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Maceió-AL 2009
Universidade Federal de Alagoas – UFAL Centro de Tecnologia – CTEC
Departamento de Engenharia Civil
FENÔMENOS DE TRANSPORTE I
Apostila de exercícios
Professor Roberaldo Carvalho de Souza, P.h.D Monitoras: Manuella Suellen Vieira Galindo
Marianna Luna Sousa Rivetti
2
Parte I: Estática dos fluidos
1. Propriedades dos fluidos
1.1 Exercícios resolvidos
1º- Um líquido tem viscosidade 0,005 kg/m.s e massa específica de 850 kg/m³. Calcule:
a) A viscosidade cinemática em unidades S.I. b) A viscosidade dinâmica em unidades CGS.
Solução: a)
b)
2º- A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m²/s e o seu peso específico relativo é 0,85. Determinar a viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas MK*S, CGS e SI. Solução:
3
No MK*S:
No SI:
No CGS:
3º A viscosidade dinâmica de um óleo é 5x10-4 kgf.s/m² e o peso específico relativo é 0,82. Determinar a viscosidade cinemática nos sistemas MK*S, SI e CGS (g=10m/s²; γH2O=1000 kgf/m³).
Solução:
No MK*S e no SI:
No CGS:
4
4º O peso de 3 dm³ de uma substância é 23,5 N. A viscosidade cinemática é 10-5 m²/s. Se g=10m/s², qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas MK*S e SI.
Solução:
No SI:
No MK*S:
5º São dadas duas placas planas paralelas à distância de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as placas for preenchido com óleo (υ=0,1 St; ρ=830 kg/m³), qual será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo?
Solução: Obs: υ=0,1 St= 10-5 m²/s
5
6º Uma placa quadrada de 1,0m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30º, sobre uma fina película de óleo. A velocidade da placa é de 2 m/s constante. Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm?
Solução: De acordo com a 2ª Lei de Newton: Fr=m.a . Onde a= Assim: Px - = m.
20.sen 30º - = 0, pois a velocidade é constante, ou seja, = 0 = 10 N/m²
Sabemos que:
7º Assumindo o diagrama de velocidades indicado na figura, em que a parábola tem seu vértice a 10cm do fundo, calcular o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento para y= 10cm. Adotar centepoises.
6
Solução: Obs.: 400 centepoises= 4 poises= 4 dina.s/cm²
• Como o perfil de velocidade é parabólico: V(y)= a1+ a2y + a3 y²
• Condições de contorno: 1ª V y=yo =Vmáx = 2,5 m/s a1+ a2y0 + a3 y0²=2,5 2ª V y=0 = 0 a1=0
3ª y=yo =0 a2 + 2y0 a3=0
Assim: a2y0 + a3 y0²=2,5 Para y0= 10 cm= 0,1m 0,1 a2 + 0,01 a3=2,5 a2 + 2y0 a3=0 a2 + 0,2 a3=0
a3= -250; a2=50
• Perfil parabólico obtido: V(y)= 50 y – 250 y²
• Gradiente de velocidade, para y= 10cm= 0,1m:
= 50-250y= 25
• Tensão de cisalhamento:
7
8º Uma pequena esfera sólida com 4,02 mm de diâmetro e uma densidade relativa de 0,91 é colocada em repouso num recipiente contendo um líquido cuja densidade relativa é de 0,8. Sabendo que a esfera está submetida à força gravitacional (calculada através do produto da massa pela aceleração da gravidade), ao empuxo (que é representado pelo peso do volume deslocado = fluido Volume da esfera) e a força de arrasto (representada pelo produto do coeficiente de arrasto vezes a área frontal de contato entre o sólido e o fluido vezes a metade do produto do peso específico do fluido e o
quadrado da velocidade, no caso de uma esfera: Afrontal= e ,
Fa = Cd. Afrontal. fluido. ). Calcule o tempo mínimo decorrido para a esfera
atingir a velocidade terminal. Solução:
Figura ilustrativa: Diagrama de Corpo Livre:
• Sabemos que: Fr=m.a
w- Fa- E = esfera. Volume.
• w = m.g w= esfera. Volume. g
w= *. H2O .Volume. g
• E= fluido. Volume
E= fluido.
• Fa= Cd. Afrontal
fluido.
Fa= . . fluido.
Fa=
8
esfera. . g - - fluido. = esfera. .
= g -
• Sendo a= g - , e b= teremos:
= a – bV V = Vmáx (1- e-bt)
•
•
•
• Adotando V=99%Vmáx:
s
9º- Um bloco de massa M e aresta a cm, partindo do repouso, desliza numa fina película de óleo de espessura h mm em um plano inclinado de um ângulo θ. Determine uma expressão para o comprimento do plano em função da velocidade máxima e do tempo? Dados: Perfil de velocidade no óleo = c y1/3, onde c é uma constante determinada pela condição de contorno da velocidade máxima no óleo ser igual à velocidade do bloco e y é a distância do plano no óleo, 0 y h.
9
Solução:
• Note que temos dois problemas distintos: um que envolve um perfil de velocidade e outro associado ao bloco.
• Diagrama de corpo livre:
• Sabemos que:
• Fr= w.senθ - Fa
•
• a=
•
Logo:
•
• Fr=m.a - Fa =
- (÷m)
-
• Condição de contorno:
Se y=h: V(y) = Vbloco= = c y1/3
V(y) =
10
• Note que:
• Voltando para a expressão obtida ao analisar a força resultante teremos:
-
• Seja e , teremos:
integrando teremos:
• Seja :
2. Equação Geral da Estática dos Fluidos (1-D)
2.1 Exercícios resolvidos
1 º Dada a figura abaixo, onde h1=25 cm, h2=10 cm, h3=25 cm e h4=25 cm, calcule:
11
a) A pressão efetiva do Gás 2; b) A pressão efetiva do Gás 1, sabendo que o manômetro indica uma
pressão de 15000 N/m3 ; c) A pressão absoluta do Gás 1, considerando a pressão atmosférica
local igual a 730 mmHg.
Dados: γ óleo = 8000 N/m3 , γ Hg = 133280 N/m3 , γ água = 9800 N/m3
Solução:
a) P1 = Póleo + Pgás e P2 = PHg + Págua P1 = P2 γ óleo . ( h1 + h2 ) + Pgás = γ Hg . h4 + γ água . h3 8000 . (35 . 10-2) + Pgás = 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2
Pgás = 32970 N/m3
b) Pgás 1 = Pgás 2 – Pmanômetro Pgás 1 = 17970 N/m3
c) P2 = PHg + Págua + Patm e P1 = Pgás 2 + Póleo + Pgás 1 PHg + Págua + Patm – Pgás 2 – Póleo = Pgás 1 133280 . 25 . 10-2 + 9800 . 25 . 10-2 + 0,73 . 133280 – 32970 -8000 . 35 . 10-2 = Pgás 1 Pgás 1 = 97294,4 N/m3
P abs gás 1 = 115265 N/m3
3. Forcas em superfícies planas 3.1 Exercícios resolvidos
12
1 º O tanque mostrado no esquema da figura contém um óleo com massa específica ρ. Determine o módulo da forca resultante exercida pelo óleo sobre a janela retangular localizada na parede vertical do tanque.
Solução:
2)
2º A figura mostra um esquema de uma janela circular de diâmetro D=2 m, localizada na parede vertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Determine: a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (zf)
13
Solução:
a) Em coordenadas polares: dA=r.dθ.dr e, considerando D=a temos: z=a/2-r.senθ
b)
Substituindo,
Temos ,
3º A figura mostra um esquema de uma janela triangular de base B=2m e altura H=2m, localizada na parede vertical de um tanque com água e aberto para a atmosfera. Determine: a) a forca resultante exercida pela água sobre a janela b) a profundidade do ponto de aplicação desta forca (zf)
14
Solução:
a) Temos e
Substituindo,
b)
15
Substituindo,
Temos,
4º A figura mostra um esquema de um reservatório com água. A comporta retangular de altura L e largura B está articulada no eixo O, na base, e o bloco de volume V, constituído de um material com massa específica ρB, está imerso em água. O cabo possui massa desprezível. Estando a comporta na posição vertical, determine:
a) A forca resultante exercida pela água sobre a comporta; b) O momento de forca, em relação ao ponto O, devido à distribuição
de pressões exercida pela água; c) O volume mínimo V do bloco necessário para manter a comporta na
posição vertical.
Solução:
a)
16
b) Deve-se achar zf:
Temos,
Substituindo ,
Temos,
Em relação ao ponto O temos a distância D, que é igual a : D=H-zf
Calculando o momento,
c) Temos em relação ao ponto O,
17
Pelo D.C.L:
Sendo,
Então fica assim,
Isolando V,
4. Equação Geral da Estática dos fluidos em 2-D
4.1 Exercícios resolvidos
4.1.1 Movimento Relativo Linear
18
1º Deve-se transportar um aquário que mede 60cm X 60cm de base e 40 cm de altura. Quanto em volume de água você pode deixar no aquário de modo a ficar razoavelmente certo de que não transbordará no transporte?
Solução:
• Equação da superfície livre: dP=0
• Se não houver transbordamento:
• Não há transbordamento: Vi=Vf
19
• Achando a altura da água h: (1) = (2)
sabe-se que
Substituindo os valores,
• Calculando o volume:
4.1.2 Movimento Relativo Circular 1º Um vaso cilíndrico de raio (R=1,0m) e de altura (H=2,2m), parcialmente cheio com líquido a uma altura h=1,2 m, e girando a uma velocidade angular constante (ω) em torno do seu eixo central. Após um curto período, não há movimento relativo (o líquido gira com o cilindro como se o sistema fosse um corpo rígido). Qual o valor de ω (rpm) para não haver transbordamento?
20
Solução:
• Equação da superfície livre: dP=0
• Se não houver transbordamento:
Substituindo os valores, (1)
• Não há transbordamento: Vi=Vf
Substituindo valores,
.
21
• Achando o valor de ω: (1) = (2)
Parte II: Cinemática e Dinâmica dos Fluidos
5. Equação da continuidade e escoamentos
5.1 Exercícios resolvidos
1º- Considere um campo de escoamento incompressível bidimensional dado pela função corrente (x,y) = ax²-ay², com a=3s-1 e x e y em metros.
a) Mostre que o escoamento é irrotacional. b) Determine o potencial de velocidade para este escoamento. c) Qual a vazão que passa entre uma assíntota e a linha de corrente
dada por =cte=2? Solução: a) Um escoamento é irrotacional quando xV=0
22
Sabemos que:
• •
• xV = x =0
-2a+2a=0
0=0 O escoamento é irrotacional.
b)
Logo: c) Sabemos que a vazão é dada pela diferença entre dois psis, ou seja, Q=
1- 2. Se 1= assíntota e 2=2, teremos: Q= 2m³/s. 2º- Demonstre a Equação da Continuidade a partir de um elemento infinitesimal de controle com a forma cilíndrica plana. Solução:
•
•
23
• Sabemos que: Taxa que entra – Taxa que sai = Variação interna
+ - - =
+ - -
+ - - - - -
- =
=- - -
=- - -
Obs.: De acordo com a Regra do produto:
= = + Logo:
Desprezível
24
+ + + = 0
+ + = 0
Desta forma, provamos que: + = 0
3º- Demonstre a Equação da Continuidade e a Equação da Irrotacionalidade em coordenadas polares para duas dimensões. Solução: Devemos lembrar que:
• îr=cos î + sen j • = -sen î + cos j • îr. îr=1 ; îr . =0 • . =1 ; îr x = k
• = -sen î + cos j=
• = - cos î - sen j=
De acordo com a Equação da Continuidade: = 0, ou seja:
. = 0
+ = 0
=0
=0
=0
=0 + = 0 De acordo com a Equação da Irrotacionalidade: = 0, ou seja:
“Equação da continuidade em coordenadas polares”
25
x = 0
+ = 0
+
= 0
=0 , ou seja, - = 0 4º- Qual o valor da aceleração de um escoamento cujo campo de velocidade é dado por ? Esse escoamento é real? Solução:
• Por não depender do tempo podemos definir tal escoamento como permanente. Não dá para dizer se o fluido é compressível ou não, pois não temos informações suficientes. Temos apenas um escoamento plano em duas dimensões.
• a local= =0
• a convectiva=
a convectiva= a convectiva=
• Componentes da aceleração: ax= ay=
• O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for
obedecida. Desta forma, deveremos provar que: + = 0.
+ = 0
Tende a zero, pois o escoamento não depende do tempo.
26
5º- Seja . Veja se o escoamento desse fluido é real. Em caso afirmativo, defina a equação de sua trajetória. Solução:
• O escoamento só existirá se a equação da Continuidade for
obedecida. Desta forma, deveremos provar que: + = 0.
+ = 0
• Encontrando a Equação da trajetória:
O escoamento não é real.
O escoamento é real.
Tende a zero, pois o escoamento não depende do tempo.
Equação da trajetória.
27
6º- A superfície matemática do sólido chamada de semi-corpo de Rankine no plano, pode ser representada por linhas de corrente geradas pela superposição de um escoamento uniforme horizontal e uma fonte. Um pequeno monte, de altura h=100m, tem a forma geométrica que pode ser representada como a parte superior do semi-corpo de Rankine. Para um vento de 20km/h em direção ao monte, pergunta-se:
a) Qual a velocidade do vento na superfície do monte em um ponto
verticalmente acima da origem? b) Qual o valor da vazão do escoamento do vento entre duas superfícies
que passam pelos pontos de estagnação e (x=50; y=90)?
Solução:
a) Sabemos que o semi-corpo de Rankine é formado pela superposição de um escoamento uniforme e um escoamento tipo fonte. Como tais escoamentos satisfazem a Equação de Laplace podemos dizer que:
ΨU/F = ΨU + ΨF =
• Para Ψ=0:
• Para θ=π:
Logo:
28
Ψ0=
•
•
• Para Ψ=0:
• Para θ=π/2:
Logo: V= 3,54 îr + 5,56 îθ e V = 6,59 m/s
b) Sabemos que:
• x= r cosθ=50 r=130m y= r senθ=120
• tgθ= =1,18 rad
•
• Na linha de corrente Ψo =0 quando θ=0 e r=h=100:
Ψ0=
• Sabemos que a vazão pode ser calculada através da diferença entre
dois psis, Q= Ψo - Ψa, sendo Ψo o ponto de estagnação teremos Ψo =0.
Q= Ψo - Ψa=
Q= 319 m³/s
1112 m³/s 1112 m³/s
29
6. Equação da continuidade e escoamentos (continuação)
1 O escoamento sobre uma cabana pode ser aproximado pelo escoamento permanente, sem atrito, incompreensível e da esquerda para direita sobre um cilindro circular estacionário, de raio a, que pode ser representado pelo campo velocidade.
Com Durante uma tempestade, a velocidade do vento (ρ*=10-3) atinge 180 km/h; a temperatura externa é 7,00C. Um barômetro dentro da cabana dá uma leitura de 720mm de mercúrio; a pressão atmosférica fora é também de 720 mmHg. A cabana tem um diâmetro de 6,0m e um comprimento de 24m. Determine a força que tende a levantar a cabana das suas fundações. Sabendo que
‘
Solução: cilindro: r=a
Sendo, D=6m L=24m a=3m
30
h=720mm=720.10-3m
• Achar P1:
P=ρ.g.h P1= ρ*Hg.ρágua.g.h
Substituindo os valores, P1=9,6 Pa
V1=180 km/h=50m/s e U0=50m/s
• Achar V2:
Vr=0 Vθ=-2.U0.senθ |V|=2.U0.senθ
ρ*=10-3 então, ρ=1 kg/m3
• Achar γ:
γ= ρ.g γ=9,8 N/m3
• Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 z2=a.senθ V1=U0 V2=2.U0.senθ P1=9,6 Pa P2 Teremos então,
Fica assim,
31
• Achar Fa:
calculando,
obtém-se,
• Achar Fs:
calculando,
obtém-se,
substituindo os valores,
2 Dado o perfil de velocidade e sabendo que foi
medido com tubo de pitot uma velocidade V=0,3 m/s no ponto r=0,3a, calcule a vazão, sendo a=0,1m e 0≤r≤a.
Solução:
32
r=0,3ª
Teremos,
Então,
3 Dado um reservatório com uma saída lateral,achar a vazão que sai quando o nível do reservatório não muda.(vazão ideal)
Solução:
• Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=z z2=0 V1=0 V2 P1=Patm P2=Patm
Videal=
• Pela continuidade:
33
4 Um grande reservatório, com 4,0m de altura de água, em forma cilíndrica com diâmetro de 3,2m, possui um pequeno orifício lateralmente na sua base com diâmetro de 6,0 cm. O reservatório encontra-se a 1,8m do solo e quando o orifício está aberto jorra água a 2,0m de distância do orifício. O coeficiente de contração do jato medido foi de 0,90. Pergunta-se: a) Qual o coeficiente de descarga do reservatório, assumindo que o nível do reservatório não varia por um tempo de 1,5 horas? b) Quanto tempo leva para o nível do reservatório diminua de 1,0m? c) Para o caso do item (b) a idealização do item (a) é válida?
Solução: H=4m D=3,2m Cc=0,9 t=1,5 horas=5,4 seg d=6cm r=3cm=3.10-2m Ab=área do bocal AR=área do reservatório
-considera-se o reservatório cheio
a) Cd=Cv.Cc Cd=Cv.0,9
34
• achar Cv:
temos que e que
substituindo os valores,temos
-então,
• achar Cd: Cd=Cv.0,9
• achar Ab:
• achar AR:
- t>1,5 horas: o nível do reservatório varia, vamos considerar Q0=0
35
Taxa que entra - taxa que sai = taxa de variação interna 0 - . =
- . =
Desenvolvendo,
Então,
(1)
• achar a:
• achar zeq:
-cosiderar t=1,01.(1,5horas) e z=0,99zeq
t=1,01.5,4 seg t=5,45 s então, utilizando a equação (1)
teremos,
• Substituindo os valores ,
36
b)Utilizando a equação,
obtemos,
5 Para o escoamento de um fluido com propriedades físicas constantes entre duas placas paralelas fixas, na horizontal, distantes 2ª uma da outra, responda o que se segue assumindo que o escoamento é devido a um gradiente de pressão constante na direção X (dP/dX).
a) Para y*=y/a e u=v/Ua, mostre que a equação de Navier-Stokes para o problema, depois de assumidas as idealizações de COUETTE,pode ser escrita como:
onde B é uma constante que depende do gradiente de pressão,a,Uo e da viscosidade. b) Ache uma expressão adimensional u, levando-se em conta as condições de contorno impostas ao problema. c) Um tubo de Pitot, colocado no centro das placas, indica uma leitura manométrica de 20mmHg (ρ*=13,6) para o fluido do problema anterior escoando entre as placas. Qual a vazão desse escoamento, sabendo-se que a=10 cm e U0 é a velocidade medida no tubo de Pitot.
Solução:
- Condições:
37
- Analisando equação de NAVIER-STOKES:
como,
substituindo temos,
então,
a) Adimensionando:
temos,
substituindo,
38
derivando,
derivando novamente,
b) Condições de contorno:
1) U|y*=1=0
2) V|y*=-1=0
39
então,
c)-achar U0:
• manometria:
• achar :
• Aplicando Bernoulli: H1=H2 z1=0 z2=0 U0 V2=0 P1 P2
substituindo os valores,
40
Para y=0 a velocidade é máxima -dimensionando: y*=y/a e u=v/Ua
substituindo em
temos,
-achar Vmáx:
como já foi dito Vmáx ocorre quando y=0, então
-achar Q:
substituindo valores,
41
6 Usando o princípio da conservação de energia, determine o sentido do
escoamento no interior do tubo mostrado na figura abaixo para o qual γ=8500 N/m3 e µ=0,05 kg/m.s e ache a vazão deste escoamento em litros por segundos.
Dado: PA=20 kPa PB=30 kPa L=40 m D=10 cm Inclinação da tubulação:30
Solução:
• Para analisar o sentido do escoamento é preciso verificar em qual seção há maior energia, então aplicaremos Bernoulli :
-pela equação da continuidade :
e
42
então, consideramos ,
-analisando a energia no ponto A:
-analisando a energia no ponto B:
A energia em A é maior que em B, o fluído escoa de A para B.
• Calculando a vazão: -condições:
-analisando equação de NAVIER-STOKES:
como,
substituindo temos,
43
então,
-condições de contorno:
3) V|r=0=Vmáx c1=0
4) V|r=a=0
então ,
-achar Q:
-achar K:
44
-achar Vmáx:
substituindo os valores,
7º- Uma correia larga se movimenta num tanque que contém um líquido viscoso do modo indicado na Figura. O movimento da correia é vertical e ascendente e a velocidade da correia é Vo. As forças viscosas provocam o arrastamento de um filme de líquido que apresenta espessura h. Note que a aceleração da gravidade força o líquido a escoar, para baixo, no filme. Obtenha uma equação para a velocidade média do filme de líquido a partir das equações de Navier Stokes. Admita que o escoamento é laminar, unidimensional e que o regime de escoamento seja o permanete.
Solução:
45
• Nós só consideraremos o componente na direção y do vetor velocidade porque a formulação do problema estabelece que o escoamento é unidimensional (assim, u=w=0). A equação da
continuidade indica que . O regime do escoamento é o
permanente e então . Nestas condições nós encontramos que v= v(x). A aplicação da equação de Navier Stokes na direção x e na
direção z resulta em: e .
• Este resultado indica que a pressão não varia em qualquer plano horizontal. Ainda é possível concluir que a pressão no filme é constante e igual a pressão atmosférica porque a pressão na superfície do filme (x=h) é a atmosférica. Nestas condições, a equação do movimento na direção y fica reduzida a:
• Integrando a equação acima chegaremos a:
• Condições de contorno:
1ª x=h=0:
• A segunda integração da equação, , fornece:
2ª V x=0=V0: Desta forma:
46
• A vazão em volume na correia pode ser calculada com este perfil de velocidade:
• A velocidade média do filme pode ser definida como . Assim:
8º- A água escoa em um canal aberto, conforme indicado na figura abaixo. Dois tubos de Pitot estão em um manômetro diferencial contendo um líquido com ρ*=0,82. Achar uA e uB. Dados: A=3 ft; B=2 ft; g=32,17 ft/s².
•
•
