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J. A. M. Felippe de Souza 8 – Transformadas de Fourier

1

8 – Transformadas de Fourier

8.1 – Introdução à Análise de Fourier 3

8.2 – A Transformada de Fourier para sinais contínuos 4

Exemplo 8.1 6

Exemplo 8.2 9

Exemplo 8.3 11

8.3 – A Transformada de Fourier para sinais periódicos 13

Exemplo 8.4 14

Exemplo 8.5 15

Exemplo 8.6 15

Exemplo 8.7 17

8.4 – Propriedades da Transformada de Fourier para sinais contínuos 20

Linearidade 20

Translação no tempo (“time shifting”) 21

Exemplo 8.8 21

Conjugação 23

Exemplo 8.9 25

Derivadas 26

Integral 27

Exemplo 8.10 27

Exemplo 8.11 28

Escalonamento no tempo (“time scaling”) 29

Sinal reflectido / reversão no tempo (“time reversal”) 29


2

Relação de Parseval 30

Dualidade 30

Exemplo 8.12 30

Derivada na frequência (dual da derivada) 31

Dual da integral 31

Translação na frequência (“frequency shifting”) 32

Convolução 32

Multiplicação (dual da convolução) 33

8.5 – Interpretação da propriedade da Convolução 33

Exemplo 8.13 35

Exemplo 8.14 36

Exemplo 8.15 37

Exemplo 8.16 38

8.6 – Tabela da Transformada de Fourier de alguns sinais contínuos 40

8.7 – A Transformada de Fourier para sinais discretos 43

8.8 – Propriedades da Transformada de Fourier para sinais discretos 45


3

Transformadas de Fourier 8.1 – Introdução às Transformadas de Fourier Neste capítulo continuaremos a Análise de Fourier estudando agora as Transformadas de Fourier.

Fig. 8.1 – Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), francês.

A obra principal de Fourier tem o título: “Mémoire sur la théorie de la chaleur”, pu-blicada no “Extrait du mémoire lu à l'Académie des sciences” le 1er décembre 1828, 1829, t. 11 p. 13-30.


4

Na figura 8.2 vemos o livro onde foi publicado esta sua obra e alguns extractos dos originais de Fourier.

Fig. 8.2 – Alguns extractos dos originais de Fourier. O livro “Extrait du mémoire lu à

l'Académie des sciences”onde foi publicado a principal obra de Fourier e alguns extractos dos seus originais.

Enquanto que as séries de Fourier eram definidas apenas para sinais periódicos, as Transformadas de Fourier são definidas para uma classe de sinais muito mais ampla. Devido ao facto que os sinais sinusoidais são diferenciáveis, a transformada de Fou-rier permite representar equações diferenciais lineares com coeficientes constantes na forma de equações algébricas ordinárias. Outro detalhe: as transformadas de Fourier tornam a operação de convolução em multiplicações simples.


5

8.2 –Transformadas de Fourier para sinais contínuos A série de Fourier só se aplica a sinais periódicos. Sinais que não são periódicos (ditos sinais “aperiódicos”) têm uma outra representação com a transformada de Fou-rier. Um sinal aperiódico pode ser visto como um sinal periódico com um período infinito. Mas na série de Fourier, quando o período T de um sinal periódico aumenta, a fre-quência ωo

T

2o

π=ω

diminui, e o termos harmonicamente relacionados ficam mais próximos na frequência. Ou seja, quando o período T cresce,

∞→T

e por conseguinte a frequência ωo diminui

0T2

o →π=ω

as componentes em frequência (i.e., os ck ‘s) formam um contínuo, e o somatório da série de Fourier deste sinal se converte em uma integral. Considere portanto

um sinal contínuo x(t) ∈ C {conjunto dos números complexos} ou seja, o sinal x(t) tem valores complexos, com parte real e parte imaginária. A transformada de Fourier deste sinal x(t), normalmente simbolizada por:

F { x(t) } = X(j ω) permite expressar o sinal x(t), o que não era possível com a série de Fourier se o sinal não fosse periódico, como:

∫∞

∞−ω⋅ω

π= ω d)j(X

2

1)t(x tj

e eq. (8.1)


6

onde:

∫∞

∞−⋅⋅=ω ⋅ω⋅− dt)t(x)j(X tj

e eq. (8.2)

é a transformada de Fourier do sinal x(t). Portanto, a transformada de Fourier é uma função de ω (ou de jω) e, de certa forma, generaliza a série de Fourier. A equação eq. (8.1) acima é conhecida como a equação de síntese, ou também como a fórmula da transformada inversa de Fourier. Por outro lado a equação eq. (8.2), que dá propriamente a fórmula da transformada de Fourier, é conhecida como as equação de análise. Quanto à convergência destas integrais, é possível mostrar que estas fórmulas são válidas para uma classe bastante ampla de sinais de duração infinita. Exemplo 8.1: Considere o sinal

0a,)t(u)t(x 1ta >⋅= −

e cujo gráfico vê-se na figura 8.3.

Fig. 8.3 – O sinal exponencial 0a,)t(u)t(x 1at >⋅= −

e do Exemplo 8.1. A transformada de Fourier deste sinal x(t) pode ser calculada usando a equação eq. (8.2).


7

∞

∞

ω+−

⋅ω⋅−−

ω+−=

=⋅⋅=ω ∫

0

0

t)ja(

tjat

)ja(

1

dt)j(X

e

ee

e portanto a transformada de Fourier deste sinal x(t) é dada por:

0a,)ja(

1)j(X >

ω+=ω

Como a transformada de Fourier tem valores complexos, para expressá-la através de um gráfico é necessário decompor em

diagrama de módulo |X(j ω)|, e,

diagrama de fase ∠ X(jω). Para esta transformada X(jω) é fácil de verificar que o diagrama de módulo |X(j ω)| tem a expressão

22a

1)j(X

ω+=ω

que está ilustrado na figura 8.4.

Fig. 8.4 – A transformada de Fourier do sinal x(t). Diagrama de módulo |X(j ω)|.


8

e que o diagrama de fase ∠ X(jω) tem a expressão

ω−=ω∠a

tgarc)j(X

e isso está ilustrado na figura 8.5.

Fig. 8.5 – A transformada de Fourier do sinal x(t). Diagrama de fase ∠X( j ω). Observe que se ω = 0, então

( ) 00tgarca

tgarc ==

ω,

e portanto

( )X( j0) arctg 0 0∠ = − = .

Também é fácil verificar que se ω = –a, então ( )4

1tga

tg 11 π−=−=

ω −− , e portanto

4atgarc)j(X

π→

ω−=ω∠

Por outro lado, se ω = a, então ( )4

1tgarca

tgarcπ==

ω e portanto


9

4atgarc)j(X

π−→

ω−=ω∠

Note também que se ω → – ∞, então

( )2

tgarca

tgarclima

tgarcπ−→∞−≅

ω=

ω∞−→ω ,

e portanto

2atgarc)j(X

π→

ω−=ω∠

Mas entretanto, se ω → ∞, então

( )2

tgarca

tgarclima

tgarcπ→∞≅

ω=

ω∞→ω

,

e portanto

2atgarc)j(X

π−→

ω−=ω∠

Exemplo 8.2: Considere agora o sinal

0a,)t(xta >= −

e cujo gráfico vê-se na figura 8.6.

Fig. 8.6 – O sinal 0a,)t(x ta >= −e do Exemplo 8.2.


10

A transformada de Fourier de x(t) pode ser calculada usando a equação eq. (8.2).

)a(

1

)a(

1

)ja(

1

)ja(

1

dtdt

dt)j(X

0

0

0

0

0

t)ja(t)ja(

tjtatjta

tjta

ω++

ω−=

ω+−+⋅

ω−=

=⋅⋅+⋅⋅=

=⋅⋅=ω

∞

∞−

∞

∞−

∞

ω+−ω−

⋅ω⋅−−⋅ω⋅−

⋅ω⋅−−

∫∫

∫

ee

eeee

ee

e portanto a transformada de Fourier deste sinal x(t) é dada por:

)a(

a2)j(X

22 ω−=ω

o que está ilustrado na figura 8.7.

Fig. 8.7 – A transformada de Fourier do sinal x(t). Diagrama de módulo )j(X ω .

O diagrama de módulo |X(j ω)|

)a(

a2)j(X

22 ω−=ω


11

Como o X(jω) tem valores reais positivos para | ω | < a e valores reais e negativos para | ω | < a, o diagrama de fase ∠ X(jω) é tem a expressão

>ω−<ωπ−

<ω<−=ω∠

aouase,

aase,0)j(X


Fig. 8.8 – A transformada de Fourier do sinal x(t). Diagrama de fase ∠ X( j ω). Exemplo 8.3: Considere agora o sinal

>

<=

atse,0

atse,1)t(x

cujo gráfico vê-se na figura 8.9 e é cha-mado de um “pulso quadrado”.

Fig. 8.9 – O sinal x(t) do Exemplo 8.3.

“pulso quadrado”. Calculando-se a transformada de Fourier de x(t) usando a equação eq. (8.2), temos

a

a

t)j(

tj

)j(1

dt1)j(Xa

a

−

ω−

⋅ω⋅−

⋅ω

−=

=⋅⋅=ω ∫−

e

e

e logo,


12

( )jaja

j1

)j(X ω−ω −⋅ω

=ω ee

e portanto, usando Eüler, a transformada de Fourier deste sinal x(t) é dada por:

ωω

=ω)a(sen2

)j(X

Portanto, esta transformada de Fourier X(jω) também só tem valores reais ∀ ω, mas entretanto, os valores que X(jω) assume são ora positivos e ora negativos, devido às oscilações do seno.

O gráfico de X(jω) está ilustrado na figura 8.10.

Fig. 8.10 – A transformada de Fourier do sinal x(t) do Exemplo 8.3.

Logo, é fácil de se obter o diagrama de módulo |X(j ω)| conforme pode-se ver ilus-trado na figura 8.11.

Fig. 8.11 – A transformada de Fourier do sinal x(t) do Exemplo 8.3. Diagrama de

módulo )j(X ω .


13

e o gráfico do diagrama de fase ∠ X(jω) é mostrado na figura 8.12.

Fig. 8.12 – A transformada de Fourier do sinal x(t) do Exemplo 8.3. Diagrama

de fase ∠ X(jω). Ou seja,

<ωπ−

>ω=ω∠

0)j(X

0)j(X0)j(X

se

se

8.3 – Transformadas de Fourier para sinais periódicos Note que se

)(u2)j(X oo ω−ω⋅π=ω então

toj

tj

tj

d)(u

d)(u22

1)t(x

oo

oo

ω

⋅ω⋅

⋅ω⋅

=

=ω⋅⋅ω−ω=

=ω⋅⋅ω−ω⋅π⋅π

=

∫

∫∞

∞−

∞

∞−

e

e

e

Logo, se

∑∞

−∞=

ω−ω⋅⋅π=ωk

ook )k(uc2)j(X eq. (8.3)

x(t) então será:


14

∑∞

−∞=

ω⋅=k

tk

okjc)t(x e

que é a série de Fourier para sinais periódicos. X(j ω) que satisfaz a equação eq. (8.3) acima é chamado de

“ train of impulses” e define a transformada de Fourier para os sinais que são periódicos em função dos coeficientes ck’s da série de Fourier exponencial. Exemplo 8.4: Considere o sinal periódico do seno:

x(t) = sen(ωot) Neste caso os coeficientes ck’s da série exponencial de Fourier são:

⇒= 1kse j2

1c1 =

⇒−= 1kse j2

1c 1 −=−

{ } ⇒−∉ 1,1kse 0ck =

E a transformada de Fourier (“train of impulses”) neste caso é:

)(uj

)(uj

)j(X oooo ω+ω⋅π−ω−ω⋅π=ω

que pode ser vista no gráfico da figura 8.13.



15

Exemplo 8.5: Considere o sinal periódico do co-seno:

x(t) = cos(ωot) Agora, neste caso os coeficientes ck’s da série exponencial de Fourier são:

⇒= 1kse 2

1c1 =

⇒−= 1kse 2

1c 1 =−

{ } ⇒−∉ 1,1kse 0ck =

e a transformada de Fourier (“train of impulses”) neste caso é:

)(u)(u)j(X oooo ω−ω⋅π+ω+ω⋅π=ω que encontra-se ilustrado na figura 8.14


Exemplo 8.6: Considere o sinal x(t) do exemplo 7.1 no capítulo 7 (onda quadrada).

<<

<<−−=

1t0se,1

0t1se,1

)t(x

que após ser repetido (ou estendido) para a direita de t = 1 e para esquerda de t = –1, nos dá um sinal periódico para ∀t (∞ < t < ∞ ), ilustrado na figura 8.15.


16

Fig. 8.15 – Onda quadrada estendida para ∀t (∞ < t < ∞).

Este sinal tem frequência natural

π=π=ωT

2o

No Exemplo 7.2 vimos que os coeficientes cks da série de Fourier complexa são:

±±±=π−

±±=

=...,5,3,1kse,j

k

2

...,4,2,0kse,0

ck

Logo a Transformada de Fourier deste sinal x(t) será dada por

∑

∑

∑

±±±=

±±±=

∞

−∞=

π−ω⋅

−=

=π−ω⋅

π−⋅π=

=ω−ω⋅⋅π=ω

K

K

,5,3,1ko

,5,3,1ko

kook

)k(ujk

4

)k(ujk

22

)k(uc2)j(X

que é um “train of impulses” complexos com áreas: K,5

j4,

3

j4,j4

±±± localizados

em K,5,3, π±π±π±=ω , respectivamente. Logo, é fácil de se obter o diagrama de módulo |X(j ω)| conforme pode-se ver ilustrado na figura 8.16.


17

Fig. 8.16 – A transformada de Fourier do sinal x(t), “train of impulses”. Dia-

grama de módulo )j(X ω .

Para o diagrama de fase ∠ X(jω), note que quando os impulsos estão multiplicados por +j, o ângulo (ou fase) é π/2 (ou 90º); e quando os impulsos estão multiplicados por –j, o ângulo (ou fase) é –π/2 (ou –90º). Isso pode se ver ilustrado na figura 8.17.

Fig. 8.17 – A transformada de Fourier do sinal x(t) do Exemplo 8.6. Diagrama

de fase ∠ X(jω). Exemplo 8.7: Considere o sinal periódico x(t) abaixo:

<<

<=

2

Ttase,0

atse,1

)t(x


18

e suponha que foi estendido para esquerda e para direita, tornando-o um sinal perió-dico, como se encontra-se ilustrado na figura 8.18.

Fig. 8.18 – O sinal x(t) do Exemplo 8.7. “Onda quadrada”. Para calcular os coeficientes ck’s da série de Fourier exponencial, fazemos primeiro para k = 0, e temos que:

T

a2

dt1T

1c

a

ao

=

⋅= ∫ −

Para k ≠ 0 temos que:

0k,j2Tk

2

Tkj

1

dt1T

1c

akojakoj

a

a

tkoj

a

a

tkoj

o

o

k

≠

−⋅⋅ω

=

=⋅⋅⋅ω⋅

−=

=⋅⋅=

⋅ω−⋅ω

−

⋅ω−

−⋅ω−

∫

ee

e

e

onde

π=ωT

2o . Agora, usando-se as equações de Eüler temos que:

0k,Tk

)ak(sen2c

o

ok ≠

ωω

=

ou, equivalentemente:


19

0k,k

)ak(senc o

k ≠πω

=

Logo, a transformada de Fourier deste sinal periódico x(t) é o “train of impulses” X(j ω) abaixo:

∑

∑

∞

∞

≠−∞=

−∞=ω−ω⋅γ=

ω−ω⋅ω⋅+⋅⋅π=ω

k)k(u

)k(uk

)ak(sen2)a(u

T

a22)j(X

ook

0kk

ooo

o

onde:

≠ω⋅

=π

=γ

0ksek

)ak(sen2

0kseT

a4

o

k

Na figura 8.19 pode-se ver o gráfico de X(jω) x ω para o caso particular de T = 4a.



20

Neste caso (T = 4a), ωo = π/2, e os valores de ck e dos γk são:

2

1co = π=γo

π== −

1cc 11 211 =γ=γ −

0cc 22 == − 022 =γ=γ −

π−== − 3

1cc 33 3

233 −=γ=γ −

0cc 44 == − 044 =γ=γ −

π−== − 5

1cc 55

5

255 −=γ=γ −

0cc 66 == − 066 =γ=γ −

M M 8.4 – Propriedades da Transformada de Fourier para sinais contínuos

Linearidade: Suponha que

x1(t) e x2(t) são dois sinais contínuos. e que

)t(x)t(x)t(y 21 β+α= então, mostra-se que a transformada de Fourier de y(t) é:

)j(X)j(X)j(Y 21 ω⋅β+ω⋅α=ω ou seja,

{ } { } { })t(x)t(x)t(x)t(x 2121 FFF ⋅β+⋅α=β+α


21

Translação no tempo (“ time shifting”): Suponha que x(t) é um sinal contínuo e que:

)tt(x)t(y o−=

ou seja, )t(y é o sinal )t(x com uma translação (shift) no tempo, de to. Então, mostra-se que:

)j(X)j(Y otj ω⋅=ω ω−e

ou seja,

{ } { })t(x)tt(x otjo FF ⋅=− ω−

e Nota: O módulo do sinal transladado não se altera. Somente a fase. Ou seja, escrevendo-se a transformada de Fourier de x(t) na forma polar (módulo e ângulo):

{ } )j(X)j(X)j(X)t(x ω∠⋅ω=ω= eF

temos que a transformada de Fourier de x(t–to) pode ser expressa como:

{ }[ ]ot)j(X(j

otj

)j(X

)j(X)tt(x o

ω−ω∠

ω−

⋅ω=

=ω⋅=−

e

eF

Uma translação ou shift (de to) no sinal x(t)

⇓ uma translação ou shift (de ωto)

na transformada X(jω) deste sinal.

Exemplo 8.8:

Considere o sinal x(t) da figura 8.20:


22

Fig. 8.20 – O sinal x(t) do Exemplo 8.8.

Este sinal pode ser reescrito em função de dois sinais transladados: )5,2t(x1 − e

)5,2t(x 2 − :

)5,2t(x)5,2t(x)t(x 21 −+−= que estão representados graficamente na figura 8.21.

Fig. 8.21 – Sinais x1(t) e x2(t) do Exemplo 8.8.

Como as transformadas de Fourier de x1(t) e de x2(t) são respectivamente X1(jω) e X2(jω):

ω

ω

=ω 2sen

)j(X1 e ω

ω

=ω 2

3sen2

)j(X 2

então, usando as propriedades da linearidade e da translação (time shifting) temos que:

ω

ω+

ω

⋅=ωω

− 2

3sen2

2sen

)j(X 25

je


23

Conjugação: Suponha que

x(t) é um sinal com período T e tem coeficientes de Fourier kc

e que

)t(x)t(y ∗= o conjugado de x(t); então, mostra-se que a transformada de Fourier de y(t) é:

)j(X)j(Y ω−=ω ∗ isto é, a transformada de Fourier do conjugado de um sinal é o simétrico do conju-gado da a transformada de Fourier deste sinal:

{ } )j(X)t(x ω−= ∗∗F

Nota: Como consequência desta propriedade pode-se concluir que: Se x(t) ∈ R, então

)j(X)j(X ω−=ω ∗ Além disso, se a transformada de Fourier de x(t) é expressa na forma cartesiana (parte real e parte imaginária):

{ } { } { })j(XIm)j(XRe)j(X)t(x ω+ω=ω=F então, como x(t) ∈ R, temos que { } { })j(XRe)j(XRe ω−=ω (a parte real de X(jω) é par) eq. (8.4)

{ } { })j(XIm)j(XIm ω−−=ω (a parte imaginária de X(jω) é ímpar) eq. (8.5) Entretanto, se a transformada de Fourier de x(t) é expressa na forma polar (módulo e ângulo):

{ } )j(Xe)j(X)j(X)t(x ω∠⋅ω=ω=F


24

Fig. 8.22 – Diagrama esquemático que mostra o módulo e a fase de ambos z e z*.

Conforme ilustra a figura 8.22,

∗= zz

e ∗∠−=∠ zz

e portanto, temos então que:

)j(X)j(X ω−=ω ∗ (o módulo de X(jω) é par) eq. (8.6)

)j(X)j(X ω−∠−=ω∠ ∗ (a fase de X(jω) é ímpar) eq. (8.7) Logo, se x(t) ∈ R, então só é necessário calcular a transformada de Fourier, para fre-quências

0>ω tanto no caso de módulo e fase

( ))j(Xe)j(X ω∠ω ,

como no caso de parte real e parte imaginária

{ } { }( ))j(XIme)j(XRe ω−ω− , pois estes valores para frequências negativas (0<ω ) podem ser determinados usando as relações acima [ eq. (8.4) e eq. (8.5), ou eq. (8.6) e eq. (8.7)].


25

Outro detalhe:

Se x(t) ∈ R é um sinal par ( ))t(x)t(x −= ⇒

∈ω)j(X R, isto é, ∈ω)j(X eixo real; e

)j(X)j(X ω−=ω , isto é, )j(X ω é par.

(a transformada de Fourier é uma função real e par)

Se x(t) ∈ R é um sinal ímpar ( ))t(x)t(x −−= ⇒

)j(X ω é imaginário puro , isto é, ∈ω)j(X eixo imaginário; e

)j(X)j(X ω−−=ω , isto é, )j(X ω é ímpar. Finalmente, a decomposição de um sinal x(t) em parte par { }( ))j(XEv ω e ímpar { }( ))j(XOd ω : { }{ } { }{ } { })j(XRe)t(xRe)t(xEv ω== FF eq. (8.8)

{ }{ } { }{ } { })j(XImj)t(xImj)t(xOd ω⋅=⋅= FF eq. (8.9) Exemplo 8.9: Considere o sinal x(t) abaixo:

0a,e)t(xta

>−=

que vimos na figura 8.6 (Exemplo 8.2) acima. Mas, pelo resultado do Exemplo 8.1 sabemos que:

{ } ( )ω+=⋅

ja

1)t(u)t(x 1F

e como

<

>=

−

0t

0t)t(x

se

se

ta

ta

e

e

podemos escrever que:


26

{ })t(uEv2

2)t(u)t(u

2

)t(u)t(u)t(x

1ta

1ta

1ta

1ta

1ta

⋅⋅=

=

−⋅+⋅=

=−⋅+⋅=

−

−

−

e

ee

ee

Agora, usando a eq. (8.8) acima, temos que:

{ }{ } ( )

ω+=⋅−

ja

1Re)t(uEv 1

taeF

logo,

{ }{ }

( )

( )22

1

a

a2

ja

1Re2

)t(uEv2)j(X ta

ω+=

=

ω+⋅=

=⋅⋅=ω −eF

que foi o resultado obtido no Exemplo 8.2.

Derivadas: Suponha que x(t) é um sinal e que

)t(dt

dx)t(y =

então, mostra-se que:

)j(Xj)j(Y ω⋅ω=ω ou seja,

{ })t(xj)t(dt

dxFF ⋅ω=


27

Nota:

Para o caso de derivadas de ordem 2 ou mais, pode-se aplicar esta regra sucessivas vezes. Por exemplo, no caso da segunda derivada, se

2

2

dtxd

)t(y =

então a Transformada de Fourier de y(t) é

( ) )j(X)j(Xj)j(Y 22 ω⋅ω−=ω⋅ω=ω . ou seja,

{ })t(xdt

xd 2

2

2

FF ⋅ω−=

Integral : Suponha que x(t) é um sinal e que

∫ ∞−=

tdt)t(x)t(y


)(u)0(X)j(Xj

1)j(Y o ωπ+ω⋅

ω=ω

ou seja,

{ } { } )(u)0(X)t(xj

1d)(x o

tωπ+⋅

ω=ττ∫ ∞−

FF

Exemplo 8.10: A transformada de Fourier do impulso unitário uo(t):

{ } dt)t(u)t(u tjoo

ω−⋅= ∫∞

∞−eF


28

e usando a propriedade da integral para o impulso unitário uo(t), que vimos no capí-tulo 3 [eq. (3.13)], isto é,

β<<α=−⋅∫β

αa),a(xdt)at(u)t(x o

obtemos que:

{ } 1)t(u0

to

t

j ===

ω−eF

Ou seja, a transformada de Fourier do impulso unitário uo(t) é igual a 1. Exemplo 8.11: Considere o sinal x(t) degrau unitário u1(t):

)t(u)t(x 1= Como

∫ ∞−ττ=

t

o d)(u)t(x

então, como { } 1)t(uo =F usando a propriedade da integral para a transformada de Fourier, temos que

)(u1j

1)j(X o ω⋅⋅π+

ω=ω

ou seja, a transformada de Fourier do degrau unitário )t(u1 é:

{ } )(uj

1)t(u o1 ω⋅π+

ω=F

Por outro lado, como

)t(dt

du)t(u 1

o =

usando a propriedade da derivada para a transformada de Fourier, temos que


29

{ } { }

ω⋅ω⋅π⋅+=

=

ω⋅π+

ω⋅ω=

=⋅ω=

)(uj1

)(uj

1j

)t(uj)t(u

o

o

1o FF

Entretanto, sabemos que 0,0)(uo ≠ω∀=ω e isso implica que:

0)(uo =ω⋅ω e portanto:

{ } 1)t(uo =F que foi o resultado encontrado no Exemplo 8.10.

Escalonamento no tempo (“ time scaling”): Suponha que x(t) é um sinal e que

)t(x)t(y α= então, mostra-se que:

αω⋅

α=ω j

X1

)j(Y

ou seja,

{ }

αω⋅

α=α j

X1

)t(xF

Sinal reflectido / reversão no tempo (“ time reversal”) em torno de t = 0: Suponha que x(t) é um sinal e que

)t(x)t(y −=


)j(X)j(Y ω−=ω

ou seja, { } )j(X)t(x ω−=−F


30

Relação de Parseval: Suponha que x(t) é um sinal. Então, mostra-se que a energia total do sinal

dt)t(xE 2∫

∞

∞−∞ =

pode ser expressa em termos da transformada de Fourier pela relação de Parseval:

ωω⋅π

== ∫∫∞

∞−

∞

∞−d)j(X

2

1dt)t(xE

22

Dualidade: Suponha que x1(t) e x2(t) são sinais contínuos e que

{ } )j(X)t(x 11 ω=F

{ } )j(X)t(x 22 ω=F Mostra-se que: se

( ) tjX)t(x 12 =ωω=

então,

( ) ω=⋅π=ωt12 )t(x2jX

Exemplo 8.12: Usando o resultado obtido no Exemplo 8.2 podemos afirmar que: se

t)t(f

−= e então:

{ } ( )21

2)t(f)j(F

ω+==ω F


31

Logo, se

( )2t1

2)t(g

+=

então, pela propriedade da dualidade:

{ } ω−⋅π==ω e2)t(g)j(G F

Derivada na frequência (dual da derivada): Suponha que x(t) é um sinal e que

( ) )t(xtj)t(y ⋅−= então, mostra-se que:

ωω=ω

d

)j(dX)j(Y

ou seja,

{ } { }( ))t(xd

d)t(xtj FF

ω=⋅−

que é a derivada de X(jω) em ω, ou dita: derivada na frequência.

Dual da integral: Suponha que x(t) é um sinal e que

)t(u)0(x)t(xtj

1)t(y o⋅⋅π+⋅−=


∫ω

∞−γγ=ω d)(X)j(Y

ou seja,

∫ω

∞−γγ=

⋅⋅π+⋅ d)(X)t(u)0(x)t(xtj

1oF


32

Translação na frequência (“ frequency shifting”): Esta propriedade é a dual da propriedade da translação no tempo (“ time shifting” ). Agora a translação (shift) foi aplicada à variável ω e não no tempo t. Suponha que x(t) é um sinal e que

)t(x)t(y otj ⋅= ωe

ou seja, y(t) é o sinal x(t) multiplicado por otj ωe .

Então, mostra-se que:

( ))(jX)j(Y oω−ω=ω ou seja,

{ } ( ))(jX)t(x ootj ω−ω=⋅ω

eF a transformada de Fourier de y(t) é a transformada { })t(x)j(X F=ω com uma translação (shift) na frequência ω, de ωo.

Convolução: Suponha que x1(t) e x2(t) são sinais contínuos e que

)t(x)t(x

d)(x)t(x)t(y

21

21

∗=

=ττ⋅τ−= ∫∞

∞−


( ) ( )ω⋅ω=ω jXjX)j(Y 21 ou seja,

{ } { } { }( ) ( )ω⋅ω=

⋅=∗

jXjX

)t(x)t(x)t(x)t(x

21

2121 FFF

isto é, a transformada de Fourier da convolução entre 2 sinais x1(t) e x2(t) é o produto das transformadas de Fourier destes sinais.


33

Multiplicação (dual da convolução): Suponha que x1(t) e x2(t) são sinais contínuos e que

)t(x)t(x)t(y 21 ⋅= Então, mostra-se que:

( ) ( )( )∫∞

∞−

θ⋅θ−ω⋅⋅θπ

=ω djXjX2

1)j(Y 21

ou seja,

{ } ( ) ( )( )∫∞

∞−

θ⋅θ−ω⋅⋅θπ

=⋅ djXjX2

1)t(x)t(x 2121F

8.5 – Interpretação da propriedade da Convolução Uma interpretação da propriedade da Convolução vista na secção anterior é dada aqui. Já vimos no capítulo 4 (sobre Sistemas) que a saída y(t) de um sistema linear e inva-riante no tempo (SLIT) é a convolução de h(t) [resposta do sistema ao impulso unitá-rio] com x(t) [sinal de entrada do sistema]. A figura 8.23 ilustra o que foi dito acima através do diagrama de blocos (caixa preta) de um sistema termos de x(t), h(t) e y(t), conforme visto no capítulo 4.

Fig. 8.23 – Diagrama esquemático de um sistema em função de x(t), h(t) e y(t).

A figura 8.24 apresenta novamente o diagrama de blocos (caixa preta) de um sistema mas agora em termos de X(jω), H(jω) e Y(jω).

Fig. 8.24 – Diagrama esquemático de um sistema em função de X(jω), H(jω) e Y(jω).


34

Portanto, Y(jω) = F {y(t)}, a transformada de Fourier da saída y(t) de um sistema é o produto

( ) ( )ω⋅ω=ω jXjH)j(Y

onde:

H(jω) = F {h(t)} = a transformada de Fourier de h(t) [resposta impulsional do sistema], também chamado de “resposta na frequência”.

X(j ω) = F {x(t)} = a transformada de Fourier x(t) [sinal de entrada do sistema] A propriedade da convolução permite escrevermos o diagrama de blocos (caixa preta) na forma mostrada na figura 8.25.

Fig. 8.25 – Diagrama esquemático de um sistema em função de X(jω), H(jω) e Y(jω)

ilustrando a propriedade da transformada da convolução. Além disso, também foi visto no capítulo 4 (sobre Sistemas) que se dois sistemas S1 e S2, lineares e invariantes no tempo (SLIT), estão ligados em cascata, conforme ilustra a figura 8.26, então a resposta à entrada impulso unitário dos dois sistemas juntos (S1 e S2) é a convolução ( h1(t) * h2(t) ).

Fig. 8.26 – Diagrama esquemático de um sistema em cascata.

Portanto, a saída y(t) deste sistema em cascata é a convolução (dupla) de h1(t) com h2(t) com x(t).

( ) ( ) ( )txthth)t(y 21 ∗∗= e isso está ilustrado na figura 8.27.

Fig. 8.27 – Diagrama esquemático de um sistema em cascata.


35

Este sistema em cascata pode ser representado de forma equivalente por apenas um bloco conforme mostra a figura 8.28.

Fig. 8.28 – Diagrama esquemático equivalente a de um sistema em cascata.

Pela propriedade da convolução para a Transformada de Fourier, a resposta na fre-quência deste sistema é

( ) ( )ω⋅ω=ω jHjH)j(H 21 e a transformada de Fourier da saída y(t) deste sistema em cascata é o produto das transformadas de Fourier de h1(t), h2(t) e x(t).

{ } { } { } { }( ) ( ) ( )ω⋅ω⋅ω=

⋅⋅=

jXjHjH

)t(x)t(h)t(h)t(y

21

21 FFFF

E isso está ilustrado na figura 8.29.

Fig. 8.29 – Diagrama esquemático equivalente a de um sistema em cascata.

Exemplo 8.13:

Considere o sistema SLIT onde a resposta ao impulso é dada por

( )oo ttu)t(h −= . Usando a propriedade dual do “time shifting” para a transformada de Fourier, obte-mos a resposta no domínio da frequência, a transformada de Fourier de h(t)

( ){ }otj

otj tu)j(H o

ω−

ω−

=

=⋅=ω

e

e F



36

Fig. 8.30 – Diagrama esquemático de um sistema SLIT com otj)j(H ω−=ω e .

Portanto, para uma entrada x(t) com transformada de Fourier X(jω) = F {x(t)}, tem-se que a transformada de Fourier da saída y(t), Y(jω) = F {y(t)} é dada por

( ) ( )

( )ω⋅=

=ω⋅ω=ω

ω− jX

jXjH)j(Y

otje

e portanto, usando a propriedade dual do “time shifting” para a transformada de Fou-rier

)tt(x)t(y o−= observamos que a saída y(t) é o sinal x(t) com uma translação (shift) de to e que este sistema é o “sistema com retardo” ( time delay system). Exemplo 8.14: Considere o sistema SLIT chamado de “diferenciador”, onde para um sinal de entrada x(t) a saída y(t) é a sua derivada

)t(dt

dx)t(y =

conforme está ilustrado na figura 8.31.

Fig. 8.31 – Diagrama esquemático do sistema “diferenciador”.

Usando a propriedade da derivada para a transformada de Fourier temos que

{ } ( )ω⋅ω==ω jXj)t(y)j(Y F


37

Logo, pela propriedade da convolução para a transformada de Fourier, a resposta na frequência H(jω) é

( ) ω=ω jjH que se encontra ilustrado na figura 8.32.

Fig. 8.32 – Diagrama esquemático do sistema “diferenciador”, ( ) ω=ω jjH .

Este resultado é consistente com a definição de H(jω), pois

( )dt

)t(duth o=

e portanto H(jω) = F {h(t)} é

{ }

ω=

=⋅ω=ω

j

)t(uj)j(H oF

Exemplo 8.15: Considere agora o sistema SLIT abaixo chamado de “integrador”, onde para um sinal de entrada x(t) a saída y(t) é a sua integral

∫ ∞−ττ=

td)(x)t(y

que está ilustrado na figura 8.33.

Fig. 8.33 – Diagrama esquemático do sistema “integrador”.


38

Usando a propriedade da integral para a transformada de Fourier,

{ } )(uj

1d)(u o

t

1 ωπ+ω

=ττ∫ ∞−F

e, como

( ) ∫ ∞−ττ=

t

o d)(uth

então a resposta do sistema na frequência é:

{ }

ωπ+

ω==ω )(u

j

1)t(h)j(H oF .

que se encontra ilustrado na figura 8.34.

Fig. 8.34 – Diagrama esquemático do sistema “integrador”.

e pela propriedade da convolução para a transformada de Fourier, temos que Y(jω), a a transformada de Fourier da saída y(t) é dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) )(u0XjXj

1

)(ujXjXj

1jXjHjY

o

o

ω⋅⋅π+ω⋅ω

=

=ω⋅ω⋅π+ω⋅ω

=ωω=ω

que é o mesmo resultado que obtemos calculando ( ) { })t(yjY F=ω pela proprie-dade da integral para transformada de Fourier.

{ } ( ) ( ) )(u0XjXj

1d)(x o

tω⋅⋅π+ω⋅

ω=ττ∫ ∞−

F

Exemplo 8.16: Considere agora o filtro passa-baixa ideal (“low pass band filter”).


39

( )

ω>ω

ω<ω=ω

c

c

se

se

0

1jH

que se encontra ilustrado na figura 8.35.

Fig. 8.35 – Diagrama esquemático do filtro passa-baixa ideal (“low pass band filter”). Pelo Exemplo 8.3 e pela propriedade da dualidade para transformada de Fourier temos que

( ) ( ){ }

t

)t(sen

jH-th

c

1

πω=

=ω= F

cujo gráfico é mostrado na figura 8.36.

Fig. 8.36 – Gráfico de h(t) do filtro passa-baixa ideal (“low pass band filter”).


40

8.6 – Tabela da Transformada de Fourier de alguns sinais contínuos conhecidos

x(t) X(j ωωωω)

x(t) = uo(t) X(j ω) = 1, ∀ω

x(t) = u1(t) ( ) )(uj1

jX o ω⋅π+ω

=ω

x(t) = u2(t) ( ) ( ) )(uj1

j1

jX o2ω+

ω=ω

x(t) = e jωt )(u2)j(X oo ω−ωπ=ω

x(t) = 1, ∀t ( ) )(u2jX o ωπ=ω

x(t) = sen ωot ( ) [ ])(u)(uj

jX oooo ω+ω−ω−ωπ=ω

x(t) = cos ωot ( ) [ ])(u)(ujX oooo ω+ω+ω−ωπ=ω

x(t) = e–at u1(t) , a > 0 ( )

)ja(

1jX

ω+=ω

0>a,)t(ut)t(x 1at−⋅= e ( )

2)ja(1

jXω+

=ω

0>a,)t(u)!1n(

t)t(x 1

1nat−⋅

−=

−

e ( )

n)ja(1

jXω+

=ω

t

)t(sen)t(x c

πω

= ( )

ω>ωω<ω

=ωc

c

se

se

0

1jX

( )

>

<=

o

o

tt0

tt1tx

se

se

ω

ω⋅=ω )t(sen2)j(X o

( ) ∑+∞

−∞=

−=n

o )nTt(utx

π−ωπ=ω ∑+∞

−∞= T

k2u

T

2)j(X

ko

Documents

8 – Transformadas de Fourierwebx.ubi.pt/~felippe/texts2/an_sinais_cap8.pdf · A transformada de Fourier deste sinal x(t), normalmente simbolizada por: F { x(t) } = X(j ω) permite