03-10-2014

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CONGRUÊNCIA E SEMELHANÇA

Nuno Marreiros

8º ANO

Aplicações da semelhança de triângulos

Antes de começar

Sim é possível … mãos à obra …

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Quando o sábio Tales de Mileto se encontrava no Egipto, foi-lhe

pedido, por um mensageiro do faraó, em nome do soberano, que

calculasse a altura da pirâmide de Quéops: corria a voz de que o

sábio sabia medir a altura de construções elevadas por arte

geométrica, sem ter de subir a elas.

Tales de Mileto e a pirâmide de Quéops

A pirâmide de Quéops, situada a dez milhas a

Oeste do Cairo, na planície de Gizé, no Egito, a

39 metros do vale do rio Nilo, foi construída a

cerca de 2500 a.C.

Considerada uma das sete maravilhas do mundo

antigo, ela tem aproximadamente 146 m de

altura. A sua base é um quadrado, cujos lados medem cerca de 230m.

Diz-se que Tales, comparando a sombra de uma estaca com a sombra das pirâmides e usando uma técnica inovadora, mediu as respetivas alturas. A proporcionalidade entre os segmentos de reta paralelos determinados, tendo em conta uma outra reta, levou ao que hoje é conhecido como o Teorema de Tales.

Tales de Mileto e a pirâmide de Quéops

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Raios solares

Pirâmide

S (sombra)

H(altura da pirâmide)

s (sombra)

h (altura da estaca)

Tales sabia que os Raios Solares incidiam paralelamento sobre a Terra.

Um triângulo retângulo é determinado pela altura da pirâmide e pela sua

sombra.

Tendo em atenção a figura podemos estabelecer a seguinte proporção:

H S

= h s

Ou seja, H= h x S

s

Um outro, pela altura de uma estaca e da sua sombra.

Tales de Mileto e a pirâmide de Quéops

O raciocínio de Tales para calcular a altura da pirâmide

Nas proximidades da pirâmide, Tales apoiou-se a uma estaca, esperou

até ao momento em que, a meio da manhã, a sombra da estaca,

estando esta na vertical, tivesse um comprimento igual ao da própria

estaca. Concluiu que a altura da pirâmide seria igual ao comprimento

da sombra da pirâmide mais metade da medida da base.

estaca

Tales de Mileto e a pirâmide de Quéops

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Raciocínio matemático de Tales na pirâmide

Altura

da

pirâmide

h

115 m

base 31 m

sombra

A

B C

146 2 292146

2 2h

A Pirâmide tem 146 metros de altura.

Triângulo da

Pirâmide

Triângulo da

estaca

h 2

146 2

Altura da

estaca

2 m

2 m

sombra

D

E F

Teorema de Tales – A pirâmide de Quéops

Novamente pensando na pirâmide … TRIÂNGULOS DE TALES

Dois triângulos são ditos de Tales ou que estão em posição de Tales, quando:

Têm um ângulo comum e os lados opostos a esse ângulo são paralelos.

S (sombra)

H(altura da pirâmide)

s (sombra)

h (altura da estaca)

Como exemplo temos os triângulos estudados anteriormente.

Triângulos de Tales

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Calcula a altura do prédio ao lado:

x

5

3 12

Escrevendo a proporção …

3

5 =

15 x

E resolvendo a proporção

3 x x = 5 x 15

x = 75 3

x = 25

Por que 3+12=15

Triângulos de Tales - Aplicações

A altura do prédio é de 25 metros.

Qual a medida de no lago da figura? AB

245

120120

1

5120

15

75

Triângulos de Tales - Aplicações

24AB metros

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