: Existe um homem que é mortal, então a negação de p é a

proposição: ~p dada por Não existe um homem que seja mortal, ou ainda: Nenhum homem é mortal.

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Maior ou menorA negação do maior é menor ou igual.A negação do menor é maior ou igual. » A negação de 3 >1 é 3 ≤ 1; » A negação de X ≥ 2 é X < 2; » A negação de Y < 5 é ≥ 5; » A negação de X ≤ 6 é X > 6.

8. Negação e suas Equivalências

A negação do E é OU e a negação do OU é E.

~(A ∧ B) = ~A ou ~B

A B A ∧ B ~ (A ∧ B) ~A ~B ~A ou ~B

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

» Obs.: A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partirmos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão – ~(A → B) = A ∧ ~B.

A B ~A ~B A → B ~(A → B) A∧~B ~A → ~B

V V F F V F F V

V F F V F V V V

F V V F V F F F

F F V V V F F V

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Exercícios

24. (ESAF) Sejam p e q duas proposições. A negação de p ∧ ~q equivale a:a. ~p ∨ ~q. b. ~p ∧ ~q.c. ~p ∨ q.d. ~p ∧ q.e. p ∨ ~q.

A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão. or exemplo para negar a frase: Se você jogar na Mega você ganhará → a negação será: Você jogou na Mega e não ganhou.

25. (Fiocruz-2010/FGV) A negação lógica da sentença “Se não há higiene então não há saúde” é:a. Se há higiene então há saúde.b. Não há higiene e há saúde.c. Há higiene e não há saúde. d. Não há higiene ou não há saúde.e. Se há saúde então há higiene.

26. (UnB/Analista/TRT-1ªR./2008) Proposições compostas são denominadas equivalentes quando possuem os mesmos valores lógicos V ou F, para todas as possíveis valorações V ou F atribuídas às proposições simples que as compõem.

Assinale a opção correspondente à proposição equivalente a “¬[[A ∧ (¬B)]→C]”.a. A ∧ (¬B) ∧ (¬C)b. (¬A) ∨ (¬B) ∨ Cc. C→[A ∧ (¬B)]d. (¬A) ∨ B ∨ Ce. [(¬A) ∧ B] → (¬C)

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27. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional “se estiver cho-vendo, eu levo o guarda-chuva” é:a. se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.b. não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. c. não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.d. se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.e. está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.

Resumindo: Para negar uma proposição condicional devemos reafirmar a ideia e negar a conclusão

9. Diagrama: seu Melhor Amigo

O uso dos diagramas na lógica transforma a linguagem corrente em simples gráficos envolvendo uma simbologia básica e clara. Apenas operando com os conec-tivos lógicos conseguimos, através destes, diferenciar condição suficiente de necessá-ria; negações e condicionais, assim como o uso da conjunção e da disjunção.

Alguns A são BAlguns B são A

A ou B →

A = B →

A e B →

Se A, então B → A

A B A B

A é condição suficiente para que B ocorra. A se somente se BTodo A é B, mas nem todo B é A.

Ou PLOG = BLOG, ou CLOG = DLOG, ou EGLE = FLOG. Se GLOG = HUGLI, então EGLE = FLOG. Se CLOG = DLOG, então GLOG = HUGLI. Ora, EGLE ≠ FLOG, então: a. CLOG = DLOG ou GLOG = HUGLIb. PLOG ≠ BLOG e CLOG ≠ DLOGc. CLOG ≠ DLOG e GLOG = HUGLId. PLOG = BLOG e CLOG ≠ DLOG e. CLOG = DLOG ou PLOG ≠ BLOG

Resposta: alternativa D.

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Exercício

28. Se Valéria não fala italiano, então Marcelo fala alemão. Se Valéria fala ita-liano, então ou Vinícius fala chinês ou Nestor fala dinamarquês. Se Nestor fala dinamarquês, Leonardo fala espanhol.

Mas Leonardo fala espanhol se e somente se não for verdade que Juliana não fala francês. Ora, Juliana não fala francês e Vinícius não fala chinês. Logo,a. Valéria não fala italiano e Nestor não fala dinamarquês.b. Vinícius não fala chinês e Nestor fala dinamarquês.c. Juliana não fala francês e Leonardo fala espanhol. d. Marcelo não fala alemão ou Valéria fala italiano. e. Marcelo fala alemão e Nestor fala dinamarquês.

A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visualização de todo o problema.

Logo, (ai vem a conclusão que é uma das alternativas): Ao todo são cinco premis-sas, formadas pelos mais diversos conectivos (SE ENTÃO, OU, SE E SOMENTE SE, E).Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira.

Exercício

29. No último domingo, Dorneles não saiu para ir à missa. Ora, sabe-se que sempre que Davidson dança, o grupo de Davidson é aplaudido de pé. Sabe

– se, também, que, aos domingos, ou Diofanto vai ao parque ou vai pescar na praia.

Sempre que Diofanto vai pescar na praia, Dorneles sai para ir à missa, e sem-pre que Diofanto vai ao parque, Davidson dança. Então, no último domingo, a. Diofanto não foi ao parque e o grupo de Davidson foi aplaudido de pé; b. o grupo de Davidson não foi aplaudido de pé e Diofanto não foi pescar

na praia; c. Davidson não dançou e o grupo de Davidson foi aplaudido de pé; d. Davidson dançou e seu grupo foi aplaudido de pé;e. Diofanto não foi ao parque e o grupo de Davidson não foi aplaudido de pé.

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10. Diagramas e Valorações Lógicas

O uso dos conectivos nas valorações lógicas requer apenas o conhecimento bá-sico das tabelas e suas respectivas valorações:

Tabela Base

A B A ∧ B A∨B A → B A ↔ B

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

Exercícios

30. Ou Lógica é fácil, ou Aramis não gosta de Lógica. Por outro lado, se Direito não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Aramis gosta de Lógica, então: a. Se Direito é difícil, então Lógica é difícil; b. Lógica é fácil e Direito é difícil; c. Lógica é fácil e Direito é fácil; d. Lógica é difícil e Direito é difícil; e. Lógica é difícil ou Direito é fácil.

31. Nas férias, Mônica não foi ao cinema. Sabe-se que sempre que Cebolinha viaja, Cebolinha fica feliz. Sabe-se, também, que nas férias, ou Cascão vai à praia ou vai à piscina. Sempre que Cascão vai à piscina, Mônica vai ao cinema, e sempre que Cascão vai à praia, Cebolinha viaja.

Então, nas férias,a. Cebolinha não viajou e Cebolinha ficou feliz; b. Cebolinha não ficou feliz, e Cascão não foi à piscina; c. Cascão foi à praia e Cebolinha ficou feliz;d. Cebolinha viajou e Mônica foi ao cinema; e. Cascão não foi à praia e Cebolinha não ficou feliz.

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32. (Concurso UFMG/tec administrativo/Fundep/2010) Considere as proposi-ções dadas abaixo.

A: 2 + 2 = 4 B: Nem sempre a semana tem 7 dias C: A palavra azul não começa com a letra a Considere as expressões:

X = (~A) ∧ (~ B) ∧ (~ C) Y = (~ A) ∨ (~ B) ∨ (~ C) Z = A ∨ B ∨ C

Dados X, Y e Z acima, pode-se afi rmar que (X ∨ Y ∨ Z) e (X ∧ Y ∧ Z) resultam, respectivamente, em

a. falso e falso; b. verdadeiro e verdadeiro; c. falso e verdadeiro.

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1. Bicondicional

O condicional A se e somente se B (A ↔ B) é verdadeira somente quando A e B são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer, a condicional ↔ é falsa.

BICONDICIONAL A se e somente se B A ↔ B

A B A ↔ B

V V V

V F F

F V F

F F V

» Dica: – Bi Condicional (condição necessária) ↔ para nós vivermos bem.

Capítulo 6

Valores Lógicos

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Você gosta Ele(a) gosta Relacionamento

V V V

V F F

F V F

F F V

A se e somente se B = A ↔ B, será verdadeira se A e B forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, caso contrário, ela será falsa. Dizemos que A é condição necessária para B e vice-versa. Por exemplo: Você vencerá se e só se você se esforçar, ou seja, só vence quem se esforça, quem esforça vence, assim esforço é condição necessária para você vencer.

(Engenheiro do Trabalho-1998) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e sufi-ciente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,a. D ocorre e B não ocorre.b. D não ocorre ou A não ocorre.c. B e A ocorrem. d. nem B nem D ocorrem.e. B não ocorre ou A não ocorre.

Exemplos: » A: 4 < 3 (F) » B: 5 < 2 (F) » A ↔ B: 4 < 3 se, e somente, se 5 < 2 é verdadeira.

» A: O sol é uma estrela (V) » B: A lua é uma estrela (F) » A ↔ B: O sol é uma estrela, se, e somente se, a lua é uma estrela, é uma proposição falsa.

“Um homem de 40 anos é um homem de meia idade, pois o trabalho já não dá muito prazer e o prazer dá muito trabalho!” ...entenderam?

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2. Tabela: Uso e Construção

Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é denominada proposição. Considere que A e B representem proposições básicas e que as expres-sões A ∨ B e ¬A sejam proposições compostas A proposição A ∨ B é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ¬A é F quando A é V, e é V quando A é F. De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir.

01. (UnB/Agente/MPE/AM/2008) Se a proposição A for F e a proposição (¬A)∨∨ B for V, então, obrigatoriamente, a proposição B é V.

Resposta: errada

02.(UnB/Agente/MPE/AM/2008) Independentemente da valoração V ou F atri-buída às proposições A e B, é correto concluir que a proposição ¬(A∨∨ B) ∨ (A∨∨ B) é sempre V.

Resposta: certa

03.(UnB/Agente/MPE/AM/2008) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam ra-pidamente” for considerada falsa, então a afirmativa “algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.

Resposta: certa

Resumindo Dentro do quadro de dicas destacaremos:

» Dica 01: A e B = A ∧ B → só será verdadeira se A e B forem verdadeiras, caso contrário será sempre falsa.

» Dica 02: A ou B = A ∨ B → só será falsa se A e B forem falsas, caso contrá-rio será sempre verdadeira.

» Dica 03: se A então B = A → B, só será falsa Se A for verdadeira e B for falsa, ou seja, No Valéria Falou tá Falado. Por exemplo:

Se sou botafoguense então você será reprovado, é falsa, pois, Valéria Falou tá Falado e você será aprovado. Se o gato late, então o cachorro mia, é verda-deira, pois falso implica em falso.

Dizemos que A é condição suficiente para que B aconteça.

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» Dica 04: A se e somente se B = A ↔ B, se rá verdadeira se A e B forem ambas verdadeiras ou ambas falsas, caso contrário, ela será falsa. Dizemos que A é condição necessária para B e vice-versa. Por exemplo: Você ven-cerá se e só se você se esforçar, ou seja, só vence quem se esforça, quem esforça vence, assim esforço é condição necessária para você vencer.

» Dica 05: Na frase: Se A então B, temos que A é condição suficiente para que B aconteça, mas não vice-versa. Na frase: A se e somente se B, A é condição necessária para que B aconteça e vice-versa.

» Dica 06: A negação da negação é a afirmação da proposição. Exemplo: Não fui eu não, então fui eu.Quando uma moça diz ao namorado:

»“Não amor...não quero, é porque ela quer!” → não duas vezes (um nú-mero par de vezes).

»“Não amor...não...não quero, é porque ela não quer!” → não três vezes (um número ímpar de vezes).

» Dica 07: A negação de A e B é: não A ou não B. Exemplo: A negação de: Você é alto e você está pisando no meu pé é: Você

não é alto ou você não está pisando no meu pé. » Dica 08: A negação de A ou B: é não A e não B.

A negação de Você é cruzeirense ou atleticano é: Você não é cruzeirense e você não é atleticano. (Você é Botafoguense!!!)

» Dica 09: A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a con-clusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.

Por exemplo, para negar a frase: Se você jogar na Mega você ganhará → a negação será: Você jogou na Mega e não ganhou.

» Dica 10: Não confundir: ~(A → B) = A ∧ ~B com ~A → ~B .

3. Valoração Lógica em Linguagem Corrente

Para trabalharmos com valores lógicos na linguagem corrente, basta substituir-mos as proposições simples por letras do alfabeto e os conectivos por seus respectivos símbolos. Por exemplo: Maria é alta e Joana é magra.

A: Maria é altaB: Joana é alta

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Então, a frase “Maria é alta e Joana é magra” pode ser representada por A ∧ B e assim por diante.

Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes.

04.(UnB/Analista/SEBRAE/2008) A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples.

Resposta: certa

05. (UnB/Analista/SEBRAE/2008) Toda proposição lógica pode assumir no mí-nimo dois valores lógicos.

Resposta: errada

06. (UnB/Analista/SEBRAE/2008) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.

Resposta: errada

07. (UnB/Analista/SEBRAE/2008) A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um exemplo de sentença aberta.

Resposta: errada

08.(UnB/Analista/SEBRAE/2008) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.

Resposta: certa

09. (UnB/Analista/SEBRAE/2008) A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”.

Resposta: errada

10. (NCE/Téc./MAPA/2005) A negação da afirmativa “Me caso ou compro sor-vete” é:a. me caso e não compro sorvete; b. não me caso ou não compro sorvete; c. não me caso e não compro sorvete;d. não me caso ou compro sorvete; e. se me casar, não compro sorvete.

Resposta: alternativa C.

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O uso da simbologia lógica em provas de concurso tem aumentado con-sideravelmente visando trabalharmos com a valoração lógica das mesmas, mostrando em seu teor que a linguagem corrente pode ser e é equivalente à linguagem formal, levando em conta apenas os valores lógicos das mesmas e o uso das tabelas.

Questão: Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente.

Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor--verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

12. (UnB/Agente/PF/2004) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição

(¬ P) ∨ (¬ Q) também é verdadeira. Comentário: Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a propo-

sição (~P) ∨ (~Q) também é verdadeira. Errado. (~P) ∨ (~Q) = F ∨ F = F (e não verdadeira).

Resposta: errada

13. (UnB/Agente/PF/2004) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.

Comentário: Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (~T) é falsa. Errado.

Resposta: errada

14. (UnB/Agente/PF/2004) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposi-ção R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira.

Comentário: Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (~Q) é verdadeira. Correto. (V ∧ F) → F ⇒ F → F = Verdadeiro.

Resposta: certa

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4. Valoração em Linguagem Simbólica (Tabelas-Verdade)

Para acharmos a equivalência de uma negação devemos considerar:

» A negação da negação é a afirmação da proposição. » A negação de A e B é: não A ou não B. » A negação de A ou B: é não A e não B. » A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.

Exercícios

33. (NCE/Cont./Radiobras/2004) Se não é verdade que todas as pessoas que con-somem sal terão hipertensão, então:a. as pessoas que consomem sal não terão hipertensão; b. as pessoas que não consomem sal terão hipertensão; c. há pelo menos uma pessoa que consome sal e não terá hipertensão; d. há pessoas que consomem sal e terão hipertensão; e. as pessoas que não consomem sal não terão hipertensão.

Comentário: Se não é verdade que todas as pessoas que consomem sal terão hipertensão, então:

Proposição Equivalente da Negação

Todo A é B Algum A não é B

Algum A é B Nenhum A é B

34. (Fiscal Trabalho/98) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:a. o jardim é florido e o gato mia; b. o jardim é florido e o gato não mia; c. o jardim não é florido e o gato mia;d. o jardim não é florido e o gato não mia; e. se o passarinho canta, então o gato não mia.

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35. (CESPE) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V), ou falsa (F), mas não V e F simultaneamente. Proposições simples são simbolizadas por letras maiúsculas A, B, C etc., chamadas letras proposicionais.

São proposições compostas expressões da forma A ∨ B, que é lida como “A ou B” e tem valor lógico F quando A e B forem F, caso contrário será sempre V; A ∧ B, que é lida como “A e B” e tem valor lógico V quando A e B forem V, caso contrário será sempre F; ¬A, que é a negação de A e tem valores lógicos contrários aos de A.

Considerando todos os possíveis valores lógicos V ou F atribuídos às proposi-ções A e B, assinale a opção correspondente à proposição composta que tem sempre valor lógico F.a. [A ∧ (¬B)] ∧ [(¬A) ∨ B] b. (A ∨ B) ∨ [(¬A) ∧ (¬B)] c. [A ∧ (¬B)] ∨ (A ∧ B) d. [A ∧ (¬B)] ∨ A e. A ∧ [(¬B) ∨ A]

Comentário: Considerando todos os valores V ou F atribuídos às proposições

A e B, assinale a opção correspondente a proposição que tem sempre o valor F. Alternativa A. Para a disjunção (“v”) para que um seja verdadeiro, basta que qualquer deles seja verdadeiro.

A B ¬A ¬B A ∧ (¬B) (¬A) ∨ B Tudo

V V F F F V F

V F F V V F F

F V V F F V F

F F V V F V F

Resposta: Alternativa A

Comentário: ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B

A B A ∧ B ¬ (A ∧ B) ¬A ¬B ¬A ou ¬B

V V V F F F F

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

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» Obs.: A negação de uma condicional é afirmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partirmos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão – ¬(A → B) = A ∧ ¬B.

A B ¬A ¬B A→B ¬(A→B) A ∧ ¬B ¬A→¬B

V V F F V F F V

V F F V F V V V

F V V F V F F F

F F V V V F F V

5. Valoração com uso Exclusivo de Tabelas

Questão de Concurso (Cespe) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V),

ou falsa (F), mas não V e F simultaneamente. Proposições simples são simbo-lizadas por letras maiúsculas A, B, C etc., chamadas letras proposicionais.

São proposições compostas expressões da forma A ∨ B, que é lida como “A ou B” e tem valor lógico F quando A e B forem F, caso contrário será sempre V; A ∧ B, que é lida como “A e B” e tem valor lógico V quando A e B forem V, caso contrário será sempre F; ¬A, que é a negação de A e tem valores lógicos contrários aos de A.

Assinale a opção correspondente à proposição composta que tem exatamente 2 valores lógicos F e 2 valores lógicos V, para todas as possíveis atribuições de valores lógicos V ou F para as proposições A e B.a. B ∨ (¬A) b. ¬(A ∧ B)c. ¬[(¬A) ∧ (¬B)] d. [(¬A) ∨ (¬B)] ∧ (A ∧ B) e. [(¬A) ∨ B] ∧ [(¬B) ∨ A]

Comentário: Assinale a opção que corresponde a proposição composta que tem exatamente 2 valores lógicos F e dois valores lógicos V, para todas as possibilidades [...]. Alternativa E: [(~A) ∨ B] ∧ [(~B) ∨ A].

A B ~A ~B ~A v B ~B v A Tudo

V V F F V V V

V F F V F V F

F V V F V F F

F F V V V V V

Resposta: alternativa E.

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(UnB/Analista/TRT-1ªR./2008) Com base nas informações do texto I, é cor-reto afi rmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por ¬[P→(¬Q)] possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por: a. (¬P) ∨ Q ; b. (¬Q) → P; c. ¬[(¬P) ∧ (¬Q)]; d. ¬[¬(P → Q)]; e. P ∧ Q.

Comentário: Com base nas informações do texto I, é correto afi rmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos P e a Q, uma proposição simboliza por ~[(P → (~Q)] possui os mesmos valores lógicos que a seguinte proposição: Alternativa E. A negação de uma condi-cional é afi rmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão (Dica 09). Sendo assim P ∧ Q.

Resposta: Alternativa E

(UnB/Analista/TRT-1ªR./2008) Considerando as defi nições apresentadas no texto anterior, as letras proposicionais adequadas e a proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção correspon-dente à simbolização correta dessa proposição.a. ¬(A ∧ B) b. (¬A) ∨ (¬B)c. (¬A) ∧ (¬B) d. (¬A) → B e. ¬[A ∨ (¬B)]

Comentário: Considerando as seguintes defi nições apresentadas no texto anterior, as letras proposicionais adequadas e a proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção correspondente à simbo-logia correta dessa proposição é (~A) ∧ (~B).

Resposta: Alternativa C

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1. Charada de Einstein

Os enigmas lógicos são feitos e desenvolvidos visando, junto aos diagramas, o treinamento da leitura codifi cada em dicas dispostas em ordem aleatória para que o aluno as organize em linhas e colunas, preenchendo as tabelas ou diagramas. Dizem – não há prova disso – que o próprio Einstein bolou o enigma abaixo, em 1918, e que pouca gente, além dele, conseguiria resolvê-lo. Então, esta é a sua chance de se comparar à genialidade do mestre.

Numa rua há cinco casas de cinco cores diferentes e em cada uma mora uma pessoa de uma nacionalidade.

Cada morador tem sua bebida, seu tipo de fruta e seu animal de estimação. A questão é: quem é que tem um peixe? Siga as dicas abaixo:

» Sabe-se que o inglês vive na casa vermelha; o suíço tem cachorros; o dinamar-quês bebe chá.

» A casa verde fi ca a esquerda da casa branca; quem come goiaba cria pássaros; o dono da casa amarela prefere laranja.

Capítulo 7

Enigmas Lógicos

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» O dono da casa verde bebe café; o da casa do centro bebe leite ; e o norueguês vive na primeira casa.

» O homem que gosta de abacate vive ao lado do que tem gatos; o que cria cavalos vive ao lado do que come laranja; e o que adora abacaxi bebe cerveja.

» O alemão só compra maçã; o norueguês vive ao lado da casa azul; e quem traz abacate da feira é vizinho do que bebe água.

Solução:

CASA 01 CASA 02 CASA 03 CASA 04 CASA 05

Amarela Azul Vermelha Verde Branca

Norueguês Dinamarquês Inglês Alemão Suíço

Água Chá Leite Café Cerveja

Laranja Abacate Goiaba Maçã Abacaxi

Gatos Cavalos Pássaros Peixe Cachorro

2. Problema do Político

Lógica de argumentaçãoNa Lógica argumentativa usamos perguntas, cujas respostas são óbvias para atra-

vés destas induzirmos o restante ao erro ou à verdade, por se só.

Questão: (FGV) – Os habitantes de certo país podem ser classificados em políticos e não políticos. Todos os políticos sempre mentem e todos os não políticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro, em visita ao referido país, encontra-se com 3 nativos, I, II e III. Perguntando ao nativo I se ele é político, o estrangeiro recebe uma resposta que não consegue ouvir direito. O nativo II informa, então, que I negou ser um político. Mas o nativo III afirma que I é realmente um político. Quantos dos 3 nativos, são políticos?a. zero.b. um.c. dois. d. nda.

Solução: Políticos = mentem Não políticos = verdade Nativo I = você é político????→ não deu para ouvir... Nativo II diz: I falou que não é político

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Nativo III diz: I é político Vamos jogar a verdade contra a mentira, usando o II e o III: Versão A. Se Nativo II fala a verdade (ele é não político), ele só repete o o nativo I diz... Se o Nativo I falou a verdade (ele não é político), logo o nativo III mente, daí

o Nativo III é político. Agora se o Nativo I falou a mentira, então ele é político e o nativo III fala a

verdade. Logo se o Nativo II fala a verdade temos um e apenas um político. Versão B. Vamos considerar que o Nativo II fala mentira (ele é político), então quando

ele diz que o nativo I falou que não é político (é mentira), logo o nativo I disse que é político e se ele é político, ele mente, o que é uma contradição, assim o nativo II não pode ter mentido, então vale a versão A.

Portanto temos apenas um político. Comentário: Falando a verdade ou mentira, a resposta do nativo I será sem-

pre “não político”. Portanto, II fala a verdade, e o nativo III fala a mentira (sendo um político), tornando o nativo I um não político. Numa ou noutra hipótese haverá sempre 01 político.

3. Desafio do U2 e Problema do Fenelon

Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las cor-retamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos. Outra definição interessante é a de Liard, que reconhece a Lógica como “ciência das formas do pen-samento”, formas essas que podem ser tomadas em sentido geral ou particular. Em sentido geral, temos a Lógica como ciência, estudando as leis formais do raciocínio, como procede e como pensa o nosso espírito; ao passo que em sentido particular, temos a Lógica estudando o modo de ser dessas leis na atividade do espírito, quando ele se aplica em alguma coisa. A lógica, como toda pesquisa filosófico-científico, gira em torno da verdade. Aliás, Aristóteles criou a Lógica como instrumento que mais seguramente o conduzisse à verdade. Aristóteles foi quem criou a lógica, o que ele chamava naquela época de analítica. Pois a palavra lógica só será conhecida no período helenístico. Para Aristóteles a lógica é um instrumento para o exercício do pensamento e da linguagem, oferecendo-lhes meios para realizar o conhecimento e

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o discurso e não uma ciência teorética, nem pratica nem produtiva, mas um instru-mento para as ciências, para o conhecer.

Ele oferece procedimentos que se referem a todas as coisas das quais possamos ter um conhecimento universal e necessário, seu ponto de partida não é opiniões contrárias, mas princípios, regras e leis necessárias e universais do pensamento.

Concerto do U2A banda U2 tem um concerto que começa daqui a 17 minutos e todos precisam

cruzar a ponte para chegar lá. Todos os 4 participantes estão do mesmo lado da ponte. Você deve ajudá-los a passar de um lado para o outro. É noite. Na ponte só pode passar no máximo duas pessoas de cada vez. Só há uma lanterna. Qualquer pessoa que passe, uma ou duas, deve passar com a lanterna na mão. A lanterna deve ser levada de um lado para o outro, e não pode ser jogada etc.

Cada membro da banda tem um tempo diferente para passar de um lado para o outro. O par deve andar junto no tempo do menos veloz:

Bono: 1 minuto para passar Edge: 2 minutos para passar Adam: 5 minutos para passar Larry: 10 minutos para passar

Por exemplo: se o Bono e o Larry passarem juntos, vai demorar 10 minutos para eles chegarem do outro lado. Se o Larry retornar com a lanterna, 20 minutos terão passados e o show sofrerá um atraso. Como organizar a travessia?

Solução:

Lado A Travessia Lado B

Adam e Larry Bono e Edge (2 minutos)

Adam e Larry Bono (1 minuto) Edge

Bono Adam e Larry (10 minutos) Edge

Bono Edge (2 minutos) Adam e Larry

Bono e Edge (2 minutos) Adam e Larry

Bono, Edge, Adam e Larry

Total 17 minutos

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Já na questão do Professor Fenelon, a cada dica necessitamos de outra, pois ainda permanecemos na dúvida, ou seja, a dúvida só prevalece porque temos mais de uma possível resposta, daí a necessidade da próxima dica, até que a última dica elimina por completo as outras opções.

Enfim, para que haja a certeza lógica a questão ou enunciado tem que nos for-necer todos os dados necessários para uma única solução, sem dúvidas ou suposições.

Problema do FenelonValéria quis saber do amigo enigmático Fenelon Portilho quais eram as idades

de seus três filhos. Ele deu a primeira pista:

» O produto de suas idades é 36. » Ainda não é possível saber, disse Valéria. » A soma das idades é o número da casa aí em frente. » Ainda não sei. » Meu filho mais velho é atleticano. » Agora já sei, afirmou Valéria.

Qual era o número da casa em frente?

Solução:

Possibilidades Somas Casa Idade

1 1 36 38

1 2 18 21

1 3 12 16

1 4 9 14

1 6 6 13 *

2 2 9 13 * 2,2,9

2 3 6 11

3 3 4 10

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1. Negação de uma Condicional – Parte I

Negação

A negação do valor lógico da conjunção (e) é o valor lógico da disjunção (ou).A negação do valor lógico da disjunção (ou) é o valor lógico da conjunção (e).

A B A ∧ B A v B ~A ~B (~A) ∨ (~B) (~A) ∧ (~B)

V V V V F F F F

V F F V F V V F

F V F V V F V F

F F F F V V V V

Capítulo 8

Negações: Simbologia

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Comentário:

A negação do E é OU e a negação do OU é E. A negação de uma condicional é afi rmar a ideia e negar a conclusão, ou seja,

partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.

Questão

1. ¬ [A ∨ B] = (¬ A) ∧ (¬ B)2. ¬ [A ∧ B] = (¬ A) ∨ (¬ B)3. ¬ [A → B] = A ∨ (¬ B) 4. ¬ [(A ∨ B) → C] =5. ¬ [A → (B ∨ C)] =6. ¬ [(A → B) → (B ∨ C)] =

2. Negação de uma Condicional – Parte II

» Dica – A negação de uma condicional é afi rmar a ideia e negar a conclusão, ou seja, partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.

» ~ (A → B) = A ∧ (~B). » ~ (A → B) ≠ (~A) → (~B). » ~ (A → B) ≠ (~B) → (~A).

Questão

7. ¬ [(A ∨ B) ∧ (C → D)] =8. ¬ [(¬ A) → (B ∧ C)] =9. ¬ [(A → B) ∨ (B → C)] =

Algumas considerações e lembretes:Negação de uma condicional. » ~(A ∧ B) = ~A ou ~B. » ~(A ∨ B) = ~A e ~B. » ~ (A → B) = A e ~B. » ~ (A ↔ B) = A ∧ (~B) ∨ (B ∧ (~A). » ~ (~A) = A.

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» ~ [ ~ (~A) ] = ~A. » ~ [ (A ∨ B) → C] = (A ∨ B) ∧ (~C). » ~ [ (A ∧ B) → C] = (A ∧ B) ∧ (~C). » ~ [ (A ∨ B) → (A ∧ B) ] = (A ∨ B) ∧ (~A) ∨ (~B). » ~ [ (~A) ∨ B ∧ (~C)] = A ∧ (~B) ∨ C. » ~ [ (~A → B) → (BàA) ] = (A → B) ∧ [B ∧ (~A)]. » ~ { [ A ∨ (~B) ] → [ (~A) → B ] } = [ A ∨ (~B) ] ∧ [ (~A) ∧ (~B) ].

3. Negação de uma Condicional – Parte III

Comentário: ~ ~ A ↔ A.10. ¬ [(A → B) ∧ (C → (¬ D))] = Comentário: A simbologia é meramente traduzível para a linguagem

corrente, basta substituirmos cada proposição por uma frase, por exemplo:

A: João toca violão. B: Pedro toca gaita. C: Henrique toca guitarra. C: Salgado toca bateria.

Traduzindo ¬ [(A → B) ∧ (C → (¬ D))] em linguagem corrente: A negação de “Se João toca violão então Pedro toca gaita e se Henrique toca

guitarra então Salgado não toca bateria”. Portanto, ao efetuarmos a negação simbólica: ¬ [(A → B) ∧ (C → (¬ D))] = ( A ∧ ¬ B) ∨ ( C ∧ D), fi ca, em linguagem

corrente: “João toca violão e Pedro não toca gaita ou Henrique toca guitarra e Salgado

toca bateria”.

11. ¬ [¬(A → B) → ((¬ B) → (¬ C))]=12. ¬ [(A → B) → (B → C)] =

Em resumo:

A negação do E é OU e a negação do OU é E. A negação de uma condicional é afi rmar a ideia e negar a conclusão, ou seja,

partimos de um mesmo princípio e não chegamos a uma mesma conclusão.

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1. Condição Sufi ciente e Necessária

Considerações:

Alguns A são BAlguns B são A

A ou B →

A = B →

A e B →

Se A, então B → A

B

A B A B

A é condição sufi ciente para que B ocorra. A se somente se BTodo A é B, mas nem todo B é A.

Capítulo 9

Equivalência

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ANPAD. Numa Vila afastada, chamada Vila 51, tem-se que “se um homem não é inteligente, então é bonito” e que “se é inteligente, então é pregui-çoso”. Com base nessas afirmações, pode-se concluir quea. homens inteligentes não são bonitos.b. homens que não são bonitos não são inteligentes.c. homens bonitos são preguiçosos.d. homens que não são bonitos são preguiçosos.e. homens bonitos não são inteligentes.

Comentário:

H/Não inteligente → Bonito » H/Não inteligente » H/Inteligente, bonito, preguiçoso » H/Inteligente, não bonito, preguiçoso.

Hni

Hb

Hi

HpInteligente → Preguiçoso. » H/Inteligente, preguiçoso. » H/Não inteligente, preguiçoso, bonito. » H/Não inteligente, não preguiçoso, bonito.

» Dica – Na frase: Se A então B, temos que A é condição suficiente para que B aconteça, mas não vice-versa. Na frase: A se e somente se B, A é condição necessária para que B aconteça e vice-versa.

Exercício

36. Marcelo não ir ao México é condição necessária para Stella ir à Suécia. Heberth não ir à Holanda é condição suficiente para Marcelo ir ao México. Stella não ir à Suécia é condição suficiente para Marcelo não ir ao México. Heberth ir à Holanda é condição suficiente para Stella ir à Suécia. Portanto:a. Heberth não vai à Holanda, Marcelo não vai ao México, Stella não vai

à Suécia.b. Heberth vai à Holanda, Marcelo vai ao México, Stella não vai à Suécia.c. Heberth não vai à Holanda, Marcelo vai ao México, Stella não vai à

Suécia.

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d. Heberth vai à Holanda, Marcelo não vai ao México, Stella vai à Suécia.e. Heberth vai à Holanda, Marcelo não vai ao México, Stella não vai à

Suécia

2. Equivalência de uma Condicional

Relações de equivalênciaRelações de equivalência são aquelas que possuem a mesma tabela verdade

(possuem o mesmo valor lógico). Quando p é equivalente a q, indicamos: p ↔ q. Obs.:

» Notemos que p equivale a q quando o condicional p ↔ q é verdadeiro. » Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência. » Hipótese ↔ tese.

(P → Q) ↔ (~Q → ~P)

P Q P → Q ~Q ~P ~Q→~P

V V V F F V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

Exemplo – Negação de uma condicional: = ~[(P ∧ Q) → R] ↔ (P ∧ Q ∧ ~R). Ou seja, afirma-se a ideia “(P ∧ Q)” e (∧) nega-se a conclusão (~R).

Obs.: Equivalências que mais caem em prova.

» P → Q é equivalente a ~Q → ~P (Nego lá fora, nego lá dentro). » P → Q é equivalente a ~P ∨ Q (Nego a primeira ou afirmo a segunda).

A proposição p → ~q é equivalente a:a. p v q.b. p v ~q.c. ~p → q.d. ~q → p.e. ~p v ~q.

Resposta: alternativa E.

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Comentário: P → Q é equivalente a ~Q → ~P ou P → Q é equivalente a ~P ∨ Q. Sendo assim: P → ~Q = (a) Q → ~P (alternativa inexistente) | (b) ~P ∨ ~Q.

A B ~A ~B A ∧ B ~A ∧ B A∧~B ~A∧~B A ∨ B

V V F F V F F F V

V F F V F F V F V

F V V F F V F F V

F F V V F F F V F

Observação – CuidadoA→ (B ∨ C) ≠ (A → B) ∨ (A → C).A→ (B → C) ≠ (A → B) → C.(A ∧ B) → C ≠ (A ∧ C) → (B ∧ C).

A B ~A ~B A→B B→A ~A→B B→~A A→~B ~B→A ~A→~B ~B→~A

V V F F V V V F F V V V

V F F V F V V V V V V F

F V V F V F V V V V F V

F F V V V V F V V F V V

3. Equivalência Lógicas

Proposições logicamente equivalentes

1. (A ∧ V) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C)2. (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B v C)3. A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) Lei de Morgan4. A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) (Aplicável somente para conjunções

e disjunções)

5. ~ ~ A ↔ A. 6. A → B ↔ ~A ∨ B.7. A → B ↔ ~B → ~A.

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Observação – Cuidado:

A→ (B ∨ C) ≠ (A → B) ∨ (A → C).A→ (B → C) ≠ (A → B) → C.(A ∧ B) → C ≠ (A ∧ C) → (B ∧ C).

(ESAF) Uma equivalência da proposição: “Se Melício joga futebol, então, Thábata toca violino” é:a. Melício joga futebol se, e somente se, Thábata toca violino.b. Se Melício não joga futebol, então, Thábata não toca violino.c. Se Thábata não toca violino, então, Melício não joga futebol.d. Se Thábata toca violino, então, Melício joga futebol.e. Se Melício toca violino, então Thábata joga futebol.

Comentário: Equivalências que mais caem em prova. » P → Q é equivalente a ~Q → ~P (Nego lá fora, nego lá dentro). » P → Q é equivalente a ~P ∨ Q (Nego a primeira ou afirmo a segunda).

(ESAF/Téc./CGU/2008) Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:a. se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.b. se a taxa de juros aumenta, então a inflação abaixa.c. se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.d. se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.

4. Leis de Morgan

Obs.: Atenção:

» ~ (A ∧ B) = (~A) ∨ (~B). » ~ (A → B) = A ∧ (~B). » A → B = ~A ∨ B » A → B = (~B) → (~A)

Leis de Morgan

» 1. (A ∧ V) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C) » 2. (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C)

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» 3. A ∧ (B ∨ C) ↔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) » 4. A ∨ (B ∧ C) ↔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)

(Aplicável somente para conjunções e disjunções)

5. Equivalências e suas Aplicações

Tabela Base

A B A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

Negação

Proposição Negação

A ¬A

A ∧ B (~A) ∨ (~B)

A ∨ B (^A) ∧ (~B)

A → B A ∧ (~B)

A ↔ B [A ∧ (~B)] ∨ [B ∧ (~A)]

Todo A é B Algum A não é B

Algum A é B Nenhum A é B

Leis de Morgan

I. ¬( p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬qII. ¬( p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q

Não confundir:III. ¬(p > q) ↔ ¬p < ¬q

Observação – Cuidado:

A → (B ∨ C) ≠ (A → B) ∨ (A → C).A → (B → C) ≠ (A → B) → C.(A ∧ B) → C ≠ (A ∧ C) → (B ∧ C).

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(CESPE/UnB – PF/2004) Texto para os três itens seguintes Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas ver-dadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬ P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.

A partir das informações do texto acima, julgue os itens subsequentes.

( ) As tabelas de valorações das proposições P ∨ Q e Q → ¬P são iguais Comentário: A → B ↔ ~B → ~A “Se negamos lá fora, negamos lá dentro.” A → B ↔ ~A → B “Negamos a primeira ou afirmamos a segunda” Construção da tabela, caso não se lembre das equivalências:

P Q P ∨ Q ¬ P Q → ¬ P

V V V F F

V F V F V

F V V V V

F F F V V

Resposta: errado.

(CESPE/UnB – PF/2004) Denomina-se contradição uma proposição que

é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição ¬ R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira (ou ¬ R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue os itens que se seguem.

( ) De acordo com a regra da contradição, P → Q é verdadeira quando ao supor P ∧ (¬ Q) verdadeira, obtém-se uma contradição.

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Comentário: P ∧ (¬ Q) só será verdadeira se ambas forem verdadeiras, ou seja, se P é verdadeira e Q é falsa. Assim, sendo a proposição P → Q é falsa. Logo ao dizer que isto é uma contradição é verdade.

Resposta: Certo

6. Equivalência: Simbologia

(CESPE/UnB – PF/2004) Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é em-basada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição ¬ R ver-dadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira ( ou ¬ R é verdadeira ). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue os itens que se seguem.

( ) As proposições (P ∧ Q) → S e (P → S) ∧ (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.

Comentário: Não se aplica a propriedade distributiva para uma condicional,

apenas para conjunções e disjunções, segundo leis de Morgan.

Veja a construção da tabela:

P Q P ∨ Q S (P ∨ Q) → S P → S Q → S (P → S) ∨ (Q → S)

V V V V V V V V

V V V F F F F F

V F V V V V V V

V F V F F F V V

F V V V V V V V

F V V F F V F V

F F F V V V V V

F F F F V V V V

Resposta: errado.

A proposição ¬(p → ¬r) → q ∧ r é falsa, se:a. p e q são verdadeiras e r é falsa.b. p, q e r são verdadeiras.c. p e q são falsas e r é verdadeira.

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d. p, q e r são falsas.e. p e r são verdadeiras e q é falsa.

Comentário: ¬(p → ¬r) → q ∧ r é falsa, então ¬(p → ¬r) é verdadeira e q ∧ r é falsa, pois

Valéria Falou tá Falado. Assim ¬(p → ¬r) sendo verdadeira, então (p → ¬r) é falsa e novamente

Valéria Falou tá Falado e p será verdadeira e r será verdadeira, porque ¬r é falsa.

Agora por outro lado, q ∧ r é falsa se e só se, uma delas é falsa e como r é verdadeira, então necessariamente q será falsa.

Resposta: alternativa E.

Veja a construção da tabela.

A B A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

F F F F V V

Veja a tabela de equivalências

Equivalências Lógicas(POSSUEM A MESMA TABELA-VERDADE)

1. (A ∧ B) ∧ C ↔ A ∧ ( B ∧ C )

2. (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ ( B ∨ C )

3. A ∧ ( B ∨ C ) ↔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C)

4. A ∨ ( B ∧ C ) ↔( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C)

5. ~~A ↔ A

6. A → B ↔ ~A ∨ B (IMPORTANTE)

7. A → B ↔ ~B → ~A (IMPORTANTE)

8. Não confundir: ~( A → B) = A ∧ ~B com equivalência de A → B ↔ ~B → ~A

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1. Validade

O raciocínio argumentativo consta de uma sequência ordenada e com nexo de várias proposições, mas não apenas para a abordagem de um tema. Visa-se a provar, justifi car, fornecer razões, defender um ponto de vista buscando convencer alguém de alguma coisa nem sempre clara e evidente. De um lado, as afi rmações ou negações explicam, justifi cam, fundamentam ou oferecem motivos ou razões cons-tituindo as chamadas premissas; de outro, a decorrência, consequência ou resultado daquilo que foi justifi cado constitui as chamadas conclusões.

Premissas e conclusões estão sempre em relação de dependência. Uma não existe sem a outra e ambas juntas constituem e identifi cam um argumento. Exemplos: Um homem casado é infeliz. Um homem infeliz morre cedo. Logo um homem ca-sado morre cedo. É um argumento de premissas: um homem casado é infeliz e um homem casado morre cedo, e conclusão: um homem casado morre cedo. Nenhum homem rico é vagabundo. Todos os médicos são ricos. Portanto, nenhum médico é vagabundo. É um argumento de premissas: Nenhum homem rico é vagabundo e todos os médicos são ricos, e conclusão: Nenhum médico é vagabundo. Algumas

Capítulo 9

Argumentação

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cobras não são animais perigosos, mas todas as cobras são répteis, portanto, alguns animais perigosos não são répteis. É um argumento. Suas premissas são: Algumas cobras não são animais perigosos e Todas as cobras são répteis, e sua conclusão é: Alguns animais perigosos não são répteis.

Exercícios

37. (ANPAD/98) Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos matemáticos são pessoas alegres”, então, necessariamente,a. toda pessoa alegre é matemático.b. todo matemático é professor.c. algum professor é uma pessoa alegre.d. nenhuma pessoa alegre é professor.e. nenhum professor não é alegre.

38. (Ministério da Fazenda – 2009) Para que a afi rmativa “Todo matemático é

louco” seja falsa, basta que:a. todo matemático seja louco; b. todo louco seja matemático; c. algum louco não seja matemático; d. algum matemático seja louco; e. algum matemático não seja louco.

39. Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, é necessário que:a. todas as mulheres sejam boas cozinheiras; b. algumas mulheres sejam boas cozinheiras; c. nenhum homem seja bom cozinheiro; d. todos os homens sejam maus cozinheiros; e. ao menos um homem seja mau cozinheiro.

40. Todo cristão é teísta. Algum cristão é luterano.

a. Todo teísta é luterano.b. Algum teísta é luterano.c. Algum luterano não é cristão.d. Nenhum teísta é cristão.e. Nenhum luterano é teísta.

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Comentário: Veja o diagrama:

Cristão LuteraneoTeísta

Assinale a alternativa em que ocorre uma conclusão verdadeira (que corres-ponde à realidade) e o argumento inválido (do ponto de vista lógico).a. Sócrates é homem, e todo homem é mortal, portanto Sócrates é mortal.b. Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é um ser, e todo ser é

homem.c. Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto cachorros não são gatos. d. Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo pensamento é um mo-

vimento, visto que todos os raciocínios são movimentos.e. Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco pés, portanto algumas

cadeiras têm quatro pés.

Comentário: Um argumento é dito INCONSISTENTE se suas premissas não podem ser simultaneamente verdadeiras.

Alternativa A – Argumento e conclusão válidos. Alternativa B – O argumento é inválido, MS a conclusão não é verdadeira. Alternativa C – Argumento é válido, e a conclusão é logicamente válida, mas não corresponde à realidade. Alternativa D – Argumento inválido. Alternativa E – Argumento inválido e conclusão verdadeira (toda cadeira é um objeto).

2. Valoração Lógica

(TRT/2004 – Estruturas Lógicas) Considere que as letras P, Q, R e S repre-sentam proposições e que os símbolos ¬, ∧ e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente.

Na lógica proposicional, cada proposição assume um valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Considerando P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens que seguem.

( ) ¬P ∨ Q é verdadeira

Comentário: substituindo os valores de P e Q em ¬P ∨ Q, teremos: F ou V, que é verdadeira.

( ) ¬ [( ¬ P ∨ Q) ∨ (¬ R ∨ S)] é verdadeira.

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Comentário: substituindo os valores de P, Q, R e S em ¬ [(¬P ∨ Q) ∨ (¬R ∨ S)], teremos: ¬ [(F ou V) OU (F ou V)] = ¬ [V ou V) = FALSO.

( ) [P ∧ (Q ∨ S)] ∧ ( ¬ [(R ∨ Q) ∨ (P ∧ S)]) é verdadeira. Resposta: errada.

( ) (P ∨ (¬ S)) ∧ (Q ∨ ( ¬ R)) é verdadeira. Resposta: certa.

(UnB/Téc./TRT-1ªR./2008) Assinale a opção correspondente à proposição composta que tem exatamente 2 valores lógicos F e 2 valores lógicos V, para todas as possíveis atribuições de valores lógicos V ou F para as proposições A e B.a. B ∨ (¬ A)b. ¬ (A ∧ B)c. ¬ [(¬ A) ∧ (¬ B)]d. [(¬ A) ∨ (¬ B)] ∧ [(A ∧ B)e. [(¬ A) ∧ B] ∧ [(¬ B) ∨ A]

Considerando todos os valores lógicos V ou F atribuídos às proposições A e

B, assinale a opção que corresponde à proposição composta que tem sempre valor lógico F.

a. [A ∨ (–B)] ∨ [(–A) ∨ B]b. (A ∨ B) ∨ [(–A) ∨ (–B)] c. [A ∨ (–B)] ∨ (A ∨ B)d. [A ∨ (–B)] ∨ Ae. A ∨ [(–B) ∨ A]

Solução: Temos que fazer um por um:

a) A B ~A ~B A∨~B ~A∨B [Av(-B)]v[(-A)vB]

V V F F V V V

V F F V V F V

F V V F F V V

F F V V V V V

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b) A B ~A ~B A ∨ B ~A ∨ ~B (A ∨ B) ∨ ( ~A ∨ ~B)

V V F F V F V

V F F V V V V

F V V F V V V

F F V V F V V

c) A B ~A ~B A ∨ ~B A ∨ B [A ∨ (–B)] ∨ (A ∨ B)

V V F F V V V

V F F V V V V

F V V F F V V

F F V V V F V

3. Cálculo Proposicional – Conectivos

Chamamos de argumento toda afirmação de que uma sequência finita de pro-posições p1, p2, p3, ..., pn (n ≥ 1) tem como consequência ou acarreta uma proposição q. Em um argumento as proposições p1, p2, .... pn são premissas e a proposição q é chamada conclusão do argumento.

É essa a característica do argumento válido: a verdade das premissas é incom-patível com a falsidade da conclusão. Ao contrário do argumento válido, um argu-mento não válido chamamos de sofisma. Devemos considerar que toda e qualquer proposição deve ter um valor lógico, verdade ou falsidade. Se uma proposição é verdadeira, seu valor lógico é a verdade. Caso contrário, o valor lógico será falsidade.

Veja as questões abaixo e acompanhe os comentários:

Exercícios

41. (Anpad) Considere as seguintes proposições compostas:I. Se 8 é um número primo, então 2 é um número irracional.II. Londrina é uma cidade do estado do Paraná ou São Luís é a capital de

Alagoas. III. Todo número divisível por 2 é um número par e 10 é um número ímpar.IV. Se a Itália é um país da América do Sul, então São Paulo é uma cidade

da Europa.

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Os valores lógicos das proposições I, II, III e IV formam a seguinte sequência:a. V, V, F, V; b. V, V, F, F; c. F, V, F, V; d. F, F, V, F; e. V, F, V, V.

Sejam p: 9 + 32 = 51 q: O comprimento de uma circunferência é πr2, onde r é o raio da

circunferência. Então, a proposição verdadeira é:

a. ( p ∨ ¬q) → q; b. ¬ (p ∨ q) → q; c. (p ∧ ¬ q) → q; d. (¬ p ∨ ¬ q) → q.

Comentário: Ambas as proposições são falsas. Sendo assim:

» Alternativa A: (p ∨ ~q) → q = (F ∨ V) → F = V → F (F). » Alternativa B: ~(p ∨ q) → q = ~(F ∨ F) → F = ~F → F = V → F (F). » Alternativa C: (p ∧ ~q) → q = (F ∧ V) → F = F → F (V).

42. (Anpad – 2007) Sejam as proposições: p: Luísa é bancária. q: Luísa é fumante.

Então, a proposição ¬(q ∨ ¬p), em linguagem corrente éa. Luísa não é bancária e não fumante.b. Luísa é bancária e não fumante.c. Luísa é fumante, mas não é bancária.d. Luísa não é bancária ou é fumante.e. Luísa é bancária ou é fumante.

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Cálculo Proposicional Argumentos

(Anpad – 2008) Das seguintes premissas: P1: Ana é bonita e simpática ou Ana é alegre. P2: Ana não é alegre. Conclui-se que Ana é:

a. bonita ou simpática; b. não bonita ou não alegre; c. bonita e não simpática; d. não bonita e não simpática; e. bonita e simpática.

Comentário: Preste atenção nas premissas: P1: Ana é bonita e simpática ou Ana é alegre. P2: Ana não é alegre.

Portanto, Ana é bonita e simpática.

43. Sabe-se que se João ama Maria, então José ama Marta. Por outro lado, sabe-mos que José não ama Marta, e podemos concluir que:a. João e José amam Maria.b. José ama Maria e João ama Marta. c. João não ama Maria e José ama Marta.d. José não ama Marta e João não ama Maria.e. João ama Maria e José ama Marta.

4. Proposições Relacionadas

Para relacionarmos uma proposição a outra usaremos diagramas e as valorações das tabela-verdade.

Exercícios

44. (Anpad) Considerando verdadeiras as proposições “Se João cometeu um grave delito, então ele sonegou impostos e João não sonegou impostos”, pode-se concluir que: a. João sonegou impostos; b. João cometeu um grave delito;

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c. João cometeu um grave delito e ele sonegou impostos; d. João não cometeu um grave delito.

45. (Anpad) Se Beto estuda com Maria, então Maria é aprovada nos exames. Se Maria é aprovada nos exames, então Ana é reprovada nos exames. Se Ana é reprovada nos exames, então Pedro estuda com Ana. Ora, Pedro não estuda com Ana. Logo:a. Ana não é reprovada e Maria é aprovada.b. Ana é reprovada e Maria é aprovada.c. Ana não é reprovada e Beto não estuda com Maria.d. Maria é aprovada e Beto estuda com Maria.

46. (Anpad) X é A, ou Y é B. Se X é A, então Z é C. Ora, Y não é B. Logo,a. X não é A; b. Z é C; c. Z não é C e X é A; d. Z não é C, ou Y é B;e. Se Z é C, então Y é B.

47. (Anpad) Considerando as seguintes premissas: P1: X é A e B ou X é C. P2: X não é C. Conclui-se que X é

a. A ou B; b. A e B; c. Não A ou não C; d. A e não B; e. não A e não B.

Em resumo devemos ter conhecimento da tabela- base e das equvalências.

(Anpad) Uma sentença logicamente equivalente a “ Se X é Y, então Z é W” é:a. X é y ou Z é W; b. X é Y ou Z não é W; c. Se Z é W, X é Y; d. Se X não é Y, então Z não é W; e. Se Z não é W, então X não é Y.

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Comentário: A → B, sendo equivalente à “~B → ~A” ou “~A ∨ B”. Sendo assim: X = Y → Z = W = Z ≠ W → X ≠ Y ou X ≠ Y ou Z = W.

(Anpad) A proposição p → ¬q é equivalente aa. p ∨ q.b. p ∧ ¬q.c. ¬p → q.d. ¬q → p.e. ¬p ∨ ¬q

Comentário: Equivalência da condicional → “Se negamos lá fora, negamos lá dentro”.

p q ¬P ¬Q p → ¬q ¬p ∨ ¬ q

V V F F F F

V F F V V V

F V V F V V

F F V V V V

P → Q é equivalente a ~Q → ~P ou P → Q é equivalente a ~P ∨ Q. Sendo assim: P → ~Q = (a) Q → ~P (alternativa inexistente) | (b) ~P ∨ ~Q.

48. (Anpad) Todos os animais são seres vivos. Assim:a. o conjunto dos animais contém o conjunto dos seres vivos.b. o conjunto dos seres vivos contém o conjunto dos animais.c. todos os seres vivos são animais.d. alguns animais não são seres vivos.e. nenhum animal é um ser vivo.

49. (Anpad) Das afi rmações Alguns gatos são centopeias. Centopeias gostam de jogar xadrez. Podemos concluir que:

a. existem centopeias que não são gatos; b. centopeias miam; c. Se João não gosta de jogar xadrez então João não é uma centopeia;

Podemos concluir que:a. existem centopeias que não são gatos; b. centopeias miam; c. Se João não gosta de jogar xadrez então João não é uma centopeia;

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1. Aplicações e Método

A lógica é um instrumento para organizar o raciocínio, não é uma forma de ampliar conhecimento. É uma forma de raciocinar, de articular o pen-samento de um jeito específi co: ligação de ideias, umas como premissas das outras observando as regras estabelecidas pela própria lógica (princípio da identidade; não contraditório; 3º excluído; regras de validade do silogismo categórico etc.). (Maciel Neto)

1.1 Tipos de Lógica

» Complementares da Lógica Clássica: além dos três princípios da lógica clássica, essas formas de lógica têm ainda outros princípios que as regem, es-tendendo o seu domínio. Alguns exemplos:

Capítulo 11

Lógica Indutiva e Dedutiva

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» Lógica Modal: agrega à lógica clássica o princípio das possibilidades. En-quanto na lógica clássica existem sentenças como: “se amanhã chover, vou viajar”, “minha avó é idosa e meu pai é jovem”, na lógica modal as sentenças são formuladas como “é possível que eu viaje se não chover”, “minha avó necessariamente é idosa e meu pai não pode ser jovem” etc.

» Lógica Epistêmica: também chamada “lógica do conhecimento”, agrega o princípio da certeza, ou da incerteza. Alguns exemplos de sentença: “pode ser que haja vida em outros planetas, mas não se pode provar”, “é impossível a existência de gelo a 100°C”, “não se pode saber se duendes existem ou não” etc.

» Lógica Deôntica: forma de lógica vinculada à moral, agrega os princípios dos direitos, proibições e obrigações. As sentenças na lógica deôntica são da se-guinte forma: “é proibido fumar mas é permitido beber”, “se você é obrigado a pagar impostos, você é proibido de sonegar” etc.

» Anticlássicas: são formas de lógica que derrogam pelo menos um dos três prin-cípios fundamentais da lógica clássica. Alguns exemplos incluem:

» Lógica Paraconsistente: É uma forma de lógica onde não existe o princípio da contradição. Nesse tipo de lógica, tanto as sentenças afirmativas quanto as negativas podem ser falsas ou verdadeiras, dependendo do contexto. Uma das aplicações desse tipo de lógica é o estudo da semântica, especialmente em se tratando dos paradoxos. Um exemplo: “fulano é cego, mas vê”. Pelo princípio da lógica clássica, o indivíduo que vê, um “não cego”, não pode ser cego. Na lógica paraconsistente, ele pode ser cego para ver algumas coisas, e não cego para ver outras coisas.

» Lógica Paracompleta: Esta lógica derroga o princípio do terceiro excluído, isto é, uma sentença pode não ser totalmente verdadeira, nem totalmente falsa. Um exemplo de sentença que pode ser assim classificada é: “fulano conhece a China”. Se ele nunca esteve lá, essa sentença não é verdadeira. Mas se mesmo nunca tendo estado lá ele estudou a história da China por livros, fez amigos chineses, viu muitas fotos da China etc; essa sentença também não é falsa.

» Lógica Difusa: Mais conhecida como “lógica fuzzy”, trabalha com o con-ceito de graus de pertinência. Assim como a lógica paracompleta, derroga o princípio do terceiro excluído, mas de maneira comparativa, valendo-se de um elemento chamado conjunto fuzzy. Enquanto na lógica clássica supõe-se verdadeira uma sentença do tipo “se algo é quente, não é frio” e na lógica paracompleta pode ser verdadeira a sentença “algo pode não ser quente nem frio”, na lógica difusa poder-se-ia dizer: “algo é 30% quente, 25% morno e 45% frio”. Esta lógica tem grande aplicação na informática

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e na estatística, sendo inclusive a base para indicadores como o coeficiente de Gini e o IDH.

Três amigos (João, Marcelo e Rafael) trabalham num hotel de categoria interna-cional, desempenhando funções diversas. Um deles é porteiro, o outro é carregador e, por fim, há um telefonista. Sabendo-se que:

» se Rafael é o telefonista, Marcelo é o carregador; » se Rafael é o carregador, Marcelo é o porteiro; » se Marcelo não é o telefonista, João é o carregador; » se João é o porteiro, Rafael é o carregador.

Portanto, a atividade profissional de João, Marcelo e Rafael (nessa ordem), ob-servadas as restrições acima, é:

a. porteiro, telefonista, carregador.b. telefonista, porteiro, carregador.c. carregador, telefonista, porteiro.d. porteiro, carregador, telefonista.e. carregador, porteiro, telefonista.

Comentário: Partindo do princípio que Marcelo não é telefonista, João é carre-gador. Portanto, Marcelo só pode ser porteiro (Mnt → Jc → Mp → Ft). Se Mário é porteiro, ele não é carregador, e Flávio não é telefonista. Chega-se a uma contradi-ção (primeira proposição). Se não ser telefonista leva-se a uma contradição, a con-clusão é que Marcelo é telefonista (o princípio era falso). Se Marcelo é telefonista e Flávio não é o carregador, somente João é o carregador e o Flávio é o porteiro. Em suma, assim Mnt → Jc → Mp → Ft ⇒ Contradição: Mt → Fp → Jc.

Exercícios

50. Quatro carros estão parados ao longo do meio fio, um atrás do outro:a. Um Fusca atrás de outro Fusca.b. Um carro branco na frente de um carro prata.c. Um Uno na frente de um Fusca.d. Um carro prata atrás de um carro preto.e. Um carro prata na frente de um carro preto.f. Um Uno atrás de um Fusca.

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Do primeiro (na frente) ao quarto carro (atrás), temos então:a. Uno branco, Fusca preto, Fusca prata e Uno prata.b. Uno preto, Fusca prata, Fusca preto e Uno branco.c. Uno branco, Fusca prata, Fusca preto e Uno Prata.d. Uno prata, Fusca preto, Fusca branco e Uno preto.e. Uno branco, Fusca prata, Uno preto e Fusca prata.

Comentário:U Branco

F Prata

F Preto

U Prata

51. Ou A = B, ou B = C, mas não ambos. Se B = D, então A = D. Ora, B = D. Logo:a. B ≠ Cb. B ≠ Ac. C = Ad. C = De. D ≠ A

Comentário: A = B (V) ou B = C (F) . B=D → A = D . B = D → A = D → A = B. Portanto, B ≠ C.

3. Problema da Vovó Vitória

Vovó Marina procura saber quem comeu o bolo que havia guardado para o lanche da tarde.

Julinho diz:

1. Não fui eu.2. Eu nem sabia que havia um bolo.3. Foi o Maurício.

Maurício diz:

4. Não fui eu.5. O Julinho mente quando diz que fui eu.6. Foi o tio Rogério.

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Rogério diz:

7. Não fui eu.8. Eu estava lá embaixo consertando a minha bicicleta.9. Foi o Zezinho.

Zezinho diz:

10. Não fui eu.11. Eu nem estava com fome.12. Não foi o Luiz Antônio.

Luiz Antônio diz:

13. Não fui eu.14. Eu estava com o Rogério na praia.15. Foi o Maurício.

Vovó Marina, que não é boba, percebe que cada um deles mentiu sobre uma única das afirmações que fez e encontrou o comilão. Quem comeu o bolo?a. Julinho.b. Maurício.c. Rogério.d. Zezinho.e. Luiz Antônio.

Comentário: Parte-se do pressuposto que foi Zezinho, ou que Rogério está mentindo, onde leva a frase 8 ser verdadeira (sendo as demais verdadeiras, 7 e 9). 1-V; 2-V; 3-M; 4-V; 5-V; 6-M; 7-V; 8-M; 9-V; 10-M; 11-V; 12-V; 13-V; 14-V; 15-M.

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2. Questões usando Dedução e Indução

Exercício

52. Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que:a. Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina.b. Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina.c. Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina.d. Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática.e. Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia.

Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logica-mente, portanto, que:a. Lauro é culpado e Sônia é culpada.b. Sônia é culpada e Roberto é inocente.c. Pedro é culpado ou Roberto é culpado.d. se Roberto é culpado, então Lauro é culpado.e. Roberto é inocente se, e somente se, Lauro é inocente.

Comentário: Se Pedro é inocente → Lauro é inocente. Logo, Sônia é culpada. Logo,

Roberto é culpado.

F ou V = verdade

Pedro Sônia

Se Roberto é inocente → Sônia é inocente. Logo, Pedro é culpado, mas Lauro poderá ser inocente ou culpado. Portanto, ambas as proposições podem ser uma conclusão lógica.

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V ou F = verdade

Pedro Sônia

Considere as informações do texto abaixo para responder às questões 31 e 32. Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são Arantes, Braga e Castro, mas não necessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que não é Ana, é mais velha que Carla e a de sobrenome Castro é a mais velha das três.

(Apostila MRE/2009 – Vestcon) Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são, respectivamente:a. Arantes, Braga e Castro.b. Arantes, Castro e Braga.c. Castro, Arantes e Braga.d. Castro, Braga e Arantes.e. Braga, Arantes e Castro.

Comentário: Ana só pode ser Arantes ou Castro. A de sobrenome Braga só pode ser a Beatriz. Carla, por sua vez, é mais nova que Beatriz. Castro não pode ser Beatriz, só podendo ser Ana. Sendo assim, Ana é Castro, mais velha das três, Beatriz é Braga, e Carla é Arantes.

Se Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial então ele come-teu um grave delito. Mas Francisco não desviou dinheiro da campanha assistencial. Logo:a. Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial.b. Francisco não cometeu um grave delito.c. alguém desviou dinheiro da campanha assistencial.d. alguém não desviou dinheiro da campanha assistencial.

Comentário: Fdd → Fcgd se eu negar a conclusão eu nego a id´´eia assim, Fncgd → Fndd Mas se eu negar a ideia, não necessariamente eu nego a solução: Fndd pode ter cometido um grave delito.

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Francisco cometeu um grave delito

Francisco desviou dinheiro

x→ Francisco não desviou dinheiro e mesmo assim cometeu um grave delito

a. incorreto.b. pode ser, mas não quer dizer que é.c. nada a dizer.d. certo.

4. Princípio da Contradição

Exercícios

53. Nomeando-as em ordem crescente de idade, teremos:a. Ana, Beatriz e Carla.b. Carla, Ana e Beatriz.c. Beatriz, Carla e Ana.d. Ana, Carla e Beatriz.e. Carla, Beatriz e Ana.

54. (ESAF) Três rivais, Ana, Bia e Cláudia, trocam acusações: » A Bia mente – diz Ana. » A Cláudia mente – Bia diz. » Ana e Bia mentem – diz Cláudia.

Com base nestas três afirmações, pode-se concluir que

a. apenas Ana mente.b. apenas Cláudia mente.c. apenas Bia mente.d. Ana e Cláudia mentem.e. Ana e Bia mentem.

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Comentário:

Ana Verdade Mentira

Bia Mentira Verdade

Cláudia Verdade Mentira

Proposição Contradição, já que Ana ou Bia mentem Ana ou Bia mentem

Considere a situação descrita abaixo para resolver as questões de números 34, 35 e 36. Ao ver o estrago na sala, mamãe pergunta zangada:

Quem quebrou o vaso da vovó? Não fui eu – disse André. Foi o Carlinhos – disse Bruna. Não fui eu não, foi a Duda – falou Carlinhos. A Bruna está mentindo! – falou Duda (Frase chave)

Sabendo que somente uma das crianças mentiu, pode-se concluir quea. André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso.b. Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso.c. Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso.d. Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso.e. Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso.

Comentário: André Verdade

Bruna Mentira

Carlinhos Verdade

Duda Verdade

Conclusão Duda quebrou o vaso.

Sabendo que somente uma das crianças disse a verdade, pode-se concluir que:a. André falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso.b. Bruna falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso.c. Duda falou a verdade e André quebrou o vaso.d. Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou vaso.e. Duda falou a verdade e foi ela quem quebrou o vaso.

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Comentário:

André Mentira

Bruna Mentira

Carlinhos Mentira

Duda Verdade

Conclusão André quebrou o vaso

Sabendo que somente duas crianças mentiram, pode-se concluir quea. Carlinhos mentiu e André não quebrou o vaso.b. André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso.c. Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso.d. quem quebrou o vaso foi Bruna ou André.e. Duda mentiu e Carlinhos não quebrou o vaso.

Comentário:

André Verdade (Suposição) Mentira

Bruna Mentira Mentira

Carlinhos Mentira Verdade (Suposição)

Duda Verdade (Princípio) Verdade (Princípio)

Conclusão Não se chega a nenhuma conclusão, só que não foi André Contradição

5. Mentira ou Verdade?

(UFMG/2007) Raquel, Julia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa. Sabe-se que essas pessoas formam 4 casais e Carolina não é esposa de Paulo.Em um dado momento observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antonio, Paulo e Rita estão sentados conversando.Então, é correto afirmar que a esposa de Antônio é: a. Carolina,b. Júlia, c. Raquel, d. ita

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Comentário: Carolina não é esposa de Paulo, logo: Esposas de Paulo: Raquel ou Julia ou Rita Mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, logo: Raquel não a mulher do Fernando Enquanto Fernando, Carolina, Antonio, Paulo e Rita estão sentados conver-

sando, logo: Se Fernando, Antonio e Paulo estão sentados, o marido de Raquel é o

Gustavo, assim Raquel não é esposa de Paulo; Carolina e Rita estão sentadas logo não são a mulher de fernando que tb não é a Raquel, assim a mulher de Paulo só pode ser a Julia.A mulher de Fernado não é a carolina e nem a Rita, nem a raquel, logo só pode ser a Júlia, assim a Mulher de Antônio é a Carolina

Cinco amigos vão a uma festa, mas um deles não foi convidado. Uma amiga pergunta quem era o penetra.

» É o João – responde Gabriel. » Eu não sou – responde Rodrigo. » É o Fernando – diz Tiago. » Eu não sou – responde João.

Se só um deles falou mentira, o penetra da festa eraa. Gabriel.b. João.c. Rodrigo.d. Tiago.e. Fernando.

Comentário:Como existem duas acusações vou supor que uma delas é ver-dade e a outra mentira (o mentiroso)

Gv → JP → RV → Tm → JV que é uma contradição pois supus que o gabriel fala a verdade daí o João é o penetra;

Agora vou para a outra acusação: Tv → Fernando é o penetra → Jv → Gm (o mentiroso!) → Rv, logo o pene-

tra é o Fernando e o mentiroso é o Gabriel, ok!

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Dois irmãos gêmeos, José Francisco e Francisco José, vestiram-se e foram sentar-se em frente ao clube:

“Sou Zé Francisco”, disse o que estava de sapatos pretos e luvas brancas. “Sou Chico José”, disse o que estava de sapatos brancos e luvas pretas. Se um deles está mentindo, quem é José Francisco? Comentário: se um deles está mentindo, o outro não pode estar falando a

verdade, Francisco José (ou Chico José). Ora, o primeiro sendo Chico José. Logo, o segundo também está mentindo. Mentiram os dois. Conclusão: José Francisco é o de sapatos brancos e luvas pretas e Francisco José, o de sapatos pretos e luvas brancas.

Portanto: José Francisco é o de sapatos brancos e Francisco José é o de sapa-tos pretos.

Certo dia estava o preclaro Ivan de que seria o primeiro a chegar ao aero-porto. Grande foi, portanto, a sua surpresa ao encontrar Karina com seu esposo e, junto do portão de embarque, palestrando alegremente, os outros três companheiros de viagem. Nessa viagem, aliás, deviam tomar parte: Ivan, Flávio e Ernani com suas esposas. Júlia, Viviane e Karina (não respectiva-mente) que iam aproveitar o belíssimo domingo num passeio às cataratas do Iguaçu. Foi realmente lindo o passeio e deixou profundas saudades em todos os corações. É preciso, porém, que o leitor, por meio de um raciocínio lógico-analítico, determine:

» Qual das três senhoras era esposa de Ernani? » Qual era a esposa da Flávio? » Qual era, afinal, a esposa de Ivan?

Comentário: A esposa de Ivan não é Karina, conforme transparece, claramente, pelo

enunciado. A esposa de Ivan não é Júlia, pois os nomes dos maridos e das esposas não

devem corresponder na ordem em que estão enunciados em virtude da res-trição “não respectivamente”.

Ora, se a esposa de Ivan não é Karina e não Júlia, só pode ser Viviane.

Conclusão:

A esposa de Ivan é Viviane.

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A esposa de Ernani não é Viviane (pois esta é esposa de Ivan, conforme já provamos). Não é também Karina por causa da advertência “não respectiva-mente”. Ora, a esposa de Ernani não sendo Karina e não sendo Viviane, só pode ser Júlia. Conclusão: a esposa de Ernani é Júlia.

Finalmente, por exclusão, a esposa de Flávio só pode ser Karina.

5.1 SofismasA origem da palavra “sofisma” designa, realmente, no grego, “artifício” ou “astú-

cia”. O sofisma é um raciocínio falso com que intencionalmente ou não, simulamos o verdadeiro, ou ainda sofisma é um raciocínio errado que se apresenta aparente-mente como verdade, constituído de proposições falsas com aparência de verda-deiras. A finalidade do sofisma é enganar ou mesmo confundir a parte contrária e enfraquecer a criticidade dos menos avisados. Quando ele não é intencional, cha-mamos de paralogismo, e quando intencional, sofisma propriamente dito.

“Tirar um cabelo de uma pessoa não a deixa careca, tirar dois, três ou quatro cabe-los também não; logo, podemos tirar-lhe todos os cabelos sem torná-la careca.”

5.1.1 Espécies De Sofismas

O erro de um raciocínio pode se originado da linguagem, das ideias ou coisas que compõem o raciocínio.

a. Sofismas de linguagemOs sofismas de linguagem decorrem da identidade aparente dos termos.

I – Equívoco: Consiste em tomar no raciocínio uma palavra que possua vários sentidos. A mesma palavra encontra-se com compreensão diferente.

Exemplo:

Todo lobo uiva. Ora, Lobo é uma constelação da aurora austral. Logo as constelações uivam.

II – Confusão do sentido composto com sentido divisivo.

Exemplo:

Caminhar e estar assentada são algo impossível. Ora, caminho e fico assentada.

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Logo, posso o impossível. Na primeira proposição, afi rmo que caminhar e estar assentada são algo

impossível. Na segunda proposição disse que posso caminhar e estar assentada em sen-

tido divisivo (sucessivamente). Logo este silogismo apresenta uma confusão dos sentidos das palavras.

b. Sofi smas de induçãoEm toda indução devemos observar os fatos e depois interpretá-los. Assim.

Podemos ter duas espécies de sofi smas de indução: o sofi sma de observação e o sofi sma de interpretação.

1. Sofi sma de observaçãoDá-se quando não tendo observado bem um fato me deixo levar a uma conclu-

são apressada. O primeiro princípio da indução será a observação rigorosa do fato, uma má observação fatalmente nos leva a uma má conclusão.

2. Mesmo observando atentamente o fato podemos ainda cometer falsa interpreta-ção do mesmo. Nas ciências humanas, como a História, Sociologia, Direito etc., isto é muito comum.Por exemplo, julgar a idade média do ponto de vista de hoje será falta de

consciência histórica ou mesmo avaliar sob o ponto de vista da ONU a escravidão admitida por Nóbrega.

c. Sofi smas de dedução1. Falsa conversão e oposição ilegítima.

Oposição é a relação de proposições, que tendo o meso sujeito e o mesmo pre-dicado, tem uma qualidade ou quantidade diferente ou tem simultaneamente quan-tidade e qualidade diferente.

Lei das oposições

I. Contraditórias Não podem nem ser verdadeiras nem falsas ao mesmo tempo, se uma for

verdadeira, a outra será falsa e vice-versa. Exemplo:

Ou Fenelon é professor de informática ou Fenelon é dublê do Fábio Assunção, não ambos. Ou seja, se Fenelon for professor de informática ele não será dublê do Fábi

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1. Fatorial

Análise Combinatória é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar enumerá-los.

A origem desse assunto está ligada ao estudo dos jogos de azar, tais como: lança-mento de dados, jogos de cartas etc.

FatorialDefi nição:n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 . 2 . 1 para n ∈ N e n ≥ 1O símbolo n! lê-se fatorial de n ou n fatorial.

Ex.: 2! = 2 x 1 Convenção: 4! + 4 x 3 x 2 x 1 0! = 1. 1! = 1

Observação: n! = n (n – 1) !

Capítulo 12

Análise Combinatória

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Ex.: 8! = 8 . 7! 10 = 10 . 9!

Simplificar as expressões:

7

5

7 6 55

42!

!

. . !!

= =

8

8 6

8 7 67

8 6!

. !

. . !. !

= =

Resolva as equações (n ∈ R):a. (n – 5)! = 120

(n – 5)! = 5n – 5 = 5n = 5 + 5n = 10

b. ( )! !

( )!

n n

nn

+ −

−=

1

17

( ) ( )! ( )!

( )!

n n n n n

nn

+ − − −

−=

1 1 1

17

( )![( ) ]

( )!

n n n n

nn

+ + −

−=

1 1

17

n [(n + 1) – 1] = 7n n + 1 – 1 = 7 ∴ n = 7

2. PFC: Introdução

Princípio Fundamental de ContagemExemplos:

01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá se vestir?

A escolha de uma camisa poderá ser feita de cinco maneiras diferentes. Escolhida a primeira camisa poderá escolher uma das quatro saias. Portanto, o número total de escolhas será: 4 x 5 = 20.

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02. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de sequências possí-veis de cara e coroa? Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa. Queremos o número de triplas ordenadas (a, b, c) onde a ∈ {C, K}, b ∈ {C, K} e c ∈ {C, K}, logo, o resultado procurado é 2 . 2 . 2 = 8

Pelo Diagrama da Árvore

c

c

c

c c – c – c

c – k – k

c – c – k

k – c – c

k – k – c

c – k – c

k – c – k

k – k – k

c

c

c

k

k

k

k

k

k

k

03. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos signi-ficativos (1 a 9)?

1º 2º 3º↓ ↓ ↓9 x 9 x 9 = 729 números

E se fossem com algarismos distintos? 9 x 8 x 7 = 504 números

04. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal?

Resolução: Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 9 x 9 x 8 x 7 O número não começar por 0 (zero), logo: 9 . 9 . 8. 7 = 4.536 Resposta: 4.536 números

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05. Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1º, 2º e 3º lugares?

1º lugar 2º lugar 3º lugar

↓ ↓ ↓

6 x 5 x 4 = 120 possibilidades

3. PFC: Problema do Salgado

Veja um outro ponto de vista a respeito de possibilidades:Quantos são os divisores de 72?Os divisores de 72 são do tipo 2x 3y (pois 72 = 23 . 32) onde: x ∈ {0, 1, 2, 3} e y ∈ {0, 1, 2}Logo teremos: 4 possibilidades para x e 3 possibilidades para y.Total: 4 x 3 = 12

06. De quantas maneiras podemos distribuir aleatoriamente, três bonés, quatro réguas e cinco canetas entre Henrique e Salgado?

Solução: 4 x 5 x 6 = 120 maneiras

07. Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva? Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos temos: coluna 1, coluna do

meio e coluna 2. Pelo P. F. C., teremos:

Jogo 1 Jogo 2 Jogo 14

Cl C C2 Cl C C2 Cl C C2m m m3 x 3 x...x 3 = 314 resultados

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Em resumo:1º) Quantas escolhas devem ser feitas.2º) Quantas opções cada escolha tem.3º) Multiplicar tudo!Se o problema não depender da ordem (por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.

4. PFC: Método

Método: 1º) Quantas escolhas devem ser feitas.2º) Quantas opções cada escolha tem.3º) Multiplicar tudo!e o problema não depender da ordem (por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.

08. (FGV – SP) Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem?

Resolução:

A B C

de A para B = 3 possibilidades de B para C = 4 possibilidades Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 . 4 = 12

Resposta: 12 modos

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09. A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido?

Resolução:

Placa →

2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2

Pelo princípio fundamental da contagem, temos:

2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2 = 480 Resposta: 480 placas

10. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os alga-rismos 2, 3, 4, 5, e 7?

Resolução: Algarismos: 2, 3, 4, 5 e 7

5 . 4 . 3 → 5 x 4 x 3 = 60

Resposta: 60 números

11. (Telecurso 2000) Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de telefone podem formar-se com 6 algarismos, de maneira que cada número tenha prefixo 51 e os restantes sejam números todos diferentes, incluindo-se os números que formam o prefixo?

Resolução: algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Prefixo ∨→

7 . 6 . 5 . 4

5 1

colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo: → 7 . 6 . 5 . 4 = 840

Resposta: 840 números

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5. Tabuleiro de Xadrez

12. (FGV-SP) Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas?

Resolução: Para se colocar 1 (uma) peça temos 16 maneiras.

Para se colocar a 1ª peça temos 16 maneiras:

Para colocar a 2ª peça temos 9 maneiras:

º º

º

Para a 3a e 4 a peças temos, respectivamente, 4 e 1 maneiras. Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576 Resposta: 576 maneiras

13. (FAAP) Um torneio esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A Escola E inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe F.

Resolução: Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes: escola E → 6 . 4 = 24 maneiras escola F → 5 . 3 = 15 maneiras

Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de: 24 . 15 = 360 maneiras Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em nú-

meros de: (6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos: 360 – 18 = 342 Resposta: 342 maneiras

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14. (Telecurso 2000) De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor?

Resolução: Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirâmide sejam pintadas

com cores diferentes duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o número de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8 cores diferentes, será dado por:

8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720

Resposta: 6.720 modos

6. Uso do E e do OU

15. (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n tenta-tivas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a:a. 9b. 15c. 20d. 24e. 30

Resolução: Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9 Soma 8: 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou seja, 04 opções; Soma 10: 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 05 opções. Total de tentativas: 04 x 05 = 20 Portanto n = 20 tentativas.

16. Observe o diagrama

X Y Z

R

S

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O número de ligações distintas entre X e Z é:a. 39b. 41c. 35d. 45

Resolução: Possíveis caminhos XRZ = 3 . 1 = 3 XRYZ = 3 . 3 . 2 = 18 XYZ = 1 . 2 = 2 XSYZ = 3 . 2 . 2 = 12 XSZ = 3 . 2 = 6 TOTAL = 41

17. A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a:a. 10b. 20c. 48d. 52e. 100

Resolução: É um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas cometeu o erro de fazer o cálculo:

4 x 5 x 5 = 100 (errado!)

Porém, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser re-petidos, assim:

Nº com algarismos repetidos mais nº com algarismos distintos é igual ao total de nº que podem ser formados.

Usando o P.F.C. teremos: Nº com algarismos repetidos = x Nº com algarismos distintos = 4 x 4 x 3 = 48 Total de nº formados = 4 x 5 x 5 = 100 Portanto, x + 48 = 100 x = 52

Resposta: Aleternativa D.

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18. (UFMG/ 1995) Duas das cinquenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinquenta cadeiras, para ocupá-las, é:a. 1225b. 2450c. 250d. 49!

Resolução: 50 x 49 = 2450

7. Anagramas

O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema.

19. Com relação a palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar:a. No total? Resolução: 6! = 720

b. Começados por BR? Resolução: 4! = 24 → |BR| 4.3.2.1

c. Começando por vogal e terminando em consoante? Resolução: 2 . 4 . 3 . 2 . 1 . 4 = 192

Exercício

55. (UnB/Agente/PF/2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um aces so de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encon tram-se: matar o leão de Nemeia, capturar a corça de Cerineia e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez.

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Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subsequentes.a. ( ) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar

é superior a 12 × 10!.b. ( ) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o

leão de Nemeia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30.c. ( ) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “cap-

turar a corça de Cerineia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 × 42 × 20 × 6.

d. ( ) “O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “cap-turar a corça de Cerineia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! × 8!.

8. Anagramas: Questão do Cinema

Com relação à palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar:

a. Com as letras BR juntas nesta ordem?Resolução: BR juntas significa que formarão uma única letra, logo oanagrama será composto de 5 letras, portanto a resposta é 5! = 120

b. Com as letras BR juntas em qualquer ordem?Resolução: Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240

De quantas maneiras podemos dispor 06 pessoas, dentre elas um casal de namo-rados, em uma fileira de cadeiras consecutivas no cinema, de maneira que o casal fique sempre junto? Comentário: Como queremos o casal “grudado” eles contam como uma pessoa e ai teremos que permutar 05 pessoas ao invés de seis. Além disso, eles não têm uma ordem definida, em podem permutar entre si, daí:

5! (pessoas) vezes 2! (casal em qualquer ordem) = 5! . 2! = 120 x 2 = 240

9. Anagramas com Repetição

c. Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA?

5

3 2

120

6 210

!

! ! .= =

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d. E com a palavra ITATIAIA?

8

3 3 2

!

! ! !

Comentário: Uma questão tem 6 proposições do tipo V ou F. Sabe-se que 4 são verdadei-

ras e 2 falsas. De qtas maneiras podemos marcar o gabarito desta questão? Resposta: 15 Solução: É uma questão de análise combinatória, portanto vou usar o prin-

cípio fundamental de contagem: É do tipo de ARARA: VVVVFF

6

4 2

30

215

!

!. != =

56. (BB/2007) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de di-mensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguí-veis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.

(OBMEP) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas.Elas são ex-traídas uma a uma sem reposição. Quantas sequências de cores podemos observar?

Resolução: É como se fosse uma sequência de bolas em fileira, do tipo: VVVAA, em qualquer ordem faremos como se fosse um anagrama com repe-tição, ou seja,

5

3 210

!

!. !=

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21. Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e dirigi-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é movendo–se da esquerda para direita, ou de baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas

“horizontais” e 3 “verticais”?

P.

.Q

Idem solução anterior, é uma anagrama com repetição do tipo: DDDDCCC, ou seja:

7

4 335

!

!. !=

22.O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra APOSTA e que não apresentam as letras A juntas é:a. 120b. 240c. 360d. 480e. 600

Resolução: TOTAL – A juntas = A separadas

6

25

720

2120

360 120 240

!

!!− =

− =

− =

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10. Combinação e Pascal

Em uma outra unidade de estudo abordamos o tema: Pascal, nela mostramos que toda a análise combinatória pode ser resolvida com o uso do triângulo aritmé-tico de Pascal. O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por números combinatórios.

Triângulo de Pascal

n = 0 1

n = 1 1 1

n = 2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1

n = 4 1 4 6 4 1

n = 5 1 5 10 10 5 1

n = 6 1 6 15 20 15 6 1

n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1

n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8

Em que consideramos o conjunto A = {1, 2, 3} e que o número de subcon-juntos será 23 = 8 subconjuntos (soma das linhas), ou seja,

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2 ,3}}.

O triângulo de pascal também pode ser usado como ferramenta em proble-mas como este, onde teremos a linha representando os elementos disponí-veis e a coluna representando os elementos “pedidos”.

(ESAF) Quantas comissões de três pessoas pode-se formar num grupo de 7 componentes?

Comentário: N = 7 e P = 3 → 35 (Vide triângulo).

(CESPE) Suponha que uma distribuidora de filmes tenha 6 filmes de ani-mação e 5 comédias para distribuição. Nesse caso, é superior a 140 e inferior a 160 o número de formas distintas pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2 sejam comédias e 2 sejam de animação.

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Comentário: » Comédia: N = 05 e P = 02 → 10

10 x 15 = 150. O item está correto. » Animação: N06 e P = 02 → 15

(CESPE) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcio-nários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 manei-ras diferentes para distribuir essas tarefas.

Comentário: » 3 em 7 (N = 07 e P =03) = 35 » 2 em 4 (N = 04 e P = 02) = 6 35 x 6 x 1 = 210. » 2 em 2 (N = 02 e P = 02) = 1

Veja outros exemplos e suas soluções:

23. O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O número de possíveis resultados está entre:a. 15.000.000 e 25.000.000b. 25.000.000 e 35.000.000c. 35.000.000 e 45.000.000d. 45.000.000 e 55.000.000

Resolução:

60

6

59

5

58

4

57

3

56

2

55

1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 50.063.860

(Telecurso 2000) Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2. O número de modos distintos de se escolherem os discos é:a. 12b. 42c. 160d. 1.120e. 1.200

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Resolução: Beatles x Rolling Stones x U2

5

2

4

1

8

2

7

1

4

3

3

2

2

11120⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =x x

25. Se existem 11 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as ou-tras uma única vez, o número de apertos de mão dados será igual a:a. 55.b. 65.c. 110.d. 121.

Resolução: Precisamos de 2 mãos:

11

2

10

155⋅ =

O total de números com três algarismos distintos que podemos formar usando os algarismos (0, 1, 2, 3, 5 e 7) que sejam pares é: “não consigo visualizar apenas os pares ou ímpares”.

Solução: esta questão está com a resposta errada... Primeiro daremos prioridade para o número ser Par: _ _ 0 → 5 x 4 = 20 (terminados em zero) Ou _ _ 2 → Não temos número começando com zero, logo: 4 x 4 = 16 Total = 36 letra D

Quantos números pares, formados por algarismos distintos, existem entre 500 e 2000? Resposta: 464

Solução: Número depende da ordem, portanto é um problema classificató-rio, e não dividimos, ok! Teremos centenas e milhares, ou seja, números de 3 e quatro algarismos:

Centenas: 5 _ _ 8 x 5 = 40 6 _ _ 8 x 4 = 32 7 _ _ 8 x 5 = 40

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8 _ _ 8 x 4 = 32 9 _ _ 8 x 5 = 40Milhares: 1 _ _ _ 8 x 7 x 5 = 280Total = 464

Com os algarismos do conjunto a = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} podemos formar exatamente quantos números pares com 3 algarismos distintos?

Resposta: 150 Solução: Numero depende da ordem, portanto é um problema classificató-

rio, e não dividimos,ok! Os números poderão terminar em 0,2,4 ou 6:

» Terminados em zero: 7 x 6 = 42 » Terminados em dois: 6 x 6 = 36 » Terminados em quatro: 6 x 6 = 36 » Terminados em seis: 6 x 6 = 36 » Total = 150

11. Comissões

(Telecurso 2000) Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O número má-ximo de dias que o paciente poderá manter esse procedimento é:a. 35b. 38c. 40d. 42

Resolução:

7

3

6

2

5

135⋅ ⋅ =

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(Telecurso 2000) De quantas maneiras distintas podemos distribuir 10 alu-nos em 2 salas de aula, com 7 e 3 lugares, respectivamente?a. 120b. 240c. 14.400d. 86.400e. 3.608.800

Resolução: Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala;

10

3

9

2

8

1120⋅ ⋅ =

(UFMG/ 2007) O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos é:a. 250b. 321c. 504d. 576

Resolução: Para ser múltiplo de 10 o zero tem que estar fixo na casa das unidades,

portanto:

9 8

9 8 7

⋅ =

⋅ ⋅ =

=

0 72

0 504

total 576

12. Outro Enfoque: Problema das Lâmpadas

(PUC/MG) Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâm-pada é:a. 63b. 79c. 127d. 182e. 201

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Resolução: Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâm-

pada esteja acesa. As opções de cada lâmpada são: acesa e apagada, logo: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1 (todas apagadas) = 63

(IBMEC/ 2000) O código Morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo ponto (.) ou pelo traço (-). Deste modo, a quantidade de “palavras” possíveis através do código Morse é:a. 16b. 64c. 30d. 8e. 36

Resolução: Pode-se formar palavras de uma, duas, três ou quatro letras e as opções por

letra são duas (ponto ou traço), logo: 2 (1 letra) 2 . 2 = 4 (2 letras) 2 . 2 = 4 (2 letras) 2 . 2 . 2 = 8 (3 letras) 2 . 2 . 2 . 2= 16 (4 letras)

(Telecurso 2000) O número de maneiras de se distribuir 10 objetos diferen-tes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia, é:a. 45b. 90c. 1022d. 101

Resolução: São 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2. 2 . 2 . 2 = 1024 – 2 = 1022 (opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)

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13. Agrupamento de Pessoas

Veja uma abordagem diferente onde misturamos, em teoria, Arranjo e combinação:

Uma CPI (Comissão Parlamentar de Inquérito) será formada por 5 mem-

bros: três da base governista e dois da base oposicionista. Caberá ao governo indicar o presidente, o vice e o relator. A oposição indicará as duas vagas restantes. Se o governo dispões de 4 candidatos para os cargos e a oposição 3, o número de comissões que podem ser formadas é:a. 24b. 72c. 144d. 288

Solução:

4 3 2 3

2

2

172. . . ,x =

a primeira parte não divide porque são cargos classificatórios (presidente, vice e relator), ok!

(BB/2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

Item Correto Comentário: Resolução: É uma questão de análise combinatória onde usaremos o princípio funda-

mental de contagem: Devemos fazer duas escolhas dentre as 12 pessoas disponíveis, ou seja:

12

2

11

166x = pares diferentes, ou, C12 2

12

10 266,

!

!. != =

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34. (CESPE) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 fun-cionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários

Resolução: 1ª agência x 2ª agência x 3ª agência

12

4

11

3

10

2

9

1

8

4

7

3

6

2

5

1

4

4

3

3

2

2

1

1

495 70 1

⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ =

× × = 34650

35. (UFMG/2006) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma co-missão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?a. 70b. 35c. 45d. 55

Resolução: Total de comissões – comissões (Gustavo e Danilo juntos)

8

4

7

3

6

2

5

1

6

2

5

170 15 55. . . .− = − =

35. Um automóvel comporta dois passageiros nos bancos da frente e três no de trás. Calcule o número de alternativas distintas para lotar o automóvel com pessoas escolhidas dentre sete, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente.

Resolução: O número total de pessoas é igual a 7, logo:

A

Fixando a pessoa A no banco detrás, restam 6 pessoas para os quatro lugares restantes, isto é: A6,4. Como a pessoa A pode ser colocada em três lugares no banco detrás, temos:

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3 . A6, 4

362

3 6 5 4 3 1 080!!

. . . . .= =

Resposta: 1.080 alternativas

36. (Petrobras) Sobre uma circunferência tomam-se 7 pontos distintos. Calcule o número de polígonos convexos que se pode obter com vértices nos pontos dados.

A

B

C

D

EF

G

Resolução: número de triângulo → C7,3 = 35 número de quadriláteros → C7,4 = 35 número de pentágonos → C7,5 = 21 número de hexágonos → C7,6 = 7 número de heptágonos → C7,7 = 1

Logo, o número total de polígonos é: 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 99

Resposta: 99 polígonos

37. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

Resolução:Diretoria →

Brasileiros

C 6,3 C 4,2

Japoneses

Logo: C C6 3 4 2

6

3 3

4

2 2, ,.

!

! . !.

!

! . !=

Resposta: 120 modos

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38. Um agrônomo quer comprar 3 caminhões e 4 tratores de uma firma que possui 6 caminhões e 8 tratores, todos de modelos diferentes. Quantas esco-lhas ele tem?

Resolução: Como não importa a ordem de escolha dos caminhões e dos tratores, o pro-

blema é de combinação, logo:

caminhões → C6.3 maneiras diferentes tratores → C8,4 maneiras diferentes.

Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos:

C C6 3 8 4

6

3 3

8

4 420 70 1 400, ,.

!

! . !.

!

! . !. .= = =

Resposta: 1.400 escolhas

39. (UNICAMP-SP) Seis tijolos, cada um de uma cor, são empilhados. De quan-tos modos se pode fazer isto, de forma que o verde e o amarelo estejam sempre juntos?

Resolução:

5

VERDE2

AMARELO

O número de modos é dado por: P5 . P2 = 5! . 2! = 120 . 2 = 240

Resposta: 240 modos

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40. (EEM-SP) De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de Física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Física fiquem, entre si, sempre na mesma ordem?

Resolução:

Matermática Português Física

P2

P2

P3 F1 F2 F3 F4

Logo, devemos ter:

P2 . P3 . P3 = 2 . 6 .6 = 72

Resposta: 72 modos

14. Questão da Lanchonete

Soluções inteiras não negativas de uma equação linearEx.: Considere a equação linear x + y = 5, quantas soluções inteiras não negativas podemos obter:(0, 5); (1, 4); (2, 3); (3, 2); (4, 1); (5, 0), portanto teremos 6 soluções inteiras não negativas.

Considere agora a equação x + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o trabalho será muito grande, e corremos

o risco de esquecer alguma solução.

Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero. Indicaremos cada unidade por uma bolinha e usaremos a barra para fazer a separação, que corresponde aos sinais de adição:

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Logo teremos uma permutação com elementos repetidos (como em ARARA), assim:

9

7 236

!

! !=

Portanto existem 36 soluções inteiras positivas para a equação.

Questão da LanchoneteFui à lanchonete do Seu Fausto e pedi 10 refrigerantes para levar para a equipe

de filmagem. Ele disse que tinha: Coca, Fanta, Sprite e Guaraná. De quantas ma-neiras distintas posso fazer o pedido?

Comentário:

10 Posso pedir tudo de um único sabor ou dois, ou três ou quatro sabores.Por exemplo: 03 cocas, 03 fantas, 02 sprites e 02 guaranás 05 cocas, 0 fantas, 05 sprites e 0 guaranásTraduzindo para o macete acima: C + F + S + G = 10◊◊◊ | ◊◊◊ | ◊◊ | ◊◊ = BBBTBBBTBBTBB, resumindo anagrama com repetição

ou macete ds ARARA, logo teremos:

13

10 3

13 12 11 10

10 3 2 1286

!

! . !

. . . !

! . . .= =

Resumo:

Fatoriala) n! = n fatorial

n ∈ N e

n n n n n

n n

n n

> → = − −

= → =

= → =

1 1 2 3 2 1

1 1

0 1

! .( ).( )... . .

!

!

1! = 1 0! = 1

b) Propriedade

n

n

n n

nn

!

!

.( )!

( )!−=

−=

1

1

1

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Análise Combinatória Simples

a) Arranjo Simples:

An

n pn p.

!

!=

agrupamentos que diferem pela ordem e natureza

b) Permutação simples:

Pn = n! agrupamentos que diferem pela ordem (Anagramas)

c) Combinação simples:

Cn

n p pn p.

!

( !)!. !=

agrupamentos que diferem pela natureza.

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1. Defi nição

A probabilidade está associada ao estudo da Genética (exemplo visto anterior-mente); jogos de azar; estatísticas etc. Moivre foi o mais importante devoto da Teoria das Probabilidades, em sua obra “Doutrina das Probabilidades”, publicada em 1718, ele apresenta mais de 50 problemas, além da lei dos erros ou curvas de distribuição.

Há três ramos principais da estatística: estatística descritiva, que envolve a orga-nização e a sumarização de dados; a teoria da probabilidade, que proporciona uma base racional para lidar com situações infl uenciadas por fatores relacionados com o acaso, assim como estimar erros; e a teoria da inferência, que envolve análise e interpretação de amostras. O ponto central em todas as situações onde usamos pro-babilidade é a possibilidade de quantifi car quão provável é determinado EVENTO. As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determi-nado evento.

Espaço Amostral: Chamamos de espaço amostral (S) um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Chama-se Evento (E) todo subconjunto de (S), associado a um experimento aleatório a qualquer.

Capítulo 13

Probabilidades

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Probabilidade de um Evento Elementar Vejamos as situações seguintes:Lançamento de uma moeda e observação da face superior.Seja S = {k, c} o espaço amostral, onde c representa “cara” e k, “coroa”. Os nú-

meros ½ e ½ podem representar as chances de ocorrência dos eventos elementares {k} e {c}. É razoável esperar que, num grande número de lançamentos, em aproxi-madamente metade deles ocorra cara e na outra metade ocorra coroa.

Indicamos então:PK = ½ e PC = 1/2

Generalizando, sendo

S = {e1, e2, e3, . . ., en},

Um espaço amostral finito, a cada evento elementar {e1} associamos um nú-mero real p({ei}) chamado probabilidade do evento elementar {ei}, que satisfaz as seguintes condições:

⇒ p({ei}) é um número não negativo: p({ei}) ≥ 0; ⇒A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é 1:

p({e1}) + p({e2}) + . . . + p({en}) = 1

Consequentemente, para qualquer evento elementar {ei} temos:

0 ≤ p({ei}) ≤ 1

Exemplo: Na sequência de números 1, 2, 3, ..., 100, qual a probabilidade de sortearmos um número que não é múltiplo de 3 e nem de 4 ?

a. 50% b. 48% c. 46% d. 44% e. 42%

Comentário: Trata-se de uma questão matemática, onde o conhecimento de conjuntos numéricos é necessário.

Múltiplos de 3 de 1 até 100, é só dividir por 3 ⇒ 100 ÷ 3 = 33 e resto 1Múltiplos de 4 de 1 até 100, é só dividir por 4 ⇒ 100 ÷ 4 = 25Múltiplos de 12 de 1 até 100, é só dividir por 12 ⇒ 100 ÷ 12 = 8 e resto 4

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O resto não é importante, mas sabemos que os divisores de 3 e 4, são divisíveis por 12, logo:

M(3)

8

M(4)

33 – 8 = 28 25 – 8 = 17

Logo temos 50 números que não múltiplos nem de 3 e nem de 4,ok!Assim a probabilidade será: 50/100 = 50%Alternativa A

2. Probabilidade de um Evento Qualquer: Problema da Moeda

Probabilidade de um evento qualquerNo lançamento de uma moeda defeituosa, qual a probabilidade de sair cara,

sabendo-se que esta é o dobro da probabilidade de sair coroa?Solução:

Temos p(c) = 2p(k) e p(c) + p(k) = 1.

Portanto: 2p(k) + p(k) = 1 ⇒ p(k) =

1

3

Portanto:

p(c) = 2

3

Ainda no exemplo anterior, se jogássemos 03 vezes consecutivas este dado, qual a probabilidade de sair 02 caras e 01 coroa?

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Resolução:

As possíveis maneiras são:CCK, CKC ou KCC, portanto teremos:

2

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

2

3

4

9x x x x x x+ + =

Adição de ProbabilidadesSendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E, tem-se que:

P(A * B) = P(A) + P(B) – P(A) B)

“A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilida-des de A e B, menos a probabilidade da interseção de A com B.”

Exemplos:

» Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual a probabilidade de que ela seja branca ou verde?

SoluçãoA probabilidade de obtermos uma bola branca ou uma bola verde é dada por:

P(B ∪ V) = P(B) + P(V) – P (B) V)

Porém, P (B ∩ V) = 0, pois o evento bola branca e o evento bola verde são mu-tuamente exclusivos.

Logo,P(B ∪ V) = P(B) + P(V)P(B ∪ V) = 2/9 +/3/9 =5/9

» Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 4 ou um número par?

SoluçãoO número de elementos do evento número 4 é n(A) = 1.O número de elementos do evento número par é n(B) = 3.Observando que n(A ∩ B) = 1, temos:P (A ∩ B) = 1/6 +3/6 – 1/6 =3/6P (A ∩ B) = ½

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3. Eventos Complementares e Exclusivos

Eventos ComplementaresO evento “” é complementar do evento “E”, quando constituído por todos os

elementos do espaço amostra que não pertencem ao evento “E”.Exemplo: No lançamento de um dado honesto, o evento número ímpar {1, 3, 5}

é o evento complementar do evento número par {2, 4, 6}.Então: E = {2, 4, 6} = {1, 3, 5}

Eventos Mutuamente ExclusivosOs eventos exclusivos jamais ocorrem simultaneamente.Ex.: A = {2, 4, 5} e B = {1, 3, 6} são mutuamente exclusivos porque jamais ocor-

rem simultaneamente.

Exercício

57. (TRT/2004) Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhis-tas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.a. ( ) A probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de

bancários é inferior a 0,005.b. ( ) As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos sejam

de professor é superior a 80%.c. ( ) O número de possíveis grupos contendo 1 processo de bancário,1

processo de professor e 1 processo de médico é inferior a 55.

4. Probabilidade Equiprovável

Probabilidade Amostrais Equiprováveis

Um espaço amostral é chamado equiprovável quando seus eventos elementares têm iguais probabilidades de ocorrência. Observamos a seguinte situação: No lan-çamento de um dado não viciado e observação da face superior, temos as seguintes possibilidades: Como o dado não é viciado, consideramos essas possibilidades equi-prováveis, ou seja, têm a mesma probabilidade de ocorrer.

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Utilizando um raciocínio semelhante ao de Fermat, observamos que temos uma possibilidade favorável de que ocorra o evento desejado, por exemplo, o apa-recimento do número 5 na face superior do dado – num total de 6 possibilidades. Diremos então que a probabilidade de que o referido evento ocorra é 1/6.

Generalizando, se num fenômeno aleatório as possibilidades são equiprováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento E, que indicaremos por p(E), será dada por:

Número de possibilidades favoráveis

Número total de possibilidadesP(E) =

5. Questão de Conjunto

Ex. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que:

» 210 pessoas compram o produto A; » 210 pessoas compram o produto B; » 250 pessoas compram o produto C; » 20 pessoas compram os 3 produtos; » 100 pessoas não compram nenhum dos 3; » 60 pessoas compram os produtos A e B; » 70 pessoas compram os produtos A e C; » 50 pessoas compram os produtos B e C.

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Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:

40

2050 30

150100

100 120

BA

C

Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados.

Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela seja:a) Consumidora de apenas um dos produtos?

P1370

610

37

61= =

b) Consumidora de no mínimo 02 produtos?

P2140

610

14

61= =

6. Probabilidade Condicional

Probabilidade CondicionalAnalisemos a seguinte situação:

Retirando-se sucessivamente, e sem reposição, 3 cartas de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de ocorrerem 3 de espada?

Solução:

Chamemos de E o evento ”ocorrerem 3 cartas de espadas”. Na 1ª retirada, a probabilidade de ocorrer carta de espadas é 13/52 (num baralho de 52 cartas, há 13 de espadas; tendo sido obtida 1 carta de espadas, a probabilidade de ocorrer outra

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é12/51; obtidas 2 cartas de espadas nas duas primeiras retiradas, a probabilidade de ocorrer outra na 3ª retirada é 11/50. Usando a fórmula da probabilidade condicional, temos:

p E( ) = =13

52

12

51

11

50

11

850. .

Curiosidade:Num jogo de Pôquer, qual a probabilidade de ocorrer uma trinca e uma dupla? (considerando que um jogador recebe as cinco cartas de uma só vez)Solução:A 1ª carta é aleatória: 52/52A 2ª carta terá probabilidade: 3/51A 3ª carta terá probabilidade: 2/50A probabilidade da 4ª: 48/49E a da 5ª: 3/48 Daí teremos o seguinte:

5

3 210

!

!. !=

NNNPP em qualquer ordem, ou seja:

52

52

3

51

2

50

48

49

3

4810

6

4 165x x x x x =

.

10 maneiras diferentes disto acontecer. Logo a probabilidade desejada será:

Que corresponde a 0,00144 = 0,1%!!!

7. Eventos Independentes

Eventos IndependentesDizemos que n eventos E1, E2, E3, ..., En são independentes quando a probabi-

lidade de ocorrer um deles não depende do fato de terem ou não ocorrido os outros.Para n eventos independentes temos:

p(E1 e E2 e E3 e ... e En) = p(E1) . p(E2) . p(E3) . ... . p(En)

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Exemplo:

No lançamento de 2 moedas não viciadas, qual é a probabilidade de ocorrerem 2 caras?

Solução:

Vamos chamar de E1 o evento “ocorrer cara na 1ª moeda” e de E2 o evento “ocorrer cara na 2ª moeda”. Aplicando a fórmula da probabilidade dos eventos inde-pendentes, temos:

p E E p E p E1 2 1 2

1

2

1

2

1

4 e ( ) ( ) ( )= = =. .

Exemplo: (FCC) Em um setor de fabrica trabalham 10 pessoa que serão divi-didas em dois grupos de 5 pessoas para cada realizar determinadas tarefas. João e Pedro são duas dessas pessoas. Nesse caso, a probabilidade de João e Pedro ficarem no mesmo grupo é

a. Inferior a 0,36.b. Superior a 0,36 e inferior a 0,40. c. Superior a 0,40 e inferior a 0,42. d. Superior a 0,42 e inferior a 0,46. e. Superior a 0,46

Comentário: João e Pedro participando:

J P x x x, ,8

3

7

2

6

156 2 112= = (Eles podem ficar junto nos dois grupos)

Total de comissões:

10

5

9

4

8

3

7

2

6

1252x x x x =

Probabilidade:

112

252

4

90 4444= = ,

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8. Lei de Murphy

Até mesmo a Famosa lei de Murphy:Ao tentarmos abrir uma porta temos em mãos uma penca com 05 chaves e

não sabemos qual delas abrirá a porta. Então tentamos a 1ª e se não conseguirmos (separamos esta), tentamos a segunda, e assim por diante até chegar à última, sem-pre separando a que já tentamos. Segundo Murphy a probabilidade de acertarmos a chave na última tentativa é maior que na primeira e ele está certo ou errado? Responda você.

Ele está errado, pois é a mesma probabilidade:Temos que analisar o problema da seguinte maneira:

P(a) = acertar a chave = 1/5 e P(e) = errar a chave 4/5

1ª tentativa: 1/5

2ª tentativa: 4

5

3

4

1

3

1

5. . =

3ª tentativa: 4

5

3

4

1

3

1

5. . =

4ª tentativa: 4

5

3

4

2

3

1

2

1

5. . . =

5ª tentativa: 4

5

3

4

2

3

1

2

1

1

1

5. . . . =

9. Probabilidade de não Ocorrer um Evento

Probabilidade de ocorrer a união de eventosNa representação deste item, vamos analisar dois exemplos:Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de

essa carta ser uma figura (valete, dama ou rei)?

Chamemos de E1, o evento “a carta retirada ser de um valete”, de E2 o evento “a carta retirada ser de uma dama”, e de E3 o evento “a carta retirada ser de um rei”. Aplicando a fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos, temos:

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= p(E1 e E2 e E3) = p(E1) . p(E2) . p(E3)

4

52

4

52

4

52

1

13

1

13

1

13

3

13+ + = + + =

Probabilidade de não ocorrer um eventoDois prêmios iguais são sorteados entre 5 concorrentes, sendo 3 brasileiros e 2

italianos. Admitindo que a mesma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, qual é a probabilidade de ser premiado pelo menos um brasileiro?

Ser premiado pelo menos um brasileiro implica não serem premiados 2 italianos. Chamemos de E o evento “serem premiados 2 italianos”. Usando a fórmula da

probabilidade condicional, verificamos que a probabilidade de serem premiados 2 italianos é:

p E( ) = =2

5

1

4

1

10.

Aplicando agora a fórmula da probabilidade de não ocorrer o evento E, obtemos a probabilidade de ser premiado pelo menos um brasileiro:

p E = 1 - p(E) = 1 -1

10=

9

10≈( )

(UFMG ) Leandro e Heloísa participam de um jogo em que se utilizam dois cubos. Algumas faces desses cubos são brancas e as demais, pretas. O jogo consiste em lançar, simultaneamente, os dois cubos e em observar as faces superiores de cada um deles quando param:

» se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro vencerá; » se as faces superiores forem de cores diferentes, Heloísa vencerá.

Sabe-se que um dos cubos possui cinco faces brancas e uma preta e que a probabilidade de Leandro vencer o jogo é de 11/18.

Então é correto afirmar que o outro cubo tem:a. Quatro faces brancas.b. Uma face brancac. Duas faces brancas.d. Três faces brancas.

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Comentário: X ⇒ número de faces pretas do segundo cubo.Logo teremos:

1

6 6

5

6

6

6

11

18

30 5 22

2

. .( )x x

x x

x

+−

=

+ − =

= Resposta: Alternativa A.

10. Distribuição Binomial

Generalizando, se em cada uma das n tentativas de um fenômeno aleatório a probabilidade de ocorrer um evento é sempre P(E), a probabilidade de que esse evento ocorra em apenas K das n alternativas é dada por:

Pn =n

k. P

k. 1 P

n k

( ) ( )−−

Exemplo

Um casal tem 8 filhos, sendo que não há gêmeos entre eles. Qual é a probabili-dade de esses filhos serem:

a. 8 homens?b. 7 homens e 1 mulher?c. 4 homens e 4 mulheres?

Solução

Aplicando a fórmula da distribuição binominal, temos:A probabilidade de que ocorram 8 homens é:

P88

8

1

2

81

2

01

256= =

. .

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b) A probabilidade de que ocorram 7 homens e 1 mulher é:

P78

7

1

2

71

2

18

256= =

. .

c) outra maneira:HHHHMMMM que é o mesmo que um anagrama com 8 letras, sendo 4 Hs e

4Ms, portanto usando o da ARARA, teremos:

8

4 470

!

!. != possíveis resultados.

Agora sabemos que temos duas opções de sexo: homem ou mulher, e como são 08 filhos, o total de possibilidades será

2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 256Assim a probabilidade desejada, será:

P = =70

256

35

128

11. Questão da CESGRANRIO-ESAF

(Cesgranrio/Controlador/Aeronáutica/2007) Há duas urnas sobre uma mesa, ambas contendo bolas distinguíveis apenas pela cor. A primeira urna contém 2 bolas brancas e 1 bola preta. A segunda urna contém 1 bola branca e 2 bolas pretas. Uma bola será retirada, aleatoriamente, da primeira urna e será colocada na segunda e, a seguir, retirar-se-á, aleatoriamente, uma das bolas da segunda urna. A probabilidade de que esta bola seja branca é:a. 1/12b. 1/6c. ¼d. 1/3e. 5/12

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Comentário: Solução:

U1 = B

P

=

=

2 2 3

1 1 3

( / )

( / ) U2=

BP

==

11 32 2 3( / )( / )

Ao retirarmos uma bola qualquer que pode ser branca ou preta da urna U1, a

probabilidade de se retirar uma branca da urna U2, será:

» Se a bola retirada for branca teremos: BB » Se a bola retirada for preta teremos: PB

Daí pode acontecer: BB ou PB, donde:

23

24

13

14

512

⋅ + ⋅ =

Resposta: alternativa E.

(ANA/ 2002) Antônio, Bruno, César, Dário e Ernesto jogam uma moeda idô-nea 11, 12, 13, 14 e 15 vezes, respectivamente. Apresenta a menor chance de conseguir mais caras do que coroas:a. Antôniob. Bruno c. Césard. Dárioe. Ernesto

Comentário: A menor chance de conseguir mais caras do que coroas signi-fica a menor probabilidade de obter mais caras que coroas. Portanto, temos que analisar caso a caso:

a) Antônio – 11 vezes

612

0 5 50= =, %

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caras coroas

11 0

10 1

9 2

8 3

7 4

6 5

5 6

4 7

3 8

2 9

1 10

0 11

b) Bruno – 12 vezes

613

0 4615 46 15= =, , %

Caras Coroas

12 0

11 1

10 2

9 3

8 4

7 5

6 6

5 7

4 8

3 9

2 10

1 11

0 12

E assim por diante, logo:

c) Cesar – 13 vezes: Serão 7 em 14, ou seja, 50%d) Dário – 14 vezes: Serão 7 em 15, ou seja, 46,66%e) Ernesto – 15 vezes: Serão 8 em 16, ou seja, 50%Resposta: alternativa B.

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12. Propriedades da Condicional

Propriedades:

P A B P A B

P A B P A B

( ) ( )

( ) ( )

∩ = ∪

∪ = ∩

Comentário: Em outra unidade de estudo abordamos o tema Negação de uma conjunção de uma disjunção, este assunto esta diretamente ligado às propriedades acima, veja o lembrete:

Proposição Equivalente da Negação

A e B Não A ou não B

A ou B Não A e não B

Ou seja:

A negação do E é OU e a negação do OU é E.

(FGV) Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível do óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para veri-ficar ambos é 0,04. Portanto, a probabilidade de Ligia parar em um posto de gasolina e não pedir pra verificar nem o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é de:a. 0,25b. 0,35c. 0,45d. 0,15e. 0,65

1 – ( 0,11 + 0,04 + 0,24) = 0,65

0,24 0,040,07

Oléo Pneu

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13. Teorema de Bayes

Se A1, A2, A3, ..., Ai são eventos mutuamente exclusivos de maneira que A1 ∪ A2 ∪... = S

P(Ai) = prob conhecidas dos eventosB = um evento qualquer de s, conhecendo-se todas as probabilidades de P(B/A)Então,

P A BP A P B A

P A P B A P A P B Aii i( / )

( ). ( / )( ). ( / ( ). ( / ) ...)

=+ +1 1 2 2

Questão

Urnas Cores U1 U2 U3

Pretas 3 4 2 9

Brancas 1 3 3 7

Vermelhas 5 2 3 10

9 9 8 26

Escolheu-se uma urna ao acaso e tirou-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é branca. Deseja-se determinar a probabilidade da bola ter vindo da urna 2. Da urna 3.

P(U1) = 1/3 P(U2) = 1/3 P(U3) = 1/3 (eventos equiprováveis) P(Br/U1)=1/9 P(Br/U2)=3/9=1/3 P(Br/U3)=3/8

P U Br( / ).

. . .2

1313

1319

1313

1338

2459

=+ +

=

Faça você agora para a urna 3. Resposta: 27/59

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14. Questões

(ICMS/RJ) O enunciado a seguir refere-se às questões de nºs 46 e 47. Em um jogo, apresentam-se ao participante 3 fichas voltadas para baixo, es-

tando representadas em cada uma delas as letras T, C e E. As fichas encon-tram-se alinhadas em uma ordem qualquer.

O participante deve ordenar as fichas, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TCE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta, ganhará um prêmio de R$ 500,00.

A probabilidade de o participante não ganhar qualquer prêmio é igual a:a. 0b. 1/6c. 1/4d. 1/3e. 1/2

Comentário:

23

12

11

13

x x =

Resposta: alternativa D.

A probabilidade de o participante ganhar exatamente o valor de R$1000,00 é igual a:a. 3/4b. 2/3c. 1/2d. 1/6e. 0

Letra E, pois se ele acerta duas, ele acerta 03, portanto não tem como ele ganhar exatamente 1000,00.

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58. (CEF/CESGRANRIO) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas, numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par?a. 15b. 20c. 23d. 25e. 27

59. (CEF/CESGRANRIO) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 éa. 150/216b. 91/216c. 75/216d. 55/216e. 25/216

15. Problema do Filme Quebrando a Banca

60. (ESAF/MPOG/2005) Há três moedas em um saco. Apenas uma delas é uma moeda normal, com “cara” em uma face e “coroa” na outra. As demais são moedas defeituosas. Uma delas tem “cara” em ambas as faces. A outra tem

“coroa” em ambas as faces. Uma moeda é retirada do saco, ao acaso, e é colocada sobre a mesa sem que se veja qual a face que ficou voltada para baixo. Vê-se que a face voltada para cima é “cara”. Considerando todas estas informações, a probabilidade de que a face voltada para baixo seja “coroa” é igual a:a. 1/2b. 1/3 c. ¼d. 2/3e. 3/4

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61. (Cesgranrio/Téc. Adm./MP-RO/2005) Pedro e Paulo estavam brincando com dados perfeitos. Um dos meninos lançava dois dados e o outro tentava adivinhar a soma dos pontos obtidos nas faces voltadas para cima. Pedro lan-çou os dados sem que Paulo visse e disse: “Vou te dar uma dica: a soma dos pontos é maior que 7”. Considerando que a dica de Pedro esteja correta, Paulo terá mais chance de acertar a soma se disser que esta vale:a. 8b. 9c. 10 d. 11 e. 12

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1. 512 = 2n, logo ao fatorarmos 512 = 29,

ou seja, teremos n = 9, menos 03 ele-

mentos sobram 06 elementos e então

o novo conjunto ficará com 26 = 64

subconjuntos.

2. N = 7 e P = 3 → 35 (Vide triângulo).

3. Comédia: N = 05 e P = 02 → 10

0 x 15 = 150. O item está correto.

Animação: N06 e P = 02 → 15

3 em 7 (N = 07 e P = 03) = 35

4. 2 em 4 N=04 e P=02) = 6

35 x 6 x 1 = 210.

2 em 2 (N = 02 e P = 02) = 1

5. b.

1 + 2 = 3 + 3 = 6 + 4 = 10 + 5 = 15 +

6 = 21 + 7 = 28 + 8 = 36. 1 + 3 + 6 +

10 + 15 + 21 + 28 + 36 = 120.

6. b. nn n= +( )1

2 = (100 x 101) : 2 =

5050.

7. e

8. 40%

9. sem gabarito

10. d

11. errado

12. e,e,e,c

13. e

14. errado

15. c

16. c

17. b

18. errado

19. c

20. c

Gabarito

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21. b

22. e

23. c

24. c

25. b

26. a

27. e

28. a

29. d

30. b

31. c

32. d

33. c

34. c

35. d

36. c

37. e

38. e

39. b

40. a

41. b

42. d

43. d

44. c

45. b

46. b

47. b

48. c

49. a

50. e

51. sem gabarito

52. correto

53. c,c,c

54. c

55. d

56. sem gabarito

57. d

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