SÉRIE DE FOURIER

A figura a seguir ilustra o familiar gráfico da função sen(x), onde x é um ângulo

medido em radianos.

Essa função é PERIÓDICA, isto é, sua forma se repete a cada PERÍODO. No caso

dessa figura, a função seno se repete a cada período de 2𝜋. O valor máximo da

função, chamado de AMPLITUDE, é 1.

A função cosseno também é periódica, com o mesmo período e amplitude que o seno,

mas é deslocada de 𝜋/2 em relação ao seno.

Isso é fácil de constatar examinando os gráficos. Tecnicamente, diz-se que as funções

seno e cosseno diferem na FASE e a diferença de fase entre elas é de 𝜋/2.

Na figura a seguir, vemos a soma (curva em vermelho) das funções sen(x) e

cos(x). Essa curva é obtida traçando-se, em cada ponto x, a soma dos valores de

sen(x) e cos(x) nesse ponto. Por exemplo, o ponto da curva na região x=5,5 é zero

pois o valor de sen(x) é igual e de sinal oposto ao valor de cos(x) nesse ponto.

Verifique a situação para outros pontos da curva para treinar pois as séries de Fourier

são composições de muitas curvas tipo seno e cosseno, como veremos.

Uma função periódica pode ser bem mais complicada que uma senóide. Veja o

exemplo da função f(x) mostrada na figura a seguir. Essa curva também é periódica

mas, não é apenas um seno ou um cosseno. Como achar uma função matemática que

descreva uma curva como essa?

Foi isso que Fourier descobriu, no início do século 19. Segundo ele, qualquer

função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma

de várias funções seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos

convenientemente.

Existem alguns requisitos para que essa afirmação seja totalmente verdadeira.

Mas, eles são tão poucos e especializados que podemos ignorá-los nesse relato

simplificado.

A figura abaixo mostra a mesma curva da figura acima juntamente com duas

funções seno e duas funções cosseno. A curva original é a soma dessas 4 funções,

como você pode verificar com alguma paciência. Note que as amplitudes e períodos

das ondas componentes são diferentes entre si.

Matematicamente, a decomposição da função f(x) na curva acima é a seguinte:

𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 7𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 5 cos 3𝑥 + 4cos  (5𝑥)

Em resumo, qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma

da soma de uma série de funções seno e cosseno da seguinte forma geral:

𝑓 𝑥 = 𝑎! + 𝑎!𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎!𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑎!𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +⋯+ 𝑏! cos 𝑥 + 𝑏! cos 2𝑥

+ 𝑏! cos 3𝑥 +⋯

Os pontinhos nessa equação indicam que os termos tipo seno e cosseno podem

se estender indefinidamente, se necessário, para melhor representação da função

original f(x).

Resta achar uma forma de calcular os coeficientes de cada termo da série.

Esses coeficientes, como vemos, são as amplitudes de cada onda componente do

desenvolvimento em série.

Pois foi isso que Fourier conseguiu fazer: achou uma forma simples e elegante

de calcular esses coeficientes.

Veremos como isso é feito, mais adiante. Antes, porém, precisamos aprender a

calcular MÉDIAS de funções periódicas.

VALORES MÉDIOS DAS FUNÇÕES

Queremos calcular a área que fica abaixo da curva que representa uma função f(x) em

um dado trecho. Isso é muito fácil se a função f(x) for constante, como na figura ao

lado. A área S é simplesmente o produto da base pela altura do retângulo, isto é,

S = A Y.

Se a função não for constante o cálculo não é tão simples pois envolve uma integral

da função no trecho considerado. No entanto, esse valor sempre pode ser encontrado e

aqui vamos supor que ele é conhecido. Isto é, para todos os efeitos, o valor da área S

sob a curva pode ser calculado, resultando em um número bem determinado.

A área S sob a função f(x) no trecho entre 0 e A é dada pela integral:

𝑆 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!

Uma vez conhecido o valor da área S é sempre possível achar um retângulo de base A

com a mesma área S. O valor <Y> da altura desse retângulo (tal que S = A ) é o

VALOR MÉDIO da função f(x) no trecho entre 0 e A. Isto é: < 𝑌 >=  𝑆  /  𝐴. Os

colchetes < > são usados para indicar "valor médio".

Portanto, o valor médio de f(x) entre os extremos 0 e A é dado por:

< 𝑌 >=𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!𝐴

A função f(x) pode ter valores positivos e negativos no trecho considerado. No

gráfico ao lado, f(x) é positivo até o ponto intermediário C e depois passa a ser

negativo. Nesse caso, a área S é dada por S = S1 - S2 e o valor médio de f(x) será

<Y> = (S1 - S2)/A.

No caso da função sen(x) a área da parte positiva é igual à área da parte negativa no

trecho correspondente a um período. Portanto, a área S é nula e o valor médio da

função sen(x) em um período é zero. O mesmo ocorre com a função cos(x).

O valor da área S1 é 2. Isso pode ser verificado com o uso da integral de sen(x) entre

0 que mais adiante ele será usado.

Agora, vejamos o caso da função 𝑓(𝑥)  =  𝑠𝑒𝑛!(𝑥) cujo gráfico é mostrado na figura

ao lado. Agora, tanto S1 quanto S2 são positivos e têm o mesmo valor. Para achar o

valor médio dessa função em um período podemos lançar mão da simetria. Traçando

a reta na altura y=1/2 verificamos que as partes sob a curva que estão acima dessa reta

preenchem exatamente os vazios das partes que estão abaixo. Portanto, .

< 𝑠𝑒𝑛!𝑥 >  =12

Isto é:

< 𝑠𝑒𝑛!𝑥 >  =𝑠𝑒𝑛!𝑑𝑥!!

!2𝜋 =

12

Esses resultados serão usados a seguir no cálculo dos coeficientes de uma série de

Fourier.

CALCULANDO OS COEFICIENTES DA SÉRIE DE FOURIER

Como vimos, uma função f(x) pode ser "expandida" em uma série de Fourier onde a

função é aproximada pela soma de senos e cossenos do seguinte modo:

𝑓(𝑥)  =  𝑎! +  𝑎!  𝑠𝑒𝑛(𝑥)  + 𝑎!  𝑠𝑒𝑛(2𝑥)  + 𝑎!  𝑠𝑒𝑛(3𝑥)+  . . .+  𝑏!  𝑐𝑜𝑠(𝑥)  

+  𝑏!  𝑐𝑜𝑠(2𝑥)  +  . . .  

Fourier conseguiu achar uma forma simples e elegante de calcular esses coeficientes

𝑎!,𝑎!,𝑎!, . . . , 𝑏!, 𝑏! etc. Vejamos como isso é feito.

Suponha que queremos achar o coeficiente a3, por exemplo.

Começamos multiplicando os dois lados da equação que define a série por sen(3x).

Obtemos, assim:

𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 =  𝑎!  𝑠𝑒𝑛 3𝑥 +  𝑎!  𝑠𝑒𝑛(𝑥)  𝑠𝑒𝑛(3𝑥)  +  𝑎!  𝑠𝑒𝑛(2𝑥)  𝑠𝑒𝑛(3𝑥)  

+  𝑎!  𝑠𝑒𝑛2(3𝑥)  +  . . .+  𝑏!  𝑐𝑜𝑠(𝑥)  𝑠𝑒𝑛(3𝑥)+  . . .  

A seguir, tomamos as MÉDIAS de cada termo dessa equação:

< 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛(3𝑥) >  =  < 𝑎!𝑠𝑒𝑛(3𝑥) >  +  < 𝑎!𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑠𝑒𝑛(3𝑥) > +

< 𝑎!𝑠𝑒𝑛(2𝑥)  𝑠𝑒𝑛(3𝑥) >  +  <  𝑎!𝑠𝑒𝑛2(3𝑥) > +  . . .+  

< 𝑏!𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑒𝑛(3𝑥) >  +  . . .  

E aí surge algo fantástico: todas as médias do lado direito da equação são nulas,

menos a média do termo correspondente a a3! Isto é:

< 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛(3𝑥) >=12𝑎!  

Isso acontece porque cada termo da esquerda (menos o termo de a3) contém a média

de um seno ou um cosseno em um período, que é zero, como vimos antes. Mas, o

termo de a3 contém a média de sen2(3x), que vale 1/2, como também vimos. Portanto:

𝑎! = 2 < 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) >  

Portanto, o coeficiente 𝒂𝟑 é 2 vezes a média do produto de f(x) por sen(3x).

Fazendo o mesmo para todos os valores de n em sen(nx) e cos(nx), verificamos,

portanto, que:

a0 = < f(x) > = média de f(x).

an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx).

bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

Se soubermos calcular essas médias, saberemos achar os coeficientes da série de

Fourier. A seguir, veremos um exemplo prático onde esses coeficientes são

calculados.

UM EXEMPLO PRÁTICO: A ONDA QUADRADA

Ficou claro que uma função periódica f(x) pode ser aproximada por uma série

de Fourier do seguinte modo:

𝑓(𝑥)  =  𝑎! +  𝑎!  𝑠𝑒𝑛(𝑥)  + 𝑎!  𝑠𝑒𝑛(2𝑥)  + 𝑎!  𝑠𝑒𝑛(3𝑥)+  . . .+  𝑏!  𝑐𝑜𝑠(𝑥)  

+  𝑏!  𝑐𝑜𝑠(2𝑥)  +  . . .  

Os coeficientes de Fourier 𝑎!,𝑎!,𝑎!, . . . , 𝑏!, 𝑏! etc são dados por:

𝑎!  =  <  𝑓(𝑥)  >  = média de f(x) em um período;

𝑎!  =  2   <  𝑓(𝑥)  𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)  >  =  2 vezes a média de f(x) sen(nx) em um período;

𝑏!  =  2   <  𝑓(𝑥)  𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)  >  =  2 vezes a média de f(x) cos(nx) em um período.

Para ilustrar esse resultado vamos fazer o desenvolvimento em série de Fourier de

uma função periódica simples: a chamada "onda quadrada", ou "função degrau", cujo

gráfico é mostrado na figura ao lado. Essa função está muito na moda pois pode

ilustrar uma sucessão de "bits" com valores 1 e 0.

No primeiro período, ela pode ser escrita como:

f(x) = 1 (de 0 a 𝜋 )

f(x) = 0 (de 𝜋 a 2𝜋).

A mesma coisa se repete para os demais períodos. Essa é a vantagem de uma

função periódica: basta ver o que acontece em um período que sabemos o que

acontece nos demais.

Vamos, então, expressar essa função "onda quadrada" em séries de Fourier,

calculando os coeficientes da série.

O primeiro coeficiente, a0, é simplesmente a média de f(x) no período. É muito fácil

de ver, pela figura, que esse valor médio é 1/2.

𝑎!  =  1/2.

Para obter o coeficiente 𝑎!, primeiro multiplicamos f(x) por sen(x). Obtemos a curva

vista abaixo que é simplesmente meia onda de uma senóide. Como vimos antes, a

área sob essa meia onda é S = 2. Logo, a altura do retângulo, que é o valor médio do

produto f(x) sen(x), deve ser 1/𝜋. (Pois, (1/𝜋)  𝑥  2𝜋     =  2.) Portanto:

𝑎!  =  2 < 𝑓 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 >  =2𝜋

O coeficiente 𝑎! é duas vezes a média de f(x) sen(2x) no período. É claro, pela figura,

que esse valor médio é zero. Logo:

a2 = 0.

O coeficiente 𝑎! é duas vezes a média de f(x) sen(3x). Vemos, na figura, que as partes

sombreadas desse produto se anulam e sobra apenas uma onsa cuja área é 2/3. Logo, o

valor médio do produto f(x) sen(3x) vale 1/3. E o coeficiente será:

𝑎!  =23𝜋.  

Continuando com esse processo para os demais coeficientes, logo fica claro que o

resultado total é o seguinte:

𝑎!  =  1/2;  

𝑎!  =  0 - para todo n PAR;

𝑎!  =  2/𝑛 - para todo n ÍMPAR.

Deixamos para você a tarefa simples de mostrar que todos os coeficientes dos termos

em cos(x), isto é, os 𝑏!, são nulos.

Portanto, a série de Fourier para a onda quadrada é:

𝑓(𝑥)  =  1/2  +  2𝜋  𝑠𝑒𝑛(𝑥)  +  

23𝜋  𝑠𝑒𝑛(3𝑥)  +  

25𝜋  𝑠𝑒𝑛(5𝑥)  

+  27𝜋  𝑠𝑒𝑛(7𝑥)  +  . . .  

A figura a seguir ilustra um gráfico da onda quadrada juntamente com o

gráfico da expansão com os primeiros 5 termos da série de Fourier, isto é, com os

termos explicitados na equação acima.

A outra figura mostra a onda quadrada e sua expansão com os 15 primeiros

termos da série de Fourier. Como era de se esperar, quanto maior o número de termos

na expansão, melhor a aproximação com a forma da função original.

REFORMULANDO O CONCEITO DA SÉRIE DE FOURIER

O objetivo é sempre aproximar uma função 𝑓 no intervalo [0, 2𝜋] de uma soma de

funções seno e cosseno.

𝑓(𝑥)  =  𝑎! +  𝑎!  𝑠𝑒𝑛(𝑥)  + 𝑎!  𝑠𝑒𝑛(2𝑥)  + 𝑎!  𝑠𝑒𝑛(3𝑥)+  . . .+  𝑏!  𝑐𝑜𝑠(𝑥)  

+  𝑏!  𝑐𝑜𝑠(2𝑥)  +  . . .  

ou simplesmente,

𝑓! 𝑥 = 𝑎! + 𝑎! sen 𝑛𝑥 + 𝑏!cos  (𝑛𝑥)!∞

!!!

a obtenção dos termos 𝑎!,𝑎!,𝑎!,… , 𝑏!, 𝑏!, 𝑏!,… é possível simplesmente integrando a

equação geral de ambos os lados no intervalor [0,2𝜋], logo tem-se:

𝑓! 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝜋𝑎!!!

!

já que a integral de cos 𝑥 𝑒  𝑠𝑒𝑛 𝑥 ao longo de [0,2𝜋] é zero. A ideia se sucede se

multiplicarmos ambos os termos da equação geral por cos  (𝑥) e integrarmos no

mesmo intervalo, e por conseguinte por 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Assim obteremos:

𝑓! 𝑥 cos  (𝑥)𝑑𝑥 = 𝜋𝑎!!!

!

isso se deve ao fato de

cos! 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋!!

!

e para os senos:

𝑓! 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜋𝑏!!!

!

em resumo, fazendo tal operação obtermos os valores dos termos somente com seno

ou cosseno ao quadrado de cada vez.

A única condição necessária para que se encontrem esses coeficientes é que a integral

anterior exista. Se considerarmos 𝑛 →∞ e empregarmos essas regras para obter os

coeficientes de uma série infinita, então a soma resultante será chamada de série de

Fourier para 𝒇(𝒙).

Ex 2. Encontre uma expansão de Fourier para:

a) 𝑓 𝑥 = 1, 𝑠𝑒  0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋2, 𝑠𝑒  𝜋 < 𝑥 ≤ 2𝜋

b) 𝑓 𝑥 = 1, 𝑠𝑒  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

c) 𝑓 𝑥 = 1, 𝑠𝑒  0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋−1, 𝑠𝑒  𝜋 < 𝑥 ≤ 2𝜋

Escolhemos 𝑓! de maneira que as integrais à esquerda se mantenham as mesmas

quando 𝑓! for substituída por 𝑓 e então podermos usar essas equações para

encontrar 𝑎!,𝑎!,𝑎!,… , 𝑏!,𝑏!,…. a partir de 𝑓:

𝑎! =12𝜋! 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

!!

!

𝑎! =1𝜋! 𝑓(𝑥)

!!

!𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥

𝑏! =1𝜋! 𝑓(𝑥)

!!

!𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥