7ULJRQRPHWULD H UHODo}HV WULJRQRPpWULFDV · 0pwrgrv 0dwhpiwlfrv $solfdgrv j )tvlfd ± 3uri &polr :lvqlhzvnl 3duwh )xqo}hv wuljrqrppwulfdv ghulydgdv 6hfdqwh gr kqjxor θ rx vhf θ

Métodos Matemáticos Aplicados à Física – Prof. Célio Wisniewski. Parte 4

1

Trigonometria e relações trigonométricas Em trigonometria, os lados dos triângulos retângulos

assumem nomes particulares, apresentados na figura ao lado. O lado mais comprido, oposto ao ângulo de 90º (ângulo reto), chama-se hipotenusa e os demais se chamam catetos. O cateto que forma o ângulo θ, na figura, com a hipotenusa é o cateto adjacente ao ângulo e o outro o cateto oposto. Teorema de Pitágoras

O grego Pitágoras formulou o seguinte teorema para o triângulo retângulo: a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Isto é:

² ² ²x y h

Relações trigonométricas de ângulos Os lados do triângulo podem ser relacionados com o ângulo θ, através de relações denominadas trigonométricas: Seno do ângulo θ ou sen(θ)

É o quociente entre o cateto oposto ao ângulo θ e a hipotenusa: cateto opostosen hipotenusa

yh .

Cosseno do ângulo θ ou cos(θ) É o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa;

cateto adjacentecos hipotenusaxh

Tangente do ângulo θ ou tan(θ) É o quociente entre o cateto oposto e o cateto adjacente:

cateto opostotan cateto adjacenteyx .

Note que a tangente pode ser escrita como: sen( ) sen( )tan( ) tan( )cos( ) cos( )

y hx h


2

Funções trigonométricas derivadas Secante do ângulo θ ou sec(θ)

1sec cos

Co-Secante do ângulo θ ou cosec(θ) 1cosec sen

Co-Tangente do ângulo θ ou cotan(θ) 1cotan tan

A equação fundamental da trigonometria A equação fundamental da trigonometria surge como um caso particular do teorema de Pitágoras:

2 2 22 2

2 2

1 mas sen e cossen cos 1

x y hx y x yh h h h

.

Desta equação podemos derivar outras. Dividindo ambos os lados por 2cos :

2 22 2 2

22

sen cos 1cos cos cos

1tan 1 cos

ou, dividindo por 2sen :

2 22 2 2

22

sen cos 1sen sen sen

1cotan 1 sen


3

Problema da altura da torre Um problema interessante é o cálculo da altura da torre a partir dos ângulos α e β.

Fazendo a medição dos ângulos separados pela distância de 10 m mostrado na figura, mediu-se

20 18o oe . Então, das funções trigonométricas obtemos:

tan( ) tan( )tan( ) tan( )

tan( ) tan( )mas 10então:

10 tan( ) tan( )10 tan( )tan( ) tan( ) 10 tan( ) tan( ) tan( )

mas tan( )10 tan( ) 10 tan( ) tan( )

tan( ) tan( ) tan( )

h h bb b ah h aab a

a aa a

hah h

tan( ) tan( )

Substituindo os valores das tangentes dos ângulos: tan( ) tan(20 ) 0,367tan( ) tan(18 ) 0,325

10 tan( ) tan( ) 30,3mtan( ) tan( )

oo

h


4

Outro problema de medição de altura A medição da altura do prédio pode ser feita utilizando-se a luz solar (e a sombra produzida pelo prédio) e uma estaca de altura conhecida colocada ao lado. Note que, neste caso, a tan( ) para o prédio, e é a mesma relação para a estaca:tan( ) , então,

HXhx

H h hH XX x x

Port

anto, conhecendo-se o comprimento das sombras e a altura da estaca, pode-se determinar o valor da altura do prédio H.

Seno, cosseno e tangente como funções reais de variável real Na figura ao lado, a circunferência foi dividida em ângulos na unidade radianos, onde uma volta inteira corresponde a 2π radianos ou rad. Isto é, π é a razão entre o diâmetro da circunferência e o comprimento dela:

22

comprimento comprimentodiâmetro raio

comprimentoraio

.

Portanto θ tem unidade rad e, neste caso, pode ser usado como qualquer número nas operações matemáticas, por exemplo:

3,142 2 1, 41 2,24 4 4se então a operação O mesmo não poderia ser feito se θ fosse expresso em graus. A origem da medida dos ângulo é no eixo das abscissas (x). O eixo vertical y (ordenadas) corresponde, portanto, a um ângulo de 90º ou θ = π/2.


5

Considere o triângulo retângulo à direita do eixo y. O ângulo é θ e o valor das funções trigonométricas seno e cosseno é:

sen( ) cos( )y xh h

Agora considere o triângulo retângulo à esquerda do eixo y. O ângulo agora é π – θ. Então:

sen cossen sen cos cos

y xh h

Portanto, a função sen é uma função par e cos uma função

ímpar. Agora analisemos o triângulo inferior. Neste caso,

sen sen 2 cos cos 2sen sen cos cos

y xh h

Portanto, isto prova novamente o caráter ímpar para a função cosseno e par para a função seno. Agora analisemos os casos em que θ =0 e θ = π/2. Quando θ =0, x será igual ao valor da hipotenusa, isto é, x = h, enquanto que y = 0. Portanto:

sen 0 0 cos 0 1y x hh h h

Portanto, podemos construir uma tabela com valores de θ mais comuns:

Θ graus x y sen yh cos x

h tan yx

0 0º h 0 0 1 0 12 90º 0 h 1 0 14 45º 2

2 h 22 h 2

2 22 1

43 270º 0 h -1 0 π 180º -h 0 0 -1 0


6

Soma e subtração de ângulos. Algumas propriedades trigonométricas interessantes referem-se à soma ou subtração de ângulos. São elas:

cos cos cos sen sensen sen cos cos sen

*Prova no anexo 1 Estas equações podem ser usadas para determinar o valor do seno ou cosseno de ângulos desconhecidos. Por exemplo, qual o 6sen ou sen 30o ?

sen sen sen cos cos sen2 6 6 6 6 6 6 6 6 61 sen cos cos sen sen cos sen cos cos6 6 6 6 6 6 6 6 6

3 2 2 2

3 2 3

3

sen 61 sen 3sen cos cos 1 sen6 6 6 6 61 sen 3sen 1 sen 4sen 3sen6 6 6 6 64sen 3sen 1 06 6A resoluç

1 2 3

ãodesta equaçãodo terceiro grau fornece3raízes:1sen 1, sen sen6 6 6 2

comosen está no primeiroquadrante, a soluça o negativa não é valida.61Portanto sen 6 2

Tente fazer 6 12 3cos , sen e sen Também podemos obter

sen cos cos sencos cos

cos cos sen sencos cos

sentan cossen cos cos sentan cos cos sen sen

tan tantan 1 tan tan


7

Soma de ângulos iguais Da primeira equação, fazendo α = θ, obtemos:

2 2

2 2 2 2

2 2

cos cos cos sen sencos 2 cos sen

cos sen 1 sen 1 coscos 2 2cos 1 cos 2 1 2sen

mas

ou

Da segunda equação, fazendo α = θ, obtemos:

sen sen cos cos sensen 2 2sen cos

Periodicidade das funções trigonométricas As funções seno e cosseno são funções periódicas, cujo período é π. Note que, ao substituirmos θ nas equações abaixo por 2n , onde n é um número inteiro, ou o número de voltas em torno da circunferência, obtemos:

cos cos cos sen sencos 2 cos cos 2 sen sen 2mas sen 2 0 para qualquere cos 2 cos 2 1 pois 2 é para qualquer e portanto tem-se múliplos de 2 .portanto cos 2 cos

sen 2 sen cos 2 cos sen

n n nn n

n n n par nn

n n

2sen 2 sen

nn

n

Portanto as funções seno e cosseno tem o mesmo valor para 1 2 , 2 2 , 3 2 , ..., 2n . Observe no gráfico a periodicidade com que a função se repete:


8

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

A

cos()

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

A

sen()

Embora não sejam contínuas, isto é, possuem valores que tendem a infinito, as demais funções trigonométricas também são periódicas:

0

tan()

0

cotan()

0

sec()

0

cossec()


9

Ângulo de fase: As funções trigonométrica, por serem periódicas, costumamos chamar uma constante somada ao ângulo de ângulo de fase, por exemplo: cos 2 2 é o ângulo de fase Uma aplicação é a rede elétrica trifásica. A energia elétrica é uma função co-senoidal e cada fio (ou fase) tem amplitude máxima de 127 Volts, como na figura, sendo cada onda defasada da outra de 120º, ou ângulo de fase de 23 , isto é, a fase 1 começa em θ = 0, a fase 2 em θ = 0+ 23 e a fase 3 em θ = 0+2. 23 ( a escala x = θ, é uma função do tempo, isto é,

, 2 .60t onde é a frequência angular de Hz :

-220

-132

-44

44

132

220

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Múltiplos de Pi

Volts

Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 2 - Fase 1

Ligando um aparelho na fase 1 e no terra (0 V), tem-se 127 V, mas se ligar o aparelho em duas fases (fase 2 – fase 1) obtém-se 220 V, representada pela função de maior intensidade. Anexo I - Demonstração da adição e subtração de arcos Considere o círculo trigonométrico de raio h = 1 abaixo:


10

Observando as construções geométricas no círculo trigonométrico acima, podemos deduzir que os triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelhantes. Então, podemos construir algumas relações:

Os triângulos OVS e OMP são semelhantes, logo:

Substituindo as relações (1), (2), (7) na igualdade acima, obtemos:


11

Os triângulos QTS e OMP são semelhantes, logo:

Substituindo as relações (3), (4) e (7) na igualdade acima, obtemos:

Agora que já construímos algumas relações principais, vamos às demonstrações: cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sen(b)sen(a) Observando o círculo trigonométrico da figura 1, notamos que:

Podemos concluir também que:

Se substituirmos as relações (5) e (8) na igualdade acima, obteremos:

cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sen(b)sen(a) Da relação (10) temos que:

Se quisermos determinar cos(a – b), podemos escrever a relação acima como:


12

Mas, se observarmos o círculo trigonométrico da figura 1, deduzimos que:

Então:

Em contrapartida, podemos escrever:

Então teremos:

sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) Sabemos que:

Se fizermos θ = (a + b), teremos:

Da mesma forma, temos:

Temos aqui um cosseno da diferença entre dois arcos e é dado pela relação (11), logo:

Mas, observando a relação (12), vemos algumas similaridades coma relação (13) e podemos escrevê-la assim:


13

sen(a – b) = sen(a)cos(b) – sen(b)cos(a) Da relação (14) temos que:

Se quisermos determinar sen(a – b), podemos escrever a relação acima como:

No entanto:

e

Fazemos:

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