80363454 Apostila de Ajustamento

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Material Didtico

Autor: Prof. Joel Gripp Jnior

CAPITULO 1AJUSTAMENTO DE OBSERVAES

1.1-

INTRODUO

Ao obter uma medida que se requer confiana, qualquer pessoa intuitivamente repetir observaes e no ir confiar em apenas uma observao. Mas a partir de vrias observaes de uma mesma grandeza, que resultado final representa maior confiana e que seja nico dever ser utilizado? O ajustamento de observaes cuida da resoluo de problemas deste tipo, bem como a estimativa da preciso da soluo adotada. O ajustamento de observaes leva, alm de uma soluo nica, a coerncia de observaes a modelos matemticos apropriados a cada caso. Nos casos mais simples realizam-se medidas sobre as prprias incgnitas. Quando tais incgnitas se ligam por equaes de condio o problema se torna um pouco menos simples. Outras vezes medem-se grandezas que se vinculam s incgnitas atravs de relaes funcionais conhecidas, o caso das observaes indiretas ou parmetros (ex.: coordenadas, altitudes, etc.). Em qualquer caso o que se busca, purificar as observaes das inconsistncias que as acompanham, ou melhor dizendo, ajust-las juntamente com parmetros (quando existem), a um modelo matemtico. Algumas dificuldades podem surgir quando se pretende ponderar as observaes onde se deve atribuir mais peso quelas que merecem maior confiana; isto pressupe o conhecimento da preciso com que as medidas so efetuadas.

Seja os seguintes exemplos para enfatizar alguns pontos importantes do ponto de vista prtico:RN1

Ex.: 1- A figura ao lado esquematiza uma pequena rede de nivelamento geomtrico; em funo dos desnveis medidos. A altitude de RN1 pode ser transportada at RN2; como so inmeros os caminhos possveis, resultaram inmeras solues.RN2

2

O ajustamento, entretanto, conduzir a uma soluo nica tornando as observaes coerentes com um modelo matemtico. Alternativamente, a altitude de RN2 pode ser fixada como a RN1; neste caso as observaes so ajustadas de tal maneira que o transporte de altitudes a partir de RN1 produza em RN2 um valor idntico pr-fixado.

Ex.:2 P e Q so vrtices de uma cadeia de triangulao j ajustados razo pela qual suas coordenadas so consideradas fixas. Na poligonal PABCQ medem-se os lados (eletronicamente) e os ngulos. Admitindo que tais observaes sejam, num caso ideal, isentos de erros; mesmo assim as coordenadas transportadas a partir de P no fecham em Q. Pois bem, o ajustamento dever alterar os valores corretos para garantir aqueles fechamentos em obedincia a um modelo matemtico.

Ex.: 3 Os ngulos medidos de um quadriltero completo de uma triangulao geodsica; aps

ajustados, a soma dos ngulos de todos os tringulos esfricos do quadriltero devero satisfazer condio matemtica de que o correspondente igual a 180 mais o excesso esfrico.

1.2-

O MTODO DOS MNIMOS QUADRADOS (M.M.Q) Considerando o caso da medida direta de uma grandeza x; sejam b1, b2, b3......bn

os valores obtidos em uma srie de n observaes. Na impossibilidade de obter o verdadeiro valor de x deve-se se contentar com uma estimativa que seja confivel. Adotando, o valor x com base em um certo critrio e calculando as diferenas temos:x b1 V1 x b2 . x bn V2 Vn

ou x bi= Vi

para i= 1,2,3,..........n

3

Tais diferenas (Vi) so resduos, isto , os valores, a priori desconhecidos, que somados s observaes reproduzem o valor escolhido x. Poderia-se, mudando o critrio eleger um valor diferente x; resultaria um novo conjunto de resduos: x-bi= Vi e assim por diante x-bi=Vi; etc.. Qual dos valores x, x, x deve-se adotar? Em outras palavras, como escolher um critrio que permite, das observaes repetidas bi, discrepantes entre si, extrair um valor nico para representar a incgnita x? A quase dois sculos o geodesista fez sua opo, seguindo o caminho indicado por GAUSS e LEGENDRE: ACEITAR COMO MELHOR ESTIMATIVA DE X O VALOR QUE TORNA MNIMA A SOMA DOS QUADRADOS DOS RESDUOS. O critrio supra caracteriza o mtodo dos mnimos quadrados (M.M.Q) institudo independentemente pelos dois grandes matemticos acima citados. At a bem pouco, o M.M.Q, quando referido, conservava a notao original de Gauss, respeitada universalmente [v.v]= min, o colchete indicando somatrio, com variaes subentendidas de 1 a n e sem utilizar expoentes. Quando as observaes no oferecem o mesmo grau de confiana so homogeneizadas atravs de pesos pi:n

p i vii 1

2

min

ou

[p.v.v]= min

Modernamente prefere-se a linguagem matricial;

V tV V PVt

min

sendo V o vetor coluna dos resduos e P uma matriz quadrada (matriz dos pesos) min

Como ser visto com o desenvolver do assunto, o ajustamento uma grande ferramenta s vrias reas da engenharia de levantamentos, tais como: Topografia, Geodsia, Fotogrametria, Astronomia, etc.

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CAPTULO 2 TEORIA DOS ERROS

2.1. INTRODUO Na medida de uma determinada grandeza, certos fatores como limitao humana, imperfeio instrumental e instabilidade da natureza fazem com que as medidas nunca tenham exatido absoluta. Um operador repetindo vrias vezes uma mesma medida, os resultados nunca sero idnticos, por mais que seja o cuidado utilizado nas determinaes. Assim, pode-se afirmar que todas as medidas contm erros. Com a finalidade de conhecer bem a teoria dos erros, sero apresentados, a seguir, alguns conceitos importantes e de uso comum no ajustamento de observaes.

2.2. ALGUNS CONCEITOS 2.2.1 Erro Absoluto Verdadeiro a diferena, em valor absoluto, entre a medio de uma grandeza fsica e o seu verdadeiro valor. Na prtica, no se conhece o valor real ou verdadeiro da grandeza; conhece-se o valor mais provvel desta grandeza. 2.2.2 Erro Absoluto Aparente (E) a diferena, em valor absoluto, entre a medio de uma grandeza (xi) e seu valor mais provvel ( x ).Ei xi x

2.2.3 Erro verdadeiro e Erro Aparente Por analogia ao conceito anterior, s que se considerando o sinal da diferena entre a medida. ei xi x 2.2.4 Resduo (v) No ajustamento denomina-se de resduo ao inverso do erro aparente, ou seja, a correo e que tem sinal contrrio do erro aparente.vi x xi

2.2.5 Discrepncia a diferena entre os valores de duas medidas de uma mesma grandeza, obtidas por dois operadores diferentes. As vezes incorretamente chamada de erro.

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2.2.6 Erro Relativo (er) a relao entre o erro absoluto e o valor mais provvel da grandeza ( x ).er E x

Considerando um grupo de observaes resultante de repeties, o erro relativo mais utilizado, em ajustamento de observaes, como sendo a relao entre o desvio padro de uma srie de determinaes da grandeza e o valor mais provvel correspondente. Comumente, expressa-se o erro relativo, em termos de frao, colocando-se a unidade no numerador. Ex.: x = 229,314m en=

0,012m

ento,

er er

0,012 229,314 1 19.109

2.2.7 Erro Tolervel (Tolerncia) Considera-se normalmente como sendo o triplo do desvio padro da mdia

tol

3

n

A razo de se adotar esta expresso ser estudada oportunamente.

2.3. TIPOS DE ERROS EM FUNO DA SUA ORIGEM E CARACTERSTICAS 2.3.1 Erros Grosseiros Erros cometidos nas medies por desateno ou confuso do operador. Estas medies devem ser repetidas. Ex.: erro de anotao, erro na leitura de um ngulo, erro de clculo, etc. Para evitar erros grosseiros deve-se sempre repetir cuidadosamente as medies. 2.3.2 Erros Sistemticos Podem ser expressos por uma funo matemtica. Se as causas dos erros so conhecidas, pode-se calcular o erro e elimin-lo. So erros cumulativos.

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Caracterizam-se por ocorrer sempre em um mesmo sentido e conservarem em medies sucessivas, o mesmo valor. Decorrem das imperfeies do observador, do instrumento e do mtodo usado. So trs os tipos de erros sistemticos:

a) Erros sistemticos introduzidos pelo observador Ex.: erros cometidos por deficincia de viso b) Erros sistemticos introduzidos pelo instrumento Ex.: Uso de instrumentos em condies diferentes daquelas para as quais foram calibradas ou, por exemplo: Suponha uma distncia obtida a partir de oito trenadas e supondo que cada trenada equivale a 10m, a distncia total seria de 80m. Detectando posteriormente que a trena tem na realidade 10,10m.. Conclui-se que a distncia tem um erro sistemtico de 80cm. c) Erros sistemticos introduzidos pelo mtodo Ex.: Utilizao de um mtodo baseado em equao matemtica no representativa da realidade do fenmeno. Sempre que possvel os erros pessoais podem ser minimizados pela substituio do observador humano por um mecnico ou eletrnico. Os erros instrumentais so reduzidos por meio de uma aferio ou calibrao do aparelho, por comparao com um padro de confiana. s vezes pode-se corrigir o instrumento fazendo o mesmo fornecer resultados sem erros sistemticos ou, ento calcular o erro e corrigir os resultados das medies.

2.3.3 Erros Acidentais Ocorrem de causas desconhecidas e incontrolveis. Caracterizam-se por ocorrerem ao acaso, qualquer que sejam os observadores, os instrumentos e os mtodos. Em geral so erros pequenos, porm inevitveis e encontrados em todas as observaes, causando discrepncias que a princpio apresentam sem qualquer conformidade matemtica. A sua influncia sobre as observaes aleatria, no permitindo outro tratamento se no baseado na teoria da probabilidade. Pode-se dizer que os erros acidentais so os que ainda restam na determinao de uma grandeza, em que foram tomados todos os cuidados para eliminar os erros grosseiros e sistemticos. Se for realizado um nmero grande de observaes, a experincia tem demonstrado que estes erros revelam alguma regularidade, ou seja, seguem uma distribuio de freqncia que muito se aproxima da distribuio normal.

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2.4. CLASSIFICAO DAS OBSERVAES 2.4.1 Diretas As medies so efetuadas diretamente, em relao grandeza procurada, sem que existam meios para verificao do erro, uma vez que no se conheam os seus valores reais ou tericos.