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Fundação Municipal de Educação de Niterói
Escola Municipal Altivo César
Reforço em Matemática e resolução de problemas
2010
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Fundação Municipal de Educação de Niterói
Escola Municipal Altivo César
Reforço em Matemática e resolução de problemas
Equipe Responsável:
Coordenador: Fabio Lennon Marchon dos Santos
Vice-coordenador: Marcos Antônio Dos Santos Silva
Equipe executora: Ana Amélia Gambaza Gomes Soares
Cristina Azevedo de Oliveira
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Sobre o projeto:
Este projeto tem sua origem em duas questões recorrentes e que têm se mostrado persistentes e duradouras.
A primeira diz respeito aos dados relacionados ao aproveitamento dos alunos, obtidos em reuniões de professores e conselhos de classe, e que apontam para a crescente dificuldade dos estudantes em aprender e compreender a matemática ensinada em sala de aula. Estes dados foram recentemente confirmados de modo mais amplo a partir dos resultados do IDEB1 (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica) para o Município de Niterói.
A segunda questão está associada aos apelos dos alunos do 9º ano de escolaridade que, em sua grande maioria, demonstram interesse em realizar provas de seleção ao fim do 4º ciclo do Ensino Fundamental e não se sentem preparados para tal desafio.
Assim, da necessidade de se reforçar o conteúdo matemático estudado em sala de aula e ao mesmo tempo dar suporte aos estudantes que estão por concluir o 9º ano de escolaridade do ensino fundamental, nasceu o projeto “Reforço em matemática e resolução de problemas”.
Este trabalho foi idealizado para o período de setembro a dezembro do ano de 2010, e, devido à limitação de tempo, elaboramos um conjunto de atividades para efetiva atuação com os alunos neste período.
Destacamos como objetivos gerais deste projeto o incentivo ao estudo da matemática e de tecnologias associadas a esta área do conhecimento assim como também o aprofundamento de tópicos estudados em sala de aula.
Alguns dos objetivos específicos deste projeto são: • Reforçar e revisar o conteúdo escolar; • Resolver problemas matemáticos; • Trabalhar o raciocínio lógico por meio de problemas; • Resolver provas de seleção em nível de 9º ano de escolaridade;
Acreditamos também que para se resolver um problema matemático é importante compreender não apenas a parte técnica da matemática, mas também a linguagem simbólica associada ao problema assim como a compreensão do texto que o descreve. Assim sendo, em grande parte e sempre que possível, optamos por trabalhar o reforço em matemática por meio da resolução de problemas.
1 http://ideb.inep.gov.br/Site
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Ao Leitor:
Esta apostila contém o material desenvolvido para o projeto “Reforço em Matemática e resolução de problemas” e que foi idealizado para a Escola Municipal Altivo César, em Niterói. Não se tratam de questões inéditas, mas sua organização é feita de forma diferenciada.
Dividimos a apostila em três capítulos distintos. Primeiramente apresentamos o material voltado para o reforço de alunos do 6º ano de escolaridade; Em seguida, problemas matemáticos e de raciocínio lógico para alunos de 7º e 8º anos de escolaridade e, por fim, um capítulo específico para alunos do 9º ano de escolaridade contendo questões de provas de seleção relacionados com os conteúdos estudados em sala de aula. Além disso, ao fim de cada capítulo apresentamos uma avaliação diagnóstica feita, ao início das atividades, com o intuito de apontar as deficiências dos estudantes que participaram deste projeto.
A grande maioria das atividades (8º e 9º ano) são comentadas e/ou resolvidas visando uma melhor compreensão por parte dos alunos o que, em hipótese alguma, significa que não devam eles próprios buscar soluções para tais problemas.
É de fundamental importância destacar que os estudantes devem tentar resolver todas as atividades propostas, experimentando na prática os desafios impostos pelos obstáculos inerentes a aprendizagem da matemática. Asseguramos que é do confronto com seus erros e dúvidas que poderão construir sues próprios acertos e certezas.
A tendência em se buscar “respostas prontas” e caminhos que “poupem” o aluno dos obstáculos inerentes a aprendizagem da matemática, em geral não auxiliam na aprendizagem da matemática e, assim sendo, não adotamos este posicionamento.
Defendemos, por outro lado, a idéia de que os estudantes devem vivenciar a verdadeira experiência matemática – que consiste em buscar soluções para problemas idealizados ou da realidade concreta, fazendo suposições e estabelecendo conjecturas, validando ou não suas hipóteses e discutindo com os seus pares os resultados obtidos. Desta maneira, debater suas idéias e suposições com seus companheiros pode ser algo relevante no processo de aprendizagem.
“Tanto para eruditos quanto para leigos não é na filosofia, mas a experiência ativa na própria matemática que unicamente pode responder à questão: o que é matemática?”2
Mãos à obra!
2 Courant, R. & Robbin, H. O que é matemática? Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2000.
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Sumário
Capítulo I: Reforço para o 6º ano de escolaridade
Atividade 1................................................................................................6
Atividade 2................................................................................................7
Atividade 3................................................................................................8
Atividade 4...............................................................................................9
Avaliação diagnóstica..........................................................................10
Capítulo II: Reforço para o 7º e 8º anos de escolaridade
Atividade 1................................................................................................11
Atividade 2................................................................................................14
Atividade 3................................................................................................15
Atividade 4................................................................................................17
Avaliação diagnóstica............................................................................18
Soluções ....................................................................................................19
Capítulo III: Reforço para o 9º ano de escolaridade
Atividade 1................................................................................................23
Atividade 2................................................................................................25
Atividade 3................................................................................................27
Atividade 4................................................................................................29
Avaliação diagnóstica ...........................................................................31
Soluções....................................................................................................32
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Capítulo I
Atividade 1
1. Responda: a)Quantos dias tem um trimestre?________________________ b)Quantas horas têm em 3 dias?_________________________ c)Quantos minutos têm em 4h e meia?____________________ d)Qual o último ano do século XVIII?_____________________ e)Qual o primeiro ano do século XXI?_____________________ 2. Escreva utilizando algarismos indo arábicos os números abaixo: a) 3,2 mil_____________________________ b) 43,5 milhões___________________________ c) Dois milhões, quinze mil e trinta._______________________ d) Cento e quatro bilhões, duzentos e cinco milhões, sete mil, cento e quarenta. ____________________ e) O sucessor de dois mil e noventa e nove.__________________________ 3. Observe os números: 1 011 – 1 101 – 1 110 – 1 100 – 1 001 Qual é o maior deles? _________ E o menor? __________ Quais são menores que 1 010? __________________ Quais são maiores que 1 100?________________ Qual deles é sucessor de outro?_______________________ Quanto dá a soma do número maior como menor?________________________ 4. Lúcia saiu para fazer compras com duas notas de R$ 100,00 na carteira. Gastou no supermercado R$ 142,00, na padaria R$6,00 e no açougue R$32,00. Com quanto Lúcia ficou após essas compras? 5. Ao lado está representada uma subtração: D 8 B 6
- 2 C 1 A
5 9 4 2
Quais os valores das letras ? A= ___, B= ___, C =___, D= ___
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Atividade 2
1. Decomponha os seguintes números. Observe o exemplo:
567 = 500 + 60 + 7 = 5 centenas + 6 dezenas + 7 unidades
a) 852_______________________________________________________ b) 901_______________________________________________________ c) 480_______________________________________________________ d) 200_______________________________________________________ e) 609_______________________________________________________
2. Escreva com algarismos os seguintes números:
a) Mil, cento e vinte. _____________________________________________ b) Cinco mil e trinta. _____________________________________________ c) Três mil, seiscentos e noventa e um. ____________________________ d) Quatro mil e oitocentos._______________________________________ e) Setecentos e cinqüenta e nove. _______________________________
3. Para ir e voltar da casa de sua avó, Fabiano anda 2 000 metros. Nesta
semana ele foi visitar a sua avó 3 vezes. Quantos metros ao todo Fabiano percorreu em visitas a sua avó?
4. Um vendedor de balões vende, em média, 1 000 balões por semana. Esta semana ele vendeu 100 a menos que a média. Quantos balões ele vendeu?
5. Cláudia comprou 3 pacotes de papel. Sabendo que em cada pacote há 500 folhas, quantas folhas de papel Cláudia comprou?
6. Reinaldo comprou um carro usado. Ele deu R$5 000,00 à vista e o restante pagou em três prestações mensais de R$1 000,00 cada uma. Quanto Reinaldo pagou pelo carro?
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Atividade 3
1. Ligue as operações que têm o mesmo resultado.
19 + 7 20 + 0
29 x 2 13 x 2
4 x 5 72 – 14
63 – 22 58 - 17
2. Carlos levou 95 sorvetes para vender no parque e voltou para casa com 15
sorvetes. Quantos sorvetes Carlos vendeu?
3. Valdir tem 175 centímetros de altura e seu irmão tem 150 centímetros. Quantos centímetros de altura Valdir tem a mais do que seu irmão?
4. Uma quitanda recebe, toda semana, 8 caixas com 50 peras cada uma. Quantas peras essa quitanda recebe toda semana?
5. Ao receber seu salário, Cláudio pagou R$250,00 de aluguel, R$54,00 de telefone, R$37,00 de luz, R$19,00 de água e ainda sobraram R$281,00. Quanto Cláudio recebeu de salário?
6. Em um restaurante há 32 mesas, com 4 cadeiras cada uma. Calcule o número de pessoas que estão almoçando nesse restaurante, sabendo que 39 cadeiras estão vazias.
7. Um apicultor recolhe, em média, 40 quilos de mel por mês. Quantos quilos de mel esse apicultor recolhe em um ano?
8. O Brasil foi descoberto em 1500. Sua Independência se deu 322 anos depois do seu descobrimento. Em que ano se deu a Independência do Brasil?
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Atividade 4
1. Numa subtração, o subtraendo é 506 e o resto é 378. Calcule o minuendo.
2. Numa subtração, o minuendo é 3176 e o resto é 1869. Calcule o subtraendo.
3. Adriano nasceu em janeiro de 1976. Quantos anos terá em janeiro do ano de 2012?
4. Numa adição, uma das parcelas é 2534 e a soma é 5123. Qual é a outra parcela?
5. Vânia tem 18 anos. O pai tem o triplo da idade dela. Qual a idade do pai de Vânia?
6. Um carro percorre 12 quilômetros com 1 litro de gasolina. Quantos quilômetros poderão ser percorridos com 39 litros?
7. Numa multiplicação, um dos fatores é 345 e o produto é 4485. Qual é o outro fator?
8. Qual o número que dividido por 36 tem quociente 12 e resto 8?
9. Quantas horas há em 510 minutos? Quantos minutos restam?
10. Considere o número 346, multiplique-o por 7, ao resultado some 14 e divida o novo resultado por 3. Quanto obteve?
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Avaliação diagnóstica 6º ano
1. A seguir tem-se uma soma, tente descobrir o resultado desta soma sabendo-se que: (i) As letras devem ser substituídas por algarismos (de 0 a 9); (ii) Letras iguais representam algarismos iguais; (iii) Letras diferentes representam algarismos diferentes; (iv) Nenhuma das letras pode ser substituída pelos algarismos já indicados, ou seja, por 8 ou 3.
8 X X
+ Y Y 3
B B A A
Seguindo as regras acima, qual opção abaixo indica o maior número possível para “BBAA”?
a) 1100 b) 1022 c)1155 d) 1186 e)Não sei
2. Julieta saiu para jantar com algumas amigas e a conta do restaurante ficou em R$103,00 fora a gorjeta. Cada uma delas deu R$ 9,00 e, dessa forma, sobraram R$5,00 para o garçom. Quantas eram as amigas de Julieta?
a)9 b)10 c)11 d)12 e)Não sei
3. Qual é o resultado da operação 30 ÷ 10 + 5 0× ?
a) 4 b)3 c)8 d)5 e)Não sei
4. Pensei em um número. A ele somei 55. Do resultado subtraí 66 e encontrei 33. Qual foi o número em que pensei?
a)66 b)44 c)33 d)55 e)Não sei 5. O número 1500 é divisível:
a) Apenas por 2 b)Apenas por 3 c) Por 2, 3, 4, 5 e 6 d) por 7 e)Não sei
6. Qual é o maior múltiplo de 7 que não ultrapassa 100?
a) 99 b) 98 c) 97 d) 96 e)Não sei
7. Sabe-se que 2
5 de uma quantidade é igual a 60. Determine esta quantidade:
a) 180 b) 90 c) 120 d) 150 e)Não sei
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Capítulo II
Atividade 1
Raciocínio Lógico
1. Três casas são vizinhas, lado a lado, com numeração consecutiva iniciando em 2. Elas possuem cores diferentes (Amarelo, azul e verde). Seus moradores são Carlos, José e Pedro.
Com as informações abaixo determine o número e a cor da casa de cada morador:
• A casa 4 é amarela;
• José não mora na casa 3;
• A casa verde não é a primeira casa;
• Pedro não mora na casa azul;
• José sempre visita o morador da casa azul;
Casa 2
Cor: Morador:
Casa 3
Cor: Morador:
Casa 4
Cor: Morador:
Atenção:
Este tipo de questão necessita de
concentração, raciocínio lógico e
análise cuidadosa dos dados
fornecidos;
Uma ótima idéia é montar uma
tabela com as informações que
devem ser preenchidas.
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Raciocínio lógico quantitativo
2. Considere uma sequência numérica onde o primeiro número é 1 e, a partir dele, todos os demais são obtidos utilizando uma regra matemática.
Observe os primeiros números da sequência:
1º número 2º número 3º número 4º número 5º número 6º número
1 4 2 5 3 6
a) Determine o número que estará na 7ª posição;
b) Determine o número que estará na 100ª posição;
Sugestão:
Observe os números nas posições pares;
2ª posição 4ª posição 6ª posição 8ª posição
Observe os números nas posições ímpares;
1ª posição 3ª posição 5ª posição 7ª posição
Pense em operações simples de adição e/ou subtração para passar de um número a outro;
Observação: Lembre-se que uma regra, em matemática, não tem exceções e deve funcionar da mesma forma para qualquer número em qualquer posição.
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Raciocínio Lógico
3. Em um banco existem três funcionários: Beto, Jonas e Souza. Cada um
deles ocupa um cargo: caixa, gerente e contador (não necessariamente
nesta ordem). Sabe-se que:
• O contador, que é filho único, ganha o menor salário;
• Souza, que casou com a irmã de Beto, ganha mais que o gerente;
Qual é o cargo que cada um ocupa no banco?
Raciocínio lógico quantitativo
4. Utilizando nove palitos uma aluno estabeleceu uma relação falsa de
igualdade. Mexendo-se em apenas um dos palitos a relação passa a ser
verdadeira. Descubra qual o palito deve ser modificado e qual será a
relação verdadeira.
Esta relação de igualdade utiliza números romanos!
Esta é uma relação falsa!
Dica: Ao movimentar um único palito, tornando a relação verdadeira, os símbolos serão indo-arábicos e não mais romanos.
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Atividade 2
Raciocínio lógico quantitativo
As questões a seguir podem ser encontradas no banco de questões da
OBEMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das escolas públicas) em:
http://www.obmep.org.br/bq/bq2009-final.pdf
1. Cinco tartarugas apostaram uma corrida em linha reta e na chegada a situação foi a seguinte: Sininha está 10 metros atrás de Olguinha e 25 m à frente de Rosinha que está 5 m atrás de Elzinha que está 25 m atrás de Paulinha.
Qual foi a ordem de chegada?
2. Embora eu esteja certo de que meu relógio está adiantado 5 minutos, ele está, na realidade, com 10 minutos de atraso. Por outro lado, o relógio do meu amigo está realmente 5 minutos adiantado, embora ele pense que está correto. Nós marcamos um encontro às 10 horas e planejamos chegar pontualmente. Quem chegará em primeiro lugar?Depois de quanto tempo chegará o outro?
3. Sete amigos traçaram um triângulo, um quadrado e um círculo, como indicado na figura. Cada um deles marcou seu lugar com um número, sem que os outros soubessem. Cada um deles fez uma afirmação:
Ana: Eu não falarei nada Bento: Eu estou dentro de uma única figura Celina: Eu estou dentro de três figuras Diana: Eu estou dentro de um triângulo, mas não do quadrado Elisa: Eu estou dentro do triângulo e do círculo Fábio: Eu não estou dentro de um polígono Guilherme: Eu estou dentro do círculo Encontre o lugar exato de cada um.
1 2
3 4
5 6
7
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Atividade 3
1. Um pouco sobre a matemática egípcia
Os egípcios utilizavam um tipo de sistema de numeração decimal um pouco diferente do nosso. Eles simbolizavam os números de 1 a 9 com traços verticais e, a partir daí, utilizavam símbolos específicos para os múltiplos de dez (10, 100, 1000, 10000, etc). Os números eram utilizados em questões práticas de contagem.
Com relação às frações sabe-se que os egípcios sempre utilizavam numerador 1, tendo uma única exceção que era a fração 2/3.
A preferência pelo numerador 1 estava relacionado à maneira como contavam as frações. Por exemplo, suponha que uma pessoa deseje repartir a quantidade de grãos contida em cinco sacos de feijão por oito pessoas. O procedimento egípcio era o seguinte: Se tivéssemos apenas 4 sacos, cada pessoa deveria receber a metade de cada saco, ou seja, ½ do saco. Fazendo isso, sobrará um saco, que poderá ser dividido pelas oito pessoas, cada uma recebendo mais 1/8 deste saco. Sendo assim, podemos dizer que o resultado da divisão de 5 por 8 é ½ + 1/8.
Atividade:
a) Qual é o resultado da divisão de 5 por 8 na forma de número decimal? (Não utilize calculadora)
b) Utilizando a nossa maneira de escrever e contar as frações, como podemos representar a divisão de 5 por 8?
c) Utilizando o método dos egípcios (raciocinando como eles) como poderíamos realizar a divisão dos grãos de arroz que estão em 9 sacos para 10 pessoas?
{Lembre-se que o numerador deve ser 1}
Sugestão: Pense primeiramente nos grãos de 5 sacos, depois nos grãos de 2 sacos e assim por diante.
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2. Um pouco sobre a matemática na antiga Babilônia
Desde 3000 a.C. os povos que habitavam a região da Mesopotâmia (atual Iraque) desenhavam símbolos em argila para representar quantidades. Sua escrita é denominada “cuneiforme”.
Eles usavam símbolos de 1 a 60, num processo aditivo, muito semelhante ao que fazemos em nosso sistema decimal posicional, mas, contudo, sua base de numeração era sexagesimal (60). Este sistema de numeração ainda é utilizado hoje em dia para a contagem das horas, minutos e segundos. Na verdade, eles usavam uma combinação de base sessenta e de base dez, pois os símbolos até cinqüenta e nove mudam de dez em dez.
A posição do número indicava qual o fator sessenta que deveria multiplicá-lo. Por exemplo, ao escrever na escrita dos babilônios “1;3;15”, o equivalente no sistema decimal é 1 60 60 3 60 15× × + × + que é igual a 3600 +
180 + 15, ou seja, 3795. Escrevendo “16;43” no sistema babilônico, o equivalente no sistema decimal é 16 60 43 1003× + = .
Atividade:
a) O número 1;2;5;10 está escrito no sistema babilônico. Qual é o equivalente no sistema decimal?
b) Como poderíamos escrever 100 (sistema decimal) no sistema babilônico (sexagesimal)?
c) Se um minuto tem 60 segundos e uma hora tem 60 minutos, então quantos segundos têm em uma hora?
d) Para os babilônios o ano tinha duração de 360 dias. Considerando que o ano era dividido igualmente pelas quatro estações do ano, quantos dias cada estação possuía para os babilônios?
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Atividade 4
1. Carlos, Pedro e Sérgio são, não necessariamente nesta ordem, carpinteiro, pintor e encanador. Sabe-se que:
• O pintor recentemente tentou conseguir os serviços do carpinteiro, mas ele soube que este estava ocupado fazendo serviços para o encanador;
• O encanador ganha mais que o pintor; • Pedro ganha mais que Carlos; • Sérgio nunca ouviu falar de Pedro;
Qual a ocupação de cada pessoa?
2. Clark, Jones, Morgan e Smith são, não necessariamente nesta ordem, açougueiro, farmacêutico, marceneiro e policial. Sabe-se que:
• Clark e Jones são vizinhos e vão juntos de carro para o trabalho; • Jones ganha mais que Morgan; • Clark vence Smith regularmente no boliche; • O açougueiro sempre vai andando para o trabalho; • O policial não mora perto do farmacêutico; • A única vez que o marceneiro viu o policial foi quando ele foi preso
por excesso de velocidade; • O policial ganha mais que o farmacêutico ou o marceneiro;
Qual a profissão de cada um?
3. Cinco meninos Alberto, Beto, Carlos, Daniel e Eduardo estavam vendo televisão. Eles estavam sentados em duas cadeiras e três poltronas. Sabe-se que:
• Alberto e Beto sentavam-se num mesmo tipo de assento; • Beto e Daniel sentavam-se em tipos diferentes; • Daniel e Eduardo sentavam-se em tipos diferentes;
Descubram onde cada um se sentava.
4. Era um verme tão pequeno que quase sumia, começando do chão, no velho tronco subia e usando de toda sua energia, à noite 4 metros para cima fazia, mas de dia 2 metros descia. Após 12 noites, a subida teve fim. Diga baixinho, só para mim, qual a altura da árvore do jardim?
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Avaliação diagnóstica 7º e 8º ano
1. Três casas são vizinhas, lado a lado, com numeração consecutiva iniciando em 2. Elas possuem cores diferentes (Amarelo, azul e verde). Seus moradores são Carlos, José e Pedro. Considere as informações abaixo: • A casa 4 é amarela; • José não mora na casa 3; • A casa verde não é a primeira casa; • Pedro não mora na casa azul; • José sempre visita o morador da casa azul; É correto afirmar que: a) A casa 3 é azul b) José mora na casa 2 c) Pedro mora na casa 4 d) Pedro mora na casa verde e) A casa azul fica ao lado da casa amarela 2.Seja BÂC um ângulo reto. Sabendo que AD é a bissetriz deste ângulo, qual a medida do ângulo DÂC?
a) 45º b) 50º c) 25º d) 60º e) 35º 3. Qual a raiz da equação 2.(x – 1) + 3.(x + 2) = -7?
a) - 11/4 b) 11/4 c) -11/5 d) 11/5 e) 11
4. Se 6 operários demoram 8 horas para realizar um serviço, quantas horas 10 operários com as mesmas capacidades dos anteriores levarão para realizar o mesmo serviço?
a) 5 horas b) 6 horas c) 3 horas d) 4,8 horas e) 4 horas
5. Qual o resultado de 1 1
0,52 4
+ + ?
a) 1,75 b) 1,25 c) 1,00 d) 5,6 e) 0,75
6. Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km/h. Se a velocidade média fosse de 45 km/h, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?
a) 5 horas b) 6 horas c) 3 horas d) 4,8 horas e) 4 horas 7. A idade de Carlos é o quíntuplo da idade de Ana, e a soma de suas idades é 78 anos. Qual a idade de Carlos?
a) 65 anos b) 13 anos c) 55 anos d) 18 anos e) 20 anos
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Soluções Capítulo II Atividade 1: 1. Como a casa verde não é a primeira casa, então ela pode ser a de número 3 ou 4, mas a casa 4 é amarela, portanto a casa verde é a de número 3. Pedro não mora na casa azul, logo ele mora na casa Amarela ou na casa verde, assim é um candidato a morar na casa 3 ou na casa 4; José não mora na casa 3 e nem na casa azul, assim ele deve morar na casa 4 o que implica necessariamente que Pedro mora na casa 3. Podemos concluir então que Carlos é o morador da casa 2, que é azul. Resposta:
Casa 2 azul
Carlos
Casa 3 Verde Pedro
Casa 4 Amarela
José 2: Nas posições pares temos a seqüência de números naturais a partir do número 4. 2ª posição 4ª posição 6ª posição 8ª posição 4 5 6 7 Nas posições ímpares temos toda a seqüência de números naturais. 1ª posição 3ª posição 5ª posição 7ª posição 1 2 3 4
(a) Na sétima posição temos o número 4; (b) Na centésima posição temos um número natural que está de acordo
com a primeira tabela; Note que a 2ª posição está no primeiro quadrinho, a 4ª posição está no segundo quadrinho, a 6ª posição no terceiro quadrinho e assim sucessivamente. O quadrinho é sempre a metade da posição. A centésima posição será o quadrinho 50 (estamos considerando apenas os pares e eliminando os ímpares). O número não é 50 pois iniciamos a contagem no 4, ou seja, saltamos 3 números na contagem, isto indica que o número no quadrinho 50 e que representa a centésima posição é deve ser 53(salta 50, 51 e 52).
3: O contador não é Beto, pois ele tem uma irmã. Souza também não pode ser o contador, visto que ele não possui o menor salário. Assim, o contador é Jonas. Souza ganha mais que o gerente, logo, ele não é o gerente e só pode ser o caixa. Beto é o gerente.
Gerente Beto
Caixa Souza
Contador Jonas
4: Movimente um palito e crie a operação de radiciação, 1
11
= .
20
Atividade 2:
1.
Sininha está 20 metros à frente de Elzinha. Paulinha está 5 m à frente de Sininha. A ordem de chegada foi: (1)Olguinha; (2)Paulinha; (3) Sininha; (4) Elzinha;(5)Rosinha
25 m
Rosinha Elzinha Sininha Paulinha Olguinha
5m 25 m 10m
�
25
5 10
25
R E S P O�����
�����
�����
2.
Eu chegarei quando meu relógio marcar 10h5min, uma vez que penso que o relógio está adiantado 5 min. Como ele está atrasado 10 min, chegarei, na verdade as 10h15min. Meu amigo chegará quando seu relógio marcar 10 h, pois ele pensa que o relógio está correto, mas na verdade serão 9h55min. Logo meu amigo chegará 20 minutos antes de mim.
3.
Observe que 3 é o único número dentro de três figuras, e 1 é o único que está dentro da circunferência que não está dentro de um polígono. Assim, podemos concluir que Celina está na posição 3 e que Fábio está na posição 1. Perceba também que 4 é o único número dentro do triângulo e do círculo, logo Elisa está na posição 4. Nessa situação, 5 é o único dentro do triângulo mas não do quadrado, assim Diana está na posição5. Finalmente, 7 é o único número dentro de uma única figura, logo Bento está na posição 7. Resta o número 2 dentro do círculo para Guilherme e 6 para Ana.
21
Atividade 3:
Solução:
1.
a) 5 8 0,625÷ =
50 8
0,
50 8
2 0, 6
50 8
20 0, 62
4
50 8
20 0, 625
40
0
b) Toda divisão pode ser escrita na forma de fração (e vice-versa). Assim,
modernamente, escrevemos 5
5 88
÷ = .
c) Vamos inicialmente dividir 5 sacos por 10 pessoas, Seguindo a linha de raciocínio egípcio. Desta forma, cada pessoa terá direito a metade do saco, ou seja, ½ do saco.
Acrescente zero no dividendo e zero e vírgula no quociente.
Fazemos a divisão de 50 por 8, que é 6 e deixa resto 2.
Para continuar a divisão basta acrescentar zero no resto 2. A divisão de 20 por 8 dá 2 e deixa resto
Para continuar a divisão basta acrescentar zero no resto 4. A divisão de 40 por 8 dá 5 e deixa resto 0.
22
Agora, vamos dividir os 4 sacos restantes. Considere dois sacos apenas. As dez pessoas se dividem em dois grupos de 5 pessoas – um grupo de 5 para cada saco. Cada uma das 5 pessoas, em cada grupo, terá direito a 1/5 dos grãos no saco.
Repetimos isso mais uma vez para os dois sacos restantes e, mais uma vez, teremos 1/5 de grãos do saco para cada um.
Assim, o resultado é: ½ + 1/5+1/5.
Note que ½ +1/5 + 1/5=
=½ + 2/5
=(5+4)/10
9/10.
2.
a)1;2;5;10 = 1x60x60x60 +2x60x60 +5x60+10 = 216000 +7200 +300 + 10 =223510
b) Divida 100 por 60.
100 = 1x100 + 40 (quociente 1 e resto 40)
Na escrita babilônica: 1;40
c) 1 hora = 60 minutos = 60x60 s = 3600 s.
d) 360 dividido por 4 = 90. Cada estação do ano deveria ter 90 dias para os babilônios.
Atividade 4.
23
Capítulo III
Atividade 1
CEFET (2009-2010)
1. Se 1x y+ = e 2 2 2x y+ = , então 3 3x y+ é
igual a:
a)3,5
b)3
c)2,5
d)2
Sugestão para solução: (Não deixe de ler!)
Primeiramente tente utilizar as informações que são fornecidas, ou seja, você sabe o valor (x + y) e também de (x2 + y2). Qual a operação – adição, subtração, multiplicação ou
divisão – que você pode realizar para obter x3 +y3?
Em seguida, perceba que se você sabe o valor de (x + y) então você pode tentar calcular (x + y)2. Isto pode ser útil no desenvolvimento da solução.
Atenção:
Para resolver esta questão você
precisará recordar os cálculos com
monômios e polinômios estudados no
8º ano.
Lembre-se, por exemplo, que (x + y)2
é igual a (x + y).(x + y) e que este
produto fornece como resultado x2 +
Solução: {Faça seus cálculos neste espaço}
24
Pedro II (2009-2010)
2. Um algoritmo é um procedimento computacional que serve de apoio para a programação de computadores, por meio da descrição de tarefas que devem ser efetuadas. Seguindo pré-determinadas instruções, a partir de valores ou expressões de entrada, é produzido um valor ou expressão de saída.
Considere o algoritmo abaixo que determina uma equação do 2º grau, cujas raízes reais são dois números A e B conhecidos:
a) Observando o algoritmo acima, determine uma equação do 2º grau com raízes 2 e 5.
b) Quais são os valores A e B que devem ser considerados na entrada para que a equação de saída seja x2 – 3x – 28 = 0?
Sugestão para solução: (Não deixe de ler!)
No item (a), substitua 2 e 5 nos valores de A e B na sequência operatória indicada no algoritmo.
Em (b) basta resolver a equação utilizando a fórmula.
Atenção:
Não se assuste com a história
contada no início da questão!
Você deve saber o que é uma
equação do segundo grau, deve
saber resolvê-la e, para isto, deve
lembrar a fórmula 2 4
2
b b acx
a
− ± −= .
25
Atividade 2
NAVE (2008-2009)
1. Na figura abaixo P e Q são pontos médios dos segmentos AB e AC, Respectivamente. Se a área do triângulo APQ é igual a 1m2, então a área do quadrilátero BCQP é em m2, igual a:
a)1,5
B)2
C)2,5
D)3
FAETC (2006- 2007) 2. Dos 180 vôos previstos num determinado dia em um aeroporto, houve problemas de atraso em 45 deles. O porcentual de vôos com atraso correspondeu a: A) 45%
B) 30%
C) 25%
D) 20%
26
CEFET/2ª fase (2009-2010)
3. Determinar o valor da expressão
0 2 3
2
3
31 2 37 3 2
278
−
−
− − − − −
Pedro II (2009 – 2010)
4. Juliana recortou de uma tira de cartolina retangular seis triângulos retângulos idênticos, em que um dos catetos mede 3cm (figura 1). Com esses triângulos fez uma composição que tem dois hexágonos regulares (figura 2).
a) Qual a medida do ângulo interno do hexágono menor?
b) Quais são as medidas de x e y dos ângulos dos triângulos retângulos?
c) Qual é a medida do perímetro do hexágono menor?
27
Atividade 3
Pedro II (2009-2010)
1. Na figura abaixo, os quatro círculos são tangentes dois a dois. Os raios dos círculos menores medem 4 cm cada um. A altura do trapézio ABCD mede 12 cm.
a) Simbolizando o raio da circunferência maior por x, determine esse valor, aplicando o Teorema de Pitágoras aos lados do triângulo ADE.
b) Calcule a medida da área do trapézio ABCD
FAETC (2007) 2. Considere que o raio da roda de um avião é igual a 50cm e π= 3,14. Quando a roda perfaz uma volta completa, o deslocamento do avião, em metros, corresponde a: a) 3,14
b) 31,4
c) 314
d) 3140
28
XXXII Olimpíada de Matemática; 1ª fase; nível 2 – 8º ou 9º ano (2010)
3. Dividindo-se o número ( )24
4 por 44 obtemos o número: a) 2
b) 43
c) 44
d)48
e)412
NAVE (2008-2009)
4. Um grande reservatório de água contém apenas 50 litros de água. Num determinado instante, uma torneira é aberta, e ela despeja 3 litros de água por minuto nesse reservatório. Essa torneira deve ser fechada quando o reservatório estiver com 120 litros de água. A equação que permite encontrar o tempo, em minutos, que a torneira deve ficar aberta é:
a) 3t = 120
b) 50t = 120
c) 3t + 50 = 120
d) 50t + 3 = 120
29
Atividade 4
Pedro II (2009-2010)
1. Na matemática, os números primos sempre foram objeto de especial atenção. Em 1742, na correspondência entre o matemático prussiano Christian Goldbach e o famoso matemático síço Leonard Euler, foi formulada a seguinte questão, conhecida por “conjectura de Goldbach”:
« Todo inteiro par maior que 2 pode ser escrito como a soma de dois números primos . » Esta suposição tornou-se um dos problemas mais intrigantes da matemática e não foi resolvida até os dias de hoje. Verifique você também a validade desta afirmação!
a) Há quantos anos os matemáticos tentam resolver o problema citado no texto acima?
b) Escreva todos os números primos menores que 28. c) Escreva todas as formas de representar o número 28 como soma de
dois números primos. FAETC (2007) 2. Dos 180 vôos previstos num determinado dia em um aeroporto, houve problemas de atraso em 45 deles. O porcentual de vôos com atraso correspondeu a: A) 45% B) 30% C) 25% D) 20%
30
XXXII Olimpíada de Matemática; 1ª fase; nível 2 – 8º ou 9º ano (2010) 3. Aumentando em 2% o valor do menor de dois números consecutivos, obtém-se o maior deles. Qual é a soma desses números? a) 43
b) 53
c) 97
d) 101
e) 115
NAVE (2008-2009)
4. Em uma loja de doces, as caixas de bombons foram organizadas em filas. O número de caixas por fila é um número cujo quadrado adicionado ao seu quíntuplo é igual a 36. Qual é esse número?
a)13
b)9
c)8
d)4
31
Avaliação diagnóstica 9º ano
1. Se 1x y+ = e 2 2 2x y+ = , então 3 3x y+ é igual a:
a)3,5 b)3 c)2,5 d)2 e)1,5
2. Pelo regulamento da escola, João não pode faltar a mais de 25% das aulas de Educação Física. Ao todo, serão 96 aulas de Educação Física durante o ano e ele já faltou a 15 aulas. Qual o número máximo de faltas que ele ainda pode ter?
a)9 b)10 c)12 d)16 e)24
3. Seja N o resultado da operação 3752 – 3742. A soma dos algarismos de N é: a)18 b)19 c)20 d)21 e)22
4. Considere que o raio da roda de um avião é igual a 50cm e π = 3,14. Quando a roda perfaz uma volta completa, o deslocamento do avião, em metros,corresponde a:
a) 3,14 b)31,4 c)314 d)3140 e)0,314
5. A pista de pouso de um aeroporto possui a forma de um retângulo e as suas dimensões são: 1320 m de comprimento e 120 m de largura. A sua capacidade máxima de decolagens e aterrissagens é de 20 aviões a cada hora. A área da pista desse aeroporto, em metros quadrados,é igual a:
a) 158.400 b) 79.200 c) 19.800 d) 2.880 e) 15.879
6. Uma pessoa desenhou o piso de sua calçada com motivos matemáticos, mantendo uma regularidade. A primeira figura tinha um quadradinho; a segunda tinham 4 quadradinhos; a terceira tinham 9 quadradinhos e assim por diante. Considerando-se que n representa o número de quadrados existentes em cada linha da figura, essa regularidade pode ser expressa por:
a)n2 b)n2+ n c)n2 – n d)n e)2.n + 1
7.Um jardim de formato retangular tem área igual a 12m2. O comprimento desse jardim é igual ao triplo de sua largura. Qual é o perímetro desse jardim?
a) 2 m b)4 m c) 6 m d)12 m e)16 m
32
Soluções Capítulo III Atividade 1:
1. Resolução sugerida:
Primeira etapa sugerida Segunda etapa sugerida
2 2
3 2 2 3
3 3 2 2
3 3
3 3
3 3
( ).( ) 1.2
. . 2
2
2 .( )
2 .1
2
x y x y
x x y y x y
x y xy yx
x y xy y x
x y xy
x y xy
+ + =
+ + + =+ = − −+ = − ++ = −
+ = −
2 2
2 2
2 2
1
( ) 1
2 1
2 1 ( )
2 1 2
2 1
1
2
x y
x y
x xy y
xy x y
xy
xy
xy
+ =+ =
+ + == − += −= −
= −
Finalização
Como 3 3 2x y xy+ = − e 1
2xy = − , então 3 3 1 1 4 1 5
2 ( ) 2 2,52 2 2 2
x y++ = − − = + = = = .
Opção correta: (C)
Comentário:
Na primeira etapa da solução foi sugerido que você tentasse obter x3 +y3 a partir de alguma operação que utilizasse (x + y) e (x2 + y2). A melhor opção é a multiplicação. Lembrando que, no 9º ano, você deve ter estudado as operações com potências e assim já deveria saber que:
2 1 2 3.x x x x+= = e 2 1 2 3.y y y y+= = .
Além disso, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em
(x + y).(x2 + y2), surge o polinômio 2 2. .x y y x+ . Este polinômio possui incógnitas
em comum nas parcelas da soma – fator comum em evidência – e, assim
sendo, podemos escrever 2 2. ... ..xx y y x y xy y x+ = + = .( )xy y x+ .
A segunda etapa do cálculo tem por objetivo determinar o valor de “xy”. A sugestão dada foi calcular (x + y)2 a partir de (x + y). Você deveria se lembrar da dica que foi posta ao lado da questão, ou seja, que (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 [produto notável].
33
2. Resolução sugerida:
(a) (b)
2
2
( ).( ) 0
( 2).( 5) 0
5 2 10 0
7 10 0
x A x B
x x
x x x
x x
− − =− − =− − + =− + =
x2 – 3x – 28 = 0
1 3 28a b c= = − = −
2
2
4
2
( 3) ( 3) 4.1.( 28)
2.1
3 9 112
23 11 14
73 121 3 11 2 2
3 11 82 24
2 2
b b acx
a
x
x
x
− ± −=
− − ± − − −=
± +=
+ = =± ± = = = − − = = −
Atividade 2:
1. Área BCPQ é Três vezes área de APQ. Basta perceber que traçando uma paralela ao lado AC e uma paralela ao lado AB, elas se encontrarão no ponto médio do lado BC e, disto, obtemos quatro triângulos congruentes (mesmas medidas), todos com área 1 m2.
2.
Na porcentagem, 45 de 180 correspondem a: 45 1
0,25 25%180 4
= = = .
34
3.
4. a) Si = (n - 2).180 = (6 – 2) .180 = 4.180= 720º ; e 720º dividido para 6 é igual a 120º b) Note que 120º + x = 180º , logo x=60º e, portanto y = 30º pois x + y = 90º . c) Note que sen30º = 3/a = ½ e, portanto, a = 6(hipotenusa). Como a hipotenusa esta dividida ao meio, cada lado do hexágono menor mede 3cm e, assim sendo, seis vezes três é 18cm. Atividade 3:
1.
1.a) Perceba que DE é igual a medida do raio menos 4, assim sendo, escrevemos 4DE x= − .Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADE temos: 2 2 2(4 ) ( 4) 12x x+ = − +
2 216 8 8 16 144x x x x+ + = − + +
2 28 8 16 144 16x x x x+ + − = + −
16 144x =
144
916
x = =
35
1.b) A área do trapézio é obtido a partir de:( ).
2
b B h+
Onde b = base menor, B = base maior e h = altura. ( ). (8 18).12
(26).6 1562 2
b B hárea
+ += = = = cm2
2. Opção correta (c). Basta calcular o comprimento da circunferência usando a expressão 2. .c rπ= , ou seja, 2.(3,14).50 314c = = .
3. Opção correta (e). Note que ( ) ( )24 4.4 164 4 4= = . Lembre-se que na divisão de potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.
Assim, ( )24 4 16 4 16 4 124 4 4 4 4 4−÷ = ÷ = = . 4. Opção correta: (c). Em 1 minuto teremos 3 + 50; em 2 minutos, 6 + 50; em 3 minutos, 9 + 50; e assim por diante. Note que a expressão é 3.t + 50 e que esta operação se interrompe quando alcança 120 litros. Assim sendo 3t + 50 = 120. Atividade 4. 1.
a)2010 – 1742 = 268 anos= 2,68 x 102 anos b) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 c) 28 = 5 + 23 e 28 = 11 + 17
2. Temos 45 de 180 vôos com atraso, ou seja, 45 5 1
0,25 25%180 20 4
= = = =
3. Considere dois inteiros consecutivos x e x+1. Primeiramente lembre que 2% é igual a 2/100 = 0,02. Sabe-se que aumentando 2% o menor destes números obtemos o maior, ou seja, x + 0,02.x = x + 1. Desta expressão temos:
1 1 100
1. 5020,02 2
100
x = = = =
Assim os números são 50 e 51 e sua soma é igual a 101. 4. A expressão matemática que traduz este problema é x2 + 5x = 36, ou seja, é uma equação do segundo grau. Baste resolvê-la.
2
84
5 5 4.1.( 36) 5 169 5 13 2182.1 2 2
92
=− ± − − − ± − ± = = = − = −
Neste caso só nos interessa o resultado positivo, sendo assim, x =4.
