8 - Estatica das Particulas.pdf

7/28/2019 8 - Estatica das Particulas.pdf

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Disciplina:Disciplina: Fundamentos para a Análise EstruturalFundamentos para a Análise EstruturalCódigo:Código: AURB006AURB006 Turma: Turma: AA Período Letivo:Período Letivo: 20072007-- 22

Professor:Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasFaculdade de Arquitetura e UrbanismoFaculdade de Arquitetura e Urbanismo

Curso de Arquitetura e UrbanismoCurso de Arquitetura e Urbanismo

Maceió/ALMaceió/AL

Estática das PartículasEstática das Partículas



E d u a r d o N o b r e L a g e s

– C T E C / U F A L

ObjetivoObjetivo

Estudo do efeito de sistemasde forças concorrentes.

T AB T AC

Wcaixa





Resultante de Duas ForçasResultante de Duas ForçasConcorrentesConcorrentes

Regra do Paralelogramo para Adição de ForçasRegra do Paralelogramo para Adição de Forças::Duas forças atuando numa partícula podem ser substituídaspor uma única força, chamada resultante resultante , obtida traçando adiagonal do paralelogramo que tem por lados as duas forçasdadas.

Q

P

R

A

Observações:Observações:• As forças concorrentes devem apresentar origens em comum;• As inclinações das forças devem ser obedecidas;• Os tamanhos dos vetores devem obedecer a uma única escalade conversão.






ExemploExemplo::

25º4,5 kN

50º

6 kNDuas forças são aplicadas à cabeça de um parafusopreso em uma viga. Determine a intensidade, adireção e o sentido de sua resultante.






ExemploExemplo (continuação):(continuação):

25º4,5 kN

50º

6 kN

25º4,5 kN

50º

6 kN

25º4,5 kN

50º

6 kN≈ 88º

Resposta: 6,5 kN 88º

Princípio da TransmissibilidadePrincípio da Transmissibilidade

Lei do ParalelogramoLei do Paralelogramo






Regra do TriânguloRegra do Triângulo::Da lei do paralelogramo lei do paralelogramo é possíveldeduzir um outro método para sedeterminar a força resultante.

Q

P

R

A

O mesmo vetor força resultante pode serdeterminado combinando-se os dois vetoresforça originais na seqüência ponta ponta- -a a- -cauda cauda e,em seguida, unindo-se a cauda do primeiro

desenhado à ponta do segundo desenhado.

P

Q

R

A ordem da combinação dos vetores originais não altera aforça resultante (a soma de vetores é comutativa).





S

Resultante de Mais de DuasResultante de Mais de DuasForças ConcorrentesForças Concorrentes

A princípio é possível encontrar a força resultanteaplicando-se sucessivamentesucessivamente a lei do paralelogramo lei do paralelogramo ou aregra do triângulo regra do triângulo .

Q

PRPQ

R


Aplicação sucessivasucessiva da lei lei

do paralelogramo do paralelogramo ::

A





S

Resultante de Mais de DuasResultante de Mais de DuasForças ConcorrentesForças Concorrentes

Q

P

R


A

Regra do PolígonoRegra do Polígono::O vetor força resultante de um sistema de várias forçasconcorrentes pode ser determinado como uma extensão da extensão da regra do triângulo regra do triângulo , combinando-se os vetores força originaisna seqüência ponta ponta- -a a- -cauda cauda e, em seguida, unindo-se a caudado primeiro desenhado à ponta do último desenhado.

S

Q

P





Nos slides anteriores vimos que um sistema de duas ou maisforças concorrentes pode ser substituído por uma forçaúnica que gera o mesmo efeito sobre o corpo em que atua.

Reciprocamente, uma força única pode ser substituída por

duas ou mais forças que, juntas, geram o mesmo efeitosobre o corpo em que atuam.

Essas forças são chamadas de componentes componentes da forçaoriginal, e o processo de substituição da original por elas é

denominado decomposição dos componentes da força decomposição dos componentes da força .

Componentes de uma ForçaComponentes de uma Força

Para cada força existe um número infinito de possíveisconjuntos de componentes.





Pensando no processo prático de decomposição de umaforça em duas outras, para o caso plano, duas situaçõespodem ser propostas:


1) Um dos dois componentes, P, é conhecido

O segundo componente é obtidoaplicando-se a regra do triângulo regra do triângulo unindo-se a ponta do componenteconhecido à ponta da força original.

FP

P F

Q





F


2) A linha de ação de cada componente é conhecida

A intensidade e o sentido dos componentes são obtidosaplicando-se a lei do paralelogramo lei do paralelogramo traçando-se retas, apartir da ponta da força original, paralelas às linhas de açãodadas.

F

Q

P





I dentidades TrigonométricasI dentidades Trigonométricaspara Soluções Analíticaspara Soluções Analíticas

ac

b

α γ

β

α cos2222

bccba −+= β cos2222 accab −+=γ cos2222 abbac −+=

a

γ β α sinsinsin==

o180=++ γ β α

Teorema angular de Tales:Teorema angular de Tales:

Lei dos senos:Lei dos senos:

Lei dos coLei dos co--senos:senos:





25º

4,5 kN

50º

6 kN

I dentidades TrigonométricasI dentidades Trigonométricaspara Soluções Analíticaspara Soluções Analíticas

Exemplo AnteriorExemplo Anterior:: Regra do TriânguloRegra do Triângulo

4,5 kN

6 kN

25º

50º R

θ50º

Lei dos coLei dos co--senos:senos:oR 75cos65,4265,4

222 ⋅⋅⋅−+=kN502,6 =⇒ R

α

Lei dos senos:Lei dos senos:

5,4

sin75sin α =

R

oo954,41 =⇒ α

ComoComo ⇒=++ oo 18050 θ α o046,88=θ





Anteriormente foram apresentados métodos gráficosmétodos gráficos (leido paralelogramo, regra do triângulo e regra do polígono),assim como um método analíticométodo analítico (derivado da regra dotriângulo), para composição de forças concorrentes.

Os métodos gráficosmétodos gráficos, a exemplo da regra do polígono, podem

ser aplicados na determinação da força resultante de umsistema de forças concorrentes, porém incorpora ao cálculoimprecisões inerentes ao processo de manipulação gráfica.

O método analíticométodo analítico, derivado da regra do triângulo, estálimitado à composição de duas forças concorrentes. Para ocaso de mais forças é preciso aplicar este método analítico

sucessivamente.

Componentes CartesianosComponentes Cartesianosde uma Forçade uma Força

O próximo passo será definir um método analíticoprático que possa trabalhar um sistema com umaquantidade qualquer de forças concorrentes.





Anteriormente foi discutido o conceitode componentes de uma forçacomponentes de uma força, emparticular, quando se estabelecem, nocaso plano, duas direções dedecomposição, tendo como suporte a leido paralelogramo.

Estabelecendo direções de decomposição perpendiculares, oparalelogramo se transforma num retângulo, o que leva aexpressões analíticas simples para os componentes da força(componentes cartesianoscomponentes cartesianos ou retangularesretangulares).

Componentes CartesianosComponentes Cartesianosde uma Forçade uma Força

F

Q

P

θx

y

O

yx FFF +=

iFxˆxF=

jFyˆyF=

θ cosFFx =

θ sinFFy =

xF

yFF





x

y

Adição de Forças pelaAdição de Forças pelaSoma dos ComponentesSoma dos Componentes

x

y

jyP

ixP jyS

ixS ixQ

jyQ

P

Q

S

Independentemente das direções de decomposição, oscomponentes da força resultantecomponentes da força resultante de um conjunto de forçasconcorrentes podem ser determinados através das somassomasdos componentes das forças envolvidasdos componentes das forças envolvidas.

ji ji jiR ˆˆˆˆˆˆ yxyxyx SSQQPP +++++=

SQPR ++=

( ) ( ) jiR ˆˆyyyxxx SQPSQP +++++=

Rx Ry






ExemploExemplo::

Sabendo que a tração na haste AC vale 638 N, determinea resultante das três forças exercidas no ponto A daviga AB.

A

C210 cm

2 0 0 c m

B

702 N450 N

12

553º





x

y



53ºA

702 N 450 N

o6,43

210

200arctan =

o6,2212

5arctan =

638 N

oooxR 307cos4506,202cos7026,43cos638 ⋅+⋅+⋅=

oooyR 307sin4506,202sin7026,43sin638 ⋅+⋅+⋅=

N7,84=xR

N2,189−=yR



E d u a r d o N o b r e L a g e s – C T E C / U F A L



x

y

A

22

yx RRR +=

189,2 N

84,7 N

N3,207 =⇒ R

207,3 N

=

x

y

R

Rarctanθ

65,9º

o9,65 −=⇒ θ




Quando a força resultante equivalente de TODASTODAS as forçasconcorrentes que atuam numa partícula é igual a zero, apartícula está em equilíbrio.

Equilíbrio de uma PartículaEquilíbrio de uma Partícula

F1 = 1350 N

F2 = 779,4 NF3 = 900 N

F4 = 1800 N

A

Polígono de forçasPolígono de forças

Equilíbrio

Polígono fechado

Algebricamente o equilíbrio corresponde a

0=Rque em termos dos componentes retangulares pode serexpresso como

0==∑ xx FR 0==∑ yy FR




A maioria dos problemas que tratam do equilíbrio deuma partícula se enquadra em duas categorias:

Problemas que Envolvem oProblemas que Envolvem oEquilíbrio de uma PartículaEquilíbrio de uma Partícula

• Verif icaçãoVerif icação:: quando todas as forças que atuam na

partícula são conhecidas e se deseja saber se a condição deequilíbrio é ou não atendida.

• I mposiçãoI mposição:: quando algumas das forças que atuam napartícula são desconhecidas e se deseja saber quem

são essas forças desconhecidas que garantem acondição de equilíbrio.





Para identificação dasituação física real doproblema de equilíbriofaz-se um esboçoconhecido como

diagrama espacial diagrama espacial .

Alguns problemas podem ser estabelecidos:

• Quão fortes devem ser os operários?

• Quão resistentes devem ser os fixadores das roldanas?

• Quão resistentes devem ser os cabos?





Para os problemas que envolvem o equilíbrio deuma partícula, escolhe-se uma partícula

SIGNIFICATIVASIGNIFICATIVA e traça-se um diagramaseparado, denominado de diagrama de corpo diagrama de corpo livre livre , mostrando essa partícula e todas as forças

que atuam sobre ela.





50º30º

T AB T AC

Wcaixa

A

T ABT AB

T ChB

50º

θ B

T AC

T AC

T ChC

30º

αC

T AB

T HE

T AC

T HD

bl lbl l





ExemploExemplo::

Dois cabos estão ligados em C e são carregados tal comomostra a figura. Visando a especificação dos trechos decabo AC e BC, determine as trações nos mesmos.

P bl E lP bl E l



E d u a r d o N o b r e L a g e

s – C T E C / U F A L



2700 N

T BCT AC

Co6,43

63

60arctan =

o9,3648

36arctan =

Diagrama de Corpo Livre

P bl E lP bl E l







2700 N

T BCT AC

C

o6,43o9,36

Imposição do Equilíbrio

x

y

0270cos27001,143cos6,43cos0 =++∴= ooAC

oBCx T TR

0270sin27001,143sin6,43sin0 =++∴= ooAC

oBCy T TR

0800,0724,0 =⋅−⋅ ACBC T T

2700600,0690,0 =⋅+⋅ ACBC T T

N8,1981=AC T

N8,2189=BC T

P bl E lP bl E l





O outro trecho de cabo deverá ser fixado em algumponto na saliência da parede esquerda.

No salão Funanestru, utilizadopara exposições de artessuspensas, você irá apresentarsua grande obra (bloco prismáticode seção hexagonal).

4,0 m1,2 m

3,2 m

4,2 m

2 , 8 m

Para sustentar a obra afastada4,0 m da parede direita, seráempregado um arranjo de doistrechos de cabos, onde um dostrechos será fixado na horizontalnum gancho pré-existente.

Defina a posição do gancho à esquerda que levaráao menor custo com os dois trechos de cabo.

γ AÇO =77 kN/m3

L=40cm e=20cm


ExercícioExercício::

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