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8.EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIASParte 1
8.1 – INTRODUÇÃO – PVI’s
8.2 – MÉTODOS DE PASSO SIMPLES
8.2.1 – MÉTODO DE EULER
8.2.2 – MÉTODOS DE TAYLOR
8.2.3 – MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
8.3 – MÉTODOS DE PASSO MÚLTIPLO
8.4 – MÉTODOS PREVISOR-CORRETOR
8.5 – EDO’s DE ORDEM SUPERIOR E SISTEMAS DE EDO’s
8.6 - PVC’s E O MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS
hoje
8. EDO’s8.1 INTRODUÇÃO
Problemas de Valores Iniciais (PVI’s) Se dada uma EDO de ordem n, a
função, assim como suas derivadas até ordem n-1, são especificadas em um único ponto, então temos um problema a valores iniciais. Exemplo:
3)0(,2)0(,1)0( com
1cos1 222
yyy
yxsenyxyxyxyxy
8. EDO’s8.1 INTRODUÇÃO
Problemas de Valores no Contorno (PVC’s)
Se para uma dada EDO de ordem n, as n condições forem dadas em diferentes pontos, então temos um problema a valores no contorno. Ao contrário dos PVI’s, os PVC’s podem não apresentar unicidade de solução.
8. EDO’s8.1 INTRODUÇÃO
Exemplo de PVC’s. 1- Seja um barra de comprimento L
sujeita a uma carga uniforme q. Se em x=0 ela está fixada e em x=L ela está apoiada, então temos o problema
0)()(
0)0()0( com 4
LyLy
yyqyky
8. EDO’s8.1 INTRODUÇÃO
PVC’s sem unicidade na solução. 2- O problema
tem como solução
0)1(2)1(
0)1( com 0
yy
yy
todopara 1)( xxy
8. EDO’s8.1 INTRODUÇÃO
Nesta primeira parte do estudo de EDO’s abordaremos métodos para resolução de PVI’s de primeira ordem.
Dado o PVI construiremos , para
simplificar igualmente espaçados, ou seja,
e calculamos as aproximações neste pontos.
00 com , yxyyxfy
nxxxx ,.....,,, 321
1,.....,2,1,0 para 1 nihxx ii
ii xyy
8. EDO’s8.1 INTRODUÇÃO
Se para calcular , usamos apenas , então dizemos que o Método é
de Passo Um ou de Passo Simples. Porém se usarmos mais valores teremos
um Método de Passo Múltiplo. Para PVI’s de primeira ordem temos que é uma aproximação inicial para a
solução. Problema auto-iniciante. Para Métodos de Passos Múltiplos deve-
mos ter estratégias para as aprox. iniciais.
ii xyy 11 ii xyy
00 yxy
8. EDO’s8.1 INTRODUÇÃO
Os Métodos de Passos Simples têm as seguintes características:
1) Deve-se calcular os valores de e de suas derivadas em muitos pontos. Fator negativo.
2) A estimativa dos erros não é trivial.
),( yxf
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler
Considere o PVI
Suponha que exista uma única solução do problema no intervalo de interesse. Reescrevendo (1) no ponto
(1) com , 00 ytyytfydt
dy
(2) , nnn ttftdt
d
ntt
nt
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Direto
Aproximando a derivada em (2) pelo quociente de diferenças para frente (ou direto), obtemos
Substituindo por seus valores aproximados, ,
temos a fórmula de Euler:
(3) ,1
1nn
nn
nn ttftt
tt
nnnn ytyt e 11
(4) , 11 nnnnnn ttytfyy
h 1 nn tt
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Direto
Outra maneira para obter a fórmula de Euler é escrever o problema (1) como uma equação integral. Integrando (1) de
1 até nn tt
(5) dt )(,)()(
dt )(,)(
1
11
1 ttftt
ttfdtt
n
n
n
n
n
n
t
tnn
t
t
t
t
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Direto
Se aproximarmos a integral substituindo
E como , então
)(,por )(, nn ttfttf
1 htt nn
nnnn
nnnnn
ttfhtt
tttftt
,
t ,
1
1n1
h ,1 nnnn ytfyy
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Direto
A integral em (5) é a área abaixo da curva ver-melha. No Método de Euler Direto é a área lilas.
nt 1nt
ttfy ,
nn ttf ,
11 , nn ttf
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Direto
Note que quanto menor forem as partições, melhor será a convergência do Método de Euler.
O Erro da fórmula de Euler pode ser majorado através da fórmula de Taylor. Seja nttty de tornoem
1
2
2
, com!2
,
...!2
nn
nnnn
nnnn
ttt
hthttftht
hthttht
ERRO
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Direto
Note que sendo
então o erro devido ao truncamento de Euleré majorado por
fff
ttfttfttf
ttttM
yt
yt
nn
(t)))(,())(,((t) e ))(,((t)
onde , com max 1
2
h 2
Men
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Direto
Exemplo 1: Considere o problema de valor inicial
A solução exata é dada por
Utilizando a fórmula de Euler (direta) e passos
determine a solução do problema no intervalo
1)0( com 41 yyty
tetyy 4
16
19
4
1
16
3)(
001.0 e 010.0,025.0,05.0 hhhh
20 t
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Direto
Solução por Euler direta de
t h=0.05 h=0.025 h=0.01 h=0.001 Exata
0.0 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000
0.1 1.5475000 1.5761188 1.5952901 1.6076289 1.6090418
0.2 2.3249000 2.4080117 2.4644587 2.5011159 2.5053299
0.3 3.4333560 3.6143837 3.7390345 3.8207130 3.8301388
0.4 5.0185326 5.3690304 5.6137120 5.7754845 5.7942260
0.5 7.2901870 7.9264062 8.3766865 8.6770692 8.7120041
1.0 45.588400 53.807866 60.037126 64.382558 64.897803
1.5 282.07187 361.75945 426.40818 473.55979 479.25919
2.0 1745.6662 2432.7878 3029.3279 3484.1608 3540.2001
1)0( com 41 yyty
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Direto
Note que os erros gerados em t=2.0 são grandes!
Para h=0.001, ou seja, 2000 subinterva-los, temos um erro acumulado de 1.6%
Como
tt
etet
t 44
19)(16
1943)(
2)(
2
1
hten
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Direto
O erro devido ao truncamento local é
Para ir de t=1.95 a t=2.0, quando h=0.05,
Para obter um erro local de truncamento de 0.01 neste problema necessitamos de h=0.0006 em torno de t=2 e h=0.03 em torno de t=0. Tais métodos com erros constante são chamados ADAPTATIVOS.
80.70
16
0025.019
16
0025.01996.57
8
40
8.7
e
ee
httth
ee nnnt
nn para
219
24
1
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Inverso
Uma variante do método de Euler, chamado Método de Euler Inverso, consiste em aproximar a derivada em
pelo quociente de diferenças para trás (ou inverso)
(1) com , 00 ytyytfydt
dy
(6) ,1
1nn
nn
nn ttftt
tt
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Inverso
Substituindo por seus valores aproximados, e fazendo
temos a fórmula de Euler inversa
Note que a fórmula de Euler inversa fornece o valor de de forma implícita.
11 e nnnn ytyt
1 nn
(7) , 111 hytfyy nnnn
1ny
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Inverso
A integral em (5) é a área abaixo da curva verme-lha. No Método de Euler Inverso é a área verde.
nt 1nt
ttfy ,
nn ttf ,
11 , nn ttf
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Inverso
Exemplo 2: Considere o problema de valor inicial
A solução exata é dada por
Utilizando a fórmula de Euler (inversa) e passos
determine a solução do problema no intervalo
1)0( com 41 yyty
tetyy 4
16
19
4
1
16
3)(
001.0 e 010.0,025.0,05.0 hhhh
20 t
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Inverso
Solução por Euler inversa de
é dada pela fórmula de Euler inversa
O primeiro passo gera:
Continuando, temos a tabela:
41 111 nnnn ythyy
1)0( com 41 yyty
6929688.141.010.05309375.141
309375.1405.010.05141
222212
111101
yyythyy
yyythyy
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Inverso
Solução por Euler inversa de
t h=0.05 h=0.025 h=0.01 h=0.001 Exata
0.0 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000
0.1 1.6929688 1.6474375 1.6236638 1.6104634 1.6090418
0.2 2.7616699 2.6211306 2.5491368 2.5095731 2.5053299
0.3 4.4174530 4.0920886 3.9285724 3.8396379 3.8301388
0.4 6.9905516 6.3209569 5.9908303 5.8131282 5.7942260
0.5 10.996956 9.7050002 9.0801473 8.7472667 8.7120041
1.0 103.06171 80.402761 70.452395 65.419964 64.897803
1.5 959.44236 661.00731 542.12432 485.0825 479.25919
2.0 8934.0696 5435.7294 4172.7228 3597.4478 3540.2001
1)0( com 41 yyty
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Aprimorado
Note que tanto o método de Euler direto quanto o inverso geram erros acumulativos quando t cresce. No exemplo o erro foi da ordem de 1.2%. Os Métodos adaptativos de Euler são uma solução, contudo teremos uma sub-rotina para calcular o tamanho do passo para cada n. Fórmula de Euler Aprimorada ou centrada aproxima a função f na integral por uma média.
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Aprimorado
A fórmula de Euler Aprimorada escreve-se como:
Os erros são menores e convergência é mais rápida neste caso.
(8)
2
,, 111 h
ytfytfyy nnnnnn
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Aprimorado
A integral em (5) é a área abaixo da curva vermelha. No Método de Euler Aprimorado é a área amarela.
nt 1nt
ttfy ,
nn ttf ,
11 , nn ttf
médiof
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Aprimorado
A solução por Euler Aprimorado de
é dada pela fórmula
também conhecida como fórmula de Heun.Calculando temos a tabela:
41412 111 nnnnnn ytyth
yy
1)0( com 41 yyty
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Aprimorado
Solução por Euler aprimorado de
t h=0.05 h=0.025 h=0.01 h=0.001 Exata
0.0 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000
0.1 1.5952901 1.6076289 1.6079462 1.6088585 1.6090418
0.2 2.4644587 2.5011159 2.5020618 2.5047827 2.5053299
0.3 3.7390345 3.8207130 3.8228282 3.8289146 3.8301388
0.4 5.6137120 5.7754845 5.7796888 5.7917911 5.7942260
0.5 8.3766865 8.6770692 8.6849039 8.7074637 8.7120041
1.0 60.037126 64.382558 64.497931 64.830722 64.897803
1.5 426.40818 473.55979 474.83402 478.51588 479.25919
2.0 3029.3279 3484.1608 3496.6702 3532.8789 3540.2001
1)0( com 41 yyty
8. EDO’s8.2.1 Método de Euler Aprimorado
O Método de Euler Aprimorado fornece resultados muito melhores do que aqueles de Euler Direto e Inverso.
O Método de Euler Aprimorado Adapta-tivo fornece melhores resultados através da variação no tamanho dos passos. Neste procedimento, variando o tamanho dos passos, mantemos constante o erro de truncamento local da aproximação
