8.1 `reas Planas - .Considere B > 2 e calcule a Ærea sob a curva y ... notamos que as coordenadas

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8. APLICAES DA INTEGRAL CLCULO 2 - 2018.2

8.1 reas PlanasSuponha que certa regio D do plano xy seja delimitada pelo

eixo x, pelas retas x = a e x = b e pelo grco de uma funo

contnua e no negativa y = f (x) ; a x b, como mostraa gura 8.1a. A rea da regio D denotada por A(D) e

calculada com auxilio da frmula:

A(D) =

Z baf(x)dx:

1. Calcule a rea de um crculo de raio R e da elipsex2

a2+y2

b2= 1: (resp. R2 e ab)

2. Calcule a rea da regio delimitada pelo eixo x, pelas retas x = B; B > 0; e pelo grco dafuno y = x2 exp

x3. Verique que a rea limite, com B !1, 2=3: (resp. 23 (1 eB2))

3. Considere B > 2 e calcule a rea sob a curva y = x1 (lnx)2, entre as retas x = 2 e x = B.

Esta rea tem um limite, com B !1? (resp. 1= ln 2 1= lnB; com rea limite 1= ln 2)

8.2 Comprimento de Curvas

::::::::FORMA

:::::::::::::::CARTESIANA Considere uma curva no plano xy,

que representada pelo grco de uma funo y = f (x) ; a x b, contnua com derivada primeira tambm contnua nointervalo [a; b] (uma tal funo dita ser de classe C1). O

comprimento L() da curva calculado pela integral:

L() =

Z ba

q1 + f 0 (x)2dx:

CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERNCIA

2 CLCULO DE UMA VARIVEL MARIVALDO P. MATOS

Se a circunferncia x2 + y2 = R2, consideramos o arco y = f (x) =pR2 x2; R x R; e

encontramos:

L () = 2

Z RR

RdxpR2 x2

= (faa x = Rsen) = 2R

Z =2=2

d = 2R:

FABRICANDO FOLHAS METLICAS

Uma fbrica produz, a partir de folhas planas, folhas metlicas onduladas como as mostradas na Figura

8.2 abaixo.

As sees transversais dessas folhas tm o formato da curva

y = sen (3x=20) ; 0 x 20 polegadas

e as folhas devem ser moduladas por um processo que no estique o material. Qual deve ser a largura

L da folha original? De acordo com a frmula do comprimento, deduzimos que a folha original deve

medir

L =

Z 200

p1 + a2 cos2 axdx; sendo a = 3=20:

O valor numrico dessa integral ser determinado usando a aproximao:p1 + ' 1 + 12, com =

a2 cos2 ax. Temos, portanto:

L =

Z 200

p1 + a2 cos2 axdx '

Z 200

1 +

1

2a2 cos2 ax

dx =

= 20 +a2

2

Z 200cos2 axdx = 20 +

1

4a2x+

sen 2ax

2

x=20x=0

' 21:09 polegadas.

Um valor mais preciso poderia ser obtido com a aproximao:p1 + ' 1 + 12

142:

COMPLEMENTOS 8 APLICAES DA INTEGRAL 3

::::::::FORMA

:::::::::::::::::PARAMTRICA Nesse caso a curva descrita por

um par de equaes: x = x (t) ; y = y (t) ; a t b, ondeas funes x (t) e y (t) so de classe C1 no intervalo [a; b] : O

comprimento L() da curva calculado, agora, pela integral:

L() =

Z ba

sdx

dt

2+

dy

dt

2dt:

PARAMETRIZANDO A CIRCUNFERNCIA

Observando a Figura 8.3 observamos que as coordenadas do

ponto P (x; y) da circunferncia so: x = OA e y = AP . Se

t representa o ngulo entre o eixo x e o raio OP , obtemos a

seguinte parametrizao para a circunferncia:

x = R cos(t); y = R sen(t); 0 t 2:

Neste caso, o comprimenta da circunferncia vem dado por:

L () =

Z 20

pR2 cos2 t+R2 sen2 tdt = R

Z 20

dt = 2R:

PARAMETRIZANDO A ELIPSE

Observando a gura ao lado, notamos que as coordenadas do

ponto P (x; y) da elipse so: x = OC e y = DB. Se t repre-

senta o ngulo entre o eixo x e o eixo OA, obtemos a seguinte

parametrizao para a elipse:

x = a cos(t); y = b sen(t); 0 t 2:

PARAMETRIZANDO A HIPRBOLE

4 CLCULO DE UMA VARIVEL MARIVALDO P. MATOS

Observando a Figura 8.5, deduza que a hiprbolex2

a2 y

2

b2= 1

pode ser parametrizada da seguinte forma:

x = a sec(t); y = b tan(t); 0 t 2;

onde t representa o ngulo entre o eixo x e o eixo OC.

1. Em cada caso, calcule o comprimento do arco indicado.

(a) y =x3

12+1

x; 1 x 2: (resp. 13=12)

(b) y = 231 + x2

3=2; 0 x 3: (resp. 21)

(c) y = 1 ln (senx) ; 6 x 4 : (resp. ln[(3 +

p2)(p2 + 1))

(d) x =y3

2+1

6y; 1 y 3: (resp.

p6(2 + ln 3))

(e) y =px (1 x=3) ; 0 x 3: (resp. 2

p3)

(f) 8x2 = 27y3; 1 x 8: (resp. 62=3)

(g) y = x3=2; 1 x 4: (resp. 62=5)

(h) y +1

4x+x3

3= 0; 2 x 3: (resp. 53=6)

(i) (y + 1)2 = (x 4)3 ; 5 x 8: (resp. 80p10 13

p13)

(j) y =px

2 2x

3=2

3; 0 x 1: (resp. 16 (30

p3 7))

2. Calcule o comprimento da hipociclide de equao x2=3 + y2=3 = a2=3: (resp. 6a)

3. Calcule a distncia percorrida por uma partcula entre os instantes t = 0 e t = 4, se sua posio

P (x; y) no instante t vem dada por: x = 12 t2 e y = 13 (2t+ 1)

3=2 : (resp. 12)

4. Em cada caso, calcule o comprimento do arco indicado:

(a) : x = t3; y = t2; 1 t 3: (resp. 127 [(85)3=2 (13)3=2])

(b) : x = et cos t; y = et sen t; 0 t 1: (resp.p2(e 1))

(c) : x = 2 (1 sen t) ; y = 2 (1 cos t) ; 0 t : (resp. 2)

(d) : x = t cos t; y = t sen t; 0 t =4: (resp. 2p1 + 2)

(e) : x = cos (2t) ; y = sen2 t; 0 t : (resp. 2p5])

COMPLEMENTOS 8 APLICAES DA INTEGRAL 5

(f) : x = 12 t2 + t; y = 12 t

2 t; 0 t 1: (resp. 1p22 ln(

p2 1))

5. Seja a curva descrita por: x = t3 3t; y = t3 5t 1; t 2 R: Verique que r : 7x 9y = 41 areta tangente curva no ponto correspondente a t = 2. Em que pontos a reta tangente :

(a) Vertical. (resp. Nos pontos correspondentes a t = 1)

(b) Horizontal (resp. Nos pontos correspondentes a t = p5=3)

8.3 Coordenadas Polares

1. Localize no plano cartesiano os seguintes pontos dados em coordenadas polares e, em seguida,

determine suas coordenadas cartesianas:

(a) (2; =4) (b) (2; 3=2) (c) (3; =6) (d) (1;=4)(e) (2; 5=6) (f) (1;=4) (g) (2; 7=6) (f) (3; 13=6)

2. Determine as coodenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas so:

(a) (1; 1) (b) (2; 0) (c) (p2=2;

p2=2) (d) (3; 3

p3)

(e) (1;1) (f) (1;p3) (g) (

p7; 3) (h) (0;4)

3. Passe para a forma polar r = f () as seguintes curvas:

(a) xy = 2 (b) x2 + y2 3y = 0 (c) 3x2 + 5y2 = 15(d) x+ 1 = 0 (e) x2 y2 = 1 (f) y2 4x = 0:

4. Passe para forma cartesiana F (x; y) = 0 e esboce o grco de cada curva abaixo:

(a) r = 2 + sen 2 (b) r = sen 2 (c) r =4

1 + cos (d) r = a cos (e) r = 5

(f) r = 5 + 2 cos (g) r = 3 sec (h) r = 1 +p2 cos (i) r = 2 tan (j) r =

(k) r2 = 23a2 cos (l) r = 1= (m) r =

4

1 cos (n) r = 2 sen (o) =

2:

5. Sejam (r; ) e (; ') as coordenadas polares dos pontos P e Q, respectivamente. Use a Lei dos

co-senos e deduza que a distncia entre P e Q pode ser calculada por:

dist (P;Q) =pr2 + 2 2r cos ( '): (8.1)

6. Use (8.1) e deduza que em coordenadas polares (r; ) a equao de um crculo de raio a e centro no

ponto (; ') r2+22r cos ( ') = a2: Considere = a e, sucessivamente, = 0; ; =2; 3=2para identicar as circunferncias r = 2a cos e r = 2a sen :

6 CLCULO DE UMA VARIVEL MARIVALDO P. MATOS

7. Considere a curva de equao polar r = sen + cos ; =4 3=4. De duas maneirasidentique a curva como um arco de circunferncia: primeiro passe a equao para coordenadas

cartesianas; depois use o exerccio precedente.

8. Deduza que as equaes = 0; r cos = a e r sen = b representam retas e faa um esboodo grco em cada caso. De forma geral, se N (; ') o p da perpendicular traada do plo a

uma reta que no passa pelo plo, ento a equao dessa reta :

r cos ( ') = ou r = = (A cos +B sen ) ; sendo A = cos' e b = sen':

9. Determine, caso exista, a interseo entre os seguintes pares de curvas:

(a) r = 2 e r = 4 cos (b) r = 1 + cos e r = 1=3 (1 cos )(c) r2 = 4 sen 2 e r = 2

p2 cos (d) = =4 e r = 2 cos

COMPRIMENTO & REA NA FORMA POLAR As curvas em coordenadas polares aqui consid-

eradas so descritas por uma equao do tipo r = f (), sendo a funo f e sua derivada primeira

contnuas e o angulo varia no intervalo [1; 2], como sugere a Figura 8.5 abaixo. Representa-se

por L o comprimento do arco entre 1 e 2 e por A (D) a rea da regio D correspondente. O

comprimento L e a rea A (D) so calculados, respectivamente, pelas frmulas:

L =

Z 21

qf ()2 + f 0 ()2d e A (D) = 12

Z 21

f ()2 d:

10. Calcule o comprimento das seguintes curvas dadas na forma polar:

(a) r = 3 cos ; 0 2 (b) r = 2 sec ; 0 3 (c) r = 1 cos ; 0

2

(d) r = =3; 0 2 (e) r = jsen j ; 0 2 (f) r = 3 cos2( 2); 0

2

(g) r = a2; 0 2 (h) r = a sen3( 3); 0

2 (i) r = sen + cos ; 0

2

11. Calcule a rea da regio interior a cada curva dada abaixo:

(a) r2 = a2 cos 2 (b) r = a (2 cos ) (c) r = 2a sen (d) r = a (1 + cos 2) (e) r2 = 1 cos (f) r2 = 2a2 cos2 (=2)

COMPLEMENTOS 8 APLICAES DA INTEGRAL 7

12. Em cada caso, esboce gracamente a regio D e calcule a rea A (D) :

(a) D interior ao crculo r = a e exterior cardiide r = a (1 cos ).(resp.: A(D) = a2(2 =4))

(b) D delimitada pelas curvas r = 2; = =4 e = =2: (resp.: A(D) = =2)

(c) D interior cardiide r = a (1 + sen ) e exterior ao crculo r = a sen :(resp.: A(D) = 5a2=4))

(d)